Realiųjų skaičių aibės užbaigtumo savybė. Realiųjų skaičių aksiomos. Tęstinumo aksiomos vaidmuo konstruojant matematinę analizę

§ 7 . Analizės pagrindas, 4

Realiųjų skaičių aibės išsamumas.

7.1. Įvadas.

Apibrėžimas. Realusis skaičius a reiškia pagrindinių racionaliųjų skaičių sekų ekvivalentiškumo klasę a.

Apibrėžimas. Krūva R Racionaliųjų skaičių pagrindinių sekų ekvivalentiškumo klasės bus vadinamos realiųjų skaičių aibe.

1) lim a n = a Û " 0< eÎR$ pо N(„NÎ N, n ³ p) Þ |a n - a| £e

2) bet kuri seka (a n), kuri yra konvergentiška, taip pat yra pagrindinė

" 0 < eÎR$ pо N((" mÎ N, "ne N, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £e)

Natūralu, kad pagal analogiją su §6 bandoma taikyti faktorizavimo procedūrą pagrindinių realiųjų skaičių sekų rinkiniui. Ar negautume pagrindinių realiųjų skaičių sekų ekvivalentiškumo klasių rinkinio, kuriame yra aibė R kaip savo poaibį?

Pasirodo, kad ne.

Šiame skyriuje mes nustatysime nuostabią savybę: realiųjų skaičių aibės užbaigtumo savybę, kuri susideda iš to, kad bet kuri pagrindinė realiųjų skaičių seka susilieja R.

7.2. Realiųjų skaičių aproksimacija dešimtainėmis trupmenomis.

Apibrėžimas. Seka (q n) yra ribojama, jei $ 0< MÎK, kad (" nО N|q n | M£)

1 teorema. Kiekviena pagrindinė racionaliųjų skaičių seka yra ribojama.

Įrodymas. Tegul (q n) yra pagrindinė racionaliųjų skaičių seka, tada, remiantis fundamentalumu, kai e=1 yra tokia pО N, Ką:

$ pо N:((" m ³ p) Þ |q n -q m | 1 GBP)

m = p -fiksuoti, tada "n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

Išties: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |q p | Þ |q n | 1 GBP + |q p |.

Darant prielaidą, kad M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |), gauname: " nО N|q n | £ M.ð

6.3 punkte. aibėje buvo nurodytas vienetinis santykis „būti teigiamam“. Sutikime rašyti „>0“. Tada a ³ 0 Û (a > 0 arba a = 0).

2 teorema . Tegul pagrindinė racionaliųjų skaičių seka (q n) reiškia realųjį skaičių a, tada:

a) ($ p 1 О N, $MО K(„NÎ N, "n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

b) ($ p 2 О N, $mО K(„NÎ N, "n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Įrodymas. Kadangi "n³p 1 q n -M £ 0, tada pagrindinė seka q n -M - skirtumas tarp pagrindinės sekos (q n) ir pastovios sekos M negali būti teigiama seka, nes ji yra lygi nuliui arba neigiama.

Todėl realusis skaičius (a-M), vaizduojamas šia seka, negali būti teigiamas, t.y. a-M 0 svarų sterlingų, t.y. M£M.

Panašiai svarstoma b).

3 teorema . Pagrindinė racionaliųjų skaičių seka (q n) reiškia realųjį skaičių a tada ir tik tada, kai „0 R$pО N kad „ne N ir n³p nelygybė |q n -a| £e:

(q n)Îa Û " 0< eÎR$ pо N(„NÎ N, n³p) Þ |q n -a| £e.

Įrodymas. Mes tik įrodysime būtinybę. Akivaizdu, kad „eО R$ e 1 О K(e 1 £e)

Tegul pagrindinė racionaliųjų skaičių seka (q n) reprezentuoja skaičių a.

Pagal sąlygą ji yra esminė, t.y. "0< eÎK$ pо N(„NÎ N,"mÎ N, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £e/2.

Pataisykime n³p, tada gausime pagrindinę seką (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; .. .).

Visi šios sekos nariai m³p tenkina nelygybę: |q m -q n |£ e/2.

Pagal 2 teoremą realusis skaičius, pavaizduotas šia seka | a-q n | £e/2.

| a-q n | £ e О R"n³p.

4 teorema . Kad ir koks būtų tikrasis skaičius a, visada yra toks sveikasis skaičius M, kad tenkinama nelygybė M£a

(„aÎ R$! MÎ Z(M £ a< M+1))

Įrodymas.

1 žingsnis. Egzistavimo įrodymas.

Tegul pagrindinė racionaliųjų skaičių seka (q n) reiškia tikrąjį skaičių a: ((q n)Îa). Pagal 1 teoremą, $ LО Z 0, kad "nО N q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

Pagal 3 teoremą (q n)Îa Û " e>0, eО R$ pо N: ((" nО N, n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

Tada „n³p ½a½=½a- q n + q n ½£½a- q n½+½ q n½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

Nes e yra atsitiktinis skaičius >0, tada –L £ a £ L. Po to akivaizdu, kad -1-L< a < L+1.

Tada tarp baigtinės sveikųjų skaičių aibės: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1, randame Pirmas skaičius M+1, kurio sąlyga a yra įvykdyta< M+1.

Tada skaičius M netenkina nelygybės M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

Žingsnis 2. Unikalumo įrodymas.4

Matematinės teorijos, kaip taisyklė, randa savo išeitį leisdamos vieną skaičių rinkinį (pradinius duomenis) apdoroti kitu skaičių rinkiniu, kuris yra tarpinis arba galutinis skaičiavimo tikslas. Dėl šios priežasties skaitinės funkcijos matematikoje ir jos taikymuose užima ypatingą vietą. Jos (tiksliau, vadinamosios diferencijuojamos skaitinės funkcijos) yra pagrindinis klasikinės analizės tyrimo objektas. Tačiau bet koks išsamus šių funkcijų savybių aprašymas šiuolaikinės matematikos požiūriu, kaip galbūt jau patyrėte mokykloje ir kaip netrukus pamatysite, neįmanomas be tikslaus realiųjų skaičių aibės apibrėžimo, pagal kurį šios funkcijos veikia. veikti.

