சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான குறைந்தபட்ச சதுர எடுத்துக்காட்டுகளின் முறை. குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு முன்னறிவிப்பை உருவாக்குதல். சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணம், குறைந்தபட்ச சதுர முறை மூலம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

2வது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை மூலம் செயல்பாட்டை தோராயமாக்குகிறோம். இதைச் செய்ய, சாதாரண சமன்பாடுகளின் குணகங்களைக் கணக்கிடுகிறோம்:

, ,

குறைந்தபட்ச சதுரங்களைக் கொண்ட ஒரு சாதாரண அமைப்பை உருவாக்குவோம், இது வடிவம் கொண்டது:

அமைப்பின் தீர்வு கண்டுபிடிக்க எளிதானது :, , .

இவ்வாறு, 2 வது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை காணப்படுகிறது: .

தத்துவார்த்த குறிப்பு

பக்கத்துக்குத் திரும்பு<Введение в вычислительную математику. Примеры>

எடுத்துக்காட்டு 2. பல்லுறுப்புக்கோவையின் உகந்த அளவைக் கண்டறிதல்.

பக்கத்துக்குத் திரும்பு<Введение в вычислительную математику. Примеры>

எடுத்துக்காட்டு 3. அனுபவச் சார்பின் அளவுருக்களைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு சாதாரண சமன்பாடு முறையின் வழித்தோன்றல்.

குணகங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளை நிர்ணயிப்பதற்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுவோம் , இது புள்ளிகளைப் பொறுத்து கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் ரூட்-மீன்-சதுர தோராயத்தை செய்கிறது. ஒரு செயல்பாட்டை உருவாக்கவும் அதற்கு தேவையான தீவிர நிலையை எழுதவும்:

பின்னர் சாதாரண அமைப்பு வடிவம் எடுக்கும்:

அறியப்படாத அளவுருக்களுக்கான சமன்பாடுகளின் நேரியல் அமைப்பைப் பெற்றுள்ளோம், இது எளிதில் தீர்க்கப்படுகிறது.

தத்துவார்த்த குறிப்பு

பக்கத்துக்குத் திரும்பு<Введение в вычислительную математику. Примеры>

உதாரணமாக.

மாறிகளின் மதிப்புகள் பற்றிய சோதனை தரவு எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குஅட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அவற்றின் சீரமைப்பின் விளைவாக, செயல்பாடு

பயன்படுத்தி குறைந்த சதுர முறை, இந்தத் தரவை நேரியல் சார்புடன் தோராயமாக்குங்கள் y=ax+b(விருப்பங்களைக் கண்டறியவும் அமற்றும் பி) இரண்டு வரிகளில் எது சிறந்தது என்பதைக் கண்டறியவும் (குறைந்த சதுரங்கள் முறை என்ற பொருளில்) சோதனைத் தரவை சீரமைக்கிறது. ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள்.

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் (LSM) முறையின் சாராம்சம்.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான நேரியல் சார்பு குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்பதே சிக்கல் அமற்றும் பிமிகச்சிறிய மதிப்பை எடுக்கும். அதாவது, தரவு கொடுக்கப்பட்டது அமற்றும் பிகண்டறியப்பட்ட நேர்கோட்டிலிருந்து சோதனைத் தரவின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை சிறியதாக இருக்கும். குறைந்த சதுர முறையின் முழுப் புள்ளியும் இதுதான்.

எனவே, உதாரணத்தின் தீர்வு இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

குணகங்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களின் வழித்தோன்றல்.

இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தொகுக்கப்பட்டு தீர்க்கப்படுகிறது. செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல் மாறிகள் மூலம் அமற்றும் பி, இந்த வழித்தோன்றல்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்.

விளைந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எந்த முறையிலும் தீர்க்கிறோம் (உதாரணமாக மாற்று முறைஅல்லது க்ரேமர் முறை) மற்றும் குறைந்த சதுரங்கள் முறையை (LSM) பயன்படுத்தி குணகங்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெறவும்.

தரவுகளுடன் அமற்றும் பிசெயல்பாடு மிகச்சிறிய மதிப்பை எடுக்கும். இந்த உண்மைக்கான ஆதாரம் பக்கத்தின் முடிவில் உள்ள உரையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

அதுதான் குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முழு முறை. அளவுருவைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் அதொகைகள் , , மற்றும் அளவுரு ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது nசோதனை தரவுகளின் அளவு. இந்த தொகைகளின் மதிப்புகள் தனித்தனியாக கணக்கிட பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

குணகம் பிகணக்கீட்டிற்குப் பிறகு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது அ.

அசல் உதாரணத்தை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது.

தீர்வு.

எங்கள் உதாரணத்தில் n=5. தேவையான குணகங்களின் சூத்திரங்களில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான வசதிக்காக அட்டவணையை நிரப்புகிறோம்.

அட்டவணையின் நான்காவது வரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் 2 வது வரிசையின் மதிப்புகளை ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் 3 வது வரிசையின் மதிப்புகளால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. நான்.

அட்டவணையின் ஐந்தாவது வரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் 2 வது வரிசையின் மதிப்புகளை வகுப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. நான்.

அட்டவணையின் கடைசி நெடுவரிசையின் மதிப்புகள் வரிசைகள் முழுவதும் உள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

குணகங்களைக் கண்டறிய குறைந்த சதுர முறையின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் அமற்றும் பி. அட்டவணையின் கடைசி நெடுவரிசையிலிருந்து தொடர்புடைய மதிப்புகளை அவற்றில் மாற்றுகிறோம்:

இதன் விளைவாக, y=0.165x+2.184விரும்பிய தோராயமான நேர்கோடு.

எந்த வரிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் y=0.165x+2.184அல்லது அசல் தரவை சிறப்பாக தோராயமாக்குகிறது, அதாவது குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு மதிப்பீட்டைச் செய்ய.

குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறையின் பிழையின் மதிப்பீடு.

இதைச் செய்ய, இந்த வரிகளிலிருந்து அசல் தரவின் சதுர விலகல்களின் தொகையை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் மற்றும் , ஒரு சிறிய மதிப்பு, குறைந்தபட்ச சதுர முறையின் அடிப்படையில் அசல் தரவை சிறப்பாக தோராயமாக மதிப்பிடும் கோட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது.

முதல் , பின்னர் வரி y=0.165x+2.184அசல் தரவை சிறப்பாக தோராயமாக்குகிறது.

குறைந்த சதுர முறையின் (LSM) வரைகலை விளக்கம்.

அட்டவணையில் எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது. சிவப்பு கோடு கண்டுபிடிக்கப்பட்ட கோடு y=0.165x+2.184, நீலக் கோடு , இளஞ்சிவப்பு புள்ளிகள் அசல் தரவு.

இது எதற்காக, இந்த தோராயங்கள் அனைத்தும் எதற்காக?

டேட்டாவை மென்மையாக்கும் சிக்கல்கள், இடைக்கணிப்பு மற்றும் எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன் சிக்கல்களைத் தீர்க்க நான் தனிப்பட்ட முறையில் பயன்படுத்துகிறேன் (அசல் எடுத்துக்காட்டில், கவனிக்கப்பட்ட மதிப்பின் மதிப்பைக் கண்டறிய நீங்கள் கேட்கப்படலாம் ஒய்மணிக்கு x=3அல்லது எப்போது x=6 MNC முறையின்படி). ஆனால் தளத்தின் மற்றொரு பகுதியில் இதைப் பற்றி மேலும் பேசுவோம்.

பக்கத்தின் மேல்

ஆதாரம்.

அதனால் கிடைத்த போது அமற்றும் பிசெயல்பாடு மிகச்சிறிய மதிப்பை எடுக்கும், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டிற்கான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாட்டின் இருபடி வடிவத்தின் அணி அவசியம் நேர்மறையான உறுதியானது. காட்டுவோம்.

இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு வடிவம் கொண்டது:

அது

எனவே, இருபடி வடிவத்தின் அணி வடிவம் கொண்டது

மற்றும் உறுப்புகளின் மதிப்புகள் சார்ந்து இல்லை அமற்றும் பி.

மேட்ரிக்ஸ் நேர்மறை திட்டவட்டமானது என்பதைக் காட்டுவோம். இந்த கோணத்தில் சிறியவர்கள் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்.

முதல் வரிசையின் கோண மைனர் . புள்ளிகள் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால் சமத்துவமின்மை கண்டிப்பானது. இது பின்வருவனவற்றில் குறிக்கப்படும்.

இரண்டாவது வரிசையின் கோண மைனர்

என்பதை நிரூபிப்போம் கணித தூண்டல் முறை.

முடிவுரை: கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் அமற்றும் பிசெயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது எனவே, குறைந்தபட்ச சதுர முறைக்கு தேவையான அளவுருக்கள்.

எப்போதாவது புரிகிறதா?
ஒரு தீர்வை ஆர்டர் செய்யுங்கள்

பக்கத்தின் மேல்

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு முன்னறிவிப்பை உருவாக்குதல். பிரச்சனை தீர்வு உதாரணம்

எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன் - இது விஞ்ஞான ஆராய்ச்சியின் ஒரு முறையாகும், இது கடந்த கால மற்றும் தற்போதைய போக்குகள், வடிவங்கள், முன்கணிப்பு பொருளின் எதிர்கால வளர்ச்சிக்கான உறவுகள் ஆகியவற்றின் பரவலை அடிப்படையாகக் கொண்டது. பிரித்தெடுத்தல் முறைகள் அடங்கும் நகரும் சராசரி முறை, அதிவேக மென்மையான முறை, குறைந்தபட்ச சதுர முறை.

