Seri Fourier. Ekspansi deret Fourier dari fungsi genap dan ganjil Bessel persamaan persamaan parseval Deret Fourier contoh solusi dari peningkatan kompleksitas

Deret Fourier adalah representasi dari fungsi yang diambil secara sembarang dengan periode tertentu sebagai deret. Secara umum, solusi ini disebut dekomposisi elemen secara ortogonal. Perluasan fungsi dalam deret Fourier adalah alat yang cukup ampuh untuk menyelesaikan berbagai masalah karena sifat transformasi ini saat mengintegrasikan, membedakan, serta menggeser ekspresi dalam argumen dan konvolusi.

Seseorang yang tidak terbiasa dengan matematika yang lebih tinggi, serta karya-karya ilmuwan Prancis Fourier, kemungkinan besar tidak akan mengerti apa itu "seri" dan untuk apa mereka. Sementara itu, transformasi ini menjadi sangat padat dalam hidup kita. Ini digunakan tidak hanya oleh ahli matematika, tetapi juga oleh fisikawan, ahli kimia, dokter, astronom, ahli seismologi, ahli kelautan dan banyak lainnya. Mari kita juga melihat lebih dekat karya-karya ilmuwan besar Prancis, yang membuat penemuan lebih awal dari zamannya.

Manusia dan Transformasi Fourier

Deret Fourier adalah salah satu metode (bersama dengan analisis dan lain-lain) Proses ini terjadi setiap kali seseorang mendengar suara apapun. Telinga kita secara otomatis mengubah partikel elementer menjadi media elastis, mereka didekomposisi menjadi baris (sepanjang spektrum) dari nilai tingkat volume yang berurutan untuk nada dengan ketinggian berbeda. Selanjutnya, otak mengubah data ini menjadi suara yang kita kenal. Semua ini terjadi selain keinginan atau kesadaran kita, dengan sendirinya, tetapi untuk memahami proses ini, perlu beberapa tahun untuk mempelajari matematika yang lebih tinggi.

Lebih lanjut tentang Transformasi Fourier

Transformasi Fourier dapat dilakukan dengan metode analitik, numerik dan lainnya. Deret Fourier mengacu pada cara numerik untuk menguraikan setiap proses osilasi - dari pasang surut laut dan gelombang cahaya hingga siklus aktivitas matahari (dan objek astronomi lainnya). Dengan menggunakan teknik matematika ini, dimungkinkan untuk menganalisis fungsi, yang merepresentasikan setiap proses osilasi sebagai rangkaian komponen sinusoidal yang bergerak dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Transformasi Fourier adalah fungsi yang menggambarkan fase dan amplitudo sinusoid yang sesuai dengan frekuensi tertentu. Proses ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang sangat kompleks yang menggambarkan proses dinamis yang terjadi di bawah pengaruh energi panas, cahaya, atau listrik. Selain itu, deret Fourier memungkinkan untuk mengisolasi komponen konstan dalam sinyal osilasi kompleks, yang memungkinkan untuk menafsirkan dengan benar pengamatan eksperimental yang diperoleh dalam kedokteran, kimia, dan astronomi.

Referensi sejarah

Bapak pendiri teori ini adalah matematikawan Perancis Jean Baptiste Joseph Fourier. Transformasi ini kemudian dinamai menurut namanya. Awalnya, ilmuwan menerapkan metodenya untuk mempelajari dan menjelaskan mekanisme konduksi panas - penyebaran panas dalam padatan. Fourier menyarankan bahwa distribusi tidak teratur asli dapat didekomposisi menjadi sinusoid paling sederhana, yang masing-masing akan memiliki suhu minimum dan maksimumnya sendiri, serta fasenya sendiri. Dalam hal ini, setiap komponen tersebut akan diukur dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Fungsi matematis yang menggambarkan puncak atas dan bawah dari kurva, serta fase dari masing-masing harmonik, disebut transformasi Fourier dari ekspresi distribusi suhu. Penulis teori mereduksi fungsi distribusi umum, yang sulit untuk dijelaskan secara matematis, menjadi rangkaian cosinus dan sinus yang sangat nyaman, yang dijumlahkan untuk memberikan distribusi asli.

Prinsip transformasi dan pandangan orang-orang sezaman

Orang-orang sezaman ilmuwan - ahli matematika terkemuka di awal abad kesembilan belas - tidak menerima teori ini. Keberatan utama adalah pernyataan Fourier bahwa fungsi terputus menggambarkan garis lurus atau kurva terputus dapat direpresentasikan sebagai jumlah ekspresi sinusoidal yang terus menerus. Sebagai contoh, pertimbangkan "langkah" Heaviside: nilainya nol di sebelah kiri celah dan satu di kanan. Fungsi ini menggambarkan ketergantungan arus listrik pada variabel waktu saat rangkaian ditutup. Orang-orang sezaman teori pada waktu itu belum pernah menghadapi situasi seperti itu, ketika ekspresi terputus-putus akan dijelaskan oleh kombinasi fungsi biasa yang kontinu, seperti eksponensial, sinusoidal, linier atau kuadrat.

Apa yang membingungkan ahli matematika Prancis dalam teori Fourier?

Lagi pula, jika ahli matematika itu benar dalam pernyataannya, maka dengan menjumlahkan deret Fourier trigonometri tak terhingga, seseorang dapat memperoleh representasi yang tepat dari ekspresi bertahap meskipun memiliki banyak langkah serupa. Di awal abad kesembilan belas, pernyataan seperti itu tampak tidak masuk akal. Namun terlepas dari semua keraguan, banyak ahli matematika telah memperluas cakupan studi tentang fenomena ini, melampaui cakupan studi konduktivitas termal. Namun, sebagian besar ilmuwan terus tersiksa oleh pertanyaan: "Dapatkah jumlah deret sinusoidal menyatu dengan nilai tepat dari fungsi diskontinu?"

Konvergensi Deret Fourier: Sebuah Contoh

Pertanyaan tentang konvergensi dimunculkan setiap kali diperlukan untuk menjumlahkan deret bilangan tak terhingga. Untuk memahami fenomena ini, pertimbangkan contoh klasik. Bisakah Anda mencapai tembok jika setiap langkah berturut-turut berukuran setengah dari langkah sebelumnya? Misalkan Anda berada dua meter dari gawang, langkah pertama membawa Anda lebih dekat ke titik tengah, langkah berikutnya ke tanda tiga perempat, dan setelah langkah kelima Anda akan menempuh hampir 97 persen jalan. Namun, tidak peduli berapa banyak langkah yang Anda ambil, Anda tidak akan mencapai tujuan yang dimaksud dalam pengertian matematis yang ketat. Dengan menggunakan perhitungan numerik, dapat ditunjukkan bahwa pada akhirnya dimungkinkan untuk mendekati jarak tertentu yang kecil. Pembuktian ini setara dengan menunjukkan bahwa nilai total dari setengah, seperempat, dst. akan cenderung menjadi satu.

Sebuah Pertanyaan Konvergensi: Kedatangan Kedua, atau Peralatan Lord Kelvin

Pertanyaan ini muncul kembali pada akhir abad ke-19, ketika deret Fourier dicoba digunakan untuk memprediksi intensitas pasang surut. Saat ini, Lord Kelvin menemukan sebuah perangkat, yaitu perangkat komputasi analog yang memungkinkan para pelaut armada militer dan pedagang untuk melacak fenomena alam ini. Mekanisme ini menentukan rangkaian fase dan amplitudo dari tabel ketinggian pasang surut dan momen waktu yang sesuai, diukur secara hati-hati di pelabuhan tertentu sepanjang tahun. Setiap parameter merupakan komponen sinusoidal dari ekspresi tinggi pasang surut dan merupakan salah satu komponen reguler. Hasil pengukuran dimasukkan ke dalam kalkulator Lord Kelvin, yang menyintesis kurva yang memprediksi ketinggian air sebagai fungsi waktu untuk tahun berikutnya. Segera kurva serupa dibuat untuk semua pelabuhan di dunia.

Dan jika prosesnya rusak oleh fungsi terputus?

Pada saat itu, tampak jelas bahwa prediktor gelombang pasang dengan sejumlah besar elemen penghitungan dapat menghitung fase dan amplitudo dalam jumlah besar dan dengan demikian memberikan prediksi yang lebih akurat. Namun demikian, ternyata keteraturan ini tidak diamati pada kasus-kasus di mana ekspresi pasang surut yang akan disintesis mengandung lompatan tajam, yaitu terputus-putus. Jika data dimasukkan ke dalam perangkat dari tabel momen waktu, maka beberapa koefisien Fourier dihitung. Fungsi aslinya dipulihkan berkat komponen sinusoidal (sesuai dengan koefisien yang ditemukan). Perbedaan antara ekspresi asli dan yang dipulihkan dapat diukur di titik mana pun. Saat melakukan perhitungan dan perbandingan berulang, terlihat bahwa nilai kesalahan terbesar tidak berkurang. Namun, mereka terlokalisasi di wilayah yang sesuai dengan titik diskontinuitas, dan cenderung nol di titik lainnya. Pada tahun 1899, hasil ini secara teoretis dikonfirmasi oleh Joshua Willard Gibbs dari Universitas Yale.

Konvergensi deret Fourier dan perkembangan matematika secara umum

Analisis Fourier tidak dapat diterapkan pada ekspresi yang mengandung semburan dalam jumlah tak terbatas dalam interval tertentu. Secara umum, deret Fourier, jika fungsi aslinya adalah hasil pengukuran fisik nyata, selalu konvergen. Pertanyaan tentang konvergensi proses ini untuk kelas fungsi tertentu telah menyebabkan munculnya bagian baru dalam matematika, misalnya teori fungsi umum. Itu terkait dengan nama-nama seperti L. Schwartz, J. Mikusinsky dan J. Temple. Dalam kerangka teori ini, dasar teoretis yang jelas dan tepat dibuat untuk ekspresi seperti fungsi delta Dirac (ini menggambarkan area dari satu area yang terkonsentrasi di lingkungan titik yang sangat kecil) dan Heaviside " melangkah". Berkat pekerjaan ini, deret Fourier menjadi dapat diterapkan untuk memecahkan persamaan dan masalah di mana konsep intuitif muncul: muatan titik, massa titik, dipol magnet, dan juga beban terkonsentrasi pada balok.

Metode Fourier

Deret Fourier, sesuai dengan prinsip interferensi, diawali dengan penguraian bentuk kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Misalnya, perubahan aliran panas dijelaskan dengan perjalanannya melalui berbagai rintangan yang terbuat dari bahan isolasi panas berbentuk tidak beraturan atau perubahan permukaan bumi - gempa bumi, perubahan orbit benda langit - pengaruh planet. Sebagai aturan, persamaan serupa yang menggambarkan sistem klasik sederhana diselesaikan secara elementer untuk setiap gelombang individu. Fourier menunjukkan bahwa solusi sederhana juga dapat dijumlahkan untuk memberikan solusi pada masalah yang lebih kompleks. Dinyatakan dalam bahasa matematika, deret Fourier adalah teknik untuk merepresentasikan ekspresi sebagai jumlah harmonik - kosinus dan sinusoid. Oleh karena itu, analisis ini disebut juga dengan “analisis harmonik”.

