سلسلة فورييه. توسع سلسلة فورييه للوظائف الزوجية والفردية.

سلسلة فورييه هي تمثيل لوظيفة تم اتخاذها بشكل تعسفي مع فترة محددة كسلسلة. بشكل عام ، يسمى هذا الحل تحلل عنصر على أساس متعامد. يعد توسيع الوظائف في سلسلة فورييه أداة قوية إلى حد ما لحل المشكلات المختلفة بسبب خصائص هذا التحول عند دمج ، وتمييز ، وكذلك تحويل تعبير في حجة والتفاف.

إن الشخص الذي ليس على دراية بالرياضيات العليا ، وكذلك أعمال العالم الفرنسي فورييه ، لن يفهم على الأرجح ماهية هذه "السلسلة" وما هي من أجلها. في غضون ذلك ، أصبح هذا التحول كثيفًا جدًا في حياتنا. يتم استخدامه ليس فقط من قبل علماء الرياضيات ، ولكن أيضًا من قبل الفيزيائيين والكيميائيين والأطباء وعلماء الفلك وعلماء الزلازل وعلماء المحيطات وغيرهم الكثير. دعونا أيضًا نلقي نظرة فاحصة على أعمال العالم الفرنسي العظيم ، الذي اكتشف اكتشافًا قبل عصره.

الرجل وتحويل فورييه

سلسلة فورييه هي إحدى الطرق (جنبًا إلى جنب مع التحليل وغيره). تحدث هذه العملية في كل مرة يسمع فيها الشخص أي صوت. تقوم أذننا تلقائيًا بتحويل الجسيمات الأولية في وسط مرن ، وتتحلل إلى صفوف (على طول الطيف) من القيم المتتالية لمستوى الصوت للنغمات ذات الارتفاعات المختلفة. بعد ذلك ، يحول الدماغ هذه البيانات إلى أصوات مألوفة لنا. كل هذا يحدث بالإضافة إلى رغبتنا أو وعينا ، في حد ذاته ، ولكن لفهم هذه العمليات ، سوف يستغرق الأمر عدة سنوات لدراسة الرياضيات العليا.

المزيد عن تحويل فورييه

يمكن إجراء تحويل فورييه بالطرق التحليلية والرقمية وغيرها. تشير سلسلة فورييه إلى الطريقة الرقمية لتحليل أي عمليات تذبذبية - من المد والجزر في المحيطات وموجات الضوء إلى دورات النشاط الشمسي (والأجسام الفلكية الأخرى). باستخدام هذه التقنيات الرياضية ، من الممكن تحليل الوظائف ، التي تمثل أي عمليات تذبذبية كسلسلة من المكونات الجيبية التي تنتقل من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى والعكس صحيح. تحويل فورييه هو وظيفة تصف طور وسعة أشباه الجيوب المقابلة لتردد معين. يمكن استخدام هذه العملية لحل المعادلات المعقدة للغاية التي تصف العمليات الديناميكية التي تحدث تحت تأثير الطاقة الحرارية أو الضوئية أو الكهربائية. أيضًا ، تتيح سلسلة فورييه عزل المكونات الثابتة في الإشارات التذبذبية المعقدة ، مما جعل من الممكن تفسير الملاحظات التجريبية التي تم الحصول عليها في الطب والكيمياء وعلم الفلك بشكل صحيح.

مرجع التاريخ

الأب المؤسس لهذه النظرية هو عالم الرياضيات الفرنسي جان بابتيست جوزيف فورييه. سمي هذا التحول لاحقًا باسمه. في البداية ، طبق العالم طريقته لدراسة وشرح آليات التوصيل الحراري - انتشار الحرارة في المواد الصلبة. اقترح فورييه أن التوزيع غير المنتظم الأصلي يمكن أن يتحلل إلى أبسط أشباه الجيوب ، ولكل منها درجة حرارة دنيا وأقصى ، بالإضافة إلى مرحلتها الخاصة. في هذه الحالة ، سيتم قياس كل مكون من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى والعكس صحيح. تسمى الوظيفة الرياضية التي تصف القمم العلوية والسفلية للمنحنى ، وكذلك مرحلة كل من التوافقيات ، بتحويل فورييه لتعبير توزيع درجة الحرارة. اختصر مؤلف النظرية دالة التوزيع العام ، والتي يصعب وصفها رياضيًا ، إلى سلسلة ملائمة جدًا من جيب التمام والجيب ، والتي تلخص لإعطاء التوزيع الأصلي.

مبدأ التحول وآراء المعاصرين

معاصرو العالم - علماء الرياضيات الرائدون في أوائل القرن التاسع عشر - لم يقبلوا هذه النظرية. كان الاعتراض الرئيسي هو تأكيد فورييه أن دالة غير متصلة تصف خطًا مستقيمًا أو منحنى غير متصل يمكن تمثيلها كمجموع من التعبيرات الجيبية المستمرة. كمثال ، ضع في اعتبارك "خطوة" Heaviside: قيمتها صفر على يسار الفجوة وواحدة إلى اليمين. تصف هذه الوظيفة اعتماد التيار الكهربائي على متغير الوقت عند إغلاق الدائرة. لم يواجه معاصرو النظرية في ذلك الوقت مثل هذا الموقف أبدًا ، عندما يتم وصف التعبير المتقطع بمزيج من الوظائف العادية المستمرة ، مثل الأسي أو الجيبي أو الخطي أو التربيعي.

ما الذي حير علماء الرياضيات الفرنسيين في نظرية فورييه؟

بعد كل شيء ، إذا كان عالم الرياضيات محقًا في تصريحاته ، فعند تلخيص سلسلة فورييه المثلثية اللانهائية ، يمكن للمرء الحصول على تمثيل دقيق للتعبير التدريجي حتى لو كان لديه العديد من الخطوات المماثلة. في بداية القرن التاسع عشر ، بدا مثل هذا البيان سخيفًا. لكن على الرغم من كل الشكوك ، قام العديد من علماء الرياضيات بتوسيع نطاق دراسة هذه الظاهرة ، مما جعلها خارج نطاق دراسات التوصيل الحراري. ومع ذلك ، استمر تعذيب معظم العلماء من السؤال: "هل يمكن أن يتقارب مجموع المتسلسلة الجيبية مع القيمة الدقيقة للوظيفة المتقطعة؟"

تقارب سلسلة فورييه: مثال

يُطرح سؤال التقارب عندما يكون من الضروري جمع سلسلة لا نهائية من الأرقام. لفهم هذه الظاهرة ، فكر في مثال كلاسيكي. هل يمكنك الوصول إلى الحائط إذا كانت كل خطوة متتالية نصف حجم الخطوة السابقة؟ لنفترض أنك على بعد مترين من الهدف ، فإن الخطوة الأولى تقربك من نقطة المنتصف ، والخطوة التالية إلى علامة الثلاثة أرباع ، وبعد الخطوة الخامسة ستغطي ما يقرب من 97 بالمائة من الطريق. ومع ذلك ، بغض النظر عن عدد الخطوات التي تتخذها ، فلن تحقق الهدف المقصود بالمعنى الرياضي الصارم. باستخدام الحسابات العددية ، يمكن إثبات أنه في النهاية من الممكن الاقتراب من مسافة معينة بشكل تعسفي. هذا الدليل يعادل إثبات أن القيمة الإجمالية للنصف والربع وما إلى ذلك ستميل إلى واحد.

سؤال التقارب: المجيء الثاني ، أو جهاز اللورد كلفن

أثير هذا السؤال مرة أخرى في نهاية القرن التاسع عشر ، عندما تمت محاولة استخدام سلسلة فورييه للتنبؤ بكثافة المد والجزر. في هذا الوقت ، اخترع اللورد كلفن جهازًا ، وهو عبارة عن جهاز حوسبة تمثيلية سمح للبحارة في الأسطول العسكري والتجاري بتتبع هذه الظاهرة الطبيعية. حددت هذه الآلية مجموعات المراحل والسعات من جدول ارتفاعات المد والجزر ولحظات الوقت المقابلة لها ، والتي تم قياسها بعناية في ميناء معين خلال العام. كانت كل معلمة مكونًا جيبيًا لتعبير ارتفاع المد وكانت أحد المكونات العادية. تم إدخال نتائج القياسات في آلة حاسبة لورد كلفن ، والتي صنعت منحنى توقع ارتفاع الماء كدالة زمنية للعام المقبل. وسرعان ما تم رسم منحنيات مماثلة لجميع موانئ العالم.

وإذا تعطلت العملية بوظيفة متقطعة؟

في ذلك الوقت ، بدا واضحًا أن متنبئًا بموجة المد والجزر مع عدد كبير من عناصر العد يمكنه حساب عدد كبير من الأطوار والسعات وبالتالي توفير تنبؤات أكثر دقة. ومع ذلك ، اتضح أن هذا الانتظام لا يُلاحظ في تلك الحالات عندما احتوى تعبير المد والجزر المراد تصنيعه على قفزة حادة ، أي أنها كانت متقطعة. في حالة إدخال البيانات في الجهاز من جدول اللحظات الزمنية ، فإنه يحسب عدة معاملات فورييه. يتم استعادة الوظيفة الأصلية بفضل المكونات الجيبية (وفقًا للمعاملات الموجودة). يمكن قياس التناقض بين التعبير الأصلي والتعبير المستعاد في أي وقت. عند إجراء عمليات حسابية ومقارنات متكررة ، يمكن ملاحظة أن قيمة أكبر خطأ لا تنخفض. ومع ذلك ، فهي مترجمة في المنطقة المقابلة لنقطة عدم الاستمرارية ، وتميل إلى الصفر في أي نقطة أخرى. في عام 1899 ، تم تأكيد هذه النتيجة نظريًا من قبل جوشوا ويلارد جيبس ​​من جامعة ييل.

