سلسلة فورييه المثلثية. المتسلسلة المثلثية. سلسلة فورييه. تطبيق طريقة الفروق المحدودة

في عدد من الحالات، ومن خلال فحص معاملات المتسلسلة من الشكل (C)، يمكن إثبات أن هذه المتسلسلة متقاربة (باستثناء ربما النقاط الفردية) وهي متسلسلة فورييه بالنسبة لمجموعها (انظر على سبيل المثال، السابق الفقرة)، ولكن في كل هذه الحالات، من الطبيعي أن يطرح السؤال،

كيفية العثور على مجموع هذه المتسلسلة أو -بتعبير أدق- كيفية التعبير عنها في شكلها النهائي من خلال الدوال الأولية، إذا تم التعبير عنها في هذا الشكل على الإطلاق. استخدم أويلر (وأيضًا لاغرانج) بنجاح الدوال التحليلية لمتغير معقد لجمع المتسلسلة المثلثية في شكلها النهائي. فكرة طريقة أويلر هي كما يلي.

لنفترض أنه بالنسبة لمجموعة معينة من المعاملات، فإن السلسلة (C) تتقارب مع الدوال في كل مكان في الفترة، باستثناء النقاط الفردية فقط. لننظر الآن إلى متسلسلة قوى لها نفس المعاملات، مرتبة حسب قوى المتغير المركب

على محيط دائرة الوحدة، أي في هذه السلسلة، من خلال الافتراض، يتقارب، باستثناء النقاط الفردية:

وفي هذه الحالة بالملكية المشهورة سلسلة الطاقةمن الواضح أن السلسلة (5) تتقارب في أي داخل دائرة الوحدة، حيث تحدد هناك وظيفة معينة لمتغير معقد. باستخدام ما نعرفه [انظر § 5 من الفصل الثاني عشر] توسيع الدوال الأولية لمتغير معقد، غالبا ما يكون من الممكن اختزال الدالة إليها، إذًا لدينا:

ووفقًا لنظرية هابيل، بمجرد تقارب المتسلسلة (6)، يتم الحصول على مجموعها باعتباره النهاية

عادةً ما تكون هذه النهاية مساوية لها، مما يسمح لنا بحساب الدالة في صورتها النهائية

دعونا، على سبيل المثال، السلسلة المقترحة

إن ما ثبت في الفقرة السابقة يؤدي إلى استنتاج أن كلتا المتسلسلتين متقاربتان (الأولى - باستثناء النقطتين 0 و

بمثابة متسلسلة فورييه للوظائف التي تحددها، ولكن ما هي هذه الوظائف؟ للإجابة على هذا السؤال، دعونا ننشئ سلسلة

بناءً على تشابهها مع المتسلسلة اللوغاريتمية، يمكن تحديد مجموعها بسهولة:

لذلك،

الآن عملية حسابية سهلة تعطي:

إذن فإن معامل هذا التعبير هو و الحجة هي .

وهكذا أخيرا

هذه النتائج مألوفة لدينا، وقد تم الحصول عليها ذات مرة باستخدام اعتبارات "معقدة"؛ ولكن في الحالة الأولى بدأنا من الدوال و، وفي الحالة الثانية - من الدالة التحليلية، وهنا لأول مرة قمنا نقطة البدايةالصفوف نفسها خدمت. وسيجد القارئ أمثلة أخرى من هذا النوع في الفقرة التالية.

نؤكد مرة أخرى أنك بحاجة إلى التأكد مسبقًا من تقارب المتسلسلة (C) وأن يكون لك الحق في تحديد مجاميعها باستخدام المساواة النهائية (7). إن مجرد وجود حد على الجانب الأيمن من هذه المساواة لا يسمح بعد بالتوصل إلى نتيجة حول تقارب المتسلسلة المذكورة. لإظهار ذلك بمثال، فكر في السلسلة

باستخدام الطرق القياسية، ولكننا وصلنا إلى طريق مسدود مع مثال آخر.

ما هي الصعوبة وأين يمكن أن يكون هناك عقبة؟ فلنضع الحبل الصابوني جانبًا، ونحلل الأسباب بهدوء ونتعرف على الحلول العملية.

الأول والأهم: في الغالبية العظمى من الحالات، لدراسة تقارب السلسلة، من الضروري استخدام بعض الطرق المألوفة، ولكن المصطلح العام للسلسلة مليء بمثل هذه الحشوات الصعبة بحيث ليس من الواضح على الإطلاق ما يجب فعله بها . وتدور في دائرة: العلامة الأولى لا تعمل، والثانية لا تعمل، والطريقة الثالثة والرابعة والخامسة لا تعمل، ثم يتم طرح المسودات جانبًا ويبدأ كل شيء من جديد. ويرجع ذلك عادةً إلى نقص الخبرة أو وجود ثغرات في مجالات أخرى من التحليل الرياضي. على وجه الخصوص، إذا كان قيد التشغيل حدود التسلسلوتفكيكها سطحيا حدود الوظيفة، فسيكون الأمر صعبًا.

بمعنى آخر، لا يرى الشخص ببساطة طريقة اتخاذ القرار اللازمة بسبب نقص المعرفة أو الخبرة.

في بعض الأحيان يقع اللوم على "الكسوف" أيضًا، على سبيل المثال، عندما لا يتم استيفاء المعيار الضروري لتقارب السلسلة، ولكن بسبب الجهل أو عدم الانتباه أو الإهمال، فإن هذا يسقط عن الأنظار. ويبدو الأمر كما في تلك القصة حيث قام أستاذ الرياضيات بحل مشكلة للأطفال باستخدام تسلسلات متكررة جامحة وسلاسل أرقام =)

في أفضل التقاليدأمثلة حية فورية: الصفوف وأقاربهم - يختلفون، لأنه ثبت نظريا حدود التسلسل. على الأرجح، في الفصل الدراسي الأول، سوف يهزون الروح منك لإثبات 1-2-3 صفحات، ولكن الآن يكفي لإظهار الفشل شرط ضروريتقارب السلسلة، في إشارة إلى الحقائق المعروفة. مشهور؟ إذا كان الطالب لا يعرف أن الجذر النوني هو شيء قوي للغاية، فلنقل، السلسلة سوف يضعه في طريق مسدود. مع أن الحل مثل مرتين اثنين: ، أي. لأسباب واضحة، كلا السلسلتين تتباعدان. تعليق متواضع "تم إثبات هذه الحدود من الناحية النظرية" (أو حتى غيابها على الإطلاق) يكفي للاختبار، بعد كل شيء، الحسابات ثقيلة جدًا وهي بالتأكيد لا تنتمي إلى قسم سلسلة الأرقام.

