Sifat kelengkapan himpunan bilangan real. Aksioma bilangan real. Peran aksioma kontinuitas dalam konstruksi analisis matematis

§ 7 . Landasan analisis, 4

Kelengkapan himpunan bilangan real.

7.1. Perkenalan.

Definisi. Yang kami maksud dengan bilangan real a adalah kelas ekivalen a dari barisan dasar bilangan rasional.

Definisi. Sekelompok R kelas ekivalensi barisan dasar bilangan rasional disebut himpunan bilangan real.

1) lim a n = a Û " 0< eÎR$ po N("tidak N, n ³ p) Þ |a n - a| £e

2) setiap barisan (an) yang konvergen juga bersifat fundamental

" 0 < eÎR$ po N(("saya N, "tidak N, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £e)

Adalah wajar untuk mencoba, dengan analogi dengan §6, menerapkan prosedur faktorisasi pada himpunan barisan dasar bilangan real. Bukankah kita akan mendapatkan himpunan kelas ekuivalen dari barisan fundamental bilangan real, yang memuat himpunan tersebut R sebagai bagiannya sendiri?

Ternyata tidak.

Pada bagian ini kita akan menetapkan sifat yang luar biasa: sifat kelengkapan himpunan bilangan real, yang terdiri dari fakta bahwa setiap barisan dasar bilangan real konvergen di R.

7.2. Perkiraan bilangan real dengan pecahan desimal.

Definisi. Barisan (q n) dibatasi jika $0< MÎQ, itu (" tidak N|q n | £ juta)

Teorema 1. Setiap barisan dasar bilangan rasional dibatasi.

Bukti. Misalkan (q n) adalah barisan fundamental bilangan rasional, maka berdasarkan fundamentalitasnya, untuk e=1 terdapat pО seperti itu N, Apa:

$ po N:((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p -fix, lalu " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

Memang: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |q p | Þ |q n | £ 1 + |q p |.

Dengan asumsi M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) kita peroleh: " nО N|q n | £ M.ð

Dalam pasal 6.3. relasi unary “menjadi positif” ditentukan di set. Mari kita sepakat untuk menulis “>0”. Maka a ³ 0 Û (a > 0 atau a = 0).

Teorema 2 . Misalkan barisan dasar (q n) bilangan rasional mewakili bilangan real a, maka:

a) ($ hal 1 О N, $MO Q("tidak N, " n ³ hal 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

b) ($ hal 2 tentang N, $mО Q("tidak N, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Bukti. Karena " n³p 1 q n -M £ 0, maka barisan fundamental q n -M - selisih antara barisan fundamental (q n) dan barisan konstanta M tidak dapat berupa barisan positif, karena barisan tersebut nol atau negatif.

Oleh karena itu, bilangan real (a-M) yang diwakili oleh barisan ini tidak mungkin positif, yaitu a-M £ 0, mis. sebuah £M.

Demikian pula, b) dipertimbangkan.

Teorema 3 . Barisan dasar (q n) bilangan rasional menyatakan bilangan real a jika dan hanya jika " 0 R$pО N itu "tidak N dan n³p pertidaksamaan |q n -a| £e:

(q n)Îa Û " 0< eÎR$ po N("tidak N, n³p) Þ |q n -a| £e.

Bukti. Kami hanya akan membuktikan perlunya saja. Jelaslah bahwa "eО R$ e 1 tentang Q(e 1 £e)

Misalkan barisan dasar (q n) bilangan rasional mewakili bilangan a.

Dengan syarat, itu mendasar, yaitu. " 0< eÎQ$ po N("tidak N,"saya N, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £e/2.

Mari kita perbaiki n³p, maka kita memperoleh barisan fundamental (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; .. .).

Semua suku barisan m³p ini memenuhi pertidaksamaan: |q m -q n |£ e/2.

Berdasarkan Teorema 2, bilangan real yang diwakili oleh barisan | a-q n | £e/2.

| a-q n | £ e О R"n³p.

Teorema 4 . Berapapun bilangan real a, selalu ada bilangan bulat M sehingga pertidaksamaan M£a terpenuhi

(" aÎ R$! Saya Z(M £ a< M+1))

Bukti.

Langkah 1. Bukti keberadaan.

Misalkan barisan dasar (q n) bilangan rasional mewakili bilangan real a: ((q n)Îa). Menurut Teorema 1, $LO Z 0, sehingga "tidak N q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

Menurut Teorema 3 (q n)Îa Û " e>0, eО R$ po N: ((" tidak N, n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

Kemudian " n³p ½a½=½a- q n + q n ½£½a- q n½+½ q n½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

Karena e adalah bilangan sembarang >0, maka –L £ a £ L. Setelah ini jelas bahwa -1-L< a < L+1.

Kemudian, di antara himpunan bilangan bulat berhingga: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1, kita temukan Pertama bilangan M+1 yang kondisi a terpenuhi< M+1.

Maka bilangan M tidak memenuhi pertidaksamaan M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

Langkah 2. Bukti keunikan.4

Teori-teori matematika, pada umumnya, mencari jalan keluarnya dengan membiarkan satu kumpulan angka (data awal) diolah menjadi kumpulan angka lain yang merupakan tujuan antara atau tujuan akhir penghitungan. Oleh karena itu, fungsi numerik menempati tempat khusus dalam matematika dan penerapannya. Mereka (lebih tepatnya, apa yang disebut fungsi numerik terdiferensiasi) merupakan objek utama studi analisis klasik. Tetapi deskripsi lengkap tentang sifat-sifat fungsi-fungsi ini dari sudut pandang matematika modern, seperti yang mungkin telah Anda alami di sekolah dan akan segera Anda lihat, tidak mungkin dilakukan tanpa definisi yang tepat dari himpunan bilangan real yang menjadi dasar fungsi-fungsi tersebut. bertindak.

