ஃபோரியர் தொடர். சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் பெசல் சமத்துவமின்மை பார்செவல் சமத்துவம் அதிகரித்த சிக்கலான தீர்வுகளின் ஃபோரியர் தொடர் எடுத்துக்காட்டுகள்

ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்தைத் தொடராகக் கொண்டு தன்னிச்சையாக எடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவமாகும். பொதுவாக, இந்த தீர்வு ஒரு ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையில் ஒரு தனிமத்தின் சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஃபோரியர் தொடரின் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம், ஒருங்கிணைத்தல், வேறுபடுத்துதல் மற்றும் ஒரு வாதம் மற்றும் மாற்றத்தில் ஒரு வெளிப்பாட்டை மாற்றும் போது இந்த மாற்றத்தின் பண்புகள் காரணமாக பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் சக்திவாய்ந்த கருவியாகும்.

உயர் கணிதம் மற்றும் பிரெஞ்சு விஞ்ஞானி ஃபோரியரின் படைப்புகள் பற்றி அறிந்திராத ஒரு நபர், இந்த "தொடர்கள்" என்ன, அவை எதற்காக என்பதை பெரும்பாலும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார். இதற்கிடையில், இந்த மாற்றம் நம் வாழ்வில் மிகவும் அடர்த்தியாகிவிட்டது. இது கணிதவியலாளர்களால் மட்டுமல்ல, இயற்பியலாளர்கள், வேதியியலாளர்கள், மருத்துவர்கள், வானியலாளர்கள், நிலநடுக்கவியலாளர்கள், கடல்சார் ஆய்வாளர்கள் மற்றும் பலரால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அவரது காலத்திற்கு முன்பே ஒரு கண்டுபிடிப்பு செய்த சிறந்த பிரெஞ்சு விஞ்ஞானியின் படைப்புகளையும் நாம் கூர்ந்து கவனிப்போம்.

மனிதன் மற்றும் ஃபோரியர் மாற்றம்

ஃபோரியர் தொடர் முறைகளில் ஒன்றாகும் (பகுப்பாய்வு மற்றும் பிறவற்றுடன்) இந்த செயல்முறை ஒரு நபர் எந்த ஒலியைக் கேட்கும் ஒவ்வொரு முறையும் நிகழ்கிறது. எங்கள் காது தானாகவே ஒரு மீள் ஊடகத்தில் அடிப்படைத் துகள்களை மாற்றுகிறது, அவை வெவ்வேறு உயரங்களின் டோன்களுக்கான தொகுதி மட்டத்தின் தொடர்ச்சியான மதிப்புகளின் வரிசைகளாக (ஸ்பெக்ட்ரமுடன்) சிதைக்கப்படுகின்றன. அடுத்து, மூளை இந்தத் தரவை நமக்கு நன்கு தெரிந்த ஒலிகளாக மாற்றுகிறது. இவை அனைத்தும் நம் ஆசை அல்லது நனவுடன் கூடுதலாக நிகழ்கின்றன, ஆனால் இந்த செயல்முறைகளைப் புரிந்து கொள்ள, உயர் கணிதத்தைப் படிக்க பல ஆண்டுகள் ஆகும்.

ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் பற்றி மேலும்

ஃபோரியர் மாற்றத்தை பகுப்பாய்வு, எண் மற்றும் பிற முறைகள் மூலம் மேற்கொள்ளலாம். ஃபோரியர் தொடர்கள் என்பது கடல் அலைகள் மற்றும் ஒளி அலைகள் முதல் சூரிய (மற்றும் பிற வானியல் பொருள்கள்) செயல்பாட்டின் சுழற்சிகள் வரை எந்த ஊசலாட்ட செயல்முறைகளையும் சிதைப்பதற்கான எண் வழியைக் குறிக்கிறது. இந்த கணித நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்ய முடியும், எந்த ஊசலாட்ட செயல்முறைகளையும் குறைந்தபட்சத்திலிருந்து அதிகபட்சம் மற்றும் நேர்மாறாகவும் செல்லும் சைனூசாய்டல் கூறுகளின் வரிசையாக பிரதிபலிக்கிறது. ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண்ணுடன் தொடர்புடைய சைனூசாய்டுகளின் கட்டம் மற்றும் வீச்சு ஆகியவற்றை விவரிக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும். வெப்ப, ஒளி அல்லது மின் ஆற்றலின் செல்வாக்கின் கீழ் ஏற்படும் மாறும் செயல்முறைகளை விவரிக்கும் மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இந்த செயல்முறை பயன்படுத்தப்படலாம். மேலும், ஃபோரியர் தொடர்கள் சிக்கலான ஊசலாட்ட சமிக்ஞைகளில் நிலையான கூறுகளை தனிமைப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகின்றன, இது மருத்துவம், வேதியியல் மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றில் பெறப்பட்ட சோதனை அவதானிப்புகளை சரியாக விளக்கியது.

வரலாற்று குறிப்பு

இந்த கோட்பாட்டின் ஸ்தாபக தந்தை பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜீன் பாப்டிஸ்ட் ஜோசப் ஃபோரியர் ஆவார். இந்த மாற்றத்திற்கு பின்னர் அவர் பெயரிடப்பட்டது. ஆரம்பத்தில், விஞ்ஞானி வெப்ப கடத்தலின் வழிமுறைகளை ஆய்வு செய்து விளக்குவதற்கு தனது முறையைப் பயன்படுத்தினார் - திடப்பொருட்களில் வெப்பத்தின் பரவல். அசல் ஒழுங்கற்ற விநியோகத்தை எளிமையான சைனூசாய்டுகளாக சிதைக்க முடியும் என்று ஃபோரியர் பரிந்துரைத்தார், ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த வெப்பநிலை குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம், அத்துடன் அதன் சொந்த கட்டம் ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கும். இந்த வழக்கில், அத்தகைய ஒவ்வொரு கூறுகளும் குறைந்தபட்சம் முதல் அதிகபட்சம் மற்றும் நேர்மாறாக அளவிடப்படும். வளைவின் மேல் மற்றும் கீழ் சிகரங்களையும், ஒவ்வொரு ஹார்மோனிக்கின் கட்டத்தையும் விவரிக்கும் கணிதச் செயல்பாடு, வெப்பநிலை விநியோக வெளிப்பாட்டின் ஃபோரியர் மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கோட்பாட்டின் ஆசிரியர் பொதுவான விநியோகச் செயல்பாட்டைக் குறைத்தார், இது கணித ரீதியாக விவரிக்க கடினமாக உள்ளது, இது அசல் விநியோகத்தைக் கொடுக்கும் கொசைன் மற்றும் சைன் ஆகியவற்றின் மிகவும் வசதியான தொடராக உள்ளது.

மாற்றத்தின் கொள்கை மற்றும் சமகாலத்தவர்களின் கருத்துக்கள்

விஞ்ஞானியின் சமகாலத்தவர்கள் - பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் முன்னணி கணிதவியலாளர்கள் - இந்த கோட்பாட்டை ஏற்கவில்லை. ஒரு நேர்கோடு அல்லது இடைவிடாத வளைவை விவரிக்கும் ஒரு இடைவிடாத செயல்பாடு, தொடர்ச்சியாக இருக்கும் சைனூசாய்டல் வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம் என்ற ஃபோரியரின் வலியுறுத்தல் முக்கிய ஆட்சேபனையாகும். உதாரணமாக, ஹெவிசைட்டின் "படி" என்பதைக் கவனியுங்கள்: அதன் மதிப்பு இடைவெளியின் இடதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியமாகவும், வலதுபுறமாகவும் இருக்கும். சுற்று மூடப்படும் போது நேர மாறி மீது மின்னோட்டத்தின் சார்புநிலையை இந்த செயல்பாடு விவரிக்கிறது. அந்த நேரத்தில் கோட்பாட்டின் சமகாலத்தவர்கள் அத்தகைய சூழ்நிலையை சந்தித்ததில்லை, ஒரு தொடர்ச்சியற்ற வெளிப்பாடு ஒரு அதிவேக, சைனூசாய்டு, நேரியல் அல்லது இருபடி போன்ற தொடர்ச்சியான, சாதாரண செயல்பாடுகளின் கலவையால் விவரிக்கப்படும்.

ஃபோரியர் கோட்பாட்டில் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர்களை குழப்பியது எது?

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, கணிதவியலாளர் தனது கூற்றுகளில் சரியாக இருந்தால், எல்லையற்ற முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடரை சுருக்கி, பல ஒத்த படிகளைக் கொண்டிருந்தாலும், படிநிலை வெளிப்பாட்டின் சரியான பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறலாம். பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில், அத்தகைய அறிக்கை அபத்தமானது. ஆனால் அனைத்து சந்தேகங்கள் இருந்தபோதிலும், பல கணிதவியலாளர்கள் இந்த நிகழ்வின் ஆய்வின் நோக்கத்தை விரிவுபடுத்தியுள்ளனர், இது வெப்ப கடத்துத்திறன் பற்றிய ஆய்வுகளின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது. இருப்பினும், பெரும்பாலான விஞ்ஞானிகள் கேள்வியால் தொடர்ந்து துன்புறுத்தப்பட்டனர்: "சைனூசாய்டல் தொடரின் கூட்டுத்தொகை இடைவிடாத செயல்பாட்டின் சரியான மதிப்புடன் ஒன்றிணைக்க முடியுமா?"

ஃபோரியர் தொடர் ஒருங்கிணைப்பு: ஒரு எடுத்துக்காட்டு

எல்லையற்ற எண்களைத் தொகுக்க வேண்டியிருக்கும் போதெல்லாம், ஒருங்கிணைவு பற்றிய கேள்வி எழுப்பப்படுகிறது. இந்த நிகழ்வைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு உன்னதமான உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான அடியும் முந்தையதை விட பாதி அளவு இருந்தால் நீங்கள் எப்போதாவது சுவரை அடைய முடியுமா? நீங்கள் இலக்கிலிருந்து இரண்டு மீட்டர்கள் இருக்கிறீர்கள் என்று வைத்துக் கொள்வோம், முதல் படி உங்களை பாதிப் புள்ளிக்கும், அடுத்தது முக்கால்வாசிக்கும் நெருங்குகிறது, ஐந்தாவது படிக்குப் பிறகு நீங்கள் கிட்டத்தட்ட 97 சதவீதத்தை அடைவீர்கள். இருப்பினும், நீங்கள் எத்தனை படிகள் எடுத்தாலும், கடுமையான கணித அர்த்தத்தில் நீங்கள் விரும்பிய இலக்கை அடைய முடியாது. எண் கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, இறுதியில் தன்னிச்சையாக சிறிய கொடுக்கப்பட்ட தூரத்தை அணுக முடியும் என்பதைக் காட்டலாம். ஒரு பாதி, நான்கில் ஒரு பங்கு, முதலியவற்றின் மொத்த மதிப்பு ஒன்றுக்கு இருக்கும் என்பதை நிரூபிப்பதற்கு இந்த ஆதாரம் சமம்.

ஒருங்கிணைப்பின் ஒரு கேள்வி: இரண்டாவது வருகை, அல்லது லார்ட் கெல்வின் அப்ளையன்ஸ்

பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் இந்த கேள்வி மீண்டும் எழுப்பப்பட்டது, ஃபோரியர் தொடர்கள் ஏற்றம் மற்றும் ஓட்டத்தின் தீவிரத்தை கணிக்க பயன்படுத்தப்பட்டன. இந்த நேரத்தில், கெல்வின் பிரபு ஒரு சாதனத்தை கண்டுபிடித்தார், இது ஒரு அனலாக் கம்ப்யூட்டிங் சாதனமாகும், இது இராணுவ மற்றும் வணிகக் கடற்படையின் மாலுமிகள் இந்த இயற்கை நிகழ்வைக் கண்காணிக்க அனுமதித்தது. இந்த பொறிமுறையானது அலை உயரங்களின் அட்டவணையில் இருந்து கட்டங்கள் மற்றும் வீச்சுகளின் தொகுப்புகளை தீர்மானித்தது மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய நேரத் தருணங்கள், வருடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட துறைமுகத்தில் கவனமாக அளவிடப்படுகிறது. ஒவ்வொரு அளவுருவும் அலை உயர வெளிப்பாட்டின் சைனூசாய்டல் கூறு மற்றும் வழக்கமான கூறுகளில் ஒன்றாகும். அளவீடுகளின் முடிவுகள் லார்ட் கெல்வின் கால்குலேட்டரில் உள்ளிடப்பட்டன, இது அடுத்த ஆண்டுக்கான நேரத்தின் செயல்பாடாக நீரின் உயரத்தை கணிக்கும் ஒரு வளைவை ஒருங்கிணைத்தது. மிக விரைவில் உலகின் அனைத்து துறைமுகங்களுக்கும் இதேபோன்ற வளைவுகள் வரையப்பட்டன.

மற்றும் செயல்முறை இடைவிடாத செயல்பாட்டால் உடைந்தால்?

அந்த நேரத்தில், அதிக எண்ணிக்கையிலான எண்ணும் கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு அலை அலை முன்கணிப்பால் அதிக எண்ணிக்கையிலான கட்டங்களையும் வீச்சுகளையும் கணக்கிட முடியும், இதனால் மிகவும் துல்லியமான கணிப்புகளை வழங்க முடியும் என்பது தெளிவாகத் தெரிந்தது. ஆயினும்கூட, ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டிய அலை வெளிப்பாடு ஒரு கூர்மையான தாவலைக் கொண்டிருக்கும்போது, ​​​​அது இடைவிடாததாக இருக்கும்போது, ​​​​அந்த சந்தர்ப்பங்களில் இந்த ஒழுங்குமுறை கவனிக்கப்படவில்லை என்று மாறியது. நேரத் தருணங்களின் அட்டவணையில் இருந்து சாதனத்தில் தரவு உள்ளிடப்பட்டால், அது பல ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிடுகிறது. அசல் செயல்பாடு சைனூசாய்டல் கூறுகளுக்கு நன்றி மீட்டமைக்கப்படுகிறது (கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குணகங்களின் படி). அசல் மற்றும் மீட்டமைக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டிற்கு இடையிலான முரண்பாட்டை எந்த நேரத்திலும் அளவிட முடியும். மீண்டும் மீண்டும் கணக்கீடுகள் மற்றும் ஒப்பீடுகளை மேற்கொள்ளும்போது, ​​மிகப்பெரிய பிழையின் மதிப்பு குறையாது என்பதைக் காணலாம். இருப்பினும், அவை இடைநிறுத்தப் புள்ளியுடன் தொடர்புடைய பகுதியில் உள்ளமைக்கப்படுகின்றன, மேலும் வேறு எந்தப் புள்ளியிலும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். 1899 ஆம் ஆண்டில், இந்த முடிவை யேல் பல்கலைக்கழகத்தின் ஜோசுவா வில்லார்ட் கிப்ஸ் கோட்பாட்டளவில் உறுதிப்படுத்தினார்.