وبعد دراسة الأمثلة التالية لن تتفاجأ إلا بإيجاز وشفافية الكثير من الحلول:

مثال 1

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: أولا وقبل كل شيء، نتحقق من التنفيذ المعيار الضروري للتقارب. وهذا ليس إجراءً شكلياً، ولكنه فرصة ممتازة للتعامل مع المثال "بقليل من سفك الدماء".

يشير "فحص المشهد" إلى وجود متسلسلة متباعدة (حالة المتسلسلة التوافقية المعممة)، لكن السؤال الذي يطرح نفسه مرة أخرى، هو كيف نأخذ في الاعتبار اللوغاريتم في البسط؟

أمثلة تقريبية للمهام في نهاية الدرس.

ليس من غير المألوف أن يتعين عليك تنفيذ تفكير من خطوتين (أو حتى ثلاث خطوات):

مثال 6

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: أولاً، دعونا نتعامل بعناية مع رطانة البسط. التسلسل - محدود: . ثم:

دعونا نقارن سلسلتنا مع السلسلة. بسبب المتباينة المزدوجة التي تم الحصول عليها للتو، بالنسبة لجميع "en" سيكون ما يلي صحيحًا:

الآن قارن المتسلسلة مع المتسلسلة التوافقية المتباعدة.

مقام الكسر أقلمقام الكسر، لذلك الكسر نفسه – أكثرالكسور (اكتب المصطلحات القليلة الأولى إذا لم تكن واضحة). وبالتالي، بالنسبة لأي "en":

وهذا يعني أنه على أساس المقارنة، هذه السلسلة يتباعدجنبا إلى جنب مع السلسلة التوافقية.

إذا قمنا بتعديل القاسم قليلاً: ، فإن الجزء الأول من المنطق سيكون مشابهًا: . لكن لإثبات تباعد المتسلسلة، لا يمكننا سوى تطبيق الاختبار الحدي للمقارنة، لأن المتباينة خاطئة.

يكون الوضع مع المتسلسلات المتقاربة "معكوسًا"، أي، على سبيل المثال، بالنسبة للسلسلة، يمكنك استخدام كلا معياري المقارنة (المتباينة صحيحة)، ولكن بالنسبة للسلسلة فقط المعيار المحدد (المتباينة خاطئة).

نواصل رحلات السفاري لدينا الحياة البريةحيث يلوح في الأفق قطيع من الظباء الرشيقة والمورقة:

مثال 7

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: تم استيفاء المعيار الضروري للتقارب، ونسأل أنفسنا مرة أخرى السؤال الكلاسيكي: ماذا نفعل؟ أمامنا شيء يذكرنا بسلسلة متقاربة، ومع ذلك، لا توجد قاعدة واضحة هنا - مثل هذه الارتباطات غالبا ما تكون خادعة.

في كثير من الأحيان، ولكن ليس هذه المرة. باستخدام المعيار الحدي للمقارنةدعونا نقارن المتسلسلة التي لدينا بمتسلسلة متقاربة. عند حساب الحد نستخدمه حد رائع ، بينما متناهي الصغرمواقف:

يتقاربجنبا إلى جنب مع بجانب .

بدلاً من استخدام التقنية الاصطناعية القياسية للضرب والقسمة على "ثلاثة"، كان من الممكن في البداية إجراء مقارنة مع متسلسلة متقاربة.
لكن من المستحسن هنا إبداء تحفظ بأن العامل الثابت للحد العام لا يؤثر على تقارب المتسلسلة. وقد تم تصميم حل المثال التالي بهذا الأسلوب تمامًا:

مثال 8

التحقيق في تقارب السلسلة

عينة في نهاية الدرس.

مثال 9

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: في الأمثلة السابقة استخدمنا حدود جيب الجيب، ولكن الآن لم تعد هذه الخاصية صالحة للاستخدام. مقام الكسر الأعلى ترتيب النمو، من البسط، وبالتالي، عند حجة الجيب والمصطلح المشترك بأكمله متناهي الصغر. إن الشرط الضروري للتقارب، كما تفهمون، قد تحقق، وهو ما لا يسمح لنا بالتهرب من عملنا.

لنقم بالاستطلاع: وفقًا لـ معادلة ملحوظة ، تخلص عقليًا من الجيب واحصل على السلسلة. حسنًا ، فلانًا وفلانًا ...

دعونا نتخذ القرار:

دعونا نقارن السلسلة قيد الدراسة مع سلسلة متباعدة. نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

دعونا نستبدل المتناهية الصغر بما يعادلها: في .

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع السلسلة التوافقية.

مثال 10

التحقيق في تقارب السلسلة

هذا مثال لك لحله بنفسك.

للتخطيط لمزيد من الإجراءات في مثل هذه الأمثلة، فإن التخلص عقليًا من الجيب وقوس الجيب والظل والظل القطبي يساعد كثيرًا. لكن تذكر أن هذه الفرصة موجودة فقط إذا متناهي الصغرحجة، منذ وقت ليس ببعيد شاهدت سلسلة استفزازية:

مثال 11

التحقيق في تقارب السلسلة
.

حل: لا فائدة من استخدام حدود قوس الظل هنا، ولا يعمل التكافؤ أيضًا. الحل بسيط بشكل مدهش:


المسلسل قيد الدراسة يتباعدلعدم توفر الشرط اللازم لتقارب المتسلسلة.

السبب الثاني"مشكلة المهمة" هي أن العضو المشترك متطور للغاية، مما يسبب صعوبات ذات طبيعة فنية. بشكل تقريبي، إذا كانت السلسلة التي تمت مناقشتها أعلاه تنتمي إلى فئة "من يعرف"، فإن هذه السلسلة تقع ضمن فئة "من يعرف". في الواقع، هذا ما يسمى التعقيد بالمعنى "المعتاد". لا يستطيع الجميع حل العديد من العوامل والدرجات والجذور وسكان السافانا الآخرين بشكل صحيح. أكبر المشاكل هي بالطبع العوامل:

مثال 12

التحقيق في تقارب السلسلة

كيفية رفع مضروب إلى السلطة؟ بسهولة. وفقا لقاعدة العمليات مع القوى، من الضروري رفع كل عامل من عوامل المنتج إلى قوة:

وبطبيعة الحال، الاهتمام والانتباه مرة أخرى؛ علامة دالمبرت نفسها تعمل بشكل تقليدي:

وهكذا فإن السلسلة قيد الدراسة يتقارب.

