Kriteria geometrik untuk ketergantungan linier tiga vektor. Kondisi yang diperlukan untuk ketergantungan linier dari n fungsi. Sifat-sifat vektor bergantung linier

Perhatikan bahwa berikut ini, tanpa kehilangan keumuman, kita akan mempertimbangkan kasus vektor dalam ruang tiga dimensi. Di pesawat, pertimbangan vektor dilakukan dengan cara yang sama. Seperti disebutkan di atas, semua hasil yang diketahui dari kursus aljabar linier untuk vektor aljabar dapat ditransfer ke kasus tertentu dari vektor geometris. Jadi mari kita lakukan.

Biarkan vektor diperbaiki.

Definisi. Jumlahnya, di mana adalah beberapa angka, disebut kombinasi linier dari vektor. Dalam hal ini, angka-angka ini akan disebut koefisien kombinasi linier.

Kami akan tertarik pada pertanyaan tentang kemungkinan kesetaraan kombinasi linier ke vektor nol. Sesuai dengan sifat dan aksioma ruang vektor, menjadi jelas bahwa untuk sistem vektor apa pun ada himpunan koefisien sepele (nol), yang persamaan ini berlaku:

Muncul pertanyaan tentang keberadaan sistem vektor tertentu dari himpunan koefisien non-sepele (di antaranya ada setidaknya satu koefisien bukan nol), yang persamaan tersebut berlaku. Sesuai dengan ini, kita akan membedakan antara sistem tak bebas linier dan tak bebas.

Definisi. Suatu sistem vektor disebut bebas linier jika ada himpunan bilangan seperti itu , di antaranya setidaknya ada satu bukan nol, sehingga kombinasi linier yang sesuai sama dengan vektor nol:

Suatu sistem vektor disebut bebas linier jika persamaan

hanya mungkin dalam kasus himpunan koefisien yang sepele:

Mari kita daftar sifat-sifat utama dari sistem bergantung linier dan sistem bebas yang dibuktikan dalam aljabar linier.

1. Setiap sistem vektor yang mengandung vektor nol adalah bergantung linier.

2. Misalkan ada subsistem yang bergantung linier dalam sistem vektor. Maka seluruh sistem juga bergantung linier.

3. Jika suatu sistem vektor bebas linier, maka salah satu subsistemnya juga bebas linier.

4. Jika ada dua vektor dalam suatu sistem vektor, yang salah satunya diperoleh dari yang lain dengan mengalikan suatu bilangan tertentu, maka seluruh sistem tersebut bergantung linier.

Teorema (kriteria ketergantungan linier). Suatu sistem vektor bergantung linier jika dan hanya jika salah satu vektor dari sistem ini dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain dari sistem tersebut.

Dengan mempertimbangkan kriteria kolinearitas dua vektor, dapat dikatakan bahwa kriteria ketergantungan liniernya adalah kolinearitasnya. Untuk tiga vektor dalam ruang, pernyataan berikut ini benar.

Teorema (kriteria ketergantungan linier dari tiga vektor geometris). Tiga vektor , dan bergantung linier jika dan hanya jika mereka sebidang.

Bukti.

Membutuhkan. Membiarkan vektor , Dan menjadi tergantung linier. Mari kita buktikan keselarasan mereka. Kemudian, menurut kriteria umum ketergantungan linier vektor aljabar, kami menyatakan bahwa salah satu vektor ini dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor lain. Biarkan, misalnya,

Jika ketiga vektor , dan diterapkan pada asal yang sama , maka vektor akan bertepatan dengan diagonal jajaran genjang yang dibangun di atas vektor dan . Tetapi ini berarti bahwa vektor , dan terletak pada bidang yang sama, yaitu. sebidang.

