Furjė serija. Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas Beselio nelygybė parsevalinė lygybė Furjė serijos padidinto sudėtingumo sprendimų pavyzdžiai

Furjė serija yra savavališkai paimtos funkcijos su konkrečiu periodu atvaizdavimas kaip serija. Apskritai šis sprendimas vadinamas elemento išskaidymu stačiakampiu pagrindu. Funkcijų išplėtimas Furjė serijoje yra gana galingas įrankis sprendžiant įvairias problemas dėl šios transformacijos savybių integruojant, diferencijuojant, taip pat keičiant išraišką argumente ir konvoliucijoje.

Žmogus, kuris nėra susipažinęs su aukštąja matematika, taip pat su prancūzų mokslininko Furjė darbais, greičiausiai nesupras, kas yra šios „serialai“ ir kam jos skirtos. Tuo tarpu ši transformacija mūsų gyvenime tapo gana tanki. Jį naudoja ne tik matematikai, bet ir fizikai, chemikai, medikai, astronomai, seismologai, okeanografai ir daugelis kitų. Taip pat atidžiau pažvelkime į didžiojo prancūzų mokslininko, kuris atrado anksčiau laiko, darbus.

Žmogus ir Furjė transformacija

Furjė serija yra vienas iš metodų (kartu su analize ir kitais) Šis procesas vyksta kiekvieną kartą, kai žmogus girdi bet kokį garsą. Mūsų ausis automatiškai transformuoja elementarias daleles į elastingą terpę, jos suskaidomos į eiles (išilgai spektro) nuoseklių garsumo verčių skirtingo aukščio tonams. Tada smegenys šiuos duomenis paverčia mums žinomais garsais. Visa tai vyksta be mūsų noro ar sąmonės, savaime, tačiau norint suprasti šiuos procesus, prireiks kelerių metų aukštosios matematikos studijoms.

Daugiau apie Furjė transformaciją

Furjė transformaciją galima atlikti analitiniais, skaitiniais ir kitais metodais. Furjė serijos nurodo skaitinį bet kokių virpesių procesų skaidymo būdą – nuo ​​vandenyno potvynių ir šviesos bangų iki saulės (ir kitų astronominių objektų) veiklos ciklų. Naudojant šiuos matematinius metodus, galima analizuoti funkcijas, vaizduojančias bet kokius svyravimo procesus kaip sinusinių komponentų seriją, kuri pereina nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Furjė transformacija yra funkcija, apibūdinanti tam tikrą dažnį atitinkančių sinusoidų fazę ir amplitudę. Šis procesas gali būti naudojamas sprendžiant labai sudėtingas lygtis, apibūdinančias dinaminius procesus, vykstančius šiluminės, šviesos ar elektros energijos įtakoje. Taip pat Furjė serijos leidžia išskirti pastovius komponentus sudėtinguose svyruojančiuose signaluose, o tai leido teisingai interpretuoti gautus eksperimentinius stebėjimus medicinoje, chemijoje ir astronomijoje.

Istorijos nuoroda

Šios teorijos įkūrėjas yra prancūzų matematikas Jeanas Baptiste'as Josephas Fourier. Vėliau ši transformacija buvo pavadinta jo vardu. Iš pradžių mokslininkas savo metodą taikė tirdamas ir aiškindamas šilumos laidumo – šilumos sklidimo kietose medžiagose – mechanizmus. Furjė pasiūlė, kad pradinis netaisyklingas pasiskirstymas gali būti suskaidytas į paprasčiausias sinusoidus, kurių kiekviena turės savo temperatūros minimumą ir maksimumą, taip pat savo fazę. Tokiu atveju kiekvienas toks komponentas bus matuojamas nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Matematinė funkcija, apibūdinanti viršutinę ir apatinę kreivės smailes, taip pat kiekvienos harmonikos fazę, vadinama temperatūros pasiskirstymo išraiškos Furjė transformacija. Teorijos autorius bendrą skirstinio funkciją, kurią sunku apibūdinti matematiškai, sumažino iki labai patogios kosinuso ir sinuso eilės, kurios susumavus suteikia pirminį skirstinį.

Transformacijos principas ir amžininkų pažiūros

Mokslininko amžininkai – XIX amžiaus pradžios pirmaujantys matematikai – šios teorijos nepriėmė. Pagrindinis prieštaravimas buvo Furjė tvirtinimas, kad nenutrūkstamą funkciją, apibūdinančią tiesią liniją arba nepertraukiamą kreivę, galima pavaizduoti kaip sinusoidinių išraiškų, kurios yra tolydžios, sumą. Kaip pavyzdį apsvarstykite Heaviside „žingsnį“: jo reikšmė yra nulis kairėje nuo tarpo ir viena dešinėje. Ši funkcija apibūdina elektros srovės priklausomybę nuo laiko kintamojo, kai grandinė uždaryta. To meto teorijos amžininkai niekada nebuvo susidūrę su tokia situacija, kai netolydi išraiška būtų apibūdinta ištisinių, įprastų funkcijų, tokių kaip eksponentinė, sinusinė, tiesinė ar kvadratinė, deriniu.

Kas supainiojo prancūzų matematikus Furjė teorijoje?

Galų gale, jei matematikas buvo teisus savo teiginiuose, tada susumavus begalinę trigonometrinę Furjė eilutę, galima gauti tikslų laipsniškos išraiškos vaizdą, net jei ji turi daug panašių žingsnių. XIX amžiaus pradžioje toks teiginys atrodė absurdiškas. Tačiau nepaisant visų abejonių, daugelis matematikų išplėtė šio reiškinio tyrimo apimtį, perkeldami jį už šilumos laidumo tyrimų ribų. Tačiau daugumą mokslininkų ir toliau kankino klausimas: „Ar sinusoidinių eilučių suma gali susilyginti su tikslia nenutrūkstamos funkcijos verte?

Furjė serijos konvergencija: pavyzdys

Konvergencijos klausimas keliamas kaskart, kai reikia susumuoti begalines skaičių eilutes. Norėdami suprasti šį reiškinį, apsvarstykite klasikinį pavyzdį. Ar kada nors galite pasiekti sieną, jei kiekvienas tolesnis žingsnis yra perpus mažesnis už ankstesnį? Tarkime, kad esate du metrai nuo tikslo, pirmas žingsnis priartina jus prie pusiaukelės, kitas – prie trijų ketvirčių žymos, o po penkto įveiksite beveik 97 procentus kelio. Tačiau, kad ir kiek žingsnių atliktumėte, užsibrėžto tikslo griežtąja matematine prasme nepasieksite. Naudojant skaitinius skaičiavimus, galima parodyti, kad galiausiai galima priartėti prie savavališkai mažo nurodyto atstumo. Šis įrodymas prilygsta parodymui, kad bendra pusės, ketvirtadalio ir tt vertė bus viena.

Konvergencijos klausimas: antrasis atėjimas arba lordo Kelvino prietaisas

Šis klausimas vėl buvo iškeltas XIX amžiaus pabaigoje, kai Furjė serijomis buvo bandoma numatyti atoslūgių ir atoslūgių intensyvumą. Tuo metu lordas Kelvinas išrado įrenginį, kuris yra analoginis skaičiavimo įrenginys, leidžiantis kariuomenės ir prekybinio laivyno jūreiviams sekti šį gamtos reiškinį. Šis mechanizmas nustatė fazių ir amplitudių rinkinius iš potvynių aukščių lentelės ir atitinkamų laiko momentų, kruopščiai išmatuotų tam tikrame uoste per metus. Kiekvienas parametras buvo sinusoidinis potvynio aukščio išraiškos komponentas ir buvo vienas iš reguliarių komponentų. Matavimų rezultatai buvo įvesti į lordo Kelvino skaičiuotuvą, kuris susintetino kreivę, numatančią vandens aukštį kaip laiko funkciją kitiems metams. Labai greitai panašios kreivės buvo nubrėžtos visuose pasaulio uostuose.

O jei procesą nutraukia nepertraukiama funkcija?

Tuo metu atrodė akivaizdu, kad potvynio bangos prognozuotojas su daugybe skaičiavimo elementų gali apskaičiuoti daugybę fazių ir amplitudių ir taip pateikti tikslesnes prognozes. Nepaisant to, paaiškėjo, kad šio dėsningumo nepastebėta tais atvejais, kai potvynio išraiška, kurią reikėtų susintetinti, turėjo staigų šuolį, tai yra, buvo nenutrūkstama. Tuo atveju, kai į įrenginį įvedami duomenys iš laiko momentų lentelės, jis apskaičiuoja kelis Furjė koeficientus. Sinusoidinių komponentų dėka (pagal rastus koeficientus) atkuriama pirminė funkcija. Neatitikimas tarp pradinės ir atkurtos išraiškos gali būti išmatuotas bet kuriame taške. Atliekant pakartotinius skaičiavimus ir palyginimus, matyti, kad didžiausios paklaidos reikšmė nemažėja. Tačiau jie yra lokalizuoti regione, atitinkančiame nepertraukiamumo tašką, ir bet kuriame kitame taške linkę į nulį. 1899 metais šį rezultatą teoriškai patvirtino Joshua Willardas Gibbsas iš Jeilio universiteto.

Furjė eilučių konvergencija ir matematikos raida apskritai

Furjė analizė netaikoma išraiškoms, turinčioms begalinį skaičių serijų tam tikrame intervale. Apskritai Furjė eilutės, jei pradinė funkcija yra tikro fizinio matavimo rezultatas, visada suartėja. Šio proceso konvergencijos konkrečioms funkcijų klasėms klausimai lėmė naujų matematikos skyrių, pavyzdžiui, apibendrintų funkcijų teorijos, atsiradimą. Ji siejama su tokiais vardais kaip L. Schwartz, J. Mikusinsky ir J. Temple. Šios teorijos rėmuose buvo sukurtas aiškus ir tikslus teorinis pagrindas tokioms išraiškoms kaip Dirako delta funkcija (ji apibūdina vienos srities plotą, sutelktą be galo mažoje taško kaimynystėje) ir Heaviside. žingsnis“. Šio darbo dėka Furjė serija tapo pritaikyta sprendžiant lygtis ir uždavinius, kuriuose atsiranda intuityvios sąvokos: taškinis krūvis, taškinė masė, magnetiniai dipoliai, taip pat koncentruota spindulio apkrova.

Furjė metodas

Furjė serijos, pagal trukdžių principus, prasideda sudėtingų formų skaidymu į paprastesnes. Pavyzdžiui, šilumos srauto pasikeitimas paaiškinamas jo praėjimu per įvairias kliūtis, pagamintas iš netaisyklingos formos šilumą izoliuojančios medžiagos arba žemės paviršiaus pasikeitimu – žemės drebėjimu, dangaus kūno orbitos pasikeitimu – įtaka planetos. Paprastai panašios lygtys, apibūdinančios paprastas klasikines sistemas, elementariai išsprendžiamos kiekvienai atskirai bangai. Furjė parodė, kad paprasti sprendimai taip pat gali būti apibendrinti, kad būtų pateikti sudėtingesnių problemų sprendimai. Išreikšta matematikos kalba, Furjė serija yra išraiškos kaip harmonikų - kosinuso ir sinusoidų - sumos vaizdavimo technika. Todėl ši analizė taip pat žinoma kaip „harmoninė analizė“.

