Trigonometrinė Furjė serija. trigonometrinės serijos. Furjė serija. Baigtinių skirtumų metodo taikymas

Daugeliu atvejų, tiriant (C) formos eilučių koeficientus arba galima nustatyti, kad šios eilutės susilieja (galbūt išskyrus atskirus taškus) ir yra Furjė eilutės savo sumomis (žr., pavyzdžiui, ankstesnį Nr. ), tačiau visais šiais atvejais natūraliai kyla klausimas

kaip rasti šių eilučių sumas arba, tiksliau, kaip jas išreikšti galutine forma elementariomis funkcijomis, jei jos išvis išreikštos tokia forma. Net Euleris (ir taip pat Lagrange'as) sėkmingai panaudojo sudėtingo kintamojo analitines funkcijas, kad susumuotų trigonometrines eilutes galutine forma. Eulerio metodo idėja yra tokia.

Tarkime, kad tam tikram koeficientų rinkiniui serija (C) ir susilieja su funkcijomis visame intervale, neįskaitant tik atskirų taškų. Dabar apsvarstykite laipsnių eilutę su tais pačiais koeficientais, išdėstytais kompleksinio kintamojo laipsniais

Vienetinio apskritimo perimetru, t. y. ties , ši eilutė suartėja pagal prielaidą, neįskaitant atskirų taškų:

Šiuo atveju, pagal gerai žinomą laipsnių eilučių savybę, serija (5) neabejotinai konverguoja į ty vienetinio apskritimo viduje, apibrėždama ten tam tikrą kompleksinio kintamojo funkciją. Naudojant mums žinomus [žr. XII skyriaus 5 §] kompleksinio kintamojo elementariųjų funkcijų išplėtimo, dažnai galima funkciją iki jų redukuoti. Tada turime:

ir pagal Abelio teoremą, kai tik serija (6) suartėja, jos suma gaunama kaip riba

Paprastai ši riba yra tiesiog lygi, kuri leidžia mums apskaičiuoti funkciją galutine forma

Pavyzdžiui, serialas

Ankstesnėje pastraipoje įrodyti teiginiai leidžia daryti išvadą, kad abi šios eilutės sutampa (pirmoji, išskyrus taškus 0 ir

tarnauja kaip Furjė eilutės funkcijoms, kurias jos apibrėžia. Bet kas yra šios funkcijos? Norėdami atsakyti į šį klausimą, sukuriame seriją

Pagal panašumą su logaritmine eilute jos suma lengvai nustatoma:

Vadinasi,

Dabar paprastas skaičiavimas suteikia:

taigi šios išraiškos modulis yra , o argumentas yra .

taigi galiausiai

Šie rezultatai mums yra žinomi ir netgi kadaise buvo gauti „sudėtingais“ svarstymais; bet pirmuoju atveju pradėjome nuo funkcijų ir , o antruoju - nuo analitinės funkcijos.Čia pirmą kartą atspirties tašku pasitarnavo pačios serijos. Skaitytojas daugiau tokių pavyzdžių ras kitame skyriuje.

Dar kartą pabrėžiame, kad reikia įsitikinti iš anksto dėl konvergencijos ir eilučių (C) ir norint turėti teisę nustatyti jų sumas naudojant ribinę lygybę (7). Vien tik ribos egzistavimas dešinėje šios lygybės pusėje dar neleidžia daryti išvados, kad minėtos eilutės konverguoja. Norėdami tai parodyti pavyzdžiu, apsvarstykite seriją

Standartiniai metodai, bet su kitu pavyzdžiu pateko į aklavietę.

Koks yra sunkumas ir kur gali būti kliūtis? Atidėkime į šalį muiluotą virvę, ramiai paanalizuokime priežastis ir susipažinkime su praktiniais sprendimo būdais.

Pirmas ir svarbiausias: daugeliu atvejų, norint ištirti serijos konvergenciją, reikia taikyti kokį nors žinomą metodą, tačiau bendras serijos terminas užpildytas tokiu kebliu įdaru, kad visiškai neaišku, ką su juo daryti . Ir eini ratu: pirmas ženklas neveikia, antras neveikia, trečias, ketvirtas, penktas metodas neveikia, tada skersvėjis metamas į šalį ir viskas prasideda iš naujo. Dažniausiai taip yra dėl patirties stokos arba kitų skaičiavimo dalių spragų. Ypač jei bėgate sekos ribos ir paviršutiniškai išardytas funkcijų ribos, tada bus sunku.

Kitaip tariant, žmogus tiesiog nemato reikiamo sprendimo dėl žinių ar patirties stokos.

Kartais kaltas ir „užtemimas“, kai, pavyzdžiui, būtinas eilės suartėjimo kriterijus tiesiog neįvykdomas, tačiau dėl nežinojimo, neatidumo ar aplaidumo tai iškrenta iš akių. Ir pasirodo kaip tame dviratyje, kur matematikos profesorius išsprendė vaikų uždavinį, pasitelkdamas laukines pasikartojančias sekas ir skaičių eilutes =)

Pagal geriausias tradicijas iš karto gyvi pavyzdžiai: eilės ir jų artimieji skiriasi, nes teoriškai tai įrodyta sekos ribos. Greičiausiai pirmą semestrą būsi išmuštas iš sielos už 1-2-3 puslapių įrodymą, bet kol kas to visiškai užtenka parodyti, kad nėra tenkinama būtina serijos konvergencijos sąlyga. į žinomus faktus. Įžymūs? Jei studentas nežino, kad n-ojo laipsnio šaknis yra nepaprastai galingas dalykas, tai, tarkime, serija įkiškite jį į vėžes. Nors sprendimas yra kaip du ir du: , t.y. dėl akivaizdžių priežasčių abi serijos skiriasi. Užskaitai visiškai užtenka kuklaus komentaro „šios ribos teoriškai įrodytos“ (ar net jos visai nebuvimo), juk skaičiavimai gana sunkūs ir tikrai nepriklauso skaitinių eilučių skyriui.

