Deret Fourier trigonometri. Deret trigonometri. Seri Fourier. Penerapan metode beda hingga

Dalam beberapa kasus, dengan memeriksa koefisien deret berbentuk (C), dapat ditentukan bahwa deret ini konvergen (kecuali, mungkin, titik-titik individual) dan merupakan deret Fourier untuk jumlahnya (lihat, misalnya, yang sebelumnya paragraf), namun dalam semua kasus ini, pertanyaan yang muncul secara alami,

bagaimana mencari jumlah deret-deret ini atau - lebih tepatnya - bagaimana menyatakannya dalam bentuk akhir melalui fungsi-fungsi dasar, jika dinyatakan dalam bentuk ini. Euler (dan juga Lagrange) berhasil menggunakan fungsi analitik dari variabel kompleks untuk menjumlahkan deret trigonometri dalam bentuk akhir. Ide dari metode Euler adalah sebagai berikut.

Mari kita asumsikan bahwa untuk himpunan koefisien tertentu, deret (C) dan konvergen berfungsi di mana pun dalam interval, mungkin hanya tidak termasuk titik-titik individual. Sekarang mari kita perhatikan deret pangkat dengan koefisien yang sama, disusun dalam pangkat variabel kompleks

Pada keliling lingkaran satuan, yaitu pada deret ini, dengan asumsi, konvergen, tidak termasuk titik-titik individual:

Dalam hal ini, oleh properti yang terkenal seri kekuatan deret (5) jelas konvergen di, yaitu, di dalam lingkaran satuan, yang mendefinisikan fungsi tertentu dari variabel kompleks. Menggunakan apa yang kita ketahui [lihat § 5 Bab XII] perluasan fungsi dasar dari variabel kompleks, seringkali fungsi tersebut dapat direduksi menjadi fungsi tersebut.

dan menurut teorema Abel, segera setelah deret (6) konvergen, diperoleh jumlah limitnya

Biasanya limit ini sama dengan yang memungkinkan kita menghitung fungsi dalam bentuk akhirnya

Misalnya, seri yang diusulkan

Pernyataan-pernyataan yang dibuktikan pada paragraf sebelumnya mengarah pada kesimpulan bahwa kedua deret tersebut konvergen (yang pertama tidak termasuk titik 0 dan

berfungsi sebagai deret Fourier untuk fungsi-fungsi yang didefinisikannya.Tetapi apakah fungsi-fungsi ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita buat sebuah seri

Berdasarkan kemiripannya dengan deret logaritma, penjumlahannya dapat dengan mudah ditentukan:

karena itu,

Sekarang perhitungan yang mudah memberikan:

jadi modulus ekspresi ini adalah, dan argumennya adalah.

dan akhirnya

Hasil ini sudah tidak asing lagi bagi kita dan bahkan pernah diperoleh dengan menggunakan pertimbangan yang “kompleks”; tetapi dalam kasus pertama kita mulai dari fungsi dan , dan yang kedua - dari fungsi analitis. Di sini untuk pertama kalinya kita Titik pangkal baris itu sendiri disajikan. Pembaca akan menemukan contoh lebih lanjut semacam ini di paragraf berikutnya.

Kami tekankan sekali lagi bahwa Anda harus yakin terlebih dahulu tentang konvergensi deret (C) dan berhak menentukan jumlahnya menggunakan persamaan limit (7). Adanya limit pada ruas kanan persamaan ini belum memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan tentang konvergensi deret tersebut. Untuk menunjukkan hal ini dengan sebuah contoh, perhatikan serinya

Menggunakan metode standar, tetapi kami menemui jalan buntu dengan contoh lain.

Apa kesulitannya dan di mana hambatannya? Mari kita kesampingkan tali sabun, dengan tenang menganalisis alasannya dan berkenalan dengan solusi praktis.

Pertama dan terpenting: dalam sebagian besar kasus, untuk mempelajari konvergensi suatu deret, perlu menggunakan beberapa metode yang sudah dikenal, tetapi suku umum deret tersebut dipenuhi dengan isian yang rumit sehingga sama sekali tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya. . Dan Anda berputar-putar: tanda pertama tidak berfungsi, tanda kedua tidak berfungsi, metode ketiga, keempat, kelima tidak berhasil, lalu drafnya dibuang dan semuanya dimulai lagi. Hal ini biasanya disebabkan oleh kurangnya pengalaman atau kesenjangan dalam bidang analisis matematika lainnya. Khususnya jika sedang berjalan batas urutan dan dibongkar secara dangkal batas fungsi, maka itu akan sulit.

Dengan kata lain, seseorang tidak melihat metode pengambilan keputusan yang diperlukan karena kurangnya pengetahuan atau pengalaman.

Kadang-kadang "gerhana" juga harus disalahkan, ketika, misalnya, kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret tidak terpenuhi, tetapi karena ketidaktahuan, kurangnya perhatian atau kelalaian, hal ini tidak terlihat. Dan ternyata seperti di cerita dimana seorang profesor matematika memecahkan masalah anak-anak dengan menggunakan barisan liar dan deret bilangan yang berulang =)

DI DALAM tradisi terbaik contoh langsung langsung: baris dan kerabatnya - tidak setuju, karena sudah dibuktikan secara teori batas urutan. Kemungkinan besar di semester pertama mereka akan mengguncang jiwa Anda untuk bukti 1-2-3 halaman, tapi sekarang sudah cukup untuk menunjukkan kegagalan. kondisi yang diperlukan konvergensi deret tersebut, mengacu pada fakta yang diketahui. Terkenal? Jika siswa tidak mengetahui bahwa akar ke-n adalah sesuatu yang sangat kuat, katakanlah, deret tersebut akan menempatkan dia di jalan buntu. Meskipun solusinya seperti dua kali dua: , yaitu. untuk alasan yang jelas, kedua seri berbeda. Komentar sederhana “batasan ini telah dibuktikan secara teori” (atau bahkan tidak ada sama sekali) sudah cukup untuk pengujian, lagipula perhitungannya cukup berat dan pastinya tidak termasuk dalam bagian deret bilangan.

