முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர். முக்கோணவியல் தொடர். ஃபோரியர் தொடர். வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு முறையின் பயன்பாடு

பல சந்தர்ப்பங்களில், படிவத்தின் (C) தொடர்களின் குணகங்களை ஆராய்வதன் மூலம் அல்லது இந்தத் தொடர்கள் ஒன்றிணைகின்றன (ஒருவேளை தனிப்பட்ட புள்ளிகளைத் தவிர) மற்றும் அவற்றின் தொகைகளுக்கு ஃபோரியர் தொடர்கள் (எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய n° ஐப் பார்க்கவும்) ), ஆனால் இந்த எல்லா நிகழ்வுகளிலும், கேள்வி இயற்கையாகவே எழுகிறது

இந்தத் தொடர்களின் கூட்டுத்தொகையை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, அடிப்படைச் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் இறுதி வடிவத்தில் அவற்றை வெளிப்படுத்துவது எப்படி, அவை அத்தகைய வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்பட்டால். ஆய்லர் (மற்றும் லாக்ரேஞ்ச்) கூட ஒரு சிக்கலான மாறியின் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளை வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் தொடர்களை இறுதி வடிவத்தில் தொகுத்தார். ஆய்லர் முறையின் பின்னணியில் உள்ள யோசனை பின்வருமாறு.

ஒரு குறிப்பிட்ட குணகங்களின் தொகுப்பிற்கு, தொடர் (C) மற்றும் தனிப்பட்ட புள்ளிகளை மட்டும் தவிர்த்து, இடைவெளியில் எல்லா இடங்களிலும் செயல்பாடுகளுடன் ஒன்றிணைகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு சிக்கலான மாறியின் சக்திகளில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அதே குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு சக்தித் தொடரை இப்போது கவனியுங்கள்

அலகு வட்டத்தின் சுற்றளவில், அதாவது மணிக்கு, இந்தத் தொடர் அனுமானத்தின் மூலம் ஒன்றிணைகிறது, தனிப்பட்ட புள்ளிகளைத் தவிர்த்து:

இந்த வழக்கில், சக்தித் தொடரின் நன்கு அறியப்பட்ட பண்புகளின்படி, தொடர் (5) நிச்சயமாக ஒரு சிக்கலான மாறியின் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது, அதாவது அலகு வட்டத்தின் உள்ளே. நமக்குத் தெரிந்த பயன்படுத்தி [பார்க்க. § 5 அத்தியாயம் XII] ஒரு சிக்கலான மாறியின் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம், அவற்றுக்கான செயல்பாட்டைக் குறைப்பது பெரும்பாலும் சாத்தியமாகும்.

மற்றும் ஏபெல் தேற்றத்தால், தொடர் (6) இணைந்தவுடன், அதன் கூட்டுத்தொகை வரம்பாகப் பெறப்படும்

வழக்கமாக இந்த வரம்பு சமமாக இருக்கும், இது இறுதி வடிவத்தில் செயல்பாட்டைக் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது

உதாரணமாக, தொடரை விடுங்கள்

முந்தைய பத்தியில் நிரூபிக்கப்பட்ட அறிக்கைகள் இந்த இரண்டு தொடர்களும் ஒன்றிணைகின்றன என்ற முடிவுக்கு இட்டுச் சென்றது (முதல் ஒன்று, புள்ளிகள் 0 மற்றும்

அவர்கள் வரையறுக்கும் செயல்பாடுகளுக்கு ஃபோரியர் தொடராக சேவை செய்கிறது.ஆனால் இந்த செயல்பாடுகள் என்ன? இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, நாங்கள் ஒரு தொடரை உருவாக்குகிறோம்

மடக்கைத் தொடரின் ஒற்றுமையால், அதன் கூட்டுத்தொகை எளிதாக நிறுவப்படுகிறது:

இதன் விளைவாக,

இப்போது ஒரு எளிய கணக்கீடு கொடுக்கிறது:

எனவே இந்த வெளிப்பாட்டின் மாடுலஸ் , மற்றும் வாதம் .

இதனால் இறுதியில்

இந்த முடிவுகள் நமக்கு நன்கு தெரிந்தவை மற்றும் ஒருமுறை கூட "சிக்கலான" பரிசீலனைகளின் உதவியுடன் பெறப்பட்டன; ஆனால் முதல் வழக்கில், செயல்பாடுகளிலிருந்தும், இரண்டாவது - பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டிலிருந்தும் தொடங்கினோம், இங்கே, முதல் முறையாக, தொடர் ஒரு தொடக்க புள்ளியாக செயல்பட்டது. வாசகர்கள் அடுத்த பகுதியில் இதுபோன்ற கூடுதல் உதாரணங்களைக் காணலாம்.

ஒன்றிணைதல் மற்றும் தொடர் (C) மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் தொகைகளை நிர்ணயிக்கும் உரிமையைப் பெறுவதற்கு ஒருவர் முன்கூட்டியே உறுதியாக இருக்க வேண்டும் என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை வலியுறுத்துகிறோம். இந்த சமத்துவத்தின் வலது புறத்தில் ஒரு வரம்பு இருப்பதால், குறிப்பிடப்பட்ட தொடர் ஒன்றிணைகிறது என்ற முடிவுக்கு இன்னும் நம்மை அனுமதிக்கவில்லை. இதை ஒரு உதாரணத்துடன் காட்ட, தொடரைக் கவனியுங்கள்

நிலையான முறைகள், ஆனால் மற்றொரு உதாரணத்துடன் முட்டுச்சந்தை அடைந்தது.

என்ன கஷ்டம், எங்கே ஒரு பிடிப்பு இருக்கும்? சோப்பு கயிற்றை ஒதுக்கி வைப்போம், காரணங்களை நிதானமாக ஆராய்ந்து தீர்வுக்கான நடைமுறை முறைகளைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம்.

முதல் மற்றும் மிக முக்கியமானது: பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், தொடரின் ஒருங்கிணைப்பைப் படிக்க, சில பழக்கமான முறையைப் பயன்படுத்துவது அவசியம், ஆனால் தொடரின் பொதுவான சொல் மிகவும் தந்திரமான திணிப்பால் நிரப்பப்பட்டுள்ளது, அதை என்ன செய்வது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. . நீங்கள் வட்டங்களில் சுற்றிச் செல்கிறீர்கள்: முதல் அடையாளம் வேலை செய்யாது, இரண்டாவது வேலை செய்யாது, மூன்றாவது, நான்காவது, ஐந்தாவது முறை வேலை செய்யாது, பின்னர் வரைவுகள் ஒதுக்கி எறியப்பட்டு எல்லாம் புதிதாகத் தொடங்கும். இது பொதுவாக அனுபவமின்மை அல்லது கால்குலஸின் பிற பிரிவுகளில் உள்ள இடைவெளிகளால் ஏற்படுகிறது. குறிப்பாக, ஓடினால் வரிசை வரம்புகள்மற்றும் மேலோட்டமாக பிரிக்கப்பட்டது செயல்பாடு வரம்புகள், பின்னர் அது கடினமாக இருக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அறிவு அல்லது அனுபவமின்மை காரணமாக ஒரு நபர் தேவையான தீர்வைக் காணவில்லை.

சில நேரங்களில் “கிரகணம்” கூட குற்றம் சாட்டுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கு தேவையான அளவுகோல் வெறுமனே பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, ஆனால் அறியாமை, கவனமின்மை அல்லது அலட்சியம் காரணமாக, இது பார்வைக்கு வெளியே விழுகிறது. மேலும், அந்த பைக்கில், கணிதப் பேராசிரியர் குழந்தைகளின் பிரச்சனையை காட்டு மறுநிகழ்வு வரிசைகள் மற்றும் எண் வரிசைகளின் உதவியுடன் தீர்த்தார் =)

சிறந்த மரபுகளில், உடனடியாக வாழும் உதாரணங்கள்: வரிசைகள் மற்றும் அவர்களது உறவினர்கள் - கோட்பாட்டில் அது நிரூபிக்கப்பட்டதால், வேறுபடுகிறார்கள் வரிசை வரம்புகள். பெரும்பாலும், முதல் செமஸ்டரில், 1-2-3 பக்கங்களின் ஆதாரத்திற்காக நீங்கள் உங்கள் ஆன்மாவிலிருந்து அடிக்கப்படுவீர்கள், ஆனால் இப்போது தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்குத் தேவையான நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை என்பதைக் காட்ட போதுமானது. தெரிந்த உண்மைகளுக்கு. பிரபலமா? n வது பட்டத்தின் வேர் மிகவும் சக்திவாய்ந்த விஷயம் என்று மாணவருக்குத் தெரியாவிட்டால், தொடராகச் சொல்லுங்கள் அவரை ஒரு குழப்பத்தில் தள்ளியது. தீர்வு இரண்டு மற்றும் இரண்டு போன்றது என்றாலும்: , அதாவது. வெளிப்படையான காரணங்களுக்காக, இரண்டு தொடர்களும் வேறுபடுகின்றன. "இந்த வரம்புகள் கோட்பாட்டில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன" (அல்லது அதன் இல்லாமை கூட) ஈடுசெய்ய போதுமானது, எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, கணக்கீடுகள் மிகவும் கனமானவை மற்றும் அவை நிச்சயமாக எண் தொடர்களின் பிரிவைச் சேர்ந்தவை அல்ல.