تقارب سلسلة فورييه وتطور الرياضيات بشكل عام

لا ينطبق تحليل فورييه على التعبيرات التي تحتوي على عدد لا حصر له من الرشقات في فترة زمنية معينة. بشكل عام ، سلسلة فورييه ، إذا كانت الوظيفة الأصلية ناتجة عن قياس فيزيائي حقيقي ، فدائمًا ما تتقارب. أدت أسئلة تقارب هذه العملية لفئات محددة من الوظائف إلى ظهور أقسام جديدة في الرياضيات ، على سبيل المثال ، نظرية الوظائف المعممة. وهو مرتبط بأسماء مثل L. Schwartz و J. Mikusinsky و J. Temple. في إطار هذه النظرية ، تم إنشاء أساس نظري واضح ودقيق لمثل هذه التعبيرات مثل دالة ديراك دلتا (وهي تصف منطقة من منطقة واحدة مركزة في حي صغير بلا حدود من نقطة ما) و Heaviside " خطوة". بفضل هذا العمل ، أصبحت سلسلة فورييه قابلة للتطبيق في حل المعادلات والمشكلات التي تظهر فيها مفاهيم بديهية: شحنة نقطية ، وكتلة نقطية ، وثنائيات أقطاب مغناطيسية ، وأيضًا حمولة مركزة على الحزمة.

طريقة فورييه

تبدأ سلسلة فورييه ، وفقًا لمبادئ التداخل ، بتحلل الأشكال المعقدة إلى أشكال أبسط. على سبيل المثال ، يتم تفسير التغيير في تدفق الحرارة من خلال مروره عبر عوائق مختلفة مصنوعة من مادة عازلة للحرارة بشكل غير منتظم أو تغيير في سطح الأرض - زلزال ، تغيير في مدار جسم سماوي - تأثير الكواكب. كقاعدة عامة ، يتم حل المعادلات المماثلة التي تصف الأنظمة الكلاسيكية البسيطة بشكل أساسي لكل موجة على حدة. أوضح فورييه أنه يمكن أيضًا تلخيص الحلول البسيطة لإعطاء حلول لمشاكل أكثر تعقيدًا. معبرًا عنها بلغة الرياضيات ، فإن سلسلة فورييه هي تقنية لتمثيل تعبير كمجموع التوافقيات - جيب التمام والجيوب الأنفية. لذلك ، يُعرف هذا التحليل أيضًا باسم "التحليل التوافقي".

سلسلة فورييه - التقنية المثالية قبل "عصر الكمبيوتر"

قبل إنشاء تكنولوجيا الكمبيوتر ، كانت تقنية فورييه هي أفضل سلاح في ترسانة العلماء عند العمل مع الطبيعة الموجية لعالمنا. تتيح سلسلة فورييه في شكل معقد ليس فقط حل المشكلات البسيطة التي يمكن تطبيقها مباشرة على قوانين ميكانيكا نيوتن ، ولكن أيضًا المعادلات الأساسية. معظم اكتشافات العلم النيوتوني في القرن التاسع عشر لم تكن ممكنة إلا بتقنية فورييه.

سلسلة فورييه اليوم

مع تطور أجهزة الكمبيوتر ، ارتفعت تحويلات فورييه إلى مستوى جديد نوعيًا. هذه التقنية راسخة بقوة في جميع مجالات العلوم والتكنولوجيا تقريبًا. مثال على ذلك هو إشارة الصوت والفيديو الرقمية. أصبح تحقيقها ممكنًا فقط بفضل النظرية التي طورها عالم رياضيات فرنسي في بداية القرن التاسع عشر. وهكذا ، فإن سلسلة فورييه في شكل معقد جعلت من الممكن تحقيق اختراق في دراسة الفضاء الخارجي. بالإضافة إلى ذلك ، أثر ذلك على دراسة فيزياء مواد أشباه الموصلات والبلازما ، صوتيات الميكروويف ، علم المحيطات ، الرادار ، وعلم الزلازل.

سلسلة فورييه المثلثية

في الرياضيات ، سلسلة فورييه هي طريقة لتمثيل الوظائف المعقدة التعسفية كمجموع للوظائف الأكثر بساطة. في الحالات العامة ، يمكن أن يكون عدد هذه التعبيرات غير محدود. علاوة على ذلك ، كلما زاد عددهم في الاعتبار في الحساب ، زادت دقة النتيجة النهائية. في أغلب الأحيان ، تُستخدم الدوال المثلثية لجيب التمام أو الجيب كأبسطها. في هذه الحالة ، تسمى سلسلة فورييه المثلثية ، ويسمى حل هذه التعبيرات بتوسيع التوافقي. تلعب هذه الطريقة دورًا مهمًا في الرياضيات. بادئ ذي بدء ، توفر السلسلة المثلثية وسيلة للصورة ، بالإضافة إلى دراسة الوظائف ، فهي الجهاز الرئيسي للنظرية. بالإضافة إلى ذلك ، فإنه يسمح بحل عدد من مشاكل الفيزياء الرياضية. أخيرًا ، ساهمت هذه النظرية في تطوير وإحياء عدد من الأقسام المهمة جدًا في العلوم الرياضية (نظرية التكاملات ، نظرية الوظائف الدورية). بالإضافة إلى ذلك ، كانت بمثابة نقطة انطلاق لتطوير الوظائف التالية للمتغير الحقيقي ، كما أنها تمثل بداية التحليل التوافقي.

نسخة طبق الأصل

1 وزارة التربية والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية نوفوسيبيرسك كلية الفيزياء R.K. Belkheeva السلسلة الرابعة في الأمثلة والمهام البرنامج التعليمي نوفوسيبيرسك 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 سلسلة Belkheeva R. K. Fourier في الأمثلة والمشكلات: Textbook / Novosib. حالة un-t. نوفوسيبيرسك ، س. ISBN يوفر البرنامج التعليمي معلومات أساسية حول سلسلة فورييه ، ويقدم أمثلة لكل موضوع تمت دراسته. مثال على تطبيق طريقة فورييه لحل مشكلة الاهتزازات المستعرضة لسلسلة ما تم تحليله بالتفصيل. يتم إعطاء مادة توضيحية. هناك مهام للحل المستقل. إنه مخصص للطلاب والمعلمين في كلية الفيزياء بجامعة ولاية نوفوسيبيرسك. نشرت وفقا لقرار اللجنة المنهجية لكلية الفيزياء بجامعة NSU. المراجع دكتور فيزياء الرياضيات. علوم. في أ. أليكساندروف ISBN ج جامعة ولاية نوفوسيبيرسك ، 211 ج Belkheeva R.K ، 211

3 1. توسعة سلسلة فورييه لوظيفة 2π دورية تعريف. سلسلة فورييه للدالة f (x) هي السلسلة الوظيفية a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) ، (1) حيث يتم حساب المعاملات a n ، b n بالصيغ: a n = 1 b n = 1 π f (x) cosnxdx، n =، 1، ...، (2) f (x) sin nxdx، n = 1، 2، .... (3) تسمى الصيغ (2) (3) بصيغ أويلر فورييه . حقيقة أن الدالة f (x) تتوافق مع سلسلة فورييه (1) مكتوبة بصيغة f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) ويقولون أن الجانب الأيمن من الصيغة ( 4) هي سلسلة رسمية من وظائف فورييه f (x). بمعنى آخر ، الصيغة (4) تعني فقط أن المعامِلات a n و b n يتم العثور عليها بواسطة الصيغ (2) و (3). 3

4 التعريف. تسمى دالة 2π الدورية f (x) على نحو سلس إذا كان الفاصل الزمني [، π] يحتوي على عدد محدود من النقاط = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 التين. 1. رسم بياني للدالة f (x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2 من أجل فردي n ، حتى n ، f (x) sin nxdx = لأن الدالة f (x) زوجية. نكتب سلسلة فورييه الرسمية للدالة f (x): f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.

6 اكتشف ما إذا كانت الدالة f (x) متجانسة. نظرًا لأنه مستمر ، فإننا نحسب فقط الحدود (6) عند نقاط نهاية الفترة الزمنية x = ± π وعند نقطة الفاصل x =: و f (π h) f (π) π h π lim = lim h + h h + h = 1، f (+ h) f (+) + h () lim = lim h + h h + h f (+ h) f (+) + h lim = lim = 1، h + h h + h = 1 ، f (h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h الحدود موجودة وهي محدودة ، وبالتالي فإن الوظيفة متجانسة. من خلال نظرية التقارب النقطي ، تتقارب سلسلة فورييه الخاصة بها مع الرقم f (x) عند كل نقطة ، أي f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) يوضح الشكلان 2 و 3 طابع تقريب المجاميع الجزئية لسلسلة فورييه S n (x) ، حيث S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx) ، k = 1 ، للدالة و (س) في الفترة [، π]. 6

7 التين. الشكل 2. رسم بياني للدالة f (x) برسوم بيانية متراكبة للمجاميع الجزئية S (x) = a 2 و S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 3. رسم بياني للدالة f (x) مع رسم بياني للجمع الجزئي متراكب عليه S 99 (x) \ u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 بالتعويض في (7) x = نحصل على: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2 ، حيث نجد مجموع سلسلة الأرقام: = 2 8. معرفة مجموع هذه السلسلة ، فهو من السهل العثور على المجموع التالي لدينا: S = () S = () = π S ، وبالتالي S = π2 6 ، أي 1 n = π تم العثور على مجموع هذه السلسلة الشهيرة لأول مرة بواسطة Leonhard Euler. غالبًا ما توجد في التحليل الرياضي وتطبيقاته. مثال 2. ارسم رسمًا بيانيًا ، وابحث عن سلسلة فورييه للدالة المعطاة بواسطة الصيغة f (x) = x لـ x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 التين. 4. رسم بياني للدالة f (x) الدالة f (x) قابلة للاشتقاق باستمرار على الفترة (، π). عند النقاط x = ± π ، لها حدود محدودة (5): f () = ، f (π) = π. بالإضافة إلى ذلك ، هناك حدود محدودة (6): f (+ h) f (+) lim = 1 and h + h f (π h) f (π +) lim = 1. h + h وبالتالي ، f (x) هي متعدد الوظائف على نحو سلس. بما أن الدالة f (x) فردية ، فإن n =. يمكن إيجاد المعاملات b n بالتكامل بالأجزاء: b n = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 (1) ) ن + واحد. n دعونا نؤلف سلسلة فورييه الرسمية للوظيفة 2 (1) n + 1 f (x) sin nx. ن 9 cosnxdx] =

