ட்ரேப்சாய்டு முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? ட்ரேப்சாய்டல் முறை ட்ரெப்சாய்டல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு
இன்று நாம் எண்ணியல் ஒருங்கிணைப்பின் மற்றொரு முறையான ட்ரெப்சாய்டல் முறையைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். அதன் உதவியுடன், கொடுக்கப்பட்ட அளவிலான துல்லியத்துடன் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவோம். கட்டுரையில், ட்ரெப்சாய்டு முறையின் சாரத்தை விவரிப்போம், சூத்திரம் எவ்வாறு பெறப்பட்டது என்பதை பகுப்பாய்வு செய்வோம், செவ்வக முறையுடன் ட்ரெப்சாய்டு முறையை ஒப்பிட்டு, முறையின் முழுமையான பிழையின் மதிப்பீட்டை எழுதுவோம். பொருளைப் பற்றிய ஆழமான புரிதலுக்காக ஒவ்வொரு பிரிவுகளையும் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விளக்குவோம்.
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு ∫ a b f (x) d x ஐ தோராயமாக கணக்கிட வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதன் ஒருங்கிணைப்பு y = f (x) பிரிவில் [ a ; b] . இதை செய்ய, நாம் பிரிவை பிரிக்கிறோம் [ a ; b ] a = x 0 புள்ளிகளுடன் h நீளத்தின் பல சம இடைவெளிகளாக< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
பகிர்வு படியை கண்டுபிடிப்போம்: h = b - a n . சமத்துவம் x i = a + i h , i = 0 , 1 , ஆகியவற்றிலிருந்து முனைகளை வரையறுக்கிறோம். . . , என்.
அடிப்படை இடைவெளியில், x i - 1 என்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள்; x i, i = 1, 2, . . , என்.
n இன் எல்லையற்ற அதிகரிப்புடன், எல்லா நிகழ்வுகளையும் நான்கு எளிய விருப்பங்களுக்குக் குறைக்கிறோம்:
பிரிவுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , என். ஒவ்வொரு வரைபடத்திலும் உள்ள y = f (x) செயல்பாட்டை ஒரு நேர்கோட்டுப் பிரிவின் மூலம் மாற்றுவோம், அது x i - 1 ஆயத்தொகுப்புகளுடன் புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது; f x i - 1 மற்றும் x i ; f x i. அவற்றை நீல நிறத்தில் உள்ள புள்ளிவிவரங்களில் குறிக்கிறோம்.
∫ x i - 1 x if (x) d x இன் தோராயமான மதிப்பாக f (x i - 1) + f (x i) 2 h என்ற வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம். அந்த. ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .
நாம் படிக்கும் எண் ஒருங்கிணைப்பு முறை ஏன் ட்ரெப்சாய்டல் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது என்று பார்ப்போம். இதைச் செய்ய, வடிவவியலின் பார்வையில் எழுதப்பட்ட தோராயமான சமத்துவம் என்றால் என்ன என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும்.
ஒரு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவைக் கணக்கிட, அதன் அடிப்பகுதியின் பாதி தொகையை உயரத்தால் பெருக்கவும். முதல் வழக்கில், ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு தோராயமாக f (x i - 1) , f (x i) உயரம் h . நாங்கள் பரிசீலிக்கும் வழக்குகளில் நான்காவது, கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த ∫ x i - 1 x f (x) d x என்பது தளங்களைக் கொண்ட ஒரு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவிற்கு தோராயமாக சமம் - f (x i - 1) , - f (x i) மற்றும் உயரம் h, இது "-" அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட வேண்டும். நிச்சயமான ஒருங்கிணைந்த ∫ x i - 1 x i f (x) d x இன் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிட, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவதாக கருதப்படும் நிகழ்வுகளில், நாம் குறிக்கப்பட்ட சிவப்பு மற்றும் நீலப் பகுதிகளின் பகுதிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும். கீழே உள்ள படத்தில் குஞ்சு பொரிக்கிறது.
சுருக்கமாகக் கூறுவோம். ட்ரெப்சாய்டல் முறையின் சாராம்சம் பின்வருமாறு: ஒவ்வொரு அடிப்படைப் பிரிவிலும் அடுத்தடுத்த தோராயமான மாற்றத்திலும் ∫ x i - 1 x i f (x) d x வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக நாம் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த ∫ a b f (x) d x ஐக் குறிப்பிடலாம். x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.
ட்ரெப்சாய்டல் சூத்திரம்
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் ஐந்தாவது சொத்தை நினைவுகூருங்கள்: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . ட்ரெப்சாய்டல் முறையின் சூத்திரத்தைப் பெறுவதற்கு, ∫ x i - 1 x i f (x) d x என்ற ஒருங்கிணைப்புக்குப் பதிலாக, அவற்றின் தோராயமான மதிப்புகளை மாற்றவும்: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n - x i - 1 (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
வரையறை 1
ட்ரெப்சாய்டல் சூத்திரம்:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
ட்ரெப்சாய்டல் முறையின் முழுமையான பிழையின் மதிப்பீடு
ட்ரெப்சாய்டல் முறையின் முழுமையான பிழையை பின்வருமாறு மதிப்பிடுவோம்:
வரையறை 2
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2
ட்ரெப்சாய்டல் முறையின் கிராஃபிக் விளக்கம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:
கணக்கீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள்
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் தோராயமான கணக்கீட்டிற்கு ட்ரெப்சாய்டு முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம். இரண்டு வகையான பணிகளுக்கு நாங்கள் சிறப்பு கவனம் செலுத்துவோம்:
- n பிரிவின் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பகிர்வுகளுக்கு ட்ரேப்சாய்டு முறையின் மூலம் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு;
- குறிப்பிட்ட துல்லியத்துடன் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறிதல்.
கொடுக்கப்பட்ட n க்கு, அனைத்து இடைநிலை கணக்கீடுகளும் போதுமான அளவு அதிக துல்லியத்துடன் மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும். கணக்கீடுகளின் துல்லியம் அதிகமாக இருக்க வேண்டும், பெரிய n .
ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதில் கொடுக்கப்பட்ட துல்லியம் எங்களிடம் இருந்தால், அனைத்து இடைநிலை கணக்கீடுகளும் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஆர்டர்களை மிகவும் துல்லியமாக மேற்கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, துல்லியம் 0 . 01 க்கு அமைக்கப்பட்டால், 0 . 0001 அல்லது 0 . 00001 துல்லியத்துடன் இடைநிலை கணக்கீடுகளைச் செய்கிறோம். பெரிய nக்கு, இடைநிலை கணக்கீடுகள் இன்னும் அதிக துல்லியத்துடன் மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும்.
மேலே உள்ள விதியை உதாரணமாக எடுத்துக் கொள்வோம். இதைச் செய்ய, நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்பட்ட மற்றும் ட்ரெப்சாய்டு முறையால் பெறப்பட்ட ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகளை ஒப்பிடுகிறோம்.
எனவே, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .
எடுத்துக்காட்டு 1
ட்ரெப்சாய்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி, n க்கு 10 க்கு சமமான ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x ஐக் கணக்கிடுகிறோம்.
தீர்வு
ட்ரேப்சாய்டல் முறைக்கான சூத்திரம் ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு, h = b - a n சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி h படிநிலையைக் கணக்கிட வேண்டும், x i = a + i h , i = 0 , 1 , முனைகளைத் தீர்மானிக்கவும். . . , n , ஒருங்கிணைந்த f (x) = 7 x 2 + 1 இன் மதிப்புகளைக் கணக்கிடவும்.
பகிர்வு படி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . x i = a + i · h , i = 0 , 1 , முனைகளில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட. . . , n நான்கு தசம இடங்களை எடுப்போம்:
i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692
அட்டவணையில் கணக்கீடுகளின் முடிவுகளை உள்ளிடுவோம்:
| நான் | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
ட்ரெப்சாய்டல் முறையின் சூத்திரத்தில் பெறப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றவும்: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5, 6 + 3, 5 + 2, 1538 + 1, 4 + 0, 9655 + 0, 7 + 0, 5283 + 0, 4117 + 0, 3294 + 0, 19, 19
நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்பட்ட முடிவுகளுடன் எங்கள் முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம். பெறப்பட்ட மதிப்புகள் நூறில் ஒரு பங்கு வரை ஒத்துப்போகின்றன.
பதில்:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117
உதாரணம் 2
ட்ரேப்சாய்டு முறையைப் பயன்படுத்தி, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x இன் மதிப்பை 0 , 01 துல்லியத்துடன் கணக்கிடுகிறோம்.
தீர்வு
சிக்கலின் நிபந்தனையின்படி a = 1 ; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0, 01.
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . நாங்கள் அதை பின்வரும் வழியில் செய்வோம்: சமத்துவமின்மை m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . n கொடுக்கப்பட்டால், ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரம் கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பை நமக்கு வழங்கும்.
முதலில், செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் மாடுலஸின் மிகப்பெரிய மதிப்பை இடைவெளியில் [1 ; 2].
f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
இரண்டாவது வழித்தோன்றல் செயல்பாடு ஒரு இருபடி பரவளை f "" (x) = x 2 ஆகும். அதன் பண்புகளிலிருந்து இது நேர்மறை மற்றும் பிரிவில் அதிகரிக்கிறது என்பதை நாம் அறிவோம் [ 1 ; 2]. இது சம்பந்தமாக, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) மிகவும் எளிமையானதாக மாறியது. சிக்கலான சந்தர்ப்பங்களில், கணக்கீடுகளுக்கு, நீங்கள் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் குறிப்பிடலாம். இந்த எடுத்துக்காட்டைப் பரிசீலித்த பிறகு, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
பெறப்பட்ட மதிப்பை சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றுவோம் m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01
4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 . 7735
ஒருங்கிணைப்புப் பிரிவு n எனப் பிரிக்கப்பட்ட அடிப்படை இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு இயற்கை எண். கணக்கீட்டு நடத்தைக்கு, ஆறுக்கு சமமான n ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். n இன் அத்தகைய மதிப்பு, ட்ரெப்சாய்டு முறையின் குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை குறைந்தபட்ச கணக்கீடுகளுடன் அடைய அனுமதிக்கும்.
படியை கணக்கிடுவோம்: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
முனைகளைக் கண்டறியவும் x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , இந்த முனைகளில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 983
கணக்கீட்டு முடிவுகளை அட்டவணையின் வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:
| நான் | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
பெறப்பட்ட முடிவுகளை ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054
ஒப்பிடுவதற்கு, நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அசல் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கணக்கீடுகளின் பெறப்பட்ட துல்லியத்தை நாங்கள் அடைந்துள்ளோம்.
பதில்: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054
சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு, முழுமையான பிழையை மதிப்பிடுவதற்கான சமத்துவமின்மையிலிருந்து n எண்ணைக் கண்டறிவது எப்போதும் எளிதானது அல்ல. இந்த வழக்கில், பின்வரும் முறை பொருத்தமானதாக இருக்கும்.
n முனைகளுக்கான ட்ரெப்சாய்டு முறை மூலம் I n என பெறப்பட்ட திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பைக் குறிப்போம். ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணைத் தேர்வு செய்யலாம் n . ட்ரேப்சாய்டு முறையின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒற்றை (n = 10) மற்றும் இரட்டை (n = 20) முனைகளின் ஆரம்ப ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட்டு, பெறப்பட்ட இரண்டு தோராயமான மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் முழுமையான மதிப்பைக் கண்டறியவும் I 20 - நான் 10.
பெறப்பட்ட இரண்டு தோராயமான மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் முழுமையான மதிப்பு தேவையான துல்லியத்தை விட குறைவாக இருந்தால் I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
பெறப்பட்ட இரண்டு தோராயமான மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் முழுமையான மதிப்பு தேவையான துல்லியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், இரண்டு மடங்கு முனைகளுடன் (n = 40) படிகளை மீண்டும் செய்வது அவசியம்.
இந்த முறைக்கு நிறைய கணக்கீடுகள் தேவை, எனவே நேரத்தை மிச்சப்படுத்த கணினி தொழில்நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவது புத்திசாலித்தனம்.
மேலே உள்ள அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம். நேரத்தைச் சேமிக்க, ட்ரேப்சாய்டு முறையைப் பயன்படுத்தி இடைநிலைக் கணக்கீடுகளைத் தவிர்க்கிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு 3
0 , 001 துல்லியத்துடன் ட்ரேப்சாய்டு முறையைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த ∫ 0 2 x e x d x ஐக் கணக்கிடுவது அவசியம்.
தீர்வு
n ஐ 10 மற்றும் 20க்கு சமமாக எடுத்துக் கொள்வோம். ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரத்தின்படி, நாம் I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906 ஐப் பெறுகிறோம்.
I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, இதற்கு மேலும் கணக்கீடுகள் தேவை.
n ஐ 40க்கு சமமாக எடுத்துக்கொள்வோம்: I 40 = 8, 3934656.
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, மேலும் கணக்கீடுகள் தேவை.
n ஐ 80க்கு சமமாக எடுத்துக்கொள்வோம்: I 80 = 8 , 3901585 .
I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, இதற்கு முனைகளின் எண்ணிக்கையை மீண்டும் இரட்டிப்பாக்க வேண்டும்.
n ஐ 160க்கு சமமாக எடுத்துக்கொள்வோம்: I 160 = 8, 3893317.
I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001
I 160 = 8 , 3893317 ஐ ஆயிரத்தில் ஒரு பங்கு வரை சுற்றுவதன் மூலம் அசல் ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பைப் பெறலாம்: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .
ஒப்பிடுவதற்கு, நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அசல் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . தேவையான துல்லியம் அடையப்பட்டுள்ளது.
பதில்: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389
பிழைகள்
ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பை தீர்மானிக்க இடைநிலை கணக்கீடுகள் பெரும்பாலும் தோராயமாக மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. இதன் பொருள் n அதிகரிக்கும் போது, கணக்கீட்டு பிழை குவியத் தொடங்குகிறது.
ட்ரெப்சாய்டல் முறையின் முழுமையான பிழைகள் மற்றும் சராசரி செவ்வகங்களின் முறை ஆகியவற்றின் மதிப்பீடுகளை ஒப்பிடுவோம்:
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .
அதே அளவு கணக்கீட்டு வேலையுடன் கொடுக்கப்பட்ட nக்கான செவ்வகங்களின் முறை பாதி பிழையை அளிக்கிறது. தொடக்கப் பிரிவுகளின் நடுப் பிரிவுகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அறியப்படும் சந்தர்ப்பங்களில் இது முறையை மிகவும் விரும்பத்தக்கதாக ஆக்குகிறது.
அந்த சந்தர்ப்பங்களில், ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாடுகள் பகுப்பாய்வு ரீதியாக குறிப்பிடப்படவில்லை, ஆனால் முனைகளில் உள்ள மதிப்புகளின் தொகுப்பாக, நாம் ட்ரெப்சாய்டல் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.
ட்ரெப்சாய்டல் முறையின் துல்லியம் மற்றும் வலது மற்றும் இடது செவ்வகங்களின் முறை ஆகியவற்றை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், முதல் முறை முடிவின் துல்லியத்தில் இரண்டாவதாக மிஞ்சும்.
உரையில் பிழை இருப்பதைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்
ட்ரெப்சாய்டல் முறைஎண் ஒருங்கிணைப்பு முறைகளில் ஒன்றாகும். முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிட இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.
முதலில், ட்ரெப்சாய்டு முறையின் சாரத்தை விவரிக்கிறோம் மற்றும் ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். அடுத்து, முறையின் முழுமையான பிழையின் மதிப்பீட்டை நாங்கள் எழுதுகிறோம் மற்றும் வழக்கமான எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்கிறோம். முடிவில், ட்ரேப்சாய்டுகளின் முறையை செவ்வக முறையுடன் ஒப்பிடுவோம்.
பக்க வழிசெலுத்தல்.
ட்ரேப்சாய்டு முறையின் சாராம்சம்.
பின்வரும் பணியை நாமே அமைத்துக் கொள்வோம்: y=f(x) என்பது இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக கணக்கிட வேண்டும்.
புள்ளிகளுடன் h நீளமுள்ள n சம இடைவெளியில் பிரிவை பிரிப்போம் . இந்த வழக்கில், முனைகள் சமத்துவத்திலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுவதால் பகிர்வு படி காணப்படுகிறது.
அடிப்படை இடைவெளிகளில் ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள் 
.
நான்கு வழக்குகள் சாத்தியமாகும் (படம் அவற்றில் எளிமையானதைக் காட்டுகிறது, n முடிவில்லாமல் அதிகரிக்கும் போது எல்லாம் குறைகிறது):
ஒவ்வொரு பிரிவிலும் ஆய மற்றும் . அவற்றை நீல கோடுகளுடன் படத்தில் சித்தரிக்கிறோம்:
ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பாக, நாம் வெளிப்பாட்டை எடுத்துக்கொள்கிறோம் 
, அதாவது எடுக்கலாம் 
.
எழுதப்பட்ட தோராயமான சமத்துவம் என்பது வடிவியல் அர்த்தத்தில் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எண்ணியல் ஒருங்கிணைப்பின் கருதப்பட்ட முறை ஏன் ட்ரெப்சாய்டல் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதை இது சாத்தியமாக்கும்.
ஒரு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு உயரத்தின் அடித்தொகையின் பாதி கூட்டுத்தொகையின் பெருக்கத்தில் காணப்படுகிறது என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, முதல் வழக்கில், ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு தளங்களைக் கொண்ட ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவிற்கு தோராயமாக சமமாக இருக்கும். 
மற்றும் உயரம் h, பிந்தைய வழக்கில், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது தளங்களைக் கொண்ட ட்ரேப்சாய்டின் பகுதிக்கு தோராயமாக சமமாக இருக்கும் 
மற்றும் உயரம் h ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது நிகழ்வுகளில், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பு கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சிவப்பு மற்றும் நீல பகுதிகளின் பகுதிகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும்.
இதனால், நாங்கள் வந்துள்ளோம் ட்ரேப்சாய்டு முறையின் சாராம்சம், ஒவ்வொரு அடிப்படை இடைவெளியிலும், அடுத்தடுத்த தோராயமான மாற்றத்திலும் படிவத்தின் கூட்டுத்தொகையாக ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது. .
ட்ரெப்சாய்டல் சூத்திரம்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தேவையான துல்லியம் அடையப்படுகிறது.
பிழைகள் பற்றி கொஞ்சம்.
கோட்பாட்டளவில், ட்ரெப்சாய்டு முறையால் கணக்கிடப்பட்ட ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பு, இல் உள்ள உண்மையான மதிப்பை நோக்கி செல்கிறது. இருப்பினும், பெரும்பாலான இடைநிலை கணக்கீடுகள் தோராயமாக மேற்கொள்ளப்படுகின்றன என்ற உண்மையை ஒருவர் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும், மேலும் பெரிய n க்கு, கணக்கீட்டு பிழை குவியத் தொடங்குகிறது.
ட்ரேப்சாய்டு முறையின் முழுமையான பிழைகள் மற்றும் சராசரி செவ்வகங்களின் முறையின் மதிப்பீடுகளைப் பார்ப்போம். 
.
அதே அளவு கணக்கீட்டு வேலையுடன் செவ்வக முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, கொடுக்கப்பட்ட nக்கு பாதிப் பிழையை ஒருவர் எதிர்பார்க்கலாம், அதாவது, இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவது விரும்பத்தக்கது. அடிப்படைப் பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அறியப்படும்போது இது உண்மையாகும். ஆனால் சில நேரங்களில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாடுகள் பகுப்பாய்வு ரீதியாக அல்ல, ஆனால் முனைகளில் உள்ள மதிப்புகளின் தொகுப்பாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், நடுத்தர செவ்வகங்களின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது, ஆனால் ட்ரேப்சாய்டு முறையைப் பயன்படுத்த முடியும்.
வலது மற்றும் இடது செவ்வகங்களின் முறைகள், ஒருங்கிணைப்புப் பிரிவின் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பகிர்வுகளுக்கான விளைவின் துல்லியத்தில் ட்ரெப்சாய்டுகளின் முறையை விட தாழ்வானவை.
செவ்வகங்கள், ட்ரேப்சாய்டுகள் மற்றும் சிம்ப்சனின் சூத்திரத்தின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு. பிழைகளின் மதிப்பீடு.
தலைப்பு 4.1 குறித்த வழிகாட்டுதல்கள்:
செவ்வக சூத்திரங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு. பிழை மதிப்பீடு:
பல தொழில்நுட்ப சிக்கல்களின் தீர்வு சில ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது, அதன் சரியான வெளிப்பாடு கடினம், நீண்ட கணக்கீடுகள் தேவை மற்றும் நடைமுறையில் எப்போதும் நியாயப்படுத்தப்படவில்லை. இங்கே, அவற்றின் தோராயமான மதிப்பு மிகவும் போதுமானது. எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு தெரியாத ஒரு கோட்டால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும், அச்சு எக்ஸ்மற்றும் இரண்டு கட்டளைகள். இந்த வழக்கில், நீங்கள் இந்த வரியை எளிமையான ஒன்றை மாற்றலாம், அதற்கான சமன்பாடு அறியப்படுகிறது. இவ்வாறு பெறப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு விரும்பிய ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. வடிவியல் ரீதியாக, செவ்வகங்களின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடும் முறையின் பின்னணியில் உள்ள யோசனை என்னவென்றால், ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு A 1 ABB 1சம பகுதி செவ்வகத்தின் பகுதியால் மாற்றப்படுகிறது A 1 A 2 B 1 B 2, இது, சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் படி, சமம்
எங்கே f(c)--- செவ்வக உயரம் A 1 A 2 B 1 B 2,சில இடைநிலை புள்ளியில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு c(a< c
அத்தகைய மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பது நடைமுறையில் கடினம் உடன், எதில் (b-a)f(c)சரியாக சமமாக இருக்கும். மிகவும் துல்லியமான மதிப்பைப் பெற, ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி பிரிக்கப்பட்டுள்ளது nஉயரம் சமமாக இருக்கும் செவ்வகங்கள் y 0, y 1, y 2, …,y n -1மற்றும் அடித்தளங்கள்.
ஒரு பாதகமான வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியை உள்ளடக்கிய செவ்வகங்களின் பகுதிகளை நாம் சுருக்கமாகக் கூறினால், செயல்பாடு குறையாது, பின்னர் சூத்திரத்திற்கு பதிலாக, சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
அதிகமாக இருந்தால், பின்னர்
சமத்துவங்களில் இருந்து மதிப்புகள் காணப்படுகின்றன. இந்த சூத்திரங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன செவ்வக சூத்திரங்கள்மற்றும் தோராயமான முடிவைக் கொடுக்கும். அதிகரிப்புடன் nமுடிவு மிகவும் துல்லியமாகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 1 . செவ்வகங்களின் சூத்திரத்திலிருந்து கணக்கிடுங்கள்
ஒருங்கிணைப்பின் இடைவெளியை 5 பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறோம். பிறகு . ஒரு கால்குலேட்டர் அல்லது அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம் (4 தசம இடங்களின் துல்லியத்துடன்):
செவ்வகங்களின் சூத்திரத்தின் படி (ஒரு பாதகத்துடன்)
மறுபுறம், நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தின்படி
செவ்வகங்களின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர்புடைய கணக்கீட்டு பிழையைக் கண்டுபிடிப்போம்:
ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு. பிழை மதிப்பீடு:
ஒருங்கிணைப்புகளின் தோராயமான கணக்கீட்டிற்கான பின்வரும் முறையின் வடிவியல் பொருள் என்னவென்றால், தோராயமாக சம அளவிலான "ரெக்டிலினியர்" ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டறிதல் ஆகும்.
பரப்பளவைக் கணக்கிடுவது அவசியமாக இருக்கட்டும் A 1 AmBB 1வளைவு ட்ரேப்சாய்டு, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
பரிதியை மாற்றுவோம் ஆம்பிநாண் ஏபிமற்றும் ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதிக்கு பதிலாக A 1 AmBB 1ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள் A 1 ABB 1: , எங்கே ஏஏ 1மற்றும் பிபி 1 - ட்ரேப்சாய்டின் அடிப்பகுதி, மற்றும் ஏ 1 பி 1 என்பது அதன் உயரம்.
குறிக்கவும் f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.ட்ரேப்சாய்டு உயரம் A 1 B 1 \u003d b-a,சதுரம் . எனவே, அல்லது
இந்த அழைக்கப்படும் சிறிய ட்ரேப்சாய்டு சூத்திரம்.
எடுத்துக்காட்டு 2. ஆற்றின் அகலம் 26 மீ, ஆற்றின் குறுக்கு பிரிவில் ஆழ அளவீடுகள் ஒவ்வொன்றும் 2 மீபின்வரும் முடிவுகளை அளித்தது.
கற்பித்தல் மற்றும் கல்வி பணிகள்:
- செயற்கையான நோக்கம். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான கணக்கீட்டு முறைகளை மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துதல்.
- கல்வி இலக்கு. இந்த பாடத்தின் தலைப்பு சிறந்த நடைமுறை மற்றும் கல்வி மதிப்புடையது. எண் ஒருங்கிணைப்பு யோசனைக்கான எளிய அணுகுமுறை, ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பாகும். எடுத்துக்காட்டாக, பிரிவின் போதுமான சிறிய பகிர்வை எடுத்துக் கொண்டால் [ அ; பி] மற்றும் அதற்கு ஒரு ஒருங்கிணைந்த தொகையை உருவாக்கவும், அதன் மதிப்பை தோராயமாக தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். அதே நேரத்தில், கணினி தொழில்நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளை விரைவாகவும் சரியாகவும் செய்வது முக்கியம்.
அடிப்படை அறிவு மற்றும் திறன்கள். செவ்வகங்கள் மற்றும் ட்ரேப்சாய்டுகளின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான தோராயமான முறைகளைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.
பாடத்தை உறுதி செய்தல்
- கையேடு. சுயாதீன வேலைக்கான பணி அட்டைகள்.
- TSO. மல்டிபிராஜெக்டர், பிசி, மடிக்கணினிகள்.
- TCO உபகரணங்கள். விளக்கக்காட்சிகள்: "வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்", "செவ்வகங்களின் முறை", "டிரெப்சாய்டுகளின் முறை". (விளக்கக்காட்சியை ஆசிரியரிடமிருந்து கடன் வாங்கலாம்).
- கணினி கருவிகள்: பிசி, மைக்ரோகால்குலேட்டர்கள்.
- வழிகாட்டுதல்கள்
வகுப்பு வகை. ஒருங்கிணைந்த நடைமுறை.
மாணவர்களின் அறிவாற்றல் செயல்பாட்டின் உந்துதல். பெரும்பாலும், ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்க முடியாத திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிட வேண்டும். இந்த வழக்கில், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான தோராயமான முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தின் கணக்கீடு பகுத்தறிவு இல்லை என்றால், சில நேரங்களில் தோராயமான முறை "எடுத்து" ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான கணக்கீட்டின் யோசனை என்னவென்றால், வளைவு ஒரு புதிய வளைவால் மாற்றப்படுகிறது, அது போதுமான அளவு "நெருக்கமாக" உள்ளது. ஒரு புதிய வளைவின் தேர்வைப் பொறுத்து, ஒன்று அல்லது மற்றொரு தோராயமான ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படலாம்.
பாடம் வரிசை.
- செவ்வக சூத்திரம்.
- ட்ரெப்சாய்டல் சூத்திரம்.
- பயிற்சிகளின் தீர்வு.
பாட திட்டம்
- மாணவர்களின் அடிப்படை அறிவை மீண்டும் கூறுதல்.
மாணவர்களுடன் மீண்டும் செய்யவும்: ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை சூத்திரங்கள், ஆய்வு செய்யப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு முறைகளின் சாராம்சம், ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.
- நடைமுறை வேலைகளைச் செய்தல்.
பல தொழில்நுட்ப சிக்கல்களின் தீர்வு சில ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது, அதன் சரியான வெளிப்பாடு கடினம், நீண்ட கணக்கீடுகள் தேவை மற்றும் நடைமுறையில் எப்போதும் நியாயப்படுத்தப்படவில்லை. இங்கே, அவற்றின் தோராயமான மதிப்பு மிகவும் போதுமானது.
எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு தெரியாத ஒரு கோட்டால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், நீங்கள் இந்த வரியை எளிமையான ஒன்றை மாற்றலாம், அதன் சமன்பாடு அறியப்படுகிறது. இவ்வாறு பெறப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு விரும்பிய ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.
எளிமையான தோராயமான முறை செவ்வக முறை ஆகும். வடிவியல் ரீதியாக, செவ்வகங்களின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான வழியின் பின்னணியில் உள்ள யோசனை என்னவென்றால், ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஏ பி சி டிசெவ்வகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றப்படுகிறது, அதன் ஒரு பக்கம் , மற்றொன்று .
வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியை பாதகத்துடன் காட்டும் செவ்வகங்களின் பகுதிகளை சுருக்கமாகக் கூறினால் [படம் 1], நாம் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:
[படம் 1]
பின்னர் நாம் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: 
மிகுதியாக இருந்தால்
[படம்2],
பிறகு 
மதிப்புகள் y 0 , y 1 ,..., y nசமத்துவங்களிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது 
,
k = 0, 1..., n.இந்த சூத்திரங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன செவ்வக சூத்திரங்கள்மற்றும் தோராயமான முடிவுகளை கொடுக்க. அதிகரிப்புடன் nமுடிவு மிகவும் துல்லியமாகிறது.
எனவே, ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறிய, உங்களுக்கு இது தேவை:
கணக்கீட்டு பிழையைக் கண்டறிய, நீங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:
எடுத்துக்காட்டு 1 செவ்வகங்களின் சூத்திரத்தின் மூலம் கணக்கிடுங்கள். கணக்கீடுகளின் முழுமையான மற்றும் தொடர்புடைய பிழைகளைக் கண்டறியவும்.
பிரிவைப் பிரிப்போம் [ ஒரு, பி] பல (உதாரணமாக, 6) சம பாகங்களாக. பிறகு a = 0, b =
3
,
x k = a + k x
எக்ஸ் 0 = 2 + 0
= 2
எக்ஸ் 1 = 2 + 1
= 2,5
எக்ஸ் 2 = 2 + 2
=3
எக்ஸ் 3 = 2 + 3
= 3
எக்ஸ் 4 = 2 + 4
= 4
எக்ஸ் 5 = 2 + 5
= 4,5
f(எக்ஸ் 0) = 2 2 = 4
f
(எக்ஸ்
1)
= 2
,5
2
=
6,25
f
(எக்ஸ்
2)
=
3 2
=
9
f
(எக்ஸ்
3)
=
3,5 2
=
12,25
f
(எக்ஸ்
4)
=
4 2
=
16
f
(எக்ஸ்
5)
=
4,5 2
=
20,25.
| எக்ஸ் | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
| மணிக்கு | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
சூத்திரத்தின் படி (1):
கணக்கீடுகளின் ஒப்பீட்டு பிழையைக் கணக்கிடுவதற்கு, ஒருங்கிணைப்பின் சரியான மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம்:
கணக்கீடுகள் நீண்ட நேரம் எடுத்தன, எங்களுக்கு ஒரு கடினமான ரவுண்டிங் கிடைத்தது. ஒரு சிறிய தோராயத்துடன் இந்த ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட, நீங்கள் கணினியின் தொழில்நுட்ப திறன்களைப் பயன்படுத்தலாம்.
செவ்வக முறை மூலம் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய, ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகளை உள்ளிடுவது அவசியம் f(x)வரம்பில் உள்ள எக்செல் பணித்தாள் எக்ஸ்கொடுக்கப்பட்ட படியுடன் எக்ஸ்= 0,1.
- தரவு அட்டவணையை தொகுத்தல் (எக்ஸ்மற்றும் f(x)). எக்ஸ் f(x) வாதம், மற்றும் செல் B1 இல் - வார்த்தை செயல்பாடு2 2,1 ) பின்னர், A2:A3 கலங்களின் தொகுதியைத் தேர்ந்தெடுத்து, தானாக நிறைவு செய்வதன் மூலம் வாதத்தின் அனைத்து மதிப்புகளையும் பெறுகிறோம் (தொகுதியின் கீழ் வலது மூலையை செல் A32 க்கு, மதிப்புக்கு நீட்டிக்கிறோம் x=5).
- அடுத்து, ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். செல் B2 இல், நீங்கள் அதன் சமன்பாட்டை எழுத வேண்டும். இதைச் செய்ய, டேபிள் கர்சரை செல் B2 இல் வைத்து விசைப்பலகையில் இருந்து சூத்திரத்தை உள்ளிடவும் =A2^2(ஆங்கில விசைப்பலகை தளவமைப்புக்காக). விசையை அழுத்தவும் உள்ளிடவும். செல் B2 தோன்றும் 4
. இப்போது நீங்கள் செல் B2 இலிருந்து செயல்பாட்டை நகலெடுக்க வேண்டும். இந்த சூத்திரத்தை B2:B32 வரம்பிற்கு தானாக நிரப்பவும்.
இதன் விளைவாக, ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய ஒரு தரவு அட்டவணையைப் பெற வேண்டும். - இப்போது செல் B33 இல் ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பைக் காணலாம். இதைச் செய்ய, செல் B33 இல், சூத்திரத்தை உள்ளிடவும் = 0,1*, பின்னர் Function Wizard ஐ அழைக்கவும் (கருவிப்பட்டியில் உள்ள Insert Function பொத்தானை அழுத்துவதன் மூலம் (f(x)). Function Wizard-Step 1 of 2 உரையாடல் பெட்டியில், இடதுபுறத்தில், வகை புலத்தில், கணிதத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். செயல்பாட்டு புலத்தில் வலதுபுறத்தில் - கூட்டு செயல்பாடு. நாங்கள் பொத்தானை அழுத்தவும் சரி.தொகை உரையாடல் பெட்டி தோன்றும். சுட்டியைக் கொண்டு வேலை செய்யும் புலத்தில் B2:B31 என்ற கூட்டுத்தொகை வரம்பை உள்ளிடவும். நாங்கள் பொத்தானை அழுத்தவும் சரி.செல் B33 இல், விரும்பிய ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பு ஒரு பாதகத்துடன் தோன்றும் ( 37,955 ) .
பெறப்பட்ட தோராயமான மதிப்பை ஒருங்கிணைப்பின் உண்மையான மதிப்புடன் ஒப்பிடுதல் ( 39 ), இந்த வழக்கில் செவ்வக முறையின் தோராயமான பிழை சமமாக இருப்பதைக் காணலாம்
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
உதாரணம் 2 செவ்வக முறையைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட படியைக் கணக்கிடுங்கள் எக்ஸ் = 0,05.
பெறப்பட்ட தோராயமான மதிப்பை ஒருங்கிணைப்பின் உண்மையான மதிப்புடன் ஒப்பிடுதல் 
, இந்த வழக்கில் செவ்வக முறையின் தோராயமான பிழை சமமாக இருப்பதைக் காணலாம்
ட்ரேப்சாய்டு முறை பொதுவாக செவ்வக முறையை விட துல்லியமான ஒருங்கிணைந்த மதிப்பை அளிக்கிறது. பல ட்ரெப்சாய்டுகளின் கூட்டுத்தொகையால் வளைவு ட்ரெப்சாய்டு மாற்றப்படுகிறது மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பு ட்ரேப்சாய்டுகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் காணப்படுகிறது.
[படம்3]
எடுத்துக்காட்டு 3 ட்ரெப்சாய்டல் படிப்படியாக கண்டுபிடிக்கவும் எக்ஸ் = 0,1.
- வெற்று ஒர்க் ஷீட்டைத் திறக்கவும்.
- தரவு அட்டவணையை தொகுத்தல் (எக்ஸ்மற்றும் f(x)).முதல் நெடுவரிசை மதிப்புகளாக இருக்கட்டும் எக்ஸ், மற்றும் இரண்டாவது தொடர்புடைய குறிகாட்டிகள் f(x)இதைச் செய்ய, செல் A1 இல், வார்த்தையை உள்ளிடவும் வாதம், மற்றும் செல் B1 இல் - வார்த்தை செயல்பாடு. செல் A2 இல், வாதத்தின் முதல் மதிப்பு உள்ளிடப்பட்டது - வரம்பின் இடது எல்லை ( 0 ) செல் A3 இல், வாதத்தின் இரண்டாவது மதிப்பு உள்ளிடப்பட்டுள்ளது - வரம்பின் இடது எல்லை மற்றும் கட்டுமானப் படி ( 0,1 ) பின்னர், A2:A3 கலங்களின் தொகுதியைத் தேர்ந்தெடுத்து, தானாக நிறைவு செய்வதன் மூலம் வாதத்தின் அனைத்து மதிப்புகளையும் பெறுகிறோம் (தொகுதியின் கீழ் வலது மூலையில் இருந்து செல் A33 க்கு, மதிப்புக்கு நீட்டிக்கிறோம் x=3.1).
- அடுத்து, ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். செல் B2 இல், நீங்கள் அதன் சமன்பாட்டை எழுத வேண்டும் (ஒரு சைனின் உதாரணத்தில்). இதைச் செய்ய, டேபிள் கர்சரை செல் B2 இல் வைக்க வேண்டும். செல் A2 இல் உள்ள வாதத்தின் மதிப்புடன் தொடர்புடைய சைன் மதிப்பு இருக்க வேண்டும். சைனின் மதிப்பைப் பெற, நாங்கள் ஒரு சிறப்பு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம்: கருவிப்பட்டியில் உள்ள செயல்பாடுகளைச் செருகு பொத்தானைக் கிளிக் செய்க f(x). Function Wizard-Step 1 of 2 உரையாடல் பெட்டியில், இடதுபுறத்தில், வகை புலத்தில், கணிதத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். செயல்பாட்டு புலத்தில் வலதுபுறத்தில் - ஒரு செயல்பாடு பாவம். நாங்கள் பொத்தானை அழுத்தவும் சரி.ஒரு உரையாடல் பெட்டி தோன்றும் பாவம். சாளரத்தின் சாம்பல் நிறப் புலத்தின் மீது மவுஸ் பாயிண்டரைக் கொண்டு, இடது பொத்தானை அழுத்தி, தரவு நெடுவரிசையைத் திறக்க புலத்தை வலதுபுறமாக நகர்த்தவும் ( ஆனால்) செல் A2 ஐக் கிளிக் செய்வதன் மூலம் சைன் வாதத்தின் மதிப்பைக் குறிப்பிடவும். நாங்கள் பொத்தானை அழுத்தவும் சரி.செல் B2 இல் 0 தோன்றுகிறது. இப்போது நீங்கள் செல் B2 இலிருந்து செயல்பாட்டை நகலெடுக்க வேண்டும். இந்த சூத்திரத்தை B2:B33 வரம்பிற்கு தானாக பூர்த்தி செய்யவும். இதன் விளைவாக, ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய ஒரு தரவு அட்டவணையைப் பெற வேண்டும்.
- இப்போது செல் B34 இல் ட்ரெப்சாய்டு முறையைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைந்த மதிப்பின் தோராயமான மதிப்பைக் காணலாம். இதைச் செய்ய, செல் B34 இல், சூத்திரத்தை உள்ளிடவும் \u003d 0.1 * ((B2 + B33) / 2+,பின்னர் Function Wizard ஐ அழைக்கவும் (கருவிப்பட்டியில் உள்ள Insert Function பொத்தானை அழுத்துவதன் மூலம் (f(x)). Function Wizard-Step 1 of 2 உரையாடல் பெட்டியில், இடதுபுறத்தில், வகை புலத்தில், கணிதத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். செயல்பாட்டு புலத்தில் வலதுபுறத்தில் - கூட்டு செயல்பாடு. நாங்கள் பொத்தானை அழுத்தவும் சரி.தொகை உரையாடல் பெட்டி தோன்றும். சுட்டியைக் கொண்டு வேலை செய்யும் புலத்தில் B3:B32 என்ற கூட்டுத்தொகை வரம்பை உள்ளிடவும். நாங்கள் பொத்தானை அழுத்தவும் சரிமீண்டும் ஒருமுறை சரி.செல் B34 இல், தேடப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பு ஒரு பாதகத்துடன் தோன்றும் ( 1,997 ) .
பெறப்பட்ட தோராயமான மதிப்பை ஒருங்கிணைப்பின் உண்மையான மதிப்புடன் ஒப்பிடுகையில், இந்த வழக்கில் செவ்வக முறையின் தோராயமான பிழை நடைமுறைக்கு மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது என்பதைக் காணலாம்.
- பயிற்சிகளின் தீர்வு.
ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது
ட்ரேப்சாய்டு சூத்திரம் மற்றும் சிம்ப்சன் முறையைப் பயன்படுத்துகிறீர்களா?
எண் முறைகள் என்பது உயர் கணிதத்தின் மிகப் பெரிய பகுதி மற்றும் இந்த தலைப்பில் தீவிர பாடப்புத்தகங்கள் நூற்றுக்கணக்கான பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. நடைமுறையில், சோதனைகளில், சில பணிகள் பாரம்பரியமாக எண் முறைகளால் தீர்க்க முன்மொழியப்படுகின்றன, மேலும் பொதுவான பணிகளில் ஒன்று தோராயமான கணக்கீடு ஆகும். திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள். இந்த கட்டுரையில், ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான கணக்கீட்டிற்கான இரண்டு முறைகளை நான் கருதுகிறேன் - trapezoidal முறைமற்றும் சிம்ப்சன் முறை.
இந்த முறைகளில் தேர்ச்சி பெற நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது என்ன? இது வேடிக்கையாகத் தெரிகிறது, ஆனால் உங்களால் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுக்க முடியாமல் போகலாம். மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகள் என்ன என்று கூட புரியவில்லை. தொழில்நுட்ப வழிமுறைகளில், உங்களுக்கு மைக்ரோகால்குலேட்டர் தேவைப்படும். ஆம், ஆம், வழக்கமான பள்ளிக் கணக்கீடுகளுக்காக நாங்கள் காத்திருக்கிறோம். இன்னும் சிறப்பாக, ட்ரெப்சாய்டு முறை மற்றும் சிம்ப்சன் முறைக்கான எனது அரை தானியங்கி கால்குலேட்டரைப் பதிவிறக்கவும். கால்குலேட்டர் எக்செல் இல் எழுதப்பட்டுள்ளது மற்றும் பணிகளைத் தீர்க்கும் மற்றும் செயலாக்குவதற்கான நேரத்தை பத்து மடங்கு குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கும். எக்செல் டீபாட்களுக்கு வீடியோ கையேடு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது! சொல்லப்போனால், எனது குரலுடன் கூடிய முதல் வீடியோ.
முதலில், தோராயமான கணக்கீடுகள் ஏன் தேவை? செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்வைக் கண்டறிந்து, நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பின் சரியான மதிப்பைக் கணக்கிடுவது சாத்தியமாகத் தெரிகிறது. என்ற கேள்விக்கான பதில், படத்துடன் கூடிய டெமோ உதாரணத்தை உடனடியாகக் கருத்தில் கொள்வோம்.
ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
எல்லாம் நன்றாக இருக்கும், ஆனால் இந்த எடுத்துக்காட்டில் ஒருங்கிணைப்பு எடுக்கப்படவில்லை - நீங்கள் எடுக்கப்படாததற்கு முன், அழைக்கப்படும் ஒருங்கிணைந்த மடக்கை. இந்த ஒருங்கிணைப்பு கூட இருக்கிறதா? வரைபடத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் வரைபடத்தை சித்தரிக்கலாம்: 
எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது. ஒருங்கிணைப்பானது இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது நிழலிடப்பட்ட பகுதிக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமமாக இருக்கும். ஆம், அது ஒரு ஸ்னாக் தான் - ஒருங்கிணைக்கப்படவில்லை. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், எண் முறைகள் மீட்புக்கு வருகின்றன. இந்த வழக்கில், சிக்கல் இரண்டு சூத்திரங்களில் ஏற்படுகிறது:
1) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக கணக்கிடுங்கள் , முடிவை ஒரு குறிப்பிட்ட தசம இடத்திற்குச் சுற்றும். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு தசம இடங்கள் வரை, மூன்று தசம இடங்கள் வரை போன்றவை. 5.347 என்ற தோராயமான பதில் கிடைக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். உண்மையில், இது முற்றிலும் சரியாக இருக்காது (உண்மையில், மிகவும் துல்லியமான பதில் 5.343 என்று சொல்லலாம்). நமது பணி அதில் மட்டுமேமுடிவை மூன்று தசம இடங்களுக்குச் சுற்றவும்.
2) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக கணக்கிடவும், ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்துடன். எடுத்துக்காட்டாக, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக 0.001 துல்லியத்துடன் கணக்கிடவும். இதற்கு என்ன பொருள்? அத்தகைய தோராயமான மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதே இதன் பொருள் தொகுதி (ஒரு வழி அல்லது வேறு)உண்மையிலிருந்து 0.001க்கு மேல் வேறுபடவில்லை.
சிக்கல்களில் நிகழும் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான கணக்கீட்டிற்கு பல அடிப்படை முறைகள் உள்ளன:
ஒருங்கிணைப்பின் பிரிவு பல பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஒரு படிநிலை உருவம் கட்டப்பட்டுள்ளது, இது விரும்பிய பகுதிக்கு அருகில் உள்ளது: 
வரைபடங்கள் மூலம் கண்டிப்பாக தீர்மானிக்க வேண்டாம், துல்லியம் சரியானது அல்ல - அவை முறைகளின் சாரத்தை புரிந்து கொள்ள மட்டுமே உதவுகின்றன.
யோசனை ஒத்தது. ஒருங்கிணைப்பு பிரிவு பல இடைநிலை பிரிவுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஒருங்கிணைந்த அணுகுமுறைகளின் வரைபடம் உடைந்த கோடுவரி: 
எனவே நமது பகுதி (நீல நிழல்) ட்ரேப்சாய்டுகளின் (சிவப்பு) பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது. எனவே இந்த முறையின் பெயர். செவ்வக முறையை விட (அதே எண்ணிக்கையிலான பகிர்வு பிரிவுகளுடன்) ட்ரெப்சாய்டு முறை மிகச் சிறந்த தோராயத்தை அளிக்கிறது என்பதை எளிதாகக் காணலாம். மற்றும், நிச்சயமாக, நாம் கருதும் சிறிய இடைநிலை பிரிவுகள், அதிக துல்லியம் இருக்கும். ட்ரெப்சாய்டு முறையானது நடைமுறை பணிகளில் அவ்வப்போது எதிர்கொள்ளப்படுகிறது, மேலும் இந்த கட்டுரையில் பல எடுத்துக்காட்டுகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்படும்.
சிம்ப்சன் முறை (பரபோலா முறை). இது மிகவும் சரியான வழி - ஒருங்கிணைப்பின் வரைபடம் உடைந்த கோட்டால் அல்ல, ஆனால் சிறிய பரவளையங்களால் அணுகப்படுகிறது. எத்தனை இடைநிலை பிரிவுகள் - பல சிறிய பரவளையங்கள். நாம் அதே மூன்று பிரிவுகளை எடுத்துக் கொண்டால், செவ்வக முறை அல்லது ட்ரேப்சாய்டு முறையை விட சிம்ப்சன் முறை இன்னும் துல்லியமான தோராயத்தைக் கொடுக்கும்.
பார்வைக்கு தோராயமானது செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் (முந்தைய பத்தியின் உடைந்த கோடு - பின்னர் கூட அது கிட்டத்தட்ட ஒத்துப்போனது) மேலோட்டமாக இருப்பதால், ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதில் உள்ள முக்கியத்துவத்தை நான் காணவில்லை.
சிம்சன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடும் பணி நடைமுறையில் மிகவும் பிரபலமான பணியாகும். மற்றும் பரவளைய முறை கணிசமான கவனம் செலுத்தப்படும்.
ட்ரேப்சாய்டு முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?
முதலில், பொதுவான சூத்திரம். ஒருவேளை அது அனைவருக்கும் தெளிவாக இருக்காது, உடனடியாக இல்லை ... ஆம், கார்ல்சன் உங்களுடன் இருக்கிறார் - நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகள் எல்லாவற்றையும் தெளிவுபடுத்தும்! அமைதி. அமைதி மட்டுமே.
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள், பிரிவில் ஒரு செயல்பாடு தொடர்கிறது. பிரிவை பிரிப்போம் சமமானபிரிவுகள்:
. இந்த வழக்கில், வெளிப்படையாக: (ஒருங்கிணைப்பின் குறைந்த வரம்பு) மற்றும் (ஒருங்கிணைப்பின் மேல் வரம்பு). புள்ளிகள் 
என்றும் அழைக்கப்பட்டது முடிச்சுகள்.
பின்னர் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக கணக்கிடலாம் ட்ரேப்சாய்டு சூத்திரம் மூலம்:
, எங்கே:
படி;
புள்ளிகளில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகள் 
.
எடுத்துக்காட்டு 1
ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள். முடிவுகளை மூன்று தசம இடங்களுக்குச் சுற்றவும்.
அ) ஒருங்கிணைப்புப் பகுதியை 3 பகுதிகளாகப் பிரித்தல்.
b) ஒருங்கிணைப்புப் பிரிவை 5 பகுதிகளாகப் பிரித்தல்.
தீர்வு:
அ) குறிப்பாக டம்மிகளுக்கு, நான் முதல் பத்தியை வரைபடத்துடன் இணைத்தேன், இது முறையின் கொள்கையை தெளிவாக நிரூபித்தது. இது கடினமாக இருந்தால், கருத்துகளின் போக்கில் உள்ள வரைபடத்தைப் பாருங்கள், அதன் ஒரு பகுதி இங்கே: 
நிபந்தனையின்படி, ஒருங்கிணைப்புப் பகுதியை 3 பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும், அதாவது.
பகிர்வின் ஒவ்வொரு பிரிவின் நீளத்தையும் கணக்கிடவும்: 
. அளவுரு, நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், அழைக்கப்படுகிறது படி.
எத்தனை புள்ளிகள் (பகிர்வு முனைகள்) இருக்கும்? இருக்கும் இன்னும் ஒன்றுபிரிவுகளின் எண்ணிக்கையை விட:
சரி, ட்ரெப்சாய்டுகளின் பொதுவான சூத்திரம் ஒரு இனிமையான அளவிற்கு குறைக்கப்படுகிறது: 
கணக்கீடுகளுக்கு, நீங்கள் வழக்கமான மைக்ரோகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம்: 
கவனிக்கவும், சிக்கலின் நிலைக்கு ஏற்ப, அனைத்து கணக்கீடுகளும் 3 வது தசம இடத்திற்கு வட்டமிடப்பட வேண்டும்.
இறுதியாக:
வடிவியல் பார்வையில், மூன்று ட்ரேப்சாய்டுகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட்டோம் (மேலே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்).
b) ஒருங்கிணைப்புப் பிரிவை 5 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறோம், அதாவது. இது ஏன் தேவை? எனவே ஃபோபோஸ்-கிரண்ட் கடலில் விழாது - பிரிவுகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம், கணக்கீடுகளின் துல்லியத்தை அதிகரிக்கிறோம்.
என்றால், ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:
பகிர்வு படியை கண்டுபிடிப்போம்: 
, அதாவது, ஒவ்வொரு இடைநிலை பிரிவின் நீளம் 0.6 ஆகும்.
பணியை முடிக்கும்போது, கணக்கீட்டு அட்டவணையுடன் அனைத்து கணக்கீடுகளையும் வரைவது வசதியானது:
முதல் வரியில் நாம் "கவுண்டர்" என்று எழுதுகிறோம்.
இரண்டாவது வரி எவ்வாறு உருவாகிறது என்பதை அனைவரும் பார்க்க முடியும் என்று நான் நினைக்கிறேன் - முதலில் நாம் குறைந்த ஒருங்கிணைப்பு வரம்பை எழுதுகிறோம், மீதமுள்ள மதிப்புகளை படிப்படியாக சேர்ப்பதன் மூலம் பெறுகிறோம்.
எந்தக் கொள்கையால் அடிமட்டக் கோடு நிரப்பப்படுகிறது என்பதும், கிட்டத்தட்ட அனைவருக்கும் புரிந்திருக்கும் என்று நினைக்கிறேன். உதாரணமாக, என்றால், பின்னர் 
. என்ன அழைக்கப்படுகிறது, கருதுங்கள், சோம்பேறியாக இருக்காதீர்கள்.
அதன் விளைவாக: 
சரி, உண்மையில் ஒரு தெளிவு மற்றும் தீவிரமான ஒன்று உள்ளது! பகிர்வின் 3 பிரிவுகளுக்கு தோராயமான மதிப்பு இருந்தால், 5 பிரிவுகளுக்கு . எனவே, அதிக அளவு உறுதியுடன், குறைந்தபட்சம் என்று வாதிடலாம்.
உதாரணம் 2
இரண்டு தசம இடங்களின் துல்லியத்துடன் (0.01 வரை) ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:கிட்டத்தட்ட அதே பிரச்சனை, ஆனால் சற்று வித்தியாசமான சூத்திரத்தில். எடுத்துக்காட்டு 1 இலிருந்து அடிப்படை வேறுபாடு நாம் எங்களுக்கு தெரியாது, இரண்டு சரியான தசம இடங்களைப் பெற, ஒருங்கிணைப்புப் பகுதியைப் பிரிக்க எத்தனை பிரிவுகள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அதன் மதிப்பு நமக்குத் தெரியாது.
ஒரு சிறப்பு சூத்திரம் உள்ளது, இது பகிர்வு பிரிவுகளின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது, இது தேவையான துல்லியம் அடையப்படுகிறது என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது, ஆனால் நடைமுறையில் இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்த கடினமாக உள்ளது. எனவே, எளிமையான அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்துவது நல்லது.
முதலில், ஒருங்கிணைப்பு பிரிவு பல பெரிய பிரிவுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, ஒரு விதியாக, 2-3-4-5. எடுத்துக்காட்டாக, ஒருங்கிணைப்புப் பகுதியை அதே 5 பகுதிகளாகப் பிரிப்போம். சூத்திரம் ஏற்கனவே தெரிந்ததே:
மற்றும் படி, நிச்சயமாக, அறியப்படுகிறது: 
ஆனால் மற்றொரு கேள்வி எழுகிறது, முடிவுகளை எந்த இலக்கத்திற்கு வட்டமிட வேண்டும்? எத்தனை தசம இடங்களை விட்டு வெளியேற வேண்டும் என்பது பற்றி நிபந்தனை எதுவும் கூறவில்லை. பொதுவான பரிந்துரை: தேவையான துல்லியத்துடன் 2-3 இலக்கங்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும். இந்த வழக்கில், தேவையான துல்லியம் 0.01 ஆகும். பரிந்துரையின்படி, கமாவிற்குப் பிறகு, நம்பகத்தன்மைக்காக, நாங்கள் ஐந்து எழுத்துகளை விட்டுவிடுகிறோம் (நான்கு எழுத்துகள் இருக்கலாம்):
அதன் விளைவாக:
, தோராயத்தை ஆல் குறிக்கிறோம்.
முதன்மை முடிவுக்குப் பிறகு, பிரிவுகளின் எண்ணிக்கை இரட்டை. இந்த வழக்கில், 10 பிரிவுகளாக பிரிக்க வேண்டியது அவசியம். பிரிவுகளின் எண்ணிக்கை வளரும்போது, ஒரு மைக்ரோகால்குலேட்டரில் விரல்களைக் குத்துவது ஏற்கனவே எப்படியாவது சோர்வாக இருக்கிறது என்று ஒரு பிரகாசமான எண்ணம் நினைவுக்கு வருகிறது. எனவே, எனது அரை தானியங்கி கால்குலேட்டரை (பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள இணைப்பு) பதிவிறக்கம் செய்து பயன்படுத்த மீண்டும் முன்மொழிகிறேன்.
ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:
காகித பதிப்பில், உள்ளீடு பாதுகாப்பாக அடுத்த வரிக்கு மாற்றப்படும்.
பகிர்வு படியை கணக்கிடுவோம்: 
கணக்கீடுகளின் முடிவுகள் அட்டவணையில் சுருக்கப்பட்டுள்ளன: 
ஒரு நோட்புக்கில் முடிக்கும்போது, நீண்ட அட்டவணையை இரண்டு அடுக்கு அட்டவணையாக மாற்றுவது சாதகமானது.
அதன் விளைவாக:
இப்போது தோராயங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம்:
நாங்கள் ஆர்வமாக இருப்பதால், இங்கே நாம் மாடுலோ அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் முழுமையான வேறுபாடு, மற்றும் எந்த முடிவு அதிகமாக உள்ளது, ஆனால் எது குறைவாக உள்ளது.
மேலும் செயல்களைப் பொறுத்தவரை, நான் தனிப்பட்ட முறையில் நடைமுறையில் 2 தீர்வுகளை சந்தித்தேன்:
1) முதல் வழி "தலை-தலை ஒப்பீடு". விளைவாக பிழை மதிப்பீடு இருந்து மேலும்தேவையான துல்லியத்தை விட: 
, பின்னர் பகிர்வின் பிரிவுகளின் எண்ணிக்கையை இரட்டிப்பாக்க வேண்டும் மற்றும் ஏற்கனவே கணக்கிட வேண்டும். எக்செல் கால்குலேட்டரின் உதவியுடன், முடிக்கப்பட்ட முடிவை சில நொடிகளில் பெறலாம் :. இப்போது பிழையை மீண்டும் மதிப்பிடுகிறோம்: . மதிப்பெண் கிடைத்தது குறைவாகதேவையான துல்லியத்தை விட: 
எனவே, கணக்கீடுகள் முடிந்தன. இது கடைசி (மிகத் துல்லியமான) முடிவை இரண்டு தசம இடங்களுக்குச் சுற்றி ஒரு பதிலைக் கொடுக்க உள்ளது.
2) மற்றொரு, மிகவும் திறமையான முறை என்று அழைக்கப்படும் பயன்பாடு அடிப்படையாக கொண்டது ரேஞ்ச் விதிகள், இதன்படி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுவதில் நாம் தவறாக இருக்கிறோம், உண்மையில், அதற்கு மேல் இல்லை. எங்கள் சிக்கலில்: , இதனால், கணக்கீடு தேவை மறைந்துவிடும். இருப்பினும், இந்த வழக்கில் தீர்வின் வேகத்திற்கு, நாங்கள் துல்லியத்துடன் செலுத்த வேண்டியிருந்தது: 
. ஆயினும்கூட, இந்த முடிவு ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது, ஏனெனில் எங்கள் "பிழை வரம்பு" சரியாக நூறில் உள்ளது.
எதை தேர்வு செய்வது? உங்கள் பயிற்சி கையேட்டில் அல்லது ஆசிரியரின் விருப்பங்களில் கவனம் செலுத்துங்கள்.
பதில்: 
0.01 வரை துல்லியமானது (ரன்ஜின் விதியைப் பயன்படுத்தும் போது).
எடுத்துக்காட்டு 3
0.001 துல்லியத்துடன் ட்ரெப்சாய்டு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.
நீங்கள் மீண்டும் ஒரு எடுக்கப்படாத ஒருங்கிணைந்த (கிட்டத்தட்ட ஒருங்கிணைந்த கொசைன்) ஆகும் முன். மாதிரி தீர்வு, முதல் கட்டத்தில், 4 பிரிவுகளாக ஒரு பிரிவு மேற்கொள்ளப்பட்டது, அதாவது, . ஒரு முழுமையான தீர்வு மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் முடிப்பதற்கான தோராயமான மாதிரி.
சிம்ப்சனின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?
இந்தப் பக்கத்தில் நீங்கள் சிம்ப்சன் முறையை மட்டுமே தேடுகிறீர்கள் என்றால், முதலில் பாடத்தின் தொடக்கத்தைப் படித்து, குறைந்தபட்சம் முதல் உதாரணத்தையாவது பார்க்குமாறு நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறேன். பல யோசனைகள் மற்றும் நுட்பங்கள் ட்ரெப்சாய்டு முறையைப் போலவே இருக்கும் என்பதற்காக.
மீண்டும், பொதுவான சூத்திரத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம்
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள், பிரிவில் ஒரு செயல்பாடு தொடர்கிறது. பிரிவை பிரிப்போம் கூடதொகை சமமானபிரிவுகள். பிரிவுகளின் இரட்டை எண்ணிக்கை ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.
நடைமுறையில், பிரிவுகள் இருக்கலாம்:
இரண்டு:
நான்கு:
எட்டு:
பத்து:
இருபது:
வேறு எந்த விருப்பமும் எனக்கு நினைவில் இல்லை.
கவனம்!எண் ONE NUMBER என புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. அது, இது தடைசெய்யப்பட்டுள்ளதுகுறைக்க, எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு, பெறுதல் . பதிவு மட்டுமே குறிக்கிறதுஅந்த பிரிவுகளின் எண்ணிக்கை சமமாக. மற்றும் பேசுவதற்கு வெட்டுக்கள் எதுவும் இல்லை.
எனவே எங்கள் பகிர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:
சொற்கள் ட்ரெப்சாய்டல் முறையைப் போலவே இருக்கும்:
புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன முடிச்சுகள்.
சிம்சன் சூத்திரம்திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான கணக்கீடு பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
, எங்கே:
- ஒவ்வொரு சிறிய பிரிவுகளின் நீளம் அல்லது படி;
புள்ளிகளில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகள்.
இந்த குவியலை விவரித்து, நான் சூத்திரத்தை இன்னும் விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்வேன்:
ஒருங்கிணைப்பின் முதல் மற்றும் கடைசி மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை;
உடன் உறுப்பினர்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும் கூடகுறியீடுகள் 2 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது;
உடன் உறுப்பினர்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும் ஒற்றைப்படைகுறியீடு 4 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 4
சிம்ப்சனின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அருகிலுள்ள 0.001 க்கு தோராயமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள். பிரித்தல் இரண்டு பிரிவுகளுடன் தொடங்குகிறது 
ஒருங்கிணைந்த, மூலம், மீண்டும் எடுக்கப்படவில்லை.
தீர்வு:பணியின் வகைக்கு நான் உடனடியாக கவனத்தை ஈர்க்கிறேன் - ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவது அவசியம் ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்துடன். இதன் பொருள் என்னவென்றால், கட்டுரையின் தொடக்கத்திலும், முந்தைய பத்தியின் உறுதியான எடுத்துக்காட்டுகளிலும் ஏற்கனவே கருத்து தெரிவிக்கப்பட்டுள்ளது. ட்ரெப்சாய்டு முறையைப் பொறுத்தவரை, தேவையான துல்லியத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்க தேவையான எண்ணிக்கையிலான பிரிவுகளை ("en" மதிப்பு) உடனடியாக தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு சூத்திரம் உள்ளது. உண்மை, நாம் நான்காவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து தீவிர சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும். நான் என்ன சொல்கிறேன் என்பதைப் புரிந்துகொண்டு, வேலையின் அளவை மதிப்பிட்டவர், அவர் சிரித்தார். இருப்பினும், இங்கே சிரிக்கும் விஷயம் இல்லை, அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பின் நான்காவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பது இனி ஒரு மெகாபோட்டனாக இருக்காது, ஆனால் ஒரு மருத்துவ மனநோயாளியாக இருக்கும். எனவே, நடைமுறையில், பிழையை மதிப்பிடுவதற்கான எளிமையான முறை எப்போதும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
நாங்கள் முடிவு செய்ய ஆரம்பிக்கிறோம். எங்களிடம் இரண்டு பகிர்வு பிரிவுகள் இருந்தால், முனைகள் இருக்கும் இன்னும் ஒன்று: . மேலும் சிம்ப்சனின் சூத்திரம் மிகவும் கச்சிதமான வடிவத்தை எடுக்கும்: 
பகிர்வு படியை கணக்கிடுவோம்: 
கணக்கீட்டு அட்டவணையை நிரப்புவோம்:
அட்டவணை எவ்வாறு நிரப்பப்பட்டது என்பது குறித்து மீண்டும் ஒருமுறை நான் கருத்து தெரிவிக்கிறேன்:
மேல் வரியில் நாம் குறியீடுகளின் "எதிர்" எழுதுகிறோம்
இரண்டாவது வரியில், ஒருங்கிணைப்பின் குறைந்த வரம்பை முதலில் எழுதுகிறோம், பின்னர் படிப்படியாக படி சேர்க்கிறோம்.
மூன்றாவது வரியில் நாம் ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகளை உள்ளிடுகிறோம். உதாரணமாக, என்றால் , பின்னர் . எத்தனை தசம இடங்களை விட்டு வெளியேற வேண்டும்?உண்மையில், நிபந்தனை மீண்டும் இதைப் பற்றி எதுவும் கூறவில்லை. ட்ரெப்சாய்டல் முறையைப் போலவே கொள்கையும் உள்ளது, தேவையான துல்லியத்தை நாங்கள் பார்க்கிறோம்: 0.001. மேலும் 2-3 இலக்கங்களைச் சேர்க்கவும். அதாவது, நீங்கள் 5-6 தசம இடங்கள் வரை வட்டமிட வேண்டும்.
அதன் விளைவாக:
முதல் முடிவு கிடைத்துள்ளது. இப்போது இரட்டைநான்கு வரையிலான பிரிவுகளின் எண்ணிக்கை: . இந்த பகிர்வுக்கான சிம்ப்சனின் சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:
பகிர்வு படியை கணக்கிடுவோம்: 
கணக்கீட்டு அட்டவணையை நிரப்புவோம்: 
இந்த வழியில்:
தோராயங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் முழுமையான மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:
சிம்ப்சனின் முறைக்கான ரூங்கின் விதி சுவையானது. பயன்படுத்தும் போது என்றால் நடுத்தர செவ்வக முறைமற்றும் ட்ரெப்சாய்டு முறை, மூன்றில் ஒரு பங்கு "இன்பம்" வழங்கப்படுகிறது, இப்போது - பதினைந்தில் ஒரு பங்கு:
, மற்றும் துல்லியம் இனி இங்கு பாதிக்கப்படாது: 
ஆனால் முழுமைக்காக, நான் ஒரு "எளிய" தீர்வையும் தருகிறேன், அங்கு நீங்கள் கூடுதல் படி எடுக்க வேண்டும்: தேவையான துல்லியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதால்: 
, பின்னர் பிரிவுகளின் எண்ணிக்கையை மீண்டும் இரட்டிப்பாக்க வேண்டியது அவசியம்: .
சிம்ப்சனின் சூத்திரம் வேகமாக வளர்ந்து வருகிறது:
படியை கணக்கிடுவோம்: 
விரிதாளை மீண்டும் நிரப்புவோம்:
இந்த வழியில்: 
சிம்ப்சனின் சூத்திரம் மிகவும் சிக்கலானதாக இருப்பதால், கணக்கீடுகளை இன்னும் விரிவாக விவரிப்பது இங்கே விரும்பத்தக்கது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் நீங்கள் உடனடியாகத் துடித்தால்:
, இந்த சாராயம் ஒரு ஹேக் போல் இருக்கும். மேலும் விரிவான பதிவின் மூலம், மைக்ரோகால்குலேட்டரின் சாவியை மனசாட்சியுடன் ஒரு நல்ல மணிநேரத்திற்கு அழித்துவிட்டீர்கள் என்ற சாதகமான எண்ணத்தை ஆசிரியர் பெறுவார். "கடினமான" வழக்குகளுக்கான விரிவான கணக்கீடுகள் எனது கால்குலேட்டரில் உள்ளன.
பிழையை நாங்கள் மதிப்பிடுகிறோம்:
தேவையான துல்லியத்தை விட பிழை குறைவாக உள்ளது: 
. இது மிகவும் துல்லியமான தோராயத்தை எடுக்க வேண்டும் , அதை மூன்று தசம இடங்கள் வரை சுற்றி மற்றும் எழுத:
பதில்: 
0.001 வரை துல்லியமானது
உதாரணம் 5
அருகிலுள்ள 0.0001க்கு சிம்ப்சனின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தோராயமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடவும். பிரித்தல் இரண்டு பிரிவுகளுடன் தொடங்குகிறது 
இது நீங்களே செய்யக்கூடிய உதாரணம். வேலையை முடிப்பதற்கான தோராயமான உதாரணம் மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் ஒரு பதில்.
பாடத்தின் இறுதிப் பகுதியில், இரண்டு பொதுவான உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எடுத்துக்காட்டு 6
ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள் 
சிம்ப்சன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைப்புப் பிரிவை 10 பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது. மூன்று தசம இடங்களின் துல்லியத்துடன் கணக்கீடுகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன.
- ஒரு பொருளின் ஒளிவிலகல் குறியீடு எதைச் சார்ந்தது?
- அலைநீளம் மற்றும் அலை பரவல் வேகம்
- ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை (குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள்) எவ்வாறு கண்டறிவது
- இரண்டு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் விநியோக விதி
- துகள்கள் மற்றும் எதிர் துகள்களின் போர் எதிர் துகள்களின் கண்டுபிடிப்பின் வரலாறு
- சுழலும் உடலின் இயக்க ஆற்றல்
- Lorentz force, definition, formula, physical meaning Lorentz force in si
- தண்ணீரில் கரைந்த திடப்பொருட்கள்
- அடையாளம் என்ற வார்த்தையின் பொருள்
- சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் பெசல் சமத்துவமின்மை பார்செவல் சமத்துவம் அதிகரித்த சிக்கலான தீர்வுகளின் ஃபோரியர் தொடர் எடுத்துக்காட்டுகள்
- ஒவ்வொரு நாளுக்கும் ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள்
- எக்செல் இல் குறைந்த சதுரங்கள்
- n செயல்பாடுகளின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான நிபந்தனை
- குறைந்த சதுர முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு முன்னறிவிப்பை உருவாக்குதல்
- மேற்பரப்பு பதற்றத்தை எவ்வாறு அளவிடுவது மேற்பரப்பு பதற்றம் என்றால் என்ன
- EXCEL இல் சீரான தொடர்ச்சியான விநியோகம்
- ட்ரேப்சாய்டல் முறை ட்ரெப்சாய்டல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு
- ஃபோரியர் ஒருங்கிணைப்பின் மூலம் ஒரு செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்திற்கான போதுமான நிபந்தனைகள்
- emf என்பது என்ன அலகுகளில் அளவிடப்படுகிறது
- திடப்பொருட்கள், திரவங்கள் மற்றும் வாயுக்களில் துகள்கள் எவ்வாறு அமைக்கப்பட்டிருக்கின்றன?