Angka dalam matematika, seperti waktu dalam fisika, diketahui semua orang, tetapi hanya dapat dipahami oleh para spesialis. Ini adalah salah satu abstraksi matematika utama, yang tampaknya masih memiliki evolusi signifikan di masa depan dan sejarahnya dapat dikhususkan untuk kursus intensif independen. Di sini kami hanya bermaksud menyatukan apa yang pada dasarnya pembaca ketahui tentang bilangan real sejak SMA, dengan menonjolkan sifat dasar dan independen bilangan dalam bentuk aksioma. Dalam melakukan hal ini, tujuan kami adalah untuk memberikan definisi yang akurat tentang bilangan real yang cocok untuk penggunaan matematika selanjutnya dan memberikan perhatian khusus pada sifat kelengkapan, atau kontinuitasnya, yang merupakan titik awal untuk mencapai batas - operasi non-aritmatika utama. analisis.

§ 1. Aksiomatik dan beberapa sifat umum himpunan bilangan real

1. Pengertian himpunan bilangan real

Definisi 1. Himpunan E disebut himpunan bilangan real (nyata), dan unsur-unsurnya disebut real (nyata)

bilangan jika himpunan kondisi berikut, yang disebut aksiomatik bilangan real, terpenuhi:

(I) Aksioma penjumlahan

Pemetaan ditentukan (operasi penambahan)

menugaskan ke setiap pasangan elemen terurut dari E beberapa elemen yang disebut jumlah x dan y. Dalam hal ini, kondisi berikut terpenuhi:

Ada elemen netral 0 (disebut nol jika ada penjumlahan) sedemikian rupa sehingga untuk sembarang

Untuk setiap unsur ada unsur yang disebut kebalikan dari itu

Operasi 4 bersifat asosiatif, yaitu untuk elemen apa pun dari

Operasi 4 bersifat komutatif, yaitu untuk setiap elemen dari E,

Jika suatu operasi didefinisikan pada suatu himpunan yang memenuhi aksioma, maka dikatakan bahwa struktur grup diberikan atau terdapat grup. Jika operasinya disebut penjumlahan, maka golongannya disebut penjumlahan. Selain itu, jika diketahui operasinya komutatif, yaitu kondisi terpenuhi, maka grup tersebut disebut komutatif atau Abelian. Jadi, aksioma mengatakan bahwa E adalah grup Abelian aditif.

(II) Aksioma perkalian

Pemetaan ditentukan (operasi perkalian)

menetapkan pada setiap pasangan elemen terurut dari E beberapa elemen, yang disebut hasil kali x dan y, dan sedemikian rupa sehingga kondisi berikut terpenuhi:

1. Ada unsur netral pada perkalian dengan satu) sedemikian rupa sehingga

2. Untuk suatu unsur terdapat suatu unsur yang disebut inversnya, sedemikian rupa sehingga

3. Operasi tersebut bersifat asosiatif, yaitu salah satu dari E

4. Operasi ini bersifat komutatif, yaitu untuk sembarang

Perhatikan bahwa, sehubungan dengan operasi perkalian, himpunan tersebut dapat diverifikasi sebagai grup (perkalian).

(I, II) Hubungan penjumlahan dan perkalian

Perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan, yaitu.

Perhatikan bahwa, karena sifat perkalian yang komutatif, persamaan terakhir akan dipertahankan jika urutan faktor di kedua bagiannya diubah.

Jika pada suatu himpunan terdapat dua operasi yang memenuhi semua aksioma yang tercantum, maka himpunan tersebut disebut bidang aljabar atau sekadar bidang.

(III) Aksioma keteraturan

Ada hubungan antar unsur E, yaitu untuk unsur dari E ditentukan terpenuhi atau tidak. Dalam hal ini, kondisi berikut harus dipenuhi:

Hubungan tersebut disebut hubungan ketimpangan.

Suatu himpunan, antara beberapa elemen yang terdapat hubungan yang memenuhi aksioma 0, 1, 2, sebagaimana diketahui, disebut terurut sebagian, dan jika, selain itu, aksioma 3 terpenuhi, yaitu dua elemen himpunan tersebut sebanding , maka himpunan tersebut disebut terurut linier.

Jadi, himpunan bilangan real diurutkan secara linier berdasarkan hubungan pertidaksamaan antar elemen-elemennya.

(I, III) Hubungan antara penjumlahan dan urutan di R

Jika x adalah elemen dari R, maka

(II, III) Hubungan perkalian dan ordo di R

Jika adalah elemen dari R, maka

(IV) Aksioma kelengkapan (kontinuitas)

Jika X dan Y adalah himpunan bagian tak kosong dari E yang mempunyai sifat bahwa untuk setiap elemen, maka terdapat sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen .

Ini melengkapi daftar aksioma, yang pemenuhannya pada himpunan E mana pun memungkinkan kita untuk menganggap himpunan ini sebagai implementasi spesifik atau, seperti yang mereka katakan, model bilangan real.

Definisi ini secara formal tidak mengandaikan adanya informasi awal tentang bilangan, dan dari situ, “termasuk pemikiran matematis”, sekali lagi secara formal kita harus memperoleh sisa sifat-sifat bilangan real sebagai teorema. Saya ingin memberikan beberapa komentar informal mengenai formalisme aksiomatik ini.

Bayangkan Anda belum mengalami kemajuan dari penjumlahan apel, kubus, atau besaran bernama lainnya menjadi penjumlahan bilangan asli abstrak; bahwa Anda tidak mengukur segmen dan tidak sampai pada bilangan rasional; bahwa anda belum mengetahui penemuan besar orang dahulu bahwa diagonal suatu persegi tidak sebanding dengan sisinya dan oleh karena itu panjangnya tidak dapat berupa bilangan rasional, oleh karena itu diperlukan bilangan irasional; bahwa Anda tidak memiliki konsep “lebih” yang muncul dalam proses pengukuran, bahwa Anda tidak menggambarkan keteraturan pada diri Anda sendiri, misalnya dengan gambar garis bilangan. Jika semua ini tidak ada sebelumnya, maka rangkaian aksioma yang terdaftar tidak hanya tidak akan dianggap sebagai hasil tertentu dari perkembangan spiritual, tetapi, setidaknya, akan tampak aneh dan, dalam hal apa pun, hanya buah fantasi yang sewenang-wenang.

Mengenai sistem aksioma abstrak apa pun, setidaknya ada dua pertanyaan yang segera muncul.

Pertama, apakah aksioma-aksioma ini kompatibel, yaitu apakah terdapat himpunan yang memenuhi semua kondisi di atas? Ini adalah pertanyaan tentang konsistensi aksiomatik.