Išstudijavę kitus pavyzdžius, nustebsite daugelio sprendimų glaustumu ir skaidrumu:

1 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: pirmiausia patikrinkite vykdymą būtinas konvergencijos kriterijus. Tai ne formalumas, o puiki galimybė susidoroti su „mažo kraujo praliejimo“ pavyzdžiu.

„Scenos apžiūra“ siūlo skirtingą seriją (apibendrintos harmoninės serijos atvejis), tačiau vėl kyla klausimas, kaip atsižvelgti į logaritmą skaitiklyje?

Apytiksliai užduočių pavyzdžiai pamokos pabaigoje.

Tai nėra neįprasta, kai turite atlikti dvipusį (ar net tripusį) samprotavimą:

6 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: pirma, atsargiai susitvarkykite su skaitiklio beprasmybe. Seka ribota: . Tada:

Palyginkime savo serijas su serialais . Dėl ką tik gautos dvigubos nelygybės visiems „en“ bus tiesa:

Dabar palyginkime serijas su skirtingomis harmonikų serijomis.

Trupmenos vardiklis mažiau trupmenos vardiklis, taigi pati trupmena – daugiau trupmenomis (jei neaiškiai, užsirašykite keletą pirmųjų terminų). Taigi bet kokiam „en“:

Taigi, palyginimui, serialas skiriasi kartu su harmonikų serija.

Jei šiek tiek pakeisime vardiklį: , tada pirmoji samprotavimo dalis bus panaši: . Tačiau norint įrodyti serijų skirtumą, jau taikomas tik ribinis palyginimo testas, nes nelygybė yra klaidinga.

Situacija su konverguojančiomis eilutėmis yra „veidrodinė“, tai yra, pavyzdžiui, serijai gali būti naudojami abu palyginimo kriterijai (nelygybė teisinga), o eilėms – tik ribinis kriterijus (nelygybė klaidinga).

Tęsiame safarį per laukinę gamtą, kur horizonte šmėkštelėjo grakščių ir sultingų antilopių banda:

7 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: būtinas konvergencijos kriterijus tenkinamas, ir vėl užduodame klasikinį klausimą: ką daryti? Prieš mus yra kažkas panašaus į konvergentinę seriją, tačiau čia nėra aiškios taisyklės - tokios asociacijos dažnai yra apgaulingos.

Dažnai, bet ne šį kartą. Naudojant Ribos palyginimo kriterijus Palyginkime savo eilutes su konvergentinėmis eilėmis . Skaičiuodami limitą naudojame nuostabi riba , kur as be galo mažas stovi:

susilieja kartu su šalia .

Užuot naudojus standartinę dirbtinę daugybos ir dalybos iš „trijų“ techniką, iš pradžių buvo galima palyginti su konvergentine eilute.
Tačiau čia pageidautina perspėti, kad bendrojo termino pastovus daugiklis neturi įtakos eilučių konvergencijai. Ir kaip tik šiuo stiliumi sukurtas šio pavyzdžio sprendimas:

8 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Pavyzdys pamokos pabaigoje.

9 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: ankstesniuose pavyzdžiuose naudojome sinuso ribą, tačiau dabar ši savybė nebenaudojama. Didesniojo trupmenos vardiklis augimo tvarka nei skaitiklis, taigi, kai sinuso argumentas ir visas bendras terminas be galo mažas. Būtina konvergencijos sąlyga, kaip jūs suprantate, yra įvykdyta, o tai neleidžia mums išsisukti nuo darbo.

Atliksime žvalgybą: pagal nepaprastas lygiavertiškumas , mintyse atmeskite sinusą ir gaukite seriją. Na, kažkas tokio….

Priimant sprendimą:

Palyginkime tiriamas eilutes su skirtingomis serijomis. Mes naudojame limito palyginimo kriterijų:

Pakeiskime begalinį mažumą lygiaverčiu: for .

Gaunamas baigtinis skaičius, kuris nėra nulis, o tai reiškia, kad tiriama serija skiriasi kartu su harmonikų serija.

10 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys.

Planuojant tolesnius veiksmus tokiuose pavyzdžiuose labai padeda mintinis sinuso, arcsinuso, tangento, arctangento atmetimas. Tačiau atminkite, kad ši galimybė egzistuoja tik tada, kai be galo mažas argumentas, ne taip seniai aptikau provokuojančią seriją:

11 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją
.

Sprendimas: čia nenaudinga naudoti lanko liestinės ribotumą, o lygiavertiškumas taip pat neveikia. Išvestis stebėtinai paprasta:


Studijų serija skiriasi, nes netenkinamas būtinas eilučių konvergencijos kriterijus.

Antroji priežastis„Gag on the work“ susideda iš padoraus bendro nario rafinuotumo, dėl kurio kyla techninio pobūdžio sunkumų. Grubiai tariant, jei aukščiau aptartos serijos priklauso kategorijai „skaičiai, kuriuos atspėjate“, tai šios priklauso kategorijai „tu sprendžiate“. Tiesą sakant, tai vadinama sudėtingumu „įprasta“ prasme. Ne visi teisingai išspręs keletą faktorių, laipsnių, šaknų ir kitų savanos gyventojų. Žinoma, faktorialai sukelia daugiausia problemų:

12 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Kaip faktorialą pakelti į galią? Lengvai. Pagal operacijų su laipsniais taisyklę, kiekvieną gaminio veiksnį reikia pakelti į laipsnį:

Ir, žinoma, dėmesys ir dar kartą dėmesys, pats d'Alembert ženklas veikia tradiciškai:

Taigi, tiriama serija susilieja.