அடுத்த எடுத்துக்காட்டுகளைப் படித்த பிறகு, பல தீர்வுகளின் சுருக்கம் மற்றும் வெளிப்படைத்தன்மையைக் கண்டு நீங்கள் ஆச்சரியப்படுவீர்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

தீர்வு: முதலில், செயல்படுத்தலைச் சரிபார்க்கவும் ஒன்றிணைவதற்கு தேவையான அளவுகோல். இது ஒரு சம்பிரதாயம் அல்ல, ஆனால் "சிறிய இரத்தக்களரி" உதாரணத்தை சமாளிக்க ஒரு சிறந்த வாய்ப்பு.

"காட்சியின் ஆய்வு" ஒரு மாறுபட்ட தொடரை பரிந்துரைக்கிறது (பொதுவாக்கப்பட்ட ஹார்மோனிக் தொடரின் வழக்கு), ஆனால் மீண்டும் கேள்வி எழுகிறது, எண்ணிக்கையில் உள்ள மடக்கையை எவ்வாறு கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது?

பாடத்தின் முடிவில் பணிகளின் தோராயமான எடுத்துக்காட்டுகள்.

நீங்கள் இரு வழி (அல்லது மூன்று வழி) பகுத்தறிவை மேற்கொள்ள வேண்டியிருக்கும் போது இது அசாதாரணமானது அல்ல:

எடுத்துக்காட்டு 6

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

தீர்வு: முதலாவதாக, எண்ணிக்கையின் முட்டாள்தனத்தை கவனமாகக் கையாளவும். வரிசை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது: . பிறகு:

தொடருடன் நமது தொடரை ஒப்பிட்டுப் பார்ப்போம். இப்போது பெறப்பட்ட இரட்டை சமத்துவமின்மையின் காரணமாக, அனைத்து "en" க்கும் இது உண்மையாக இருக்கும்:

இப்போது தொடரை மாறுபட்ட ஹார்மோனிக் தொடருடன் ஒப்பிடுவோம்.

பின்னம் வகுத்தல் குறைவாகபின்னத்தின் வகுத்தல், அதனால் பின்னம் தன்னை – மேலும்பின்னங்கள் (தெளிவாக இல்லாவிட்டால், முதல் சில சொற்களை எழுதவும்). எனவே, எந்த "en"க்கும்:

எனவே, ஒப்பிடுகையில், தொடர் வேறுபடுகிறதுஹார்மோனிக் தொடர்களுடன்.

நாம் வகுப்பினை சிறிது மாற்றினால்: , பகுத்தறிவின் முதல் பகுதி ஒத்ததாக இருக்கும்: . ஆனால் தொடரின் வேறுபாட்டை நிரூபிக்க, சமத்துவமின்மை தவறானது என்பதால், ஒப்பீட்டு வரம்பு சோதனை மட்டுமே ஏற்கனவே பொருந்தும்.

ஒன்றிணைக்கும் தொடரின் நிலைமை “கண்ணாடி”, அதாவது, ஒரு தொடருக்கு, இரண்டு ஒப்பீட்டு அளவுகோல்களையும் பயன்படுத்தலாம் (சமத்துவமின்மை உண்மை), மற்றும் ஒரு தொடருக்கு, கட்டுப்படுத்தும் அளவுகோல் மட்டுமே (சமத்துவமின்மை தவறானது).

நாங்கள் காட்டு வழியாக எங்கள் சஃபாரியைத் தொடர்கிறோம், அங்கு அழகான மற்றும் சதைப்பற்றுள்ள மிருகங்களின் கூட்டம் அடிவானத்தில் தறித்தது:

எடுத்துக்காட்டு 7

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

தீர்வு: தேவையான ஒருங்கிணைப்பு அளவுகோல் திருப்தி அடைந்தது, நாங்கள் மீண்டும் ஒரு உன்னதமான கேள்வியைக் கேட்கிறோம்: என்ன செய்வது? எங்களுக்கு முன் ஒரு குவிந்த தொடரை ஒத்திருக்கிறது, இருப்பினும், இங்கே தெளிவான விதி எதுவும் இல்லை - இதுபோன்ற சங்கங்கள் பெரும்பாலும் ஏமாற்றும்.

பெரும்பாலும், ஆனால் இந்த நேரத்தில் இல்லை. பயன்படுத்தி வரம்பு ஒப்பீட்டு அளவுகோல்நமது தொடரை ஒன்றிணைந்த தொடருடன் ஒப்பிடுவோம். வரம்பை கணக்கிடும் போது, ​​நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் அற்புதமான வரம்பு , எங்கே என எல்லையற்றநிற்கிறது:

ஒன்றிணைகிறதுஒன்றாக அடுத்தது.

"மூன்று" மூலம் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் என்ற நிலையான செயற்கை நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, ஆரம்பத்தில் ஒரு குவிந்த தொடருடன் ஒப்பிட முடிந்தது.
ஆனால் இங்கே ஒரு எச்சரிக்கை விரும்பத்தக்கது, பொதுச் சொல்லின் நிலையான-பெருக்கி தொடரின் ஒருங்கிணைப்பைப் பாதிக்காது. இந்த பாணியில் பின்வரும் உதாரணத்தின் தீர்வு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது:

எடுத்துக்காட்டு 8

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

பாடத்தின் முடிவில் மாதிரி.

எடுத்துக்காட்டு 9

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

தீர்வு: முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளில், நாங்கள் சைனின் எல்லையைப் பயன்படுத்தினோம், ஆனால் இப்போது இந்த சொத்து விளையாடவில்லை. உயர்வின் ஒரு பகுதியின் வகுத்தல் வளர்ச்சியின் வரிசைஎண்களை விட, அதனால் சைன் ஆர்குமெண்ட் மற்றும் முழு பொதுவான கால எல்லையற்ற சிறிய. ஒன்றிணைவதற்கான அவசியமான நிபந்தனை, நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, திருப்தி அடைந்துள்ளது, இது எங்களை வேலையிலிருந்து விலகிச் செல்ல அனுமதிக்காது.

நாங்கள் உளவுத்துறையை நடத்துவோம்: ஏற்ப குறிப்பிடத்தக்க சமத்துவம் , மனதளவில் சைனை நிராகரித்து தொடரைப் பெறுங்கள். சரி, அப்படி ஏதாவது….

முடிவெடுத்தல்:

படிப்பில் உள்ள தொடரை மாறுபட்ட தொடருடன் ஒப்பிடுவோம். வரம்பு ஒப்பீட்டு அளவுகோலைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இன்ஃபினிட்டிசிமலுக்கு சமமான ஒன்றை மாற்றுவோம்: க்கு .

பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண் பெறப்பட்டது, அதாவது தொடர் ஆய்வில் உள்ளது வேறுபடுகிறதுஹார்மோனிக் தொடர்களுடன்.

எடுத்துக்காட்டு 10

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

இது நீங்களே செய்யக்கூடிய உதாரணம்.

அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளில் மேலும் செயல்களைத் திட்டமிடுவதற்கு, சைன், ஆர்க்சைன், டேன்ஜென்ட், ஆர்க்டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மன நிராகரிப்பு மிகவும் உதவுகிறது. ஆனால் நினைவில் கொள்ளுங்கள், இந்த வாய்ப்பு எப்போது மட்டுமே உள்ளது எல்லையற்றவாதம், மிக நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு நான் ஒரு ஆத்திரமூட்டும் தொடரைக் கண்டேன்:

எடுத்துக்காட்டு 11

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்
.

தீர்வு: இங்கே வில் தொடுகோட்டின் வரம்புகளைப் பயன்படுத்துவது பயனற்றது, மேலும் சமநிலையும் வேலை செய்யாது. வெளியீடு வியக்கத்தக்க வகையில் எளிமையானது:


படிப்பு தொடர் வேறுபடுகிறது, தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கு தேவையான அளவுகோல் திருப்தி அடையவில்லை.