Kedua, apakah sistem aksioma tertentu secara unik menentukan objek matematika, yaitu, seperti yang dikatakan para ahli logika, apakah sistem aksioma tersebut bersifat kategoris.

Kejelasan di sini harus dipahami sebagai berikut. Jika orang A dan B, secara mandiri, membangun model mereka sendiri, misalnya, sistem numerik yang memenuhi aksiomatik, maka korespondensi bijektif dapat dibuat antar himpunan, meskipun himpunan tersebut mempertahankan operasi aritmatika dan hubungan keteraturan, yaitu.

Dari sudut pandang matematika, dalam hal ini, mereka hanyalah implementasi (model) bilangan real yang berbeda (sepenuhnya sama) (misalnya, - pecahan desimal tak terbatas, dan - titik pada garis bilangan). Implementasi seperti ini disebut isomorfik, dan pemetaannya disebut isomorfisme. Oleh karena itu, hasil aktivitas matematika tidak berhubungan dengan implementasi individu, tetapi dengan setiap model dari kelas model isomorfik dari aksiomatik tertentu.

Kami tidak akan membahas pertanyaan-pertanyaan yang diajukan di atas di sini dan akan membatasi diri hanya pada jawaban-jawaban informatif saja.

Jawaban positif terhadap pertanyaan tentang konsistensi aksiomatik selalu bersyarat. Sehubungan dengan bilangan, tampilannya seperti ini: berdasarkan aksiomatik teori himpunan yang telah kita terima (lihat Bab I, § 4, paragraf 2), kita dapat menyusun himpunan bilangan asli, kemudian himpunan bilangan rasional, dan, akhirnya, himpunan E dari semua bilangan real, yang memenuhi semua sifat di atas.

15. Jika himpunan tak kosong A dan B dari bilangan real sedemikian rupa sehingga untuk sembarang dan pertidaksamaan a< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Aksioma kelengkapan hanya valid di R.

Dapat dibuktikan bahwa di antara bilangan rasional yang tidak sama selalu dapat disisipkan bilangan rasional yang tidak sama.

Dari aksioma-aksioma di atas kita dapat menyimpulkan keunikan nol dan satu, keberadaan dan keunikan selisih dan hasil bagi. Mari kita perhatikan juga sifat-sifat pertidaksamaan yang banyak digunakan dalam berbagai transformasi:

1. Jika sebuah< b, с < d , то a+c < b+d.

2. Jika sebuah< b, то –a >-B .

3. Jika a > 0, b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (Hal terakhir ini juga berlaku untuk a > 0, b > 0.)

4. Jika 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Jika sebuah< b, c >0, lalu ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Jika 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Untuk sembarang bilangan positif a dan b, terdapat bilangan nО N sehingga na > b (aksioma Archimedes, untuk ruas dengan panjang a, b, na).

Notasi berikut untuk himpunan numerik digunakan:

N – himpunan bilangan asli;

Z – kumpulan bilangan bulat;

Q – kumpulan bilangan rasional;

SAYA – kumpulan bilangan irasional;

R – kumpulan bilangan real;

R + – himpunan bilangan real positif;

R_ – kumpulan bilangan real negatif;

R 0 – himpunan bilangan real non-negatif;

C adalah himpunan bilangan kompleks (definisi dan sifat himpunan ini dibahas di bagian 1.1).

Mari kita perkenalkan konsep keterbatasan pada himpunan bilangan real. Ini akan digunakan secara aktif dalam diskusi lebih lanjut.

Kita akan memanggil himpunan TERBATAS DI ATAS (BAWAH) jika terdapat bilangan real M ( M ) bahwa setiap elemen memenuhi pertidaksamaan:

Angka M disebut BATAS ATAS SET A, dan angka m disebut BATAS ATAS SET A – BATAS BAWAH himpunan ini.

Himpunan yang dibatasi di atas dan di bawah disebut berbatas.

Sekelompok N bilangan asli dibatasi di bawah, tetapi tidak dibatasi di atas. Himpunan bilangan bulat Z tidak dibatasi baik di bawah maupun di atas.

Jika kita perhatikan himpunan luas segitiga sembarang yang tertulis dalam lingkaran diameternya D , maka dibatasi dari bawah oleh nol, dan dari atas – luas poligon apa pun yang mencakup lingkaran (khususnya, luas persegi yang dibatasi, sama dengan D 2 ).

Setiap himpunan yang dibatasi di atas (bawah) mempunyai banyak muka atas (bawah) yang tak terhingga banyaknya. Lalu, apakah ada batas atas terkecil dan batas bawah terbesar?

Kami akan menghubungi nomor tersebut supremum dari himpunan yang dibatasi di atasnya AÌ R , Jika:

1. adalah salah satu batas atas himpunan A ;

2. adalah batas atas terkecil dari himpunan tersebut A . Dengan kata lain, bilangan real adalah yang tertinggi dari himpunan tersebut AÌ R , Jika:

Penunjukan yang diterima

Masukkan dengan cara yang sama: – titik terkecil dari suatu himpunan yang dibatasi di bawahnya A dan sebutan yang sesuai

Dalam bahasa Latin: supremum - tertinggi, infimum - terendah.

Wajah persis suatu himpunan mungkin termasuk atau bukan miliknya.

DALIL. Himpunan bilangan real tak kosong yang dibatasi di atas (di bawah) mempunyai batas atas (bawah).

Kami akan menerima teorema ini tanpa bukti. Misalnya jika , maka batas atas dapat dianggap sebagai angka 100, batas bawah – 10, dan . Jika kemudian. Pada contoh kedua, batas pastinya tidak termasuk dalam himpunan ini.

Pada himpunan bilangan real, dua himpunan bagian bilangan aljabar dan transendental yang saling lepas dapat dibedakan.

ANGKA ALJABAR adalah bilangan yang merupakan akar-akar suatu polinomial

koefisien siapa – bilangan bulat.