10 وفقًا لنظرية التقارب النقطي لدالة دورية 2π سلسة متعددة التعريف ، فإن سلسلة فورييه للدالة f (x) تتقارب مع المجموع: 2 (1) n + 1 sin nx = n f (x) = x if< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 تين. الشكل 6. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 2 (x) المركب عليه. 7. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 3 (x) 11 المركب عليه

12 تين. 8. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 99 (x) المركب عليه ، نستخدم سلسلة فورييه التي تم الحصول عليها لإيجاد مجموع سلسلتين عدديتين. نضع (8) x = π / 2. ثم 2 () + ... = π 2 ، أو = n = (1) n 2n + 1 = π 4. وجدنا بسهولة مجموع سلسلة Leibniz المعروفة. بوضع x = π / 3 في (8) ، نجد () + ... = π 2 3 ، أو (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 مثال 3. ارسم رسمًا بيانيًا ، أوجد سلسلة فورييه للدالة f (x) = sin x ، بافتراض أن الفترة 2π ، واحسب 1 مجموع سلسلة الأرقام 4n 2 1. الحل. يظهر الرسم البياني للوظيفة f (x) في الشكل. 9. من الواضح أن f (x) = sin x دالة زوجية متصلة بالدورة π. لكن 2π هي أيضًا فترة الدالة f (x). أرز. 9. رسم بياني للدالة f (x) دعونا نحسب معاملات فورييه. كل ب ن = لأن الوظيفة زوجية. باستخدام الصيغ المثلثية ، نحسب a n لـ n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 () π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1 if n = 2k، = n 2 1 if n = 2 كيلو

14 لا يسمح لنا هذا الحساب بإيجاد المعامل a 1 لأنه عند n = 1 ينتقل المقام إلى الصفر. لذلك ، نحسب المعامل a 1 مباشرةً: أ 1 = 1 π sin x cosxdx =. نظرًا لأن f (x) قابلة للتفاضل باستمرار في (،) و (، π) وعند النقاط kπ ، (k عدد صحيح) ، هناك حدود منتهية (5) و (6) ، تتقارب سلسلة فورييه للدالة إلى في كل نقطة: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S (x) المركب عليه 14

15 تين. شكل 11. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 1 (x) المركب عليه. الشكل 12. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 2 (x) المركب عليه. 13. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 99 (x) 15 المركب عليه.

16 1 احسب مجموع سلسلة الأرقام. للقيام بذلك ، نضع 4n 2 1 في (9) x =. ثم cosnx = 1 لكل n = 1 ، 2 ، ... وبالتالي ، 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. مثال 4. دعنا نثبت أنه إذا كانت الدالة f (x) تفي بالشرط f (x π) = f (x) لكل x (أي أنها π دورية) ، إذن a 2n 1 = b 2n 1 = لكل n 1 ، والعكس صحيح ، إذا كانت a 2n 1 = b 2n 1 = لكل n 1 ، فإن f (x) هي دورية. المحلول. دع الدالة f (x) تكون دورية. دعونا نحسب معاملي فورييه a 2n 1 و b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x ) cos (2n 1) xdx. في التكامل الأول نقوم بتغيير المتغير x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. 16

17 باستخدام حقيقة أن cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t و f (t π) = f (t) ، نحصل على: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos ( 2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. ثبت بالمثل أن ب 2 ن 1 =. على العكس من ذلك ، دع 2n 1 = b 2n 1 =. بما أن الدالة f (x) متصلة ، إذن ، من خلال النظرية المتعلقة بإمكانية تمثيل دالة عند نقطة من خلال سلسلة فورييه ، لدينا إذن f (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n الخطيئة 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x) مما يعني أن f (x) دالة π دورية. مثال 5. دعنا نثبت أنه إذا كانت دالة متجانسة متعددة التعريفات f (x) تفي بالشرط f (x) = f (x) لجميع x ، إذن a = و a 2n = b 2n = لكل n 1 ، والعكس صحيح ، إذا كانت a = a 2n = b 2n = ، إذن f (x π) = f (x) لكل x. المحلول. دع الدالة f (x) تحقق الشرط f (x π) = f (x). دعونا نحسب معاملات فورييه: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx. في التكامل الأول نقوم بتغيير المتغير x = t π. ثم f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. باستخدام حقيقة أن cos n (t π) = (1) n cosnt و f (t π) = f (t) ، نحصل على: a n = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt = if n زوجي ، = 2 π f (t) cos nt dt ، إذا كان n عددًا فرديًا. π ثبت بالمثل أن b 2n =. على العكس من ذلك ، دع a = a 2n = b 2n = ، لكل n 1. نظرًا لأن الوظيفة f (x) متصلة ، إذن ، من خلال نظرية إمكانية تمثيل وظيفة عند نقطة ما ، فإن سلسلة فورييه الخاصة بها تفي بالمساواة f ( x) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). الثامنة عشر

19 ثم = f (x π) = = = f (x). مثال 6. دعونا ندرس كيفية تمديد الدالة f (x) القابلة للتكامل على الفترة [، π / 2] إلى الفترة [، π] ، بحيث يكون لسلسلة فورييه الشكل: a 2n 1 cos (2n 1) x. (1) الحل. دع الرسم البياني للوظيفة بالشكل الموضح في الشكل. 14. بما أنه في السلسلة (1) a = a 2n = b 2n = لكل n ، فإنه يتبع من المثال 5 أن الدالة f (x) يجب أن تحقق المساواة f (x π) = f (x) لجميع x. تعطي هذه الملاحظة طريقة لتمديد الدالة f (x) إلى الفترة [، / 2]: f (x) = f (x + π) ، شكل. 15. من حقيقة أن السلسلة (1) تحتوي فقط على جيب التمام ، نستنتج أن الدالة المستمرة f (x) يجب أن تكون زوجية (أي أن الرسم البياني يجب أن يكون متماثلًا حول محور Oy) ، الشكل.

20 تين. 14. رسم بياني للوظيفة f (x) 15. رسم بياني لاستمرار الوظيفة f (x) في الفترة [، / 2] 2

21 إذن ، الوظيفة المطلوبة لها الشكل الموضح في الشكل. 16. التين. 16. رسم بياني لاستمرار الوظيفة f (x) في الفترة [، π] بإيجاز ، نستنتج أن الوظيفة يجب أن تستمر على النحو التالي: f (x) = f (x)، f (π x) = f (x) ، أي الفترة [/ 2 ، π] ، الرسم البياني للدالة f (x) متماثل مركزيًا حول النقطة (/ 2 ،) ، وفي الفترة [، π] ، يكون الرسم البياني الخاص بها متماثل حول محور Oy. 21

22 تعميم الأمثلة 3 6 دع ل>. ضع في اعتبارك شرطين: أ) و (ل س) = و (س) ؛ ب) و (ل + س) = و (س) ، س [، ل / 2]. من وجهة نظر هندسية ، يعني الشرط (أ) أن الرسم البياني للدالة f (x) متماثل حول الخط العمودي x = l / 2 ، والشرط (ب) أن الرسم البياني f (x) متماثل مركزيًا حول النقطة (l / 2 ؛) على المحور السيني. ثم تكون العبارات التالية صحيحة: 1) إذا كانت الدالة f (x) زوجية والشرط (a) مستوفى ، إذن b 1 = b 2 = b 3 = ... = ، a 1 = a 3 = a 5 = ... = ؛ 2) إذا كانت الدالة f (x) زوجية وكان الشرط (b) مستوفى ، إذن b 1 = b 2 = b 3 = ... = ، a = a 2 = a 4 = ... = ؛ 3) إذا كانت الدالة f (x) فردية وتم استيفاء الشرط (a) ، فإن a = a 1 = a 2 = ... = ، b 2 = b 4 = b 6 = ... = ؛ 4) إذا كانت الدالة f (x) فردية وتم استيفاء الشرط (b) ، فإن a = a 1 = a 2 = ... = ، b 1 = b 3 = b 5 = ... =. المشاكل في المسائل 1 7 ارسم الرسوم البيانية وابحث عن سلسلة فورييه للوظائف (بافتراض أن لها فترة 2π: إذا< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1 إذا / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. توسيع دالة معطاة في الفترة [، π] فقط من حيث الجيب أو فقط من حيث جيب التمام ، دع الدالة f تعطى في الفترة [، π]. من أجل توسيعها في هذه الفترة إلى سلسلة فورييه ، نقوم أولاً بتمديد f في الفترة [، π] بطريقة عشوائية ، ثم نستخدم صيغ أويلر فورييه. يؤدي التعسف في استمرار الوظيفة إلى حقيقة أنه لنفس الوظيفة f: [، π] R يمكننا الحصول على سلسلة فورييه مختلفة. لكن من الممكن استخدام هذا التعسف بطريقة للحصول على توسع فقط في الجيب أو في جيب التمام فقط: في الحالة الأولى ، يكفي الاستمرار في f بطريقة غريبة ، وفي الحالة الثانية بطريقة متساوية. خوارزمية الحل 1. تابع الوظيفة بطريقة فردية (زوجية) على (،) ، ثم بشكل دوري مع فترة 2π تابع الوظيفة إلى المحور بأكمله. 2. احسب معاملات فورييه. 3. قم بتكوين سلسلة فورييه للدالة f (x). 4. تحقق من شروط تقارب المتسلسلة. 5. حدد الوظيفة التي ستتقارب معها هذه السلسلة. مثال 7. قم بتوسيع الدالة f (x) = cosx ،< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 تين. 17. رسم بياني للدالة المستمرة من الواضح أن الدالة f (x) متجانسة. دعونا نحسب معاملات فورييه: أ ن = لجميع ن لأن الدالة f (س) فردية. إذا كان n 1 ، إذن b n = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = n + 1 n 1 = 1 (1) n (1) n 1 1 = n + 1 n 1 = 1 if n = 2 k + 1، (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) (n 1) 2 2n إذا كان n = 2k. π n 2 1 بالنسبة إلى n = 1 في الحسابات السابقة ، يتلاشى المقام ، لذلك يمكن حساب المعامل b 1 مباشرةً.

