Seri Fourier. Untuk setiap hari Perluas suatu fungsi menjadi deret Fourier

Dekat Fourier fungsi f(x) pada interval (-π ; π) disebut deret trigonometri jenis:
, Di mana

Deret Fourier suatu fungsi f(x) pada interval (-l;l) merupakan deret trigonometri yang bentuknya:
, Di mana

Tujuan. Kalkulator daring dirancang untuk memperluas fungsi f(x) menjadi Deret Fourier.

Untuk fungsi modulo (seperti |x|), gunakan ekspansi kosinus.

Aturan untuk memasukkan fungsi:

Untuk fungsi modulo, gunakan ekspansi kosinus. Misalnya untuk |x| perlu memasukkan fungsi tanpa modul, mis. X.

Deret Fourier kontinu sepotong-sepotong, monotonik sepotong-sepotong, dan dibatasi pada interval (- aku;aku) dari fungsi tersebut konvergen pada seluruh garis bilangan.

Jumlah deret Fourier S(x) :

• adalah fungsi periodik dengan periode 2 aku. Suatu fungsi u(x) disebut periodik dengan periode T (atau T-periodik) jika untuk semua x pada daerah R, u(x+T)=u(x).
• pada interval (- aku;aku) bertepatan dengan fungsinya F(X), kecuali untuk breakpoint
• pada titik diskontinuitas (jenis pertama, karena fungsinya dibatasi) dari fungsi tersebut F(X) dan pada akhir interval mengambil nilai rata-rata:

.
Mereka mengatakan bahwa fungsi tersebut berkembang menjadi deret Fourier pada interval (- aku;aku): .

Jika F(X) – bahkan berfungsi, maka hanya fungsi genap yang ikut serta dalam perluasannya, yaitu bn=0.
Jika F(X) adalah fungsi ganjil, maka hanya fungsi ganjil yang ikut serta dalam pemuaiannya, yaitu dan N=0

Dekat Fourier fungsi F(X) pada interval (0; aku) oleh cosinus dari beberapa busur baris tersebut disebut:
, Di mana
.
Dekat Fourier fungsi F(X) pada interval (0; aku) sepanjang sinus beberapa busur baris tersebut disebut:
, Di mana .
Jumlah deret Fourier pada kosinus beberapa busur merupakan fungsi periodik genap dengan periode 2 aku, bertepatan dengan F(X) pada interval (0; aku) pada titik kontinuitas.
Jumlah deret Fourier pada sinus beberapa busur merupakan fungsi periodik ganjil dengan periode 2 aku, bertepatan dengan F(X) pada interval (0; aku) pada titik kontinuitas.
Deret Fourier untuk suatu fungsi tertentu pada interval tertentu mempunyai sifat unik, yaitu jika pemuaian diperoleh dengan cara lain selain menggunakan rumus, misalnya dengan memilih koefisien, maka koefisien tersebut sama dengan yang dihitung dari rumus. .

Contoh No.1. Perluas fungsinya f(x)=1:
a) dalam deret Fourier lengkap pada interval tersebut(-π ;π);
b) dalam rangkaian sepanjang sinus beberapa busur pada interval tersebut(0;π); plot deret Fourier yang dihasilkan
Larutan:
a) Ekspansi deret Fourier pada interval (-π;π) berbentuk:
,
dan semua koefisien bn=0, karena fungsi ini- bahkan; Dengan demikian,

Tentu saja, kesetaraan akan terpenuhi jika kita menerimanya
A 0 =2, A 1 =A 2 =A 3 =…=0
Karena sifat keunikannya, inilah koefisien yang diperlukan. Jadi, dekomposisi yang diperlukan: atau hanya 1=1.
Dalam hal ini, jika suatu deret berimpit identik dengan fungsinya, maka grafik deret Fourier berimpit dengan grafik fungsi pada seluruh garis bilangan.
b) Perluasan pada interval (0;π) dalam bentuk sinus beberapa busur:
Jelas mustahil untuk memilih koefisien-koefisien tersebut sehingga kesetaraan tetap sama. Mari gunakan rumus untuk menghitung koefisien:


Jadi, bahkan N (N=2k) kita punya bn=0, untuk ganjil ( N=2k-1) -
Akhirnya, .
Mari kita plot deret Fourier yang dihasilkan menggunakan propertinya (lihat di atas).
Pertama-tama, kita membuat grafik fungsi ini pada interval tertentu. Selanjutnya, dengan memanfaatkan keanehan jumlah deret tersebut, kita lanjutkan grafiknya secara simetris ke titik asal:

Kami melanjutkan secara berkala sepanjang garis bilangan:


Dan terakhir, pada break point kita isi nilai rata-rata (antara batas kanan dan kiri):

Contoh No.2. Perluas suatu fungsi pada interval (0;6) sepanjang sinus beberapa busur.
Larutan: Perluasan yang diperlukan berbentuk:

Karena ruas kiri dan kanan persamaan hanya berisi fungsi sin dari argumen yang berbeda, Anda harus memeriksa apakah, untuk nilai n (alami!), argumen sinus di sisi kiri dan kanan persamaan adalah sama:
atau , dari mana n =18. Artinya suku tersebut terdapat di ruas kanan dan koefisiennya harus sama dengan koefisien di ruas kiri: B 18 =1;
atau , dari mana n =4. Cara, B 4 =-5.
Jadi, dengan memilih koefisien, ekspansi yang diinginkan dapat diperoleh.

Fungsi ditentukan untuk semua nilai X ditelepon berkala, jika nomor tersebut ada T (T≠ 0), itu untuk nilai apa pun X kesetaraan berlaku f(x + T) = f(x). Nomor T dalam hal ini adalah periode fungsi tersebut.

Sifat-sifat fungsi periodik:

1) Jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi fungsi periodik periode T merupakan fungsi periodik dari periode T.

2) Jika fungsinya f(x) memiliki periode T, lalu fungsinya fax) memiliki periode

Memang, untuk argumen apa pun X:

(mengalikan argumen dengan angka berarti mengompresi atau meregangkan grafik fungsi ini sepanjang sumbu OH)

Misalnya suatu fungsi mempunyai periode, maka periode fungsi tersebut adalah

3) Jika f(x) fungsi periode periodik T, maka dua integral dari fungsi ini, yang diambil pada interval panjangnya, adalah sama T(diasumsikan bahwa integral ini ada).

Deret Fourier untuk suatu fungsi dengan periode T= .

Deret trigonometri adalah deret yang bentuknya:

atau, singkatnya,

Di mana , , , , , … , , , … - bilangan real, disebut koefisien seri.

Setiap suku deret trigonometri merupakan fungsi periodik periode (karena - mempunyai

titik, dan titik () sama dengan , dan oleh karena itu, ). Setiap istilah (), dengan n= 1,2,3... adalah ekspresi analitis untuk osilasi harmonik sederhana, dimana A- amplitudo,

Tahap awal. Dengan memperhatikan hal di atas, kita peroleh: jika suatu deret trigonometri konvergen pada suatu ruas panjang periode, maka deret tersebut konvergen pada seluruh garis bilangan dan jumlahnya merupakan fungsi periodik periode.

Biarkan deret trigonometri konvergen secara seragam pada suatu segmen (dan karenanya pada segmen mana pun) dan jumlahnya sama dengan . Untuk menentukan koefisien deret ini, kami menggunakan persamaan berikut:

Kami juga akan menggunakan properti berikut.

1) Sebagaimana diketahui, jumlah suatu deret yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu yang konvergen secara seragam pada suatu segmen tertentu merupakan fungsi kontinu pada segmen tersebut. Dengan memperhatikan hal ini, kita mendapatkan bahwa jumlah deret trigonometri yang konvergen seragam pada suatu ruas merupakan fungsi kontinu pada seluruh garis bilangan.

2) Konvergensi seragam suatu deret pada suatu segmen tidak akan dilanggar jika semua suku deret tersebut dikalikan dengan fungsi kontinu pada segmen tersebut.

Secara khusus, konvergensi seragam pada suatu segmen deret trigonometri tertentu tidak akan dilanggar jika semua suku deret tersebut dikalikan dengan atau dengan .

Dengan syarat

Sebagai hasil integrasi suku demi suku dari deret konvergen seragam (4.2) dan dengan memperhatikan persamaan di atas (4.1) (ortogonalitas fungsi trigonometri), kita memperoleh:

Oleh karena itu, koefisiennya

Mengalikan persamaan (4.2) dengan , mengintegrasikan persamaan ini dalam rentang dari ke dan, dengan memperhatikan ekspresi di atas (4.1), kita memperoleh:

Oleh karena itu, koefisiennya

Demikian pula, mengalikan persamaan (4.2) dengan dan mengintegrasikannya dalam rentang dari ke , dengan mempertimbangkan persamaan (4.1) kita mendapatkan:

Oleh karena itu, koefisiennya

Dengan demikian, ekspresi koefisien deret Fourier berikut diperoleh:

Kriteria yang memadai untuk penguraian suatu fungsi dalam deret Fourier. Ingat itu intinya X o fungsi rusak f(x) disebut titik diskontinuitas jenis pertama jika ada batas yang terbatas fungsi kanan dan kiri f(x) di sekitar suatu titik.

Batasi di sebelah kanan

Batas kiri.

Teorema (Dirichlet). Jika fungsinya f(x) mempunyai periode dan kontinu pada segmen tersebut atau mempunyai sejumlah titik diskontinuitas jenis pertama yang berhingga, dan sebagai tambahan, segmen tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah segmen yang berhingga sehingga di dalam masing-masing segmen tersebut f(x) monotonik, maka deret Fourier untuk fungsinya f(x) konvergen untuk semua nilai X. Apalagi pada titik-titik kesinambungan fungsinya f(x) jumlahnya sama f(x), dan pada titik diskontinuitas fungsi f(x) jumlahnya sama, mis. mean aritmatika dari nilai limit di kiri dan kanan. Selain itu, deret Fourier untuk fungsinya f(x) konvergen secara seragam pada setiap segmen yang, bersama dengan ujung-ujungnya, termasuk dalam interval kontinuitas fungsi f(x).

Contoh: memperluas fungsinya menjadi deret Fourier

Kondisi memuaskan.

Larutan. Fungsi f(x) memenuhi syarat perluasan menjadi deret Fourier, sehingga kita dapat menulis:

Sesuai dengan rumus (4.3), dapat diperoleh nilai koefisien deret Fourier sebagai berikut:

Saat menghitung koefisien deret Fourier, rumus “integrasi per bagian” digunakan.

Dan maka dari itu

Deret Fourier untuk fungsi genap dan ganjil dengan periode T = .

Kami menggunakan properti integral berikut atas simetris terhadap x=0 celah:

Jika f(x)- fungsi ganjil,

Jika f(x)- fungsi genap.