ஃபோரியர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பொதுவாக கணிதத்தின் வளர்ச்சி

ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் எண்ணற்ற வெடிப்புகளைக் கொண்ட வெளிப்பாடுகளுக்குப் பொருந்தாது. பொதுவாக, ஃபோரியர் தொடர், அசல் செயல்பாடு உண்மையான இயற்பியல் அளவீட்டின் விளைவாக இருந்தால், எப்போதும் ஒன்றிணைகிறது. குறிப்பிட்ட வகை செயல்பாடுகளுக்கான இந்த செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கேள்விகள் கணிதத்தில் புதிய பிரிவுகளின் தோற்றத்திற்கு வழிவகுத்தன, எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவான செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு. இது L. Schwartz, J. Mikusinsky மற்றும் J. கோயில் போன்ற பெயர்களுடன் தொடர்புடையது. இந்தக் கோட்பாட்டின் கட்டமைப்பிற்குள், டைராக் டெல்டா செயல்பாடு (இது ஒரு புள்ளியின் எல்லையற்ற சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் குவிந்துள்ள ஒரு பகுதியின் பகுதியை விவரிக்கிறது) மற்றும் ஹெவிசைட் போன்ற வெளிப்பாடுகளுக்கு தெளிவான மற்றும் துல்லியமான கோட்பாட்டு அடிப்படை உருவாக்கப்பட்டது. படி". இந்த வேலைக்கு நன்றி, ஃபோரியர் தொடர் சமன்பாடுகள் மற்றும் உள்ளுணர்வு கருத்துகள் தோன்றும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்குப் பொருந்தும்: ஒரு புள்ளி கட்டணம், ஒரு புள்ளி நிறை, காந்த இருமுனைகள் மற்றும் ஒரு கற்றை மீது ஒரு செறிவூட்டப்பட்ட சுமை.

ஃபோரியர் முறை

ஃபோரியர் தொடர், குறுக்கீடு கொள்கைகளுக்கு இணங்க, சிக்கலான வடிவங்களை எளிமையானதாக சிதைப்பதில் தொடங்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வெப்ப ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் ஒழுங்கற்ற வடிவ வெப்ப-இன்சுலேடிங் பொருட்களால் செய்யப்பட்ட பல்வேறு தடைகள் அல்லது பூமியின் மேற்பரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் - பூகம்பம், ஒரு வான உடலின் சுற்றுப்பாதையில் மாற்றம் - செல்வாக்கு மூலம் விளக்கப்படுகிறது. கிரகங்கள். ஒரு விதியாக, எளிய கிளாசிக்கல் அமைப்புகளை விவரிக்கும் ஒத்த சமன்பாடுகள் ஒவ்வொரு தனி அலைக்கும் அடிப்படையாக தீர்க்கப்படுகின்றன. ஃபோரியர் மிகவும் சிக்கலான பிரச்சனைகளுக்கு தீர்வுகளை வழங்க எளிய தீர்வுகளையும் சுருக்கமாகக் காட்டினார். கணிதத்தின் மொழியில் வெளிப்படுத்தப்படும், ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஹார்மோனிக்ஸ் - கொசைன் மற்றும் சைனூசாய்டுகளின் கூட்டுத்தொகையாக ஒரு வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கும் ஒரு நுட்பமாகும். எனவே, இந்த பகுப்பாய்வு "ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஃபோரியர் தொடர் - "கணினி யுகத்திற்கு" முன் சிறந்த நுட்பம்

கணினி தொழில்நுட்பத்தை உருவாக்குவதற்கு முன்பு, ஃபோரியர் நுட்பம் நமது உலகின் அலை இயல்புடன் பணிபுரியும் போது விஞ்ஞானிகளின் ஆயுதக் களஞ்சியத்தில் சிறந்த ஆயுதமாக இருந்தது. ஃபோரியர் தொடர் ஒரு சிக்கலான வடிவத்தில் நியூட்டனின் இயக்கவியலின் விதிகளுக்கு நேரடியாகப் பயன்படுத்தக்கூடிய எளிய சிக்கல்களை மட்டுமல்ல, அடிப்படை சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க அனுமதிக்கிறது. பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் நியூட்டனின் அறிவியலின் பெரும்பாலான கண்டுபிடிப்புகள் ஃபோரியரின் நுட்பத்தால் மட்டுமே சாத்தியமானது.

இன்று ஃபோரியர் தொடர்

கணினிகளின் வளர்ச்சியுடன், ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள் ஒரு தரமான புதிய நிலைக்கு உயர்ந்துள்ளன. இந்த நுட்பம் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து துறைகளிலும் உறுதியாக உள்ளது. ஒரு உதாரணம் டிஜிட்டல் ஆடியோ மற்றும் வீடியோ சிக்னல். பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஒரு பிரெஞ்சு கணிதவியலாளரால் உருவாக்கப்பட்ட கோட்பாட்டின் மூலம் மட்டுமே அதன் உணர்தல் சாத்தியமானது. எனவே, ஃபோரியர் தொடர் ஒரு சிக்கலான வடிவத்தில் விண்வெளி ஆய்வில் ஒரு முன்னேற்றத்தை ஏற்படுத்தியது. கூடுதலாக, இது குறைக்கடத்தி பொருட்கள் மற்றும் பிளாஸ்மா, நுண்ணலை ஒலியியல், கடல்சார்வியல், ரேடார் மற்றும் நில அதிர்வு ஆகியவற்றின் இயற்பியல் ஆய்வில் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது.

முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர்

கணிதத்தில், ஃபோரியர் தொடர் என்பது தன்னிச்சையான சிக்கலான செயல்பாடுகளை எளிமையானவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கும் ஒரு வழியாகும். பொதுவான சந்தர்ப்பங்களில், அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றதாக இருக்கலாம். மேலும், கணக்கீட்டில் அவற்றின் எண்ணிக்கை எவ்வளவு கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறதோ, அவ்வளவு துல்லியமானது இறுதி முடிவு. பெரும்பாலும், கோசைன் அல்லது சைனின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எளிமையானவையாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், ஃபோரியர் தொடர் முக்கோணவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் தீர்வு ஹார்மோனிக் விரிவாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முறை கணிதத்தில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. முதலாவதாக, முக்கோணவியல் தொடர் படத்திற்கான வழிமுறையை வழங்குகிறது, அத்துடன் செயல்பாடுகளின் ஆய்வு, இது கோட்பாட்டின் முக்கிய கருவியாகும். கூடுதலாக, இது கணித இயற்பியலின் பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க அனுமதிக்கிறது. இறுதியாக, இந்த கோட்பாடு வளர்ச்சிக்கு பங்களித்தது மற்றும் கணித அறிவியலின் மிக முக்கியமான பல பிரிவுகளை உயிர்ப்பித்தது (ஒருங்கிணைந்த கோட்பாடு, கால செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு). கூடுதலாக, இது ஒரு உண்மையான மாறியின் பின்வரும் செயல்பாடுகளின் வளர்ச்சிக்கான தொடக்க புள்ளியாக செயல்பட்டது, மேலும் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வின் தொடக்கத்தையும் குறித்தது.

தமிழாக்கம்

1 ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம் நோவோசிபிர்ஸ்க் மாநில பல்கலைக்கழக இயற்பியல் பீடம்

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Fourier தொடர் உதாரணங்கள் மற்றும் சிக்கல்கள்: பாடநூல் / நோவோசிப். நிலை அன்-டி. நோவோசிபிர்ஸ்க், எஸ். ISBN டுடோரியல் ஃபோரியர் தொடர் பற்றிய அடிப்படைத் தகவலை வழங்குகிறது, ஒவ்வொரு தலைப்புக்கும் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது. ஒரு சரத்தின் குறுக்கு அதிர்வுகளின் சிக்கலைத் தீர்க்க ஃபோரியர் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது. விளக்கப் பொருள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள் உள்ளன. இது நோவோசிபிர்ஸ்க் மாநில பல்கலைக்கழகத்தின் இயற்பியல் பீடத்தின் மாணவர்கள் மற்றும் ஆசிரியர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. NSU இன் இயற்பியல் பீடத்தின் வழிமுறை ஆணையத்தின் முடிவின் படி வெளியிடப்பட்டது. திறனாய்வாளர் டாக்டர். இயற்பியல்-கணிதம். அறிவியல். V. A. அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் ஐஎஸ்பிஎன் சி நோவோசிபிர்ஸ்க் மாநில பல்கலைக்கழகம், 211 சி பெல்கீவா ஆர். கே., 211

3 1. 2π-கால செயல்பாடு வரையறையின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம். F(x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) இதில் குணகங்கள் a n, b n சூத்திரங்களால் கணக்கிடப்படுகின்றன: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) சூத்திரங்கள் (2) (3) யூலர் ஃபோரியர் சூத்திரங்கள் எனப்படும். . F(x) சார்பு ஃபோரியர் தொடர் (1) க்கு ஒத்துப்போகிறது என்பது ஒரு சூத்திரம் f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) என எழுதப்பட்டு, சூத்திரத்தின் வலது பக்கம் ( 4) ஒரு முறையான தொடர் ஃபோரியர் செயல்பாடுகள் f(x). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சூத்திரம் (4) என்பது குணகங்கள் a n, b n சூத்திரங்கள் (2), (3) மூலம் கண்டறியப்படுவது மட்டுமே. 3

4 வரையறை. இடைவெளியில் [, π] வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் = x இருந்தால், 2π-கால சார்பு f(x) துண்டு துண்டாக மென்மையானது என அழைக்கப்படுகிறது.< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 படம். 1. செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, க்கான ஒற்றைப்படை n, சம nக்கு, f(x ) sin nxdx = ஏனெனில் f(x) செயல்பாடு சமமாக உள்ளது. f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2 செயல்பாட்டிற்கு நாம் முறையான ஃபோரியர் தொடரை எழுதுகிறோம்.

6 f(x) செயல்பாடு துண்டு துண்டாக உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும். இது தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், x = ±π இடைவெளியின் இறுதிப் புள்ளிகளில் வரம்புகள் (6) மற்றும் இடைவேளை புள்ளியில் x = : மற்றும் f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h வரம்புகள் உள்ளன மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, எனவே செயல்பாடு துண்டு துண்டாக மென்மையானது. பாயிண்ட் வைஸ் கன்வர்ஜென்ஸ் தேற்றம் மூலம், அதன் ஃபோரியர் தொடர் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் f(x) எண்ணுடன் ஒன்றிணைகிறது, அதாவது, f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) ஃபோரியர் தொடரின் S n (x) பகுதித் தொகைகளின் தோராயமான தன்மையை புள்ளிவிவரங்கள் 2 மற்றும் 3 காட்டுகிறது, அங்கு S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, செயல்பாட்டிற்கு f(x) இடைவெளியில் [, π] . 6

7 படம். படம் 2. F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S (x) = a 2 மற்றும் S 1(x) = a 2 + a 1 cos x என்ற பகுதித் தொகைகளின் மிகைப்படுத்தப்பட்ட வரைபடங்கள் 3. f (x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7 அதன் மீது ஒரு பகுதித் தொகை வரைபடம்.

8 (7) x = க்கு மாற்றாக நாம் பெறுகிறோம்: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, எங்கிருந்து நாம் எண் தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்கிறோம்: = π2 8. இந்தத் தொடரின் கூட்டுத்தொகையை அறிந்தால், அது பின்வரும் தொகையை கண்டுபிடிப்பது எளிது: S = ( ) S = () = π S, எனவே S = π2 6, அதாவது 1 n = π இந்த புகழ்பெற்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகை முதலில் லியோன்ஹார்ட் யூலர் என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இது பெரும்பாலும் கணித பகுப்பாய்வு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளில் காணப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு வரைபடத்தை வரையவும், f(x) = x for x சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறியவும்< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 படம். 4. f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(x) சார்பு இடைவேளையில் (, π) தொடர்ச்சியாக வேறுபடுகிறது. x = ±π புள்ளிகளில், இது வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளது (5): f() =, f(π) = π. கூடுதலாக, வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகள் உள்ளன (6): f(+ h) f(+) lim = 1 மற்றும் h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h எனவே, f(x) piecewise மென்மையான செயல்பாடு. f(x) சார்பு ஒற்றைப்படை என்பதால், a n =. குணகங்கள் b n பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ ஒன்று. n 2(1) n+1 f(x) sin nx செயல்பாட்டின் முறையான ஃபோரியர் தொடரை உருவாக்குவோம். n 9 cosnxdx ] =

10 ஒரு துண்டு துண்டாக மென்மையான 2π-காலச் செயல்பாட்டிற்கான புள்ளி ரீதியிலான ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தின்படி, f(x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் கூட்டுத்தொகை: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x என்றால் π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 படம். படம் 6. F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 2 (x) என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் அதன் மீது மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 7. F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 3 (x) 11 என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் அதன் மீது மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது

12 படம். 8. F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 99 (x) என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடத்துடன் அதன் மேல் ஏற்றப்பட்டுள்ளது. பெறப்பட்ட ஃபோரியர் தொடரைப் பயன்படுத்தி இரண்டு எண் தொடர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியலாம். நாம் (8) x = π/2 ஐ வைக்கிறோம். பின்னர் 2 () +... = π 2, அல்லது = n= (1) n 2n + 1 = π 4. நன்கு அறியப்பட்ட லீப்னிஸ் தொடரின் கூட்டுத்தொகையை எளிதாகக் கண்டுபிடித்தோம். (8) இல் x = π/3 ஐ வைத்து () +... = π 2 3, அல்லது (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு வரைபடத்தை வரையவும், f(x) = sin x செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறியவும், அது 2π காலத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதி, 1 எண் தொடரின் கூட்டுத்தொகை 4n 2 1. தீர்வு. f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 9. வெளிப்படையாக, f(x) = sin x என்பது π காலத்துடன் கூடிய ஒரு தொடர்ச்சியான சீரான செயல்பாடாகும். ஆனால் 2π என்பது f(x) செயல்பாட்டின் காலம் ஆகும். அரிசி. 9. f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிடுவோம். அனைத்து b n = செயல்பாடு சமமாக இருப்பதால். முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, n 1க்கான nஐக் கணக்கிடுகிறோம்: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 என்றால் n = 2k, = π n 2 1 என்றால் n = 2k

14 இந்தக் கணக்கீடு, குணகம் a 1ஐக் கண்டறிய அனுமதிக்காது, ஏனெனில் n = 1 இல் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறது. எனவே, குணகம் a 1 ஐ நேரடியாகக் கணக்கிடுகிறோம்: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. f(x) (,) மற்றும் (, π) மற்றும் kπ புள்ளிகளில் (k ஒரு முழு எண்) தொடர்ந்து வேறுபடுவதால், வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகள் (5) மற்றும் (6) உள்ளன, சார்பின் ஃபோரியர் தொடர்கள் ஒன்றிணைகிறது அது ஒவ்வொரு புள்ளியிலும்: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S(x) என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் 14

15 படம். படம் 11. f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 1 (x) என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் அதன் மீது மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. படம் 12. F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 2 (x) என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் அதன் மீது மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 13. F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 99 (x) 15 என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் அதன் மீது மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது

16 1 எண் தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடவும். இதைச் செய்ய, (9) x = இல் 4n 2 1 ஐ வைக்கிறோம். பின்னர் cosnx = 1 அனைத்து n = 1, 2,... எனவே, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. உதாரணம் 4. ஒரு துண்டு துண்டாக மென்மையான தொடர்ச்சியான செயல்பாடு f(x) அனைத்து x க்கும் f(x π) = f(x) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால் (அதாவது, π-காலம்) , பின்னர் a 2n 1 = b 2n 1 = அனைத்து n 1 க்கும், மற்றும் நேர்மாறாகவும், 2n 1 = b 2n 1 = அனைத்து n 1 க்கும், f(x) என்பது π-காலம் ஆகும். தீர்வு. f(x) சார்பு π-காலமாக இருக்கட்டும். அதன் ஃபோரியர் குணகங்கள் a 2n 1 மற்றும் b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. முதல் ஒருங்கிணைப்பில் x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt என்ற மாறியின் மாற்றத்தைச் செய்கிறோம். 16