சாரம் குறைந்த சதுர முறை கவனிக்கப்பட்ட மற்றும் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு இடையிலான சதுர விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதில் உள்ளது. கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் படி காணப்படுகின்றன - பின்னடைவு சமன்பாடு. உண்மையான மதிப்புகள் மற்றும் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு இடையே உள்ள சிறிய தூரம், பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அடிப்படையில் முன்னறிவிப்பு மிகவும் துல்லியமானது.

ஆய்வின் கீழ் உள்ள நிகழ்வின் சாரத்தின் தத்துவார்த்த பகுப்பாய்வு, ஒரு நேரத் தொடரால் காட்டப்படும் மாற்றம், ஒரு வளைவைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான அடிப்படையாக செயல்படுகிறது. தொடரின் நிலைகளின் வளர்ச்சியின் தன்மை பற்றிய பரிசீலனைகள் சில நேரங்களில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. எனவே, வெளியீட்டின் வளர்ச்சி ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில் எதிர்பார்க்கப்பட்டால், மென்மையானது ஒரு நேர்கோட்டில் செய்யப்படுகிறது. வளர்ச்சி அதிவேகமானது என்று மாறினால், அதிவேக செயல்பாட்டின் படி மென்மையாக்கப்பட வேண்டும்.

குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறையின் வேலை சூத்திரம் : Y t+1 = a*X + b, t + 1 என்பது முன்னறிவிப்பு காலம்; Уt+1 - கணிக்கப்பட்ட காட்டி; a மற்றும் b குணகங்கள்; எக்ஸ் என்பது காலத்தின் சின்னம்.

குணகங்கள் a மற்றும் b பின்வரும் சூத்திரங்களின்படி கணக்கிடப்படுகின்றன:

எங்கே, Uf - இயக்கவியல் தொடரின் உண்மையான மதிப்புகள்; n என்பது நேரத் தொடரில் உள்ள நிலைகளின் எண்ணிக்கை;

குறைந்த சதுர முறை மூலம் நேரத் தொடரை மென்மையாக்குவது, ஆய்வின் கீழ் உள்ள நிகழ்வின் வளர்ச்சியின் வடிவங்களைப் பிரதிபலிக்க உதவுகிறது. ஒரு போக்கின் பகுப்பாய்வு வெளிப்பாட்டில், நேரம் ஒரு சுயாதீன மாறியாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் தொடரின் நிலைகள் இந்த சுயாதீன மாறியின் செயல்பாடாக செயல்படுகிறது.

ஒரு நிகழ்வின் வளர்ச்சி தொடக்கப் புள்ளியிலிருந்து எத்தனை ஆண்டுகள் கடந்துவிட்டன என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல, ஆனால் எந்த காரணிகள் அதன் வளர்ச்சியை பாதித்தன, எந்த திசையில் மற்றும் எந்த தீவிரத்துடன். இதிலிருந்து காலப்போக்கில் ஒரு நிகழ்வின் வளர்ச்சி இந்த காரணிகளின் செயல்பாட்டின் விளைவாக தோன்றுகிறது என்பது தெளிவாகிறது.

வளைவின் வகையைச் சரியாக அமைப்பது, நேரத்தைச் சார்ந்திருக்கும் பகுப்பாய்வு வகை, முன்கணிப்பு பகுப்பாய்வின் மிகவும் கடினமான பணிகளில் ஒன்றாகும். .

போக்கை விவரிக்கும் செயல்பாட்டின் வகையின் தேர்வு, அதன் அளவுருக்கள் குறைந்தபட்ச சதுர முறையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் அனுபவபூர்வமானது, பல செயல்பாடுகளை உருவாக்கி, சராசரி சதுரப் பிழையின் அடிப்படையில் அவற்றை ஒன்றோடொன்று ஒப்பிடுவதன் மூலம், சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

எங்கே Uf - இயக்கவியல் தொடரின் உண்மையான மதிப்புகள்; உர் - நேரத் தொடரின் கணக்கிடப்பட்ட (மென்மையான) மதிப்புகள்; n என்பது நேரத் தொடரில் உள்ள நிலைகளின் எண்ணிக்கை; p என்பது போக்கை (வளர்ச்சிப் போக்கு) விவரிக்கும் சூத்திரங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை.

குறைந்த சதுர முறையின் தீமைகள் :

• ஒரு கணித சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஆய்வின் கீழ் உள்ள பொருளாதார நிகழ்வை விவரிக்க முயற்சிக்கும்போது, ​​முன்னறிவிப்பு ஒரு குறுகிய காலத்திற்கு துல்லியமாக இருக்கும் மற்றும் புதிய தகவல்கள் கிடைக்கும்போது பின்னடைவு சமன்பாட்டை மீண்டும் கணக்கிட வேண்டும்;
• நிலையான கணினி நிரல்களைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கக்கூடிய பின்னடைவு சமன்பாட்டின் தேர்வின் சிக்கலானது.

முன்னறிவிப்பை உருவாக்க குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

ஒரு பணி . பிராந்தியத்தில் வேலையின்மை அளவை வகைப்படுத்தும் தரவு உள்ளது,%

• நவம்பர், டிசம்பர், ஜனவரி மாதங்களுக்கான பிராந்தியத்தில் வேலையின்மை விகிதத்தின் முன்னறிவிப்பை உருவாக்கவும், முறைகளைப் பயன்படுத்தி: நகரும் சராசரி, அதிவேக மென்மையாக்கம், குறைந்தபட்ச சதுரங்கள்.
• ஒவ்வொரு முறையையும் பயன்படுத்தி வரும் கணிப்புகளில் உள்ள பிழைகளைக் கணக்கிடுங்கள்.
• பெறப்பட்ட முடிவுகளை ஒப்பிட்டு, முடிவுகளை எடுக்கவும்.

குறைந்த சதுர தீர்வு

தீர்வுக்காக, நாங்கள் ஒரு அட்டவணையை தொகுப்போம், அதில் தேவையான கணக்கீடுகளை செய்வோம்:

ε = 28.63/10 = 2.86% முன்னறிவிப்பு துல்லியம்உயர்.

முடிவுரை : கணக்கீடுகளில் பெறப்பட்ட முடிவுகளை ஒப்பிடுதல் நகரும் சராசரி முறை , அதிவேகமான நேர்த்தியை மற்றும் குறைந்த சதுர முறை, எக்ஸ்போனென்ஷியல் ஸ்மூத்திங் முறை மூலம் கணக்கீடுகளில் சராசரி உறவினர் பிழை 20-50% க்குள் விழும் என்று கூறலாம். இந்த வழக்கில் கணிப்பு துல்லியம் மட்டுமே திருப்திகரமாக உள்ளது என்பதே இதன் பொருள்.

முதல் மற்றும் மூன்றாவது நிகழ்வுகளில், சராசரி உறவினர் பிழை 10% க்கும் குறைவாக இருப்பதால், முன்னறிவிப்பு துல்லியம் அதிகமாக உள்ளது. ஆனால் நகரும் சராசரி முறை மிகவும் நம்பகமான முடிவுகளைப் பெறுவதை சாத்தியமாக்கியது (நவம்பர் - 1.52%, டிசம்பருக்கான முன்னறிவிப்பு - 1.53%, ஜனவரிக்கான முன்னறிவிப்பு - 1.49%), ஏனெனில் இந்த முறையைப் பயன்படுத்தும் போது சராசரி உறவினர் பிழை சிறியது - 1 ,13%

குறைந்த சதுர முறை

பிற தொடர்புடைய கட்டுரைகள்:

பயன்படுத்தப்பட்ட ஆதாரங்களின் பட்டியல்

1. சமூக அபாயங்களைக் கண்டறிதல் மற்றும் சவால்கள், அச்சுறுத்தல்கள் மற்றும் சமூக விளைவுகளை முன்னறிவித்தல் ஆகிய சிக்கல்களில் அறிவியல் மற்றும் வழிமுறை பரிந்துரைகள். ரஷ்ய மாநில சமூக பல்கலைக்கழகம். மாஸ்கோ. 2010;
2. விளாடிமிரோவா எல்.பி. சந்தை நிலைமைகளில் முன்கணிப்பு மற்றும் திட்டமிடல்: Proc. கொடுப்பனவு. எம் .: பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் "டாஷ்கோவ் அண்ட் கோ", 2001;
3. நோவிகோவா என்.வி., போஸ்டீவா ஓ.ஜி. தேசிய பொருளாதாரத்தை முன்னறிவித்தல்: கல்வி மற்றும் வழிமுறை வழிகாட்டி. யெகாடெரின்பர்க்: பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் யூரல். நிலை. பொருளாதாரம் பல்கலைக்கழகம், 2007;
4. ஸ்லட்ஸ்கின் எல்.என். வணிக முன்கணிப்பில் எம்பிஏ படிப்பு. மாஸ்கோ: அல்பினா பிசினஸ் புக்ஸ், 2006.

