Priešingos krypties vektorių pridėjimas. Pamoka „vektoriaus atidėjimas nuo nurodyto taško“. Kurie vektoriai yra lygūs

Prieš pereidami prie straipsnio temos, prisiminkime pagrindines sąvokas.

1 apibrėžimas

Vektorius– tiesios linijos atkarpa, kuriai būdinga skaitinė reikšmė ir kryptis. Vektorius žymimas mažąja lotyniška raide su rodykle viršuje. Jei yra konkretūs ribiniai taškai, vektoriaus žymėjimas atrodo kaip dvi didžiosios lotyniškos raidės (žyminčios vektoriaus ribas), taip pat su rodykle viršuje.

2 apibrėžimas

Nulinis vektorius– bet kuris plokštumos taškas, žymimas nuliu su rodykle viršuje.

3 apibrėžimas

Vektoriaus ilgis– reikšmė, lygi nuliui arba didesnė už ją, kuri apibrėžia atkarpos, sudarančios vektorių, ilgį.

4 apibrėžimas

Kolineariniai vektoriai– gulėti ant vienos linijos arba ant lygiagrečių linijų. Vektoriai, kurie neatitinka šios sąlygos, vadinami nekolineariniais.

Įvestis: vektoriai a → Ir b →. Norint su jais atlikti sudėjimo operaciją, reikia nubraižyti vektorių iš savavališko taško A B →, lygus vektoriui a →; iš gauto taško neapibrėžtas – vektorius B C →, lygus vektoriui b →. Sujungę neapibrėžtus taškus ir C, gauname atkarpą (vektorių) A C →, kuri bus pradinių duomenų suma. Kitu atveju vadinama aprašyta vektorių sudėjimo schema trikampio taisyklė.

Geometriškai vektoriaus pridėjimas atrodo taip:

Nekolineariniams vektoriams:

Kolineariniams (bendrakrypčiams arba priešingiems) vektoriams:

Remdamiesi aukščiau aprašyta schema, gauname galimybę atlikti vektorių pridėjimo operaciją didesniu nei 2 kiekiu: pridedant kiekvieną paskesnį vektorių paeiliui.

6 apibrėžimas

Įvestis: vektoriai a → , b → , c →, d → . Iš savavališko taško A plokštumoje reikia nubrėžti atkarpą (vektorių), lygią vektoriui a →; tada nuo gauto vektoriaus galo atidedamas vektorius, lygus vektoriui b →; tada tolesni vektoriai išdėstomi tuo pačiu principu. Paskutinio atidėto vektoriaus galutinis taškas bus taškas B, o gauta atkarpa (vektorius) A B →– visų pradinių duomenų suma. Taip pat vadinama aprašyta kelių vektorių pridėjimo schema daugiakampio taisyklė .

Geometriškai tai atrodo taip:

7 apibrėžimas

Atskira veiksmų schema, skirta vektorinė atimtis ne, nes iš esmės vektorinis skirtumas a → Ir b → yra vektorių suma a → Ir - b → .

Norint atlikti veiksmą, padauginus vektorių iš tam tikro skaičiaus k, reikia atsižvelgti į šias taisykles:
- jei k > 1, tai šis skaičius lems, kad vektorius bus ištemptas k kartų;
- jei 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1k kartų;
- jei k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- jei k = 1, tai vektorius lieka toks pat;
- jei vienas iš veiksnių yra nulinis vektorius arba skaičius, lygus nuliui, daugybos rezultatas bus nulinis vektorius.

Pradiniai duomenys:
1) vektorius a → ir skaičius k = 2;
2) vektorius b → ir skaičius k = - 1 3 .

Geometriškai daugybos rezultatas pagal aukščiau pateiktas taisykles atrodys taip:

Aukščiau aprašytos operacijos su vektoriais turi savybių, kai kurios iš jų yra akivaizdžios, o kitos gali būti pagrįstos geometriškai.

Įvestis: vektoriai a → , b → , c → ir savavališkas realūs skaičiaiλ ir μ.

Komutatyvumo ir asociatyvumo savybės leidžia pridėti vektorius bet kokia tvarka.

