Kosinuso Furjė transformacijos pavyzdžiai. Pakankamos sąlygos funkcijai atvaizduoti Furjė integralu. Atsiskaitymo ir grafinio darbo užduočių parinktys

I. Furjė transformacijos.

1 apibrėžimas. Funkcija

paskambino Furjė transformacija funkcijos .

Integralas čia suprantamas pagrindinės vertės prasme

ir manoma, kad egzistuoja.

Jei yra absoliučiai integruojama funkcija ℝ, tada, kadangi , Furjė transformacija (1) yra prasminga bet kuriai tokiai funkcijai, o integralas (1) suartėja absoliučiai ir tolygiai visos linijos ℝ atžvilgiu.

2 apibrėžimas. Jeigu yra funkcijos Furjė transformacija
, tada susijęs integralas

Suprantama pagrindinės reikšmės prasme, vadinama Funkcijos Furjė integralas .

1 pavyzdys Raskite funkcijos Furjė transformaciją

Pateikta funkcija yra visiškai integruota į , iš tikrųjų,

3 apibrėžimas. Suprantama integralų pagrindinės reikšmės prasme

Atitinkamai pavadintas kosinusas- Ir sinusinės Furjė transformacijos funkcijos .

Darant prielaidą , , , iš dalies gauname santykį, mums jau pažįstamą iš Furjė serijos

Kaip matyti iš santykių (3), (4),

Formulės (5), (6) rodo, kad Furjė transformacijos yra visiškai apibrėžtos visoje eilutėje, jei jos žinomos tik dėl neneigiamų argumento verčių.

2 pavyzdys Raskite funkcijos kosinusą ir sinusą Furjė transformaciją

Kaip parodyta 1 pavyzdyje, suteikta funkcija yra visiškai integruotas į .

Raskime jo kosinusą – Furjė transformaciją pagal formulę (3):

Panašiai nesunku rasti funkcijos sinuso - Furjė transformaciją f(x) pagal (4) formulę:

Naudojant 1 ir 2 pavyzdžius, nesunku patikrinti tiesioginiu pakeitimu f(x) santykis (5) tenkinamas.

Jei funkcija yra tikroji vertė, tada formulės (5), (6) šiuo atveju reiškia

Kadangi šiuo atveju ir yra tikrosios R funkcijos, tai matyti iš jų apibrėžimų (3), (4). Tačiau lygybė (7) pagal sąlygą taip pat gaunamas tiesiogiai iš Furjė transformacijos apibrėžimo (1), jei atsižvelgsime į tai, kad konjugacijos ženklas gali būti dedamas po integralo ženklu. Paskutinis pastebėjimas leidžia daryti išvadą, kad bet kuri funkcija tenkina lygybę

Taip pat naudinga pažymėti, kad if yra reali ir lygi funkcija, t.y. , Tai

if yra tikroji ir nelyginė funkcija, t.y. , Tai

O jei yra grynai įsivaizduojama funkcija, t.y. . , Tai

Atkreipkite dėmesį, kad jei yra tikrosios vertės funkcija, Furjė integralas taip pat gali būti parašytas formoje

Kur

3 pavyzdys
(darant prielaidą )

kadangi žinome Dirichlet integralo reikšmę

Pavyzdyje nagrinėjama funkcija nėra absoliučiai integruojama ir jos Furjė transformacija turi nutrūkimų. Tai, kad absoliučiai integruojamų funkcijų Furjė transformacija neturi nutrūkimų, rodo tai

1 lema. Jei funkcija lokaliai integruotas ir visiškai integruotas , Tai

a) jos Furjė transformacija apibrėžta bet kuriai vertei

b)

Prisiminkite, kad jei yra realios arba kompleksinės reikšmės funkcija, apibrėžta atvirame rinkinyje, tada funkcija paskambino integruotas lokaliai, jei bet kuris taškas turi kaimynystę, kurioje funkciją galima integruoti. Visų pirma, jei , funkcijos lokalaus integravimo sąlyga akivaizdžiai lygiavertė faktui, kad bet kuriam segmentui.

4 pavyzdys Raskite funkcijos Furjė transformaciją :

Atskirdami paskutinį integralą parametro atžvilgiu ir tada integruodami dalimis, tai randame

arba

Reiškia, , kur yra konstanta, kurią naudojant Eulerio-Puasono integralą randame iš santykio

Taigi, mes nustatėme, kad , ir tuo pačiu parodėme, kad ir .

4 apibrėžimas. Jie sako, kad funkcija , apibrėžtas pradurtoje taško kaimynystėje, tenkina Dini sąlygas taške, jei

a) taške egzistuoja abi vienpusės ribos

b) abu integralai

visiškai sutinku.

Absoliuti integralo konvergencija reiškia absoliučią integralo konvergenciją bent jau tam tikrai reikšmei.

Pakankamos sąlygos funkcijai atvaizduoti Furjė integralu.

1 teorema.Jei visiškai integruota ir lokaliai dalimis nuolatinė funkcija tenkina taške Dini sąlygos, tada jo Furjė integralas suartėja šioje vietoje ir į vertę

lygi pusei kairiosios ir dešiniosios funkcijos reikšmių ribų sumos šiuo tašku.

1 pasekmė.Jei funkcija tęstinis, turi kiekviename taške baigtiniai vienpusiai dariniai ir absoliučiai integruojami , tada jis atrodo kaip su Furjė integralu

Kur Funkcijos Furjė transformacija .

Funkcijos atvaizdavimą Furjė integralu galima perrašyti taip:

komentuoti. Sąlygos funkcijai, suformuluotos 1 teoremoje ir 1 išvadoje, yra pakankamos, bet nebūtinos tokio vaizdavimo galimybei.

5 pavyzdys Pavaizduokite funkciją kaip Furjė integralą, jei

Ši funkcija yra nelyginis ir tęstinis ties ℝ, išskyrus taškus , , .

Dėl funkcijos keistumo ir tikroviškumo turime:

o iš (5) ir (10) lygybių išplaukia, kad

Funkcijos tęstinumo taškuose turime:

Bet funkcija yra keista, todėl

kadangi integralas skaičiuojamas pagrindinės reikšmės prasme.

