இரண்டு சீராக விநியோகிக்கப்பட்ட அளவுகளின் தொகையின் பரவல் அடர்த்தி. இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் விநியோக விதி. இரண்டு விநியோக சட்டங்களின் கலவை. காப்பீட்டுக்கான விண்ணப்பங்கள்

நடைமுறையில், சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான விநியோகச் சட்டத்தைக் கண்டறிவது அவசியமாகிறது.

ஒரு அமைப்பு இருக்கட்டும் (X b X 2)இரண்டு தொடர்ச்சியான கள். உள்ளே மற்றும் அவற்றின் தொகை

விநியோக அடர்த்தி c ஐக் கண்டுபிடிப்போம். உள்ளே U. முந்தைய பத்தியின் பொதுவான தீர்வுக்கு இணங்க, விமானத்தின் பகுதியை நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம் x + x 2 (படம் 9.4.1):

y ஐப் பொறுத்து இந்த வெளிப்பாட்டை வேறுபடுத்தி, நாங்கள் ஒரு ap ஐப் பெறுகிறோம். சீரற்ற மாறி Y \u003d X + X 2:

φ (x b x 2) = Xj + x 2 சார்பு அதன் வாதங்களைப் பொறுத்து சமச்சீராக இருப்பதால்

உடன் இருந்தால். உள்ளே எக்ஸ்மற்றும் எக்ஸ் 2 சுயாதீனமானவை, பின்னர் சூத்திரங்கள் (9.4.2) மற்றும் (9.4.3) வடிவம் எடுக்கின்றன:

வழக்கில் போது சுயேச்சை சி. உள்ளே x xமற்றும் X 2,விநியோக சட்டங்களின் கலவை பற்றி பேசுங்கள். உற்பத்தி செய் கலவைஇரண்டு விநியோகச் சட்டங்கள் - இது இரண்டு சுயாதீனமான c இன் தொகைக்கான விநியோகச் சட்டத்தைக் கண்டறிவதைக் குறிக்கிறது. c., இந்த சட்டங்களின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. விநியோகச் சட்டங்களின் அமைப்பைக் குறிக்க குறியீட்டு குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது

இது அடிப்படையில் சூத்திரங்கள் (9.4.4) அல்லது (9.4.5) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1. இரண்டு தொழில்நுட்ப சாதனங்களின் (TD) வேலை கருதப்படுகிறது. முதலாவதாக, TU அதன் தோல்விக்குப் பிறகு வேலை செய்கிறது (தோல்வி) TU 2 இன் செயல்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இயக்க நேரம் TU TU TU 2 - x xமற்றும் எக்ஸ் 2 - A,1 மற்றும் அளவுருக்கள் கொண்ட அதிவேகச் சட்டங்களின்படி சுயாதீனமானவை மற்றும் விநியோகிக்கப்படுகின்றன X 2 .எனவே, நேரம் ஒய் TU இன் சிக்கல் இல்லாத செயல்பாடு, TU ஐ உள்ளடக்கியது! மற்றும் TU 2 சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படும்

இது ஒரு p.r கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சீரற்ற மாறி ஒய்,அதாவது, அளவுருக்கள் மற்றும் இரண்டு அதிவேகச் சட்டங்களின் கலவை X 2 .

தீர்வு. சூத்திரத்தின் மூலம் (9.4.4) நாம் பெறுகிறோம் (y > 0)

ஒரே அளவுருக்கள் கொண்ட இரண்டு அதிவேக விதிகளின் கலவை இருந்தால் (?c = எக்ஸ் 2 = Y), பின்னர் வெளிப்பாட்டில் (9.4.8) வகை 0/0 இன் நிச்சயமற்ற தன்மை பெறப்படுகிறது, அதை விரிவுபடுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்:

வெளிப்பாட்டுடன் (6.4.8) இந்த வெளிப்பாட்டை ஒப்பிடுகையில், இரண்டு ஒரே மாதிரியான அதிவேக விதிகளின் கலவை (?c = எக்ஸ் 2 = எக்ஸ்)இரண்டாவது வரிசை எர்லாங் சட்டம் (9.4.9). வெவ்வேறு அளவுருக்கள் கொண்ட இரண்டு அதிவேக விதிகளை உருவாக்கும் போது x xமற்றும் A-2 கிடைக்கும் இரண்டாம் வரிசை பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட எர்லாங் சட்டம் (9.4.8). ?

பிரச்சனை 1. இரண்டு s வித்தியாசத்தின் விநியோக சட்டம். உள்ளே உடன் அமைப்பு. உள்ளே (எக்ஸ் மற்றும் எக்ஸ் 2)ஒரு கூட்டு r.p./(x x x 2) உள்ளது. ஒரு பி.ஆர். அவர்களின் வேறுபாடுகள் Y=X - X 2 .

தீர்வு. கொண்ட அமைப்புக்கு உள்ளே (X b - X 2)முதலியன இருக்கும் / (x b - x 2),அதாவது வேறுபாட்டைத் தொகையுடன் மாற்றினோம். எனவே, ஏ.ஆர். சீரற்ற மாறி U வடிவம் கொண்டிருக்கும் (பார்க்க (9.4.2), (9.4.3)):

ஒரு என்றால் உடன். உள்ளே X x iX 2 சுதந்திரமான, பின்னர்

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு f.r ஐக் கண்டறியவும். இரண்டு சுயாதீன அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்பட்ட s இன் வேறுபாடு. உள்ளே அளவுருக்களுடன் x xமற்றும் X 2 .

தீர்வு. சூத்திரத்தின் படி (9.4.11) நாம் பெறுகிறோம்

அரிசி. 9.4.2 அரிசி. 9.4.3

படம் 9.4.2 ஒரு ப. g(y) இரண்டு சுயாதீன அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்பட்ட s இன் வேறுபாட்டை நாம் கருத்தில் கொண்டால். உள்ளே அதே அளவுருக்களுடன் (ஏ-ஐ= எக்ஸ் 2 = ஆனால்,),பிறகு g(y) \u003d / 2 - ஏற்கனவே பரிச்சயமானது

லாப்லேஸ் சட்டம் (படம் 9.4.3). ?

எடுத்துக்காட்டு 3. இரண்டு சார்பற்ற c இன் தொகைக்கான விநியோகச் சட்டத்தைக் கண்டறியவும். உள்ளே எக்ஸ்மற்றும் X 2,அளவுருக்கள் கொண்ட பாய்சன் சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது ஒரு xமற்றும் ஒரு 2.

தீர்வு. நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் (X x + எக்ஸ் 2 = t) (t = 0, 1,

எனவே, எஸ். உள்ளே Y= X x + எக்ஸ் 2 அளவுருவுடன் பாய்சன் சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது a x2) - a x + a 2. ?

எடுத்துக்காட்டு 4. இரண்டு சார்பற்ற c இன் தொகைக்கான விநியோகச் சட்டத்தைக் கண்டறியவும். உள்ளே x xமற்றும் X 2,அளவுருக்கள் கொண்ட பைனாமியல் சட்டங்களின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது p x ri p 2 , pமுறையே.