Išvardintos operacijų savybės leidžia atlikti reikiamas vektorinių-skaitinių išraiškų transformacijas panašiai kaip ir įprastas skaitines. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

1 pavyzdys

Užduotis: supaprastinti išraišką a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Sprendimas
- naudodamiesi antrąja paskirstymo savybe, gauname: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- mes naudojame daugybos asociatyvinę savybę, išraiška bus tokia: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- naudodamiesi komutatyvumo savybe, sukeičiame terminus: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- tada naudodamiesi pirmąja paskirstymo savybe gauname: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → Trumpas žymėjimas sprendinys atrodys taip: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Atsakymas: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kai kurie fizikiniai dydžiai, pavyzdžiui, jėga ar greitis, apibūdinami ne tik skaitine verte, bet ir kryptimi. Tokie dydžiai vadinami vektoriniais dydžiais: F⃗ – jėga, v⃗ – greitis.
Pateiksime geometrinį vektoriaus apibrėžimą.
Vektorius vadinama atkarpa, kuriai nurodoma, kuris jos ribinis taškas laikomas pradžia, o kuris pabaiga.
Brėžiniuose vektorius pavaizduotas kaip segmentas su rodykle, rodančia vektoriaus pabaigą. Vektorius žymimas dviem didžiosiomis lotyniškomis raidėmis su rodykle virš jų. Pirmoji raidė nurodo vektoriaus pradžią, antroji – pabaigą.

Vektorius taip pat gali būti žymimas viena mažąja lotyniška raide su rodykle virš jos.

Vektoriaus ilgis yra atkarpos, vaizduojančios šį vektorių, ilgis. Vertikalūs skliaustai naudojami vektoriaus ilgiui nurodyti.
Vadinamas vektorius, kurio pabaiga sutampa su pradžia nulis vektorius. Nulinis vektorius pavaizduotas tašku ir žymimas dviem identiškomis raidėmis arba nuliu su rodykle virš jo. Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui: |0 ⃗|= 0.

Supažindinkime su koncepcija kolinearinis vektoriai. Nuliniai vektoriai vadinami kolineariniais, jei jie yra toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse. Nulinis vektorius laikomas kolineariniu bet kuriam vektoriui.

Jei nenuliniai kolineariniai vektoriai turi tą pačią kryptį, tai tokie vektoriai bus bendrakrypčiai. Jei jų kryptys yra priešingos, jos vadinamos priešingomis.
Bendrai nukreiptiems ir priešingai nukreiptiems vektoriams žymėti yra specialūs žymėjimai:
- m ⃗ R⃗ jei vektoriai m⃗ ir R⃗ kartu režisuotas;
- m ⃗ ↓ n⃗ jei vektoriai m⃗ ir n⃗ nukreipta priešingai.
Apsvarstykite automobilio judėjimą. Kiekvieno jo taško greitis yra vektorinis dydis ir yra pavaizduotas nukreipta atkarpa. Kadangi visi automobilio taškai juda vienodu greičiu, visų nukreiptų segmentų, vaizduojančių skirtingų taškų greitį, kryptis yra ta pati ir jų ilgiai yra vienodi. Šis pavyzdys suteikia užuominą, kaip nustatyti, ar vektoriai yra lygūs.
Sakoma, kad du vektoriai yra lygūs, jei jie yra bendros krypties ir jų ilgiai yra vienodi. Vektorių lygybę galima parašyti naudojant lygybės ženklą: a ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = O.E. ⃗
Jei taškas R vektoriaus pradžia R⃗, tada laikysime, kad vektorius R⃗ atidėtas nuo taško R.

Įrodykime tai iš bet kurio taško APIE galite nubraižyti vektorių, lygų duotam vektoriui R⃗ ir tik vienas.

Įrodymas:
1) Jei R⃗ tada yra nulinis vektorius OO ⃗ = R ⃗.
2) Jei vektorius R⃗ ne nulis, taškas R yra šio vektoriaus pradžia ir taškas T- galas.
Eikime per esmę APIE tiesus, lygiagretus RT. Sukonstruotoje linijoje braižome atkarpas OA 1 ir OA 2 lygus segmentui RT.

Rinksimės iš vektorių OA 1 ir OA 2 vektorius, kuris yra kartu su vektoriumi R⃗. Mūsų brėžinyje tai yra vektorius OA 1 . Šis vektorius bus lygus vektoriui R⃗. Iš konstrukcijos matyti, kad yra tik vienas toks vektorius.

