Mencari jumlah suatu deret menggunakan diferensiasi atau integrasi. Deret pangkat Deret Maclaurin teorema Abel. Pertanyaan tes mandiri

SERI DAYA Teorema Abel. Interval dan jari-jari konvergensi suatu deret pangkat Konvergensi seragam suatu deret pangkat dan kontinuitas jumlahnya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Syarat-syarat penguraian suatu fungsi pada deret Taylor fungsi dasar Tabel pemuaian suatu pangkat deret (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar.

teorema Habel. Interval dan jari-jari konvergensi suatu deret pangkat Deret pangkat adalah deret fungsional berbentuk (o atau tipe (2) yang koefisiennya konstan. Deret (2) dengan pengganti formal x - x<> pada x direduksi menjadi seri (1). Deret pangkat (1) selalu konvergen di titik x = 0, dan deret (2) di titik x0, dan jumlahnya di titik-titik tersebut sama dengan ω. Contoh. Barisan diletakkan dalam barisan. Mari kita cari tahu bentuk daerah konvergensi deret pangkat. Teorema 1 (Habel). Jika suatu deret pangkat konvergen di, maka deret pangkat tersebut konvergen mutlak untuk semua x sehingga jika suatu deret pangkat divergen di x = xi, maka deret pangkat tersebut divergen di sembarang x yang membiarkan deret pangkat tersebut KONVERGASI di. deret bilangan konvergen SERI DAYA teorema Abel. Interval dan jari-jari konvergensi suatu deret pangkat Konvergensi seragam suatu deret pangkat dan kontinuitas jumlahnya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Syarat-syarat penguraian suatu fungsi pada deret Taylor fungsi dasar Tabel pemuaian suatu pangkat deret (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. Oleh karena itu, a berarti terdapat bilangan sedemikian rupa sehingga M untuk semua n. Perhatikan deret di mana dan perkirakan suku persekutuannya. Kami punya di mana = . Tetapi deret tersebut terdiri dari suku-suku barisan geometri yang penyebutnya q, yang berarti konvergen. Berdasarkan kriteria perbandingan, baris 2 |с„:гп| konvergen di sembarang titik x yang mana. Akibatnya, deret pangkat benar-benar konvergen UNTUK Misalkan deret pangkat tersebut adalah titik O), yang memisahkan interval divergensi dari interval konvergensi. Teorema berikut berlaku. Teorema 2. Misalkan suatu deret pangkat konvergen di suatu titik x Φ 0. Maka deret tersebut konvergen mutlak di setiap titik pada garis bilangan, atau ada bilangan R > O sehingga deret tersebut konvergen mutlak di dan divergen di Diverge. Abs. konvergen divergen d Gambar. 1 Definisi. Interval konvergensi suatu deret pangkat adalah interval (-R, R), dimana R > 0, sehingga pada setiap titik x € (-R, R) deret tersebut konvergen mutlak, dan pada titik x sedemikian rupa sehingga |i| > R, deretnya divergen. Angka R disebut jari-jari konvergensi deret pangkat. Komentar. Sedangkan untuk ujung-ujung interval konvergensi (-R, R), terdapat tiga kasus berikut: i) deret pangkat konvergen di titik x = -R dan di titik x = R, 2) deret pangkat divergen di kedua titik, 3) deret pangkat konvergen di salah satu ujung interval konvergensi dan divergen di ujung lainnya. Komentar. Deret pangkat dimana hof 0 mempunyai jari-jari konvergensi yang sama dengan deret tersebut. Untuk membuktikan rumus (3), perhatikan suatu deret yang terdiri dari nilai absolut suku-suku deret tersebut. Dengan menerapkan uji D'Alembert pada deret tersebut, kita temukan, maka deret (4) akan konvergen, jika dan divergen, jika. Deret pangkat konvergen mutlak untuk semua x sehingga divergen di. Dengan menentukan jari-jari konvergensi, kita mengetahui bahwa jari-jari konvergensi suatu deret pangkat juga dapat dicari dengan menggunakan rumus jika ada limit berhingga.Rumus (5) dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan kriteria Cauchy. Jika suatu deret pangkat konvergen hanya di titik x = 0, maka jari-jari konvergensinya dikatakan R = 0 (hal ini dapat terjadi, misalnya jika lim L^D = oo atau Jika deret pangkat konvergen di semua titik sumbu nyata, maka kita asumsikan R = + oo (ini terjadi, misalnya, ketika lim n^p = 0 atau Daerah konvergensi deret pangkat dapat berupa interval (, atau segmen [, atau salah satu dari setengah -interval (x0 - R, x0 + D) atau [. Jika R = + oo, maka daerah konvergensi deret tersebut adalah seluruh sumbu bilangan, yaitu interval (-oo, +oo).Untuk mencari daerah konvergensi suatu deret pangkat, Anda harus terlebih dahulu menghitung jari-jari konvergensinya R (misalnya, menggunakan salah satu rumus di atas) dan dengan demikian mencari interval konvergensi titik O), yang memisahkan interval divergensi dari interval Teorema berikut ini berlaku. Teorema 2. Misalkan deret pangkat konvergen di titik x Ф 0. Deret tersebut konvergen mutlak di setiap titik garis bilangan, atau ada bilangan R > O sehingga deret tersebut konvergen benar-benar pada dan menyimpang pada | Diverge. Abs. konvergen divergen Definisi. Interval konvergensi suatu deret pangkat adalah interval (-R, R), dimana R > 0, sehingga pada setiap titik x € (-R, R) deret tersebut konvergen mutlak, dan pada titik x sedemikian rupa sehingga |i| > R, deretnya divergen. Angka R disebut jari-jari konvergensi deret pangkat. Komentar. Sedangkan untuk ujung-ujung interval konvergensi (-R, R), terdapat tiga kasus berikut: i) deret pangkat konvergen di titik x = -R dan di titik x = R, 2) deret pangkat divergen di kedua titik, 3) deret pangkat konvergen di salah satu ujung interval konvergensi dan divergen di ujung lainnya. Komentar. Deret pangkat dimana hof 0 mempunyai jari-jari konvergensi yang sama dengan deret tersebut. Untuk membuktikan rumus (3), perhatikan suatu deret yang terdiri dari nilai absolut suku-suku deret tersebut. Dengan menerapkan uji D'Alembert pada deret tersebut, kita