أذكرك بأسلوب عقلاني للتخلص من عدم اليقين: عندما يكون الأمر واضحًا ترتيب النموالبسط والمقام - ليست هناك حاجة للمعاناة وفتح الأقواس.

مثال 13

التحقيق في تقارب السلسلة

الوحش نادر جدًا، لكنه موجود، وسيكون من الظلم تجاهله بعدسة الكاميرا.

ما هو مضروب مع مزدوج علامة تعجب؟ "يختتم" المضروب حاصل ضرب الأعداد الزوجية الموجبة:

وبالمثل، فإن المضروب "ينتهي" بمنتج الأعداد الفردية الموجبة:

تحليل ما هو الفرق من و

مثال 14

التحقيق في تقارب السلسلة

وفي هذه المهمة، حاول ألا تخلط بين الدرجات، معادلات ملحوظةو حدود رائعة.

نماذج من الحلول والإجابات في نهاية الدرس.

لكن الطالب لا يتغذى على النمور فحسب - بل تتعقب الفهود الماكرة أيضًا فرائسها:

مثال 15

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: المعيار الضروري للتقارب، والمعيار الحدي، واختبار دالمبيرت وكوشي يختفيان على الفور تقريبًا. لكن أسوأ ما في الأمر هو أن علامة عدم المساواة التي ساعدتنا مرارا وتكرارا أصبحت عاجزة. في الواقع، المقارنة مع سلسلة متباعدة أمر مستحيل، لأن عدم المساواة غير صحيح - مضاعف اللوغاريتم يزيد فقط من المقام، مما يقلل من الكسر نفسه نسبة إلى الكسر. وسؤال عالمي آخر: لماذا نحن واثقون في البداية من أن سلسلتنا يجب بالضرورة أن تتباعد ويجب مقارنتها ببعض السلاسل المتباينة؟ ماذا لو حصل على طول على الإطلاق؟

ميزة متكاملة؟ تكامل غير لائق يثير مزاج حزين. الآن لو كان بيننا خلاف ... ثم نعم. قف! هكذا تولد الأفكار. نقوم بصياغة الحل في خطوتين:

1) أولاً نفحص تقارب المتسلسلة . نحن نستخدم ميزة متكاملة:

متكامل مستمرعلى

وهكذا السلسلة يتباعد مع التكامل غير الصحيح المقابل.

2) دعونا نقارن المتسلسلة بالمتسلسلة المتباعدة . نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتباعدجنبا إلى جنب مع عدد .

وليس هناك أي شيء غير عادي أو إبداعي في مثل هذا القرار - هكذا ينبغي اتخاذ القرار!

أقترح وضع الإجراء التالي المكون من خطوتين بنفسك:

مثال 16

التحقيق في تقارب السلسلة

يرى الطالب الذي يتمتع ببعض الخبرة في معظم الحالات على الفور ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد، ولكن يحدث أن يقوم المفترس بتمويه نفسه بذكاء في الأدغال:

مثال 17

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: للوهلة الأولى، ليس من الواضح على الإطلاق كيف تتصرف هذه السلسلة. وإذا كان هناك ضباب أمامنا، فمن المنطقي أن نبدأ بفحص تقريبي للحالة اللازمة لتقارب السلسلة. من أجل القضاء على عدم اليقين، نستخدم غير قابل للغرق طريقة الضرب والقسمة بصيغتها المترافقة:

ولم ينجح اختبار التقارب اللازم، لكنه أدى إلى ماء نظيفرفيقنا تامبوف. ونتيجة للتحولات التي تم إجراؤها، تم الحصول على سلسلة مكافئة والتي بدورها تشبه بقوة سلسلة متقاربة.

نكتب الحل النهائي:

دعونا نقارن هذه المتسلسلة بمتسلسلة متقاربة. نحن نستخدم معيار المقارنة الحدية:

الضرب والقسمة على التعبير المرافق:

ويتم الحصول على عدد منتهٍ يختلف عن الصفر، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتقاربجنبا إلى جنب مع بجانب .

ربما تساءل البعض، من أين أتت الذئاب في رحلات السفاري الإفريقية لدينا؟ لا أعرف. ربما أحضروه. مظهر الكأس التالي لك للحصول عليه:

مثال 18

التحقيق في تقارب السلسلة

نموذج الحل في نهاية الدرس

وأخيرًا، هناك فكرة أخرى تصيب العديد من الطلاب باليأس: ألا يجب أن نستخدم اختبارًا نادرًا لتقارب السلسلة؟؟ اختبار راب، اختبار هابيل، اختبار غاوس، اختبار ديريشليت وغيرها من الحيوانات غير المعروفة. الفكرة ناجحة ولكن أمثلة حقيقيةيتم تنفيذها نادرا جدا. شخصيا، في كل سنوات الممارسة، لم ألجأ إلا إلى ذلك علامة رابي، عندما لم يساعد أي شيء من الترسانة القياسية حقًا. سأعيد إنتاج مسار سعيي الشديد بالكامل:

مثال 19

التحقيق في تقارب السلسلة

حل: بلا شك علامة دالمبرت. أثناء العمليات الحسابية، أستخدم خصائص الدرجات بنشاط، وكذلك الحد الثاني الرائع:

الكثير بالنسبة لك. لم تقدم علامة D'Alembert إجابة، على الرغم من أن لا شيء ينطبق على مثل هذه النتيجة.

بعد البحث في الكتاب المرجعي، وجدت حدًا غير معروف ومثبتًا نظريًا وقمت بتطبيق اختبار كوشي الجذري الأقوى:

وهنا اثنان بالنسبة لك. والأهم من ذلك، أنه من غير الواضح تمامًا ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة (وهو موقف نادر جدًا بالنسبة لي). علامة ضرورية للمقارنة؟ بدون الكثير من الأمل - حتى لو تمكنت من معرفة ترتيب نمو البسط والمقام بشكل لا يمكن تصوره، فإن هذا لا يضمن المكافأة بعد.