Vektorius \(\overrightarrow(AB)\) gali būti laikomas taško judėjimu iš padėties \(A\) (judėjimo pradžia) į padėtį \(B\) (judėjimo pabaiga). Tai yra, judėjimo trajektorija šiuo atveju nėra svarbi, svarbu tik pradžia ir pabaiga!

\(\blacktriangleright\) Du vektoriai yra kolinearūs, jei yra toje pačioje tiesėje arba dviejose lygiagrečiose tiesėse.
IN kitaip vektoriai vadinami nekolineariniais.

\(\blacktriangleright\) Du kolineariniai vektoriai vadinami bendrakrypčiais, jei jų kryptys sutampa.
Jei jų kryptys yra priešingos, tada jos vadinamos priešingomis.

Kolinearinių vektorių pridėjimo taisyklės:

bendrai režisavo galas Pirmas. Tada jų suma yra vektorius, kurio pradžia sutampa su pirmojo vektoriaus pradžia, o pabaiga su antrojo pabaiga (1 pav.).

\(\blacktriangleright\) Norėdami pridėti du nukreipta priešingai vektorius, galime atidėti antrąjį vektorių nuo prasidėjo Pirmas. Tada jų suma yra vektorius, kurio pradžia sutampa su abiejų vektorių pradžia, ilgis lygus vektorių ilgių skirtumui, kryptis sutampa su ilgesnio vektoriaus kryptimi (2 pav.).

Nekolinearinių vektorių \(\overrightarrow (a)\) ir \(\overrightarrow(b)\) pridėjimo taisyklės:

\(\blacktriangleright\) Trikampio taisyklė (3 pav.).

Būtina atidėti vektorių \(\overrightarrow (b)\) nuo vektoriaus pabaigos \(\overrightarrow (a)\). Tada suma yra vektorius, kurio pradžia sutampa su vektoriaus \(\overrightarrow (a)\) pradžia, o pabaiga su vektoriaus \(\overrightarrow (b)\) pabaiga.

\(\blacktriangleright\) Lygiagretės taisyklė (4 pav.).

Būtina atidėti vektorių \(\overrightarrow (b)\) nuo vektoriaus \(\overrightarrow (a)\) pradžios. Tada suma \(\rodyklė virš dešinės (a)+\rodyklė virš dešinės (b)\)– vektorius, sutampantis su lygiagretainio, sudaryto ant vektorių \(\overrightarrow (a)\) ir \(\overrightarrow (b)\) įstrižainės (kurio pradžia sutampa su abiejų vektorių pradžia).

\(\blacktriangleright\) Norėdami rasti dviejų vektorių skirtumą \(\overrightarrow (a)-\overright arrow (b)\), reikia rasti vektorių \(\overrightarrow (a)\) ir \(-\overrightarrow(b)\) sumą: \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(5 pav.).

1 užduotis #2638

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duotas stačiakampis \(ABC\) su stačiu kampu \(A\), taškas \(O\) yra apie šį trikampį apibrėžto apskritimo centras. Vektorinės koordinatės \(\overright arrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). Raskite vektoriaus \(\overrightarrow(OC)\) koordinačių sumą.

Nes trikampis \(ABC\) yra stačiakampis, tada apibrėžtojo apskritimo centras yra ant hipotenuzės vidurio, t.y. \(O\) yra \(BC\) vidurys.

pastebėti, kad \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), vadinasi, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

Nes \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), Tai \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

Tai reiškia, kad vektoriaus \(\overrightarrow(OC)\) koordinačių suma yra lygi \(-1+0=-1\) .

Atsakymas: -1

2 užduotis #674

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

\(ABCD\) – keturkampis, kurio šonuose yra vektoriai \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow( DA) \) . Raskite vektoriaus ilgį \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), Tada
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
Nulinio vektoriaus ilgis lygus \(0\) .

Tada vektorius gali būti suvokiamas kaip poslinkis \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)– pereinama iš \(A\) į \(B\) ir tada iš \(B\) į \(C\) – galiausiai tai perkeliama iš \(A\) į \(C\) .

Su tokiu aiškinimu tampa akivaizdu, kad \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\), nes galų gale mes perėjome iš taško \(A\) į tašką \(A\), tai yra tokio judėjimo ilgis yra \(0\), o tai reiškia, kad pats tokio judėjimo vektorius yra \ (\vec(0)\) .

