سلسلة فورييه. لكل يوم قم بتوسيع الدالة في سلسلة فورييه

بالقرب من فورييهوظائف f (x) على الفاصل الزمني (-π ؛ π) تسمى سلسلة مثلثية من النموذج:
، أين

تسمى سلسلة فورييه للدالة f (x) على الفاصل الزمني (-l ؛ l) بالسلسلة المثلثية من النموذج:
، أين

ميعاد. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لتوسيع الدالة f (x) في سلسلة فورييه.

لوظائف modulo (على سبيل المثال | x |) ، استخدم توسيع جيب التمام.

قواعد إدخال الوظيفة:

لوظائف modulo ، استخدم توسيع جيب التمام. على سبيل المثال ، لـ | x | من الضروري تقديم وظيفة بدون وحدة نمطية ، أي x.

سلسلة فورييه متعددة المستويات - متصلة ، متعددة الألوان - أحادية اللون ومحدودة على الفاصل الزمني (- ل;ل) الدالة على المحور الحقيقي بأكمله.

مجموع سلسلة فورييه S (x):

• هي دالة دورية ذات فترة 2 ل. تسمى الوظيفة u (x) دورية مع فترة T (أو T- دورية) إذا كانت لكل x من المجال R ، u (x + T) = u (x).
• على الفاصل الزمني (- ل;ل) يتزامن مع الوظيفة F(x) ، باستثناء نقاط التوقف
• عند نقاط عدم الاستمرارية (من النوع الأول ، لأن الوظيفة محدودة) للوظيفة F(x) ويأخذ متوسط ​​القيم في نهايات الفاصل الزمني:

.
يقولون أن الدالة تتوسع في سلسلة فورييه على الفترة الزمنية (- ل;ل): .

اذا كان F(x) هي وظيفة زوجية ، فعندئذٍ فقط حتى الوظائف تشارك في توسعها ، أي ، ب ن=0.
اذا كان F(x) هي وظيفة فردية ، ثم فقط الوظائف الفردية هي التي تشارك في توسيعها ، أي ، أ=0

بالقرب من فورييه المهام F(x) في الفاصل الزمني (0 ؛ ل) بواسطة جيب التمام لأقواس متعددة الصف يسمى:
، أين
.
بالقرب من فورييه المهام F(x) في الفاصل الزمني (0 ؛ ل) بجيوب متعددة الأقواس الصف يسمى:
، أين .
مجموع سلسلة فورييه على جيب التمام لأقواس متعددة هو دالة دورية زوجية بالدورة 2 ل، تتوافق مع F(x) في الفاصل الزمني (0 ؛ ل) عند نقاط الاستمرارية.
مجموع سلسلة فورييه على جيوب الأقواس المتعددة هو دالة دورية فردية بفترة 2 ل، تتوافق مع F(x) في الفاصل الزمني (0 ؛ ل) عند نقاط الاستمرارية.
تتميز سلسلة فورييه لدالة معينة في فترة زمنية معينة بخاصية التفرد ، أي إذا تم الحصول على التمدد بأي طريقة أخرى غير استخدام الصيغ ، على سبيل المثال ، عن طريق اختيار المعاملات ، فإن هذه المعاملات تتطابق مع تلك المحسوبة بواسطة الصيغ .

مثال 1. قم بتوسيع الدالة f (x) = 1:
أ) في سلسلة فورييه كاملة في الفترة(-π ;π);
ب) في سلسلة على طول جيب الأقواس المتعددة في الفترة(0;π); ارسم سلسلة فورييه الناتجة
المحلول:
أ) التمدد في سلسلة فورييه في الفترة (-π ؛ π) له الشكل:
,
وجميع المعاملات ب ن= 0 لأن هذه الوظيفة زوجية ؛ هكذا،

من الواضح أن المساواة ستكون راضية إذا أخذناها
أ 0 =2, أ 1 =أ 2 =أ 3 =…=0
بحكم خاصية التفرد ، هذه هي المعاملات المرغوبة. وبالتالي ، فإن التوسع المطلوب هو: أو 1 = 1 فقط.
في هذه الحالة ، عندما تتطابق السلسلة بشكل مماثل مع وظيفتها ، يتطابق الرسم البياني لسلسلة فورييه مع الرسم البياني للدالة على الخط الحقيقي بأكمله.
ب) التمدد في الفترة (0 ؛ π) من حيث جيوب الأقواس المتعددة له الشكل:
من الواضح أنه من المستحيل اختيار المعاملات بحيث تكون المساواة متطابقة. دعنا نستخدم الصيغة لحساب المعاملات:


وهكذا ، حتى ن (ن=2ك) نملك ب ن= 0 للفرد ( ن=2ك-1) -
أخيراً، .
دعنا نرسم سلسلة فورييه الناتجة باستخدام خصائصها (انظر أعلاه).
بادئ ذي بدء ، نبني رسمًا بيانيًا لهذه الدالة في فترة زمنية معينة. علاوة على ذلك ، بالاستفادة من غرابة مجموع السلسلة ، نواصل الرسم البياني بشكل متماثل مع الأصل:

نواصل بشكل دوري على محور العدد بأكمله:


وأخيرًا ، عند نقاط الفاصل ، نقوم بملء المتوسط ​​(بين الحدين الأيمن والأيسر):

المثال رقم 2. توسيع وظيفة في الفترة (0 ؛ 6) على طول جيوب الأقواس المتعددة.
المحلول: التوسعة المرغوبة لها الشكل:

نظرًا لأن كلا الجزأين الأيمن والأيسر من المساواة يحتويان فقط على وظائف الخطيئة للحجج المختلفة ، يجب عليك التحقق مما إذا كانت حجج الجيب في الجزأين الأيمن والأيسر من المساواة تتطابق مع أي قيم لـ n (طبيعي!)
أو من حيث n = 18. هذا يعني أن هذا المصطلح موجود في الجانب الأيمن ويجب أن يتطابق المعامل الخاص به مع المعامل الموجود على الجانب الأيسر: ب 18 =1;
أو حيث n = 4. وسائل، ب 4 =-5.
وبالتالي ، باستخدام اختيار المعاملات ، كان من الممكن الحصول على التمدد المطلوب.

وظيفة محددة لجميع القيم x اتصل دورية, إذا كان هناك مثل هذا الرقم تي (T ≠ 0)، ذلك لأي قيمة xالمساواة و (س + T) = و (س). رقم تيفي هذه الحالة هي فترة الوظيفة.

خصائص الوظائف الدورية:

1) مجموع ، فرق ، حاصل قسمة دوال الفترة الدورية تيهي دالة دورية للفترة ت.

2) إذا كانت الوظيفة و (خ)له فترة تي، ثم الوظيفة و (فأس)له فترة

في الواقع ، لأي حجة X:

(يعني ضرب الوسيطة برقم ضغط أو تمديد الرسم البياني لهذه الوظيفة على طول المحور أوه)

على سبيل المثال ، دالة لها فترة ، وفترة الدالة هي

3) إذا و (خ)وظيفة دورية الفترة تي، إذن ، أي تكاملين لهذه الدالة متساويين ، مأخوذين على فترة الطول تي(من المفترض أن هذه التكاملات موجودة).

سلسلة فورييه لدالة ذات فترة T = .

السلسلة المثلثية هي سلسلة من الشكل:

أو باختصار

حيث ، ، ، ، ، ... ، ، ... هي أرقام حقيقية ، تسمى معاملات المتسلسلة.

كل مصطلح في السلسلة المثلثية هو دالة دورية للفترة (لأن - لها أي

النقطة ، والنقطة () هي ، وبالتالي). كل مصطلح () ، مع ن = 1،2،3 ... هو تعبير تحليلي للتذبذب التوافقي البسيط ، حيث أ- السعة ،

المرحلة الأولى. بالنظر إلى ما سبق ، نحصل على: إذا كانت السلسلة المثلثية تتقارب على جزء من طول الفترة ، فإنها تتقارب على المحور العددي بأكمله ويكون مجموعها دالة دورية للدورة.

دع السلسلة المثلثية تتقارب بشكل موحد على قطعة (وبالتالي على أي جزء) ومجموعها يساوي. لتحديد معاملات هذه السلسلة ، نستخدم المعادلات التالية:

نستخدم أيضًا الخصائص التالية.

1) كما هو معروف ، فإن مجموع سلسلة مكونة من وظائف مستمرة متقاربة بشكل موحد على جزء معين هو في حد ذاته وظيفة مستمرة في هذا الجزء. بالنظر إلى هذا ، نحصل على أن مجموع السلسلة المثلثية التي تتقارب بشكل موحد على مقطع ما هو دالة متصلة على المحور الحقيقي بأكمله.

2) لن يتم انتهاك التقارب المنتظم للسلسلة على مقطع ما إذا تم ضرب جميع حدود السلسلة في دالة متصلة في هذا المقطع.

على وجه الخصوص ، لن يتم انتهاك التقارب المنتظم على جزء من سلسلة مثلثية معينة إذا تم ضرب جميع أعضاء السلسلة في أو في.

حسب الشرط

نتيجة للتكامل المصطلح لسلسلة متقاربة بشكل موحد (4.2) ومع مراعاة المساواة المذكورة أعلاه (4.1) (تعامد الدوال المثلثية) ، نحصل على:

لذلك ، فإن المعامل

بضرب المساواة (4.2) من خلال دمج هذه المساواة في النطاق من إلى ، ومع مراعاة التعبيرات المذكورة أعلاه (4.1) ، نحصل على:

لذلك ، فإن المعامل

وبالمثل ، بضرب المساواة (4.2) ودمجها ضمن الحدود من إلى ، مع مراعاة المساواة (4.1) ، لدينا:

لذلك ، فإن المعامل

وبالتالي ، يتم الحصول على التعبيرات التالية لمعاملات سلسلة فورييه:

معايير كافية لتوسيع دالة إلى سلسلة فورييه.أذكر أن النقطة x o وظيفة كسر و (خ)تسمى نقطة انقطاع من النوع الأول إذا كانت هناك حدود منتهية على يمين ويسار الوظيفة و (خ)على مقربة من النقطة.

حد على اليمين

الحد الأيسر.

نظرية (ديريتشليت).إذا كانت الوظيفة و (خ)له فترة ومستمر على المقطع أو لديه عدد محدود من نقاط الانقطاع من النوع الأول ، بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تقسيم المقطع إلى عدد محدود من المقاطع بحيث يكون بداخل كل منها و (خ)رتيبة ، ثم سلسلة فورييه للدالة و (خ)يتقارب لجميع القيم x. علاوة على ذلك ، عند نقاط استمرارية الوظيفة و (خ)مجموعها و (خ)، وعند نقاط انقطاع الوظيفة و (خ)مجموعها ، أي المتوسط ​​الحسابي لقيم النهاية على اليسار واليمين. بالإضافة إلى ذلك ، سلسلة فورييه للدالة و (خ)يتقارب بشكل موحد على أي جزء ينتمي مع نهاياته إلى فترة استمرارية الوظيفة و (خ).

مثال: وسّع الدالة في سلسلة فورييه

إرضاء الحالة.

المحلول.دور و (خ)يفي بشروط توسعة فورييه ، لذلك يمكننا أن نكتب:

وفقًا للصيغ (4.3) ، يمكن الحصول على القيم التالية لمعاملات سلسلة فورييه:

عند حساب معاملات سلسلة فورييه ، تم استخدام صيغة "التكامل بالأجزاء".

وبالتالي

سلسلة فورييه للدوال الزوجية والفردية مع الفترة T =.

نستخدم الخاصية التالية للتكامل على المتماثل بالنسبة إلى س = 0يولد:

اذا كان و (خ)- وظيفة غريبة،

إذا و (خ)هي دالة زوجية.

لاحظ أن حاصل ضرب دالتين فرديتين أو زوجي هو دالة زوجية ، وحاصل ضرب دالة زوجية ودالة فردية هو دالة فردية. دعنا الآن و (خ)- وظيفة دورية حتى مع فترة , الذي يفي بشروط التوسع في سلسلة فورييه. ثم ، باستخدام خاصية التكاملات المذكورة أعلاه ، نحصل على:

وبالتالي ، فإن سلسلة فورييه لوظيفة زوجية تحتوي فقط على وظائف زوجية - جيب التمام وتتم كتابتها على النحو التالي:

والمعاملات مليار = 0.