Furjė serija – ideali technika prieš „kompiuterių amžių“

Prieš kuriant kompiuterines technologijas, Furjė technika buvo geriausias ginklas mokslininkų arsenale dirbant su mūsų pasaulio bangine prigimtimi. Sudėtinga Furjė serija leidžia išspręsti ne tik paprastas problemas, kurias galima tiesiogiai pritaikyti Niutono mechanikos dėsniams, bet ir pagrindines lygtis. Dauguma Niutono mokslo atradimų XIX amžiuje buvo įmanomi tik Furjė technika.

Furjė serija šiandien

Tobulėjant kompiuteriams Furjė transformacijos pakilo į kokybiškai naują lygį. Ši technika yra tvirtai įsitvirtinusi beveik visose mokslo ir technologijų srityse. Pavyzdys yra skaitmeninis garso ir vaizdo signalas. Ją įgyvendinti tapo įmanoma tik XIX amžiaus pradžioje prancūzų matematiko sukurtos teorijos dėka. Taigi Furjė serija sudėtinga forma leido padaryti proveržį kosminės erdvės tyrime. Be to, tai turėjo įtakos puslaidininkinių medžiagų ir plazmos fizikos, mikrobangų akustikos, okeanografijos, radaro ir seismologijos tyrimams.

Trigonometrinė Furjė serija

Matematikoje Furjė serija yra būdas pavaizduoti savavališkas sudėtingas funkcijas kaip paprastesnių funkcijų sumą. Paprastai tokių išraiškų skaičius gali būti begalinis. Be to, kuo labiau skaičiuojant atsižvelgiama į jų skaičių, tuo tikslesnis galutinis rezultatas. Dažniausiai trigonometrinės kosinuso arba sinuso funkcijos naudojamos kaip paprasčiausios. Šiuo atveju Furjė eilutės vadinamos trigonometrinėmis, o tokių išraiškų sprendimas – harmonikos išplėtimu. Šis metodas vaidina svarbų vaidmenį matematikoje. Visų pirma, trigonometrinė serija suteikia vaizdą, taip pat funkcijų tyrimą, tai yra pagrindinis teorijos aparatas. Be to, tai leidžia išspręsti daugybę matematinės fizikos problemų. Galiausiai ši teorija prisidėjo prie daugelio labai svarbių matematikos mokslo sekcijų (integralų teorijos, periodinių funkcijų teorijos) kūrimo ir atgaivino. Be to, tai buvo atspirties taškas kuriant šias realaus kintamojo funkcijas, taip pat buvo harmoninės analizės pradžia.

nuorašas

1 RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJOS NOVOSIBIRSKO VALSTYBINIO UNIVERSITETAS FIZIKOS FAKULTETAS R. K. Belkheeva FOURIER SERIJOS PAVYZDŽIAI IR UŽDUOTYS Mokomoji medžiaga Novosibirskas 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Furjė serijos pavyzdžiais ir uždaviniais: Vadovėlis / Novosib. valstybė un-t. Novosibirskas, s. ISBN Mokomojoje programoje pateikiama pagrindinė informacija apie Furjė serijas, pateikiami kiekvienos tiriamos temos pavyzdžiai. Išsamiai išanalizuotas Furjė metodo taikymo pavyzdys stygos skersinių virpesių problemai spręsti. Pateikiama iliustracinė medžiaga. Yra užduočių savarankiškam sprendimui. Skirta NSU Fizikos fakulteto studentams ir dėstytojams. Paskelbta NSU Fizikos fakulteto metodinės komisijos sprendimu. Recenzentas Dr. fiz.-math. Mokslai. V. A. Aleksandrovas ISBN c Novosibirsko valstybinis universitetas, 211 c Belkheeva R. K., 211

3 1. 2π periodinės funkcijos Furjė eilutės išplėtimas Apibrėžimas. Funkcijos f(x) Furjė eilutė yra funkcinė eilutė a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1), kur koeficientai a n, b n apskaičiuojami pagal formules: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) (2) (3) formulės vadinamos Eilerio Furjė formulėmis . Tai, kad funkcija f(x) atitinka Furjė eilutę (1), parašyta kaip formulė f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) ir sakoma, kad dešinioji formulės pusė ( 4) yra formali Furjė funkcijų serija f(x). Kitaip tariant, formulė (4) reiškia tik tai, kad koeficientai a n, b n randami pagal (2), (3) formules. 3

4 Apibrėžimas. 2π periodinė funkcija f(x) vadinama dalimis lygia, jei intervale [, π] yra baigtinis taškų skaičius = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 pav. 1. Funkcijos f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2 grafikas nelyginis n, lyginis n, f(x ) sin nxdx = nes funkcija f(x) yra lyginė. Funkcijai f(x) rašome formaliąją Furjė eilutę: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Išsiaiškinkite, ar funkcija f(x) yra gabalais lygi. Kadangi jis yra tęstinis, skaičiuojame tik ribas (6) intervalo x = ±π galiniuose taškuose ir lūžio taške x = : ir f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Ribos egzistuoja ir yra baigtinės, todėl funkcija yra iš dalies lygi. Pagal taškinės konvergencijos teoremą, jos Furjė eilutė konverguoja į skaičių f(x) kiekviename taške, t.y., f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) 2 ir 3 paveiksluose parodytas Furjė serijos S n (x), kur S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, dalinių sumų aproksimacijos funkcijai. f(x) intervale [, π] . 6

7 pav. 2 pav. Funkcijos f(x) grafikas su dengtais dalinių sumų grafikais S (x) = a 2 ir S 1(x) = a 2 + a 1 cos x 3. Funkcijos f (x) grafikas su dalinės sumos grafiku S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Pakeitę (7) x = gauname: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, iš kur randame skaičių eilutės sumą: = π2 8. Žinant šios eilutės sumą, tai yra nesunku rasti tokią sumą Turime: S = ( ) S = ()= π S, taigi S = π2 6, tai yra, 1 n = π Šios garsiosios serijos sumą pirmasis rado Leonhardas Euleris. Jis dažnai randamas matematinės analizės ir jos taikymo srityse. 2 PAVYZDYS. Nubraižykite grafiką, suraskite Furjė funkcijos eilutę, pateiktą formule f(x) = x, jei x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 pav. 4. Funkcijos f(x) grafikas Funkcija f(x) yra nuolat diferencijuojama intervale (, π). Taškuose x = ±π jis turi baigtines ribas (5): f() =, f(π) = π. Be to, yra baigtinės ribos (6): f(+ h) f(+) lim = 1 ir h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Vadinasi, f(x) yra sklandi funkcija. Kadangi funkcija f(x) yra nelyginė, tai a n =. Koeficientai b n randami integruojant dalimis: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1) )n+ vienas. n Sudarykime funkcijos 2(1) n+1 f(x) sin nx formaliąją Furjė eilutę. n 9 cosnxdx ] =

10 Pagal taškinės konvergencijos teoremą daliai sklandžiai 2π periodinei funkcijai, funkcijos f(x) Furjė eilutė konverguoja į sumą: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, jei π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 pav. 6 pav. Funkcijos f(x) grafikas su dalinės sumos S 2 (x) grafiku. 7. Funkcijos f(x) grafikas su dalinės sumos S 3 (x) 11 grafiku.

12 pav. 8. Funkcijos f(x) grafikas su ant jos uždėtos dalinės sumos S 99 (x) grafiku Gautą Furjė eilutę naudojame dviejų skaitinių eilučių sumoms rasti. Įdedame (8) x = π/2. Tada 2 () +... = π 2, arba = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Mes nesunkiai radome gerai žinomos Leibnizo eilutės sumą. Įdėję x = π/3 į (8), rasime () +... = π 2 3, arba (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 3 PAVYZDYS. Nubraižykite grafiką, suraskite funkcijos f(x) = sin x Furjė eilutę, darant prielaidą, kad jos periodas yra 2π, ir 1 apskaičiuokite skaičių serijos 4n 2 sumą 1. Sprendimas. Funkcijos f(x) grafikas parodytas pav. 9. Akivaizdu, kad f(x) = sin x yra nuolatinė lyginė funkcija su periodu π. Bet 2π taip pat yra funkcijos f(x) periodas. Ryžiai. 9. Funkcijos f(x) grafikas Apskaičiuokime Furjė koeficientus. Visi b n = nes funkcija lygi. Naudodami trigonometrines formules apskaičiuojame n n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1, jei n = 2k, = π n 2 1, jei n = 2k

14 Šis skaičiavimas neleidžia mums rasti koeficiento a 1, nes esant n = 1 vardiklis eina į nulį. Todėl koeficientą a 1 apskaičiuojame tiesiogiai: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Kadangi f(x) yra nuolat diferencijuojamas (,) ir (, π) ir taškuose kπ, (k yra sveikas skaičius), yra baigtinės ribos (5) ir (6), todėl funkcijos Furjė eilutė suartėja į tai kiekviename taške: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Funkcijos f(x) grafikas su dalinės sumos S(x) grafiku 14

15 pav. 11 pav. Funkcijos f(x) grafikas su dalinės sumos S 1 (x) grafiku. 12 pav. Funkcijos f(x) grafikas su dalinės sumos S 2 (x) grafiku. 13. Funkcijos f(x) grafikas su dalinės sumos S 99 (x) 15 grafiku.