Atsakymas: 0

3 užduotis #1805

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duotas lygiagretainis \(ABCD\) . Įstrižainės \(AC\) ir \(BD\) susikerta taške \(O\) . Tegul , , tada \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) – \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Rightarrow\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = - 1\) .

Atsakymas: -1

4 užduotis #1806

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duotas lygiagretainis \(ABCD\) . Taškai \(K\) ir \(L\) yra atitinkamai šonuose \(BC\) ir \(CD\), o \(BK:KC = 3:1\) ir \(L\) yra \ (CD\) vidurio taškas. Leisti \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Tada \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), kur \(x\) ir \(y\) yra kai kurie skaičiai. Raskite skaičių, lygų \(x + y\) .

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1) (4)\overright arrow(AD) + \frac(1)(2)\overright arrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (a)\]\(\RightArrow\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Rodyklė dešinėn\) \(x + y = -0 ,25\) .

Atsakymas: -0,25

5 užduotis #1807

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duotas lygiagretainis \(ABCD\) . Taškai \(M\) ir \(N\) yra atitinkamai šonuose \(AD\) ir \(BC\) su \(AM:MD = 2:3\) ir \(BN:NC = 3: 1\) . Leisti \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Tada \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overright arrow(AD) + \overright arrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2) )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\RightArrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\RightArrow\) \(x\cdot y = 0,35\) .

Atsakymas: 0,35

6 užduotis #1808

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duotas lygiagretainis \(ABCD\) . Taškas \(P\) yra įstrižainėje \(BD\), taškas \(Q\) yra šone \(CD\) ir \(BP:PD = 4:1\) ir \( CQ:QD = 1:9\) . Leisti \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Tada \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), kur \(x\) ir \(y\) yra kai kurie skaičiai. Raskite skaičių, lygų \(x\cdot y\) .

\[\begin(surinkta) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overright arrow(AB) = \frac(1)(5)\overright arrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(surinkta)\]

\(\RightArrow\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0, 14\) . ir \(ABCO\) – lygiagretainis; \(AF \parallel BE\) ir \(ABOF\) – lygiagretainis \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Rodyklė dešinėn\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rodyklė dešinėn\) \(x + y = 2\) .

Atsakymas: 2

Gimnazistai, kurie ruošiasi laikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą ir tuo pačiu tikisi gauti neblogus balus, tikrai turėtų pakartoti temą „Kelių vektorių pridėjimo ir atėmimo taisyklės“. Kaip matyti iš ilgametės praktikos, tokios užduotys kasmet įtraukiamos į sertifikavimo testą. Jei abiturientui kyla sunkumų, susijusių su problemomis iš skyriaus „Plokštumos geometrija“, pavyzdžiui, kai reikia taikyti vektorių sudėties ir atimties taisykles, jis tikrai turėtų pakartoti arba iš naujo suprasti medžiagą, kad sėkmingai išlaikytų Vieningas valstybinis egzaminas.

Švietimo projektas „Shkolkovo“ siūlo naują požiūrį į pasiruošimą sertifikavimo testui. Mūsų ištekliai yra sukurti taip, kad studentai galėtų patys nustatyti sunkiausius skyrius ir užpildyti žinių spragas. Shkolkovo specialistai paruošė ir susistemino viską reikalingos medžiagos pasiruošti išlaikyti atestavimo testą.

Siekiant užtikrinti, kad USE užduotys, kuriose reikia taikyti dviejų vektorių pridėjimo ir atėmimo taisykles, nesukeltų sunkumų, rekomenduojame pirmiausia atnaujinti atmintį pagrindinės sąvokos. Mokiniai šią medžiagą galės rasti skiltyje „Teorinė informacija“.

Jei jau prisimenate vektorių atėmimo taisyklę ir pagrindinius šios temos apibrėžimus, siūlome sustiprinti savo žinias atliekant atitinkamus pratimus, kuriuos atrinko ekspertai. edukacinis portalas„Školkovas“. Kiekvienai problemai svetainė pateikia sprendimo algoritmą ir pateikia teisingą atsakymą. Temoje „Vektorių papildymo taisyklės“ pateikiami įvairūs pratimai; Atlikę dvi ar tris gana paprastas užduotis, mokiniai gali paeiliui pereiti prie sudėtingesnių.