Dan setelah mempelajari contoh-contoh berikut, Anda hanya akan terkejut melihat singkatnya dan transparansi banyak solusi:

Contoh 1

Selidiki konvergensi deret tersebut

Larutan: pertama-tama, kita periksa eksekusinya kriteria yang diperlukan untuk konvergensi. Ini bukan sekedar formalitas, namun sebuah kesempatan bagus untuk menghadapi contoh ini dengan “sedikit pertumpahan darah.”

“Inspeksi adegan” menunjukkan deret divergen (kasus deret harmonik umum), tetapi sekali lagi muncul pertanyaan, bagaimana cara memperhitungkan logaritma pada pembilangnya?

Contoh contoh tugas di akhir pelajaran.

Bukan hal yang aneh jika Anda harus melakukan penalaran dua langkah (atau bahkan tiga langkah):

Contoh 6

Selidiki konvergensi deret tersebut

Larutan: Pertama, mari kita hati-hati menangani omong kosong pembilangnya. Urutan – terbatas: . Kemudian:

Mari kita bandingkan seri kita dengan serinya. Karena pertidaksamaan ganda yang baru saja diperoleh, untuk semua “en” hal berikut ini berlaku:

Sekarang bandingkan deret tersebut dengan deret harmonik divergen.

Penyebut pecahan lebih sedikit oleh karena itu, penyebut pecahan tersebut pecahan itu sendiri – lagi pecahan (tuliskan beberapa suku pertama jika kurang jelas). Jadi, untuk "en" apa pun:

Artinya, berdasarkan perbandingan, rangkaiannya menyimpang bersama dengan deret harmonik.

Jika kita sedikit memodifikasi penyebutnya: , maka bagian pertama alasannya akan serupa: . Namun untuk membuktikan divergensi suatu deret, kita hanya dapat menerapkan uji perbandingan pembatas, karena pertidaksamaan tersebut salah.

Situasi deret konvergen bersifat “cermin”, yaitu misalnya untuk suatu deret dapat menggunakan kedua kriteria perbandingan (pertidaksamaan benar), tetapi untuk suatu deret hanya kriteria pembatas (pertidaksamaan salah).

Kami melanjutkan safari kami margasatwa, di mana sekawanan antelop yang anggun dan subur tampak di cakrawala:

Contoh 7

Selidiki konvergensi deret tersebut

Larutan: kriteria yang diperlukan untuk konvergensi terpenuhi, dan kita kembali bertanya pada diri sendiri pertanyaan klasik: apa yang harus dilakukan? Di hadapan kita ada sesuatu yang mengingatkan kita pada deret konvergen, namun tidak ada aturan yang jelas di sini - asosiasi seperti itu sering kali menipu.

Seringkali, tapi kali ini tidak. Dengan menggunakan kriteria pembatas untuk perbandingan Mari kita bandingkan deret kita dengan deret konvergen. Saat menghitung limit yang kami gunakan batas yang luar biasa , sedangkan kecil sekali berdiri:

menyatu bersama dengan di sebelah.

Alih-alih menggunakan teknik perkalian dan pembagian buatan standar dengan “tiga”, pada awalnya dimungkinkan untuk membuat perbandingan dengan deret konvergen.
Namun di sini disarankan untuk membuat reservasi bahwa faktor konstanta suku umum tidak mempengaruhi konvergensi deret tersebut. Dan solusi untuk contoh berikut dirancang persis dengan gaya ini:

Contoh 8

Selidiki konvergensi deret tersebut

Contoh di akhir pelajaran.

Contoh 9

Selidiki konvergensi deret tersebut

Larutan: pada contoh sebelumnya kita menggunakan batasan sinus, namun sekarang properti ini tidak lagi berlaku. Penyebut pecahan lebih tinggi tatanan pertumbuhan, daripada pembilangnya, oleh karena itu, ketika argumen sinus dan seluruh suku umum kecil sekali. Kondisi yang diperlukan untuk konvergensi, seperti yang Anda pahami, telah terpenuhi, yang tidak memungkinkan kita untuk mengabaikan pekerjaan kita.

Mari kita lakukan pengintaian: sesuai dengan kesetaraan yang luar biasa , buang sinus secara mental dan dapatkan deretnya. Ya, ini dan itu...

Mari kita ambil keputusan:

Mari kita bandingkan deret yang diteliti dengan deret divergen. Kami menggunakan kriteria perbandingan pembatas:

Mari kita ganti bilangan yang sangat kecil dengan bilangan yang setara: di .

Diperoleh bilangan berhingga selain nol yang berarti deret yang diteliti menyimpang bersama dengan deret harmonik.

Contoh 10

Selidiki konvergensi deret tersebut

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Untuk merencanakan tindakan lebih lanjut dalam contoh seperti itu, membuang sinus, arcsinus, tangen, dan arctangent secara mental sangat membantu. Tapi ingat, peluang ini hanya ada jika kecil sekali argumen, belum lama ini saya menemukan serial yang provokatif:

Contoh 11

Selidiki konvergensi deret tersebut
.

Larutan: Tidak ada gunanya menggunakan batasan arctangent di sini, dan kesetaraan juga tidak berfungsi. Solusinya ternyata sangat sederhana:


Seri sedang dipelajari menyimpang, karena kriteria yang diperlukan untuk konvergensi deret tersebut tidak terpenuhi.

Alasan kedua“Masalah dalam tugas ini” adalah bahwa anggota biasa cukup canggih, sehingga menyebabkan kesulitan yang bersifat teknis. Secara kasar, jika rangkaian yang dibahas di atas termasuk dalam kategori “siapa yang mengetahui”, maka rangkaian tersebut termasuk dalam kategori “siapa yang mengetahui”. Sebenarnya ini yang disebut kompleksitas dalam arti “biasa”. Tidak semua orang dapat dengan benar menyelesaikan beberapa faktorial, derajat, akar, dan penghuni sabana lainnya. Masalah terbesar tentu saja adalah faktorial:

Contoh 12

Selidiki konvergensi deret tersebut

Bagaimana cara menaikkan faktorial menjadi pangkat? Dengan mudah. Menurut aturan operasi dengan pangkat, setiap faktor produk perlu dipangkatkan:

Dan, tentu saja, perhatian dan perhatian lagi; tanda d'Alembert sendiri bekerja secara tradisional:

Demikianlah rangkaian yang sedang dipelajari menyatu.