17 cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t மற்றும் f(t π) = f(t) என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. b 2n 1 = என்பதும் இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. மாறாக, a 2n 1 = b 2n 1 =. f(x) சார்பு தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், அதன் ஃபோரியர் தொடரின் மூலம் ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்தின் தேற்றத்தின் மூலம், நாம் f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n பாவம் 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), அதாவது f(x) என்பது π-கால சார்பு. எடுத்துக்காட்டு 5. துண்டாக மென்மையான செயல்பாடு f(x) அனைத்து xக்கும் f(x) = f(x) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால், a = மற்றும் a 2n = b 2n = அனைத்து n 1க்கும், மற்றும் நேர்மாறாகவும் , a = a 2n = b 2n = என்றால், அனைத்து x க்கும் f(x π) = f(x). தீர்வு. f(x) செயல்பாடு f(x π) = f(x) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யட்டும். அதன் ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிடுவோம்: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. முதல் ஒருங்கிணைப்பில் x = t π மாறியை மாற்றுவோம். பிறகு f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. cos n(t π) = (1) n cosnt மற்றும் f(t π) = f(t) என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = என்றால் n கூட, = 2 π f(t) cos nt dt, n ஒற்றைப்படை என்றால். π இதேபோல் b 2n = என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. மாறாக, a = a 2n = b 2n =, அனைத்திற்கும் n 1. f(x) சார்பு தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்தின் தேற்றத்தின் மூலம், அதன் ஃபோரியர் தொடர் சமத்துவம் f( x) = (a 2n 1 cos (2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). பதினெட்டு

19 பிறகு = f(x π) = = = f(x). உதாரணம் 6. ஃபோரியர் தொடரின் ஃபோரியர் தொடரின் வடிவம்: a 2n 1 cos(2n 1) க்கு [, π/2] இடைவேளையில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய f(x) செயல்பாட்டை எவ்வாறு நீட்டிப்பது என்பதைப் படிப்போம். எக்ஸ். (1) தீர்வு. செயல்பாட்டின் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும். 14. தொடரில் (1) a = a 2n = b 2n = அனைத்திற்கும் n, இது எடுத்துக்காட்டு 5 இலிருந்து f(x) செயல்பாடு அனைத்து x க்கும் சமமான f(x π) = f(x) ஐ பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். இந்த அவதானிப்பு f(x) செயல்பாட்டை இடைவெளிக்கு [, /2] நீட்டிக்க ஒரு வழியை வழங்குகிறது: f(x) = f(x+π), fig. 15. தொடர் (1) இல் கொசைன்கள் மட்டுமே உள்ளன என்பதிலிருந்து, தொடர்ச்சியான செயல்பாடு f (x) சமமாக இருக்க வேண்டும் என்று முடிவு செய்கிறோம் (அதாவது, அதன் வரைபடம் Oy அச்சைப் பற்றி சமச்சீராக இருக்க வேண்டும்), படம்.

20 படம். 14. f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் 15. இடைவெளியில் f(x) செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் வரைபடம் [, /2] 2

21 எனவே, விரும்பிய செயல்பாடு அத்தியில் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. 16. படம். 16. இடைவேளையில் f(x) செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் வரைபடம் [, π] சுருக்கமாக, செயல்பாடு பின்வருமாறு தொடர வேண்டும் என்று முடிவு செய்கிறோம்: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), அதாவது இடைவெளி [π/2, π], செயல்பாட்டின் வரைபடம் f(x) புள்ளியை மையமாக சமச்சீர் புள்ளி (π/2,) மற்றும் இடைவெளியில் [, π], அதன் வரைபடம் Oy அச்சைப் பற்றிய சமச்சீர். 21

22 எடுத்துக்காட்டுகளின் பொதுமைப்படுத்தல் 3 6 நாம் l >. இரண்டு நிபந்தனைகளைக் கவனியுங்கள்: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. ஒரு வடிவியல் பார்வையில், நிபந்தனை (a) என்பது, f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம், x = l/2 என்ற செங்குத்து கோட்டுடன் சமச்சீராக இருக்கும், மேலும் f(x) வரைபடம் மையமாக இருக்கும் நிபந்தனை (b) அச்சு abscissa மீது புள்ளி (l/2;) பொறுத்து சமச்சீர். பின்னர் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாக இருக்கும்: 1) செயல்பாடு f(x) சமமாகவும், நிபந்தனை (a) திருப்திகரமாகவும் இருந்தால், b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) f(x) செயல்பாடு சமமாகவும், நிபந்தனை (b) திருப்தியாகவும் இருந்தால், b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) செயல்பாடு f(x) ஒற்றைப்படை மற்றும் நிபந்தனை (a) திருப்தி அடைந்தால், a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) செயல்பாடு f(x) ஒற்றைப்படை மற்றும் நிபந்தனை (b) திருப்தி அடைந்தால், a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. சிக்கல்களில் உள்ள சிக்கல்கள் 1 7 வரைபடங்களை வரைந்து, செயல்பாடுகளுக்கான ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறியவும், (அவற்றின் கால அளவு 2π: என்றால்< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1 என்றால் /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24. இந்த இடைவெளியில் அதை ஒரு ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவதற்காக, நாம் முதலில் தன்னிச்சையான வழியில் f இடைவெளியில் [, π] நீட்டிக்கிறோம், பின்னர் யூலர் ஃபோரியர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம். ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியில் உள்ள தன்னிச்சையானது அதே செயல்பாட்டிற்கு f: [, π] R வெவ்வேறு ஃபோரியர் தொடர்களைப் பெறலாம். ஆனால் இந்த தன்னிச்சையான தன்மையை சைன்களில் மட்டும் அல்லது கோசைன்களில் மட்டும் விரிவாக்கம் பெறும் வகையில் பயன்படுத்த முடியும்: முதல் வழக்கில், f ஐ ஒற்றைப்படை முறையிலும், இரண்டாவதாக, சமமான முறையிலும் தொடர்ந்தால் போதுமானது. தீர்வு அல்காரிதம் 1. செயல்பாட்டை ஒற்றைப்படை (இரட்டை) வழியில் (,) தொடரவும், பின்னர் அவ்வப்போது 2π காலத்துடன் செயல்பாட்டை முழு அச்சில் தொடரவும். 2. ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிடுங்கள். 3. f(x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரை உருவாக்கவும். 4. தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கான நிபந்தனைகளை சரிபார்க்கவும். 5. இந்தத் தொடர் ஒன்றிணைக்கும் செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடவும். எடுத்துக்காட்டு 7. f(x) = cosx செயல்பாட்டை விரிவாக்கு,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 படம். 17. தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம் வெளிப்படையாக, செயல்பாடு f (x) துண்டு துண்டாக மென்மையானது. ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிடுவோம்: a n = அனைத்து n க்கும், ஏனெனில் f (x) செயல்பாடு ஒற்றைப்படை. n 1 எனில், b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 என்றால் n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1)(n 1) 2 2n என்றால் n = 2k. π n 2 1 முந்தைய கணக்கீடுகளில் n = 1 க்கு, வகுத்தல் மறைந்துவிடும், எனவே குணகம் b 1 ஐ நேரடியாகக் கணக்கிடலாம்.

26 அடிப்படையில்: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. f (x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரை உருவாக்கவும் : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. எஃப் (x) சார்பு துண்டு துண்டாக மென்மையாக இருப்பதால், புள்ளி ரீதியிலான ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம் மூலம், எஃப் (x) சார்பின் ஃபோரியர் தொடர் π என்றால் கூட்டுத்தொகைக்கு இணைகிறது.< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 படம். படம் 18. F (x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 1 (x) என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் அதன் மீது மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 19. F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 2 (x) என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் 27

28 படம். படம் 2. F (x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 3 (x) என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் அதன் மீது மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 21 செயல்பாடு f (x) மற்றும் அதன் பகுதித் தொகை S 99 (x) ஆகியவற்றின் வரைபடங்களைக் காட்டுகிறது. அரிசி. 21. F (x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 99 (x) 28 என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம்

29 உதாரணம் 8. ஃபோரியர் தொடரில் f(x) = e ax, a >, x [, π] செயல்பாட்டை கொசைன்களில் மட்டும் விரிவாக்குவோம். தீர்வு. (,) (அதாவது, சமத்துவம் f(x) = f(x) அனைத்து x (, π) க்கும் இருக்கும், பின்னர் அவ்வப்போது 2π காலத்துடன் முழு நிஜத்திற்கும் சமமான முறையில் செயல்பாட்டைத் தொடர்கிறோம். அச்சு. f (x) செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இதன் வரைபடம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. 22. செயல்பாடு f (x) புள்ளிகளில் 22. தொடரும் செயல்பாட்டின் வரைபடம் f (x) x = kπ, k என்பது ஒரு முழு எண், கின்க்ஸ் உள்ளது. ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிடுவோம்: b n =, f (x) சமமாக இருப்பதால். பகுதிகளால் ஒருங்கிணைத்தால், நமக்கு 29 கிடைக்கும்

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 π1 πs ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2ex ax 2n a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 எனவே, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 f (x) தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், புள்ளி ரீதியிலான ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தின்படி, அதன் ஃபோரியர் தொடர் f (x) ஆக ஒன்றிணைகிறது. எனவே, அனைத்து x [, π] க்கும் f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட இடைவிடாத செயல்பாட்டிற்கு ஃபோரியர் தொடரின் பகுதித் தொகைகளின் படிப்படியான தோராயத்தை புள்ளிவிவரங்கள் நிரூபிக்கின்றன. 3

31 படம். 23. f (x) மற்றும் S (x) சார்புகளின் வரைபடங்கள் 24. f (x) மற்றும் S 1 (x) சார்புகளின் வரைபடங்கள் 25. f (x) மற்றும் S 2 (x) சார்புகளின் வரைபடங்கள் 26. செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் f (x) மற்றும் S 3 (x) 31

32 படம். 27. f (x) மற்றும் S 4 (x) சார்புகளின் வரைபடங்கள் 28. f (x) மற்றும் S 99 (x) சார்புகளின் வரைபடங்கள் பிரச்சனை 9. ஃபோரியர் தொடரில் f (x) = cos x, x π சார்பை விரிவுபடுத்தவும். 1. ஃபோரியர் தொடரில் f (x) \u003d e ax, a >, x π என்ற செயல்பாட்டை சைன்களின் அடிப்படையில் மட்டும் விரிவாக்கவும். 11. சைன்களில் மட்டும் ஃபோரியர் தொடரில் f (x) \u003d x 2, x π செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள். 12. ஃபோரியர் தொடரில் f (x) \u003d sin ax, x π செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும். 13. ஃபோரியர் தொடரில், சைன்களில் மட்டும் f (x) \u003d x sin x, x π செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள். பதில்கள் 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. a முழு எண் இல்லை என்றால், sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; a = 2m என்பது இரட்டை எண்ணாக இருந்தால், sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; a = 2m 1 நேர்மறை ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருந்தால், sin(2m 1)x = 2 (cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n பாவம் x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. தன்னிச்சையான காலத்தைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் f(x) செயல்பாடு [l, l], l > இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். x = ly, y π ஐ மாற்றுவதன் மூலம், π [, π] இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட g(y) = f(ly/π) செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்தச் சார்பு g(y) ஆனது (முறையான) ஃபோரியர் தொடர் () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), அதன் குணகங்கள் யூலர் ஃபோரியர் சூத்திரங்களால் கண்டறியப்படுகின்றன: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, f(x) செயல்பாட்டிற்கு சற்று மாற்றியமைக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் தொடரைப் பெறுகிறோம்: f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) ஃபார்முலாக்கள் (11) (13) ஒரு தன்னிச்சையான காலம் கொண்ட ஒரு சார்பின் ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்கத்தை வரையறுப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு 9. இடைவெளியில் (எல், எல்) கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரை (ஏ என்றால் எல்) வெளிப்பாட்டின் மூலம் கண்டறியவும்< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = என்றால் n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn f (x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரை உருவாக்கவும் : f(x) A + B π (B A என்பதால் cosπn = (1) n, பின்னர் n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l n = 2k க்கு b n = b 2k =, n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1) ஐப் பெறுகிறோம்.

36 எனவே f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l பாயிண்ட் வைஸ் கன்வர்ஜென்ஸ் தேற்றத்தின்படி, ஃபோரியர் தொடர் f(x) கூட்டுத்தொகை A, l எனில்< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 படம். 29. F (x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S (x) = a 2 மற்றும் S 1 (x) = b 1 sinx இன் மிகைப்படுத்தப்பட்ட வரைபடங்களுடன். தெளிவுக்காக, மூன்று உயர் ஹார்மோனிக்ஸ் S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l மற்றும் S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx ஆகியவற்றின் வரைபடங்கள் செங்குத்தாக மாற்றப்படுகின்றன. எல் 37 வரை

38 படம். படம் 3. F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் S 99 (x) என்ற பகுதித் தொகையின் வரைபடம் அதன் மீது மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 31. அத்திப்பழத்தின் துண்டு. 3 மற்றொரு அளவில் 38

39 சிக்கல்கள் சிக்கல்களில், குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடரில் குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளை விரிவுபடுத்தவும். 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 என்றால் 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, 2n1 2 (2n l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx பாவம். π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x ஃபோரியர் தொடரின் சிக்கலான வடிவம் சிதைவு f(x) = c n e inx, இதில் c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., ஃபோரியர் தொடரின் சிக்கலான வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. செயல்பாடு ஒரு சிக்கலான ஃபோரியர் தொடராக விரிவடைகிறது, அதே நிலைமைகளின் கீழ் அது உண்மையான ஃபோரியர் தொடராக விரிவடைகிறது. நான்கு