Kecukupan. Biarkan vektor , dan menjadi coplanar. Mari kita tunjukkan bahwa mereka bergantung linier. Pertama-tama, pertimbangkan kasus ketika setiap pasangan dari vektor yang ditunjukkan adalah collinear. Dalam hal ini, menurut teorema sebelumnya, sistem vektor , , berisi subsistem yang bergantung linier dan, oleh karena itu, bergantung secara linier menurut properti 2 dari sistem vektor yang bergantung linier dan tidak bergantung. Biarkan sekarang tidak ada pasangan vektor yang sedang dipertimbangkan menjadi collinear. Kami mentransfer ketiga vektor ke satu bidang dan membawanya ke asal yang sama. Gambarlah melalui ujung garis vektor yang sejajar dengan vektor dan . Biarkan huruf itu menunjukkan titik potong garis yang sejajar dengan vektor dengan garis di mana vektor itu berada, dan dengan huruf itu adalah titik potong garis yang sejajar dengan vektor dengan garis di mana vektor itu berada. Dengan definisi jumlah vektor, kita mendapatkan:

.

Karena vektor tersebut kolinear dengan vektor bukan nol , terdapat bilangan real sedemikian sehingga

Pertimbangan serupa menyiratkan keberadaan bilangan real sedemikian rupa sehingga

Hasilnya, kita akan memiliki:

Kemudian, dari kriteria umum untuk ketergantungan linier dari vektor-vektor aljabar, kita memperoleh bahwa vektor-vektor , , bergantung secara linier.

Teorema (ketergantungan linier dari empat vektor). Setiap empat vektor bergantung linier.

Bukti. Pertama-tama, pertimbangkan kasus ketika tiga kali lipat dari empat vektor yang ditunjukkan adalah koplanar. Dalam hal ini, tripel ini bergantung linier sesuai dengan teorema sebelumnya. Oleh karena itu, sesuai dengan sifat dari 2 sistem vektor yang bergantung linier dan tidak bergantung, dan seluruh empat kali lipat bergantung secara linier.

Biarkan sekarang, di antara vektor-vektor yang dipertimbangkan, tidak ada tiga vektor yang koplanar. Mari kita bawa keempat vektor , , , ke awal yang sama dan menggambar bidang melalui akhir vektor sejajar dengan bidang yang didefinisikan oleh pasangan vektor , ; , ; , . Titik-titik persimpangan dari bidang yang ditunjukkan dengan garis-garis di mana vektor , dan kebohongan dilambangkan dengan huruf , dan , Masing-masing. Ini mengikuti dari definisi jumlah vektor yang

yang, dengan mempertimbangkan kriteria umum ketergantungan linier vektor aljabar, mengatakan bahwa keempat vektor bergantung linier.

Def. Sistem elemen x 1 ,…,x m lin. produksi V disebut bergantung linier jika 1 ,…, m (|λ 1 |+…+| m | 0) sedemikian rupa sehingga 1 x 1 +…+ m x m = .

Def. Suatu sistem dengan elemen x 1 ,…,x m ∈ V disebut bebas linier jika dari persamaan 1 x 1 +…+ m x m = θ ⟹λ 1 =…= m =0.

Def. Suatu unsur x ∈ V disebut kombinasi linier dari unsur-unsur x 1 ,…,x m ∈ V jika 1 ,…, λ m ∈ sedemikian rupa sehingga x= λ 1 x 1 +…+ m x m .

Teorema (kriteria ketergantungan linier): Suatu sistem vektor x 1 ,…,x m V bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit satu vektor sistem dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor lainnya.

Dokter. Membutuhkan: Misalkan x 1 ,…,x m bergantung linier ∃ λ 1 ,…, m ∈ (|λ 1 |+…+| m | 0) sedemikian hingga 1 x 1 +…+ m -1 x m -1 + m x m = . Misalkan m 0, maka

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Kecukupan: Biarkan setidaknya salah satu vektor dinyatakan secara linier dalam vektor lainnya: x m = 1 x 1 +…+ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, m -1 ) λ 1 x 1 +…+ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 m =(-1) 0 x 1 ,…,x m - bebas linier.

Ven. kondisi ketergantungan linier:

Jika sistem mengandung elemen nol atau subsistem yang bergantung linier, maka sistem tersebut bergantung linier.