يجادل بالمثل ، إذا حصلنا على ذلك و (خ) -دالة دورية فردية تفي بشروط التوسع في سلسلة فورييه ، وبالتالي ، فإن سلسلة فورييه لوظيفة فردية تحتوي فقط على وظائف فردية - جيوب ويتم كتابتها على النحو التالي:

حيث و = 0في ن = 0 ، 1 ، ...

مثال:توسيع دالة دورية في سلسلة فورييه

منذ وظيفة فردية معينة و (خ)يفي بشروط توسعة فورييه ، إذن

أو ، وهو نفس الشيء ،

وسلسلة فورييه لهذه الدالة و (خ)يمكن كتابتها على هذا النحو:

سلسلة فورييه لوظائف أي فترة T = 2 ل.

يترك و (خ)- الوظيفة الدورية لأي فترة تي = 2 لتر(ل-نصف فترة) ، متجانسة متعددة العناصر أو أحادية اللون على الفاصل الزمني [ -ل ، ل]. بافتراض س = في ،الحصول على الوظيفة سمين)جدال رالفترة التي هي . دعنا نختار أبحيث تكون فترة الوظيفة سمين)كان يساوي ، أي تي = 2 لتر

المحلول.دور و (خ)- غريب ، يفي بشروط التوسع في سلسلة فورييه ، لذلك ، بناءً على الصيغتين (4.12) و (4.13) ، لدينا:

(عند حساب التكامل ، تم استخدام صيغة "التكامل بالأجزاء").

يتبع:

1) ارسم رسمًا بيانيًا و (خ)في فترة زمنية لا تقل عن فترتين ، لإظهار أن الوظيفة المعينة دورية ؛

2) رسم رسم بياني S (x)بالمثل ، بحيث يمكن رؤيته عند أي نقطة f (x) ¹S (x) ؛

3) احسب معاملات فورييه واكتب سلسلة فورييه.

مهام

№1. توسع في سلسلة فورييه

المحلول.لاحظ أن و (خ)تعطى على طول الفترة تي = 4. لان و (خ)يُفترض أن يكون دوريًا ، فهذا الرقم هو فترته ، إذن - ل = 2.

1) رسم بياني و (خ):

2) رسم بياني S (x):

توضح الأسهم الموجودة في نهايات السطور أن الوظيفة لا تأخذ في نهايات الفاصل الزمني القيمة المحددة من التعبير المعطى في الفاصل الزمني. عند مقارنة الرسوم البيانية و (خ)و S (x)يتضح ذلك بوضوح عند نقاط الانقطاع f (x) ¹S (x).

3) احسب معاملات فورييه. يمكن القيام بذلك باستخدام الصيغ (3 *):؛ ؛ . بالضبط: ؛ لذا،

تقسيم و (خ)في سلسلة فورييه لها الشكل:

ملاحظات . 1) عند الدمج على [-1;3] تم تقسيم هذا القسم إلى و ، لان على هذه الأجزاء و (خ)مجموعة لقيم مختلفة.

2) عند حساب المعاملات ، تم استخدام التكاملات: وأين أ = ثابت.

№2 . توسع في سلسلة فورييه

المحلول.هنا T = 2, ل = 1.

سلسلة فورييه لها الشكل: أين ؛ ؛ ، لان ل = 1.

1) رسم بياني و (خ):

2) رسم بياني S (x):

№3. توسع في سلسلة فورييه بدلالة الجيب

المحلول.لاحظ أنه يتم توسيع الدوال الفردية فقط في سلسلة فورييه بدلالة الجيب. لان و (خ)المعرفة فقط ل x> 0 ، xн (0 ؛ 2) И (2 ؛ 3)، ثم هذا يعني أنه في الفترة المتماثلة (-3 ؛ -2) È (-2 ؛ 0) و (خ)يجب أن تستمر في مثل هذه الطريقة أن المساواة f (-x) = -f (x). لذلك ، فإن طول الفترة الزمنية التي و (خ)تعطى كدالة فردية ، تساوي 6. ومن ثم T = 6 ، ل = 3.سلسلة فورييه لـ و (خ)له الشكل: ، حيث ، n = 1 ، 2 ، 3 ، (وفقًا للصيغ (5 ")).

1) رسم بياني و (خ).

لرسم رسم بياني و (خ)كدالة فردية ، نرسم أولاً رسمًا بيانيًا (0 ؛ 2) È (2 ؛ 3)، ثم استفد من حقيقة أن التمثيل البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل. من هذه الاعتبارات ، نحصل على الرسم البياني و (خ)على ال (-3 ؛ -2) È (-2 ؛ 0). ثم نواصل و (خ) تي = 6.

2) رسم بياني S (x).

برنامج S (x)يختلف عن الرسم البياني و (خ)عند نقاط انقطاع الوظيفة و (خ). على سبيل المثال ، في t. س = 2f (س)لم يتم تعريفه ، ولكن S (x)لديه في س = 2قيمة تساوي نصف مجموع حدود الدالة أحادية الجانب و (خ)، بالضبط: ، أين ، .

إذن ، ثم التحلل و (خ)في سلسلة فورييه لها الشكل:.

№4 . انشر في سلسلة فورييه في جيب التمام.

المحلول. لاحظ أنه يمكن فقط توسيع الدوال الزوجية في سلسلة فورييه في جيب التمام. لان و (خ)مجموعة فقط من أجل x> 0 ، xн (0 ؛ 2) И (2 ؛ 3] ،ثم هذا يعني أنه في الفترة المتماثلة [-3 ؛ -2) È (-2 ؛ 0) و (خ)نحن بحاجة إلى الاستمرار على النحو الذي تنص عليه المساواة: و (-x) = و (س).لذلك ، فإن طول الفترة الزمنية التي و (خ)تعطى كدالة زوجية تساوي 6 ، إذن T = 6 ، ل = 3.سلسلة فورييه في هذه الحالة لها الشكل:

أين ؛ ؛ ن = 1،2 ، ...(وفقًا للصيغ (4 ")).

1) رسم بياني و (خ).

لرسم رسم بياني و (خ)كدالة زوجية ، نرسم أولاً رسمًا بيانيًا و (خ)على ال (0 ؛ 2) È (2 ؛ 3]، ثم استفد من حقيقة أن التمثيل البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور y. من هذه الاعتبارات ، نحصل على الرسم البياني و (خ)على ال [-3 ؛ -2) È (-2 ؛ 0). ثم نواصل و (خ)على خط الأعداد بالكامل كدالة دورية مع نقطة تي = 6.

هنا هو الرسم البياني و (خ)مرسومة على فترتين كاملتين للوظيفة.

2) رسم بياني S (x).

برنامج S (x)يختلف عن الرسم البياني و (خ)عند نقاط انقطاع الوظيفة و (خ). على سبيل المثال ، في t. س = 0 و (س)لم يتم تعريفه ، ولكن S (x)له المعنى: ، إذن الرسم البياني S (x)لا تنقطع في س = 0، على عكس الرسم البياني و (خ).

تقسيم و (خ)في سلسلة فورييه في جيب التمام يكون الشكل:.

№5. توسع في سلسلة فورييه f (x) = | x | ، xн (-2 ؛ 2)..

المحلول.حسب الشرط ، و (خ)هي وظيفة زوجية على (-2;2) ؛ أولئك. تحتوي سلسلة فورييه الخاصة بها على جيب التمام فقط ، بينما تي = 4 ، ل = 2 ، ,

أين ؛ ؛ ن = 1 ، 2 ،

1) رسم بياني و (خ):

2) رسم بياني S (x):

3) ، لأن | س | = سإلى عن على x> 0.; .

ثم التحلل و (خ)في سلسلة فورييه لها الشكل:. لاحظ أنه عند دمج التعبيرات أو ، يتم استخدام صيغة التكامل على حدة: أين ش = س ؛ dv = cos (ax) dxأو dv = sin (ax) dx.

№6. قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة فورييه: أ) في الفاصل الزمني (-؟ ،؟) ؛ ب) في الفترة الزمنية (0 ، 2؟) ؛ ج) في الفترة (0 ،؟) في سلسلة من الجيب.

المحلول.أ) رسم بياني لدالة بـ 2؟ - الاستمرارية الدورية لها الشكل

تفي الوظيفة بشروط نظرية ديريتشليت وبالتالي يمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه.

دعونا نحسب معاملات فورييه. بما أن الوظيفة زوجية ، إذن bn = 0 (n = 0 ، 1 ، 2 ، ...) و (n = 0 ، 1 ، 2 ، ...).

لحساب هذا التكامل ، يتم استخدام صيغة التكامل بالأجزاء في تكامل محدد. نحن نحصل

سلسلة فورييه لهذه الوظيفة لها الشكل. بموجب اختبار Dirichlet ، تمثل هذه السلسلة الوظيفة x2 في الفاصل الزمني (-؟ ،؟).

ب) الفاصل الزمني (0 ، 2؟) ليس متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ، وطوله 2 ل= 2 ؟. نحسب معاملات فورييه باستخدام الصيغ:

لذلك ، فإن سلسلة فورييه لها الشكل. بحكم نظرية ديريتشليت ، تتلاقى السلسلة إلى دالة توليد عند النقطتين x؟ (0،2؟) وعند النقطتين 0 و 2؟ إلى قيمة. يبدو الرسم البياني لمجموع المتسلسلة

ج) يجب أن تكون الدالة الموسعة في سلسلة من حيث الجيب فردية. لذلك ، نقوم بتمديد الدالة المعطاة x2 في (-π ، π) بطريقة غريبة ، أي النظر في الوظيفة. لهذه الوظيفة f (x) لدينا = 0 (n = 0 ، 1 ، 2 ، ...) و

التوسع المطلوب له الشكل.

يبدو الرسم البياني لمجموع المتسلسلة

لاحظ أنه عند النقاط x = (-، π) تتقارب سلسلة فورييه مع الصفر.

№7 توسيع في سلسلة فورييه دالة معطاة بيانيا:

المحلول . نحصل على تعبير صريح لـ f (x). الرسم البياني للدالة هو خط مستقيم ، نستخدم معادلة الخط المستقيم في الصورة. كما يتضح من الرسم أي و (س) = س - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

تفي هذه الوظيفة بشروط اختبار Dirichlet ، لذا فهي تتوسع إلى سلسلة فورييه. دعونا نحسب معاملات فورييه ( ل = 1):

؛ (ن = 1 ، 2 ، ...) ؛

سلسلة فورييه للدالة f (x) لها الشكل

يمثل الدالة f (x) عند -1< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه المثلثية على مقطع ما وحدد الوظيفة التي تتقارب معها السلسلة الناتجة.

المحلول.ارسم رسمًا بيانيًا لدالة ، وتابعها بشكل دوري بنقطة أو على المحور بأكمله. الوظيفة المستمرة لها فترة.

تحقق من شروط الشروط الكافية لتقارب سلسلة فورييه (ديني ليبشيتز ، جوردان ، ديريتشليت).

تكون الوظيفة رتيبة متعددة التعريف على المقطع: فهي تزيد مرة بعد مرة. عند بعض النقاط ، يكون للوظيفة انقطاعات من النوع الأول.

اكتشف ما إذا كانت الوظيفة زوجية أم فردية: الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

أ) إذا تم ضبط الوظيفة على

ب) إذا تم ضبط الوظيفة على

يؤلف سلسلة فورييه للدالة:.

حدد الوظيفة التي ستتقارب معها هذه السلسلة ، باستخدام معايير التقارب النقطي: وفقًا لمعيار Dirichlet ، تتقارب سلسلة فورييه للدالة مع المجموع:

№9. وسّع الدالة إلى سلسلة فورييه بدلالة الجيب على واستخدم هذا التمدد لإيجاد مجموع سلسلة الأرقام.

المحلول.تابع الوظيفة بطريقة زوجية (فردية) على (- ص، 0) أو (- ل، 0) ، ثم بشكل دوري مع الفترة 2 صأو 2 لتواصل الوظيفة على المحور كله.

نواصل الوظيفة بطريقة غريبة ، ثم بشكل دوري ، مع فترة ، نواصلها على المحور بأكمله.

ارسم رسم بياني استمراري دوري. سوف نحصل على دالة من النموذج:

تحقق من شروط الشروط الكافية لتقارب سلسلة فورييه (ديني ليبيتز ، جوردان ، ديريتشليت).