16 1 Apskaičiuokite skaičių serijos sumą. Norėdami tai padaryti, į (9) x = įdedame 4n 2 1. Tada cosnx = 1 visiems n = 1, 2,... ir todėl 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. 4 PAVYZDYS. Įrodykime, kad jei dalimis lygi tolygi funkcija f(x) tenkina sąlygą f(x π) = f(x) visiems x (t.y. yra π-periodinė) , tada a 2n 1 = b 2n 1 = visiems n 1 ir atvirkščiai, jei a 2n 1 = b 2n 1 = visiems n 1, tai f(x) yra π-periodinis. Sprendimas. Tegul funkcija f(x) yra π-periodinė. Apskaičiuokime Furjė koeficientus a 2n 1 ir b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) ) cos (2n 1)xdx. Pirmajame integrale atliekame kintamojo x = t π keitimą: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Naudodami tai, kad cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t ir f(t π) = f(t), gauname: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Panašiai įrodyta, kad b 2n 1 =. Ir atvirkščiai, tegul a 2n 1 = b 2n 1 =. Kadangi funkcija f(x) yra ištisinė, tai pagal teoremą apie funkcijos atvaizdavimą taške pagal Furjė eilutes, gauname Tada f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), o tai reiškia, kad f(x) yra π-periodinė funkcija. 5 PAVYZDYS. Įrodykime, kad jei dalimis lygi funkcija f(x) tenkina sąlygą f(x) = f(x) visiems x, tai a = ir a 2n = b 2n = visiems n 1, ir atvirkščiai , jei a = a 2n = b 2n =, tai f(x π) = f(x) visiems x. Sprendimas. Tegul funkcija f(x) tenkina sąlygą f(x π) = f(x). Apskaičiuokime Furjė koeficientus: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Pirmajame integrale atliekame kintamojo x = t π pakeitimą. Tada f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Naudodami faktą, kad cos n(t π) = (1) n cosnt ir f(t π) = f(t), gauname: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = jei n lyginis, = 2 π f(t) cos nt dt, jei n nelyginis. π Panašiai įrodoma, kad b 2n =. Ir atvirkščiai, tegul a = a 2n = b 2n =, visiems n 1. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi, tai pagal teoremą apie funkcijos atvaizdavimą taške jos Furjė eilutė atitinka lygybę f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). aštuoniolika

19 Tada = f(x π) = = = f(x). 6 PAVYZDYS. Ištirkime, kaip išplėsti funkciją f(x), integruojamą į intervalą [, π/2], į intervalą [, π], kad jos Furjė eilutė būtų tokia: a 2n 1 cos(2n 1) x. (1) Sprendimas. Tegul funkcijos grafikas turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 14. Kadangi (1) serijoje a = a 2n = b 2n = visiems n, tai iš 5 pavyzdžio išplaukia, kad funkcija f(x) turi tenkinti lygybę f(x π) = f(x) visiems x. Šis stebėjimas suteikia galimybę išplėsti funkciją f(x) iki intervalo [, /2] : f(x) = f(x+π), pav. 15. Iš to, kad (1) serijoje yra tik kosinusai, darome išvadą, kad tęstinė funkcija f (x) turi būti lygi (t.y. jos grafikas turi būti simetriškas Oy ašiai), pav.

20 pav. 14. Funkcijos f(x) grafikas 15. Funkcijos f(x) tęsinio intervale [, /2] 2 grafikas

21 Taigi norimos funkcijos forma parodyta pav. 16. pav. 16. Funkcijos f(x) tęsinio grafikas intervale [, π] Susumavus, darome išvadą, kad funkciją reikia tęsti taip: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), tai yra intervalas [π/2, π], funkcijos f(x) grafikas yra centre simetriškas taškui (π/2,), o intervale [, π] jos grafikas yra simetriškas Oy ašiai. 21

22 PAVYZDŽIŲ APIBENDRINIMAS 3 6 Tegu l >. Apsvarstykite dvi sąlygas: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Geometriniu požiūriu sąlyga (a) reiškia, kad funkcijos f(x) grafikas yra simetriškas vertikaliai tiesei x = l/2, o sąlyga (b), kad grafikas f(x) yra simetriškas apie taškas (l/2;) ant abscisių ašies. Tada teisingi šie teiginiai: 1) jei funkcija f(x) lygi ir tenkinama sąlyga (a), tai b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) jei funkcija f(x) lyginė ir sąlyga (b) tenkinama, tai b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) jei funkcija f(x) yra nelyginė ir sąlyga (a) tenkinama, tai a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) jei funkcija f(x) yra nelyginė ir sąlyga (b) tenkinama, tai a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. PROBLEMOS 1 7 uždaviniuose nubraižykite grafikus ir suraskite funkcijų Furjė eilutes (darant prielaidą, kad jų periodas yra 2π: jei< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 jei /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Funkcijos, pateiktos intervale [, π], išplėtimas tik sinusais arba tik kosinusais Tegul funkcija f yra pateikta intervale [, π]. Norėdami išplėsti jį šiame intervale į Furjė eilutę, pirmiausia savavališkai išplečiame f į intervalą [, π], o tada naudojame Eilerio Furjė formules. Funkcijos tęsimo savavališkumas lemia tai, kad tai pačiai funkcijai f: [, π] R galime gauti skirtingas Furjė eilutes. Tačiau šią savivalę galima panaudoti taip, kad išplėtimas būtų gautas tik sinusais arba tik kosinusais: pirmuoju atveju užtenka tęsti f nelyginiu, o antruoju – lyginiu būdu. Sprendimo algoritmas 1. Tęskite funkciją nelyginiu (lyginiu) būdu ties (,), o po to periodiškai su 2π periodu tęskite funkciją visoje ašyje. 2. Apskaičiuokite Furjė koeficientus. 3. Sudarykite funkcijos f(x) Furjė eilutę. 4. Patikrinkite eilučių konvergencijos sąlygas. 5. Nurodykite funkciją, prie kurios susilies ši serija. 7 PAVYZDYS. Išplėskite funkciją f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 pav. 17. Tęstinės funkcijos grafikas Akivaizdu, kad funkcija f (x) yra gabalais lygi. Apskaičiuokime Furjė koeficientus: a n = visiems n, nes funkcija f (x) yra nelyginė. Jei n 1, tai b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, jei n = 2 k + 1, (1) n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, jei n = 2k. π n 2 1 Jei n = 1 ankstesniuose skaičiavimuose, vardiklis išnyksta, todėl koeficientą b 1 galima apskaičiuoti tiesiogiai.

26 Iš esmės: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Sudarykite funkcijos f (x) Furjė eilutę: f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Kadangi funkcija f (x) yra iš dalies lygi, tai pagal taškinės konvergencijos teoremą, funkcijos f (x) Furjė eilutė konverguoja į sumą cosx, jei π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 pav. 18 pav. Funkcijos f (x) grafikas su dalinės sumos S 1 (x) grafiku. 19. Funkcijos f(x) grafikas su dalinės sumos S 2 (x) grafiku 27

28 pav. 2 pav. Funkcijos f (x) grafikas su dalinės sumos S 3 (x) grafiku. 21 pavaizduoti funkcijos f (x) ir jos dalinės sumos S 99 (x) grafikai. Ryžiai. 21. Funkcijos f (x) grafikas su dalinės sumos S 99 (x) 28 grafiku.

29 8 PAVYZDYS. Išplėskime funkciją f(x) = e ax, a >, x [, π] Furjė eilutėje tik kosinusais. Sprendimas. Tęsiame funkciją tolygiai iki (,) (t. y. taip, kad lygybė f(x) = f(x) galiotų visiems x (, π)), o po to periodiškai su 2π periodu visai realiai ašį. Gauname funkciją f (x), kurios grafikas parodytas fig. 22. Funkcija f (x) taškuose 22. Tęstinės funkcijos f (x) x = kπ grafikas, k yra sveikasis skaičius, turi kinkų. Apskaičiuokime Furjė koeficientus: b n =, nes f (x) lyginis. Integruodami dalimis, gauname 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π π πa eax cosnx = 2 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2nxxd cos nx π a 2eax a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Todėl a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Kadangi f (x) yra tolydis, pagal taškinės konvergencijos teoremą jos Furjė eilutė konverguoja į f (x). Vadinasi, visiems x [, π] turime f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Paveikslėliai parodo Furjė serijos dalinių sumų laipsnišką aproksimaciją tam tikrai nepertraukiamai funkcijai. 3

31 pav. 23. F (x) ir S (x) funkcijų grafikai 24. F (x) ir S 1 (x) funkcijų grafikai 25. Funkcijų f (x) ir S 2 (x) grafikai 26. F (x) ir S 3 (x) 31 funkcijų grafikai

32 pav. 27. Funkcijų f (x) ir S 4 (x) grafikai 28. Funkcijos f (x) ir S 99 (x) UŽDAVINIMAS 9. Išplėskite funkciją f (x) = cos x, x π Furjė eilutėje tik kosinusais. 1. Išplėskite funkciją f (x) \u003d e ax, a >, x π Furjė eilutėje tik sinusų atžvilgiu. 11. Išplėskite funkciją f (x) \u003d x 2, x π Furjė eilutėje tik sinusais. 12. Išplėskite funkciją f (x) \u003d sin ax, x π Furjė eilutėje tik kosinusais. 13. Išplėskite funkciją f (x) \u003d x sin x, x π Furjė eilutėje tik sinusais. Atsakymai 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Jei a nėra sveikas skaičius, tai sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; jei a = 2m yra lyginis skaičius, tai sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; jei a = 2m 1 yra teigiamas nelyginis skaičius, tai sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Funkcijos su savavališku periodu Furjė eilutė Tarkime, kad funkcija f(x) apibrėžta intervale [ l, l], l >. Pakeitę x = ly, y π, gauname funkciją g(y) = f(ly/π), apibrėžtą intervale π [, π]. Ši funkcija g(y) atitinka (formaliąją) Furjė eilutę () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), kurios koeficientai randami pagal Eilerio Furjė formules: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cosny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sinny dy, n = 1, 2,.... π l, gauname šiek tiek modifikuotą funkcijos f(x) trigonometrinę eilutę: kur f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n2 =, ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Teigiama, kad (11) (13) formulės apibrėžia išplėtimą Furjė funkcijos serijoje su savavališku periodu. 9 PAVYZDYS. Raskite intervale (l, l) pateiktos funkcijos Furj eilutę pagal išraišką ( A jei l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos π + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = jei n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = Bn (1). πn Sudarykite funkcijos f (x) Furjė eilutę: f(x) A + B π (B A Kadangi cosπn = (1) n, tai n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l n = 2k gauname b n = b 2k =, n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Vadinasi, f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Pagal taškinės konvergencijos teoremą, funkcijos f(x) Furjė eilutė konverguoja į sumą A, jei l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 pav. 29. Funkcijos f (x) grafikas su dengtų harmonikų S (x) = a 2 ir S 1 (x) = b 1 sinx grafikais. Aiškumo dėlei trijų aukštesnių harmonikų S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l ir S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx grafikai perkeliami vertikaliai iki l 37

38 pav. 3 pav. Funkcijos f(x) grafikas su dalinės sumos S 99 (x) grafiku. 31. Fragmentas pav. 3 kitoje skalėje 38

39 PROBLEMOS Išplėskite nurodytas Furjė serijos funkcijas nurodytais intervalais. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x) ) = sin π x, (1, 1).( 2 1, jei 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2) πx cos, π1) 2 (2n) l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Furjė serijos kompleksinė forma Dekompozicija f(x) = c n e inx, kur c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., vadinama Furjė serijos kompleksine forma. Funkcija išplečiama į sudėtingą Furjė seriją tomis pačiomis sąlygomis, kuriomis ji išplečiama į tikrą Furjė seriją. keturi