temukan, maka deret (4) akan konvergen jika \, dan divergen jika, yaitu deret pangkat konvergen mutlak untuk semua x sehingga divergen untuk \. Dengan mendefinisikan jari-jari konvergensi, kita memperoleh R = £, yaitu deret pangkat teorema Abel. Interval dan jari-jari konvergensi suatu deret pangkat Konvergensi seragam suatu deret pangkat dan kontinuitas jumlahnya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Syarat-syarat penguraian suatu fungsi pada deret Taylor fungsi dasar Tabel pemuaian suatu pangkat deret (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. Jari-jari konvergensi suatu deret pangkat juga dapat dicari dengan menggunakan rumus jika ada batas berhingga.Rumus (5) dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan uji Cauchy. Jika deret pangkat konvergen hanya di titik x = 0, maka jari-jari konvergensinya dikatakan R = 0 (hal ini dapat terjadi, misalnya jika lim b^D = oo atau. Jika deret pangkat konvergen di semua titik dari sumbu nyata, maka kita asumsikan R = +oo (ini terjadi, misalnya, jika daerah konvergensi suatu deret pangkat dapat berupa interval (, atau segmen ], atau salah satu dari setengah interval (x0 - R,x0 + D) atau [.Jika R = +oo, maka daerah konvergensi deret tersebut adalah seluruh sumbu bilangan, yaitu interval (-oo, +oo).Mencari daerah konvergensi suatu pangkat deret tersebut, pertama-tama Anda harus menghitung jari-jari konvergensinya R (misalnya, menggunakan salah satu rumus di atas) dan dengan demikian mencari interval konvergensi di mana deret tersebut konvergen secara mutlak, kemudian selidiki konvergensi deret tersebut di ujung-ujung interval konvergensi. - di titik x = xo - R, x = xq + R. Contoh 1. Cari daerah konvergensi deret pangkat M 1) Untuk mencari jari-jari konvergensi R deret ini, akan lebih mudah jika menggunakan rumus ( 3). Jadi, deret tersebut konvergen mutlak pada interval tersebut. 2) Mari kita pelajari konvergensi deret (6) pada ujung-ujung interval konvergensi. Dengan meletakkan x = -1, kita memperoleh deret bilangan yang divergensinya jelas (kriteria konvergensi yang diperlukan tidak terpenuhi: . Untuk x - 1, kita memperoleh deret bilangan yang tidak ada, yang berarti deret tersebut divergen. Jadi, daerah konvergensi deret (6) adalah interval Contoh 2. Mencari luas konvergensi deret M 1) Kita mencari jari-jari konvergensi menggunakan rumus (3). Kita mempunyai Deret (7) yang konvergen mutlak pada interval tersebut, dari situlah diperoleh deret numerik yang divergen (deret harmonik). Pada x = 0 kita akan mempunyai deret bilangan yang konvergen bersyarat. Jadi, deret (7) konvergen pada daerah Contoh 3. Tentukan interval konvergensi deret tersebut Karena = , maka untuk mencari jari-jari konvergensi kita terapkan rumus. Artinya deret tersebut konvergen untuk semua nilai x, yaitu daerah konvergensinya adalah interval Contoh 4. Carilah interval konvergensi deret tersebut, maka diperoleh Persamaan R = 0 artinya deret (8) konvergen hanya di satu titik. Artinya, daerah konvergensi suatu deret pangkat tertentu terdiri dari satu titik §2. Konvergensi seragam suatu deret pangkat dan kontinuitas penjumlahannya Teorema 1. Deret pangkat konvergen secara mutlak dan seragam pada setiap segmen yang terdapat dalam interval konvergensi deret Let. Maka untuk semua w yang memenuhi syarat, dan untuk sembarang n =. akan memiliki. Namun karena deret bilangan tersebut konvergen, maka menurut kriteria Weierstrass, deret pangkat ini konvergen secara mutlak dan seragam pada segmen tersebut. Teorema 2. Jumlah suatu deret pangkat kontinu di setiap titik x pada interval konvergensinya (4) Setiap titik x dari interval konvergensi (-D, R) dapat dimasukkan ke dalam segmen tertentu di mana deret tersebut konvergen secara seragam. Karena suku-suku deret tersebut kontinu, maka jumlah S(x) akan kontinu pada interval [-a, a], dan oleh karena itu di titik x.Integrasi deret pangkat Teorema 3 (integrasi suku demi suku suatu deret pangkat). Suatu deret pangkat dapat diintegrasikan suku demi suku dalam interval konvergensinya (-R, R ), R > O, dan jari-jari konvergensi deret yang diperoleh dari integrasi suku demi suku juga sama dengan R. Secara khusus, untuk setiap x dari interval (-R, R) rumus berikut berlaku: Setiap titik x dari interval konvergensi (-D, R) dapat dimasukkan ke dalam beberapa segmen [-a, a], dimana pada ruas tersebut deret tersebut akan konvergen beraturan, dan karena suku-suku dari deret tersebut kontinu maka dapat diintegralkan suku demi suku, misalnya pada rentang 0 sampai x. Kemudian, menurut Teorema 4 Bab XVIII, Misalkan kita cari jari-jari konvergensi R" dari deret DAYA yang dihasilkan teorema Abel. Interval dan jari-jari konvergensi suatu deret pangkat Konvergensi seragam suatu deret pangkat dan kontinuitas jumlahnya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Syarat-syarat penguraian suatu fungsi pada deret Taylor fungsi dasar Tabel pemuaian suatu pangkat deret (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. di bawah kondisi tambahan keberadaan batas akhir R. Ime Jadi, jari-jari konvergensi deret pangkat tidak berubah selama integrasi. Komentar. Pernyataan teorema tetap valid untuk R = +oo. §4. Diferensiasi deret pangkat Teorema 4 (diferensiasi suku demi suku deret pangkat). Suatu deret pangkat dapat dibedakan suku demi sukunya di sembarang titik x pada interval konvergensinya. 