Dalam aljabar yang lebih tinggi dibuktikan bahwa himpunan akar kompleks suatu polinomial berhingga dan sama dengan n. (Bilangan kompleks adalah generalisasi dari bilangan real). Himpunan bilangan aljabar dapat dihitung . Ini mencakup semua bilangan rasional, karena bilangan berbentuk

memenuhi persamaan tersebut

Telah dibuktikan juga bahwa ada bilangan aljabar yang bukan merupakan radikal dari bilangan rasional. Hasil yang sangat penting ini menghentikan upaya sia-sia untuk menemukan solusi persamaan derajat yang lebih tinggi dari empat pada persamaan radikal. Pencarian selama berabad-abad oleh para ahli aljabar yang mempelajari masalah ini dirangkum oleh ahli matematika Perancis E. Galois, yang meninggal secara tidak masuk akal pada usia 21 tahun. Karya ilmiahnya yang hanya setebal 60 halaman, namun memberikan kontribusi cemerlang bagi perkembangan matematika.

Pemuda yang sangat mencintai ilmu ini, dua kali mencoba masuk ke lembaga pendidikan paling bergengsi di Prancis saat itu. – Sekolah Politeknik – tidak berhasil. Mulai belajar di Sekolah Tinggi istimewa – dikeluarkan karena konflik dengan sutradara. Setelah menjadi tahanan politik setelah berbicara menentang Louis Philippe, ia memindahkan sebuah manuskrip dari penjara ke Akademi Ilmu Pengetahuan Paris yang berisi studi tentang solusi persamaan dalam radikal. Akademi menolak pekerjaan ini. Kematian yang tidak masuk akal dalam sebuah duel mengakhiri hidup pria luar biasa ini.

Himpunan yang merupakan selisih antara himpunan bilangan real dan aljabar disebut himpunan ANGKAAN TRANSENDEN . Jelasnya, setiap bilangan transendental tidak dapat menjadi akar dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat.

Pada saat yang sama, membuktikan transendensi angka-angka tertentu menimbulkan kesulitan yang sangat besar.

Baru pada tahun 1882, seorang profesor di Universitas Königsberg, F. Lindemann, mampu membuktikan transendensi bilangan, yang darinya menjadi jelas bahwa tidak mungkin menyelesaikan masalah mengkuadratkan lingkaran (membangun persegi dengan luas lingkaran tertentu dengan menggunakan kompas dan penggaris). Kita melihat bahwa gagasan aljabar, analisis, dan geometri saling menembus satu sama lain.

Pengenalan aksiomatik bilangan real bukanlah satu-satunya. Bilangan-bilangan ini dapat dimasukkan dengan menggabungkan himpunan bilangan rasional dan irasional, atau sebagai desimal tak hingga, atau dengan memotong himpunan bilangan rasional.

*1) Materi ini diambil dari bab ke-7 buku ini:

L.I. Lurie DASAR MATEMATIKA TINGGI / Buku Teks / M.: Perusahaan penerbitan dan perdagangan "Dashkov and Co", - 2003, - 517 P.

YouTube ensiklopedis

1 / 5

✪ Aksioma bilangan real

✪ Pendahuluan. Bilangan nyata | matan #001 | Boris Trushin +

✪ Prinsip segmen bersarang | matan #003 | Boris Trushin!

✪ Berbagai prinsip kesinambungan | matan #004 | Boris Trushin!

✪ Aksioma kontinuitas. Prinsip cantor tentang stek bersarang

Subtitle

Aksioma kontinuitas

Kalimat berikut mungkin merupakan rumusan paling sederhana dan paling tepat untuk penerapan sifat kontinuitas bilangan real. Dalam konstruksi aksiomatik teori bilangan real, pernyataan ini, atau yang setara dengannya, tentu saja termasuk dalam aksioma bilangan real.

Aksioma kesinambungan (kelengkapan). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) ) Dan B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) ) dan pertidaksamaannya tetap ada, ada bilangan real ξ (\gaya tampilan \xi ) itu untuk semua orang a ∈ A (\gaya tampilan a\dalam A) Dan b ∈ B (\displaystyle b\di B) ada hubungannya

Secara geometris, jika kita memperlakukan bilangan real sebagai titik-titik pada suatu garis, pernyataan ini tampak jelas. Jika dua set A (\gaya tampilan A) Dan B (\gaya tampilan B) sedemikian rupa sehingga pada garis bilangan semua elemen salah satunya terletak di sebelah kiri semua elemen garis kedua, maka ada bilangan ξ (\gaya tampilan \xi ), pemisah kedua himpunan ini, yaitu terletak di sebelah kanan semua elemen A (\gaya tampilan A)(kecuali mungkin yang paling ξ (\gaya tampilan \xi )) dan di sebelah kiri semua elemen B (\gaya tampilan B)(penafian yang sama).

Perlu dicatat di sini bahwa meskipun sifat ini “jelas”, sifat ini tidak selalu benar untuk bilangan rasional. Misalnya, pertimbangkan dua set:

Sangat mudah untuk melihatnya untuk elemen apa pun a ∈ A (\gaya tampilan a\dalam A) Dan b ∈ B (\displaystyle b\di B) ketimpangan tetap terjadi A< b {\displaystyle a. Namun rasional angka ξ (\gaya tampilan \xi ), yang memisahkan kedua himpunan ini, tidak ada. Faktanya, angka ini hanya bisa 2 (\gaya tampilan (\sqrt (2))), tapi itu tidak rasional.

Peran aksioma kontinuitas dalam konstruksi analisis matematis

Arti dari aksioma kontinuitas sedemikian rupa sehingga tanpanya, konstruksi analisis matematis yang cermat tidak mungkin dilakukan. Sebagai ilustrasi, kami menyajikan beberapa pernyataan analisis mendasar, yang pembuktiannya didasarkan pada kontinuitas bilangan real:

• (Teorema Weierstrass). Setiap barisan yang meningkat secara monoton dan berbatas konvergen
• (Teorema Bolzano-Cauchy). Suatu fungsi yang kontinu pada suatu segmen, yang mengambil nilai-nilai tanda yang berbeda di ujungnya, menghilang di suatu titik dalam segmen tersebut
• (Keberadaan fungsi pangkat, eksponensial, logaritmik, dan semua fungsi trigonometri di seluruh domain definisi “alami”). Misalnya, terbukti bahwa untuk setiap a > 0 (\gaya tampilan a>0) dan keseluruhan n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1) ada dan (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), yaitu solusi persamaan tersebut x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). Ini memungkinkan Anda menentukan nilai ekspresi untuk segala sesuatu yang rasional x (\gaya tampilan x):