Funkcija lygi, taigi

Jei ,. Už lygybę

Darant prielaidą, iš čia mes randame

Jei įdėsime paskutinę išraišką , tada

Darant prielaidą, kad čia, mes randame

Jei tikrosios vertės funkcija yra fragmentiškai ištisinė bet kuriame tikrosios tiesės atkarpoje, absoliučiai integruojama ir turi baigtines vienpuses išvestines kiekviename taške, tai funkcijos tęstinumo taškuose ji vaizduojama kaip Furjė integralas.

o funkcijos nutrūkimo taškuose kairioji lygybės (1) pusė turėtų būti pakeista

Jei ištisinė, absoliučiai integruojama funkcija kiekviename taške turi baigtines vienpuses išvestines kiekviename taške, tai tuo atveju, kai ši funkcija yra lygi, lygybė

o tuo atveju, kai yra nelyginė funkcija, lygybė

5 pavyzdys. Pateikite funkciją kaip Furjė integralą, jei:

Kadangi yra ištisinė lyginė funkcija, tada, naudodami (13.2), (13.2’) formules, turime

Simboliu žymime integralą, suprantamą pagrindinės reikšmės prasme

2 pasekmė.Bet kuriai funkcijai tenkinant 1 išvados sąlygas, yra visos transformacijos , , , ir yra lygybės

Turint omenyje šiuos santykius, transformacija (14) dažnai vadinama atvirkštinė Furjė transformacija ir vietoj to parašykite , o pačios lygybės (15) vadinamos Furjė transformacijos inversijos formulė.

6 pavyzdys Leiskite ir

Atkreipkite dėmesį, kad jei , tada bet kuriai funkcijai

Dabar paimkime funkciją. Tada

Jei imsime funkciją, kuri yra nelyginis funkcijos tęsinys , visoje skaitinėje ašyje, tada

Naudodami 1 teoremą gauname tai

Visi integralai čia suprantami pagrindinės vertės prasme,

Paskutiniuose dviejuose integraluose atskirdami tikrąją ir įsivaizduojamą dalis, randame Laplaso integralus

Apibrėžimas . Funkcija

bus vadinama normalizuota Furjė transformacija.

Apibrėžimas . Jei yra funkcijos normalizuota Furjė transformacija , tada susijęs integralas

Funkcijos normalizuotu Furjė integralu vadinsime .

Apsvarstysime normalizuotą Furjė transformaciją (16).

Patogumui pristatome tokį užrašą:

(tie. ).

Palyginti su ankstesniu užrašu, tai tik renormalizacija: todėl ypač santykiai (15) leidžia daryti išvadą, kad

arba, trumpiau tariant,

5 apibrėžimas. Operatorius bus vadinamas normalizuota Furjė transformacija, o operatorius bus vadinamas atvirkštine normalizuota Furjė transformacija.

1-oje lemoje buvo pažymėta, kad bet kurios absoliučiai integruojamos funkcijos Furjė transformacija begalybėje linkusi į nulį. Kiti du teiginiai teigia, kad Furjė transformacija, kaip ir Furjė koeficientai, linkusi į nulį, kuo greičiau, tuo sklandesnė funkcija, iš kurios ji paimta (pirmame teiginyje); Abipusis faktas bus tas, kad kuo greičiau funkcija, iš kurios paimama Furjė transformacija, linkusi į nulį, tuo sklandesnė Furjė transformacija (antrasis teiginys).

1 teiginys(apie ryšį tarp funkcijos lygumo ir jos Furjė transformacijos mažėjimo greičio). Jeigu ir visos funkcijos visiškai integruotas , Tai:

A) bet kuriam

b)

2 teiginys(apie ryšį tarp funkcijos skilimo greičio ir jos Furjė transformacijos lygumo). Jei lokaliai integruojama funkcija : yra tokia, kad funkcija absoliučiai integruota A , Tai:

A) Funkcijos Furjė transformacija priklauso klasei

b) yra nelygybė

Pateikiame pagrindines Furjė transformacijos techninės įrangos savybes.

2 lema. Tegul yra Furjė transformacija funkcijoms ir (atitinkamai atvirkštinė Furjė transformacija), tada, kad ir kokie būtų skaičiai ir , yra Furjė transformacija (atitinkamai atvirkštinė Furjė transformacija) ir funkcijai , ir

(atitinkamai).

Ši savybė vadinama Furjė transformacijos tiesiškumu (atitinkamai atvirkštine Furjė transformacija).

Pasekmė. .

3 lema. Furjė transformacija, kaip ir atvirkštinė transformacija, yra transformacija vienas su vienu ištisinių absoliučiai integruojamų funkcijų aibėje visoje ašyje, turinčios vienpuses išvestines kiekviename taške.

Tai reiškia, kad if ir yra dvi nurodyto tipo funkcijos ir if (atitinkamai, jei ), tada visoje ašyje.

Remdamiesi 1 lema, galime gauti tokią lemą.

4 lema. Jei absoliučiai integruojamų funkcijų seka ir absoliučiai integruota funkcija yra tokios, kad

tada seka tolygiai visoje ašyje konverguoja į funkciją .

Dabar panagrinėkime dviejų funkcijų Furjė konvoliucijos transformaciją. Kad būtų patogiau, pakeičiame konvoliucijos apibrėžimą, pridėdami papildomą veiksnį

2 teorema. Tegul funkcijos ir yra ribotos, tolydžios ir absoliučiai integruojamos realioje ašyje

tie. dviejų funkcijų konvoliucijos Furjė transformacija yra lygi šių funkcijų Furjė transformacijų sandaugai.

Sudarykime normalizuotos Furjė transformacijos savybių suvestinę lentelę Nr. 1, naudingą sprendžiant toliau pateiktas problemas.

1 lentelė

Funkcija	Normalizuota Furjė transformacija

Naudodami savybes 1-4 ir 6, gauname

7 pavyzdys Raskite funkcijos normalizuotą Furjė transformaciją

4 pavyzdys tai parodė

tarsi

Pagal 3 nuosavybę turime:

Panašiai galite sudaryti lentelę Nr. 2 normalizuotai atvirkštinei Furjė transformacijai:

2 lentelė

Funkcija	Normalizuota atvirkštinė Furjė transformacija

Kaip ir anksčiau, naudodamiesi 1-4 ir 6 savybėmis gauname tai

8 pavyzdys Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

Kaip matyti iš 6 pavyzdžio

Kai turime:

Funkcijos atvaizdavimas formoje

naudoti turtą 6, kai

Atsiskaitymo ir grafinio darbo užduočių parinktys

1. Raskite funkcijos sinuso - Furjė transformaciją

2. Raskite funkcijos sinuso - Furjė transformaciją

3. Rasti kosinusą – funkcijos Furjė transformacija

4. Rasti kosinusą – funkcijos Furjė transformacija

5. Raskite funkcijos sinuso - Furjė transformaciją

6.Rasti kosinusą – funkcijos Furjė transformacija

7. Raskite funkcijos sinuso - Furjė transformaciją

8. Rasti kosinusą – funkcijos Furjė transformacija

9. Rasti kosinusą – funkcijos Furjė transformacija

10. Raskite funkcijos sinuso - Furjė transformaciją

11. Raskite funkcijos sinuso - Furjė transformaciją

12. Rasti sinuso – funkcijos transformaciją

13. Rasti sinuso – funkcijos transformaciją

14. Rasti kosinusą – funkcijos transformaciją

15. Rasti kosinusą – funkcijos transformaciją

16. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:

17. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:

18. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:

19. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:

20. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:

21. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:

22. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

24. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

26. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

28. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

30. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

23. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

25. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

27. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

29. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

31. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją

naudojant formulę

32. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu

33. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu

34. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu

35. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu

36. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu

37. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu

38. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu

39. Pavaizduokite funkciją kaip Furjė integralą

40. Pavaizduokite funkciją kaip Furjė integralą

41. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu

42. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu

43. Pavaizduokite funkciją kaip Furjė integralą, keistu būdu pratęsdami jį iki intervalo, jei:

44. Pavaizduokite funkciją Furjė integralu, nelyginiu būdu tęsdami iki intervalo if.

Kurie jau gana pavargę. Ir jaučiu, kad atėjo momentas, kai laikas iš strateginių teorijos rezervų išgauti naujus konservus. Ar galima kaip nors kitaip išplėsti funkciją į seriją? Pavyzdžiui, išreikšti tiesiosios linijos atkarpą sinusais ir kosinusais? Atrodo neįtikėtina, bet tokios iš pažiūros nutolusios funkcijos tinka
"susijungimas". Be žinomų teorijos ir praktikos laipsnių, yra ir kitų būdų išplėsti funkciją į seriją.

Įjungta šią pamoką mes susipažinsime trigonometrinės serijos Furjė, paliesime jo konvergencijos ir sumos klausimą ir, žinoma, išanalizuosime daugybę Furjė serijos funkcijų išplėtimo pavyzdžių. Straipsnį nuoširdžiai norėjau pavadinti „Fourier serija manekenams“, tačiau tai būtų gudru, nes sprendžiant problemas reikės žinių apie kitus matematinės analizės skyrius ir šiek tiek praktinės patirties. Todėl preambulė bus panaši į astronautų mokymą =)

Visų pirma, reikia ištirti puslapių medžiagą puiki forma. Mieguistas, pailsėjęs ir blaivus. Be stiprių emocijų dėl sulaužytos žiurkėno letenos ir įkyrios mintys apie gyvenimo sunkumus akvariumo žuvys. Furjė serija nėra sudėtinga supratimo požiūriu, tačiau praktinės užduotys tiesiog reikalauja didesnės dėmesio koncentracijos - idealiu atveju reikėtų visiškai atsisakyti išorinių dirgiklių. Padėtį apsunkina tai, kad nėra lengvo būdo patikrinti sprendimą ir atsakymą. Taigi, jei jūsų sveikata yra žemesnė nei vidutinė, geriau daryti ką nors paprastesnio. Ar tai tiesa.

Antra, prieš skrendant į kosmosą, būtina ištirti erdvėlaivio prietaisų skydelį. Pradėkime nuo funkcijų, kurias reikia spustelėti mašinoje, verčių:

Dėl bet kokios gamtos vertės:

1) . Ir iš tikrųjų sinusoidas „mirksi“ x ašimi per kiekvieną „pi“:
. Jei argumento reikšmės yra neigiamos, rezultatas, žinoma, bus toks pat: .

2). Tačiau ne visi tai žinojo. Kosinusas „pi en“ yra „mirksinčios šviesos“ atitikmuo:

Neigiamas argumentas atvejo nekeičia: .

Galbūt pakankamai.

Ir trečia, brangus kosmonautų korpusas, jūs turite sugebėti ... integruoti.
Visų pirma, būtinai priskirti funkciją po diferencialiniu ženklu, integruoti dalimis ir būti su jais gerais santykiais Niutono-Leibnizo formulė. Pradėkime svarbius pratimus prieš skrydį. Primygtinai nerekomenduoju jo praleisti, kad vėliau nesuplotumėte esant nulinei gravitacijai:

1 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtuosius integralus

kur paima gamtos vertybes.

Sprendimas: integracija vykdoma per kintamąjį "x" ir šiame etape diskretinis kintamasis "en" laikomas konstanta. Visuose integraluose perkelkite funkciją po diferencialo ženklu:

Trumpa sprendimo versija, kurią būtų naudinga fotografuoti, atrodo taip:

Priprasti prie:

Likę keturi taškai yra atskiri. Stenkitės sąžiningai elgtis su užduotimi ir trumpai išdėstyti integralus. Pamokos pabaigoje sprendimų pavyzdžiai.

Po KOKYBĖS mankštos apsirengiame skafandrus
ir ruošiamės pradėti!

Funkcijos išplėtimas Furjė serijoje intervale

Panagrinėkime funkciją, kuri apibrėžta bent jau intervale (ir, galbūt, didesniame intervale). Jei ši funkcija integruota į segmentą , ją galima išplėsti į trigonometrinį Furjė serija:
, kur yra vadinamieji Furjė koeficientai.

Tokiu atveju skambinama numeriu skilimo laikotarpis, o skaičius yra pusinės eliminacijos periodo skilimas.

Akivaizdu, kad bendruoju atveju Furjė seriją sudaro sinusai ir kosinusai:

Iš tiesų, parašykime tai išsamiai:

Nulinis serijos terminas paprastai rašomas kaip .

Furjė koeficientai apskaičiuojami naudojant šias formules:

Puikiai suprantu, kad pradedantiesiems studijuoti temą nauji terminai vis dar neaiškūs: skilimo laikotarpis, pusė ciklo, Furjė koeficientai ir tt Nepanikuokite, tai nepalyginama su jauduliu prieš einant kosmosas. Išsiaiškinkime viską artimiausiame pavyzdyje, prieš jį vykdydami logiška paklausti savęs, ar tai yra skubi praktiniais reikalais:

Ką reikia padaryti atliekant šias užduotis?

Išplėskite funkciją į Furjė seriją. Be to, dažnai reikia nubraižyti funkcijos grafiką, serijos sumos grafiką, dalinę sumą, o sudėtingų profesoriaus fantazijų atveju – dar ką nors padaryti.

Kaip išplėsti funkciją į Furjė seriją?

Iš esmės reikia rasti Furjė koeficientai, tai yra, sudarykite ir apskaičiuokite tris apibrėžtieji integralai.

Nukopijuokite bendrąją Furjė serijos formą ir tris darbo formules į savo bloknotą. Labai džiaugiuosi, kad kai kurių svetainės lankytojų akyse išsipildo vaikystės svajonė tapti astronautu =)

2 pavyzdys

Išplėskite funkciją į Furjė seriją intervale . Sukurkite grafiką, serijos sumos ir dalinės sumos grafiką.