4 Misalkan R adalah jari-jari konvergensi deret tersebut dan R" adalah jari-jari konvergensi deret tersebut. Asumsikan terdapat a (berhingga atau tak terhingga) limit Mari kita cari jari-jari B! dari deret yang kita punya Jadi, jari-jari konvergensi deret ( 1) dan (2) adalah sama.Mari kita nyatakan jumlah deret (2) dengan Deret (1) dan ( 2) konvergen seragam pada sembarang ruas [-a, a|, di mana Semua suku deret (2) kontinu dan merupakan turunan dari suku-suku yang bersesuaian pada deret (1) Oleh karena itu, menurut Teorema 5 Bab XVIII , persamaan berlaku pada interval [-a, a). Karena kesewenang-wenangan a, persamaan terakhir juga berlaku pada interval Sledspie. Definisi Deret Pangkat Kita dapat mengatakan bahwa fungsi /(x) diekspansi menjadi deret pangkat ]G) SpXn pada suatu interval jika pada interval ini deret-deret yang ditunjukkan konvergen dan jumlahnya sama dengan /(x): Mari kita buktikan terlebih dahulu bahwa fungsi /(x) tidak dapat mempunyai dua perluasan yang berbeda dalam suatu deret pangkat dengan bentuk Teorema 5. Jika fungsi f(x) pada interval (-R, R) diekspansi menjadi deret pangkat (1), maka pemuaian ini bersifat unik, yaitu koefisien deret (1) ditentukan secara unik dari penjumlahannya. Misalkan fungsi dalam interval tersebut diperluas menjadi deret pangkat konvergen. Dengan mendiferensiasikan deret ini sebanyak n kali, kita temukan Ketika x = 0 kita peroleh dari mana Jadi, koefisien deret pangkat (1) ditentukan secara unik dengan rumus (2). Komentar. Jika fungsi /(x) diekspansi menjadi deret pangkat pangkat selisih x-zq, maka koefisien c„ deret tersebut ditentukan dengan rumus. Misalkan fungsi / mempunyai turunan dari semua orde, mis. terdiferensiasi tak terhingga di titik w. Mari kita buat deret pangkat formal untuk fungsi ini dengan menghitung koefisiennya menggunakan rumus (3). §5. Definisi. Deret Taylor dari fungsi /(x) terhadap titik x0 disebut deret pangkat yang bentuknya (di sini. Koefisien deret ini... disebut koefisien Taylor dari fungsi tersebut. Untuk xo = 0, maka Deret Taylor disebut deret Maclaurin Pernyataan berikut mengikuti Teorema 5. Teorema b Jika pada interval tersebut fungsi /(x) mengembang menjadi deret pangkat, maka deret tersebut merupakan deret Taylor dari fungsi /(x). Contoh 1. Perhatikan suatu fungsi dan cari turunannya Untuk z O, fungsi ini mempunyai turunan semua orde, yang ditemukan menurut aturan biasa dan, secara umum, di mana Pjn (i) adalah polinomial berderajat 3n terhadap J. Sekarang mari kita tunjukkan bahwa pada titik 2 = 0 fungsi ini juga mempunyai turunan dengan orde berapa pun, dan semuanya sama dengan nol. Berdasarkan definisi turunan yang kita miliki (saat menghitung limit kita menerapkan aturan Hapital). Dengan cara serupa dapat dibuktikan bahwa Jadi, fungsi tertentu mempunyai turunan semua orde pada sumbu bilangan. Mari kita buat deret Taylor formal dari fungsi awal terhadap titik z0 = Kita punya. Jelas sekali bahwa jumlah deret ini identik sama dengan nol, sedangkan fungsi f(x) sendiri tidak identik sama dengan nol. ^ Contoh ini patut diingat ketika membahas analisis kompleks (analitik): suatu fungsi, yang secara lahiriah cukup baik, menunjukkan karakter yang berubah-ubah pada sumbu nyata, yang merupakan konsekuensi dari masalah pada sumbu imajiner. Deret yang secara formal dikonstruksikan dalam contoh untuk fungsi terdiferensiasi tak terhingga konvergen, tetapi jumlahnya tidak sesuai dengan nilai fungsi ini untuk x Φ 0. Dalam hal ini, muncul pertanyaan wajar: dalam kondisi apa fungsi tersebut seharusnya f( x) memenuhi interval (xo - R, xo + R) sehingga dapat diperluas menjadi deret Taylor yang konvergen padanya? Kondisi penguraian suatu fungsi dalam deret Taylor Untuk mempermudah, kita akan membahas deret pangkat yang bentuknya, yaitu deret Maclaurin. Teorema 7. Agar fungsi f(x) dapat diperluas menjadi deret pangkat pada interval (-R, R), pada interval tersebut perlu dan cukup fungsi f(x) mempunyai turunan semua orde dan bahwa dalam rumus Taylornya sisa suku Rn(x) cenderung nol untuk semua m Kebutuhan. Misalkan pada interval (fungsi f(x) diekspansi menjadi deret pangkat, yaitu deret (2) konvergen dan jumlahnya sama dengan f(x). Kemudian, berdasarkan Teorema 4 dan akibat wajarnya, fungsi f(x) memiliki turunan /(n^(x) pada interval (-R , R) dari semua orde. Berdasarkan Teorema 5 (rumus (2)), koefisien deret (2) berbentuk yaitu kita dapat menulis persamaan Karena konvergensi deret ini pada interval (-R, R ) sisa 0 cenderung nol karena oo untuk semua x Kecukupan: Misalkan fungsi f(r) pada interval (-R, R) mempunyai turunan semua orde dan dalam rumus Taylor-nya suku sisa Rn(x) 0 di oo untuk sembarang x € (-D, R). Karena untuk n -» oo. Karena dalam tanda kurung siku ditulis parsial ke-n jumlah deret Taylor, maka rumus (4) berarti deret Taylor dari fungsi f(x) konvergen pada interval (-D, R) dan jumlahnya adalah fungsi f(x). Kondisi yang cukup untuk perluasan suatu fungsi menjadi deret pangkat, sesuai untuk aplikasi praktis , dijelaskan oleh teorema berikut. Teorema 8. Agar fungsi f(x) pada interval (-R, R) dapat diperluas menjadi deret pangkat, cukuplah fungsi f(x) mempunyai turunan semua orde pada interval ini dan terdapat terdapat konstanta M > O sehingga Apa. Misalkan fungsi f(x) mempunyai turunan semua orde pada interval (-D, R). Kemudian secara formal kita dapat menuliskan deret Taylor untuk deret tersebut. Mari kita buktikan bahwa deret tersebut konvergen ke fungsi f(x). Untuk melakukan ini, cukup dengan menunjukkan bahwa sisa suku dalam rumus Taylor (1) cenderung nol sebagai n oo untuk semua x € (-Δ, R). Memang, mengingat hal itu). Suatu deret bilangan menyatu berdasarkan kriteria D'Alembert: berdasarkan kriteria konvergensi yang diperlukan. Dari pertidaksamaan (3) kita peroleh!Meskipun fungsi M, dari § b. Deret Taylor fungsi dasar Mari kita perhatikan perluasan deret fungsi dasar dasar. 