தீர்வு. உடன் கற்பனை செய்து பாருங்கள். உள்ளே x xஎன:

எங்கே X 1) -நிகழ்வு காட்டி ஆனால்அனுபவம்:

உடன் விநியோக வரம்பு. உள்ளே X,- வடிவம் உள்ளது

களுக்கு இதேபோன்ற பிரதிநிதித்துவத்தை உருவாக்குவோம். உள்ளே X 2:எங்கே X] 2) - நிகழ்வு காட்டி ஆனால் y"-வது அனுபவத்தில்:

இதன் விளைவாக,

X எங்கே? 1)+(2) நிகழ்வு காட்டி என்றால் ஆனால்:

இவ்வாறு, நாங்கள் காட்டியுள்ளோம் உள்ளே மாமனார் தொகை (u + n 2)நிகழ்வு குறிகாட்டிகள் ஆனால், அது எங்கிருந்து வருகிறது என்று s. உள்ளே ^பைனோமியல் சட்டத்தின்படி அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்பட்டது ( n x + n 2), ப.

நிகழ்தகவுகள் என்றால் கவனிக்கவும் ஆர்வெவ்வேறு தொடர் சோதனைகள் வேறுபட்டவை, பின்னர் இரண்டு சுயாதீன களை சேர்ப்பதன் விளைவாக. c., பைனாமியல் சட்டங்களின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, அது c மாறிவிடும். c., பினாமி சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படவில்லை. ?

எடுத்துக்காட்டுகள் 3 மற்றும் 4 ஆகியவை தன்னிச்சையான சொற்களுக்கு எளிதில் பொதுமைப்படுத்தப்படுகின்றன. பாய்சனின் சட்டங்களை அளவுருக்களுடன் உருவாக்கும் போது a b a 2, ..., ஒரு டிபாய்சன் விதி மீண்டும் அளவுருவுடன் பெறப்படுகிறது a (t) \u003d a x + a 2 + ... + மற்றும் டி.

அளவுருக்கள் கொண்ட இருபக்க சட்டங்களை உருவாக்கும் போது (என் ஆர்); (நான் 2, ஆர்) , (n t, p)மீண்டும் நாம் பைனாமியல் சட்டத்தை அளவுருக்கள் ("("), ஆர்),எங்கே n (t) \u003d u + n 2 + ... + முதலியன

Poisson's law மற்றும் binomial law ஆகியவற்றின் முக்கியமான பண்புகளை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்: "ஸ்திரத்தன்மை சொத்து". விநியோக சட்டம் அழைக்கப்படுகிறது நிலையான,ஒரே மாதிரியான இரண்டு சட்டங்களின் கலவை ஒரே மாதிரியான சட்டத்தை உருவாக்கினால் (இந்தச் சட்டத்தின் அளவுருக்கள் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன). துணைப்பிரிவு 9.7 இல், சாதாரண சட்டத்திற்கு அதே நிலைப்புத்தன்மை உள்ளது என்பதைக் காட்டுவோம்.

சில வகையான சீரற்ற நிகழ்வுகளின் பாதகமான நிதி தாக்கத்தைத் தணிக்க முடிவெடுப்பவர் காப்பீட்டைப் பயன்படுத்தலாம்.

ஆனால் இந்த விவாதம் மிகவும் பொதுவானது, ஏனெனில் முடிவெடுப்பவர் என்பது சொத்து, சேமிப்பு அல்லது வருமானத்திற்கு சேதம் ஏற்படாமல் பாதுகாப்பைத் தேடும் தனிநபர் மற்றும் அதே வகையான சேதத்திலிருந்து பாதுகாப்பைத் தேடும் அமைப்பு ஆகிய இரண்டையும் குறிக்கும்.

உண்மையில், அத்தகைய நிறுவனம் ஒரு தனிப்பட்ட வாடிக்கையாளருடன் அல்லது அதன் காப்பீட்டு போர்ட்ஃபோலியோவுடன் ஏற்பட்ட பல காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வுகளால் நிதி இழப்புகளிலிருந்து தன்னைப் பாதுகாத்துக் கொள்வதற்கான வழிகளைத் தேடும் ஒரு காப்பீட்டு நிறுவனமாக இருக்கலாம். இந்த பாதுகாப்பு அழைக்கப்படுகிறது மறுகாப்பீடு.

இரண்டு மாடல்களில் ஒன்றைக் கவனியுங்கள் (அதாவது தனிப்பட்ட ஆபத்து மாதிரி) காப்பீட்டு விகிதங்கள் மற்றும் இருப்புக்களை நிர்ணயிப்பதிலும், மறுகாப்பீட்டிலும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மூலம் குறிக்கவும் எஸ்காப்பீட்டு நிறுவனத்தின் அபாயங்களின் சில பகுதிகளுக்கு ஏற்படும் தற்செயலான இழப்புகளின் அளவு. இந்த வழக்கில் எஸ்நிகழ்தகவு பரவலை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டிய ஒரு சீரற்ற மாறி ஆகும். வரலாற்று ரீதியாக, r.v இன் விநியோகங்களுக்கு. எஸ்இரண்டு செட் போஸ்டுலேட்டுகள் இருந்தன. தனிப்பட்ட ஆபத்து மாதிரி வரையறுக்கிறது எஸ்பின்வரும் வழியில்:

எங்கே ஆர்.வி. எண் கொண்ட காப்பீட்டு பொருளால் ஏற்படும் இழப்புகள் என்று பொருள் நான்,அ nகாப்பீட்டு பொருள்களின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.

இந்த வழக்கில் கணித கணக்கீடுகள் எளிமையானவை மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான உறவின் தன்மை பற்றிய தகவல்கள் தேவையில்லை என்பதால், அவை சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகள் என்று பொதுவாக கருதப்படுகிறது. இரண்டாவது மாதிரி கூட்டு ஆபத்து மாதிரி.

தனிப்பட்ட அபாயங்களின் கருதப்பட்ட மாதிரியானது காலப்போக்கில் பணத்தின் மதிப்பில் ஏற்படும் மாற்றங்களை பிரதிபலிக்காது. மாதிரியை எளிமைப்படுத்த இது செய்யப்படுகிறது, அதனால்தான் கட்டுரையின் தலைப்பு குறுகிய கால இடைவெளியைக் குறிக்கிறது.

மூடிய மாதிரிகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது. காப்பீட்டு பொருள்களின் எண்ணிக்கை nசூத்திரத்தில் (1.1) கருதப்படும் நேர இடைவெளியின் ஆரம்பத்திலேயே அறியப்பட்டு நிலையானது. காப்பீட்டு அமைப்பிலிருந்து அல்லது அதற்கு இடம்பெயர்வு இருப்பதைப் பற்றிய அனுமானங்களை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்தினால், நாம் ஒரு திறந்த மாதிரியைப் பெறுவோம்.

தனிப்பட்ட கொடுப்பனவுகளை விவரிக்கும் சீரற்ற மாறிகள்

முதலில், ஆயுள் காப்பீடு தொடர்பான முக்கிய விதிகளை நினைவு கூர்வோம்.

