குறைந்த சதுரங்களின் முறை எங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது? எக்செல் இல் குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை. பின்னடைவு பகுப்பாய்வு குறைந்த சதுரங்கள் பின்னடைவு

பின்னடைவு செயல்பாட்டின் வகையைத் தேர்ந்தெடுப்பது, அதாவது. X (அல்லது X மீது Y) சார்ந்து கருதப்படும் மாதிரியின் வகை, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நேரியல் மாதிரி y x \u003d a + bx, குணகங்களின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். மாதிரி.

a மற்றும் b இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு, y x =a+bx வடிவத்தின் எண்ணற்ற சார்புகளை உருவாக்க முடியும், அதாவது, ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் எண்ணற்ற கோடுகள் உள்ளன, ஆனால் நமக்கு அத்தகைய சார்பு தேவை. கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை சிறந்த முறையில் ஒத்துள்ளது. இதனால், சிறந்த குணகங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் சிக்கல் குறைக்கப்படுகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளின் அடிப்படையில் மட்டுமே, a + bx நேரியல் செயல்பாட்டைத் தேடுகிறோம். கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு சிறந்த பொருத்தத்துடன் செயல்பாட்டைக் கண்டறிய, குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

குறிக்கவும்: Y i - Y i =a+bx i சமன்பாட்டால் கணக்கிடப்படும் மதிப்பு. y i - அளவிடப்பட்ட மதிப்பு, ε i =y i -Y i - அளவிடப்பட்ட மற்றும் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு, ε i =y i -a-bx i .

குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறைக்கு ε i , அளவிடப்பட்ட y i மற்றும் சமன்பாட்டிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட Y i இன் மதிப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு குறைவாக இருக்க வேண்டும். எனவே, a மற்றும் b குணகங்களைக் காண்கிறோம், இதனால் நேரான பின்னடைவுக் கோட்டில் உள்ள மதிப்புகளிலிருந்து கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை சிறியதாக இருக்கும்:

வாதங்களின் இந்தச் செயல்பாட்டை ஆராய்வது மற்றும் டெரிவேடிவ்களின் உதவியுடன் ஒரு உச்சநிலைக்கு, குணகங்கள் a மற்றும் b அமைப்பின் தீர்வுகள் என்றால், செயல்பாடு குறைந்தபட்ச மதிப்பைப் பெறுகிறது என்பதை நிரூபிக்க முடியும்:

(2)

சாதாரண சமன்பாடுகளின் இரு பக்கங்களையும் n ஆல் வகுத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்:

என்று கொடுக்கப்பட்டது (3)

பெறு , இங்கிருந்து, முதல் சமன்பாட்டில் a இன் மதிப்பை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

இந்த வழக்கில், b பின்னடைவு குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது; a பின்னடைவு சமன்பாட்டின் இலவச உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

இதன் விளைவாக வரும் நேர்கோடு கோட்பாட்டு பின்னடைவுக் கோட்டிற்கான மதிப்பீடாகும். எங்களிடம் உள்ளது:

அதனால், ஒரு நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு ஆகும்.

பின்னடைவு நேரடி (b>0) மற்றும் தலைகீழ் (b எடுத்துக்காட்டு 1. X மற்றும் Y மதிப்புகளை அளவிடுவதன் முடிவுகள் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

X மற்றும் Y y=a+bx இடையே ஒரு நேர்கோட்டு உறவு இருப்பதாகக் கருதி, குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி a மற்றும் b குணகங்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. இங்கே n=5
x i =-2+0+1+2+4=5;
x i 2 =4+0+1+4+16=25
x i y i =-2 0.5+0 1+1 1.5+2 2+4 3=16.5
y i =0.5+1+1.5+2+3=8

மற்றும் சாதாரண அமைப்பு (2) வடிவம் உள்ளது

இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் பெறுவது: b=0.425, a=1.175. எனவே y=1.175+0.425x.

எடுத்துக்காட்டு 2. பொருளாதார குறிகாட்டிகள் (X) மற்றும் (Y) 10 அவதானிப்புகளின் மாதிரி உள்ளது.

X இல் Y மாதிரி பின்னடைவு சமன்பாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும். X இல் Y மாதிரி பின்னடைவு வரியை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. 1. x i மற்றும் y i மதிப்புகள் மூலம் தரவை வரிசைப்படுத்துவோம். நாங்கள் ஒரு புதிய அட்டவணையைப் பெறுகிறோம்:

கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த, கணக்கீட்டு அட்டவணையை தொகுப்போம், அதில் தேவையான எண் மதிப்புகளை உள்ளிடுவோம்.

சூத்திரம் (4) படி, நாம் பின்னடைவு குணகத்தை கணக்கிடுகிறோம்

மற்றும் சூத்திரம் (5)

எனவே, மாதிரி பின்னடைவு சமன்பாடு y=-59.34+1.3804x போல் தெரிகிறது.
ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் புள்ளிகளை (x i ; y i) வரைந்து, பின்னடைவுக் கோட்டைக் குறிப்போம்.

படம் 4

பின்னடைவு கோட்டுடன் ஒப்பிடும்போது கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் எவ்வாறு அமைந்துள்ளன என்பதை படம் 4 காட்டுகிறது. Y i இலிருந்து y i இன் விலகல்களை எண்ணியல் ரீதியாக மதிப்பிடுவதற்கு, y i என்பது கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் மற்றும் Y i என்பது பின்னடைவால் தீர்மானிக்கப்படும் மதிப்புகள், நாங்கள் ஒரு அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

Y i மதிப்புகள் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் படி கணக்கிடப்படுகின்றன.