Primenu racionalią netikrumo pašalinimo techniką: kai aišku augimo tvarka skaitiklis ir vardiklis - visai nebūtina kentėti ir skliausteliuose atverti.

13 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Žvėris yra labai retas, bet randamas, ir būtų nesąžininga jį apeiti fotoaparato objektyvu.

Kas yra dvigubo šauktuko faktorialas? Faktorius „suka“ teigiamų lyginių skaičių sandaugą:

Panašiai faktorialas „sudaro“ teigiamų nelyginių skaičių sandaugą:

Išanalizuokite, kuo skiriasi

14 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Ir šioje užduotyje stenkitės nesusipainioti su laipsniais, nuostabių atitikmenų ir nuostabios ribos.

Pamokos pabaigoje sprendimų ir atsakymų pavyzdžiai.

Tačiau mokinys gali pamaitinti ne tik tigrus – gudrūs leopardai taip pat suseka savo grobį:

15 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: būtinas konvergencijos kriterijus, ribinis kriterijus, d'Alembert ir Cauchy kriterijai išnyksta beveik akimirksniu. Bet blogiausia, kad bruožas su nelygybe, kuris ne kartą mus gelbėjo, yra bejėgis. Iš tiesų, palyginti su skirtingomis serijomis neįmanoma, nes nelygybė neteisingas - daugiklio logaritmas tik padidina vardiklį, sumažindamas pačią trupmeną trupmenos atžvilgiu. Ir dar vienas pasaulinis klausimas: kodėl iš pradžių esame tikri, kad mūsų serija turi skirtis ir turi būti lyginamas su kai kuriomis skirtingomis serijomis? Ar jis apskritai tinka?

Neatsiejama savybė? Netinkamas integralas kelia gedulingą nuotaiką. Dabar, jei turėtume ginčą … tada taip. Sustabdyti! Taip gimsta idėjos. Sprendimą priimame dviem etapais:

1) Pirmiausia tiriame eilučių konvergenciją . Mes naudojame neatskiriama savybė:

Integrand tęstinis ant

Taigi, skaičius skiriasi kartu su atitinkamu netinkamu integralu.

2) Palyginkite mūsų serijas su skirtingomis serijomis . Mes naudojame limito palyginimo kriterijų:

Gaunamas baigtinis skaičius, kuris nėra nulis, o tai reiškia, kad tiriama serija skiriasi kartu su greta .

Ir tokiame sprendime nėra nieko neįprasto ar kūrybiško – taip ir reikia nuspręsti!

Siūlau savarankiškai parengti šiuos du žingsnius:

16 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Studentas, turintis tam tikrą patirtį, daugeliu atvejų iš karto mato, ar serija susilieja, ar skiriasi, tačiau pasitaiko, kad plėšrūnas sumaniai užmaskuoja krūmuose:

17 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: iš pirmo žvilgsnio visiškai neaišku, kaip šis serialas elgiasi. Ir jei prieš mus yra rūkas, logiška pradėti nuo grubaus reikalingos serijos konvergencijos sąlygos patikrinimo. Siekdami pašalinti netikrumą, naudojame neskęstantį daugybos ir dalybos metodas adjungine išraiška:

Būtinas konvergencijos ženklas neveikė, bet iškėlė mūsų Tambovo draugą į dienos šviesą. Atliktų transformacijų rezultate gauta lygiavertė eilutė , kuri savo ruožtu labai primena konvergentinę eilutę .

Rašome švarų sprendimą:

Palyginkite šią eilutę su konvergentine eilute. Mes naudojame limito palyginimo kriterijų:

Padauginkite ir padalykite iš adjungtinės išraiškos:

Gaunamas baigtinis skaičius, kuris nėra nulis, o tai reiškia, kad tiriama serija susilieja kartu su šalia .

Galbūt kai kuriems kyla klausimas, iš kur mūsų Afrikos safaryje atsirado vilkai? Nežinau. Tikriausiai jie atnešė. Jūs gausite tokią trofėjų odą:

18 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimo pavyzdys pamokos pabaigoje

Ir galiausiai dar viena mintis, kuri aplanko daugelį nevilties apimtų studentų: vietoj to, ar naudoti retesnį eilučių konvergencijos kriterijų? Raabės ženklas, Abelio ženklas, Gauso ženklas, Dirichleto ženklas ir kiti nežinomi gyvūnai. Idėja veikia, tačiau realiuose pavyzdžiuose ji įgyvendinama labai retai. Asmeniškai per visus praktikos metus griebiausi tik 2-3 kartus Raabės ženklas kai niekas tikrai nepadėjo iš standartinio arsenalo. Visiškai atkartosiu savo ekstremalaus ieškojimo eigą:

19 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: Be jokios abejonės, d'Alemberto ženklas. Skaičiavimų eigoje aktyviai naudoju laipsnių savybes, taip pat antra nuostabi riba:

Štai vienas jums. D'Alemberto ženklas nedavė atsakymo, nors niekas nenumatė tokios baigties.

Peržiūrėjęs vadovą radau mažai žinomą teoriškai įrodytą ribą ir pritaikiau stipresnį radikalų Koši kriterijų:

Štai tau du. Ir, svarbiausia, visai neaišku, ar serialas susilieja, ar išsiskiria (man itin reta situacija). Būtinas palyginimo ženklas? Be daug vilčių - net jei neįsivaizduojamu būdu išsiaiškinu skaitiklio ir vardiklio augimo tvarką, tai vis tiek negarantuoja atlygio.