Saya mengingatkan Anda tentang teknik rasional untuk menghilangkan ketidakpastian: jika sudah jelas tatanan pertumbuhan pembilang dan penyebut - tidak perlu menderita dan membuka tanda kurung.

Contoh 13

Selidiki konvergensi deret tersebut

Binatang buas ini sangat langka, namun memang terjadi, dan tidak adil jika mengabaikannya dengan lensa kamera.

Apa faktorial dengan ganda tanda seru? Faktorial “mengakhiri” hasil kali bilangan genap positif:

Demikian pula, faktorial “mengakhiri” hasil kali bilangan ganjil positif:

Analisis apa perbedaan dari dan

Contoh 14

Selidiki konvergensi deret tersebut

Dan dalam tugas ini, cobalah untuk tidak bingung dengan derajat, kesetaraan yang luar biasa Dan batas yang luar biasa.

Contoh solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Tetapi siswa tersebut tidak hanya diberi makan oleh harimau - macan tutul yang licik juga melacak mangsanya:

Contoh 15

Selidiki konvergensi deret tersebut

Larutan: kriteria yang diperlukan untuk konvergensi, kriteria pembatas, dan uji D'Alembert dan Cauchy menghilang hampir seketika. Namun yang terburuk adalah tanda kesenjangan yang berulang kali membantu kita tidak berdaya. Memang, perbandingan dengan deret divergen tidak mungkin dilakukan, karena tidak ada pertidaksamaan salah - pengali logaritma hanya menambah penyebut, mengurangi pecahan itu sendiri dalam kaitannya dengan pecahan. Dan pertanyaan global lainnya: mengapa kami awalnya yakin dengan seri kami haruskah menyimpang dan harus dibandingkan dengan beberapa rangkaian yang berbeda? Bagaimana jika dia akur?

Fitur integral? Integral tak wajar membangkitkan suasana sedih. Sekarang andai saja kita bertengkar … maka ya. Berhenti! Dari sinilah ide lahir. Kami merumuskan solusi dalam dua langkah:

1) Pertama kita periksa konvergensi deret tersebut . Kita gunakan fitur integral:

Integrasi kontinu pada

Jadi, serinya menyimpang bersama dengan integral tak wajar yang sesuai.

2) Mari kita bandingkan deret kita dengan deret divergen . Kami menggunakan kriteria perbandingan pembatas:

Diperoleh bilangan berhingga selain nol yang berarti deret yang diteliti menyimpang bersama dengan nomor .

Dan tidak ada yang aneh atau kreatif dalam keputusan seperti itu - begitulah keputusan yang harus diambil!

Saya mengusulkan untuk menyusun sendiri prosedur dua langkah berikut:

Contoh 16

Selidiki konvergensi deret tersebut

Seorang siswa dengan beberapa pengalaman dalam banyak kasus segera melihat apakah suatu rangkaian bertemu atau menyimpang, tetapi kebetulan seekor pemangsa dengan cerdik menyamarkan dirinya di semak-semak:

Contoh 17

Selidiki konvergensi deret tersebut

Larutan: pada pandangan pertama, sama sekali tidak jelas bagaimana perilaku seri ini. Dan jika ada kabut di depan kita, maka masuk akal untuk memulai dengan pemeriksaan kasar terhadap kondisi yang diperlukan untuk konvergensi deret tersebut. Untuk menghilangkan ketidakpastian, kami menggunakan unsinkable metode mengalikan dan membagi dengan ekspresi konjugasinya:

Tes konvergensi yang diperlukan tidak berhasil, tetapi berhasil air bersih kawan Tambov kami. Sebagai hasil dari transformasi yang dilakukan, diperoleh deret ekuivalen , yang pada gilirannya sangat mirip dengan deret konvergen.

Kami menuliskan solusi akhir:

Mari kita bandingkan deret ini dengan deret konvergen. Kami menggunakan kriteria perbandingan pembatas:

Kalikan dan bagi dengan ekspresi konjugasi:

Diperoleh bilangan berhingga selain nol yang berarti deret yang diteliti menyatu bersama dengan di sebelah.

Beberapa orang mungkin bertanya-tanya, dari mana datangnya serigala di safari Afrika kita? Tidak tahu. Mereka mungkin membawanya. Kulit piala berikut ini bisa Anda dapatkan:

Contoh 18

Selidiki konvergensi deret tersebut

Contoh solusi di akhir pelajaran

Dan terakhir, satu lagi pemikiran yang membuat banyak siswa putus asa: Bukankah sebaiknya kita menggunakan tes yang lebih jarang untuk konvergensi seri?? Uji Raabe, Uji Abel, Uji Gauss, Uji Dirichlet dan hewan tak dikenal lainnya. Idenya berhasil, tapi contoh nyata sangat jarang dilakukan. Secara pribadi, selama bertahun-tahun berlatih, saya hanya melakukan hal itu tanda Raabe, ketika tidak ada persenjataan standar yang benar-benar membantu. Saya akan mereproduksi sepenuhnya jalannya pencarian ekstrim saya:

Contoh 19

Selidiki konvergensi deret tersebut

Larutan: Tanpa diragukan lagi merupakan tanda d'Alembert. Selama perhitungan, saya secara aktif menggunakan properti derajat, dan juga batas indah kedua:

Begitu banyak untukmu. Tanda D'Alembert tidak memberikan jawaban, meskipun tidak ada yang meramalkan hasil seperti itu.

Setelah mengobrak-abrik buku referensi, saya menemukan batasan yang kurang diketahui yang terbukti secara teori dan menerapkan uji Cauchy radikal yang lebih kuat:

Ini dua untukmu. Dan, yang paling penting, sama sekali tidak jelas apakah rangkaian tersebut menyatu atau menyimpang (situasi yang sangat jarang terjadi bagi saya). Tanda perbandingan yang diperlukan? Tanpa banyak harapan - meskipun saya secara tak terbayangkan dapat mengetahui urutan pertumbuhan pembilang dan penyebutnya, ini belum menjamin imbalan.