6 Fungsi ini memiliki turunan semua orde pada interval (- bilangan apa pun, dan Oleh karena itu, fungsi eksponensial ex dapat diperluas menjadi deret Taylor pada interval apa pun (-a, a) dan, dengan demikian, pada seluruh sumbu Ox. Karena , maka kita peroleh deretnya Jika pada pemuaian (1) ganti x dengan -a*, maka kita mempunyai Fungsi ini mempunyai turunan orde berapa pun, dan Jadi, berdasarkan Teorema 8, fungsi sin x diekspansi menjadi deret Taylor yang konvergen padanya pada interval (-oo, +oo) Karena deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut: Radius konvergensi deret tersebut Kita juga memperoleh bahwa - sembarang bilangan real Fungsi ini memenuhi relasi dan kondisi Kita akan mencari deret pangkat yang jumlahnya 5 (x) memenuhi relasi (4) dan kondisi 5(0) = 1. Kita masukkan Dari sini kita temukan. Substitusikan relasi (5) dan (6) ke dalam rumus (4), kita akan menyamakan koefisien-koefisien untuk pangkat yang sama x di ruas kiri dan kanan persamaan, kita peroleh dari mana kita menemukan SERI DAYA Teorema Abel Interval dan jari-jari kekonvergenan suatu deret pangkat Konvergensi seragam suatu deret pangkat dan kontinuitas jumlahnya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Syarat penguraian suatu fungsi pada deret Taylor fungsi dasar Tabel ekspansi deret pangkat (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. Substitusikan nilai-nilai koefisien ini ke dalam relasi (5), kita peroleh deretnya.Temukan jari-jari konvergensi deret (7) jika a bukan bilangan asli. Kita mempunyai Jadi, deret (7) konvergen di. e.pada interval Mari kita buktikan bahwa jumlah 5(g) deret (7) pada interval (-1,1) sama dengan (1 + g)°. Untuk melakukannya, perhatikan relasi Karena 5(x) memenuhi relasi tersebut (maka untuk turunan fungsi φ(x) kita peroleh: for. Oleh karena itu. Khususnya, untuk x = 0 kita mempunyai dan, oleh karena itu, atau Deret yang dihasilkan disebut binomial, dan koefisiennya disebut koefisien binomial. Komentar. Jika a adalah bilangan asli (o = z), fungsi (1 + z)a adalah polinomial gelar ke-n, dan Dn(x) = 0 untuk semua n > a. Mari kita perhatikan dua perluasan lagi. Untuk a = -1 kita akan mendapatkan. Mengganti w dengan -z pada persamaan terakhir, kita memperoleh perluasan fungsi ini dalam deret Taylor pangkat w. Kita akan mengintegrasikan persamaan (9) ke dalam o Persamaan (11) adalah valid dalam interval. Dengan mengganti x dengan -z maka diperoleh suatu deret yang dapat dibuktikan bahwa persamaan (11) juga berlaku untuk x = 1: Tabel perluasan deret pangkat (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. Dengan menggunakan tabel ini, Anda dapat memperoleh perluasan deret pangkat dari fungsi yang lebih kompleks. Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana hal ini dilakukan. Contoh 1. Perluas fungsi 4 menjadi deret pangkat di sekitar titik xq = 2, yaitu pangkat selisih z -2. Mari bertransformasi fungsi ini sehingga kita dapat menggunakan seri (10) untuk fungsi yang kita miliki. Mengganti x pada rumus (10) dengan ^. kita memperoleh I I Perluasan ini berlaku jika salah satu pertidaksamaan ekuivalen terpenuhi Contoh 2. Perluas fungsi pangkat x menggunakan rumus (10). 4 Memperluas penyebutnya menjadi faktor, kami menyajikan fungsi rasional ini sebagai selisih dua pecahan sederhana. Setelah transformasi sederhana kita memperoleh 1 Untuk setiap suku di sisi kanan persamaan (13) kita menerapkan rumus (10), sebagai hasilnya kita memperoleh deret pangkat Deret (14) konvergen untuk \ dan deret (15) konvergen untuk 2. Kedua deret tersebut (14) dan (15) akan konvergen secara bersamaan untuk \. Karena deret (14) dan (15) bertemu pada interval (-1,1), maka keduanya dapat dikurangkan suku demi suku. Hasilnya, kita memperoleh deret pangkat yang diinginkan yang jari-jari konvergensinya sama dengan R = 1. Deret ini konvergen mutlak untuk Contoh 3. Perluas fungsi arcsin x menjadi deret Taylor di sekitar titik xo = 0. 4 Diketahui bahwa Terapkan pada fungsi (rumus (8), gantikan x di dalamnya dengan -x2. Hasilnya, kita memperoleh Integrasi kedua ruas persamaan terakhir dari nol ke x (integrasi suku demi suku sah , karena deret pangkat konvergen secara seragam pada setiap segmen dengan titik ujung di titik 0 dan x, yang terletak pada interval (-1,1)), kita temukan atau Dengan demikian, akhirnya kita peroleh bahwa Catatan: Perluasan deret pangkat dapat digunakan untuk menghitung integral yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk akhir melalui fungsi dasar Mari kita berikan beberapa contoh Contoh 4. Menghitung integral (sinus integral), Diketahui antiturunan fungsi ^ tidak dinyatakan dalam fungsi dasar Mari kita kembangkan integran menjadi deret pangkat, menggunakan fakta bahwa Dari persamaan (16) kita temukan Perhatikan bahwa membagi deret (16) dengan t untuk t φ O adalah sah.Persamaan (17) juga dipertahankan jika kita berasumsi bahwa untuk t = O the relasinya adalah - = 1. Jadi, deret (17) konvergen untuk semua nilai.Mengintegrasikannya suku demi suku, kita memperoleh Deret yang dihasilkan bertanda bolak-balik, sehingga kesalahan saat mengganti jumlahnya dengan jumlah parsial dapat dengan mudah dinilai. Contoh 5. Hitung integral Di sini, antiturunan dari integral e juga bukan merupakan fungsi dasar. Untuk menghitung integral, kita ganti dalam rumus Kita peroleh Kita integrasikan kedua ruas persamaan ini dalam rentang dari 0 hingga x: Deret ini konvergen untuk sembarang r (jari-jari konvergensinya R = +oo) dan bertanda bolak-balik untuk Latihan Temukan daerah konvergensi deret pangkat: Perluas fungsi berikut menjadi deret Macloreia dan tunjukkan daerah konvergensi deret yang diperoleh: Instruksi. Gunakan tabel. Dengan menggunakan tabel, urutkan fungsi yang ditentukan menjadi deret Taylor pangkat x - x0 dan tunjukkan interval konvergensi deret yang dihasilkan.