1 x 1 +…+ m x m = 0 – sistem bergantung linier

1) Misalkan x 1 = , maka persamaan ini berlaku untuk 1 =1 dan 1 =…= m =0.

2) Misalkan 1 x 1 +…+ m x m =0 menjadi subsistem yang bergantung linier |λ 1 |+…+| m | 0 . Kemudian untuk 1 =0 kita juga memperoleh |λ 1 |+…+| m | 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ m x m =0 adalah sistem bergantung linier.

Dasar ruang linier. Koordinat vektor dalam basis yang diberikan. Koordinat jumlah vektor dan hasil kali vektor dengan bilangan. Kondisi perlu dan cukup untuk ketergantungan linier suatu sistem vektor.

Definisi: Sistem terurut dari elemen e 1, ..., n dari ruang linier V disebut basis dari ruang ini jika:

A) e 1 ... e n bebas linier

B) x 1 … n sedemikian rupa sehingga x= 1 e 1 +…+ n e n

x= 1 e 1 +…+ n e n – pemuaian elemen x pada basis e 1, …, e n

1 … n adalah koordinat elemen x pada basis e 1, …, e n

Dalil: Jika basis e 1, …, e n diberikan dalam ruang linier V, maka x V kolom koordinat x pada basis e 1, …, e n ditentukan secara unik (koordinat ditentukan secara unik)

Bukti: Misalkan x=α 1 e 1 +…+ n e n dan x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= = , yaitu e 1, …, e n bebas linier, maka - =0 i=1, …, n = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Dalil: misalkan e 1, …, e n adalah basis dari ruang linier V; x, y adalah elemen arbitrer dari ruang V, adalah bilangan arbitrer. Ketika x dan y ditambahkan, koordinatnya ditambahkan, ketika x dikalikan dengan , koordinat x juga dikalikan dengan .

Bukti: x= (e 1, …, e n) dan y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

x= ) = (e 1, …, e n)

Lemma1: (kondisi perlu dan cukup untuk ketergantungan linier sistem vektor)

Misalkan e 1 …e n adalah basis dari ruang V. Sistem elemen f 1 , …, f k V bergantung linier jika dan hanya jika kolom koordinat elemen-elemen ini dalam basis e 1, …, e n adalah bergantung linier

Bukti: perluas f 1 , …, f k dalam basis e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ 1 +…+ n ] yaitu λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

1 +…+ n = sesuai kebutuhan.

13. Dimensi ruang linier. Teorema tentang hubungan antara dimensi dan basis.
Definisi: Ruang linier V disebut ruang n-dimensi jika ada n elemen bebas linier di V, dan sistem dengan n + 1 elemen ruang V bergantung linier. Dalam hal ini, n disebut dimensi ruang linier V dan dilambangkan dimV=n.

Suatu ruang linier disebut berdimensi tak hingga jika N dalam ruang V terdapat sistem bebas linier yang mengandung N elemen.

Dalil: 1) Jika V adalah ruang linier berdimensi n, maka setiap sistem terurut dari n elemen bebas linier dari ruang ini membentuk basis. 2) Jika dalam ruang linier V terdapat basis yang terdiri dari n elemen, maka dimensi V sama dengan n (dimV=n).

Bukti: 1) Misalkan dimV=n ⇒ dalam V n elemen bebas linier e 1, …,e n . Kami membuktikan bahwa elemen-elemen ini membentuk basis, yaitu, kami membuktikan bahwa x V dapat diperluas dalam hal e 1, …,en . Mari kita tambahkan x ke mereka: e 1, …,e n , x – sistem ini berisi n+1 vektor, yang berarti bergantung secara linier. Karena e 1, …,en bebas linier, maka dengan Teorema 2 x dinyatakan secara linier melalui e 1, …,e n yaitu ,…, sehingga x= 1 e 1 +…+ n e n . Jadi e 1, …,e n adalah basis dari ruang V. 2) Misalkan e 1, …,en adalah basis dari V, sehingga ada n elemen bebas linier di V n. Ambil sembarang elemen f 1 ,…,f n ,f n +1 V – n+1. Mari kita tunjukkan ketergantungan linier mereka. Mari kita uraikan dalam hal:

f m =(e 1, …,e n) = di mana m = 1,…,n Mari kita buat matriks kolom koordinat: A= Matriks berisi n baris RgA≤n. Jumlah kolom n+1 > n RgA Kolom matriks A (yaitu kolom koordinat f 1 ,…,f n ,f n +1) bergantung linier. Dari Lemma 1 ,…,f n ,f n +1 bergantung linier dimV=n.