41 PAVYZDYS 1. Raskite Furjė eilutę kompleksine funkcijos, pateiktos formule f(x) = e ax, forma intervale [, π), kur a yra tikrasis skaičius. Sprendimas. Apskaičiuokime koeficientus: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Funkcijos f kompleksinė Furjė eilutė turi formą f(x) sh aπ π n= (1) n a in einx. Patikrinkite, ar funkcija f(x) yra gabalais lygi: intervale (, π) ji yra nuolat diferencijuojama, o taškuose x = ±π yra baigtinės ribos (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Todėl funkcija f(x) gali būti pavaizduota Furjė eilute sh aπ π n= (1) n a in einx, kuri konverguoja į sumą: ( e S(x) = ax, jei π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 11 PAVYZDYS. Raskite Furjė eilutę kompleksine ir realia funkcijos, pateiktos formule f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, forma, kur a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Prisiminkite, kad begalinės geometrinės progresijos su vardikliu q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Dabar suraskime Furjė seriją realia forma. Norėdami tai padaryti, sugrupuojame terminus su skaičiais n ir n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Kadangi c = 1, tada 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Tai Furjė eilutė tikrosios funkcijos f(x) forma. Taigi, neapskaičiavę nei vieno integralo, radome funkcijos Furjė eilutę. Tai darydami apskaičiavome kietąjį integralą, priklausomai nuo parametro cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Kiekvieną iš paprastųjų trupmenų išplečiame pagal geometrinės progresijos formulę: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Tai įmanoma, nes az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, arba, trumpiau, c n = 1 2i a n sgnn. Taigi randama Furjė serija sudėtinga forma. Grupuodami terminus su skaičiais n ir n, gauname funkcijos Furjė eilutes realia forma: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Vėlgi pavyko apskaičiuoti tokį kompleksinį integralą: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 24 UŽDAVINIMAS. Naudodamiesi (15), apskaičiuokite integralą cos nxdx 1 2a cosx + a 2 realiajam a, a > Naudodami (16), apskaičiuokite integralą sin x sin nxdx realiajam a, a > a cosx + a2 Uždaviniuose , suraskite Furjė seriją sudėtingoje formoje funkcijoms. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Liapunovo lygybės teorema (Lyapunovo lygybė). Tegul funkcija f: [, π] R yra tokia, kad f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Todėl funkcijos f(x) Lyapunov lygybė įgauna tokią formą: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Iš paskutinės lygybės a π randame sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Darant prielaidą, kad a = π 2, gauname sin2 na = 1, kai n = 2k 1 ir sin 2 na = kai n = 2k. Todėl k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. 14 PAVYZDYS. Parašykime funkcijos f(x) = x cosx, x [, π] Lyapunov lygybę ir naudodamiesi ja suraskime skaičiaus sumą. serija (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Sprendimas. Tiesioginiai skaičiavimai duoda = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Kadangi f(x) yra lyginė funkcija, tai visiems n turime b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1) (n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, jei n = 2k, 2, jei n = 2k + 1. Koeficientas a 1 turi būti skaičiuojamas atskirai, nes bendrojoje formulėje n = 1 trupmenos vardiklis išnyksta . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Taigi funkcijos f(x) Lyapunov lygybė yra tokia: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π 32 UŽDAVINIMAS. Parašykite Lyapunov lygybę. funkcijai ( x f(x) = 2 πx, jei x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Atsakymai + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, kur c n yra Furjė koeficientas 2π iš f(n), ir yra Furjė koeficiento funkcijos g(x). 6. Furjė eilučių diferenciacija Tegul f: R R yra nuolat diferencijuojama 2π periodinė funkcija. Jos Furjė eilutė turi tokią formą: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Šios funkcijos išvestinė f (x) bus ištisinė ir 2π periodinė funkcija, kuriai galima parašyti formalią Furjė eilutę: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), kur a, a n , b n, n = 1 , 2,... Funkcijos f (x) Furjė koeficientai. 51

52 Teorema (dėl Furjė eilučių diferenciacijos pagal terminą). Remiantis aukščiau pateiktomis prielaidomis, lygybės a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 yra teisingos. Įrodykime, kad tenkinus sąlygą f(x)dx =, galioja nelygybė 2 dx 2 dx, vadinama Steklovo nelygybe, ir patikriname, kad lygybė joje realizuojama tik f(x) = A formos funkcijoms. cosx. Kitaip tariant, Steklovo nelygybė pateikia sąlygas, kurioms esant išvestinės mažumas (vidutinio koeficiento) reiškia funkcijos mažumą (vidutinio koeficiento). Sprendimas. Išplėskime funkciją f(x) iki intervalo [, ] tolygiai. Išplėstinę funkciją pažymėkite tuo pačiu simboliu f(x). Tada tęstinė funkcija bus ištisinė ir dalimis lygi intervale [, π]. Kadangi funkcija f(x) yra ištisinė, tai f 2 (x) yra tolydi intervale ir 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Kadangi tęstinė funkcija yra lyginė, tai b n =, a = pagal sąlygą. Vadinasi, Lyapunov lygybė įgauna formą 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Įsitikinkite, kad f (x) tenkina Furjė serijų diferenciacijos pagal terminą teoremos išvadą, tai yra, kad a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Tegul išvestinė f (x) patiria pertraukas taškuose x 1, x 2,..., x N intervale [, π]. Pažymėkite x =, x N+1 = π. Integravimo intervalą [, π] padalinkime į N +1 intervalus (x, x 1),..., (x N, x N+1), kurių kiekviename f(x) yra tolydžio diferencijuojamas. Tada, naudojant integralo adityvumo savybę ir integruojant dalimis, gauname: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Panašiai gauname a n = nb n. Mes parodėme, kad teorema apie Furjė eilučių diferenciaciją pagal terminą, kai tolydžios 2π-periodinės funkcijos, kurios išvestinėje intervale [, π] patiria pirmosios rūšies netolydumus, yra teisinga. Taigi f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, nes a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,... Nes 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Kadangi kiekvienas (18) eilutės narys yra didesnis arba lygus atitinkamam (17) eilutės nariui, tada 2 dx 2 dx. Prisimindami, kad f(x) yra lygus pradinės funkcijos tęsinys, turime 2 dx 2 dx. Tai įrodo Steklovo lygybę. Dabar panagrinėkime, kurioms funkcijoms Steklovo nelygybėje galioja lygybė. Jei bent vienam n 2 koeficientas a n yra nulis, tai a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 UŽDAVINIAI 37. Tegul fragmentiškai lygi funkcija f(x) yra tolydi intervale [, π]. Įrodykite, kad esant sąlygai f() = f(π) = galioja nelygybė 2 dx 2 dx, dar vadinama Steklovo nelygybe, ir įsitikinkite, kad lygybė joje galioja tik f(x) = B sin x formos funkcijoms. . 38. Tegul funkcija f yra tolydi intervale [, π] ir turi jame (išskyrus tik baigtinį taškų skaičių) integruojamą kvadratu išvestinę f(x). Įrodykite, kad jei sąlygos f() = f(π) ir f(x) dx = tenkinamos, tai galioja nelygybė 2 dx 2 dx, vadinama Virtingerio nelygybe, o lygybė joje vyksta tik funkcijoms forma f(x ) = A cosx + B sinx. 56

57 7. Furjė eilučių taikymas sprendžiant dalines diferencialines lygtis Tiriant realų objektą (gamtos reiškinius, gamybos procesą, valdymo sistemą ir kt.), reikšmingi pasirodo du veiksniai: sukauptų žinių apie tiriamą objektą lygis ir matematinio aparato išsivystymo laipsnis. Dabartiniame mokslinių tyrimų etape buvo sukurta tokia grandinė: reiškinys fizinis modelis matematinis modelis. Fizinė problemos formuluotė (modelis) yra tokia: nustatomos proceso vystymosi sąlygos ir pagrindiniai jį įtakojantys veiksniai. Matematinė formuluotė (modelis) susideda iš faktorių ir sąlygų, pasirinktų fizikinėje formuluotėje, aprašymo lygčių sistemos forma (algebrinė, diferencialinė, integralinė ir kt.). Sakoma, kad problema yra gerai iškelta, jei tam tikroje funkcinėje erdvėje problemos sprendimas egzistuoja, vienareikšmiškai ir nuolat priklauso nuo pradinių ir ribinių sąlygų. Matematinis modelis nėra identiškas nagrinėjamam objektui, o yra apytikslis jo aprašymas.Stygos laisvųjų mažųjų skersinių virpesių lygties išvedimas.Seksime vadovėliu. Tegul virvelės galai būna pritvirtinti, o pati styga įtempta. Jei styga išvedama iš pusiausvyros (pavyzdžiui, ją traukiant ar smogiant), styga prasidės 57

58 dvejoti. Darysime prielaidą, kad visi stygos taškai juda statmenai jos pusiausvyros padėčiai (skersiniai virpesiai), ir kiekvienu laiko momentu styga guli toje pačioje plokštumoje. Paimkime šioje plokštumoje stačiakampių koordinačių sistemą xou. Tada, jei pradiniu momentu t = styga buvo išilgai ašies Ox, tada u reikš stygos nukrypimą nuo pusiausvyros padėties, tai yra, stygos taško su abscise x padėtį savavališku laiku t atitinka funkcijos u(x, t) reikšmę. Kiekvienai fiksuotai t reikšmei funkcijos u(x, t) grafikas parodo vibruojančios stygos formą momentu t (32 pav.). Esant pastoviai x vertei, funkcija u(x, t) pateikia taško, kurio abscisė x, judėjimo išilgai tiesės, lygiagrečios Ou ašiai, dėsnį, išvestinė u t yra šio judėjimo greitis, o antroji. išvestinė 2 u t 2 yra pagreitis. Ryžiai. 32. Jėgos, veikiančios be galo mažą eilutės atkarpą Parašykime lygtį, kurią turi tenkinti funkcija u(x, t). Norėdami tai padaryti, darome dar keletą supaprastinančių prielaidų. Darysime prielaidą, kad eilutė yra visiškai lanksti.

59 coy, tai yra, manysime, kad styga nesipriešina lenkimui; tai reiškia, kad eilutėje atsirandantys įtempiai visada nukreipiami liestiniu būdu į jos momentinį profilį. Manoma, kad eilutė yra elastinga ir jai galioja Huko dėsnis; tai reiškia, kad tempimo jėgos dydžio pokytis yra proporcingas stygos ilgio pokyčiui. Tarkime, kad eilutė yra vienalytė; tai reiškia, kad jo tiesinis tankis ρ yra pastovus. Mes nepaisome išorinių jėgų. Tai reiškia, kad mes svarstome laisvuosius svyravimus. Tirsime tik mažus stygos virpesius. Jei ϕ(x, t) žymime kampą tarp abscisių ašies ir eilutės liestinės taške su abscise x momentu t, tada mažų svyravimų sąlyga yra ta, kad ϕ 2 (x, t) gali būti nepaisoma lyginant su ϕ (x, t), t.y., ϕ 2. Kadangi kampas ϕ mažas, tai cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, todėl reikšmė (u x x,) 2 taip pat gali būti būti apleistas. Iš to iš karto išplaukia, kad svyravimo procese galime nepaisyti bet kurios eilutės atkarpos ilgio pasikeitimo. Iš tiesų, eilutės fragmento M 1 M 2 ilgis, projektuojamas į x ašies intervalą, kur x 2 = x 1 + x, yra lygus l = x 2 x () 2 u dx x. x Parodykime, kad pagal mūsų prielaidas įtempimo jėgos T vertė visoje eilutėje bus pastovi. Norėdami tai padaryti, paimame dalį eilutės M 1 M 2 (32 pav.) momentu t ir pakeičiame išmestų dalių veiksmą.