الدالة ثابتة متعددة التعريف في الفترة الزمنية: فهي تساوي -1 في و 1 يوم. عند بعض النقاط ، يكون للوظيفة انقطاعات من النوع الأول.

احسب معاملات فورييه:

يتم حساب معاملات فورييه من خلال الصيغ:

قم بتكوين سلسلة فورييه للدالة. .

حدد الوظيفة التي ستتقارب معها هذه السلسلة ، باستخدام معايير التقارب النقطي.

وفقًا لاختبار Dirichlet ، تتقارب سلسلة فورييه للوظيفة مع المجموع:

لذلك ، متى

استبدال القيم ، حدد مجموع سلسلة الأرقام المحددة.

بافتراض التحلل الناتج ، نجد ،

من أين ، منذ ذلك الحين ،.

№10. اكتب مساواة بارسيفال للدالة ، وبناءً على هذه المساواة ، ابحث عن مجموع سلسلة الأرقام.

المحلول.حدد ما إذا كانت الوظيفة المعينة دالة مربعة قابلة للتكامل في.

الوظيفة مستمرة وبالتالي فهي قابلة للتكامل. للسبب نفسه ، مربعه قابل للتكامل في.

احسب معاملات فورييه باستخدام الصيغ:

نظرًا لأنها دالة فردية ، يتم حساب معاملات فورييه الخاصة بها بواسطة الصيغ:

احسب التكامل.

اكتب صيغة بارسيفال:

وهكذا ، فإن صيغة بارسيفال لها الشكل

بعد إجراء عمليات حسابية ، إذا لزم الأمر ، على الجانبين الأيمن والأيسر ، احصل على مجموع المتسلسلة العددية المحددة.

بقسمة كلا الجزأين من المساواة الناتجة على 144 ، نجد:.

№11. أوجد تكامل فورييه للدالة

وبناء الرسم البياني الخاص به.

المحلول.ارسم الدالة.

التحقق من استيفاء الشروط الكافية لتقارب فورييه لا يتجزأ (ديني ، ديريتشليت - الأردن أو النتائج المترتبة عليها).

الوظيفة قابلة للتكامل تمامًا في الفترة الزمنية ، وهي متصلة بـ و ، ولها انقطاع من النوع الأول عند نقطة ما. علاوة على ذلك ، فإن الدالة for and لها مشتق محدود ، وعند الصفر توجد مشتقات منتهية من اليمين واليسار. اكتشف ما إذا كانت الوظيفة زوجية أم فردية. الوظيفة ليست زوجية ولا فردية. ؛ .

لذا ، أو ،

نسخة طبق الأصل

1 وزارة التربية والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية نوفوسيبيرسك كلية الفيزياء R.K. Belkheeva السلسلة الرابعة في الأمثلة والمهام البرنامج التعليمي نوفوسيبيرسك 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 سلسلة Belkheeva R. K. Fourier في الأمثلة والمشكلات: Textbook / Novosib. حالة un-t. نوفوسيبيرسك ، س. ISBN يوفر البرنامج التعليمي معلومات أساسية حول سلسلة فورييه ، ويقدم أمثلة لكل موضوع تمت دراسته. تم تحليل مثال على تطبيق طريقة فورييه لحل مشكلة الاهتزازات المستعرضة للوتر بالتفصيل. يتم إعطاء مادة توضيحية. هناك مهام للحل المستقل. إنه مخصص للطلاب والمعلمين في كلية الفيزياء بجامعة ولاية نوفوسيبيرسك. نشرت وفقا لقرار اللجنة المنهجية لكلية الفيزياء بجامعة NSU. المراجع دكتور فيزياء الرياضيات. علوم. في أ. أليكساندروف ISBN ج جامعة ولاية نوفوسيبيرسك ، 211 ج Belkheeva R.K ، 211

3 1. توسعة سلسلة فورييه لوظيفة 2π دورية تعريف. سلسلة فورييه للدالة f (x) هي السلسلة الوظيفية a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) ، (1) حيث يتم حساب المعاملات a n ، b n بالصيغ: a n = 1 b n = 1 π f (x) cosnxdx، n =، 1، ...، (2) f (x) sin nxdx، n = 1، 2، .... (3) تسمى الصيغ (2) (3) بصيغ أويلر فورييه . حقيقة أن الدالة f (x) تتوافق مع سلسلة فورييه (1) مكتوبة بصيغة f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) ويقولون أن الجانب الأيمن من الصيغة ( 4) هي سلسلة رسمية من وظائف فورييه f (x). بمعنى آخر ، الصيغة (4) تعني فقط أن المعامِلات a n و b n يتم العثور عليها بواسطة الصيغ (2) و (3). 3

4 التعريف. تسمى الدالة 2π-الدورية f (x) على نحو سلس إذا كانت الفترة [، π] تحتوي على عدد محدود من النقاط = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 التين. 1. رسم بياني للدالة f (x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2 من أجل فردي n ، للزوج n ، f (x) sin nxdx = لأن الدالة f (x) زوجية. نكتب سلسلة فورييه الرسمية للدالة f (x): f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 اكتشف ما إذا كانت الدالة f (x) متجانسة. نظرًا لأنه مستمر ، فإننا نحسب فقط الحدود (6) عند نقاط نهاية الفترة الزمنية x = ± π وعند نقطة الفاصل x =: و f (π h) f (π) π h π lim = lim h + h h + h = 1، f (+ h) f (+) + h () lim = lim h + h h + h f (+ h) f (+) + h lim = lim = 1، h + h h + h = 1 ، f (h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h الحدود موجودة وهي محدودة ، وبالتالي فإن الوظيفة متجانسة. من خلال نظرية التقارب النقطي ، تتقارب سلسلة فورييه مع الرقم f (x) في كل نقطة ، أي f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) يوضح الشكلان 2 و 3 طابع تقريب المجاميع الجزئية لسلسلة فورييه S n (x) ، حيث S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx) ، k = 1 ، للدالة و (س) في الفترة [، π]. 6

7 التين. الشكل 2. رسم بياني للدالة f (x) برسوم بيانية متراكبة للمجاميع الجزئية S (x) = a 2 و S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 3. رسم بياني للدالة f (x) مع رسم بياني للجمع الجزئي متراكب عليه S 99 (x) \ u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 التعويض في (7) x = نحصل على: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2 ، من حيث نجد مجموع سلسلة الأرقام: = 2 8. معرفة مجموع هذه السلسلة ، فهو من السهل العثور على المجموع التالي لدينا: S = () S = () = π S ، وبالتالي S = π2 6 ، أي 1 n = π تم العثور على مجموع هذه السلسلة الشهيرة لأول مرة بواسطة Leonhard Euler. غالبًا ما توجد في التحليل الرياضي وتطبيقاته. مثال 2. ارسم رسمًا بيانيًا ، وابحث عن سلسلة فورييه للدالة المعطاة بواسطة الصيغة f (x) = x لـ x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 التين. 4. رسم بياني للدالة f (x) الدالة f (x) قابلة للاشتقاق باستمرار على الفترة (، π). عند النقاط x = ± π ، لها حدود محدودة (5): f () = ، f (π) =. بالإضافة إلى ذلك ، هناك حدود محدودة (6): f (+ h) f (+) lim = 1 and h + h f (π h) f (π +) lim = 1. h + h وبالتالي ، f (x) هي متعدد الوظائف على نحو سلس. بما أن الدالة f (x) فردية ، فإن n =. يمكن إيجاد المعاملات b n بالتكامل بالأجزاء: b n = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 (1) ) ن + واحد. n دعونا نؤلف سلسلة فورييه الرسمية للوظيفة 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. ن 9 cosnxdx] =

10 وفقًا لنظرية التقارب النقطي لدالة دورية 2π سلسة متعددة التعريف ، فإن سلسلة فورييه للدالة f (x) تتقارب مع المجموع: 2 (1) n + 1 sin nx = n f (x) = x if< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 تين. الشكل 6. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 2 (x) المركب عليه. 7. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 3 (x) 11 المركب عليه

12 تين. 8. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 99 (x) المركب عليه ، نستخدم سلسلة فورييه التي تم الحصول عليها لإيجاد مجموع سلسلتين عدديتين. نضع (8) x = π / 2. ثم 2 () + ... = π 2 ، أو = n = (1) n 2n + 1 = π 4. وجدنا بسهولة مجموع سلسلة Leibniz المعروفة. بوضع x = π / 3 في (8) ، نجد () + ... = π 2 3 ، أو (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 مثال 3. ارسم رسمًا بيانيًا ، أوجد سلسلة فورييه للدالة f (x) = sin x ، بافتراض أن الفترة 2π ، واحسب 1 مجموع سلسلة الأرقام 4n 2 1. الحل. يظهر الرسم البياني للوظيفة f (x) في الشكل. 9. من الواضح أن f (x) = sin x دالة زوجية متصلة بالدورة π. لكن 2π هي أيضًا فترة الدالة f (x). أرز. 9. رسم بياني للدالة f (x) دعونا نحسب معاملات فورييه. كل ب ن = لأن الوظيفة زوجية. باستخدام الصيغ المثلثية ، نحسب a n لـ n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 () π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1 if n = 2k، = n 2 1 if n = 2 كيلو

14 لا يسمح لنا هذا الحساب بإيجاد المعامل a 1 لأنه عند n = 1 ينتقل المقام إلى الصفر. لذلك ، نحسب المعامل a 1 مباشرةً: أ 1 = 1 π sin x cosxdx =. نظرًا لأن f (x) قابلة للتفاضل باستمرار في (،) و (، π) وعند النقاط kπ ، (k عدد صحيح) ، هناك حدود منتهية (5) و (6) ، تتقارب سلسلة فورييه للدالة إلى في كل نقطة: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S (x) المركب عليه 14

15 تين. شكل 11. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 1 (x) المركب عليه. الشكل 12. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 2 (x) المركب عليه. 13. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 99 (x) 15 المركب عليه.

16 1 احسب مجموع سلسلة الأرقام. للقيام بذلك ، نضع 4n 2 1 في (9) x =. ثم cosnx = 1 لكل n = 1 ، 2 ، ... وبالتالي ، 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. مثال 4. دعنا نثبت أنه إذا كانت الدالة f (x) تفي بالشرط f (x π) = f (x) لجميع x (أي أنها π دورية) ، إذن a 2n 1 = b 2n 1 = لكل n 1 ، والعكس صحيح ، إذا كانت a 2n 1 = b 2n 1 = لكل n 1 ، فإن f (x) هي دورية. المحلول. دع الدالة f (x) تكون دورية. دعونا نحسب معاملي فورييه a 2n 1 و b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x ) cos (2n 1) xdx. في التكامل الأول نقوم بتغيير المتغير x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. 16

17 باستخدام حقيقة أن cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t و f (t π) = f (t) ، نحصل على: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos ( 2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. ثبت بالمثل أن ب 2 ن 1 =. على العكس من ذلك ، دع 2n 1 = b 2n 1 =. بما أن الدالة f (x) متصلة ، إذن ، من خلال النظرية المتعلقة بإمكانية تمثيل دالة عند نقطة ما بسلسلة فورييه ، لدينا إذن f (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n الخطيئة 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x) ، مما يعني أن f (x) دالة π دورية. مثال 5. دعنا نثبت أنه إذا كانت دالة متجددة متعددة التعريفات f (x) تفي بالشرط f (x) = f (x) لجميع x ، إذن a = و a 2n = b 2n = لكل n 1 ، والعكس صحيح ، إذا كانت a = a 2n = b 2n = ، إذن f (x π) = f (x) لكل x. المحلول. دع الدالة f (x) تحقق الشرط f (x π) = f (x). دعونا نحسب معاملات فورييه: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. في التكامل الأول نقوم بتغيير المتغير x = t π. ثم f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. باستخدام حقيقة أن cos n (t π) = (1) n cosnt و f (t π) = f (t) ، نحصل على: a n = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt = if n زوجي ، = 2 π f (t) cos nt dt ، إذا كان n عددًا فرديًا. π ثبت بالمثل أن b 2n =. على العكس من ذلك ، دع a = a 2n = b 2n = ، لكل n 1. نظرًا لأن الوظيفة f (x) متصلة ، إذن ، من خلال نظرية إمكانية تمثيل وظيفة عند نقطة ما ، فإن سلسلة فورييه الخاصة بها تحقق المساواة f ( x) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). الثامنة عشر

19 ثم = f (x π) = = = f (x). مثال 6. دعونا ندرس كيفية تمديد الدالة f (x) القابلة للتكامل على الفترة [، π / 2] إلى الفترة [، π] ، بحيث يكون لسلسلة فورييه الشكل: a 2n 1 cos (2n 1) x. (1) الحل. دع الرسم البياني للوظيفة بالشكل الموضح في الشكل. 14. بما أنه في السلسلة (1) a = a 2n = b 2n = لكل n ، فإنه يتبع من المثال 5 أن الدالة f (x) يجب أن تحقق المساواة f (x π) = f (x) لجميع x. تعطي هذه الملاحظة طريقة لتمديد الدالة f (x) إلى الفترة [، / 2]: f (x) = f (x + π) ، شكل. 15. من حقيقة أن السلسلة (1) تحتوي فقط على جيب التمام ، نستنتج أن الوظيفة المستمرة f (x) يجب أن تكون زوجية (أي أن الرسم البياني يجب أن يكون متماثلًا حول محور Oy) ، الشكل.