Pertimbangkan deret fungsional$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x ) +...$, yang anggotanya merupakan fungsi dari satu variabel bebas x. Jumlah n suku pertama deret $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ adalah sebagian jumlah deret fungsional ini. Istilah umum $u_(n) (x)$ adalah fungsi dari x yang didefinisikan dalam beberapa domain. Mari kita perhatikan deret fungsional di titik $x=x_(0) $. Jika deret bilangan yang bersangkutan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$konvergen, mis. ada limit jumlah parsial deret ini$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(di mana $S( x_(0) )

Definisi 2

Area konvergensi dari suatu deret fungsional $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ adalah himpunan semua nilai x yang konvergen dari deret fungsional tersebut. Daerah konvergensi, yang terdiri dari semua titik konvergensi, dilambangkan dengan $D(x)$. Perhatikan bahwa $D(x)\subset $R.

Suatu deret fungsi konvergen dalam domain $D(x)$ jika untuk sembarang $x\in D(x)$ ia konvergen sebagai deret bilangan, dan jumlahnya adalah suatu fungsi $S(x)$. Inilah yang disebut fungsi batas urutan $\left\(S()_(n) (x)\right\)$: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x)=S(x) $.

Bagaimana mencari daerah konvergensi deret fungsional $D(x)$? Anda bisa menggunakan tanda yang mirip dengan tanda d'Alembert. Untuk deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ kita membuat $u_(n+1) (x)$ dan mempertimbangkan limit untuk x tetap: $ \mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) \kiri|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \kanan|=\kiri|l(x )\kanan| $. Maka $D(x)$ adalah solusi dari pertidaksamaan $\left|l(x)\right|

Contoh 1

Tentukan luas konvergensi deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $.

Larutan. Mari kita menyatakan $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $, $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n +1 ) $. Mari kita buat dan hitung limitnya $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right| =\ mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \kiri|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \kanan| =\ left|x\right|$, maka daerah konvergensi deret tersebut ditentukan oleh pertidaksamaan $\left|x\right|

jika $x=1$, $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $, maka kita mendapatkan deret divergen $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac (1)(n) \, $;

jika $x=-1$, $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $, maka deret $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $ konvergen secara kondisional (menggunakan kriteria Leibniz).

Jadi, daerah konvergensi $D(x)$ dari deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $memiliki bentuk:$- 1\le x

Sifat-sifat deret pangkat

Misalkan deret pangkat $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $, yang interval konvergensinya adalah $(-R;\, R)$, maka jumlah dari deret pangkat $ S(x)$ didefinisikan untuk semua $x\in (-R;R)$ dan kita dapat menulis persamaan $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n)x^(n)$.