Seri Fourier - teknik ideal sebelum "era komputer"

Sebelum penciptaan teknologi komputer, teknik Fourier adalah senjata terbaik di gudang ilmuwan saat bekerja dengan sifat gelombang dunia kita. Deret Fourier dalam bentuk kompleks memungkinkan penyelesaian tidak hanya masalah sederhana yang dapat langsung diterapkan pada hukum mekanika Newton, tetapi juga persamaan fundamental. Sebagian besar penemuan sains Newton pada abad ke-19 hanya dimungkinkan oleh teknik Fourier.

Seri Fourier hari ini

Dengan perkembangan komputer, transformasi Fourier telah naik ke tingkat yang baru secara kualitatif. Teknik ini tertanam kuat di hampir semua bidang sains dan teknologi. Contohnya adalah sinyal audio dan video digital. Realisasinya menjadi mungkin hanya berkat teori yang dikembangkan oleh seorang matematikawan Prancis pada awal abad ke-19. Dengan demikian, deret Fourier dalam bentuk yang kompleks memungkinkan dilakukannya terobosan dalam studi luar angkasa. Selain itu, hal ini mempengaruhi studi fisika bahan semikonduktor dan plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, dan seismologi.

Deret Trigonometri Fourier

Dalam matematika, deret Fourier adalah cara merepresentasikan fungsi kompleks arbitrer sebagai penjumlahan dari fungsi yang lebih sederhana. Dalam kasus umum, jumlah ekspresi seperti itu bisa tidak terbatas. Apalagi, semakin banyak jumlahnya diperhitungkan dalam perhitungan, semakin akurat hasil akhirnya. Paling sering, fungsi trigonometri cosinus atau sinus digunakan sebagai yang paling sederhana. Dalam hal ini, deret Fourier disebut trigonometri, dan solusi dari ekspresi semacam itu disebut perluasan harmonik. Metode ini memainkan peran penting dalam matematika. Pertama-tama, deret trigonometri menyediakan sarana untuk gambar, serta mempelajari fungsi, itu adalah alat utama teori. Selain itu, memungkinkan pemecahan sejumlah masalah fisika matematika. Akhirnya, teori ini berkontribusi pada perkembangan dan menghidupkan sejumlah bagian ilmu matematika yang sangat penting (teori integral, teori fungsi periodik). Selain itu, ini berfungsi sebagai titik awal untuk pengembangan fungsi variabel nyata berikut, dan juga menandai dimulainya analisis harmonik.

salinan

1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU FEDERASI RUSIA UNIVERSITAS NEGERI NOVOSIBIRSK FAKULTAS FISIKA R. K. Belkheeva SERI FOURIER DALAM CONTOH DAN TUGAS Tutorial Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Seri Fourier dalam contoh dan soal: Textbook / Novosib. negara un-t. Novosibirsk, s. ISBN Tutorial memberikan informasi dasar tentang deret Fourier, memberikan contoh untuk setiap topik yang dipelajari. Contoh penerapan metode Fourier untuk memecahkan masalah getaran transversal string dianalisis secara rinci. Materi ilustrasi diberikan. Ada tugas untuk solusi independen. Ini ditujukan untuk siswa dan guru Fakultas Fisika Universitas Negeri Novosibirsk. Diterbitkan sesuai keputusan Komisi Metodologi Fakultas Fisika NSU. Pengulas Dr.phys.-math. Ilmu. V.A.Alexandrov ISBN c Universitas Negeri Novosibirsk, 211 c Belkheeva R. K., 211

3 1. Ekspansi deret Fourier dari fungsi periodik 2π Definisi. Deret Fourier dari fungsi f(x) adalah deret fungsional a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) di mana koefisien a n, b n dihitung dengan rumus: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Rumus (2) (3) disebut rumus Fourier Euler . Fakta bahwa fungsi f(x) sesuai dengan deret Fourier (1) ditulis sebagai rumus f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) dan dikatakan bahwa sisi kanan rumus ( 4) adalah deret formal fungsi Fourier f(x). Dengan kata lain, rumus (4) berarti hanya koefisien a n, b n yang ditemukan oleh rumus (2), (3). 3

4 Definisi. Fungsi 2π-periodik f(x) disebut mulus sepotong-sepotong jika interval [, π] berisi sejumlah titik = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Gambar. 1. Grafik fungsi f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, untuk ganjil n, untuk n genap, f(x ) sin nxdx = karena fungsinya f(x) genap. Kita tulis deret Fourier formal untuk fungsi f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Cari tahu apakah fungsi f(x) mulus bagian demi bagian. Karena kontinu, kita hanya menghitung limit (6) di titik akhir interval x = ±π dan di titik putus x = : dan f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Batas-batasnya ada dan berhingga, sehingga fungsinya adalah mulus sepotong-sepotong. Dengan teorema konvergensi titik, deret Fouriernya konvergen dengan bilangan f(x) di setiap titik, yaitu f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Gambar 2 dan 3 menunjukkan karakter pendekatan jumlah parsial deret Fourier S n (x), dengan S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, ke fungsi f(x) dalam interval [, π] . 6

7 Gambar. Gambar 2. Grafik fungsi f(x) dengan grafik superimposed penjumlahan parsial S (x) = a 2 dan S 1(x) = a 2 + a 1 cos x 3. Grafik fungsi f (x) dengan grafik penjumlahan parsial yang ditumpangkan di atasnya S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Mengganti (7) x = kita mendapatkan: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, dari mana kita menemukan jumlah deret bilangan: = π2 8. Mengetahui jumlah deret ini, adalah mudah untuk menemukan jumlah berikut Kita memiliki: S = ( ) S = ()= π S, maka S = π2 6, yaitu, 1 n = π Jumlah dari deret terkenal ini pertama kali ditemukan oleh Leonhard Euler. Ini sering ditemukan dalam analisis matematika dan aplikasinya. CONTOH 2. Buat grafik, cari deret Fourier dari fungsi yang diberikan oleh rumus f(x) = x untuk x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Gambar. 4. Grafik fungsi f(x) Fungsi f(x) terdiferensialkan secara kontinu pada interval (, π). Di titik x = ±π, memiliki batas hingga (5): f() =, f(π) = π. Selain itu, ada limit hingga (6): f(+ h) f(+) lim = 1 dan h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Jadi, f(x) adalah fungsi halus sepotong demi sepotong. Karena fungsi f(x) ganjil, maka a n =. Koefisien b n ditemukan dengan integrasi oleh bagian-bagian: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 ) n+ satu. n Mari kita susun deret Fourier formal dari fungsi 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 kosnxdx ] =

10 Menurut teorema konvergensi titik untuk fungsi periodik 2π mulus sepotong-sepotong, deret Fourier dari fungsi f(x) konvergen menjadi penjumlahan: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x jika π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Gambar. Gambar 6. Grafik fungsi f(x) dengan grafik penjumlahan parsial S 2 (x) dilapiskan padanya. 7. Grafik fungsi f(x) dengan grafik penjumlahan parsial S 3 (x) 11 ditumpangkan padanya

12 Gambar. 8. Grafik fungsi f(x) ditumpangkan dengan grafik penjumlahan parsial S 99 (x) Kita gunakan deret Fourier yang diperoleh untuk mencari jumlah dari dua deret numerik. Kami memasukkan (8) x = π/2. Maka 2 () +... = π 2, atau = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Kami dengan mudah menemukan jumlah dari deret Leibniz yang terkenal. Menempatkan x = π/3 dalam (8), kita menemukan () +... = π 2 3, atau (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 CONTOH 3. Gambarlah grafiknya, carilah deret Fourier dari fungsi f(x) = sin x, anggap memiliki periode 2π, dan 1 hitung jumlah deret bilangan 4n 2 1. Pemecahan. Grafik fungsi f(x) ditunjukkan pada gambar. 9. Jelas, f(x) = sin x adalah fungsi genap kontinu dengan periode π. Tetapi 2π juga merupakan periode dari fungsi f(x). Beras. 9. Grafik fungsi f(x) Mari kita hitung koefisien Fourier. Semua b n = karena fungsinya genap. Menggunakan rumus trigonometri, kita menghitung n untuk n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 jika n = 2k, = π n 2 1 jika n = 2k

14 Perhitungan ini tidak memungkinkan kita untuk mencari koefisien a 1 karena pada n = 1 penyebutnya menjadi nol. Oleh karena itu, kami menghitung koefisien a 1 secara langsung: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Karena f(x) dapat dibedakan secara kontinu pada (,) dan (, π) dan pada titik kπ, (k adalah bilangan bulat), ada batas hingga (5) dan (6), deret Fourier dari fungsi tersebut konvergen menjadi di setiap titik: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Grafik fungsi f(x) dengan grafik penjumlahan parsial S(x) yang ditumpangkan padanya 14

15 Gambar. Gambar 11. Grafik fungsi f(x) dengan grafik penjumlahan parsial S 1 (x) dilapiskan padanya. Gambar 12. Grafik fungsi f(x) dengan grafik penjumlahan parsial S 2 (x) dilapiskan padanya. 13. Grafik fungsi f(x) dengan grafik penjumlahan parsial S 99 (x) 15 ditumpangkan padanya

16 1 Menghitung jumlah deret bilangan. Untuk melakukannya, kita masukkan 4n 2 1 ke dalam (9) x =. Maka cosnx = 1 untuk semua n = 1, 2,... dan Oleh karena itu, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. CONTOH 4. Mari kita buktikan bahwa jika fungsi kontinu f(x) memenuhi kondisi f(x π) = f(x) untuk semua x (yaitu, adalah π-periodik) , maka a 2n 1 = b 2n 1 = untuk semua n 1, dan sebaliknya, jika a 2n 1 = b 2n 1 = untuk semua n 1, maka f(x) adalah π-periodik. Larutan. Biarkan fungsi f(x) menjadi π-periodik. Mari kita hitung koefisien Fouriernya a 2n 1 dan b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. Pada integral pertama kita mengubah variabel x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Menggunakan fakta bahwa cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t dan f(t π) = f(t), kita mendapatkan: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Hal yang sama dibuktikan bahwa b 2n 1 =. Sebaliknya, misalkan a 2n 1 = b 2n 1 =. Karena fungsi f(x) kontinu, maka, dengan teorema keterwakilan suatu fungsi pada suatu titik dengan deret Fouriernya, diperoleh Maka f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), yang berarti bahwa f(x) adalah fungsi periodik π. CONTOH 5. Mari kita buktikan bahwa jika fungsi halus sepotong-sepotong f(x) memenuhi kondisi f(x) = f(x) untuk semua x, maka a = dan a 2n = b 2n = untuk semua n 1, dan sebaliknya , jika a = a 2n = b 2n =, maka f(x π) = f(x) untuk semua x. Larutan. Misalkan fungsi f(x) memenuhi kondisi f(x π) = f(x). Mari kita hitung koefisien Fouriernya: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Pada integral pertama kita mengubah variabel x = t π. Maka f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Menggunakan fakta bahwa cos n(t π) = (1) n cosnt dan f(t π) = f(t), kita memperoleh: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = if n genap, = 2 π f(t) cos nt dt, jika n ganjil. π Hal yang sama dibuktikan bahwa b 2n =. Sebaliknya, misalkan a = a 2n = b 2n =, untuk semua n 1. Karena fungsi f(x) kontinu, maka, dengan teorema keterwakilan fungsi pada suatu titik, deret Fouriernya memenuhi persamaan f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). delapan belas