41 எடுத்துக்காட்டு. தீர்வு. குணகங்களைக் கணக்கிடுவோம்: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) f செயல்பாட்டின் சிக்கலான ஃபோரியர் தொடர், einx இல் f(x) sh aπ π n= (1) n a வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. f(x) செயல்பாடு துண்டு துண்டாக மென்மையானது என்பதைச் சரிபார்ப்போம்: இடைவெளியில் (, π) அது தொடர்ந்து வேறுபடக்கூடியது, மேலும் x = ±π புள்ளிகளில் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகள் (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. எனவே, f(x) சார்பு, einx இல் ஃபோரியர் தொடரான ​​sh aπ π n= (1) n a ஆல் குறிக்கப்படலாம், இது கூட்டுத்தொகைக்கு இணைகிறது: ( e S(x) = ax என்றால் π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 எடுத்துக்காட்டு 11. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் சிக்கலான மற்றும் உண்மையான வடிவத்தில் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறியவும்.< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 வகுத்தல் q (q (q) உடன் எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை என்பதை நினைவில் கொள்க.< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 இப்போது ஃபோரியர் தொடரை உண்மையான வடிவத்தில் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, nக்கான n மற்றும் n எண்களைக் கொண்ட விதிமுறைகளை நாங்கள் தொகுக்கிறோம்: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx என்பதால் c = 1, பின்னர் 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 இது f(x) செயல்பாட்டின் உண்மையான வடிவத்தில் ஒரு ஃபோரியர் தொடர் ஆகும். எனவே, ஒரு முழுமையையும் கணக்கிடாமல், செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டோம். அவ்வாறு செய்யும்போது, ​​cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π அன் 2 1 a2, a என்ற அளவுருவைப் பொறுத்து கடினமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட்டோம்.< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 வடிவியல் முன்னேற்ற சூத்திரத்தின்படி ஒவ்வொரு எளிய பின்னங்களையும் விரிவுபடுத்துகிறோம்: + a z a = a 1 z 1 a = a n z z n, n = z a 1 z a = az = a n z n. n= இது சாத்தியம் ஏனெனில் az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, அல்லது, இன்னும் சுருக்கமாக, c n = 1 2i a n sgnn. எனவே, சிக்கலான வடிவத்தில் ஃபோரியர் தொடர் காணப்படுகிறது. n மற்றும் n எண்களுடன் சொற்களைக் கூட்டினால், செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரை உண்மையான வடிவத்தில் பெறுகிறோம்: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. மீண்டும், பின்வரும் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட முடிந்தது: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 பிரச்சனை 24. (15) ஐப் பயன்படுத்தி, உண்மையான a க்கு ஒருங்கிணைந்த cos nxdx 1 2a cosx + a 2 ஐக் கணக்கிடவும், a > பயன்படுத்தி (16), integral sin x sin nxdx ஐ உண்மையான a, a > a cosx + a2 க்கு கணக்கிடவும் , செயல்பாடுகளுக்கான சிக்கலான வடிவத்தில் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறியவும். 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. லியாபுனோவின் சமத்துவ தேற்றம் (லியாபுனோவின் சமத்துவம்). f: [, π] R ஆனது f 2 (x) dx ஆக இருக்கட்டும்< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. எனவே, f(x) செயல்பாட்டிற்கான லியாபுனோவ் சமத்துவம் வடிவம் பெறுகிறது: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. ஒரு πக்கான கடைசி சமத்துவத்திலிருந்து நாம் sin 2 na n 2 = a(π a) 2 a = π 2 எனக் கருதினால், n = 2k 1 க்கு sin2 na = 1 ஐப் பெறுகிறோம் மற்றும் n = 2k க்கு sin 2 na = ஐப் பெறுகிறோம். எனவே, k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. எடுத்துக்காட்டு 14. f(x) = x cosx, x [, π] செயல்பாட்டிற்கு Lyapunov சமத்துவத்தை எழுதி, எண்ணின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய அதைப் பயன்படுத்துவோம். தொடர் (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π தீர்வு. நேரடி கணக்கீடுகள் கொடுக்கின்றன = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π cos = 1 4 4π

49 f(x) ஒரு சமச் சார்பு என்பதால், எல்லா nக்கும் b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 என்றால் n = 2k, 2 என்றால் n = 2k + 1. குணகம் a 1 தனித்தனியாக கணக்கிடப்பட வேண்டும், ஏனெனில் n = 1 க்கான பொதுவான சூத்திரத்தில் பின்னத்தின் வகுத்தல் மறைந்துவிடும் . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 எனவே, f(x) செயல்பாட்டிற்கான லியாபுனோவ் சமத்துவம் வடிவம் கொண்டது: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π பிரச்சனை 32. லியாபுனோவ் சமத்துவத்தை எழுதவும் செயல்பாட்டிற்கு ( x f(x) = 2 πx என்றால் x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 பதில்கள் + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, இதில் c n என்பது ஃபோரியர் குணகம் 2π f(nx) ஃபோரியர் குணகம் செயல்பாடுகள் g(x) ஆகும். 6. ஃபோரியர் தொடரின் வேறுபாடு f: R R என்பது தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய 2π-காலச் செயல்பாடாக இருக்கட்டும். அதன் ஃபோரியர் தொடர் வடிவம் கொண்டது: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் f (x) ஒரு தொடர்ச்சியான மற்றும் 2π-காலச் செயல்பாடாக இருக்கும், இதற்காக ஒரு முறையான ஃபோரியர் தொடரை எழுதலாம்: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), இங்கு a, a n , b n, n = 1 , 2,... f (x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்கள். 51

52 தேற்றம் (ஃபோரியர் தொடரின் கால-படி-கால வேறுபாட்டின் மீது). மேலே உள்ள அனுமானங்களின் கீழ், a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 ஆகிய சமன்பாடுகள் உண்மை. உதாரணம் 15. ஒரு துண்டு-மென்மையான செயல்பாடு f(x) இடைவெளியில் [, π] தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். நிபந்தனை f(x)dx = திருப்தி அடையும் போது, ​​Steklov இன் சமத்துவமின்மை எனப்படும் சமத்துவமின்மை 2 dx 2 dx உள்ளது என்பதை நிரூபிப்போம், மேலும் அதில் உள்ள சமத்துவம் f(x) = A வடிவத்தின் செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே உணரப்படுகிறது என்பதை சரிபார்ப்போம். cosx. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஸ்டெக்லோவின் சமத்துவமின்மை நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது, இதன் கீழ் வழித்தோன்றலின் சிறிய தன்மை (rms இல்) செயல்பாட்டின் சிறிய தன்மையைக் குறிக்கிறது (rms இல்). தீர்வு. f(x) செயல்பாட்டை இடைவெளி [, ] வரை சமமாக நீட்டிப்போம். நீட்டிக்கப்பட்ட செயல்பாட்டை அதே சின்னமான f(x) மூலம் குறிக்கவும். பின்னர் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு தொடர்ச்சியாகவும், [, π] இடைவெளியில் துண்டு துண்டாக மென்மையாகவும் இருக்கும். f(x) செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், f 2 (x) என்பது இடைவெளியிலும் 2 dx லும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 தொடர்ச்சியான செயல்பாடு சமமாக இருப்பதால், b n =, a = நிபந்தனையின்படி. இதன் விளைவாக, லியாபுனோவ் சமத்துவம் 1 π 2 dx = a 2 π n வடிவத்தை எடுக்கிறது. (17) ஃபோரியர் தொடரின் கால-படி-கால வேறுபாட்டின் தேற்றத்தின் முடிவை f (x) திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை உறுதி செய்வோம், அதாவது a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. வழித்தோன்றல் f (x) இடைவெளியில் x 1, x 2,..., x N ஆகிய புள்ளிகளில் [, π] இடைவெளியில் இருக்கட்டும். x =, x N+1 = π ஐக் குறிக்கவும். ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியை [, π] N +1 இடைவெளிகளாகப் பிரிப்போம் (x, x 1),..., (x N, x N+1), அவை ஒவ்வொன்றிலும் f(x) தொடர்ந்து வேறுபடும். பின்னர், ஒருங்கிணைப்பின் சேர்க்கை பண்பைப் பயன்படுத்தி, பின்னர் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கப்படுவதால், நாம் பெறுகிறோம்: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= இதேபோல், நாம் ஒரு n = nb n ஐப் பெறுகிறோம். ஃபோரியர் தொடரின் கால-படி-கால வேறுபாட்டின் தேற்றம் ஒரு தொடர்ச்சியான துண்டு-மென்மையான 2π-காலச் செயல்பாட்டிற்கான [, π] இடைவெளியில் அதன் வழித்தோன்றல் முதல் வகையான இடைநிறுத்தங்களுக்கு உள்ளாகிறது என்பதை நாங்கள் காட்டியுள்ளோம். எனவே f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... ஏனெனில் 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 (18) இல் உள்ள தொடரின் ஒவ்வொரு காலமும் (17) தொடரின் தொடர்புடைய காலத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருப்பதால், பின்னர் 2 dx 2 dx. எஃப்(x) என்பது அசல் செயல்பாட்டின் சீரான தொடர்ச்சி என்பதை நினைவுகூர்ந்தால், எங்களிடம் 2 dx 2 dx உள்ளது. இது ஸ்டெக்லோவ் சமத்துவத்தை நிரூபிக்கிறது. ஸ்டெக்லோவின் சமத்துவமின்மையில் சமத்துவம் எந்தெந்த செயல்பாடுகளுக்கு உள்ளது என்பதை இப்போது ஆராய்வோம். குறைந்தது ஒரு n 2க்கு, குணகம் a n பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 சிக்கல்கள் 37. ஒரு துண்டு-மென்மையான செயல்பாடு f(x) இடைவெளியில் [, π] தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். நிபந்தனையின் கீழ் f() = f(π) = சமத்துவமின்மை 2 dx 2 dx, ஸ்டெக்லோவின் சமத்துவமின்மை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. . 38. ஒரு சார்பு f இடைவெளியில் [, π] தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும் மற்றும் அதில் ஒரு சதுர-ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய வழித்தோன்றல் f(x) இருக்கட்டும். f() = f(π) மற்றும் f(x) dx = ஆகிய நிபந்தனைகள் திருப்தி அடைந்தால், விர்டிங்கர் சமத்துவமின்மை எனப்படும் சமத்துவமின்மை 2 dx 2 dx உள்ளது, மேலும் அதில் உள்ள சமத்துவம் அதன் செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே நடைபெறுகிறது என்பதை நிரூபிக்கவும். வடிவம் f(x ) = A cosx + B sinx. 56

57 7. பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஃபோரியர் தொடரின் பயன்பாடு ஒரு உண்மையான பொருளைப் படிக்கும் போது (இயற்கை நிகழ்வுகள், உற்பத்தி செயல்முறை, கட்டுப்பாட்டு அமைப்பு போன்றவை), இரண்டு காரணிகள் குறிப்பிடத்தக்கதாக மாறும்: ஆய்வின் கீழ் உள்ள பொருளைப் பற்றிய திரட்டப்பட்ட அறிவின் அளவு மற்றும் கணித கருவியின் வளர்ச்சியின் அளவு. விஞ்ஞான ஆராய்ச்சியின் தற்போதைய கட்டத்தில், பின்வரும் சங்கிலி உருவாக்கப்பட்டுள்ளது: ஒரு நிகழ்வு ஒரு இயற்பியல் மாதிரி மற்றும் கணித மாதிரி. சிக்கலின் இயற்பியல் உருவாக்கம் (மாதிரி) பின்வருமாறு: செயல்முறையின் வளர்ச்சிக்கான நிலைமைகள் மற்றும் அதை பாதிக்கும் முக்கிய காரணிகள் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. கணித உருவாக்கம் (மாதிரி) என்பது இயற்பியல் உருவாக்கத்தில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட காரணிகள் மற்றும் நிபந்தனைகளை சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் (இயற்கணிதம், வேறுபாடு, ஒருங்கிணைந்த, முதலியன) விவரிக்கிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டு இடத்தில், பிரச்சனைக்கான தீர்வு தனித்துவமாகவும், தொடர்ச்சியாகவும் ஆரம்ப மற்றும் எல்லை நிலைமைகளைச் சார்ந்து இருந்தால், அது நன்கு முன்வைக்கப்படும் என்று கூறப்படுகிறது. கணித மாதிரியானது பரிசீலனையில் உள்ள பொருளுக்கு ஒத்ததாக இல்லை, ஆனால் அதன் தோராயமான விளக்கம் சரத்தின் இலவச சிறிய குறுக்கு அதிர்வுகளின் சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல். நாங்கள் பாடப்புத்தகத்தைப் பின்பற்றுவோம். சரத்தின் முனைகள் நிலையானதாக இருக்கட்டும், மேலும் சரம் இறுக்கமாக இருக்கட்டும். சரம் சமநிலையிலிருந்து வெளியே எடுக்கப்பட்டால் (உதாரணமாக, அதை இழுத்து அல்லது அடிப்பதன் மூலம்), சரம் 57 தொடங்கும்

58 தயக்கம். சரத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் அதன் சமநிலை நிலைக்கு (குறுக்கு அதிர்வுகள்) செங்குத்தாக நகரும் என்றும், ஒவ்வொரு தருணத்திலும் சரம் ஒரே விமானத்தில் இருக்கும் என்றும் நாம் கருதுவோம். இந்த விமானத்தில் செவ்வக ஆய xou அமைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம். பின்னர், ஆரம்ப நேரத்தில் t = சரம் அச்சு ஆக்ஸில் அமைந்திருந்தால், u என்பது சமநிலை நிலையில் இருந்து சரத்தின் விலகலைக் குறிக்கும், அதாவது, தன்னிச்சையான நேரத்தில் t இல் abscissa x உடன் சரப் புள்ளியின் நிலை. u(x, t) செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது. t இன் ஒவ்வொரு நிலையான மதிப்புக்கும், u(x, t) செயல்பாட்டின் வரைபடம் t நேரத்தில் அதிர்வுறும் சரத்தின் வடிவத்தைக் குறிக்கிறது (படம் 32). x இன் நிலையான மதிப்பில், u (x, t) சார்பு, Ou அச்சுக்கு இணையான நேர்கோட்டில் abscissa x உடன் ஒரு புள்ளியின் இயக்க விதியை வழங்குகிறது, u t என்பது இந்த இயக்கத்தின் வேகம் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் 2 u t 2 என்பது முடுக்கம். அரிசி. 32. ஒரு சரத்தின் எல்லையற்ற சிறிய பகுதிக்கு பயன்படுத்தப்படும் விசைகள் u(x, t) செயல்பாடு பூர்த்தி செய்ய வேண்டிய சமன்பாட்டை எழுதுவோம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் இன்னும் சில எளிமையான அனுமானங்களைச் செய்கிறோம். சரம் முற்றிலும் நெகிழ்வானது என்று நாம் கருதுவோம்.

59 coy, அதாவது, சரம் வளைவதை எதிர்க்காது என்று வைத்துக்கொள்வோம்; இதன் பொருள் சரத்தில் எழும் அழுத்தங்கள் எப்போதும் அதன் உடனடி சுயவிவரத்திற்கு தொடுநிலையாக இயக்கப்படுகின்றன. சரம் மீள் மற்றும் ஹூக்கின் சட்டத்திற்கு உட்பட்டதாக கருதப்படுகிறது; இதன் பொருள் பதற்றம் விசையின் அளவு மாற்றம் சரத்தின் நீளத்தின் மாற்றத்திற்கு விகிதாசாரமாகும். சரம் ஒரே மாதிரியானது என்று வைத்துக் கொள்வோம்; இதன் பொருள் அதன் நேரியல் அடர்த்தி ρ நிலையானது. வெளிப்புற சக்திகளை நாங்கள் புறக்கணிக்கிறோம். இலவச அலைவுகளை நாங்கள் பரிசீலித்து வருகிறோம் என்பதே இதன் பொருள். ஒரு சரத்தின் சிறிய அதிர்வுகளை மட்டுமே படிப்போம். நாம் ϕ(x, t) மூலம் abscissa அச்சுக்கும் தொடுகோடுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தை t இல் abscissa x உடன் புள்ளியில் இருந்தால், சிறிய அலைவுகளின் நிபந்தனை ϕ 2 (x, t) ϕ (x, t) உடன் ஒப்பிடுகையில் புறக்கணிக்கப்படலாம், அதாவது, ϕ 2. கோணம் ϕ சிறியதாக இருப்பதால், cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, எனவே, மதிப்பு (u x x,) 2 ஆகவும் இருக்கலாம். புறக்கணிக்கப்படும். ஊசலாட்டத்தின் செயல்பாட்டில், சரத்தின் எந்தப் பிரிவின் நீளத்திலும் ஏற்படும் மாற்றத்தை நாம் புறக்கணிக்க முடியும் என்பதை இது உடனடியாகப் பின்பற்றுகிறது. உண்மையில், M 1 M 2 சரத்தின் நீளம் x-அச்சின் இடைவெளியில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது, இதில் x 2 = x 1 + x, l = x 2 x () 2 u dx x க்கு சமம். x நமது அனுமானங்களின்படி, T இன் அழுத்த விசையின் மதிப்பு முழு சரத்திலும் நிலையானதாக இருக்கும் என்பதைக் காட்டுவோம். இதைச் செய்ய, t நேரத்தில் M 1 M 2 (படம் 32) சரத்தின் சில பகுதியை எடுத்து, நிராகரிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் செயல்பாட்டை மாற்றுவோம்.