Properti 1. Deret pangkat $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $ konvergen mutlak pada interval mana pun $\, \, \subset \, (-R;R)$ , terletak pada interval konvergensi, dan jumlah deret pangkat $S(x)$ adalah fungsi kontinu untuk semua $x\in $.

Properti 2. Jika segmennya adalah $\, \, \subset \, (-R;R)$, maka deret pangkat dapat diintegrasikan dari a ke b, yaitu. Jika

$S(x)=\jumlah \batas _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2 ) +...$, lalu

$\int \limits _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \limits _(n=0)^(\infty )\int \limits _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \limits _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \limits _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \batas _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x +...$.

Jari-jari konvergensi tidak berubah:

di mana $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $ adalah koefisien deret terintegrasi.

Properti 3. Jumlah deret pangkat adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan sembarang ordo dalam interval konvergensinya. Turunan dari jumlah suatu deret pangkat adalah jumlah deret yang diperoleh dari suatu deret pangkat tertentu melalui diferensiasi suku demi suku beberapa kali, dan jari-jari konvergensi deret tersebut akan sama dengan jari-jari deret tersebut. seri asli.

Jika $S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\jumlah \batas _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $,lalu $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\jumlah \batas _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\jumlah \batas _(n =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... , dan seterusnya.

Contoh

Seri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $ konvergen hanya di titik $x=0$; deret tersebut divergen di semua titik lainnya. $V:\kiri\(0\kanan\).$

Deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}

Deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $ konvergen pada daerah $V=(-1, \, 1]$.

Deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ divergen di semua titik sumbu $V=$$\emptyset$.

Elemen struktur semantik

Struktur semantik sebuah kalimat.

(pertanyaan ini aktif Belajar sendiri!)

Jenis analisis ini menghubungkan organisasi semantik sebuah kalimat dengan organisasi formalnya. Arah ini mengedepankan konsep struktur semantik sebuah kalimat (terutama N.Yu. Shvedova).

Diagram struktural memiliki semantiknya sendiri, yang diciptakan oleh makna formal komponen, aturan isi leksikalnya, dan hubungan komponen satu sama lain (dalam skema non-komponen tunggal).

Makna linguistik suatu kalimat tertentu yang dikonstruksi menurut satu atau beberapa pola dibentuk oleh aksi timbal balik antara semantik pola ini dan semantik leksikal dari kata-kata yang mengambil posisi komponen-komponennya: Siswa menulis; anak bersukacita dengan semantik umum MSS (“hubungan antara subjek dan atribut predikatifnya - suatu tindakan atau keadaan prosedural”) dalam kasus pertama artinya adalah “hubungan antara subjek dan tindakan spesifiknya”, dalam kasus kedua kasus - “hubungan antara subjek dan keadaan emosinya” .

Deret fungsional yang bentuknya (koefisien deret) dan (pusat deret) adalah konstanta, suatu variabel, disebut seri kekuatan. Jelas bahwa jika kita belajar menghitung daerah konvergensi suatu deret pangkat (dengan pusat), maka kita dapat dengan mudah mencari daerah konvergensi deret aslinya.Oleh karena itu, untuk selanjutnya, kecuali dinyatakan lain, kita akan mempertimbangkan deret pangkat. dari formulir.

teorema Habel.Jika suatu deret pangkat konvergen pada suatu titik, maka deret tersebut konvergen secara absolut dan pada suatu interval. Pada segmen mana pun, deret tertentu konvergen secara seragam.

Bukti. Karena deret tersebut konvergen, maka suku persekutuannya dibatasi, yaitu. ada konstanta seperti itu

Biarkan saja sekarang. Maka kita akan memilikinya

Karena barisan geometri tersebut konvergen (), maka dengan teorema perbandingan pertama deret tersebut juga konvergen. Bagian pertama dari teorema tersebut dibuktikan.

Karena menurut yang telah dibuktikan, deret tersebut konvergen dan menjadi mayoritas sebagai (lihat) deret tersebut, maka dengan teorema Weierstrass deret terakhir konvergen secara seragam di Teorema tersebut terbukti sepenuhnya.

Berdasarkan teorema Abel, kita dapat memperluas interval hingga tiba saatnya deret tersebut menyimpang pada suatu titik (atau momen seperti itu tidak terjadi sama sekali, mis.). Maka interval yang ditunjukkan akan menjadi daerah konvergensi deret tersebut. Jadi, setiap deret pangkat mempunyai daerah konvergensinya bukan himpunan sembarang, melainkan justru sebuah interval. Mari kita berikan definisi yang lebih tepat tentang interval konvergensi.

Definisi 2. Nomor tersebut dipanggil radius konvergensi deret, jika dalam interval deret tersebut konvergen sangat, dan di luar segmen itu menyimpang. Dalam hal ini intervalnya disebut interval konvergensi baris.

Perhatikan bahwa pada deret pangkat yang ditunjukkan hanya konvergen pada suatu titik dan pada deret tersebut konvergen sama sekali nyata. Contoh berikut menunjukkan bahwa kasus-kasus ini tidak dikecualikan: Contoh deret dengan jari-jari konvergensi berhingga bukan nol dapat berupa barisan geometri. Perhatikan juga bahwa pada batas interval konvergensi suatu deret pangkat dapat konvergen dan divergen. Misalnya, suatu deret konvergen secara kondisional di suatu titik dan menyimpang di suatu titik

Dari sifat-sifat deret fungsi yang konvergen seragam (Teorema 1-3), sifat-sifat deret pangkat berikut dapat dengan mudah diturunkan.