19 Maka = f(x π) = = = f(x). CONTOH 6. Mari kita pelajari bagaimana memperluas fungsi f(x) yang dapat diintegralkan pada interval [, π/2] ke interval [, π], sehingga deret Fouriernya berbentuk: a 2n 1 cos(2n 1) x. (1) Solusi. Biarkan grafik fungsi memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 14. Karena dalam deret (1) a = a 2n = b 2n = untuk semua n, maka dari Contoh 5 fungsi f(x) harus memenuhi persamaan f(x π) = f(x) untuk semua x. Pengamatan ini memberikan cara untuk memperluas fungsi f(x) ke interval [, /2] : f(x) = f(x+π), gbr. 15. Dari fakta bahwa deret (1) hanya berisi cosinus, kami menyimpulkan bahwa fungsi lanjutan f (x) harus genap (yaitu, grafiknya harus simetris terhadap sumbu Oy), Gambar.

20 Gambar. 14. Grafik fungsi f(x) 15. Grafik kelanjutan fungsi f(x) pada interval [, /2] 2

21 Jadi, fungsi yang diinginkan memiliki bentuk yang ditunjukkan pada gambar. 16. Gambar. 16. Grafik kelanjutan fungsi f(x) pada interval [, π] Kesimpulannya, kita menyimpulkan bahwa fungsi harus dilanjutkan sebagai berikut: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), yaitu interval [π/2, π], grafik fungsi f(x) simetris terpusat di sekitar titik (π/2,), dan pada interval [, π], grafiknya adalah simetris terhadap sumbu Oy. 21

22 GENERALISASI CONTOH 3 6 Misalkan l >. Pertimbangkan dua kondisi: a) f(lx) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Dari sudut pandang geometris, kondisi (a) berarti grafik fungsi f(x) simetris terhadap garis vertikal x = l/2, dan kondisi (b) grafik f(x) terpusat simetris terhadap titik (l/2;) pada sumbu absis. Maka pernyataan berikut ini benar: 1) jika fungsi f(x) genap dan syarat (a) terpenuhi, maka b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) jika fungsi f(x) genap dan kondisi (b) terpenuhi, maka b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) jika fungsi f(x) ganjil dan kondisi (a) terpenuhi, maka a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) jika fungsi f(x) ganjil dan kondisi (b) terpenuhi, maka a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. SOAL Dalam soal 1 7 gambarlah grafik dan temukan deret Fourier untuk fungsi-fungsi tersebut, (dengan asumsi mereka memiliki periode 2π: jika< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 jika /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Perluasan fungsi yang diberikan dalam interval [, π] hanya dalam bentuk sinus atau hanya dalam bentuk cosinus Biarkan fungsi f diberikan dalam interval [, π]. Untuk memperluasnya dalam interval ini menjadi deret Fourier, pertama-tama kita memperluas f ke dalam interval [, π] dengan sembarang cara, dan kemudian kita menggunakan rumus Euler Fourier. Kesewenang-wenangan dalam kelanjutan suatu fungsi mengarah pada fakta bahwa untuk fungsi yang sama f: [, π] R kita dapat memperoleh deret Fourier yang berbeda. Tetapi dimungkinkan untuk menggunakan kesewenang-wenangan ini sedemikian rupa untuk memperoleh perluasan hanya dalam sinus atau hanya dalam cosinus: dalam kasus pertama, cukup untuk melanjutkan f dengan cara ganjil, dan dalam kasus kedua, dengan cara genap. Algoritma penyelesaian 1. Melanjutkan fungsi dengan cara ganjil (genap) pada (,), kemudian secara periodik dengan periode 2π melanjutkan fungsi ke seluruh sumbu. 2. Hitung koefisien Fourier. 3. Susun deret Fourier dari fungsi f(x). 4. Periksa kondisi kekonvergenan deret tersebut. 5. Tentukan fungsi yang akan menjadi konvergen deret ini. CONTOH 7. Perluas fungsi f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Gambar. 17. Grafik fungsi bersambungan Jelas, fungsi f (x) adalah perataan halus. Mari menghitung koefisien Fourier: a n = untuk semua n karena fungsi f (x) ganjil. Jika n 1, maka b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 jika n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n jika n = 2k. π n 2 1 Untuk n = 1 pada perhitungan sebelumnya, penyebutnya hilang, sehingga koefisien b 1 dapat langsung dihitung.

26 Pada dasarnya: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Susun deret Fourier dari fungsi f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Karena fungsi f (x) mulus bagian demi bagian, maka, dengan teorema konvergensi titik, deret Fourier dari fungsi f (x) konvergen ke jumlah cosx jika π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Gambar. Gambar 18. Grafik fungsi f (x) dengan grafik penjumlahan parsial S 1 (x) dilapiskan padanya. 19. Grafik fungsi f(x) dengan grafik penjumlahan parsial S 2 (x) ditumpangkan padanya 27

28 Gambar. Gambar 2. Grafik fungsi f (x) dengan grafik penjumlahan parsial S 3 (x) dilapiskan padanya. 21 menunjukkan grafik fungsi f (x) dan jumlah parsialnya S 99 (x). Beras. 21. Grafik fungsi f (x) dengan grafik penjumlahan parsial S 99 (x) 28 dilapiskan padanya

29 CONTOH 8. Mari kita perluas fungsi f(x) = e ax, a >, x [, π], dalam deret Fourier hanya dalam cosinus. Larutan. Kami melanjutkan fungsi dengan cara genap ke (,) (yaitu, sehingga persamaan f(x) = f(x) berlaku untuk semua x (, π)), dan kemudian secara berkala dengan periode 2π ke seluruh real sumbu. Kami memperoleh fungsi f (x), grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 22. Fungsi f (x) pada titik-titik 22. Grafik fungsi lanjutan f (x) x = kπ, k bilangan bulat, berbelit-belit. Mari kita hitung koefisien Fourier: b n =, karena f (x) genap. Mengintegrasikan dengan bagian-bagian, kita mendapatkan 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e kapak cos nxdx = + 2n e kapak sin nxdx = πa sin nxde kapak = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e kapak cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a an. 2 Oleh karena itu, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Karena f (x) kontinu, menurut teorema konvergensi titik, deret Fouriernya konvergen ke f (x). Oleh karena itu, untuk semua x [, π] kita memiliki f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Angka-angka menunjukkan pendekatan bertahap dari jumlah parsial deret Fourier ke fungsi diskontinu tertentu. 3

31 Gambar. 23. Grafik fungsi f (x) dan S (x) 24. Grafik fungsi f (x) dan S 1 (x) 25. Grafik fungsi f (x) dan S 2 (x) 26. Grafik fungsi f (x) dan S 3 (x) 31

32 Gambar. 27. Grafik fungsi f (x) dan S 4 (x) 28. Grafik fungsi f (x) dan S 99 (x) SOAL 9. Perluas fungsi f (x) = cos x, x π, pada deret Fourier hanya pada cosinus. 1. Perluas fungsi f (x) \u003d e ax, a >, x π, dalam deret Fourier hanya dalam bentuk sinus. 11. Perluas fungsi f (x) \u003d x 2, x π, dalam deret Fourier hanya dalam sinus. 12. Perluas fungsi f (x) \u003d sin ax, x π, dalam deret Fourier dalam bentuk cosinus saja. 13. Perluas fungsi f (x) \u003d x sin x, x π, dalam deret Fourier hanya dalam sinus. Jawaban 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Jika a bukan bilangan bulat, maka sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; jika a = 2m bilangan genap, maka sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; jika a = 2m 1 adalah bilangan ganjil positif, maka sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Deret Fourier fungsi dengan periode arbitrer Asumsikan bahwa fungsi f(x) terdefinisi dalam interval [ l, l], l >. Dengan mengganti x = ly, y π, kita memperoleh fungsi g(y) = f(ly/π) yang didefinisikan dalam interval π [, π]. Fungsi ini g(y) sesuai dengan deret Fourier (formal) () ly f = g(y) a π 2 + (an cosny + b n sin ny), yang koefisiennya ditemukan dengan rumus Euler Fourier: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, kita memperoleh deret trigonometri yang sedikit dimodifikasi untuk fungsi f(x): di mana f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (an cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Rumus (11) (13) dikatakan mendefinisikan perluasan dalam deret Fourier dari suatu fungsi dengan periode arbitrer. CONTOH 9. Temukan deret Fourier dari fungsi yang diberikan dalam interval (l, l) dengan ekspresi ( A jika l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = jika n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Susun deret Fourier dari fungsi f (x) : f(x) A + B π (B A Karena cosπn = (1) n, maka n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l untuk n = 2k kita dapatkan b n = b 2k =, untuk n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Maka f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Menurut teorema konvergensi titik, deret Fourier dari fungsi f(x) konvergen ke jumlah A, jika l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Gambar. 29. Grafik fungsi f (x) dengan grafik harmonik yang ditumpangkan S (x) = a 2 dan S 1 (x) = b 1 sinx. Untuk kejelasan, grafik dari tiga harmonik yang lebih tinggi S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l dan S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx digeser secara vertikal naik l 37

38 Gambar. Gambar 3. Grafik fungsi f(x) dengan grafik penjumlahan parsial S 99 (x) ditumpangkan padanya. 31. Pecahan ara. 3 dalam skala lain 38

39 SOAL Dalam soal, luaskan fungsi yang ditentukan dalam deret Fourier dalam selang waktu tertentu. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 jika 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Bentuk kompleks deret Fourier Dekomposisi f(x) = c n e inx, dimana c n = 1 2π f(x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., disebut bentuk kompleks deret Fourier. Fungsi berkembang menjadi deret Fourier kompleks di bawah kondisi yang sama di mana ia berkembang menjadi deret Fourier nyata. empat