MNE திட்டம்

தரவை உள்ளிடவும்

தரவு மற்றும் தோராயம் y = a + b x

நான்- சோதனை புள்ளியின் எண்ணிக்கை;
x i- புள்ளியில் நிலையான அளவுருவின் மதிப்பு நான்;
ஒய் ஐ- புள்ளியில் அளவிடப்பட்ட அளவுருவின் மதிப்பு நான்;
ω ஐ- புள்ளியில் எடையை அளவிடுதல் நான்;
y i, calc.- அளவிடப்பட்ட மதிப்புக்கும் பின்னடைவிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புக்கும் உள்ள வேறுபாடு ஒய்புள்ளியில் நான்;
S x i (x i)- பிழை மதிப்பீடு x iஅளவிடும் போது ஒய்புள்ளியில் நான்.

தரவு மற்றும் தோராயம் y = kx

விளக்கப்படத்தில் கிளிக் செய்யவும்

MNC ஆன்லைன் திட்டத்திற்கான பயனர் கையேடு.

தரவு புலத்தில், ஒவ்வொரு தனி வரியிலும் ஒரு சோதனை புள்ளியில் `x` மற்றும் `y` மதிப்புகளை உள்ளிடவும். மதிப்புகள் இடைவெளி (இடம் அல்லது தாவல்) மூலம் பிரிக்கப்பட வேண்டும்.

மூன்றாவது மதிப்பு `w` இன் புள்ளி எடையாக இருக்கலாம். புள்ளி எடை குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், அது ஒன்றுக்கு சமம். பெரும்பாலான நிகழ்வுகளில், சோதனை புள்ளிகளின் எடைகள் தெரியவில்லை அல்லது கணக்கிடப்படவில்லை; அனைத்து சோதனை தரவுகளும் சமமானதாக கருதப்படுகிறது. சில நேரங்களில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட மதிப்புகளின் எடைகள் நிச்சயமாக சமமானவை அல்ல மற்றும் கோட்பாட்டளவில் கூட கணக்கிடப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஸ்பெக்ட்ரோஃபோட்டோமெட்ரியில், எளிய சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எடையைக் கணக்கிடலாம், இருப்பினும் தொழிலாளர் செலவுகளைக் குறைக்க எல்லோரும் இதைப் புறக்கணிக்கிறார்கள்.

மைக்ரோசாஃப்ட் ஆபிஸிலிருந்து எக்செல் அல்லது ஓபன் ஆஃபீஸிலிருந்து கால்க் போன்ற அலுவலக தொகுப்பு விரிதாளிலிருந்து கிளிப்போர்டு மூலம் தரவை ஒட்டலாம். இதைச் செய்ய, விரிதாளில், நகலெடுக்க, கிளிப்போர்டுக்கு நகலெடுக்க மற்றும் இந்தப் பக்கத்தில் உள்ள தரவுப் புலத்தில் தரவை ஒட்டுவதற்கான தரவின் வரம்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறை மூலம் கணக்கிட, இரண்டு குணகங்களை தீர்மானிக்க குறைந்தபட்சம் இரண்டு புள்ளிகள் தேவை `b` - நேர்கோட்டின் சாய்வு கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் `a` - `y இல் நேர்கோட்டால் துண்டிக்கப்பட்ட மதிப்பு `அச்சு.

கணக்கிடப்பட்ட பின்னடைவு குணகங்களின் பிழையை மதிப்பிடுவதற்கு, சோதனை புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை இரண்டுக்கு மேல் அமைக்க வேண்டியது அவசியம்.

குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை (LSM).

சோதனைப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை அதிகமானால், குணகங்களின் புள்ளிவிவர மதிப்பீடு மிகவும் துல்லியமானது (மாணவர்களின் குணகம் குறைவதால்) மற்றும் பொது மாதிரியின் மதிப்பீட்டிற்கு நெருக்கமான மதிப்பீடு.

ஒவ்வொரு சோதனை புள்ளியிலும் மதிப்புகளைப் பெறுவது பெரும்பாலும் குறிப்பிடத்தக்க தொழிலாளர் செலவுகளுடன் தொடர்புடையது, எனவே, சமரச எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் பெரும்பாலும் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன, இது ஒரு ஜீரணிக்கக்கூடிய மதிப்பீட்டைக் கொடுக்கிறது மற்றும் அதிக உழைப்பு செலவுகளுக்கு வழிவகுக்காது. ஒரு விதியாக, இரண்டு குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் சார்புக்கான சோதனை புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 5-7 புள்ளிகள் பகுதியில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.

நேரியல் சார்புக்கான குறைந்த சதுரங்களின் சுருக்கமான கோட்பாடு

எங்களிடம் சோதனை தரவுகளின் தொகுப்பு [`y_i`, `x_i`] மதிப்புகளின் ஜோடி வடிவத்தில் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இங்கு `i` என்பது 1 முதல் `n` வரையிலான ஒரு சோதனை அளவீட்டின் எண்; `y_i` - புள்ளி `i` இல் அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் மதிப்பு; `x_i` - `i` புள்ளியில் நாம் அமைத்த அளவுருவின் மதிப்பு.

ஓம் விதியின் செயல்பாடு ஒரு உதாரணம். மின்சுற்றின் பிரிவுகளுக்கு இடையில் மின்னழுத்தத்தை (சாத்தியமான வேறுபாடு) மாற்றுவதன் மூலம், இந்த பிரிவின் வழியாக செல்லும் மின்னோட்டத்தின் அளவை அளவிடுகிறோம். இயற்பியல் சோதனை ரீதியாகக் காணப்படும் சார்புநிலையை நமக்கு வழங்குகிறது:

`I=U/R`,
அங்கு `I` - தற்போதைய வலிமை; `ஆர்` - எதிர்ப்பு; `U` - மின்னழுத்தம்.

இந்த வழக்கில், `y_i` என்பது அளவிடப்பட்ட மின்னோட்ட மதிப்பு, மேலும் `x_i` என்பது மின்னழுத்த மதிப்பு.

மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு, கரைசலில் உள்ள ஒரு பொருளின் கரைசல் மூலம் ஒளியை உறிஞ்சுவதைக் கவனியுங்கள். வேதியியல் நமக்கு சூத்திரத்தை அளிக்கிறது:

`A = εl C`,
இதில் `A` என்பது கரைசலின் ஒளியியல் அடர்த்தி; `ε` - கரைப்பான் கடத்தல்; `l` - ஒரு தீர்வுடன் ஒரு குவெட்டின் வழியாக ஒளி செல்லும் போது பாதை நீளம்; `சி` என்பது கரைப்பானின் செறிவு.

இந்த நிலையில், `y_i` என்பது அளவிடப்பட்ட ஆப்டிகல் அடர்த்தி `A` மற்றும் `x_i` என்பது நாம் அமைக்கும் பொருளின் செறிவு ஆகும்.

`x_i` ஐ அமைப்பதில் தொடர்புடைய பிழை `y_i` ஐ அளவிடுவதில் உள்ள தொடர்புடைய பிழையை விட மிகக் குறைவாக இருக்கும்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். `y_i` இன் அனைத்து அளவிடப்பட்ட மதிப்புகளும் சீரற்றவை மற்றும் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்று நாங்கள் கருதுவோம், அதாவது. சாதாரண விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிய வேண்டும்.

`x` இல் `y` இன் நேரியல் சார்பு நிலையில், நாம் கோட்பாட்டு சார்புகளை எழுதலாம்:
`y = a + bx`.

வடிவியல் பார்வையில், குணகம் `b` என்பது `x` அச்சுக்குக் கோட்டின் சாய்வுக் கோணத்தின் தொடுகைக் குறிக்கிறது, மேலும் குணகம் `a` - இன் வெட்டும் புள்ளியில் `y` இன் மதிப்பு. `y` அச்சைக் கொண்ட கோடு (`x = 0`க்கு).

பின்னடைவு வரியின் அளவுருக்களைக் கண்டறிதல்.

ஒரு பரிசோதனையில், நிஜ வாழ்க்கையில் எப்போதும் இயல்பாக இருக்கும் அளவீட்டு பிழைகள் காரணமாக `y_i` இன் அளவிடப்பட்ட மதிப்புகள் கோட்பாட்டு வரியில் சரியாக இருக்க முடியாது. எனவே, ஒரு நேரியல் சமன்பாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்பால் குறிப்பிடப்பட வேண்டும்:
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
இதில் `ε_i` என்பது `i`வது பரிசோதனையில் `y` இன் அறியப்படாத அளவீட்டுப் பிழையாகும்.

சார்பு (1) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது பின்னடைவு, அதாவது புள்ளியியல் முக்கியத்துவம் கொண்ட இரண்டு அளவுகளின் சார்பு.

சார்புநிலையை மீட்டெடுக்கும் பணியானது சோதனை புள்ளிகளில் இருந்து `a` மற்றும் `b` குணகங்களைக் கண்டறிவதாகும் [`y_i`, `x_i`].

குணகங்களைக் கண்டறிய `a` மற்றும் `b` பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது குறைந்த சதுர முறை(எம்என்கே). இது அதிகபட்ச சாத்தியக்கூறு கொள்கையின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு.

(1) ஐ `ε_i = y_i - a - b x_i` என மீண்டும் எழுதுவோம்.

பின்னர் ஸ்கொயர்டு பிழைகளின் கூட்டுத்தொகை இருக்கும்
`Φ = தொகை_(i=1)^(n) ε_i^2 = தொகை_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையின் கொள்கையானது `a` மற்றும் `b` அளவுருக்கள் தொடர்பாக கூட்டுத்தொகை (2) ஐக் குறைப்பதாகும்..