Konsekuensi: Jika sembarang basis berisi n elemen, maka basis lain dari ruang ini berisi n elemen.

Teorema 2: Jika sistem vektor x 1 ,… ,x m -1 , x m bergantung linier, dan subsistemnya x 1 ,… ,x m -1 bebas linier, maka x m - dinyatakan secara linier melalui x 1 ,… ,x m -1

Bukti: Karena x 1 ,… ,x m -1 , x m bergantung linier, maka , …, , ,

, …, | , | seperti yang . Jika , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 bebas linier, yang tidak mungkin. Jadi m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

Berikut ini memberikan beberapa kriteria untuk ketergantungan linier dan, karenanya, kemandirian linier sistem vektor.

Dalil. (Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk ketergantungan linier vektor.)

Suatu sistem vektor-vektor bergantung jika dan hanya jika salah satu vektor dari sistem tersebut dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor lainnya dari sistem ini.

Bukti. Membutuhkan. Biarkan sistem menjadi tergantung linier. Kemudian, menurut definisi, itu mewakili vektor nol dengan cara yang tidak sepele, yaitu. ada kombinasi non-sepele dari sistem vektor ini sama dengan vektor nol:

di mana setidaknya salah satu koefisien kombinasi linier ini tidak sama dengan nol. Membiarkan , .

Bagilah kedua bagian persamaan sebelumnya dengan koefisien bukan nol ini (yaitu dikalikan dengan:

Dinotasikan: , dimana .

itu. salah satu vektor sistem dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor lain dari sistem ini, dll.

Kecukupan. Biarkan salah satu vektor sistem dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor lain dari sistem ini:

Mari kita pindahkan vektor ke kanan persamaan ini:

Karena koefisien vektor adalah , maka kami memiliki representasi non-sepele dari nol oleh sistem vektor , yang berarti bahwa sistem vektor ini bergantung secara linier, dll.

Teorema telah terbukti.

Konsekuensi.

1. Suatu sistem vektor dalam ruang vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor sistem yang dinyatakan secara linier dalam vektor-vektor lain dari sistem ini.

2. Suatu sistem vektor yang mengandung satu vektor nol atau dua vektor yang sama adalah bergantung linier.

Bukti.

1) Kebutuhan. Biarkan sistem bebas linier. Asumsikan kebalikannya dan ada vektor sistem yang dinyatakan secara linier melalui vektor lain dari sistem ini. Kemudian, dengan teorema, sistem bergantung linier, dan kita sampai pada kontradiksi.

Kecukupan. Biarkan tidak ada vektor sistem yang dinyatakan dalam bentuk yang lain. Mari kita asumsikan sebaliknya. Biarkan sistem menjadi tergantung linier, tetapi kemudian mengikuti dari teorema bahwa ada vektor sistem yang dinyatakan secara linier melalui vektor lain dari sistem ini, dan kita kembali ke kontradiksi.

2a) Biarkan sistem mengandung vektor nol. Asumsikan untuk kepastian bahwa vektor :. Kemudian persamaan

itu. salah satu vektor sistem dinyatakan secara linier dalam vektor-vektor lain dari sistem ini. Ini mengikuti dari teorema bahwa sistem vektor seperti itu bergantung secara linier, dan seterusnya.

Perhatikan bahwa fakta ini dapat dibuktikan secara langsung dari sistem vektor yang bergantung linier.

Karena , persamaan berikut jelas:

Ini adalah representasi non-sepele dari vektor nol, yang berarti bahwa sistem tersebut bergantung secara linier.