41 CONTOH 1. Carilah deret Fourier dalam bentuk kompleks fungsi yang diberikan oleh rumus f(x) = e ax dalam interval [, π), di mana a adalah bilangan real. Larutan. Mari kita menghitung koefisien: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Deret Fourier kompleks dari fungsi f memiliki bentuk f(x) sh aπ π n= (1) n a in einx. Mari kita buktikan bahwa fungsi f(x) mulus bagian demi bagian: dalam interval (, π) fungsi tersebut dapat dibedakan secara kontinu, dan pada titik x = ±π terdapat batas hingga (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, ea(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Oleh karena itu, fungsi f(x) dapat dinyatakan dengan deret Fourier sh aπ π n= (1) n a dalam einx, yang konvergen dengan penjumlahan: ( e S(x) = ax if π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 CONTOH 11. Temukan deret Fourier dalam bentuk kompleks dan real dari fungsi yang diberikan oleh rumus f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, di mana a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Ingatlah bahwa jumlah deret geometri tak terhingga dengan penyebut q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Sekarang mari kita cari deret Fourier dalam bentuk nyata. Untuk melakukannya, kita mengelompokkan suku-suku dengan bilangan n dan n untuk n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Karena c = 1, maka 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Ini adalah deret Fourier dalam bentuk nyata dari fungsi f(x). Jadi, tanpa menghitung integral tunggal, kami menemukan deret Fourier dari fungsi tersebut. Dalam melakukannya, kami menghitung integral keras tergantung pada parameter cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Kita perluas setiap pecahan sederhana sesuai dengan rumus deret geometri: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Ini dimungkinkan karena az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, atau, lebih singkatnya, c n = 1 2i a n sgnn. Dengan demikian, deret Fourier dalam bentuk kompleks ditemukan. Mengelompokkan suku-suku dengan bilangan n dan n, kita memperoleh deret Fourier dari fungsi tersebut dalam bentuk riil: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Sekali lagi, kami berhasil menghitung integral kompleks berikut: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 SOAL 24. Dengan menggunakan (15), hitung integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 untuk real a, a > Menggunakan (16), hitung integral sin x sin nxdx untuk real a, a > a cosx + a2 Dalam soal , temukan deret Fourier dalam bentuk kompleks untuk fungsi. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorema persamaan Lyapunov (persamaan Lyapunov). Misalkan sebuah fungsi f: [, π] R sedemikian sehingga f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Oleh karena itu, persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) berbentuk: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Dari persamaan terakhir untuk a π kita dapatkan sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Asumsikan a = π 2, kita peroleh sin2 na = 1 untuk n = 2k 1 dan sin 2 na = untuk n = 2k. Oleh karena itu, k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. CONTOH 14. Mari kita tulis persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) = x cosx, x [, π], dan gunakan untuk mencari jumlah bilangan deret (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Solusi. Perhitungan langsung menghasilkan = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Karena f(x) adalah fungsi genap, maka untuk semua n kita memiliki b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 jika n = 2k, 2 jika n = 2k + 1. Koefisien a 1 harus dihitung secara terpisah, karena dalam rumus umum untuk n = 1 penyebut pecahan hilang . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Jadi persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) berbentuk: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π SOAL 32. Tulis persamaan Lyapunov untuk fungsi ( x f(x) = 2 πx jika x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Jawaban + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, di mana c n adalah koefisien Fourier 2π dari f(x), dan d n adalah fungsi koefisien Fourier g(x). 6. Diferensiasi deret Fourier Misalkan f: R R adalah fungsi periodik 2π yang dapat diturunkan secara kontinyu. Deret Fouriernya berbentuk: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Turunan f (x) dari fungsi ini akan menjadi fungsi kontinu dan periodik 2π, yang deret Fourier formalnya dapat ditulis: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), di mana a, a n , b n, n = 1 , 2,... Koefisien Fourier dari fungsi f (x). 51

52 Teorema (tentang diferensiasi suku demi suku dari deret Fourier). Berdasarkan asumsi di atas, persamaan a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 adalah benar CONTOH 15. Misalkan fungsi f(x) yang halus-sepotong kontinu dalam interval [, π]. Mari kita buktikan bahwa ketika kondisi f(x)dx = terpenuhi, pertidaksamaan 2 dx 2 dx, yang disebut pertidaksamaan Steklov, berlaku, dan kita buktikan bahwa persamaan di dalamnya hanya diwujudkan untuk fungsi-fungsi berbentuk f(x) = A cosx. Dengan kata lain, pertidaksamaan Steklov memberikan kondisi di mana kecilnya turunan (dalam rms) mengimplikasikan kecilnya fungsi (dalam rms). Larutan. Mari kita perpanjang fungsi f(x) ke interval [, ] secara merata. Nyatakan fungsi yang diperluas dengan simbol yang sama f(x). Maka fungsi lanjutannya akan kontinu dan mulus pada interval [, π]. Karena fungsi f(x) kontinu, maka f 2 (x) kontinu pada interval dan 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Karena fungsi lanjutannya genap, maka b n =, a = dengan syarat. Akibatnya, persamaan Lyapunov berbentuk 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Mari kita pastikan bahwa f (x) memenuhi kesimpulan teorema tentang turunan suku demi suku dari deret Fourier, yaitu a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Biarkan turunan f (x) mengalami pemutusan pada titik x 1, x 2,..., x N dalam interval [, π]. Nyatakan x =, x N+1 = π. Mari kita bagi interval integrasi [, π] menjadi N interval +1 (x, x 1),..., (x N, x N+1), yang setiap intervalnya f(x) dapat dibedakan secara kontinu. Kemudian, dengan menggunakan sifat penjumlahan integral dan kemudian melakukan integrasi dengan bagian-bagiannya, kita mendapatkan: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sin nx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Demikian pula, kita mendapatkan n = nb n. Kita telah menunjukkan bahwa teorema tentang diferensiasi suku demi suku dari deret Fourier untuk fungsi periodik 2π mulus-sepenggal-kontinu yang turunannya dalam interval [, π] mengalami diskontinuitas jenis pertama adalah benar. Jadi f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, karena a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Karena 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Karena setiap suku deret di (18) lebih besar dari atau sama dengan suku yang bersesuaian di deret di (17), maka 2 dx 2 dx. Mengingat bahwa f(x) adalah kelanjutan genap dari fungsi aslinya, kita memiliki 2 dx 2 dx. Yang membuktikan persamaan Steklov. Sekarang mari kita periksa fungsi mana yang dimiliki persamaan dalam ketidaksetaraan Steklov. Jika untuk setidaknya satu n 2, koefisien a n bukan nol, maka a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 SOAL 37. Biarkan fungsi halus-sepotong f(x) kontinu pada interval [, π]. Buktikan bahwa dalam kondisi f() = f(π) = pertidaksamaan 2 dx 2 dx, disebut juga pertidaksamaan Steklov, berlaku, dan pastikan bahwa persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi-fungsi berbentuk f(x) = B sin x . 38. Biarkan fungsi f kontinu dalam interval [, π] dan di dalamnya (dengan kemungkinan pengecualian hanya sejumlah titik terbatas) turunan f(x) yang dapat diintegrasikan dengan kuadrat. Buktikan bahwa jika kondisi f() = f(π) dan f(x) dx = terpenuhi, maka pertidaksamaan 2 dx 2 dx, yang disebut pertidaksamaan Wirtinger, berlaku, dan persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi-fungsi dari bentuk f(x ) = A cosx + B sinx. 56

57 7. Penerapan deret Fourier untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial Saat mempelajari objek nyata (fenomena alam, proses produksi, sistem kontrol, dll.), Dua faktor menjadi signifikan: tingkat akumulasi pengetahuan tentang objek yang diteliti dan tingkat perkembangan peralatan matematika. Pada tahap penelitian ilmiah saat ini, rantai berikut telah dikembangkan: fenomena model fisik model matematika. Perumusan fisik (model) masalah adalah sebagai berikut: kondisi untuk pengembangan proses dan faktor utama yang mempengaruhinya diidentifikasi. Rumusan matematika (model) terdiri dalam menggambarkan faktor dan kondisi yang dipilih dalam rumusan fisik dalam bentuk sistem persamaan (aljabar, diferensial, integral, dll.). Suatu masalah dikatakan well-posed jika dalam ruang fungsional tertentu terdapat solusi dari masalah tersebut, secara unik dan kontinyu bergantung pada kondisi awal dan kondisi batas. Model matematis tidak identik dengan objek yang ditinjau, tetapi merupakan deskripsi perkiraannya Penurunan persamaan getaran transversal kecil bebas dari string Kami akan mengikuti buku teks. Biarkan ujung tali diikat, dan tali itu sendiri kencang. Jika senar dikeluarkan dari keseimbangan (misalnya dengan menarik atau memukulnya), maka senar akan mulai 57

58 ragu-ragu. Kita asumsikan bahwa semua titik dawai bergerak tegak lurus terhadap posisi kesetimbangannya (getaran transversal), dan pada setiap saat dawai terletak pada bidang yang sama. Mari kita ambil sistem koordinat persegi panjang xou di bidang ini. Kemudian, jika pada saat awal t = dawai terletak sepanjang sumbu Kerbau, maka u berarti penyimpangan dawai dari posisi kesetimbangan, yaitu posisi titik dawai dengan absis x pada waktu sembarang t sesuai dengan nilai fungsi u(x, t). Untuk setiap nilai tetap t, grafik fungsi u(x, t) menyatakan bentuk tali getar pada waktu t (Gbr. 32). Pada nilai konstan x, fungsi u(x, t) memberikan hukum gerak suatu titik dengan absis x sepanjang garis lurus sejajar dengan sumbu Ou, turunan u t adalah kecepatan gerak ini, dan yang kedua turunan 2 u t 2 adalah percepatan. Beras. 32. Gaya yang diterapkan pada bagian string yang sangat kecil Mari kita tulis persamaan yang harus dipenuhi oleh fungsi u(x, t). Untuk melakukan ini, kami membuat beberapa asumsi yang lebih disederhanakan. Kami akan berasumsi bahwa string benar-benar fleksibel.