Teorema 4.Misalkan adalah jari-jari konvergensi deret pangkat. Maka pernyataan berikut berlaku:

1. Jumlah deret pangkat tertentu adalah kontinu dalam interval konvergensi;

2. Jika adalah jari-jari konvergensi suatu deret pangkat, maka deret turunannya juga mempunyai jari-jari konvergensi yang sama, sehingga deret pangkat tersebut dapat terdiferensiasi sebanyak yang diinginkan (yakni, jumlahnya dapat terdiferensiasi tak terhingga dalam deret pangkat tersebut) interval konvergensi), dan kesetaraan berlaku

3. Suatu deret pangkat dapat diintegrasikan pada setiap segmen yang terletak di dalam interval konvergensinya, yaitu.

Bukti, misalnya properti pertama akan seperti ini. Biarkan titik sembarang dari interval konvergensi . Mari kita kelilingi titik ini dengan segmen simetris. Menurut teorema Abel, deret tersebut konvergen secara seragam pada segmen tersebut, sehingga jumlahnya kontinu pada segmen yang ditunjukkan, dan oleh karena itu kontinu, khususnya, pada titik tersebut. Sifat 1 terbukti. Sifat-sifat lainnya dari teorema kita dibuktikan dengan cara yang sama.

Sekarang mari kita hitung jari-jari konvergensi suatu deret pangkat dari koefisiennya.

Teorema 4 . Biarkan setidaknya satu dari kondisi berikut terpenuhi:

a) ada batasnya (terbatas atau tidak terbatas).

b) ada limit (berhingga atau tak terhingga) (diasumsikan ada suatu bilangan sedemikian rupa).

Maka bilangan tersebut adalah jari-jari konvergensi deret tersebut.

Bukti Mari kita lakukan untuk kasus a). Mari kita terapkan uji Cauchy pada deret modular: Berdasarkan uji yang ditentukan, deret tersebut konvergen mutlak jika bilangannya, mis. jika Jika yaitu jika maka deret yang ditunjukkan divergen. Oleh karena itu, jari-jari konvergensi deret tersebut. Teorema tersebut telah terbukti.

Catatan 1. Teorema 1-4 dapat dipindahkan secara praktis tanpa mengubah rumusan ke bentuk deret pangkat (dengan sedikit perubahan bahwa dalam hal ini domain konvergensi adalah interval).

Contoh 1. Tentukan luas konvergensi deret tersebut ( tugas 10, T.R., Kuznetsov L.A.)

Larutan. Mari kita terapkan analogi dari a) teorema Cauchy: jari-jari konvergensi suatu deret tertentu. Artinya deret tersebut konvergen secara mutlak pada wilayah tersebut

Mari kita pelajari kekonvergenan deret pada ujung-ujung interval. Kita punya

menyimpang, karena

menyimpang, karena

Oleh karena itu, luas konvergensi deret asal adalah interval.

Definisi. Rangkaian fungsional formulir

Di mana … – bilangan real, disebut deret pangkat.

Daerah konvergensi mutlak suatu deret adalah interval , di mana nomornya R– radius konvergensi.

Misalkan deret pangkat mempunyai radius konvergensi R> 0. Maka pernyataan berikut ini benar:

1. Jumlah deret tersebut merupakan fungsi kontinu dari X sepanjang seluruh interval konvergensi.

2. Deret tersebut konvergen beraturan pada setiap segmen dimana .

3. Deret tersebut dapat diintegrasikan suku demi suku pada setiap segmen yang terletak di dalam interval.

4. Suatu deret dapat dibedakan suku demi sukunya pada suatu titik sebanyak yang Anda suka.

Catatan:

1. Pada saat mengintegrasikan atau mendiferensiasikan suatu deret pangkat demi suku, diperoleh deret pangkat baru, sedangkan jari-jari konvergensinya tetap sama.

2. Jari-jari konvergensi suatu deret pangkat dapat dicari dengan menggunakan salah satu rumus:

, (10)

(11)

asalkan batas yang ditentukan ada, adalah koefisien deret tersebut.

Soal 17.31

Temukan jumlah serinya .

Larutan:

Metode I. Mari kita cari interval konvergensi deret tersebut:

, , .

Mari kita sederhanakan pecahan rasional , .

Maka deret tersebut dapat direpresentasikan dengan selisih dua deret:

Konvergensi masing-masingnya tetap sama (periksa sendiri). Oleh karena itu kesetaraan terjadi. Mari kita nyatakan jumlah deret tersebut dengan dan , masing-masing, dan jumlah yang diperlukan dengan , .

Mari kita cari jumlah baris pertama:

Membedakan deret-deret tersebut berdasarkan interval konvergensinya, kita memperoleh: ; adalah barisan geometri yang penyebutnya .

Ketika perkembangannya menyatu, , , dan jumlahnya adalah: ; . Sekarang, dengan mengintegrasikan segmen yang terletak di dalam interval konvergensi, kita memperoleh:

.

Mari kita cari jumlah baris kedua:

Mari kita lakukan konversi:

Mari kita nyatakan jumlah deret dalam tanda kurung dengan dan bedakan dalam intervalnya:

– ini juga merupakan deret geometri.

, , ;

.

Jadi, jumlah deret aslinya adalah:

atau
Untuk .

metode II. Tanpa mengulangi rincian metode pertama terkait interval konvergensi deret ini, kami mengusulkan opsi kedua untuk menyelesaikan masalah. Mari kita nyatakan jumlah deret tersebut dengan: .

Kalikan dengan deret ini: . Mari kita bedakan deret yang dihasilkan dua kali:

,

Mewakili barisan geometri dengan penyebut , Kemudian . Mari berintegrasi pada segmen:

Mengintegrasikan berdasarkan bagian, kita mendapatkan:

Untuk .

Soal 18.31

Temukan jumlah serinya .

Larutan:

Deret ini konvergen dalam intervalnya (periksa sendiri). Mari kita tulis ulang, sajikan sebagai jumlah dari tiga deret:

Hal ini dimungkinkan karena setiap deret mempunyai daerah konvergensi – interval yang sama. Mari kita nyatakan jumlah ketiga deret tersebut berturut-turut dengan , , , dan jumlah yang diperlukan dengan .

sebagai jumlah suku-suku suatu barisan geometri yang mempunyai penyebut

Mari kita lakukan konversi:

Mari kita nyatakan dengan jumlah deret tersebut.