60 kov tempimo jėgomis T 1 ir T 2. Kadangi pagal sąlygą visi stygos taškai juda lygiagrečiai Ou ašiai ir nėra išorinių jėgų, įtempimo jėgų projekcijų į Ox ašį suma. turi būti lygus nuliui: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Vadinasi, dėl kampų ϕ 1 = ϕ(x 1, t) ir ϕ 2 = ϕ(x 2, t) mažumo darome išvadą, kad T 1 = T 2. Pažymėkite bendrąją T 1 = T 2 reikšmę. pagal T. Dabar apskaičiuojame tų pačių jėgų Ou ašyje projekcijų F u sumą: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Kadangi mažiems kampams sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t) ir tg ϕ(x, t) u(x, t)/x, (2) lygtis gali būti perrašyta kaip F u T (rus. ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Kadangi taškas x 1 pasirenkamas savavališkai, tai F u T 2 u x2(x, t) x. Suradus visas jėgas, veikiančias atkarpą M 1 M 2, jai taikome antrąjį Niutono dėsnį, pagal kurį masės ir pagreičio sandauga yra lygi visų veikiančių jėgų sumai. Stygos M 1 M 2 gabalo masė lygi m = ρ l ρ x, o pagreitis lygus 2 u(x, t). Niutono t 2 lygtis yra tokia: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, kur α 2 = T ρ yra pastovus teigiamas skaičius. 6

61 Sumažinę x, gauname 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Dėl to gavome tiesinę homogeninę antros eilės dalinę diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais. Ji vadinama stygų virpesių lygtimi arba vienmatės bangos lygtimi. (21) lygtis iš esmės yra Niutono dėsnio formuluotė ir apibūdina stygos judėjimą. Tačiau fiziškai formuluojant problemą buvo keliami reikalavimai, kad stygos galai būtų fiksuoti ir žinoma stygos padėtis tam tikru momentu. Šias sąlygas rašysime lygtyse taip: a) manysime, kad eilutės galai yra fiksuoti taškuose x = ir x = l, t.y., darysime prielaidą, kad visiems t ryšiai u(, t) = , u(l, t ) = ; (22) b) manysime, kad momentu t = eilutės padėtis sutampa su funkcijos f(x) grafiku, t.y., manysime, kad visiems x [, l] lygybė u(x, ) = f( x); (23) c) darysime prielaidą, kad momentu t = eilutės su abscise x taškas yra suteiktas greitis g(x), t.y., manysime, kad u (x,) = g(x). (24) t Ryšiai (22) vadinami ribinėmis sąlygomis, o santykiai (23) ir (24) – pradinėmis sąlygomis. Laisvos mažos skersinės 61 matematinis modelis

62 stygos virpesiai yra tai, kad reikia išspręsti (21) lygtį su ribinėmis sąlygomis (22) ir pradinėmis sąlygomis (23) ir (24) stygos laisvųjų mažų skersinių virpesių lygties sprendimas Furjė metodu.< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Pakeitę (25) į (21), gauname: X T = α 2 X T, (26) arba T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Sakoma, kad buvo atskirti kintamieji. Kadangi x ir t nepriklauso vienas nuo kito, kairioji (27) pusė nepriklauso nuo x, o dešinioji nepriklauso nuo t, o bendra šių santykių reikšmė yra 62

63 turi būti pastovus, kurį žymime λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Taigi gauname dvi įprastas diferencialines lygtis: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Šiuo atveju ribinės sąlygos (22) yra X()T(t) = ir X(l)T(t) =. Kadangi jie turi būti įvykdyti visiems t, t >, tai X() = X(l) =. (3) Raskime (28) lygties sprendinius, tenkinančius ribines sąlygas (3). Panagrinėkime tris atvejus. 1 atvejis: λ >. Pažymime λ = β 2. (28) lygtis yra X (x) β 2 X(x) =. Jai būdinga lygtis k 2 β 2 = turi šaknis k = ± β. Todėl (28) lygties bendrasis sprendinys yra X(x) = C e βx + De βx. Konstantas C ir D turime pasirinkti taip, kad būtų įvykdytos ribinės sąlygos (3), ty X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Kadangi β, tai ši lygčių sistema turi unikalų sprendimą C = D =. Taigi X(x) ir 63

64 u(x, t). Taigi 1 atveju gavome trivialų sprendimą, kurio toliau nenagrinėsime. 2 atvejis: λ =. Tada (28) lygtis įgauna formą X (x) = ir jos sprendimas akivaizdžiai pateikiamas formule: X(x) = C x+d. Pakeitę šį sprendimą ribinėmis sąlygomis (3), gauname X() = D = ir X(l) = Cl =, taigi C = D =. Taigi X(x) ir u(x, t), ir vėl turime trivialų sprendimą. 3 atvejis: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Toliau n priskirsime tik teigiamas reikšmes n = 1, 2,..., nes neigiamam n bus gauti tos pačios formos (nπ) sprendiniai. Reikšmės λ n = yra vadinamos savosiomis reikšmėmis, o funkcijos X n (x) = C n sin πnx diferencialinės lygties (28) savosios funkcijos su ribinėmis sąlygomis (3). Dabar išspręskime (29) lygtį. Jam būdingoji lygtis turi formą k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Kadangi aukščiau išsiaiškinome, kad (28) lygties netrivialūs sprendiniai X(x) egzistuoja tik esant neigiamam λ, lygiam λ = n2 π 2, toliau nagrinėsime būtent šiuos λ. (32) lygties šaknys yra k = ±iα λ, o (29) lygties sprendiniai turi tokią formą: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l kur A n ir B n yra savavališkos konstantos. Pakeitę formules (31) ir (33) į (25), randame konkrečius (21) lygties sprendinius, kurie tenkina ribines sąlygas (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin pnx. l l l Skliausteliuose įrašę faktorių C n ir įvedę žymėjimą C n A n = b n ir B n C n = a n, u n (X, T) rašome kaip (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) sin pnx. (34) l l l 65

66 Stygos virpesiai, atitinkantys sprendinius u n (x, t), vadinami natūraliais stygos virpesiais. Kadangi (21) lygtis ir ribinės sąlygos (22) yra tiesinės ir vienalytės, tai tiesinis sprendinių (34) derinys (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l bus a (21 ) lygties sprendimas, tenkinantis ribines sąlygas (22) su specialiu koeficientų a n ir b n pasirinkimu, kuris užtikrina vienodą eilučių konvergenciją. Dabar pasirenkame sprendinio (35) koeficientus a n ir b n taip, kad jis tenkintų ne tik ribines sąlygas, bet ir pradines sąlygas (23) ir (24), kur f(x), g(x) pateiktos funkcijos ( be to, f() = f (l) = g() = g(l) =). Darome prielaidą, kad funkcijos f(x) ir g(x) tenkina Furjė plėtimosi sąlygas. Pakeitę reikšmę t = į (35), gauname u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Diferencijuodami eilutes (35) t atžvilgiu ir pakeitę t =, gauname u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), ir tai yra funkcijų f(x) ir g(x) išplėtimas. į Furjė seriją. Todėl a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Koeficientų a n ir b n išraiškas pakeitę eilėmis (35), gauname (21) lygties sprendimą, kuris tenkina ribines (22) ir pradines sąlygas (23) ir (24). Taip išsprendėme laisvųjų mažų skersinių stygos virpesių problemą. Išaiškinkime stygos laisvųjų virpesių uždavinio, apibrėžtų (34) formule, savųjų funkcijų u n (x, t) fizikinę reikšmę. Perrašykime taip, kur u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Formulė (37) rodo, kad visi stygos taškai atlieka harmoninius virpesius tuo pačiu dažniu ω n = πnα ir faze πnα δ n. Virpesių amplitudė priklauso nuo l l stygos taško abscisės x ir yra lygi α n sin πnx. Esant tokiam svyravimui, visi stygos taškai vienu metu pasiekia savo l maksimalų nuokrypį viena ar kita kryptimi ir kartu pereina pusiausvyros padėtį. Tokie svyravimai vadinami stovinčiomis bangomis. Stovėjimo banga turės n + 1 fiksuotų taškų, pateiktų lygties sin πnx = šaknimis intervale [, l]. Fiksuoti taškai vadinami stovinčios bangos mazgais. Viduryje tarp mazgų - l mi yra taškai, kuriuose nukrypimai pasiekia maksimumą; tokie taškai vadinami antimazgais. Kiekviena eilutė gali turėti savo griežtai apibrėžtų dažnių virpesius ω n = πnα, n = 1, 2,.... Šie dažniai vadinami natūraliais stygos dažniais. Žemiausias l tonas, kurį gali sukurti styga, nustatomas pats 67

68 žemas natūralusis dažnis ω 1 = π T ir vadinamas pagrindiniu stygos tonu. Likę tonai, atitinkantys l ρ dažnius ω n, n = 2, 3,..., vadinami obertonais arba harmonikomis. Aiškumo dėlei pavaizduosime tipinius stygos profilius, skleidžiančius pagrindinį toną (33 pav.), pirmąjį obertoną (34 pav.) ir antrąjį obertoną (35 pav.). Ryžiai. 33 pav. Stygos, skleidžiančios pagrindinį toną, profilis. 34 pav. Pirmąjį obertoną skleidžiančios stygos profilis. 35 pav. Stygos, skleidžiančios antrąjį obertoną, profilis Jei styga atlieka laisvus virpesius, nulemtus pradinių sąlygų, tai funkcija u(x, t), kaip matyti iš (35) formulės, pavaizduota kaip individualios harmonikos. Taigi savavališkas svyravimas 68

69-oji styga yra stovinčių bangų superpozicija. Šiuo atveju stygos garso pobūdis (tonas, garso stiprumas, tembras) priklausys nuo santykio tarp atskirų harmonikų amplitudės Garso stiprumas, aukštis ir tembras Vibruojanti styga sužadina oro virpesius, kuriuos suvokia žmogus. ausis kaip stygos skleidžiamas garsas. Garso stiprumui būdinga virpesių energija arba amplitudė: kuo didesnė energija, tuo didesnis garso stiprumas. Garso aukštis nustatomas pagal jo dažnį arba virpesių periodą: kuo didesnis dažnis, tuo didesnis garsas. Garso tembrą lemia obertonų buvimas, energijos pasiskirstymas harmonikoje, tai yra vibracijų sužadinimo būdas. Obertonų amplitudės paprastai yra mažesnės už pagrindinio tonų amplitudę, o obertonų fazės gali būti savavališkos. Mūsų ausis nėra jautri svyravimų fazei. Palyginkite, pavyzdžiui, dvi kreives Fig. 36, pasiskolintas iš . Tai garso įrašas su tuo pačiu pagrindiniu tonu, išgautas iš klarneto (a) ir fortepijono (b). Abu garsai nėra paprasti sinusoidiniai virpesiai. Pagrindinis garso dažnis abiem atvejais yra toks pat ir tai sukuria tą patį toną. Tačiau kreivės modeliai skiriasi, nes pagrindiniai tonai yra skirtingi. Tam tikra prasme šie piešiniai parodo, kas yra tembras. 69

Hiperbolinio tipo lygtys. Begalinės ir pusiau begalinės stygos virpesiai. Furjė metodas Furjė metodas Stovinčios bangos 4 4.1 paskaita Hiperbolinio tipo lygtys. Begalybės ir pusiau begalybės svyravimai

MASKAVOS VALSTYBINIS CIVILINĖS AVIACIJOS TECHNINIS UNIVERSITETAS V.M. Liubimovas, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinovas

RUSIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA Federalinė valstybinė biudžetinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga MATI Rusijos valstybinis technologijos universitetas, pavadintas K. E. Ciolkovskio vardu

Baltarusijos Respublikos švietimo ministerija Vitebsko valstybinis technologijos universitetas Tema. „Eilutės“ Teorinės ir taikomosios matematikos katedra. sukūrė doc. E.B. Dunina. Pagrindinis

Federalinė švietimo agentūra Federalinė valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga PIETŲ FEDERALINIS UNIVERSITETAS R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya metodinė

Tema Furjė serija. Praktika Furjė serijos stačiakampėse funkcijų sistemose Dalinių ištisinių funkcijų erdvė Apibendrinta Furjė serija 3 Beselio nelygybė ir Furjė eilutės konvergencija Erdvė

SERIJŲ TEORIJA Serijų teorija yra svarbiausias matematinės analizės komponentas ir randa tiek teorinio, tiek daug praktinio pritaikymo. Atskirkite skaitmenines ir funkcines serijas.