Perhatikan bahwa hasil kali dua fungsi genap atau dua fungsi ganjil adalah fungsi genap, dan hasil kali fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil. Biarkan sekarang f(x)- fungsi periodik genap dengan periode , memenuhi kondisi ekspansi dalam deret Fourier. Kemudian, dengan menggunakan sifat integral di atas, kita peroleh:

Jadi, deret Fourier untuk fungsi genap hanya memuat fungsi genap - kosinus dan ditulis sebagai berikut:

dan koefisiennya bn = 0.

Dengan alasan yang sama, kita menemukan bahwa jika f(x) - adalah fungsi periodik ganjil yang memenuhi syarat pemuaian menjadi deret Fourier, maka deret Fourier untuk fungsi ganjil hanya memuat fungsi ganjil - sinus dan ditulis sebagai berikut:

di mana sebuah =0 pada n= 0, 1,…

Contoh: memperluas fungsi periodik menjadi deret Fourier

Karena fungsi ganjil yang diberikan f(x) memenuhi syarat perluasan menjadi deret Fourier

atau, apa yang sama,

Dan deret Fourier untuk fungsi ini f(x) dapat ditulis seperti ini:

Deret Fourier untuk fungsi sembarang periode T=2 aku.

Membiarkan f(x)- fungsi periodik periode apa pun T=2l(aku- setengah siklus), halus sedikit demi sedikit atau monotonik sedikit demi sedikit pada ruas [ -II]. Percaya x=pada, kita mendapatkan fungsinya gemuk) argumen T, yang periodenya sama . Ayo pilih A sehingga periode fungsinya gemuk) adalah sama, yaitu T = 2l

Larutan. Fungsi f(x)- ganjil, memenuhi syarat pemuaian menjadi deret Fourier, oleh karena itu, berdasarkan rumus (4.12) dan (4.13), kita peroleh:

(saat menghitung integral, kami menggunakan rumus “integrasi per bagian”).

berikut:

1) menggambar grafik f(x) pada selang waktu sekurang-kurangnya dua periode untuk menunjukkan bahwa fungsi ini periodik;

2) menggambar grafik S(x) demikian pula, sehingga Anda dapat melihat pada titik mana f(x)¹S(x);

3) menghitung koefisien Fourier dan menuliskan deret Fourier.

Tugas

№1. Perluas dalam deret Fourier

Larutan. perhatikan itu f(x) diberikan pada selang waktu yang panjangnya T=4. Karena f(x) diasumsikan periodik, maka bilangan tersebut adalah periodenya, maka - aku = 2.

1) Jadwal f(x):

2) Jadwal S(x):

Panah di ujung garis menunjukkan bahwa fungsi tersebut tidak mengambil nilai yang ditentukan dari ekspresi yang ditentukan pada interval di ujung interval. Saat membandingkan grafik f(x) Dan S(x) terlihat jelas di break point f(x)¹S(x).

3) Mari kita hitung koefisien Fourier. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus (3*): ; ; . Tepat: ; Jadi,

Penguraian f(x) dalam deret Fourier berbentuk:

Catatan. 1) Ketika diintegrasikan oleh [-1;3] segmen ini dibagi menjadi Dan , Karena pada segmen ini f(x) diberikan nilai yang berbeda.

2) Saat menghitung koefisien, integral digunakan: dan , dimana a = konstanta.

№2 . Perluas dalam deret Fourier

Larutan. Di Sini T=2, aku = 1.

Deret Fourier berbentuk: , dimana ; ; , Karena aku = 1.

1) Jadwal f(x):

2) Jadwal S(x):

№3. Perluas deret Fourier dalam bentuk sinus

Larutan. Perhatikan bahwa hanya fungsi ganjil yang diperluas ke deret Fourier dalam bentuk sinus. Karena f(x) didefinisikan hanya untuk x > 0, xО(0;2)П(2;3), maka ini berarti pada interval simetris (-3;-2)È(-2;0) f(x) kita perlu melanjutkannya agar kesetaraan tetap terjaga f(-x) = -f(x). Oleh karena itu, panjang interval di mana f(x) diberikan sebagai fungsi ganjil, sama dengan 6. Artinya T = 6, aku = 3. Deret Fourier untuk f(x) berbentuk: , dimana , n = 1, 2, 3, (menurut rumus (5")).

1) Jadwal f(x).

Untuk menggambar grafik f(x) sebagai fungsi ganjil, kita gambar grafiknya terlebih dahulu (0;2)È(2;3), lalu manfaatkan fakta bahwa grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik asal. Dari pertimbangan tersebut diperoleh grafiknya f(x) pada (-3;-2)È(-2;0). Lalu kita lanjutkan f(x) T=6.

2) Jadwal S(x).

Jadwal S(x) berbeda dari jadwal f(x) pada breakpoint fungsi f(x). Misalnya, dalam t. x = 2 f(x) tidak ditentukan, tapi S(x) memiliki di x = 2 nilai yang sama dengan setengah jumlah limit satu sisi fungsi tersebut f(x), tepat: , Di mana , .

Nah, selanjutnya dekomposisi f(x) pada deret Fourier berbentuk: .

№4 . Perluas dalam deret kosinus Fourier.

Larutan. Perhatikan bahwa hanya fungsi genap yang diperluas dalam deret Fourier dalam bentuk kosinus. Karena f(x) ditetapkan hanya untuk x>0, xО(0;2)Р(2;3], maka ini berarti untuk interval simetris [-3;-2)È(-2;0) f(x) Anda perlu melanjutkan agar kesetaraan tetap berlaku: f(-x) = f(x). Oleh karena itu, panjang interval di mana f(x) diberikan sebagai fungsi genap, sama dengan 6, maka T = 6, aku = 3. Deret Fourier dalam hal ini berbentuk:

Di mana ; ; n = 1,2,...(menurut rumus (4")).

1) Jadwal f(x).

Untuk menggambar grafik f(x) sebagai fungsi genap, mari kita menggambar grafiknya terlebih dahulu f(x) pada (0;2)È(2;3], lalu manfaatkan fakta bahwa grafik fungsi genap simetris terhadap ordinat. Dari pertimbangan tersebut diperoleh grafiknya f(x) pada [-3;-2)È(-2;0). Lalu kita lanjutkan f(x) pada seluruh garis bilangan sebagai fungsi periodik dengan titik T=6.

Berikut grafiknya f(x) ditarik dalam dua periode fungsi yang lengkap.

2) Jadwal S(x).

Jadwal S(x) berbeda dari jadwal f(x) pada breakpoint fungsi f(x). Misalnya, dalam t. x = 0 f(x) tidak ditentukan, tapi S(x) mempunyai arti: , jadi grafiknya S(x) tidak terputus x = 0, tidak seperti grafik f(x).

Penguraian f(x) pada deret Fourier cosinus berbentuk: .

№5. Perluas dalam deret Fourier f(x) = |x|, xО(-2;2)..

Larutan. Dengan syarat, f(x) adalah fungsi genap aktif (-2;2) ; itu. deret Fouriernya hanya berisi kosinus, dan T = 4, aku = 2, ,

Di mana ; ; n = 1, 2,

1) Jadwal f(x):

2) Jadwal S(x):

3) karena |x| = x Untuk x > 0.; .

Kemudian dekomposisi f(x) pada deret Fourier berbentuk: . Perhatikan bahwa saat mengintegrasikan ekspresi atau, rumus integrasi per bagian digunakan: , di mana kamu = x; dv = cos(kapak)dx atau dv = dosa(kapak)dx.

№6. Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier: a) pada interval (-?, ?); b) pada interval (0, 2?); c) pada interval (0, ?) pada rangkaian sinus.

Larutan. a) Grafik suatu fungsi dengan 2? - dengan kelanjutan berkala berbentuk

Fungsi tersebut memenuhi syarat teorema Dirichlet dan oleh karena itu dapat diperluas menjadi deret Fourier.

Mari kita hitung koefisien Fourier. Karena fungsinya genap, maka bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) dan (n = 0, 1, 2,…).

Untuk menghitung integral ini, gunakan rumus integrasi per bagian di integral tertentu. Kita mendapatkan

Deret Fourier dari fungsi ini berbentuk . Berdasarkan kriteria Dirichlet, deret ini merepresentasikan fungsi x2 pada interval (-?,?).

b) Interval (0, 2?) tidak simetris terhadap titik asal, dan panjangnya 2 aku= 2?. Kami menghitung koefisien Fourier menggunakan rumus:

Oleh karena itu, deret Fourier berbentuk . Berdasarkan teorema Dirichlet, deret tersebut konvergen ke fungsi pembangkit di titik x?(0,2?), dan di titik 0 dan 2? artinya. Grafik jumlah deret tersebut terlihat seperti ini

c) Suatu fungsi yang diperluas dalam deret sinus harus ganjil. Oleh karena itu, mari kita definisikan fungsi yang diberikan x2 dalam (-π,π) dengan cara ganjil, mis. pertimbangkan fungsinya. Untuk fungsi ini f(x) kita mempunyai аn = 0 (n = 0, 1, 2,…) dan

Perluasan yang diperlukan berbentuk .

Grafik jumlah deret tersebut terlihat seperti ini

Perhatikan bahwa di titik x = (-π,π) deret Fourier konvergen ke nol.

№7 Perluas fungsi yang diberikan secara grafis menjadi deret Fourier:

Larutan . Mari kita dapatkan ekspresi eksplisit untuk f(x). Grafik suatu fungsi berupa garis lurus, kita menggunakan persamaan garis lurus yang berbentuk . Seperti yang terlihat dari gambar, , yaitu. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

Fungsi ini memenuhi syarat kriteria Dirichlet, sehingga diperluas menjadi deret Fourier. Mari kita hitung koefisien Fourier ( aku = 1):

; (n = 1, 2,…);

Deret Fourier untuk fungsi f(x) mempunyai bentuk

Ini mewakili fungsi f(x) di -1< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier trigonometri pada suatu segmen dan tunjukkan fungsi yang konvergen dengan deret yang dihasilkan.

Larutan. Gambarlah grafik fungsi tersebut, lanjutkan secara periodik dengan suatu periode atau sepanjang sumbu. Fungsi lanjutannya mempunyai titik.

Periksa kondisi kondisi cukup untuk konvergensi deret Fourier (Dini-Lipschitz, Jordan, Dirichlet).

Fungsinya monotonik sedikit demi sedikit pada intervalnya: fungsi tersebut bertambah terus dan terus. Pada suatu titik, fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas jenis pertama.

Tentukan apakah suatu fungsi genap atau ganjil: Suatu fungsi tidak genap atau ganjil.

a) jika fungsi diatur ke

b) jika fungsi diatur ke

Buatlah deret Fourier dari fungsi tersebut: .

Tunjukkan fungsi dimana deret ini akan konvergen menggunakan uji konvergensi pointwise: Menurut kriteria Dirichlet, deret Fourier dari fungsi tersebut konvergen dengan jumlah:

№9. Perluas fungsinya menjadi deret Fourier dalam bentuk sinus dan, dengan menggunakan ekspansi ini, temukan jumlah deret bilangan tersebut.