2b) Biarkan sistem memiliki dua vektor yang sama. Biarkan untuk . Kemudian persamaan

Itu. vektor pertama dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor lain dari sistem yang sama. Ini mengikuti dari teorema bahwa sistem yang diberikan bergantung linier, dan seterusnya.

Serupa dengan yang sebelumnya, pernyataan ini juga dapat dibuktikan langsung dari definisi sistem bergantung linier.

Kondisi perlu dan cukup untuk ketergantungan linier dua

vektor adalah kolinearitasnya.

2. Produk skalar- operasi pada dua vektor, yang hasilnya adalah skalar (angka) yang tidak bergantung pada sistem koordinat dan mencirikan panjang vektor pengali dan sudut di antara mereka. Operasi ini sesuai dengan perkalian panjangnya diberikan vektor x pada proyeksi vektor lain y ke vektor yang diberikan x. Operasi ini biasanya dipandang sebagai komutatif dan linier pada setiap faktor.

Properti produk titik:

3. Tiga vektor (atau lebih) disebut sebidang jika mereka, direduksi menjadi asal yang sama, terletak pada bidang yang sama.

Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk ketergantungan linier tiga vektor adalah koplanaritasnya.Setiap empat vektor bergantung linier. dasar di luar angkasa setiap rangkap tiga vektor non-coplanar disebut. Basis dalam ruang memungkinkan seseorang untuk secara unik mengasosiasikan dengan setiap vektor tiga bilangan berurutan - koefisien representasi vektor ini dalam kombinasi linier vektor basis. Sebaliknya, dengan bantuan suatu basis, kita akan mengasosiasikan sebuah vektor dengan setiap triplet bilangan yang terurut jika kita membuat kombinasi linier. Basis ortogonal disebut basis ortogonal. ortonormal , jika vektor-vektornya sama panjangnya. Untuk basis ortonormal dalam ruang, notasi sering digunakan. Dalil: Dalam basis ortonormal, koordinat vektor adalah proyeksi ortogonal yang sesuai dari vektor ini ke arah vektor koordinat. Tiga vektor non-coplanar a, b, c ditelepon Baik, jika pengamat dari asal yang sama melewati ujung vektor a, b, c dalam urutan itu tampaknya untuk melanjutkan searah jarum jam. Jika tidak a, b, c - tiga kali lipat kiri. Semua vektor tiga kali lipat kanan (atau kiri) disebut sama-sama berorientasi. Sistem koordinat persegi panjang pada bidang dibentuk oleh dua sumbu koordinat yang saling tegak lurus SAPI dan OY. Sumbu koordinat berpotongan di suatu titik HAI, yang disebut titik asal, setiap sumbu memiliki arah positif. PADA tangan kanan sistem koordinat, arah sumbu positif dipilih sehingga dengan arah sumbu OY ke atas, sumbu SAPI melihat ke kanan.

Empat sudut (I, II, III, IV) yang dibentuk oleh sumbu koordinat X"X dan kamu"kamu, disebut sudut koordinat atau kuadran(lihat gambar 1).

jika vektor dan terhadap basis ortonormal pada bidang memiliki koordinat dan, masing-masing, maka produk skalar dari vektor-vektor ini dihitung dengan rumus

4. Produk vektor dari dua vektor a dan b adalah operasi pada mereka, yang didefinisikan hanya dalam ruang tiga dimensi, yang hasilnya adalah vektor dengan berikut ini

properti:

Arti geometris dari perkalian silang vektor adalah luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor. Kondisi perlu dan cukup untuk kolinearitas vektor bukan nol dan vektor adalah adanya bilangan yang memenuhi persamaan .

Jika dua vektor dan didefinisikan oleh koordinat Cartesian persegi panjangnya, atau lebih tepatnya, mereka direpresentasikan dalam basis vorthonormalized

dan sistem koordinatnya benar, maka hasil kali vektornya berbentuk

Untuk mengingat rumus ini, akan lebih mudah untuk menggunakan determinan:

5. Produk campuran vektor - produk skalar dari vektor dan produk silang dari vektor dan :

Kadang disebut produk skalar rangkap tiga vektor, tampaknya karena fakta bahwa hasilnya adalah skalar (lebih tepatnya, pseudoscalar).

pengertian geometris: Modul produk campuran secara numerik sama dengan volume paralelepiped yang dibentuk oleh vektor .