60 கோவ் பதற்றம் சக்திகள் T 1 மற்றும் T 2. நிபந்தனையின் படி, சரத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் Ou அச்சுக்கு இணையாக நகரும் மற்றும் வெளிப்புற சக்திகள் இல்லை என்பதால், ஆக்ஸ் அச்சில் உள்ள பதற்ற சக்திகளின் கணிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. எனவே, ϕ 1 = ϕ(x 1, t) மற்றும் ϕ 2 = ϕ(x 2, t) கோணங்களின் சிறிய தன்மை காரணமாக, T 1 = T 2 என்று முடிவு செய்கிறோம். T 1 = T 2 இன் பொது மதிப்பைக் குறிக்கவும். T ஆல். இப்போது Ou அச்சில் உள்ள அதே சக்திகளின் F u கணிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுகிறோம்: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) சிறிய கோணங்களுக்கு sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), மற்றும் tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x என்பதால், சமன்பாடு (2) F u T என மீண்டும் எழுதப்படலாம். (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . புள்ளி x 1 தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதால், F u T 2 u x2(x, t) x. M 1 M 2 பிரிவில் செயல்படும் அனைத்து சக்திகளும் கண்டறியப்பட்ட பிறகு, நியூட்டனின் இரண்டாவது விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம், அதன்படி நிறை மற்றும் முடுக்கம் ஆகியவற்றின் தயாரிப்பு அனைத்து செயல்படும் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். M 1 M 2 சரத்தின் நிறை m = ρ l ρ x க்கு சமம், மேலும் முடுக்கம் 2 u(x, t) க்கு சமம். நியூட்டனின் t 2 சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, இதில் α 2 = T ρ என்பது ஒரு நிலையான நேர்மறை எண்ணாகும். 6

61 x ஆல் குறைத்தால், நாம் 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t) ஐப் பெறுகிறோம். (21) இதன் விளைவாக, நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான பகுதி வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம். இது சரம் அதிர்வு சமன்பாடு அல்லது ஒரு பரிமாண அலை சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமன்பாடு (21) என்பது நியூட்டனின் விதியின் மறுசீரமைப்பு மற்றும் ஒரு சரத்தின் இயக்கத்தை விவரிக்கிறது. ஆனால் சிக்கலின் இயற்பியல் உருவாக்கத்தில், சரத்தின் முனைகள் நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய தேவைகள் இருந்தன மற்றும் ஒரு கட்டத்தில் சரத்தின் நிலை அறியப்படுகிறது. இந்த நிபந்தனைகளை சமன்பாடுகளில் பின்வருமாறு எழுதுவோம்: a) சரத்தின் முனைகள் x = மற்றும் x = l என்ற புள்ளிகளில் நிலையானதாக இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது, அனைத்து t உறவுகளுக்கும் u(, t) = என்று வைத்துக்கொள்வோம். , u(l, t) = ; (22) b) அந்த நேரத்தில் t = சரத்தின் நிலை f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது, அனைத்து x [, l] க்கும் சமத்துவம் u(x, ) = f (x); (23) c) அந்த நேரத்தில் t = abscissa x உடன் உள்ள சரத்தின் புள்ளிக்கு g(x) வேகம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது, u (x,) = g(x) என்று வைத்துக்கொள்வோம். (24) t உறவுகள் (22) எல்லை நிலைகள் என்றும், உறவுகள் (23) மற்றும் (24) ஆரம்ப நிலைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இலவச சிறிய குறுக்குவெட்டின் கணித மாதிரி 61

62 சர அதிர்வுகள் என்பது சமன்பாடு (21) ஐ எல்லை நிலைமைகள் (22) மற்றும் ஆரம்ப நிலைகள் (23) மற்றும் (24) ஃபோரியர் முறை மூலம் சரத்தின் இலவச சிறிய குறுக்கு அதிர்வுகளின் சமன்பாட்டின் தீர்வு ஆகியவற்றைத் தீர்ப்பது அவசியம்.< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. (25) ஐ (21) மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: X T = α 2 X T, (26) அல்லது T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) மாறிகளைப் பிரித்தல் இருந்ததாகக் கூறப்படுகிறது. x மற்றும் t ஆகியவை ஒன்றையொன்று சார்ந்திருக்காததால், (27) இல் உள்ள இடது பக்கம் x ஐச் சார்ந்து இல்லை, ஆனால் வலது பக்கம் t ஐச் சார்ந்தது அல்ல, மேலும் இந்த விகிதங்களின் மொத்த மதிப்பு 62 ஆகும்.

63 நிலையானதாக இருக்க வேண்டும், இதை நாம் λ ஆல் குறிக்கிறோம்: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. எனவே நாம் இரண்டு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) இந்த வழக்கில், எல்லை நிபந்தனைகள் (22) X()T(t) = மற்றும் X(l)T(t) = வடிவத்தை எடுக்கும். அவை அனைத்து t, t > க்கும் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும் என்பதால், X() = X(l) =. (3) சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்போம் (28) திருப்திகரமான எல்லை நிலைமைகள் (3). மூன்று வழக்குகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். வழக்கு 1: λ >. λ = β 2 ஐக் குறிக்கவும். சமன்பாடு (28) X (x) β 2 X(x) = வடிவத்தை எடுக்கும். அதன் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு k 2 β 2 = k = ±β வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, Eq. (28) இன் பொதுவான தீர்வு X(x) = C e βx + De βx வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. நாம் C மற்றும் D ஆகிய மாறிலிகளைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும், அதனால் எல்லை நிபந்தனைகள் (3) சந்திக்கப்படும், அதாவது X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. β இலிருந்து, இந்த சமன்பாடு அமைப்பு C = D = ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. எனவே X(x) மற்றும் 63

64 u(x, t). எனவே, வழக்கு 1 நாங்கள் ஒரு அற்பமான தீர்வைப் பெற்றுள்ளோம், அதை நாங்கள் மேலும் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம். வழக்கு 2: λ =. பின்னர் சமன்பாடு (28) X (x) = வடிவத்தை எடுக்கும் மற்றும் அதன் தீர்வு வெளிப்படையாக சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது: X(x) = C x+d. இந்த தீர்வை எல்லை நிலைகளில் (3) மாற்றுவதன் மூலம், நாம் X() = D = மற்றும் X(l) = Cl = பெறுகிறோம், எனவே C = D =. எனவே X(x) மற்றும் u(x, t), மற்றும் எங்களிடம் மீண்டும் ஒரு அற்பமான தீர்வு உள்ளது. வழக்கு 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 பின்வருவனவற்றில், n = 1, 2,... நேர்மறை மதிப்புகளை மட்டுமே nக்கு ஒதுக்குவோம், ஏனெனில் எதிர்மறை n க்கு, அதே வடிவத்தின் (nπ) தீர்வுகள் பெறப்படும். மதிப்புகள் λ n = ஆகும். eigenvalues ​​எனப்படும், மற்றும் செயல்பாடுகள் X n (x) = C n sin πnx eigenfunctions of differential equation (28) with border condition (3). இப்போது சமன்பாட்டை (29) தீர்ப்போம். அவரைப் பொறுத்தவரை, பண்புச் சமன்பாடு k 2 α 2 λ = வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. (32) l 2 λ = n2 π 2 க்கு சமமான எதிர்மறையான λ க்கு மட்டுமே சமன் (28) X(x) இன் அற்பமான தீர்வுகள் உள்ளன என்பதை நாம் மேலே கண்டறிந்ததால், இந்த λ தான் கீழே கருத்தில் கொள்வோம். சமன்பாட்டின் வேர்கள் (32) k = ±iα λ, மற்றும் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் (29) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l இங்கு A n மற்றும் B n என்பது தன்னிச்சையான மாறிலிகள். சூத்திரங்களை (31) மற்றும் (33) (33) ஐ (25) மாற்றுவதன் மூலம், எல்லை நிலைமைகளை (22) பூர்த்தி செய்யும் சமன்பாட்டின் (21) குறிப்பிட்ட தீர்வுகளைக் காண்கிறோம்: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n பாவம் pnx. l l l காரணி C n ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளிட்டு, C n A n = b n மற்றும் B n C n = a n குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்தி, u n (X, T) ஐ (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt என எழுதுகிறோம். ) பாவம் pnx. (34) l l l 65

66 u n (x, t) தீர்வுகளுடன் தொடர்புடைய சரத்தின் அதிர்வுகள் சரத்தின் இயற்கையான அதிர்வுகள் எனப்படும். சமன்பாடு (21) மற்றும் எல்லை நிலைகள் (22) நேரியல் மற்றும் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், தீர்வுகளின் நேரியல் கலவை (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l a ஆக இருக்கும் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (21 ) எல்லை நிபந்தனைகளை (22) திருப்திப்படுத்தும் குணகங்களின் ஒரு சிறப்பு தேர்வு a n மற்றும் b n, இது தொடரின் சீரான ஒருங்கிணைப்பை உறுதி செய்கிறது. இப்போது நாம் கரைசலின் a n மற்றும் b n ஆகிய குணகங்களைத் தேர்வு செய்கிறோம் (35) அதனால் அது எல்லை நிலைகளை மட்டும் திருப்திப்படுத்துகிறது, ஆனால் ஆரம்ப நிலைகள் (23) மற்றும் (24), f(x), g(x) செயல்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன ( மேலும், f() = f (l) = g() = g(l) =). F(x) மற்றும் g(x) செயல்பாடுகள் ஃபோரியர் விரிவாக்க நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்வதாக நாங்கள் கருதுகிறோம். மதிப்பு t = (35) ஐ மாற்றினால், நாம் u (x,) = a n sin πnx l = f(x) ஐப் பெறுகிறோம். t ஐப் பொறுத்து தொடர்களை (35) வேறுபடுத்தி, t = ஐ மாற்றினால், நாம் u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x) ஐப் பெறுகிறோம், மேலும் இது f(x) மற்றும் g(x) செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கமாகும். ஃபோரியர் தொடரில். எனவே, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 a n மற்றும் b n குணகங்களுக்கான வெளிப்பாடுகளை தொடரில் (35) மாற்றுவதன் மூலம், எல்லை நிலைகள் (22) மற்றும் ஆரம்ப நிலைகள் (23) மற்றும் (24) ஆகியவற்றை பூர்த்தி செய்யும் சமன்பாட்டிற்கான (21) தீர்வைப் பெறுகிறோம். இவ்வாறு, ஒரு சரத்தின் இலவச சிறிய குறுக்கு அதிர்வுகளின் சிக்கலை நாங்கள் தீர்த்துள்ளோம். ஃபார்முலா (34) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சரத்தின் இலவச அதிர்வுகளின் சிக்கலின் eigenfunctions u n (x, t) இயற்பியல் அர்த்தத்தை தெளிவுபடுத்துவோம். u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n என மீண்டும் எழுதுவோம். l a n ஃபார்முலா (37) சரத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் ஒரே அதிர்வெண் ω n = πnα மற்றும் கட்டம் πnα δ n உடன் இணக்கமான அலைவுகளைச் செய்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. அலைவு வீச்சு, சரப் புள்ளியின் abscissa x ஐச் சார்ந்தது மற்றும் α n sin πnxக்கு சமம். அத்தகைய ஊசலாட்டத்துடன், சரத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் ஒரே நேரத்தில் ஒரு திசையில் அல்லது மற்றொரு திசையில் அதிகபட்ச விலகலை அடைந்து ஒரே நேரத்தில் சமநிலை நிலையை கடந்து செல்கின்றன. இத்தகைய ஊசலாட்டங்கள் நிற்கும் அலைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. நிற்கும் அலையானது [, l] இடைவெளியில் sin πnx = சமன்பாட்டின் வேர்களால் கொடுக்கப்பட்ட n + 1 நிலையான புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும். நிலையான புள்ளிகள் நிற்கும் அலையின் முனைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. முனைகளுக்கு இடையில் நடுவில் - l mi என்பது விலகல்கள் அதிகபட்சமாக அடையும் புள்ளிகள்; அத்தகைய புள்ளிகள் ஆன்டினோடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு சரமும் கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட அதிர்வெண்களின் சொந்த அலைவுகளைக் கொண்டிருக்கலாம் ω n = πnα, n = 1, 2,.... இந்த அதிர்வெண்கள் சரத்தின் இயற்கை அதிர்வெண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு சரம் உருவாக்கக்கூடிய மிகக் குறைந்த எல் டோன் தானே தீர்மானிக்கப்படுகிறது 67

68 குறைந்த இயற்கை அதிர்வெண் ω 1 = π T மற்றும் சரத்தின் அடிப்படை தொனி என்று அழைக்கப்படுகிறது. l ρ அதிர்வெண்களுடன் தொடர்புடைய மீதமுள்ள டோன்கள் ω n, n = 2, 3,..., ஓவர்டோன்கள் அல்லது ஹார்மோனிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. தெளிவுக்காக, அடிப்படை தொனியை (படம் 33), முதல் ஓவர்டோன் (படம் 34) மற்றும் இரண்டாவது ஓவர்டோன் (படம் 35) வெளியிடும் சரத்தின் வழக்கமான சுயவிவரங்களை சித்தரிப்போம். அரிசி. படம் 33. அடிப்படை தொனியை வெளியிடும் சரத்தின் சுயவிவரம். படம் 34. முதல் ஓவர்டோனை வெளியிடும் சரத்தின் சுயவிவரம். படம் 35. இரண்டாவது ஓவர்டோனை வெளியிடும் சரத்தின் சுயவிவரம் ஆரம்ப நிலைகளால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட இலவச அதிர்வுகளை சரம் நிகழ்த்தினால், u(x, t) செயல்பாடு குறிப்பிடப்படுகிறது, சூத்திரத்தில் (35) இருந்து பார்க்க முடியும். தனிப்பட்ட ஹார்மோனிக்ஸ். இவ்வாறு தன்னிச்சையான அலைவு 68