20 تين. 14. رسم بياني للوظيفة f (x) 15. رسم بياني لاستمرار الوظيفة f (x) في الفترة [، / 2] 2

21 إذن ، الوظيفة المطلوبة لها الشكل الموضح في الشكل. 16. التين. 16. رسم بياني لاستمرار الوظيفة f (x) في الفترة [، π] بإيجاز ، نستنتج أن الوظيفة يجب أن تستمر على النحو التالي: f (x) = f (x)، f (π x) = f (x) ، أي الفترة [/ 2 ، π] ، الرسم البياني للدالة f (x) متماثل مركزيًا حول النقطة (π / 2 ،) ، وفي الفترة [، π] ، يكون الرسم البياني الخاص بها متماثل حول محور Oy. 21

22 تعميم الأمثلة 3 6 دع ل>. ضع في اعتبارك شرطين: أ) و (ل س) = و (س) ؛ ب) و (ل + س) = و (س) ، س [، ل / 2]. من وجهة نظر هندسية ، الشرط (أ) يعني أن الرسم البياني للوظيفة f (x) متماثل فيما يتعلق بالخط العمودي x = l / 2 ، والشرط (ب) أن يكون الرسم البياني f (x) مركزيًا متماثل بالنسبة للنقطة (l / 2 ؛) على المحور السيني. ثم تكون العبارات التالية صحيحة: 1) إذا كانت الدالة f (x) زوجية والشرط (a) مستوفى ، إذن b 1 = b 2 = b 3 = ... = ، a 1 = a 3 = a 5 = ... = ؛ 2) إذا كانت الدالة f (x) زوجية وكان الشرط (b) مستوفى ، فإن b 1 = b 2 = b 3 = ... = ، a = a 2 = a 4 = ... = ؛ 3) إذا كانت الدالة f (x) غريبة وتم استيفاء الشرط (أ) ، فإن أ = أ 1 = أ 2 = ... = ، ب 2 = ب 4 = ب 6 = ... = ؛ 4) إذا كانت الدالة f (x) فردية وتم استيفاء الشرط (b) ، فإن a = a 1 = a 2 = ... = ، b 1 = b 3 = b 5 = ... =. المشاكل في المسائل 1 7 ارسم الرسوم البيانية وابحث عن سلسلة فورييه للوظائف (بافتراض أن لها فترة 2π: إذا< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1 إذا / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. توسيع دالة معطاة في الفترة [، π] فقط من حيث الجيب أو فقط من حيث جيب التمام ، دع الدالة f تعطى في الفترة [، π]. من أجل توسيعها في هذه الفترة إلى سلسلة فورييه ، نقوم أولاً بتمديد f في الفترة [، π] بطريقة عشوائية ، ثم نستخدم صيغ أويلر فورييه. يؤدي التعسف في استمرار الوظيفة إلى حقيقة أنه لنفس الوظيفة f: [، π] R يمكننا الحصول على سلسلة فورييه مختلفة. لكن من الممكن استخدام هذا التعسف بطريقة للحصول على توسع فقط في الجيب أو في جيب التمام فقط: في الحالة الأولى ، يكفي الاستمرار في f بطريقة غريبة ، وفي الحالة الثانية بطريقة متساوية. خوارزمية الحل 1. تابع الوظيفة بطريقة فردية (زوجية) على (،) ، ثم بشكل دوري مع فترة 2π تابع الوظيفة إلى المحور بأكمله. 2. احسب معاملات فورييه. 3. قم بتكوين سلسلة فورييه للدالة f (x). 4. تحقق من شروط تقارب المتسلسلة. 5. حدد الوظيفة التي ستتقارب معها هذه السلسلة. مثال 7. قم بتوسيع الدالة f (x) = cosx ،< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 تين. 17. رسم بياني للدالة المستمرة من الواضح أن الدالة f (x) متجانسة. دعونا نحسب معاملات فورييه: أ ن = لجميع ن لأن الدالة f (س) فردية. إذا كان n 1 ، إذن b n = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = n + 1 n 1 = 1 (1) n (1) n 1 1 = n + 1 n 1 = 1 if n = 2 k + 1، (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) (n 1) 2 2n إذا كان n = 2k. π n 2 1 بالنسبة إلى n = 1 في الحسابات السابقة ، يتلاشى المقام ، لذلك يمكن حساب المعامل b 1 مباشرةً.

26 أساسًا: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. قم بتكوين سلسلة فورييه للدالة f (x): f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. نظرًا لأن الدالة f (x) سلسة ، فمن خلال نظرية التقارب النقطي ، تتقارب سلسلة فورييه للدالة f (x) إلى مجموع cosx إذا< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 تين. شكل 18. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 1 (x) المركب عليه. 19. رسم بياني للدالة f (x) مع رسم بياني لمجموع جزئي S 2 (x) مركب عليه 27

28 تين. الشكل 2. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 3 (x) المركب عليه. يعرض الرقم 21 الرسوم البيانية للدالة f (x) ومجموعها الجزئي S 99 (x). أرز. 21. رسم بياني للدالة f (x) مع رسم بياني للمجموع الجزئي S 99 (x) 28 مركب عليه.

29 مثال 8. دعونا نفدد الدالة f (x) = e ax، a>، x [، π] ، في سلسلة فورييه فقط في جيب التمام. المحلول. نستمر في الوظيفة بطريقة متساوية إلى (،) (أي ، بحيث تكون المساواة f (x) = f (x) تنطبق على كل x (، π)) ، ثم بشكل دوري بفترة 2π إلى الحقيقي بأكمله محور. نحصل على الوظيفة f (x) ، يظهر الرسم البياني لها في الشكل. 22. الوظيفة f (x) عند النقاط 22. الرسم البياني للدالة المستمرة f (x) x = kπ، k عدد صحيح ، به مكامن الخلل. دعونا نحسب معاملات فورييه: b n = ، لأن f (x) زوجي. التكامل بالأجزاء ، نحصل على 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1)، f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 a (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = a sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 لذلك ، a n = 2a e aπ cos n 1. a 2 + n 2 بما أن f (x) متصلة ، طبقًا لنظرية التقارب النقطي ، فإن سلسلة فورييه تتقارب مع f (x). ومن ثم ، بالنسبة لجميع x [، π] لدينا f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). توضح الأشكال التقريب التدريجي للمجاميع الجزئية لسلسلة فورييه لدالة معينة غير متصلة. 3

31 تين. 23- الرسوم البيانية للوظائف f (x) و S (x) 24- الرسوم البيانية للوظائف f (x) و S 1 (x) 25- رسوم بيانية للوظائف f (x) و S 2 (x) 26. الرسوم البيانية للوظائف f (x) و S 3 (x) 31

32 تين. 27- الرسوم البيانية للوظائف (f (x) و S 4 (x)). 28. رسوم بيانية للدالتين f (x) و S 99 (x) PROBLEM 9. وسّع الدالة f (x) = cos x، x π في سلسلة فورييه فقط في جيب التمام. 1. قم بتوسيع الدالة f (x) \ u003d e ax ، a> ، x π ، في سلسلة فورييه فقط من حيث الجيب. 11. وسّع الدالة f (x) \ u003d x 2، x π في سلسلة فورييه فقط في الجيب. 12. قم بتوسيع الدالة f (x) \ u003d sin ax، x π، في سلسلة فورييه بدلالة جيب التمام فقط. 13. قم بتوسيع الدالة f (x) \ u003d x sin x، x π في سلسلة فورييه فقط في الجيب. الإجابات 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. إذا لم يكن a عددًا صحيحًا ، فإن sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ؛ إذا كان a = 2m عددًا زوجيًا ، فإن sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2 ؛ إذا كان a = 2m 1 عددًا فرديًا موجبًا ، فإن sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2 م 1) 2 (2 ن) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. سلسلة فورييه لدالة ذات فترة عشوائية افترض أن الوظيفة f (x) معرّفة في الفترة [l، l]، l>. بالتعويض عن x = ly ، y π ، نحصل على الوظيفة g (y) = f (ly / π) المحددة في الفاصل الزمني π [، π]. تتوافق هذه الوظيفة g (y) مع سلسلة فورييه (الرسمية) () ly f = g (y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny) ، التي تم العثور على معاملاتها بواسطة صيغ أويلر فورييه: a n = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy، n =، 1، 2، ...، 33

34 b n = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy، n = 1، 2، .... π l ، نحصل على سلسلة مثلثية معدلة قليلاً للدالة f (x): حيث f (x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f (x) cos πnx l f (x) sin πnx l + b n sin πnx)، (11) l dx، n =، 1، 2 ، ... ، (12) dx ، n = 1 ، 2 ، .... (13) يُقال أن الصيغ (11) (13) تحدد التوسع في سلسلة فورييه لوظيفة ذات فترة عشوائية. مثال 9. أوجد سلسلة فورييه للدالة المعطاة في الفترة (l، l) بالتعبير (A if l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 أ = 1 لتر ل و (س) دس = 1 ل أ دكس + 1 ل ل ب د س = أ + ب ، ل ل أ ن = 1 لتر ل ل و (س) كوس πnx ل د س = = 1 ل = 1 ل ل A جتا πnx ل = أ + ب π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = if n، l l A sin πnx l f (x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn قم بتكوين سلسلة فورييه للدالة f (x): f (x) A + B π (B A بما أن cosπn = (1) n ، ثم n dx = dx = (1 cosπn) sin nx). l من أجل n = 2k نحصل على b n = b 2k = ، من أجل n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (B A) π (2k 1).

36 ومن ثم f (x) A + B (B A) π (sin x + 1 3πx sin + 1 5πx sin + ... l 3 l 5 l وفقًا لنظرية التقارب النقطي ، سلسلة فورييه للدالة f (x) يتقارب مع المجموع أ ، إذا ل< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 تين. 29. رسم بياني للدالة f (x) مع الرسوم البيانية المتراكبة للتوافقيات S (x) = a 2 و S 1 (x) = b 1 sinx. من أجل الوضوح ، الرسوم البيانية لثلاثة مدروجات أعلى S 3 (x) \ u003d b 3 sin 3πx ، S l 5 (x) \ u003d b 5 sin 5πx l و S 7 (x) \ u003d b 7 sin 7πx يتم إزاحتها رأسياً يصل ل 37

38 تين. الشكل 3. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 99 (x) المركب عليه. 31. جزء من التين. 3 بمقياس آخر 38

39 المشاكل في المشاكل ، قم بتوسيع الوظائف المحددة في سلسلة فورييه في فترات زمنية معينة. 14. f (x) = x 1، (1، 1). 15. f (x) = ch2x، (2، 2] f (x) = x (1 x)، (1، 1] 17. f (x) = cos π x، [1، 1] f (x ) = sin π x، (1، 1) (2 1 if 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f (x) = al 4 2) 1 (4n 2) πx cos، π 2 (2n 1) 2 ل ب) و (س) = 4al (1) ن 1 (2 ن 1) πx الخطيئة. π 2 (2 ن 1) 2 ل 23. أ) و (س) = (كوس π 2 2 × 2 2 كوس 2π 2 2 × كوس 3π 2 2 × كوس 5π) ، 2 2 × ... ب) و ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x شكل مركب من سلسلة فورييه التحليل f (x) = c n e inx حيث c n = 1 2π f (x) e inx dx ، n = ± 1 ، ± 2 ، ... ، يسمى الشكل المعقد لسلسلة فورييه. تتوسع الوظيفة إلى سلسلة فورييه المعقدة في ظل نفس الظروف التي تتوسع في ظلها إلى سلسلة فورييه حقيقية. أربعة