59 coy, yaitu, kita akan berasumsi bahwa senar tidak menahan tekukan; ini berarti bahwa tegangan yang muncul dalam string selalu diarahkan secara tangensial ke profil sesaatnya. Tali tersebut dianggap elastis dan tunduk pada hukum Hooke; ini berarti bahwa perubahan besarnya gaya tegangan sebanding dengan perubahan panjang tali. Mari kita asumsikan bahwa string itu homogen; ini berarti kerapatan liniernya ρ adalah konstan. Kami mengabaikan kekuatan eksternal. Ini berarti bahwa kami sedang mempertimbangkan osilasi bebas. Kami hanya akan mempelajari getaran kecil dari sebuah string. Jika kita menyatakan dengan ϕ(x, t) sudut antara sumbu absis dan garis singgung tali pada titik dengan absis x pada waktu t, maka syarat untuk osilasi kecil adalah nilai ϕ 2 (x, t) dapat diabaikan dibandingkan dengan ϕ (x, t), yaitu ϕ 2. Karena sudut ϕ kecil, maka cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, oleh karena itu nilai (u x x,) 2 juga dapat diabaikan. Segera setelah itu bahwa dalam proses osilasi kita dapat mengabaikan perubahan panjang bagian mana pun dari string. Memang, panjang seutas tali M 1 M 2 diproyeksikan ke dalam interval sumbu x, di mana x 2 = x 1 + x, sama dengan l = x 2 x () 2 u dx x. x Mari kita tunjukkan bahwa, berdasarkan asumsi kita, nilai gaya tegangan T akan konstan di sepanjang tali. Untuk melakukan ini, kami mengambil beberapa bagian dari string M 1 M 2 (Gbr. 32) pada waktu t dan mengganti aksi bagian yang dibuang

60 kov oleh gaya tegangan T 1 dan T 2. Karena, sesuai dengan kondisi, semua titik tali bergerak sejajar dengan sumbu Ou dan tidak ada gaya eksternal, jumlah proyeksi gaya tegangan pada sumbu Ox harus sama dengan nol: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Oleh karena itu, karena kecilnya sudut ϕ 1 = ϕ(x 1, t) dan ϕ 2 = ϕ(x 2, t), kami menyimpulkan bahwa T 1 = T 2. Nyatakan nilai umum dari T 1 = T 2 oleh T. Sekarang kita menghitung jumlah proyeksi F u dari gaya yang sama pada sumbu Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Karena untuk sudut kecil sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), dan tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, persamaan (2) dapat ditulis ulang menjadi F u T (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Karena titik x 1 dipilih sembarang, maka F u T 2 u x2(x, t) x. Setelah semua gaya yang bekerja pada bagian M 1 M 2 ditemukan, kami menerapkan hukum kedua Newton padanya, yang menurutnya hasil kali massa dan percepatan sama dengan jumlah semua gaya yang bekerja. Massa seutas tali M 1 M 2 sama dengan m = ρ l ρ x, dan percepatannya sama dengan 2 u(x, t). Persamaan t 2 Newton berbentuk: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, dengan α 2 = T ρ adalah bilangan positif konstan. 6

61 Dikurangi dengan x, kita mendapatkan 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Sebagai hasilnya, diperoleh persamaan diferensial parsial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan. Ini disebut persamaan getaran tali atau persamaan gelombang satu dimensi. Persamaan (21) pada dasarnya adalah formulasi ulang hukum Newton dan menggambarkan gerak string. Namun dalam perumusan fisik soal, terdapat persyaratan bahwa ujung-ujung tali harus tetap dan posisi tali pada suatu saat diketahui. Kami akan menulis kondisi ini dalam persamaan sebagai berikut: a) kami akan menganggap bahwa ujung-ujung string tetap pada titik x = dan x = l, yaitu, kami akan menganggap bahwa untuk semua t hubungan u(, t) = , u(l, t ) = ; (22) b) kita asumsikan bahwa pada saat t = posisi string berimpit dengan grafik fungsi f(x), yaitu, kita asumsikan bahwa untuk semua x [, l] persamaan u(x, ) = f(x); (23) c) kita asumsikan bahwa pada saat t = titik dawai dengan absis x diberi kecepatan g(x), yaitu kita asumsikan bahwa u (x,) = g(x). (24) t Relasi (22) disebut syarat batas, dan relasi (23) dan (24) disebut syarat awal. Model matematika garis lintang kecil bebas 61

62 vibrasi dawai adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan (21) dengan kondisi batas (22) dan kondisi awal (23) dan (24) Penyelesaian persamaan vibrasi transversal kecil bebas dari string dengan metode Fourier< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Mengganti (25) menjadi (21), kita mendapatkan: X T = α 2 X T, (26) atau T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Dikatakan telah terjadi pemisahan variabel. Karena x dan t tidak bergantung satu sama lain, ruas kiri pada (27) tidak bergantung pada x, tetapi ruas kanan tidak bergantung pada t, dan nilai total rasio ini adalah 62

63 harus konstan, yang dilambangkan dengan λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Oleh karena itu kita memperoleh dua persamaan diferensial biasa: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Dalam hal ini, syarat batas (22) berbentuk X()T(t) = dan X(l)T(t) =. Karena harus dipenuhi untuk semua t, t >, maka X() = X(l) =. (3) Mari kita cari solusi persamaan (28) yang memenuhi syarat batas (3). Mari pertimbangkan tiga kasus. Kasus 1: λ >. Nyatakan λ = β 2. Persamaan (28) berbentuk X (x) β 2 X(x) =. Persamaan karakteristiknya k 2 β 2 = memiliki akar k = ±β. Oleh karena itu, solusi umum Persamaan (28) memiliki bentuk X(x) = C e βx + De βx. Kita harus memilih konstanta C dan D agar syarat batas (3) terpenuhi, yaitu X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Sejak β, maka sistem persamaan ini memiliki solusi unik C = D =. Oleh karena itu X(x) dan 63

64 u(x, t). Jadi, dalam kasus 1 kami telah memperoleh solusi sepele, yang tidak akan kami pertimbangkan lebih lanjut. Kasus 2: λ =. Kemudian persamaan (28) berbentuk X (x) = dan solusinya jelas diberikan oleh rumus: X(x) = C x+d. Substitusikan solusi ini ke kondisi batas (3), kita memperoleh X() = D = dan X(l) = Cl =, sehingga C = D =. Oleh karena itu X(x) dan u(x, t), dan kita kembali memiliki solusi yang sepele. Kasus 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Berikut ini, kami akan menetapkan ke n hanya nilai positif n = 1, 2,..., karena untuk n negatif, solusi dengan bentuk yang sama (nπ) akan diperoleh Nilai λ n = adalah disebut nilai eigen, dan fungsi X n (x) = C n sin πnx fungsi eigen persamaan diferensial (28) dengan kondisi batas (3). Sekarang mari kita selesaikan persamaan (29). Baginya, persamaan karakteristik memiliki bentuk k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Karena kita menemukan di atas bahwa solusi nontrivial X(x) dari Persamaan (28) hanya ada untuk negatif λ sama dengan λ = n2 π 2, λ inilah yang akan kita pertimbangkan di bawah ini. Akar persamaan (32) adalah k = ±iα λ, dan penyelesaian persamaan (29) berbentuk: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l dimana A n dan B n adalah konstanta arbitrer. Substitusikan rumus (31) dan (33) ke dalam (25), kita temukan solusi khusus dari persamaan (21) yang memenuhi syarat batas (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C dan dosa pnx. l l l Memasukkan faktor C n dalam tanda kurung dan memperkenalkan notasi C n A n = b n dan B n C n = a n, kita menulis u n (X, T) sebagai (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) dosa pnx. (34) l l l 65

66 Getaran tali yang sesuai dengan solusi u n (x, t) disebut getaran alami tali. Karena persamaan (21) dan syarat batas (22) adalah linier dan homogen, maka kombinasi linier dari solusi (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l akan menjadi a solusi untuk persamaan (21 ) memenuhi kondisi batas (22) dengan pilihan khusus dari koefisien a n dan b n, yang memastikan konvergensi yang seragam dari deret tersebut. Sekarang kita memilih koefisien a n dan b n dari solusi (35) sehingga tidak hanya memenuhi kondisi batas, tetapi juga kondisi awal (23) dan (24), di mana f(x), g(x) diberikan fungsi ( selain itu, f() = f (l) = g() = g(l) =). Kita asumsikan bahwa fungsi f(x) dan g(x) memenuhi syarat perluasan Fourier. Mengganti nilai t = ke (35), kita memperoleh u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Diferensialkan deret (35) terhadap t dan substitusikan t =, diperoleh u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), dan ini merupakan perluasan dari fungsi f(x) dan g(x) ke dalam deret Fourier. Oleh karena itu, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnαl (36) 66

67 Mengganti pernyataan untuk koefisien a n dan b n ke deret (35), kita mendapatkan solusi persamaan (21) yang memenuhi syarat batas (22) dan syarat awal (23) dan (24). Dengan demikian, kami telah memecahkan masalah getaran transversal kecil bebas dari sebuah string. Mari kita perjelas arti fisik dari fungsi eigen u n (x, t) dari masalah getaran bebas dari sebuah string, yang didefinisikan dengan rumus (34). Mari kita tulis ulang sebagai di mana u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Rumus (37) menunjukkan bahwa semua titik dawai melakukan osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama ω n = πnα dan fase πnα δ n. Amplitudo osilasi tergantung pada l l absis x dari titik tali dan sama dengan α n sin πnx. Dengan osilasi seperti itu, semua titik tali secara bersamaan mencapai deviasi maksimum l dalam satu arah atau lainnya dan secara bersamaan melewati posisi kesetimbangan. Osilasi seperti itu disebut gelombang berdiri. Gelombang berdiri akan memiliki n + 1 titik tetap yang diberikan oleh akar persamaan sin πnx = dalam interval [, l]. Titik tetap disebut simpul gelombang berdiri. Di tengah antara node - l mi adalah titik di mana penyimpangan mencapai maksimum; titik-titik seperti itu disebut antinode. Setiap string dapat memiliki osilasinya sendiri dengan frekuensi yang ditentukan secara ketat ω n = πnα, n = 1, 2,.... Frekuensi ini disebut frekuensi alami string. Nada l terendah yang dapat dihasilkan senar ditentukan dengan sendirinya 67

68 frekuensi alami rendah ω 1 = π T dan disebut nada dasar senar. Nada yang tersisa sesuai dengan frekuensi l ρ ω n, n = 2, 3,..., disebut nada tambahan atau harmonik. Untuk kejelasan, kami akan menggambarkan profil tipikal senar yang memancarkan nada dasar (Gbr. 33), nada atas pertama (Gbr. 34) dan nada atas kedua (Gbr. 35). Beras. Gambar 33. Profil dawai yang mengeluarkan nada dasar. Gambar 34. Profil senar yang mengeluarkan nada atas pertama. Gambar 35. Profil senar yang memancarkan nada tambahan kedua Jika senar melakukan getaran bebas yang ditentukan oleh kondisi awal, maka fungsi u(x, t) direpresentasikan, seperti dapat dilihat dari rumus (35), sebagai jumlah dari harmonik individu. Jadi osilasi sewenang-wenang 68

Senar ke-69 adalah superposisi gelombang berdiri. Dalam hal ini, sifat suara senar (nada, kekuatan suara, timbre) akan bergantung pada rasio antara amplitudo harmonik individu Kekuatan, nada, dan timbre suara Senar yang bergetar membangkitkan getaran udara yang dirasakan oleh manusia telinga sebagai bunyi yang dipancarkan oleh senar. Kekuatan suara dicirikan oleh energi atau amplitudo getaran: semakin besar energinya, semakin besar kekuatan suaranya. Nada suara ditentukan oleh frekuensi atau periode osilasinya: semakin tinggi frekuensinya, semakin tinggi suaranya. Timbre suara ditentukan oleh adanya nada tambahan, distribusi energi pada harmonik, yaitu metode eksitasi osilasi. Amplitudo nada tambahan, secara umum, kurang dari amplitudo nada dasar, dan fase nada tambahan bisa berubah-ubah. Telinga kita tidak peka terhadap fase osilasi. Bandingkan, misalnya, dua kurva pada Gambar. 36, dipinjam dari . Ini adalah rekaman suara dengan nada dasar yang sama, diambil dari klarinet (a) dan piano (b). Kedua suara tersebut bukanlah osilasi sinusoidal sederhana. Frekuensi dasar suara dalam kedua kasus adalah sama dan ini menciptakan nada yang sama. Tetapi pola kurvanya berbeda karena nada tambahan yang berbeda ditumpangkan pada nada dasar. Dalam arti tertentu, gambar-gambar ini menunjukkan apa itu timbre. 69