69வது சரம் என்பது நிற்கும் அலைகளின் மேல்நிலை. இந்த வழக்கில், சரத்தின் ஒலியின் தன்மை (தொனி, ஒலி வலிமை, டிம்ப்ரே) தனிப்பட்ட ஹார்மோனிக்ஸின் வீச்சுகளுக்கு இடையிலான விகிதத்தைப் பொறுத்தது.அதிர்வு சரம் ஒரு அதிர்வுறும் சரம் மனிதனால் உணரப்படும் காற்று அதிர்வுகளை தூண்டுகிறது. காது ஒரு சரத்தால் வெளிப்படும் ஒலி. ஒலியின் வலிமையானது அதிர்வுகளின் ஆற்றல் அல்லது வீச்சால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது: அதிக ஆற்றல், ஒலியின் வலிமை அதிகமாகும். ஒலியின் சுருதி அதன் அதிர்வெண் அல்லது அலைவு காலத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: அதிக அதிர்வெண், அதிக ஒலி. ஓவர்டோன்களின் இருப்பு, ஹார்மோனிக்ஸ் மீது ஆற்றலின் விநியோகம், அதாவது அலைவுகளின் தூண்டுதலின் முறை ஆகியவற்றால் ஒலியின் டிம்பர் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. ஓவர்டோன்களின் வீச்சுகள், பொதுவாக பேசும் போது, ​​அடிப்படையின் வீச்சுகளை விட குறைவாக இருக்கும், மேலும் ஓவர்டோன்களின் கட்டங்கள் தன்னிச்சையாக இருக்கலாம். அலைவுகளின் கட்டத்திற்கு நம் காது உணர்திறன் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, படத்தில் உள்ள இரண்டு வளைவுகளை ஒப்பிடுக. 36, இருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது. இது கிளாரினெட் (a) மற்றும் பியானோ (b) ஆகியவற்றிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்ட அதே அடிப்படை தொனியுடன் கூடிய ஒலியின் பதிவு ஆகும். இரண்டு ஒலிகளும் எளிமையான சைனூசாய்டல் அலைவுகள் அல்ல. இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் ஒலியின் அடிப்படை அதிர்வெண் ஒன்றுதான், இது ஒரே தொனியை உருவாக்குகிறது. ஆனால் வளைவு வடிவங்கள் வேறுபட்டவை, ஏனெனில் வெவ்வேறு மேலோட்டங்கள் அடிப்படை தொனியில் மிகைப்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு வகையில், இந்த வரைபடங்கள் டிம்பர் என்றால் என்ன என்பதைக் காட்டுகின்றன. 69

ஹைபர்போலிக் வகையின் சமன்பாடுகள். எல்லையற்ற மற்றும் அரை-முடிவற்ற சரத்தின் அதிர்வுகள். ஃபோரியர் முறை ஃபோரியர் முறை நிற்கும் அலைகள் 4 விரிவுரை 4.1 ஹைபர்போலிக் வகை சமன்பாடுகள். எல்லையற்ற மற்றும் அரை முடிவிலா ஏற்ற இறக்கங்கள்

மாஸ்கோ மாநில சிவில் ஏவியேஷன் தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம் வி.எம். லியுபிமோவ், ஈ.ஏ. ஜுகோவா, வி.ஏ. உகோவா, யு.ஏ. ஷுரினோவ்

ரஷ்யாவின் கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம் உயர் நிபுணத்துவ கல்விக்கான மத்திய மாநில பட்ஜெட் கல்வி நிறுவனம் மதி ரஷ்ய மாநில தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம் K. E. சியோல்கோவ்ஸ்கியின் பெயரிடப்பட்டது

பெலாரஸ் குடியரசின் கல்வி அமைச்சகம் Vitebsk மாநில தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழக தலைப்பு. "வரிசைகள்" கோட்பாட்டு மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதம் துறை. அசோக் உருவாக்கப்பட்டது. இ.பி. துனினா. முக்கிய

கல்விக்கான ஃபெடரல் ஏஜென்சி ஃபெடரல் ஸ்டேட் எஜுகேஷனல் இன்ஸ்டிடியூஷன் ஆஃப் ஹையர் புரொஃபஷனல் எஜுகேஷன் சௌதர்ன் ஃபெடரல் யுனிவர்சிட்டி ஆர். எம். கவ்ரிலோவா, ஜி.எஸ். கோஸ்டெட்ஸ்காயா மெத்தடிகல்

தலைப்பு ஃபோரியர் தொடர் நடைமுறைப் பாடம் ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாடுகளின் ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகளில் துண்டு துண்டாக தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் இடைவெளி பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஃபோரியர் தொடர் 3 பெசல் சமத்துவமின்மை மற்றும் ஃபோரியர் தொடர் விண்வெளியின் ஒருங்கிணைப்பு

தொடர்களின் கோட்பாடு கணித பகுப்பாய்வின் மிக முக்கியமான அங்கமாகும், மேலும் இது கோட்பாட்டு மற்றும் பல நடைமுறை பயன்பாடுகளைக் கண்டறிகிறது. எண் மற்றும் செயல்பாட்டு தொடர்களை வேறுபடுத்துங்கள்.

உள்ளடக்கங்கள் ஃபோரியர் தொடர் 4 ஒரு காலச் சார்பின் கருத்து 4 முக்கோணவியல் பல்லுறுப்புக்கோவை 6 3 ஆர்த்தோகனல் சார்பு அமைப்புகள் 4 முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர் 3 5 சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளுக்கான ஃபோரியர் தொடர் 6 6 சிதைவு

கல்விக்கான ஃபெடரல் ஏஜென்சி மாஸ்கோ மாநில ஜியோடெஸி மற்றும் கார்ட்டோகிராஃபி பல்கலைக்கழகம் (MIIGAiK) உயர் கணிதப் பாடத்தில் சுயாதீனப் பணிக்கான வழிமுறைகள் மற்றும் பணிகளுக்கான வழிமுறைகள்

விரிவுரை 4. ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு. ஃபோரியர் தொடர் கால செயல்பாடுகள். ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தில், ஒருவர் அடிக்கடி குறிப்பிட்ட கால நிகழ்வுகளை எதிர்கொள்ள வேண்டும், அதாவது மீண்டும் மீண்டும் நிகழும் நிகழ்வுகள்.

தலைப்பு V ஃபோரியர் தொடர் விரிவுரை 6 ஃபோரியர் தொடரில் ஒரு குறிப்பிட்ட காலச் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம் இயற்கையிலும் தொழில்நுட்பத்திலும் நிகழும் பல செயல்முறைகள் குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன.

உயர் கணிதப் பாடத்தில் கணக்கிடும் பணிகளுக்கான முறையான வழிமுறைகள் "சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் தொடர் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள்" பகுதி III தீம் தொடர் எண்கள் மற்றும் உள்ளடக்கங்களின் வேறுபாடுகள்

6 ஃபோரியர் தொடர்கள் 6 ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகளின் செயல்பாடுகள் ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாடுகளின் ஆர்த்தோகனல் அமைப்பின் அடிப்படையில் ϕ () மற்றும் ψ (), [, ] பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாடுகள் இந்த பிரிவில் ஆர்த்தோகனல் எனப்படும்

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. ஒருங்கிணைந்த தொகைகள் மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு [, b ] பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சார்பு y = f ()< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 பவர் சீரிஸ் 5 பவர் சீரிஸ்: வரையறை, ஒருங்கிணைப்பின் களம் (அ + அ) + அ () + கே + ஏ () + கே அ) (, (5) எண்கள் பவர் சீரிஸ் எண்கள் எனப்படும்.

பெலாருசியன் ஸ்டேட் யுனிவர்சிட்டி ஆஃப் அப்ளைடு கணிதம் மற்றும் தகவல் அறிவியல் துறை, பயன்பாட்டு கணிதம் மற்றும் தகவல் பீட மாணவர்களுக்கான உயர் கணிதம் கற்பித்தல் உதவி

சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். உதாரணமாக. ஒரு எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம் இந்தத் தொடரின் பொதுவான சொல்லுக்கான சூத்திரம் a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. அதன் பகுதித் தொகைகளைக் கணக்கிடுவோம். q = என்றால், பின்னர்

பணி 1.1. சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பகுதியில் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இல்லாத வேறுபாடு சமன்பாட்டின் y = y(x) தீர்வுகளைக் கண்டறிந்து, கொடுக்கப்பட்ட எல்லை நிலைமைகளை (ஸ்டர்ம்-லியோவில் பிரச்சனை) பூர்த்தி செய்யவும்: தீர்வு: கருத்தில் கொள்ளுங்கள்

கணித பகுப்பாய்வு தலைப்பு: திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு விரிவுரையாளர் பகோமோவா ஈ.ஜி. 2017 அத்தியாயம் II. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகள் 1. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் பண்புகள் 1. பணிகள்,

விரிவுரை 8 4 ஸ்டர்ம்-லியோவில் பிரச்சனை

உரைக்கான விளக்கங்கள்: அடையாளம் "சமமானதாக" படிக்கப்படுகிறது மற்றும் அடையாளத்தின் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் உள்ள சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன, ஐஆர் அடையாளம் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது, அடையாளம் IN

82 4. பிரிவு 4. செயல்பாட்டு மற்றும் சக்தி தொடர் 4.2. பாடம் 3 4.2. பாடம் 3 4.2.. ஒரு செயல்பாட்டின் டெய்லர் விரிவாக்கம் 4.2.

ரஷ்யாவின் கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம் ஃபெடரல் ஸ்டேட் பட்ஜெட் கல்வி நிறுவனம் உயர் தொழில்முறை கல்வி "சமரா மாநில தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம்" பயன்பாட்டு கணிதவியல் துறை

இரயில்வே போக்குவரத்துக்கான ஃபெடரல் ஏஜென்சி யூரல் ஸ்டேட் யுனிவர்சிட்டி ஆஃப் ரயில்வே டிரான்ஸ்போர்ட் துறை "உயர்ந்த மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதம்" N. P. Chuev இன் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு முறையின் கூறுகள்

விரிவுரை 3 டெய்லர் மற்றும் மெக்லாரின் தொடர் பவர் சீரிஸின் பயன்பாடு டெய்லர் மற்றும் மேக்லாரின் தொடர்களில் செயல்பாடுகளை விரிவுபடுத்துதல்.

எஸ் ஏ லாவ்ரென்சென்கோ wwwwrckoru விரிவுரை ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட உருமாற்றத்தின் கருத்து கணித இயற்பியலின் சக்திவாய்ந்த முறைகளில் ஒன்றாகும் மற்றும் இது ஒரு சக்திவாய்ந்த தீர்வாகும்.

ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு (ரீமான் படி) மற்றும் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் 1. நிலையான செயல்பாடு f(x) = C இல் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது, ஏனெனில் எந்தப் பகிர்வுகளுக்கும் மற்றும் புள்ளிகளின் எந்தத் தேர்வுக்கும் ξ i ஒருங்கிணைப்பு

நான் நிச்சயமாக, பணி. ரீமான் செயல்பாடு, 0, m m R(), என்றால், m, m 0, மற்றும் பின்னம் குறைக்க முடியாதது, 0, பகுத்தறிவற்றதாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு புள்ளியிலும் இடைவிடாது மற்றும் ஒவ்வொரு பகுத்தறிவற்ற புள்ளியிலும் தொடர்கிறது என்பதை நிரூபிக்கவும். தீர்வு.

1 2 பொருளடக்கம் 1 ஃபோரியர் தொடர் 5 1.1 முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர் .................. 5 1.2 மட்டும் sin & cos ............. ............ 7 1.3 ஃபோரியர் தொடர் சிக்கலான வடிவத்தில்............. 11 1.4 f(x) = c k?......... ......

கணித இயற்பியல் சமன்பாடுகள் 1. பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

விரிவுரை 4. அலை சமன்பாடுகள் 1. சரம் அதிர்வுகளின் சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல் 2. ஒரு தடியின் நீளமான அதிர்வுகளின் சமன்பாடு 3. ஆரம்ப நிலைகள், எல்லை நிலைகள் 4. சிக்கல் அறிக்கை 1. சரம் அதிர்வுகளின் சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

1. மின்னியல் 1 1. மின்னியல் பாடம் 6 கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில் மாறிகளைப் பிரித்தல் 1.1. (சிக்கல் 1.49) z = விமானம் அடர்த்தி σ (x, y) = σ பாவம் (αx) பாவம் (βy), இங்கு σ, α, β ஆகியவை மாறிலிகள்.

தொகுதி தலைப்பு செயல்பாடு வரிசைகள் மற்றும் தொடர்களின் சீரான ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள் மற்றும் தொடர் பவர் தொடர் விரிவுரை செயல்பாடு வரிசைகள் மற்றும் தொடர்கள் சீரான வரையறைகள்

பரவளைய வகை சமன்பாடுகள். மாறிகளை பிரிக்கும் முறை ஒரே மாதிரியான எல்லை மதிப்பு சிக்கல் மூல செயல்பாடு சீரற்ற வெப்ப சமன்பாடு 7 விரிவுரை 7.1 பரவளைய வகை சமன்பாடுகள். பிரிக்கும் முறை

விரிவுரை எண் தொடர் ஒருங்கிணைப்பின் அறிகுறிகள் எண் தொடர் ஒருங்கிணைப்பின் அறிகுறிகள் + + + + எண்ணியல் வரிசையின் எல்லையற்ற வெளிப்பாடு, எண்ணற்ற ஒன்றின் உறுப்பினர்களைக் கொண்டது, இது எண் தொடர் என அழைக்கப்படுகிறது.

35 7 முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர் ஃபோரியர் தொடர்கள் T காலத்துடன் கூடிய காலச் செயல்பாடுகளுக்கு.

உயர் கணிதவியல் துறையின் உலோகவியல் பீடம்

தொலைதூரத் தொழில்நுட்பங்களைப் பயன்படுத்திப் படிக்கும் இடைநிலைத் தொழிற்கல்வி மாணவர்களுக்கான உயர் கணிதக் கல்வி மற்றும் முறையியல் வளாகத்தின் கணிதம் மற்றும் தகவலியல் கூறுகள் தொகுதி வேறுபட்ட கால்குலஸ் தொகுக்கப்பட்டது:

9. ஆண்டிடெரிவேடிவ் மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு 9.. f() சார்பு I R இடைவெளியில் கொடுக்கப்படட்டும். F () சார்பு, எந்த I க்கும் F () = f() மற்றும் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் எனில், I இன் இடைவெளியில் உள்ள antiderivative செயல்பாடு f() என அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துதல். f(

ஹைபர்போலிக் வகையின் சமன்பாடுகள். எல்லையற்ற மற்றும் அரை-முடிவற்ற சரத்தின் அதிர்வுகள். d'Alembert's method Infinite string. d'Alembert சூத்திரம் அரை எல்லையற்ற சரம் 3 விரிவுரை 3.1 ஹைபர்போலிக் வகை சமன்பாடுகள்.

தலைப்பு அறிமுகம். அடிப்படை கருத்துக்கள்.... 4 1. வோல்டெரா ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள்... 5 வீட்டுப்பாட விருப்பங்கள்.... 8 2. வோல்டெரா ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டின் தீர்வு. 10 வீட்டுப்பாட விருப்பங்கள்.... 11

வரிசைகள். எண் கோடுகள். அடிப்படை வரையறைகள் எண்களின் எல்லையற்ற வரிசையைக் கொடுக்கலாம் வெளிப்பாடு (எல்லையற்ற தொகை) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= என்பது a எனப்படும் எண் தொடர். எண்கள்

8. சக்தித் தொடர் 8.. c n (z) n, (8.) n= வடிவத்தின் செயல்பாட்டுத் தொடர் c n என்பது ஒரு எண் வரிசை, R என்பது ஒரு நிலையான எண், மற்றும் z R என்பது c n குணகங்களைக் கொண்ட சக்தித் தொடர் என அழைக்கப்படுகிறது. . மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம்

~ ~ காலவரையற்ற மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள் எதிர் வழித்தோன்றல் மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து. வரையறை: இந்தச் செயல்பாடுகள் பின்வருமாறு தொடர்புடையதாக இருந்தால், F சார்பு fஐப் பொறுத்தமட்டில் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் எனப்படும்.

3724 பல மற்றும் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளின் தொடர் 1 பிரிவுகளின் வேலைத் திட்டம் "பல மற்றும் வளைவு ஒருங்கிணைப்புகளின் தொடர்" 11 எண் தொடர் ஒரு எண் தொடரின் கருத்துத் தேவையான எண் தொடர்களின் பண்புகள்.