Skaičius matematikoje, kaip ir laikas fizikoje, yra žinomas visiems, bet nesuprantamas tik specialistams. Tai viena pagrindinių matematinių abstrakcijų, kurios, matyt, dar laukia didelė raida ir kurios istoriją būtų galima skirti savarankiškam intensyviam kursui. Čia norime tik sujungti tai, ką skaitytojas iš esmės žino apie realius skaičius iš vidurinės mokyklos, išryškinant pagrindines ir nepriklausomas skaičių savybes aksiomų pavidalu. Tai darydami, mūsų tikslas yra tiksliai apibrėžti realius skaičius, tinkamus vėlesniam matematiniam naudojimui, ir atkreipti ypatingą dėmesį į jų užbaigtumo arba tęstinumo savybę, kuri yra perėjimo prie ribos užuomazga – pagrindinė nearitmetinė operacija. analizės.

§ 1. Aksiomatika ir kai kurios bendrosios realiųjų skaičių aibės savybės

1. Realiųjų skaičių aibės apibrėžimas

Apibrėžimas 1. Aibė E vadinama realiųjų (tikrųjų) skaičių aibe, o jos elementai – realiaisiais (tikraisiais)

skaičiai, jei tenkinama ši sąlygų rinkinys, vadinamas realiųjų skaičių aksiomatika:

(I) Sudėjimo aksiomos

Nustatytas atvaizdavimas (papildymo operacija)

kiekvienai sutvarkytai elementų porai iš E priskirdamas kokį nors elementą, vadinamą x ir y suma. Šiuo atveju tenkinamos šios sąlygos:

Yra neutralus elementas 0 (sudėties atveju vadinamas nuliu), kad bet kuriam

Bet kuriam elementui yra elementas, vadinamas priešingu tam

4 operacija yra asociatyvi, ty bet kokiems elementams iš

4 operacija yra komutacinė, ty bet kokiems elementams iš E,

Jei kokia nors aibėje apibrėžiama operacija, kuri tenkina aksiomas, tada jie sako, kad grupės struktūra duota arba kad yra grupė. Jei operacija vadinama pridėjimu, tai grupė vadinama priedu. Jei, be to, žinoma, kad operacija yra komutacinė, t.y. sąlyga tenkinama, tada grupė vadinama komutacine arba Abelio. Taigi, aksiomos sako, kad E yra adityvi Abelio grupė.

(II) Daugybos aksiomos

Nustatytas atvaizdavimas (daugybos operacija)

kiekvienai sutvarkytai elementų porai iš E priskiriant elementą , vadinamą x ir y sandauga, ir tokiu būdu, kad būtų tenkinamos šios sąlygos:

1. Yra neutralus elementas dauginant iš vieno) toks, kad

2. Bet kuriam elementui yra elementas, vadinamas jo atvirkštiniu, toks, kad

3. Operacija yra asociatyvi, t.y. bet kuri iš E

4. Operacija yra komutacinė, t.y. bet kuriai

Atkreipkite dėmesį, kad daugybos operacijos atžvilgiu aibė gali būti patikrinta kaip (dauginanti) grupė.

(I, II) Sudėjimo ir daugybos ryšys

Daugyba yra skirstomoji sudėjimo atžvilgiu, t.y.

Atkreipkite dėmesį, kad dėl daugybos komutacinės prigimties paskutinė lygybė bus išsaugota, jei bus pakeista veiksnių tvarka abiejose jos dalyse.

Jei kurioje nors aibėje yra dvi operacijos, atitinkančios visas išvardytas aksiomas, tai vadinama algebriniu lauku arba tiesiog lauku.

(III) Tvarkos aksiomos

Tarp E elementų yra ryšys, t. y. elementams iš E nustatoma, ar jis įvykdytas, ar ne. Tokiu atveju turi būti įvykdytos šios sąlygos:

Santykiai vadinami nelygybės santykiais.

Aibė, tarp kurios kai kurių elementų yra ryšys, tenkinantis aksiomas 0, 1, 2, kaip žinoma, vadinama iš dalies sutvarkyta, o jei tenkinama 3 aksioma, t. y. bet kurie du aibės elementai yra palyginami. , tada aibė vadinama tiesine tvarka.

Taigi realiųjų skaičių aibė yra tiesiškai sutvarkyta pagal jos elementų nelygybės santykį.

(I, III) Ryšys tarp papildymo ir tvarkos R

Jei x yra R elementai, tada

(II, III) Ryšys tarp daugybos ir tvarkos R

Jei yra R elementai, tada

(IV) Išbaigtumo (tęstinumo) aksioma

Jei X ir Y yra netušti E poaibiai, turintys bet kokių elementų savybę, tada egzistuoja tokia savybė bet kuriam elementui .

Taip baigiamas sąrašas aksiomų, kurių įvykdymas bet kurioje aibėje E leidžia šią aibę laikyti konkrečiu įgyvendinimu arba, kaip sakoma, realiųjų skaičių modeliu.

Šis apibrėžimas formaliai nesuponuoja jokios išankstinės informacijos apie skaičius, ir iš jo, „įskaitant matematinę mintį“, vėlgi formaliai turime gauti likusias realiųjų skaičių savybes kaip teoremas. Norėčiau pateikti keletą neoficialių pastabų dėl šio aksiominio formalizmo.

Įsivaizduokite, kad nuo obuolių, kubelių ar kitų įvardintų kiekių pridėjimo nepridėjote prie abstrakčių natūraliųjų skaičių; kad nematavote atkarpų ir negavote racionalių skaičių; kad jūs nežinote didžiojo senolių atradimo, kad kvadrato įstrižainė yra neproporcinga jo kraštinei ir todėl jo ilgis negali būti racionalus skaičius, tai yra, reikia neracionalių skaičių; kad neturite matavimo procese atsirandančios sąvokos „daugiau“, kad neiliustruojate sau tvarkos, pavyzdžiui, skaičių eilutės atvaizdu. Jei viso to nebūtų buvę iš anksto, išvardintas aksiomų rinkinys ne tik nebūtų suvokiamas kaip neabejotinas dvasinio tobulėjimo rezultatas, bet, veikiau, atrodytų bent jau keistas ir bet kuriuo atveju savavališkas fantazijos vaisius.

Kalbant apie bet kokią abstrakčią aksiomų sistemą, iš karto kyla bent du klausimai.

