சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி. EXCEL இல் சீரான தொடர்ச்சியான விநியோகம். சீரான விநியோக பண்புகள்

நடைமுறையில், சீரற்ற மாறிகள் உள்ளன, அவை கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட எல்லைகளுக்குள் எந்த மதிப்பையும் எடுக்க முடியும் என்று முன்கூட்டியே அறியப்படுகிறது, மேலும் இந்த எல்லைகளுக்குள் சீரற்ற மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் ஒரே நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளன (ஒரே நிகழ்தகவு அடர்த்தி கொண்டவை).

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கடிகாரம் பழுதடைந்தால், நிறுத்தப்பட்ட நிமிட முள் சமமான நிகழ்தகவுடன் (நிகழ்தகவு அடர்த்தி) கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரத்தின் தொடக்கத்திலிருந்து கடிகாரம் உடைக்கும் வரையிலான நேரத்தைக் காட்டும். இந்த நேரம் ஒரு தற்செயலான மாறி ஆகும், இது ஒரு மணிநேர கால அளவு வரையறுக்கப்பட்ட எல்லைகளுக்கு அப்பால் செல்லாத அதே நிகழ்தகவு அடர்த்தி கொண்ட மதிப்புகளை எடுக்கும். ரவுண்டிங் பிழையும் அத்தகைய சீரற்ற மாறிகளுக்கு சொந்தமானது. அத்தகைய அளவுகள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுவதாகக் கூறப்படுகிறது, அதாவது, அவை ஒரு சீரான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளன.

வரையறை. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் சீரான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது[a, in], இந்த பிரிவில் சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி நிலையானதாக இருந்தால், அதாவது வேறுபட்ட பரவல் செயல்பாடு என்றால் f(x) பின்வரும் வடிவம் உள்ளது:

இந்த விநியோகம் சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது சீரான அடர்த்தி சட்டம். ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் ஒரே மாதிரியான விநியோகத்தைக் கொண்ட ஒரு அளவைப் பற்றி, அது இந்தப் பிரிவில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று கூறுவோம்.

மாறிலி c இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும். விநியோக வளைவு மற்றும் அச்சின் எல்லைக்குட்பட்ட பகுதி என்பதால் ஓசமம் 1, பின்னர்

எங்கே உடன்=1/(பி-a).

இப்போது செயல்பாடு f(x)என குறிப்பிடலாம்

விநியோக செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம் F(x ), அதற்கான வெளிப்பாட்டைக் காண்கிறோம் F (x ) இடைவெளியில் [ a , b]:

f (x) மற்றும் F (x) செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் இப்படி இருக்கும்:

எண் பண்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

NSVயின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, எங்களிடம் உள்ளது:

இவ்வாறு, ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு இடைவெளியில் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது [a , b] இந்த பிரிவின் நடுப்பகுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது.

சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்:

அதிலிருந்து உடனடியாக நிலையான விலகல் பின்வருமாறு:

சீரான விநியோகத்துடன் கூடிய சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவை இப்போது கண்டுபிடிப்போம்.(a, b) முற்றிலும் பிரிவைச் சேர்ந்தது [அ,பி ]:

ஆன்லைன் சேவை:

முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி எக்ஸ்:

• தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் சீரான நிகழ்தகவு விநியோகம்;
• தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அதிவேக நிகழ்தகவு விநியோகம்;
• சாதாரண விநியோகம் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவுகள்.

ஒரே மாதிரியான மற்றும் அதிவேக விநியோகச் சட்டங்கள், நிகழ்தகவு சூத்திரங்கள் மற்றும் கருதப்படும் செயல்பாடுகளின் எண்ணியல் பண்புகள் ஆகியவற்றின் கருத்தை வழங்குவோம்.

குறியீட்டு	சீரற்ற விநியோக சட்டம்	விநியோகத்தின் அதிவேக விதி
வரையறை	சீருடை என்று அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு விநியோகம், அதன் அடர்த்தி இடைவெளியில் மாறாமல் இருக்கும் மற்றும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது	ஒரு அதிவேக (அதிவேகம்) என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல், இது வடிவம் கொண்ட அடர்த்தியால் விவரிக்கப்படுகிறது
		λ என்பது நிலையான நேர்மறை மதிப்பு
விநியோக செயல்பாடு
நிகழ்தகவு இடைவெளியைத் தாக்கும்
எதிர்பார்த்த மதிப்பு
சிதறல்
நிலையான விலகல்

"விநியோகத்தின் சீரான மற்றும் அதிவேக விதிகள்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பணி 1.

பேருந்துகள் கண்டிப்பாக அட்டவணைப்படி இயக்கப்படுகின்றன. இயக்க இடைவெளி 7 நிமிடம். கண்டுபிடி: (அ) நிறுத்தத்திற்கு வரும் ஒரு பயணி, இரண்டு நிமிடங்களுக்கும் குறைவாக அடுத்த பஸ்சுக்காக காத்திருக்கும் நிகழ்தகவு; b) நிறுத்தத்தை நெருங்கும் ஒரு பயணி குறைந்தபட்சம் மூன்று நிமிடங்களாவது அடுத்த பேருந்துக்காக காத்திருக்கும் நிகழ்தகவு; c) ரேண்டம் மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் நிலையான விலகல் - பயணிகளின் காத்திருப்பு நேரம்.

தீர்வு. 1. சிக்கலின் நிலையின்படி, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X=(பயணிகள் காத்திருக்கும் நேரம்) சமமாக பகிர்ந்தளிக்கப்பட்டது இரண்டு பேருந்துகளின் வருகைக்கு இடையில். சீரற்ற மாறி X இன் பரவல் இடைவெளியின் நீளம் b-a=7 க்கு சமம், இங்கு a=0, b=7.