Larutan. Lanjutkan fungsi genap (ganjil) ke (- P,0) atau (- aku,0), dan kemudian secara periodik dengan periode 2 P atau 2 aku melanjutkan fungsi di sepanjang sumbu.

Mari kita lanjutkan fungsinya dengan cara ganjil ke , dan kemudian secara berkala, dengan periode, lanjutkan sepanjang sumbu.

Gambarlah grafik kelanjutan periodik. Kita akan mendapatkan fungsi seperti:

Periksa kondisi kondisi cukup untuk konvergensi deret Fourier (Dini-Lipitza, Jordan, Dirichlet).

Fungsinya konstan sedikit demi sedikit dalam interval: sama dengan -1 pada dan 1 pada . Pada suatu titik, fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas jenis pertama.

Hitung koefisien Fourier:

Koefisien Fouriernya dihitung menggunakan rumus:

Buatlah deret Fourier dari fungsi tersebut. .

Tunjukkan fungsi ke mana deret ini akan konvergen menggunakan uji konvergensi titik.

Menurut kriteria Dirichlet, deret Fourier suatu fungsi menyatu dengan jumlah:

Oleh karena itu, kapan

Mengganti nilainya, tunjukkan jumlah deret bilangan yang diberikan.

Dengan asumsi ekspansi yang dihasilkan, kami menemukan,

dari mana, sejak, .

№10. Tuliskan persamaan Parseval untuk fungsi tersebut, dan berdasarkan persamaan tersebut, tentukan jumlah deret bilangan tersebut.

Larutan. Tentukan apakah fungsi tersebut merupakan fungsi integral persegi pada .

Fungsinya kontinu dan, oleh karena itu, dapat diintegrasikan pada . Untuk alasan yang sama, kami mengintegrasikan kuadratnya ke dalam .

Hitung koefisien Fourier menggunakan rumus:

Karena fungsinya ganjil, koefisien Fouriernya dihitung menggunakan rumus:

Hitung integralnya.

Tulis rumus Parseval:

Jadi, rumus Parseval mempunyai bentuk

Dengan melakukan, jika perlu, operasi aritmatika pada ruas kanan dan kiri, dapatkan jumlah deret bilangan tertentu.

Membagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan 144, kita mendapatkan: .

№11. Temukan integral Fourier suatu fungsi

dan merencanakannya.

Larutan. Buatlah grafik fungsi tersebut.

Periksa pemenuhan syarat kriteria cukup untuk konvergensi integral Fourier (Dini, Dirichlet-Jordan, atau akibat wajar darinya).

Fungsi tersebut dapat diintegralkan mutlak dalam interval, kontinu di dan , dan pada suatu titik mempunyai diskontinuitas jenis pertama. Selanjutnya, untuk dan fungsinya mempunyai turunan berhingga, dan pada nol terdapat turunan kanan dan kiri berhingga. Tentukan apakah suatu fungsi genap atau ganjil. Fungsinya tidak genap dan ganjil. ; .

Jadi, , atau ,

Salinan

1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN UNIVERSITAS NEGARA RF NOVOSIBIRSK FAKULTAS FISIKA R. K. Belkheeva FOURIER SERI DALAM CONTOH DAN MASALAH Buku Ajar Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. Seri Fourier dalam contoh dan soal: Buku Teks / Novosibirsk. negara universitas. Novosibirsk, hal. ISBN B buku pelajaran informasi dasar tentang deret Fourier disajikan, diberikan contoh untuk setiap topik yang dipelajari. Contoh penerapan metode Fourier untuk memecahkan masalah getaran transversal suatu dawai dianalisis secara rinci. Materi ilustrasi disediakan. Ada tugas untuk solusi independen. Ditujukan untuk mahasiswa dan guru Fakultas Fisika NSU. Diterbitkan berdasarkan keputusan komisi metodologi Fakultas Fisika NSU. Pengulas: Dr. Phys.-Math. Sains. V. A. Aleksandrov Manual ini disiapkan sebagai bagian dari implementasi Program Pengembangan NRU-NSU selama bertahun-tahun. ISBN dari Novosibirsk Universitas Negeri, 211 c Belkheeva R.K., 211

3 1. Perluasan fungsi periodik 2π menjadi Definisi deret Fourier. Deret Fourier dari fungsi f(x) merupakan deret fungsional a 2 + (an cosnx + b n sin nx), (1) dimana koefisien a n, b n dihitung dengan menggunakan rumus: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Rumus (2) (3) disebut rumus Euler Fourier. Fakta bahwa fungsi f(x) sesuai dengan deret Fourier (1) ditulis sebagai rumus f(x) a 2 + (an cosnx + b n sin nx) (4) dan kita katakan bahwa ruas kanan rumus ( 4) merupakan deret formal fungsi Fourier f(x). Dengan kata lain rumus (4) hanya berarti koefisien a n, b n dicari dengan menggunakan rumus (2), (3). 3

4 Definisi. Fungsi periodik 2π f(x) disebut mulus sedikit demi sedikit jika terdapat sejumlah titik berhingga = x pada interval [, π]< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Gambar. 1. Grafik fungsi f(x) Mari kita hitung koefisien Fourier a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, a n = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, untuk n ganjil, untuk n genap , f(x ) sin nxdx =, karena fungsi f(x) genap. Mari kita tuliskan deret Fourier formal untuk fungsi f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Mari kita cari tahu apakah fungsi f(x) mulus sebagian. Karena kontinu, kita hanya menghitung limit (6) pada titik akhir interval x = ±π dan pada titik putus x = : dan f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Limitnya ada dan berhingga, oleh karena itu fungsinya mulus sedikit demi sedikit. Berdasarkan teorema konvergensi titik, deret Fouriernya konvergen ke bilangan f(x) di setiap titik, yaitu f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Pada Gambar. 2, 3 menunjukkan sifat pendekatan jumlah parsial deret Fourier S n (x), dimana S n (x) = a n 2 + (ak coskx + b k sin kx), k=1 ke fungsi f(x ) dalam interval [, π] . 6

7 Gambar. 2. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial yang ditumpangkan S (x) = a 2 dan S 1(x) = a 2 + a 1 cos x Gambar. 3. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial yang ditumpangkan padanya S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Substitusikan x = ke (7) kita peroleh: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, dari situ kita cari jumlah deret bilangannya: = π2 8. Diketahui jumlah deret tersebut, maka adalah mudah untuk menemukan jumlah berikut Kita punya: S = ( ) S = ()= π S, oleh karena itu S = π2 6, yaitu, 1 n = π Jumlah dari deret terkenal ini pertama kali ditemukan oleh Leonhard Euler. Hal ini sering ditemukan dalam analisis matematika dan penerapannya. CONTOH 2. Mari kita menggambar grafik dan mencari deret Fourier suatu fungsi dengan rumus f(x) = x untuk x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Gambar. 4. Grafik fungsi f(x) Fungsi f(x) terdiferensiasi kontinu pada interval (, π). Di titik x = ±π, ia mempunyai limit berhingga (5): f() =, f(π) = π. Selain itu, terdapat limit berhingga (6): f(+ h) f(+) lim = 1 dan h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Oleh karena itu, f(x) adalah fungsi halus sedikit demi sedikit. Karena fungsi f(x) ganjil, maka a n =. Kita mencari koefisien b n dengan mengintegrasikan per bagian: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ 1. n Mari kita buat deret Fourier formal dari fungsi 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Berdasarkan teorema konvergensi titik dari fungsi periodik 2π mulus sedikit demi sedikit, deret Fourier dari fungsi f(x) konvergen dengan jumlah: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, jika π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Gambar. 6. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 2 (x) yang ditumpangkan padanya. 7. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 3 (x) 11 ditumpangkan padanya

12 Gambar. 8. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 99 (x) ditumpangkan padanya, kita menggunakan deret Fourier yang dihasilkan untuk mencari jumlah dua deret bilangan. Mari kita masukkan x = π/2 ke dalam (8). Maka 2() +... = π 2, atau = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Kita dengan mudah menemukan jumlah dari deret Leibniz yang terkenal. Masukkan x = π/3 ke dalam (8), kita temukan () +... = π 2 3, atau (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 CONTOH 3. Mari kita menggambar sebuah grafik, mencari deret Fourier dari fungsi f(x) = sin x, dengan asumsi mempunyai periode 2π, dan 1 menghitung jumlah deret bilangan 4n 2 1. Penyelesaian. Grafik fungsi f(x) ditunjukkan pada Gambar. 9. Jelaslah, f(x) = sin x adalah fungsi genap kontinu dengan periode π. Tetapi 2π juga merupakan periode dari fungsi f(x). Beras. 9. Grafik fungsi f(x) Mari kita hitung koefisien Fourier. Semua b n = karena fungsinya genap. Dengan menggunakan rumus trigonometri, kita menghitung an untuk n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 jika n = 2k, = π n 2 1 jika n = 2k

14 Perhitungan ini tidak memungkinkan kita mencari koefisien a 1, karena pada n = 1 penyebutnya menjadi nol. Oleh karena itu, kita menghitung koefisien a 1 secara langsung: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Karena f(x) terdiferensiasi kontinu pada (,) dan (, π) dan di titik kπ, (k adalah bilangan bulat), terdapat limit berhingga (5) dan (6), maka deret Fourier dari fungsi tersebut konvergen padanya di setiap titik: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Gambar tersebut menunjukkan sifat pendekatan fungsi f(x) dengan jumlah parsial deret Fourier.. (9) Gambar. 1. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S (x) 14 ditumpangkan padanya

15 Gambar. 11. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 1 (x) ditumpangkan padanya. 12. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 2 (x) yang ditumpangkan padanya. 13. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 99 (x) 15 ditumpangkan padanya

16 1 Hitung jumlah deret bilangan. Untuk melakukan ini, masukkan 4n 2 1 ke dalam (9) x =. Maka cosnx = 1 untuk semua n = 1, 2,... dan Oleh karena itu, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. CONTOH 4. Mari kita buktikan bahwa jika suatu fungsi kontinu mulus sepotong-sepotong f(x) memenuhi syarat f(x π) = f(x) untuk semua x (yakni adalah π-periodik) , maka a 2n 1 = b 2n 1 = untuk semua n 1, dan sebaliknya, jika a 2n 1 = b 2n 1 = untuk semua n 1, maka f(x) adalah π-periodik. Larutan. Biarkan fungsi f(x) menjadi π-periodik. Mari kita hitung koefisien Fouriernya a 2n 1 dan b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) karena (2n 1)xdx. Pada integral pertama kita melakukan perubahan variabel x = t π: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Dengan menggunakan fakta bahwa cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t dan f(t π) = f(t), kita peroleh: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Hal serupa dibuktikan dengan b 2n 1 =. Sebaliknya, misalkan a 2n 1 = b 2n 1 =. Karena fungsi f(x) kontinu, maka berdasarkan teorema keterwakilan suatu fungsi di suatu titik berdasarkan deret Fouriernya, diperoleh Maka f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n dosa 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), artinya f(x) merupakan fungsi π-periodik. CONTOH 5. Mari kita buktikan bahwa jika fungsi mulus sepotong-sepotong f(x) memenuhi syarat f(x) = f(x) untuk semua x, maka a = dan a 2n = b 2n = untuk semua n 1, dan sebaliknya , jika a = a 2n = b 2n =, maka f(x π) = f(x) untuk semua x. Larutan. Misalkan fungsi f(x) memenuhi kondisi f(x π) = f(x). Mari kita hitung koefisien Fouriernya: 17