Visiškas d'Alembertas, bet baisiausia, kad serialą reikia išspręsti. Reikia. Juk tai bus pirmas kartas, kai pasiduodu. Ir tada aš prisiminiau, kad atrodo, kad yra keletas galingesnių ženklų. Prieš mane nebebuvo nei vilkas, nei leopardas, nei tigras. Tai buvo didžiulis dramblys, mojuojantis dideliu kamienu. Turėjau pasiimti granatsvaidį:

Raabės ženklas

Apsvarstykite teigiamų skaičių seriją.
Jei yra riba , tada:
a) Iš eilės skiriasi. Be to, gauta vertė gali būti nulis arba neigiama.
b) Iš eilės susilieja. Visų pirma, serija sutampa su .
c) Kada Raabės ženklas atsakymo neduoda.

Mes sudarome ribą ir kruopščiai supaprastiname trupmeną:


Taip, vaizdas, švelniai tariant, nemalonus, bet manęs jau nenustebino. lopitalios taisyklės, o pirma mintis, kaip vėliau paaiškėjo, pasirodė teisinga. Bet pirmiausia apie valandą „įprastais“ metodais sukau ir sukau ribą, tačiau netikrumo nenorėjo panaikinti. O vaikščiojimas ratu, kaip rodo patirtis, yra tipiškas ženklas, kad pasirinktas netinkamas sprendimo būdas.

Teko kreiptis į rusų liaudies išmintį: „Jei niekas nepadeda, skaityk instrukcijas“. Ir kai atsiverčiau 2-ąjį Fichtenholtzo tomą, savo didžiuliam džiaugsmui radau identiškos serijos studiją. Ir tada sprendimas vyko pagal modelį.

„Navier“ sprendimas tinkamas tik skaičiuojant plokštes, pritvirtintas išilgai kontūro. Bendresnis yra Levy sprendimas. Tai leidžia apskaičiuoti plokštę, pritvirtintą iš dviejų lygiagrečių pusių, su savavališkomis ribinėmis sąlygomis kiekvienoje iš kitų dviejų pusių.

Stačiakampėje plokštėje, parodytoje fig. 5.11, (a), šarnyriniai kraštai yra lygiagrečiai ašiai y. Kraštinės sąlygos šiuose kraštuose turi formą

Ryžiai. 5.11

Akivaizdu, kad kiekvienas begalinės trigonometrinės eilutės narys

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; antrosios dalinės nukreipimo funkcijos išvestinės

(5.45)

adresu x = 0 ir x = a taip pat yra nulis, nes juose yra https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)

Pakeitus (5.46) į (5.18), gaunama

Padauginus abi gautos lygties puses iš , integruojant nuo 0 iki a ir tai prisiminęs

,

turime apibrėžti funkciją Ym tokia tiesinė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais

. (5.48)

Jei, norėdami sutrumpinti žymėjimą, pažymėkite

lygtis (5.48) įgauna formą

. (5.50)

Bendrasis nehomogeninės lygties (5.50) sprendimas, kaip žinoma iš diferencialinių lygčių eigos, turi formą

Ym(y) = jm (y)+ fm(y), (5.51)

kur jm (y) yra tam tikras nehomogeninės lygties (5.50) sprendinys; jo forma priklauso nuo (5.50) lygties dešinės pusės, t.y. iš tikrųjų nuo apkrovos tipo q (x, y);

fm(y)= Am shamy + Bmchamy+y(cm šamy + Dmchamy), (5.52)

bendras homogeninės lygties sprendimas

Keturios savavališkos konstantos Esu,ATm ,Cm ir Dm turi būti nustatoma pagal keturias plokštės kraštų tvirtinimo lygiagrečiai ašiai sąlygų, taikomų plokštei pastovus q (x, y) = q dešinioji lygties (5.50) pusė įgauna formą

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)

Kadangi dešinioji lygties (5.55) pusė yra pastovi, tai ir kairioji jos pusė yra pastovi; taigi visi išvestiniai jm (y) yra nulis, ir

, (5.56)

, (5.57)

kur nurodyta: .

Apsvarstykite lėkštę sugnybęs išilgai kraštų, lygiagrečių ašiai X(5.11 pav., (c)).

Kraštinės sąlygos kraštuose y = ± b/2

. (5.59)

Dėl plokštės įlinkio apie ašį simetrijos Ox, bendrame sprendime (5.52) turi būti palikti tik lyginės funkcijos turintys terminai. Kadangi sh amy yra nelyginė funkcija, o сh am y- lygi ir su priimta ašies padėtimi Oi, y sh amy- netgi adresu sk am y yra nelyginis, tai bendrasis integralas (5.51) nagrinėjamu atveju gali būti pavaizduotas kaip

. (5.60)

Kadangi į (5.44) nepriklauso nuo argumento reikšmės y, antroji ribinių sąlygų pora (5.58), (5.59) gali būti parašyta taip:

Ym = 0, (5.61)

Y¢ m = = 0. (5.62)

Y¢ m = ambm sh amy + cm sh amy + y cmam sk amy=

ambm sh amy + cm(sh amy+yam sk amy)

Iš (5.60) – (5.63) seka

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)

Lygties (5.64) padauginimas iš , ir lygties (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)

Pakeitę (5.66) į lygtį (5.64), galime gauti bm

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)

Su šia funkcijos išraiška Ym. , formulė (5.44) įlinkio funkcijai nustatyti įgauna formą

(5.69)

Serija (5.69) greitai susilieja. Pavyzdžiui, kvadratinei plokštei jos centre, t.y x=a/2, y = 0

(5.70)

Išlaikant (5.70) tik vieną eilutės terminą, t.y., imant , gauname mažiau nei 2,47% pervertintą įlinkio vertę. Turint omenyje tai p 5 = 306.02, suraskite Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> V..Ritzo variacijos metodas yra pagrįstas Lagrange'o variacijos principu, suformuluotu 2 skyriuje.