Sprendimas: pirmoji užduoties dalis yra išplėsti funkciją į Furjė eilutę.

Pradžia yra standartinė, būtinai užsirašykite, kad:

Šioje problemoje išplėtimo laikotarpis, pusės laikotarpis.

Išplečiame funkciją Furjė serijoje intervale:

Naudodami atitinkamas formules randame Furjė koeficientai. Dabar turime sudaryti ir apskaičiuoti tris apibrėžtieji integralai. Patogumui sunumeruosiu taškus:

1) Pirmasis integralas yra paprasčiausias, tačiau jam jau reikia akies ir akies:

2) Mes naudojame antrąją formulę:

Šis integralas yra gerai žinomas ir jis paima jį dalimis:

Radus naudotą funkcijai priskirti diferencialiniu ženklu metodas.

Nagrinėjamoje užduotyje patogiau iš karto naudoti formulė integravimui dalimis į apibrėžtąjį integralą :

Pora techninių pastabų. Pirma, pritaikius formulę visa išraiška turi būti įterpta į didelius skliaustus, nes prieš pradinį integralą yra konstanta. Nepraraskime! Skliaustus galima atidaryti bet kuriame tolesniame žingsnyje, aš tai padariau paskutiniame posūkyje. Pirmame "gabale" mes rodome ypatingą pakeitimo tikslumą, kaip matote, konstanta neveikia, o integracijos ribos yra pakeistos į produktą. Šis veiksmas pažymėtas laužtiniais skliaustais. Na, o antrojo formulės „gabalo“ integralas tau gerai žinomas iš treniruotės užduoties ;-)

Ir svarbiausia – didžiausia dėmesio koncentracija!

3) Ieškome trečiojo Furjė koeficiento:

Gaunamas ankstesnio integralo giminaitis, kuris taip pat yra integruota dalimis:

Šis atvejis yra šiek tiek sudėtingesnis, žingsnis po žingsnio pakomentuosiu tolesnius veiksmus:

(1) Visa išraiška yra dideliuose skliaustuose.. Nenorėjau atrodyti kaip nuobodu, jie per dažnai praranda pastovumą.

(2) B Ši byla Iš karto atidariau tuos didelius skliaustus. Ypatingas dėmesys skiriame pirmajam „gabalui“: nuolatinis rūko nuošalyje ir nedalyvauja integravimo (ir) į gaminį ribų pakeitime. Atsižvelgiant į įrašo netvarką, vėlgi patartina šį veiksmą paryškinti laužtiniuose skliaustuose. Su antruoju "gabalu" viskas paprasčiau: čia trupmena atsirado atidarius didelius skliaustus, o konstanta - dėl pažįstamo integralo integravimo ;-)

(3) laužtiniuose skliaustuose atliekame transformacijas, o dešiniajame integrale pakeičiame integravimo ribas.

(4) Išimame „blykstę“ iš laužtinių skliaustų: , po to atidarome vidinius skliaustus: .

(5) Panaikiname 1 ir -1 skliausteliuose ir padarome galutinius supaprastinimus.

Galiausiai rasti visi trys Furjė koeficientai:

Pakeiskite juos į formulę :

Nepamirškite padalyti per pusę. Paskutiniame žingsnyje iš sumos išimama konstanta ("minus du"), kuri nepriklauso nuo "en".

Taigi, mes gavome funkcijos išplėtimą Furjė serijoje intervale:

Panagrinėkime Furjė eilučių konvergencijos klausimą. Konkrečiai paaiškinsiu teoriją Dirichleto teorema, pažodžiui „ant pirštų“, taigi, jei reikia griežtų formuluočių, skaitykite skaičiavimo vadovėlį (pavyzdžiui, 2-asis Bohano tomas; arba 3-asis Fichtenholtzo tomas, bet jame sunkiau).

Antroje užduoties dalyje reikia nubraižyti grafiką, eilės sumos grafiką ir dalinės sumos grafiką.

Funkcijos grafikas yra įprastas tiesi linija plokštumoje, kuris nubrėžtas juoda punktyrine linija:

Mes kalbame apie serijos sumą. Kaip žinote, funkcinės serijos susilieja su funkcijomis. Mūsų atveju sukonstruota Furjė serija bet kuriai "x" reikšmei susilieja su raudonai pavaizduota funkcija. Šiai funkcijai taikoma 1 tipo pertraukos taškuose , bet ir juose apibrėžtas (raudoni taškai brėžinyje)

Taigi: . Nesunku pastebėti, kad ji labai skiriasi nuo pradinės funkcijos , todėl žymėjime vietoj lygybės ženklo naudojama tildė.

Išnagrinėkime algoritmą, pagal kurį patogu sudaryti serijos sumą.

Centriniame intervale Furjė serija susilieja su pačia funkcija (centrinis raudonas segmentas sutampa su juoda punktyrine tiesinės funkcijos linija).

Dabar pakalbėkime šiek tiek apie svarstomo trigonometrinio išplėtimo pobūdį. Furjė serija apima tik periodines funkcijas (konstantą, sinusus ir kosinusus), todėl eilutės suma taip pat yra periodinė funkcija.

Ką tai reiškia mūsų konkretus pavyzdys? Ir tai reiškia, kad serijos suma –būtinai periodiškai o raudonasis intervalo segmentas turi būti be galo kartojamas kairėje ir dešinėje.

Manau, kad dabar pagaliau paaiškėjo posakio „skilimo laikotarpis“ prasmė. Paprasčiau tariant, kiekvieną kartą situacija kartojasi vėl ir vėl.

Praktikoje dažniausiai užtenka pavaizduoti tris skilimo periodus, kaip tai daroma brėžinyje. Na, ir dar kaimyninių laikotarpių „kelmai“ – kad būtų aišku, kad diagrama tęsiasi.

Ypatingą susidomėjimą kelia 1 tipo nenutrūkstamumo taškai. Tokiuose taškuose Furjė serija susilieja į izoliuotas reikšmes, kurios yra tiksliai pertraukos „šuolio“ viduryje (raudoni taškai brėžinyje). Kaip rasti šių taškų ordinates? Pirmiausia suraskime „viršutinio aukšto“ ordinates: tam apskaičiuojame funkcijos reikšmę pačiame dešiniajame centrinio išsiplėtimo periodo taške: . Norint apskaičiuoti „apatinio aukšto“ ordinates, paprasčiausias būdas yra paimti to paties laikotarpio kairiausią reikšmę: . Vidutinės reikšmės ordinatė yra „viršaus ir apačios“ sumos aritmetinis vidurkis: . Smagu tai, kad statant piešinį iškart pamatysite, ar vidurys paskaičiuotas teisingai, ar neteisingai.