இரண்டாவது காரணம்"காக் ஆன் தி வேலை" என்பது பொதுவான உறுப்பினரின் ஒழுக்கமான நுட்பத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது தொழில்நுட்ப இயல்புகளின் சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது. தோராயமாகச் சொன்னால், மேலே விவாதிக்கப்பட்ட தொடர் "நீங்கள் யூகிக்கும் புள்ளிவிவரங்கள்" வகையைச் சேர்ந்தது என்றால், இவை "நீங்கள் முடிவு செய்யுங்கள்" என்ற வகையைச் சேர்ந்தவை. உண்மையில், இது "வழக்கமான" அர்த்தத்தில் சிக்கலானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. சவன்னாவின் பல காரணிகள், பட்டங்கள், வேர்கள் மற்றும் பிற குடியிருப்பாளர்களை எல்லோரும் சரியாக தீர்க்க மாட்டார்கள். நிச்சயமாக, காரணிகள் மிகவும் சிக்கல்களை ஏற்படுத்துகின்றன:

எடுத்துக்காட்டு 12

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

ஒரு காரணியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது எப்படி? எளிதாக. அதிகாரங்களுடனான செயல்பாடுகளின் விதியின்படி, உற்பத்தியின் ஒவ்வொரு காரணியையும் ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது அவசியம்:

மற்றும், நிச்சயமாக, கவனம் மற்றும் மீண்டும் கவனம், டி'அலெம்பர்ட் அடையாளம் பாரம்பரியமாக செயல்படுகிறது:

எனவே, தொடர் ஆய்வில் உள்ளது ஒன்றிணைகிறது.

நிச்சயமற்ற தன்மையை நீக்குவதற்கான ஒரு பகுத்தறிவு நுட்பத்தை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: அது தெளிவாக இருக்கும்போது வளர்ச்சியின் வரிசைஎண் மற்றும் வகுத்தல் - கஷ்டப்பட்டு அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 13

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

மிருகம் மிகவும் அரிதானது, ஆனால் அது காணப்படுகிறது, மேலும் அதை கேமரா லென்ஸ் மூலம் கடந்து செல்வது நியாயமற்றது.

இரட்டை ஆச்சரியக்குறி காரணி என்ன? காரணியான "காற்றுகள்" நேர்மறை இரட்டை எண்களின் பலன்:

இதேபோல், காரணியான ஒற்றைப்படை எண்களின் பெருக்கத்தை "விண்ட் அப்" செய்கிறது:

என்ன வித்தியாசம் என்பதை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 14

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

இந்த பணியில், டிகிரிகளுடன் குழப்பமடையாமல் இருக்க முயற்சி செய்யுங்கள். அற்புதமான சமன்பாடுகள்மற்றும் அற்புதமான வரம்புகள்.

பாடத்தின் முடிவில் மாதிரி தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்.

ஆனால் மாணவர் புலிகளுக்கு மட்டும் உணவளிக்கவில்லை - தந்திரமான சிறுத்தைகளும் தங்கள் இரையைக் கண்காணிக்கின்றன:

எடுத்துக்காட்டு 15

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

தீர்வு: ஒன்றுபடுவதற்கான தேவையான அளவுகோல், கட்டுப்படுத்தும் அளவுகோல், d'Alembert மற்றும் Cauchy அளவுகோல்கள் கிட்டத்தட்ட உடனடியாக மறைந்துவிடும். ஆனால் எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சமத்துவமின்மையுடன் கூடிய அம்சம், மீண்டும் மீண்டும் நம்மைக் காப்பாற்றியது, சக்தியற்றது. உண்மையில், சமத்துவமின்மை காரணமாக, மாறுபட்ட தொடருடன் ஒப்பிடுவது சாத்தியமில்லை தவறானது - பெருக்கி-மடக்கை வகுப்பினை மட்டுமே அதிகரிக்கிறது, பின்னத்தையே குறைக்கிறது பின்னம் தொடர்பாக. மற்றொரு உலகளாவிய கேள்வி: எங்கள் தொடரில் நாங்கள் ஏன் ஆரம்பத்தில் உறுதியாக இருக்கிறோம் இது பிரிந்து செல்லும் மற்றும் சில மாறுபட்ட தொடர்களுடன் ஒப்பிடப்பட வேண்டுமா? அவர் முற்றிலும் பொருந்துகிறாரா?

ஒருங்கிணைந்த அம்சம்? முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு துக்கமான மனநிலையைத் தூண்டுகிறது. இப்போது, ​​எங்களுக்கு ஒரு வரிசை இருந்தால் … பிறகு ஆம். நிறுத்து! இப்படித்தான் எண்ணங்கள் பிறக்கின்றன. நாங்கள் இரண்டு படிகளில் ஒரு முடிவை எடுக்கிறோம்:

1) முதலில், தொடரின் ஒருங்கிணைப்பைப் படிக்கிறோம் . நாம் பயன்படுத்த ஒருங்கிணைந்த அம்சம்:

ஒருங்கிணைந்த தொடர்ச்சியானஅதன் மேல்

இவ்வாறு, ஒரு எண் தொடர்புடைய முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புடன் சேர்ந்து வேறுபடுகிறது.

2) எங்கள் தொடரை மாறுபட்ட தொடருடன் ஒப்பிடுக . வரம்பு ஒப்பீட்டு அளவுகோலைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண் பெறப்பட்டது, அதாவது தொடர் ஆய்வில் உள்ளது வேறுபடுகிறதுஅருகருகே சேர்ந்து .

அத்தகைய முடிவில் அசாதாரணமான அல்லது ஆக்கபூர்வமான எதுவும் இல்லை - அது எப்படி தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும்!

பின்வரும் இரண்டு நகர்வுகளை சுயாதீனமாக வரைய நான் முன்மொழிகிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 16

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் சில அனுபவமுள்ள ஒரு மாணவர், தொடர் ஒன்றிணைகிறதா அல்லது வேறுபடுகிறதா என்பதை உடனடியாகப் பார்க்கிறார், ஆனால் ஒரு வேட்டையாடும் புதர்களில் புத்திசாலித்தனமாக மாறுவேடமிட்டுக்கொள்கிறது:

எடுத்துக்காட்டு 17

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

தீர்வு: முதல் பார்வையில், இந்தத் தொடர் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. நமக்கு முன்னால் மூடுபனி இருந்தால், தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கு தேவையான நிபந்தனையின் தோராயமான சரிபார்ப்புடன் தொடங்குவது தர்க்கரீதியானது. நிச்சயமற்ற தன்மையை அகற்றுவதற்காக, நாம் மூழ்காத ஒன்றைப் பயன்படுத்துகிறோம் கூட்டு வெளிப்பாடு மூலம் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் முறை:

ஒன்றிணைவதற்கான தேவையான அறிகுறி வேலை செய்யவில்லை, ஆனால் எங்கள் தம்போவ் தோழரை வெளிச்சத்திற்கு கொண்டு வந்தது. நிகழ்த்தப்பட்ட மாற்றங்களின் விளைவாக, சமமான தொடர் பெறப்பட்டது , இது ஒரு குவிந்த தொடரை வலுவாக ஒத்திருக்கிறது.

நாங்கள் ஒரு சுத்தமான தீர்வை எழுதுகிறோம்:

இந்தத் தொடரை ஒன்றிணைந்த தொடருடன் ஒப்பிடுக. வரம்பு ஒப்பீட்டு அளவுகோலைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இணை வெளிப்பாடு மூலம் பெருக்கவும் மற்றும் வகுக்கவும்:

பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண் பெறப்பட்டது, அதாவது தொடர் ஆய்வில் உள்ளது ஒன்றிணைகிறதுஒன்றாக அடுத்தது.

ஒருவேளை சிலருக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம், நமது ஆப்பிரிக்க சஃபாரியில் ஓநாய்கள் எங்கிருந்து வந்தன? தெரியாது. அவர்கள் ஒருவேளை கொண்டு வந்திருக்கலாம். நீங்கள் பின்வரும் கோப்பை தோலைப் பெறுவீர்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 18

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

பாடத்தின் முடிவில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு தீர்வு

மேலும், இறுதியாக, விரக்தியில் பல மாணவர்களை சந்திக்கும் மற்றொரு எண்ணம்: தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கு அரிதான அளவுகோலைப் பயன்படுத்த வேண்டுமா என்பதற்குப் பதிலாக? ராபேவின் அடையாளம், ஏபலின் அடையாளம், காஸின் அடையாளம், டிரிச்லெட்டின் அடையாளம் மற்றும் பிற அறியப்படாத விலங்குகள். யோசனை செயல்படுகிறது, ஆனால் உண்மையான எடுத்துக்காட்டுகளில் இது மிகவும் அரிதாகவே செயல்படுத்தப்படுகிறது. தனிப்பட்ட முறையில், அனைத்து வருட நடைமுறையிலும், நான் 2-3 முறை மட்டுமே நாடினேன் ராபேவின் அடையாளம்நிலையான ஆயுதக் களஞ்சியத்திலிருந்து எதுவும் உண்மையில் உதவாதபோது. எனது தீவிர தேடலின் போக்கை முழுமையாக மீண்டும் உருவாக்குகிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 19

ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்

தீர்வு: எந்த சந்தேகமும் இல்லாமல் d'Alembert ஒரு அடையாளம். கணக்கீடுகளின் போக்கில், நான் டிகிரிகளின் பண்புகளை தீவிரமாக பயன்படுத்துகிறேன் இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பு:

உங்களுக்காக இதோ ஒன்று. D'Alembert இன் அடையாளம் ஒரு பதிலைக் கொடுக்கவில்லை, இருப்பினும் அத்தகைய முடிவை எதுவும் முன்னறிவிக்கவில்லை.