TURINYS Furjė serija 4 Periodinės funkcijos samprata 4 Trigonometrinis polinomas 6 3 Stačiakampės funkcijų sistemos 4 Trigonometrinė Furjė serija 3 5 Furjė eilutė lyginėms ir nelyginėms funkcijoms 6 6 Dekompozicija

Federalinė švietimo agentūra Maskvos valstybinis geodezijos ir kartografijos universitetas (MIIGAIK) METODINIAI NURODYMAI IR SAVARANKIŠKAMS DARBO UŽDUOTYS kurso AUKŠTOJOJE MATEMATIKA

4 paskaita. Harmoninė analizė. Furjė serijos Periodinės funkcijos. Harmoninė analizė Moksle ir technikoje dažnai tenka susidurti su periodiniais reiškiniais, t. y. tais, kurie kartojasi.

V TEMA Furjė serijos 6 PASKAITA Periodinės funkcijos išplėtimas Furjė serijoje Daugelis gamtoje ir technologijoje vykstančių procesų turi savybių kartotis tam tikrais intervalais.

METODINIAI NURODYMAI APSKAIČIAVIMO UŽDUOTIS AUKŠTOSIOS MATEMATIKOS KURSO "PAprastųjų DIFERENCINIŲ LYGČIŲ SERIJOS DVIGUBAI INTEGRALIAI" III DALIS TEMINĖS SERIJOS Turinys Serija Skaitmeninė eilutė Konvergencija ir divergencija

6 Furjė serija 6 Stačiakampės funkcijų sistemos Furjė eilutės pagal stačiakampę funkcijų sistemą Funkcijos ϕ () ir ψ (), apibrėžtos ir integruotos atkarpoje [, ], šiame segmente vadinamos stačiakampėmis, jei

TIKRAS INTEGRALAS. Integralų sumos ir apibrėžtasis integralas Tegul funkcija y = f () apibrėžta intervale [, b ], kur< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Laipsnių eilutė 5 Laipsnių eilutė: apibrėžimas, konvergencijos sritis Funkcijų eilutės formos (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) skaičiai vadinami laipsnių eilėmis Skaičiai

BALTARUSIJOS VALSTYBINIO UNIVERSITETAS TAIKOMOJI MATEMATIKOS IR INFORMACIJOS MOKSLO FAKULTETAS Aukštosios matematikos katedra Mokymo priemonė Taikomosios matematikos ir informatikos fakulteto studentams

Pažvelkime į keletą pavyzdžių. Pavyzdys. Raskime begalinės geometrinės progresijos sumą Šios serijos bendrojo nario formulė yra a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Apskaičiuokime jo dalines sumas. Jei q =, tada

1.1 užduotis. Raskite diferencialinės lygties y = y(x) sprendinius, kurie nurodytoje srityje nėra identiški nuliai ir tenkina nurodytas ribines sąlygas (Šturmo-Liuvilio uždavinys) Sprendimas: Apsvarstykite

Matematinė analizė Tema: Apibrėžtinis integralas Netinkami integralai Lektorius Pakhomova E.G. 2017 II SKYRIUS. Apibrėžtinis integralas ir jo taikymas 1. Apibrėžtinis integralas ir jo savybės 1. Užduotys,

8 paskaita 4 Sturm-Liouville problema

Teksto paaiškinimai: ženklas skaitomas kaip "ekvivalentinis" ir reiškia, kad lygtys, esančios ženklo dešinėje ir kairėje nuo ženklo, turi tą patį sprendinių rinkinį, ženklas IR žymi realiųjų skaičių aibę, ženklas IN

82 4. 4 skyrius. Funkcinės ir galios serijos 4.2. 3 pamoka 4.2. 3 pamoka 4.2.. Funkcijos Teiloro išplėtimas APIBRĖŽIMAS 4.2.. Tegul funkcija y = f(x) yra be galo diferencijuota kurioje nors kaimynystėje

RUSIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA FEDERALINĖS VALSTYBĖS BIUDŽETINIS AUKŠTOJO PROFESINIO MOKYMO ĮSTAIGA "SAMARA VALSTYBINIS TECHNINIS UNIVERSITETAS" Taikomosios matematikos katedra

Federalinė geležinkelių transporto agentūra Uralo valstybinio universiteto geležinkelių transporto katedra "Aukštoji ir taikomoji matematika" N. P. Chuev Harmoninės analizės metodo elementai

3 paskaita Taylor ir Maclaurin serija Galios eilučių taikymas Funkcijų išplėtimas į galios eilutes Taylor ir Maclaurin serijos Taikomoms programoms svarbu turėti galimybę išplėsti nurodytą funkciją į galios eilutę, tos funkcijos

S A Lavrenchenko wwwwrckoru paskaita Furjė transformacija Integralios transformacijos samprata Integrinių transformacijų metodas yra vienas iš galingiausių matematinės fizikos metodų ir yra galingas sprendimas

Funkcijos (pagal Riemanno) ir apibrėžtojo integralo integralumas Problemų sprendimo pavyzdžiai 1. Konstanta funkcija f(x) = C yra integruojama į , nes bet kuriai pertvarai ir bet kokiam taškų pasirinkimui ξ i integralas

I žinoma, užduotis. Įrodykite, kad Riemano funkcija, jei 0, m m R(), jei, m, m 0, o trupmena neredukuojama, 0, jei neracionali, yra nenutrūkstama kiekviename racionaliame taške ir tolydi kiekviename iracionaliame. Sprendimas.

1 2 Turinys 1 Furjė serija 5 1.1 Trigonometrinė Furjė serija ................. 5 1.2 Tik sin ir cos ............. ............ 7 1.3 Furjė serija kompleksine forma............. 11 1,4 f(x) = c k?......... ......

MATEMATINĖS FIZIKOS LYGTYBĖS 1. Dalinės diferencialinės lygtys

4 paskaita. Bangų lygtys 1. Stygų virpesių lygties išvedimas 2. Strypo išilginių virpesių lygtis 3. Pradinės sąlygos, ribinės sąlygos 4. Uždavinio sprendimas 1. Stygų virpesių lygties išvedimas

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika 6 pamoka Kintamųjų atskyrimas Dekarto koordinatėse 1.1. (1.49 uždavinys) z = plokštuma įkraunama tankiu σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), kur σ, α, β yra konstantos.

Modulio tema Funkcijų sekos ir serijos Sekų ir eilučių tolygios konvergencijos ypatybės.

Parabolinio tipo lygtys. Kintamųjų atskyrimo būdas Vienalytės ribinės reikšmės uždavinys Šaltinio funkcija Nehomogeninė šilumos lygtis 7 7.1 paskaita Parabolinio tipo lygtys. Atskyrimo būdas

Paskaita Skaitmeninė eilutė Konvergencijos ženklai Skaičių eilutės Konvergencijos ženklai Begalinė skaitinės sekos + + + + išraiška, sudaryta iš begalinės eilės narių, vadinama skaitine eilute.

35 7 Trigonometrinė Furjė serija Furjė eilutė periodinėms funkcijoms su periodu T. Tegul f(x) yra dalimis ištisinė periodinė funkcija su periodu T. Apsvarstykite pagrindinę trigonometrinę sistemą

Metalurgijos fakultetas Aukštosios matematikos katedra

Matematikos ir informatikos katedra Aukštosios matematikos elementai Ugdomasis ir metodinis kompleksas vidurinio profesinio mokymo studentams, besimokantiems nuotolinėmis technologijomis Modulis Diferencialinis skaičiavimas Sudarė:

9. Antiišvestinis ir neapibrėžtas integralas 9.. Tegu funkcija f() duota intervale I R. Funkcija F () vadinama antiderivatine funkcija f() intervale I, jei F () = f() bet kuriam I, ir antiderivatine

VIENO KINTAMOJO FUNKCIJŲ DIFERENCIJOS Išvestinės samprata, jos geometrinė ir fizinė reikšmė Problemos, vedančios prie išvestinės sampratos Lietinės S apibrėžimas tiesės y f (x) taške A x ; f(

Hiperbolinio tipo lygtys. Begalinės ir pusiau begalinės stygos virpesiai. d'Alemberto metodas Begalinė eilutė. d'Alemberto formulė Pusiau begalinė eilutė 3 3.1 paskaita Hiperbolinio tipo lygtys.

Pavadinimas Įvadas. Pagrindinės sąvokos.... 4 1. Volteros integralų lygtys... 5 Namų darbų variantai.... 8 2. Volteros integralinės lygties sprendėjas. 10 namų darbų variantų... 11

EILUTĖS. Skaičių eilutės. Pagrindiniai apibrėžimai Tegul pateikiama begalinė skaičių seka Išraiška (begalinė suma) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= vadinama a skaičių serija. Skaičiai

8. Laipsnių eilutė 8.. Funkcinė eilutė, kurios formos c n (z) n, (8.) n= čia c n yra skaitinė seka, R yra fiksuotas skaičius, o z R vadinama laipsnių eilute su koeficientais c n . Keičiant kintamuosius

~ ~ Neapibrėžtieji ir apibrėžtieji integralai Antidarinio ir neapibrėžtinio integralo samprata. Apibrėžimas: Funkcija F vadinama antiderivatine funkcijos f atžvilgiu, jei šios funkcijos yra susijusios taip

3724 KELIŲJŲ IR KREIVINIŲ INTEGRALŲ SERIJOS 1 SEKCIJŲ "DARBO IR KREIVINIŲ INTEGRALIŲ SERIJOS" DARBO PROGRAMA 11 Skaičių serija Skaičių eilutės samprata Skaičių eilučių savybės Būtinas konvergencijos kriterijus

VALGYTI. RŪDOS MATEMATINĖ ANALIZĖ. SKAIČIUS IR FUNKCINĖS SERIALOS NOVOSIBIRSKAS 200 2 RUSIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA SEI HPE "NOVOSIBIRSKO VALSTYBINIS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS" Ye.M. Rudoy MATEMATINĖ ANALIZĖ.