Pirma, ar šios aksiomos yra suderinamos, t. y. ar yra aibė, atitinkanti visas išvardytas sąlygas? Tai klausimas apie aksiomatikos nuoseklumą.

Antra, ar tam tikra aksiomų sistema vienareikšmiškai apsprendžia matematinį objektą, t.y., kaip pasakytų logikai, ar aksiomų sistema yra kategoriška.

Vienareikšmiškumas čia turi būti suprantamas taip. Jei asmenys A ir B savarankiškai sukūrė savo modelius, pavyzdžiui, skaitinių sistemų, kurios tenkina aksiomatiką, tai tarp aibių galima nustatyti bijektyvų atitikimą, net jei jis išsaugo aritmetinius veiksmus ir eilės ryšius, t.y.

Matematiniu požiūriu šiuo atveju tai yra tiesiog skirtingi (visiškai vienodi) realiųjų skaičių įgyvendinimai (modeliai) (pavyzdžiui, - begalinės dešimtainės trupmenos ir - taškai skaičių tiesėje). Tokie įgyvendinimai vadinami izomorfiniais, o atvaizdavimas – izomorfizmu. Taigi matematinės veiklos rezultatai yra susiję ne su individualiu įgyvendinimu, o su kiekvienu modeliu iš tam tikros aksiomatikos izomorfinių modelių klasės.

Aukščiau pateiktų klausimų čia nenagrinėsime ir apsiribosime tik informatyviais atsakymais į juos.

Teigiamas atsakymas į klausimą apie aksiomatikos nuoseklumą visada yra sąlyginis. Kalbant apie skaičius, tai atrodo taip: remdamiesi mūsų priimta aibių teorijos aksiomatika (žr. I skyrių, § 4, 2 pastraipą), galime sudaryti natūraliųjų skaičių aibę, tada racionaliųjų skaičių aibę ir, galiausiai visų realiųjų skaičių aibė E, atitinkanti visas aukščiau nurodytas savybes.

15. Jei realiųjų skaičių netuščios aibės A ir B yra tokios, kad bet kuriai ir nelygybei a< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Išsamumo aksioma galioja tik R.

Galima įrodyti, kad tarp bet kokių nelygių racionaliųjų skaičių visada galima įterpti nelygų racionalųjį skaičių.

Iš aukščiau pateiktų aksiomų galima spręsti apie nulio ir vieneto unikalumą, skirtumo ir koeficiento egzistavimą ir unikalumą. Papildomai atkreipkime dėmesį į nelygybių savybes, kurios plačiai naudojamos įvairiose transformacijose:

1. Jei a< b, с < d , то a+c < b+d.

2. Jei a< b, то –a >–b.

3. Jei a > 0, b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (Pastaroji galioja ir a > 0, b > 0.)

4. Jei 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Jei a< b, c >0, tada ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Jei 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b yra toks skaičius nО N, kad na > b (aksioma Archimedas, atkarpoms, kurių ilgis a, b, na).

Skaičių aibėms naudojami šie žymėjimai:

N – natūraliųjų skaičių aibė;

Z – sveikųjų skaičių rinkinys;

K – racionaliųjų skaičių rinkinys;

aš – neracionaliųjų skaičių rinkinys;

R – realiųjų skaičių rinkinys;

R + – realiųjų teigiamų skaičių aibė;

R_ – realiųjų neigiamų skaičių rinkinys;

R 0 – realiųjų neneigiamų skaičių aibė;

C yra kompleksinių skaičių aibė (šios aibės apibrėžimas ir savybės aptariamos 1.1 skyriuje).

Supažindinkime su realiųjų skaičių aibės ribojimu. Jis bus aktyviai naudojamas tolesnėse diskusijose.

Jei yra toks tikrasis skaičius M, vadinsime aibę RIBOTAS AUKŠTYJE (APAČIOJE). ( m ) kad bet kuris elementas tenkina nelygybę:

Skaičius M vadinamas VIRŠUTINE RINKINĖS A RIBA, o skaičius m – APATINĖ šio rinkinio RIBA.

Aibė, apribota aukščiau ir žemiau, vadinama ribota.

Krūva N Natūralūs skaičiai apriboti žemiau, bet neapriboti aukščiau. Sveikųjų skaičių aibė Z nėra ribojamas nei žemiau, nei aukščiau.

Jei laikysime savavališkų trikampių plotų rinkinį, įrašytą į skersmens apskritimą D , tada iš apačios ribojamas nuliu, o iš viršaus – bet kurio daugiakampio, kuriame yra apskritimas, plotas (ypač apibrėžto kvadrato plotas, lygus D 2 ).

Bet kuri aibė, apribota aukščiau (apačioje), turi be galo daug viršutinių (apatinių) paviršių. Tada ar yra mažiausia iš visų viršutinių ribų ir didžiausia iš visų apatinių ribų?

Mes paskambinsime numeriu aukščiau apribotos aibės viršūnė AÌ R , Jei:

1. yra viena iš viršutinių rinkinio ribų A ;

2. yra mažiausia iš viršutinių aibės ribų A . Kitaip tariant, tikrasis skaičius yra rinkinio viršūnė AÌ R , Jei:

Priimtas paskyrimas

Įveskite tokiu pačiu būdu: – toliau apribotos aibės infimumas A ir atitinkamus pavadinimus

Lotyniškai: supremum – aukščiausia, infimum – žemiausia.

Tikslūs rinkinio veidai gali priklausyti arba nepriklausyti.

TEOREMA. Netuščia realiųjų skaičių aibė, apribota aukščiau (žemiau), turi viršutinę (apatinę) ribą.

Priimsime šią teoremą be įrodymų. Pavyzdžiui, jei , tai viršutine riba galima laikyti skaičių 100, apatine – 10 ir . Jei tada. Antrame pavyzdyje tikslios ribos nepriklauso šiai rinkiniui.

Realiųjų skaičių aibėje galima išskirti du nevienodus algebrinių ir transcendentinių skaičių poaibius.

ALGEBRINIAI SKAIČIAI yra skaičiai, kurie yra daugianario šaknys

kurių koeficientai – Sveiki skaičiai.