கையேட்டைப் படித்த பிறகு, கோட்பாட்டில் நிரூபிக்கப்பட்ட ஒரு சிறிய அறியப்பட்ட வரம்பை நான் கண்டறிந்தேன் மற்றும் வலுவான தீவிரமான Cauchy அளவுகோலைப் பயன்படுத்தினேன்:

இதோ உங்களுக்காக இரண்டு. மேலும், மிக முக்கியமாக, தொடர் ஒன்றிணைகிறதா அல்லது மாறுகிறதா என்பது தெளிவாக இல்லை (எனக்கு மிகவும் அரிதான சூழ்நிலை). ஒப்பீடு தேவையான அறிகுறி? அதிக நம்பிக்கை இல்லாமல் - எண்ணி பார்க்க முடியாத வகையில், எண் மற்றும் வகுப்பின் வளர்ச்சியின் வரிசையை நான் கண்டுபிடித்தாலும், இது இன்னும் வெகுமதிக்கு உத்தரவாதம் அளிக்காது.

ஒரு முழுமையான d'Alembert, ஆனால் மோசமான விஷயம் என்னவென்றால், தொடரைத் தீர்க்க வேண்டும். தேவை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நான் கைவிடுவது இதுவே முதல் முறை. பின்னர் இன்னும் சில சக்திவாய்ந்த அறிகுறிகள் இருப்பதாக நான் நினைவில் வைத்தேன். எனக்கு முன் ஓநாய் இல்லை, சிறுத்தை இல்லை, புலி இல்லை. அது ஒரு பெரிய யானை ஒரு பெரிய தும்பிக்கையை அசைத்தது. நான் ஒரு கையெறி ஏவுகணையை எடுக்க வேண்டியிருந்தது:

ராபேவின் அடையாளம்

நேர்மறை எண் தொடரைக் கவனியுங்கள்.
வரம்பு இருந்தால் , பிறகு:
அ) ஒரு வரிசையில் வேறுபடுகிறது. மேலும், இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கலாம்.
b) ஒரு வரிசையில் ஒன்றிணைகிறது. குறிப்பாக, தொடர் ஒன்றுபடுகிறது.
c) எப்போது ராபேயின் அடையாளம் பதில் தரவில்லை.

நாங்கள் வரம்பை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் பகுதியை கவனமாக எளிதாக்குகிறோம்:


ஆம், படம், அதை லேசாகச் சொல்ல, விரும்பத்தகாதது, ஆனால் நான் இனி ஆச்சரியப்படவில்லை. லோபிடல் விதிகள், மற்றும் முதல் எண்ணம், பின்னர் மாறியது போல், சரியானதாக மாறியது. ஆனால் முதலில், சுமார் ஒரு மணி நேரம், நான் "வழக்கமான" முறைகளைப் பயன்படுத்தி வரம்பை முறுக்கித் திருப்பினேன், ஆனால் நிச்சயமற்ற தன்மையை அகற்ற விரும்பவில்லை. அனுபவம் கூறுவது போல் வட்டங்களில் நடப்பது தவறான தீர்வுக்கான வழி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதற்கான பொதுவான அறிகுறியாகும்.

நான் ரஷ்ய நாட்டுப்புற ஞானத்திற்கு திரும்ப வேண்டியிருந்தது: "எதுவும் உதவவில்லை என்றால், வழிமுறைகளைப் படிக்கவும்." நான் ஃபிச்சன்ஹோல்ட்ஸின் 2 வது தொகுதியைத் திறந்தபோது, ​​​​எனது பெரும் மகிழ்ச்சிக்கு ஒரே மாதிரியான தொடரின் ஆய்வைக் கண்டேன். பின்னர் தீர்வு மாதிரியின் படி சென்றது.

நேவியர் தீர்வு விளிம்புடன் இணைக்கப்பட்ட தட்டுகளின் கணக்கீட்டிற்கு மட்டுமே பொருத்தமானது. மிகவும் பொதுவானது லெவியின் தீர்வு. மற்ற இரண்டு பக்கங்களிலும் தன்னிச்சையான எல்லை நிபந்தனைகளுடன், இரண்டு இணையான பக்கங்களில் ஒரு தட்டுக் கணக்கிடுவதற்கு இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள செவ்வக தட்டில். 5.11, (a), கீல் விளிம்புகள் அச்சுக்கு இணையானவை ஒய். இந்த விளிம்புகளில் உள்ள எல்லை நிலைகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

அரிசி. 5.11

எல்லையற்ற முக்கோணவியல் தொடரின் ஒவ்வொரு காலமும் தெளிவாக உள்ளது

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; விலகல் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது பகுதி வழித்தோன்றல்கள்

(5.45)

மணிக்கு எக்ஸ் = 0 மற்றும் எக்ஸ் = அஅவை பூஜ்ஜியமாகும், ஏனெனில் அவை https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)

(5.46) ஐ (5.18) ஆக மாற்றுவது

விளைவாக சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0 இலிருந்து ஒருங்கிணைத்தல், ஆல் பெருக்குதல் அமற்றும் அதை நினைவில் கொள்கிறது

,

நாம் செயல்பாட்டை வரையறுக்க வேண்டும் யாம்நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு

. (5.48)

குறியீட்டை சுருக்கினால், குறிக்கவும்

சமன்பாடு (5.48) வடிவம் எடுக்கிறது

. (5.50)

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் போக்கிலிருந்து அறியப்படும், ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் (5.50) பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது

யாம்(ஒய்) = ஜேமீ (ஒய்)+ fm(ஒய்), (5.51)

எங்கே ஜேமீ (ஒய்) என்பது ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு (5.50); அதன் வடிவம் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தைப் பொறுத்தது (5.50), அதாவது, உண்மையில், சுமை வகையைப் பொறுத்தது கே (எக்ஸ், ஒய்);

fm(ஒய்)= அம் ஷ்அமீy + Bmchஅமீy+y(செமீ shஅமீy + Dmchஅமீஒய்), (5.52)

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு

நான்கு தன்னிச்சையான மாறிலிகள் நான்,ATமீ ,சிமீமற்றும் Dmதட்டின் விளிம்புகளை சரிசெய்வதற்கான நான்கு நிபந்தனைகளில் இருந்து தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும், அச்சுக்கு இணையாக , தட்டுக்கு பயன்படுத்தப்படும் நிலையான கே (எக்ஸ், ஒய்) = கேசமன்பாட்டின் வலது பக்கம் (5.50) வடிவம் எடுக்கிறது

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)

சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் (5.55) நிலையானது என்பதால், அதன் இடது பக்கமும் நிலையானது; எனவே அனைத்து வழித்தோன்றல்கள் ஜேமீ (ஒய்) பூஜ்ஜியம், மற்றும்

, (5.56)

, (5.57)

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இடத்தில்: .

ஒரு தட்டு கருதுங்கள் கிள்ளியதுஅச்சுக்கு இணையான விளிம்புகளில் எக்ஸ்(படம் 5.11, (c)).

விளிம்புகளில் எல்லை நிலைமைகள் ஒய் = ± பி/2

. (5.59)

அச்சு பற்றி தட்டின் விலகல் சமச்சீர் காரணமாக ஓஎக்ஸ், பொதுவான தீர்வில் (5.52) சீரான செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சொற்கள் மட்டுமே தக்கவைக்கப்பட வேண்டும். ஏனெனில் ஷ அமீஒய்ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாடு, மற்றும் сh அமீ ஒய்- கூட மற்றும், அச்சின் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட நிலையுடன் ஓ, ஒய் sh அமீஒய்- கூட, உள்ளே மணிக்கு ch அமீ ஒய்ஒற்றைப்படை, பின்னர் பரிசீலனையில் உள்ள வழக்கில் பொது ஒருங்கிணைப்பு (5.51) இவ்வாறு குறிப்பிடப்படலாம்

. (5.60)

இன் (5.44) வாதத்தின் மதிப்பைப் பொறுத்தது அல்ல ஒய், இரண்டாவது ஜோடி எல்லை நிபந்தனைகள் (5.58), (5.59) இவ்வாறு எழுதலாம்:

யாம் = 0, (5.61)

ஒய்¢ மீ = = 0. (5.62)

ஒய்¢ மீ = அமீபிஎம் sh அமீy + செ.மீ sh அமீy + y செ.மீஅமீ ch அமீy=

அமீபிஎம் sh அமீy + செ.மீ(ஷ அமீy+yஅமீ ch அமீஒய்)

(5.60) - (5.63) இலிருந்து அது பின்வருமாறு

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)

சமன்பாட்டை (5.64) ஆல் பெருக்குதல், மற்றும் சமன்பாடு (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)

(5.66) சமன்பாட்டில் (5.64) மாற்றுவது நம்மைப் பெற அனுமதிக்கிறது பிஎம்

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)

இந்த செயல்பாடு வெளிப்பாடு ஒய்மீ. , விலகல் செயல்பாட்டைத் தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரம் (5.44) வடிவம் எடுக்கிறது

(5.69)

தொடர் (5.69) விரைவாக ஒன்றிணைகிறது. உதாரணமாக, அதன் மையத்தில் ஒரு சதுரத் தட்டுக்கு, அதாவது மணிக்கு x=அ/2, ஒய் = 0

(5.70)

(5.70) தொடரின் ஒரே ஒரு காலத்தை மட்டும் வைத்திருத்தல், அதாவது எடுத்துக்கொள்வது , 2.47% க்கும் குறைவாக மதிப்பிடப்பட்ட ஒரு விலகல் மதிப்பைப் பெறுகிறோம். என்பதை மனதில் கொண்டு ப 5 = 306.02, மாறுபாட்டைக் கண்டுபிடி" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> V..Ritz இன் மாறுபாடு முறையானது பிரிவு 2 இல் வடிவமைக்கப்பட்ட லாக்ரேஞ்சின் மாறுபாடு கொள்கையின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.