18 = 1 π (an = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Pada integral pertama kita akan mengubah variabel x = t π. Maka f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Dengan menggunakan fakta bahwa cos n(t π) = (1) n cosnt dan f(t π) = f(t), kita peroleh: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = jika n genap, = 2 π f(t) cos nt dt, jika n ganjil. π Hal serupa juga dibuktikan bahwa b 2n =. Sebaliknya, misalkan a = a 2n = b 2n =, untuk semua n 1. Karena fungsi f(x) kontinu, maka berdasarkan teorema keterwakilan suatu fungsi di suatu titik menurut deret Fouriernya, persamaan f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18

19 Maka = f(x π) = = = f(x). CONTOH 6. Mari kita pelajari cara memperluas fungsi integral f(x) pada interval [, π/2] ke interval [, π], sehingga deret Fouriernya berbentuk: a 2n 1 cos(2n 1) X. (1) Solusi. Biarkan grafik fungsi memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 14. Karena pada deret (1) a = a 2n = b 2n = untuk semua n, maka dari contoh 5 maka fungsi f(x) harus memenuhi persamaan f(x π) = f(x) untuk semua x . Pengamatan ini memberikan cara untuk memperluas fungsi f(x) ke interval [, /2]: f(x) = f(x+π), Gambar. 15. Dari kenyataan bahwa deret (1) hanya memuat cosinus, kita menyimpulkan bahwa fungsi perluasan f(x) harus genap (yaitu, grafiknya harus simetris terhadap sumbu Oy), Gambar.

20 Gambar. 14. Grafik fungsi f(x) Gambar. 15. Grafik kelanjutan fungsi f(x) pada interval [, /2] 2

21 Jadi, fungsi yang diperlukan memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 16. Gambar. 16. Grafik kelanjutan fungsi f(x) untuk interval [, π] Ringkasnya, kita simpulkan bahwa fungsi tersebut harus dilanjutkan sebagai berikut: f(x) = f(x), f(π x) = f (x), yaitu pada interval [π/2, π], grafik fungsi f(x) simetris terpusat terhadap titik (π/2,), dan pada interval [, π ], grafiknya simetris terhadap sumbu Oy. 21

22 GENERALISASI CONTOH 3 6 Misalkan l >. Mari kita pertimbangkan dua kondisi: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Secara geometri, kondisi (a) berarti grafik fungsi f(x) simetris terhadap garis vertikal x = l/2, dan kondisi (b) grafik f(x) adalah simetris terpusat terhadap titik (l/2;) pada sumbu absis. Maka pernyataan berikut ini benar: 1) jika fungsi f(x) genap dan syarat (a) terpenuhi, maka b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) jika fungsi f(x) genap dan kondisi (b) terpenuhi, maka b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) jika fungsi f(x) ganjil dan syarat (a) terpenuhi, maka a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) jika fungsi f(x) ganjil dan kondisi (b) terpenuhi, maka a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. MASALAH Dalam soal 1 7, gambarlah grafik dan tentukan deret Fourier untuk fungsi-fungsi tersebut, (dengan asumsi fungsi-fungsi tersebut mempunyai periode 2π: jika< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 jika /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Perluasan suatu fungsi yang diberikan pada interval [, π], hanya dalam sinus atau hanya dalam cosinus Misalkan fungsi f diberikan pada interval [, π]. Ingin memperluasnya dalam interval ini menjadi deret Fourier, pertama-tama kita perluas f ke dalam interval [, π] dengan cara apa pun, lalu gunakan rumus Fourier Euler. Kesewenang-wenangan dalam kelanjutan suatu fungsi mengarah pada fakta bahwa untuk fungsi yang sama f: [, π] R kita dapat memperoleh deret Fourier yang berbeda. Tetapi Anda dapat menggunakan kesewenang-wenangan ini untuk mendapatkan perluasan hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus: dalam kasus pertama cukup melanjutkan f dengan cara ganjil, dan yang kedua dengan cara genap. Algoritma penyelesaian 1. Lanjutkan fungsi ganjil (genap) ke (,), kemudian secara periodik dengan periode 2π meneruskan fungsi tersebut sepanjang seluruh sumbu. 2. Hitung koefisien Fourier. 3. Buatlah deret Fourier dari fungsi f(x). 4. Periksa kondisi konvergensi deret tersebut. 5. Tunjukkan fungsi dimana deret ini akan konvergen. CONTOH 7. Mari kita perluas fungsi f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Gambar. 17. Grafik fungsi yang diperluas Terlihat jelas bahwa fungsi f(x) mulus sebagian. Mari kita hitung koefisien Fourier: a n = untuk semua n karena fungsi f(x) ganjil. Jika n 1, maka b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, jika n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, jika n = 2k. π n 2 1 Jika n = 1 pada perhitungan sebelumnya, penyebutnya menjadi nol, sehingga koefisien b 1 dapat dihitung langsung - 25

26 tentu saja: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Mari kita buat deret Fourier dari fungsi f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Karena fungsi f (x) mulus sedikit demi sedikit, maka berdasarkan teorema konvergensi titik, deret Fourier dari fungsi f (x) konvergen ke jumlah: cosx jika π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Gambar. 18. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 1 (x) ditumpangkan padanya. 19. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 2 (x) 27 ditumpangkan padanya

28 Gambar. 2. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 3 (x) ditumpangkan padanya. Gambar 21 menunjukkan grafik fungsi f (x) dan jumlah parsialnya S 99 (x). Beras. 21. Grafik fungsi f (x) dengan grafik jumlah parsial S 99 (x) 28 ditumpangkan padanya

29 CONTOH 8. Mari kita perluas fungsi f(x) = e ax, a >, x [, π], menjadi deret Fourier hanya dalam cosinus. Larutan. Mari kita memperluas fungsinya secara merata ke (,) (yaitu, sehingga persamaan f(x) = f(x) berlaku untuk semua x (, π)), dan kemudian secara periodik dengan periode 2π sepanjang garis bilangan. Kami memperoleh fungsi f (x), grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 22. Fungsi f (x) pada titik Gambar. 22. Grafik fungsi diperluas f(x)x = kπ, k bilangan bulat, mempunyai kekusutan. Mari kita hitung koefisien Fourier: b n =, karena f(x) genap. Mengintegrasikan berdasarkan bagian kita mendapatkan 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Oleh karena itu, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Karena f (x) kontinu, maka menurut teorema konvergensi titik, deret Fouriernya konvergen ke f (x). Artinya untuk semua x [, π] kita mempunyai f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Gambar menunjukkan pendekatan bertahap dari jumlah parsial deret Fourier ke fungsi diskontinu tertentu. 3

31 Gambar. 23. Grafik fungsi f(x) dan S(x) Gambar. 24. Grafik fungsi f (x) dan S 1 (x) Gambar. 25. Grafik fungsi f (x) dan S 2 (x) Gambar. 26. Grafik fungsi f(x) dan S 3(x) 31

32 Gambar. 27. Grafik fungsi f(x) dan S 4(x) Gambar. 28. Grafik fungsi f (x) dan S 99 (x) SOAL 9. Perluas fungsi f (x) = cos x, x π menjadi deret Fourier yang hanya berkosinus. 1. Perluas fungsi f(x) = e ax, a >, x π, menjadi deret Fourier dalam sinus saja. 11. Perluas fungsi f(x) = x 2, x π menjadi deret Fourier dalam sinus saja. 12. Perluas fungsi f(x) = sin ax, x π menjadi deret Fourier yang hanya berkosinus. 13. Perluas fungsi f(x) = x sin x, x π menjadi deret Fourier dalam sinus saja. Jawaban 9. cosx = cosx. 1. e kapak = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Jika a bukan bilangan bulat, maka sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; jika a = 2m bilangan genap, maka sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; jika a = 2m 1 bilangan ganjil positif, maka sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Deret Fourier suatu fungsi dengan periode sembarang Misalkan fungsi f(x) diberikan pada interval [ l, l], l >. Dengan melakukan substitusi x = ly, y π, kita memperoleh fungsi g(y) = f(ly/π), yang didefinisikan dalam interval π [, π]. Fungsi ini g(y) sesuai dengan deret Fourier (formal) () ly f = g(y) a π 2 + (an cosny + b n sin ny), yang koefisiennya dicari menggunakan rumus Euler Fourier: an = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π Kembali ke variabel lama yaitu dengan asumsi pada rumus tertulis y = πx/ l, kita memperoleh fungsi f(x) deret trigonometri dengan bentuk yang sedikit dimodifikasi: di mana f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (an cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Rumus (11) (13) dikatakan mendefinisikan perluasan deret Fourier suatu fungsi dengan periode sembarang. CONTOH 9. Mari kita cari deret Fourier dari suatu fungsi yang ditentukan dalam interval (l, l) dengan ekspresi ( A, jika l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn =, jika n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Mari kita buat deret Fourier dari fungsi f (x) : f(x) A + B π (BA Karena cosπn = (1) n, maka n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l untuk n = 2k kita memperoleh b n = b 2k =, untuk n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(BA) π(2k 1).