ஒரு வருட காலத்திற்கு இறப்புக் காப்பீடு செய்யப்பட்டால், காப்பீட்டாளர் தொகையைச் செலுத்த உறுதியளிக்கிறார் பி, காப்பீட்டு ஒப்பந்தம் முடிவடைந்த நாளிலிருந்து ஒரு வருடத்திற்குள் பாலிசிதாரர் இறந்துவிட்டால், பாலிசிதாரர் இந்த ஆண்டு வாழ்ந்தால் எதையும் செலுத்தவில்லை.

குறிப்பிட்ட ஆண்டில் நிகழும் காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

காப்பீட்டுக் கொடுப்பனவுகளை விவரிக்கும் சீரற்ற மாறியானது நிகழ்தகவு செயல்பாட்டின் மூலம் குறிப்பிடக்கூடிய ஒரு விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது.

(2.1)

அல்லது தொடர்புடைய விநியோக செயல்பாடு

(2.2)

சூத்திரத்திலிருந்து (2.1) மற்றும் தருணங்களின் வரையறையிலிருந்து, நாம் பெறுகிறோம்

(2.4)

இந்த சூத்திரங்களை எழுதுவதன் மூலமும் பெறலாம் எக்ஸ்என

மரணம் ஏற்பட்டால் ஒரு நிலையான மதிப்பு செலுத்தப்படும், மேலும் இது ஒரு சீரற்ற மாறி ஆகும், இது மரணத்தின் போது மதிப்பு 1 ஆகவும் இல்லையெனில் 0 ஆகவும் இருக்கும்.

இவ்வாறு, மற்றும் , மற்றும் r.v இன் சராசரி மதிப்பு மற்றும் மாறுபாடு. சமமானவை மற்றும் முறையே, மற்றும் r.v இன் சராசரி மதிப்பு மற்றும் மாறுபாடு. சமமானவை மற்றும் மேலே உள்ள சூத்திரங்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன.

வரம்பு (0,1) கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறி, ஆக்சுரியல் மாடல்களில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் பாடப்புத்தகங்களில், இது அழைக்கப்படுகிறது காட்டி, பெர்னோலி சீரற்றமதிப்பு அல்லது ஈருறுப்பு சீரற்ற மாறிஒற்றை சோதனை வடிவமைப்பில்.

நாங்கள் அவளை அழைப்போம் காட்டிசுருக்கமான காரணங்களுக்காக, மேலும் இது கேள்விக்குரிய நிகழ்வின் தொடக்கத்தை அல்லது தொடங்காததைக் குறிக்கிறது.

காப்பீட்டுக் கட்டணத்தின் மதிப்பும் ஒரு சீரற்ற மாறி மற்றும் பல காப்பீட்டு நிகழ்வுகள் கருதப்படும் நேர இடைவெளியில் நிகழக்கூடிய பொதுவான மாதிரிகளைத் தேடுவோம்.

உடல்நலக் காப்பீடு, வாகனம் மற்றும் பிற சொத்துக் காப்பீடு மற்றும் பொறுப்புக் காப்பீடு உடனடியாகப் பல உதாரணங்களை வழங்குகிறது. சூத்திரத்தை பொதுமைப்படுத்துதல் (2.5), நாங்கள் அமைக்கிறோம்

கருதப்படும் நேர இடைவெளியில் காப்பீட்டுத் தொகையை விவரிக்கும் சீரற்ற மாறி, r.v. இந்த இடைவெளியில் செலுத்தப்பட்ட மொத்த தொகையை குறிக்கிறது மற்றும் r.v. குறைந்தபட்சம் ஒரு காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வு நடந்ததற்கான ஒரு குறிகாட்டியாகும்.

அத்தகைய நிகழ்வின் குறிகாட்டியாக, ஆர்.வி. இருப்பை சரிசெய்கிறது () அல்லது பற்றாக்குறை () இந்த நேர இடைவெளியில் காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வுகள், ஆனால் அதில் காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை அல்ல.

நிகழ்தகவு தொடர்ந்து குறிக்கப்படும்.

பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பற்றி விவாதிப்போம் மற்றும் சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகத்தை மற்றும் சில மாதிரிகளில் தீர்மானிக்கலாம்.

இறப்பு விபத்தாக இருந்தால், கூடுதல் நன்மையுடன் முதல் ஒரு வருட இறப்புக் காப்பீட்டைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்.

நிச்சயமாக, விபத்து காரணமாக மரணம் நேர்ந்தால், செலுத்த வேண்டிய தொகை 50,000 ஆக இருக்கும், மற்ற காரணங்களால் மரணம் ஏற்பட்டால், செலுத்த வேண்டிய தொகை 25,000 ஆக இருக்கும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட வயது, உடல்நிலை மற்றும் தொழிலில் உள்ள ஒருவருக்கு, அந்த ஆண்டில் விபத்து காரணமாக இறப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.0005 என்றும், பிற காரணங்களால் இறப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.0020 என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். சூத்திர வடிவத்தில், இது போல் தெரிகிறது:

சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் சுருக்கி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

,

நிபந்தனை விநியோகம் c. உள்ளே நிபந்தனை வடிவம் உள்ளது

இப்போது கார் மோதல் காப்பீட்டை (காரின் உரிமையாளருக்கு அவரது காருக்கு ஏற்பட்ட சேதத்திற்காக வழங்கப்படும் இழப்பீடு) நிபந்தனையற்ற விலக்கு 250 மற்றும் அதிகபட்சமாக 2000 செலுத்துவதைக் கவனியுங்கள்.

தெளிவுக்காக, ஒரு தனிநபருக்குக் கருதப்படும் காலகட்டத்தில் ஒரு காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.15 என்றும், ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மோதல்கள் நிகழும் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்றும் நாங்கள் கருதுகிறோம்:

, .

ஒரு காலத்தில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வுகள் நிகழக்கூடாது என்ற நம்பத்தகாத அனுமானம் r.v இன் விநியோகத்தை எளிதாக்குவதற்காக செய்யப்படுகிறது. .

பல காப்பீட்டுக் கோரிக்கைகளின் தொகையின் விநியோகத்தைப் பரிசீலித்த பிறகு இந்த அனுமானத்தை அடுத்த பகுதியில் கைவிடுவோம்.

காப்பீட்டாளரின் கொடுப்பனவுகளின் மதிப்பு, காருக்கு ஏற்படும் சேதம் அல்ல, நாம் இரண்டு பண்புகளை கருத்தில் கொள்ளலாம், மற்றும்.

முதலாவதாக, நிகழ்வில் அந்த மோதல்கள் அடங்கும், இதில் சேதம் நிபந்தனையற்ற விலக்கு 250 ஐ விட குறைவாக உள்ளது.

இரண்டாவதாக, r.v இன் விநியோகம். 2000 க்கு சமமான அதிகபட்ச காப்பீட்டுத் தொகையின் புள்ளியில் நிகழ்தகவு வெகுஜனத்தின் "கட்டி" இருக்கும்.