பின்னடைவு வரியிலிருந்து கவனிக்கப்பட்ட சில மதிப்புகளின் குறிப்பிடத்தக்க விலகல் சிறிய எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளால் விளக்கப்படுகிறது. X இல் Y இன் நேரியல் சார்பு அளவைப் படிக்கும் போது, ​​அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. சார்புகளின் வலிமை தொடர்பு குணகத்தின் மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

குறைந்த சதுரங்கள் முறை மிகவும் பொதுவான ஒன்றாகும் மற்றும் அதன் காரணமாக மிகவும் வளர்ந்த ஒன்றாகும் நேரியல் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கான முறைகளின் எளிமை மற்றும் செயல்திறன். அதே நேரத்தில், அதைப் பயன்படுத்தும் போது சில எச்சரிக்கைகளைக் கவனிக்க வேண்டும், ஏனெனில் அதைப் பயன்படுத்தி கட்டப்பட்ட மாதிரிகள் அவற்றின் அளவுருக்களின் தரத்திற்கான பல தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்யாமல் போகலாம், இதன் விளைவாக, செயல்முறை வளர்ச்சியின் வடிவங்களை "நன்றாக" பிரதிபலிக்காது.

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் பொருளாதார மாதிரியின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கான செயல்முறையை இன்னும் விரிவாகக் கருதுவோம். பொதுவான வடிவத்தில் அத்தகைய மாதிரியை சமன்பாடு (1.2) மூலம் குறிப்பிடலாம்:

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t .

a 0 , a 1 ,..., a n என்பது அளவுருக்களை மதிப்பிடும் போது ஆரம்ப தரவு சார்பு மாறியின் மதிப்புகளின் திசையன் ஆகும். ஒய்= (y 1 , y 2 , ... , y T)" மற்றும் சுயாதீன மாறிகளின் மதிப்புகளின் அணி

இதில் முதல் நெடுவரிசை, ஒன்றை உள்ளடக்கியது, மாதிரியின் குணகத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை அதன் அடிப்படைக் கொள்கையின் அடிப்படையில் அதன் பெயரைப் பெற்றது, அதன் அடிப்படையில் பெறப்பட்ட அளவுரு மதிப்பீடுகள் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்: மாதிரி பிழையின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

குறைந்த சதுர முறை மூலம் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 2.1.வர்த்தக நிறுவனமானது 12 கடைகளைக் கொண்ட பிணையத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதன் செயல்பாடுகள் பற்றிய தகவல்கள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 2.1

வருடாந்தரத்தின் அளவு எப்படி கடையின் விற்பனைப் பகுதியைப் பொறுத்தது என்பதை நிறுவனத்தின் நிர்வாகம் அறிய விரும்புகிறது.

அட்டவணை 2.1

குறைந்த சதுர தீர்வு.-வது கடையின் வருடாந்திர வருவாய், மில்லியன் ரூபிள்; -வது கடையின் விற்பனை பகுதி, ஆயிரம் மீ 2.

படம்.2.1. எடுத்துக்காட்டு 2.1க்கான சிதறல்

மாறிகள் இடையே செயல்பாட்டு உறவின் வடிவத்தை தீர்மானிக்க மற்றும் ஒரு சிதறல் கட்டமைக்க (படம். 2.1).

சிதறல் வரைபடத்தின் அடிப்படையில், வருடாந்திர விற்றுமுதல் விற்பனைப் பகுதியைச் சார்ந்தது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் (அதாவது, y இன் வளர்ச்சியுடன் அதிகரிக்கும்). செயல்பாட்டு இணைப்பின் மிகவும் பொருத்தமான வடிவம் − ஆகும் நேரியல்.

மேலும் கணக்கீடுகளுக்கான தகவல்கள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 2.2 குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் ஒரு காரணி பொருளாதார அளவீட்டு மாதிரியின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுகிறோம்

அட்டவணை 2.2

இந்த வழியில்,

எனவே, வர்த்தக பகுதியில் 1 ஆயிரம் மீ 2 அதிகரிப்புடன், மற்ற விஷயங்கள் சமமாக இருப்பதால், சராசரி ஆண்டு வருவாய் 67.8871 மில்லியன் ரூபிள் அதிகரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.2.வருடாந்திர வருவாய் கடையின் விற்பனைப் பகுதியைப் பொறுத்தது (எடுத்துக்காட்டு 2.1 ஐப் பார்க்கவும்), ஆனால் பார்வையாளர்களின் சராசரி எண்ணிக்கையையும் சார்ந்துள்ளது என்பதை நிறுவனத்தின் நிர்வாகம் கவனித்தது. தொடர்புடைய தகவல்கள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 2.3

அட்டவணை 2.3

தீர்வு.குறிப்பது - ஒரு நாளைக்கு வது கடைக்கு வருபவர்களின் சராசரி எண்ணிக்கை, ஆயிரம் பேர்.

மாறிகள் இடையே செயல்பாட்டு உறவின் வடிவத்தை தீர்மானிக்க மற்றும் ஒரு சிதறல் கட்டமைக்க (படம். 2.2).

சிதறல் வரைபடத்தின் அடிப்படையில், வருடாந்திர விற்றுமுதல் ஒரு நாளைக்கு சராசரி பார்வையாளர்களின் எண்ணிக்கையுடன் (அதாவது, y வளர்ச்சியுடன் வளரும்) நேர்மறையான தொடர்புடையது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். செயல்பாட்டு சார்பு வடிவம் நேரியல் ஆகும்.

அரிசி. 2.2 எடுத்துக்காட்டாக 2.2

அட்டவணை 2.4

பொதுவாக, இரண்டு காரணி பொருளாதார மாதிரியின் அளவுருக்களை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்

y t \u003d a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு தேவையான தகவல்கள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 2.4

லீனியர் டூ ஃபேக்டர் எகனோமெட்ரிக் மாதிரியின் அளவுருக்களை குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடுவோம்.

இந்த வழியில்,

குணகம் = 61.6583 இன் மதிப்பீடு, மற்ற அனைத்தும் சமமாக இருப்பதால், 1 ஆயிரம் மீ 2 விற்பனை பரப்பளவில் அதிகரிப்புடன், ஆண்டு வருவாய் சராசரியாக 61.6583 மில்லியன் ரூபிள் அதிகரிக்கும்.

