தீவிர புள்ளி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை (குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள்) எவ்வாறு கண்டறிவது. செயல்பாடு வரையறை குறைகிறது

y = f(x) சார்பு அழைக்கப்படுகிறது அதிகரித்து வருகிறது (குறைகிறது x 1 என்றால் சில இடைவெளியில்< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

ஒரு பிரிவில் y = f(x) வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு அதிகரித்தால் (குறைகிறது), அதன் வழித்தோன்றல் இந்த பிரிவில் f "(x) > 0, (f "(x)< 0).

புள்ளி எக்ஸ்பற்றிஅழைக்கப்பட்டது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி (குறைந்தபட்சம்) செயல்பாட்டின் f(x) புள்ளியின் அருகில் இருந்தால் x o, சமத்துவமின்மை f(x) ≤ f(x o), (f(x) ≥f(x o)) உண்மையாக இருக்கும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும்.

அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள், மற்றும் இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அதன் தீவிர

தீவிர புள்ளிகள்

ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள். புள்ளி என்றால் எக்ஸ்பற்றி f (x) செயல்பாட்டின் ஒரு தீவிர புள்ளி, பின்னர் f "(x o) \u003d 0, அல்லது f (x o) இல்லை. அத்தகைய புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன விமர்சன,இதில் செயல்பாடே முக்கியமான புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரம் அதன் முக்கியமான புள்ளிகளில் தேடப்பட வேண்டும்.

முதல் போதுமான நிபந்தனை.விடுங்கள் எக்ஸ்பற்றி- முக்கியமான புள்ளி. ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது f "(x) என்றால் எக்ஸ்பற்றிகூட்டல் குறியை மைனஸாக மாற்றுகிறது, பின்னர் புள்ளியில் x oசெயல்பாடு அதிகபட்சம், இல்லையெனில் அது குறைந்தபட்சம். ஒரு முக்கியமான புள்ளியைக் கடக்கும்போது வழித்தோன்றல் அடையாளத்தை மாற்றவில்லை என்றால், புள்ளியில் எக்ஸ்பற்றிதீவிரம் இல்லை.

இரண்டாவது போதுமான நிபந்தனை. f(x) சார்பு புள்ளியின் அருகில் f " (x) ஐக் கொண்டிருக்கட்டும் எக்ஸ்பற்றிமற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் f "" (x 0) மிக புள்ளியில் x o. f "(x o) \u003d 0, f "" (x 0)> 0, (f "" (x 0)<0), то точкаx o f(x) செயல்பாட்டின் உள்ளூர் குறைந்தபட்ச (அதிகபட்ச) புள்ளியாகும். f "" (x 0) = 0 எனில், நீங்கள் முதல் போதுமான நிபந்தனையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் அல்லது உயர்வானவற்றைச் சேர்க்க வேண்டும்.

ஒரு பிரிவில், y =f(x) செயல்பாடு அதன் குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்ச மதிப்பை முக்கியமான புள்ளிகளிலோ அல்லது பிரிவின் முனைகளிலோ அடையலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), பின்னர் செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகள் x 1 \u003d 2 மற்றும் x 2 \u003d 3. எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள் முடியும் இந்த புள்ளிகளில் மட்டுமே இருக்க வேண்டும்.எனவே x 1 \u003d 2 புள்ளியைக் கடக்கும்போது, ​​வழித்தோன்றல் குறியை கூட்டலில் இருந்து மைனஸுக்கு மாற்றுகிறது, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சமாக இருக்கும். x 2 \u003d 3 புள்ளியைக் கடக்கும்போது, மைனஸிலிருந்து பிளஸ் வரையிலான வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளம், எனவே, x 2 \u003d 3 புள்ளியில், செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது. x 1 = 2 மற்றும் x 2 = 3 புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டு, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் செயல்பாட்டின் தீவிரம்: அதிகபட்சம் f (2) = 14 மற்றும் குறைந்தபட்சம் f (3) = 13.

செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதற்கான பணிகள்

எடுத்துக்காட்டு 3.23.அ

தீர்வு. எக்ஸ்மற்றும் ஒய். தளத்தின் பரப்பளவு S =xy க்கு சமம். விடுங்கள் ஒய்சுவருக்கு அருகில் உள்ள பக்கத்தின் நீளம். பின்னர், நிபந்தனையின்படி, சமத்துவம் 2x + y = கண்டிப்பாக வைத்திருக்க வேண்டும். எனவே, y = a - 2x மற்றும் S =x(a - 2x), இதில் 0 ≤x ≤a/2 (பேட்டின் நீளம் மற்றும் அகலம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது). S " = a - 4x, a - 4x = 0 க்கு x = a/4, எங்கிருந்து y = a - 2×a/4 = a/2. x = a/4 மட்டுமே முக்கியமான புள்ளி என்பதால், அடையாளம் உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும் x க்கு இந்தப் புள்ளியைக் கடக்கும்போது வழித்தோன்றல் மாறுகிறது< a/4, S " >0, மற்றும் x > a/4, S "< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

எடுத்துக்காட்டு 3.24.

தீர்வு.
R = 2, H = 16/4 = 4.

எடுத்துக்காட்டு 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), பின்னர் செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகள் x 1 \u003d 2 மற்றும் x 2 \u003d 3. எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள் முடியும் இந்த புள்ளிகளில் மட்டுமே இருக்க வேண்டும்.எனவே x 1 \u003d 2 புள்ளியைக் கடக்கும்போது, ​​வழித்தோன்றல் குறியை கூட்டலில் இருந்து மைனஸுக்கு மாற்றுகிறது, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சமாக இருக்கும். x 2 \u003d 3 புள்ளியைக் கடக்கும்போது, மைனஸிலிருந்து பிளஸ் வரையிலான வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளம், எனவே, x 2 \u003d 3 புள்ளியில், செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது. x 1 = 2 மற்றும் x 2 = 3 புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டு, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் செயல்பாட்டின் தீவிரம்: அதிகபட்சம் f (2) = 14 மற்றும் குறைந்தபட்சம் f (3) = 13.

எடுத்துக்காட்டு 3.23.கல் சுவருக்கு அருகில் ஒரு செவ்வகப் பகுதியைக் கட்டுவது அவசியம், அது மூன்று பக்கங்களிலும் கம்பி வலையால் வேலி அமைக்கப்பட்டு, நான்காவது பக்கத்தில் சுவரை ஒட்டியுள்ளது. இதற்காக உள்ளது அகட்டத்தின் நேரியல் மீட்டர். எந்த விகிதத்தில் தளம் மிகப்பெரிய பரப்பளவைக் கொண்டிருக்கும்?

தீர்வு.மூலம் தளத்தின் பக்கங்களைக் குறிக்கவும் எக்ஸ்மற்றும் ஒய். தளத்தின் பரப்பளவு S = xy. விடுங்கள் ஒய்சுவருக்கு அருகில் உள்ள பக்கத்தின் நீளம். பின்னர், நிபந்தனையின்படி, சமத்துவம் 2x + y = கண்டிப்பாக வைத்திருக்க வேண்டும். எனவே y = a - 2x மற்றும் S = x(a - 2x), எங்கே
0 ≤x ≤a/2 (தளத்தின் நீளம் மற்றும் அகலம் எதிர்மறையாக இருக்கக்கூடாது). S "= a - 4x, a - 4x = 0 க்கு x = a/4, எங்கிருந்து
y = a - 2a/4 = a/2. x = a/4 மட்டுமே முக்கியமான புள்ளி என்பதால், இந்தப் புள்ளியைக் கடக்கும்போது வழித்தோன்றலின் அடையாளம் மாறுகிறதா என்று பார்க்கலாம். x இல்< a/4, S " >0, மற்றும் x >a/4 S "க்கு< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

எடுத்துக்காட்டு 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 திறன் கொண்ட ஒரு மூடிய உருளை தொட்டியை உருவாக்குவது அவசியம். தொட்டியின் பரிமாணங்கள் என்னவாக இருக்க வேண்டும் (ஆரம் R மற்றும் உயரம் H) அதன் உற்பத்திக்கு குறைந்த அளவு பொருளைப் பயன்படுத்துவதற்கு?

தீர்வு.சிலிண்டரின் மொத்த பரப்பளவு S = 2pR(R+H) ஆகும். சிலிண்டரின் அளவு V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, S(R) = 2p(R 2 +16/R). இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 க்கு R 3 \u003d 8, எனவே,
R = 2, H = 16/4 = 4.

நன்கு அறியப்பட்ட பார்த்த சுயவிவரத்தின் இரண்டு பற்களைக் கவனியுங்கள். மரக்கட்டையின் தட்டையான பக்கத்துடன் அச்சை இயக்குவோம், அச்சு - அதற்கு செங்குத்தாக. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சில செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பெறுவோம். ஒன்று.

புள்ளி மற்றும் புள்ளி ஆகிய இரண்டிலும், செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் உள்ள அண்டை புள்ளிகளில் உள்ள மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடுகையில் மிகப்பெரியதாக மாறும் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது, மற்றும் புள்ளியில் - அண்டை புள்ளிகளுடன் ஒப்பிடுகையில் சிறியது. புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (லத்தீன் உச்சத்திலிருந்து - "தீவிர"), புள்ளிகள் மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள், மற்றும் புள்ளி குறைந்தபட்ச புள்ளி (லத்தீன் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் - "மிகப்பெரியது" மற்றும் "சிறியது" ”).

ஒரு தீவிரத்தின் வரையறையைச் செம்மைப்படுத்துவோம்.

ஒரு புள்ளியில் உள்ள செயல்பாடு அதிகபட்சம் என்று கூறப்படுகிறது, புள்ளியைக் கொண்டிருக்கும் மற்றும் செயல்பாட்டின் களத்தைச் சேர்ந்த ஒரு இடைவெளி இருந்தால், இந்த இடைவெளியின் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் அது மாறிவிடும். அதன்படி, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் நிபந்தனை திருப்தியாக இருந்தால், ஒரு புள்ளியில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சமாக இருக்கும்.

அத்திப்பழத்தில். புள்ளிவிவரங்கள் 2 மற்றும் 3 ஒரு புள்ளியில் உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைக் காட்டுகின்றன.

வரையறையின்படி, உச்சநிலை புள்ளி செயல்பாட்டை அமைக்கும் இடைவெளியில் இருக்க வேண்டும், அதன் முடிவில் அல்ல என்பதில் கவனம் செலுத்துவோம். எனவே, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள செயல்பாட்டிற்கு. 1, புள்ளியில் குறைந்தபட்சம் உள்ளது என்று கருத முடியாது.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) வரையறையின் இந்த வரையறையில், கண்டிப்பான சமத்துவமின்மையை கண்டிப்பான ஒன்றால் மாற்றுவோம். , பின்னர் நாம் கண்டிப்பான அதிகபட்ச (அல்லாத குறைந்தபட்ச) வரையறையைப் பெறுகிறோம். உதாரணமாக, ஒரு மலை உச்சியின் சுயவிவரத்தைக் கவனியுங்கள் (படம் 4). ஒரு தட்டையான பகுதியின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் - ஒரு பிரிவு என்பது கண்டிப்பாக இல்லாத அதிகபட்ச புள்ளியாகும்.

வேறுபட்ட கால்குலஸில், எக்ஸ்ட்ரீமாவுக்கான செயல்பாட்டின் ஆய்வு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் ஒரு வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி மிகவும் எளிமையாக மேற்கொள்ளப்படுகிறது. வேறுபட்ட கால்குலஸின் முக்கிய கோட்பாடுகளில் ஒன்று, இது வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனையை நிறுவுகிறது, இது ஃபெர்மட்டின் தேற்றம் ஆகும் (ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தைப் பார்க்கவும்). ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கட்டும். இந்த கட்டத்தில் ஒரு வழித்தோன்றல் இருந்தால், அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

வடிவியல் மொழியில், ஃபெர்மட்டின் தேற்றம் என்பது, தீவிர புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கும் (படம் 5). நேர்மாறான கூற்று, நிச்சயமாக, உண்மையல்ல, இது காட்டப்பட்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, படம். 6.

இந்த தேற்றம் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பி. ஃபெர்மாட் பெயரிடப்பட்டது, அவர் பல தீவிர சிக்கல்களை முதலில் தீர்த்தவர்களில் ஒருவர். அவர் இன்னும் ஒரு வழித்தோன்றல் என்ற கருத்தை அவர் வசம் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் அவரது ஆராய்ச்சியில் ஒரு முறையைப் பயன்படுத்தினார், அதன் சாராம்சம் தேற்றத்தின் அறிக்கையில் வெளிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனையானது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தில் ஏற்படும் மாற்றமாகும். ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் மைனஸில் இருந்து கூட்டலுக்கு அடையாளத்தை மாற்றினால், அதாவது. அதன் குறைவு அதிகரிப்பால் மாற்றப்படுகிறது, பின்னர் புள்ளி குறைந்தபட்ச புள்ளியாக இருக்கும். மாறாக, வழித்தோன்றல் குறியை கூட்டலில் இருந்து கழித்தால், புள்ளி அதிகபட்ச புள்ளியாக இருக்கும், அதாவது. ஏறுவரிசையில் இருந்து இறங்குகிறது.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளி நிலையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு ஒரு முனைக்கு ஆய்வு செய்யப்பட்டால், அதன் அனைத்து நிலையான புள்ளிகளும் கண்டறியப்பட வேண்டும் மற்றும் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகள் அவற்றின் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் கருதப்பட வேண்டும்.

ஒரு தீவிரத்தின் செயல்பாட்டை நாங்கள் ஆராய்வோம்.

அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்: .

ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வதற்கு முன், ஒரு தீவிரம் என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம். ஒரு குறிப்பிட்ட எண் கோடு அல்லது வரைபடத்தில் கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படும் செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய அல்லது மிகப்பெரிய மதிப்பு என்று ஒரு தீவிரத்தின் பொதுவான வரையறை கூறுகிறது. குறைந்தபட்சம் இருக்கும் இடத்தில், குறைந்தபட்சத்தின் உச்சம் தோன்றும், அதிகபட்சம் எங்கே, அதிகபட்சத்தின் உச்சம் தோன்றும். கணித பகுப்பாய்வு போன்ற ஒரு துறையிலும், ஒரு செயல்பாட்டின் உள்ளூர் தீவிரம் வேறுபடுகிறது. இப்போது உச்சநிலைகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று பார்ப்போம்.

கணிதத்தில் உச்சநிலைகள் ஒரு செயல்பாட்டின் மிக முக்கியமான பண்புகளில் ஒன்றாகும், அவை அதன் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் காட்டுகின்றன. கண்டறியப்பட்ட செயல்பாடுகளின் முக்கிய புள்ளிகளில் தீவிரமானது முக்கியமாகக் காணப்படுகிறது. செயல்பாடு அதன் திசையை தீவிரமாக மாற்றும் தீவிர புள்ளியில் உள்ளது என்பது கவனிக்கத்தக்கது. தீவிர புள்ளியின் வழித்தோன்றலை நாம் கணக்கிட்டால், வரையறையின்படி, அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் அல்லது அது முற்றிலும் இல்லாமல் இருக்கும். எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிய, நீங்கள் இரண்டு தொடர்ச்சியான பணிகளைச் செய்ய வேண்டும்:

• பணியால் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய செயல்பாட்டிற்கான வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;
• சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

உச்சநிலையை கண்டுபிடிக்கும் வரிசை

1. கொடுக்கப்பட்ட f(x) செயல்பாட்டை எழுதவும். அதன் முதல்-வரிசை வழித்தோன்றல் f "(x) ஐக் கண்டறியவும். இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்யவும்.
2. இப்போது நீங்கள் மாறிய சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் தீர்வுகள் சமன்பாட்டின் வேர்களாகவும், செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளாகவும் இருக்கும்.
3. எந்த முக்கிய புள்ளிகள் (அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம்) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்கள் என்பதை இப்போது தீர்மானிக்கிறோம். அடுத்த படி, ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நாங்கள் கற்றுக்கொண்ட பிறகு, விரும்பிய செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதாகும் f "(x). கண்டுபிடிக்கப்பட்ட முக்கியமான புள்ளிகளின் மதிப்புகளை மாற்றுவது அவசியம். ஒரு குறிப்பிட்ட சமத்துவமின்மைக்குள், பின்னர் என்ன நடக்கிறது என்பதைக் கணக்கிடுங்கள், இது நடந்தால், முக்கியமான புள்ளியில் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், அது குறைந்தபட்ச புள்ளியாக இருக்கும், இல்லையெனில் அது அதிகபட்ச புள்ளியாக இருக்கும்.
4. செயல்பாட்டின் தேவையான அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளில் ஆரம்ப செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட இது உள்ளது. இதைச் செய்ய, பெறப்பட்ட மதிப்புகளை செயல்பாட்டில் மாற்றி கணக்கிடுகிறோம். இருப்பினும், முக்கியமான புள்ளி அதிகபட்சமாக மாறினால், உச்சநிலையும் அதிகபட்சமாக இருக்கும், அது குறைந்தபட்சமாக இருந்தால், அது ஒப்புமை மூலம் குறைந்தபட்சமாக இருக்கும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு தீவிரத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான அல்காரிதம்

பெறப்பட்ட அறிவை சுருக்கமாகக் கூற, தீவிர புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதற்கான சுருக்கமான வழிமுறையை உருவாக்குவோம்.

1. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் களத்தையும் அதன் இடைவெளிகளையும் நாங்கள் காண்கிறோம், இது எந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு தொடர்கிறது என்பதைத் துல்லியமாக தீர்மானிக்கிறது.
2. f "(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்.
3. y = f (x) சமன்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளைக் கணக்கிடுகிறோம்.
4. F (x) செயல்பாட்டின் திசையில் ஏற்படும் மாற்றங்களையும், f "(x) என்ற வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தையும் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம், இதில் முக்கியமான புள்ளிகள் இந்தச் செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைப் பிரிக்கின்றன.
5. வரைபடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதிகபட்சமா அல்லது குறைந்தபட்சமா என்பதை இப்போது தீர்மானிக்கிறோம்.
6. செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை உச்சநிலையாக இருக்கும் புள்ளிகளில் காண்கிறோம்.
7. இந்த ஆய்வின் முடிவை நாங்கள் சரிசெய்கிறோம் - தீவிரம் மற்றும் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகள். அவ்வளவுதான். எந்த இடைவெளியிலும் ஒரு தீவிரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை இப்போது நாங்கள் பரிசீலித்தோம். ஒரு செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் நீங்கள் ஒரு தீவிரத்தை கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், இது அதே வழியில் செய்யப்படுகிறது, நிகழ்த்தப்படும் ஆராய்ச்சியின் எல்லைகள் மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும்.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று நாங்கள் பரிசீலித்தோம். எளிய கணக்கீடுகளின் உதவியுடன், அதே போல் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவது பற்றிய அறிவைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எந்த உச்சநிலையையும் கண்டுபிடித்து அதைக் கணக்கிடலாம், அதே போல் வரைபடமாக அதை நியமிக்கலாம். பள்ளியிலும் உயர் கல்வி நிறுவனத்திலும் உச்சநிலைகளைக் கண்டறிவது கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பிரிவுகளில் ஒன்றாகும், எனவே, அவற்றை எவ்வாறு சரியாகத் தீர்மானிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொண்டால், கற்றல் மிகவும் எளிதாகவும் சுவாரஸ்யமாகவும் மாறும்.

செயல்பாடு உச்சநிலை

வரையறை 2

$x_0$ ஒரு புள்ளியானது $f(x)$ செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இந்தப் புள்ளியின் அக்கம் பக்கத்தில் இருந்தால் $x$ இந்த அண்டையிலிருந்து $f(x)\le f(x_0 )$ திருப்தியாக உள்ளது.

வரையறை 3

ஒரு புள்ளி $x_0$ செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளியாக $f(x)$ எனப்படும். $ திருப்தியாக உள்ளது.

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் கருத்து ஒரு செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளியின் கருத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. அதன் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 4

$x_0$ ஆனது $f(x)$ செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளி என அழைக்கப்படுகிறது:

1) $x_0$ - வரையறையின் டொமைனின் உள் புள்ளி;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ அல்லது இல்லை.