இந்த கட்டத்தில் குவிந்திருக்கும் நிகழ்தகவு நிறை 0.1 என்று வைத்துக்கொள்வோம். மேலும், 0 முதல் 2000 வரையிலான இடைவெளியில் காப்பீட்டுக் கொடுப்பனவுகளின் மதிப்பானது, அடர்த்தி செயல்பாட்டின் விகிதாச்சாரத்துடன் தொடர்ச்சியான விநியோகம் மூலம் மாதிரியாக இருக்கலாம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். (நடைமுறையில், பிரீமியங்களின் விநியோகத்தைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான வளைவு முந்தைய காலகட்டத்தில் பிரீமியங்களின் ஆய்வுகளின் விளைவாகும்.)

r.v இன் நிபந்தனை விநியோகம் பற்றிய இந்த அனுமானங்களைச் சுருக்கவும். நிபந்தனையின் கீழ், 0 முதல் 2000 வரையிலான நேர்மறை அடர்த்தி மற்றும் 2000 புள்ளியில் நிகழ்தகவு வெகுஜனத்தின் சில "உறைவு" கொண்ட கலப்பு-வகை விநியோகத்திற்கு வருகிறோம். இது படத்தில் உள்ள வரைபடத்தால் விளக்கப்பட்டுள்ளது. 2.2.1.

இந்த நிபந்தனை விநியோகத்தின் விநியோக செயல்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

படம்.2.1. r.v இன் விநியோக செயல்பாடு. B நிபந்தனையின் கீழ் I = 1

கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ள கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டை கார் காப்பீட்டுடன் இரண்டு வழிகளில் கணக்கிடுகிறோம்.

முதலில், r.v இன் விநியோகத்தை எழுதுகிறோம். மற்றும் கணக்கிட அதை பயன்படுத்த மற்றும் . r.v இன் விநியோக செயல்பாடு மூலம் குறிக்கிறது. , எங்களிடம் உள்ளது

க்கு எக்ஸ்<0

இது ஒரு கலவையான விநியோகம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. 2.2, இது ஒரு தனித்தனி (புள்ளி 2000 இல் நிகழ்தகவு நிறை "கூட்டு") மற்றும் ஒரு தொடர்ச்சியான பகுதி இரண்டையும் கொண்டுள்ளது. இத்தகைய பரவல் செயல்பாடு நிகழ்தகவு செயல்பாட்டின் கலவையை ஒத்துள்ளது

அரிசி. 2.2 r.v இன் விநியோக செயல்பாடு. X=IB

மற்றும் அடர்த்தி செயல்பாடுகள்

குறிப்பாக, மற்றும் . அதனால் தான் .

சீரற்ற மாறிகளின் தருணங்களை நிபந்தனைக்குட்பட்ட கணித எதிர்பார்ப்புகளுடன் தொடர்புபடுத்தும் பல சூத்திரங்கள் உள்ளன. கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டிற்கு, இந்த சூத்திரங்கள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

(2.10)

(2.11)

இந்த சமத்துவங்களின் இடது பக்கங்களில் உள்ள வெளிப்பாடுகள் r.v இன் விநியோகத்திலிருந்து நேரடியாக கணக்கிடப்படுகின்றன என்று கருதப்படுகிறது. . வலது பக்கங்களில் உள்ள வெளிப்பாடுகளை கணக்கிடும் போது, ​​அதாவது, மற்றும் , r.v இன் நிபந்தனை விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. r.v இன் நிலையான மதிப்பில் .

இந்த வெளிப்பாடுகள், எனவே, r.v இன் செயல்பாடுகள். , மற்றும் r.v இன் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் தருணங்களை நாம் கணக்கிடலாம். .

நிபந்தனை விநியோகங்கள் பல ஆக்சுரியல் மாடல்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் இது மேலே உள்ள சூத்திரங்களை நேரடியாகப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. எங்கள் மாதிரியில். ஆர்.வி. என மற்றும் ஆர்.வி. என, நாம் பெறுகிறோம்

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

மற்றும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட கணித எதிர்பார்ப்புகளை கருத்தில் கொள்ளுங்கள்

(2.16)

(2.17)

சூத்திரங்கள் (2.16) மற்றும் (2.17) r.v இன் செயல்பாடாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. , இது பின்வரும் சூத்திரமாக எழுதப்படலாம்:

இல் இருந்து, பின்னர் (2.21)

எங்களிடம் உள்ளது மற்றும் (2.22)

சூத்திரங்கள் (2.21) மற்றும் (2.22) இணைக்கப்படலாம்: (2.23)

இவ்வாறு, (2.24)

(2.21), (2.20), மற்றும் (2.24) (2.12) மற்றும் (2.13) ஆகியவற்றிற்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்

கணக்கீட்டிற்கான பெறப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் ஆட்டோமொபைல் காப்பீட்டின் உதாரணத்தில் (படம் 2.2). r.v இன் அடர்த்தி செயல்பாடு என்பதால். நிபந்தனை சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

மற்றும் பி(B=2000|I=1)= 0.1, எங்களிடம் உள்ளது

இறுதியாக, அனுமானம் கே= 0.15, சூத்திரங்கள் (2.25) மற்றும் (2.26) ஆகியவற்றிலிருந்து பின்வரும் சமத்துவங்களைப் பெறுகிறோம்:

மற்றொரு காப்பீட்டு சூழ்நிலையை விவரிக்க, நாங்கள் r.v க்கான பிற மாதிரிகளை வழங்கலாம். .

உதாரணம்: விமான விபத்துக்களால் இறந்தவர்களின் எண்ணிக்கைக்கான மாதிரி

உதாரணமாக, ஒரு விமான நிறுவனத்தின் செயல்பாட்டின் ஒரு வருட காலப்பகுதியில் விமான விபத்துக்களால் ஏற்படும் இறப்புகளின் எண்ணிக்கைக்கான மாதிரியைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு விமானத்திற்கான இறப்புகளின் எண்ணிக்கையை விவரிக்கும் ஒரு சீரற்ற மாறியுடன் தொடங்கலாம், பின்னர் ஒரு வருடத்தில் அனைத்து விமானங்களிலும் இந்த சீரற்ற மாறிகளை தொகுக்கலாம்.

ஒரு விமானத்திற்கு, நிகழ்வு விமான விபத்தின் தொடக்கத்தைக் குறிக்கும். இந்த பேரழிவு ஏற்படுத்திய இறப்புகளின் எண்ணிக்கையானது இரண்டு சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் , விமானத்தின் சுமை காரணி எங்குள்ளது, அதாவது விபத்தின் போது விமானத்தில் இருந்தவர்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் மக்கள் மத்தியில் இறந்தவர்களின் விகிதம் பலகை.

இறப்புகளின் எண்ணிக்கை இந்த வழியில் வழங்கப்படுகிறது, ஏனெனில் மதிப்புகளுக்கான தனி புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் r.v க்கான புள்ளிவிவரங்களை விட அணுகக்கூடியவை. . எனவே, கப்பலில் உள்ள நபர்களிடையே இறப்பு விகிதம் மற்றும் கப்பலில் உள்ள நபர்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவை தொடர்புடையதாக இருந்தாலும், முதல் தோராயமாக இது r.v. மற்றும் சுதந்திரமான.

சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை

தனிப்பட்ட இடர் மாதிரியில், ஒரு காப்பீட்டு நிறுவனத்தால் செய்யப்படும் காப்பீட்டுத் தொகைகள் பல தனிநபர்களுக்கான கொடுப்பனவுகளின் தொகையாக வழங்கப்படுகின்றன.

சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரவலைத் தீர்மானிக்க இரண்டு முறைகளை நினைவுபடுத்தவும். முதலில் இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கவனியுங்கள், அதன் மாதிரி இடம் படம். 3.1

அரிசி. 2.3.1. நிகழ்வு

இந்த கோட்டின் கீழ் உள்ள கோடும் பகுதியும் ஒரு நிகழ்வைக் குறிக்கும். எனவே, r.v இன் விநியோக செயல்பாடு. எஸ்வடிவம் உள்ளது (3.1)

இரண்டு தனித்த எதிர்மறை அல்லாத சீரற்ற மாறிகளுக்கு, மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (3.1) என எழுதலாம்

ஒரு என்றால் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்சுயாதீனமானவை, கடைசித் தொகையை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம்

(3.3)

இந்த விநியோகச் சார்புடன் தொடர்புடைய நிகழ்தகவு செயல்பாட்டை சூத்திரத்தால் கண்டறியலாம்

(3.4)

தொடர்ச்சியான எதிர்மறை அல்லாத சீரற்ற மாறிகளுக்கு, சூத்திரங்கள் (3.2), (3.3) மற்றும் (3.4) ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய சூத்திரங்கள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

ஒன்று அல்லது இரண்டும் சீரற்ற மாறிகள் இருக்கும்போது எக்ஸ்மற்றும் ஒய்ஒரு கலப்பு வகை விநியோகம் (இது தனிப்பட்ட இடர் மாதிரிகளுக்கு பொதுவானது), சூத்திரங்கள் ஒத்தவை, ஆனால் மிகவும் சிக்கலானவை. எதிர்மறை மதிப்புகளையும் எடுக்கக்கூடிய சீரற்ற மாறிகளுக்கு, மேலே உள்ள சூத்திரங்களில் உள்ள தொகைகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகள் y இன் அனைத்து மதிப்புகளிலும் எடுக்கப்படுகின்றன.

நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், சூத்திரங்களில் (3.3) மற்றும் (3.6) செயல்பாடு இரண்டு விநியோகச் செயல்பாடுகளின் சுருள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது . சூத்திரங்கள் (3.4) மற்றும் (3.7) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஜோடி நிகழ்தகவு அல்லது அடர்த்தி செயல்பாடுகளுக்கு கன்வல்யூஷன் செயல்பாட்டை வரையறுக்கலாம்.

இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரவலைத் தீர்மானிக்க, நாம் மாற்றியமைக்கும் செயல்முறையின் மறு செய்கைகளைப் பயன்படுத்தலாம். க்கு , சுதந்திரமான சீரற்ற மாறிகள் எங்கே, r.v. இன் விநியோகச் செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது r.v இன் விநியோகச் செயல்பாடு ஆகும். , நாங்கள் பெறுவோம்

எடுத்துக்காட்டு 3.1 மூன்று தனித்த சீரற்ற மாறிகளுக்கான இந்த செயல்முறையை விளக்குகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3.1.சீரற்ற மாறிகள் , மற்றும் கீழே உள்ள அட்டவணையின் நெடுவரிசைகள் (1), (2) மற்றும் (3) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட விநியோகங்களைக் கொண்டுள்ளன.

r.v இன் நிகழ்தகவு செயல்பாடு மற்றும் விநியோக செயல்பாடு ஆகியவற்றை எழுதுவோம்.

தீர்வு.எடுத்துக்காட்டுக்கு முன் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டை அட்டவணை பயன்படுத்துகிறது:

நெடுவரிசைகள் (1)-(3) கிடைக்கக்கூடிய தகவல்களைக் கொண்டுள்ளது.

நெடுவரிசை (4) நெடுவரிசைகள் (1) மற்றும் (2) (3.4) ஐப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்டது.

நெடுவரிசை (5) நெடுவரிசைகள் (3) மற்றும் (4) ஐப் பயன்படுத்தி (3.4) பெறப்பட்டது.

நெடுவரிசையின் வரையறை (5) r.v க்கான நிகழ்தகவு செயல்பாட்டின் தீர்மானத்தை நிறைவு செய்கிறது. . நெடுவரிசையில் (8) அதன் பரவல் செயல்பாடு என்பது, மேலே இருந்து தொடங்கும் நெடுவரிசையின் (5) பகுதித் தொகைகளின் தொகுப்பாகும்.

தெளிவுக்காக, நெடுவரிசை (6), நெடுவரிசை (1), நெடுவரிசை (7) ஆகியவற்றுக்கான விநியோகச் செயல்பாட்டைச் சேர்த்துள்ளோம், இது நெடுவரிசைகள் (1) மற்றும் (6) ஐப் பயன்படுத்தி (2.3.3) மற்றும் நெடுவரிசை (8) ஆகியவற்றிலிருந்து நேரடியாகப் பெறலாம். ) நெடுவரிசைகள் (3) மற்றும் (7) ஆகியவற்றால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. நெடுவரிசை (5) நெடுவரிசை (8) இலிருந்து அடுத்தடுத்த கழித்தல் மூலம் தீர்மானிக்கப்படலாம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள் கொண்ட இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.2.ஆர்.வி. இடைவெளியில் (0,2) சீரான விநியோகம் உள்ளது, மேலும் r.v. r.v சார்ந்து இல்லை. மற்றும் இடைவெளியில் (0,3) சீரான விநியோகம் உள்ளது. r.v இன் விநியோக செயல்பாட்டை வரையறுப்போம்.

தீர்வு. r.v இன் விநியோகங்களிலிருந்து. மற்றும் தொடர்ச்சியாக, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (3.6):

பிறகு

r.v இன் மாதிரி இடம் மற்றும் படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளது. 3.2 செவ்வக பகுதியானது ஜோடியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது மற்றும் . எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள நிகழ்வு, ஐந்து மதிப்புகளுக்கு படத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது கள்.

ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும், கோடு அச்சில் வெட்டுகிறது ஒய்புள்ளியில் கள்மற்றும் ஒரு புள்ளியில் ஒரு கோடு. இந்த ஐந்து நிகழ்வுகளுக்கான செயல்பாட்டு மதிப்புகள் பின்வரும் சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன:

அரிசி. 3.2 இரண்டு சீரான விநியோகங்களின் சுருக்கம்

எடுத்துக்காட்டு 3.3.மூன்று சுயேச்சையான ஆர்.வி. . ஆர்.விக்கு அதிவேக விநியோகம் மற்றும் . r.v இன் அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம். கன்வல்யூஷன் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம்.

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது

சூத்திரத்தை (3.7) மூன்று முறை பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரவலைத் தீர்மானிப்பதற்கான மற்றொரு முறை, தருணத்தை உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் தனித்துவத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது r.v. விகிதத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது .

இந்த கணித எதிர்பார்ப்பு அனைவருக்கும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் டிதோற்றம் கொண்ட சில திறந்த இடைவெளியில் இருந்து, r.v இன் விநியோக தருணங்களின் ஒரே உருவாக்கும் செயல்பாடு ஆகும். r.v இன் விநியோக தருணங்களை உருவாக்கும் செயல்பாடாக இருக்கும், தவிர வேறு எந்த செயல்பாடும் இல்லை என்ற பொருளில். .

இந்த தனித்துவத்தை பின்வருமாறு பயன்படுத்தலாம்: தொகைக்கு

அவை சுயாதீனமாக இருந்தால், சூத்திரத்தில் (3.8) உற்பத்தியின் எதிர்பார்ப்பு சமமாக இருக்கும் ..., அதனால்

தருணங்களின் (3.9) உருவாக்கும் செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரே விநியோகத்திற்கான வெளிப்படையான வெளிப்பாட்டைக் கண்டறிவது r.v இன் விநியோகத்தைக் கண்டறிவதை நிறைவு செய்யும். . அதை வெளிப்படையாகக் குறிப்பிட முடியாவிட்டால், அதை எண் முறைகள் மூலம் தேடலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.4. எடுத்துக்காட்டு 3.3 இலிருந்து சீரற்ற மாறிகளைக் கவனியுங்கள். r.v இன் அடர்த்தி செயல்பாட்டை வரையறுப்போம். , r.v இன் தருணங்களின் உருவாக்கும் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி. .

தீர்வு.சமத்துவத்தின் படி (3.9), என எழுதலாம் எளிய பின்னங்களாக சிதைவு முறையைப் பயன்படுத்துதல். தீர்வு தான் . ஆனால் அளவுருவுடன் கூடிய அதிவேகப் பரவலின் தருணங்களை உருவாக்கும் செயல்பாடாகும், அதனால் r.v இன் அடர்த்திச் செயல்பாடு. வடிவம் உள்ளது

எடுத்துக்காட்டு 3.5. சீரற்ற செயல்முறைகளின் ஆய்வில், தலைகீழ் காசியன் விநியோகம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இது r.v இன் விநியோகமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. AT, காப்பீட்டுத் தொகையின் அளவு. தலைகீழ் காஸியன் விநியோகத்தின் தருணங்களின் அடர்த்தி செயல்பாடு மற்றும் உருவாக்கும் செயல்பாடு சூத்திரங்களால் வழங்கப்படுகின்றன.

r.v இன் விநியோகத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். , எங்கே ஆர்.வி. சுயாதீனமானவை மற்றும் அதே தலைகீழ் காஸியன் விநியோகங்களைக் கொண்டுள்ளன.

தீர்வு.சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (3.9), r.v. தருணங்களை உருவாக்கும் செயல்பாட்டிற்கு பின்வரும் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம். :

கணங்களின் உருவாக்கும் செயல்பாடு ஒரு தனித்துவமான பரவலுக்கு ஒத்திருக்கிறது, மேலும் இது அளவுருக்கள் மற்றும் .

தொகை விநியோகத்திற்கான தோராயங்கள்

மத்திய வரம்பு தேற்றம், சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரவலுக்கான எண் மதிப்புகளைக் கண்டறியும் முறையை வழங்குகிறது. வழக்கமாக இந்த தேற்றம் சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகைக்காக உருவாக்கப்படுகிறது, அங்கு .

எந்த n க்கும், r.v இன் விநியோகம். எங்கே = , கணித எதிர்பார்ப்பு 0 மற்றும் மாறுபாடு 1 உள்ளது. தெரிந்தபடி, அத்தகைய விநியோகங்களின் வரிசை (இதற்கு n= 1, 2, ...) நிலையான இயல்பான விநியோகத்திற்கு முனைகிறது. எப்பொழுது nபெரியது, இந்த தேற்றம் r.v இன் பரவலை தோராயமாக கணக்கிட பயன்படுத்தப்படுகிறது. சராசரியுடன் இயல்பான விநியோகம் μ மற்றும் சிதறல். இதேபோல், தொகையின் விநியோகம் nசீரற்ற மாறிகள் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டுடன் ஒரு சாதாரண விநியோகத்தால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது.

அத்தகைய தோராயத்தின் செயல்திறன் விதிமுறைகளின் எண்ணிக்கையை மட்டுமல்ல, விதிமுறைகளின் விநியோகத்தின் நெருக்கத்தையும் சாதாரணமாக சார்ந்துள்ளது. தோராயமானது நியாயமானதாக இருக்க, n குறைந்தபட்சம் 30 ஆக இருக்க வேண்டும் என்று பல தொடக்கப் புள்ளியியல் படிப்புகள் கூறுகின்றன.

இருப்பினும், சிமுலேஷன் மாடலிங்கில் பயன்படுத்தப்படும் சாதாரணமாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகளை உருவாக்கும் திட்டங்களில் ஒன்று, சராசரியாக 12 சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் இடைவெளியில் (0,1) ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் ஒரு சாதாரண சீரற்ற மாறியை செயல்படுத்துகிறது.

பல தனிப்பட்ட இடர் மாதிரிகளில், தொகைகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள சீரற்ற மாறிகள் சமமாக விநியோகிக்கப்படுவதில்லை. இது அடுத்த பகுதியில் எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் விளக்கப்படும்.

மத்திய வரம்பு தேற்றம் சமமாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகளின் வரிசைகளுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது.

தனிப்பட்ட இடர் மாதிரியின் சில பயன்பாடுகளை விளக்குவதற்கு, எண்ணியல் தீர்வுகளைப் பெற, சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பொதுவான தோராயத்தைப் பயன்படுத்துவோம். ஒரு என்றால் , பிறகு

மேலும், ஆர்.வி. சுதந்திரமான, பின்னர்

கேள்விக்குரிய பயன்பாட்டிற்கு, எங்களுக்குத் தேவை:

• தனிப்பட்ட இழப்புகளை உருவகப்படுத்தும் சீரற்ற மாறிகளின் சராசரிகள் மற்றும் மாறுபாடுகளைக் கண்டறியவும்,
• ஒட்டுமொத்த காப்பீட்டு நிறுவனத்தின் இழப்புகளின் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டைப் பெற அவற்றைச் சுருக்கவும்,
• சாதாரண தோராயத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

இந்த செயல்களின் வரிசையை கீழே விளக்குகிறோம்.

காப்பீட்டுக்கான விண்ணப்பங்கள்

இந்த பகுதி நான்கு எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சாதாரண தோராயத்தின் பயன்பாட்டை விளக்குகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5.1.ஒரு ஆயுள் காப்பீட்டு நிறுவனம் 0.02 அல்லது 0.01 இறப்பு நிகழ்தகவு உள்ள நபர்களுக்கு 1 மற்றும் 2 அலகுகள் செலுத்தும் ஒரு வருட இறப்பு காப்பீட்டு ஒப்பந்தத்தை வழங்குகிறது. கீழே உள்ள அட்டவணை நபர்களின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது என்.கேகட்டணத்திற்கு ஏற்ப உருவாக்கப்பட்ட நான்கு வகுப்புகளில் ஒவ்வொன்றிலும் பி கேமற்றும் காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்தகவு qk:

1800 நபர்களைக் கொண்ட இந்தக் குழுவிடமிருந்து இந்தக் குழுவிற்கான மொத்தக் காப்பீட்டுத் தொகையின் விநியோகத்தின் 95வது சதவீதத்திற்குச் சமமான தொகையை காப்பீட்டு நிறுவனம் சேகரிக்க விரும்புகிறது. கூடுதலாக, அந்தத் தொகையில் ஒவ்வொரு நபரின் பங்கும் அந்த நபரின் எதிர்பார்க்கப்படும் காப்பீட்டுத் தொகைக்கு விகிதாசாரமாக இருக்க வேண்டும் என்று அவர் விரும்புகிறார்.