Aukštesnėje algebroje įrodyta, kad daugianario kompleksinių šaknų aibė yra baigtinė ir lygi n. (Sudėtingi skaičiai yra realiųjų skaičių apibendrinimas). Algebrinių skaičių aibė yra skaičiuojama . Ji apima visus racionalius skaičius, nes formos skaičiai

patenkinti lygtį

Taip pat įrodyta, kad yra algebrinių skaičių, kurie nėra racionaliųjų skaičių radikalai. Šis labai svarbus rezultatas sustabdė bevaisius bandymus rasti sprendimus aukštesnio nei keturių laipsnių lygčių radikaluose. Šimtmečius trukusias šią problemą tyrinėjusių algebristų paieškas apibendrino prancūzų matematikas E. Galois, kuris absurdiškai mirė būdamas 21 metų. Jo moksliniai darbai yra tik 60 puslapių, tačiau jie buvo puikus indėlis į matematikos raidą.

Aistringai ir nesuvaldomai šį mokslą mylėjęs jaunuolis du kartus bandė įstoti į prestižiškiausią to meto Prancūzijos mokymo įstaigą. – Politechnikos mokykla – nesėkmingai. Pradėjo mokytis privilegijuotoje aukštojoje mokykloje – pašalintas dėl konflikto su direktoriumi. Tapęs politiniu kaliniu, pasisakęs prieš Liudviką Filipą, iš kalėjimo perdavė į Paryžiaus mokslų akademiją rankraštį su lygties sprendimo radikalais studija. Akademija šį darbą atmetė. Absurdiška mirtis dvikovoje nutraukė šio nepaprasto žmogaus gyvenimą.

Aibė, kuri yra skirtumas tarp realiųjų ir algebrinių skaičių aibių, vadinama TRANSCENDENTŲ SKAIČIŲ rinkiniu . Akivaizdu, kad kiekvienas transcendentinis skaičius negali būti daugianario su sveikaisiais koeficientais šaknis.

Tuo pačiu metu įrodyti bet kokių atskirų skaičių pranokimą sukėlė didžiulių sunkumų.

Tik 1882 m. Karaliaučiaus universiteto profesoriui F. Lindemannui pavyko įrodyti skaičiaus transcendenciją, iš kurios paaiškėjo, kad neįmanoma išspręsti apskritimo kvadrato problemos (sukonstruoti kvadratą su tam tikro apskritimo plotas naudojant kompasą ir liniuotę). Matome, kad algebros, analizės ir geometrijos idėjos skverbiasi viena į kitą.

Aksiominis realiųjų skaičių įvedimas toli gražu nėra vienintelis. Šiuos skaičius galima įvesti sujungus racionaliųjų ir neracionaliųjų skaičių aibę arba kaip begalinius dešimtainius skaičius, arba iškirpus racionaliųjų skaičių aibę.

*1) Ši medžiaga paimta iš 7-ojo knygos skyriaus:

L.I. Lurie AUKŠTOSIOS MATEMATIKOS PAGRINDAI / Vadovėlis / M.: Leidybos ir prekybos korporacija „Dashkov and Co“, - 2003, - 517 p.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

✪ Realiųjų skaičių aksiomatika

✪ Įvadas. Realieji skaičiai | matan #001 | Borisas Trušinas +

✪ Įdėtų segmentų principas | matan #003 | Borisas Trušinas!

✪ Įvairūs tęstinumo principai | matan #004 | Borisas Trušinas!

✪ Tęstinumo aksioma. Kantoro lizdinių auginių principas

Subtitrai

Tęstinumo aksioma

Šis sakinys yra bene paprasčiausia ir patogiausia realiųjų skaičių tęstinumo savybės pritaikymo formuluotė. Aksiomatinėje tikrojo skaičiaus teorijos konstrukcijoje šis teiginys arba jo atitikmuo tikrai yra įtrauktas į tikrojo skaičiaus aksiomas.

Tęstinumo (išsamumo) aksioma. A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) ) Ir B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) ) ir nelygybė galioja, yra toks tikrasis skaičius ξ (\displaystyle \xi ) tai visiems a ∈ A (\displaystyle a\in A) Ir b ∈ B (\displaystyle b\in B) yra santykis

Geometriškai, jei realiuosius skaičius traktuosime kaip taškus tiesėje, šis teiginys atrodo akivaizdus. Jei du rinkiniai A (\displaystyle A) Ir B (\displaystyle B) yra tokie, kad skaičių eilutėje visi vieno iš jų elementai yra kairėje nuo visų antrojo elementų, tada yra skaičius ξ (\displaystyle \xi ), dalijantšios dvi aibės, tai yra, yra visų elementų dešinėje A (\displaystyle A)(išskyrus galbūt patį ξ (\displaystyle \xi )) ir visų elementų kairėje B (\displaystyle B)(tas pats atsisakymas).

Čia reikia pažymėti, kad nepaisant šios savybės „akivaizdumo“, tai ne visada tinka racionaliesiems skaičiams. Pavyzdžiui, apsvarstykite du rinkinius:

Tai nesunku pastebėti bet kokiems elementams a ∈ A (\displaystyle a\in A) Ir b ∈ B (\displaystyle b\in B) nelygybė galioja a< b {\displaystyle a. Tačiau racionalus numeriai ξ (\displaystyle \xi ), atskiriantis šiuos du rinkinius, neegzistuoja. Tiesą sakant, šis skaičius gali būti tik 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), bet tai nėra racionalu.

Tęstinumo aksiomos vaidmuo konstruojant matematinę analizę

Tęstinumo aksiomos prasmė tokia, kad be jos neįmanoma atlikti griežtos matematinės analizės. Norėdami iliustruoti, pateikiame keletą pagrindinių analizės teiginių, kurių įrodymas yra pagrįstas realiųjų skaičių tęstinumu:

• (Weierstrasso teorema). Kiekviena apribota monotoniškai didėjanti seka suartėja
• (Bolzano-Cauchy teorema). Funkcija, kuri tęsiasi atkarpoje, jos galuose paėmusi skirtingų ženklų reikšmes, išnyksta tam tikrame vidiniame atkarpos taške
• (Galios, eksponentinių, logaritminių ir visų trigonometrinių funkcijų buvimas „natūralioje“ apibrėžimo srityje). Pavyzdžiui, įrodyta, kad kiekvienam a > 0 (\displaystyle a>0) ir visuma n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1) egzistuoja a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), tai yra lygties sprendimas x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). Tai leidžia nustatyti visų racionalių išraiškos reikšmę x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m))