Mokiniai turi galimybę tobulinti savo įgūdžius atliekant tokias užduotis, pavyzdžiui, internetu, būdami Maskvoje ar bet kuriame kitame Rusijos mieste. Jei reikia, užduotį galima išsaugoti skiltyje „Mėgstamiausi“. Dėl to galite greitai rasti dominančius pavyzdžius ir su mokytoju aptarti teisingo atsakymo paieškos algoritmus.

Šioje pamokoje įgytos žinios ir įgūdžiai mokiniams pravers ne tik geometrijos pamokose, bet ir kitų mokslų pamokose. Pamokos metu mokiniai mokysis brėžti vektorių iš tam tikro taško. Tai gali būti įprasta geometrijos pamoka arba popamokinė ar pasirenkamoji matematikos pamoka. Šis tobulinimas padės mokytojui sutaupyti laiko ruošiantis pamokai tema „Vektoriaus atidėjimas nuo tam tikro taško“. Jam užteks klasėje paleisti vaizdo pamoką, o tada sustiprinti medžiagą savo pasirinktais pratimais.

Pamokos trukmė tik 1:44 min. Bet to pakanka, kad mokiniai būtų išmokyti brėžti vektorių iš tam tikro taško.

Pamoka prasideda vektoriaus demonstravimu, kurio pradžia yra tam tikrame taške. Jie sako, kad vektorius yra atidėtas nuo jo. Tada autorius siūlo kartu su juo įrodyti teiginį, pagal kurį iš bet kurio taško galima nubraižyti vektorių, lygų duotam ir, be to, unikalų. Įrodinėjimo metu autorius išsamiai išnagrinėja kiekvieną atvejį. Pirma, tai situacija, kai duotas vektorius yra nulis, ir, antra, kai vektorius yra nulis. Korektūros metu naudojamos iliustracijos brėžinių ir konstrukcijų, matematinių užrašų pavidalu, kurie formuoja moksleivių matematinį raštingumą. Autorius kalba lėtai, leisdamas studentams lygiagrečiai užsirašyti pastabas komentuodami. Konstrukcija, kurią autorius atliko įrodinėdamas anksčiau suformuluotą teiginį, parodo, kaip iš tam tikro taško galima sukonstruoti vektorių, lygų duotam.

Jei mokiniai atidžiai stebės pamoką ir tuo pačiu metu užsirašinės, jie nesunkiai išmoks medžiagą. Be to, autorius pasakoja išsamiai, išmatuotai ir gana išsamiai. Jei dėl kokių nors priežasčių ko nors negirdėjote, galite grįžti ir žiūrėti pamoką dar kartą.

Peržiūrėjus video pamoką, patartina pradėti konsoliduoti medžiagą. Mokytojui rekomenduojama pasirinkti užduotis šia tema, kad galėtų praktikuoti vektoriaus braižymo iš tam tikro taško įgūdžius.

Ši pamoka gali būti panaudota savarankiškas mokymasis moksleivių temos. Tačiau norint ją įtvirtinti, reikia susisiekti su mokytoju, kad jis pasirinktų tinkamas užduotis. Juk neįtvirtinus medžiagos sunku pasiekti teigiamo rezultato mokantis.

Vektorius – tai yra nukreiptas tiesios linijos segmentas, tai yra segmentas, turintis tam tikrą ilgį ir tam tikrą kryptį. Tegul taškas A yra vektoriaus pradžia ir taškas B – jo pabaiga, tada vektorius žymimas simboliu arba . Vektorius vadinamas priešingas vektorius ir gali būti paskirtas .

Suformuluosime keletą pagrindinių apibrėžimų.

Ilgis arba modulis vektoriusvadinamas atkarpos ilgiu ir žymimas. Vadinamas nulinio ilgio vektorius (jo esmė – taškas). nulis ir neturi krypties. Vektorius vieneto ilgis vadinamasviengungis . Vieneto vektorius, kurio kryptis sutampa su vektoriaus kryptimi , paskambino vektoriaus orth .

Vektoriai vadinami kolinearinis , jei jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose linijose, užsirašykite. Kolineariniai vektoriai gali turėti sutampančių arba priešingų krypčių. Nulinis vektorius laikomas kolineariniu bet kuriam vektoriui.

Sakoma, kad vektoriai yra lygūs, jei jie yra kolineriški, turi tą pačią kryptį ir vienodo ilgio.