A m / n = (an) m (\displaystyle a^(m/n)=\kiri((\sqrt[(n)](a))\kanan)^(m))

Akhirnya, berkat kontinuitas garis bilangan, kita dapat menentukan nilai ekspresi tersebut a x (\gaya tampilan a^(x)) sudah untuk sewenang-wenang x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). Demikian pula dengan menggunakan sifat kontinuitas, keberadaan suatu bilangan dibuktikan log a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b)) untuk apa pun a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Selama jangka waktu sejarah yang panjang, para ahli matematika membuktikan teorema-teorema dari analisis, di “tempat yang halus” mengacu pada pembenaran geometris, dan lebih sering, melewatkan semuanya, karena sudah jelas. Konsep kontinuitas yang sangat penting digunakan tanpa definisi yang jelas. Baru pada sepertiga terakhir abad ke-19 ahli matematika Jerman Karl Weierstrass melakukan aritmatika analisis, membangun teori ketat pertama tentang bilangan real sebagai pecahan desimal tak hingga. Dia mengusulkan definisi klasik tentang batas dalam bahasa tersebut ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta ), membuktikan sejumlah pernyataan yang dianggap “jelas” di hadapannya, dan dengan demikian menyelesaikan pembangunan landasan analisis matematis.

Belakangan, pendekatan lain untuk menentukan bilangan real diusulkan. Dalam pendekatan aksiomatik, kontinuitas bilangan real secara eksplisit ditonjolkan sebagai aksioma tersendiri. Dalam pendekatan konstruktif terhadap teori bilangan real, misalnya ketika membangun bilangan real menggunakan bagian Dedekind, sifat kontinuitas (dalam satu bentuk atau lainnya) dibuktikan sebagai sebuah teorema.

Rumusan lain tentang sifat kontinuitas dan kalimat padanannya

Ada beberapa pernyataan berbeda yang menyatakan sifat kontinuitas bilangan real. Masing-masing prinsip ini dapat digunakan sebagai dasar untuk membangun teori bilangan real sebagai aksioma kontinuitas, dan semua prinsip lainnya dapat diturunkan darinya. Masalah ini dibahas lebih rinci di bagian selanjutnya.

Kontinuitas menurut Dedekind

Dedekind membahas pertanyaan tentang kesinambungan bilangan real dalam karyanya “Kontinuitas dan bilangan irasional”. Di dalamnya, ia membandingkan bilangan rasional dengan titik-titik pada garis lurus. Sebagaimana diketahui, korespondensi dapat dibuat antara bilangan rasional dan titik-titik pada suatu garis ketika titik awal dan satuan pengukuran segmen-segmen tersebut dipilih pada garis tersebut. Menggunakan yang terakhir, untuk setiap bilangan rasional a (\gaya tampilan a) buatlah segmen yang sesuai, dan letakkan di kanan atau kiri, tergantung apakah ada a (\gaya tampilan a) angka positif atau negatif, dapatkan poin p (\gaya tampilan p), sesuai dengan nomornya a (\gaya tampilan a). Jadi, untuk setiap bilangan rasional a (\gaya tampilan a) satu dan hanya satu poin yang cocok p (\gaya tampilan p) pada garis lurus.

Ternyata ada banyak sekali titik pada garis yang tidak bersesuaian dengan bilangan rasional apa pun. Misalnya, titik yang diperoleh dengan memplot panjang diagonal persegi yang dibangun pada satuan segmen. Jadi, daerah bilangan rasional tidak memiliki hal tersebut kelengkapan, atau kontinuitas, yang melekat pada garis lurus.

Untuk mengetahui apa saja kesinambungan tersebut, Dedekind mengemukakan pendapatnya sebagai berikut. Jika p (\gaya tampilan p) ada titik tertentu pada garis tersebut, maka semua titik pada garis tersebut terbagi dalam dua kelas: titik-titik yang terletak di sebelah kiri p (\gaya tampilan p), dan titik-titik yang terletak di sebelah kanan p (\gaya tampilan p). Poin yang sama p (\gaya tampilan p) dapat secara sewenang-wenang ditugaskan ke kelas bawah atau atas. Dedekind melihat esensi kesinambungan dalam prinsip sebaliknya:

Secara geometris, prinsip ini tampak jelas, namun kami tidak dapat membuktikannya. Dedekind menekankan bahwa, pada hakikatnya, prinsip ini adalah sebuah postulat, yang mengungkapkan esensi dari sifat langsung yang diatribusikan, yang kita sebut kontinuitas.

Untuk lebih memahami hakikat kesinambungan garis bilangan dalam pengertian Dedekind, perhatikan bagian sembarang dari himpunan bilangan real, yaitu pembagian semua bilangan real menjadi dua kelas tak kosong, sehingga semua bilangan suatu kelas terletak pada garis bilangan di sebelah kiri semua bilangan kelas kedua. Kelas-kelas ini diberi nama yang sesuai lebih rendah Dan kelas atas bagian. Secara teori ada 4 kemungkinan:

1. Kelas bawah mempunyai elemen maksimum, kelas atas tidak memiliki elemen minimum
2. Kelas bawah tidak memiliki elemen maksimal, tetapi kelas atas memiliki elemen minimum
3. Kelas bawah memiliki elemen maksimum dan kelas atas memiliki elemen minimum
4. Kelas bawah tidak memiliki elemen maksimum dan kelas atas tidak memiliki elemen minimum

Dalam kasus pertama dan kedua, masing-masing elemen maksimum di bawah atau elemen minimum di atas menghasilkan bagian ini. Dalam kasus ketiga yang kita miliki melompat, dan yang keempat - ruang angkasa. Jadi, kesinambungan garis bilangan berarti bahwa pada himpunan bilangan real tidak ada lompatan atau celah, yaitu secara kiasan tidak ada celah.

Usulan ini juga setara dengan prinsip kontinuitas Dedekind. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa pernyataan teorema supremum langsung mengikuti pernyataan teorema infimum, dan sebaliknya (lihat di bawah).

Lemma penutup hingga (prinsip Heine-Borel)

Lemma Sampul Terbatas (Heine - Borel). Dalam sistem interval apa pun yang mencakup suatu segmen, terdapat subsistem berhingga yang mencakup segmen tersebut.