Persamaan tipe hiperbolik. Getaran string tak terbatas dan semi-tak terbatas. Metode Fourier Metode Fourier Gelombang Berdiri 4 Kuliah 4.1 Persamaan tipe hiperbolik. Fluktuasi tak terbatas dan semi tak terbatas

UNIVERSITAS TEKNIK NEGARA MOSKOW DARI PENERBANGAN SIPIL V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU RUSIA Lembaga Pendidikan Anggaran Negara Federal Pendidikan Tinggi Profesi MATI Universitas Teknologi Negeri Rusia dinamai K. E. Tsiolkovsky

Kementerian Pendidikan Republik Belarus Topik Universitas Teknologi Negeri Vitebsk. "Baris" Departemen Matematika Teoritis dan Terapan. dikembangkan oleh Assoc. E.B. Dunina. Utama

Badan Federal untuk Pendidikan Negara Federal Lembaga Pendidikan Tinggi Pendidikan Profesional UNIVERSITAS FEDERAL SELATAN R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodis

Topik Deret Fourier Pelajaran praktik Deret Fourier dalam sistem fungsi ortogonal Ruang fungsi kontinu potongan-potongan Deret Fourier Umum 3 Pertidaksamaan Bessel dan konvergensi deret Fourier Ruang

TEORI SERI Teori seri adalah komponen paling penting dari analisis matematika dan menemukan baik aplikasi teoretis maupun praktis. Bedakan antara seri numerik dan fungsional.

DAFTAR ISI Deret Fourier 4 Konsep fungsi periodik 4 Polinomial trigonometri 6 3 Sistem fungsi ortogonal 4 Deret Fourier trigonometri 3 5 Deret Fourier fungsi genap dan ganjil 6 6 Dekomposisi

Badan Federal untuk Pendidikan Universitas Negeri Geodesi dan Kartografi Moskow (MIIGAiK) INSTRUKSI METODOLOGIS DAN TUGAS UNTUK KERJA MANDIRI pada kursus MATEMATIKA TINGGI

Kuliah 4. Analisis harmonik. Deret Fourier Fungsi periodik. Analisis Harmonik Dalam sains dan teknologi, seseorang sering harus berurusan dengan fenomena periodik, yaitu fenomena yang berulang

TOPIK V DERING FOURIER 6 Perluasan fungsi periodik dalam deret Fourier Banyak proses yang terjadi di alam dan teknologi memiliki sifat berulang pada selang waktu tertentu Proses tersebut

INSTRUKSI METODOLOGIS UNTUK TUGAS PERHITUNGAN PADA KURSUS MATEMATIKA TINGGI "JENIS PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA BAGIAN INTEGRAL GANDA" BAGIAN III SERI TEMA Daftar Isi Seri Numerik Deret Konvergensi dan Divergensi

6 Deret Fourier 6 Sistem fungsi ortogonal Deret Fourier dalam istilah sistem fungsi ortogonal Fungsi ϕ () dan ψ (), didefinisikan dan dapat diintegrasikan pada ruas [, ], disebut ortogonal pada ruas ini jika

INTEGRAL PASTI. Integral Penjumlahan dan Integral Tentu Misalkan sebuah fungsi y = f() terdefinisi pada ruas [, b ], dimana< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Deret Pangkat 5 Deret Pangkat : Definisi, Domain Konvergensi Deret Fungsi Berbentuk (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) bilangan disebut deret pangkat Bilangan

FAKULTAS MATEMATIKA TERAPAN DAN ILMU INFORMASI UNIVERSITAS NEGERI BELARUSIA Jurusan Pendidikan Matematika Tinggi alat bantu pengajaran untuk mahasiswa Fakultas Matematika Terapan dan Informatika

Mari kita lihat beberapa contoh. Contoh. Tentukan jumlah dari deret geometri tak terhingga Rumus suku umum deret ini adalah a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Mari kita hitung jumlah parsialnya. Jika q =, maka

Tugas 1.1. Temukan solusi y = y(x) dari persamaan diferensial yang non-identik nol di area yang ditunjukkan dan penuhi kondisi batas yang diberikan (masalah Sturm-Liouville) Solusi: Pertimbangkan

Analisis Matematika Topik: Integral Tak Tertentu Integral Tidak Wajar Dosen Pakhomova E.G. 2017 BAB II. Integral tertentu dan penerapannya 1. Integral tertentu dan sifat-sifatnya 1. Tugas,

Kuliah 8 4 Masalah Sturm-Liouville

Penjelasan untuk teks: tanda dibaca sebagai "ekuivalen" dan berarti bahwa persamaan di sebelah kanan tanda dan di sebelah kiri tanda memiliki himpunan solusi yang sama, tanda IR menunjukkan himpunan bilangan real, tanda DI

82 4. Bagian 4. Rangkaian Fungsional dan Daya 4.2. Pelajaran 3 4.2. Pelajaran 3 4.2.. Ekspansi Taylor dari suatu fungsi DEFINISI 4.2.. Misalkan fungsi y = f(x) dapat dibedakan secara tak terhingga di suatu lingkungan

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU LEMBAGA PENDIDIKAN ANGGARAN NEGARA RUSIA FEDERAL PENDIDIKAN PROFESI TINGGI "UNIVERSITAS TEKNIK NEGARA SAMARA" Departemen Matematika Terapan

Badan Federal untuk Transportasi Kereta Api Ural Universitas Negeri Departemen Transportasi Kereta Api "Matematika Tinggi dan Terapan" N. P. Chuev Elemen Metode Analisis Harmonik

Kuliah 3 Deret Taylor dan Maclaurin Penerapan deret pangkat Perluasan fungsi menjadi deret pangkat Deret Taylor dan Maclaurin Untuk aplikasi, penting untuk dapat memperluas fungsi yang diberikan menjadi deret pangkat, fungsi tersebut

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Kuliah Transformasi Fourier Konsep transformasi integral Metode transformasi integral adalah salah satu metode fisika matematika yang ampuh dan merupakan solusi yang ampuh

Keterintegrasian suatu fungsi (menurut Riemann) dan integral tertentu Contoh pemecahan masalah 1. Konstanta f(x) = C dapat diintegralkan pada , karena untuk sembarang partisi dan sembarang pilihan titik ξ i integralnya

Saya tentu saja, tugas. Buktikan bahwa fungsi Riemann, jika 0, m m R(), jika, m, m 0, dan pecahannya tidak dapat direduksi, 0, jika irasional, diskontinu di setiap titik rasional dan kontinu di setiap titik irasional. Larutan.

1 2 Daftar isi 1 Deret Fourier 5 1.1 Deret Trigonometri Fourier .................. 5 1.2 Hanya sin & cos ............. ............ 7 1.3 Deret Fourier dalam bentuk kompleks............. 11 1.4 f(x) = c k?......... ......

PERSAMAAN FISIKA MATEMATIKA 1. Persamaan diferensial parsial

Kuliah 4. Persamaan gelombang 1. Penurunan persamaan getaran tali 2. Persamaan getaran longitudinal batang 3. Kondisi awal, kondisi batas 4. Rumusan masalah 1. Penurunan persamaan getaran tali

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika Pelajaran 6 Pemisahan variabel dalam koordinat kartesius 1.1. (Soal 1.49) Z = bidang bermuatan dengan kerapatan σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), di mana σ, α, β adalah konstanta.

Modul Topik Barisan dan Deret Fungsi Sifat-sifat kekonvergenan barisan dan deret beraturan Deret Daya Kuliah Definisi Barisan dan Deret Fungsi Beraturan

Persamaan tipe parabola. Metode pemisahan variabel Masalah nilai batas homogen Fungsi sumber Persamaan kalor tak homogen 7 Kuliah 7.1 Persamaan tipe parabola. Metode pemisahan

Kuliah Deret Numerik Tanda-tanda Konvergensi Deret Bilangan Tanda-tanda Konvergensi Ekspresi tak terhingga dari barisan numerik + + + +, terdiri dari anggota tak terhingga, disebut deret numerik

35 7 Deret Trigonometri Fourier Deret Fourier untuk fungsi periodik dengan periode T. Misalkan f(x) adalah fungsi periodik kontinu dengan periode T. Perhatikan sistem trigonometri dasar

Fakultas Metalurgi Jurusan Matematika Tinggi

Departemen Matematika dan Elemen Informatika Matematika Tinggi Kompleks pendidikan dan metodologi untuk siswa pendidikan kejuruan menengah yang belajar menggunakan teknologi jarak jauh Modul Kalkulus Diferensial Disusun oleh:

9. Antiturunan dan integral tak tentu 9.. Misalkan fungsi f() diberikan pada interval I R. Fungsi F() disebut fungsi antiturunan f() pada interval I, jika F() = f() untuk sembarang I, dan antiturunannya

DIFERENSIASI FUNGSI SATU VARIABEL Konsep turunan, arti geometris dan fisisnya Soal-soal yang mengarah ke konsep turunan Definisi Tangen S ke garis y f (x) di titik A x ; f(

Persamaan tipe hiperbolik. Getaran string tak terbatas dan semi-tak terbatas. Metode d'Alembert String tak terbatas. Rumus d'Alembert String semi-tak hingga 3 Kuliah 3.1 Persamaan tipe hiperbolik.

Pengantar Judul. Konsep dasar.... 4 1. Persamaan integral Volterra... 5 Pilihan pekerjaan rumah.... 8 2. Penyelesaian persamaan integral Volterra. 10 Pilihan Pekerjaan Rumah.... 11

BARIS. Garis bilangan. Definisi dasar Diberikan urutan bilangan tak terhingga Ekspresi (jumlah tak terhingga) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= disebut a seri nomor. Angka

8. Deret Pangkat 8.. Deret fungsi berbentuk c n (z) n, (8.) n= dimana c n adalah barisan numerik, R adalah bilangan tetap, dan z R disebut deret pangkat dengan koefisien c n . Dengan mengubah variabel

~ ~ Integral tak tentu dan integral tertentu Konsep antiturunan dan integral tak tentu. Definisi: Suatu fungsi F disebut antiturunan terhadap suatu fungsi f jika fungsi-fungsi ini berelasi sebagai berikut

3724 RANGKAIAN INTEGRAL GANDA DAN KURVILINEAR 1 PROGRAM KERJA BAGIAN "RANGKAIAN INTEGRAL GANDA DAN KURVILINEAR" 11 Deret bilangan Konsep deret bilangan Sifat-sifat deret bilangan Kriteria yang diperlukan untuk kekonvergenan

MAKAN. ANALISIS MATEMATIKA BIJIH. SERI NUMERIK DAN FUNGSIONAL NOVOSIBIRSK 200 2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU RUSIA SEI HPE "NOVOSIBIRSK STATE PDAGOGICAL UNIVERSITY" E.M. ANALISIS MATEMATIKA Rudoy.