26 أساسًا: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. قم بتكوين سلسلة فورييه للدالة f (x): f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx. نظرًا لأن الدالة f (x) سلسة ، فمن خلال نظرية التقارب النقطي ، تتقارب سلسلة فورييه للدالة f (x) إلى مجموع cosx إذا< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 تين. شكل 18. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 1 (x) المركب عليه. 19. رسم بياني للدالة f (x) مع رسم بياني لمجموع جزئي S 2 (x) مركب عليه 27

28 تين. الشكل 2. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 3 (x) المركب عليه. يعرض الرقم 21 الرسوم البيانية للدالة f (x) ومجموعها الجزئي S 99 (x). أرز. 21. رسم بياني للدالة f (x) مع رسم بياني للمجموع الجزئي S 99 (x) 28 مركب عليه.

29 مثال 8. دعونا نفدد الدالة f (x) = e ax، a>، x [، π] ، في سلسلة فورييه فقط في جيب التمام. المحلول. نستمر في الوظيفة بطريقة متساوية إلى (،) (أي ، بحيث تكون المساواة f (x) = f (x) صالحة لجميع x (، π)) ، ثم بشكل دوري بفترة 2π إلى الحقيقي بأكمله محور. نحصل على الوظيفة f (x) ، يظهر الرسم البياني لها في الشكل. 22. الوظيفة f (x) عند النقاط 22. الرسم البياني للدالة المستمرة f (x) x = kπ، k عدد صحيح ، به مكامن الخلل. دعونا نحسب معاملات فورييه: b n = ، لأن f (x) زوجي. التكامل بالأجزاء ، نحصل على 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1)، f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 a (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = a sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 لذلك ، a n = 2a e aπ cos n 1. a 2 + n 2 بما أن f (x) متصلة ، طبقًا لنظرية التقارب النقطي ، فإن سلسلة فورييه تتقارب مع f (x). ومن ثم ، لكل x [، π] لدينا f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). توضح الأشكال التقريب التدريجي للمجاميع الجزئية لسلسلة فورييه لدالة معينة غير متصلة. 3

31 تين. 23- الرسوم البيانية للوظائف f (x) و S (x) 24- رسوم بيانية للوظائف f (x) و S 1 (x) 25- رسوم بيانية للوظائف f (x) و S 2 (x) 26. الرسوم البيانية للوظائف f (x) و S 3 (x) 31

32 تين. 27- الرسوم البيانية للوظائف f (x) و S 4 (x) 28. رسوم بيانية للدالتين f (x) و S 99 (x) PROBLEM 9. وسّع الدالة f (x) = cos x، x π في سلسلة فورييه فقط في جيب التمام. 1. قم بتوسيع الدالة f (x) \ u003d e ax ، a> ، x π ، في سلسلة فورييه فقط من حيث الجيب. 11. قم بتوسيع الدالة f (x) \ u003d x 2، x π في سلسلة فورييه فقط في الجيب. 12. قم بتوسيع الدالة f (x) \ u003d sin ax ، x π ، في سلسلة فورييه من حيث جيب التمام فقط. 13. قم بتوسيع الدالة f (x) \ u003d x sin x، x π في سلسلة فورييه فقط في الجيب. الإجابات 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) sin nx. 32

33 12. إذا لم يكن a عددًا صحيحًا ، فإن sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ؛ إذا كان a = 2m عددًا زوجيًا ، فإن sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2 ؛ إذا كان a = 2m 1 عددًا فرديًا موجبًا ، فإن sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2 م 1) 2 (2 ن) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. سلسلة فورييه لدالة ذات فترة عشوائية افترض أن الوظيفة f (x) معرّفة في الفترة [l، l]، l>. بالتعويض عن x = ly ، y π ، نحصل على الوظيفة g (y) = f (ly / π) المحددة في الفاصل الزمني π [، π]. تتوافق هذه الوظيفة g (y) مع سلسلة فورييه (الرسمية) () ly f = g (y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny) ، التي تم العثور على معاملاتها بواسطة صيغ أويلر فورييه: a n = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy، n =، 1، 2، ...، 33

34 b n = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy، n = 1، 2، .... π l ، نحصل على سلسلة مثلثية معدلة قليلاً للدالة f (x): حيث f (x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f (x) cos πnx l f (x) sin πnx l + b n sin πnx)، (11) l dx، n =، 1، 2 ، ... ، (12) dx ، n = 1 ، 2 ، .... (13) يُقال أن الصيغ (11) (13) تحدد التوسع في سلسلة فورييه لوظيفة ذات فترة تعسفية. مثال 9. أوجد سلسلة فورييه للدالة المعطاة في الفترة (l، l) بالتعبير (A if l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 أ = 1 لتر ل و (س) دكس = 1 ل أ دكس + 1 ل ل ب د س = أ + ب ، ل ل أ ن = 1 لتر ل ل و (س) cos πnx l dx = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = if n، l l A sin πnx l f (x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn قم بتكوين سلسلة فورييه للدالة f (x): f (x) A + B π (B A بما أن cosπn = (1) n ، ثم n dx = dx = (1 cosπn) sin nx). l من أجل n = 2k نحصل على b n = b 2k = ، من أجل n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (B A) π (2k 1).

36 ومن ثم f (x) A + B (B A) π (sin x + 1 3πx sin + 1 5πx sin + ... l 3 l 5 l وفقًا لنظرية التقارب النقطي ، سلسلة فورييه للدالة f (x) يتقارب مع المجموع أ ، إذا ل< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 تين. 29. رسم بياني للدالة f (x) مع الرسوم البيانية المتراكبة للتوافقيات S (x) = a 2 و S 1 (x) = b 1 sinx. من أجل الوضوح ، يتم إزاحة الرسوم البيانية لثلاثة مدروجات أعلى S 3 (x) \ u003d b 3 sin 3πx ، S l 5 (x) \ u003d b 5 sin 5πx l و S 7 (x) \ u003d b 7 sin 7πx عموديًا يصل ل 37

38 تين. الشكل 3. رسم بياني للدالة f (x) بالرسم البياني للمجموع الجزئي S 99 (x) المركب عليه. 31. جزء من التين. 3 في مقياس آخر 38

39 المشاكل في المشاكل ، قم بتوسيع الوظائف المحددة في سلسلة فورييه في فترات زمنية معينة. 14. f (x) = x 1، (1، 1). 15. f (x) = ch2x، (2، 2] f (x) = x (1 x)، (1، 1] 17. f (x) = cos π x، [1، 1] f (x ) = sin π x، (1، 1) (2 1 if 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f (x) = al 4 2) 1 (4n 2) πx cos، π 2 (2n 1) 2 ل ب) و (س) = 4al (1) ن 1 (2 ن 1) πx الخطيئة. π 2 (2 ن 1) 2 ل 23. أ) و (س) = (كوس π 2 2 × 2 2 كوس 2π 2 2 × كوس 3π 2 2 × كوس 5π) ، 2 2 × ... ب) و ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x شكل مركب من سلسلة فورييه التحلل f (x) = c n e inx ، حيث c n = 1 2π f (x) e inx dx، n = ± 1، ± 2، ... يسمى الشكل المعقد لسلسلة فورييه. تتوسع الوظيفة إلى سلسلة فورييه معقدة في ظل نفس الظروف التي تتوسع في ظلها إلى سلسلة فورييه حقيقية. أربعة

41 مثال 1. أوجد سلسلة فورييه بالصيغة المعقدة للدالة المعطاة بواسطة الصيغة f (x) = e ax في الفترة [، π) ، حيث a هو رقم حقيقي. المحلول. دعونا نحسب المعاملات: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ. 2π (a in) π (a in) سلسلة فورييه المعقدة للدالة f لها الصيغة f (x) sh aπ π n = (1) n a في einx. دعونا نتحقق من أن الوظيفة f (x) سلسة: في الفاصل الزمني (، π) قابلة للتفاضل باستمرار ، وعند النقاط x = ± π هناك حدود محدودة (5) ، (6) lim h + ea ( + h) = e aπ، lim h + ea (π h) = e aπ، e a (+ h) e a (+) lim h + h = ae aπ e a (π h) e a (π)، lim h + h = ae aπ. لذلك ، يمكن تمثيل الوظيفة f (x) بسلسلة فورييه sh a π n = (1) n a في einx ، والتي تتقارب مع المجموع: (e S (x) = ax if< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 مثال 11. أوجد سلسلة فورييه بالصيغة المعقدة والحقيقية للدالة المعطاة بواسطة الصيغة f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 ، حيث a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 تذكر أن مجموع التقدم الهندسي اللانهائي مع المقام q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 الآن لنجد سلسلة فورييه في صورتها الحقيقية. للقيام بذلك ، نقوم بتجميع الحدود مع الأعداد n و n من أجل n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx بما أن c = 1 ، إذن 2 = 2a n cos nx. f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 هذه سلسلة فورييه في الشكل الحقيقي للدالة f (x). وهكذا ، بدون حساب تكامل واحد ، وجدنا سلسلة فورييه للدالة. عند القيام بذلك ، قمنا بحساب تكامل صعب اعتمادًا على المعلمة cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2، a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (z z 1) f (x) = 2i (1 a (z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (z a) (z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 نوسع كل من الكسور البسيطة وفقًا لمعادلة التقدم الهندسي: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n، n = z a 1 z a = az = a n z n. n = هذا ممكن لأن az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >أو باختصار c n = 1 2i a n sgnn. وهكذا ، تم العثور على سلسلة فورييه في شكل معقد. عند تجميع المصطلحات مع الأعداد n و n ، نحصل على سلسلة فورييه للدالة في الشكل الحقيقي: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n = +) = c n e inx = a n sin nx. مرة أخرى ، تمكنا من حساب التكامل المعقد التالي: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = an 1. (16) 45