இது அறிவியல் மற்றும் நடைமுறையின் பல்வேறு துறைகளில் பரந்த பயன்பாட்டைக் கண்டறிகிறது. அது இயற்பியல், வேதியியல், உயிரியல், பொருளாதாரம், சமூகவியல், உளவியல் மற்றும் பலவாக இருக்கலாம். விதியின் விருப்பத்தால், நான் அடிக்கடி பொருளாதாரத்தை சமாளிக்க வேண்டியிருக்கும், எனவே இன்று நான் உங்களுக்கு ஒரு அற்புதமான நாட்டிற்கு டிக்கெட் ஏற்பாடு செய்வேன். பொருளாதார அளவீடுகள்=) … நீங்கள் அதை எப்படி விரும்பவில்லை?! அது மிகவும் நன்றாக இருக்கிறது - நீங்கள் முடிவு செய்ய வேண்டும்! …ஆனால் நீங்கள் நிச்சயமாக விரும்புவது பிரச்சனைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய வேண்டும் குறைந்தபட்ச சதுரங்கள். குறிப்பாக விடாமுயற்சியுள்ள வாசகர்கள் அவற்றைத் துல்லியமாக மட்டுமல்ல, மிக வேகமாகவும் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வார்கள் ;-) ஆனால் முதலில் பிரச்சனையின் பொதுவான அறிக்கை+ தொடர்புடைய உதாரணம்:

அளவு வெளிப்பாடு கொண்ட சில பாடப் பகுதியில் குறிகாட்டிகள் படிக்கப்படட்டும். அதே நேரத்தில், காட்டி குறிகாட்டியைப் பொறுத்தது என்று நம்புவதற்கு எல்லா காரணங்களும் உள்ளன. இந்த அனுமானம் ஒரு அறிவியல் கருதுகோளாகவும், அடிப்படை பொது அறிவு அடிப்படையிலும் இருக்கலாம். அறிவியலை ஒதுக்கி வைத்துவிட்டு, மேலும் பசியைத் தூண்டும் பகுதிகளை ஆராய்வோம் - அதாவது மளிகைக் கடைகள். இதன் மூலம் குறிக்கவும்:

- ஒரு மளிகைக் கடையின் சில்லறை இடம், சதுர மீ.,
- ஒரு மளிகைக் கடையின் வருடாந்திர வருவாய், மில்லியன் ரூபிள்.

கடையின் பரப்பளவு பெரியது, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் அதன் வருவாய் அதிகமாகும் என்பது தெளிவாகிறது.

ஒரு டம்ளரைக் கொண்டு அவதானிப்புகள் / பரிசோதனைகள் / கணக்கீடுகள் / நடனம் செய்த பிறகு, எங்களிடம் எண் தரவு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

மளிகைக் கடைகளில், எல்லாம் தெளிவாக இருப்பதாக நான் நினைக்கிறேன்: - இது 1 வது கடையின் பகுதி, - அதன் வருடாந்திர வருவாய், - 2 வது கடையின் பகுதி, - அதன் வருடாந்திர வருவாய் போன்றவை. மூலம், வகைப்படுத்தப்பட்ட பொருட்களை அணுகுவது அவசியமில்லை - வருவாயின் மிகவும் துல்லியமான மதிப்பீட்டைப் பயன்படுத்தி பெறலாம் கணித புள்ளிவிவரங்கள். இருப்பினும், திசைதிருப்ப வேண்டாம், வணிக உளவுப் படிப்பு ஏற்கனவே செலுத்தப்பட்டுள்ளது =)

அட்டவணை தரவு புள்ளிகளின் வடிவத்திலும் எழுதப்படலாம் மற்றும் நமக்கு வழக்கமான முறையில் சித்தரிக்கப்படலாம். கார்ட்டீசியன் அமைப்பு .

ஒரு முக்கியமான கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்: ஒரு தரமான ஆய்வுக்கு எத்தனை புள்ளிகள் தேவை?

பெரியது, சிறந்தது. குறைந்தபட்ச அனுமதிக்கக்கூடிய தொகுப்பு 5-6 புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. கூடுதலாக, சிறிய அளவிலான தரவுகளுடன், மாதிரியில் "அசாதாரண" முடிவுகள் சேர்க்கப்படக்கூடாது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சிறிய உயரடுக்கு கடை "தங்கள் சகாக்களை" விட அதிக அளவு ஆர்டர்களுக்கு உதவும், இதன் மூலம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய பொதுவான வடிவத்தை சிதைக்கிறது!

இது மிகவும் எளிமையானது என்றால், நாம் ஒரு செயல்பாட்டை தேர்வு செய்ய வேண்டும். அட்டவணைஇது புள்ளிகளுக்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக செல்கிறது . அத்தகைய செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது தோராயமாக (தோராயம் - தோராயம்)அல்லது கோட்பாட்டு செயல்பாடு . பொதுவாக, இங்கே உடனடியாக ஒரு வெளிப்படையான "பாசாங்கு செய்பவர்" தோன்றும் - உயர் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை, அதன் வரைபடம் அனைத்து புள்ளிகளையும் கடந்து செல்கிறது. ஆனால் இந்த விருப்பம் சிக்கலானது மற்றும் பெரும்பாலும் தவறானது. (ஏனென்றால் விளக்கப்படம் எல்லா நேரத்திலும் "காற்று" மற்றும் முக்கிய போக்கை மோசமாக பிரதிபலிக்கும்).