KULIAH N 7 .Power

PERSAMAAN KUADRAT

BAGIAN TUGAS DENGAN PARAMETER Komentar Tugas dengan parameter secara tradisional merupakan tugas kompleks dalam struktur USE, yang mengharuskan pelamar tidak hanya menguasai semua metode dan teknik untuk menyelesaikan berbagai

Kalkulus diferensial Pengantar analisis matematika Barisan dan limit fungsi. Pengungkapan ketidakpastian di dalam. Turunan fungsi. Aturan diferensiasi. Penerapan turunan

Deret Fourier Sistem fungsi ortogonal Dari sudut pandang aljabar, persamaan di mana adalah fungsi dari kelas tertentu dan merupakan koefisien dari R atau C berarti bahwa vektor tersebut merupakan kombinasi linear dari vektor B

1. Integral Tentu 1.1. Misalkan f fungsi terbatas yang terdefinisi pada segmen [, b] R. Sebuah partisi segmen [, b] adalah himpunan titik τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] sehingga = x< x 1 < < x n 1

Ch Pangkat deret a a a A deret bentuk a a a a a a () disebut deret pangkat, di mana, a, adalah konstanta, disebut koefisien deret. Kadang-kadang deret pangkat dengan bentuk yang lebih umum dipertimbangkan: a a (a) a ( a) a (a) (), di mana

2. Penentuan koefisien deret dengan rumus Fourier.

Biarkan fungsi periodik ƒ(x) dengan periode 2π sedemikian rupa sehingga diwakili oleh deret trigonometri yang konvergen ke fungsi tertentu dalam interval (-π, π), yaitu, adalah jumlah dari deret ini:

Misalkan integral fungsi di ruas kiri persamaan ini sama dengan jumlah integral dari suku-suku deret ini. Ini akan benar jika kita mengasumsikan bahwa deret bilangan yang terdiri dari koefisien deret trigonometri tertentu konvergen secara mutlak, yaitu konvergen deret bilangan positif.

Deret (1) dimajukan dan dapat diintegrasikan suku demi suku dalam interval (-π, π). Kami mengintegrasikan kedua bagian persamaan (2):

Kami menghitung secara terpisah setiap integral yang terjadi di sisi kanan:

,

,

Lewat sini, , di mana

. (4)

Estimasi koefisien Fourier. (Bugrov)

Teorema 1. Misalkan sebuah fungsi ƒ(x) dengan periode 2π memiliki turunan kontinu ƒ (s) (x) berorde s yang memenuhi pertidaksamaan pada seluruh sumbu real:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

maka koefisien Fourier dari fungsi ƒ memenuhi pertidaksamaan

Bukti. Mengintegrasikan dengan bagian-bagian dan memperhitungkan itu

ƒ(-π) = ƒ(π), kita punya

Integralkan ruas kanan dari (7) secara berurutan, dengan memperhatikan turunan ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) kontinu dan mengambil nilai yang sama di titik t = -π dan t = π, demikian juga sebagai estimasi (5), kami mendapatkan estimasi pertama (6).

Estimasi kedua (6) diperoleh dengan cara yang serupa.

Teorema 2 Koefisien Fourier ƒ(x) memenuhi pertidaksamaan

(8)

Bukti. Kita punya

(9)

Memperkenalkan perubahan variabel dalam kasus ini dan memperhitungkan bahwa ƒ(x) adalah fungsi periodik, kami memperoleh

Menambahkan (9) dan (10), kita dapatkan

Kami melakukan pembuktian untuk b k dengan cara yang sama.

Konsekuensi. Jika fungsi ƒ(x) kontinu, maka koefisien Fouriernya cenderung nol: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Ruang fungsi dengan produk skalar.

Suatu fungsi ƒ(x) disebut kontinu sepotong demi sepotong pada suatu segmen jika ia kontinu pada segmen tersebut, kecuali mungkin untuk sejumlah titik terbatas yang memiliki diskontinuitas jenis pertama. Titik-titik tersebut dapat ditambahkan dan dikalikan dengan bilangan real dan, sebagai hasilnya, lagi-lagi fungsi kontinu-penggal pada suatu segmen dapat diperoleh.

Produk skalar dari dua potongan kontinu pada (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Jelas, untuk setiap fungsi kontinu-sepotong ƒ , φ , ψ sifat-sifat berikut berlaku:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) dan persamaan (ƒ , ƒ) = 0 menyiratkan bahwa ƒ(x) =0 pada , tidak termasuk, mungkin, sejumlah titik x yang terbatas;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

di mana α, β adalah bilangan real arbitrer.

Himpunan semua fungsi kontinu sepotong-sepotong yang ditentukan pada interval , di mana produk skalar diperkenalkan sesuai dengan rumus (11), kami akan menunjukkan, dan ruang panggilan

Catatan 1.

Dalam matematika, ruang = (a, b) adalah himpunan fungsi ƒ(x) yang dapat diintegrasikan dalam pengertian Lebesgue bersama dengan kuadratnya, yang produk skalarnya diperkenalkan dengan rumus (11). Ruang yang dimaksud adalah bagian dari . Ruang memiliki banyak sifat ruang, tetapi tidak semuanya.

Properti 1), 2), 3) menyiratkan ketimpangan Bunyakovskii yang penting | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , yang dalam bahasa integral terlihat seperti ini:

Nilai

disebut norma fungsi f.

Norma memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

1) || f || ≥ 0, sedangkan persamaan hanya dapat untuk fungsi nol f = 0, yaitu fungsi sama dengan nol, kecuali, mungkin, untuk jumlah titik yang terbatas;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

di mana α adalah bilangan real.

Properti kedua dalam bahasa integral terlihat seperti ini:

dan disebut ketidaksetaraan Minkowski.

Dikatakan bahwa urutan fungsi ( f n ), milik , konvergen ke suatu fungsi termasuk dalam arti kuadrat rata-rata pada (atau dalam norma ), jika

Perhatikan bahwa jika barisan fungsi ƒ n (x) konvergen secara seragam ke fungsi ƒ(x) pada segmen , maka untuk n yang cukup besar perbedaan ƒ(x) - ƒ n (x) dalam nilai absolut harus kecil untuk semua x dari segmen .

Jika ƒ n (x) cenderung ke ƒ(x) dalam arti kuadrat rata-rata pada segmen , maka perbedaan yang ditunjukkan mungkin tidak kecil untuk n besar di mana-mana . Di beberapa tempat segmen, perbedaan ini bisa besar, tetapi penting bahwa integral kuadratnya pada segmen kecil untuk n besar.

Contoh. Misalkan pada fungsi linier kontinu tertentu ƒ n (x) (n = 1, 2,…) ditunjukkan pada gambar, dan

(Bugrov, hal.281, gbr.120)

Untuk setiap n alami

dan akibatnya, urutan fungsi ini, meskipun konvergen ke nol sebagai n → ∞, tidak seragam. Sementara itu

yaitu, urutan fungsi (f n (x)) cenderung nol dalam arti kuadrat rata-rata pada .

Dari elemen-elemen dari beberapa urutan fungsi ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (milik ) kita buat deret

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Jumlah n anggota pertamanya

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

ada fungsi yang dimiliki . Jika kebetulan di dalamnya terdapat fungsi ƒ sehingga

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

maka kita katakan bahwa deret (12) konvergen ke fungsi ƒ dalam arti kuadrat rata-rata dan tulis

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Komentar 2.

Seseorang dapat mempertimbangkan ruang = (a, b) dari fungsi bernilai kompleks ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), di mana ƒ 1 (x) dan ƒ 2 (x) adalah fungsi kontinu potongan nyata . Di ruang ini, fungsi dikalikan dengan bilangan kompleks dan produk skalar dari fungsi ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) dan φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) didefinisikan sebagai berikut:

dan norma ƒ didefinisikan sebagai nilai

Seri Fourier- cara merepresentasikan fungsi yang kompleks sebagai penjumlahan dari fungsi yang lebih sederhana dan terkenal.
Sinus dan cosinus adalah fungsi periodik. Mereka juga membentuk basis ortogonal. Properti ini dapat dijelaskan dengan analogi dengan sumbu X X X dan Y Y Y pada bidang koordinat. Dengan cara yang sama kita dapat menggambarkan koordinat suatu titik terhadap sumbu, kita dapat menggambarkan fungsi apa pun sehubungan dengan sinus dan cosinus. Fungsi trigonometri dipahami dengan baik dan mudah diterapkan dalam matematika.

Anda dapat merepresentasikan sinus dan cosinus dalam bentuk gelombang berikut:

Biru adalah cosinus, merah adalah sinus. Gelombang ini juga disebut harmonik. Cosinus genap, sinus ganjil. Istilah harmonika berasal dari zaman kuno dan dikaitkan dengan pengamatan tentang hubungan nada dalam musik.

Apa itu deret Fourier

Deret seperti itu, di mana fungsi sinus dan cosinus digunakan sebagai yang paling sederhana, disebut trigonometri. Dinamai setelah penemunya Jean Baptiste Joseph Fourier, pada akhir abad ke-18 - awal abad ke-19. yang membuktikan bahwa fungsi apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi harmonik semacam itu. Dan semakin banyak Anda mengambil, representasi ini akan semakin akurat. Misalnya, gambar di bawah ini: Anda dapat melihat bahwa dengan sejumlah besar harmonik, yaitu anggota deret Fourier, grafik merah mendekati grafik biru - fungsi aslinya.

Aplikasi praktis di dunia modern

Apakah baris ini benar-benar dibutuhkan sekarang? Di mana mereka dapat diterapkan dalam praktik dan apakah orang lain selain matematikawan teoretis menggunakannya? Ternyata Fourier terkenal di seluruh dunia karena penggunaan praktis dari rangkaiannya benar-benar tak terhitung. Lebih mudah menggunakannya di mana ada getaran atau gelombang: akustik, astronomi, teknik radio, dll. Contoh paling sederhana penggunaannya adalah mekanisme kamera atau kamera video. Singkatnya, perangkat ini tidak hanya merekam gambar, tetapi juga koefisien deret Fourier. Dan berfungsi di mana saja - saat melihat gambar di Internet, menonton film, atau mendengarkan musik. Berkat seri Fourier, Anda sekarang dapat membaca artikel ini dari ponsel Anda. Tanpa transformasi Fourier, kami tidak akan memiliki bandwidth koneksi Internet yang cukup untuk sekadar menonton video YouTube, bahkan dalam kualitas standar.