46 المشكلة 24. باستخدام (15) ، احسب التكامل cos nxdx 1 2a cosx + a 2 لريال a ، a> باستخدام (16) ، احسب التكامل sin x sin nxdx من أجل حقيقي a ، a> a cosx + a2 في المسائل ، أوجد سلسلة فورييه في شكل معقد للوظائف. 26. f (x) = sgn x، π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. نظرية المساواة ليابونوف (مساواة ليابونوف). لنفترض أن الدالة f: [، π] R تكون على هذا النحو f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. لذلك ، فإن مساواة Lyapunov للوظيفة f (x) تأخذ الشكل: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2. من المساواة الأخيرة لـ a π نجد sin 2 na n 2 = a (π a) 2 بافتراض a = π 2 ، نحصل على sin2 na = 1 لـ n = 2k 1 و sin 2 na = لـ n = 2k. لذلك ، k = 1 1 (2k 1) 2 = π2 8. مثال 14. لنكتب مساواة Lyapunov للدالة f (x) = x cosx، x [، π] ، ونستخدمها لإيجاد مجموع الرقم سلسلة (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π الحل. تعطي الحسابات المباشرة = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 بما أن f (x) دالة زوجية ، إذن لكل n لدينا b n = ، a n = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1 ) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1) 2 π (ن 1) 2 () = (1) (ن + 1) 1 1 π (ن + 1) + 1 = 2 (ن 1) 2 = 2 (1) (ن + 1) 1 ن ك π (ن 2 1) = π (4k 2 1) 2 إذا كان n = 2k ، 2 إذا كان n = 2k + 1. يجب حساب المعامل a 1 بشكل منفصل ، لأنه في الصيغة العامة لـ n = 1 يتلاشى مقام الكسر . = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 وبالتالي ، فإن مساواة Lyapunov للوظيفة f (x) لها الشكل: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π المشكلة 32. اكتب مساواة Lyapunov للدالة (x f (x) = 2 πx إذا كانت x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 إجابات + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2 ؛ sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f (x) g (x) dx = c n d n ، حيث c n هو معامل فورييه 2π لـ f (x) و d n هل دوال معامل فورييه g (x). 6. تمايز سلسلة فورييه لنفترض أن f: R R دالة قابلة للتفاضل بشكل مستمر 2π-league. سلسلة فورييه لها الشكل: f (x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). سيكون مشتق f (x) لهذه الدالة دالة مستمرة ودورية 2π ، والتي يمكن كتابة سلسلة فورييه الرسمية لها: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx) ، حيث a ، a n ، b n، n = 1، 2، ... معاملات فورييه للدالة f (x). 51

52 نظرية (حول اشتقاق مصطلح على حدة لسلسلة فورييه). في ظل الافتراضات المذكورة أعلاه ، فإن التكافؤات a = ، a n = nb n ، b n = na n ، n 1 صحيحة.مثال 15. لنفترض أن الدالة متعددة التعريف والسلس f (x) متصلة في الفترة [، π]. دعنا نثبت أنه عند استيفاء الشرط f (x) dx = ، تظل المتباينة 2 dx 2 dx ، المسماة متباينة Steklov ، ثابتة ، ونتحقق من أن المساواة فيها تتحقق فقط للوظائف ذات الشكل f (x) = كوسكس. بعبارة أخرى ، يعطي عدم مساواة Steklov شروطًا يشير فيها صغر المشتق (في المربع المتوسط) إلى صغر الوظيفة (في المربع المتوسط). المحلول. دعونا نوسع الدالة f (x) إلى الفترة [،] بالتساوي. تشير إلى الوظيفة الموسعة بنفس الرمز f (x). بعد ذلك ، ستكون الدالة المستمرة متصلة ومتجانسة في الفترة [، π]. بما أن الدالة f (x) متصلة ، فإن f 2 (x) متصلة على الفترة و 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 بما أن التابع المستمر زوجي ، إذن b n = ، a = بالشرط. وبالتالي ، فإن مساواة Lyapunov تأخذ الشكل 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) دعونا نتأكد من أن f (x) تفي بخاتمة النظرية حول اشتقاق مصطلح على حدة لسلسلة فورييه ، أي أن أ = ، أ ن = ن ب ن ، ب ن = نا ن ، ن 1. دع المشتق f (x) يخضع لفواصل عند النقاط x 1، x 2، ...، x N في الفترة [، π]. دلالة x =، x N + 1 =. دعونا نقسم فترة التكامل [، π] على فترات N +1 (x، x 1)، ...، (x N، x N + 1) ، كل منها تكون f (x) قابلة للتفاضل باستمرار. بعد ذلك ، باستخدام خاصية الجمع للتكامل ثم التكامل بالأجزاء ، نحصل على: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f (x) sin nx j = N f (x ) sin nx j = x j + 1 x j x j + 1 x j n n π N j = x j + 1 x j x j + 1 x j f (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [((( f (x 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f (x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = x j = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = . س ي π ي = وبالمثل ، نحصل على n = nb n. لقد أظهرنا أن نظرية تفاضل سلسلة فورييه لكل مصطلح على حدة من أجل دالة 2π دورية مستمرة متعددة التعريفات والتي تخضع مشتقاتها في الفترة [، π] لانقطاعات من النوع الأول صحيحة. إذن f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n) sin nx ، منذ a = ، a n = nb n = ، b n = na n ، n = 1 ، 2 ، .... لأن 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 بما أن كل حد من المتسلسلة في (18) أكبر من أو يساوي الحد المقابل من المتسلسلة في (17) ، إذن 2 dx 2 dx. بتذكر أن f (x) هي استمرار متساوٍ للدالة الأصلية ، لدينا 2 dx 2 dx. مما يثبت المساواة Steklov. الآن دعونا نفحص الوظائف التي تحملها المساواة في عدم مساواة Steklov. إذا كان المعامل a n يساوي صفرًا على الأقل n 2 ، فإن a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 مشاكل 37. دع الدالة المتجانسة f (x) متصلة على الفترة [، π]. أثبت أنه وفقًا للشرط f () = f (π) = المتباينة 2 dx 2 dx ، والتي تسمى أيضًا متباينة Steklov ، تظل ثابتة وتأكد من أن المساواة فيها تنطبق فقط على وظائف النموذج f (x) = B sin x . 38. لنفترض أن الدالة f متصلة في الفترة [، π] وتحتوي على مشتقة مربعة قابلة للتكامل f (x) (مع استثناء محتمل لعدد محدود من النقاط فقط). إثبات أنه ، بالإضافة إلى ذلك ، إذا تم استيفاء الشرطين f () = f (π) و f (x) dx = ، فإن المتباينة 2 dx 2 dx ، تسمى متباينة Wirtinger ، تظل ثابتة ، والمساواة فيها تحدث فقط لدوال الصورة f (x) = A cosx + B sinx. 56

57 7. تطبيق سلسلة فورييه لحل المعادلات التفاضلية الجزئية عند دراسة كائن حقيقي (ظواهر طبيعية ، عملية إنتاج ، نظام تحكم ، إلخ) ، يتضح أن هناك عاملين مهمين: مستوى المعرفة المتراكمة حول الكائن قيد الدراسة و درجة تطور الجهاز الرياضي. في المرحلة الحالية من البحث العلمي ، تم تطوير السلسلة التالية: ظاهرة - نموذج فيزيائي - نموذج رياضي. الصيغة الفيزيائية (النموذج) للمشكلة هي كما يلي: يتم تحديد شروط تطوير العملية والعوامل الرئيسية التي تؤثر عليها. تتكون الصيغة الرياضية (النموذج) من وصف العوامل والشروط المختارة في الصياغة الفيزيائية في شكل نظام معادلات (جبري ، تفاضلي ، متكامل ، إلخ). يُقال إن المشكلة مطروحة جيدًا إذا كان حل المشكلة موجودًا في مساحة وظيفية معينة ، يعتمد بشكل فريد ومستمر على الشروط الأولية والحدود. النموذج الرياضي ليس مطابقًا للكائن قيد الدراسة ، ولكنه وصفه التقريبي. اشتقاق معادلة الاهتزازات المستعرضة الصغيرة المجانية للسلسلة سوف نتبع الكتاب المدرسي. دع نهايات الوتر تثبت ، ويكون الوتر نفسه مشدودًا. إذا تم إخراج الخيط من التوازن (على سبيل المثال ، عن طريق سحبه أو ضربه) ، فسيبدأ الخيط 57

58 يتردد. سنفترض أن جميع نقاط الوتر تتحرك عموديًا على موضع توازنها (الاهتزازات المستعرضة) ، وفي كل لحظة يقع الوتر في نفس المستوى. لنأخذ نظام الإحداثيات المستطيلة xou في هذا المستوى. ثم ، إذا كان t في الوقت الأولي t = كانت السلسلة موجودة على طول المحور Ox ، فإن u ستعني انحراف السلسلة عن موضع التوازن ، أي موضع نقطة السلسلة مع الإحداثي x في وقت عشوائي t يتوافق مع قيمة الدالة ش (س ، تي). لكل قيمة ثابتة لـ t ، يمثل الرسم البياني للدالة u (x ، t) شكل الوتر المهتز في الوقت t (الشكل 32). عند القيمة الثابتة لـ x ، تعطي الدالة u (x ، t) قانون الحركة لنقطة مع الإحداثي x على طول خط مستقيم موازٍ لمحور Ou ، والمشتق u t هو سرعة هذه الحركة ، والثاني المشتق 2 u t 2 هو العجلة. أرز. 32. القوى المطبقة على قسم صغير لانهائي من سلسلة نصية لنكتب معادلة يجب أن تحققها الدالة u (x، t). للقيام بذلك ، نقوم ببعض الافتراضات المبسطة. سنفترض أن السلسلة مرنة تمامًا.