Apsvarstykime šį metodą kaip taikomą plokščių lenkimo problemai. Įsivaizduokite išlenktą plokštės paviršių kaip eilutę

, (5.71)

kur fi(x, y) ištisinės koordinačių funkcijos, kurių kiekviena turi atitikti kinematinės ribinės sąlygos; Ci yra nežinomi parametrai, nustatyti pagal Lagranžo lygtį. Ši lygtis

(5.72)

veda į sistemą n algebrinės lygtys parametrų atžvilgiu Ci.

Bendruoju atveju plokštės deformacijos energiją sudaro lenkimas U ir membrana U m dalys

, (5.73)

, (5.74)

kur Mh.,My. ,Mxy– lenkimo jėgos; NX., Ny. , Nxy– membranos jėgos. Skersines jėgas atitinkanti energijos dalis yra maža ir gali būti nepaisoma.

Jeigu u, v ir w yra tikrojo poslinkio komponentai, px. , py ir pz yra paviršiaus apkrovos intensyvumo komponentai, Ri- sutelkta jėga, D i atitinkamas tiesinis poslinkis, Mj- sutelktas momentas qj- jį atitinkantį sukimosi kampą (5.12 pav.), tada išorinių jėgų potencialią energiją galima pavaizduoti taip:

Jei plokštės kraštai leidžia judėti, tada kraštas verčia vn. , mn. , mnt(5.12 pav., (a)) padidinti išorinių jėgų potencialą

Ryžiai. 5.12

Čia n ir t– normalus ir liestinės krašto elementas ds.

Dekarto koordinatėmis, atsižvelgiant į žinomas jėgų ir kreivių išraiškas

, (5.78)

dydžio stačiakampės plokštės suminė potencinė energija E a ´ b, veikiant tik vertikaliai apkrovai pz

(5.79)

Kaip pavyzdį apsvarstykite stačiakampę plokštę, kurios kraštinių santykis yra 2 a´2 b(5.13 pav.).

Plokštė prispaudžiama išilgai kontūro ir apkraunama vienoda apkrova

pz = q = pastovus. Šiuo atveju energijos E išraiška (5.79) supaprastinama

. (5.80)

Priimti už w(x, y) eilutę

kuri tenkina kontūro sąlygas

Ryžiai. 5.13

Išsaugokite tik pirmąjį serijos narį

.

Tada pagal (5.80)

.

Energijos E sumažinimas pagal (5..gif" width="273 height=57" height="57">.

.

2 dydžio kvadratinės plokštės centro įlinkis a´2 a

,

tai 2,5% daugiau nei tikslus tirpalas 0,0202 qa 4/D. Atkreipkite dėmesį, kad plokštės, paremtos iš keturių pusių, centro įlinkis yra 3,22 karto didesnis.

Šis pavyzdys iliustruoja metodo privalumus: paprastumą ir galimybę gauti gerą rezultatą. Plokštė gali turėti skirtingus kontūrus, įvairaus storio. Šio metodo, kaip ir kitų energijos metodų, sunkumų kyla renkantis tinkamas koordinačių funkcijas.

5.8. Ortogonalizacijos metodas

Ortogonalizacijos metodas, kurį pasiūlė ir yra pagrįstas tokia stačiakampių funkcijų savybe ji. , jj

. (5.82)

Stačiakampių funkcijų intervale ( – p, p) gali būti trigonometrinės funkcijos cos nx ir nuodėmė nx kuriam

Jei viena iš funkcijų, pavyzdžiui, funkcija ji (x) yra identiškai lygus nuliui, tada sąlyga (5.82) tenkinama savavališkai funkcijai jj (x).

Norėdami išspręsti plokščių lenkimo problemą, lygtis yra tokia

galima įsivaizduoti taip

, (5.83)

kur F yra plotas, kurį riboja plokštės kontūras; jij yra funkcijos, nurodytos taip, kad atitiktų problemos kinematinę ir jėgos ribines sąlygas.

Apytikslį plokštės lenkimo lygties (5.18) sprendimą pavaizduokime serijos pavidalu

. (5.84)

Jei sprendimas (5.84) būtų tikslus, tai lygtis (5.83) galiotų identiškai bet kuriai koordinačių funkcijų sistemai jij. , nes šiuo atveju D c2c2 wn – q = 0. Reikalaujame, kad lygtis D c2c2 wn – q buvo statmena funkcijų šeimai jij, ir mes naudojame šį reikalavimą koeficientams nustatyti Cij. . Pakeitę (5.84) į (5.83) gauname

. (5.85)

Atlikę kai kurias transformacijas, gauname tokią algebrinių lygčių sistemą nustatymui Cij

, (5.86)

ir hij = hji.

Bubnovo-Galerkino metodą galima interpretuoti taip. Funkcija D c2c2 wn – q = 0 iš esmės yra pusiausvyros lygtis ir yra išorinių ir vidinių jėgų, veikiančių nedidelį plokštės elementą vertikalios ašies kryptimi, projekcija. z. Nukrypimo funkcija wn yra judėjimas tos pačios ašies kryptimi ir funkcijos jij galima laikyti galimais judesiais. Todėl lygtis (5.83) apytiksliai išreiškia visų išorinių ir vidinių jėgų galimų poslinkių lygybę nuliui. jij. . Taigi Bubnov-Galerkin metodas iš esmės yra variacinis.

Kaip pavyzdį apsvarstykite stačiakampę plokštę, pritvirtintą išilgai kontūro ir apkrautą tolygiai paskirstyta apkrova. Plokštelės matmenys ir koordinačių ašių vieta yra tokia pati kaip pav. 5.6.

Pasienio sąlygos

adresu x = 0, x= a: w = 0, ,

adresu y = 0, y = b: w = 0, .