Dalam diagram ini, transformasi Fourier dua dimensi digunakan untuk menguraikan gambar menjadi harmonik, yaitu komponen dasar. Dalam diagram ini, nilai -1 dikodekan dalam warna hitam, 1 dalam warna putih.Ke kanan dan ke bawah grafik, frekuensinya meningkat.

Ekspansi Fourier

Mungkin Anda sudah bosan membaca, jadi mari beralih ke rumusnya.
Untuk teknik matematika seperti perluasan fungsi dalam deret Fourier, Anda harus mengambil integral. Banyak integral. Secara umum, deret Fourier ditulis sebagai jumlah tak terhingga:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (sebuah n​ cos (n x ) +b n​ dosa (n x ) )
di mana
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxsebuah n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)sin(nx)dx

Jika kita entah bagaimana dapat menghitung jumlah yang tak terbatas sebuah n a_n sebuah n​ dan b n b_n b n​ (mereka disebut koefisien ekspansi Fourier, A A SEBUAH hanyalah konstanta dari perluasan ini), maka deret yang dihasilkan akan 100% sesuai dengan fungsi aslinya f(x)f(x) f(x) pada segmen dari − π -\pi − π sebelum π\pi π . Segmen seperti itu disebabkan oleh sifat integrasi sinus dan cosinus. Lebih n n n, yang kami hitung koefisien perluasan fungsi menjadi deret, semakin akurat perluasan ini.

Contoh

Mari kita ambil fungsi sederhana y=5x y=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\batas_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\batas_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0sebuah 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\batas_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\batas_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0sebuah 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) dosa(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xdosa(2 x) dx= − 5

Dan seterusnya. Dalam hal fungsi seperti itu, kita dapat langsung mengatakan itu semua a n = 0 a_n = 0sebuahn​ = 0 , koefisien b n b_nbn​ harus dihitung. Jika kita mengambil empat suku pertama dari perluasan deret Fourier untuk fungsi tersebut y=5x y=5xy= 5 x, kita mendapatkan:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{dosa}(x)-5\cdot \mathrm{dosa}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{dosa}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{dosa}(4\cdot x)$

Grafik dari fungsi yang dihasilkan akan terlihat seperti ini:

Ekspansi Fourier yang dihasilkan mendekati fungsi asli kita. Jika kita mengambil lebih banyak suku dalam deret, misalnya 15, kita akan melihat yang berikut:

Semakin banyak istilah ekspansi dalam suatu rangkaian, semakin tinggi akurasinya.
Jika kita sedikit mengubah skala grafik, kita dapat melihat fitur lain dari transformasi: deret Fourier adalah fungsi periodik dengan periode 2 π 2\pi2 π .

Dengan demikian, dimungkinkan untuk merepresentasikan setiap fungsi yang kontinu pada segmen tersebut [ − π ; pi ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Semua ini diperlukan untuk memfasilitasi analisis beberapa fenomena yang dijelaskan oleh fungsi kompleks. Tidak selalu mungkin untuk menghitung turunan secara analitik (yaitu, dengan rumus), dan dalam kasus sekumpulan sinus dan cosinus, masalah seperti itu tidak akan muncul. Ekspansi itu sendiri menjadi deret Fourier menunjukkan bahwa masalah seringkali dapat diselesaikan secara analitik pada model yang disederhanakan, salah satu contohnya adalah deret Fourier.

Deret Fourier fungsi periodik dengan periode 2π.

Deret Fourier memungkinkan Anda mempelajari fungsi periodik dengan menguraikannya menjadi komponen. Arus bolak-balik dan tegangan, perpindahan, kecepatan dan percepatan mekanisme engkol dan gelombang akustik adalah contoh praktis yang khas dari penerapan fungsi periodik dalam perhitungan teknik.

Ekspansi deret Fourier didasarkan pada asumsi bahwa semua fungsi yang penting secara praktis dalam interval -π ≤ x ≤ π dapat dinyatakan sebagai deret trigonometri konvergen (suatu deret dianggap konvergen jika barisan penjumlahan parsial yang terdiri dari anggota-anggotanya konvergen) :

Notasi standar (=biasa) melalui penjumlahan sinx dan cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

di mana a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. adalah konstanta real, yaitu

Di mana, untuk rentang dari -π hingga π, koefisien deret Fourier dihitung dengan rumus:

Koefisien a o , a n dan b n disebut Koefisien Fourier, dan jika dapat ditemukan, maka deret (1) dipanggil dekat Fourier, sesuai dengan fungsi f(x). Untuk deret (1), suku (a 1 cosx+b 1 sinx) disebut or pertama harmonika utama,

Cara lain untuk menulis deret adalah dengan menggunakan relasi acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Di mana a o adalah konstanta, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 adalah amplitudo dari berbagai komponen, dan sama dengan a n \ u003d arctg a n /b n.

Untuk deret (1), suku (a 1 cosx + b 1 sinx) atau c 1 sin (x + α 1) disebut yang pertama atau harmonika utama,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) atau c 2 sin(2x+α 2) disebut harmonik kedua dan seterusnya.

Untuk secara akurat merepresentasikan sinyal kompleks, biasanya diperlukan jumlah istilah yang tak terbatas. Namun, dalam banyak masalah praktis cukup hanya mempertimbangkan beberapa istilah pertama saja.

Deret Fourier fungsi non-periodik dengan periode 2π.

Perluasan fungsi non-periodik dalam deret Fourier.

Jika fungsi f(x) non-periodik, maka tidak dapat diperluas dalam deret Fourier untuk semua nilai x. Namun, adalah mungkin untuk mendefinisikan deret Fourier yang mewakili suatu fungsi pada rentang lebar 2π.

Mengingat fungsi non-periodik, seseorang dapat menyusun fungsi baru dengan memilih nilai f(x) dalam rentang tertentu dan mengulanginya di luar rentang ini pada interval 2π. Karena fungsi baru bersifat periodik dengan periode 2π, maka dapat diperluas dalam deret Fourier untuk semua nilai x. Misalnya, fungsi f(x)=x tidak periodik. Namun, jika perlu diperluas menjadi deret Fourier pada interval dari 0 hingga 2π, maka fungsi periodik dengan periode 2π dibangun di luar interval ini (seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah).

Untuk fungsi non-periodik seperti f(x)=x, jumlah deret Fourier sama dengan nilai f(x) di semua titik dalam rentang yang diberikan, tetapi tidak sama dengan f(x) untuk titik-titik di luar jangkauan. Untuk mencari deret Fourier dari fungsi non-periodik dalam rentang 2π, digunakan rumus koefisien Fourier yang sama.

Fungsi genap dan ganjil.

Mereka mengatakan fungsi y=f(x) bahkan jika f(-x)=f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi genap selalu simetris terhadap sumbu y (yaitu, dicerminkan). Dua contoh fungsi genap: y=x 2 dan y=cosx.

Mereka mengatakan bahwa fungsi y=f(x) aneh, jika f(-x)=-f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.

Banyak fungsi yang bukan genap atau ganjil.

Ekspansi deret Fourier dalam kosinus.

Deret Fourier dari fungsi periodik genap f(x) dengan periode 2π hanya berisi suku kosinus (yaitu, tidak mengandung suku sinus) dan dapat mencakup suku konstanta. Akibatnya,

dimana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier dari fungsi periodik ganjil f(x) dengan periode 2π hanya berisi suku dengan sinus (tidak mengandung suku dengan cosinus).

Akibatnya,

dimana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier pada setengah siklus.

Jika suatu fungsi didefinisikan untuk suatu rentang, katakanlah 0 hingga π, dan bukan hanya 0 hingga 2π, ia dapat diperluas menjadi deret hanya dalam bentuk sinus atau hanya dalam kosinus. Deret Fourier yang dihasilkan disebut dekat Fourier pada setengah siklus.

Jika Anda ingin mendapatkan dekomposisi Fourier pada setengah siklus dalam kosinus fungsi f(x) dalam rentang dari 0 hingga π, maka fungsi periodik genap perlu dibuat. Pada ara. di bawah ini adalah fungsi f(x)=x yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi genap simetris terhadap sumbu f(x), kita tarik garis AB, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. di bawah. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, bentuk segitiga yang dihasilkan adalah periodik dengan periode 2π, maka grafik akhir memiliki bentuk tampilan. dalam gambar. di bawah. Karena diperlukan untuk memperoleh perluasan Fourier dalam cosinus, seperti sebelumnya, kami menghitung koefisien Fourier a o dan a n

Jika Anda ingin mendapatkan fungsi f (x) dalam rentang dari 0 hingga π, maka Anda perlu membuat fungsi periodik ganjil. Pada ara. di bawah ini adalah fungsi f(x)=x yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi ganjil simetris terhadap titik asal, kita buat garis CD, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. Jika kita mengasumsikan bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, sinyal gigi gergaji yang diterima adalah periodik dengan periode 2π, maka grafik akhir memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. Karena diperlukan untuk memperoleh perluasan Fourier pada setengah siklus dalam bentuk sinus, seperti sebelumnya, kami menghitung koefisien Fourier. b

Deret Fourier untuk interval arbitrer.

Perluasan fungsi periodik dengan periode L.

Fungsi periodik f(x) berulang ketika x meningkat sebesar L, yaitu f(x+L)=f(x). Peralihan dari fungsi yang sebelumnya dipertimbangkan dengan periode 2π ke fungsi dengan periode L cukup sederhana, karena dapat dilakukan dengan menggunakan perubahan variabel.

Untuk mencari deret Fourier dari fungsi f(x) dalam rentang -L/2≤x≤L/2, kita memperkenalkan variabel baru u sehingga fungsi f(x) memiliki periode 2π terhadap u. Jika u=2πx/L, maka x=-L/2 untuk u=-π dan x=L/2 untuk u=π. Misalkan juga f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Deret Fourier F(u) memiliki bentuk

Dimana koefisien deret Fourier,

Namun, lebih sering, rumus di atas menyebabkan ketergantungan pada x. Karena u=2πх/L, maka du=(2π/L)dx, dan limit integrasinya adalah dari -L/2 ke L/2 bukan -π ke π. Oleh karena itu, deret Fourier untuk ketergantungan pada x memiliki bentuk

di mana dalam rentang dari -L/2 hingga L/2 adalah koefisien deret Fourier,

(Batas integrasi dapat diganti dengan interval dengan panjang L, misalnya, dari 0 hingga L)

Deret Fourier pada setengah siklus untuk fungsi yang diberikan dalam interval L≠2π.

Untuk substitusi u=πx/L, selang waktu dari x=0 sampai x=L berhubungan dengan selang waktu dari u=0 sampai u=π. Oleh karena itu, fungsinya dapat diperluas menjadi deret hanya dalam bentuk cosinus atau hanya dalam bentuk sinus, yaitu. di Deret Fourier pada setengah siklus.

Ekspansi dalam cosinus dalam rentang dari 0 hingga L memiliki bentuk