59 خجول ، أي أننا سوف نفترض أن الوتر لا يقاوم الانحناء ؛ هذا يعني أن الضغوط الناشئة في السلسلة يتم توجيهها دائمًا بشكل عرضي إلى ملفها الشخصي اللحظي. يُفترض أن تكون السلسلة مرنة وخاضعة لقانون هوك ؛ هذا يعني أن التغير في مقدار قوة الشد يتناسب مع التغير في طول الخيط. لنفترض أن السلسلة متجانسة ؛ هذا يعني أن كثافته الخطية ρ ثابتة. نحن نهمل القوى الخارجية. هذا يعني أننا نفكر في التذبذبات الحرة. سوف ندرس فقط الاهتزازات الصغيرة للخيط. إذا أشرنا بواسطة ϕ (x ، t) إلى الزاوية بين محور الإحداثي والماس إلى السلسلة عند النقطة مع الإحداثي x في الوقت t ، فإن شرط صغر التذبذبات هو أن قيمة ϕ 2 (x ، t) بالمقارنة مع ϕ (x ، t) ، أي ϕ 2. بما أن الزاوية ϕ صغيرة ، إذن cos ϕ 1 ، ϕ sin ϕ tg ϕ u ، وبالتالي ، فإن القيمة (u x x ،) 2 يمكن أيضا يتم إهمالها. ويترتب على ذلك على الفور أنه في عملية التذبذب يمكننا إهمال التغيير في طول أي جزء من السلسلة. في الواقع ، طول قطعة السلسلة M 1 M 2 المسقطة في الفترة من المحور x ، حيث x 2 = x 1 + x ، يساوي l = x 2 x () 2 u dx x. x دعنا نظهر أنه ، وفقًا لافتراضاتنا ، ستكون قيمة قوة الشد T ثابتة على طول السلسلة بأكملها. للقيام بذلك ، خذ جزءًا من السلسلة M 1 M 2 (الشكل 32) في الوقت t واستبدل عمل الأجزاء المهملة

60 kov بواسطة قوى التوتر T 1 و T 2. نظرًا لأنه ، وفقًا للشرط ، تتحرك جميع نقاط الخيط موازية لمحور Ou ولا توجد قوى خارجية ، مجموع نتوءات قوى التوتر على محور الثور يجب أن تكون مساوية للصفر: T 1 cosϕ (x 1، t) + T 2 cosϕ (x 2، t) =. ومن ثم ، نظرًا لصغر الزوايا ϕ 1 = (x 1، t) و ϕ 2 = ϕ (x 2، t) ، نستنتج أن T 1 = T 2. تشير إلى القيمة العامة لـ T 1 = T 2 بواسطة T. الآن نحسب مجموع الإسقاطات F u لنفس القوى على المحور Ou: F u = T sin ϕ (x 2، t) T sin ϕ (x 1، t). (2) بما أن للزوايا الصغيرة sin ϕ (x، t) tg ϕ (x، t) و tg ϕ (x، t) u (x، t) / x ، يمكن إعادة كتابة المعادلة (2) كـ F u T (tan ϕ (x 2، t) tan ϕ (x 1، t)) (u T x (x 2، t) u) x (x 1، t) x x T 2 u x 2 (x 1، t) x. بما أن النقطة x 1 يتم اختيارها عشوائياً ، فإن F u T 2 u x2 (x، t) x. بعد إيجاد كل القوى المؤثرة في القسم م 1 م 2 ، نطبق قانون نيوتن الثاني عليه ، والذي بموجبه يكون ناتج الكتلة والتسارع مساويًا لمجموع كل القوى المؤثرة. كتلة قطعة من الخيط M 1 M 2 تساوي m = ρ l ρ x ، والعجلة تساوي 2 u (x، t). تأخذ معادلة نيوتن t 2 الشكل: 2 u t (x، t) x = u 2 α2 2 x2 (x، t) x ، حيث α 2 = T رقم موجب ثابت. 6

61 بالاختزال بـ x ، نحصل على 2 u t (x، t) = u 2 α2 2 x2 (x، t). (21) نتيجة لذلك ، حصلنا على معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة. يطلق عليه معادلة اهتزاز السلسلة أو معادلة الموجة أحادية البعد. المعادلة (21) هي في الأساس إعادة صياغة لقانون نيوتن وتصف حركة سلسلة. ولكن في الصياغة الفيزيائية للمشكلة ، كانت هناك متطلبات بأن يتم إصلاح نهايات السلسلة وأن يكون موضع الخيط معروفًا في وقت ما. سنكتب هذه الشروط في المعادلات على النحو التالي: أ) سنفترض أن نهايات السلسلة مثبتة عند النقطتين x = و x = l ، أي سنفترض أنه بالنسبة لجميع العلاقات u (، t) = ، ش (ل ، ر) = ؛ (22) ب) سنفترض أنه في الوقت t = موضع السلسلة يتزامن مع الرسم البياني للوظيفة f (x) ، أي أننا سنفترض أنه بالنسبة لجميع x [، l] المساواة u (x ،) = و (خ) ؛ (23) ج) سنفترض أنه في الوقت t = نقطة السلسلة ذات الإحداثيات x تُعطى السرعة g (x) ، أي سنفترض أن u (x ،) = g (x). تسمى العلاقات (24) t (22) بشروط الحدود ، وتسمى العلاقات (23) و (24) بالشروط الأولية. النموذج الرياضي للعرض الصغير الحر 61

62 اهتزازات سلسلة هي أنه من الضروري حل المعادلة (21) بشروط حدية (22) وشروط أولية (23) و (24) حل معادلة الاهتزازات المستعرضة الصغيرة المجانية للوتر بطريقة فورييه< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. بالتعويض عن (25) في (21) ، نحصل على: X T = α 2 X T ، (26) أو T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) يقال أنه كان هناك فصل بين المتغيرات. نظرًا لأن x و t لا يعتمدان على بعضهما البعض ، فإن الجانب الأيسر في (27) لا يعتمد على x ، لكن الجانب الأيمن لا يعتمد على t ، والقيمة الإجمالية لهذه النسب هي 62

يجب أن يكون 63 ثابتًا ، وهو ما نشير إليه بـ λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ. ومن ثم نحصل على معادلتين تفاضليتين عاديتين: X (x) λx (x) = ، (28) T (t) α 2 λt (t) =. (29) في هذه الحالة ، تأخذ شروط الحدود (22) الشكل X () T (t) = و X (l) T (t) =. نظرًا لأنه يجب الوفاء بها لجميع t ، t> ، ثم X () = X (l) =. (3) دعونا نجد حلولاً للمعادلة (28) تفي بشروط الحدود (3). دعونا ننظر في ثلاث حالات. الحالة 1: λ>. دلالة λ = β 2. تأخذ المعادلة (28) الصيغة X (x) β 2 X (x) =. معادلتها المميزة ك 2 β 2 = لها جذور ك = ± β. لذلك ، الحل العام للمعادلة. (28) له الصيغة X (x) = C e βx + De βx. يجب أن نختار الثوابت C و D بحيث يتم استيفاء شروط الحدود (3) ، أي X () = C + D = ، X (l) = C e βl + De βl =. منذ β ، فإن نظام المعادلات هذا له حل فريد C = D =. ومن ثم X (x) و 63

64 ش (س ، ر). وهكذا ، في الحالة الأولى ، حصلنا على حل تافه ، والذي لن نفكر فيه أكثر. الحالة 2: λ =. ثم تأخذ المعادلة (28) الصيغة X (x) = ومن الواضح أن حلها يُعطى بالصيغة: X (x) = C x + d. استبدال هذا الحل في الشروط الحدودية (3) ، نحصل على X () = D = و X (l) = Cl = ، وبالتالي C = D =. ومن ثم X (x) و u (x، t) ، ولدينا مرة أخرى حل بسيط. الحالة 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 في ما يلي ، سنقوم بتعيين قيم موجبة فقط لـ n n = 1 ، 2 ، ... ، لأنه بالنسبة لسالب n ، سيتم الحصول على حلول من نفس الشكل (nπ). تسمى القيم λ n = القيم الذاتية ، والوظائف X n (x) = C n sin πnx الدوال الذاتية للمعادلة التفاضلية (28) مع الشروط الحدودية (3). لنحل الآن المعادلة (29). بالنسبة له ، فإن المعادلة المميزة لها شكل k 2 α 2 λ =. (32) ل 2 بما أننا اكتشفنا أعلاه أن الحلول غير الأساسية X (x) من المعادلة (28) موجودة فقط لسالب λ يساوي λ = n2 π 2 ، فهذه هي λ التي سننظر فيها أدناه. جذور المعادلة (32) هي k = ± iα λ ، وحلول المعادلة (29) لها الشكل: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt ، (33) l حيث A n و B n هي ثوابت تعسفية. باستبدال الصيغتين (31) و (33) في (25) ، نجد حلولاً معينة للمعادلة (21) تفي بشروط الحدود (22): (u n (x ، t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C ن الخطيئة pnx. l l l إدخال العامل C n بين قوسين وإدخال الرمز C n A n = b n و B n C n = a n ، نكتب u n (X ، T) على النحو (u n (x ، t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) الخطيئة pnx. (34) لترًا 65