Ini benar-benar buruk, tetapi hal terburuknya adalah perselisihan tersebut perlu diselesaikan. Perlu. Bagaimanapun, ini pertama kalinya aku menyerah. Dan kemudian saya teringat bahwa sepertinya ada tanda-tanda lain yang lebih kuat. Di hadapanku bukan lagi serigala, macan tutul, atau harimau. Itu adalah seekor gajah besar yang melambaikan belalainya yang besar. Saya harus mengambil peluncur granat:

tanda Raabe

Pertimbangkan deret bilangan positif.
Jika ada batasnya , Itu:
a) Kapan baris menyimpang. Apalagi nilai yang dihasilkan bisa nol atau negatif
b) Kapan baris menyatu. Khususnya, deret tersebut konvergen di .
c) Kapan Tanda Raabe tidak memberikan jawaban.

Kami membuat batas dan menyederhanakan pecahan dengan hati-hati dan hati-hati:


Ya, gambarannya, secara halus, tidak menyenangkan, tetapi saya tidak lagi terkejut. Batasan seperti itu dipatahkan dengan bantuan aturan L'Hopital, dan pemikiran pertama, ternyata kemudian, ternyata benar. Namun pada awalnya saya memutarbalikkan batasan tersebut selama kurang lebih satu jam dengan menggunakan cara yang “biasa”, namun ketidakpastian tersebut tidak mau dihilangkan. Dan berjalan berputar-putar, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, adalah tanda khas bahwa solusi yang dipilih salah.

Saya harus beralih ke kebijaksanaan rakyat Rusia: “Jika semuanya gagal, bacalah instruksinya.” Dan ketika saya membuka volume ke-2 Fichtenholtz, saya sangat gembira karena menemukan sebuah studi tentang seri yang serupa. Dan kemudian solusinya mengikuti contoh tersebut.

Solusi Navier hanya cocok untuk menghitung pelat yang ditopang secara engsel sepanjang kontur. Yang lebih umum adalah solusi Levy. Hal ini memungkinkan Anda menghitung pelat yang berengsel pada dua sisi sejajar, dengan kondisi batas sewenang-wenang pada masing-masing dua sisi lainnya.

Pada pelat persegi panjang yang ditunjukkan pada Gambar. 5.11, (a), sisi-sisi yang ditopang secara engsel sejajar dengan sumbu kamu. Kondisi batas pada sisi-sisi ini mempunyai bentuk

Beras. 5.11

Jelaslah bahwa setiap suku suatu deret trigonometri tak hingga

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; turunan parsial kedua dari fungsi defleksi

(5.45)

pada X = 0 dan X = A juga sama dengan nol, karena berisi https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)

Mengganti (5.46) menjadi (5.18) menghasilkan

Mengalikan kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan , mengintegrasikan dari 0 hingga A dan mengingat itu

,

kita bisa mendefinisikan fungsinya Ym persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan

. (5.48)

Jika, untuk menyingkat notasinya, kita tunjukkan

persamaan (5.48) akan berbentuk

. (5.50)

Penyelesaian umum persamaan tak homogen (5.50), seperti diketahui dari persamaan diferensial, berbentuk

Ym(kamu) = JM (kamu)+Fm(kamu), (5.51)

Di mana JM (kamu) adalah solusi khusus dari persamaan tak homogen (5.50); jenisnya bergantung pada ruas kanan persamaan (5.50), yaitu pada jenis beban Q (X, kamu);

FM(kamu)= AstagaAMy + Bm chAMkamu + kamu(CmshAMy + Dm chAMkamu), (5.52)

solusi umum persamaan homogen

Empat konstanta sembarang Saya,DI DALAMM ,CM Dan Dm harus ditentukan dari empat kondisi untuk mengencangkan tepi pelat sejajar dengan sumbu yang menempel pada pelat konstan Q (X, kamu) = Q ruas kanan persamaan (5.50) berbentuk

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)

Karena ruas kanan persamaan (5.55) adalah konstan, maka ruas kirinya juga konstan; oleh karena itu semua turunan JM (kamu) sama dengan nol, dan

, (5.56)

, (5.57)

di mana ditunjukkan: .

Mari kita lihat catatannya terjepit sepanjang tepi sejajar dengan sumbu X(Gbr. 5.11, (c)).

Kondisi Batas Tepi kamu = ± B/2

. (5.59)

Karena simetri defleksi pelat relatif terhadap sumbu TENTANGX, V keputusan umum(5.52) hanya istilah yang mengandung bahkan fungsi. Sejak sh AMkamu– fungsinya ganjil, dan ch AM kamu– genap dan, dengan posisi sumbu yang diterima Oh, kamu SH AMkamu- bahkan, masuk pada bab AM kamu– ganjil, maka integral umum (5.51) dalam kasus yang dipertimbangkan dapat direpresentasikan sebagai berikut

. (5.60)

Karena pada (5.44) tidak bergantung pada nilai argumen kamu, pasangan kondisi batas kedua (5.58), (5.59) dapat ditulis sebagai:

Ym = 0, (5.61)

Y¢ M = = 0. (5.62)

Y¢ M = AMBm SH AMkamu + Cm SH AMy + y CmAM bab AMkamu =

AMBm SH AMkamu + Cm(SH AMkamu + kamuAM bab AMkamu)

Dari (5.60) – (5.63) berikut ini

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)

Mengalikan persamaan (5.64) dengan , dan persamaan (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)

Mengganti (5.66) ke persamaan (5.64) memungkinkan kita memperoleh Bm

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)

Dengan ekspresi fungsi ini YM. , rumus (5.44) untuk menentukan fungsi defleksi berbentuk

(5.69)

Deret (5.69) konvergen dengan cepat. Misalnya, untuk pelat persegi di tengahnya, yaitu di x =A/2, kamu = 0

(5.70)

Mempertahankan hanya satu suku dari deret tersebut pada (5.70), yaitu mengambil , diperoleh nilai defleksi yang dilebih-lebihkan kurang dari 2,47%. Mengingat bahwa P 5 = 306.02, kita akan menemukan Variasi" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">Metode variasi W. Ritz didasarkan pada prinsip variasi Lagrange yang dirumuskan dalam paragraf 2.