Mes pasirenkame apytikslę įlinkio funkcijos išraišką serijos (5.84) forma, kur funkcija jij

tenkina ribines sąlygas; Cij yra norimi koeficientai. Apsiribojama vienu serijos nariu

gauname tokią lygtį

Po integracijos

Kur galime apskaičiuoti koeficientą NUO 11

,

kuris visiškai atitinka koeficientą NUO 11. gautas metodu

V. Ritzas -.

Kaip pirmasis apytikslis skaičiavimas, nukreipimo funkcija yra tokia

.

Didžiausias įlinkis kvadratinės plokštės centre a ´ a

.

5.9. Baigtinių skirtumų metodo taikymas

Panagrinėkime baigtinio skirtumo metodo taikymą stačiakampėms plokštėms su sudėtingomis kontūro sąlygomis. Skirtumo operatorius yra plokštės išlenkto paviršiaus diferencialinės lygties (5.18) analogas kvadratiniam tinkleliui D. x = D y = D įgauna formą (3.54)

20 wi, j + 8 (wi, j+ 1 + wi, j– 1 + wi– 1, j + wi+ 1, j) + 2 (wi– 1, j– 1 + wi– 1, j+ 1 +

Ryžiai. 5.14

Atsižvelgdami į tai, kad yra trys plokštės apkrovos ir deformacijų simetrijos ašys, galime apsiriboti tik aštuntąja ir nustatyti įlinkių reikšmes tik 1 ... 10 mazguose (5.14 pav., (b). ). Ant pav. 5.14, (b) rodo tinklelį ir mazgų numeraciją (D = a/4).

Kadangi plokštės kraštai suspausti, tai parašant kontūro sąlygas (5.25), (5.26) baigtiniais skirtumais

Kelių lankų kosinusais ir sinusais, t.y. formos serija

arba sudėtinga forma

kur a k,b k arba, atitinkamai, c k paskambino koeficientai T. r.
Pirmą kartą T. r. susitikti pas L. Eulerį (L. Euler, 1744). Jis gavo plėtrą

Visi R. 18-ojo amžiaus Tyrinėjant stygos laisvosios vibracijos problemą, iškilo klausimas dėl galimybės funkciją, apibūdinančią pradinę stygos padėtį, pavaizduoti kaip T. r sumą. Šis klausimas sukėlė karštas diskusijas, trukusias kelis dešimtmečius, geriausi to meto analitikai – D. Bernulli, J. D. Alembertas, J. Lagranžas, L. Eileris ( L. Euleris). Ginčai, susiję su funkcijos sąvokos turiniu. Tuo metu funkcijos dažniausiai buvo siejamos su jų analitika. priskyrimas, dėl kurio buvo svarstomos tik analitinės arba dalimis analitinės funkcijos. Ir čia prireikė funkcijai, kurios grafikas yra pakankamai savavališkas, kad būtų sukurta šią funkciją reprezentuojanti T. r. Tačiau šių ginčų reikšmė didesnė. Tiesą sakant, jie diskutavo arba kilo dėl klausimų, susijusių su daugeliu iš esmės svarbių matematikos sąvokų ir idėjų. analizė apskritai – funkcijų atvaizdavimas Taylor serijomis ir analitinis. funkcijų tęsinys, divergentinių eilučių naudojimas, ribos, begalinės lygčių sistemos, funkcijos daugianariais ir kt.
Ir ateityje, kaip ir šioje pradinėje, teorija apie T. r. pasitarnavo kaip naujų matematikos idėjų šaltinis. Furjė integralas, beveik periodinės funkcijos, bendroji stačiakampė eilutė, abstrakčiai . T. upės tyrimai. tarnavo kaip atspirties taškas aibių teorijai kurti. T. r. yra galingas įrankis vaizduoti ir tyrinėti funkcijas.
Klausimą, dėl kurio kilo ginčai tarp XVIII amžiaus matematikų, 1807 m. išsprendė J. Furjė, pateikęs formules T. R. koeficientams apskaičiuoti. (1), kuri privalo. pavaizduokite funkciją f(x):

ir pritaikė juos sprendžiant šilumos laidumo problemas. Formulės (2) vadinamos Furjė formulėmis, nors su jomis anksčiau susidūrė A. Clairaut (1754), o L. Euleris (1777) jas atėjo naudodamas terminų integraciją. T. r. (1), kurių koeficientai nustatomi formulėmis (2), vadinama. šalia Furjė funkcijos f, ir skaičiai a k, b k- Furjė koeficientai.
Gautų rezultatų pobūdis priklauso nuo to, kaip funkcijos vaizdavimas suprantamas kaip serija, kaip suprantamas integralas formulėse (2). Šiuolaikinė T. upės teorija. įgytas pasirodžius Lebesgue integralui.
Teorija apie T. r. sąlyginai galima suskirstyti į dvi dideles dalis – teoriją Furjė serija, kurioje daroma prielaida, kad serija (1) yra tam tikros funkcijos Furjė eilutė, ir bendrosios T. R. teorija, kur tokia prielaida nedaroma. Žemiau pateikiami pagrindiniai bendrosios T. r teorijos rezultatai. (šiuo atveju aibės ir funkcijų išmatuojamumas suprantami pagal Lebesgue).
Pirmasis sisteminis tyrimas T. r., kuriame nebuvo daroma prielaida, kad šios serijos yra Furjė eilutės, buvo V. Riemanno disertacija (V. Riemann, 1853). Todėl teorija apie bendrąjį T. r. paskambino kartais Riemanno termodinamikos teorija.
Ištirti savavališko T. r. (1) kurių koeficientai linkę į nulį B. Riemanas laikė tolydinę funkciją F(x) , kuri yra tolygiai susiliejančių eilučių suma

gautas du kartus integravus serijas po termino (1). Jei eilutė (1) tam tikru tašku x susilieja su skaičiumi s, tai šiame taške egzistuoja antroji simetrija ir yra lygi s. F funkcijos:

tada tai veda į faktorių generuojamų eilučių (1) sumavimą paskambino Riemann sumavimo metodu. Naudojant funkciją F, suformuluotas Riemano lokalizacijos principas, pagal kurį serijos (1) elgsena taške x priklauso tik nuo funkcijos F elgsenos savavališkai mažoje šio taško kaimynystėje.
Jeigu T. r. susilieja su teigiamų matų rinkiniu, tada jo koeficientai linkę į nulį (Cantor-Lebesgue). Polinkis į nulinius koeficientus T. r. taip pat išplaukia iš jos konvergencijos antrosios kategorijos rinkinyje (W. Young, W. Young, 1909).
Viena iš pagrindinių bendrosios termodinamikos teorijos problemų yra savavališkos funkcijos atvaizdavimo problema T. r. Stiprindamas N. N. Luzin (1915) rezultatus apie T. R. funkcijų vaizdavimą Abel-Poisson ir Riemann sumavimo metodais, D. E. Men'shovas įrodė (1940) tokią teoremą, kuri nurodo svarbiausią atvejį, kai atvaizduojama funkcija f. yra suprantamas kaip T. r. į f(x) beveik visur. Kiekvienai beveik visur išmatuojamai ir baigtinei funkcijai f egzistuoja T. R., kuri beveik visur susilieja su ja (Menšovo teorema). Reikėtų pažymėti, kad net jei f yra integruojamas, tada, paprastai kalbant, negalima laikyti Furjė funkcijos f serija, nes yra Furjė eilučių, kurios visur skiriasi.
Aukščiau pateikta Menšovo teorema leidžia patobulinti: jei funkcija f yra išmatuojama ir baigtinė beveik visur, tada egzistuoja tokia, beveik visur, o funkcijos j terminas diferencijuota Furjė eilutė beveik visur konverguoja į f(x) (N. K. Bari, 1952).
Nežinoma (1984), ar Menšovo teoremoje beveik visur galima praleisti funkcijos f baigtinumo sąlygą. Visų pirma, nėra žinoma (1984 m.), ar T. r. susilieja beveik visur
Todėl buvo svarstoma funkcijų, galinčių įgyti begalines vertes teigiamų matų rinkinyje, vaizdavimo problema, kai ji pakeičiama silpnesniu reikalavimu - . Matų konvergencija prie funkcijų, kurios gali įgyti begalines reikšmes, apibrėžiamas taip: dalinės T. p. sumos. s n(x) konverguoja į funkciją f(x) . jei kur f n(x) beveik visur susilieja su / (x), o seka konverguoja iki nulio. Šioje nustatyme funkcijų vaizdavimo problema buvo išspręsta iki galo: kiekvienai išmatuojamai funkcijai egzistuoja T. R., kuris suartėja į ją pagal matą (D. E. Men'shov, 1948).
T. r. unikalumo problemai buvo skirta daug tyrimų: Ar gali du skirtingi T. skirtis tai pačiai funkcijai? kitokia formuluote: jeigu T. r. konverguoja į nulį, ar iš to išplaukia, kad visi eilutės koeficientai yra lygūs nuliui. Čia galima reikšti konvergenciją visuose taškuose arba visuose taškuose, esančiuose už tam tikros aibės ribų. Atsakymas į šiuos klausimus iš esmės priklauso nuo aibės savybių, už kurios ribų konvergencija nenumanoma.
Sukurta tokia terminija. Daug vardų. unikalumo rinkinys arba U- nustatyti, jei iš T. r. konvergencijos. visur iki nulio, išskyrus, galbūt, aibės taškus E, iš to seka, kad visi šios serijos koeficientai lygūs nuliui. Priešingu atveju Enaz. M rinkinys.
Kaip parodė G. Cantor (1872), taip pat bet kurios baigtinės yra U aibės. Savavališkas taip pat yra U aibė (W. Jung, 1909). Kita vertus, kiekvienas teigiamų matų rinkinys yra M aibė.
M matų aibių egzistavimą nustatė D. E. Menšovas (1916), sukūręs pirmąjį tobulos aibės, turinčios šias savybes, pavyzdį. Šis rezultatas turi esminę reikšmę sprendžiant unikalumo problemą. Iš to, kad yra nulinių matų M aibės, išplaukia, kad kai vaizduojamos TR funkcijos, kurios susilieja beveik visur, šios eilutės apibrėžiamos visada dviprasmiškai.
Tobuli rinkiniai gali būti ir U formos rinkiniai (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Labai subtilios nulinių matų rinkinių charakteristikos atlieka esminį vaidmenį unikalumo problemoje. Bendras klausimas apie nulinių matų rinkinių klasifikaciją M- ir U-sets lieka atviri (1984). Tai neišsprendžiama net tobuliems rinkiniams.
Ši problema yra susijusi su unikalumo problema. Jeigu T. r. susilieja su funkcija tada ar ši serija turi būti funkcijos / Furjė eilutė. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) davė teigiamą atsakymą į šį klausimą, jei f yra integruojama Riemann prasme ir serija visuose taškuose konverguoja į f(x). Iš rezultatų III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) reiškia, kad atsakymas yra teigiamas, net jei serija susilieja visur, išskyrus skaičiuojamą taškų rinkinį, o jos suma yra baigtinė.
Jei T. p absoliučiai konverguoja tam tikrame taške x 0, tai šios eilutės konvergencijos taškai, taip pat jos absoliučios konvergencijos taškai yra simetriškai taško x 0 atžvilgiu. (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Pagal Denjoy – Luzino teorema nuo absoliučios konvergencijos T. r. (1) teigiamų matų rinkinyje eilutė suartėja ir, atitinkamai, absoliuti (1) eilučių konvergencija visiems X.Šią savybę taip pat turi antrosios kategorijos rinkiniai, taip pat tam tikri nulio matų rinkiniai.
Ši apklausa apima tik vienmatį T. r. (vienas). Yra atskiri rezultatai, susiję su bendru T. p. iš kelių kintamųjų. Čia daugeliu atvejų vis tiek reikia rasti natūralių problemų teiginių.