41 مثال 1. أوجد سلسلة فورييه بالصيغة المعقدة للدالة المعطاة بواسطة الصيغة f (x) = e ax في الفترة [، π) ، حيث a هو رقم حقيقي. المحلول. دعونا نحسب المعاملات: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) سلسلة فورييه المعقدة للدالة f لها الصيغة f (x) sh aπ π n = (1) n a في einx. دعونا نتحقق من أن الوظيفة f (x) سلسة: في الفاصل الزمني (، π) قابلة للتفاضل باستمرار ، وعند النقاط x = ± π هناك حدود محدودة (5) ، (6) lim h + ea ( + h) = e aπ، lim h + ea (π h) = e aπ، e a (+ h) e a (+) lim h + h = ae aπ e a (π h) e a (π)، lim h + h = ae aπ. لذلك ، يمكن تمثيل الدالة f (x) بسلسلة فورييه sh a π n = (1) n a في einx ، والتي تتقارب مع المجموع: (e S (x) = ax if< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 مثال 11. أوجد سلسلة فورييه بالصيغة المعقدة والحقيقية للدالة المعطاة بواسطة الصيغة f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 ، حيث a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 تذكر أن مجموع التقدم الهندسي اللانهائي مع المقام q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 الآن لنجد سلسلة فورييه في صورتها الحقيقية. للقيام بذلك ، نقوم بتجميع الحدود مع الأعداد n و n من أجل n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx بما أن c = 1 ، إذن 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 هذه سلسلة فورييه في الشكل الحقيقي للدالة f (x). وهكذا ، بدون حساب تكامل واحد ، وجدنا سلسلة فورييه للدالة. عند القيام بذلك ، قمنا بحساب تكامل صعب اعتمادًا على المعلمة cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2، a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (z z 1) f (x) = 2i (1 a (z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (z a) (z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 نوسع كل من الكسور البسيطة وفقًا لمعادلة التقدم الهندسي: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n، n = z a 1 z a = az = a n z n. n = هذا ممكن لأن az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >أو باختصار c n = 1 2i a n sgnn. وهكذا ، تم العثور على سلسلة فورييه في شكل معقد. عند تجميع المصطلحات مع الأعداد n و n ، نحصل على سلسلة فورييه للدالة في الشكل الحقيقي: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n = +) = c n e inx = a n sin nx. مرة أخرى ، تمكنا من حساب التكامل المعقد التالي: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = an 1. (16) 45

46 المشكلة 24. باستخدام (15) ، احسب التكامل cos nxdx 1 2a cosx + a 2 من أجل real a ، a> باستخدام (16) ، احسب التكامل sin x sin nxdx لـ real a ، a> a cosx + a2 في المسائل ، أوجد سلسلة فورييه في شكل معقد للوظائف. 26. f (x) = sgn x، π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. نظرية المساواة ليابونوف (مساواة ليابونوف). لنفترض أن الدالة f: [، π] R تكون على هذا النحو f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. لذلك ، فإن مساواة Lyapunov للوظيفة f (x) تأخذ الشكل: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2. من المساواة الأخيرة لـ a π نجد sin 2 na n 2 = a (π a) 2 بافتراض a = π 2 ، نحصل على sin2 na = 1 لـ n = 2k 1 و sin 2 na = لـ n = 2k. لذلك ، k = 1 1 (2k 1) 2 = π2 8. مثال 14. لنكتب مساواة Lyapunov للدالة f (x) = x cosx، x [، π] ، ونستخدمها لإيجاد مجموع الرقم سلسلة (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π الحل. تعطي الحسابات المباشرة = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 بما أن f (x) دالة زوجية ، إذن لكل n لدينا b n = ، a n = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1 ) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1) 2 π (ن 1) 2 () = (1) (ن + 1) 1 1 π (ن + 1) + 1 = 2 (ن 1) 2 = 2 (1) (ن + 1) 1 ن ك π (ن 2 1) = π (4k 2 1) 2 إذا كان n = 2k ، 2 إذا كان n = 2k + 1. يجب حساب المعامل a 1 بشكل منفصل ، لأنه في الصيغة العامة لـ n = 1 يتلاشى مقام الكسر . = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 وبالتالي ، فإن مساواة Lyapunov للوظيفة f (x) لها الشكل: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 2 (4n 2 1) = 2 1) = π π المشكلة 32. اكتب مساواة Lyapunov للدالة (x f (x) = 2 πx إذا كانت x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 إجابات + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2 ؛ sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f (x) g (x) dx = c n d n ، حيث c n هو معامل فورييه 2π لـ f (x) و d n هل دوال معامل فورييه g (x). 6. تمايز سلسلة فورييه لنفترض أن f: R R دالة قابلة للتفاضل بشكل مستمر 2π-league. سلسلة فورييه لها الشكل: f (x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). سيكون مشتق f (x) لهذه الدالة دالة مستمرة ودورية 2π ، والتي يمكن كتابة سلسلة فورييه الرسمية لها: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx) ، حيث a ، a n ، b n، n = 1، 2، ... معاملات فورييه للدالة f (x). 51

52 نظرية (حول اشتقاق مصطلح على حدة لسلسلة فورييه). في ظل الافتراضات المذكورة أعلاه ، فإن التكافؤات a = ، a n = nb n ، b n = na n ، n 1 صحيحة.مثال 15. لنفترض أن الدالة متعددة التعريفات f (x) متصلة في الفترة [، π]. دعنا نثبت أنه عند استيفاء الشرط f (x) dx = ، تظل المتباينة 2 dx 2 dx ، المسماة متباينة Steklov ، ثابتة ، ونتحقق من أن المساواة فيها تتحقق فقط للوظائف ذات الشكل f (x) = A كوسكس. بعبارة أخرى ، يعطي عدم مساواة Steklov شروطًا يشير فيها صغر المشتق (في جذر متوسط ​​التربيع) إلى صغر الوظيفة (في جذر متوسط ​​التربيع). المحلول. دعونا نوسع الدالة f (x) إلى الفترة [،] بالتساوي. تشير إلى الوظيفة الموسعة بنفس الرمز f (x). بعد ذلك ، ستكون الدالة المستمرة متصلة ومتجانسة في الفترة [، π]. بما أن الدالة f (x) متصلة ، فإن f 2 (x) متصلة على الفترة و 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 بما أن التابع المستمر زوجي ، إذن b n = ، a = بشرط. وبالتالي ، فإن مساواة Lyapunov تأخذ الشكل 1 2 dx = a 2 π n. (17) دعونا نتأكد من أن f (x) تفي بخاتمة النظرية حول اشتقاق مصطلح على حدة لسلسلة فورييه ، أي أن أ = ، أ ن = ن ب ن ، ب ن = نا ن ، ن 1. دع المشتق f (x) يخضع لفواصل عند النقاط x 1، x 2، ...، x N في الفترة [، π]. دلالة x =، x N + 1 =. دعونا نقسم فترة التكامل [، π] على فترات N +1 (x، x 1)، ...، (x N، x N + 1) ، كل منها تكون f (x) قابلة للتفاضل باستمرار. بعد ذلك ، باستخدام خاصية الجمع للتكامل ثم التكامل بالأجزاء ، نحصل على: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f (x) sin nx j = N f (x ) sin nx j = x j + 1 x j x j + 1 x j n n π N j = x j + 1 x j x j + 1 x j f (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [((( f (x 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f (x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = x j = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = . س ي π ي = وبالمثل ، نحصل على n = nb n. لقد أظهرنا أن نظرية تفاضل سلسلة فورييه لكل مصطلح على حدة من أجل دالة 2π دورية مستمرة متعددة التعريفات والتي تخضع مشتقاتها في الفترة [، π] لانقطاعات من النوع الأول صحيحة. إذن f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n) sin nx ، منذ a = ، a n = nb n = ، b n = na n ، n = 1 ، 2 ، .... لأن 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 بما أن كل حد من المتسلسلة في (18) أكبر من أو يساوي الحد المقابل من المتسلسلة في (17) ، إذن 2 dx 2 dx. بتذكر أن f (x) هي استمرار متساوٍ للدالة الأصلية ، لدينا 2 dx 2 dx. مما يثبت المساواة Steklov. الآن دعونا نفحص الوظائف التي تحملها المساواة في عدم مساواة Steklov. إذا كان المعامل n لـ n 2 على الأقل يساوي صفرًا ، فيكون a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 مشاكل 37. دع الدالة المتعددة التعريف المتجانسة f (x) متصلة على الفترة [، π]. أثبت أنه وفقًا للشرط f () = f (π) = المتباينة 2 dx 2 dx ، والتي تسمى أيضًا متباينة Steklov ، تظل ثابتة وتأكد من أن المساواة فيها تنطبق فقط على وظائف النموذج f (x) = B sin x . 38. لنفترض أن الدالة f متصلة في الفترة [، π] وتحتوي على مشتق قابل للتكامل التربيعي f (x) (باستثناء عدد محدد من النقاط فقط). أثبت أنه إذا تم استيفاء الشرطين f () = f (π) و f (x) dx = ، فإن المتباينة 2 dx 2 dx ، المسماة متباينة Wirtinger ، ثابتة ، والمساواة فيها تحدث فقط لوظائف الصيغة f (x) = A cosx + B sinx. 56

57 7. تطبيق سلسلة فورييه لحل المعادلات التفاضلية الجزئية عند دراسة كائن حقيقي (الظواهر الطبيعية ، عملية الإنتاج ، نظام التحكم ، إلخ) ، يتضح أن هناك عاملين مهمين: مستوى المعرفة المتراكمة حول الكائن قيد الدراسة و درجة تطور الجهاز الرياضي. في المرحلة الحالية من البحث العلمي ، تم تطوير السلسلة التالية: ظاهرة - نموذج فيزيائي - نموذج رياضي. الصيغة الفيزيائية (النموذج) للمشكلة هي كما يلي: يتم تحديد شروط تطوير العملية والعوامل الرئيسية التي تؤثر عليها. تتكون الصيغة الرياضية (النموذج) من وصف العوامل والشروط المختارة في الصياغة الفيزيائية في شكل نظام معادلات (جبري ، تفاضلي ، متكامل ، إلخ). يُقال إن المشكلة مطروحة جيدًا إذا كان حل المشكلة موجودًا في مساحة وظيفية معينة ، يعتمد بشكل فريد ومستمر على الشروط الأولية والحدود. النموذج الرياضي ليس مطابقًا للكائن قيد الدراسة ، ولكنه وصف تقريبي له ، اشتقاق معادلة الاهتزازات المستعرضة الصغيرة المجانية للسلسلة ، سوف نتبع الكتاب المدرسي. دع نهايات الوتر تثبت ، ويكون الوتر نفسه مشدودًا. إذا تم إخراج الخيط من التوازن (على سبيل المثال ، عن طريق سحبه أو ضربه) ، فسيبدأ الخيط 57

58 يتردد. سنفترض أن جميع نقاط الوتر تتحرك عموديًا على موضع توازنها (الاهتزازات المستعرضة) ، وفي كل لحظة يكمن الوتر في نفس المستوى. لنأخذ نظام الإحداثيات المستطيلة xou في هذا المستوى. ثم ، إذا كانت السلسلة في الوقت الأولي t = كانت موجودة على طول المحور Ox ، فإن u تعني انحراف السلسلة عن موضع التوازن ، أي موضع نقطة السلسلة مع الإحداثي x في وقت عشوائي t يتوافق مع قيمة الدالة ش (س ، تي). لكل قيمة ثابتة لـ t ، يمثل الرسم البياني للدالة u (x ، t) شكل الوتر المهتز في الوقت t (الشكل 32). عند القيمة الثابتة لـ x ، تعطي الدالة u (x ، t) قانون الحركة لنقطة مع الإحداثي x على طول خط مستقيم موازٍ لمحور Ou ، والمشتق u t هو سرعة هذه الحركة ، والثاني مشتق 2 u t 2 هو العجلة. أرز. 32. القوى المطبقة على قسم صغير لانهائي من سلسلة نصية لنكتب معادلة يجب أن تحققها الدالة u (x، t). للقيام بذلك ، نقوم ببعض الافتراضات المبسطة. سنفترض أن السلسلة مرنة تمامًا.