Mari kita pertimbangkan metode ini sehubungan dengan masalah pembengkokan pelat. Mari kita bayangkan permukaan lengkung pelat sebagai sebuah rangkaian

, (5.71)

Di mana fi(X, kamu) fungsi koordinat kontinu, yang masing-masing harus memenuhi syarat batas kinematik; Ci– parameter yang tidak diketahui ditentukan dari persamaan Lagrange. Persamaan ini

(5.72)

mengarah ke sistem N persamaan aljabar sehubungan dengan parameter Ci.

Secara umum energi deformasi suatu pelat terdiri dari tekuk U dan membran U M bagian

, (5.73)

, (5.74)

Di mana Mx.,Mkamu. ,Mxy– gaya lentur; NX., Ny. , Tidak– kekuatan membran. Bagian energi yang berhubungan dengan gaya transversal kecil dan dapat diabaikan.

Jika kamu, ay Dan w– komponen gerakan aktual, piksel. , py Dan hal– komponen intensitas beban permukaan, RSaya– kekuatan terkonsentrasi, D Saya gerakan linier yang sesuai, MJ- momen terkonsentrasi QJ– sudut rotasi yang sesuai (Gbr. 5.12), maka energi potensial gaya luar dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Jika tepi pelat memungkinkan terjadinya gerakan, maka tepi tersebut akan mengalami gaya ay. , M N. , mnt(Gbr. 5.12, (a)) meningkatkan potensi kekuatan eksternal

Beras. 5.12

Di Sini N Dan T– normal dan bersinggungan dengan elemen tepi ds.

Dalam koordinat Cartesian, dengan mempertimbangkan ekspresi gaya dan kelengkungan yang diketahui

, (5.78)

energi potensial total E pada pelat berbentuk persegi panjang A ´ B, di bawah aksi hanya beban vertikal hal

(5.79)

Sebagai contoh, perhatikan pelat persegi panjang dengan rasio aspek 2 A´ 2 B(Gbr. 5.13).

Pelat dijepit sepanjang kontur dan dibebani dengan beban yang seragam

hal = q = konstanta. Dalam hal ini, persamaan (5.79) untuk energi E disederhanakan

. (5.80)

Terima untuk w(x, kamu) baris

yang memenuhi kondisi kontur

Beras. 5.13

Mari kita pertahankan suku pertama saja dari deret tersebut

.

Kemudian menurut (5.80)

.

Dengan meminimalkan energi E menurut (5..gif" width="273 height=57" height="57">.

.

Lendutan pusat pelat persegi ukuran 2 A´ 2 A

,

yang 2,5% lebih banyak dari solusi eksak 0,0202 qa 4/D. Perhatikan bahwa defleksi bagian tengah pelat yang ditopang pada keempat sisinya adalah 3,22 kali lebih besar.

Contoh ini menggambarkan kelebihan metode ini: kesederhanaan dan kemampuan untuk memperoleh hasil yang baik. Pelat dapat memiliki bentuk yang berbeda dan ketebalan yang bervariasi. Kesulitan dalam metode ini, serta metode energi lainnya, muncul ketika memilih fungsi koordinat yang sesuai.

5.8. Metode ortogonalisasi

Metode ortogonalisasi diusulkan dan didasarkan pada sifat-sifat fungsi ortogonal berikut JSaya. , JJ

. (5.82)

Contoh fungsi ortogonal pada interval ( – P, P) dapat berfungsi sebagai fungsi trigonometri cos nx dan dosa nx untuk itu

Jika salah satu fungsinya, misalnya fungsi JSaya (X) identik dengan nol, maka kondisi (5.82) terpenuhi untuk fungsi arbitrer JJ (X).

Untuk menyelesaikan masalah pembengkokan pelat, persamaannya adalah

Anda bisa membayangkannya seperti ini

, (5.83)

Di mana F– luas yang dibatasi oleh kontur pelat; Jaku j– fungsi yang ditentukan sehingga memenuhi kondisi batas kinematik dan gaya dari soal.

Mari kita sajikan solusi perkiraan persamaan tekuk pelat (5.18) dalam bentuk seri

. (5.84)

Jika solusi (5.84) eksak, maka persamaan (5.83) akan terpenuhi secara identik untuk sistem fungsi koordinat apa pun Jaku j. , karena dalam hal ini DÑ2Ñ2 wn – Q = 0. Kita memerlukan persamaan tersebut DÑ2Ñ2 wn – Q ortogonal terhadap kelompok fungsi Jaku j, dan kami menggunakan persyaratan ini untuk menentukan koefisien Cij. . Substitusikan (5.84) ke (5.83) kita peroleh

. (5.85)

Setelah melakukan beberapa transformasi, kita memperoleh sistem persamaan aljabar berikut untuk ditentukan Caku j

, (5.86)

Dan Haku j = HJi.

Metode Bubnov-Galerkin dapat diberikan interpretasi sebagai berikut. Fungsi DÑ2Ñ2 wn – Q = 0 pada dasarnya adalah persamaan kesetimbangan dan mewakili proyeksi gaya eksternal dan internal yang bekerja pada elemen kecil pelat dalam arah sumbu vertikal z. Fungsi defleksi wn ada gerakan searah sumbu yang sama, dan fungsinya Jaku j dapat dianggap sebagai kemungkinan pergerakan. Oleh karena itu, persamaan (5.83) kira-kira menyatakan persamaan kerja semua gaya eksternal dan internal pada kemungkinan perpindahan hingga nol Jaku j. . Jadi, metode Bubnov-Galerkin pada dasarnya bersifat variasional.