Ketika dua faktor dipertukarkan, produk campuran berubah tanda sebaliknya:

Dengan permutasi faktor siklik (melingkar), produk campuran tidak berubah:

Produk campuran adalah linier dalam faktor apa pun.

Hasil kali campuran adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektornya koplanar.

1. Kondisi keselarasan untuk vektor: tiga vektor adalah koplanar jika dan hanya jika hasil kali campurannya nol.

Suatu rangkap tiga vektor yang mengandung sepasang vektor kolinear adalah koplanar.

Produk campuran dari vektor-vektor koplanar. Ini adalah kriteria untuk koplanaritas tiga vektor.

Vektor koplanar bergantung secara linier. Ini juga merupakan kriteria untuk koplanaritas.

Ada bilangan real sedemikian rupa sehingga untuk coplanar , kecuali untuk atau . Ini adalah formulasi ulang dari properti sebelumnya dan juga merupakan kriteria untuk koplanaritas.

Dalam ruang 3 dimensi, 3 vektor non-koplanar membentuk basis. Artinya, setiap vektor dapat direpresentasikan sebagai: . Kemudian akan menjadi koordinat dalam basis yang diberikan.

Hasil kali campuran dalam sistem koordinat Cartesian yang tepat (dalam basis ortonormal) sama dengan determinan matriks yang terdiri dari vektor-vektor dan :

6. Persamaan umum (lengkap) dari pesawat

di mana dan adalah konstanta, apalagi, dan tidak sama dengan nol pada saat yang sama; dalam bentuk vektor:

di mana adalah vektor jari-jari titik , vektor tegak lurus terhadap bidang (vektor normal). Kosinus arah vektor :

Jika salah satu koefisien dalam persamaan bidang adalah nol, persamaan tersebut disebut tidak lengkap. Ketika pesawat melewati titik asal koordinat, ketika (atau , ) P. sejajar dengan sumbu (masing-masing atau ). Untuk ( , atau ), bidang sejajar dengan bidang (atau , masing-masing).

§ Persamaan bidang dalam segmen:

Dimana , , adalah segmen yang dipotong oleh bidang pada sumbu dan .

§ Persamaan bidang yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap vektor normal :

dalam bentuk vektor:

(produk campuran vektor), jika tidak

§ Persamaan bidang normal (dinormalisasi)

§ Sudut antara dua bidang. Jika persamaan P. diberikan dalam bentuk (1), maka

Jika dalam bentuk vektor, maka

§ Pesawat sejajar, jika

Atau (Produk vektor)

§ Pesawat tegak lurus, jika

Atau . (Produk skalar)

7. Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu , tidak berbaring di baris yang sama:

8. Jarak dari suatu titik ke suatu bidang adalah jarak terkecil antara titik ini dengan titik-titik bidang tersebut. Diketahui bahwa jarak dari suatu titik ke bidang sama dengan panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ini ke bidang.

§ Penyimpangan Poin dari bidang yang diberikan oleh persamaan ternormalisasi

Jika dan asal terletak di sisi berlawanan dari pesawat, jika tidak . Jarak titik ke bidang adalah

Jarak dari titik ke bidang yang diberikan oleh persamaan dihitung dengan rumus:

9. Paket pesawat- persamaan setiap P. yang melalui garis perpotongan dua bidang

di mana dan adalah bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol secara bersamaan.

Agar ketiga bidang didefinisikan oleh persamaan umumnya A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 sehubungan dengan PDSC milik satu balok, tepat atau tidak tepat, perlu dan cukup bahwa peringkat matriks sama dengan dua atau satu.
Teorema 2. Misalkan dua bidang 1 dan 2 diberikan sehubungan dengan PDSC dengan persamaan umumnya: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z +D2 = 0. Agar bidang π 3, yang diberikan relatif terhadap PDSC dengan persamaan umumnya A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, termasuk dalam balok yang dibentuk oleh bidang 1 dan 2, perlu dan cukup bahwa ruas kiri persamaan bidang 3 direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari bagian kiri persamaan bidang 1 dan 2 .