59 خجول ، أي أننا سوف نفترض أن الوتر لا يقاوم الانحناء ؛ هذا يعني أن الضغوط الناشئة في السلسلة يتم توجيهها دائمًا بشكل عرضي إلى ملفها الشخصي اللحظي. يُفترض أن تكون السلسلة مرنة وخاضعة لقانون هوك ؛ هذا يعني أن التغير في مقدار قوة الشد يتناسب مع التغير في طول الخيط. لنفترض أن السلسلة متجانسة ؛ هذا يعني أن كثافته الخطية ρ ثابتة. نحن نهمل القوى الخارجية. هذا يعني أننا نفكر في التذبذبات الحرة. سوف ندرس فقط الاهتزازات الصغيرة للخيط. إذا أشرنا بواسطة ϕ (x، t) إلى الزاوية بين محور الإحداثي والماس إلى السلسلة عند النقطة مع الإحداثيات x في الوقت t ، فإن شرط التذبذبات الصغيرة هو أن قيمة ϕ 2 (x ، يمكن إهمال t) مقارنةً بـ ϕ (x ، t) ، أي ϕ 2. نظرًا لأن الزاوية ϕ صغيرة ، إذن cos ϕ 1 ، ϕ sin ϕ tg ϕ u ، وبالتالي ، يمكن للقيمة (u x x ،) 2 أيضًا تكون مهملة. ويترتب على ذلك على الفور أنه في عملية التذبذب يمكننا إهمال التغيير في طول أي جزء من السلسلة. في الواقع ، طول قطعة الخيط M 1 M 2 المسقطة في الفترة من المحور x ، حيث x 2 = x 1 + x ، يساوي l = x 2 x () 2 u dx x. x دعنا نظهر أنه وفقًا لافتراضاتنا ، ستكون قيمة قوة التوتر T ثابتة على طول السلسلة بأكملها. للقيام بذلك ، نأخذ جزءًا من السلسلة M 1 M 2 (الشكل 32) في الوقت t ونستبدل عمل الأجزاء المهملة

60 kov بواسطة قوى التوتر T 1 و T 2. نظرًا لأنه ، وفقًا للشرط ، تتحرك جميع نقاط الخيط موازية لمحور Ou ولا توجد قوى خارجية ، مجموع نتوءات قوى التوتر على محور الثور يجب أن تكون مساوية للصفر: T 1 cosϕ (x 1، t) + T 2 cosϕ (x 2، t) =. ومن ثم ، نظرًا لصغر الزوايا ϕ 1 = (x 1، t) و ϕ 2 = ϕ (x 2، t) ، نستنتج أن T 1 = T 2. تشير إلى القيمة العامة لـ T 1 = T 2 بواسطة T. الآن نحسب مجموع الإسقاطات F u لنفس القوى على المحور Ou: F u = T sin ϕ (x 2، t) T sin ϕ (x 1، t). (2) بما أن للزوايا الصغيرة sin ϕ (x، t) tg ϕ (x، t) و tg ϕ (x، t) u (x، t) / x ، يمكن إعادة كتابة المعادلة (2) كـ F u T (tan ϕ (x 2، t) tan ϕ (x 1، t)) (u T x (x 2، t) u) x (x 1، t) x x T 2 u x 2 (x 1، t) x. بما أن النقطة x 1 تم اختيارها عشوائياً ، فإن F u T 2 u x2 (x، t) x. بعد إيجاد جميع القوى المؤثرة في القسم م 1 م 2 ، نطبق قانون نيوتن الثاني عليه ، والذي بموجبه يكون ناتج الكتلة والتسارع مساويًا لمجموع كل القوى المؤثرة. كتلة قطعة من الخيط M 1 M 2 تساوي m = ρ l ρ x ، والعجلة تساوي 2 u (x، t). تأخذ معادلة نيوتن t 2 الشكل: 2 u t (x، t) x = u 2 α2 2 x2 (x، t) x ، حيث α 2 = T رقم موجب ثابت. 6

61 بالاختزال بـ x ، نحصل على 2 u t (x، t) = u 2 α2 2 x2 (x، t). (21) نتيجة لذلك ، حصلنا على معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة. يطلق عليه معادلة اهتزاز السلسلة أو معادلة الموجة أحادية البعد. المعادلة (21) هي في الأساس إعادة صياغة لقانون نيوتن وتصف حركة سلسلة. ولكن في الصياغة الفيزيائية للمشكلة ، كانت هناك متطلبات بأن نهايات السلسلة تكون ثابتة وأن يكون موضع الخيط معروفًا في وقت ما. سنكتب هذه الشروط في المعادلات على النحو التالي: أ) سنفترض أن نهايات السلسلة مثبتة عند النقطتين x = و x = l ، أي سنفترض أنه بالنسبة لجميع العلاقات u (، t) = ، ش (ل ، ر) = ؛ (22) ب) سنفترض أنه في الوقت t = موضع السلسلة يتزامن مع الرسم البياني للوظيفة f (x) ، أي سنفترض أنه بالنسبة لجميع x [، l] المساواة u (x، ) = و (خ) ؛ (23) ج) سنفترض أنه في الوقت t = نقطة السلسلة ذات الإحداثيات x تُعطى السرعة g (x) ، أي سنفترض أن u (x ،) = g (x). تسمى العلاقات (24) t (22) بشروط الحدود ، وتسمى العلاقات (23) و (24) بالشروط الأولية. النموذج الرياضي للعرض الصغير الحر 61

62 اهتزازات سلسلة هي أنه من الضروري حل المعادلة (21) بشروط حدية (22) وشروط أولية (23) و (24) حل معادلة الاهتزازات المستعرضة الصغيرة المجانية للوتر بطريقة فورييه< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. بالتعويض عن (25) في (21) ، نحصل على: X T = α 2 X T ، (26) أو T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) يقال أنه كان هناك فصل بين المتغيرات. نظرًا لأن x و t لا يعتمدان على بعضهما البعض ، فإن الجانب الأيسر في (27) لا يعتمد على x ، لكن الجانب الأيمن لا يعتمد على t ، والقيمة الإجمالية لهذه النسب هي 62

يجب أن يكون 63 ثابتًا ، وهو ما نشير إليه بـ λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. ومن ثم نحصل على معادلتين تفاضليتين عاديتين: X (x) λx (x) = ، (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) في هذه الحالة ، تأخذ شروط الحدود (22) الشكل X () T (t) = و X (l) T (t) =. نظرًا لأنه يجب الوفاء بها لجميع t ، t> ، ثم X () = X (l) =. (3) دعونا نجد حلولاً للمعادلة (28) تفي بشروط الحدود (3). دعونا ننظر في ثلاث حالات. الحالة 1: λ>. دلالة λ = β 2. تأخذ المعادلة (28) الصيغة X (x) β 2 X (x) =. معادلتها المميزة k 2 β 2 = لها جذور k = ± β. لذلك ، الحل العام للمعادلة (28) له الصيغة X (x) = C e βx + De βx. يجب أن نختار الثوابت C و D بحيث يتم استيفاء شروط الحدود (3) ، أي X () = C + D = ، X (l) = C e βl + De βl =. منذ β ، فإن نظام المعادلات هذا له حل فريد C = D =. ومن ثم X (x) و 63

64 ش (س ، ر). وهكذا ، في الحالة الأولى ، حصلنا على حل تافه ، والذي لن نفكر فيه أكثر. الحالة 2: λ =. ثم تأخذ المعادلة (28) الصيغة X (x) = ومن الواضح أن حلها يُعطى بالصيغة: X (x) = C x + d. استبدال هذا الحل في الشروط الحدودية (3) ، نحصل على X () = D = و X (l) = Cl = ، وبالتالي C = D =. ومن ثم X (x) و u (x، t) ، ولدينا مرة أخرى حل بسيط. الحالة 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 في ما يلي ، سنخصص لـ n قيمًا موجبة فقط n = 1 ، 2 ، ... ، لأنه بالنسبة لسالب n ، سيتم الحصول على حلول من نفس الشكل (nπ). القيم λ n = هي تسمى قيم eigenvalues ​​، والوظائف X n (x) = C n sin πnx الدوال الذاتية للمعادلة التفاضلية (28) بشروط حدية (3). لنحل الآن المعادلة (29). بالنسبة له ، فإن المعادلة المميزة لها الشكل k 2 α 2 λ =. (32) l 2 نظرًا لأننا اكتشفنا أعلاه أن الحلول غير الأساسية X (x) من المعادلة (28) موجودة فقط لسالب λ يساوي λ = n2 π 2 ، فهذه هي λ التي سننظر فيها أدناه. جذور المعادلة (32) هي k = ± iα λ ، وحلول المعادلة (29) لها الشكل: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt ، (33) l l حيث A n و B n هي ثوابت تعسفية. باستبدال الصيغتين (31) و (33) في (25) ، نجد حلولاً معينة للمعادلة (21) تفي بشروط الحدود (22): (u n (x ، t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C ن الخطيئة pnx. l l l إدخال العامل C n بين قوسين وإدخال الرمز C n A n = b n و B n C n = a n ، نكتب u n (X ، T) على النحو (u n (x ، t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) الخطيئة pnx. (34) لترًا 65

66 تسمى اهتزازات الخيط المقابلة للحلول u n (x، t) بالاهتزازات الطبيعية للوتر. نظرًا لأن المعادلة (21) والشروط الحدودية (22) خطية ومتجانسة ، فإن تركيبة خطية من الحلول (34) (u (x ، t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin nx (35) l l l ستكون a حل المعادلة (21) الذي يلبي الشروط الحدودية (22) مع اختيار خاص للمعاملات a n و b n ، مما يضمن التقارب المنتظم للسلسلة. نختار الآن المعاملين a n و b n للحل (35) بحيث لا يفي فقط بشروط الحدود ، ولكن أيضًا الشروط الأولية (23) و (24) ، حيث تُعطى وظائف f (x) و g (x) ( علاوة على ذلك ، f () = f (l) = g () = g (l) =). نفترض أن الدالتين f (x) و g (x) تفيان بشروط تمدد فورييه. بالتعويض عن القيمة t = في (35) ، نحصل على u (x،) = a n sin πnx l = f (x). اشتقاق المتسلسلة (35) بالنسبة إلى t والتعويض عن t = ، نحصل على u t (x،) = πnα b n sin πnx l l = g (x) ، وهذا هو توسيع الدالتين f (x) و g (x) في سلسلة فورييه. إذن ، a n = 2 l l f (x) sin πnx l dx ، b n = 2 l g (x) sin nx dx. nα l (36) 66

67 باستبدال التعبيرات الخاصة بالمعاملات a n و b n في سلسلة (35) ، نحصل على حل للمعادلة (21) الذي يفي بشروط الحدود (22) والشروط الأولية (23) و (24). وهكذا ، فقد حللنا مشكلة الاهتزازات المستعرضة الصغيرة الحرة للسلسلة. دعونا نوضح المعنى المادي للدوال الذاتية u n (x، t) لمشكلة الاهتزازات الحرة لسلسلة ، محددة بالصيغة (34). دعونا نعيد كتابته كما يلي: u n (x، t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n، (t + δ n) sin πnx، (37) l πnα δ n = arctg b n. توضح الصيغة l a n (37) أن جميع نقاط السلسلة تؤدي تذبذبات توافقية بنفس التردد ω n = πnα والمرحلة πnα δ n. سعة التذبذب تعتمد على l l الحد الأقصى x لنقطة الوتر وتساوي α n sin πnx. مع مثل هذا التذبذب ، تصل جميع نقاط السلسلة في نفس الوقت إلى أقصى انحراف لها في اتجاه واحد أو آخر وتمرير موضع التوازن في نفس الوقت. تسمى هذه التذبذبات الموجات الدائمة. الموجة الواقفة ستحتوي على n + 1 من النقاط الثابتة التي تقدمها جذور المعادلة sin nx = في الفترة [، l]. تسمى النقاط الثابتة عقد الموجة الدائمة. في المنتصف بين العقد - l mi هي النقاط التي تصل فيها الانحرافات إلى الحد الأقصى ؛ هذه النقاط تسمى antinodes. يمكن أن يكون لكل سلسلة تذبذبات خاصة بها من الترددات المحددة بدقة ω n = πnα ، n = 1 ، 2 ، .... تسمى هذه الترددات الترددات الطبيعية للسلسلة. يتم تحديد أقل نغمة l التي يمكن أن تنتجها سلسلة من تلقاء نفسها 67