66 تسمى اهتزازات الخيط المقابلة للحلول u n (x، t) بالاهتزازات الطبيعية للوتر. نظرًا لأن المعادلة (21) والشروط الحدودية (22) خطية ومتجانسة ، فإن تركيبة خطية من الحلول (34) (u (x ، t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin nx (35) l l l ستكون a حل المعادلة (21) التي تلبي الشروط الحدودية (22) مع اختيار خاص للمعاملات a n و b n ، مما يضمن التقارب المنتظم للسلسلة. نختار الآن المعاملين a n و b n للحل (35) بحيث لا يفي فقط بشروط الحدود ، ولكن أيضًا الشروط الأولية (23) و (24) ، حيث تُعطى وظائف f (x) و g (x) ( علاوة على ذلك ، f () = f (l) = g () = g (l) =). نفترض أن الدالتين f (x) و g (x) تفيان بشروط تمدد فورييه. بالتعويض عن القيمة t = في (35) ، نحصل على u (x،) = a n sin πnx l = f (x). اشتقاق المتسلسلة (35) فيما يتعلق بـ t والتعويض عن t = ، نحصل على u t (x،) = πnα b n sin πnx l l = g (x) ، وهذا هو توسيع الدالتين f (x) و g (x) في سلسلة فورييه. إذن ، a n = 2 l l f (x) sin πnx l dx ، b n = 2 l g (x) sin nx dx. nα l (36) 66

67 باستبدال التعبيرات الخاصة بالمعاملات a n و b n في سلسلة (35) ، نحصل على حل للمعادلة (21) التي تفي بشروط الحدود (22) والشروط الأولية (23) و (24). وهكذا ، فقد حللنا مشكلة الاهتزازات المستعرضة الصغيرة الحرة للسلسلة. دعونا نوضح المعنى المادي للدوال الذاتية u n (x، t) لمشكلة الاهتزازات الحرة لسلسلة ، محددة بالصيغة (34). دعونا نعيد كتابته كما يلي: u n (x، t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n، (t + δ n) sin πnx، (37) l πnα δ n = arctg b n. توضح الصيغة l a n (37) أن جميع نقاط السلسلة تؤدي تذبذبات توافقية بنفس التردد ω n = πnα والمرحلة πnα δ n. سعة التذبذب تعتمد على l l الحد الأقصى x لنقطة الوتر وتساوي α n sin πnx. مع مثل هذا التذبذب ، تصل جميع نقاط السلسلة في وقت واحد إلى أقصى انحراف لها في اتجاه أو آخر وفي نفس الوقت تمر في موضع التوازن. تسمى هذه التذبذبات الموجات الدائمة. الموجة الواقفة ستحتوي على n + 1 من النقاط الثابتة المعطاة من جذور المعادلة sin nx = في الفترة [، l]. تسمى النقاط الثابتة عقد الموجة الدائمة. في المنتصف بين العقد - l mi هي النقاط التي تصل فيها الانحرافات إلى الحد الأقصى ؛ هذه النقاط تسمى antinodes. يمكن أن يكون لكل سلسلة تذبذبات خاصة بها من الترددات المحددة بدقة ω n = πnα ، n = 1 ، 2 ، .... تسمى هذه الترددات الترددات الطبيعية للسلسلة. يتم تحديد أقل نغمة l التي يمكن أن تنتجها سلسلة من تلقاء نفسها 67

68 منخفض التردد الطبيعي ω 1 = π T ويسمى النغمة الأساسية للوتر. النغمات المتبقية المقابلة لترددات l ρ ω n ، n = 2 ، 3 ، ... ، تسمى النغمات أو التوافقيات. من أجل الوضوح ، سوف نصور الملامح النموذجية للوتر الذي يصدر النغمة الأساسية (الشكل 33) ، والنغمة الأولى (الشكل 34) والنغمة الفوقية الثانية (الشكل 35). أرز. شكل 33. ملف تعريف للوتر الذي يصدر النغمة الأساسية. الشكل 34. ملف تعريف لسلسلة تصدر النغمة الأولى. 35. ملف تعريف لسلسلة تصدر النغمة الفوقية الثانية. . وبالتالي التذبذب التعسفي 68

الخيط 69 هو تراكب للموجات الواقفة. في هذه الحالة ، ستعتمد طبيعة صوت الوتر (النغمة ، قوة الصوت ، الجرس) على النسبة بين اتساع التوافقيات الفردية. الأذن كصوت ينبعث من سلسلة. تتميز قوة الصوت بطاقة أو سعة الاهتزازات: فكلما زادت الطاقة ، زادت قوة الصوت. يتم تحديد درجة الصوت من خلال تردده أو فترة التذبذب: كلما زاد التردد ، زاد الصوت. يتم تحديد جرس الصوت من خلال وجود النغمات ، وتوزيع الطاقة على التوافقيات ، أي طريقة إثارة التذبذبات. إن اتساع النغمات ، بشكل عام ، أقل من سعة الأساسي ، ويمكن أن تكون مراحل الدلالات تعسفية. أذننا ليست حساسة لمرحلة التذبذبات. قارن ، على سبيل المثال ، بين المنحنيين في الشكل. 36 ، اقترضت من. هذا تسجيل صوتي بنفس النغمة الأساسية المستخرجة من الكلارينيت (أ) والبيانو (ب). كلا الصوتين ليسا اهتزازات جيبية بسيطة. التردد الأساسي للصوت في كلتا الحالتين هو نفسه وهذا يخلق نفس النغمة. لكن أنماط المنحنى مختلفة لأن الدرجات اللونية المختلفة يتم فرضها على النغمة الأساسية. بمعنى ما ، تُظهر هذه الرسومات ما هو الجرس. 69

معادلات من النوع الزائدي. اهتزازات سلسلة لانهائية وشبه لانهائية. طريقة فورييه طريقة فورييه الموجات الواقفة 4 المحاضرة 4.1 المعادلات من النوع الزائدي. تقلبات لانهائية وشبه لانهائية

جامعة ولاية موسكو التقنية للطيران المدني V.M. ليوبيموف ، إ. جوكوفا ، ف. أوخوفا ، يو. شورينوف

وزارة التعليم والعلوم في روسيا المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي ماتي الجامعة التكنولوجية الحكومية الروسية سميت باسم ك.إي تسيولكوفسكي

وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا جامعة فيتيبسك الحكومية التكنولوجية الموضوع. "الصفوف" قسم الرياضيات النظرية والتطبيقية. تم تطويره بواسطة Assoc. إ. ب. دنينا. رئيسي

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الفيدرالية الحكومية للتعليم المهني العالي الجامعة الفيدرالية الجنوبية R. M. Gavrilova، G. S. Kostetskaya Methodical

الموضوع سلسلة فورييه درس عملي متسلسلة فورييه في الأنظمة المتعامدة للوظائف مساحة الدوال متعددة الأجزاء المستمرة معممة سلسلة فورييه 3 عدم مساواة بيسل وتقارب سلسلة فورييه الفضاء

نظرية السلسلة تعتبر نظرية السلاسل أهم عنصر في التحليل الرياضي وتجد تطبيقات نظرية وعملية عديدة. يميز بين السلاسل العددية والوظيفية.

المحتويات سلسلة فورييه 4 مفهوم الوظيفة الدورية 4 متعدد الحدود المثلثية 6 3 أنظمة الدوال المتعامدة 4 سلسلة فورييه المثلثية 3 5 سلسلة فورييه للوظائف الزوجية والفردية 6 6 التحلل

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة موسكو الحكومية للجيوديسيا ورسم الخرائط (MIIGAiK) تعليمات منهجية ومهام للعمل المستقل في الدورة التدريبية للرياضيات العليا

محاضرة 4. تحليل توافقي. سلسلة فورييه التوابع الدورية. التحليل التوافقي في العلوم والتكنولوجيا ، غالبًا ما يتعين على المرء أن يتعامل مع الظواهر الدورية ، أي تلك التي تتكرر

محاضرة 6 الموضوع الخامس من السلسلة الرباعية توسيع وظيفة دورية في سلسلة فورييه العديد من العمليات التي تحدث في الطبيعة والتكنولوجيا لها خصائص لتكرارها على فترات زمنية معينة مثل هذه العمليات

تعليمات منهجية لمهام الحساب في مسار الرياضيات العليا "سلسلة المعادلات التفاضلية العادية" التكامل المزدوج "الجزء الثالث سلسلة الموضوع المحتويات سلسلة التقارب والتباعد المتسلسلات العددية

6 سلسلة فورييه 6 أنظمة متعامدة للوظائف سلسلة فورييه من حيث نظام متعامد من الوظائف تسمى الوظائف ϕ () و ψ () ، المحددة والقابلة للتكامل على المقطع [،] ، متعامدة في هذا المقطع إذا

حدد التكامل. المجاميع التكاملية والتكامل المحدد دع الدالة y = f () محددة في المقطع [، b] ، أين< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 سلسلة الطاقة 5 سلسلة الطاقة: التعريف ومجال التقارب سلسلة الوظائف من النموذج (أ + أ) + أ () + ك + أ () + ك أ) (، (5) الأرقام تسمى أرقام سلسلة الطاقة

جامعة ولاية بيلاروسيا كلية الرياضيات التطبيقية وعلوم المعلومات قسم الرياضيات العليا معينات التدريس لطلاب كلية الرياضيات التطبيقية والمعلوماتية

لنلق نظرة على بعض الأمثلة. مثال. لنجد مجموع التقدم الهندسي اللانهائي. صيغة المصطلح المشترك لهذه السلسلة هي a + aq + ... + aq n + ... (a). أ ن = ع ن. دعونا نحسب مبالغها الجزئية. إذا كان q = ، إذن

المهمة 1.1. أوجد الحلول y = y (x) للمعادلة التفاضلية التي لا تتطابق مع الصفر في المنطقة المشار إليها وتفي بشروط الحدود المحددة (مشكلة Sturm-Liouville) الحل: ضع في اعتبارك

التحليل الرياضي الموضوع: لا يتجزأ من التكامل غير الصحيح المحاضر Pakhomova E.G. 2017 الفصل الثاني. التكامل المحدد وتطبيقاته 1. تكامل محدد وخصائصه 1. المهام ،

المحاضرة 8 4 مشكلة شتورم-ليوفيل

تفسيرات النص: تُقرأ العلامة على أنها "مكافئة" وتعني أن المعادلات الموجودة على يمين العلامة وإلى يسار العلامة لها نفس مجموعة الحلول ، وتشير العلامة IR إلى مجموعة الأرقام الحقيقية ، والعلامة في