10.Persamaan parametrik vektor garis lurus di ruang hampa:

di mana adalah vektor jari-jari dari beberapa titik tetap M 0 terletak pada garis lurus adalah vektor bukan nol yang collinear ke garis lurus ini, adalah vektor jari-jari dari titik sewenang-wenang pada garis lurus.

Persamaan parametrik garis lurus di ruang hampa:

M

Persamaan kanonik garis lurus di ruang hampa:

di mana koordinat beberapa titik tetap M 0 berbaring pada garis lurus; - koordinat vektor collinear ke garis ini.

Persamaan vektor umum garis lurus di ruang hampa:

Karena garis adalah perpotongan dua bidang tidak sejajar yang berbeda, diberikan masing-masing oleh persamaan umum:

maka persamaan garis lurus dapat diberikan oleh sistem persamaan berikut:

Sudut antara vektor arah dan akan sama dengan sudut antara garis. Sudut antara vektor ditemukan menggunakan produk skalar. cosA=(ab)/IaI*IbI

Sudut antara garis lurus dan bidang ditemukan dengan rumus:

di mana (A; B; C;) adalah koordinat vektor normal bidang
(l;m;n;) koordinat vektor pengarah garis lurus

Syarat paralelisme dua garis:

a) Jika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan kemiringan, maka kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah persamaan kemiringannya:

k 1 = k 2 . (8)

b) Untuk kasus ketika garis diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum (6), kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah bahwa koefisien pada koordinat arus yang sesuai dalam persamaannya adalah proporsional, yaitu.

Syarat tegak lurus dua garis :

a) Dalam kasus ketika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan kemiringan, kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurusnya adalah bahwa kemiringannya adalah kebalikan besarnya dan berlawanan tanda, yaitu.

b) Jika persamaan garis lurus diberikan dalam bentuk umum (6), maka syarat tegak lurusnya (perlu dan cukup) adalah memenuhi persamaan

SEBUAH 1 SEBUAH 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

Suatu garis dikatakan tegak lurus suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap sembarang garis pada bidang tersebut. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap masing-masing dari dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut. Agar garis dan bidang sejajar, perlu dan cukup bahwa vektor normal terhadap bidang dan vektor pengarah garis harus tegak lurus. Untuk ini, produk skalar mereka harus sama dengan nol.

Agar garis dan bidang tegak lurus, perlu dan cukup bahwa vektor normal terhadap bidang dan vektor pengarah garis harus kolinear. Kondisi ini dipenuhi jika hasil kali silang dari vektor-vektor ini sama dengan nol.

12. Dalam ruang, jarak dari titik ke garis lurus diberikan oleh persamaan parametrik

dapat ditemukan sebagai jarak minimum dari titik tertentu ke titik sembarang pada garis lurus. Koefisien t titik ini dapat ditemukan dengan rumus

Jarak antara garis berpotongan adalah panjang tegak lurus bersama mereka. Ini sama dengan jarak antara bidang paralel yang melewati garis-garis ini.

Kondisi yang diperlukan untuk ketergantungan linier dari n fungsi.

Biarkan fungsi , memiliki turunan dari limit (n-1).

Pertimbangkan determinannya: (1)

W(x) biasanya disebut determinan Wronsky untuk fungsi .

Teorema 1. Jika fungsi-fungsi tersebut bergantung secara linear dalam interval (a,b), maka Wronskian W(x) mereka secara identik sama dengan nol dalam interval ini.

Bukti. Dengan kondisi teorema, relasi

, (2) di mana tidak semua sama dengan nol. Membiarkan . Kemudian

(3). Bedakan identitas ini n-1 kali dan,

mengganti bukannya nilai yang diperoleh ke dalam determinan Vronsky,

kita mendapatkan:

Dalam determinan Wronsky, kolom terakhir adalah kombinasi linier dari n-1 kolom sebelumnya dan oleh karena itu sama dengan nol di semua titik interval (a,b).