Galiausiai, vėlgi dėl skaičių eilutės tęstinumo, galime nustatyti išraiškos reikšmę a x (\displaystyle a^(x)) jau už savavališką x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). Panašiai, naudojant tęstinumo savybę, įrodomas skaičiaus egzistavimas log a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b)) bet kuriam a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Ilgą istorinį laikotarpį matematikai įrodinėjo teoremas iš analizės, „subtiliose vietose“, nurodydami geometrinį pagrindimą, o dažniau visai jas praleisdami, nes tai buvo akivaizdu. Visiškai svarbi tęstinumo sąvoka buvo vartojama be jokio aiškaus apibrėžimo. Tik paskutiniame XIX amžiaus trečdalyje vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas aritmetizavo analizę, sukonstruodamas pirmąją griežtą realiųjų skaičių teoriją kaip begalines dešimtaines trupmenas. Jis pasiūlė klasikinį ribos apibrėžimą kalboje ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta ), įrodė daugybę teiginių, kurie prieš jį buvo laikomi „akivaizdžiais“, ir taip užbaigė matematinės analizės pagrindo kūrimą.

Vėliau buvo pasiūlyti kiti tikrojo skaičiaus nustatymo būdai. Taikant aksiomatinį metodą, realiųjų skaičių tęstinumas aiškiai pabrėžiamas kaip atskira aksioma. Konstruktyviai žvelgiant į realiojo skaičiaus teoriją, pavyzdžiui, konstruojant realiuosius skaičius naudojant Dedekindo atkarpas, tęstinumo savybė (viena ar kita forma) įrodoma kaip teorema.

Kitos tęstinumo savybės formuluotės ir lygiaverčiai sakiniai

Yra keletas skirtingų teiginių, išreiškiančių realiųjų skaičių tęstinumo savybę. Kiekvienas iš šių principų gali būti naudojamas kaip pagrindas realaus skaičiaus, kaip tęstinumo aksiomos, teorijai konstruoti, o visus kitus galima išvesti iš jo. Šis klausimas išsamiau aptariamas kitame skyriuje.

Tęstinumas pagal Dedekindą

Dedekindas savo darbe „Tęstinumas ir iracionalieji skaičiai“ svarsto realiųjų skaičių tęstinumo klausimą. Jame jis lygina racionalius skaičius su taškais tiesėje. Kaip žinoma, tarp racionalių skaičių ir taškų tiesėje galima nustatyti atitiktį, kai tiesėje pasirenkamas atkarpų pradžios taškas ir matavimo vienetas. Naudojant pastarąjį, kiekvienam racionaliam skaičiui a (\displaystyle a) sudaryti atitinkamą segmentą ir įdėti jį į dešinę arba į kairę, priklausomai nuo to, ar yra a (\displaystyle a) teigiamas arba neigiamas skaičius, gaukite tašką p (\displaystyle p), atitinkantį skaičių a (\displaystyle a). Taigi kiekvienam racionaliam skaičiui a (\displaystyle a) vieno ir tik vieno taško rungtynės p (\displaystyle p) tiesioje linijoje.

Pasirodo, tiesėje yra be galo daug taškų, kurie neatitinka jokio racionalaus skaičiaus. Pavyzdžiui, taškas, gautas nubrėžus kvadrato, sudaryto ant vienetinės atkarpos, įstrižainės ilgį. Taigi racionaliųjų skaičių sritis to neturi užbaigtumas, arba tęstinumą, kuri būdinga tiesei linijai.

Norėdamas išsiaiškinti, iš ko susideda šis tęstinumas, Dedekindas pateikia tokią pastabą. Jeigu p (\displaystyle p) tiesėje yra tam tikras taškas, tada visi linijos taškai skirstomi į dvi klases: taškus, esančius kairėje p (\displaystyle p), ir taškai yra dešinėje p (\displaystyle p). Tas pats punktas p (\displaystyle p) gali būti savavališkai priskirti tiek žemesnei, tiek aukštesnei klasei. Dedekindas įžvelgia tęstinumo esmę atvirkštiniame principe:

Geometriškai šis principas atrodo akivaizdus, ​​bet mes negalime to įrodyti. Dedekindas pabrėžia, kad iš esmės šis principas yra postulatas, išreiškiantis tos priskirtos tiesioginės nuosavybės, kurią vadiname tęstinumu, esmę.

Norėdami geriau suprasti skaičių eilutės tęstinumo Dedekindo prasme esmę, apsvarstykite savavališką realiųjų skaičių aibės atkarpą, tai yra visų realiųjų skaičių padalijimą į dvi netuščias klases, kad visi skaičiai vienos klasės numeriai guli skaičių eilutėje į kairę nuo visų antrosios klasės skaičių. Šios klasės yra atitinkamai pavadintos žemesnė Ir aukštesnės klasės skyriuose. Teoriškai yra 4 galimybės:

1. Žemesnė klasė turi maksimalų elementą, aukštesnė klasė neturi minimumo
2. Žemesnė klasė neturi maksimalaus elemento, bet aukštesnė klasė turi minimumą
3. Žemesnė klasė turi daugiausiai, o aukštesnė klasė turi minimalius elementus
4. Žemesnė klasė neturi maksimumo, o aukštesnė klasė neturi minimalių elementų

Pirmuoju ir antruoju atveju šią sekciją sukuria atitinkamai didžiausias dugno elementas arba minimalus viršutinės dalies elementas. Trečiuoju atveju turime šuolis o ketvirtoje - erdvė. Taigi skaičių eilutės tęstinumas reiškia, kad realiųjų skaičių aibėje nėra šuolių ar spragų, tai yra, vaizdžiai tariant, nėra tuštumų.

Šis pasiūlymas taip pat atitinka Dedekindo tęstinumo principą. Be to, galima parodyti, kad aukščiausiosios teoremos teiginys tiesiogiai išplaukia iš infimumo teoremos teiginio ir atvirkščiai (žr. toliau).

Baigtinė dengiamoji lema (Heine-Borel principas)

Baigto viršelio Lemma (Heine – Borelis). Bet kurioje intervalų sistemoje, apimančioje segmentą, yra baigtinis posistemis, apimantis šį segmentą.