சாப்பிடு. தாது கணித பகுப்பாய்வு. எண் மற்றும் செயல்பாட்டுத் தொடர்கள் நோவோசிபிர்ஸ்க் 200 2 ரஷ்ய கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம் SEI HPE "நோவோசிபிர்ஸ்க் மாநில கல்வியியல் பல்கலைக்கழகம்" E.M. ருடோய் கணித பகுப்பாய்வு.

விரிவுரை N 7 .சக்தி

இருபடி சமன்பாடுகள்

அளவுருக்கள் கொண்ட பணிகளின் பிரிவு கருத்து அளவுருக்கள் கொண்ட பணிகள் பாரம்பரியமாக பயன்பாட்டு கட்டமைப்பில் சிக்கலான பணிகளாகும், விண்ணப்பதாரர் பல்வேறு தீர்வுக்கான அனைத்து முறைகள் மற்றும் நுட்பங்களை மாஸ்டர் செய்ய வேண்டும்.

வேறுபட்ட கால்குலஸ் கணித பகுப்பாய்வு அறிமுகம் வரிசை மற்றும் செயல்பாட்டு வரம்பு. உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல். செயல்பாடு வழித்தோன்றல். வேறுபாடு விதிகள். வழித்தோன்றலின் பயன்பாடு

ஃபோரியர் தொடர் ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகளின் செயல்பாடுகள் இயற்கணிதத்தின் பார்வையில், கொடுக்கப்பட்ட வகுப்பின் செயல்பாடுகள் மற்றும் R அல்லது C இலிருந்து குணகங்களாக இருக்கும் சமத்துவம் என்பது வெக்டார் B இன் நேரியல் கலவையாகும்.

1. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு 1.1. f என்பது பிரிவு [, b] R இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வரம்பிற்குட்பட்ட செயல்பாடாக இருக்கட்டும். [, b] பிரிவின் ஒரு பகிர்வு என்பது τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] அத்தகைய = x< x 1 < < x n 1

Ch பவர் தொடர் a a a A படிவத்தின் a a a a () ஒரு சக்தித் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அங்கு, a, மாறிலிகள், அவை தொடரின் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில நேரங்களில் மிகவும் பொதுவான வடிவத்தின் சக்தித் தொடர் கருதப்படுகிறது: a (a) a ( a) a (a) (), எங்கே

2. ஃபோரியர் சூத்திரங்கள் மூலம் தொடரின் குணகங்களைத் தீர்மானித்தல்.

2π காலத்துடன் கூடிய ஒரு காலச் சார்பு ƒ(x) இருக்கட்டும், அது ஒரு முக்கோணவியல் தொடரால் குறிக்கப்படும், அது இடைவெளியில் (-π, π), அதாவது இந்தத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை:

இந்த சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் உள்ள செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது இந்தத் தொடரின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் தொடரின் குணகங்களால் ஆன எண் தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைகிறது, அதாவது நேர்மறை எண் தொடர் ஒன்றிணைகிறது என்று நாம் கருதினால் இது உண்மையாக இருக்கும்.

தொடர் (1) பெரிதாக்கப்பட்டது மற்றும் கால இடைவெளியில் (-π, π) காலத்தின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைக்கப்படலாம். சமத்துவத்தின் இரு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைக்கிறோம் (2):

வலது பக்கத்தில் நிகழும் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பையும் தனித்தனியாக கணக்கிடுகிறோம்:

,

,

இந்த வழியில், , எங்கே

. (4)

ஃபோரியர் குணகங்களின் மதிப்பீடு. (புக்ரோவ்)

தேற்றம் 1. 2π காலத்தின் ƒ(x) சார்பு, முழு உண்மையான அச்சில் உள்ள சமத்துவமின்மையைத் திருப்திப்படுத்தும் வரிசையின் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல் ƒ (கள்) (x) ஐக் கொண்டிருக்கட்டும்:

│ ƒ (கள்) (x)│≤ எம் எஸ் ; (5)

பின்னர் ƒ செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்கள் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன

ஆதாரம். பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

ƒ(-π) = ƒ(π), எங்களிடம் உள்ளது

ƒ ΄, …, ƒ (s-1) ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாக இருப்பதையும், t = -π மற்றும் t = π புள்ளிகளிலும் அதே மதிப்புகளை எடுக்கிறது என்பதையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, (7) இன் வலது பக்கத்தை தொடர்ச்சியாக ஒருங்கிணைத்தல். மதிப்பீட்டின்படி (5), முதல் மதிப்பீட்டை (6) பெறுகிறோம்.

இரண்டாவது மதிப்பீடு (6) இதே வழியில் பெறப்பட்டது.

தேற்றம் 2. ஃபோரியர் குணகங்கள் ƒ(x) சமத்துவமின்மையை நிறைவு செய்கின்றன

(8)

ஆதாரம். எங்களிடம் உள்ளது

(9)

இந்த வழக்கில் மாறியின் மாற்றத்தை அறிமுகப்படுத்தி, ƒ(x) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாங்கள் பெறுகிறோம்

(9) மற்றும் (10) ஆகியவற்றைச் சேர்ப்பது நமக்குக் கிடைக்கிறது

இதேபோல் b k க்கான ஆதாரத்தை நாங்கள் செயல்படுத்துகிறோம்.

விளைவு. செயல்பாடு ƒ(x) தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அதன் ஃபோரியர் குணகங்கள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

ஸ்கேலர் தயாரிப்புடன் செயல்பாடுகளின் இடம்.

ஒரு செயல்பாடு ƒ(x) இந்த பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அது முதல் வகையான இடைநிறுத்தங்களைக் கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைத் தவிர, ஒரு பிரிவில் துண்டு துண்டாகத் தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய புள்ளிகளை உண்மையான எண்களால் கூட்டலாம் மற்றும் பெருக்கலாம், இதன் விளைவாக, ஒரு பிரிவில் மீண்டும் துண்டு-தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளைப் பெறலாம்.

இரண்டு துண்டாகத் தொடர்ச்சியின் அளவுகோல் தயாரிப்பு (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

வெளிப்படையாக, எந்தவொரு துண்டு-தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கும் ƒ , φ , ψ பின்வரும் பண்புகள் உள்ளன:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) மற்றும் சமத்துவம் (ƒ , ƒ) = 0 என்பது ƒ(x) =0 இல், ஒருவேளை, வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் xயைத் தவிர்த்து;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

இதில் α, β ஆகியவை தன்னிச்சையான உண்மையான எண்கள்.

இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து துண்டு துண்டான தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு, சூத்திரத்தின் (11) படி அளவிடுதல் தயாரிப்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, நாங்கள் குறிப்பிடுவோம், மற்றும் அழைப்பு இடம்

குறிப்பு 1.

கணிதத்தில், ஒரு இடைவெளி = (a, b) என்பது ƒ(x) சார்புகளின் தொகுப்பாகும், அவை லெபெஸ்கு அர்த்தத்தில் அவற்றின் சதுரங்களுடன் ஒன்றிணைக்கக்கூடியவை, இதற்காக ஸ்கேலர் தயாரிப்பு சூத்திரத்தால் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது (11). கேள்விக்குரிய இடம் ஒரு பகுதியாகும். விண்வெளிக்கு விண்வெளியின் பல பண்புகள் உள்ளன, ஆனால் அனைத்தும் இல்லை.

பண்புகள் 1), 2), 3) முக்கியமான Bunyakovskii சமத்துவமின்மை | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , இது ஒருங்கிணைப்புகளின் மொழியில் இது போல் தெரிகிறது:

மதிப்பு

எஃப் செயல்பாட்டின் விதிமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விதிமுறை பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1) || f || ≥ 0, அதே சமயம் பூஜ்ஜிய செயல்பாடு f = 0 க்கு மட்டுமே சமத்துவம் இருக்க முடியும், அதாவது, பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமான செயல்பாடு, ஒருவேளை, வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைத் தவிர;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

α என்பது ஒரு உண்மையான எண்.

ஒருங்கிணைப்புகளின் மொழியில் இரண்டாவது சொத்து இதுபோல் தெரிகிறது:

மற்றும் மின்கோவ்ஸ்கி சமத்துவமின்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சார்புகளின் வரிசை (f n) க்கு சொந்தமானது, ஒரு சார்புடன் ஒன்றிணைவது என்பது சராசரி சதுரத்தின் பொருளில் (அல்லது விதிமுறையில்) இருந்தால்,

ƒ n (x) சார்புகளின் வரிசையானது பிரிவில் உள்ள ƒ(x) செயல்பாட்டிற்கு ஒரே சீராக ஒன்றிணைந்தால், போதுமான அளவு பெரிய n வேறுபாடு ƒ(x) - ƒ n (x) முழு மதிப்பில் சிறியதாக இருக்க வேண்டும். x பிரிவில் இருந்து.

ƒ n (x) ஆனது பிரிவில் சராசரி சதுர அர்த்தத்தில் ƒ(x) ஆக இருந்தால், பெரிய n க்கு எல்லா இடங்களிலும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வேறுபாடு சிறியதாக இருக்காது. பிரிவின் சில இடங்களில், இந்த வேறுபாடு பெரியதாக இருக்கலாம், ஆனால் பெரிய n க்கு பிரிவின் மேல் அதன் சதுரத்தின் ஒருங்கிணைப்பு சிறியதாக இருப்பது மட்டுமே முக்கியம்.

உதாரணமாக. கொடுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான துண்டு வரிசை நேரியல் சார்பு ƒ n (x) (n = 1, 2,...) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, மற்றும்

(புக்ரோவ், ப. 281, படம் 120)

எந்த இயற்கை n

மற்றும், அதன் விளைவாக, இந்த செயல்பாடுகளின் வரிசையானது, இது n → ∞ ஆக பூஜ்ஜியமாக மாறினாலும், சீரானதாக இல்லை. இதற்கிடையில்

அதாவது, செயல்பாடுகளின் வரிசை (f n (x)) மீது சராசரி சதுரத்தின் பொருளில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

செயல்பாடுகளின் சில வரிசைகளின் கூறுகளிலிருந்து ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,... (சொந்தமானது) ஒரு தொடரை உருவாக்குகிறோம்

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +... (12)

அதன் முதல் n உறுப்பினர்களின் கூட்டுத்தொகை

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

க்கு சொந்தமான ஒரு செயல்பாடு உள்ளது. அது நடந்தால், அதில் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

பின்னர் தொடர் (12) என்பது சராசரி சதுர அர்த்தத்தில் ƒ செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைந்து எழுதுகிறது என்று கூறுகிறோம்

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

குறிப்பு 2.

சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் இடம் = (a, b) ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), இங்கு ƒ 1 (x) மற்றும் ƒ 2 (x) ஆகியவை உண்மையான துண்டு துண்டாக தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாகும். . இந்த இடத்தில், செயல்பாடுகள் கலப்பு எண்களால் பெருக்கப்படுகின்றன மற்றும் ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) மற்றும் φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

மற்றும் விதிமுறை ƒ மதிப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது

ஃபோரியர் தொடர்- ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை எளிமையான, நன்கு அறியப்பட்டவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கும் வழி.
சைன் மற்றும் கொசைன் ஆகியவை காலச் செயல்பாடுகள். அவை ஒரு ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையையும் உருவாக்குகின்றன. இந்த குணத்தை அச்சுகளுடன் ஒப்புமை மூலம் விளக்கலாம் X X எக்ஸ்மற்றும் YY ஒய்ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில். அச்சுகளைப் பொறுத்து ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை விவரிக்கும் அதே வழியில், சைன்கள் மற்றும் கோசைன்கள் தொடர்பான எந்தச் செயல்பாட்டையும் விவரிக்கலாம். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன மற்றும் கணிதத்தில் பயன்படுத்த எளிதானது.

அத்தகைய அலைகளின் வடிவத்தில் நீங்கள் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம்:

நீலம் என்பது கொசைன்கள், சிவப்பு என்பது சைன்கள். இந்த அலைகள் ஹார்மோனிக்ஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. கோசைன்கள் சமமானவை, சைன்கள் ஒற்றைப்படை. ஹார்மோனிகா என்ற சொல் பழங்காலத்திலிருந்து வந்தது மற்றும் இசையில் சுருதிகளின் உறவைப் பற்றிய அவதானிப்புகளுடன் தொடர்புடையது.

ஃபோரியர் தொடர் என்றால் என்ன

சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகள் எளிமையானதாகப் பயன்படுத்தப்படும் அத்தகைய தொடர் முக்கோணவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. 18 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் - 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில், அதன் கண்டுபிடிப்பாளர் ஜீன் பாப்டிஸ்ட் ஜோசப் ஃபோரியரின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டது. எந்தவொரு செயல்பாட்டையும் அத்தகைய ஹார்மோனிக்ஸ் கலவையாக குறிப்பிட முடியும் என்பதை நிரூபித்தவர். நீங்கள் எவ்வளவு அதிகமாக எடுத்துக்கொள்கிறீர்களோ, அவ்வளவு துல்லியமாக இந்தப் பிரதிநிதித்துவம் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழே உள்ள படம்: அதிக எண்ணிக்கையிலான ஹார்மோனிக்ஸ் மூலம், அதாவது, ஃபோரியர் தொடரின் உறுப்பினர்கள், சிவப்பு வரைபடம் நீல நிறத்துடன் நெருக்கமாகிறது - அசல் செயல்பாடு.

நவீன உலகில் நடைமுறை பயன்பாடு

இந்த வரிசைகள் இப்போது தேவையா? அவற்றை நடைமுறையில் எங்கு பயன்படுத்தலாம் மற்றும் தத்துவார்த்த கணிதவியலாளர்களைத் தவிர வேறு யாராவது அவற்றைப் பயன்படுத்துகிறார்களா? ஃபோரியர் உலகம் முழுவதும் பிரபலமானவர் என்று மாறிவிடும், ஏனெனில் அவரது தொடரின் நடைமுறை பயன்பாடு உண்மையில் கணக்கிட முடியாதது. அதிர்வுகள் அல்லது அலைகள் இருக்கும் இடங்களில் அவற்றைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது: ஒலியியல், வானியல், ரேடியோ பொறியியல், முதலியன. அதன் பயன்பாட்டின் எளிய உதாரணம் கேமரா அல்லது வீடியோ கேமராவின் பொறிமுறையாகும். சுருக்கமாக, இந்த சாதனங்கள் படங்களை மட்டுமல்ல, ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்களையும் பதிவு செய்கின்றன. இது எல்லா இடங்களிலும் வேலை செய்கிறது - இணையத்தில் படங்களை பார்க்கும் போது, ​​ஒரு திரைப்படம் அல்லது இசையைக் கேட்கும் போது. ஃபோரியர் தொடருக்கு நன்றி, இப்போது இந்த கட்டுரையை உங்கள் மொபைல் ஃபோனிலிருந்து படிக்கலாம். ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் இல்லாவிட்டால், தரமான தரத்தில் கூட, YouTube வீடியோவைப் பார்ப்பதற்குப் போதுமான இணைய இணைப்புகள் எங்களிடம் இருக்காது.

இந்த வரைபடத்தில், இரு பரிமாண ஃபோரியர் உருமாற்றம், இது படத்தை ஹார்மோனிக்ஸ், அதாவது அடிப்படை கூறுகளாக சிதைக்கப் பயன்படுகிறது. இந்த வரைபடத்தில், மதிப்பு -1 கருப்பு நிறத்திலும், 1 வெள்ளை நிறத்திலும் குறியிடப்பட்டுள்ளது. வரைபடத்தின் வலது மற்றும் கீழ், அதிர்வெண் அதிகரிக்கிறது.