`a` மற்றும் `b` குணகங்களைப் பொறுத்து கூட்டுத்தொகையின் (2) பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்போது குறைந்தபட்சம் அடையும்:
`frac(partial Φ)(partial a) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partial a) = 0`
`frac(partial Φ)(partial b) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partial b) = 0`

வழித்தோன்றல்களை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:
`தொகை_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i - 2y_i) = தொகை_(i=1)^(n) (a + bx_i - y_i) = 0`
`தொகை_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i - 2x_iy_i) = தொகை_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i - x_iy_i) = 0`

நாங்கள் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, விரும்பிய குணகங்களிலிருந்து சுயாதீனமான தொகைகளை மற்ற பாதிக்கு மாற்றுகிறோம், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:
`தொகை_(i=1)^(n) y_i = a n + b தொகை_(i=1)^(n) bx_i`
`தொகை_(i=1)^(n) x_iy_i = ஒரு தொகை_(i=1)^(n) x_i + b தொகை_(i=1)^(n) x_i^2`

விளைந்த அமைப்பைத் தீர்க்கும் போது, ​​குணகங்களின் `a` மற்றும் `b`க்கான சூத்திரங்களைக் காண்கிறோம்:

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 - sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n ) x_iy_i) (n தொகை_(i=1)^(n) x_i^2 — (தொகை_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)

`b = frac(n sum_(i=1)^(n) x_iy_i - sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) y_i) (n sum_(i=1)^ (n) x_i^2 - (தொகை_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)

இந்த சூத்திரங்கள் `n > 1` (குறைந்தது 2 புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி கோடு வரையப்படலாம்) மற்றும் `D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (தொகை_(i= 1) போது தீர்வுகள் இருக்கும். )^(n) x_i)^2 != 0`, அதாவது. பரிசோதனையில் `x_i` புள்ளிகள் வேறுபட்டால் (அதாவது கோடு செங்குத்தாக இல்லாதபோது).

பின்னடைவு வரியின் குணகங்களில் பிழைகள் மதிப்பீடு

`a` மற்றும் `b` குணகங்களைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள பிழையின் துல்லியமான மதிப்பீட்டிற்கு, அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைப் புள்ளிகள் விரும்பத்தக்கது. `n = 2` ஆக இருக்கும் போது, ​​குணகங்களின் பிழையை மதிப்பிட முடியாது, ஏனெனில் தோராயமான கோடு தனித்துவமாக இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும்.

சீரற்ற மாறி `V` பிழை தீர்மானிக்கப்பட்டது பிழை குவிப்பு சட்டம்
`S_V^2 = sum_(i=1)^p (frac(partial f)(partial z_i))^2 S_(z_i)^2`,
இங்கு `p` என்பது `S_V` பிழையைப் பாதிக்கும் `S_(z_i)` பிழையுடன் கூடிய `z_i` அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை;
`f` என்பது `z_i` இல் `V` இன் சார்புச் செயல்பாடாகும்.

`a` மற்றும் `b` குணகங்களின் பிழைக்கான பிழைகளின் திரட்சி விதியை எழுதுவோம்
`S_a^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial a )(பகுதி x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 `,
`S_b^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial b) )(பகுதி x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 `,
ஏனெனில் `S_(x_i)^2 = 0` (`x` இன் பிழை மிகக் குறைவு என்று நாங்கள் முன்பே முன்பதிவு செய்தோம்).

`S_y^2 = S_(y_i)^2` - `y` பரிமாணத்தில் உள்ள பிழை (மாறுபாடு, வர்க்க நிலையான விலகல்), எல்லா `y` மதிப்புகளுக்கும் பிழை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளில் `a` மற்றும் `b` கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களை மாற்றுவது, நாம் பெறுகிறோம்

`S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (sum_(i=1)^(n) x_i^2 - x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 frac((n sum_(i=1)^(n) x_i^2 - (sum_(i=1)^(n) x_i)^2) sum_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (n x_i - sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac( n (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 - (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D) ` (4.2)

பெரும்பாலான உண்மையான சோதனைகளில், `Sy` இன் மதிப்பு அளவிடப்படவில்லை. இதைச் செய்ய, திட்டத்தின் ஒன்று அல்லது பல புள்ளிகளில் பல இணையான அளவீடுகளை (சோதனைகள்) மேற்கொள்ள வேண்டியது அவசியம், இது பரிசோதனையின் நேரத்தை (மற்றும் சாத்தியமான செலவு) அதிகரிக்கிறது. எனவே, பின்னடைவுக் கோட்டிலிருந்து `y` இன் விலகலை சீரற்றதாகக் கருதலாம் என்று பொதுவாகக் கருதப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் உள்ள மாறுபாடு மதிப்பீடு `y` சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

`S_y^2 = S_(y, rest)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`.

ஒரே மாதிரியான சோதனைத் தரவிற்கான இரண்டு குணகங்களின் கணக்கீட்டின் காரணமாக சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கையைக் குறைத்ததால் `n-2` வகுப்பி தோன்றுகிறது.

இந்த மதிப்பீடு `S_(y, rest)^2` என்ற பின்னடைவு வரியுடன் தொடர்புடைய எஞ்சிய மாறுபாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

குணகங்களின் முக்கியத்துவத்தின் மதிப்பீடு மாணவர் அளவுகோலின் படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

கணக்கிடப்பட்ட அளவுகோல்கள் `t_a`, `t_b` அட்டவணை அளவுகோல் `t(P, n-2)` ஐ விடக் குறைவாக இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு `P` உடன் தொடர்புடைய குணகம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கணிசமாக வேறுபடவில்லை என்று கருதப்படுகிறது.

நேரியல் உறவின் விளக்கத்தின் தரத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, ஃபிஷர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி சராசரியுடன் ஒப்பிடும்போது `S_(y, rest)^2` மற்றும் `S_(bar y)` ஐ ஒப்பிடலாம்.

`S_(bar y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i - bar y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i - (sum_(i=) 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - சராசரியுடன் தொடர்புடைய `y` இன் மாறுபாட்டின் மாதிரி மதிப்பீடு.

சார்புநிலையை விவரிப்பதற்கான பின்னடைவு சமன்பாட்டின் செயல்திறனை மதிப்பிடுவதற்கு, ஃபிஷர் குணகம் கணக்கிடப்படுகிறது.
`F = S_(பார் y) / S_(y, ஓய்வு)^2`,
இது டேபிள் ஃபிஷர் குணகம் `F(p, n-1, n-2)` உடன் ஒப்பிடப்படுகிறது.

`F > F(P, n-1, n-2)` எனில், பின்னடைவு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி `y = f(x)` சார்பின் விளக்கத்திற்கும் சராசரியைப் பயன்படுத்தும் விளக்கத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாடு நிகழ்தகவுடன் புள்ளிவிவர ரீதியாக முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாகக் கருதப்படுகிறது. `பி`. அந்த. பின்னடைவு சராசரியைச் சுற்றி `y` பரவுவதை விட சார்புநிலையை சிறப்பாக விவரிக்கிறது.

விளக்கப்படத்தில் கிளிக் செய்யவும்
அட்டவணையில் மதிப்புகளைச் சேர்க்க

குறைந்த சதுர முறை. குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை என்பது அறியப்படாத அளவுருக்கள் a, b, c, ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட செயல்பாட்டு சார்பு ஆகியவற்றை நிர்ணயிப்பதாகும்.

குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை என்பது அறியப்படாத அளவுருக்களை தீர்மானிப்பதாகும் a, b, c,…ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட செயல்பாட்டு சார்பு

y = f(x,a,b,c,...),

இது பிழையின் குறைந்தபட்ச சராசரி சதுரத்தை (மாறுபாடு) வழங்கும்

, (24)

இதில் x i , y i - சோதனையிலிருந்து பெறப்பட்ட ஜோடி எண்களின் தொகுப்பு.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கான நிபந்தனை அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், பின்னர் அளவுருக்கள் a, b, c,…சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

; ; ; … (25)

செயல்பாட்டின் வடிவத்திற்குப் பிறகு அளவுருக்களைத் தேர்ந்தெடுக்க குறைந்தபட்ச சதுர முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் y = f(x)வரையறுக்கப்பட்டது.

கோட்பாட்டுப் பரிசீலனைகளிலிருந்து அனுபவ சூத்திரம் என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பது பற்றி எந்த முடிவும் எடுக்க இயலாது என்றால், ஒருவர் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவங்களால் வழிநடத்தப்பட வேண்டும், முதன்மையாக கவனிக்கப்பட்ட தரவின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவம்.

நடைமுறையில், பெரும்பாலும் பின்வரும் வகையான செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது:

1) நேரியல் ;

2) இருபடி a .

(படம் பார்க்கவும்). ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிய இது தேவைப்படுகிறது

முழுமையான மதிப்பில் சிறிய எண், நேர்கோடு (2) தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. நேர்கோட்டின் (2) தேர்வின் துல்லியத்தின் சிறப்பியல்பு, நாம் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

S க்கான குறைந்தபட்ச நிபந்தனைகள் இருக்கும்

	(6)
	(7)

சமன்பாடுகள் (6) மற்றும் (7) பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதலாம்:

	(8)
	(9)

சமன்பாடுகளிலிருந்து (8) மற்றும் (9) சோதனை மதிப்புகளான x i மற்றும் y i ஆகியவற்றிலிருந்து a மற்றும் b ஐக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. சமன்பாடுகள் (8) மற்றும் (9) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட கோடு (2) குறைந்தபட்ச சதுர முறையால் பெறப்பட்ட கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது (இந்த பெயர் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை S குறைந்தபட்சம் என்பதை வலியுறுத்துகிறது). சமன்பாடுகள் (8) மற்றும் (9), இதில் இருந்து நேர்கோடு (2) தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அவை சாதாரண சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சாதாரண சமன்பாடுகளை தொகுப்பதற்கான எளிய மற்றும் பொதுவான வழியைக் குறிப்பிடுவது சாத்தியமாகும். சோதனைப் புள்ளிகள் (1) மற்றும் சமன்பாடு (2) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி, a மற்றும் b க்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதலாம்.