Ribinio taško lema (Bolzano-Weierstrass principas)

Ribinio taško lema (Bolzano – Weierstrass). Kiekvienas begalinis ribotų skaičių rinkinys turi bent vieną ribinį tašką.. Antroji grupė išreiškia faktą, kad realiųjų skaičių aibė yra , o eilės santykis atitinka pagrindines lauko operacijas. Taigi pirmoji ir antroji aksiomų grupės reiškia, kad realiųjų skaičių aibė reiškia sutvarkytą lauką. Trečioji aksiomų grupė susideda iš vienos aksiomos – tęstinumo (arba užbaigtumo) aksiomos.

Norint parodyti skirtingų realiųjų skaičių tęstinumo formuluočių lygiavertiškumą, būtina įrodyti, kad jei vienas iš šių teiginių galioja sutvarkytam laukui, tai iš to išplaukia ir visų kitų galiojimas.

Teorema. Leisti būti savavališkai tiesiškai užsakyta aibė. Šie teiginiai yra lygiaverčiai:

1. Kad ir kokie netušti rinkiniai ir B ⊂ R (\displaystyle B\subset (\mathsf (R))), kad bet kuriems dviem elementams a ∈ A (\displaystyle a\in A) Ir b ∈ B (\displaystyle b\in B) nelygybė galioja a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b), yra toks elementas ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R))) tai visiems a ∈ A (\displaystyle a\in A) Ir b ∈ B (\displaystyle b\in B) yra santykis a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. Bet kuriam skyriui R (\displaystyle (\mathsf (R))) yra elementas, sukuriantis šią sekciją
3. Bet koks netuščias rinkinys, apribotas aukščiau A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) turi supremumą
4. Bet koks netuščias rinkinys, apribotas iš apačios A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) turi ligą

Kaip matyti iš šios teoremos, šiuose keturiuose sakiniuose vartojama tik tai, kas yra R (\displaystyle (\mathsf (R)))įvedamas tiesinės tvarkos santykis ir nenaudojama lauko struktūra. Taigi kiekvienas iš jų išreiškia savybę R (\displaystyle (\mathsf (R))) kaip tiesiškai sutvarkytas rinkinys. Ši savybė (savavališkai tiesiškai išdėstytos aibės, nebūtinai realiųjų skaičių aibės) vadinama tęstinumas arba užbaigtumas, pasak Dedekindo.

Įrodant kitų sakinių lygiavertiškumą jau reikia turėti lauko struktūrą.

Teorema. Leisti R (\displaystyle (\mathsf (R)))- savavališkai užsakytas laukas. Šie sakiniai yra lygiaverčiai:

komentuoti. Kaip matyti iš teoremos, pats įdėtųjų segmentų principas nėra lygiavertis Dedekindo tęstinumo principas. Iš Dedekindo tęstinumo principo seka įdėtųjų segmentų principas, tačiau priešingai reikia papildomai reikalauti, kad sutvarkytas laukas .

Planas:

Įvadas

• 1 Tęstinumo aksioma
• 2 Tęstinumo aksiomos vaidmuo konstruojant matematinę analizę
• 3 Kitos tęstinumo savybės formuluotės ir lygiaverčiai sakiniai
  • 3.1 Tęstinumas pagal Dedekindą
  • 3.2 Lemma dėl įdėtų segmentų (Cauchy-Cantor principas)
  • 3.3 Aukščiausias principas
  • 3.4 Baigtinė dengiamoji lema (Heine-Borel principas)
  • 3.5 Ribinio taško lema (Bolzano-Weierstrass principas)
• 4 Sakinių, išreiškiančių realiųjų skaičių aibės tęstinumą, ekvivalentiškumas
Pastabos
Literatūra

Įvadas

Realiųjų skaičių tęstinumas- realiųjų skaičių sistemos savybė, kurios racionaliųjų skaičių aibė neturi. Kartais vietoj tęstinumo jie kalba apie realiųjų skaičių sistemos išsamumas. Yra keletas skirtingų tęstinumo savybių formuluočių, iš kurių žinomiausios yra: Dedekindo realiųjų skaičių tęstinumo principas, Cauchy-Cantor įdėto intervalo principas, aukščiausia teorema. Priklausomai nuo priimto realaus skaičiaus apibrėžimo, tęstinumo savybė gali būti arba postuluojama kaip aksioma – vienoje ar kitoje formuluotėje, arba įrodyta kaip teorema.

1. Tęstinumo aksioma

Šis sakinys yra bene paprasčiausia ir patogiausia realiųjų skaičių tęstinumo savybės pritaikymo formuluotė. Aksiomatinėje tikrojo skaičiaus teorijos konstrukcijoje šis teiginys arba jo atitikmuo tikrai įtraukiamas į tikrojo skaičiaus aksiomų skaičių.

Geometrinė tęstinumo aksiomos iliustracija

Tęstinumo (išsamumo) aksioma. Kad ir kokios būtų netuščios aibės ir tokios, kad bet kokiems dviem elementams ir nelygybė galioja, egzistuoja skaičius ξ, kuris galioja visiems ir santykis

Geometriškai, jei realiuosius skaičius traktuosime kaip taškus tiesėje, šis teiginys atrodo akivaizdus. Jei du rinkiniai A Ir B yra tokie, kad skaičių eilutėje visi vieno iš jų elementai yra kairėje nuo visų antrojo elementų, tada yra skaičius ξ, dalijantšios dvi aibės, tai yra, yra visų elementų dešinėje A(išskyrus galbūt patį ξ) ir į kairę nuo visų elementų B(tas pats atsisakymas).

Čia reikia pažymėti, kad nepaisant šios savybės „akivaizdumo“, tai ne visada tinka racionaliesiems skaičiams. Pavyzdžiui, apsvarstykite du rinkinius:

Tai nesunku pastebėti bet kokiems elementams ir nelygybei a < b. Tačiau racionalus nėra skaičiaus ξ, skiriančio šias dvi aibes. Tiesą sakant, šis skaičius gali būti tik , bet jis nėra racionalus.

2. Tęstinumo aksiomos vaidmuo konstruojant matematinę analizę

Tęstinumo aksiomos reikšmė tokia, kad be jos neįmanoma atlikti griežtos matematinės analizės. Norėdami iliustruoti, pateikiame keletą pagrindinių analizės teiginių, kurių įrodymas yra pagrįstas realiųjų skaičių tęstinumu:

Galiausiai, vėlgi dėl skaičių eilutės tęstinumo, galime nustatyti išraiškos reikšmę a x jau už savavališką . Panašiai, naudodamiesi tęstinumo savybe, įrodome skaičių žurnalo egzistavimą a b bet kuriam .