ஃபோரியர் விரிவாக்கம்

ஒருவேளை, நீங்கள் ஏற்கனவே படித்து சோர்வாக இருக்கிறீர்கள், எனவே சூத்திரங்களுக்கு செல்லலாம்.
ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம் போன்ற ஒரு கணித நுட்பத்திற்கு, ஒருவர் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுக்க வேண்டும். நிறைய ஒருங்கிணைப்புகள். பொதுவாக, ஃபோரியர் தொடர் ஒரு எல்லையற்ற தொகையாக எழுதப்படுகிறது:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (அ n​ cos (n x) +பி n​ பாவம் (n x))
எங்கே
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2 பை1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxஅ n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\liits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxபி n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)sin(nx)dx

நாம் எப்படியாவது எண்ணற்ற எண்ணை எண்ணினால் ஒரு n a_n அ n​ மற்றும் b n b_n பி n​ (அவை ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தின் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஒரு ஏ ஏஇந்த விரிவாக்கத்தின் மாறிலி மட்டுமே), அதன் விளைவாக வரும் தொடர் 100% அசல் செயல்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகும் f(x) f(x) f(x)பிரிவில் இருந்து − π -\pi − π முன் π\pi π . சைன் மற்றும் கொசைன் ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு பண்புகள் காரணமாக இத்தகைய பிரிவு ஏற்படுகிறது. மேலும் n n n, செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தின் குணகங்களை ஒரு தொடராக கணக்கிடுகிறோம், இந்த விரிவாக்கம் மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும்.

உதாரணமாக

ஒரு எளிய செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம் y=5x y=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x = 1 2 π ∫ - π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\liits_(-\pi) (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 பை1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 பை1 ​ − π ∫ π ​ 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\dis int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0அ 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \lec(1)(\pi)\display int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10பி 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) பாவம் (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac\1)(\pi) displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) ) 5x\cos(2x)dx = 0அ 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(1) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\\ பை) 5x\sin(2x)dx = -5பி 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(எக்ஸ்) பாவம்(2 எக்ஸ்) ஈஎக்ஸ்= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 எக்ஸ்பாவம்(2 எக்ஸ்) ஈஎக்ஸ்= − 5

மற்றும் பல. அத்தகைய செயல்பாட்டின் விஷயத்தில், அனைத்தையும் உடனடியாகச் சொல்லலாம் a n = 0 a_n=0அn​ = 0 , குணகங்கள் b n b_nபிn​ கணக்கிட வேண்டும். செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கத்தின் முதல் நான்கு சொற்களை எடுத்துக் கொண்டால் y=5x y=5xஒய்= 5 எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

$5எக்ஸ்\approx 10\cdot பாவம்(எக்ஸ்)-5\cdot பாவம்(2\cdot எக்ஸ்)+310\cdot பாவம்(3\cdot எக்ஸ்)-25\cdot பாவம்(4\cdot எக்ஸ்)$

விளைந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் இப்படி இருக்கும்:

இதன் விளைவாக வரும் ஃபோரியர் விரிவாக்கம் நமது அசல் செயல்பாட்டை அணுகுகிறது. தொடரில் அதிக எண்ணிக்கையிலான சொற்களை எடுத்துக் கொண்டால், எடுத்துக்காட்டாக, 15, நாங்கள் ஏற்கனவே பின்வருவனவற்றைக் காண்போம்:

ஒரு தொடரில் அதிக விரிவாக்க விதிமுறைகள், அதிக துல்லியம்.
வரைபடத்தின் அளவை நாம் சிறிது மாற்றினால், மாற்றத்தின் மற்றொரு அம்சத்தை நாம் கவனிக்கலாம்: ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஒரு காலகட்டத்துடன் கூடிய ஒரு கால செயல்பாடு ஆகும். 2 π 2\pi2 π .

எனவே, பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் எந்தவொரு செயல்பாட்டையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியும் [ - π ; பை ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . சிக்கலான செயல்பாடுகளால் விவரிக்கப்படும் சில நிகழ்வுகளின் பகுப்பாய்வை எளிதாக்குவதற்கு இவை அனைத்தும் அவசியம். வழித்தோன்றலை பகுப்பாய்வு ரீதியாக (அதாவது சூத்திரம் மூலம்) கணக்கிடுவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை, மேலும் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் தொகுப்பில், அத்தகைய சிக்கல் எழாது. ஃபோரியர் தொடராக விரிவடைவது, எளிமைப்படுத்தப்பட்ட மாடல்களில் பெரும்பாலும் சிக்கல்களை பகுப்பாய்வு முறையில் தீர்க்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது, அதற்கு ஒரு உதாரணம் ஃபோரியர் தொடர்.

காலம் 2π உடன் காலமுறை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர்.

ஃபோரியர் தொடர், காலச் செயல்பாடுகளைக் கூறுகளாகச் சிதைப்பதன் மூலம் ஆய்வு செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது. மாற்று நீரோட்டங்கள் மற்றும் மின்னழுத்தங்கள், இடப்பெயர்வுகள், வேகம் மற்றும் கிராங்க் பொறிமுறைகளின் வேகம் மற்றும் முடுக்கம் மற்றும் ஒலி அலைகள் ஆகியவை பொறியியல் கணக்கீடுகளில் காலமுறை செயல்பாடுகளின் பயன்பாட்டின் பொதுவான நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகள்.

ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கமானது -π ≤ x ≤ π இடைவேளையில் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்த அனைத்து செயல்பாடுகளும் குவிந்த முக்கோணவியல் தொடராக வெளிப்படுத்தப்படலாம் (ஒரு தொடர் அதன் உறுப்பினர்களால் உருவாக்கப்பட்ட பகுதித் தொகைகளின் வரிசை ஒன்றிணைந்தால் ஒன்றிணைந்ததாகக் கருதப்படுகிறது) :

sinx மற்றும் cosx கூட்டுத்தொகை மூலம் நிலையான (=வழக்கமான) குறியீடு

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

இதில் a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. உண்மையான மாறிலிகள், அதாவது.

எங்கே, -π முதல் π வரையிலான வரம்பிற்கு, ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் சூத்திரங்களால் கணக்கிடப்படுகின்றன:

குணகங்கள் a o, a n மற்றும் b n என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஃபோரியர் குணகங்கள், மற்றும் அவை கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், தொடர் (1) அழைக்கப்படுகிறது ஃபோரியருக்கு அருகில், f(x) சார்புடன் தொடர்புடையது. தொடர் (1), சொல் (a 1 cosx+b 1 sinx) முதல் அல்லது முக்கிய ஹார்மோனிகா,

தொடரை எழுத மற்றொரு வழி acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o என்பது மாறிலியாக இருந்தால், c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 என்பது பல்வேறு கூறுகளின் வீச்சுகள், மேலும் இது n \ க்கு சமம் u003d arctg a n /b n.

தொடருக்கு (1), சொல் (a 1 cosx + b 1 sinx) அல்லது c 1 sin (x + α 1) முதல் அல்லது முக்கிய ஹார்மோனிகா,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) அல்லது c 2 sin(2x+α 2) அழைக்கப்படுகிறது இரண்டாவது ஹார்மோனிக்மற்றும் பல.

ஒரு சிக்கலான சிக்னலை துல்லியமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த, வழக்கமாக எண்ணற்ற சொற்கள் தேவைப்படுகின்றன. இருப்பினும், பல நடைமுறைச் சிக்கல்களில் முதல் சில சொற்களை மட்டும் கருத்தில் கொண்டால் போதுமானது.

காலம் 2π உடன் காலமுறை அல்லாத செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர்.

ஃபோரியர் தொடரில் அவ்வப்போது அல்லாத செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம்.

f(x) சார்பு கால இடைவெளியில் இல்லாததாக இருந்தால், அதை x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்க முடியாது. இருப்பினும், 2π அகலத்தின் எந்த வரம்பிலும் ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் ஃபோரியர் தொடரை வரையறுக்க முடியும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பிற்குள் f(x) மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, 2π இடைவெளியில் இந்த வரம்பிற்கு வெளியே மீண்டும் மீண்டும் செய்வதன் மூலம், குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இல்லாத செயல்பாட்டின் மூலம் ஒரு புதிய செயல்பாட்டை உருவாக்க முடியும். புதிய செயல்பாடு 2π காலத்துடன் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருப்பதால், இது x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, f(x)=x சார்பு காலநிலை அல்ல. இருப்பினும், அதை 0 முதல் 2π வரையிலான இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவது அவசியமானால், இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே 2π கால அளவு கொண்ட ஒரு காலச் செயல்பாடு கட்டமைக்கப்படும் (கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது).

f(x)=x போன்ற காலமுறை அல்லாத செயல்பாடுகளுக்கு, ஃபோரியர் தொடரின் கூட்டுத்தொகையானது கொடுக்கப்பட்ட வரம்பில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் f(x) இன் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும், ஆனால் புள்ளிகளுக்கான f(x) க்கு சமமாக இருக்காது. எல்லைக்கு வெளியே. 2π வரம்பில் காலமுறையற்ற செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறிய, ஃபோரியர் குணகங்களின் அதே சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள்.

y=f(x) செயல்பாட்டைச் சொல்கிறார்கள் கூட x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் f(-x)=f(x) என்றால். சமச் சார்புகளின் வரைபடங்கள் எப்போதும் y- அச்சைப் பற்றி சமச்சீராக இருக்கும் (அதாவது, அவை பிரதிபலிக்கப்படுகின்றன). சம செயல்பாடுகளின் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்: y=x 2 மற்றும் y=cosx.

y=f(x) சார்பு என்று சொல்கிறார்கள் ஒற்றைப்படை, x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் f(-x)=-f(x) என்றால். ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் எப்போதும் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக இருக்கும்.

பல செயல்பாடுகள் இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல.

கொசைன்களில் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம்.

2π காலத்துடன் கூடிய சம காலச் சார்பின் ஃபோரியர் தொடர் f(x) ஆனது கொசைன் சொற்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது (அதாவது, சைன் சொற்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை) மேலும் நிலையான சொல்லையும் உள்ளடக்கியிருக்கலாம். இதன் விளைவாக,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

2π காலத்துடன் கூடிய ஒற்றைப்படை காலச் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் f(x) ஆனது சைன்களுடன் கூடிய சொற்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது (அதாவது, கொசைன்களுடன் சொற்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை).

இதன் விளைவாக,

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

அரை சுழற்சியில் ஃபோரியர் தொடர்.

வரம்பிற்கு ஒரு சார்பு வரையறுக்கப்பட்டால், 0 முதல் π வரை சொல்லுங்கள், 0 முதல் 2π வரை மட்டும் அல்ல, அது சைன்களின் அடிப்படையில் அல்லது கோசைன்களின் அடிப்படையில் மட்டுமே தொடராக விரிவாக்கப்படும். இதன் விளைவாக வரும் ஃபோரியர் தொடர் அழைக்கப்படுகிறது ஒரு அரை சுழற்சியில் ஃபோரியருக்கு அருகில்.

நீங்கள் ஒரு சிதைவு பெற விரும்பினால் கொசைன்களில் அரை-சுழற்சியில் ஃபோரியர் 0 முதல் π வரையிலான வரம்பில் f(x) செயல்பாடுகள், பிறகு சீரான காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம். அத்திப்பழத்தில். x=0 முதல் x=π வரையிலான இடைவெளியில் f(x)=x என்ற செயல்பாடு கீழே உள்ளது. சமச் செயல்பாடு f(x) அச்சில் சமச்சீராக இருப்பதால், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி AB கோடு வரைகிறோம். கீழே. கருதப்படும் இடைவெளிக்கு வெளியே, முக்கோண வடிவமானது 2π காலத்துடன் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், இறுதி வரைபடத்தில் வடிவம், காட்சி உள்ளது. அத்திப்பழத்தில். கீழே. கோசைன்களில் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தைப் பெறுவதற்கு முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகங்கள் a o மற்றும் a nஐக் கணக்கிடுகிறோம்.

0 முதல் π வரையிலான வரம்பில் f (x) செயல்பாடுகளைப் பெற விரும்பினால், நீங்கள் ஒற்றைப்படை காலச் செயல்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும். அத்திப்பழத்தில். x=0 முதல் x=π வரையிலான இடைவெளியில் f(x)=x என்ற செயல்பாடு கீழே உள்ளது. ஒற்றைப்படை செயல்பாடு தோற்றத்துடன் சமச்சீராக இருப்பதால், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி வரி சிடியை உருவாக்குகிறோம். கருதப்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே, பெறப்பட்ட மரக்கட்டை சமிக்ஞை 2π காலத்துடன் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், இறுதி வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை சைன்களின் அடிப்படையில் அரை-சுழற்சியில் பெற வேண்டியிருப்பதால், முன்பு போலவே, ஃபோரியர் குணகத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். பி

தன்னிச்சையான இடைவெளிக்கான ஃபோரியர் தொடர்.

காலகட்டம் L உடன் ஒரு காலச் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம்.

x ஆனது L ஆல் அதிகரிக்கும் போது f(x) கால சார்பு மீண்டும் நிகழ்கிறது, அதாவது. f(x+L)=f(x). முன்னர் கருதப்பட்ட செயல்பாடுகள் 2π காலத்துடன் கூடிய செயல்பாடுகளிலிருந்து L காலத்துடன் கூடிய செயல்பாடுகளுக்கு மாறுவது மிகவும் எளிமையானது, ஏனெனில் இது மாறியின் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படலாம்.

-L/2≤x≤L/2 வரம்பில் f(x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரைக் கண்டறிய, u ஐப் பொறுத்தமட்டில் f(x) சார்பு 2π காலத்தைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் புதிய மாறி u ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறோம். u=2πx/L எனில், u=-πக்கு x=-L/2 மற்றும் u=πக்கு x=L/2. மேலும் f(x)=f(Lu/2π)=F(u) என்றும் விடுங்கள். ஃபோரியர் தொடர் F(u) வடிவம் கொண்டது

ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் எங்கே,

எவ்வாறாயினும், பெரும்பாலும், மேலே உள்ள சூத்திரம் x ஐச் சார்ந்து இருக்க வழிவகுக்கிறது. u=2πх/L, பின்னர் du=(2π/L)dx, மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் -L/2 முதல் L/2 வரை -π க்கு π க்கு பதிலாக. எனவே, x ஐ சார்ந்திருப்பதற்கான ஃபோரியர் தொடர் வடிவம் கொண்டது

-எல்/2 முதல் எல்/2 வரையிலான வரம்பில் ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் உள்ளன,

(ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளை L நீளத்தின் எந்த இடைவெளியிலும் மாற்றலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 0 முதல் L வரை)

L≠2π இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு அரை சுழற்சியில் ஃபோரியர் தொடர்.

மாற்று u=πx/L க்கு, x=0 இலிருந்து x=L வரையிலான இடைவெளி u=0 இலிருந்து u=π வரையிலான இடைவெளிக்கு ஒத்திருக்கும். எனவே, செயல்பாட்டை கோசைன்களின் அடிப்படையில் அல்லது சைன்களின் அடிப்படையில் மட்டுமே தொடராக விரிவாக்க முடியும், அதாவது. உள்ளே அரை சுழற்சியில் ஃபோரியர் தொடர்.

0 முதல் L வரையிலான வரம்பில் உள்ள கொசைன்களின் விரிவாக்கம் வடிவம் கொண்டது