Teorema 2. Jika fungsi y 1 ,..., y n adalah solusi bebas linier dari persamaan L[y] = 0, semua koefisiennya kontinu dalam interval (a,b), maka Wronskian solusi ini adalah bukan nol pada setiap interval titik (a,b).

Bukti. Mari kita asumsikan sebaliknya. Ada X 0 , di mana W(X 0)=0. Kami membuat sistem persamaan n

Jelas, sistem (5) memiliki solusi bukan nol. Biarkan (6).

Mari kita buat kombinasi linear dari solusi y 1 ,..., y n .

Y(x) adalah solusi untuk persamaan L[y] = 0. Selain itu, . Berdasarkan teorema keunikan, solusi persamaan L[y] = 0 dengan kondisi awal nol pasti hanya nol, .ᴇ. .

Kami mendapatkan identitas , di mana tidak semua sama dengan nol, yang berarti bahwa y 1 ,..., y n bergantung linier, yang bertentangan dengan kondisi teorema. Oleh karena itu, tidak ada titik di mana W(X 0)=0.

Berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 2, kita dapat merumuskan pernyataan berikut. Untuk n solusi dari persamaan L[y] = 0 yang bebas linier dalam interval (a,b), sangat penting dan cukup bahwa Wronskian mereka tidak hilang pada titik mana pun dari interval ini.

Sifat-sifat jelas berikut dari Wronskian juga mengikuti dari teorema terbukti.

1. Jika Wronskian dari n solusi persamaan L[y] = 0 sama dengan nol pada satu titik x = x 0 dari interval (a,b), di mana semua koefisien p i (x) kontinu, maka sama dengan nol di semua titik ex dari interval ini.
2. Jika Wronskian dari n solusi persamaan L[y] = 0 bukan nol di satu titik x = x 0 dari interval (a,b), maka itu bukan nol di semua titik interval ini.

, untuk linearitas n solusi independen dari persamaan L[y] = 0 dalam interval (a,b), di mana koefisien persamaan p i (x) kontinu, sangat penting dan cukup bahwa mereka Wronskian menjadi berbeda dari nol bahkan dalam satu titik interval ini.

Kondisi yang diperlukan untuk ketergantungan linier dari n fungsi. - konsep dan jenis. Klasifikasi dan fitur kategori "Kondisi yang diperlukan untuk ketergantungan linier dari n fungsi." 2017, 2018.

-

Peralatan penanganan kapal (Peralatan penanganan kargo di atas kapal) Kuliah No. 6 Topik: Peralatan kargo (Peralatan kargo) 6.1. Peralatan penanganan kapal (Peralatan penanganan kargo di atas kapal). 6.2. Derek kargo. 6.3. Lereng. Overloading adalah perpindahan barang ke atau dari kendaraan. Banyak... .

- Derek kargo

Sertifikat Pembagian tugas Inspeksi, sertifikasi dan tanggung jawab dibagi sebagai berikut: &... .

- Apakah kamu mengenalnya? Lo conoces?

Ada - allá Di sini - aqui Di kafe - en el kafe Di tempat kerja - en el trabajo Di laut - en el mar 1. Apakah Anda tahu di mana kafe itu? 2. Apakah Anda tahu di mana Sasha? 3. Apakah Anda tahu di mana perpustakaan itu? 4. Tahukah kamu dimana Olya sekarang? 5. Apakah Anda tahu di mana Natasha sekarang? Selamat sore! Saya... .

- Penentuan Zmin dan Xmin dari kondisi no undercutting

Gbr.5.9. Tentang memotong gigi roda. Mari kita perhatikan bagaimana koefisien geser rak x terkait dengan jumlah gigi yang dapat dipotong oleh rak pada roda. Biarkan rel dipasang di posisi 1 (Gbr. 5.9.). Dalam hal ini, kepala rak yang lurus akan melewati garis pertunangan N-N, termasuk ...