இந்த சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளை முதலில் தெரியாத a (அதாவது x 1 , x 2 , ..., x n ) இல் உள்ள குணகத்தால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கவும், இதன் விளைவாக முதல் சாதாரண சமன்பாடு (8) கிடைக்கும்.

இந்த சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை இரண்டாவது அறியப்படாத b இன் குணகத்தால் பெருக்குகிறோம், அதாவது. 1 ஆல், மற்றும் விளைவாக சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கவும், இதன் விளைவாக இரண்டாவது சாதாரண சமன்பாடு (9) கிடைக்கும்.

சாதாரண சமன்பாடுகளைப் பெறுவதற்கான இந்த முறை பொதுவானது: இது பொருத்தமானது, எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டிற்கு

ஒரு நிலையான மதிப்பு மற்றும் அது சோதனை தரவு (1) மூலம் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும்.

k க்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதலாம்:

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி (2) வரியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்:

x i =21, y i =46.3, x i 2 =91, x i y i =179.1.

நாம் சமன்பாடுகளை (8) மற்றும் (9) எழுதுகிறோம்

இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

குறைந்த சதுர முறையின் துல்லியத்தை மதிப்பிடுதல்

சமன்பாடு (2) நடக்கும் போது நேரியல் வழக்குக்கான முறையின் துல்லியத்தின் மதிப்பீட்டை வழங்குவோம்.

சோதனை மதிப்புகள் x i துல்லியமாக இருக்கட்டும், மற்றும் சோதனை மதிப்புகள் y i அனைத்து i க்கும் ஒரே மாறுபாட்டுடன் சீரற்ற பிழைகள் உள்ளன.

நாங்கள் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்

பின்னர் சமன்பாடுகள் (8) மற்றும் (9) தீர்வுகளை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்

	(17)
	(18)
எங்கே
	(19)
சமன்பாட்டிலிருந்து (17) நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்
	(20)
இதேபோல், சமன்பாட்டிலிருந்து (18) நாம் பெறுகிறோம்
	(21)
ஏனெனில்
	(22)
சமன்பாடுகள் (21) மற்றும் (22) இருந்து நாம் கண்டுபிடிக்க
	(23)

சமன்பாடுகள் (20) மற்றும் (23) சமன்பாடுகள் (8) மற்றும் (9) மூலம் தீர்மானிக்கப்படும் குணகங்களின் துல்லியத்தின் மதிப்பீட்டைக் கொடுக்கின்றன.

குணகங்கள் a மற்றும் b ஆகியவை ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை என்பதை நினைவில் கொள்க. எளிமையான மாற்றங்கள் மூலம், அவற்றின் தொடர்புத் தருணத்தை நாம் காண்கிறோம்.

இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

x=1 மற்றும் 6 இல் 0.072,

x=3.5 இல் 0.041.

இலக்கியம்

கரை. யா. பி. பகுப்பாய்வு மற்றும் தரக் கட்டுப்பாடு மற்றும் நம்பகத்தன்மையின் புள்ளிவிவர முறைகள். எம்.: Gosenergoizdat, 1962, ப. 552, பக். 92-98.

இந்த புத்தகம் மின்னணு உபகரணங்கள் மற்றும் பிற வெகுஜன தொழில்துறை பொருட்களின் (இயந்திர கட்டிடம், கருவி தயாரித்தல், பீரங்கி, முதலியன) தரம் மற்றும் நம்பகத்தன்மையை தீர்மானிப்பதில் ஈடுபட்டுள்ள பரந்த அளவிலான பொறியாளர்களுக்காக (ஆராய்ச்சி நிறுவனங்கள், வடிவமைப்பு பணியகங்கள், சோதனை தளங்கள் மற்றும் தொழிற்சாலைகள்) நோக்கமாக உள்ளது.

சோதனை முடிவுகளின் செயலாக்கம் மற்றும் மதிப்பீட்டிற்கான கணித புள்ளியியல் முறைகளின் பயன்பாட்டை புத்தகம் வழங்குகிறது, இது சோதனை செய்யப்பட்ட தயாரிப்புகளின் தரம் மற்றும் நம்பகத்தன்மையை தீர்மானிக்கிறது. வாசகர்களின் வசதிக்காக, கணித புள்ளிவிவரங்களிலிருந்து தேவையான தகவல்களும், தேவையான கணக்கீடுகளை எளிதாக்கும் ஏராளமான துணை கணித அட்டவணைகளும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

ரேடியோ எலக்ட்ரானிக்ஸ் மற்றும் பீரங்கித் தொழில்நுட்பத் துறையில் இருந்து எடுக்கப்பட்ட ஏராளமான எடுத்துக்காட்டுகளால் விளக்கக்காட்சி விளக்கப்பட்டுள்ளது.

குறைந்த சதுரங்கள் முறை மிகவும் பொதுவான ஒன்றாகும் மற்றும் அதன் காரணமாக மிகவும் வளர்ந்த ஒன்றாகும் நேரியல் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கான முறைகளின் எளிமை மற்றும் செயல்திறன். அதே நேரத்தில், அதைப் பயன்படுத்தும் போது சில எச்சரிக்கைகளைக் கவனிக்க வேண்டும், ஏனெனில் அதைப் பயன்படுத்தி கட்டப்பட்ட மாதிரிகள் அவற்றின் அளவுருக்களின் தரத்திற்கான பல தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்யாமல் போகலாம், இதன் விளைவாக, செயல்முறை வளர்ச்சியின் வடிவங்களை "நன்றாக" பிரதிபலிக்காது.

குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் பொருளாதார மாதிரியின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கான செயல்முறையை இன்னும் விரிவாகக் கருதுவோம். பொதுவான வடிவத்தில் அத்தகைய மாதிரியை சமன்பாடு (1.2) மூலம் குறிப்பிடலாம்:

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t .

a 0 , a 1 ,..., a n அளவுருக்களை மதிப்பிடும் போது ஆரம்ப தரவு சார்பு மாறியின் மதிப்புகளின் திசையன் ஆகும் ஒய்= (y 1 , y 2 , ... , y T)" மற்றும் சுயாதீன மாறிகளின் மதிப்புகளின் அணி

இதில் முதல் நெடுவரிசை, ஒன்றை உள்ளடக்கியது, மாதிரியின் குணகத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை அதன் அடிப்படைக் கொள்கையின் அடிப்படையில் அதன் பெயரைப் பெற்றது, அதன் அடிப்படையில் பெறப்பட்ட அளவுரு மதிப்பீடுகள் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்: மாதிரி பிழையின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

குறைந்த சதுர முறை மூலம் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 2.1.வர்த்தக நிறுவனம் 12 கடைகளின் நெட்வொர்க்கைக் கொண்டுள்ளது, அதன் செயல்பாடுகள் பற்றிய தகவல்கள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 2.1

வருடாந்தரத்தின் அளவு எவ்வாறு கடையின் விற்பனைப் பகுதியைப் பொறுத்தது என்பதை நிறுவனத்தின் நிர்வாகம் அறிய விரும்புகிறது.

அட்டவணை 2.1

குறைந்த சதுர தீர்வு.-வது கடையின் வருடாந்திர வருவாய், மில்லியன் ரூபிள்; -வது கடையின் விற்பனை பகுதி, ஆயிரம் மீ 2.

படம்.2.1. எடுத்துக்காட்டு 2.1க்கான சிதறல்

மாறிகள் இடையே செயல்பாட்டு உறவின் வடிவத்தை தீர்மானிக்க மற்றும் ஒரு சிதறல் கட்டமைக்க (படம். 2.1).

சிதறல் வரைபடத்தின் அடிப்படையில், வருடாந்திர விற்றுமுதல் விற்பனைப் பகுதியைச் சார்ந்தது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் (அதாவது, y இன் வளர்ச்சியுடன் அதிகரிக்கும்). செயல்பாட்டு இணைப்பின் மிகவும் பொருத்தமான வடிவம் − ஆகும் நேரியல்.

மேலும் கணக்கீடுகளுக்கான தகவல்கள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 2.2 குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் ஒரு காரணி பொருளாதார அளவீட்டு மாதிரியின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுகிறோம்

அட்டவணை 2.2

இந்த வழியில்,

எனவே, வர்த்தக பகுதியில் 1 ஆயிரம் மீ 2 அதிகரிப்புடன், மற்ற விஷயங்கள் சமமாக இருப்பதால், சராசரி ஆண்டு வருவாய் 67.8871 மில்லியன் ரூபிள் அதிகரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.2.வருடாந்திர வருவாய் கடையின் விற்பனைப் பகுதியைப் பொறுத்தது (எடுத்துக்காட்டு 2.1 ஐப் பார்க்கவும்), ஆனால் பார்வையாளர்களின் சராசரி எண்ணிக்கையையும் சார்ந்துள்ளது என்பதை நிறுவனத்தின் நிர்வாகம் கவனித்தது. தொடர்புடைய தகவல்கள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 2.3

அட்டவணை 2.3

தீர்வு.குறிப்பது - ஒரு நாளைக்கு வது கடைக்கு வருபவர்களின் சராசரி எண்ணிக்கை, ஆயிரம் பேர்.