Lemma titik batas (prinsip Bolzano-Weierstrass)

Lemma titik batas (Bolzano - Weierstrass). Setiap himpunan bilangan terbatas tak terhingga mempunyai paling sedikit satu titik batas.. Kelompok kedua menyatakan fakta bahwa himpunan bilangan real adalah , dan hubungan urutannya konsisten dengan operasi dasar lapangan. Jadi, aksioma kelompok pertama dan kedua berarti bahwa himpunan bilangan real mewakili bidang terurut. Kelompok aksioma ketiga terdiri dari satu aksioma - aksioma kontinuitas (atau kelengkapan).

Untuk menunjukkan kesetaraan formulasi yang berbeda tentang kontinuitas bilangan real, perlu dibuktikan bahwa jika salah satu dari pernyataan ini berlaku untuk bidang terurut, maka validitas semua pernyataan lainnya mengikuti dari ini.

Dalil. Misalkan himpunan terurut linier sembarang. Pernyataan berikut ini setara:

1. Apapun himpunan tak kosong dan B ⊂ R (\displaystyle B\subset (\mathsf (R))), sehingga untuk dua elemen apa pun a ∈ A (\gaya tampilan a\dalam A) Dan b ∈ B (\displaystyle b\di B) ketimpangan tetap terjadi a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b), ada elemen seperti itu ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R))) itu untuk semua orang a ∈ A (\gaya tampilan a\dalam A) Dan b ∈ B (\displaystyle b\di B) ada hubungannya a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. Untuk bagian mana pun di R (\displaystyle (\mathsf (R))) ada elemen yang memproduksi bagian ini
3. Himpunan tak kosong mana pun yang dibatasi di atasnya A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) memiliki supremasi
4. Setiap himpunan tak kosong yang dibatasi dari bawah A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) memiliki minimum

Terlihat dari teorema ini, keempat kalimat ini hanya menggunakan apa adanya R (\displaystyle (\mathsf (R))) hubungan tatanan linier diperkenalkan dan struktur bidang tidak digunakan. Jadi, masing-masing mengekspresikan propertinya R (\displaystyle (\mathsf (R))) sebagai himpunan terurut linier. Sifat ini (dari himpunan terurut linier sembarang, belum tentu himpunan bilangan real) disebut kesinambungan, atau kelengkapan, menurut Dedekind.

Pembuktian kesetaraan kalimat lain sudah memerlukan adanya struktur lapangan.

Dalil. Membiarkan R (\displaystyle (\mathsf (R)))- bidang yang dipesan secara sewenang-wenang. Kalimat berikut ini setara:

Komentar. Seperti dapat dilihat dari teorema, prinsip segmen bersarang itu sendiri tidak setara Prinsip kontinuitas Dedekind. Dari prinsip kontinuitas Dedekind, prinsip segmen bersarang mengikuti, tetapi untuk sebaliknya perlu juga mensyaratkan bahwa bidang terurut .

Rencana:

Perkenalan

• 1 Aksioma kontinuitas
• 2 Peran aksioma kontinuitas dalam konstruksi analisis matematis
• 3 Rumusan lain tentang sifat kontinuitas dan kalimat padanannya
  • 3.1 Kontinuitas menurut Dedekind
  • 3.2 Lemma pada segmen bersarang (prinsip Cauchy-Cantor)
  • 3.3 Prinsip tertinggi
  • 3.4 Lemma penutup hingga (prinsip Heine-Borel)
  • 3.5 Lemma titik batas (prinsip Bolzano-Weierstrass)
• 4 Kesetaraan kalimat yang menyatakan kesinambungan himpunan bilangan real
Catatan
literatur

Perkenalan

Kontinuitas bilangan real- properti sistem bilangan real yang tidak dimiliki oleh himpunan bilangan rasional. Kadang-kadang, alih-alih kesinambungan, yang mereka bicarakan kelengkapan sistem bilangan real. Ada beberapa rumusan sifat kontinuitas yang berbeda, yang paling terkenal adalah: Prinsip Dedekind tentang kesinambungan bilangan real, Prinsip interval bersarang Cauchy-Cantor, teorema tertinggi. Bergantung pada definisi bilangan real yang diterima, sifat kontinuitas dapat dipostulatkan sebagai aksioma - dalam satu rumusan atau lainnya, atau dibuktikan sebagai teorema.

1. Aksioma kontinuitas

Kalimat berikut mungkin merupakan rumusan paling sederhana dan paling tepat untuk penerapan sifat kontinuitas bilangan real. Dalam konstruksi aksiomatik teori bilangan real, pernyataan ini, atau yang setara dengannya, tentu termasuk dalam sejumlah aksioma bilangan real.

Ilustrasi geometris aksioma kontinuitas

Aksioma kesinambungan (kelengkapan). Apapun himpunan tak kosongnya dan sedemikian rupa sehingga untuk dua elemen mana pun dan pertidaksamaannya berlaku, terdapat bilangan ξ sedemikian rupa sehingga untuk semua dan relasinya berlaku

Secara geometris, jika kita memperlakukan bilangan real sebagai titik-titik pada suatu garis, pernyataan ini tampak jelas. Jika dua set A Dan B sedemikian rupa sehingga pada garis bilangan semua elemen salah satunya terletak di sebelah kiri semua elemen kedua, maka terdapat bilangan ξ, pemisah kedua himpunan ini, yaitu terletak di sebelah kanan semua elemen A(kecuali mungkin ξ itu sendiri) dan di sebelah kiri semua elemen B(penafian yang sama).

Perlu dicatat di sini bahwa meskipun sifat ini “jelas”, sifat ini tidak selalu benar untuk bilangan rasional. Misalnya, pertimbangkan dua set:

Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk setiap elemen dan ketidaksetaraannya A < B. Namun rasional tidak ada bilangan ξ yang memisahkan kedua himpunan ini. Faktanya, angka tersebut hanya bisa , tetapi tidak rasional.