36 Maka f(x) A + B (BA) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Menurut teorema konvergensi pointwise, deret Fourier dari fungsi f(x) konvergen ke jumlah A, jika l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Gambar. 29. Grafik fungsi f(x) dengan grafik harmonik S(x) = a 2 dan S 1 (x) = b 1 sinx ditumpangkan padanya. Agar lebih jelas, grafik tiga harmonik yang lebih tinggi S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l dan S 7 (x) = b 7 sin 7πx digeser vertikal ke atas l 37

38 Gambar. 3. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 99 (x) ditumpangkan padanya. 31. Fragmen Gambar. 3 dalam skala lain 38

39 SOAL Dalam soal, perluas fungsi yang ditunjukkan dalam interval tertentu ke dalam deret Fourier. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1, jika 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Bentuk kompleks deret Fourier Ekspansi f(x) = c n e inx, dimana c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., disebut bentuk kompleks deret Fourier. Suatu fungsi diperluas menjadi deret Fourier kompleks jika kondisi yang sama dipenuhi saat fungsi tersebut diperluas menjadi deret Fourier nyata. 4

41 CONTOH 1. Carilah deret Fourier dalam bentuk kompleks dari fungsi yang diberikan oleh rumus f(x) = e ax, pada interval [, π), dimana a adalah bilangan real. Larutan. Mari kita hitung koefisiennya: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Deret Fourier kompleks dari fungsi f berbentuk f(x) sinh aπ π n= (1) n a in einx. Mari kita pastikan bahwa fungsi f(x) mulus sedikit demi sedikit: pada interval (, π) fungsi tersebut terdiferensiasi kontinu, dan pada titik x = ±π terdapat limit berhingga (5), (6) lim h + ea (+h) = eaπ, lim h + ea(π h) = eaπ, ea(+h) ea(+) lim h + h = ae aπ ea(π h) ea(π), lim h + h = ae aπ. Oleh karena itu, fungsi f(x) dapat diwakili oleh deret Fourier sh aπ π n= (1) n a dalam einx, yang konvergen dengan jumlah: ( e S(x) = ax jika π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 CONTOH 11. Tentukan deret Fourier dalam bentuk kompleks dan real dari fungsi yang diberikan dengan rumus f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, dimana a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Ingatlah bahwa jumlah barisan geometri tak hingga dengan penyebut q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Sekarang mari kita cari deret Fourier dalam bentuk nyata. Caranya, kita kelompokkan suku-suku dengan bilangan n dan n untuk n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Karena c = 1, maka 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = an cosnx. 2 Ini adalah deret Fourier dalam bentuk nyata dari fungsi f(x). Jadi, tanpa menghitung satu integral pun, kami menemukan deret Fourier dari fungsi tersebut. Pada saat yang sama, kami menghitung integral yang sulit tergantung pada parameter cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (za a)(za 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Mari kita perluas masing-masing pecahan sederhana dengan menggunakan rumus barisan geometri: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Hal ini mungkin karena az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, atau, lebih singkatnya, c n = 1 2i a n sgnn. Dengan demikian, deret Fourier dalam bentuk kompleks telah ditemukan. Dengan mengelompokkan suku-suku dengan bilangan n dan n kita memperoleh deret Fourier dari fungsi tersebut dalam bentuk real: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n = +) = c n e inx = an sin nx. Sekali lagi kita dapat menghitung integral kompleks berikut: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 SOAL 24. Dengan menggunakan (15), hitung integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 untuk real a, a > Menggunakan (16), hitung integral sin x sin nxdx untuk real a, a > a cosx + a2 Dalam soal, temukan deret Fourier dalam bentuk kompleks untuk fungsi. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorema Kesetaraan Lyapunov (Persamaan Lyapunov). Misalkan fungsi f: [, π] R sedemikian sehingga f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Oleh karena itu, persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) berbentuk: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Dari persamaan terakhir untuk a π kita temukan sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Setting a = π 2, kita peroleh sin2 na = 1 untuk n = 2k 1 dan sin 2 na = untuk n = 2k. Oleh karena itu, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. CONTOH 14. Mari kita tulis persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) = x cosx, x [, π], dan gunakan persamaan tersebut untuk mencari jumlah bilangan tersebut deret (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Solusi. Perhitungan langsung menghasilkan = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Karena f(x) merupakan fungsi genap, maka untuk semua n kita mempunyai b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, jika n = 2k, 2, jika n = 2k + 1. Koefisien a 1 harus dihitung secara terpisah, karena pada rumus umum pada n = 1 penyebut pecahan menjadi nol. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Jadi, persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) berbentuk: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, dari situ kita mencari jumlah deret bilangan (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π SOAL 32. Tulis persamaan Lyapunov untuk fungsi ( x f(x) = 2 πx, jika x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Jawaban + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, dimana c n adalah koefisien Fourier 2π dari fungsi f(x), dan d n adalah fungsi koefisien Fourier g(x). 6. Diferensiasi Deret Fourier Misalkan f: R R merupakan fungsi periodik 2π yang terdiferensiasi kontinyu. Deret Fouriernya berbentuk: f(x) = a 2 + (an cos nx + b n sin nx). Turunan f (x) dari fungsi ini akan menjadi fungsi kontinu dan 2π-periodik, sehingga kita dapat menulis deret Fourier formal: f (x) a 2 + (an cos nx + b n sin nx), di mana a, a n , b n, n = 1 , 2,... Koefisien Fourier dari fungsi f (x). 51

52 Teorema (tentang diferensiasi suku demi suku deret Fourier). Berdasarkan asumsi di atas, persamaan a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 adalah valid CONTOH 15. Misalkan fungsi mulus sepotong-sepotong f(x) kontinu pada interval [, π]. Mari kita buktikan bahwa jika kondisi f(x)dx = terpenuhi, maka pertidaksamaan 2 dx 2 dx, yang disebut pertidaksamaan Steklov, berlaku, dan kita akan memastikan bahwa persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi berbentuk f(x) = Sebuah cosx. Dengan kata lain, pertidaksamaan Steklov memberikan kondisi di mana kecilnya turunan (dalam kuadrat rata-rata) menyiratkan kecilnya fungsi tersebut (dalam kuadrat rata-rata). Larutan. Mari kita memperluas fungsi f(x) ke interval [, ] secara genap. Mari kita nyatakan fungsi yang diperluas dengan simbol yang sama f(x). Maka fungsi yang diperluas akan kontinu dan mulus sedikit demi sedikit pada interval [, π]. Karena fungsi f(x) kontinu, maka f 2 (x) kontinu pada interval dan 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Karena fungsi lanjutannya genap, maka b n =, a = dengan syarat. Akibatnya, persamaan Lyapunov berbentuk 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Mari kita pastikan bahwa untuk f (x) kesimpulan teorema diferensiasi suku demi suku deret Fourier terpenuhi, yaitu a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Biarkan turunan f (x) mengalami kekusutan di titik x 1, x 2,..., x N pada interval [, π]. Mari kita nyatakan x =, x N+1 = π. Mari kita bagi interval integrasi [, π] menjadi N +1 interval (x, x 1),..., (x N, x N+1), yang masing-masing f(x) terdiferensiasi kontinyu. Kemudian, dengan menggunakan sifat aditif dari integral tersebut, dan kemudian melakukan integrasi per bagian, kita memperoleh: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Persamaan terakhir terjadi karena fungsi f(x) dilanjutkan secara genap, artinya f(π) = f(). Demikian pula kita memperoleh a n = nb n. Kita telah menunjukkan bahwa teorema diferensiasi suku demi suku deret Fourier untuk fungsi periodik 2π mulus sedikit demi sedikit yang turunannya pada interval [, π] mengalami diskontinuitas jenis pertama adalah benar. Artinya f (x) a 2 + (an cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, karena a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Sejak 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Karena setiap suku pada deret (18) lebih besar atau sama dengan suku yang bersesuaian pada deret (17), maka 2 dx 2 dx. Mengingat f(x) merupakan kelanjutan genap dari fungsi aslinya, kita mempunyai 2 dx 2 dx. Yang membuktikan kesetaraan Steklov. Sekarang kita periksa fungsi persamaan mana yang terdapat dalam pertidaksamaan Steklov. Jika untuk paling sedikit satu n 2 koefisien an berbeda dari nol, maka a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 SOAL 37. Misalkan fungsi halus sepotong-sepotong f(x) kontinu pada interval [, π]. Buktikan bahwa jika kondisi f() = f(π) = terpenuhi, pertidaksamaan 2 dx 2 dx, disebut juga pertidaksamaan Steklov, berlaku, dan pastikan persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi berbentuk f(x) = B dosa x. 38. Misalkan fungsi f kontinu pada interval [, π] dan di dalamnya terdapat (kecuali mungkin sejumlah titik berhingga) turunan f (x) yang dapat diintegralkan persegi. Buktikan bahwa jika kondisi f() = f(π) dan f(x) dx = terpenuhi, maka pertidaksamaan 2 dx 2 dx, yang disebut pertidaksamaan Wirtinger, berlaku, dan persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi-fungsi berbentuk f (x ) = A cosx + B dosa x. 56

57 7. Penerapan deret Fourier untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial Ketika mempelajari suatu objek nyata (fenomena alam, proses produksi, sistem kendali, dll.), ada dua faktor yang signifikan: tingkat akumulasi pengetahuan tentang objek yang diteliti dan derajatnya. pengembangan peralatan matematika. Pada tahap penelitian ilmiah saat ini, rantai berikut telah dikembangkan: sebuah fenomena model fisik model matematika. Rumusan fisik (model) masalahnya adalah sebagai berikut: kondisi perkembangan proses dan faktor-faktor utama yang mempengaruhinya diidentifikasi. Rumusan matematis (model) terdiri dari uraian faktor dan kondisi yang dipilih dalam rumusan fisis dalam bentuk sistem persamaan (aljabar, diferensial, integral, dan sebagainya). Suatu permasalahan disebut well-pose jika dalam suatu ruang fungsional tertentu terdapat solusi terhadap permasalahan tersebut, secara unik dan kontinyu bergantung pada kondisi awal dan kondisi batas. Model matematika tidak identik dengan objek yang ditinjau, tetapi merupakan deskripsi perkiraannya.Derivasi persamaan getaran transversal kecil gratis dari sebuah string.Kita akan mengikuti buku teks. Biarkan ujung-ujung tali diikat dan tali itu sendiri diregangkan dengan kencang. Jika senar digerakkan dari posisi setimbangnya (misalnya ditarik ke belakang atau dipukul), maka senar tersebut akan mulai bergerak.

58 ragu-ragu. Kita asumsikan bahwa semua titik pada tali bergerak tegak lurus terhadap posisi kesetimbangannya (getaran transversal), dan pada setiap momen waktu tali terletak pada bidang yang sama. Mari kita ambil sistem koordinat persegi panjang xou pada bidang ini. Maka jika pada saat awal t = tali terletak sepanjang sumbu Ox, maka u berarti simpangan tali dari posisi setimbang, yaitu posisi titik tali dengan absis x di momen waktu t yang berubah-ubah sesuai dengan nilai fungsi u(x, t). Untuk setiap nilai tetap t, grafik fungsi u(x, t) mewakili bentuk tali yang bergetar pada waktu t (Gbr. 32). Pada nilai konstan x, fungsi u(x, t) memberikan hukum gerak suatu titik dengan absis x sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu Ou, turunan u t adalah kecepatan gerakan ini, dan turunan keduanya adalah percepatan 2 u t 2. Beras. 32. Gaya yang diterapkan pada bagian string yang sangat kecil Mari kita buat persamaan yang harus dipenuhi oleh fungsi u(x, t). Untuk melakukan ini, kami akan membuat beberapa asumsi yang lebih sederhana. Kami akan menganggap string itu benar-benar fleksibel - 58