மாறிகள் இடையே செயல்பாட்டு உறவின் வடிவத்தை தீர்மானிக்க மற்றும் ஒரு சிதறல் கட்டமைக்க (படம். 2.2).

சிதறல் வரைபடத்தின் அடிப்படையில், வருடாந்திர விற்றுமுதல் சராசரியாக ஒரு நாளைக்கு பார்வையாளர்களின் எண்ணிக்கையுடன் தொடர்புடையது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் (அதாவது, y இன் வளர்ச்சியுடன் அதிகரிக்கும்). செயல்பாட்டு சார்பு வடிவம் நேரியல் ஆகும்.

அரிசி. 2.2 உதாரணமாக 2.2

அட்டவணை 2.4

பொதுவாக, இரண்டு காரணி பொருளாதார மாதிரியின் அளவுருக்களை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்

y t \u003d a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு தேவையான தகவல்கள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 2.4

லீனியர் டூ ஃபேக்டர் எகனோமெட்ரிக் மாதிரியின் அளவுருக்களை குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடுவோம்.

இந்த வழியில்,

குணகம் = 61.6583 இன் மதிப்பீடு, மற்ற விஷயங்கள் சமமாக இருப்பதால், வர்த்தகப் பகுதியில் 1 ஆயிரம் மீ 2 அதிகரிப்புடன், ஆண்டு வருவாய் சராசரியாக 61.6583 மில்லியன் ரூபிள் அதிகரிக்கும்.

• அறிமுக பாடம் இலவசம்;
• அதிக எண்ணிக்கையிலான அனுபவம் வாய்ந்த ஆசிரியர்கள் (சொந்த மற்றும் ரஷ்ய மொழி பேசும்);
• பாடநெறிகள் ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு (மாதம், ஆறு மாதங்கள், ஆண்டு) அல்ல, ஆனால் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான பாடங்களுக்கு (5, 10, 20, 50);
• 10,000 க்கும் மேற்பட்ட திருப்தியான வாடிக்கையாளர்கள்.
• ரஷ்ய மொழி பேசும் ஆசிரியருடன் ஒரு பாடத்தின் விலை - 600 ரூபிள் இருந்து, ஒரு தாய்மொழியுடன் - 1500 ரூபிள் இருந்து

குறைந்த சதுர முறையின் சாராம்சம் நேரம் அல்லது இடத்தில் சில சீரற்ற நிகழ்வுகளின் வளர்ச்சிப் போக்கை சிறப்பாக விவரிக்கும் போக்கு மாதிரியின் அளவுருக்களைக் கண்டறிவதில் (ஒரு போக்கு என்பது இந்த வளர்ச்சியின் போக்கை வகைப்படுத்தும் ஒரு வரி). குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையின் (OLS) பணியானது சில போக்கு மாதிரியை மட்டும் கண்டுபிடிப்பது அல்ல, ஆனால் சிறந்த அல்லது உகந்த மாதிரியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். கவனிக்கப்பட்ட உண்மையான மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய கணக்கிடப்பட்ட போக்கு மதிப்புகள் ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள ஸ்கொயர் விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை குறைவாக இருந்தால் இந்த மாதிரி உகந்ததாக இருக்கும் (சிறியது):

கவனிக்கப்பட்ட உண்மையான மதிப்புக்கு இடையே உள்ள நிலையான விலகல் எங்கே

மற்றும் தொடர்புடைய கணக்கிடப்பட்ட போக்கு மதிப்பு,

ஆய்வின் கீழ் நிகழ்வின் உண்மையான (கவனிக்கப்பட்ட) மதிப்பு,

போக்கு மாதிரியின் மதிப்பிடப்பட்ட மதிப்பு,

ஆய்வின் கீழ் நிகழ்வின் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

MNC சொந்தமாக அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு விதியாக, பெரும்பாலும் இது தொடர்பு ஆய்வுகளில் தேவையான நுட்பமாக மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது. LSM இன் தகவல் அடிப்படையானது நம்பகமான புள்ளிவிவரத் தொடராக மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், மேலும் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை 4 க்கும் குறைவாக இருக்கக்கூடாது, இல்லையெனில், LSM இன் மென்மையான நடைமுறைகள் அவற்றின் பொது அறிவை இழக்கக்கூடும்.

OLS கருவித்தொகுப்பு பின்வரும் நடைமுறைகளுக்கு குறைக்கப்பட்டது:

முதல் நடைமுறை. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட காரணி-வாதம் மாறும்போது விளைவான பண்புக்கூறை மாற்றுவதற்கான ஏதேனும் போக்கு உள்ளதா அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், "" இடையே தொடர்பு உள்ளதா என்பதை இது மாறிவிடும். மணிக்கு "மற்றும்" எக்ஸ் ».

இரண்டாவது நடைமுறை. இந்தப் போக்கை விவரிக்க அல்லது வகைப்படுத்த எந்தக் கோடு (பாதை) சிறந்தது என்பது தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

மூன்றாவது நடைமுறை.

உதாரணமாக. ஆய்வின் கீழ் உள்ள பண்ணையின் சராசரி சூரியகாந்தி விளைச்சல் பற்றிய தகவல் எங்களிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (அட்டவணை 9.1).

அட்டவணை 9.1

கடந்த 10 ஆண்டுகளில் நம் நாட்டில் சூரியகாந்தி உற்பத்தியில் தொழில்நுட்பத்தின் நிலை பெரிதாக மாறவில்லை என்பதால், பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட காலத்தில் விளைச்சலில் ஏற்படும் ஏற்ற இறக்கங்கள் வானிலை மற்றும் காலநிலை நிலைகளின் ஏற்ற இறக்கங்களைப் பொறுத்தது. இது உண்மையா?

முதல் MNC நடைமுறை. பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட 10 ஆண்டுகளில் வானிலை மற்றும் காலநிலை நிலைகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களைப் பொறுத்து சூரியகாந்தி விளைச்சலில் ஏற்படும் மாற்றத்தில் ஒரு போக்கு இருப்பதைப் பற்றிய கருதுகோள் சோதிக்கப்படுகிறது.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், " ஒய் » சூரியகாந்தி விளைச்சலை எடுத்துக்கொள்வது நல்லது, மேலும் « எக்ஸ் » என்பது பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட காலத்தில் கவனிக்கப்பட்ட ஆண்டின் எண்ணிக்கை. இடையே எந்த உறவின் இருப்பு பற்றிய கருதுகோளை சோதித்தல் " எக்ஸ் "மற்றும்" ஒய் » இரண்டு வழிகளில் செய்ய முடியும்: கைமுறையாக மற்றும் கணினி நிரல்களின் உதவியுடன். நிச்சயமாக, கணினி தொழில்நுட்பம் கிடைப்பதன் மூலம், இந்த சிக்கல் தானாகவே தீர்க்கப்படுகிறது. ஆனால், OLS கருவித்தொகுப்பை நன்றாகப் புரிந்துகொள்வதற்கு, இடையே ஒரு உறவின் இருப்பைப் பற்றிய கருதுகோளைச் சோதிப்பது நல்லது. எக்ஸ் "மற்றும்" ஒய் » கைமுறையாக, ஒரு பேனா மற்றும் ஒரு சாதாரண கால்குலேட்டர் மட்டுமே கையில் இருக்கும்போது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு போக்கின் இருப்பு பற்றிய கருதுகோள் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட நேரத் தொடரின் கிராஃபிக் படத்தின் இருப்பிடத்தால் பார்வைக்கு சிறப்பாகச் சரிபார்க்கப்படுகிறது - தொடர்பு புலம்:

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் உள்ள தொடர்பு புலம் மெதுவாக உயரும் கோட்டைச் சுற்றி அமைந்துள்ளது. இதுவே சூரியகாந்தி விளைச்சலில் ஒரு குறிப்பிட்ட போக்கு இருப்பதைக் குறிக்கிறது. தொடர்பு புலம் ஒரு வட்டம், ஒரு வட்டம், கண்டிப்பாக செங்குத்து அல்லது கண்டிப்பாக கிடைமட்ட மேகம் அல்லது தோராயமாக சிதறிய புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும் போது மட்டுமே எந்தப் போக்கும் இருப்பதைப் பற்றி பேச முடியாது. மற்ற எல்லா நிகழ்வுகளிலும், இடையே ஒரு உறவின் இருப்பின் கருதுகோள் " எக்ஸ் "மற்றும்" ஒய் மற்றும் ஆராய்ச்சி தொடரவும்.

இரண்டாவது MNC நடைமுறை. பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட காலத்திற்கான சூரியகாந்தி மகசூல் மாற்றங்களின் போக்கை விவரிக்க அல்லது வகைப்படுத்த எந்தக் கோடு (பாதை) சிறந்தது என்று தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

கணினி தொழில்நுட்பம் கிடைப்பதால், உகந்த போக்கின் தேர்வு தானாகவே நிகழ்கிறது. "கையேடு" செயலாக்கத்துடன், உகந்த செயல்பாட்டின் தேர்வு, ஒரு விதியாக, ஒரு காட்சி வழியில் - தொடர்பு புலத்தின் இருப்பிடத்தால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. அதாவது, விளக்கப்படத்தின் வகையின்படி, கோட்டின் சமன்பாடு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இது அனுபவப் போக்குக்கு (உண்மையான பாதைக்கு) மிகவும் பொருத்தமானது.