Mengintegrasikan deret suku demi suku ini pada suatu segmen di dalam interval konvergensi, kita memperoleh:

Untuk mencarinya, Anda perlu membedakan pecahan:

.

Karena itu, .

Sekarang mari kita temukan:

Mari kita keluarkan dari tanda kurung:

Mari kita nyatakan dengan jumlah deret dalam tanda kurung. Kemudian

Dalam tanda kurung ini terdapat deret yang jumlahnya ditemukan: . Kita mendapatkan: .

Tetapi , . Kemudian jumlah deret aslinya

Jadi, Untuk .

Seri Taylor

Definisi. Baris

disebut deret pangkat Taylor untuk fungsi tersebut.

Suatu fungsi dapat diperluas menjadi deret Taylor jika pada titik yang ditinjau mempunyai turunan semua orde dan sisa suku pada titik tersebut cenderung nol. Deret Taylor kadang-kadang disebut deret Maclaurin.

Dalil

Jika suatu fungsi diperluas menjadi deret pangkat, maka deret tersebut unik dan merupakan deret Taylor.

Catatan. Dengan mencari turunan berturut-turut dari fungsi tersebut dan nilainya di suatu titik, kita dapat menulis deret Taylor. Namun mempelajari sisa masa jabatan menimbulkan kesulitan besar. Oleh karena itu, mereka sering kali menggunakan cara lain: mereka menggunakan perluasan fungsi dasar dasar yang sudah jadi menjadi deret pangkat yang dikombinasikan dengan aturan penjumlahan, pengurangan, perkalian deret, dan teorema integrasi dan diferensiasinya, seperti yang ditunjukkan, misalnya. dalam soal 17.31 dan 18.31.

Soal 19.31

Perluas suatu fungsi dalam deret Taylor dalam pangkat.

Larutan:

X 0 = 0. Mari kita gunakan catatan. Karena

maka fungsinya disederhanakan jika kita menerapkan metode koefisien tak tentu:

.

Jumlah suku suatu barisan geometri yang penyebutnya sama dengan: . Dalam kasus kami . – radius konvergensi deret ini. Syarat

Menambahkan baris, kita mendapatkan: atau , dimana adalah luas konvergensi umum. seluruhnya terletak pada daerah konvergensi deret tersebut.

Untuk menghitung integral ini dengan akurasi 0,001, Anda perlu mengambil dua sukunya dalam deret yang dihasilkan (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

Dengan demikian,

Pertanyaan tes mandiri

Seri angka

1. Memberikan definisi deret konvergen dan divergen.

2. Merumuskan kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret.

3. Merumuskan tanda-tanda konvergensi deret dengan suku positif secara memadai: perbandingan deret dengan suku positif; tanda d'Alembert; uji Cauchy radikal, uji Cauchy integral.

4. Berikan definisi deret konvergen mutlak. Nyatakan sifat-sifat deret konvergen mutlak.

5. Merumuskan kriteria Leibniz.

Seri fungsional

6. Menentukan daerah konvergensi suatu deret fungsional.

7. Deret manakah yang disebut konvergen seragam?

8. Merumuskan uji Weierstrass.

9. Kondisi penguraian suatu fungsi pada deret Taylor.

10. Merumuskan teorema integrasi dan diferensiasi deret pangkat.

11. Menjelaskan metode perhitungan perkiraan integral tentu dengan menggunakan deret.

1. Kudryavtsev L.D. Kursus singkat dalam analisis matematika. – M.: Nauka, 1989. – 736 hal.

2. Bugrov Y.S. Kalkulus diferensial dan integral / Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolsky. – M.: Nauka, 1984. – 432 hal.

3. Shmelev P.A. Teori deret dalam soal dan latihan. – M.: Sekolah Tinggi, 1983. – 176 hal.

4. Piskunov N.S. Kalkulus diferensial dan integral untuk perguruan tinggi. T.2. – M.: Nauka, 1985. – 576 hal.

5. Fikhtengolts G.M. Mata kuliah kalkulus diferensial dan integral. T.2. – M.: Fizmatgiz, 1962. – 808 hal.

6. Zaporozhets G.I. Panduan pemecahan masalah dalam analisis matematis. – M.: Sekolah Tinggi, 1966. – 460 hal.

7. Kuznetsov L.A. Kumpulan tugas dalam matematika tingkat tinggi (TR). – M.: Sekolah Tinggi, 1983. – 174 hal.

8. Danko P.E. Matematika yang lebih tinggi dalam latihan dan masalah. Bagian 2 /P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova. – M.: Sekolah Tinggi, 1986. – 415 hal.

9. Bronshtein I.N. Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa / I.N. Bronstein, KA. Semendyaev. – M.: Nauka, 1986. – 544 hal.

Edisi pendidikan

Borodino Nikolay Pavlovich

Batu gerinda Varvara Viktorovna

Shumetova Lyudmila Viktorovna

kulit pendek Vladimir Sergeevich

PERINGKAT

Manual pendidikan dan metodologi

Editor T.D. Vasilyeva

Editor teknis T.P. Prokudina

Universitas Teknik Negeri Oryol

ID Lisensi No. 00670 tanggal 01/05/2000

Ditandatangani untuk diterbitkan pada tanggal 26 Agustus 2004. Format 60 x 84 1/16.

Pencetakan offset. Edisi akademis. aku. 1.9. Bersyarat oven aku. 2.4. Peredaran 500 eksemplar.

Nomor pesanan.____

Dicetak dari tata letak asli yang sudah jadi

di basis percetakan Universitas Teknik Negeri Orel,

302030, Orel, st. Moskow, 65.