Ilgą istorinį laikotarpį matematikai įrodinėjo teoremas iš analizės, „subtiliose vietose“ nurodant geometrinį pagrindimą, o dažniau - visiškai praleisdami, nes tai buvo akivaizdu. Visiškai svarbi tęstinumo sąvoka buvo vartojama be jokio aiškaus apibrėžimo. Tik paskutiniame XIX amžiaus trečdalyje vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas aritmetizavo analizę, sukonstruodamas pirmąją griežtą realiųjų skaičių teoriją kaip begalines dešimtaines trupmenas. Jis pasiūlė klasikinį ribos apibrėžimą kalboje, įrodė daugybę teiginių, kurie iki jo buvo laikomi „akivaizdžiais“, ir taip užbaigė matematinės analizės pagrindų konstravimą.

Vėliau buvo pasiūlyti kiti tikrojo skaičiaus nustatymo būdai. Taikant aksiomatinį metodą, realiųjų skaičių tęstinumas aiškiai pabrėžiamas kaip atskira aksioma. Konstruktyviai žvelgiant į realiųjų skaičių teoriją, pavyzdžiui, konstruojant realiuosius skaičius naudojant Dedekindo atkarpas, tęstinumo savybė (viena ar kita forma) įrodoma kaip teorema.

3. Kitos tęstinumo ir lygiaverčių sakinių savybės formuluotės

Yra keletas skirtingų teiginių, išreiškiančių realiųjų skaičių tęstinumo savybę. Kiekvienas iš šių principų gali būti naudojamas kaip pagrindas realaus skaičiaus, kaip tęstinumo aksiomos, teorijai konstruoti, o visus kitus galima išvesti iš jo. Šis klausimas išsamiau aptariamas kitame skyriuje.

3.1. Tęstinumas pagal Dedekindą

Dedekindas savo darbe „Tęstinumas ir iracionalieji skaičiai“ svarsto realiųjų skaičių tęstinumo klausimą. Jame jis lygina racionalius skaičius su taškais tiesėje. Kaip žinoma, tarp racionalių skaičių ir taškų tiesėje galima nustatyti atitiktį, kai tiesėje pasirenkamas atkarpų pradžios taškas ir matavimo vienetas. Naudojant pastarąjį, kiekvienam racionaliam skaičiui a sudaryti atitinkamą segmentą ir įdėti jį į dešinę arba į kairę, priklausomai nuo to, ar yra a teigiamas arba neigiamas skaičius, gaukite tašką p, atitinkantį skaičių a. Taigi kiekvienam racionaliam skaičiui a vieno ir tik vieno taško rungtynės p tiesioje linijoje.

Pasirodo, tiesėje yra be galo daug taškų, kurie neatitinka jokio racionalaus skaičiaus. Pavyzdžiui, taškas, gautas nubrėžus kvadrato, sudaryto ant vienetinės atkarpos, įstrižainės ilgį. Taigi racionaliųjų skaičių sritis to neturi užbaigtumas, arba tęstinumą, kuri būdinga tiesei linijai.

Norėdamas išsiaiškinti, iš ko susideda šis tęstinumas, Dedekindas pateikia tokią pastabą. Jeigu p tiesėje yra tam tikras taškas, tada visi linijos taškai skirstomi į dvi klases: taškus, esančius kairėje p, ir taškai yra dešinėje p. Tas pats punktas p gali būti savavališkai priskirti tiek žemesnei, tiek aukštesnei klasei. Dedekindas įžvelgia tęstinumo esmę atvirkštiniame principe:

Geometriškai šis principas atrodo akivaizdus, ​​bet mes negalime to įrodyti. Dedekindas pabrėžia, kad iš esmės šis principas yra postulatas, išreiškiantis tos savybės, priskiriamos tiesioginei, kurią mes vadiname tęstinumu, esmę.

Norėdami geriau suprasti skaičių eilutės tęstinumo Dedekindo prasme esmę, apsvarstykite savavališką realiųjų skaičių aibės atkarpą, tai yra visų realiųjų skaičių padalijimą į dvi netuščias klases, kad visi skaičiai vienos klasės numeriai guli skaičių eilutėje į kairę nuo visų antrosios klasės skaičių. Šios klasės yra atitinkamai pavadintos žemesnė Ir aukštesnės klasės skyriuose. Teoriškai yra 4 galimybės:

1. Žemesnė klasė turi maksimalų elementą, aukštesnė klasė neturi minimumo
2. Žemesnė klasė neturi maksimalaus elemento, bet aukštesnė klasė turi minimumą
3. Žemesnė klasė turi daugiausiai, o aukštesnė klasė turi minimalius elementus
4. Žemesnė klasė neturi maksimumo, o aukštesnė klasė neturi minimalių elementų

Pirmuoju ir antruoju atveju šią sekciją sukuria atitinkamai didžiausias dugno elementas arba minimalus viršutinės dalies elementas. Trečiuoju atveju turime šuolis o ketvirtoje - erdvė. Taigi skaičių eilutės tęstinumas reiškia, kad realiųjų skaičių aibėje nėra šuolių ar spragų, tai yra, vaizdžiai tariant, nėra tuštumų.

Jei įvesime realiųjų skaičių aibės atkarpos sąvoką, tai Dedekindo tęstinumo principą galima suformuluoti taip.

Dedekindo tęstinumo (išsamumo) principas. Kiekvienai realiųjų skaičių rinkinio sekcijai yra skaičius, kuris sudaro šią sekciją.

komentuoti. Tęstinumo aksiomos formuluotė apie taško, skiriančio dvi aibes, egzistavimą labai primena Dedekindo tęstinumo principo formuluotę. Tiesą sakant, šie teiginiai yra lygiaverčiai ir iš esmės yra skirtingos to paties dalyko formuluotės. Todėl abu šie teiginiai vadinami Dedekindo realiųjų skaičių tęstinumo principas.