எனவே, விரும்பிய செயல்பாடு போதுமான எளிமையானதாகவும் அதே நேரத்தில் சார்புநிலையை போதுமான அளவில் பிரதிபலிக்கவும் வேண்டும். நீங்கள் யூகித்தபடி, அத்தகைய செயல்பாடுகளை கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகளில் ஒன்று அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச சதுரங்கள். முதலில், அதன் சாரத்தை ஒரு பொதுவான வழியில் பகுப்பாய்வு செய்வோம். சோதனைத் தரவை தோராயமாகச் சில செயல்பாடுகளை அனுமதிக்கவும்:


இந்த தோராயத்தின் துல்லியத்தை எவ்வாறு மதிப்பிடுவது? சோதனை மற்றும் செயல்பாட்டு மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளை (விலகல்கள்) கணக்கிடுவோம் (நாங்கள் வரைபடத்தைப் படிக்கிறோம்). மனதில் தோன்றும் முதல் எண்ணம் தொகை எவ்வளவு பெரியது என்பதை மதிப்பிடுவது, ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால் வேறுபாடுகள் எதிர்மறையாக இருக்கலாம். (உதாரணத்திற்கு, ) அத்தகைய கூட்டுத்தொகையின் விளைவாக ஏற்படும் விலகல்கள் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்யும். எனவே, தோராயத்தின் துல்லியத்தின் மதிப்பீடாக, அது தன்னைத் தொகையை எடுத்துக்கொள்ள பரிந்துரைக்கிறது தொகுதிகள்விலகல்கள்:

அல்லது மடிந்த வடிவத்தில்: (திடீரென்று, யாருக்குத் தெரியாது: இது கூட்டுத்தொகை ஐகான், மேலும் இது ஒரு துணை மாறி - "எதிர்", இது 1 முதல் மதிப்புகளை எடுக்கும்).

வெவ்வேறு செயல்பாடுகளுடன் சோதனை புள்ளிகளை தோராயமாக்குவதன் மூலம், நாம் வெவ்வேறு மதிப்புகளைப் பெறுவோம், மேலும் இந்தத் தொகை சிறியதாக இருந்தால், அந்த செயல்பாடு மிகவும் துல்லியமானது என்பது தெளிவாகிறது.

அத்தகைய முறை உள்ளது மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச மாடுலஸ் முறை. இருப்பினும், நடைமுறையில் இது மிகவும் பரவலாகிவிட்டது. குறைந்த சதுர முறை, இதில் சாத்தியமான எதிர்மறை மதிப்புகள் மாடுலஸால் அகற்றப்படுவதில்லை, ஆனால் விலகல்களை சதுரப்படுத்துவதன் மூலம்:

, அதன் பிறகு ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை போன்ற ஒரு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான முயற்சிகள் இயக்கப்படுகின்றன முடிந்தவரை சிறியதாக இருந்தது. உண்மையில், எனவே முறையின் பெயர்.

இப்போது நாம் மற்றொரு முக்கியமான விஷயத்திற்குத் திரும்புகிறோம்: மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு மிகவும் எளிமையானதாக இருக்க வேண்டும் - ஆனால் இதுபோன்ற பல செயல்பாடுகளும் உள்ளன: நேரியல் , மிகைப்படுத்தல், அதிவேக, மடக்கை, இருபடி முதலியன மற்றும், நிச்சயமாக, இங்கே நான் உடனடியாக "செயல்பாட்டுத் துறையைக் குறைக்க" விரும்புகிறேன். ஆராய்ச்சிக்கு எந்த வகை செயல்பாடுகளை தேர்வு செய்ய வேண்டும்? பழமையான ஆனால் பயனுள்ள நுட்பம்:

- புள்ளிகளை வரைய எளிதான வழி வரைபடத்தில் மற்றும் அவற்றின் இருப்பிடத்தை பகுப்பாய்வு செய்யவும். அவர்கள் ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்தால், நீங்கள் பார்க்க வேண்டும் நேர்கோட்டு சமன்பாடு உகந்த மதிப்புகள் மற்றும் . வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அத்தகைய குணகங்களைக் கண்டறிவதே பணியாகும் - அதனால் ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை சிறியதாக இருக்கும்.

புள்ளிகள் அமைந்திருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, சேர்த்து மிகைப்படுத்தல், நேரியல் செயல்பாடு மோசமான தோராயத்தைக் கொடுக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. இந்த வழக்கில், ஹைப்பர்போலா சமன்பாட்டிற்கான மிகவும் "சாதகமான" குணகங்களை நாங்கள் தேடுகிறோம் - சதுரங்களின் குறைந்தபட்ச தொகையைக் கொடுப்பவை .

இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் நாம் பேசுகிறோம் என்பதை இப்போது கவனியுங்கள் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகள், யாருடைய வாதங்கள் சார்பு விருப்பங்களைத் தேடியது:

மற்றும் சாராம்சத்தில், நாம் ஒரு நிலையான சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும் - கண்டுபிடிக்க இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம்.

எங்கள் உதாரணத்தை நினைவுகூருங்கள்: "கடை" புள்ளிகள் ஒரு நேர்கோட்டில் அமைந்துள்ளன மற்றும் இருப்பை நம்புவதற்கு எல்லா காரணங்களும் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். நேரியல் சார்புவர்த்தக பகுதியில் இருந்து வருவாய். "a" மற்றும் "be" போன்ற குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்போம், அதனால் ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை சிறியதாக இருந்தது. எல்லாம் வழக்கம் போல் - முதலில் 1 வது வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள். படி நேரியல் விதிதொகை ஐகானின் கீழ் நீங்கள் வேறுபடுத்தலாம்:

இந்த தகவலை நீங்கள் ஒரு கட்டுரை அல்லது பாடநெறிக்காகப் பயன்படுத்த விரும்பினால், ஆதாரங்களின் பட்டியலில் உள்ள இணைப்பிற்கு நான் மிகவும் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன், இதுபோன்ற விரிவான கணக்கீடுகளை நீங்கள் எங்கும் காண முடியாது:

ஒரு நிலையான அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் "இரண்டு" ஆல் குறைக்கிறோம், கூடுதலாக, தொகைகளை "பிரிந்து" விடுகிறோம்:

குறிப்பு : "a" மற்றும் "be" ஆகியவை ஏன் தொகை ஐகானில் இருந்து எடுக்கப்படலாம் என்பதை சுயாதீனமாக பகுப்பாய்வு செய்யவும். மூலம், முறையாக இதை தொகையுடன் செய்யலாம்

கணினியை "பயன்படுத்தப்பட்ட" வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்:

அதன் பிறகு எங்கள் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் வரையத் தொடங்குகிறது:

புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் நமக்குத் தெரியுமா? எங்களுக்கு தெரியும். தொகைகள் நாம் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? எளிதாக. நாங்கள் எளிமையானவற்றை உருவாக்குகிறோம் இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு("a" மற்றும் "beh"). நாங்கள் கணினியை தீர்க்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, க்ரேமர் முறை, ஒரு நிலையான புள்ளியை விளைவிக்கிறது. சரிபார்க்கிறது ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனை, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டைச் சரிபார்க்கலாம் துல்லியமாக அடைகிறது குறைந்தபட்சம். சரிபார்ப்பு கூடுதல் கணக்கீடுகளுடன் தொடர்புடையது, எனவே அதை திரைக்குப் பின்னால் விட்டுவிடுவோம். (தேவைப்பட்டால், விடுபட்ட சட்டத்தை பார்க்கலாம்). நாங்கள் இறுதி முடிவை எடுக்கிறோம்:

செயல்பாடு சிறந்த வழி (குறைந்தது வேறு எந்த நேரியல் செயல்பாட்டுடனும் ஒப்பிடும்போது)தோராயமான சோதனை புள்ளிகள் . தோராயமாக, அதன் வரைபடம் இந்த புள்ளிகளுக்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக செல்கிறது. பாரம்பரியத்தில் பொருளாதார அளவியல்இதன் விளைவாக தோராயமான செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது ஜோடி நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு .

பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கல் மிகவும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. எங்கள் உதாரணத்தின் சூழ்நிலையில், சமன்பாடு எந்த வகையான விற்றுமுதல் கணிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது ("yig")விற்பனை பகுதியின் ஒன்று அல்லது மற்றொரு மதிப்புடன் கடையில் இருக்கும் ("x" என்பதன் ஒன்று அல்லது வேறு பொருள்). ஆம், இதன் விளைவாக வரும் முன்னறிவிப்பு ஒரு முன்னறிவிப்பாக மட்டுமே இருக்கும், ஆனால் பல சந்தர்ப்பங்களில் இது மிகவும் துல்லியமாக மாறும்.

"உண்மையான" எண்களுடன் ஒரு சிக்கலை மட்டும் பகுப்பாய்வு செய்வேன், ஏனெனில் அதில் எந்த சிரமமும் இல்லை - அனைத்து கணக்கீடுகளும் 7-8 வகுப்புகளில் பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் மட்டத்தில் உள்ளன. 95 சதவீத நிகழ்வுகளில், நீங்கள் ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியும்படி கேட்கப்படுவீர்கள், ஆனால் கட்டுரையின் முடிவில், உகந்த ஹைபர்போலா, அடுக்கு மற்றும் வேறு சில செயல்பாடுகளுக்கான சமன்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம் அல்ல என்பதைக் காண்பிப்பேன்.

உண்மையில், வாக்குறுதியளிக்கப்பட்ட இன்னபிற பொருட்களை விநியோகிக்க இது உள்ளது - எனவே இதுபோன்ற உதாரணங்களை துல்லியமாக மட்டுமல்லாமல் விரைவாகவும் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொள்கிறீர்கள். தரத்தை நாங்கள் கவனமாகப் படிக்கிறோம்:

ஒரு பணி

இரண்டு குறிகாட்டிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் படித்ததன் விளைவாக, பின்வரும் ஜோடி எண்கள் பெறப்பட்டன:

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி, அனுபவத்தை சிறந்த தோராயமான நேரியல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் (அனுபவம்)தகவல்கள். கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், சோதனை புள்ளிகள் மற்றும் தோராயமான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரையவும். . அனுபவ மற்றும் கோட்பாட்டு மதிப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும். செயல்பாடு சிறப்பாக இருக்குமா என்பதைக் கண்டறியவும் (குறைந்த சதுர முறையின் அடிப்படையில்)தோராயமான சோதனை புள்ளிகள்.

"x" மதிப்புகள் இயற்கையான மதிப்புகள் என்பதை நினைவில் கொள்க, மேலும் இது ஒரு சிறப்பியல்பு அர்த்தமுள்ள பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதை நான் சிறிது நேரம் கழித்து பேசுவேன்; ஆனால் அவை, நிச்சயமாக, பின்னமாக இருக்கலாம். கூடுதலாக, ஒரு குறிப்பிட்ட பணியின் உள்ளடக்கத்தைப் பொறுத்து, "X" மற்றும் "G" இரண்டும் முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ எதிர்மறையாக இருக்கலாம். சரி, எங்களுக்கு ஒரு "முகமற்ற" பணி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நாங்கள் அதைத் தொடங்குகிறோம் தீர்வு:

அமைப்புக்கான தீர்வாக உகந்த செயல்பாட்டின் குணகங்களைக் காண்கிறோம்:

சுருக்கமான குறியீட்டின் நோக்கங்களுக்காக, "எதிர்" மாறி தவிர்க்கப்படலாம், ஏனெனில் கூட்டுத்தொகை 1 முதல் .

தேவையான அளவுகளை அட்டவணை வடிவத்தில் கணக்கிடுவது மிகவும் வசதியானது:


மைக்ரோகால்குலேட்டரில் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளலாம், ஆனால் எக்செல் பயன்படுத்துவது மிகவும் நல்லது - வேகமாகவும் பிழைகள் இல்லாமல்; ஒரு சிறிய வீடியோவைப் பாருங்கள்:

இவ்வாறு, பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம் அமைப்பு:

இங்கே நீங்கள் இரண்டாவது சமன்பாட்டை 3 ஆல் பெருக்கலாம் 1 வது சமன்பாட்டிலிருந்து 2 வது காலத்தை கழிக்கவும். ஆனால் இது அதிர்ஷ்டம் - நடைமுறையில், அமைப்புகள் பெரும்பாலும் பரிசளிக்கப்படவில்லை, அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் அது சேமிக்கிறது க்ரேமர் முறை:
, எனவே கணினி ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது.

சரிபார்ப்போம். நான் விரும்பவில்லை என்பதை நான் புரிந்துகொள்கிறேன், ஆனால் நீங்கள் தவறவிடாத தவறுகளை ஏன் தவிர்க்க வேண்டும்? கணினியின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திலும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வை மாற்றவும்:

தொடர்புடைய சமன்பாடுகளின் சரியான பகுதிகள் பெறப்படுகின்றன, அதாவது கணினி சரியாக தீர்க்கப்படுகிறது.

எனவே, விரும்பிய தோராயமான செயல்பாடு: – இருந்து அனைத்து நேரியல் செயல்பாடுகள்சோதனைத் தரவு அதன் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது.

போலல்லாமல் நேராக அதன் பகுதியில் கடையின் விற்றுமுதல் சார்ந்து, காணப்படும் சார்பு தலைகீழ் (கோட்பாடு "அதிக - குறைவாக"), மற்றும் இந்த உண்மை உடனடியாக எதிர்மறையால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது கோண குணகம். செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட குறிகாட்டியில் 1 யூனிட் அதிகரிப்புடன், சார்பு காட்டி மதிப்பு குறைகிறது என்று எங்களுக்குத் தெரிவிக்கிறது சராசரி 0.65 அலகுகள் மூலம். அவர்கள் சொல்வது போல், பக்வீட்டின் அதிக விலை, குறைவாக விற்கப்படுகிறது.

தோராயமான செயல்பாட்டைத் திட்டமிட, அதன் இரண்டு மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்:

மற்றும் வரைபடத்தை இயக்கவும்:


கட்டப்பட்ட வரி அழைக்கப்படுகிறது போக்கு வரி (அதாவது, ஒரு நேரியல் போக்குக் கோடு, அதாவது பொது வழக்கில், ஒரு போக்கு என்பது நேர் கோடாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை). "போக்கில் இருக்க வேண்டும்" என்ற வெளிப்பாடு அனைவருக்கும் தெரிந்திருக்கும், மேலும் இந்த வார்த்தைக்கு கூடுதல் கருத்துகள் தேவையில்லை என்று நான் நினைக்கிறேன்.

வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடவும் அனுபவ மற்றும் தத்துவார்த்த மதிப்புகளுக்கு இடையில். வடிவியல் ரீதியாக, இது "கிரிம்சன்" பிரிவுகளின் நீளங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும் (அவற்றில் இரண்டு மிகவும் சிறியவை, அவற்றை நீங்கள் பார்க்க முடியாது).

அட்டவணையில் கணக்கீடுகளை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:


1 வது புள்ளிக்கு நான் ஒரு உதாரணம் தருகிறேன் என்றால், அவை மீண்டும் கைமுறையாக மேற்கொள்ளப்படலாம்:

ஆனால் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட வழியைச் செய்வது மிகவும் திறமையானது:

மீண்டும் கூறுவோம்: முடிவின் அர்த்தம் என்ன?இருந்து அனைத்து நேரியல் செயல்பாடுகள்விழாவில் அடுக்கு மிகச்சிறியது, அதாவது அதன் குடும்பத்தில் இது சிறந்த தோராயமாகும். இங்கே, பிரச்சனையின் இறுதி கேள்வி தற்செயலானது அல்ல: முன்மொழியப்பட்ட அதிவேக செயல்பாடு என்றால் என்ன சோதனை புள்ளிகளை தோராயமாக மதிப்பிடுவது சிறந்ததா?

ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் தொடர்புடைய தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம் - அவற்றை வேறுபடுத்துவதற்கு, நான் அவற்றை "எப்சிலான்" என்ற எழுத்தில் குறிப்பிடுகிறேன். நுட்பம் சரியாகவே உள்ளது:


1 வது புள்ளிக்கான ஒவ்வொரு தீ கணக்கீட்டிற்கும் மீண்டும்:

எக்செல் இல், நாங்கள் நிலையான செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம் எக்ஸ்பி (தொடரியலை எக்செல் உதவியில் காணலாம்).

முடிவுரை: , எனவே அதிவேக செயல்பாடு நேர்கோட்டை விட மோசமான சோதனை புள்ளிகளை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது .

ஆனால் "மோசமானது" என்பதை இங்கே கவனிக்க வேண்டும் இன்னும் அர்த்தம் இல்லை, என்ன தவறு. இப்போது நான் இந்த அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்கினேன் - மேலும் இது புள்ளிகளுக்கு அருகில் செல்கிறது - ஒரு பகுப்பாய்வு ஆய்வு இல்லாமல் எந்த செயல்பாடு மிகவும் துல்லியமானது என்று சொல்வது கடினம்.

இது தீர்வை நிறைவு செய்கிறது, மேலும் வாதத்தின் இயல்பான மதிப்புகள் பற்றிய கேள்விக்கு நான் திரும்புகிறேன். பல்வேறு ஆய்வுகளில், ஒரு விதியாக, பொருளாதார அல்லது சமூகவியல், மாதங்கள், ஆண்டுகள் அல்லது பிற சம கால இடைவெளிகள் இயற்கையான "X" உடன் எண்ணப்படுகின்றன. உதாரணமாக, அத்தகைய சிக்கலைக் கவனியுங்கள்.

குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை (LSM) சீரற்ற பிழைகள் கொண்ட பல அளவீடுகளின் முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி பல்வேறு அளவுகளை மதிப்பிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

சிறப்பியல்பு MNC

இந்த முறையின் முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், சதுர பிழைகளின் கூட்டுத்தொகை சிக்கலின் தீர்வின் துல்லியத்திற்கான அளவுகோலாகக் கருதப்படுகிறது, இது குறைக்கப்பட வேண்டும். இந்த முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​எண் மற்றும் பகுப்பாய்வு அணுகுமுறைகள் இரண்டையும் பயன்படுத்தலாம்.

குறிப்பாக, ஒரு எண்ணியல் செயலாக்கமாக, குறைந்த சதுரங்கள் முறை என்பது தெரியாத சீரற்ற மாறியின் அளவீடுகளை முடிந்தவரை செய்வதைக் குறிக்கிறது. மேலும், அதிக கணக்கீடுகள், மிகவும் துல்லியமான தீர்வு இருக்கும். இந்த கணக்கீடுகளின் தொகுப்பில் (ஆரம்ப தரவு), முன்மொழியப்பட்ட தீர்வுகளின் மற்றொரு தொகுப்பு பெறப்படுகிறது, அதிலிருந்து சிறந்ததைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். தீர்வுகளின் தொகுப்பு அளவுருவாக இருந்தால், குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறை அளவுருக்களின் உகந்த மதிப்பைக் கண்டறிய குறைக்கப்படும்.

ஆரம்ப தரவு (அளவீடுகள்) மற்றும் முன்மொழியப்பட்ட தீர்வுகளின் தொகுப்பு ஆகியவற்றில் எல்எஸ்எம் செயல்படுத்துவதற்கான ஒரு பகுப்பாய்வு அணுகுமுறையாக, சில (செயல்பாட்டு) வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு குறிப்பிட்ட கருதுகோளாக பெறப்பட்ட சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, இது உறுதிப்படுத்தப்பட வேண்டும். . இந்த வழக்கில், குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையானது ஆரம்ப தரவின் ஸ்கொயர் பிழைகளின் தொகுப்பில் இந்த செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சத்தைக் கண்டறிவதற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

பிழைகள் அல்ல, ஆனால் பிழைகளின் சதுரங்கள் என்பதை நினைவில் கொள்க. ஏன்? உண்மை என்னவென்றால், பெரும்பாலும் சரியான மதிப்பிலிருந்து அளவீடுகளின் விலகல்கள் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறையானவை. சராசரியை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​எளிய கூட்டுத்தொகை மதிப்பீட்டின் தரம் பற்றிய தவறான முடிவுக்கு வழிவகுக்கும், ஏனெனில் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளின் பரஸ்பர ரத்து அளவீடுகளின் தொகுப்பின் மாதிரி சக்தியைக் குறைக்கும். மற்றும், இதன் விளைவாக, மதிப்பீட்டின் துல்லியம்.

இது நிகழாமல் தடுக்க, ஸ்கொயர்டு விலகல்கள் சுருக்கப்பட்டுள்ளன. அதை விடவும், அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் பரிமாணத்தையும் இறுதி மதிப்பீட்டையும் சமன் செய்வதற்காக, சதுரப் பிழைகளின் கூட்டுப் பிரித்தெடுக்கப் பயன்படுகிறது.

MNCகளின் சில பயன்பாடுகள்

MNC பல்வேறு துறைகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் கணித புள்ளியியல் ஆகியவற்றில், சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் வரம்பின் அகலத்தை நிர்ணயிக்கும் நிலையான விலகல் போன்ற ஒரு சீரற்ற மாறியின் பண்புகளை தீர்மானிக்க இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சீரமைத்த பிறகு, பின்வரும் படிவத்தின் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: g (x) = x + 1 3 + 1 .

பொருத்தமான அளவுருக்களைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இந்தத் தரவை y = a x + b என்ற நேரியல் உறவுடன் தோராயமாக மதிப்பிடலாம். இதைச் செய்ய, குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறை என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்த வேண்டும். சோதனைத் தரவை எந்தக் கோடு சிறப்பாகச் சீரமைக்கும் என்பதைச் சரிபார்க்க, நீங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க வேண்டும்.

OLS என்றால் என்ன (குறைந்த சதுர முறை)

நாம் செய்ய வேண்டிய முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ஆகிய இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் மதிப்பு சிறியதாக இருக்கும், அத்தகைய நேரியல் சார்பு குணகங்களைக் கண்டறிய வேண்டும். . வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், a மற்றும் b இன் சில மதிப்புகளுக்கு, விளைவான நேர்கோட்டில் இருந்து வழங்கப்பட்ட தரவின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். குறைந்த சதுரங்கள் முறையின் பொருள் இதுதான். உதாரணத்தைத் தீர்க்க நாம் செய்ய வேண்டியது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

குணகங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களை எவ்வாறு பெறுவது

குணகங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெறுவதற்கு, இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கி தீர்க்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, எஃப் (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 என்ற வெளிப்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களை a மற்றும் b ஐப் பொறுத்து கணக்கிட்டு அவற்றை 0 க்கு சமன் செய்கிறோம்.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a, b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n i ∑ i = 1 n i ∑ ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க, மாற்று அல்லது க்ரேமர் முறை போன்ற எந்த முறைகளையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். இதன் விளைவாக, குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி குணகங்களைக் கணக்கிடும் சூத்திரங்களைப் பெற வேண்டும்.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i =

செயல்பாட்டிற்கான மாறிகளின் மதிப்புகளை நாங்கள் கணக்கிட்டுள்ளோம்
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 குறைந்தபட்ச மதிப்பை எடுக்கும். மூன்றாவது பத்தியில், அது ஏன் என்று நிரூபிப்போம்.

இது நடைமுறையில் உள்ள குறைந்த சதுர முறையின் பயன்பாடு ஆகும். அ அளவுருவைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தப்படும் அவரது சூத்திரத்தில் ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2 மற்றும் அளவுரு ஆகியவை அடங்கும்.
n - இது சோதனை தரவுகளின் அளவைக் குறிக்கிறது. ஒவ்வொரு தொகையையும் தனித்தனியாக கணக்கிடுமாறு நாங்கள் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறோம். குணக மதிப்பு b என்பது a க்குப் பிறகு உடனடியாக கணக்கிடப்படுகிறது.