தட்டு வளைக்கும் பிரச்சனைக்கு இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவோம். தட்டின் வளைந்த மேற்பரப்பை ஒரு வரிசையாக கற்பனை செய்து பாருங்கள்

, (5.71)

எங்கே fi(எக்ஸ், ஒய்) தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகள், ஒவ்வொன்றும் இயக்கவியல் எல்லை நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்; சி.ஐலாக்ரேஞ்ச் சமன்பாட்டிலிருந்து அறியப்படாத அளவுருக்கள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இந்த சமன்பாடு

(5.72)

என்ற அமைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது nஅளவுருக்கள் தொடர்பான இயற்கணித சமன்பாடுகள் சி.ஐ.

பொது வழக்கில், தட்டின் சிதைவு ஆற்றல் வளைக்கும் U மற்றும் சவ்வு U ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது மீபாகங்கள்

, (5.73)

, (5.74)

எங்கே Mh.,எம்ஒய். ,எம்xy- வளைக்கும் சக்திகள்; என்எக்ஸ்., Ny. , Nxy- சவ்வு சக்திகள். குறுக்கு விசைகளுடன் தொடர்புடைய ஆற்றலின் பகுதி சிறியது மற்றும் புறக்கணிக்கப்படலாம்.

ஒரு என்றால் u, vமற்றும் டபிள்யூஉண்மையான இடப்பெயர்ச்சியின் கூறுகள், px. , பைமற்றும் pzமேற்பரப்பு சுமை தீவிரத்தின் கூறுகள், ஆர்நான்- செறிவூட்டப்பட்ட சக்தி, டி நான்தொடர்புடைய நேரியல் இடப்பெயர்ச்சி, எம்ஜே- கவனம் செலுத்தும் தருணம் கேஜே- அதனுடன் தொடர்புடைய சுழற்சியின் கோணம் (படம் 5.12), பின்னர் வெளிப்புற சக்திகளின் சாத்தியமான ஆற்றலை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

தட்டின் விளிம்புகள் இயக்கத்தை அனுமதித்தால், விளிம்பு சக்திகள் vn. , mn. , mnt(படம் 5.12, (அ)) வெளிப்புற சக்திகளின் திறனை அதிகரிக்கவும்

அரிசி. 5.12

இங்கே nமற்றும் டி- விளிம்பு உறுப்புக்கு இயல்பான மற்றும் தொடுகோடு ds.

கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில், சக்திகள் மற்றும் வளைவுகளுக்கான அறியப்பட்ட வெளிப்பாடுகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது

, (5.78)

ஒரு செவ்வக தகட்டின் மொத்த ஆற்றல் E அ ´ பி, செங்குத்து சுமை மட்டுமே செயல்பாட்டின் கீழ் pz

(5.79)

உதாரணமாக, 2 என்ற விகிதத்துடன் ஒரு செவ்வகத் தகட்டைக் கவனியுங்கள் அ'2 பி(படம் 5.13).

தட்டு விளிம்புடன் பிணைக்கப்பட்டு ஒரு சீரான சுமையுடன் ஏற்றப்படுகிறது

pz = q = const. இந்த வழக்கில், ஆற்றல் E க்கான வெளிப்பாடு (5.79) எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது

. (5.80)

ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள் டபிள்யூ(x, y) வரிசை

இது விளிம்பு நிலைகளை பூர்த்தி செய்கிறது

அரிசி. 5.13

தொடரின் முதல் உறுப்பினரை மட்டும் வைத்திருங்கள்

.

பின்னர் (5.80) படி

.

(5..gif" width="273 height=57" height="57">க்கு ஏற்ப E ஆற்றலைக் குறைத்தல்.

.

சதுர தட்டின் மையத்தின் விலகல் அளவு 2 அ'2 அ

,

இது சரியான தீர்வு 0.0202 ஐ விட 2.5% அதிகம் கேள்வி பதில் 4/டி. நான்கு பக்கங்களிலும் ஆதரிக்கப்படும் தட்டின் மையத்தின் விலகல் 3.22 மடங்கு அதிகமாக உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க.

இந்த உதாரணம் முறையின் நன்மைகளை விளக்குகிறது: எளிமை மற்றும் நல்ல முடிவைப் பெறுவதற்கான சாத்தியம். தட்டு வெவ்வேறு வெளிப்புறங்கள், மாறி தடிமன் ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கலாம். இந்த முறையில் உள்ள சிரமங்கள், உண்மையில், மற்ற ஆற்றல் முறைகளில், பொருத்தமான ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது எழுகின்றன.

5.8 ஆர்த்தோகனலைசேஷன் முறை

ஆர்த்தோகனலைசேஷன் முறை முன்மொழியப்பட்டது மற்றும் ஆர்த்தோகனல் செயல்பாடுகளின் பின்வரும் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது ஜேநான். , ஜேஜே

. (5.82)

இடைவெளியில் ஆர்த்தோகனல் செயல்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டு ( – ப, ப) முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் cos ஆக செயல்பட முடியும் nxமற்றும் பாவம் nxஎதற்காக

செயல்பாடுகளில் ஒன்று என்றால், எடுத்துக்காட்டாக செயல்பாடு ஜேநான் (எக்ஸ்) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், பின்னர் நிபந்தனை (5.82) தன்னிச்சையான செயல்பாட்டிற்கு திருப்தி அளிக்கிறது ஜேஜே (எக்ஸ்).

தட்டு வளைவு சிக்கலை தீர்க்க, சமன்பாடு உள்ளது

இப்படி கற்பனை செய்யலாம்

, (5.83)

எங்கே எஃப்தட்டின் விளிம்பால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுதி; ஜேijஅவை குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளாகும், இதனால் அவை சிக்கலின் இயக்கவியல் மற்றும் கட்டாய எல்லை நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன.

தட்டு வளைக்கும் சமன்பாட்டின் தோராயமான தீர்வை (5.18) தொடரின் வடிவத்தில் குறிப்பிடுவோம்

. (5.84)

தீர்வு (5.84) துல்லியமாக இருந்தால், சமன்பாடு (5.83) எந்தவொரு ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகளுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். ஜேij. , ஏனெனில் இந்த வழக்கில் டி c2c2 wn – கே = 0. சமன்பாடு நமக்குத் தேவை டி c2c2 wn – கேசெயல்பாடுகளின் குடும்பத்திற்கு ஆர்த்தோகனலாக இருந்தது ஜேij, மற்றும் குணகங்களைத் தீர்மானிக்க இந்தத் தேவையைப் பயன்படுத்துகிறோம் சிஜ். . (5.84) ஐ (5.83) ஆக மாற்றுவது நமக்குக் கிடைக்கிறது

. (5.85)

சில மாற்றங்களைச் செய்த பிறகு, பின்வரும் இயற்கணித சமன்பாடுகளை நிர்ணயிப்பதற்காகப் பெறுகிறோம் சிij

, (5.86)

மற்றும் மij = மஜி.

Bubnov-Galerkin முறைக்கு பின்வரும் விளக்கத்தை கொடுக்கலாம். செயல்பாடு டி c2c2 wn – கே = 0 என்பது அடிப்படையில் ஒரு சமநிலை சமன்பாடு மற்றும் செங்குத்து அச்சின் திசையில் தட்டின் ஒரு சிறிய உறுப்பு மீது செயல்படும் வெளிப்புற மற்றும் உள் சக்திகளின் திட்டமாகும். z. விலகல் செயல்பாடு wnஅதே அச்சின் திசையில் ஒரு இயக்கம், மற்றும் செயல்பாடுகள் ஜேijசாத்தியமான இயக்கங்களாக கருதலாம். எனவே, சமன்பாடு (5.83) சாத்தியமான இடப்பெயர்வுகளில் அனைத்து வெளிப்புற மற்றும் உள் சக்திகளின் வேலையின் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமத்துவத்தை தோராயமாக வெளிப்படுத்துகிறது. ஜேij. . எனவே, Bubnov-Galerkin முறை அடிப்படையில் மாறுபட்டது.