உங்களுக்குத் தெரியும், இயற்கையில் பலவிதமான செயல்பாட்டு சார்புகள் உள்ளன, எனவே அவற்றில் ஒரு சிறிய பகுதியைக் கூட பார்வைக்கு பகுப்பாய்வு செய்வது மிகவும் கடினம். அதிர்ஷ்டவசமாக, உண்மையான பொருளாதார நடைமுறையில், பெரும்பாலான உறவுகளை ஒரு பரவளையம், அல்லது ஒரு ஹைபர்போலா அல்லது ஒரு நேர் கோடு மூலம் துல்லியமாக விவரிக்க முடியும். இது சம்பந்தமாக, சிறந்த செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான "கையேடு" விருப்பத்துடன், இந்த மூன்று மாடல்களுக்கு மட்டுமே உங்களை கட்டுப்படுத்த முடியும்.

இரண்டாவது வரிசையின் பரபோலா: :

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட 10 ஆண்டுகளில் சூரியகாந்தி மகசூல் மாற்றங்களின் போக்கு ஒரு நேர் கோட்டால் சிறப்பாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது, எனவே பின்னடைவு சமன்பாடு ஒரு நேர் கோடு சமன்பாடாக இருக்கும்.

மூன்றாவது நடைமுறை. இந்த வரியை வகைப்படுத்தும் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், சிறந்த போக்கு மாதிரியை விவரிக்கும் ஒரு பகுப்பாய்வு சூத்திரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறிதல், எங்கள் விஷயத்தில், அளவுருக்கள் மற்றும் , LSM இன் மையமாகும். இந்த செயல்முறை சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

(9.2)

இந்த சமன்பாடு அமைப்பு காஸ் முறையால் மிக எளிதாக தீர்க்கப்படுகிறது. தீர்வின் விளைவாக, எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், அளவுருக்களின் மதிப்புகள் மற்றும் காணப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. எனவே, கண்டறியப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்:

அதன் அளவுருக்களின் தெளிவான பொருளாதார விளக்கத்தின் வடிவத்தில் இது பொருளாதாரத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வடிவத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கு நேரியல் பின்னடைவு குறைக்கப்படுகிறது

அல்லது

வகை சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட அளவுரு மதிப்புகளை அனுமதிக்கிறது எக்ஸ்பயனுள்ள அம்சத்தின் கோட்பாட்டு மதிப்புகளைக் கொண்டிருங்கள், காரணியின் உண்மையான மதிப்புகளை அதில் மாற்றுகிறது எக்ஸ்.

ஒரு நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்குவது அதன் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு கீழே வருகிறது - அமற்றும் உள்ளேநேரியல் பின்னடைவு அளவுரு மதிப்பீடுகளை வெவ்வேறு முறைகள் மூலம் கண்டறியலாம்.

நேரியல் பின்னடைவு அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கான கிளாசிக்கல் அணுகுமுறை அடிப்படையிலானது குறைந்தபட்ச சதுரங்கள்(எம்என்கே).

அத்தகைய அளவுரு மதிப்பீடுகளைப் பெற LSM அனுமதிக்கிறது அமற்றும் உள்ளே,இதன் கீழ் விளைந்த பண்பின் உண்மையான மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை (y)கணக்கிடப்பட்டதிலிருந்து (கோட்பாட்டு) குறைந்தபட்சம்:

ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சத்தைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு அளவுருக்களையும் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவது அவசியம். அமற்றும் பிமற்றும் அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்யவும்.

S ஆல் குறிக்கவும், பின்னர்:

சூத்திரத்தை மாற்றுவதன் மூலம், அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு பின்வரும் சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் அமற்றும் உள்ளே:

சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பை (3.5) தீர்க்கும் முறை மாறிகள் அல்லது நிர்ணயம் செய்யும் முறை மூலம், நாம் விரும்பிய அளவுரு மதிப்பீடுகளைக் காண்கிறோம். அமற்றும் உள்ளே

அளவுரு உள்ளேபின்னடைவு குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் மதிப்பு ஒரு யூனிட் மூலம் காரணி மாற்றத்துடன் முடிவின் சராசரி மாற்றத்தைக் காட்டுகிறது.

பின்னடைவு சமன்பாடு எப்போதும் உறவின் இறுக்கத்தின் குறிகாட்டியுடன் கூடுதலாக இருக்கும். நேரியல் பின்னடைவைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​நேரியல் தொடர்பு குணகம் அத்தகைய குறிகாட்டியாக செயல்படுகிறது. நேரியல் தொடர்பு குணகம் சூத்திரத்தில் பல்வேறு மாற்றங்கள் உள்ளன. அவற்றில் சில கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன:

உங்களுக்குத் தெரியும், நேரியல் தொடர்பு குணகம் வரம்புகளுக்குள் உள்ளது: -1 ≤ ≤ 1.

நேரியல் செயல்பாட்டின் தேர்வின் தரத்தை மதிப்பிட, சதுரம் கணக்கிடப்படுகிறது

ஒரு நேரியல் தொடர்பு குணகம் அழைக்கப்படுகிறது தீர்மான குணகம் .உறுதிப்பாட்டின் குணகம் பயனுள்ள அம்சத்தின் மாறுபாட்டின் விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது ஒய்,விளைந்த பண்பின் மொத்த மாறுபாட்டில், பின்னடைவு மூலம் விளக்கப்பட்டது:

அதன்படி, மதிப்பு 1 - சிதறலின் விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது ஒய்,மாதிரியில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படாத பிற காரணிகளின் செல்வாக்கால் ஏற்படுகிறது.

சுய கட்டுப்பாட்டிற்கான கேள்விகள்

1. குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறையின் சாராம்சம்?

2. ஜோடிவரிசை பின்னடைவை எத்தனை மாறிகள் வழங்குகின்றன?

3. மாற்றங்களுக்கு இடையிலான இணைப்பின் இறுக்கத்தை என்ன குணகம் தீர்மானிக்கிறது?

4. எந்த வரம்புகளுக்குள் தீர்மானிக்கும் குணகம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது?

5. தொடர்பு-பின்னடைவு பகுப்பாய்வில் அளவுரு b இன் மதிப்பீடு?

1. கிறிஸ்டோபர் டகெர்டி. பொருளாதாரவியல் அறிமுகம். - எம்.: இன்ஃப்ரா - எம், 2001 - 402 பக்.

2. எஸ்.ஏ. போரோடிச். பொருளாதார அளவியல். மின்ஸ்க் எல்எல்சி "புதிய அறிவு" 2001.

3. ஆர்.யு. ரக்மெடோவா பொருளாதார அளவீட்டில் குறுகிய படிப்பு. பயிற்சி. அல்மாட்டி. 2004. -78கள்.

4. ஐ.ஐ. எலிசீவா. பொருளாதார அளவியல். - எம்.: "நிதி மற்றும் புள்ளியியல்", 2002

5. மாதாந்திர தகவல் மற்றும் பகுப்பாய்வு இதழ்.

நேரியல் அல்லாத பொருளாதார மாதிரிகள். நேரியல் அல்லாத பின்னடைவு மாதிரிகள். மாறிகளை மாற்றுதல்.

நேரியல் அல்லாத பொருளாதார மாதிரிகள்..

மாறிகளை மாற்றுதல்.

நெகிழ்ச்சி குணகம்.

பொருளாதார நிகழ்வுகளுக்கு இடையே நேரியல் அல்லாத உறவுகள் இருந்தால், அவை தொடர்புடைய நேரியல் அல்லாத செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன: எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சமபக்க ஹைபர்போலா , இரண்டாம் பட்டத்தின் பரவளையங்கள், முதலியன.

நேரியல் அல்லாத பின்னடைவுகளில் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

1. பகுப்பாய்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள விளக்க மாறிகள் தொடர்பாக நேரியல் அல்லாத பின்னடைவுகள், ஆனால் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருக்கள் தொடர்பாக நேரியல், எடுத்துக்காட்டாக:

பல்வேறு பட்டங்களின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் - , ;

சமபக்க ஹைப்பர்போல் - ;

செமிலோகரிதமிக் செயல்பாடு - .

2. மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருக்களில் நேரியல் அல்லாத பின்னடைவுகள், எடுத்துக்காட்டாக:

சக்தி - ;

ஆர்ப்பாட்டம் -;

அதிவேக - .

விளைந்த பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் மொத்தத் தொகை மணிக்குசராசரி மதிப்பு பல காரணிகளின் செல்வாக்கால் ஏற்படுகிறது. முழு காரணங்களையும் நிபந்தனையுடன் இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிக்கிறோம்: ஆய்வு காரணி xமற்றும் மற்ற காரணிகள்.