2. Peran aksioma kontinuitas dalam konstruksi analisis matematis

Pentingnya aksioma kontinuitas sedemikian rupa sehingga tanpanya konstruksi analisis matematis yang cermat tidak mungkin dilakukan. Sebagai ilustrasi, kami menyajikan beberapa pernyataan analisis mendasar, yang pembuktiannya didasarkan pada kontinuitas bilangan real:

Akhirnya, berkat kontinuitas garis bilangan, kita dapat menentukan nilai ekspresi tersebut A X sudah untuk sewenang-wenang. Demikian pula dengan menggunakan sifat kontinuitas, kita buktikan keberadaan log bilangan A B untuk apa pun.

Selama periode sejarah yang panjang, para ahli matematika membuktikan teorema dari analisis, di “tempat yang halus” mengacu pada pembenaran geometris, dan lebih sering - melewatkan semuanya karena sudah jelas. Konsep kontinuitas yang sangat penting digunakan tanpa definisi yang jelas. Baru pada sepertiga terakhir abad ke-19 ahli matematika Jerman Karl Weierstrass melakukan aritmatika analisis, membangun teori ketat pertama tentang bilangan real sebagai pecahan desimal tak hingga. Dia mengusulkan definisi klasik tentang batas dalam bahasa tersebut, membuktikan sejumlah pernyataan yang dianggap “jelas” sebelumnya, dan dengan demikian menyelesaikan konstruksi landasan analisis matematis.

Belakangan, pendekatan lain untuk menentukan bilangan real diusulkan. Dalam pendekatan aksiomatik, kontinuitas bilangan real secara eksplisit ditonjolkan sebagai aksioma tersendiri. Dalam pendekatan konstruktif terhadap teori bilangan real, misalnya, ketika menyusun bilangan real menggunakan bagian Dedekind, sifat kontinuitas (dalam satu bentuk atau lainnya) dibuktikan sebagai teorema.

3. Rumusan lain tentang sifat kesinambungan dan persamaan kalimat

Ada beberapa pernyataan berbeda yang menyatakan sifat kontinuitas bilangan real. Masing-masing prinsip ini dapat digunakan sebagai dasar untuk membangun teori bilangan real sebagai aksioma kontinuitas, dan semua prinsip lainnya dapat diturunkan darinya. Masalah ini dibahas lebih rinci di bagian selanjutnya.

3.1. Kontinuitas menurut Dedekind

Dedekind membahas pertanyaan tentang kesinambungan bilangan real dalam karyanya “Kontinuitas dan Bilangan Irasional”. Di dalamnya, ia membandingkan bilangan rasional dengan titik-titik pada garis lurus. Sebagaimana diketahui, korespondensi dapat dibuat antara bilangan rasional dan titik-titik pada suatu garis ketika titik awal dan satuan pengukuran segmen-segmen tersebut dipilih pada garis tersebut. Menggunakan yang terakhir, untuk setiap bilangan rasional A buatlah segmen yang sesuai, dan letakkan di kanan atau kiri, tergantung apakah ada A angka positif atau negatif, dapatkan poin P, sesuai dengan nomornya A. Jadi, untuk setiap bilangan rasional A satu dan hanya satu poin yang cocok P pada garis lurus.

Ternyata ada banyak sekali titik pada garis yang tidak bersesuaian dengan bilangan rasional apa pun. Misalnya, titik yang diperoleh dengan memplot panjang diagonal persegi yang dibangun pada satuan segmen. Jadi, daerah bilangan rasional tidak memiliki hal tersebut kelengkapan, atau kontinuitas, yang melekat pada garis lurus.

Untuk mengetahui apa saja kesinambungan tersebut, Dedekind mengemukakan pendapatnya sebagai berikut. Jika P ada titik tertentu pada garis tersebut, maka semua titik pada garis tersebut terbagi dalam dua kelas: titik-titik yang terletak di sebelah kiri P, dan titik-titik yang terletak di sebelah kanan P. Poin yang sama P dapat secara sewenang-wenang ditugaskan ke kelas bawah atau atas. Dedekind melihat esensi kesinambungan dalam prinsip sebaliknya:

Secara geometris, prinsip ini tampak jelas, namun kami tidak dapat membuktikannya. Dedekind menekankan bahwa pada hakikatnya asas ini merupakan dalil yang mengungkapkan hakikat sifat yang dikaitkan dengan garis lurus, yang kita sebut kontinuitas.

Untuk lebih memahami hakikat kesinambungan garis bilangan dalam pengertian Dedekind, perhatikan bagian sembarang dari himpunan bilangan real, yaitu pembagian semua bilangan real menjadi dua kelas tak kosong, sehingga semua bilangan suatu kelas terletak pada garis bilangan di sebelah kiri semua bilangan kelas kedua. Kelas-kelas ini diberi nama yang sesuai lebih rendah Dan kelas atas bagian. Secara teori ada 4 kemungkinan:

1. Kelas bawah mempunyai elemen maksimum, kelas atas tidak memiliki elemen minimum
2. Kelas bawah tidak memiliki elemen maksimal, tetapi kelas atas memiliki elemen minimum
3. Kelas bawah memiliki elemen maksimum dan kelas atas memiliki elemen minimum
4. Kelas bawah tidak memiliki elemen maksimum dan kelas atas tidak memiliki elemen minimum

Dalam kasus pertama dan kedua, masing-masing elemen maksimum di bawah atau elemen minimum di atas menghasilkan bagian ini. Dalam kasus ketiga yang kita miliki melompat, dan yang keempat - ruang angkasa. Jadi, kesinambungan garis bilangan berarti bahwa pada himpunan bilangan real tidak ada lompatan atau celah, yaitu secara kiasan tidak ada celah.

Jika kita mengenalkan konsep bagian himpunan bilangan real, maka prinsip kontinuitas Dedekind dapat dirumuskan sebagai berikut.

Prinsip kesinambungan (kelengkapan) Dedekind. Untuk setiap bagian himpunan bilangan real, terdapat bilangan yang menghasilkan bagian tersebut.

Komentar. Rumusan Aksioma Kontinuitas tentang adanya titik yang memisahkan dua himpunan sangat mengingatkan pada rumusan prinsip kontinuitas Dedekind. Pada kenyataannya, pernyataan-pernyataan ini setara, dan pada dasarnya merupakan rumusan berbeda dari hal yang sama. Oleh karena itu, kedua pernyataan ini disebut Prinsip Dedekind tentang kesinambungan bilangan real.