إنها عضو كامل، ولكن أسوأ شيء هو أن الخلاف يحتاج إلى حل. بحاجة ل. بعد كل شيء، ستكون هذه هي المرة الأولى التي أستسلم فيها. ثم تذكرت أنه يبدو أن هناك بعض العلامات الأخرى الأقوى. لم يعد أمامي ذئب ولا نمر ولا نمر. لقد كان فيلًا ضخمًا يلوح بخرطومه الكبير. اضطررت لالتقاط قاذفة قنابل يدوية:

علامة رابي

النظر في سلسلة أرقام إيجابية.
إذا كان هناك حد ، الذي - التي:
أ) عندما الصف يتباعد. علاوة على ذلك، يمكن أن تكون القيمة الناتجة صفرًا أو سالبة
ب) عندما الصف يتقارب. وعلى وجه الخصوص، تتقارب السلسلة عند .
ج) متى علامة رابي لا تعطي إجابة.

نرسم حدًا ونبسط الكسر بعناية وبعناية:


نعم، الصورة، بعبارة ملطفة، غير سارة، ولكنني لم أعد مندهشا. فقد تم كسر هذه الحدود بمساعدة قواعد لوبيتال، والفكرة الأولى، كما اتضح لاحقا، كانت صحيحة. لكن في البداية قمت بتحريف الحد وتحوله لمدة ساعة تقريبًا باستخدام الطرق "المعتادة"، لكن عدم اليقين لم يرغب في التخلص منه. والمشي في دوائر، كما تشير التجربة، هو علامة نموذجية على أنه تم اختيار الحل الخاطئ.

كان علي أن ألجأ إلى الحكمة الشعبية الروسية: "إذا فشل كل شيء آخر، اقرأ التعليمات". وعندما فتحت المجلد الثاني من فيشتنهولتز، أسعدني كثيرًا اكتشاف دراسة لسلسلة متطابقة. ثم اتبع الحل المثال.

يعد حل Navier مناسبًا فقط لحساب اللوحات المدعومة بشكل مفصلي على طول الكفاف. أكثر عمومية هو الحل ليفي. فهو يسمح لك بحساب لوحة معلقة على جانبين متوازيين، مع وجود شروط حدودية تعسفية على كل من الجانبين الآخرين.

في اللوحة المستطيلة الموضحة في الشكل. في الشكل 5.11، (أ)، تكون الحواف المدعومة مفصليًا موازية للمحور ذ. الشروط الحدودية عند هذه الحواف لها الشكل

أرز. 5.11

ومن الواضح أن كل حد من سلسلة مثلثية لا نهاية لها

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width = "99" height = "49">؛ المشتقات الجزئية الثانية لوظيفة الانحراف

(5.45)

في س = 0 و س = أتساوي أيضًا الصفر، نظرًا لأنها تحتوي على https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)

استبدال (5.46) في (5.18) يعطي

ضرب طرفي المعادلة الناتجة في التكامل من 0 إلى أوتذكر ذلك

,

وصلنا إلى تحديد الوظيفة يممثل هذه المعادلة التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة

. (5.48)

إذا، لاختصار التدوين، نشير إلى

المعادلة (5.48) سوف تأخذ الشكل

. (5.50)

الحل العام للمعادلة غير المتجانسة (5.50) كما هو معروف من سير المعادلات التفاضلية له الشكل

يم(ذ) = يم (ذ)+ اف ام(ذ), (5.51)

أين يم (ذ) هو حل خاص للمعادلة غير المتجانسة (5.50)؛ ويعتمد نوعه على الجانب الأيمن من المعادلة (5.50) أي في الواقع على نوع الحمولة س (س, ذ);

وزير الخارجية(ذ)= عمشأمص + بم الفصلأمص + ص(كمشأمص + مارك ألماني الفصلأمذ), (5.52)

الحل العام للمعادلة المتجانسة

أربعة ثوابت اعتباطية أكون,فيم ,جمو مارك ألمانييجب تحديده من أربعة شروط لتثبيت حواف اللوحة الموازية للمحور الملحق باللوحة ثابت س (س, ذ) = سيأخذ الجانب الأيمن من المعادلة (5.50) الشكل

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width = "324" height = "55 src = ">. (5.55)

وبما أن الطرف الأيمن من المعادلة (5.55) ثابت، فإن الطرف الأيسر ثابت أيضاً؛ وبالتالي جميع المشتقات يم (ذ) تساوي الصفر، و

, (5.56)

, (5.57)

حيث أشار : .

دعونا نلقي نظرة على السجل مقروصعلى طول حواف موازية للمحور X(الشكل 5.11، (ج)).

شروط حدود الحافة ذ = ± ب/2

. (5.59)

بسبب تماثل انحراف اللوحة بالنسبة للمحور عنس، الخامس القرار العام(5.52) فقط المصطلحات التي تحتوي على حتى الوظائف. منذ ش أمذ– الدالة غريبة, و сh أم ذ- حتى مع الموضع المقبول للمحور أوه, ذش أمذ- حتى في فيالفصل أم ذ- فردياً، فيمكن تمثيل التكامل العام (5.51) في الحالة قيد النظر على النحو التالي

. (5.60)

حيث أن في (5.44) لا يعتمد على قيمة الوسيطة ذ، يمكن كتابة الزوج الثاني من الشروط الحدية (5.58)، (5.59) على النحو التالي:

يم = 0, (5.61)

ي¢ م = = 0. (5.62)

ي¢ م = أمبي امش أمص + سمش أمص + ص سمأمالفصل أمص=

أمبي امش أمص + سم(ش أمص + صأمالفصل أمذ)

ومن (5.60) – (5.63) يلي ذلك

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width = "364" height = "55 src = ">. (5.65)

ضرب المعادلة (5.64) ب، والمعادلة (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)

إن استبدال (5.66) في المعادلة (5.64) يسمح لنا بالحصول على بي ام

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">.(5.68)

مع هذا التعبير عن الوظيفة يم. تأخذ الصيغة (5.44) لتحديد دالة الانحراف الشكل

(5.69)

المتسلسلة (5.69) تتقارب بسرعة. على سبيل المثال، بالنسبة للوحة مربعة في مركزها، أي عند س =أ/2, ذ = 0

(5.70)

الإبقاء على حد واحد فقط من المتسلسلة في (5.70)، أي الأخذ ، نحصل على قيمة انحراف مبالغ فيها بأقل من 2.47٪. معتبرا أن ص 5 = 306.02، سنجد Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">W. تعتمد طريقة ريتز التغايرية على مبدأ لاغرانج التغايري الذي تمت صياغته في الفقرة 2.