N 7 PASKAITA .Jėga

Kvadratinės LYGTYBĖS

UŽDUOTŲ SKYRIUS SU PARAMETRAIS Komentaras Užduotys su parametrais yra tradiciškai sudėtingos užduotys USE struktūroje, reikalaujančios, kad pareiškėjas ne tik įsisavintų visus metodus ir būdus, kaip išspręsti įvairius

Diferencialinis skaičiavimas Įvadas į matematinę analizę Sekos ir funkcijų riba. Neaiškumų viduje atskleidimas. Funkcijos išvestinė. Diferencijavimo taisyklės. Išvestinės taikymas

Furjė serijos stačiakampės funkcijų sistemos Algebros požiūriu lygybė kur yra tam tikros klasės funkcijos ir yra koeficientai iš R arba C tiesiog reiškia, kad vektorius yra tiesinė vektorių B kombinacija

1. Apibrėžtinis integralas 1.1. Tegu f yra apribota funkcija, apibrėžta atkarpoje [, b] R. Atkarpos [, b] skaidinys yra taškų aibė τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] taip, kad = x< x 1 < < x n 1

Ch Laipsnių eilutė a a a Formos a a a a a () eilutė vadinama laipsnių eilute, kur, a, yra konstantos, vadinamos eilučių koeficientais. Kartais laikoma bendresnės formos laipsnių eilutė: a a (a) a (a) ) a (a) (), kur

2. Eilučių koeficientų nustatymas Furjė formulėmis.

Tegul periodinė funkcija ƒ(x), kurios periodas yra 2π, yra tokia, kad ją pavaizduotų trigonometrinė eilutė, konverguojanti į nurodytą funkciją intervale (-π, π), t. y. yra šios eilutės suma:

Tarkime, kad funkcijos integralas kairėje šios lygybės pusėje yra lygus šios eilutės narių integralų sumai. Tai bus tiesa, jei manysime, kad skaičių eilutės, sudarytos iš duotų trigonometrinių eilučių koeficientų, absoliučiai konverguoja, t. y. teigiamos skaičių eilutės konverguoja

Serija (1) yra suskirstyta į didžiąją dalį ir gali būti integruojama po termino intervale (-π, π). Integruojame abi lygybės dalis (2):

Skaičiuojame atskirai kiekvieną integralą, esantį dešinėje:

,

,

Šiuo būdu, , kur

. (4)

Furjė koeficientų įvertinimas. (Bugrov)

1 teorema. Tegu 2π periodo funkcija ƒ(x) turi s eilės ištisinę išvestinę ƒ(s) (x), kuri tenkina nelygybę visoje realioje ašyje:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

tada funkcijos Furjė koeficientai ƒ tenkina nelygybę

Įrodymas. Integravimas dalimis ir atsižvelgiant į tai

ƒ(-π) = ƒ(π), turime

Integruojant dešinę (7) pusę nuosekliai, atsižvelgiant į tai, kad išvestinės ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) yra tolydžios ir taškuose t = -π ir t = π taip pat turi tokias pačias reikšmes. kaip įvertį (5), gauname pirmąjį įvertį (6).

Antrasis įvertinimas (6) gaunamas panašiu būdu.

2 teorema. Furjė koeficientai ƒ(x) tenkina nelygybę

(8)

Įrodymas. Mes turime

(9)

Įvesdami kintamojo pasikeitimą šiuo atveju ir atsižvelgdami į tai, kad ƒ(x) yra periodinė funkcija, gauname

Sudėjus (9) ir (10), gauname

Panašiai atliekame ir b k įrodymą.

Pasekmė. Jei funkcija ƒ(x) yra ištisinė, tai jos Furjė koeficientai linkę į nulį: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Funkcijų erdvė su skaliarine sandauga.

Funkcija ƒ(x) vadinama dalimis tolydi atkarpoje, jei ji yra ištisinė šioje atkarpoje, išskyrus galbūt baigtinį taškų skaičių, kur ji turi pirmos rūšies netolydumus. Tokius taškus galima sudėti ir padauginti iš realiųjų skaičių, todėl vėl galima gauti ištisines segmento funkcijas.

Dviejų ištisinių dalių skaliarinė sandauga (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Akivaizdu, kad bet kurioms ištisinėms funkcijoms ƒ , φ , ψ galioja šios savybės:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) ir lygybė (ƒ , ƒ) = 0 reiškia, kad ƒ(x) =0 ant , neįskaitant, galbūt, baigtinį taškų skaičių x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

kur α, β yra savavališki realieji skaičiai.

Visų fragmentiškai ištisinių funkcijų rinkinys, apibrėžtas intervale , kuriam pagal formulę (11) įvedamas skaliarinis sandauga, pažymėsime, ir skambučio erdvė

1 pastaba.

Matematikoje erdvė = (a, b) yra funkcijų ƒ(x), kurios yra integruojamos Lebesgue prasme, rinkinys kartu su jų kvadratais, kurių skaliarinė sandauga įvedama pagal (11) formulę. Aptariama erdvė yra dalis. Erdvė turi daug erdvės savybių, bet ne visas.

Savybės 1), 2), 3) reiškia svarbią Bunyakovskii nelygybę | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , kuris integralų kalboje atrodo taip:

Vertė

vadinama funkcijos f norma.

Norma turi šias savybes:

1) || f || ≥ 0, o lygybė gali būti tik nulinei funkcijai f = 0, t. y. funkcijai lygi nuliui, išskyrus, galbūt, baigtinį taškų skaičių;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

kur α yra tikrasis skaičius.

Antroji savybė integralų kalboje atrodo taip:

ir vadinama Minkovskio nelygybe.

Sakoma, kad funkcijų seka ( f n ), priklauso , suartėja su funkcija priklauso vidurkio kvadrato prasme (arba į normą ), jei

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijų seka ƒ n (x) tolygiai konverguoja su funkcija ƒ(x) atkarpoje , tada pakankamai dideliam n skirtumas ƒ(x) - ƒ n (x) absoliučia verte turi būti mažas visoms x iš segmento .

Jei atkarpoje ƒ n (x) linksta į ƒ(x) vidutine kvadrato prasme, tada nurodytas skirtumas gali būti nemenkas dideliems n visur . Kai kuriose atkarpos vietose šis skirtumas gali būti didelis, tačiau svarbu tik, kad jo kvadrato integralas virš atkarpos būtų mažas, kai n.

Pavyzdys. Pažymėkite duotąją ištisinę tiesinę funkciją ƒ n (x) (n = 1, 2,…), parodytą paveikslėlyje, ir

(Bugrov, p. 281, pav. 120)

Bet kokiam natūraliam n

ir dėl to ši funkcijų seka, nors ir konverguoja į nulį kaip n → ∞, nėra vienoda. Tuo tarpu

y., funkcijų seka (f n (x)) yra linkusi į nulį vidutinio kvadrato prasme.

Iš kai kurių funkcijų sekos elementų ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (priklausančių ) sudarome seką

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Pirmųjų n narių suma

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

yra funkcija, kuri priklauso . Jei taip atsitiks, kad egzistuoja funkcija ƒ tokia, kad

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

tada sakome, kad eilutė (12) susilieja su funkcija ƒ vidurkio kvadrato prasme ir rašome

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

2 pastaba.

Galima nagrinėti kompleksinės reikšmės funkcijų ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) erdvę = (a, b), kur ƒ 1 (x) ir ƒ 2 (x) yra realios ištisinės funkcijos. . Šioje erdvėje funkcijos dauginamos iš kompleksinių skaičių ir funkcijų skaliarinės sandaugos ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) ir φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) apibrėžiamas taip:

o norma ƒ apibrėžiama kaip reikšmė

Furjė serija- būdas pavaizduoti sudėtingą funkciją kaip paprastesnių, gerai žinomų funkcijų sumą.
Sinusas ir kosinusas yra periodinės funkcijos. Jie taip pat sudaro ortogonalinį pagrindą. Šią savybę galima paaiškinti pagal analogiją su ašimis X X X ir YY Y koordinačių plokštumoje. Lygiai taip pat, kaip galime apibūdinti taško koordinates ašių atžvilgiu, galime apibūdinti bet kurią funkciją sinusų ir kosinusų atžvilgiu. Trigonometrinės funkcijos yra gerai suprantamos ir lengvai pritaikomos matematikoje.

Jūs galite pavaizduoti sinusus ir kosinusus tokių bangų pavidalu:

Mėlyna yra kosinusai, raudona yra sinusai. Šios bangos dar vadinamos harmonikomis. Kosinusai yra lyginiai, sinusai yra nelyginiai. Terminas armonika kilęs iš antikos laikų ir siejamas su pastebėjimais apie tonų ryšį muzikoje.

Kas yra Furjė serija

Tokia serija, kur sinuso ir kosinuso funkcijos naudojamos kaip paprasčiausios, vadinamos trigonometrine. Jis pavadintas jo išradėjo Jeano Baptiste'o Josepho Furjė vardu, XVIII amžiaus pabaigoje – XIX amžiaus pradžioje. kurie įrodė, kad bet kurią funkciją galima pavaizduoti kaip tokių harmonikų derinį. Ir kuo daugiau imsitės, tuo tikslesnis bus šis vaizdas. Pavyzdžiui, paveikslėlis žemiau: matote, kad esant daugybei harmonikų, t.y. Furjė serijos narių, raudonas grafikas priartėja prie mėlynos - pradinės funkcijos.

Praktinis pritaikymas šiuolaikiniame pasaulyje

Ar šių eilučių dabar tikrai reikia? Kur jas galima pritaikyti praktiškai ir ar kas nors kitas, išskyrus teorinius matematikus, jas naudoja? Pasirodo, Furjė yra žinomas visame pasaulyje, nes jo serijos praktinis panaudojimas tiesiogine prasme yra neapskaičiuojamas. Patogu juos naudoti ten, kur yra kokių nors vibracijų ar bangų: akustikoje, astronomijoje, radijo inžinerijoje ir pan.. Paprasčiausias jų panaudojimo pavyzdys – kameros ar vaizdo kameros mechanizmas. Trumpai tariant, šie įrenginiai įrašo ne tik nuotraukas, bet ir Furjė serijos koeficientus. Ir tai veikia visur – žiūrint nuotraukas internete, filmuojant ar klausantis muzikos. Furjė serijos dėka dabar galite skaityti šį straipsnį iš savo mobiliojo telefono. Be Furjė transformacijos neturėtume pakankamai interneto ryšio pralaidumo, kad galėtume tiesiog žiūrėti „YouTube“ vaizdo įrašą, net ir standartine kokybe.

Šioje diagramoje yra dvimatė Furjė transformacija, kuri naudojama vaizdui suskaidyti į harmonikus, ty pagrindinius komponentus. Šioje diagramoje juodai užkoduota reikšmė -1, balta spalva 1. Grafiko dešinėje ir žemyn dažnis didėja.