3.2. Lemma dėl įdėtų segmentų (Cauchy-Cantor principas)

Lemma dėl įdėtų segmentų (Cauchy – Cantor). Bet kokia įdėtų segmentų sistema

turi netuščią sankryžą, tai yra, yra bent vienas skaičius, priklausantis visiems tam tikros sistemos segmentams.

Jei, be to, tam tikros sistemos segmentų ilgis yra lygus nuliui, tai yra

tada šios sistemos atkarpų sankirta susideda iš vieno taško.

Ši savybė vadinama realiųjų skaičių aibės tęstinumas Kantoro prasme. Žemiau parodysime, kad Archimedo sutvarkytų laukų tęstinumas pagal Kantorą yra tolygus tęstinumui pagal Dedekindą.

3.3. Aukščiausias principas

Aukščiausias principas. Kiekviena netuščia realiųjų skaičių aibė, apribota aukščiau, turi aukščiausią sumą.

Skaičiavimo kursuose šis teiginys paprastai yra teorema, o jo įrodymas iš esmės tam tikra forma naudoja realiųjų skaičių aibės tęstinumą. Tuo pat metu, priešingai, galima teigti, kad egzistuoja viršybė bet kuriai aukščiau apribotai netuščiai aibei ir tuo remiantis, pavyzdžiui, įrodyti Dedekindo tęstinumo principą. Taigi aukščiausioji teorema yra viena iš lygiaverčių realiųjų skaičių tęstinumo savybės formuluočių.

komentuoti. Vietoj supremum galima vartoti dvejopą infimum sąvoką.

Infimumo principas. Kiekviena netuščia realiųjų skaičių aibė, apribota iš apačios, turi infimumą.

Šis pasiūlymas taip pat atitinka Dedekindo tęstinumo principą. Be to, galima parodyti, kad aukščiausiosios teoremos teiginys tiesiogiai išplaukia iš infimumo teoremos teiginio ir atvirkščiai (žr. toliau).

3.4. Baigtinė dengiamoji lema (Heine-Borel principas)

Baigto viršelio Lemma (Heine – Borelis). Bet kurioje intervalų sistemoje, apimančioje segmentą, yra baigtinis posistemis, apimantis šį segmentą.

3.5. Ribinio taško lema (Bolzano-Weierstrass principas)

Ribinio taško lema (Bolzano – Weierstrass). Kiekvienas begalinis ribotų skaičių rinkinys turi bent vieną ribinį tašką.

4. Sakinių, išreiškiančių realiųjų skaičių aibės tęstinumą, ekvivalentiškumas

Pateikime keletą preliminarių pastabų. Pagal aksiomatinį tikrojo skaičiaus apibrėžimą, realiųjų skaičių aibė tenkina tris aksiomų grupes. Pirmoji grupė yra lauko aksiomos. Antroji grupė išreiškia faktą, kad realiųjų skaičių aibė yra tiesiškai sutvarkyta aibė, o eilės ryšys atitinka pagrindines lauko operacijas. Taigi pirmoji ir antroji aksiomų grupės reiškia, kad realiųjų skaičių aibė reiškia sutvarkytą lauką. Trečioji aksiomų grupė susideda iš vienos aksiomos – tęstinumo (arba užbaigtumo) aksiomos.

Norint parodyti skirtingų realiųjų skaičių tęstinumo formuluočių lygiavertiškumą, būtina įrodyti, kad jei vienas iš šių teiginių galioja sutvarkytam laukui, tai iš to išplaukia ir visų kitų galiojimas.

Teorema. Leisti būti savavališkai tiesiškai užsakyta aibė. Šie teiginiai yra lygiaverčiai:

Kaip matyti iš šios teoremos, šiuose keturiuose sakiniuose naudojamas tik faktas, kad įvestas tiesinės tvarkos ryšys, o ne lauko struktūra. Taigi kiekvienas iš jų išreiškia savybę būti tiesiškai sutvarkyta aibe. Ši savybė (savavališkai tiesiškai išdėstytos aibės, nebūtinai realiųjų skaičių aibės) vadinama tęstinumas arba užbaigtumas, pasak Dedekindo.

Įrodant kitų sakinių lygiavertiškumą jau reikia turėti lauko struktūrą.

Teorema. Leisti būti savavališkai užsakytas laukas. Šie sakiniai yra lygiaverčiai:

komentuoti. Kaip matyti iš teoremos, pats įdėtųjų segmentų principas nėra lygiavertis Dedekindo tęstinumo principas. Iš Dedekindo tęstinumo principo seka įdėtųjų segmentų principas, tačiau priešingai reikia papildomai reikalauti, kad sutvarkytas laukas atitiktų Archimedo aksiomą

Aukščiau pateiktų teoremų įrodymą galima rasti knygose iš toliau pateikto nuorodų sąrašo.

Pastabos

1. Zorichas, V.A. Matematinė analizė. I dalis. – Red. 4 d., red. - M.: "MCNMO", 2002. - P. 43.
2. Pavyzdžiui, naudojant aksiominį tikrojo skaičiaus apibrėžimą, Dedekindo tęstinumo principas įtraukiamas į aksiomų skaičių, o konstruktyviai apibrėžiant realųjį skaičių naudojant Dedekindo skyrius, tas pats teiginys jau yra teorema – žr. Fikhtengoltas, G. M.
3. Kudrjavcevas, L. D. Matematinės analizės kursas. – 5-asis leidimas. - M.: "Bustard", 2003. - T. 1. - P. 38.
4. Kudrjavcevas, L. D. Matematinės analizės kursas. – 5-asis leidimas. - M.: "Bustard", 2003. - T. 1. - P. 84.
5. Zorichas, V.A. Matematinė analizė. I dalis. – Red. 4 d., red.. - M.: "MCNMO", 2002. - P. 81.
6. Dedekindas, R. Tęstinumas ir neracionalūs skaičiai – www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-asis pataisytas leidimas. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Literatūra

• Kudrjavcevas, L. D. Matematinės analizės kursas. – 5-asis leidimas. - M.: “Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1
• Fikhtengoltas, G. M. Matematinės analizės pagrindai. – 7-asis leidimas. - M.: “FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X
• Dedekindas, R. Tęstinumas ir neracionalūs skaičiai – www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-asis pataisytas leidimas. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p. , Tiuringo užbaigtumas , Aibės padalijimas , Aibės keitimas , Aibės laipsnis .