دعونا نفكر في هذه الطريقة فيما يتعلق بمشكلة ثني الألواح. دعونا نتخيل السطح المنحني للوحة كسلسلة

, (5.71)

أين فاي(س, ذ) وظائف الإحداثيات المستمرة، والتي يجب أن تستوفي كل منها شروط الحدود الحركية؛ سي- معلمات غير معروفة تحدد من معادلة لاغرانج. هذه المعادلة

(5.72)

يؤدي إلى نظام نالمعادلات الجبرية فيما يتعلق بالمعلمات سي.

بشكل عام، تتكون طاقة التشوه للوحة من ثني U والغشاء U مالقطع

, (5.73)

, (5.74)

أين مكس.,مذ. ,مxy- قوى الانحناء؛ نX., نيويورك. , نكسي– قوى الغشاء . جزء الطاقة المقابل للقوى العرضية صغير ويمكن إهماله.

لو ش, الخامسو ث- مكونات الحركة الفعلية، بكسل. , السنة التحضيريةو pz- مكونات كثافة الحمل السطحي، رأنا- القوة المركزة، د أناالحركة الخطية المقابلة، مي- لحظة مركزة سي- زاوية الدوران المقابلة (الشكل 5.12)، فيمكن تمثيل الطاقة الكامنة للقوى الخارجية على النحو التالي:

إذا كانت حواف اللوحة تسمح بالحركة، فإن الحافة تجبر vn. , مليون. , mnt(الشكل 5.12، (أ)) زيادة إمكانات القوى الخارجية

أرز. 5.12

هنا نو ر- عادي ومماس لعنصر الحافة س.

في الإحداثيات الديكارتية، مع مراعاة التعبيرات المعروفة للقوى والانحناءات

, (5.78)

إجمالي الطاقة الكامنة E للوحة مستطيلة الحجم أ ´ ب، تحت تأثير الحمل الرأسي فقط pz

(5.79)

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك لوحة مستطيلة ذات نسبة عرض إلى ارتفاع تبلغ 2 أ´ 2 ب(الشكل 5.13).

يتم تثبيت اللوحة على طول الكفاف وتحميلها بحمل موحد

pz = ف = ثابت. في هذه الحالة، يتم تبسيط التعبير (5.79) للطاقة E

. (5.80)

قبول ل ث(س، ص) صف

الذي يفي بالشروط الكنتورية

أرز. 5.13

دعونا نحتفظ فقط بالفصل الأول من السلسلة

.

ثم حسب (5.80)

.

وذلك بتقليل الطاقة E حسب (5..gif" width="273 height=57" height=57">.

.

انحراف مركز لوحة مربعة مقاس 2 أ´ 2 أ

,

وهو ما يزيد بنسبة 2.5% عن الحل الدقيق 0.0202 سؤال وجواب 4/د. لاحظ أن انحراف مركز اللوحة المدعمة من أربعة جوانب أكبر بمقدار 3.22 مرة.

يوضح هذا المثال مزايا الطريقة: البساطة والقدرة على الحصول على نتائج جيدة. يمكن أن يكون للوحة أشكال مختلفة وسمك متغير. تنشأ الصعوبات في هذه الطريقة، وكذلك في طرق الطاقة الأخرى، عند اختيار وظائف الإحداثيات المناسبة.

5.8. طريقة التعامد

طريقة التعامد المقترحة وتستند إلى الخاصية التالية للوظائف المتعامدة يأنا. , يي

. (5.82)

مثال على الوظائف المتعامدة على الفاصل الزمني ( – ص, ص) يمكن أن تكون بمثابة وظائف مثلثية كوس nxوالخطيئة nxلأي منهم

إذا كانت إحدى الوظائف، على سبيل المثال وظيفة يأنا (س) يساوي الصفر، ثم يتم استيفاء الشرط (5.82) لدالة اختيارية يي (س).

لحل مشكلة ثني الصفيحة، تكون المعادلة

يمكنك أن تتخيل ذلك مثل هذا

, (5.83)

أين F- مساحة محدودة بمحيط اللوحة؛ ياي جاي- وظائف محددة بحيث تلبي الشروط الحركية وحدود القوة للمشكلة.

دعونا نقدم حلاً تقريبيًا لمعادلة ثني الصفائح (5.18) على شكل سلسلة

. (5.84)

إذا كان الحل (5.84) دقيقًا، فسيتم تلبية المعادلة (5.83) بشكل مماثل لأي نظام من الدوال الإحداثية ياي جاي. ، لأنه في هذه الحالة دÑ2Ñ2 wn – س = 0. نحن نطلب المعادلة دÑ2Ñ2 wn – سكان متعامدًا مع مجموعة الوظائف ياي جاي, ونستخدم هذا المطلب لتحديد المعاملات سيج. . استبدال (5.84) في (5.83) نحصل عليه

. (5.85)

بعد إجراء بعض التحويلات، نحصل على نظام المعادلات الجبرية التالي لتحديده جاي جاي

, (5.86)

و حاي جاي = حجي.

يمكن إعطاء طريقة Bubnov-Galerkin التفسير التالي. وظيفة دÑ2Ñ2 wn – س = 0 هي في الأساس معادلة توازن وتمثل إسقاطًا للقوى الخارجية والداخلية المؤثرة على عنصر صغير من اللوحة في اتجاه المحور الرأسي ض. وظيفة الانحراف wnهناك حركة في اتجاه نفس المحور، والدوال ياي جاييمكن اعتبار الحركات الممكنة. وبالتالي فإن المعادلة (5.83) تعبر تقريباً عن المساواة إلى الصفر لشغل جميع القوى الخارجية والداخلية على الإزاحات المحتملة ياي جاي. . وبالتالي، فإن طريقة بوبنوف-جاليركين هي في الأساس طريقة تباينية.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك لوحة مستطيلة مثبتة على طول الكفاف ومحملة بحمل موزع بشكل موحد. أبعاد اللوحة وموقع محاور الإحداثيات هي نفسها كما في الشكل. 5.6.

ظروف الحدود

في س = 0, س= أ: ث = 0, ,

في ذ = 0, ذ = ب: ث = 0, .