2. ரேண்டம் மதிப்பு X இடைவெளிக்குள் (5;7) விழுந்தால் காத்திருக்கும் நேரம் இரண்டு நிமிடங்களுக்கும் குறைவாக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது: பி(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
பி(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. சீரற்ற மதிப்பு X இடைவெளியில் (0; 4) விழுந்தால், காத்திருக்கும் நேரம் குறைந்தது மூன்று நிமிடங்கள் (அதாவது, மூன்று முதல் ஏழு நிமிடங்கள் வரை) இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது: பி(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
பி(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. ஒரு தொடர்ச்சியான, சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பு - பயணிகளின் காத்திருப்பு நேரம், சூத்திரத்தின் மூலம் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.

5. தொடர்ச்சியான, சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி X இன் நிலையான விலகல் - பயணிகளின் காத்திருப்பு நேரம், சூத்திரத்தின் மூலம் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

பணி 2.

அதிவேகப் பரவலானது x ≥ 0 க்கு அடர்த்தி f(x) = 5e – 5x ஆல் வழங்கப்படுகிறது. தேவை: அ) விநியோகச் செயல்பாட்டிற்கான ஒரு வெளிப்பாட்டை எழுதுங்கள்; b) சோதனையின் விளைவாக, X இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் (1; 4); c) சோதனையின் விளைவாக X ≥ 2 நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்; ஈ) எம்(எக்ஸ்), டி(எக்ஸ்), σ(எக்ஸ்) ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு. 1. நிபந்தனையின்படி, அதிவேக விநியோகம் , பின்னர் சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்திக்கான சூத்திரத்திலிருந்து நாம் λ = 5 ஐப் பெறுகிறோம். பின்னர் விநியோகச் செயல்பாடு இப்படி இருக்கும்:

2. சோதனையின் விளைவாக X இடைவெளியில் (1; 4) விழும் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படும்:
பி(அ< X < b) = e −λa − e −λb .
பி(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. சோதனையின் விளைவாக X ≥2 சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படும் நிகழ்தகவு: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. அதிவேகப் பரவலைக் காண்கிறோம்:

• M(X) =1/λ = 1/5 = 0.2 சூத்திரத்தின்படி கணித எதிர்பார்ப்பு;
• டி (எக்ஸ்) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0.04 சூத்திரத்தின் படி சிதறல்;
• σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2 சூத்திரத்தின்படி நிலையான விலகல்.

நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் வரையறையை நினைவுபடுத்தவும்.

ஒரே மாதிரியான நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் கருத்தை நாங்கள் இப்போது அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

வரையறை 2

ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்ட ஒரு இடைவெளியில், விநியோக அடர்த்தி நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு விநியோகம் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது:

படம் 1.

பின்வரும் விநியோக அடர்த்திப் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி $\ C$ மாறிலியின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: $\int\liits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$

\[\int\எல்லைகள்^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\ வரம்புகள் ^b_a(Cdx)+\int\ வரம்புகள்^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

எனவே, சீரான விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:

படம் 2.

வரைபடத்தில் பின்வரும் வடிவம் உள்ளது (படம் 1):

படம் 3. சீரான நிகழ்தகவு பரவலின் அடர்த்தி

சீரான நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாடு

இப்போது சீரான விநியோகத்திற்கான விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இதைச் செய்ய, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. $x ≤ a$ க்கு, சூத்திரத்தின்படி, நாம் பெறுகிறோம்:

1. $aக்கு

1. $x> 2$க்கு, சூத்திரத்தின்படி, நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே, விநியோக செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:

படம் 4

வரைபடத்தில் பின்வரும் வடிவம் உள்ளது (படம் 2):

படம் 5. சீரான நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாடு.

சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ ஒரு சீரான நிகழ்தகவு பரவலின் கீழ்

சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு $(\alpha ,\beta)$ ஒரு சீரான நிகழ்தகவு விநியோகத்துடன் விழ, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு:

நிலையான விலகல்:

நிகழ்தகவுகளின் சீரான விநியோகத்திற்கான சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

தள்ளுவண்டிகளுக்கு இடையிலான இடைவெளி 9 நிமிடங்கள்.

டிராலி பஸ் பயணிகளுக்காக காத்திருக்கும் $X$ சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு மற்றும் விநியோக அடர்த்தியை தொகுக்கவும்.

மூன்று நிமிடங்களுக்குள் டிராலிபஸ்ஸுக்காக பயணிகள் காத்திருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

குறைந்த பட்சம் 4 நிமிடங்களில் டிராலிபஸ்ஸுக்காக பயணிகள் காத்திருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்

1. டிராலிபஸுக்காக காத்திருக்கும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி $X$ ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுவதால், $a=0,\ b=9$.

எனவே, சீரான நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் அடர்த்தி செயல்பாட்டின் சூத்திரத்தின் படி, விநியோக அடர்த்தியானது, படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

படம் 6

சீரான நிகழ்தகவு விநியோகச் செயல்பாட்டின் சூத்திரத்தின்படி, எங்கள் விஷயத்தில், விநியோகச் செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:

படம் 7

1. இந்தக் கேள்வியை பின்வருமாறு மறுசீரமைக்க முடியும்: ஒரு சீரான விநியோகத்தின் சீரற்ற மாறியானது $\இடது(6,9\வலது) இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

\}