எண்ணைக் கொண்ட நபரின் பங்கு , அதன் சராசரி கட்டணம் சமமாக இருக்க வேண்டும் . இது 95 வது சதவிகிதத்தின் தேவையிலிருந்து பின்வருமாறு. அதிக மதிப்பு, , ரிஸ்க் பிரீமியம் மற்றும் ரிலேடிவ் ரிஸ்க் பிரீமியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கணக்கிடுவோம்.

தீர்வு.மதிப்பு உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது = 0.95, எங்கே S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 .இந்த நிகழ்தகவு அறிக்கை பின்வருவனவற்றிற்கு சமம்:

Sec இல் மைய வரம்பு தேற்றம் பற்றி கூறப்பட்டதற்கு இணங்க. 4, r.v இன் விநியோகத்தை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறோம். நிலையான இயல்பான விநியோகம் மற்றும் அதன் 95வது சதவீதத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், அதில் இருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

பாலிசிதாரர்கள் பிரிக்கப்பட்டுள்ள நான்கு வகுப்புகளுக்கு, பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறுகிறோம்:

இந்த வழியில்,

எனவே, ரிஸ்க் பிரீமியம் தொடர்புடையது

எடுத்துக்காட்டு 5.2.கார் காப்பீட்டு நிறுவனத்தின் வாடிக்கையாளர்கள் இரண்டு வகைகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளனர்:

துண்டிக்கப்பட்ட அதிவேகப் பரவலானது விநியோகச் செயல்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது

இது அடர்த்தி செயல்பாடு கொண்ட கலப்பு வகை விநியோகம் , மற்றும் ஒரு புள்ளியில் நிகழ்தகவு வெகுஜனத்தின் "கிளம்ப்" எல். இந்த விநியோக செயல்பாட்டின் வரைபடம் படம் 5.1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

அரிசி. 5.1 துண்டிக்கப்பட்ட அதிவேக விநியோகம்

முன்பு போலவே, காப்பீட்டுத் தொகையின் மொத்தத் தொகை பாலிசிதாரர்களிடமிருந்து சேகரிக்கப்பட்ட தொகையை விட அதிகமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.05 ஆக இருக்க வேண்டும். பரிசீலனையில் உள்ள இரண்டு வகுப்புகளில் ஒவ்வொன்றிலும் ரிஸ்க் பிரீமியம் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும் என்று நாங்கள் கருதுவோம். கணக்கிடுவோம்.

தீர்வு.இந்த உதாரணம் முந்தையதைப் போலவே உள்ளது. ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், காப்பீட்டுத் தொகைகளின் மதிப்புகள் இப்போது சீரற்ற மாறிகள்.

முதலில், துண்டிக்கப்பட்ட அதிவேக விநியோகத்தின் தருணங்களுக்கான வெளிப்பாடுகளைப் பெறுவோம். சூத்திரங்களை (2.25) மற்றும் (2.26) பயன்படுத்துவதற்கான ஆயத்தப் படியாக இது இருக்கும்:

நிபந்தனையில் கொடுக்கப்பட்ட அளவுரு மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (2.25) மற்றும் (2.26), பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறுகிறோம்:

அதனால், எஸ், காப்பீட்டுத் தொகையின் மொத்தத் தொகை, தருணங்களைக் கொண்டுள்ளது

வரையறைக்கான நிபந்தனை எடுத்துக்காட்டு 5.1 இல் உள்ளதைப் போலவே உள்ளது, அதாவது,

சாதாரண விநியோக தோராயத்தை மீண்டும் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 5.3.காப்பீட்டு நிறுவனத்தின் போர்ட்ஃபோலியோ பின்வரும் அட்டவணையின்படி ஒரு வருட காலத்திற்கு 16,000 இறப்பு காப்பீட்டு ஒப்பந்தங்களை உள்ளடக்கியது:

16,000 வாடிக்கையாளர்களில் ஒவ்வொருவருக்கும் காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.02 ஆகும். நிறுவனம் அதன் சொந்த தக்கவைப்பு விகிதத்தை அமைக்க விரும்புகிறது. ஒவ்வொரு பாலிசிதாரருக்கும், சொந்தத் தக்கவைப்பு நிலை என்பது இந்த நிறுவனம் (நிறுவனத்தை ஒதுக்கும்) சுயாதீனமாக பணம் செலுத்தும் மதிப்பாகும், மேலும் இந்த மதிப்பை மீறும் கட்டணங்கள் மற்றொரு நிறுவனத்தின் (மறுகாப்பீட்டாளர்) மறுகாப்பீட்டு ஒப்பந்தத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, சொந்தத் தக்கவைப்பு விகிதம் 200,000 எனில், ஒவ்வொரு காப்பீட்டாளருக்கும் 20,000 வரை கவரேஜை நிறுவனம் ஒதுக்குகிறது மற்றும் காப்பீட்டு பிரீமியம் 20,000 ஐத் தாண்டிய 4,500 பாலிசிதாரர்களில் ஒவ்வொருவருக்கும் பிரீமியத்திற்கும் 20,000 தொகைக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தை ஈடுகட்ட மறுகாப்பீட்டை வாங்குகிறது.

நிறுவனம் ஒரு முடிவெடுக்கும் அளவுகோலாக, நிகழ்தகவைக் குறைப்பதன் மூலம், காப்பீட்டுக் கோரிக்கைகள் அதன் சொந்தப் பிடிப்பில் விடப்படுவதையும், மறுகாப்பீட்டுக்காக செலுத்தப்படும் தொகையையும் சேர்த்து, 8,250,000 தொகையைத் தாண்டும். ஒரு யூனிட்டுக்கான காப்பீட்டு கொடுப்பனவுகளின் மதிப்பு 0.02).

பரிசீலனையில் உள்ள போர்ட்ஃபோலியோ மூடப்பட்டதாக நாங்கள் நம்புகிறோம்: நடப்பு ஆண்டில் புதிய காப்பீட்டு ஒப்பந்தங்கள், விவரிக்கப்பட்ட முடிவெடுக்கும் செயல்பாட்டில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படாது.