3.2. Lemma pada segmen bersarang (prinsip Cauchy-Cantor)

Lemma pada segmen bersarang (Cauchy - Penyanyi). Sistem segmen bersarang apa pun

mempunyai perpotongan tidak kosong, yaitu paling sedikit terdapat satu bilangan yang dimiliki oleh semua segmen suatu sistem tertentu.

Selain itu, jika panjang segmen suatu sistem cenderung nol, maka demikianlah

maka perpotongan ruas-ruas sistem ini terdiri dari satu titik.

Properti ini disebut kontinuitas himpunan bilangan real dalam pengertian Cantor. Di bawah ini akan kami tunjukkan bahwa untuk bidang terurut Archimedean, kontinuitas menurut Cantor setara dengan kontinuitas menurut Dedekind.

3.3. Prinsip tertinggi

Prinsip tertinggi. Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang dibatasi di atas mempunyai supremum.

Dalam mata kuliah kalkulus, proposisi ini biasanya berupa teorema dan pembuktiannya pada dasarnya memanfaatkan kontinuitas himpunan bilangan real dalam beberapa bentuk. Pada saat yang sama, sebaliknya, seseorang dapat mendalilkan keberadaan supremum untuk setiap himpunan tak kosong yang dibatasi di atas, dan mengandalkan hal ini untuk membuktikan, misalnya, prinsip kontinuitas menurut Dedekind. Dengan demikian, teorema supremum merupakan salah satu rumusan ekuivalen sifat kontinuitas bilangan real.

Komentar. Alih-alih supremum, seseorang dapat menggunakan konsep ganda infimum.

Prinsip minimum. Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang dibatasi dari bawah mempunyai nilai infimum.

Usulan ini juga setara dengan prinsip kontinuitas Dedekind. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa pernyataan teorema supremum langsung mengikuti pernyataan teorema infimum, dan sebaliknya (lihat di bawah).

3.4. Lemma penutup hingga (prinsip Heine-Borel)

Lemma Sampul Terbatas (Heine - Borel). Dalam sistem interval apa pun yang mencakup suatu segmen, terdapat subsistem berhingga yang mencakup segmen tersebut.

3.5. Lemma titik batas (prinsip Bolzano-Weierstrass)

Lemma titik batas (Bolzano - Weierstrass). Setiap himpunan bilangan terbatas tak terhingga mempunyai paling sedikit satu titik batas.

4. Persamaan kalimat yang menyatakan kesinambungan himpunan bilangan real

Mari kita membuat beberapa catatan awal. Menurut definisi aksiomatik bilangan real, himpunan bilangan real memenuhi tiga kelompok aksioma. Kelompok pertama adalah aksioma lapangan. Kelompok kedua menyatakan fakta bahwa himpunan bilangan real adalah himpunan terurut linier, dan hubungan keteraturannya konsisten dengan operasi dasar lapangan. Jadi, aksioma kelompok pertama dan kedua berarti bahwa himpunan bilangan real mewakili bidang terurut. Kelompok aksioma ketiga terdiri dari satu aksioma - aksioma kontinuitas (atau kelengkapan).

Untuk menunjukkan kesetaraan formulasi yang berbeda tentang kontinuitas bilangan real, perlu dibuktikan bahwa jika salah satu dari pernyataan ini berlaku untuk bidang terurut, maka validitas semua pernyataan lainnya mengikuti dari ini.

Dalil. Misalkan himpunan terurut linier sembarang. Pernyataan berikut ini setara:

Terlihat dari teorema ini, keempat kalimat tersebut hanya menggunakan fakta bahwa relasi tatanan linier diperkenalkan, dan tidak menggunakan struktur medan. Jadi, masing-masing himpunan tersebut menyatakan sifat himpunan terurut linier. Sifat ini (dari himpunan terurut linier sembarang, belum tentu himpunan bilangan real) disebut kesinambungan, atau kelengkapan, menurut Dedekind.

Pembuktian kesetaraan kalimat lain sudah memerlukan adanya struktur lapangan.

Dalil. Biarkan menjadi bidang terurut sembarang. Kalimat berikut ini setara:

Komentar. Seperti dapat dilihat dari teorema, prinsip segmen bersarang itu sendiri tidak setara Prinsip kontinuitas Dedekind. Prinsip kontinuitas Dedekind mengikuti prinsip segmen bersarang, tetapi sebaliknya perlu juga mensyaratkan bahwa bidang terurut memenuhi aksioma Archimedes.

Bukti teorema di atas dapat ditemukan pada buku-buku dari daftar referensi di bawah ini.

Catatan

1. Zorich, V.A. Analisis matematis. Bagian I. - Ed. 4, putaran - M.: "MCNMO", 2002. - Hal.43.
2. Misalnya, dengan definisi aksiomatik bilangan real, prinsip kontinuitas Dedekind termasuk dalam jumlah aksioma, dan dengan definisi konstruktif bilangan real menggunakan bagian Dedekind, pernyataan yang sama sudah menjadi teorema - lihat misalnya Fikhtengolts, G.M.
3. Kudryavtsev, L.D. Kursus analisis matematika. - edisi ke-5. - M.: “Bustard”, 2003. - T.1. - Hal.38.
4. Kudryavtsev, L.D. Kursus analisis matematika. - edisi ke-5. - M.: “Bustard”, 2003. - T.1. - Hal.84.
5. Zorich, V.A. Analisis matematis. Bagian I. - Ed. 4, rev.. - M.: “MCNMO”, 2002. - Hal.81.
6. Dedekind, R. Kontinuitas dan bilangan irasional - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irasionale Zahlen. - Edisi revisi ke-4. - Odessa: Matematika, 1923. - 44 hal.

literatur

• Kudryavtsev, L.D. Kursus analisis matematika. - edisi ke-5. - M.: “Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 hal. - ISBN 5-7107-4119-1
• Fikhtengolts, G.M. Dasar-dasar analisis matematika. - edisi ke-7. - M.: “FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 hal. - ISBN 5-9221-0196-X
• Dedekind, R. Kontinuitas dan bilangan irasional - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irasionale Zahlen. - Edisi revisi ke-4. - Odessa: Matematika, 1923. - 44 hal. , Kelengkapan Turing , Pemisahan suatu himpunan , Variasi suatu himpunan , Derajat suatu himpunan .