Trys vektoriai erdvėje vadinami koplanarinis , jei jie yra toje pačioje plokštumoje arba lygiagrečiose plokštumose. Jei iš trijų vektorių bent vienas yra lygus nuliui arba du yra kolineariniai, tai tokie vektoriai yra koplanarūs.

Apsvarstykite erdvėje stačiakampę koordinačių sistemą 0 xyz. Pasirinkime 0 koordinačių ašyse x, 0y, 0z vienetų vektorius (arba vektorius) ir pažymėkite juosatitinkamai. Pasirinkime savavališką erdvės vektorių ir sulygiuokime jo pradžią su koordinačių pradžia. Suprojektuokime vektorių į koordinačių ašis ir pažymėkime projekcijas a x, a y, a z atitinkamai. Tada lengva tai parodyti

. (2.25)

Ši formulė yra pagrindinė vektorių skaičiavime ir vadinama vektoriaus išplėtimas koordinačių ašių vienetiniais vektoriais . Skaičiai a x, a y, a z yra vadinami vektoriaus koordinates . Taigi vektoriaus koordinatės yra jo projekcijos į koordinačių ašis. Vektorinė lygybė (2.25) dažnai rašoma forma

Norėdami vizualiai lengviau atskirti vektorių koordinates ir taško koordinates, naudosime vektorinį žymėjimą riestiniuose skliaustuose. Naudodami atkarpos ilgio formulę, žinomą iš mokyklos geometrijos, galite rasti išraišką vektoriaus moduliui apskaičiuoti:

, (2.26)

tai yra, vektoriaus modulis lygus jo koordinačių kvadratų sumos kvadratinei šakniai.

Kampus tarp vektoriaus ir koordinačių ašių pažymėkime kaip α, β, γ atitinkamai. Kosinusai šie kampai vadinami vektoriumi vedliai , ir jiems galioja toks ryšys:Šios lygybės galiojimas gali būti parodytas naudojant vektoriaus projekcijos į ašį savybę, kuri bus aptarta 4 pastraipoje toliau.

Tegul vektoriai pateikiami trimatėje erdvėjesu savo koordinatėmis. Su jais vyksta šios operacijos: tiesinė (sudėtis, atimta, daugyba iš skaičiaus ir vektoriaus projekcija į ašį ar kitą vektorių); nelinijinis – įvairūs vektorių sandaugai (skaliarinis, vektorinis, mišrus).

1. Papildymas du vektoriai sukuriami koordinatiškai, tai yra, jei

Ši formulė galioja savavališkam baigtiniam terminų skaičiui.

Geometriškai du vektoriai pridedami pagal dvi taisykles:

A) taisyklė trikampis – gautas dviejų vektorių sumos vektorius jungia pirmojo iš jų pradžią su antrojo pabaiga, jeigu antrojo pradžia sutampa su pirmojo vektoriaus pabaiga; vektorių sumai – gautasis sumos vektorius jungia pirmojo iš jų pradžią su paskutinio vektoriaus-dėmens pabaiga, jeigu sekančio termino pradžia sutampa su ankstesnio termino pabaiga;

b) taisyklė lygiagretainis (dviem vektoriams) – ant vektoriaus-komandų kaip ir į tą pačią pradžią redukuotų kraštinių konstruojamas lygiagretainis; Lygiagretainio įstrižainė, prasidedanti nuo jų bendros pradžios, yra vektorių suma.

2. Atimtis du vektoriai atliekami koordinatiškai, panašiai kaip sudėjimas, tai yra, jei, Tai

Geometriškai pagal jau minėtą lygiagretainio taisyklę pridedami du vektoriai, atsižvelgiant į tai, kad vektorių skirtumas yra įstrižainė, jungianti vektorių galus, o gautas vektorius nukreipiamas iš podalinės galo į minuend.

Svarbi vektoriaus atėmimo pasekmė yra tai, kad jei žinomos vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinatės, tada Norint apskaičiuoti vektoriaus koordinates, reikia atimti jo pradžios koordinates iš jo pabaigos koordinačių . Iš tiesų, bet koks erdvės vektoriusgali būti pavaizduotas kaip dviejų vektorių, kylančių iš pradžios, skirtumas:. Vektorinės koordinatės Ir sutampa su taškų koordinatėmisA Ir IN, nuo kilmėsAPIE(0;0;0). Taigi, pagal vektorių atėmimo taisyklę, turėtumėte atimti taško koordinatesAnuo taško koordinačiųIN.