59 koy, yaitu, kita berasumsi bahwa tali tidak menahan tekukan; ini berarti bahwa tegangan-tegangan yang timbul pada dawai selalu diarahkan secara tangensial terhadap profil sesaatnya. Tali diasumsikan elastis dan tunduk pada hukum Hooke; Artinya perubahan besar gaya tarik sebanding dengan perubahan panjang tali. Mari kita asumsikan bahwa string tersebut homogen; ini berarti kerapatan liniernya ρ adalah konstan. Kita mengabaikan kekuatan eksternal. Ini berarti kita sedang mempertimbangkan getaran bebas. Kita hanya akan mempelajari getaran kecil pada senar. Jika kita nyatakan dengan ϕ(x, t) sudut antara sumbu absis dan garis singgung tali di titik dengan absis x pada waktu t, maka syarat osilasi kecil adalah nilai ϕ 2 (x, t) dapat diabaikan dibandingkan dengan ϕ (x, t), yaitu ϕ 2. Karena sudut ϕ kecil, maka cosϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ u oleh karena itu, nilai (ux x,) 2 juga dapat diabaikan. Oleh karena itu, selama proses getaran kita dapat mengabaikan perubahan panjang setiap bagian dawai. Memang benar, panjang seutas tali M 1 M 2, diproyeksikan ke dalam interval sumbu absis, di mana x 2 = x 1 + x, sama dengan l = x 2 x () 2 u dx x. x Mari kita tunjukkan bahwa, berdasarkan asumsi kita, besarnya gaya tarik T akan konstan di sepanjang tali. Untuk melakukan ini, ambil bagian mana pun dari string M 1 M 2 (Gbr. 32) pada waktu t dan ganti aksi bagian yang dibuang - 59

60 oleh gaya tarik T 1 dan T 2. Karena menurut kondisi, semua titik tali bergerak sejajar sumbu Ou dan tidak ada gaya luar, maka jumlah proyeksi gaya tarik pada sumbu Ox harus sama dengan nol: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Jadi, karena kecilnya sudut ϕ 1 = ϕ(x 1, t) dan ϕ 2 = ϕ(x 2, t), kita simpulkan bahwa T 1 = T 2. Mari kita nyatakan arti umum T 1 = T 2 sampai T. Sekarang mari kita hitung jumlah proyeksi F u dari gaya yang sama pada sumbu Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Karena untuk sudut kecil sin ϕ(x, t) tan ϕ(x, t), dan tan ϕ(x, t) u(x, t)/ x, maka persamaan (2) dapat ditulis ulang menjadi F u T (tg ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Karena titik x 1 dipilih secara sembarang, maka F u T 2 u x2(x, t) x. Setelah semua gaya yang bekerja pada bagian M 1 M 2 ditemukan, kita menerapkan hukum kedua Newton, yang menyatakan bahwa hasil kali massa dan percepatan sama dengan jumlah semua gaya yang bekerja. Massa seutas tali M 1 M 2 sama dengan m = ρ l ρ x, dan percepatannya sama dengan 2 u(x, t). Persamaan t 2 Newton berbentuk: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, dimana α 2 = T ρ adalah bilangan positif konstan. 6

61 Dikurangi dengan x, kita mendapatkan 2 ut (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Hasilnya, kami memperoleh persamaan diferensial parsial orde kedua homogen linier dengan koefisien konstan. Ini disebut persamaan getaran dawai atau persamaan gelombang satu dimensi. Persamaan (21) pada hakikatnya merupakan reformulasi hukum Newton dan menggambarkan gerak tali. Namun dalam rumusan masalah fisika terdapat persyaratan bahwa ujung-ujung tali harus tetap dan posisi tali pada suatu titik waktu diketahui. Kondisi ini akan kita tuliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut: a) kita asumsikan bahwa ujung-ujung tali berada di titik x = dan x = l, yaitu kita asumsikan bahwa untuk semua t relasi u(, t) =, u (aku, t ) = ; (22) b) kita asumsikan bahwa pada waktu t = posisi tali berimpit dengan grafik fungsi f(x), yaitu kita asumsikan bahwa untuk semua x [, l] persamaan u(x,) = f( x); (23) c) kita asumsikan bahwa pada saat t = titik tali dengan absis x diberikan kecepatan g(x), yaitu kita asumsikan bahwa u (x,) = g(x). (24) t Relasi (22) disebut kondisi batas, dan relasi (23) dan (24) disebut kondisi awal. Model matematika garis lintang kecil bebas 61

62 osilasi tali sehingga perlu diselesaikan persamaan (21) dengan kondisi batas (22) dan kondisi awal (23) dan (24) Menyelesaikan persamaan osilasi tali transversal kecil bebas dengan metode Fourier Menyelesaikan persamaan (21) pada wilayah x aku,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Substitusikan (25) ke dalam (21), kita peroleh: X T = α 2 X T, (26) atau T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Mereka mengatakan telah terjadi pemisahan variabel. Karena x dan t tidak bergantung satu sama lain, ruas kiri pada (27) tidak bergantung pada x, dan ruas kanan tidak bergantung pada t, dan nilai total relasi tersebut adalah 62

63 harus berupa konstanta, yang dilambangkan dengan λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Dari sini kita mendapatkan dua yang biasa persamaan diferensial: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Dalam hal ini, kondisi batas (22) akan berbentuk X()T(t) = dan X(l)T(t) =. Karena mereka harus dipenuhi untuk semua t, t >, maka X() = X(l) =. (3) Mari kita cari solusi persamaan (28) yang memenuhi kondisi batas (3). Mari kita pertimbangkan tiga kasus. Kasus 1: λ>. Mari kita nyatakan λ = β 2. Persamaan (28) berbentuk X (x) β 2 X(x) =. Persamaan karakteristiknya k 2 β 2 = mempunyai akar k = ±β. Karena itu, keputusan bersama persamaan (28) berbentuk X(x) = C e βx + De βx. Kita harus memilih konstanta C dan D agar syarat batas (3) terpenuhi, yaitu X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Sejak β, sistem persamaan ini mempunyai solusi unik C = D =. Oleh karena itu, X(x) dan 63

64 kamu(x, t). Jadi, dalam kasus 1 kita telah memperoleh solusi sepele, yang tidak akan kita pertimbangkan lebih lanjut. Kasus 2: λ =. Maka persamaan (28) berbentuk X (x) = dan penyelesaiannya diberikan dengan rumus: X(x) = C x+d. Substitusikan solusi ini ke kondisi batas (3), kita peroleh X() = D = dan X(l) = Cl =, yang berarti C = D =. Oleh karena itu, X(x) dan u(x, t), dan kita kembali mempunyai solusi sepele. Kasus 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Berikut ini kita hanya akan memberikan n nilai positif n = 1, 2,..., karena untuk n negatif kita akan memperoleh solusi bertipe sama (nπ) Besaran λ n = disebut nilai eigen, dan fungsinya X n (x) = C n sin πnx dengan fungsi eigen persamaan diferensial (28) dengan kondisi batas (3). Sekarang mari kita selesaikan persamaan (29). Untuk itu, persamaan karakteristiknya berbentuk k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Karena kita menemukan di atas bahwa solusi nontrivial X(x) dari persamaan (28) hanya ada untuk λ negatif yang sama dengan λ = n2 π 2, maka λ inilah yang akan kita pertimbangkan lebih lanjut. Akar-akar persamaan (32) adalah k = ±iα λ, dan penyelesaian persamaan (29) berbentuk: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l di mana A n dan B n adalah konstanta sembarang. Mengganti rumus (31) dan (33) ke dalam (25), kita menemukan solusi parsial persamaan (21) yang memenuhi syarat batas (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n dosa πnx. l l l Memasukkan faktor C n ke dalam tanda kurung dan memasukkan notasi C n A n = b n dan B n C n = a n, kita tulis u n (X, T) dalam bentuk (u n (x, t) = an cos πnαt + b n dosa πnαt) dosa πnx. (34) aku aku aku 65

66 Getaran dawai yang berhubungan dengan solusi u n (x, t) disebut getaran alami dawai. Karena persamaan (21) dan syarat batas (22) linier dan homogen, maka kombinasi linier dari solusi (34) (u(x, t) = an cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l akan menjadi solusi ke persamaan (21 ), memenuhi kondisi batas (22) dengan pilihan koefisien khusus a n dan b n, memastikan konvergensi seragam dari deret tersebut. Sekarang mari kita pilih koefisien a n dan b n dari solusi (35) sehingga memenuhi tidak hanya kondisi batas, tetapi juga kondisi awal (23) dan (24), di mana f(x), g(x) adalah fungsi yang diberikan (dan f() = f (l) = g() = g(l) =). Kami berasumsi bahwa fungsi f(x) dan g(x) memenuhi kondisi ekspansi dalam deret Fourier. Substitusikan nilai t = ke dalam (35), kita peroleh u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Membedakan deret (35) terhadap t dan mensubstitusi t =, diperoleh ut (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), dan ini merupakan perluasan dari fungsi f(x) dan g(x) menjadi deret Fourier. Oleh karena itu, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Dengan mensubstitusi ekspresi koefisien a n dan b n ke dalam deret (35), kita memperoleh solusi persamaan (21) yang memenuhi kondisi batas (22) dan kondisi awal (23) dan (24). Dengan demikian, kami memecahkan masalah getaran transversal kecil bebas dari sebuah tali. Mari kita cari tahu arti fisis dari fungsi eigen u n (x, t) dari masalah osilasi bebas suatu string, yang ditentukan oleh rumus (34). Mari kita tulis ulang dalam bentuk di mana u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n . l a n Dari rumus (37) jelas bahwa semua titik dawai melakukan osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama ω n = πnα dan fase πnα δ n. Amplitudo getaran bergantung pada l l absis x titik dawai dan sama dengan α n sin πnx. Dengan osilasi seperti itu, semua titik tali secara bersamaan mencapai deviasi maksimumnya dalam satu arah atau lainnya dan sekaligus melewati posisi setimbang. Osilasi seperti ini disebut gelombang berdiri. Gelombang berdiri mempunyai n + 1 titik tetap, yang diberikan oleh akar-akar persamaan sin πnx = pada interval [, l]. Titik tetap disebut titik gelombang berdiri. Di tengah-tengah antara node terdapat titik-titik di mana deviasi mencapai maksimum; titik-titik seperti itu disebut antinode. Setiap string dapat memiliki getarannya sendiri dengan frekuensi yang ditentukan secara ketat ω n = πnα, n = 1, 2,.... Frekuensi ini disebut frekuensi natural string. Nada l terendah yang dapat dihasilkan sebuah senar ditentukan oleh 67

68 frekuensi natural rendah ω 1 = π T dan disebut nada dasar dawai. Nada-nada sisa yang bersesuaian dengan frekuensi l ρ ω n, n = 2, 3,..., disebut nada tambahan atau harmonik. Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan profil tipikal sebuah senar yang menghasilkan nada dasar (Gbr. 33), nada atas pertama (Gbr. 34) dan nada atas kedua (Gbr. 35). Beras. 33. Profil dawai penghasil nada utama Gambar. 34. Profil dawai yang menghasilkan nada atas pertama Gambar. 35. Profil senar yang mengeluarkan nada tambahan kedua Jika senar melakukan getaran bebas yang ditentukan oleh kondisi awal, maka fungsi u(x, t) direpresentasikan, seperti dapat dilihat dari rumus (35), sebagai jumlah dari harmonik individu . Jadi fluktuasi sewenang-wenang 68