Sebagai contoh, perhatikan pelat persegi panjang yang dijepit sepanjang kontur dan dibebani dengan beban yang terdistribusi secara merata. Dimensi pelat dan letak sumbu koordinatnya sama seperti pada Gambar. 5.6.

Kondisi perbatasan

pada X = 0, X= sebuah: w = 0, ,

pada kamu = 0, kamu = B: w = 0, .

Kami memilih ekspresi perkiraan untuk fungsi defleksi dalam bentuk seri (5.84) dimana fungsinya Jaku j

memenuhi syarat batas; Cij adalah koefisien yang diperlukan. Membatasi diri pada satu anggota seri

kita mendapatkan persamaan berikut

Setelah integrasi

Dari mana kita menghitung koefisiennya? DENGAN 11

,

yang sepenuhnya sesuai dengan koefisien DENGAN 11., diperoleh dengan metode

V.Ritsa - .

Sebagai perkiraan pertama, fungsi defleksi adalah sebagai berikut

.

Lendutan maksimum pada bagian tengah pelat berukuran persegi A ´ A

.

5.9. Penerapan metode beda hingga

Mari kita perhatikan penerapan metode beda hingga untuk pelat persegi panjang dengan kondisi kontur kompleks. Perbedaan operator adalah analog persamaan diferensial permukaan pelat yang melengkung (5.18), untuk jaring persegi, di D X = D kamu = D mengambil bentuk (3.54)

20 wi, J + 8 (wi, J+ 1 + wi, J– 1 + wi– 1, J + wi+ 1, J) + 2 (wi– 1, J– 1 + wi– 1, J+ 1 +

Beras. 5.14

Dengan mempertimbangkan adanya tiga sumbu simetri pembebanan dan deformasi pelat, kita dapat membatasi diri untuk mempertimbangkan kedelapan dan menentukan nilai defleksi hanya pada titik 1...10 (Gbr. 5.14, (b) ). Pada Gambar. 5.14, (b) menyajikan grid dan penomoran node (D = sebuah/4).

Karena tepi pelat dijepit, maka tuliskan kondisi kontur (5.25), (5.26) dalam beda hingga

Dengan cosinus dan sinus dari beberapa busur, yaitu serangkaian bentuk

atau dalam bentuk kompleks

Di mana sebuah k,bk atau, karenanya, ck ditelepon Koefisien T.r
Untuk pertama kalinya T.r. ditemukan di L. Euler (L. Euler, 1744). Dia mendapat dekomposisi

Semua R. abad ke 18 Sehubungan dengan kajian masalah getaran bebas suatu dawai, timbul pertanyaan tentang kemungkinan merepresentasikan fungsi yang mencirikan posisi awal dawai dalam bentuk penjumlahan tr. Masalah ini menimbulkan perdebatan sengit yang berlangsung selama beberapa dekade, di antara para analis terbaik saat itu - D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Eu1er). Perselisihan tersebut berkaitan dengan isi konsep fungsi. Pada saat itu, fungsi biasanya dikaitkan dengan fungsi analitiknya. penugasan, yang mengarah pada pertimbangan hanya fungsi analitik atau analitik sepotong-sepotong. Dan di sini menjadi perlu bagi suatu fungsi yang grafiknya berubah-ubah untuk membuat TR yang mewakili fungsi ini. Namun arti penting dari perselisihan ini lebih besar. Faktanya, pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan banyak konsep dan gagasan matematika yang penting secara fundamental dibahas di dalamnya atau muncul sehubungan dengan mereka. analisis secara umum - representasi fungsi dengan deret Taylor dan analitis. kelanjutan fungsi, penggunaan deret divergen, limit, sistem persamaan tak hingga, fungsi polinomial, dll.
Dan kedepannya, seperti pada periode awal ini, teori tr. berfungsi sebagai sumber ide-ide baru dalam matematika. Integral Fourier, fungsi hampir periodik, deret ortogonal umum, abstrak. Penelitian tentang T.r. berfungsi sebagai titik awal penciptaan teori himpunan. T.r. adalah alat yang ampuh untuk merepresentasikan dan mengeksplorasi fungsi.
Pertanyaan yang menimbulkan perselisihan di kalangan ahli matematika abad ke-18 ini diselesaikan pada tahun 1807 oleh J. Fourier, yang menunjukkan rumus untuk menghitung koefisien termodinamika. (1), yang seharusnya. mewakili fungsi f(x):

dan menerapkannya dalam memecahkan masalah konduktivitas termal. Rumus (2) disebut rumus Fourier, meskipun rumus tersebut ditemukan sebelumnya dalam A. Clairaut (1754), dan L. Euler (1777) sampai pada rumus tersebut menggunakan integrasi suku demi suku. T.r. (1), yang koefisiennya ditentukan oleh rumus (2), disebut. Deret Fourier dari fungsi f, dan bilangan ak, bk- Koefisien Fourier.
Sifat hasil yang diperoleh bergantung pada bagaimana representasi fungsi suatu deret dipahami, bagaimana integral dalam rumus (2) dipahami. Teori modern tr. diperoleh setelah munculnya integral Lebesgue.
Teori T.r. dapat dibagi menjadi dua bagian besar - teori Seri Fourier, dimana diasumsikan bahwa deret (1) merupakan deret Fourier suatu fungsi tertentu, dan teori termodinamika umum tidak membuat asumsi seperti itu. Di bawah ini adalah hasil utama yang diperoleh dalam teori termodinamika umum. (dalam hal ini, himpunan dan keterukuran fungsi dipahami menurut Lebesgue).
Sistematika pertama Kajian TR yang tidak mengasumsikan deret tersebut merupakan deret Fourier adalah disertasi W. Riemann (W. Riemann, 1853). Oleh karena itu, teori umum T. r. ditelepon terkadang teori Riemann tentang T. r.
Untuk mempelajari sifat-sifat TR sembarang. (1) dengan koefisien yang cenderung nol, Riemann mempertimbangkan fungsi kontinu F(x) , yang merupakan jumlah deret konvergen seragam

diperoleh setelah integrasi ganda suku demi suku dari deret (1). Jika deret (1) konvergen pada suatu titik x ke suatu bilangan s, maka pada titik tersebut terdapat dan sama dengan s simetris kedua. Fungsi F:

maka ini mengarah pada penjumlahan deret (1) yang dihasilkan oleh faktor-faktor tersebut ditelepon Metode penjumlahan Riemann. Dengan menggunakan fungsi F, prinsip lokalisasi Riemann dirumuskan, yang menyatakan bahwa perilaku deret (1) di titik x hanya bergantung pada perilaku fungsi F di lingkungan kecil yang sewenang-wenang di titik ini.
Jika T.r. konvergen pada himpunan ukuran positif, maka koefisiennya cenderung nol (Cantor-Lebesgue). Berusaha untuk nol koefisien TR. juga mengikuti konvergensinya pada himpunan kategori kedua (W. Young, W. Young, 1909).
Salah satu masalah sentral teori umum tr. adalah masalah merepresentasikan fungsi arbitrer dari TR. Memperkuat hasil N. N. Luzin (1915) tentang representasi fungsi T. R., yang dirangkum dengan metode Abel-Poisson dan Riemann, D. E. Menshov membuktikan (1940) teorema berikut mengenai kasus paling penting, ketika representasi fungsi f dipahami sebagai T.r. Ke F(x)hampir dimana-mana. Untuk setiap fungsi f yang dapat diukur dan berhingga hampir di semua tempat, terdapat persamaan linier yang konvergen ke sana hampir di semua tempat (teorema Menshov). Perlu dicatat bahwa meskipun f dapat diintegralkan, maka, secara umum, tidak mungkin untuk menganggap deret Fourier dari suatu fungsi f sebagai deret tersebut, karena ada deret Fourier yang menyimpang di mana-mana.
Teorema Menshov di atas memungkinkan klarifikasi berikut: jika suatu fungsi f dapat diukur dan terbatas hampir di semua tempat, maka terdapat fungsi yang hampir di semua tempat dan deret Fourier yang terdiferensiasi dari fungsi j konvergen ke f(x) hampir di semua tempat (N.K. Bari, 1952).
Tidak diketahui (1984) apakah mungkin untuk menghilangkan kondisi keterbatasan fungsi f hampir di semua tempat dalam teorema Menshov. Secara khusus, tidak diketahui (1984) apakah T. r. berkumpul hampir di mana-mana
Oleh karena itu, masalah merepresentasikan fungsi yang dapat mengambil nilai tak terhingga pada himpunan ukuran positif dipertimbangkan untuk kasus ketika fungsi tersebut digantikan oleh persyaratan yang lebih lemah - . Konvergensi ukuran ke fungsi yang dapat mengambil nilai tak terhingga didefinisikan sebagai berikut: jumlah parsial T. p. s n(x) konvergen ke fungsi f(x) . jika di mana fn(x) konvergen ke / (x) hampir di semua tempat, dan barisan tersebut konvergen ke nol. Dalam rumusan ini, pertanyaan tentang representasi fungsi terselesaikan sepenuhnya: untuk setiap fungsi terukur terdapat TR yang konvergen ke fungsi tersebut dalam ukuran (D. E. Menshov, 1948).
Banyak penelitian telah dikhususkan untuk masalah keunikan TR: apakah dua TR yang berbeda dapat menyimpang ke fungsi yang sama; dalam rumusan lain: jika T. r. konvergen ke nol, maka semua koefisien deret tersebut sama dengan nol. Di sini yang dapat kita maksud adalah konvergensi di semua titik atau di semua titik di luar himpunan tertentu. Jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini pada dasarnya bergantung pada sifat-sifat himpunan tersebut, yang di luarnya tidak diasumsikan konvergensi.
Terminologi berikut telah ditetapkan. Banyak nama keunikan oleh banyak orang atau kamu- himpunan, jika dari konvergensi T. r. ke nol di mana pun, kecuali, mungkin, titik-titik himpunan E, maka semua koefisien deret ini sama dengan nol. DI DALAM jika tidak Enaz. M-set.
Seperti yang ditunjukkan oleh G. Cantor (G. Cantor, 1872), serta himpunan berhingga apa pun adalah himpunan-U. Yang sewenang-wenang juga merupakan U-set (W. Jung, 1909). Sebaliknya, setiap himpunan ukuran positif adalah himpunan M.
Keberadaan himpunan ukuran M didirikan oleh D. E. Menshov (1916), yang membuat contoh pertama himpunan sempurna yang memiliki sifat-sifat ini. Hasil ini sangat penting dalam masalah keunikan. Dari keberadaan himpunan M yang berukuran nol, dapat disimpulkan bahwa ketika fungsi deret segitiga direpresentasikan sebagai konvergen hampir di semua tempat, deret tersebut ditentukan dengan cara yang jelas unik.
Himpunan sempurna juga bisa berupa himpunan U (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Dalam masalah keunikan, karakteristik yang sangat halus dari kumpulan ukuran nol memainkan peran penting. Pertanyaan umum tentang klasifikasi himpunan ukuran nol menjadi M- dan U-set tetap (1984) terbuka. Itu tidak terpecahkan bahkan untuk set sempurna.
Masalah berikut berkaitan dengan masalah keunikan. Jika T.r. konvergen ke suatu fungsi maka deret tersebut harus merupakan deret Fourier dari fungsi /. P. Du Bois-Reymond (1877) memberikan jawaban positif terhadap pertanyaan ini jika f merupakan integral Riemannian dan deret tersebut konvergen ke f(x) di semua titik. Dari hasil III. J. La Vallee Poussin (Bab J. La Vallee Poussin, 1912) menyatakan bahwa jawabannya adalah positif meskipun di mana pun, kecuali himpunan titik yang dapat dihitung, deret tersebut konvergen dan jumlahnya berhingga.
Jika suatu deret konvergen mutlak pada titik tertentu x 0, maka titik-titik konvergensi deret tersebut, serta titik-titik konvergensi absolutnya, terletak simetris terhadap titik x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Berdasarkan Denjoy - Teorema Luzin dari konvergensi absolut TR. (1) pada himpunan ukuran positif deret tersebut konvergen dan, akibatnya, konvergensi mutlak deret (1) untuk semua X. Himpunan kategori kedua, serta himpunan ukuran nol tertentu, juga memiliki sifat ini.
Tinjauan ini hanya mencakup TR satu dimensi. (1). Ada hasil terpisah terkait dengan T. r. dari beberapa variabel. Di sini, dalam banyak kasus, masih perlu menemukan rumusan masalah yang alami.

menyala.: Bari N.K., Deret trigonometri, M., 1961; Zygmund A., Deret trigonometri, trans. dari bahasa Inggris, vol.1-2, M., 1965; Luzin N.N., Deret integral dan trigonometri, M.-L., 1951; Riemann B., Soch., terjemahan. dari Jerman, M.-L., 1948, hal. 225-61.
S.A.Telyakovsky.

Ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M.Vinogradov. 1977-1985.

Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi kita sering kali harus berhadapan dengan fenomena periodik, yaitu fenomena periodik. yang direproduksi setelah jangka waktu tertentu T, disebut periode. Fungsi periodik yang paling sederhana (kecuali konstanta) adalah besaran sinusoidal: Seperti dalam(X+ ), osilasi harmonik, dimana terdapat “frekuensi” yang berhubungan dengan periode dengan perbandingan: . Dari fungsi periodik sederhana seperti itu, dapat disusun fungsi-fungsi periodik yang lebih kompleks. Jelasnya, besaran sinusoidal komponen harus mempunyai frekuensi yang berbeda, karena penjumlahan besaran sinusoidal dengan frekuensi yang sama menghasilkan besaran sinusoidal dengan frekuensi yang sama. Jika Anda menjumlahkan beberapa jumlah formulir

Sebagai contoh, di sini kita mereproduksi penjumlahan tiga besaran sinusoidal: . Mari kita lihat grafik fungsi ini

Grafik ini sangat berbeda dengan gelombang sinus. Juga di ke tingkat yang lebih besar ini terjadi untuk jumlah deret tak hingga yang terdiri dari suku-suku jenis ini. Mari kita ajukan pertanyaan: apakah fungsi periodik periode ini dapat terjadi T menyatakannya sebagai jumlah dari himpunan besaran sinusoidal yang berhingga atau setidaknya tak terhingga? Ternyata dalam kaitannya dengan kelas fungsi yang besar, pertanyaan ini dapat dijawab dengan ya, tetapi ini hanya jika kita melibatkan seluruh barisan tak hingga dari suku-suku tersebut. Secara geometris, grafik fungsi periodik diperoleh dengan melapiskan serangkaian sinusoida. Jika kita menganggap setiap besaran sinusoidal sebagai suatu gerak osilasi harmonik, maka kita dapat mengatakan bahwa ini adalah osilasi kompleks yang dicirikan oleh suatu fungsi atau sekadar harmoniknya (pertama, kedua, dst.). Proses penguraian fungsi periodik menjadi harmonik disebut analisis harmonik.

Penting untuk dicatat bahwa ekspansi seperti itu sering kali berguna dalam mempelajari fungsi yang ditentukan hanya dalam interval terbatas tertentu dan tidak dihasilkan oleh fenomena osilasi apa pun.

Definisi. Deret trigonometri adalah deret yang bentuknya:

Atau (1).

Bilangan nyata disebut koefisien deret trigonometri. Seri ini juga bisa ditulis seperti ini:

Jika suatu deret bertipe di atas konvergen, maka jumlahnya merupakan fungsi periodik dengan periode 2p.

Definisi. Koefisien Fourier suatu deret trigonometri disebut: (2)

(3)

(4)

Definisi. Fourier di dekatnya untuk fungsi f(x) disebut deret trigonometri yang koefisiennya merupakan koefisien Fourier.

Jika deret Fourier fungsinya f(x) konvergen padanya di semua titik kontinuitasnya, maka kita katakan fungsi tersebut f(x) berkembang menjadi deret Fourier.

Dalil.(Teorema Dirichlet) Jika suatu fungsi mempunyai periode 2p dan kontinu pada suatu interval atau mempunyai sejumlah titik diskontinuitas jenis pertama yang berhingga, maka interval tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah segmen berhingga sehingga di dalam masing-masing segmen tersebut terdapat fungsi bersifat monotonik, maka deret Fourier untuk fungsi tersebut konvergen untuk semua nilai X, dan pada titik kontinuitas fungsi jumlahnya S(x) sama dengan , dan pada titik diskontinuitas jumlahnya sama dengan , yaitu. mean aritmatika dari nilai limit di kiri dan kanan.

Dalam hal ini, fungsi deret Fourier f(x) konvergen secara seragam pada setiap segmen yang termasuk dalam interval kontinuitas fungsi.

Suatu fungsi yang memenuhi syarat teorema ini disebut mulus sedikit demi sedikit pada suatu segmen.

Mari kita perhatikan contoh perluasan fungsi dalam deret Fourier.

Contoh 1. Perluas fungsinya menjadi deret Fourier f(x)=1-x, sedang menstruasi 2p dan diberikan pada segmen tersebut.

Larutan. Mari kita plot fungsi ini

Fungsi ini kontinu pada ruas tersebut , yaitu pada suatu ruas yang panjangnya suatu periode, oleh karena itu dapat diperluas menjadi deret Fourier yang konvergen padanya di setiap titik pada ruas tersebut. Dengan menggunakan rumus (2) kita mencari koefisien deret ini: .

Mari kita terapkan rumus integrasi per bagian dan temukan masing-masing dari rumus (3) dan (4):

Mengganti koefisien ke dalam rumus (1), kita memperoleh atau .

Persamaan ini berlaku di semua titik kecuali titik dan (titik-titik di mana grafik-grafik tersebut digabungkan). Pada masing-masing titik tersebut, jumlah deret tersebut sama dengan rata-rata aritmatika dari nilai pembatasnya di kanan dan kiri, yaitu.

Mari kita sajikan algoritma untuk mendekomposisi fungsi tersebut dalam deret Fourier.

Prosedur umum Solusi untuk masalah yang ada adalah sebagai berikut.