ونختار تعبيراً تقريبياً لدالة الانحراف على شكل سلسلة (5.84) حيث تكون الدالة ياي جاي

يفي بشروط الحدود؛ سيجهي المعاملات المطلوبة. يقتصر على عضو واحد من السلسلة

نحصل على المعادلة التالية

بعد التكامل

ومن أين نحسب المعامل؟ مع 11

,

الذي يتوافق تماما مع المعامل مع 11. تم الحصول عليها عن طريق الطريقة

في ريتسا - .

بالنسبة للتقريب الأول، تكون وظيفة الانحراف كما يلي

.

أقصى انحراف في وسط لوحة مربعة الحجم أ ´ أ

.

5.9. تطبيق طريقة الفروق المحدودة

دعونا نفكر في تطبيق طريقة الفرق المحدود للصفائح المستطيلة ذات الظروف الكنتورية المعقدة. عامل الفرق - التناظرية المعادلة التفاضليةالسطح المنحني للوحة (5.18)، لشبكة مربعة، عند D س = د ذ = د يأخذ الشكل (3.54)

20 واي, ي + 8 (واي, ي+ 1 + واي, ي– 1 + واي– 1, ي + واي+ 1, ي) + 2 (واي– 1, ي– 1 + واي– 1, ي+ 1 +

أرز. 5.14

مع الأخذ في الاعتبار وجود ثلاثة محاور تناظر تحميل وتشوه اللوحة، يمكننا أن نقتصر على النظر في ثامناها وتحديد قيم الانحرافات فقط في العقد 1...10 (الشكل 5.14، (ب) ). في التين. 5.14، (ب) يعرض الشبكة وترقيم العقد (د = أ/4).

بما أن حواف اللوحة مثبتة، يتم كتابة شروط الكنتور (5.25)، (5.26) بفروق محدودة

بواسطة جيب التمام وجيب الأقواس المتعددة، أي سلسلة من النموذج

أو في شكل معقد

أين ك,ب كأو، وفقا لذلك، ج كمُسَمًّى معاملات T.r
لأول مرة T. r. وجدت في L. Euler (L. Euler، 1744). حصل على التحلل

جميعهم. القرن ال 18 فيما يتعلق بدراسة مشكلة الاهتزاز الحر للسلسلة، نشأ سؤال حول إمكانية تمثيل الوظيفة التي تميز الموضع الأولي للسلسلة في شكل مجموع tr. تسببت هذه القضية في جدل ساخن استمر لعدة عقود بين أفضل المحللين في ذلك الوقت - D. Bernoulli، J. D'Alembert، J. Lagrange، L. Euler ( L. Eu1er). الخلافات المتعلقة بمضمون مفهوم الوظيفة. في ذلك الوقت، كانت الوظائف مرتبطة عادةً بوظائفها التحليلية. المهمة، مما أدى إلى النظر في الوظائف التحليلية أو التحليلية المتعددة التعريف فقط. وهنا أصبح من الضروري للدالة التي يكون رسمها البياني تعسفيًا تمامًا إنشاء TR يمثل هذه الوظيفة. لكن أهمية هذه الخلافات أكبر. في الواقع، تمت مناقشة الأسئلة المتعلقة بالعديد من المفاهيم والأفكار ذات الأهمية الأساسية في الرياضيات أو نشأت فيما يتعلق بها. التحليل بشكل عام – تمثيل الدوال بواسطة متسلسلة تايلور والتحليلية. استمرار الدوال، استخدام المتسلسلة المتباعدة، النهايات، أنظمة المعادلات اللانهائية، الدوال بواسطة كثيرات الحدود، إلخ.
وفي المستقبل، كما في هذه الفترة الأولية، نظرية tr. كان بمثابة مصدر للأفكار الجديدة في الرياضيات. تكامل فورييه، دوال دورية تقريبًا، سلسلة متعامدة عامة، مجردة. بحث عن T. r. كانت بمثابة نقطة البداية لإنشاء نظرية المجموعات. ر. هي أداة قوية لتمثيل واستكشاف الوظائف.
تم حل السؤال الذي أدى إلى خلافات بين علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر، في عام 1807 من قبل ج. فورييه، الذي أشار إلى صيغ لحساب معاملات الديناميكا الحرارية. (١) أي ينبغي. تمثل الدالة f(x):

وتطبيقها في حل مشاكل التوصيل الحراري. تُسمى الصيغ (2) بصيغ فورييه، على الرغم من أنها وجدت سابقًا في A. Clairaut (1754)، وL. Euler (1777) التي توصلت إليها باستخدام التكامل على حدة. ر. (1)، وتحدد معاملاتها بالصيغة (2)، تسمى. سلسلة فورييه للدالة f، والأرقام أ ك، ب ك- معاملات فورييه.
تعتمد طبيعة النتائج التي يتم الحصول عليها على كيفية فهم تمثيل الدالة بواسطة سلسلة، وكيفية فهم التكامل في الصيغ (2). النظرية الحديثة للتر. المكتسبة بعد ظهور تكامل Lebesgue.
نظرية ت.ر. يمكن تقسيمها إلى قسمين كبيرين - النظرية سلسلة فورييه, حيث يفترض أن المتسلسلة (1) هي متسلسلة فورييه لدالة معينة، ونظرية الديناميكا الحرارية العامة حيث لم يتم وضع مثل هذا الافتراض. فيما يلي النتائج الرئيسية التي تم الحصول عليها في نظرية الديناميكا الحرارية العامة. (في هذه الحالة، يتم فهم المجموعات وإمكانية قياس الوظائف وفقًا لـ Lebesgue).
المنهجي الأول كانت دراسة TR، التي لم يُفترض فيها أن هذه المتسلسلة هي متسلسلة فورييه، هي أطروحة دبليو ريمان (دبليو ريمان، 1853). ولذلك فإن نظرية الجنرال T. r. مُسَمًّى في بعض الأحيان النظرية الريمانية لـ T. r.
لدراسة خصائص TR التعسفي. (1) بمعاملات تميل إلى الصفر، اعتبر ريمان الدالة المستمرة F(x) , وهو مجموع سلسلة متقاربة بشكل موحد

تم الحصول عليها بعد التكامل المزدوج للسلسلة (1). إذا كانت السلسلة (1) تتقارب عند نقطة معينة x إلى رقم s، ففي هذه النقطة يوجد ويساوي s متماثل ثانٍ. وظائف واو:

ثم يؤدي هذا إلى جمع السلسلة (1) الناتجة عن العوامل مُسَمًّى طريقة جمع ريمان. باستخدام الدالة F، تمت صياغة مبدأ توطين ريمان، والذي بموجبه يعتمد سلوك السلسلة (1) عند النقطة x فقط على سلوك الدالة F في حي صغير بشكل تعسفي من هذه النقطة.
إذا ر. تتقارب على مجموعة من القياسات الإيجابية فإن معاملاتها تميل إلى الصفر (كانتور-ليبيغ). السعي للحصول على معاملات صفرية لـ TR. كما يتبع من تقاربها على مجموعة من الفئة الثانية (W. Young، W. Young، 1909).
إحدى المشاكل المركزية للنظرية العامة tr. هي مشكلة تمثيل وظيفة تعسفية لـ TR. بعد أن عزز نتائج N. N. Luzin (1915) حول تمثيل وظائف T. R.، والتي يمكن تلخيصها بواسطة طريقتي Abel-Poisson وRiemann، أثبت D. E. Menshov (1940) النظرية التالية المتعلقة بالحالة الأكثر أهمية، عندما يتم تمثيل الوظيفة يُفهم f على أنه T.r. ل F(خ) في كل مكان تقريبا. لكل دالة قابلة للقياس ومحدودة في كل مكان تقريبًا، توجد معادلة خطية تتقارب معها في كل مكان تقريبًا (نظرية مينشوف). تجدر الإشارة إلى أنه حتى لو كانت f قابلة للتكامل، فمن المستحيل عمومًا اعتبار متسلسلة فورييه للدالة f مثل هذه السلسلة، نظرًا لوجود متسلسلة فورييه تتباعد في كل مكان.
تسمح نظرية مينشوف أعلاه بالتوضيح التالي: إذا كانت الدالة f قابلة للقياس ومحدودة في كل مكان تقريبًا، فهذا يعني وجود مثل هذا في كل مكان تقريبًا وتتقارب سلسلة فورييه المتمايزة للدالة j إلى f(x) في كل مكان تقريبًا (N.K. Bari, 1952).
من غير المعروف (1984) ما إذا كان من الممكن حذف شرط محدودية الدالة f في كل مكان تقريبًا في نظرية مينشوف. على وجه الخصوص، من غير المعروف (1984) ما إذا كان T. r. تتلاقى في كل مكان تقريبا ل
ولذلك، تم النظر في مشكلة تمثيل الوظائف التي يمكن أن تأخذ قيمًا لا نهائية على مجموعة من التدابير الإيجابية للحالة عندما يتم استبدالها بالمتطلبات الأضعف - . يتم تعريف التقارب في القياس للوظائف التي يمكن أن تأخذ قيمًا لا نهائية على النحو التالي: المبالغ الجزئية T. p. ق ن(x) يتقارب في القياس مع الدالة f(x) . إذا أين fn(x) تتقارب مع / (x) في كل مكان تقريبًا، ويتقارب التسلسل إلى الصفر في القياس. في هذه الصيغة، تم حل مسألة تمثيل الوظائف بالكامل: لكل وظيفة قابلة للقياس هناك TR تتقارب معها في القياس (D. E. Menshov، 1948).
تم تخصيص العديد من الدراسات لمشكلة تفرد TRs: ما إذا كان يمكن أن يتباعد TRs مختلفان إلى نفس الوظيفة؛ وفي صيغة أخرى: إذا ت.ر. إذا تقاربت مع الصفر، فيترتب على ذلك أن جميع معاملات المتسلسلة تساوي صفرًا. ونعني هنا التقارب عند جميع النقاط أو عند جميع النقاط خارج مجموعة معينة. تعتمد الإجابة على هذه الأسئلة بشكل أساسي على خصائص تلك المجموعة، والتي لا يُفترض التقارب خارجها.
تم إنشاء المصطلحات التالية. أسماء كثيرة التفرد من قبل الكثيرينأو ش-تعيين، إذا كان من التقارب T. ص. إلى الصفر في كل مكان، باستثناء نقاط المجموعة ه،ويترتب على ذلك أن جميع معاملات هذه السلسلة تساوي الصفر. في خلاف ذلكعناز. مجموعة م.
كما أظهر ج. كانتور (ج. كانتور، 1872)، وكذلك أي مجموعة محدودة هي مجموعات U. والتعسفي هو أيضًا مجموعة U (W. Jung، 1909). من ناحية أخرى، كل مجموعة من التدابير الإيجابية هي مجموعة M.
تم تأسيس وجود مجموعات القياس M بواسطة D. E. Menshov (1916)، الذي قام ببناء المثال الأول لمجموعة مثالية تمتلك هذه الخصائص. هذه النتيجة لها أهمية أساسية في مشكلة التفرد. من وجود مجموعات M ذات قياس صفر، يترتب على ذلك أنه عندما يتم تمثيل وظائف سلسلة مثلثية على أنها متقاربة في كل مكان تقريبًا، يتم تحديد هذه السلسلة بطريقة فريدة بشكل واضح.
يمكن أيضًا أن تكون المجموعات المثالية عبارة عن مجموعات على شكل حرف U (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). في مشكلة التفرد، تلعب الخصائص الدقيقة جدًا لمجموعات القياس الصفرية دورًا أساسيًا. سؤال عام حول تصنيف مجموعات القياس الصفري إلى م-وتبقى مجموعة U (1984) مفتوحة. لم يتم حلها حتى بالنسبة للمجموعات المثالية.
تتعلق المشكلة التالية بمشكلة التفرد. إذا ر. يتقارب إلى وظيفة إذن يجب أن تكون هذه السلسلة عبارة عن سلسلة فورييه للدالة /. أعطى P. Du Bois-Reymond (1877) إجابة إيجابية على هذا السؤال إذا كانت f قابلة للتكامل الريماني وتتقارب المتسلسلة إلى f(x) في جميع النقاط. من نتائج الثالث. يتبع J. La Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin، 1912) أن الإجابة إيجابية حتى في الحالة التي تتقارب فيها السلسلة في كل مكان، باستثناء مجموعة من النقاط المعدودة، ويكون مجموعها محدودًا.
إذا كانت المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق عند نقطة معينة x 0، فإن نقاط التقارب لهذه المتسلسلة، وكذلك نقاط تقاربها المطلق، تقع بشكل متماثل بالنسبة إلى النقطة x 0 (ب. فاتو، ب. فاتو، 1906).
وفق دنجوي - نظرية لوزينمن التقارب المطلق لـ TR. (١) على مجموعة من القياسات الإيجابية تتقارب المتسلسلة وبالتالي التقارب المطلق للمتسلسلة (1) للجميع X.مجموعات الفئة الثانية، بالإضافة إلى مجموعات معينة من القياس صفر، لها هذه الخاصية أيضًا.
تغطي هذه المراجعة TRs أحادية البعد فقط. (1). هناك نتائج منفصلة تتعلق بالعام T. r. من عدة متغيرات. وهنا، في كثير من الحالات، لا يزال من الضروري العثور على تركيبات طبيعية للمشاكل.