உதாரணமாக, ஒரு செவ்வகத் தகடு விளிம்புடன் இணைக்கப்பட்டு, சீராக விநியோகிக்கப்படும் சுமையுடன் ஏற்றப்பட்டதைக் கவனியுங்கள். தட்டின் பரிமாணங்களும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளின் இருப்பிடமும் படத்தில் உள்ளதைப் போலவே இருக்கும். 5.6

எல்லை நிலைமைகள்

மணிக்கு எக்ஸ் = 0, எக்ஸ்= ஏ: டபிள்யூ = 0, ,

மணிக்கு ஒய் = 0, ஒய் = பி: டபிள்யூ = 0, .

ஒரு தொடர் (5.84) வடிவத்தில் விலகல் செயல்பாட்டிற்கான தோராயமான வெளிப்பாட்டை நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம். ஜேij

எல்லை நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்கிறது; சிஜ்விரும்பிய குணகங்களாகும். தொடரின் ஒரு உறுப்பினருக்கு மட்டுமே

பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

ஒருங்கிணைப்புக்குப் பிறகு

குணகத்தை எங்கே கணக்கிடலாம் இருந்து 11

,

குணகத்துடன் முழுமையாக ஒத்துப்போகிறது இருந்து 11. முறை மூலம் பெறப்பட்டது

வி. ரிட்ஸ் -.

முதல் தோராயமாக, விலகல் செயல்பாடு பின்வருமாறு

.

ஒரு சதுர தட்டின் மையத்தில் அதிகபட்ச விலகல் அ ´ அ

.

5.9 வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு முறையின் பயன்பாடு

சிக்கலான விளிம்பு நிலைகளுடன் செவ்வக தகடுகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு முறையின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். வேறுபாடு ஆபரேட்டர் என்பது தட்டின் வளைந்த மேற்பரப்பின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் அனலாக் ஆகும் (5.18), ஒரு சதுர கட்டத்திற்கு, D க்கு எக்ஸ் = டி ஒய் = D வடிவம் எடுக்கிறது (3.54)

20 wi, ஜே + 8 (wi, ஜே+ 1 + wi, ஜே– 1 + wi– 1, ஜே + wi+ 1, ஜே) + 2 (wi– 1, ஜே– 1 + wi– 1, ஜே+ 1 +

அரிசி. 5.14

ஏற்றுதல் மற்றும் தட்டின் சிதைவுகளின் சமச்சீரின் மூன்று அச்சுகள் இருப்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், அதன் எட்டாவது மதிப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, விலகல் மதிப்புகளை முனைகள் 1 ... 10 இல் மட்டுமே தீர்மானிக்க முடியும் (படம் 5.14, (பி)) . அத்திப்பழத்தில். 5.14, (b) கட்டம் மற்றும் முனை எண்ணைக் காட்டுகிறது (D = ஏ/4).

தட்டின் விளிம்புகள் கிள்ளியிருப்பதால், எல்லை நிலைகளை (5.25), (5.26) வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடுகளில் எழுதுவதன் மூலம்

பல வளைவுகளின் கோசைன்கள் மற்றும் சைன்கள் மூலம், அதாவது வடிவத்தின் தொடர்

அல்லது சிக்கலான வடிவத்தில்

எங்கே ஒரு கே,பி கேஅல்லது, முறையே, சி கேஅழைக்கப்பட்டது T. r இன் குணகங்கள்.
முதல் முறையாக டி.ஆர். L. Euler இல் சந்திக்கவும் (L. Euler, 1744). அவர் விரிவாக்கங்களைப் பெற்றார்

அனைத்து ஆர். 18 ஆம் நூற்றாண்டு ஒரு சரத்தின் இலவச அதிர்வின் சிக்கலைப் பற்றிய ஆய்வு தொடர்பாக, சரத்தின் ஆரம்ப நிலையை T. r இன் தொகையாக வகைப்படுத்தும் செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் சாத்தியக்கூறு பற்றிய கேள்வி எழுந்தது. இந்த கேள்வி பல தசாப்தங்களாக நீடித்த ஒரு சூடான விவாதத்தை ஏற்படுத்தியது, அந்தக் காலத்தின் சிறந்த ஆய்வாளர்கள் - டி. பெர்னோலி, ஜே. டி "அலெம்பர்ட், ஜே. லாக்ரேஞ்ச், எல். யூலர் (எல். யூலர்). செயல்பாட்டின் கருத்தின் உள்ளடக்கம் தொடர்பான சர்ச்சைகள். அந்த நேரத்தில், செயல்பாடுகள் பொதுவாக அவற்றின் பகுப்பாய்வுகளுடன் தொடர்புடையவை. பணி, இது பகுப்பாய்வு அல்லது துண்டு துண்டான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வழிவகுத்தது. இந்தச் சார்பைக் குறிக்கும் ஒரு T. r. ஐக் கட்டமைக்க போதுமான அளவு தன்னிச்சையாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டிற்கு இங்கே இது அவசியமானது. ஆனால் இந்த சர்ச்சைகளின் முக்கியத்துவம் அதிகம். உண்மையில், அவர்கள் பல அடிப்படை முக்கியமான கருத்துக்கள் மற்றும் கணிதத்தின் கருத்துக்கள் தொடர்பான கேள்விகள் தொடர்பாக விவாதித்தனர் அல்லது எழுந்தனர். பொதுவாக பகுப்பாய்வு - டெய்லர் தொடர் மற்றும் பகுப்பாய்வு மூலம் செயல்பாடுகளின் பிரதிநிதித்துவம். செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சி, மாறுபட்ட தொடர்களின் பயன்பாடு, வரம்புகள், சமன்பாடுகளின் எல்லையற்ற அமைப்புகள், பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் செயல்பாடுகள் போன்றவை.
எதிர்காலத்தில், இந்த ஆரம்பத்தைப் போலவே, டி. ஆர். கணிதத்தில் புதிய யோசனைகளின் ஆதாரமாக பணியாற்றினார். ஃபோரியர் ஒருங்கிணைந்த, கிட்டத்தட்ட காலமுறை செயல்பாடுகள், பொது ஆர்த்தோகனல் தொடர், சுருக்கம் . டி.ஆற்றைப் பற்றிய ஆய்வுகள். தொகுப்புக் கோட்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான தொடக்க புள்ளியாக செயல்பட்டது. டி. ஆர். அம்சங்களைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதற்கும் ஆராய்வதற்கும் ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவியாகும்.
18 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதவியலாளர்களிடையே சர்ச்சைக்கு வழிவகுத்த கேள்வி 1807 ஆம் ஆண்டில் ஜே. ஃபோரியரால் தீர்க்கப்பட்டது, அவர் T. r இன் குணகங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைக் குறிப்பிட்டார். (1), இது வேண்டும். f(x) செயல்பாட்டில் பிரதிநிதித்துவம்:

வெப்ப கடத்துத்திறன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் அவற்றைப் பயன்படுத்தியது. சூத்திரங்கள் (2) ஃபோரியர் சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இருப்பினும் அவை முன்பு A. Clairaut (1754) ஆல் சந்தித்தன, மேலும் L. Euler (1777) அவர்கள் கால-படி-கால ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி வந்தனர். டி. ஆர். (1), அதன் குணகங்கள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன (2), எனப்படும். ஃபோரியர் செயல்பாடு f மற்றும் எண்களுக்கு அருகில் ஒரு கே, பி கே- ஃபோரியர் குணகங்கள்.
பெறப்பட்ட முடிவுகளின் தன்மை, ஒரு செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவம் ஒரு தொடராக எவ்வாறு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, சூத்திரங்களில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு (2) எவ்வாறு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது. டி நதியின் நவீன கோட்பாடு. Lebesgue integral தோன்றிய பிறகு பெறப்பட்டது.
டி.ஆர் கோட்பாடு. நிபந்தனையுடன் இரண்டு பெரிய பிரிவுகளாக பிரிக்கலாம் - கோட்பாடு ஃபோரியர் தொடர்,இதில் தொடர் (1) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் என்றும், பொது T. R. இன் கோட்பாடு, அத்தகைய அனுமானம் செய்யப்படவில்லை என்றும் கருதப்படுகிறது. பொது T. r இன் கோட்பாட்டில் பெறப்பட்ட முக்கிய முடிவுகள் கீழே உள்ளன. (இந்த வழக்கில், செட் மற்றும் செயல்பாடுகளின் அளவீடு லெபெஸ்குவின் படி புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது).
முதல் முறையானது ஆராய்ச்சி T. r., இதில் இந்தத் தொடர்கள் ஃபோரியர் தொடர்கள் என்று கருதப்படவில்லை, இது வி. ரீமானின் ஆய்வுக் கட்டுரையாகும் (வி. ரீமான், 1853). எனவே, பொது டி.ஆர் கோட்பாடு. அழைக்கப்பட்டது சில நேரங்களில் வெப்ப இயக்கவியலின் ரீமான்னியன் கோட்பாடு.
தன்னிச்சையான T. r இன் பண்புகளை ஆய்வு செய்ய. (1) குணகங்களுடன் பூஜ்ஜியம் B. ரீமான் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு F(x) , இது ஒரு சீரான ஒன்றிணைந்த தொடரின் கூட்டுத்தொகையாகும்