3. U vektorių padauginus iš skaičiaus λ koordinatė po koordinatės:.

At λ> 0 – vektorius bendrai režisavo ; λ< 0 – vektorius priešinga kryptis ; | λ|> 1 – vektoriaus ilgis padidėja λ kartą;| λ|< 1 – vektoriaus ilgis sumažėja λ kartą.

4. Tegul nukreipta tiesi linija (ašis l), vektoriusnurodytos pabaigos ir pradžios koordinatėmis. Pažymime taškų projekcijas A Ir B vienai ašiai l atitinkamai per A’ Ir B’ .

Projekcija vektorius vienai ašiai lvadinamas vektoriaus ilgiu, paimtas su „+“ ženklu, jei vektorius ir ašis lkartu nukreiptas, o su „–“ ženklu, jei Ir lpriešingomis kryptimis.

Jei kaip ašis l paimkite kitą vektorių, tada gauname vektoriaus projekciją ant vecto r.

Pažvelkime į kai kurias pagrindines projekcijų savybes:

1) vektorinė projekcija vienai ašiai llygus vektoriaus modulio sandaugaikampo tarp vektoriaus ir ašies kosinusu, ty;

2.) vektoriaus projekcija į ašį yra teigiama (neigiama), jei vektorius sudaro smailųjį (buką) kampą su ašimi, ir lygi nuliui, jei šis kampas yra tiesus;

3) kelių vektorių sumos projekcija į tą pačią ašį yra lygi projekcijų į šią ašį sumai.

Suformuluokime apibrėžimus ir teoremas apie vektorių sandaugas, vaizduojančias netiesines vektorių operacijas.

5. Taškinis produktas vektoriai iryra skaičius (skaliaras), lygus šių vektorių ilgių ir kampo kosinuso sandaugaiφ tarp jų, tai yra

. (2.27)

Akivaizdu, kad bet kurio nulinio vektoriaus skaliarinis kvadratas yra lygus jo ilgio kvadratui, nes šiuo atveju kampas , todėl jo kosinusas (2.27) yra 1.

2.2 teorema.Būtinas ir pakankama būklė dviejų vektorių statmena yra jų skaliarinės sandaugos lygybė nuliui

Pasekmė. Vienetinių vektorių poriniai skaliariniai sandaugai yra lygūs nuliui, tai yra

2.3 teorema. Dviejų vektorių taškinė sandauga, nurodytas jų koordinatėmis, yra lygus jų to paties pavadinimo koordinačių sandaugų sumai, tai yra

(2.28)

Naudodami vektorių skaliarinę sandaugą galite apskaičiuoti kampątarp jų. Jei pateikiami du nuliniai vektoriai su jų koordinatėmis, tada kampo kosinusasφ tarp jų:

(2.29)

Tai reiškia nulinių vektorių statmenumo sąlygą Ir:

(2.30)

Vektoriaus projekcijos radimasvektoriaus nurodyta kryptimi , galima atlikti pagal formulę

(2.31)

Naudojant vektorių skaliarinę sandaugą, randamas pastovios jėgos atliktas darbastiesioje kelio atkarpoje.

Tarkime, kad veikiant pastoviai jėgai materialus taškas iš padėties juda tiesia linija Aį poziciją B. Jėgos vektorius sudaro kampą φ su poslinkio vektoriumi (2.14 pav.). Fizika sako, kad jėgos darbas judant lygus .

2.9 pavyzdys.Naudodami vektorių skaliarinę sandaugą, raskite viršūnės kampąAlygiagretainisABCD, pastatytas remiantis vektoriais

Sprendimas. Apskaičiuokime vektorių modulius ir jų skaliarinę sandaugą naudodami teoremą (2.3):

Iš čia pagal (2.29) formulę gauname norimo kampo kosinusą

2.10 pavyzdys.Vienos tonos varškės gamybai sunaudotų žaliavų ir materialinių išteklių sąnaudos pateiktos 2.2 lentelėje (rub.).

2.2 lentelė

Tada .Bendra išteklių kaina, kuri yra vektorių skaliarinė sandauga. Apskaičiuokime jį naudodami (2.28) formulę pagal 2.3 teoremą: