மூன்று திசையன்களின் நேரியல் சார்புக்கான வடிவியல் அளவுகோல். n செயல்பாடுகளின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான நிபந்தனை. நேரியல் சார்ந்த திசையன்களின் பண்புகள்

பின்வருவனவற்றில், பொதுத்தன்மையை இழக்காமல், முப்பரிமாண இடத்தில் வெக்டார்களின் வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். விமானத்தில், திசையன்களைக் கருத்தில் கொள்வது இதேபோல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இயற்கணித திசையன்களுக்கான நேரியல் இயற்கணிதத்தின் போக்கிலிருந்து அறியப்பட்ட அனைத்து முடிவுகளும் வடிவியல் திசையன்களின் குறிப்பிட்ட நிகழ்வுக்கு மாற்றப்படலாம். எனவே அதை செய்வோம்.

திசையன்கள் நிலையானதாக இருக்கட்டும்.

வரையறை.சில எண்கள் இருக்கும் கூட்டுத்தொகை, திசையன்களின் நேரியல் சேர்க்கை எனப்படும். இந்த வழக்கில், இந்த எண்கள் நேரியல் கலவையின் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படும்.

பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு நேரியல் கலவையின் சமத்துவத்தின் சாத்தியக்கூறு பற்றிய கேள்வியில் நாங்கள் ஆர்வமாக இருப்போம். திசையன் இடைவெளிகளின் பண்புகள் மற்றும் கோட்பாடுகளுக்கு இணங்க, திசையன்களின் எந்தவொரு அமைப்பிற்கும் இந்த சமத்துவம் கொண்டிருக்கும் ஒரு அற்பமான (பூஜ்ஜிய) குணகங்களின் தொகுப்பு உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது:

குறிப்பிடப்பட்ட சமத்துவத்தை வைத்திருக்கும் அற்பமான குணகங்களின் (அவற்றில் குறைந்தது ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற குணகமாவது உள்ளது) திசையன்களின் கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் இருப்பு பற்றிய கேள்வி எழுகிறது. இதற்கு இணங்க, நேரியல் சார்ந்த மற்றும் சுயாதீன அமைப்புகளை வேறுபடுத்துவோம்.

வரையறை.அத்தகைய எண்களின் தொகுப்பு இருந்தால், திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது, அவற்றில் குறைந்தபட்சம் பூஜ்ஜியமற்ற ஒன்று உள்ளது, அதனுடன் தொடர்புடைய நேரியல் கலவையானது பூஜ்ஜிய திசையனுக்கு சமமாக இருக்கும்:

சமத்துவம் என்றால் திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது

அற்பமான குணகங்களில் மட்டுமே சாத்தியம்:

நேரியல் இயற்கணிதத்தின் போக்கில் நிரூபிக்கப்பட்ட நேரியல் சார்ந்த மற்றும் சுயாதீன அமைப்புகளின் முக்கிய பண்புகளை பட்டியலிடுவோம்.

1. பூஜ்ஜிய திசையன் கொண்ட எந்த திசையன் அமைப்பும் நேரியல் சார்ந்தது.

2. திசையன்களின் அமைப்பில் ஒரு நேர்கோட்டு சார்ந்த துணை அமைப்பு இருக்கட்டும். பின்னர் முழு அமைப்பும் நேரியல் சார்ந்தது.

3. திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றதாக இருந்தால், அதன் எந்த துணை அமைப்புகளும் நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.

4. திசையன்களின் அமைப்பில் இரண்டு திசையன்கள் இருந்தால், அவற்றில் ஒன்று ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் மற்றொன்றிலிருந்து பெறப்பட்டால், முழு அமைப்பும் நேரியல் சார்ந்து இருக்கும்.

தேற்றம் (நேரியல் சார்பு அளவுகோல்).இந்த அமைப்பின் திசையன்களில் ஒன்று, அமைப்பின் மற்ற திசையன்களின் நேரியல் கலவையாகக் குறிப்பிடப்பட்டால் மட்டுமே திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்ந்தது.

இரண்டு திசையன்களின் கோலினியரிட்டியின் அளவுகோலைக் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், அவற்றின் நேரியல் சார்புக்கான அளவுகோல் அவற்றின் கோலினரிட்டி என்று வாதிடலாம். விண்வெளியில் உள்ள மூன்று திசையன்களுக்கு, பின்வரும் கூற்று உண்மை.

தேற்றம் (மூன்று வடிவியல் திசையன்களின் நேரியல் சார்புக்கான அளவுகோல்).மூன்று திசையன்கள் , மற்றும் அவை கோப்லனராக இருந்தால் மட்டுமே நேரியல் சார்ந்து இருக்கும்.

ஆதாரம்.

தேவை.திசையன்கள் மற்றும் நேரியல் சார்ந்து இருக்கட்டும். அவர்களின் ஒற்றுமையை நிரூபிப்போம். பின்னர், இயற்கணித திசையன்களின் நேரியல் சார்புநிலையின் பொதுவான அளவுகோலின் படி, இந்த திசையன்களில் ஒன்றை மற்ற திசையன்களின் நேரியல் கலவையாகக் குறிப்பிடலாம் என்று நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம். உதாரணமாக, விடுங்கள்

மூன்று திசையன்களும் பொதுவான தோற்றத்திற்குப் பயன்படுத்தப்பட்டால், திசையன் திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டத்துடன் ஒத்துப்போகும் மற்றும் . ஆனால் இதன் பொருள் திசையன்கள் , மற்றும் ஒரே விமானத்தில் உள்ளன, அதாவது. கோப்ளனார்.

போதுமானது.திசையன்கள் , மற்றும் coplanar இருக்கட்டும். அவை நேரியல் சார்ந்து இருப்பதைக் காட்டுவோம். முதலாவதாக, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட திசையன்களில் ஏதேனும் ஒரு ஜோடி கோலினியர் ஆகும் போது அதைக் கவனியுங்கள். இந்த வழக்கில், முந்தைய தேற்றத்தின்படி, திசையன்களின் அமைப்பு , , ஒரு நேரியல் சார்ந்த துணை அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, எனவே, திசையன்களின் நேரியல் சார்ந்த மற்றும் சுயாதீன அமைப்புகளின் பண்பு 2 இன் படி நேரியல் சார்ந்தது. இப்போது பரிசீலனையில் உள்ள எந்த ஜோடி வெக்டார்களும் கோலினியராக இருக்க வேண்டாம். நாங்கள் மூன்று திசையன்களையும் ஒரு விமானத்திற்கு மாற்றி அவற்றை ஒரு பொதுவான தோற்றத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம். திசையன்களுக்கு இணையான திசையன் கோடுகளின் முடிவில் வரையவும் மற்றும் . திசையன் இருக்கும் கோட்டுடன் வெக்டருக்கு இணையான கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை கடிதம் குறிக்கட்டும், மேலும் திசையன் இருக்கும் கோடுடன் திசையனுக்கு இணையான கோட்டின் குறுக்கு புள்ளியை கடிதத்தால் குறிக்கட்டும். திசையன்களின் தொகையின் வரையறையின்படி, நாம் பெறுகிறோம்:

.

வெக்டானது பூஜ்ஜியமற்ற வெக்டருக்கு இணையாக இருப்பதால், ஒரு உண்மையான எண் உள்ளது.

இதே போன்ற கருத்துக்கள் உண்மையான எண் இருப்பதைக் குறிக்கிறது

இதன் விளைவாக, நாம் பெறுவோம்:

பின்னர், இயற்கணித திசையன்களின் நேரியல் சார்புக்கான பொதுவான அளவுகோலில் இருந்து, திசையன்கள் , , நேரியல் சார்ந்து இருப்பதைப் பெறுகிறோம். ■

தேற்றம் (நான்கு திசையன்களின் நேரியல் சார்பு).எந்த நான்கு திசையன்களும் நேரியல் சார்ந்து இருக்கும்.

ஆதாரம். முதலாவதாக, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட நான்கு திசையன்களில் ஏதேனும் மூன்று மடங்குகள் கோப்லானாராக இருந்தால், வழக்கைக் கவனியுங்கள். இந்த வழக்கில், முந்தைய தேற்றத்திற்கு ஏற்ப இந்த மும்மடங்கு நேரியல் சார்ந்தது. எனவே, திசையன்களின் 2 நேரியல் சார்ந்த மற்றும் சுயாதீன அமைப்புகளின் சொத்துக்கு ஏற்ப, மற்றும் முழு நான்கு மடங்கு நேரியல் சார்ந்தது.

இப்போது, ​​பரிசீலனையில் உள்ள திசையன்களில், மூன்று மடங்கு திசையன்கள் கோப்லனர் இல்லை. நான்கு திசையன்களையும் , , , ஒரு பொதுவான தொடக்கத்திற்கு கொண்டு வருவோம் மற்றும் திசையன்களின் ஜோடிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட விமானங்களுக்கு இணையாக திசையன் முடிவில் விமானங்களை வரைவோம் , ; , ; , . திசையன்கள் மற்றும் பொய்கள் இருக்கும் கோடுகளுடன் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் முறையே எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன , மற்றும் . திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையின் வரையறையிலிருந்து இது பின்வருமாறு

இது, இயற்கணித திசையன்களின் நேரியல் சார்பின் பொதுவான அளவுகோலைக் கருத்தில் கொண்டு, நான்கு திசையன்களும் நேரியல் சார்ந்து இருப்பதாகக் கூறுகிறது. ■

டெஃப்உறுப்புகளின் அமைப்பு x 1 ,…,x m லின். உற்பத்தி V ஆனது λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) என்றால் நேரியல் சார்ந்து என அழைக்கப்படுகிறது.

டெஃப்தனிமங்களின் அமைப்பு x 1 ,…,x m ∈ V சமத்துவத்தில் இருந்து λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0 என்றால் நேரியல் சார்பற்றது.

டெஃப்ஒரு உறுப்பு x ∈ V என்பது x 1 ,…,x m ∈ V என்றால் ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m ஆகிய உறுப்புகளின் நேரியல் கலவை என அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் (நேரியல் சார்பு அளவுகோல்):வெக்டார்களின் அமைப்பு x 1 ,...,x m ∈ V ஆனது நேரியல் சார்ந்து இருக்கும், அந்த அமைப்பின் குறைந்தபட்சம் ஒரு திசையன் மற்றவற்றின் அடிப்படையில் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்பட்டால் மட்டுமே.

டாக். தேவை: x 1 ,…,x m நேரியல் சார்ந்ததாக இருக்கட்டும் ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ மீ x மீ = θ. λ m ≠ 0 என்று வைத்துக்கொள்வோம்

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

போதுமானது: குறைந்த பட்சம் திசையன்களில் ஒன்றை மற்ற திசையன்களின் அடிப்படையில் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்த வேண்டும்: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,..., λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - நேரியல் சார்பற்றவை.

வண. நேரியல் சார்பு நிலை:

கணினியில் பூஜ்ஜிய உறுப்பு அல்லது நேரியல் சார்ந்த துணை அமைப்பு இருந்தால், அது நேரியல் சார்ந்தது.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – நேரியல் சார்ந்த அமைப்பு

1) x 1 = θ, இந்த சமத்துவம் λ 1 =1 மற்றும் λ 1 =...= λ m =0 க்கு செல்லுபடியாகும்.

2) λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 ஒரு நேர்கோட்டு சார்ந்த துணை அமைப்பாக இருக்கட்டும் ⟹|λ 1 |+…+| λ மீ | ≠ 0 பின்னர் λ 1 =0 க்கு நாம் |λ 1 |+…+|ஐயும் பெறுகிறோம் λ மீ | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 என்பது ஒரு நேர்கோட்டு சார்ந்த அமைப்பு.

நேரியல் இடத்தின் அடிப்படை. கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படையில் திசையன் ஒருங்கிணைக்கிறது. திசையன்களின் கூட்டுத்தொகைகள் மற்றும் ஒரு எண்ணின் மூலம் ஒரு திசையன்களின் பெருக்கல். திசையன்களின் அமைப்பின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை.

வரையறை: ஒரு நேர்கோட்டு இடைவெளி V இன் e 1, ..., e n என்ற உறுப்புகளின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு, இந்த இடத்தின் அடிப்படை என அழைக்கப்படுகிறது:

A) e 1 ... e n நேரியல் சார்பற்றவை

B) ∀ x ∈ α 1 … α n அதாவது x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – e 1, ..., e n அடிப்படையில் x உறுப்பு விரிவாக்கம்

α 1 ... α n ∈ ℝ என்பது e 1, ..., e n அடிப்படையில் x உறுப்புகளின் ஆயத்தொகுப்புகள்

தேற்றம்: e 1, …, e n என்பது நேரியல் இடைவெளி V இல் கொடுக்கப்பட்டால், ∀ x ∈ V ஆனது e 1, ..., e n அடிப்படையில் x ஆயத்தொகுதிகளின் நெடுவரிசை தனித்தனியாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது (ஆயங்கள் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன)

ஆதாரம்: x=α 1 e 1 +…+ α n e n மற்றும் x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, அதாவது e 1, …, e n நேரியல் சார்புடையது, பின்னர் - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

தேற்றம்: e 1, ..., e n நேரியல் இடைவெளி V இன் அடிப்படையாக இருக்கட்டும்; x, y என்பது விண்வெளி V இன் தன்னிச்சையான கூறுகள், λ ∈ ℝ என்பது ஒரு தன்னிச்சையான எண். x மற்றும் y சேர்க்கப்படும் போது, ​​அவற்றின் ஆயத்தொகுதிகள் சேர்க்கப்படும், x ஆல் λ பெருக்கப்படும் போது, ​​x இன் ஆயங்களும் λ ஆல் பெருக்கப்படும்.

ஆதாரம்: x= (e 1, …, e n) மற்றும் y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ) = (e 1, …, e n)

லெம்மா1: (திசையன்களின் அமைப்பின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை)

e 1 ...e n என்பது இடைவெளி V இன் அடிப்படையாக இருக்கட்டும். f 1, ..., f k ∈ V தனிமங்களின் அமைப்பு e 1, ..., e n அடிப்படையில் இந்த உறுப்புகளின் ஒருங்கிணைப்பு நெடுவரிசைகள் இருந்தால் மட்டுமே நேரியல் சார்ந்தது. நேரியல் சார்ந்தது

ஆதாரம்: e 1, ..., e n அடிப்படையில் f 1 , ..., f k ஐ விரிவாக்கு

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, ..., e n)[ λ 1 +…+ λ n ] அதாவது λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = தேவைக்கேற்ப.

13. ஒரு நேரியல் இடத்தின் பரிமாணம். பரிமாணத்திற்கும் அடிப்படைக்கும் இடையிலான உறவின் தேற்றம்.
வரையறை: V இல் n நேரியல் சார்பற்ற தனிமங்கள் இருந்தால் நேரியல் வெளி V ஒரு n-பரிமாண வெளி எனப்படும், மேலும் V விண்வெளியின் எந்த n + 1 உறுப்புகளின் அமைப்பும் நேரியல் சார்ந்ததாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், n என்பது நேரியல் வெளி V இன் பரிமாணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது dimV=n எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

∀N ∈ ℕ இடைவெளி V இல் N தனிமங்களைக் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற அமைப்பு இருந்தால், ஒரு நேரியல் வெளி எல்லையற்ற-பரிமாணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம்: 1) V என்பது n-பரிமாண நேரியல் இடமாக இருந்தால், இந்த இடத்தின் n நேரியல் சார்பற்ற உறுப்புகளின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எந்த அமைப்பும் அடிப்படையாக அமைகிறது. 2) லீனியர் ஸ்பேஸ் V இல் n உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு அடிப்படை இருந்தால், V இன் பரிமாணம் n (dimV=n) க்கு சமம்.

ஆதாரம்: 1) dimV=n ⇒ இல் V ∃ n நேரியல் சார்பற்ற உறுப்புகள் e 1, …,e n . இந்த கூறுகள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன என்பதை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம், அதாவது, e 1, …,e n இன் அடிப்படையில் ∀ x ∈ V விரிவாக்கப்படலாம் என்பதை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம். அவற்றில் x ஐச் சேர்ப்போம்: e 1, …,e n , x – இந்த அமைப்பில் n+1 திசையன்கள் உள்ளன, அதாவது இது நேரியல் சார்ந்தது. e 1, …,e n நேரியல் சார்பற்றது, பின்னர் தேற்றம் 2 எக்ஸ் e 1, …,e n i.e மூலம் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ∃ ,…, அதாவது x= α 1 e 1 +…+ α n e n . எனவே e 1, ...,e n என்பது இடத்தின் அடிப்படை V. 2) e 1, ...,e n என்பது V இன் அடிப்படையாக இருக்கட்டும், எனவே V ∃ n இல் n நேரியல் சார்பற்ற கூறுகள் உள்ளன. தன்னிச்சையான f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 உறுப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அவர்களின் நேரியல் சார்புநிலையைக் காட்டுவோம். அவற்றை பின்வருமாறு பிரிப்போம்:

f m =(e 1, …,e n) = m = 1,…,n ஆய நெடுவரிசைகளின் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவோம்: A= மேட்ரிக்ஸில் n வரிசைகள் ⇒ RgA≤n. நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை n+1 > n ≥ RgA ⇒ அணி A இன் நெடுவரிசைகள் (அதாவது f 1 ,…,f n ,f n +1 ஆய நெடுவரிசைகள்) நேரியல் சார்ந்தது. Lemma 1 இலிருந்து ⇒ ,…,f n ,f n +1 ஆகியவை நேரியல் சார்ந்து ⇒ dimV=n.

விளைவு:எந்த அடிப்படையிலும் n உறுப்புகள் இருந்தால், இந்த இடத்தின் வேறு எந்த அடிப்படையிலும் n உறுப்புகள் இருக்கும்.

தேற்றம் 2: திசையன்களின் அமைப்பு x 1 ,… ,x m -1 , x m நேரியல் சார்ந்து, அதன் துணை அமைப்பு x 1 ,… ,x m -1 நேரியல் சார்புடையதாக இருந்தால், x m - x 1 ,… ,x m -1 மூலம் நேரியல் முறையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

ஆதாரம்: ஏனெனில் x 1 ,... ,x m -1 , x m என்பது நேரியல் சார்ந்தது, பின்னர் ∃ , ..., , ,

,…, | , | அதுபோல் . என்றால் , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 நேரியல் சார்பற்றவை, அவை இருக்க முடியாது. எனவே m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

பின்வருபவை நேரியல் சார்புக்கான பல அளவுகோல்களை வழங்குகின்றன, அதன்படி, திசையன்களின் அமைப்புகளின் நேரியல் சுதந்திரம்.

தேற்றம். (திசையன்களின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை.)

இந்த அமைப்பின் மற்றவற்றின் அடிப்படையில் கணினியின் திசையன்களில் ஒன்று நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்பட்டால் மட்டுமே திசையன்களின் அமைப்பு சார்ந்துள்ளது.

ஆதாரம். தேவை. அமைப்பு நேரியல் சார்ந்து இருக்கட்டும். பின்னர், வரையறையின்படி, இது பூஜ்ய திசையனை அற்பமான முறையில் பிரதிபலிக்கிறது, அதாவது. பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு சமமான திசையன்களின் இந்த அமைப்பின் அற்பமான சேர்க்கை இல்லை:

இந்த நேரியல் கலவையின் குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. விடுங்கள்,.

முந்தைய சமத்துவத்தின் இரு பகுதிகளையும் இந்த பூஜ்ஜியமற்ற குணகத்தால் வகுக்கவும் (அதாவது பெருக்கவும்:

குறி: , எங்கே .

அந்த. அமைப்பின் திசையன்களில் ஒன்று இந்த அமைப்பின் மற்றவற்றின் அடிப்படையில் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

போதுமானது. கணினியின் திசையன்களில் ஒன்று இந்த அமைப்பின் பிற திசையன்களின் அடிப்படையில் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படட்டும்:

வெக்டரை இந்த சமத்துவத்தின் வலது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

வெக்டரின் குணகம் என்பதால், திசையன்களின் அமைப்பால் பூஜ்ஜியத்தின் அற்பமான பிரதிநிதித்துவம் எங்களிடம் உள்ளது, அதாவது இந்த திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்ந்தது போன்றவை.

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

விளைவு.

1. ஒரு திசையன் இடத்தில் உள்ள திசையன்களின் அமைப்பு, இந்த அமைப்பின் மற்ற திசையன்களின் அடிப்படையில் கணினியின் திசையன்கள் எதுவும் நேரியல் முறையில் வெளிப்படுத்தப்படாவிட்டால் மட்டுமே நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.

2. பூஜ்ஜிய திசையன் அல்லது இரண்டு சம திசையன்களைக் கொண்ட திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்ந்தது.

ஆதாரம்.

1) அவசியம். அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றதாக இருக்கட்டும். இதற்கு நேர்மாறாகக் கருதுங்கள் மற்றும் இந்த அமைப்பின் பிற திசையன்கள் மூலம் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படும் ஒரு கணினி திசையன் உள்ளது. பின்னர், தேற்றத்தின்படி, அமைப்பு நேரியல் சார்ந்தது, மேலும் நாம் ஒரு முரண்பாட்டை அடைகிறோம்.

போதுமானது. கணினியின் திசையன்கள் எதுவும் மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டாம். எதிர் என்று வைத்துக் கொள்வோம். கணினி நேரியல் சார்ந்ததாக இருக்கட்டும், ஆனால் இந்த அமைப்பின் பிற திசையன்கள் மூலம் நேரியல் முறையில் வெளிப்படுத்தப்படும் ஒரு கணினி திசையன் உள்ளது என்று தேற்றத்தில் இருந்து பின்பற்றுகிறது, மேலும் நாம் மீண்டும் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

2a) கணினியில் பூஜ்ஜிய திசையன் இருக்கட்டும். திசையன் :. பிறகு சமத்துவம்

அந்த. அமைப்பின் திசையன்களில் ஒன்று இந்த அமைப்பின் மற்ற திசையன்களின் அடிப்படையில் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இது போன்ற திசையன்கள் அமைப்பு நேர்கோட்டு சார்ந்தது என்று தேற்றத்தில் இருந்து பின்வருமாறு.

இந்த உண்மையை நேரியல் சார்ந்த திசையன் அமைப்பிலிருந்து நேரடியாக நிரூபிக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க.

இருந்து, பின்வரும் சமத்துவம் தெளிவாக உள்ளது

இது பூஜ்ஜிய வெக்டரின் அற்பமான பிரதிநிதித்துவம் ஆகும், அதாவது கணினி நேரியல் சார்ந்தது.

2b) கணினியில் இரண்டு சம வெக்டர்கள் இருக்கட்டும். க்கு விடுங்கள். பிறகு சமத்துவம்

அந்த. முதல் திசையன் அதே அமைப்பின் மற்ற திசையன்களின் அடிப்படையில் நேரியல் முறையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பு நேரியல் சார்ந்தது, மற்றும் பல என்று தேற்றத்திலிருந்து இது பின்வருமாறு.

முந்தையதைப் போலவே, இந்த கூற்றும் நேரியல் சார்ந்து அமைப்பின் வரையறையிலிருந்து நேரடியாக நிரூபிக்கப்படலாம்.

இரண்டின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை

திசையன்கள் அவற்றின் இணைத்தன்மை.

2. ஸ்கேலர் தயாரிப்பு- இரண்டு திசையன்களில் ஒரு செயல்பாடு, இதன் விளைவாக ஒரு அளவிடுதல் (எண்) இது ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைச் சார்ந்து இல்லை மற்றும் பெருக்கி திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தை வகைப்படுத்துகிறது. இந்த செயல்பாடு பெருக்கத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது நீளம்வெக்டார் x ஆன் கொடுக்கப்பட்டது கணிப்புகொடுக்கப்பட்ட திசையன் x க்கு மற்றொரு திசையன் y. இந்த செயல்பாடு பொதுவாக ஒவ்வொரு காரணியிலும் பரிமாற்றம் மற்றும் நேரியல் என பார்க்கப்படுகிறது.

புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்:

3. மூன்று திசையன்கள் (அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவை) அழைக்கப்படுகின்றன கோப்ளனார்அவை பொதுவான தோற்றத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டால், ஒரே விமானத்தில் கிடக்கின்றன.

மூன்று திசையன்களின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை அவற்றின் கோப்லானாரிட்டி ஆகும்.எந்த நான்கு திசையன்களும் நேரியல் சார்ந்து இருக்கும். விண்வெளியில் அடிப்படை கோப்லானர் அல்லாத திசையன்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று மடங்கு என்று அழைக்கப்படுகிறது. விண்வெளியில் உள்ள ஒரு அடிப்படையானது, ஒவ்வொரு திசையனுடனும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று மடங்கு எண்களை சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி இணைக்க அனுமதிக்கிறது - இந்த திசையனின் பிரதிநிதித்துவத்தின் குணகங்கள் அடிப்படை திசையன்களின் நேரியல் கலவையில். மாறாக, ஒரு அடிப்படையின் உதவியுடன், நாம் ஒரு நேரியல் கலவையை உருவாக்கினால், ஒவ்வொரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மும்மடங்கு எண்களுடன் ஒரு திசையனை இணைப்போம். ஆர்த்தோகனல் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஆர்த்தோநார்மல் , அதன் திசையன்கள் நீளம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால். விண்வெளியில் ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில், குறியீடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தேற்றம்:ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில், திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் இந்த திசையன் ஆய திசையன்களின் திசைகளில் தொடர்புடைய ஆர்த்தோகனல் கணிப்புகளாகும். கோப்லானர் அல்லாத திசையன்களின் மூன்று மடங்கு a, b, cஅழைக்கப்பட்டது சரி, அவற்றின் பொதுவான தோற்றத்தில் இருந்து பார்வையாளர் திசையன்களின் முனைகளைத் தவிர்த்துவிட்டால் a, b, cஅந்த வரிசையில் கடிகார திசையில் தொடர தெரிகிறது. இல்லையெனில் a, b, c - மூன்று மடங்கு விட்டு. அனைத்து வலது (அல்லது இடது) திசையன்களின் மூன்று மடங்குகள் அழைக்கப்படுகின்றன சமமாக சார்ந்த.ஒரு விமானத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு இரண்டு பரஸ்பர செங்குத்து ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளால் உருவாகிறது OXமற்றும் OY. ஆய அச்சுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன ஓ, இது தோற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொரு அச்சுக்கும் ஒரு நேர்மறையான திசை உள்ளது. AT வலது கைஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு, அச்சின் திசையுடன் அச்சுகளின் நேர்மறை திசை தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது OYமேலே, அச்சு OXவலது பக்கம் பார்த்தார்.

ஆய அச்சுகளால் உருவாக்கப்பட்ட நான்கு கோணங்கள் (I, II, III, IV). எக்ஸ்"எக்ஸ்மற்றும் ஒய்"ஒய், ஒருங்கிணைப்பு கோணங்கள் அல்லது நாற்கரங்கள்(படம் 1 பார்க்கவும்).

திசையன்கள் மற்றும் விமானத்தில் ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் ஆயத்தொலைவுகள் இருந்தால் மற்றும் முறையே, இந்த திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

4. இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு a மற்றும் bஅவர்கள் மீது ஒரு செயல்பாடு, முப்பரிமாண இடத்தில் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக திசையன்பின்வருவனவற்றுடன்

பண்புகள்:

திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியின் வடிவியல் பொருள் திசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பகுதி. பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் மற்றும் திசையன் ஆகியவற்றின் இணைத்தன்மைக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை சமத்துவத்தை பூர்த்தி செய்யும் எண்ணின் இருப்பு ஆகும்.

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் அவற்றின் செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்டால், அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, அவை சுழல்நிலை அடிப்படையில் குறிப்பிடப்படுகின்றன.

மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு சரியானது, பின்னர் அவற்றின் திசையன் தயாரிப்பு வடிவம் உள்ளது

இந்த சூத்திரத்தை நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, தீர்மானிப்பதைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது:

5. கலப்பு தயாரிப்புதிசையன்கள் - திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு மற்றும் திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு மற்றும்:

சில நேரங்களில் அது அழைக்கப்படுகிறது மூன்று அளவிடல் தயாரிப்புதிசையன்கள், இதன் விளைவாக ஒரு அளவுகோல் (இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு சூடோஸ்கேலர்) இருப்பதால்.

வடிவியல் உணர்வு:கலப்புப் பொருளின் தொகுதியானது வெக்டார்களால் உருவான பேரலெல்பைப்பின் தொகுதிக்கு எண்ரீதியாக சமமாக இருக்கும்.

இரண்டு காரணிகள் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றப்படும் போது, ​​கலப்பு தயாரிப்பு குறியை எதிர்மாறாக மாற்றுகிறது:

காரணிகளின் சுழற்சி (வட்ட) வரிசைமாற்றத்துடன், கலப்பு தயாரிப்பு மாறாது:

கலப்பு தயாரிப்பு எந்த காரணியிலும் நேரியல் ஆகும்.

திசையன்கள் கோப்லனராக இருந்தால் மட்டுமே கலப்பு தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.

1. திசையன்களுக்கான இணக்க நிலை: மூன்று திசையன்கள் அவற்றின் கலப்பு தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே கோப்லனர் ஆகும்.

§ ஒரு ஜோடி கோலினியர் திசையன்களைக் கொண்ட மூன்று திசையன்கள் கோப்லனர் ஆகும்.

§ கோப்லானர் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு. இது மூன்று திசையன்களின் கோப்லானாரிட்டிக்கான அளவுகோலாகும்.

§ கோப்லனர் திசையன்கள் நேரியல் சார்ந்தது. கோப்லானாரிட்டிக்கு இதுவும் ஒரு அளவுகோலாகும்.

§ கோப்லானருக்கு அல்லது தவிர, உண்மையான எண்கள் உள்ளன. இது முந்தைய சொத்தின் மறுசீரமைப்பு மற்றும் கோப்லானாரிட்டிக்கான அளவுகோலாகவும் உள்ளது.

§ ஒரு 3-பரிமாண இடத்தில், 3 கோப்லானர் அல்லாத திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. அதாவது, எந்த வெக்டரையும் இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்: . பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படையில் ஆயங்கள் இருக்கும்.

சரியான கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள கலப்பு தயாரிப்பு (ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில்) திசையன்களைக் கொண்ட மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பிற்கு சமம் மற்றும் :

§6. விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு (முழுமையானது).

எங்கே மற்றும் அவை மாறிலிகள், மேலும், அதே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை; திசையன் வடிவத்தில்:

புள்ளியின் ஆரம் திசையன் எங்கே, திசையன் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது (சாதாரண திசையன்). திசை கொசைன்கள்திசையன்:

விமானச் சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்றது. ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் வழியாக விமானம் செல்லும் போது, ​​(அல்லது , ) P. அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் போது (முறையே அல்லது ). ( , அல்லது ), விமானம் விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளது (அல்லது , முறையே).

§ பிரிவுகளில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு:

எங்கே , , அச்சுகளில் விமானத்தால் துண்டிக்கப்பட்ட பகுதிகள் மற்றும் .

§ ஒரு புள்ளி வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு சாதாரண வெக்டருக்கு செங்குத்தாக :

திசையன் வடிவத்தில்:

(வெக்டார்களின் கலப்பு தயாரிப்பு), இல்லையெனில்

§ சாதாரண (சாதாரண) விமானச் சமன்பாடு

§ இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணம். P. சமன்பாடுகள் (1) வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், பின்னர்

திசையன் வடிவத்தில் இருந்தால், பின்னர்

§ விமானங்கள் இணையானவை, என்றால்

அல்லது (வெக்டர் தயாரிப்பு)

§ விமானங்கள் செங்குத்தாக உள்ளன, என்றால்

அல்லது . (ஸ்கேலர் தயாரிப்பு)

7. கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு , ஒரே வரியில் படுக்கவில்லை:

8. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம் இந்த புள்ளிக்கும் விமானத்தின் புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான தூரங்களில் மிகச் சிறியது. ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம் இந்த புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கு செங்குத்தாக கைவிடப்பட்ட நீளத்திற்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது.

§ புள்ளி விலகல்இயல்பாக்கப்பட்ட சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திலிருந்து

மற்றும் தோற்றம் விமானத்தின் எதிர் பக்கங்களில் இருந்தால், இல்லையெனில் . ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம்

§ சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

9. விமான மூட்டை- இரண்டு விமானங்களின் குறுக்குவெட்டுக் கோடு வழியாக செல்லும் எந்த P. சமன்பாடு

இதில் α மற்றும் β ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரே நேரத்தில் சமமாக இல்லாத எண்களாகும்.

மூன்று விமானங்களின் பொதுவான சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 என்பது PDSC ஒரு கற்றைக்கு உரியது, சரியானது அல்லது முறையற்றது, மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் இரண்டு அல்லது ஒன்றுக்கு சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.
தேற்றம் 2. இரண்டு விமானங்கள் π 1 மற்றும் π 2 ஆகியவை PDSC க்கு அவற்றின் பொதுவான சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட வேண்டும்: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z +D 2 = 0. A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 என்ற பொதுச் சமன்பாட்டின் மூலம் PDSCக்குக் கொடுக்கப்பட்ட π 3 விமானம், π 1 மற்றும் π 2 விமானங்களால் உருவாக்கப்பட்ட கற்றைக்குச் சொந்தமானது. விமானம் π 3 இன் சமன்பாட்டின் இடது பக்கமானது π 1 மற்றும் π 2 சமன்பாடுகளின் இடது பகுதிகளின் நேரியல் கலவையாக குறிப்பிடப்படுவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது.

10.ஒரு நேர் கோட்டின் திசையன் அளவுரு சமன்பாடுவிண்வெளியில்:

சில நிலையான புள்ளியின் ஆரம் திசையன் எங்கே எம் 0 ஒரு நேர்கோட்டில் கிடப்பது இந்த நேர்கோட்டிற்கு பூஜ்ஜியமற்ற வெக்டார் கோலினியர் ஆகும், இது நேர்கோட்டில் உள்ள தன்னிச்சையான புள்ளியின் ஆரம் திசையன் ஆகும்.

ஒரு நேர் கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுவிண்வெளியில்:

எம்

நேர்கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுவிண்வெளியில்:

சில நிலையான புள்ளியின் ஆயங்கள் எங்கே எம் 0 ஒரு நேர் கோட்டில் பொய்; - இந்த வரிக்கு ஒரு திசையன் கோலினியரின் ஆயத்தொலைவுகள்.

ஒரு நேர்கோட்டின் பொது திசையன் சமன்பாடுவிண்வெளியில்:

கோடு என்பது இரண்டு வெவ்வேறு இணை அல்லாத விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு என்பதால், முறையே பொதுவான சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படுகிறது:

ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பு மூலம் கொடுக்கலாம்:

திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மற்றும் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும். திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணம் அளவிடல் உற்பத்தியைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது. cosA=(ab)/IaI*IbI

ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணம் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

இதில் (A; B; C;) என்பது விமானத்தின் சாதாரண திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும்
(l;m;n;) நேர்கோட்டின் திசையன் ஆயங்களை இயக்குகிறது

இரண்டு வரிகளின் இணையான நிலைகள்:

அ) கோடுகள் சமன்பாடுகளால் (4) ஒரு சாய்வுடன் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் இணையான தன்மைக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை அவற்றின் சரிவுகளின் சமத்துவமாகும்:

கே 1 = கே 2 . (8)

b) கோடுகள் பொதுவான வடிவத்தில் (6) சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் இணைநிலைக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், அவற்றின் சமன்பாடுகளில் தொடர்புடைய தற்போதைய ஒருங்கிணைப்புகளில் உள்ள குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருக்கும், அதாவது.

இரண்டு வரிகளின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கான நிபந்தனைகள்:

அ) கோடுகள் சமன்பாடுகளால் (4) ஒரு சாய்வுடன் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கு அவசியமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், அவற்றின் சரிவுகள் அளவிலும் எதிரெதிர் அடையாளத்திலும் இருக்கும், அதாவது.

b) நேர்கோடுகளின் சமன்பாடுகள் பொதுவான வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால் (6), பின்னர் அவற்றின் செங்குத்தாக (தேவையான மற்றும் போதுமானது) சமத்துவத்தை நிறைவேற்றுவதற்கான நிபந்தனை

ஏ 1 ஏ 2 + பி 1 பி 2 = 0. (12)

ஒரு கோடு அந்த விமானத்தில் உள்ள எந்தக் கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருந்தால் அதற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு கோடு ஒரு விமானத்தின் இரண்டு வெட்டும் கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், அது அந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும். ஒரு கோடும் ஒரு விமானமும் இணையாக இருக்க, விமானத்திற்கான சாதாரண திசையன் மற்றும் கோட்டின் இயக்கும் திசையன் செங்குத்தாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. இதற்கு, அவற்றின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பது அவசியம்.

ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானம் செங்குத்தாக இருக்க, விமானத்திற்கான சாதாரண திசையன் மற்றும் கோட்டின் இயக்கும் திசையன் ஆகியவை கோலினியராக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. இந்த வெக்டார்களின் குறுக்கு பலன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் இந்த நிபந்தனை திருப்தி அடையும்.

12. விண்வெளியில், ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு நேர்கோட்டிற்கான தூரம் ஒரு அளவுரு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டில் தன்னிச்சையான புள்ளிக்கு குறைந்தபட்ச தூரமாக காணலாம். குணகம் டிஇந்த புள்ளியை சூத்திரத்தால் காணலாம்

வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்அவர்களின் பொதுவான செங்குத்து நீளம். இது இந்த கோடுகள் வழியாக செல்லும் இணை விமானங்களுக்கு இடையிலான தூரத்திற்கு சமம்.

n செயல்பாடுகளின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான நிபந்தனை.

செயல்பாடுகள் , வரம்பின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கட்டும் (n-1).

தீர்மானிப்பதைக் கவனியுங்கள்: (1)

W(x) பொதுவாக செயல்பாடுகளுக்கான Wronsky determinant என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 1.செயல்பாடுகள் இடைவெளியில் (a,b) நேரியல் சார்ந்து இருந்தால், அவற்றின் Wronskian W(x) இந்த இடைவெளியில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

ஆதாரம்.தேற்றத்தின் நிபந்தனையால், உறவு

, (2) அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை. விடுங்கள் . பிறகு

(3) இந்த அடையாளத்தை n-1 ​​முறை வேறுபடுத்தி,

Vronsky determinant இல் பெறப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு பதிலாக மாற்றுதல்,

நாம் பெறுகிறோம்:

Vronsky determinant இல், கடைசி நெடுவரிசை முந்தைய n-1 நெடுவரிசைகளின் நேரியல் கலவையாகும், எனவே, இடைவெளியின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் (a, b) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

தேற்றம் 2. y 1 ,..., y n ஆகிய செயல்பாடுகள் L[y] = 0 சமன்பாட்டின் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகள் என்றால், இவற்றின் அனைத்து குணகங்களும் இடைவெளியில் (a,b) தொடர்ச்சியாக இருந்தால், இந்த தீர்வுகளின் Wronskian பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. ஒவ்வொரு புள்ளி இடைவெளியிலும் (a,b).