தொடரின் (1) இரண்டு மடங்கு கால-படி-கால ஒருங்கிணைப்புக்குப் பிறகு பெறப்பட்டது. தொடர் (1) ஒரு புள்ளியில் x ஒரு எண் s ஆக ஒன்றிணைந்தால், இந்த கட்டத்தில் இரண்டாவது சமச்சீர் உள்ளது மற்றும் s க்கு சமமாக இருக்கும். எஃப் செயல்பாடுகள்:

பின்னர் இது காரணிகளால் உருவாக்கப்பட்ட தொடரின் (1) கூட்டுத்தொகைக்கு வழிவகுக்கிறது அழைக்கப்பட்டது ரீமான் கூட்டுத்தொகை முறை மூலம். எஃப் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, ரீமான் உள்ளூர்மயமாக்கல் கொள்கை வகுக்கப்படுகிறது, இதன்படி x புள்ளியில் உள்ள தொடரின் (1) நடத்தை இந்த புள்ளியின் தன்னிச்சையாக சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் F செயல்பாட்டின் நடத்தையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.
டி.ஆர் என்றால். நேர்மறை அளவீடுகளின் தொகுப்பில் ஒன்றிணைகிறது, அதன் குணகங்கள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் (Cantor-Lebesgue). பூஜ்ஜிய குணகங்களுக்கான போக்கு டி. ஆர். இரண்டாவது வகையின் (W. யங், டபிள்யூ. யங், 1909) ஒரு தொகுப்பில் அதன் ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து பின்தொடர்கிறது.
பொது வெப்ப இயக்கவியல் கோட்பாட்டின் மையப் பிரச்சனைகளில் ஒன்று ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் பிரச்சனை T. r. ஏபெல்-பாய்சன் மற்றும் ரீமான் சுருக்க முறைகள் மூலம் டி.ஆர் செயல்பாடுகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதில் என்.என். லுசின் (1915) முடிவுகளை வலுப்படுத்தி, டி.ஈ.மென்'ஷோவ் பின்வரும் தேற்றத்தை (1940) நிரூபித்தார், இது எஃப் செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்தின் போது மிக முக்கியமான நிகழ்வைக் குறிக்கிறது. T. r என புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. செய்ய f(x) கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும். ஏறக்குறைய எல்லா இடங்களிலும் அளவிடக்கூடிய மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு, ஒரு T. R. உள்ளது, அது கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் ஒன்றிணைகிறது (மென்'ஷோவின் தேற்றம்). எஃப் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தாலும், பொதுவாகச் சொன்னால், ஃபோரியர் தொடர்கள் எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுவதால், எஃப் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரை அத்தகைய தொடராக எடுத்துக்கொள்ள முடியாது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.
மேலே உள்ள மென்'ஷோவ் தேற்றம் பின்வரும் சுத்திகரிப்புகளை ஒப்புக்கொள்கிறது: f ஒரு சார்பு அளவிடக்கூடியது மற்றும் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், அது உள்ளது ஏறக்குறைய எல்லா இடங்களிலும் மற்றும் j செயல்பாட்டின் கால-படி-கால வேறுபடுத்தப்பட்ட ஃபோரியர் தொடர் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் f(x) ஆக ஒன்றிணைகிறது (N. K. பாரி, 1952).
Men'shov's theorem இல் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் f செயல்பாட்டிற்கான finiteness நிபந்தனையைத் தவிர்க்க முடியுமா என்பது தெரியவில்லை (1984). குறிப்பாக, (1984) டி.ஆர். கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் ஒன்றிணைகின்றன
எனவே, நேர்மறை அளவீடுகளின் தொகுப்பில் எல்லையற்ற மதிப்புகளை எடுக்கக்கூடிய செயல்பாடுகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதில் சிக்கல், அது பலவீனமான தேவையால் மாற்றப்படும் போது கருதப்பட்டது - . எல்லையற்ற மதிப்புகளைப் பெறக்கூடிய செயல்பாடுகளுக்கான அளவீடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: T. p இன் பகுதித் தொகைகள். s n(x) அளவீட்டில் f(x) செயல்பாட்டிற்கு இணைகிறது . எங்கே என்றால் f n(x) ஏறக்குறைய எல்லா இடங்களிலும் / (x) க்கு ஒன்றிணைகிறது, மேலும் வரிசையானது அளவீட்டில் பூஜ்ஜியமாக மாறுகிறது. இந்த அமைப்பில், செயல்பாடுகளின் பிரதிநிதித்துவத்தின் சிக்கல் இறுதிவரை தீர்க்கப்பட்டது: ஒவ்வொரு அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கும், ஒரு T. R. உள்ளது, அது அளவோடு ஒன்றிணைகிறது (D. E. Men'shov, 1948).
T. r இன் தனித்தன்மையின் சிக்கலுக்கு அதிக ஆராய்ச்சி அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது: இரண்டு வெவ்வேறு T. ஒரே செயல்பாட்டிற்கு மாற முடியுமா? வேறு ஒரு சூத்திரத்தில்: T. r என்றால். பூஜ்ஜியமாக ஒன்றிணைகிறது, தொடரின் அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இங்கே ஒருவர் அனைத்து புள்ளிகளிலும் அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பிற்கு வெளியே உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஒன்றிணைவதைக் குறிக்கலாம். இந்தக் கேள்விகளுக்கான பதில் அடிப்படையில் ஒன்றிணைதல் கருதப்படாத தொகுப்பின் பண்புகளைப் பொறுத்தது.
பின்வரும் சொற்களஞ்சியம் நிறுவப்பட்டுள்ளது. பல பெயர்கள். தனித்துவ தொகுப்புஅல்லது U-அமைக்க என்றால், T. r இன் ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து. எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு, ஒருவேளை, தொகுப்பின் புள்ளிகளைத் தவிர இ,இந்த தொடரின் அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். மற்றபடி எனஸ். எம்-செட்.
G. கேன்டர் (1872) காட்டியது போல், எந்த வரையறுக்கப்பட்டவையும் U-செட் ஆகும். ஒரு தன்னிச்சையானது U-செட் ஆகும் (W. Jung, 1909). மறுபுறம், ஒவ்வொரு நேர்மறை அளவீடும் ஒரு எம்-செட் ஆகும்.
M-செட் அளவீடுகளின் இருப்பு D. E. Men'shov (1916) என்பவரால் நிறுவப்பட்டது, அவர் இந்த பண்புகளுடன் ஒரு சரியான தொகுப்பின் முதல் உதாரணத்தை உருவாக்கினார். தனித்தன்மையின் சிக்கலில் இந்த முடிவு அடிப்படை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. பூஜ்ஜியத்தின் M-செட்களின் இருப்பிலிருந்து, கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் ஒன்றிணைக்கும் T. R. இன் செயல்பாடுகளின் பிரதிநிதித்துவத்தில், இந்தத் தொடர்கள் மாறாமல் தெளிவற்ற முறையில் வரையறுக்கப்படுகின்றன.
சரியான தொகுப்புகள் யு-செட்களாகவும் இருக்கலாம் (என். கே. பாரி; ஏ. ராஜ்ச்மன், ஏ. ராஜ்ச்மன், 1921). பூஜ்ஜிய அளவீடுகளின் மிகவும் நுட்பமான பண்புகள் தனித்தன்மையின் சிக்கலில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. பூஜ்ஜியத்தின் அளவீடுகளின் வகைப்பாடு பற்றிய பொதுவான கேள்வி எம்-மற்றும் U-செட்கள் (1984) திறந்திருக்கும். சரியான தொகுப்புகளுக்கு கூட இது தீர்க்கப்படாது.
பின்வரும் பிரச்சனை தனித்தன்மை பிரச்சனையுடன் தொடர்புடையது. டி.ஆர் என்றால். செயல்பாட்டிற்கு இணைகிறது இந்த தொடர் செயல்பாடு / ஃபோரியர் தொடராக இருக்க வேண்டுமா. பி. டுபோயிஸ்-ரேமண்ட் (P. Du Bois-Reymond, 1877) இந்தக் கேள்விக்கு ஒரு நேர்மறையான பதிலை அளித்தார், ரீமான் என்ற பொருளில் f என்பது ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது மற்றும் தொடர் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் f(x) க்கு இணைகிறது. முடிவுகளில் இருந்து III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) கணக்கிடக்கூடிய புள்ளிகளின் தொகுப்பைத் தவிர எல்லா இடங்களிலும் தொடர் ஒன்றிணைந்தாலும், அதன் கூட்டுத்தொகை வரையறுக்கப்பட்டாலும் பதில் நேர்மறையாக இருக்கும் என்பதைக் குறிக்கிறது.
ஒரு T. p என்பது x 0 புள்ளியில் முற்றிலும் ஒன்றிணைந்தால், இந்தத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளிகளும், அதன் முழுமையான ஒருங்கிணைப்பின் புள்ளிகளும் x 0 புள்ளியைப் பொறுத்து சமச்சீராக அமைந்திருக்கும். (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
படி Denjoy - Luzin தேற்றம் T. r இன் முழுமையான ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து. (1) நேர்மறை அளவீடுகளின் தொகுப்பில், தொடர் ஒன்றிணைகிறது மற்றும், இதன் விளைவாக, தொடர் (1) இன் முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு அனைவருக்கும் எக்ஸ்.இந்த சொத்து இரண்டாவது வகையின் தொகுப்புகளாலும், குறிப்பிட்ட அளவு பூஜ்ஜிய அளவிலும் உள்ளது.
இந்தக் கருத்துக்கணிப்பு ஒரு பரிமாணத்தை மட்டுமே உள்ளடக்கியது. (ஒன்று). பொது T. p தொடர்பான தனி முடிவுகள் உள்ளன. பல மாறிகள் இருந்து. இங்கே பல சந்தர்ப்பங்களில் இயற்கையான சிக்கல் அறிக்கைகளைக் கண்டுபிடிப்பது இன்னும் அவசியம்.