68 منخفض التردد الطبيعي ω 1 = π T ويسمى النغمة الأساسية للوتر. النغمات المتبقية المقابلة لترددات l ρ ω n ، n = 2 ، 3 ، ... ، تسمى النغمات الإيحائية أو التوافقيات. من أجل الوضوح ، سوف نصور الملامح النموذجية للوتر الذي يصدر النغمة الأساسية (الشكل 33) ، والنغمة الأولى (الشكل 34) والنغمة الفوقية الثانية (الشكل 35). أرز. شكل 33. ملف تعريف للوتر الذي يصدر النغمة الأساسية. الشكل رقم 34. ملف تعريف لسلسلة تنبعث منها النغمة الزائدة الأولى. الشكل 35. ملف تعريف لسلسلة تصدر نغمة ثانية إذا كان الوتر يؤدي اهتزازات حرة تحددها الظروف الأولية ، فسيتم تمثيل الوظيفة u (x ، t) ، كما يتضح من الصيغة (35) ، كمجموع التوافقيات الفردية. وبالتالي التذبذب التعسفي 68

الخيط 69 هو تراكب للموجات الواقفة. في هذه الحالة ، ستعتمد طبيعة صوت الوتر (النغمة ، قوة الصوت ، الجرس) على النسبة بين اتساع التوافقيات الفردية. الأذن كصوت ينبعث من سلسلة. تتميز قوة الصوت بطاقة أو سعة الاهتزازات: فكلما زادت الطاقة ، زادت قوة الصوت. يتم تحديد درجة الصوت من خلال تردده أو فترة التذبذب: كلما زاد التردد ، زاد الصوت. يتم تحديد جرس الصوت من خلال وجود النغمات ، وتوزيع الطاقة على التوافقيات ، أي طريقة إثارة الاهتزازات. إن اتساع النغمات ، بشكل عام ، أقل من سعة الأساسي ، ويمكن أن تكون مراحل الدلالات تعسفية. أذننا ليست حساسة لمرحلة التذبذبات. قارن ، على سبيل المثال ، بين المنحنيين في الشكل. 36 ، اقترضت من. هذا تسجيل صوتي بنفس النغمة الأساسية المستخرجة من الكلارينيت (أ) والبيانو (ب). كلا الصوتين ليسا اهتزازات جيبية بسيطة. التردد الأساسي للصوت في كلتا الحالتين هو نفسه وهذا يخلق نفس النغمة. لكن أنماط المنحنى مختلفة لأن الدرجات اللونية المختلفة يتم فرضها على النغمة الأساسية. بمعنى ما ، تُظهر هذه الرسومات ما هو الجرس. 69

معادلات من النوع الزائدي. اهتزازات سلسلة لانهائية وشبه لانهائية. طريقة فورييه طريقة فورييه الموجات الواقفة 4 المحاضرة 4.1 المعادلات من النوع الزائدي. تقلبات لانهائية وشبه لانهائية

جامعة ولاية موسكو التقنية للطيران المدني V.M. ليوبيموف ، إ. جوكوفا ، ف. أوخوفا ، يو. شورينوف

وزارة التعليم والعلوم في روسيا المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي ماتي الجامعة التكنولوجية الحكومية الروسية سميت باسم ك.إي تسيولكوفسكي

وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا جامعة فيتيبسك الحكومية التكنولوجية الموضوع. "الصفوف" قسم الرياضيات النظرية والتطبيقية. تم تطويره بواسطة Assoc. إ. ب. دنينا. رئيسي

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الفيدرالية الحكومية للتعليم المهني العالي الجامعة الفيدرالية الجنوبية R. M. Gavrilova، G. S. Kostetskaya Methodical

موضوع سلسلة فورييه درس عملي متسلسلة فورييه في الأنظمة المتعامدة للوظائف مساحة الدوال متعددة الأجزاء المستمرة معممة سلسلة فورييه 3 عدم مساواة بيسل وتقارب سلسلة فورييه الفضاء

نظرية السلسلة تعتبر نظرية السلاسل أهم عنصر في التحليل الرياضي وتجد تطبيقات نظرية وعملية عديدة. يميز بين السلاسل العددية والوظيفية.

المحتويات سلسلة فورييه 4 مفهوم الوظيفة الدورية 4 متعدد الحدود المثلثية 6 3 أنظمة الدوال المتعامدة 4 سلسلة فورييه المثلثية 3 5 سلسلة فورييه للوظائف الزوجية والفردية 6 6 التحلل

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة موسكو الحكومية للجيوديسيا ورسم الخرائط (MIIGAiK) تعليمات منهجية ومهام للعمل المستقل في الدورة التدريبية للرياضيات العليا

محاضرة 4. تحليل توافقي. سلسلة فورييه التوابع الدورية. التحليل التوافقي في العلوم والتكنولوجيا ، غالبًا ما يتعين على المرء أن يتعامل مع الظواهر الدورية ، أي تلك التي تتكرر

محاضرة 6 الموضوع الخامس من السلسلة الرباعية توسيع وظيفة دورية في سلسلة فورييه العديد من العمليات التي تحدث في الطبيعة والتكنولوجيا لها خصائص لتكرارها على فترات زمنية معينة مثل هذه العمليات

تعليمات منهجية لمهام الحساب في مسار الرياضيات العليا "سلسلة المعادلات التفاضلية العادية" التكامل المزدوج "الجزء الثالث سلسلة الموضوع المحتويات سلسلة التقارب والتباعد المتسلسلات العددية

6 سلسلة فورييه 6 أنظمة متعامدة للوظائف سلسلة فورييه من حيث نظام متعامد من الوظائف تسمى الوظائف ϕ () و ψ () ، المحددة والقابلة للتكامل على المقطع [،] ، متعامدة في هذا المقطع إذا

حدد التكامل. المجاميع التكاملية والتكامل المحدد دع الدالة y = f () محددة في المقطع [، b] ، أين< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 سلسلة الطاقة 5 سلسلة الطاقة: التعريف ومجال التقارب سلسلة الوظائف من النموذج (أ + أ) + أ () + ك + أ () + ك أ) (، (5) الأرقام تسمى أرقام سلسلة الطاقة

جامعة ولاية بيلاروسيا كلية الرياضيات التطبيقية وعلوم المعلومات قسم الرياضيات العليا معينات التدريس لطلاب كلية الرياضيات التطبيقية والمعلوماتية

لنلق نظرة على بعض الأمثلة. مثال. لنجد مجموع التقدم الهندسي اللانهائي. صيغة المصطلح المشترك لهذه السلسلة هي a + aq + ... + aq n + ... (a). أ ن = ع ن. دعونا نحسب مبالغها الجزئية. إذا كان q = ، إذن

المهمة 1.1. أوجد الحلول y = y (x) للمعادلة التفاضلية التي لا تتطابق مع الصفر في المنطقة المشار إليها وتفي بشروط الحدود المحددة (مشكلة Sturm-Liouville) الحل: ضع في اعتبارك

التحليل الرياضي الموضوع: لا يتجزأ من التكامل غير الصحيح المحاضر Pakhomova E.G. 2017 الفصل الثاني. التكامل المحدد وتطبيقاته 1. تكامل محدد وخصائصه 1. المهام ،

المحاضرة 8 4 مشكلة شتورم-ليوفيل

تفسيرات النص: تُقرأ العلامة على أنها "مكافئة" وتعني أن المعادلات الموجودة على يمين العلامة وإلى يسار العلامة لها نفس مجموعة الحلول ، وتشير العلامة IR إلى مجموعة الأرقام الحقيقية ، والعلامة في

82 4. القسم 4. سلسلة وظيفية وسلسلة 4.2. الدرس 3 4.2. الدرس 3 4.2 .. توسيع تايلور للدالة التعريف 4.2 .. اجعل الدالة y = f (x) قابلة للتفاضل بلا حدود في بعض المناطق المجاورة

وزارة التعليم والعلوم في روسيا الاتحادية الدولة ميزانية الدولة التعليمية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية سامراء التقنية" قسم الرياضيات التطبيقية

الوكالة الفيدرالية للنقل بالسكك الحديدية جامعة ولاية أورال قسم النقل بالسكك الحديدية "الرياضيات العليا والتطبيقية" N. P. Chuev عناصر التحليل التوافقي المنهجي

سلسلة المحاضرة 3 تايلور وماكلورين تطبيق سلسلة الطاقة توسيع الوظائف إلى سلسلة الطاقة سلسلة تايلور وماكلورين بالنسبة للتطبيقات ، من المهم أن تكون قادرًا على توسيع وظيفة معينة إلى سلسلة طاقة ، تلك الوظائف

S A Lavrenchenko wwwwrckoru محاضرة تحويل فورييه مفهوم التحويل المتكامل طريقة التحولات المتكاملة هي إحدى الطرق القوية للفيزياء الرياضية وهي حل قوي

تكامل دالة (وفقًا لريمان) وتكامل محدد أمثلة لحل المشكلات 1. الوظيفة الثابتة f (x) = C قابلة للتكامل ، نظرًا لأن أي أقسام وأي اختيار للنقاط ξ i التكامل

أنا بالطبع ، مهمة. أثبت أن دالة ريمان ، إذا كانت 0 ، م م ص () ، إذا ، م ، م 0 ، والكسر غير قابل للاختزال ، 0 ، إذا كانت غير منطقية ، متقطعة عند كل نقطة عقلانية ومستمرة عند كل نقطة غير منطقية. المحلول.

1 2 جدول المحتويات 1 سلسلة فورييه 5 1.1 سلسلة فورييه المثلثية ... 5 1.2 فقط الخطيئة وجيب التمام ... ............ 7 1.3 سلسلة فورييه في شكل معقد ... 11 1.4 و (س) = ج ك؟ ... ......

معادلات الفيزياء الرياضية 1. المعادلات التفاضلية الجزئية

محاضرة 4. معادلات الموجة 1. اشتقاق معادلة اهتزازات الأوتار 2. معادلة الاهتزازات الطولية لقضيب 3. الشروط الأولية وشروط الحدود 4. بيان المشكلة 1. اشتقاق معادلة اهتزازات الأوتار

1. الكهرباء الساكنة 1 1. الكهرباء الساكنة الدرس 6 فصل المتغيرات في الإحداثيات الديكارتية 1.1. (المشكلة 1.49) z = المستوى مشحون بالكثافة σ (x ، y) = σ sin (αx) sin (y) ، حيث σ ، α ، هي ثوابت.

موضوع الوحدة المتتاليات والمتسلسلات الوظيفية خصائص التقارب المنتظم للمتواليات والمتسلسلات محاضرة سلسلة الطاقة تعريفات متواليات وسلسلة الوظائف بشكل موحد

معادلات من نوع القطع المكافئ. طريقة فصل المتغيرات مشكلة قيمة حدية متجانسة دالة المصدر معادلة حرارية غير متجانسة 7 محاضرة 7.1 معادلات من نوع قطع مكافئ. طريقة الفصل

المحاضرة المتسلسلة العددية علامات التقارب السلسلة العددية علامات التقارب يسمى التعبير اللانهائي عن التسلسل العددي + + + + ، المكون من أعضاء غير محدود ، سلسلة عددية

35 7 سلسلة فورييه المثلثية سلسلة فورييه للوظائف الدورية ذات الفترة T. لنفترض أن f (x) هي دالة دورية مستمرة متعددة العناصر مع الفترة T.

كلية المعادن قسم الرياضيات العليا

قسم الرياضيات والمعلوماتية عناصر الرياضيات العليا مجمع تعليمي ومنهجي لطلاب التعليم المهني الثانوي الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد.

9. معاد الاشتقاق والتكامل غير المحدد 9 .. دع الدالة f () تعطى في الفترة I R. تسمى الوظيفة F () الوظيفة العكسية f () في الفترة I ، إذا كانت F () = f () لأي I ، والمشتق العكسي

تمايز وظائف متغير واحد مفهوم المشتق ، معناه الهندسي والمادي المشاكل التي تؤدي إلى مفهوم تعريف مشتق للماس S إلى السطر y f (x) عند النقطة A x ؛ F(

معادلات من النوع الزائدي. اهتزازات سلسلة لانهائية وشبه لانهائية. طريقة دالمبرت السلسلة اللانهائية. صيغة دالمبيرت سلسلة شبه لانهائية 3 محاضرة 3.1 معادلات من النوع الزائدي.