69 senar merupakan superposisi gelombang berdiri. Dalam hal ini, sifat bunyi senar (nada, intensitas bunyi, timbre) akan bergantung pada hubungan antara amplitudo harmonik individu. Kekuatan, nada, dan timbre bunyi. Senar yang bergetar menggairahkan getaran udara, yang dirasakan oleh telinga manusia sebagai suara yang dipancarkan oleh senar. Kekuatan bunyi dicirikan oleh energi atau amplitudo getaran: semakin besar energinya, semakin besar pula kekuatan bunyinya. Nada suatu bunyi ditentukan oleh frekuensi atau periode getarannya: semakin tinggi frekuensinya, semakin tinggi pula bunyinya. Timbre suara ditentukan oleh adanya nada tambahan, distribusi energi di antara harmonik, yaitu metode eksitasi getaran. Amplitudo nada tambahan, secara umum, lebih kecil dari amplitudo nada dasar, dan fase nada tambahan bisa berubah-ubah. Telinga kita tidak peka terhadap fase getaran. Bandingkan, misalnya, dua kurva pada Gambar. 36, dipinjam dari. Ini adalah rekaman suara dengan nada dasar yang sama yang diambil dari klarinet (a) dan piano (b). Tidak ada suara yang merupakan gelombang sinus sederhana. Frekuensi dasar suara dalam kedua kasus adalah sama, sehingga menghasilkan nada yang sama. Namun pola kurvanya berbeda karena nada tambahan yang berbeda ditumpangkan pada nada utama. Dalam arti tertentu, gambar-gambar ini menunjukkan apa itu timbre. 69

Persamaan tipe hiperbolik. Getaran string tak hingga dan semi tak hingga. Metode Fourier Metode Fourier Gelombang Berdiri 4 Kuliah 4.1 Persamaan tipe hiperbolik. Osilasi tak terbatas dan semi tak terbatas

UNIVERSITAS PENERBANGAN TEKNIK NEGARA MOSKOW V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. MANUAL MATEMATIKA Shurinov untuk mempelajari disiplin dan tugas ujian

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN Lembaga Pendidikan Anggaran Negara Federal RUSIA Pendidikan Profesi Tinggi MATI Universitas Teknologi Negeri Rusia dinamai K. E. Tsiolkovsky

Kementerian Pendidikan Republik Belarus Topik Universitas Teknologi Negeri Vitebsk. Departemen Matematika Teori dan Terapan "Baris". dikembangkan oleh Assoc. EB. Dunina. Dasar

Badan Federal untuk Pendidikan Institusi Pendidikan Negara Federal Pendidikan Profesi Tinggi UNIVERSITAS FEDERAL SELATAN R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodologi

Topik Deret Fourier Pelajaran Praktis Deret Fourier untuk sistem fungsi ortogonal Ruang fungsi kontinu sepotong-sepotong Deret Fourier Umum 3 Pertidaksamaan Bessel dan konvergensi deret Fourier Ruang

TEORI SERI Teori deret adalah komponen paling penting dalam analisis matematis dan mempunyai banyak penerapan teoritis dan praktis. Ada seri numerik dan fungsional.

DAFTAR ISI DERI FOURIER 4 Konsep fungsi periodik 4 Polinomial trigonometri 6 3 Sistem fungsi ortogonal 4 Deret Fourier trigonometri 3 5 Deret Fourier untuk fungsi genap dan ganjil 6 6 Ekspansi

Badan Federal untuk Pendidikan Universitas Negeri Geodesi dan Kartografi Moskow (MIIGAiK) PETUNJUK DAN TUGAS METODIS UNTUK KERJA MANDIRI dalam mata kuliah MATEMATIKA TINGGI Numerik

Kuliah 4. Analisis Harmonisa. Fungsi periodik deret Fourier. Analisis Harmonik Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi, kita sering kali harus berhadapan dengan fenomena periodik, yaitu fenomena yang berulang terus menerus

TOPIK V KULIAH SERI FOURIER 6 Perluasan fungsi periodik menjadi deret Fourier Banyak proses yang terjadi di alam dan teknologi mempunyai sifat berulang pada interval waktu tertentu.

PETUNJUK METODOLOGI TUGAS PERHITUNGAN PADA KULIAH MATEMATIKA TINGGI “Seri PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA RANGKA INTEGRASI GANDA” BAGIAN TOPIK SERI Daftar Isi Deret Nomor Konvergensi dan Divergensi

6 Deret Fourier 6 Sistem fungsi ortogonal Deret Fourier dalam sistem fungsi ortogonal Fungsi ϕ () dan ψ (), terdefinisi dan dapat diintegralkan pada interval [, ], disebut ortogonal pada interval ini jika

INTEGRAL PASTI. Jumlah integral dan integral tertentu Misalkan suatu fungsi y = f() diberikan, terdefinisi pada interval [, b], di mana< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Deret pangkat 5 Deret pangkat : definisi, daerah konvergensi Deret fungsional berbentuk (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) dimana, a, a, K, a ,k adalah beberapa bilangan yang disebut bilangan deret pangkat

UNIVERSITAS NEGERI BELARUSIA FAKULTAS MATEMATIKA TERAPAN DAN ILMU INFORMASI Jurusan Matematika Tinggi Panduan pendidikan dan metodologi bagi mahasiswa Fakultas Matematika Terapan dan Informatika

Mari kita lihat beberapa contoh. Contoh. Mari kita cari jumlah barisan geometri tak hingga Rumus suku umum deret ini adalah a+aq+...+aq n +... (a). sebuah = aq n. Mari kita hitung jumlah parsialnya. Jika q = maka

Tugas 1.1. Temukan di daerah yang ditunjukkan solusi nol non-identik y = y(x) dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi batas tertentu (masalah Sturm-Liouville) Solusi: Pertimbangkan

Analisis matematis Topik: Integral pasti Integral tak wajar Dosen E.G. Pakhomova 2017 BAB II. Integral pasti dan penerapannya 1. Integral pasti dan sifat-sifatnya 1. Soal,

Kuliah 8 4 Masalah Sturm-Liouville Pertimbangkan masalah nilai batas awal untuk persamaan diferensial parsial orde kedua yang menggambarkan getaran transversal kecil dari sebuah string String dianggap

Penjelasan teks: tanda berbunyi “ekuivalen” artinya persamaan di sebelah kanan tanda dan di sebelah kiri tanda mempunyai himpunan penyelesaian yang sama, tanda IR melambangkan himpunan bilangan real, tanda IN

82 4. Bagian 4. Seri Fungsional dan Daya 4.2. Pelajaran 3 4.2. Pelajaran 3 4.2.. Perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor DEFINISI 4.2.. Misalkan fungsi y = f(x) terdiferensiasi tak terhingga pada lingkungan tertentu

Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia LEMBAGA PENDIDIKAN ANGGARAN NEGARA FEDERAL LEMBAGA PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI “UNVERSITAS TEKNIK NEGARA SAMARA” Departemen Matematika Terapan

Badan Federal untuk Transportasi Kereta Api Universitas Transportasi Negeri Ural Departemen Matematika Tinggi dan Terapan N. P. Chuev Elemen analisis harmonik Metodologis

Kuliah 3 Deret Taylor dan Maclaurin Penerapan deret pangkat Perluasan fungsi menjadi deret pangkat Deret Taylor dan Maclaurin Untuk penerapannya, penting untuk dapat memperluas suatu fungsi tertentu menjadi deret pangkat, fungsi-fungsi tersebut

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Kuliah Transformasi Fourier Konsep transformasi integral Metode transformasi integral adalah salah satu metode fisika matematika yang ampuh dan merupakan solusi yang ampuh

Integrasi suatu fungsi (menurut Riemann) dan integral tertentu Contoh penyelesaian masalah 1. Konstanta fungsi f(x) = C dapat diintegralkan pada , karena untuk sembarang partisi dan sembarang pilihan titik ξ i integralnya

Saya tahun, tugas. Buktikan bahwa fungsi Riemann, jika 0, m m R(), jika, m, m 0, dan pecahannya tidak dapat direduksi, 0, jika irasional, diskontinu di setiap titik rasional dan kontinu di setiap titik irasional. Larutan.

1 2 Daftar Isi 1 Deret Fourier 5 1.1 Deret Fourier Trigonometri.............. 5 1.2 Hanya Sin & cos.................. .. 7 1.3 Deret Fourier dalam bentuk kompleks........... 11 1.4 f(x) = c k?.................. .

PERSAMAAN FISIKA MATEMATIKA 1. Persamaan diferensial parsial Persamaan yang menghubungkan fungsi yang belum diketahui u (x 1, x 2,..., xn), variabel bebas x 1, x 2,..., x n dan parsial

Kuliah 4. Persamaan gelombang 1. Penurunan persamaan getaran tali 2. Persamaan getaran memanjang batang 3. Kondisi awal, kondisi batas 4. Rumusan masalah 1. Penurunan persamaan getaran tali

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika Pelajaran 6 Pemisahan variabel dalam koordinat kartesius 1.1. (Soal 1.49) Bidang z = bermuatan dengan massa jenis σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), dimana σ, α, β adalah konstanta.

Modul Topik Barisan dan Deret Fungsional Sifat-sifat Konvergensi Seragam Barisan dan Deret Seri Daya Kuliah Pengertian Barisan dan Deret Fungsional Seragam

Persamaan tipe parabola. Metode pemisahan variabel Nilai batas homogen masalah Sumber fungsi Persamaan kalor tidak homogen 7 Kuliah 7.1 Persamaan tipe parabola. Metode pemisahan

Kuliah Deret bilangan Tanda-tanda konvergensi Deret bilangan Tanda-tanda konvergensi Ekspresi barisan bilangan tak terhingga + + + + yang terdiri dari suku-suku tak terhingga disebut deret bilangan Bilangan,

35 7 Deret Fourier Trigonometri Deret Fourier untuk fungsi periodik dengan periode T. Misalkan f(x) adalah fungsi periodik kontinu sepotong-sepotong dengan periode T. Perhatikan sistem dasar trigonometri

Fakultas Metalurgi Departemen Matematika Tinggi PERINGKAT Instruksi metodologis Novokuznetsk 5 Badan Federal untuk Pendidikan Institusi pendidikan negara bagian pendidikan profesional tinggi

Departemen Matematika dan Ilmu Komputer Elemen Pendidikan Matematika Tinggi dan Kompleks metodologi untuk siswa pendidikan kejuruan menengah yang belajar menggunakan teknologi jarak jauh Modul Kalkulus diferensial Disusun oleh:

9. Integral antiturunan dan tak tentu 9.. Misalkan fungsi f() diberikan pada interval I R. Fungsi F() disebut antiturunan dari fungsi f() pada interval I jika F() = f() untuk sembarang I, dan antiturunan

DIFERENSIASI FUNGSI SATU VARIABEL Konsep turunan, arti geometri dan fisisnya Soal-soal yang mengarah pada konsep turunan Penentuan Garis Singgung S pada garis y f (x) di titik A x; F (

Persamaan tipe hiperbolik. Getaran string tak hingga dan semi tak hingga. Metode D'Alembert String tak terbatas. Rumus D'Alembert String semi tak hingga 3 Kuliah 3.1 Persamaan tipe hiperbolik.