Sukonstruokime dalinę eilutės sumą ir tuo pačiu pakartokime termino „konvergencija“ reikšmę. Motyvas žinomas iš pamokos apie skaičių serijos suma. Išsamiai apibūdinkime savo turtus:

Norėdami sudaryti dalinę sumą, turite užrašyti nulį + dar du serijos terminus. Tai yra,

Brėžinyje funkcijos grafikas pavaizduotas žaliai ir, kaip matote, gana tvirtai apgaubia bendrą sumą. Jei atsižvelgsime į dalinę penkių serijos narių sumą, tada šios funkcijos grafikas dar tiksliau apytiksliai apytikslės raudonas linijas, jei yra šimtas terminų, tada „žalia gyvatė“ iš tikrųjų visiškai susilies su raudonais segmentais, ir tt Taigi Furjė eilutė suartėja su jos suma.

Įdomu pastebėti, kad bet kokia dalinė suma yra nuolatinė funkcija, tačiau bendra serijų suma vis dar nenutrūksta.

Praktikoje neretai sudaromas dalinės sumos grafikas. Kaip tai padaryti? Mūsų atveju būtina atsižvelgti į atkarpos funkciją, apskaičiuoti jos reikšmes atkarpos galuose ir tarpiniuose taškuose (kuo daugiau taškų atsižvelgsite, tuo tikslesnis bus grafikas). Tada pažymėkite šiuos taškus brėžinyje ir atsargiai nubrėžkite laikotarpio grafiką, o tada „atkartokite“ jį į gretimus intervalus. Kaip kitaip? Juk aproksimacija taip pat yra periodinė funkcija ... ... jos grafikas man kažkaip primena tolygų širdies ritmą medicinos prietaiso ekrane.

Žinoma, tai nėra labai patogu atlikti statybą, nes turite būti ypač atsargūs, išlaikant ne mažesnį nei pusės milimetro tikslumą. Tačiau nudžiuginsiu skaitytojus, kurie nesutaria su piešimu - atliekant „tikrąją“ užduotį, toli gražu ne visada reikia piešti, kai kur 50% atvejų reikia išplėsti funkciją į Furjė seriją ir tai yra tai.

Užbaigę piešinį, atliekame užduotį:

Atsakymas:

Daugelyje užduočių nukenčia funkcija 1-osios rūšies plyšimas tiesiai skilimo laikotarpiu:

3 pavyzdys

Furjė serijoje išplėskite intervale nurodytą funkciją. Nubraižykite funkcijos ir visos eilučių sumos grafiką.

Siūloma funkcija pateikiama dalimis (ir, atminkite, tik segmente) ir ištverti 1-osios rūšies plyšimas taške. Ar galima apskaičiuoti Furjė koeficientus? Jokiu problemu. Kairioji ir dešinioji funkcijos dalys yra integruojamos savo intervalais, todėl kiekvienos iš trijų formulių integralai turėtų būti pavaizduoti kaip dviejų integralų suma. Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kaip tai daroma nuliniam koeficientui:

Antrasis integralas pasirodė lygus nuliui, o tai sumažino darbą, tačiau taip būna ne visada.

Panašiai rašomi kiti du Furjė koeficientai.

Kaip parodyti serijos sumą? Kairiajame intervale nubrėžiame tiesios linijos atkarpą , o intervale - tiesiosios linijos atkarpą (ašies sekciją paryškinkite pusjuodžiu-paryškintu šriftu). Tai yra, išplėtimo intervale serijų suma sutampa su funkcija visur, išskyrus tris „blogus“ taškus. Funkcijos nepertraukiamumo taške Furjė eilutė susilieja į izoliuotą reikšmę, kuri yra tiksliai pertraukos „šuolio“ viduryje. Tai nesunku pamatyti žodžiu: kairioji riba:, dešinė riba: ir, aišku, vidurio taško ordinatė yra 0,5.

Dėl sumos periodiškumo paveikslas turi būti „padaugintas“ į gretimus laikotarpius, ypač pavaizduoti tą patį intervaluose ir . Šiuo atveju taškuose Furjė eilutė suartėja su medianinėmis reikšmėmis.

Tiesą sakant, čia nieko naujo.

Pabandykite šią problemą išspręsti patys. Apytikslis dailaus dizaino ir piešimo pavyzdys pamokos pabaigoje.

Funkcijos išplėtimas Furjė serijoje savavališkame periode

Savavališkam išplėtimo laikotarpiui, kai "el" yra bet koks teigiamas skaičius, Furjė eilučių ir Furjė koeficientų formulės skiriasi šiek tiek sudėtingesniu sinuso ir kosinuso argumentu:

Jei , tada gauname intervalo, nuo kurio pradėjome, formules.

Problemos sprendimo algoritmas ir principai yra visiškai išsaugoti, tačiau techninis skaičiavimų sudėtingumas didėja:

4 pavyzdys

Išplėskite funkciją į Furjė eilutę ir nubraižykite sumą.

Sprendimas: iš tikrųjų, pavyzdžio Nr. 3 analogas su 1-osios rūšies plyšimas taške. Šioje problemoje išplėtimo laikotarpis, pusės laikotarpis. Funkcija apibrėžiama tik pusės intervale, bet tai nieko nekeičia – svarbu, kad abi funkcijos dalys būtų integruojamos.

Išplėskime funkciją į Furjė seriją:

Kadangi funkcija pradžioje yra nenutrūkstama, kiekvienas Furjė koeficientas turėtų būti parašytas kaip dviejų integralų suma:

1) Pirmąjį integralą parašysiu kuo detaliau:

2) Atsargiai žvilgtelėkite į mėnulio paviršių:

Antrasis integralas paimti dalimis:

Į ką turėtumėte atkreipti ypatingą dėmesį, kai sprendimo tęsinį atidarome žvaigždute?

Pirma, mes neprarandame pirmojo integralo , kur mes iš karto vykdome atnešant po diferencialo ženklu. Antra, nepamirškite nelemtos konstantos prieš didžiuosius skliaustus ir nesupainiokite ženklų kai naudojate formulę . Dideli skliausteliai, juk patogiau iš karto atidaryti kitame žingsnyje.

Likusi dalis – technikos reikalas, sunkumų gali sukelti tik nepakankama integralų sprendimo patirtis.