ஒரு தீவிரத்தின் கருத்துக்கு, அதன் இருப்புக்கான போதுமான மற்றும் தேவையான நிபந்தனைகளில் ஒருவர் கோட்பாடுகளை உருவாக்க முடியும்.

தேற்றம் 2

போதுமான தீவிர நிலை

$y=f(x)$ செயல்பாட்டிற்கு $x_0$ புள்ளி முக்கியமானது மற்றும் $(a,b)$ இடைவெளியில் இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் $\இடது(a,x_0\வலது)\ மற்றும்\ (x_0,b)$ என்ற வழித்தோன்றல் $f"(x)$ இருக்கட்டும் மற்றும் நிலையான அடையாளத்தை வைத்திருக்கவும். பிறகு:

1) இடைவெளியில் $(a,x_0)$ எனில் $f"\left(x\right)>0$, மற்றும் $(x_0,b)$ இடைவெளியில் $f"\left(x\ வலது)

2) $f"\left(x\right)0$ ஆனது $(a,x_0)$ இடைவெளியில் இருந்தால், $x_0$ என்பது இந்தச் செயல்பாட்டிற்கான குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.

3) $(a,x_0)$ மற்றும் இடைவெளியில் $(x_0,b)$ ஆகிய இரண்டிலும் $f"\left(x\right) >0$ அல்லது $f"\left(x) \வலது)

இந்த தேற்றம் படம் 1 இல் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

படம் 1. எக்ஸ்ட்ரீமா இருப்பதற்கான போதுமான நிபந்தனை

உச்சநிலைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் (படம் 2).

படம் 2. தீவிர புள்ளிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரு தீவிரத்திற்கான செயல்பாட்டை ஆய்வு செய்வதற்கான விதி

2) $f"(x)$ என்ற வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;

7) தேற்றம் 2 ஐப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமா இருப்பதைப் பற்றிய முடிவுகளை வரையவும்.

செயல்பாடு ஏறுதல் மற்றும் குறைதல்

செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் வரையறைகளை முதலில் அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 5

$y=f(x)$ ஒரு இடைவெளியில் $X$ வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு, $x_1க்கு $x_1,x_2\in X$ இல் அதிகரிப்பு எனப்படும்.

வரையறை 6

$y=f(x)$ ஒரு இடைவெளியில் $X$ வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு, $x_1f(x_2)$க்கு $x_1,x_2\in X$ இல் இருந்தால் குறைதல் எனப்படும்.

அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் ஒரு செயல்பாட்டை ஆய்வு செய்தல்

வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் செயல்பாடுகளை நீங்கள் ஆராயலாம்.

அதிகரிப்பு மற்றும் குறைப்பு இடைவெளிகளுக்கான செயல்பாட்டை ஆய்வு செய்ய, நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும்:

1) $f(x)$ செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும்;

2) $f"(x)$ என்ற வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;

3) சமத்துவம் $f"\left(x\right)=0$ இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்;

4) $f"(x)$ இல்லாத புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்;

5) ஆயக் கோட்டில் காணப்படும் அனைத்து புள்ளிகளையும் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் டொமைனையும் குறிக்கவும்;

6) ஒவ்வொரு விளைவான இடைவெளியிலும் $f"(x)$ என்ற வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும்;

7) முடிவு: $f"\left(x\right)0$ செயல்பாடு அதிகரிக்கும் இடைவெளியில்.

அதிகரிப்பு, குறைதல் மற்றும் தீவிர புள்ளிகள் இருப்பதற்கான செயல்பாடுகளை ஆய்வு செய்வதற்கான சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் செயல்பாடு மற்றும் அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமா புள்ளிகள் இருப்பதை ஆராயவும்: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

முதல் 6 புள்ளிகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், முதலில் அவற்றை வரைவோம்.

1) வரையறையின் டொமைன் - அனைத்து உண்மையான எண்கள்;

2) $f"\இடது(x\வலது)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\இடது(x\வலது)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ வரையறையின் அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் உள்ளது;

5) ஒருங்கிணைப்பு வரி:

படம் 3

6) ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் $f"(x)$ என்ற வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும்:

\ \}