Pendahuluan Isi. Konsep dasar.... 4 1. Persamaan integral Volterra... 5 Pilihan PR.... 8 2. Penyelesaian persamaan integral Volterra. 10 Pilihan pekerjaan rumah.... 11

PERINGKAT. Seri angka. Definisi dasar Misalkan barisan bilangan tak terhingga Diberikan Ekspresi (jumlah tak terhingga) a, a 2,..., an,... a i = a + a 2 + + an +... () i= disebut serangkaian angka. Angka

8. Deret pangkat 8.. Deret fungsional berbentuk c n (z) n, (8.) n= dimana c n adalah barisan bilangan, R adalah bilangan tetap, dan z R disebut deret pangkat dengan koefisien c n . Dengan melakukan perubahan variabel

~~ Integral tak tentu dan pasti Konsep integral antiturunan dan integral tak tentu. Definisi: Suatu fungsi F disebut antiturunan dari suatu fungsi f jika fungsi-fungsi tersebut mempunyai hubungan sebagai berikut

3724 GANDA SERI DAN INTEGRA KURVILINEAR 1 PROGRAM KERJA BAGIAN “GANDA SERI DAN INTEGRAL KURVILINEAR” 11 Deret bilangan Konsep deret bilangan Sifat-sifat deret bilangan Tanda-tanda konvergensi yang diperlukan

MAKAN. ANALISIS MATEMATIKA BIJIH. SERI NUMERIK DAN FUNGSIONAL NOVOSIBIRSK 200 2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN RUSIA GOU VPO "UNVERSITAS PEDAGOGIS NEGARA NOVOSIBIRSK" E.M. ANALISIS MATEMATIKA Rudoy.

KULIAH N 7. Deret pangkat dan deret Taylor.. Deret pangkat..... Deret Taylor.... 4. Perluasan beberapa fungsi dasar menjadi deret Taylor dan Maclaurin.... 5 4. Penerapan deret pangkat... .7 .Kekuatan

PERSAMAAN KOTAK Daftar Isi PERSAMAAN KOTAK... 4. dan mempelajari persamaan kuadrat... 4.. Persamaan kuadrat dengan koefisien numerik... 4.. Memecahkan dan mempelajari persamaan kuadrat untuk

BAGIAN MASALAH DENGAN PARAMETER Komentar Masalah dengan parameter secara tradisional merupakan tugas kompleks dalam struktur Ujian Negara Bersatu, yang mengharuskan pelamar tidak hanya menguasai semua metode dan teknik untuk menyelesaikan berbagai

Kalkulus Diferensial Pengantar Analisis Matematika Batas Barisan dan Fungsi. Mengungkap ketidakpastian dalam batasan. Turunan dari suatu fungsi. Aturan diferensiasi. Penerapan turunan

Deret Fourier Sistem fungsi ortogonal Dari sudut pandang aljabar, persamaan di mana - fungsi dari kelas tertentu dan - koefisien dari R atau C berarti bahwa vektor tersebut adalah kombinasi linier dari vektor B

1. Integral pasti 1.1. Misalkan f adalah fungsi berbatas yang terdefinisi pada ruas [, b] R. Partisi ruas [, b] adalah himpunan titik τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b ] sehingga = x< x 1 < < x n 1

Bab Deret pangkat a a a Deret dengan bentuk a a a a a () disebut deret pangkat, di mana a adalah konstanta yang disebut koefisien deret tersebut. Kadang-kadang deret pangkat dengan bentuk yang lebih umum dianggap: a a(a) a(a) a(a)(), dimana

Deret Fourier fungsi periodik dengan periode 2π.

Deret Fourier memungkinkan kita mempelajari fungsi periodik dengan menguraikannya menjadi komponen-komponen. Arus dan tegangan bolak-balik, perpindahan, kecepatan dan percepatan mekanisme engkol dan gelombang akustik adalah contoh praktis penggunaan fungsi periodik dalam perhitungan teknik.

Perluasan deret Fourier didasarkan pada asumsi bahwa semua fungsi yang mempunyai arti praktis pada interval -π ≤x≤ π dapat dinyatakan dalam bentuk deret trigonometri konvergen (suatu deret dianggap konvergen jika barisan jumlah parsial terdiri dari suku-sukunya menyatu):

Notasi baku (=biasa) melalui penjumlahan sinx dan cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

dimana a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. adalah konstanta real, yaitu

Dimana, untuk rentang -π hingga π, koefisien deret Fourier dihitung dengan menggunakan rumus:

Koefisien a o , a n dan b n disebut Koefisien Fourier, dan jika dapat ditemukan, maka deret (1) dipanggil di sebelah Fourier, sesuai dengan fungsi f(x). Untuk deret (1), suku (a 1 cosx+b 1 sinx) disebut or pertama harmonik fundamental,

Cara lain untuk menulis deret adalah dengan menggunakan relasi acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Dimana a o adalah sebuah konstanta, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 adalah amplitudo berbagai komponen, dan sama dengan a n =arctg a n /b n.

Untuk deret (1), suku (a 1 cosx+b 1 sinx) atau c 1 sin(x+α 1) disebut suku pertama atau harmonik fundamental,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) atau c 2 sin(2x+α 2) disebut harmonik kedua dan seterusnya.

Untuk merepresentasikan sinyal kompleks secara akurat biasanya memerlukan jumlah suku yang tidak terbatas. Namun, dalam banyak permasalahan praktis, cukup dengan mempertimbangkan beberapa suku pertama saja.

Deret Fourier fungsi non-periodik dengan periode 2π.

Perluasan fungsi non-periodik menjadi deret Fourier.

Jika fungsi f(x) bersifat non-periodik, berarti tidak dapat diperluas menjadi deret Fourier untuk semua nilai x. Namun, deret Fourier dapat didefinisikan yang mewakili suatu fungsi pada rentang lebar apa pun 2π.

Mengingat fungsi non-periodik, fungsi baru dapat dibangun dengan memilih nilai f(x) dalam rentang tertentu dan mengulanginya di luar rentang tersebut pada interval 2π. Karena fungsi baru tersebut periodik dengan periode 2π, maka dapat diperluas menjadi deret Fourier untuk semua nilai x. Misalnya, fungsi f(x)=x tidak periodik. Namun, jika perlu diperluas menjadi deret Fourier dalam interval dari o hingga 2π, maka di luar interval ini akan dibangun fungsi periodik dengan periode 2π (seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah).

Untuk fungsi non-periodik seperti f(x)=x, jumlah deret Fourier sama dengan nilai f(x) di semua titik dalam rentang tertentu, namun tidak sama dengan f(x) untuk titik-titik di luar jangkauan. Untuk mencari deret Fourier suatu fungsi non-periodik pada rentang 2π, digunakan rumus koefisien Fourier yang sama.

Fungsi genap dan ganjil.

Dikatakan fungsi y=f(x) bahkan, jika f(-x)=f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi genap selalu simetris terhadap sumbu y (artinya, merupakan bayangan cermin). Dua contoh fungsi genap: y=x2 dan y=cosx.

Dikatakan bahwa fungsi y=f(x) aneh, jika f(-x)=-f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.

Banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil.

Ekspansi deret Fourier dalam kosinus.

Deret Fourier dari fungsi periodik genap f(x) dengan periode 2π hanya memuat suku kosinus (yaitu, tidak ada suku sinus) dan dapat memuat suku konstan. Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier dari fungsi periodik ganjil f(x) dengan periode 2π hanya memuat suku-suku yang mempunyai sinus (artinya, tidak memuat suku-suku yang mempunyai cosinus).

Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier setengah siklus.

Jika suatu fungsi didefinisikan untuk suatu rentang, katakanlah dari 0 hingga π, dan bukan hanya dari 0 hingga 2π, maka fungsi tersebut dapat diperluas dalam suatu deret hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Deret Fourier yang dihasilkan disebut dekat Fourier pada setengah siklus.

Jika Anda ingin mendapatkan dekomposisi Fourier setengah siklus dengan kosinus fungsi f(x) dalam rentang 0 sampai π, maka perlu dibuat fungsi periodik genap. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f(x)=x, yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi genap simetris terhadap sumbu f(x), kita tarik garis AB, seperti ditunjukkan pada Gambar. di bawah. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, bentuk segitiga yang dihasilkan adalah periodik dengan periode 2π, maka grafik akhirnya akan terlihat seperti ini: pada Gambar. di bawah. Karena kita perlu memperoleh ekspansi Fourier dalam kosinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier a o dan a n

Jika Anda ingin mendapatkan fungsi f(x) dalam rentang dari 0 hingga π, maka Anda perlu membuat fungsi periodik ganjil. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f(x)=x, yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi ganjil simetris terhadap titik asal, kita buatlah garis CD, seperti ditunjukkan pada Gambar. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, sinyal gigi gergaji yang dihasilkan bersifat periodik dengan periode 2π, maka grafik akhirnya berbentuk seperti pada Gambar. Karena kita perlu mendapatkan ekspansi Fourier dari setengah siklus dalam bentuk sinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier. B

Deret Fourier untuk interval sembarang.

Perluasan fungsi periodik dengan periode L.

Fungsi periodik f(x) berulang seiring bertambahnya x sebesar L, yaitu. f(x+L)=f(x). Peralihan dari fungsi berperiode 2π ke fungsi berperiode L yang telah dibahas sebelumnya cukup sederhana, karena dapat dilakukan dengan menggunakan perubahan variabel.

Untuk mencari deret Fourier dari fungsi f(x) dalam rentang -L/2≤x≤L/2, kita masukkan variabel baru u sehingga fungsi f(x) mempunyai periode 2π terhadap u. Jika u=2πx/L, maka x=-L/2 untuk u=-π dan x=L/2 untuk u=π. Misalkan juga f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Deret Fourier F(u) mempunyai bentuk

Dimana koefisien deret Fourier,

Namun, rumus di atas lebih sering menghasilkan ketergantungan pada x. Karena u=2πx/L berarti du=(2π/L)dx, dan limit integrasinya adalah dari -L/2 hingga L/2, bukan - π hingga π. Oleh karena itu, deret Fourier untuk ketergantungan pada x memiliki bentuk

dimana dalam rentang dari -L/2 hingga L/2 adalah koefisien deret Fourier,

(Batas integrasi dapat diganti dengan interval apa pun yang panjangnya L, misalnya dari 0 hingga L)

Deret Fourier pada setengah siklus untuk fungsi yang ditentukan dalam interval L≠2π.

Untuk substitusi u=πх/L, interval dari x=0 ke x=L sama dengan interval dari u=0 ke u=π. Oleh karena itu, fungsi tersebut dapat diperluas menjadi deret hanya dalam kosinus atau hanya dalam sinus, yaitu. V Deret Fourier setengah siklus.

Ekspansi kosinus dalam rentang 0 sampai L berbentuk