பகுதி தீர்வு. முதலில் அனைத்து கணக்கீடுகளையும் செய்வோம், 10,000 ஐ பேஅவுட் யூனிட்டாக தேர்வு செய்வோம், ஒரு விளக்கமாக, c என்று வைத்துக்கொள்வோம். உள்ளே எஸ்பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

இந்தக் காப்பீட்டுக் கொடுப்பனவுகளுக்கு உங்களின் சொந்தப் பிடிப்பில் விடப்படும் எஸ், மறுகாப்பீட்டு பிரீமியங்களின் அளவு சேர்க்கப்படுகிறது. மொத்தத்தில், இந்தத் திட்டத்தின்படி மொத்த கவரேஜ் தொகை

சொந்த துப்பறியும் தொகைக்கு சமம்

இவ்வாறு, மறுகாப்பீடு செய்யப்பட்ட மொத்த மதிப்பு 35,000-24,000=11,000 மற்றும் மறுகாப்பீட்டு செலவு

எனவே, 2க்கு சமமான சொந்தத் தக்கவைப்பு மட்டத்தில், சொந்தத் தக்கவைப்பில் மீதமுள்ள காப்பீட்டுக் கொடுப்பனவுகள் மற்றும் மறுகாப்பீட்டுச் செலவு. இந்த மொத்தம் 825ஐத் தாண்டும் நிகழ்தகவின் அடிப்படையில் முடிவெடுக்கும் அளவுகோல் உள்ளது.

சாதாரண விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த மதிப்பு தோராயமாக 0.0062 க்கு சமமாக இருப்பதைப் பெறுகிறோம்.

மறுகாப்பீட்டின் வகைகளில் ஒன்றாக, இழப்பு அதிகப்படியான காப்பீட்டின் போது காப்பீட்டு கொடுப்பனவுகளின் சராசரி மதிப்புகள், மொத்த காப்பீட்டு கொடுப்பனவுகளின் விநியோகமாக சாதாரண விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம்.

மொத்தக் காப்பீட்டுக் கொடுப்பனவுகள் X சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டுடன் இயல்பான விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும்

எடுத்துக்காட்டு 5.4.உதாரணம் 5.3 இல் உள்ளதைப் போல, காப்பீட்டு போர்ட்ஃபோலியோவைக் கருத்தில் கொள்வோம். காப்பீட்டு ஒப்பந்தத்தின் கீழ் லாபம் ஈட்ட முடியாத அளவுக்கு அதிகமான காப்பீட்டுத் தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

(அ) ​​தனிப்பட்ட மறுகாப்பீடு எதுவும் இல்லை மற்றும் நிபந்தனையற்ற விலக்கு 7,500,000 ஆக அமைக்கப்பட்டுள்ளது

(ஆ) தனிநபர் காப்பீட்டு ஒப்பந்தங்களில் 20,000 தனிநபர் பிடித்தம் நிறுவப்பட்டது மற்றும் போர்ட்ஃபோலியோவிற்கு நிபந்தனையற்ற விலக்கு 5,300,000 ஆகும்.

தீர்வு.

(அ) ​​தனிப்பட்ட மறுகாப்பீடு இல்லாத நிலையில் மற்றும் 10,000 நாணயமாக மாறும்போது

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் (5.2) கொடுக்கிறது

இது அசல் அலகுகளில் 43,770 இன் கூட்டுத்தொகையாகும்.

(ஆ) கண்காட்சி 5.3 இல், 10,000ஐ ஒரு யூனிட்டாகப் பயன்படுத்தி முறையே 480 மற்றும் 784 ஆக 20,000 கழிக்கப்படும் தனிநபர்களுக்கான மொத்த பிரீமியங்களின் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டைப் பெறுகிறோம். இவ்வாறு, =28.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் (5.2) கொடுக்கிறது

இது அசல் அலகுகளில் 4140 இன் கூட்டுத்தொகையாகும்.

இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் அமைப்பு இருக்கட்டும் எக்ஸ்மற்றும் ஒய், அதன் கூட்டு விநியோகம் அறியப்படுகிறது. ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவலைக் கண்டறிவதே பணியாகும். உதாரணமாக எஸ்.வி Zநீங்கள் இரண்டு நிறுவனங்களிலிருந்து லாபம் ஈட்டலாம்; இரண்டு வெவ்வேறு பகுதிகளில் இருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் வாக்களித்த வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை; இரண்டு பகடைகளில் உள்ள புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை.

1. இரண்டு DSVகளின் வழக்கு.தனித்துவமான CVகள் எந்த மதிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டாலும் (ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தசமப் பகுதியின் வடிவத்தில், வெவ்வேறு படிகளுடன்), நிலைமை எப்போதும் பின்வரும் குறிப்பிட்ட வழக்கில் குறைக்கப்படலாம். மதிப்புகள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்முழு எண் மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும், அதாவது. எங்கே . ஆரம்பத்தில் அவை தசம பின்னங்களாக இருந்தால், அவற்றை 10 k ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் முழு எண்களாக மாற்றலாம். மேலும் உயர் மற்றும் தாழ்வுகளுக்கு இடையில் இல்லாத மதிப்புகள் பூஜ்ஜிய நிகழ்தகவுகளை ஒதுக்கலாம். கூட்டு நிகழ்தகவு பரவலை அறியலாம். பின்னர், விதிகளின்படி மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை எண்ணினால்: , கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு:

மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்றில் சேர்க்கப்படுகின்றன.

2. இரண்டு NSWகளின் வழக்கு.கூட்டுப் பரவல் அடர்த்தி தெரியட்டும். பின்னர் தொகையின் பரவல் அடர்த்தி:

ஒரு என்றால் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்சுயாதீனமான, அதாவது. , பிறகு

எடுத்துக்காட்டு 1 எக்ஸ், ஒய்- சுயாதீனமான, சீராக விநியோகிக்கப்படும் SW:

சீரற்ற மாறியின் பரவல் அடர்த்தியைக் கண்டுபிடிப்போம்.

என்பது வெளிப்படையானது ,

SW Zஇடைவெளியில் மதிப்புகளை எடுக்கலாம் ( c+d; a+b), ஆனால் அனைவருக்கும் இல்லை எக்ஸ். இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே. ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் ( எக்ஸ், z) அளவின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் வரம்பு zபக்கங்களுடன் ஒரு இணையான வரைபடம் எக்ஸ்=உடன்; எக்ஸ்=அ; z=x+d; z=x+b. ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகள் சூத்திரத்தில் இருக்கும் cமற்றும் அ. இருப்பினும், மாற்றியமைக்கப்பட்டதன் காரணமாக y=z-x, சில மதிப்புகளுக்கு zசெயல்பாடு . உதாரணமாக, என்றால் c , பின்னர் மணிக்கு z=x+cமற்றும் ஏதேனும் எக்ஸ்கொண்டிருக்கும்: . எனவே, மதிப்பில் மாற்றத்தின் வெவ்வேறு பகுதிகளுக்கு தனித்தனியாக ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும் z, ஒவ்வொன்றிலும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் வித்தியாசமாக இருக்கும், ஆனால் எல்லோருக்கும் எக்ஸ்மற்றும் z. சிறப்பு சந்தர்ப்பத்திற்காக இதை நாங்கள் செய்வோம் a+d< b+c . அளவு மாற்றத்தின் மூன்று வெவ்வேறு பகுதிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம் zமேலும் அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்.