ஆதாரம்.எதிர் என்று வைத்துக் கொள்வோம். X 0 உள்ளது, இங்கு W(X 0)=0. நாம் n சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்

வெளிப்படையாக, கணினி (5) பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. விடுங்கள் (6).

y 1 ,..., y n தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையை உருவாக்குவோம்.

Y(x) என்பது L[y] = 0 சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு. கூடுதலாக, . தனித்துவ தேற்றத்தின் மூலம், பூஜ்ஜிய ஆரம்ப நிலைகளுடன் கூடிய L[y] = 0 சமன்பாட்டின் தீர்வு பூஜ்ஜியமாக மட்டுமே இருக்க வேண்டும், ᴛ.ᴇ. .

எல்லாம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத ஒரு அடையாளத்தை நாம் பெறுகிறோம், அதாவது y 1 ,..., y n ஆகியவை நேர்கோட்டு சார்ந்து இருக்கும், இது தேற்றத்தின் நிபந்தனைக்கு முரணானது. எனவே, W(X 0)=0 போன்ற புள்ளி எதுவும் இல்லை.

தேற்றம் 1 மற்றும் தேற்றம் 2 ஆகியவற்றின் அடிப்படையில், பின்வரும் வலியுறுத்தலை நாம் உருவாக்கலாம். L[y] = 0 சமன்பாட்டின் n தீர்வுகள் இடைவெளியில் (a,b) நேரியல் சார்பற்றதாக இருக்க, இந்த இடைவெளியின் எந்தப் புள்ளியிலும் அவற்றின் Wronskian மறைந்துவிடாமல் இருப்பது மிகவும் முக்கியமானது மற்றும் போதுமானது.

Wronskian இன் பின்வரும் வெளிப்படையான பண்புகள் நிரூபிக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன.

1. L[y] = 0 சமன்பாட்டின் n தீர்வுகளின் வ்ரோன்ஸ்கியன் ஒரு புள்ளியில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் x = x 0 இடைவெளியில் (a, b), இதில் அனைத்து குணகங்களும் p i (x) தொடர்ச்சியாக இருக்கும், அது இந்த இடைவெளியின் அனைத்து முன்னாள் புள்ளிகளிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
2. L[y] = 0 சமன்பாட்டின் n தீர்வுகளின் வ்ரோன்ஸ்கியன் ஒரு புள்ளியில் x = x 0 என்ற இடைவெளியில் (a, b) பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால், இந்த இடைவெளியின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் அது பூஜ்ஜியமல்ல.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, p i (x) சமன்பாட்டின் குணகங்கள் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் இடைவெளியில் (a,b) L[y] = 0 சமன்பாட்டின் n சார்பற்ற தீர்வுகளின் நேர்கோட்டுத்தன்மைக்கு, இது மிகவும் முக்கியமானது மற்றும் போதுமானது. இந்த இடைவெளியின் ஒரு புள்ளியில் கூட வ்ரோன்ஸ்கியன் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வித்தியாசமாக இருக்கும்.

n செயல்பாடுகளின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான நிபந்தனை. - கருத்து மற்றும் வகைகள். வகைப்பாடு மற்றும் அம்சங்கள் "n செயல்பாடுகளின் நேரியல் சார்புக்கு தேவையான நிபந்தனை." 2017, 2018.

-

கப்பல் கையாளும் கருவி (போர்டில் சரக்கு கையாளும் கியர்) விரிவுரை எண். 6 தலைப்பு: சரக்கு கியர் (சரக்கு கியர்) 6.1. கப்பல் கையாளும் கருவி (சரக்கு கையாளும் கருவியில்). 6.2 சரக்கு கிரேன்கள். 6.3. சாய்வுதளம். ஓவர்லோடிங் என்பது ஒரு வாகனத்திற்கு அல்லது அங்கிருந்து பொருட்களை நகர்த்துவது. பல... .

- சரக்கு கிரேன்கள்

சான்றிதழ்கள் பணிகளின் பிரிவு ஆய்வுகள், சான்றிதழ்கள் மற்றும் பொறுப்புகள் பின்வருமாறு பிரிக்கப்பட்டுள்ளன: &... .

- அவரை உங்களுக்கு தெரியுமா? லோ கோனோஸ்?

there - allá Here - aqui In a cafe - en el cafe at work - en el trabajo at sea - en el mar 1. கஃபே எங்கே என்று தெரியுமா? 2. சாஷா எங்கே இருக்கிறார் தெரியுமா? 3. நூலகம் எங்குள்ளது தெரியுமா? 4. ஒல்யா இப்போது எங்கே இருக்கிறார் தெரியுமா? 5. நடாஷா இப்போது எங்கே இருக்கிறார் தெரியுமா? மதிய வணக்கம்! நான்... .

- குறைப்பு இல்லாத நிலையில் இருந்து Zmin மற்றும் Xmin ஐ தீர்மானித்தல்

படம்.5.9. சக்கரங்களின் பற்களை வெட்டுவது பற்றி. ரேக் ஷீர் குணகம் x சக்கரத்தில் உள்ள ரேக் மூலம் வெட்டக்கூடிய பற்களின் எண்ணிக்கையுடன் எவ்வாறு தொடர்புடையது என்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம். ரயில் நிலை 1 இல் நிறுவப்பட்டிருக்கட்டும் (படம் 5.9.). இந்த வழக்கில், ரேக்கின் நேராக தலை நிச்சயதார்த்தம் N-N ஐ கடக்கும், உட்பட ...