أشعل.: باري ن.ك.، المتسلسلة المثلثية، م.، 1961؛ زيجموند أ.، المتسلسلة المثلثية، عبر. من الإنجليزية، المجلد 1-2، م، 1965؛ لوزين ن.ن.، المتسلسلة التكاملية والمثلثية، M.-L.، 1951؛ ريمان ب.، سوتش، العابر. من الألمانية، M.-L.، 1948، ص. 225-61.
إس إيه تيلياكوفسكي.

الموسوعة الرياضية. - م: الموسوعة السوفيتية. آي إم فينوغرادوف. 1977-1985.

في العلوم والتكنولوجيا، يتعين علينا في كثير من الأحيان التعامل مع الظواهر الدورية، أي. تلك التي تتكرر بعد فترة زمنية معينة ت، تسمى فترة. أبسط الدوال الدورية (باستثناء الثابت) هي الكمية الجيبية: آسين(س+ )، التذبذب التوافقي، حيث يكون هناك "تردد" مرتبط بالفترة بنسبة: . ومن هذه الوظائف الدورية البسيطة يمكن تكوين وظائف أكثر تعقيدًا. ومن الواضح أن الكميات الجيبية المكونة يجب أن تكون ذات ترددات مختلفة، حيث أن إضافة الكميات الجيبية من نفس التردد يؤدي إلى كمية جيبية من نفس التردد. إذا قمت بإضافة عدة كميات من النموذج

على سبيل المثال، نعيد هنا إضافة ثلاث كميات جيبية: . دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني لهذه الوظيفة

يختلف هذا الرسم البياني بشكل كبير عن الموجة الجيبية. ايضا في إلى حد كبيريحدث هذا لمجموع سلسلة لا نهائية مكونة من مصطلحات من هذا النوع. دعونا نطرح السؤال: هل يمكن أن تكون هذه الوظيفة الدورية لهذه الفترة تهل تمثلها كمجموع مجموعة محدودة أو لا حصر لها على الأقل من الكميات الجيبية؟ اتضح أنه فيما يتعلق بفئة كبيرة من الوظائف، يمكن الإجابة على هذا السؤال بالإيجاب، ولكن هذا فقط إذا قمنا بإشراك التسلسل اللانهائي بأكمله لهذه المصطلحات. هندسيًا، هذا يعني أنه يتم الحصول على الرسم البياني للدالة الدورية عن طريق تركيب سلسلة من الجيوب الأنفية. إذا اعتبرنا كل قيمة جيبية بمثابة حركة تذبذبية توافقية، فيمكننا القول أن هذه تذبذبات معقدة تتميز بوظيفة أو ببساطة توافقياتها (الأولى والثانية وما إلى ذلك). تسمى عملية تحلل الدالة الدورية إلى توافقيات التحليل التوافقي.

من المهم أن نلاحظ أن مثل هذه التوسعات غالبًا ما تكون مفيدة في دراسة الوظائف المحددة فقط في فترة محدودة معينة ولا تتولد عن أي ظواهر تذبذبية.

تعريف.المتسلسلة المثلثية هي متسلسلة من الشكل:

أو (1).

أرقام حقيقيةتسمى معاملات السلسلة المثلثية. يمكن أيضًا كتابة هذه السلسلة على النحو التالي:

إذا تقاربت سلسلة من النوع الموضح أعلاه، فإن مجموعها يكون دالة دورية ذات الفترة 2p.

تعريف.تسمى معاملات فورييه للمتسلسلة المثلثية بما يلي: (2)

(3)

(4)

تعريف.فورييه قريب من الوظيفة و (خ)تسمى المتسلسلة المثلثية التي معاملاتها هي معاملات فورييه.

إذا كانت سلسلة فورييه من الدالة و (خ)ويتقارب إليها في جميع نقاط اتصالها، فنقول أن الدالة و (خ)يتوسع إلى سلسلة فورييه.

نظرية.(نظرية ديريشليت) إذا كانت الدالة لها دورة 2p ومستمرة على فترة أو لديها عدد محدود من نقاط عدم الاستمرارية من النوع الأول، فيمكن تقسيم الفترة إلى عدد محدود من المقاطع بحيث تكون الدالة داخل كل منها إذا كانت رتيبة، فإن متسلسلة فورييه للدالة تتقارب لجميع القيم X، وعند نقاط استمرارية الدالة مجموعها ق (خ)يساوي ، وعند نقاط الانقطاع يكون مجموعها يساوي ، أي. الوسط الحسابي للقيم الحدية على اليسار واليمين.

في هذه الحالة، سلسلة فورييه للدالة و (خ)يتقارب بشكل موحد على أي قطعة تنتمي إلى فترة استمرارية الوظيفة.

تسمى الدالة التي تستوفي شروط هذه النظرية بسلاسة القطع على القطعة.

دعونا نفكر في أمثلة على توسيع دالة في سلسلة فورييه.

مثال 1. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه و(س)=1-س، وجود فترة 2 صوتعطى على الجزء .

حل. دعونا نرسم هذه الوظيفة

هذه الدالة مستمرة على المقطع، أي على مقطع طوله فترة، وبالتالي يمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه، متقاربة معها عند كل نقطة من هذا المقطع. باستخدام الصيغة (2) نجد معامل هذه السلسلة: .

دعونا نطبق صيغة التكامل بالأجزاء ونجد من الصيغتين (3) و (4) على التوالي:

بتعويض المعاملات في الصيغة (1) نحصل على أو .

وتسري هذه المساواة في جميع النقاط باستثناء النقاط و(النقاط التي ترتبط فيها الرسوم البيانية). وعند كل نقطة من هذه النقاط يكون مجموع المتسلسلة مساوياً للوسط الحسابي لقيمها الحدية على اليمين واليسار، أي.

دعونا نقدم خوارزمية لتحليل الوظيفةفي سلسلة فورييه.

الإجراء العامحل المشكلة المطروحة يأتي في ما يلي.