Furjė plėtra

Tikriausiai jau pavargote skaityti, tad pereikime prie formulių.
Tokiai matematinei technikai kaip Furjė serijos funkcijų išplėtimas, reikės imti integralus. Daug integralų. Apskritai Furjė serija rašoma kaip begalinė suma:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x ) +b n​ nuodėmė (n x ) )
kur
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2 pi1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)sin(nx)dx

Jei kaip nors galime suskaičiuoti begalinį skaičių a n a_n a n​ ir b n b_n b n​ (jie vadinami Furjė plėtimosi koeficientais, A A A yra tik šio išplėtimo konstanta), tada gauta serija 100 % sutaps su pradine funkcija f(x)f(x) f(x) segmente nuo − π -\pi − π prieš π\pi π . Toks segmentas atsiranda dėl sinuso ir kosinuso integravimo savybių. Daugiau n n n, kuriai apskaičiuosime funkcijos išplėtimo į eilutę koeficientus, tuo tikslesnis šis išplėtimas bus.

Pavyzdys

Paimkime paprastą funkciją y = 5x y = 5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 pi1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 pi1 ​ − π ∫ π ​ 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) nuodėmė(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xnuodėmė(2 x) dx= − 5

Ir taip toliau. Tokios funkcijos atveju iš karto galime pasakyti, kad viskas a n = 0 a_n = 0an​ = 0 , koeficientai b n b_nbn​ teks skaičiuoti. Jei funkcijai imtume pirmuosius keturis Furjė serijos išplėtimo terminus y = 5x y = 5xy= 5 x, mes gauname:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{nuodėmė}(x)-5\cdot \mathrm{nuodėmė}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{nuodėmė}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{nuodėmė}(4\cdot x)$

Gautos funkcijos grafikas atrodys taip:

Gauta Furjė plėtra artėja prie mūsų pradinės funkcijos. Jei paimsime didesnį skaičių serijos terminų, pavyzdžiui, 15, jau pamatysime:

Kuo daugiau išplėtimo terminų serijoje, tuo didesnis tikslumas.
Jei šiek tiek pakeisime grafiko mastelį, pastebėsime dar vieną transformacijos ypatybę: Furjė eilutė yra periodinė funkcija su tašku. 2 π 2\pi2 π .

Taigi galima pavaizduoti bet kurią funkciją, kuri yra ištisinė segmente [ − π ; pi ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Visa tai būtina siekiant palengvinti kai kurių reiškinių, apibūdinamų sudėtingomis funkcijomis, analizę. Analitiškai (t. y. pagal formulę) išvestinę apskaičiuoti ne visada įmanoma, o esant sinusų ir kosinusų aibei tokios problemos nekils. Pats išplėtimas į Furjė seriją rodo, kad problemas dažnai galima išspręsti analitiškai naudojant supaprastintus modelius, kurių vienas pavyzdys yra Furjė serija.

Furjė periodinių funkcijų serija su periodu 2π.

Furjė serija leidžia tirti periodines funkcijas, jas skaidant į komponentus. Kintamosios srovės ir įtampa, poslinkiai, alkūninių mechanizmų greitis ir pagreitis bei akustinės bangos yra tipiškas praktinis periodinių funkcijų pritaikymas inžineriniuose skaičiavimuose.

Furjė eilutės išplėtimas grindžiamas prielaida, kad visos praktinės reikšmės funkcijos intervale -π ≤ x ≤ π gali būti išreikštos kaip konvergentinė trigonometrinė eilutė (eilutė laikoma konvergentine, jei dalinių sumų seka, sudaryta iš jos terminų, konverguoja) :

Standartinis (= įprastas) žymėjimas per sinx ir cosx sumą

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

kur a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. yra tikrosios konstantos, t.y.

Kur diapazone nuo -π iki π Furjė eilutės koeficientai apskaičiuojami pagal formules:

Vadinami koeficientai a o ,a n ir b n Furjė koeficientai, o jei juos galima rasti, vadinasi serija (1). netoli Furjė, atitinkančią funkciją f(x). Serijai (1) terminas (a 1 cosx+b 1 sinx) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė armonika,

Kitas būdas rašyti seriją yra naudoti santykį acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Kur a o yra konstanta, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 yra įvairių komponentų amplitudės ir yra lygios a n \ u003d arctg a n /b n.

Serijoje (1) terminas (a 1 cosx + b 1 sinx) arba c 1 sin (x + α 1) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė armonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) arba c 2 sin(2x+α 2) vadinamas antroji harmonika ir taip toliau.

Norint tiksliai atvaizduoti sudėtingą signalą, paprastai reikia begalinio skaičiaus terminų. Tačiau daugelyje praktinių problemų pakanka atsižvelgti tik į keletą pirmųjų terminų.

Furjė neperiodinių funkcijų serija su periodu 2π.

Neperiodinių funkcijų išplėtimas Furjė serijoje.

Jei funkcija f(x) yra neperiodinė, ji negali būti išplėsta Furjė serijoje visoms x reikšmėms. Tačiau galima apibrėžti Furjė eilutę, vaizduojančią funkciją bet kuriame 2π pločio diapazone.

Atsižvelgiant į neperiodinę funkciją, galima sukurti naują funkciją pasirinkus f(x) reikšmes tam tikrame diapazone ir kartojant jas už šio diapazono 2π intervalais. Kadangi naujoji funkcija yra periodinė su 2π periodu, ją galima išplėsti Furjė serijoje visoms x reikšmėms. Pavyzdžiui, funkcija f(x)=x nėra periodinė. Tačiau, jei reikia išplėsti ją į Furjė eilutę intervale nuo 0 iki 2π, tada periodinė funkcija su periodu 2π sudaroma už šio intervalo ribų (kaip parodyta paveikslėlyje žemiau).

Neperiodinėms funkcijoms, tokioms kaip f(x)=x, Furjė eilutės suma yra lygi f(x) reikšmei visuose nurodyto diapazono taškuose, bet nėra lygi f(x) taškams. už diapazono ribų. Norint rasti neperiodinės funkcijos Furjė eilutes diapazone 2π, naudojama ta pati Furjė koeficientų formulė.

Lyginės ir nelyginės funkcijos.

Jie sako, kad funkcija y=f(x) net jei f(-x)=f(x) visoms x reikšmėms. Lyginių funkcijų grafikai visada yra simetriški y ašiai (tai yra, jie yra veidrodiniai). Du lyginių funkcijų pavyzdžiai: y=x 2 ir y=cosx.

Jie sako, kad funkcija y=f(x) keista, jei f(-x)=-f(x) visoms x reikšmėms. Nelyginių funkcijų grafikai visada yra simetriški kilmei.

Daugelis funkcijų nėra nei lyginės, nei nelyginės.

Furjė serijos išplėtimas kosinusais.

Lyginės periodinės funkcijos f(x) su periodu 2π Furjė eilutėje yra tik kosinuso nariai (t. y. nėra sinuso narių) ir gali būti pastovus narys. Vadinasi,

kur yra Furjė eilutės koeficientai,

Nelyginės periodinės funkcijos f(x) su periodu 2π Furjė eilutėje yra tik terminai su sinusais (t. y. nėra terminų su kosinusais).

Vadinasi,

kur yra Furjė eilutės koeficientai,

Furjė serija per pusę ciklo.

Jei funkcija apibrėžta diapazone, tarkime, nuo 0 iki π, o ne tik nuo 0 iki 2π, ji gali būti išplėsta į eilę tik sinusų arba tik kosinusų atžvilgiu. Gauta Furjė serija vadinama netoli Furjė per pusę ciklo.

Jei norite gauti skaidymą Furjė per pusę ciklo kosinusais funkcijos f(x) diapazone nuo 0 iki π, tada reikia sudaryti lyginę periodinę funkciją. Ant pav. žemiau yra funkcija f(x)=x, pagrįsta intervalu nuo x=0 iki x=π. Kadangi lyginė funkcija yra simetriška f (x) ašiai, brėžiame liniją AB, kaip parodyta Fig. žemiau. Jei darysime prielaidą, kad už nagrinėjamo intervalo ribų gauta trikampio forma yra periodinė su 2π periodu, tada galutinis grafikas turi formą, ekraną. pav. žemiau. Kadangi Furjė plėtimąsi reikia gauti kosinusais, kaip ir anksčiau, apskaičiuojame Furjė koeficientus a o ir a n

Jei norite gauti funkcijas f (x) diapazone nuo 0 iki π, tuomet turite sudaryti nelyginę periodinę funkciją. Ant pav. žemiau yra funkcija f(x)=x, pagrįsta intervalu nuo x=0 iki x=π. Kadangi nelyginė funkcija yra simetriška kilmės atžvilgiu, mes sukuriame liniją CD, kaip parodyta Fig. Jei darysime prielaidą, kad už nagrinėjamo intervalo ribų gautas pjūklo signalas yra periodinis su 2π periodu, tada galutinis grafikas turi tokią formą, kaip parodyta Fig. Kadangi Furjė plėtimąsi reikia gauti per pusę ciklo sinusų atžvilgiu, kaip ir anksčiau, apskaičiuojame Furjė koeficientą. b

Furjė serija savavališkam intervalui.

Periodinės funkcijos išplėtimas L periodu.

Periodinė funkcija f(x) kartojasi x didėjant L, t.y. f(x+L)=f(x). Perėjimas nuo anksčiau nagrinėtų funkcijų su periodu 2π prie funkcijų su periodu L yra gana paprastas, nes tai galima padaryti pakeitus kintamąjį.

Norėdami rasti funkcijos f(x) Furjė eilutę diapazone -L/2≤x≤L/2, įvedame naują kintamąjį u, kad funkcijos f(x) periodas u atžvilgiu būtų 2π. Jei u=2πx/L, tai x=-L/2, kai u=-π ir x=L/2, kai u=π. Taip pat tegul f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Furjė serija F(u) turi formą

Kur yra Furjė serijos koeficientai,

Tačiau dažniau aukščiau pateikta formulė lemia priklausomybę nuo x. Kadangi u=2πх/L, tai du=(2π/L)dx, o integravimo ribos yra nuo -L/2 iki L/2, o ne nuo -π iki π. Todėl priklausomybės nuo x Furjė eilutė turi formą

kur intervale nuo -L/2 iki L/2 yra Furjė eilutės koeficientai,

(Integravimo ribas galima pakeisti bet kokiu L ilgio intervalu, pavyzdžiui, nuo 0 iki L)

Furjė serija per pusę ciklo funkcijoms, pateiktoms intervale L≠2π.

Pakeitimui u=πx/L intervalas nuo x=0 iki x=L atitinka intervalą nuo u=0 iki u=π. Todėl funkcija gali būti išplėsta į eilutę tik kosinusų atžvilgiu arba tik sinusų atžvilgiu, t.y. in Furjė serija per pusę ciklo.

Išplėtimas kosinusais diapazone nuo 0 iki L turi formą