مقدمة العنوان. المفاهيم الأساسية ... 4 1. معادلات فولتيرا التكاملية ... 5 خيارات الواجب المنزلي ... 8 2. حل معادلة فولتيرا التكاملية. 10 خيارات الواجب المنزلي ... 11

الصفوف. خطوط الأعداد. التعريفات الأساسية اسمح بإعطاء تسلسل لا نهائي من الأرقام التعبير (مجموع لانهائي) أ ، 2 ، ... ، أ ن ، ... سلسلة رقمية. أعداد

8. سلسلة القوة 8 .. سلسلة وظيفية على شكل c n (z) n، (8.) n = حيث c n عبارة عن تسلسل رقمي ، R هو رقم ثابت ، و z R تسمى سلسلة قوى ذات معاملات c n . عن طريق تغيير المتغيرات

~ ~ التكاملات غير المحددة والمحددة مفهوم التكامل العكسي وغير المحدود. التعريف: تسمى الوظيفة F المشتق العكسي فيما يتعلق بالوظيفة f إذا كانت هذه الوظائف مرتبطة على النحو التالي

3724 سلسلة من التكاملات المتعددة والمتداخلة 1 برنامج العمل للقطاعات "سلسلة التكاملات المتعددة والمتداخلة" 11 متسلسلة رقمية مفهوم السلسلة الرقمية خصائص المتسلسلة الرقمية معيار ضروري للتقارب

تأكل. تحليل الرياضيات الخام. السلسلة العددية والوظيفية NOVOSIBIRSK 200 2 وزارة التعليم والعلوم الروسية SEI HPE "جامعة NOVOSIBIRSK State PEDAGOGICAL" E.M. تحليل رودوي الرياضي.

المحاضرة ن 7

المعادلات التربيعية

قسم المهام مع معلمات التعليق المهام ذات المعلمات هي مهام معقدة تقليديًا في هيكل الاستخدام ، مما يتطلب من مقدم الطلب ليس فقط إتقان جميع الأساليب والتقنيات لحل مختلف

التفاضل والتكامل مقدمة في التحليل الرياضي حد التسلسل والوظيفة. الإفصاح عن عدم اليقين في الداخل. مشتق وظيفي. قواعد التمايز. تطبيق المشتق

سلسلة فورييه أنظمة متعامدة للوظائف من وجهة نظر الجبر ، فإن المساواة حيث تكون وظائف فئة معينة ومعاملات من R أو C تعني ببساطة أن المتجه هو مزيج خطي من المتجهات B

1. لا يتجزأ محدد 1.1. لنفترض أن f دالة محددة في المقطع [، b] R. قسم المقطع [، b] هو مجموعة من النقاط τ = (x، x 1، ...، x n 1، x n) [، b ] مثل هذا = x< x 1 < < x n 1

Ch Power series a a a a () من الشكل a a a a () تسمى سلسلة القوة ، حيث ، a ، هي ثوابت ، تسمى معاملات السلسلة.في بعض الأحيان ، تعتبر سلسلة القوة ذات الشكل الأكثر عمومية: أ (أ) أ ( أ) أ (أ) () ، أين

سلسلة فورييه للدوال الدورية ذات الفترة 2π.

تتيح لك سلسلة فورييه دراسة الوظائف الدورية عن طريق تحليلها إلى مكونات. تعتبر التيارات والفولتية المتناوبة وحالات الإزاحة وسرعة وتسريع آليات الكرنك والموجات الصوتية أمثلة عملية نموذجية لتطبيق الوظائف الدورية في الحسابات الهندسية.

يعتمد توسع سلسلة فورييه على افتراض أن جميع الوظائف ذات الأهمية العملية في الفاصل الزمني -π ≤ x ≤ يمكن التعبير عنها على أنها سلسلة مثلثية متقاربة (تعتبر السلسلة متقاربة إذا تقارب تسلسل المبالغ الجزئية المكونة من أعضائها) :

التدوين القياسي (= المعتاد) من خلال مجموع sinx و cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ... ،

حيث a o ، a 1 ، a 2 ، ... ، b 1 ، b 2 ، .. هي ثوابت حقيقية ، أي

حيث ، بالنسبة للمدى من-إلى ، يتم حساب معاملات سلسلة فورييه بواسطة الصيغ:

تسمى المعاملات a o و a n و b n معاملات فورييه، وإذا كان من الممكن العثور عليها ، فسيتم استدعاء السلسلة (1) بالقرب من فورييه ،المقابلة للوظيفة f (x). للسلسلة (1) ، المصطلح (a 1 cosx + b 1 sinx) يسمى الأول أو هارمونيكا الرئيسية

هناك طريقة أخرى لكتابة سلسلة وهي استخدام العلاقة acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

حيث a o ثابت ، c 1 \ u003d (a 1 2 + b 1 2) 1/2 ، c n \ u003d (a n 2 + b n 2) 1/2 هي سعة المكونات المختلفة ، وتساوي a n \ u003d arctg a n / b n.

بالنسبة للسلسلة (1) ، يُطلق على المصطلح (a 1 cosx + b 1 sinx) أو c 1 sin (x + α 1) الاسم الأول أو هارمونيكا الرئيسية(a 2 cos2x + b 2 sin2x) أو c 2 sin (2x + α 2) يسمى التوافقي الثانيوهلم جرا.

لتمثيل إشارة معقدة بدقة ، يلزم عادةً عدد لا حصر له من المصطلحات. ومع ذلك ، في العديد من المشاكل العملية ، يكفي النظر في المصطلحات القليلة الأولى فقط.

سلسلة فورييه للوظائف غير الدورية ذات الفترة 2π.

توسيع الوظائف غير الدورية في سلسلة فورييه.

إذا كانت الدالة f (x) غير دورية ، فلا يمكن توسيعها في سلسلة فورييه لجميع قيم x. ومع ذلك ، من الممكن تحديد سلسلة فورييه التي تمثل وظيفة على أي نطاق للعرض 2π.

بالنظر إلى وظيفة غير دورية ، يمكن للمرء أن يؤلف وظيفة جديدة عن طريق اختيار قيم f (x) ضمن نطاق معين وتكرارها خارج هذا النطاق بفواصل زمنية قدرها 2π. نظرًا لأن الوظيفة الجديدة دورية بفترة 2π ، فيمكن توسيعها في سلسلة فورييه لجميع قيم x. على سبيل المثال ، الوظيفة f (x) = x ليست دورية. ومع ذلك ، إذا كان من الضروري توسيعها إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني من 0 إلى 2π ، فسيتم إنشاء وظيفة دورية بفترة 2π خارج هذه الفترة (كما هو موضح في الشكل أدناه).

بالنسبة للوظائف غير الدورية مثل f (x) = x ، فإن مجموع سلسلة فورييه يساوي قيمة f (x) في جميع النقاط في النطاق المحدد ، ولكنه لا يساوي f (x) للنقاط خارج النطاق. لإيجاد سلسلة فورييه لدالة غير دورية في النطاق 2π ، يتم استخدام نفس صيغة معاملات فورييه.

الوظائف الفردية والزوجية.

يقولون الدالة y = f (x) حتىإذا كانت f (-x) = f (x) لجميع قيم x. الرسوم البيانية للوظائف الزوجية دائمًا ما تكون متناظرة حول المحور الصادي (أي أنها معكوسة). مثالان على الدوال الزوجية: y = x 2 و y = cosx.

يقولون أن الدالة y = f (x) الفردية،إذا كانت f (-x) = - f (x) لجميع قيم x. دائمًا ما تكون الرسوم البيانية للدوال الفردية متماثلة حول الأصل.

العديد من الوظائف ليست زوجية ولا فردية.

توسع سلسلة فورييه في جيب التمام.

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية المتساوية f (x) ذات الفترة 2π على مصطلحات جيب التمام فقط (أي لا تحتوي على شروط شرط الجيب) وقد تتضمن مصطلحًا ثابتًا. بالتالي،

أين معاملات سلسلة فورييه ،

سلسلة فورييه للدالة الدورية الفردية f (x) مع الفترة 2π تحتوي فقط على مصطلحات ذات جيب (أي لا تحتوي على مصطلحات مع جيب التمام).

بالتالي،

أين معاملات سلسلة فورييه ،

سلسلة فورييه على نصف دورة.

إذا تم تحديد دالة لنطاق ، لنقل من 0 إلى ، وليس فقط من 0 إلى 2π ، فيمكن توسيعها إلى سلسلة فقط من حيث الجيب أو فقط من حيث جيب التمام. تسمى سلسلة فورييه الناتجة بالقرب من فورييه على نصف دورة.

إذا كنت ترغب في الحصول على التحلل فورييه في نصف دورة في جيب التماموظائف f (x) في النطاق من 0 إلى π ، فمن الضروري تكوين وظيفة دورية متساوية. على التين. فيما يلي الوظيفة f (x) = x المبنية على الفترة من x = 0 إلى x = π. نظرًا لأن الوظيفة الزوجية متناظرة حول محور f (x) ، فإننا نرسم الخط AB ، كما هو موضح في الشكل. أقل. إذا افترضنا أنه خارج الفترة المدروسة ، يكون الشكل المثلث الناتج دوريًا بفترة 2π ، ثم الرسم البياني النهائي له الشكل المعروض. في التين. أقل. نظرًا لأنه مطلوب للحصول على تمدد فورييه في جيب التمام ، كما كان من قبل ، فإننا نحسب معاملي فورييه a o و a n

إذا كنت ترغب في الحصول على وظائف f (x) في النطاق من 0 إلى π ، فأنت بحاجة إلى تكوين وظيفة دورية فردية. على التين. فيما يلي الوظيفة f (x) = x المبنية على الفترة من x = 0 إلى x = π. نظرًا لأن الوظيفة الفردية متماثلة فيما يتعلق بالأصل ، فإننا نبني الخط CD ، كما هو موضح في الشكل. إذا افترضنا أنه خارج الفاصل الزمني المدروس ، تكون إشارة سن المنشار المستلمة دورية بفترة 2π ، فإن الرسم البياني النهائي له الشكل الموضح في الشكل. نظرًا لأنه مطلوب للحصول على تمدد فورييه في نصف دورة من حيث الجيب ، كما في السابق ، فإننا نحسب معامل فورييه. ب

سلسلة فورييه لفاصل زمني عشوائي.

توسيع وظيفة دورية مع الفترة L.

تتكرر الوظيفة الدورية f (x) كلما زادت x بمقدار L ، أي و (س + L) = و (س). يعد الانتقال من الوظائف التي تم النظر فيها سابقًا مع الفترة 2π إلى الوظائف ذات الفترة L أمرًا بسيطًا للغاية ، حيث يمكن إجراؤه باستخدام تغيير المتغير.

لإيجاد سلسلة فورييه للدالة f (x) في النطاق -L / 2≤x≤L / 2 ، نقدم متغيرًا جديدًا u بحيث يكون للدالة f (x) فترة 2π بالنسبة إلى u. إذا كانت u = 2πx / L ، فإن x = -L / 2 لـ u =-و x = L / 2 لـ u = π. دع f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). سلسلة فورييه F (ش) لها الشكل

أين معاملات سلسلة فورييه ،

ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، تؤدي الصيغة المذكورة أعلاه إلى الاعتماد على x. بما أن u = 2πх / L ، فإن du = (2π / L) dx ، وحدود التكامل من -L / 2 إلى L / 2 بدلاً من-إلى. لذلك ، فإن سلسلة فورييه للاعتماد على x لها الشكل

حيث في النطاق من -L / 2 إلى L / 2 توجد معاملات سلسلة فورييه ،

(يمكن استبدال حدود التكامل بأي فاصل طوله L ، على سبيل المثال ، من 0 إلى L)

سلسلة فورييه على نصف دورة للوظائف المعطاة في الفترة L 2π.

للتعويض u = πx / L ، الفترة من x = 0 إلى x = L تقابل الفترة من u = 0 إلى u = π. لذلك ، يمكن توسيع الوظيفة إلى سلسلة فقط من حيث جيب التمام أو فقط من حيث الجيب ، أي في سلسلة فورييه على نصف دورة.

التمدد في جيب التمام في النطاق من 0 إلى L له الشكل