காரணி முடிவை பாதிக்கவில்லை என்றால், வரைபடத்தில் உள்ள பின்னடைவு கோடு அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் ஓமற்றும்

இதன் விளைவாக வரும் பண்புக்கூறின் முழு சிதறலும் பிற காரணிகளின் செல்வாக்கின் காரணமாகும் மற்றும் சதுர விலகல்களின் மொத்தத் தொகையானது எஞ்சியவற்றுடன் ஒத்துப்போகும். பிற காரணிகள் முடிவை பாதிக்கவில்லை என்றால், பிறகு நீ கட்டிவிட்டாய்உடன் எக்ஸ்செயல்பாட்டு ரீதியாக, மற்றும் சதுரங்களின் எஞ்சிய தொகை பூஜ்ஜியமாகும். இந்த வழக்கில், பின்னடைவால் விளக்கப்படும் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையானது சதுரங்களின் மொத்தத் தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

தொடர்பு புலத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் பின்னடைவுக் கோட்டில் இல்லை என்பதால், அவற்றின் சிதறல் எப்போதும் காரணியின் செல்வாக்கின் காரணமாக நடைபெறுகிறது. எக்ஸ், அதாவது பின்னடைவு மணிக்குஅன்று எக்ஸ்,மற்றும் பிற காரணங்களின் செயலால் ஏற்படுகிறது (விவரிக்கப்படாத மாறுபாடு). முன்னறிவிப்புக்கான பின்னடைவுக் கோட்டின் பொருத்தம், பண்பின் மொத்த மாறுபாட்டின் எந்தப் பகுதியைப் பொறுத்தது மணிக்குவிளக்கப்பட்ட மாறுபாட்டிற்கான கணக்குகள்

வெளிப்படையாக, பின்னடைவு காரணமாக வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை சதுரங்களின் எஞ்சிய தொகையை விட அதிகமாக இருந்தால், பின்னடைவு சமன்பாடு புள்ளியியல் ரீதியாக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது மற்றும் காரணியாகும் எக்ஸ்முடிவில் குறிப்பிடத்தக்க தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகிறது. ஒய்.

, அதாவது அம்சத்தின் சுயாதீன மாறுபாட்டின் சுதந்திரத்தின் எண்ணிக்கையுடன். சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை மக்கள்தொகையின் அலகுகளின் எண்ணிக்கை n மற்றும் அதிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படும் மாறிலிகளின் எண்ணிக்கையுடன் தொடர்புடையது. ஆய்வின் கீழ் உள்ள சிக்கல் தொடர்பாக, சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை எத்தனை சுயாதீன விலகல்களைக் காட்ட வேண்டும் பி

ஒட்டுமொத்த பின்னடைவு சமன்பாட்டின் முக்கியத்துவத்தின் மதிப்பீடு இதன் உதவியுடன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எஃப்- மீனவரின் அளவுகோல். இந்த வழக்கில், பின்னடைவு குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று ஒரு பூஜ்ய கருதுகோள் முன்வைக்கப்படுகிறது, அதாவது. b= 0, எனவே காரணி எக்ஸ்முடிவை பாதிக்காது ஒய்.

எஃப்-அளவுகோலின் நேரடிக் கணக்கீடு மாறுபாட்டின் பகுப்பாய்விற்கு முன்னதாக உள்ளது. அதன் மையமானது மாறியின் வர்க்க விலகல்களின் மொத்தத் தொகையின் விரிவாக்கம் ஆகும் மணிக்குசராசரி மதிப்பிலிருந்து மணிக்குஇரண்டு பகுதிகளாக - "விளக்கப்பட்டது" மற்றும் "விவரிக்கப்படாதது":

வர்க்க விலகல்களின் மொத்தத் தொகை;

பின்னடைவு மூலம் விளக்கப்பட்ட விலகலின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை;

வர்க்க விலகலின் எஞ்சிய தொகை.

சதுர விலகல்களின் எந்தத் தொகையும் சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கையுடன் தொடர்புடையது , அதாவது அம்சத்தின் சுயாதீன மாறுபாட்டின் சுதந்திரத்தின் எண்ணிக்கையுடன். சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை மக்கள்தொகை அலகுகளின் எண்ணிக்கையுடன் தொடர்புடையது nமற்றும் அதிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படும் மாறிலிகளின் எண்ணிக்கையுடன். ஆய்வின் கீழ் உள்ள சிக்கல் தொடர்பாக, சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை எத்தனை சுயாதீன விலகல்களைக் காட்ட வேண்டும் பிகொடுக்கப்பட்ட சதுரங்களின் தொகையை உருவாக்குவதற்கு சாத்தியம் தேவை.

சுதந்திரத்தின் அளவிற்கு சிதறல்டி.

F-விகிதங்கள் (F-அளவுகோல்):

பூஜ்ய கருதுகோள் உண்மையாக இருந்தால், பின்னர் காரணி மற்றும் எஞ்சிய மாறுபாடுகள் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுவதில்லை. H 0 க்கு, ஒரு மறுப்பு அவசியம், இதனால் காரணி மாறுபாடு எஞ்சியதை விட பல மடங்கு அதிகமாகும். ஆங்கிலப் புள்ளியியல் நிபுணர் ஸ்னெடகோர் முக்கியமான மதிப்புகளின் அட்டவணையை உருவாக்கினார் எஃப்பூஜ்ய கருதுகோளின் முக்கியத்துவத்தின் வெவ்வேறு நிலைகளில் உள்ள உறவுகள் மற்றும் வேறுபட்ட எண்ணிக்கையிலான சுதந்திரம். அட்டவணை மதிப்பு எஃப்-அளவுகோல் என்பது ஒரு பூஜ்ய கருதுகோளின் இருப்புக்கான நிகழ்தகவுக்கான கொடுக்கப்பட்ட நிலைக்கு தோராயமாக வேறுபட்டால் ஏற்படக்கூடிய மாறுபாடுகளின் விகிதத்தின் அதிகபட்ச மதிப்பாகும். கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு எஃப்அட்டவணையை விட o அதிகமாக இருந்தால் உறவு நம்பகமானதாக அங்கீகரிக்கப்படும்.

இந்த வழக்கில், அம்சங்களின் உறவு இல்லாதது பற்றிய பூஜ்ய கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படுகிறது மற்றும் இந்த உறவின் முக்கியத்துவத்தைப் பற்றி ஒரு முடிவு எடுக்கப்படுகிறது: F உண்மை > F அட்டவணை H 0 நிராகரிக்கப்பட்டது.

மதிப்பு அட்டவணையை விட குறைவாக இருந்தால் F உண்மை ‹, F அட்டவணை, பின்னர் பூஜ்ய கருதுகோளின் நிகழ்தகவு கொடுக்கப்பட்ட அளவை விட அதிகமாக உள்ளது மற்றும் ஒரு உறவின் இருப்பைப் பற்றி தவறான முடிவை எடுக்கும் தீவிர ஆபத்து இல்லாமல் அதை நிராகரிக்க முடியாது. இந்த வழக்கில், பின்னடைவு சமன்பாடு புள்ளிவிவர ரீதியாக முக்கியமற்றதாகக் கருதப்படுகிறது. N o விலகாது.

பின்னடைவு குணகத்தின் நிலையான பிழை

பின்னடைவு குணகத்தின் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, அதன் மதிப்பு அதன் நிலையான பிழையுடன் ஒப்பிடப்படுகிறது, அதாவது, உண்மையான மதிப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது. டி-மாணவர் சோதனை: இது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான முக்கியத்துவம் மற்றும் சுதந்திரத்தின் அளவுகளில் அட்டவணை மதிப்புடன் ஒப்பிடப்படுகிறது ( n- 2).

அளவுரு நிலையான பிழை அ:

நேரியல் தொடர்பு குணகத்தின் முக்கியத்துவம் பிழையின் அளவின் அடிப்படையில் சரிபார்க்கப்படுகிறது தொடர்பு குணகம் ஆர்:

ஒரு அம்சத்தின் மொத்த மாறுபாடு எக்ஸ்:

பல நேரியல் பின்னடைவு

மாதிரி கட்டிடம்

பல பின்னடைவுஇரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளைக் கொண்ட பயனுள்ள அம்சத்தின் பின்னடைவு, அதாவது படிவத்தின் மாதிரி

ஆய்வுப் பொருளைப் பாதிக்கும் பிற காரணிகளின் செல்வாக்கு புறக்கணிக்கப்படுமானால், பின்னடைவு மாடலிங்கில் நல்ல பலனைத் தரும். தனிப்பட்ட பொருளாதார மாறிகளின் நடத்தையை கட்டுப்படுத்த முடியாது, அதாவது, ஆய்வின் கீழ் ஒரு காரணியின் செல்வாக்கை மதிப்பிடுவதற்கு மற்ற அனைத்து நிபந்தனைகளின் சமத்துவத்தை உறுதிப்படுத்த முடியாது. இந்த வழக்கில், மாதிரியில் அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் பிற காரணிகளின் செல்வாக்கை அடையாளம் காண முயற்சிக்க வேண்டும், அதாவது பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .

பல பின்னடைவின் முக்கிய குறிக்கோள், ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான காரணிகளைக் கொண்ட ஒரு மாதிரியை உருவாக்குவதாகும், அதே நேரத்தில் அவை ஒவ்வொன்றின் செல்வாக்கையும் தனித்தனியாக தீர்மானிக்கிறது, அதே போல் மாதிரி காட்டி மீது அவற்றின் ஒட்டுமொத்த தாக்கத்தையும் தீர்மானிக்கிறது. மாதிரியின் விவரக்குறிப்பு கேள்விகளின் இரண்டு பகுதிகளை உள்ளடக்கியது: காரணிகளின் தேர்வு மற்றும் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் வகை தேர்வு