லிட்.: பாரி என்.கே., திரிகோணவியல் தொடர், எம்., 1961; சிக்மண்ட் ஏ., திரிகோணவியல் தொடர், டிரான்ஸ். ஆங்கிலத்திலிருந்து, தொகுதி 1-2, எம்., 1965; Luzin N. N., ஒருங்கிணைந்த மற்றும் முக்கோணவியல் தொடர், M.-L., 1951; ரீமன் பி., ஒர்க்ஸ், டிரான்ஸ். ஜெர்மன் மொழியிலிருந்து, எம்.எல்., 1948, ப. 225-61.
எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி.

கணித கலைக்களஞ்சியம். - எம்.: சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா. I. M. வினோகிராடோவ். 1977-1985.

அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தில், ஒருவர் அடிக்கடி குறிப்பிட்ட கால நிகழ்வுகளைக் கையாள வேண்டும், அதாவது. ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்குப் பிறகு இனப்பெருக்கம் செய்யப்பட்டவை டிகாலம் எனப்படும். காலச் செயல்பாடுகளில் எளிமையானது (ஒரு மாறிலியைத் தவிர) ஒரு சைனூசாய்டல் மதிப்பு: அசின்(எக்ஸ்+ ), ஹார்மோனிக் அலைவு, விகிதத்தின் மூலம் காலத்துடன் தொடர்புடைய "அதிர்வெண்" இருக்கும் இடத்தில்: . இத்தகைய எளிய காலச் செயல்பாடுகளிலிருந்து, மிகவும் சிக்கலானவற்றை உருவாக்க முடியும். வெளிப்படையாக, சைனூசாய்டல் அளவுகள் வெவ்வேறு அதிர்வெண்களில் இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் அதே அதிர்வெண்ணின் சைனூசாய்டல் அளவுகளைச் சேர்ப்பது அதே அதிர்வெண்ணின் சைனூசாய்டல் அளவை ஏற்படுத்துகிறது. படிவத்தின் பல மதிப்புகளைச் சேர்த்தால்

எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று சைனூசாய்டல் அளவுகளைச் சேர்ப்பதை இங்கே மீண்டும் உருவாக்குகிறோம்: . இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள்

இந்த வரைபடம் சைன் அலையிலிருந்து கணிசமாக வேறுபட்டது. இந்த வகையின் சொற்களால் ஆன எல்லையற்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கு இது இன்னும் உண்மை. நாம் கேள்வியை முன்வைப்போம்: குறிப்பிட்ட காலகட்ட செயல்பாடு சாத்தியமா டிசினுசாய்டல் அளவுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது குறைந்த பட்சம் எல்லையற்ற தொகுப்பின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படுமா? ஒரு பெரிய வகை செயல்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை, இந்த கேள்விக்கு உறுதிமொழியில் பதிலளிக்க முடியும் என்று மாறிவிடும், ஆனால் இது போன்ற விதிமுறைகளின் முழு எல்லையற்ற வரிசையையும் நாம் துல்லியமாக சேர்த்தால் மட்டுமே. வடிவியல் ரீதியாக, சைனூசாய்டுகளின் வரிசையை மிகைப்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு காலச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் பெறப்படுகிறது. ஒவ்வொரு சைனூசாய்டல் மதிப்பையும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஹார்மோனிக் அலைவு இயக்கமாக நாம் கருதினால், இது ஒரு செயல்பாட்டால் வகைப்படுத்தப்படும் சிக்கலான அலைவு அல்லது அதன் ஹார்மோனிக்ஸ் (முதல், இரண்டாவது, முதலியன) என்று நாம் கூறலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட காலச் செயல்பாட்டை ஹார்மோனிக்ஸ் ஆக சிதைக்கும் செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு.

இத்தகைய விரிவாக்கங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் மட்டுமே கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் ஆய்வில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் எந்த ஊசலாட்ட நிகழ்வுகளாலும் உருவாக்கப்படவில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டியது அவசியம்.

வரையறை.ஒரு முக்கோணவியல் தொடர் என்பது வடிவத்தின் தொடர்:

அல்லது (1).

உண்மையான எண்கள் முக்கோணவியல் தொடரின் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்தத் தொடரை இப்படியும் எழுதலாம்:

மேலே வழங்கப்பட்ட வகையின் தொடர் ஒன்றுசேர்ந்தால், அதன் கூட்டுத்தொகையானது கால 2p உடன் ஒரு காலச் சார்பாகும்.

வரையறை.முக்கோணவியல் தொடரின் ஃபோரியர் குணகங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன: (2)

(3)

(4)

வரையறை.ஃபோரியருக்கு அருகில் ஒரு விழா f(x)ஃபோரியர் குணகங்களின் குணகங்களைக் கொண்ட முக்கோணவியல் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் என்றால் f(x)அதன் தொடர்ச்சியின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் அதனுடன் ஒன்றிணைகிறது, பின்னர் செயல்பாடு என்று கூறுகிறோம் f(x)ஃபோரியர் தொடரில் விரிவடைகிறது.

தேற்றம்.(டிரிச்லெட்டின் தேற்றம்) ஒரு செயல்பாட்டின் காலம் 2p மற்றும் ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் அல்லது முதல் வகையின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளைக் கொண்டிருந்தால், பிரிவை வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பிரிவுகளாகப் பிரிக்கலாம், இதனால் செயல்பாடு ஒவ்வொன்றிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அவற்றில், செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் தொடர் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஒன்றிணைகிறது எக்ஸ், மற்றும் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் புள்ளிகளில், அதன் கூட்டுத்தொகை S(x)க்கு சமம், மற்றும் இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளில் அதன் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும், அதாவது. இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள வரம்பு மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி.

இந்த வழக்கில், ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாடு f(x)செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் இடைவெளியைச் சேர்ந்த எந்த இடைவெளியிலும் ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைகிறது.

இந்த தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு செயல்பாடு இடைவெளியில் துண்டு துண்டாக மென்மையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஃபோரியர் தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம் பற்றிய உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள் f(x)=1-x, இது ஒரு காலம் கொண்டது 2pமற்றும் பிரிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு. இந்த செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்

இந்தச் செயல்பாடு செக்மென்ட்டில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், அதாவது, ஒரு கால அளவு கொண்ட ஒரு பிரிவில், எனவே இது இந்த பிரிவின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஒன்றிணைக்கும் ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கப்படலாம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (2), இந்தத் தொடரின் குணகத்தைக் காண்கிறோம்: .

ஒருங்கிணைப்பு-பகுதி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் முறையே (3) மற்றும் (4) சூத்திரங்களைக் கண்டுபிடித்து பயன்படுத்துகிறோம்:

குணகங்களை சூத்திரமாக மாற்றுவது (1), நாங்கள் பெறுகிறோம் அல்லது .

புள்ளிகள் மற்றும் (வரைபடங்களின் ஒட்டும் புள்ளிகள்) தவிர அனைத்து புள்ளிகளிலும் இந்த சமத்துவம் நடைபெறுகிறது. இந்த ஒவ்வொரு புள்ளியிலும், தொடரின் கூட்டுத்தொகை வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் அதன் வரம்பு மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம், அதாவது.

செயல்பாட்டை விரிவாக்குவதற்கான ஒரு வழிமுறையை முன்வைப்போம்ஒரு ஃபோரியர் தொடரில்.

முன்வைக்கப்பட்ட சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான செயல்முறை பின்வருமாறு.