அசல் உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

இங்கே நாம் ஐந்துக்கு சமமான n ஐக் கொண்டுள்ளோம். குணக சூத்திரங்களில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள தேவையான அளவுகளை கணக்கிடுவதற்கு மிகவும் வசதியாக, நாங்கள் அட்டவணையை நிரப்புகிறோம்.

தீர்வு

நான்காவது வரிசையில் ஒவ்வொரு தனிநபருக்கும் இரண்டாவது வரிசையிலிருந்து மதிப்புகளை மூன்றின் மதிப்புகளால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்ட தரவு உள்ளது i . ஐந்தாவது வரியில் இரண்டாவது சதுரத்தின் தரவு உள்ளது. கடைசி நெடுவரிசை தனிப்பட்ட வரிசைகளின் மதிப்புகளின் தொகைகளைக் காட்டுகிறது.

நமக்குத் தேவையான a மற்றும் b குணகங்களைக் கணக்கிட குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். இதைச் செய்ய, கடைசி நெடுவரிசையிலிருந்து விரும்பிய மதிப்புகளை மாற்றவும் மற்றும் தொகைகளைக் கணக்கிடவும்:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a = ∑ 3 a = 3 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

விரும்பிய தோராயமான நேர்கோடு y = 0, 165 x + 2, 184 போல இருக்கும் என்று எங்களுக்குத் தெரியும். எந்த வரியானது தரவை தோராயமாக மதிப்பிடுவது என்பதை இப்போது நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும் - g (x) = x + 1 3 + 1 அல்லது 0 , 165 x + 2 , 184 . குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு மதிப்பீட்டைச் செய்வோம்.

பிழையைக் கணக்கிட, σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 மற்றும் σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 , குறைந்தபட்ச மதிப்பு மிகவும் பொருத்தமான வரிக்கு ஒத்திருக்கும்.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0 , 165 x i + 2 , 184)) 2 ≈ 0 , 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0 , 096

பதில்:σ 1 முதல்< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0, 165 x + 2, 184

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறை கிராஃபிக் விளக்கத்தில் தெளிவாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது. சிவப்புக் கோடு g (x) = x + 1 3 + 1, நீலக் கோடு y = 0, 165 x + 2, 184 ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது. மூல தரவு இளஞ்சிவப்பு புள்ளிகளால் குறிக்கப்பட்டுள்ளது.

இந்த வகையின் துல்லியமான தோராயங்கள் ஏன் தேவை என்பதை விளக்குவோம்.

தரவு மென்மையாக்கம் தேவைப்படும் சிக்கல்களிலும், தரவு இடைக்கணிப்பு அல்லது விரிவாக்கப்பட வேண்டியவற்றிலும் அவை பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சிக்கலில், x = 3 அல்லது x = 6 இல் கவனிக்கப்பட்ட அளவு y இன் மதிப்பைக் காணலாம். அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நாங்கள் ஒரு தனி கட்டுரையை அர்ப்பணித்துள்ளோம்.

LSM முறையின் சான்று

கணக்கிடப்பட்ட a மற்றும் b க்கான செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மதிப்பை எடுக்க, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் F (a, b) = ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) 2 நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருக்கும். அது எப்படி இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காண்பிப்போம்.

உதாரணம் 2

பின்வரும் படிவத்தின் இரண்டாம் வரிசை வேறுபாடு எங்களிடம் உள்ளது:

d 2 F (a; b) = δ 2 F (a; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a; b) δ b 2 d 2b

தீர்வு

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அதை பின்வருமாறு எழுதலாம்: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b .

M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n என்ற இருபடி வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸைப் பெற்றுள்ளோம்.

இந்த வழக்கில், தனிப்பட்ட உறுப்புகளின் மதிப்புகள் a மற்றும் b ஐப் பொறுத்து மாறாது. இந்த அணி நேர்மறை திட்டவட்டமானதா? இந்தக் கேள்விக்கு விடை காண, அதன் கோண சிறார்கள் நேர்மறையாக உள்ளதா எனப் பார்க்கலாம்.

முதல் வரிசை கோண மைனரைக் கணக்கிடவும்: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . x i புள்ளிகள் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால், சமத்துவமின்மை கடுமையானது. மேலும் கணக்கீடுகளில் இதை மனதில் வைத்திருப்போம்.

இரண்டாவது வரிசை கோண மைனரை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i

அதன் பிறகு, கணிதத் தூண்டலைப் பயன்படுத்தி n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 சமத்துவமின்மைக்கான ஆதாரத்திற்குச் செல்கிறோம்.

1. இந்த சமத்துவமின்மை தன்னிச்சையான n க்கு செல்லுபடியாகுமா என்று பார்க்கலாம். 2ஐ எடுத்து கணக்கிடுவோம்:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

எங்களுக்கு சரியான சமத்துவம் கிடைத்தது (மதிப்புகள் x 1 மற்றும் x 2 பொருந்தவில்லை என்றால்).

1. இந்த ஏற்றத்தாழ்வு n க்கு உண்மையாக இருக்கும் என்ற அனுமானத்தை செய்வோம், அதாவது. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – true.
2. இப்போது n + 1 க்கான செல்லுபடியை நிரூபிப்போம், அதாவது. அது (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0 என்றால் n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1 - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

சுருள் பிரேஸ்களில் உள்ள வெளிப்பாடு 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் (படி 2 இல் நாம் கருதியதன் அடிப்படையில்), மீதமுள்ள சொற்கள் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும், ஏனெனில் அவை அனைத்தும் எண்களின் சதுரங்கள். சமத்துவமின்மையை நிரூபித்துள்ளோம்.

பதில்:கண்டுபிடிக்கப்பட்ட a மற்றும் b ஆனது F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்புடன் ஒத்திருக்கும், அதாவது அவை குறைந்தபட்ச சதுர முறையின் விரும்பிய அளவுருக்கள் (LSM).

உரையில் பிழை இருப்பதைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்