Lit.: Bari N. K., Trigonometrinė serija, M., 1961; Sigmund A., Trigonometrinė serija, vert. iš anglų k., 1-2 t., M., 1965; Luzin N. N., Integral and trigonometric series, M.-L., 1951; Riemann B., Darbai, vert. iš vokiečių kalbos, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Telakovskis.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. I. M. Vinogradovas. 1977–1985 m.

Moksle ir technikoje dažnai tenka susidurti su periodiškais reiškiniais, t.y. tie, kurie atkuriami po tam tikro laiko T vadinamas periodu. Paprasčiausia iš periodinių funkcijų (išskyrus konstantą) yra sinusinė reikšmė: asin(x+ ), harmoninis svyravimas, kur yra „dažnis“, susijęs su periodu santykiu: . Iš tokių paprastų periodinių funkcijų galima sudaryti sudėtingesnes. Akivaizdu, kad sudedamieji sinusoidiniai dydžiai turi būti skirtingų dažnių, nes pridėjus to paties dažnio sinusoidinius dydžius, gaunamas to paties dažnio sinusoidinis kiekis. Jei pridėsime kelias formos reikšmes

Pavyzdžiui, čia atkuriame trijų sinusinių dydžių pridėjimą: . Apsvarstykite šios funkcijos grafiką

Šis grafikas labai skiriasi nuo sinusinės bangos. Tai dar labiau pasakytina apie begalinės serijos, sudarytos iš šio tipo terminų, sumą. Užduokime klausimą: ar tai įmanoma tam tikrai periodinei periodo funkcijai T pavaizduoti kaip baigtinės ar bent jau begalinės sinusoidinių dydžių aibės sumą? Pasirodo, kad kalbant apie didelę funkcijų klasę, į šį klausimą galima atsakyti teigiamai, tačiau tai tik tuo atveju, jei įtrauksime būtent visą begalinę tokių terminų seką. Geometriškai tai reiškia, kad periodinės funkcijos grafikas gaunamas uždedant sinusoidų eilę. Jei kiekvieną sinusoidinę reikšmę laikysime tam tikru harmoniniu svyruojančiu judesiu, tai galime pasakyti, kad tai sudėtingas svyravimas, kuriam būdinga funkcija arba tiesiog jos harmonika (pirma, antra ir kt.). Periodinės funkcijos skaidymo į harmonikas procesas vadinamas harmoninė analizė.

Svarbu pažymėti, kad tokie išplėtimai dažnai būna naudingi tiriant funkcijas, kurios pateikiamos tik tam tikrame baigtiniame intervale ir nėra generuojamos jokiais svyravimo reiškiniais.

Apibrėžimas. Trigonometrinė serija yra šios formos serija:

Arba (1).

Tikrieji skaičiai vadinami trigonometrinės eilutės koeficientais. Šią seriją taip pat galima parašyti taip:

Jei pirmiau pateikto tipo eilutė suartėja, tada jos suma yra periodinė funkcija su periodu 2p.

Apibrėžimas. Trigonometrinės eilutės Furjė koeficientai vadinami: (2)

(3)

(4)

Apibrėžimas. Netoli Furjė funkcijai f(x) vadinama trigonometrine eilute, kurios koeficientai yra Furjė koeficientai.

Jei funkcijos Furjė serija f(x) suartėja su juo visuose tęstinumo taškuose, tada sakome, kad funkcija f(x) plečiasi Furjė serijoje.

Teorema.(Dirichlet teorema) Jei funkcijos periodas yra 2p ir ji yra ištisinė atkarpoje arba turi baigtinį skaičių pirmos rūšies nenutrūkstamų taškų, atkarpą galima padalyti į baigtinį skaičių atkarpų, kad funkcija kiekvienoje viduje būtų monotoniška. iš jų, tada funkcijos Furjė eilutė suartėja visoms reikšmėms X, o funkcijos tęstinumo taškuose – jos suma S(x) yra lygus , o nenutrūkstamumo taškuose jo suma lygi , t.y. kairėje ir dešinėje esančių ribinių verčių aritmetinis vidurkis.

Šiuo atveju funkcijos Furjė serija f(x) tolygiai konverguoja į bet kurį intervalą, priklausantį funkcijos tęstinumo intervalui.

Funkcija, kuri tenkina šios teoremos sąlygas, vadinama dalimis sklandžia intervale .

Panagrinėkime Furjė serijos funkcijos išplėtimo pavyzdžius.

1 pavyzdys. Išplėskite funkciją Furjė serijoje f(x)=1-x, kuris turi laikotarpį 2p ir pateikta segmente .

Sprendimas. Nubraižykime šią funkciją

Ši funkcija yra ištisinė atkarpoje , tai yra atkarpoje, kurios ilgis yra periodas, todėl ją galima išplėsti į Furjė eilutę, kuri suartėja į ją kiekviename šios atkarpos taške. Naudodami (2) formulę randame šios serijos koeficientą: .

Taikome integravimo pagal dalis formulę ir atitinkamai randame bei naudojame (3) ir (4) formules:

Pakeitę koeficientus į (1) formulę, gauname arba .

Ši lygybė vyksta visuose taškuose, išskyrus taškus ir (grafų klijavimo taškus). Kiekviename iš šių taškų serijos suma yra lygi jos ribinių verčių dešinėje ir kairėje aritmetiniam vidurkiui, ty.

Pateiksime funkcijos išplėtimo algoritmą Furjė serijoje.

Bendra iškeltos problemos sprendimo procedūra yra tokia.