Taip, ne veltui garsūs prancūzų matematiko Furjė kolegos piktinosi - kaip jis išdrįso išskaidyti funkcijas į trigonometrines eilutes ?! =) Beje, turbūt visus domina praktinė nagrinėjamos užduoties prasmė. Pats Fourier dirbo prie matematinio šilumos laidumo modelio, o vėliau jo vardu pavadinta serija buvo pradėta naudoti tiriant daugelį periodinių procesų, kurie išoriniame pasaulyje akivaizdžiai nematomi. Dabar, beje, pagavau save galvojant, kad neatsitiktinai antrojo pavyzdžio grafiką palyginau su periodiniu širdies ritmu. Norintys gali susipažinti su praktinis pritaikymas Furjė transformacijos iš trečiųjų šalių šaltinių. ... Nors geriau to nedaryti - tai bus prisiminta kaip pirmoji meilė =)

3) Atsižvelgdami į ne kartą minėtas silpnąsias grandis, nagrinėjame trečiąjį koeficientą:

Integravimas dalimis:

Rastus Furjė koeficientus pakeičiame į formulę , nepamirštant nulinio koeficiento padalyti per pusę:

Nubraižykime serijos sumą. Trumpai pakartokime procedūrą: ant intervalo statome eilutę, o ant intervalo - eilutę. Turėdami nulinę „x“ reikšmę, dedame tašką tarpo „šuolio“ viduryje ir „pakartojame“ gretimų laikotarpių diagramą:


Periodų „susijungimo vietose“ suma taip pat bus lygi tarpo „šuolio“ vidurio taškams.

Paruošta. Primenu, kad pati funkcija sąlygiškai apibrėžiama tik pusės intervale ir, aišku, sutampa su intervalų serijų suma

Atsakymas:

Kartais atskira funkcija taip pat yra nuolatinė plėtimosi laikotarpiu. Paprasčiausias pavyzdys: . Sprendimas (Žr. Bohano 2 tomą) yra toks pat kaip dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose: nepaisant funkcijos tęstinumas taške Kiekvienas Furjė koeficientas išreiškiamas kaip dviejų integralų suma.

Išsiskyrimo intervale 1 tipo nenutrūkstamumo taškai ir (arba) grafiko „sankryžos“ taškų gali būti daugiau (du, trys ir apskritai bet kuris galutinis kiekis). Jei funkcija yra integruota į kiekvieną dalį, ji taip pat gali būti išplečiama Furjė serijoje. Bet nuo Praktinė patirtis Nepamenu tokio gesto. Nepaisant to, yra ir sunkesnių užduočių, nei tik svarstoma, o straipsnio pabaigoje visiems yra nuorodos į padidinto sudėtingumo Furjė serijas.

Tuo tarpu atsipalaiduokime, atsilošdami į kėdes ir apmąstykime begales žvaigždžių platybes:

5 pavyzdys

Išplėskite funkciją į Furjė eilutę intervale ir nubraižykite serijos sumą.

Šioje užduotyje funkcija tęstinis dėl skilimo pusės intervalo, kuris supaprastina sprendimą. Viskas labai panašu į pavyzdį Nr.2. Iš kosminio laivo nepabėgsi - reikia apsispręsti =) Apytikslis dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje, grafikas pridedamas.

Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas

Naudojant lygines ir nelygines funkcijas, problemos sprendimo procesas pastebimai supaprastinamas. Ir todėl. Grįžkime prie Furjė serijos funkcijos išplėtimo „dviejų pi“ periode ir savavališkas laikotarpis "du ale" .

Tarkime, kad mūsų funkcija yra lygi. Bendrame serijos termine, kaip matote, yra lyginiai kosinusai ir nelyginiai sinusai. Ir jei mes išskaidome LYGinę funkciją, kam mums reikia nelyginių sinusų?! Iš naujo nustatykime nereikalingą koeficientą: .

Taigi, lygi funkcija išsiplečia į Furjė eilutę tik kosinusais:

Nes lyginių funkcijų integralai per integravimo segmentą, simetrišką nulio atžvilgiu, galima padvigubinti, tada likę Furjė koeficientai taip pat supaprastinami.

Dėl intervalo:

Savavališkam intervalui:

Vadovėlių pavyzdžiai, kuriuos galima rasti beveik bet kuriame skaičiavimo vadovėlyje, apima lyginių funkcijų išplėtimus . Be to, jie ne kartą susitiko mano asmeninėje praktikoje:

6 pavyzdys

Suteikta funkcija. Reikalinga:

1) išplėskite funkciją į Furjė eilutę su periodu , kur yra savavališkas teigiamas skaičius;

2) Užrašykite intervalo išplėtimą, sukurkite funkciją ir nubraižykite bendrą serijų sumą.

Sprendimas: pirmoje pastraipoje siūloma išspręsti problemą bendras vaizdas ir tai labai patogu! Atsiras poreikis – tiesiog pakeiskite savo vertę.

1) Šioje užduotyje išsiplėtimo laikotarpis , pusės periodas . Atliekant tolesnius veiksmus, ypač integracijos metu, „el“ laikomas konstanta

Funkcija yra lygi, o tai reiškia, kad ji išsiplečia į Furjė seriją tik kosinusais: .

Furjė koeficientų ieškoma pagal formules . Atkreipkite dėmesį į jų absoliučius pranašumus. Pirma, integracija atliekama per teigiamą išplėtimo segmentą, o tai reiškia, kad mes saugiai atsikratome modulio , atsižvelgiant tik į "x" iš dviejų dalių. Ir, antra, integracija pastebimai supaprastinta.

Du:

Integravimas dalimis:

Taigi:
, o konstanta , kuri nepriklauso nuo „en“, išimama iš sumos.

Atsakymas:

2) Parašykime išplėtimą intervale , tam, in bendroji formulė pakeiskite pageidaujamą pusės ciklo reikšmę:

Viena iš galingų matematinės fizikos problemų tyrimo priemonių yra integralinių transformacijų metodas. Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta intervale (a, 6), baigtiniame arba begaliniame. Funkcijos f (x) integralinė transformacija yra funkcija, kur K (x, w) yra funkcija, fiksuota tam tikrai transformacijai, vadinama transformacijos branduoliu (manoma, kad integralas (*) egzistuoja tinkama arba netinkama prasme ). §1. Furjė integralas Bet kuri funkcija f(x), kuri atkarpoje [-f, I] atitinka išplėtimo į Furjė eilutę sąlygas, šiame segmente gali būti pavaizduota trigonometrine seka. : Furjė integralas Kompleksinė integralo forma Furjė transformacija Kosinuso ir sinuso transformacijos Amplitudės ir fazių spektrai Taikymo ypatybės Dešinėje (1) lygties pusėje esančios serijos gali būti parašytos kitokia forma. Šiuo tikslu iš formulių (2) įvedame į jį koeficientų a» ir op reikšmes, sudėjus integralus cos ^ x ir sin x (tai įmanoma, nes integravimo kintamasis yra m) O) ir naudojant skirtumo kosinuso formulė. Turėsime, jei funkcija /(x) iš pradžių buvo apibrėžta skaitinės ašies intervale, didesniame už intervalą [-1,1] (pavyzdžiui, visoje ašyje), tada išplėtimas (3) atkurs vertes ​Šios funkcijos tik intervale [-1, 1] ir tęskite visoje realioje ašyje kaip periodinę funkciją su periodu 21 (1 pav.). Todėl, jei funkcija f(x) (paprastai kalbant, neperiodinė) apibrėžta visoje realioje ašyje, formulėje (3) galima bandyti pereiti prie ribos kaip I + oo. Šiuo atveju natūralu reikalauti, kad būtų įvykdytos šios sąlygos: 1. f(x) tenkina išplėtimo į Furjė eilutę bet kurioje baigtinėje Ox\ ašies atkarpoje sąlygas 2. funkcija f(x) yra absoliučiai integruojamas visoje realioje ašyje.(3) linkęs į nulį kaip I -* + oo. Iš tiesų, pabandykime nustatyti, kokia suma, esanti dešinėje (3) pusėje, pateks į ribą kaip I + oo. Tarkime, kad tada suma, esanti dešinėje (3) pusėje, įgis tokią formą Dėl integralo absoliučios konvergencijos ši suma dideliam I mažai skiriasi nuo išraiškos, panašios į integralo sumą. kintamasis £ sudarytas pokyčio intervalui (0, + oo). Todėl natūralu tikėtis, kad , suma (5) pereina į integralą С Kita vertus, fiksuotam) tai išplaukia iš (3) formulės ), kad gauname ir lygybę Pakankama (7) formulės galiojimo sąlyga išreiškiama tokia teorema. 1 teorema. Jei funkcija f(x) yra absoliučiai integruojama visoje realiojoje ašyje ir kartu su jos išvestine turi baigtinį skaičių pirmos rūšies nenutrūkstamų taškų bet kurioje atkarpoje [a, 6], tada tosios rūšies Funkcijos /(x) integralo reikšmė dešinėje (7) yra lygi formulei (7) vadinama Furjė integralo formule, o integralas dešinėje – Furjė integralu. Jei naudosime skirtumo kosinuso dienos formulę, tada (7) formulę galima parašyti kaip Funkcijos a(t), b(t) yra atitinkamų Furjė koeficientų an ir bn analogai 2n periodo. funkcija, tačiau pastarosios apibrėžiamos atskiroms n reikšmėms, o a(0> HO yra apibrėžtos nuolatinėms G(-oo, +oo) reikšmėms. Furjė integralo kompleksinė forma Darant prielaidą, kad f(x) kad būtų absoliučiai integruojamas visoje x ašyje, mes laikome integralą , akivaizdžiai nelygine Bet tada funkcija Kita vertus, integralas yra lyginė kintamojo funkcija, todėl Furjė integralo formulę galima parašyti taip. : Padauginkime lygybę iš įsivaizduojamo vieneto i ir pridėkime prie lygybės (10). Tai sudėtinga Furjė integralo forma. Čia išorinė integracija virš t suprantama Koši pagrindinės reikšmės prasme: § 2 Furjė transformacija Kosinuso ir sinuso Furjė transformacijos Tegul funkcija f(x) yra sklandžiai bet kuriame baigtiniame x ašies atkarpoje ir absoliučiai integruojama visoje ašyje. Apibrėžimas. Funkcija, iš kurios pagal Eilerio formulę turėsime, vadinama funkcijos f(r) Furjė transformacija (spektrinė funkcija). Tai funkcijos / (r) integrali transformacija intervale (-oo, + oo) su branduoliu Naudodami Furjė integralo formulę, gauname Tai yra vadinamoji atvirkštinė Furjė transformacija, kuri suteikia perėjimą iš F (t) iki / (x). Kartais tiesioginė Furjė transformacija pateikiama taip: Tada atvirkštinė Furjė transformacija nustatoma pagal formulę Funkcijos /(g) Furjė transformacija taip pat apibrėžiama taip: FUJR TRANSFORMAS Furjė integralas Integralo Furjė transformacijos kompleksinė forma Kosinusas ir sinusas transformacijos amplitudės ir fazės spektrai Taikymo savybės Tada, savo ruožtu, Šiuo atveju faktoriaus ^ padėtis yra gana savavališka: jis gali įvesti arba formulę (1"), arba formulę (2"). 1 pavyzdys. Raskite funkcijos -4 Furjė transformaciją Turime Ši lygybė leidžia diferencijuoti £ pagal integralo ženklą (integralas, gautas po diferenciacijos, konverguoja tolygiai, kai ( priklauso bet kuriam baigtiniam segmentui): Integruodami dalimis, turėsime gauname iš kur (C – integracijos konstanta). Nustačius £ = 0 į (4), randame С = F(0). Pagal (3) mes turime Yra žinoma, kad Konkrečiai, už) gauname tai Panagrinėkime funkciją 4. Funkcijos F(t) spektrams oyu gauname Taigi (2 pav.). Funkcijos f(x) absoliutaus integravimo visoje realioje ašyje sąlyga yra labai griežta. Pavyzdžiui, neįtraukiamos tokios elementarios funkcijos kaip f(x) = e1, kurioms Furjė transformacija (čia nagrinėjama klasikine forma) neegzistuoja. Tik tos funkcijos turi Furjė transformaciją, kuri yra pakankamai greita nuliui |x| -+ +oo (kaip 1 ir 2 pavyzdžiuose). 2.1. Kosinuso ir sinuso Furjė transformacijos Naudodami kosinuso formulę skirtumą, Furjė integralo formulę perrašome tokia forma: Tegul f(x) yra lyginė funkcija. Tada, kad iš lygybės (5) gautume Nelyginio f(x) atveju, panašiai gauname, jei f(x) pateikta tik (0, -foo), tada formulė (6) išplečia f(x) į visą Jaučio ašį lyginiu būdu, o formulė (7) – nelyginė. (7) Apibrėžimas. Funkcija vadinama funkcijos f(x) kosinusu Furjė transformacija. Iš (6) matyti, kad lyginei funkcijai f(x) Tai reiškia, kad f(x), savo ruožtu, yra Fc(t) kosinuso transformacija. Kitaip tariant, funkcijos / ir Fc yra abipusės kosinuso transformacijos. Apibrėžimas. Funkcija vadinama funkcijos f(x) sinusine Furjė transformacija. Iš (7) gauname, kad nelyginė funkcija f(x) t.y. f ir Fs yra abipusės sinusinės transformacijos. 3 pavyzdys (stačiakampis impulsas). Tegul f(t) yra lyginė funkcija, apibrėžta taip: (3 pav.). Gautu rezultatu skaičiuokime integralą Pagal formulę (9) turime 3 pav. 0 0 Taške t = 0 funkcija f(t) yra tolydi ir lygi vienetui. Todėl iš (12") gauname 2.2. Furjė integralo amplitudės ir fazių spektrai Tegul funkcija f(x) periodinė su periodu 2m išplečiama į Furjė eilutę. Šią lygybę galima parašyti tokia forma, kaip mes priėjome prie sąvokų periodinės funkcijos amplitudės ir fazių spektrų Neperiodinei funkcijai f(x), duotai (-oo, +oo), tam tikromis sąlygomis, pasirodo, galima ją pavaizduoti Furjė integralu, kuris plečiasi. ši funkcija visuose dažniuose (nepertraukiamo dažnių spektro išplėtimas Apibrėžimas Spektrinė funkcija arba Furjė integralo spektrinis tankis yra išraiška (tiesioginė funkcijos f Furjė transformacija vadinama amplitudės spektru, o funkcija Ф ") \u003d -argSfc) yra funkcijos / ("). Amplitudės spektras. A (£) naudojamas kaip dažnio t įtakos funkcijai /(x) matas. 4 pavyzdys. Raskite amplitudę ir fazę funkcijos spektrai 4 Raskite spektrinę funkciją Iš čia Šių funkcijų grafikai pavaizduoti 4 pav. §3. Furjė transformacijos savybės 1. Tiesiškumas. Jei ir G(0 yra atitinkamai funkcijų f(x) ir q(x) Furjė transformacijos, tai bet kuriai konstantai a ir p funkcijos Furjė transformacija a f(x) + p g(x) bus funkcija. a Naudodami integralo tiesiškumo savybę, gauname Taigi Furjė transformacija yra tiesinis operatorius. Pažymėdami ją parašysime Jei F(t) yra funkcijos f(x) Furjė transformacija, absoliučiai integruojama visoje realybėje ašies, tada F(t) yra apribota visiems. Tegul funkcija f(x) yra absoliučiai integruojama visoje ašyje – funkcijos f (x) Furjė transformacija. Tada 3 "flts J. Tegu f (x) funkcija, kurios tolerancija yra Furjė transformacija, L – savybių skaičius Funkcija fh (x) \u003d f (z-h) vadinama funkcijos f(x) poslinkiu Naudojant Furjė transformacijos apibrėžimą, parodykite, kad uždavinys Tegul funkcija f(z) turi Furjė transformaciją F(0> h - tikras numeris . Parodykite, kad 3. Furjė transformacijos ir diferenciacijos ooeretai. Tegul absoliučiai integruojama funkcija f(x) turi išvestinę f"(x), kuri taip pat yra absoliučiai integruojama visoje x ašyje, todėl f(x) linkusi į nulį kaip |x| -» + oo. Darant prielaidą, kad f" (x) kad būtų sklandi funkcija , rašome Integruojant dalimis, neintegralus terminas išnyks (kadangi ir gauname Taigi funkcijos / (x) diferenciacija atitinka jos Furjė vaizdo dauginimą ^ n /] koeficientu Jei funkcija f (x) turi lygias * e absoliučiai neapsakomas išvestines iki m eilės imtinai, ir visos jos, kaip ir pati funkcija f(x), linkusios į nulį, integruojant dalimis reikiamą skaičių kartų, gauname Furjė transformacija yra labai naudinga būtent todėl, kad diferencijavimo operaciją pakeičia daugybos iš reikšmės operacija ir taip supaprastina tam tikrų tipų diferencialinių lygčių integravimo užduotį. Kadangi Furjė transformacija iš absoliučiai integruojamo funkcija f^k\x) yra apribota funkcija (savybė 2), iš santykio (2) gauname tokį įvertinimą: Furjė TRANSFORMAS Furjė integralas Sudėtinga integralo forma Furjė transformacijos kosinuso ir sinuso transformacijos amplitudės ir fazės spektrų savybės Taikymas Šis įvertinimas reiškia, kad kuo daugiau funkcija f(x) turi absoliučiai integruojamų išvestinių, tuo greičiau jos Furjė transformacija linkusi į nulį. komentuoti. Sąlyga yra gana natūrali, nes įprasta Furjė integralų teorija nagrinėja procesus, kurie viena ar kita prasme turi pradžią ir pabaigą, bet nesitęsia neribotą laiką maždaug tokiu pat intensyvumu. 4. Ryšys tarp funkcijos f(x) mažėjimo greičio |z| -» -f oo ir jo ketverto transformacijos sklandumas. Tarkime, kad ne tik /(x), bet ir jo sandauga xf(x) yra absoliučiai integruojama funkcija visoje x ašyje. Tada Furjė transformacija) bus diferencijuojama funkcija. Iš tiesų, formali diferenciacija integrando parametro £ atžvilgiu lemia integralą, kuris yra absoliučiai ir tolygiai konverguojantis parametro atžvilgiu. Jei kartu su funkcija f(x) funkcijos yra absoliučiai integruojamos visoje Ox ašyje, tada diferenciacijos procesą galima tęsti. Gauname, kad funkcija turi išvestinių iki m eilės imtinai, ir Taigi, kuo greičiau funkcija f(x) mažėja, tuo funkcija pasirodo sklandžiau 2 teorema (apie grąžtą). Leisti būti Furjė transformacijos atitinkamai funkcijų /, (x) ir f2 (x). Tada dvigubas integralas dešinėje pusėje absoliučiai suartėja. Padėkime x. Tada turėsime arba, keičiant integravimo tvarką, Funkcija vadinama funkcijų konvoliucija ir žymima simboliu Formulė (1) dabar gali būti užrašoma taip: Iš čia aišku, kad Furjė transformacija funkcijos f \ sulankstomų funkcijų Furjė transformacijų sandauga, pastaba. Nesunku nustatyti tokias konvoliucijos savybes: 1) tiesiškumą: 2) komutatyvumą: §4. Furjė transformacijos taikymai 1. Tegul Р(^) yra m eilės tiesinis diferencialinis operatorius su pastoviais koeficientais y(x) turi Furjė transformaciją y (O. o funkcija f(x) turi transformaciją /(t) Pritaikius Furjė transformaciją (1) lygčiai, vietoj diferencialinės algebrinės lygties gauname ašyje, kurios atžvilgiu, kad formaliai kur simbolis žymi atvirkštinę Furjė transformaciją Pagrindinis šio metodo pritaikymo apribojimas yra susijęs su: faktas. diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais yra formos eL*, eaz cos fix, eax sin px. Jie nėra visiškai integruoti į -oo ašį< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и