82 4. القسم 4. سلسلة وظيفية وسلسلة 4.2. الدرس 3 4.2. الدرس 3 4.2 .. توسيع تايلور للدالة التعريف 4.2 .. اجعل الدالة y = f (x) قابلة للتفاضل بلا حدود في بعض المناطق المجاورة

وزارة التعليم والعلوم في روسيا الاتحادية الدولة ميزانية الدولة التعليمية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية سامراء التقنية" قسم الرياضيات التطبيقية

الوكالة الفيدرالية للنقل بالسكك الحديدية جامعة ولاية أورال قسم النقل بالسكك الحديدية "الرياضيات العليا والتطبيقية" N. P. Chuev عناصر التحليل التوافقي المنهجي

سلسلة المحاضرة 3 تايلور وماكلورين تطبيق سلسلة الطاقة توسيع الوظائف إلى سلسلة الطاقة سلسلة تايلور وماكلورين بالنسبة للتطبيقات ، من المهم أن تكون قادرًا على توسيع وظيفة معينة إلى سلسلة طاقة ، تلك الوظائف

S A Lavrenchenko wwwwrckoru محاضرة تحويل فورييه مفهوم التحويل المتكامل طريقة التحولات المتكاملة هي إحدى الطرق القوية للفيزياء الرياضية وهي حل قوي

تكامل دالة (وفقًا لريمان) وتكامل محدد أمثلة لحل المشكلات 1. الوظيفة الثابتة f (x) = C قابلة للتكامل ، نظرًا لأن أي أقسام وأي اختيار للنقاط ξ i التكامل

أنا بالطبع ، مهمة. أثبت أن دالة ريمان ، إذا كانت 0 ، م م ص () ، إذا ، م ، م 0 ، والكسر غير قابل للاختزال ، 0 ، إذا كانت غير منطقية ، متقطعة عند كل نقطة عقلانية ومتصلة عند كل نقطة غير منطقية. المحلول.

1 2 جدول المحتويات 1 سلسلة فورييه 5 1.1 سلسلة فورييه المثلثية ... 5 1.2 فقط الخطيئة وجيب التمام ... ............ 7 1.3 سلسلة فورييه في شكل معقد ... 11 1.4 و (س) = ج ك؟ ......... ......

معادلات الفيزياء الرياضية 1. المعادلات التفاضلية الجزئية

محاضرة 4. معادلات الموجة 1. اشتقاق معادلة اهتزازات الأوتار 2. معادلة الاهتزازات الطولية لقضيب 3. الشروط الأولية وشروط الحدود 4. بيان المشكلة 1. اشتقاق معادلة اهتزازات الأوتار

1. الكهرباء الساكنة 1 1. الكهرباء الساكنة الدرس 6 فصل المتغيرات في الإحداثيات الديكارتية 1.1. (المشكلة 1.49) z = المستوى مشحون بالكثافة σ (x ، y) = σ sin (αx) sin (y) ، حيث σ ، α ، هي ثوابت.

موضوع الوحدة المتتاليات والمتسلسلات الوظيفية خصائص التقارب المنتظم للمتواليات والمتسلسلات محاضرة سلسلة الطاقة تعريفات متواليات وسلسلة الوظائف بشكل موحد

معادلات من نوع القطع المكافئ. طريقة فصل المتغيرات مشكلة قيمة حدية متجانسة دالة المصدر معادلة حرارية غير متجانسة 7 محاضرة 7.1 معادلات من نوع قطع مكافئ. طريقة الفصل

المحاضرة المتسلسلة العددية علامات التقارب السلسلة العددية علامات التقارب يسمى التعبير اللانهائي عن التسلسل العددي + + + + ، المكون من أعضاء لا نهائية ، سلسلة عددية

35 7 سلسلة فورييه المثلثية سلسلة فورييه للوظائف الدورية ذات الفترة T. لنفترض أن f (x) هي دالة دورية مستمرة متعددة العناصر مع الفترة T.

كلية المعادن قسم الرياضيات العليا

قسم الرياضيات والمعلوماتية عناصر الرياضيات العليا مجمع تعليمي ومنهجي لطلاب التعليم المهني الثانوي الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد.

9. معاد الاشتقاق والتكامل غير المحدد 9 .. دع الدالة f () تعطى في الفترة I R. تسمى الوظيفة F () الوظيفة العكسية f () في الفترة I ، إذا كانت F () = f () لأي I ، والمشتق العكسي

تمايز وظائف متغير واحد مفهوم المشتق ، معناه الهندسي والفيزيائي. المشاكل التي تؤدي إلى مفهوم تعريف مشتق لـ Tangent S إلى السطر y f (x) عند النقطة A x ؛ F(

معادلات من النوع الزائدي. اهتزازات سلسلة لانهائية وشبه لانهائية. طريقة دالمبرت السلسلة اللانهائية. صيغة دالمبيرت سلسلة شبه لانهائية 3 محاضرة 3.1 معادلات من النوع الزائدي.

مقدمة العنوان. المفاهيم الأساسية ... 4 1. معادلات فولتيرا التكاملية ... 5 خيارات الواجب المنزلي ... 8 2. حل معادلة فولتيرا التكاملية. 10 خيارات الواجب المنزلي ... 11

الصفوف. خطوط الأعداد. التعريفات الأساسية اسمح بإعطاء تسلسل لا نهائي من الأرقام التعبير (مجموع لانهائي) أ ، 2 ، ... ، أ ن ، ... سلسلة رقمية. أعداد

8. سلسلة القدرة 8 .. سلسلة وظيفية على شكل c n (z) n، (8.) n = حيث c n عبارة عن تسلسل رقمي ، R هو رقم ثابت ، و z R تسمى سلسلة أس ذات معاملات c n . عن طريق تغيير المتغيرات

~ ~ التكاملات غير المحددة والمحددة مفهوم التكامل العكسي وغير المحدود. التعريف: تسمى الوظيفة F المشتق العكسي فيما يتعلق بالوظيفة f إذا كانت هذه الوظائف مرتبطة على النحو التالي

3724 SERIES OF MULTIPLE AND CURVILINEAR INTEGRALS 1 برنامج العمل من الأقسام "SERIES OF MULTIPLE AND CURVILINEAR INTEGRALS" 11 سلسلة الأرقام مفهوم السلسلة الرقمية خصائص المتسلسلة الرقمية معيار ضروري للتقارب

تأكل. تحليل الرياضيات الخام. سلسلة عددية ووظيفية NOVOSIBIRSK 200 2 وزارة التعليم والعلوم في روسيا SEI HPE "جامعة ولاية نوفوسيبيرسك البيداغوجية" Ye.M. تحليل رودوي الرياضي.

المحاضرة ن 7

المعادلات التربيعية

قسم المهام مع معلمات التعليق المهام ذات المعلمات هي مهام معقدة تقليديًا في هيكل الاستخدام ، مما يتطلب من مقدم الطلب ليس فقط إتقان جميع الأساليب والتقنيات لحل مختلف

التفاضل والتكامل مقدمة في التحليل الرياضي حد التسلسل والوظيفة. الإفصاح عن عدم اليقين في الداخل. مشتق وظيفي. قواعد التمايز. تطبيق المشتق

سلسلة فورييه أنظمة متعامدة للوظائف من وجهة نظر الجبر ، فإن المساواة حيث تكون وظائف فئة معينة ومعاملات من R أو C تعني ببساطة أن المتجه هو مزيج خطي من المتجهات B

1. لا يتجزأ محدد 1.1. لنفترض أن f دالة محددة في المقطع [، b] R. قسم المقطع [، b] هو مجموعة من النقاط τ = (x، x 1، ...، x n 1، x n) [، b ] مثل هذا = x< x 1 < < x n 1

Ch Power series a a a A من الشكل a a a a () تسمى سلسلة القوة ، حيث ، a ، هي ثوابت ، تسمى معاملات السلسلة.في بعض الأحيان ، تعتبر سلسلة القوة ذات الشكل الأكثر عمومية: أ (أ) أ ( أ) أ (أ) () ، أين

2. تحديد معاملات المتسلسلة بصيغ فورييه.

دع دالة دورية ƒ (x) بفترة 2π يتم تمثيلها بسلسلة مثلثية تتقارب مع وظيفة معينة في الفاصل الزمني (-π ، π) ، أي مجموع هذه السلسلة:

افترض أن تكامل الوظيفة على الجانب الأيسر من هذه المساواة يساوي مجموع تكاملات شروط هذه السلسلة. سيكون هذا صحيحًا إذا افترضنا أن سلسلة الأرقام المكونة من معاملات السلسلة المثلثية المعينة تتقارب تمامًا ، أي أن سلسلة الأرقام الموجبة تتقارب

السلسلة (1) متخصصة ويمكن دمجها مصطلحًا بمصطلح في الفاصل الزمني (-π ، π). ندمج كلا جانبي المساواة (2):

نحسب بشكل منفصل كل تكامل يحدث في الجانب الأيمن:

,

,

في هذا الطريق، ، أين

. (4)

تقدير معاملات فورييه. (بوغروف)

النظرية 1. افترض أن الدالة ƒ (x) للدورة 2π لها مشتق مستمر ƒ (s) (x) من الترتيب الذي يرضي عدم المساواة على المحور الحقيقي بأكمله:

│ ƒ (ق) (س) │≤ م ث ؛ (5)

ثم معاملات فورييه للدالة ƒ تحقق المتباينة

دليل - إثبات. التكامل بالتقسيم مع مراعاة ذلك

ƒ (-π) = ƒ (π) لدينا

تكامل الجانب الأيمن من (7) بالتتابع ، مع الأخذ في الاعتبار أن المشتقات ƒ ΄ ، ... ، ƒ (s-1) متصلة وتأخذ نفس القيم عند النقطتين t =-و t = π أيضًا كتقدير (5) ، نحصل على التقدير الأول (6).

يتم الحصول على التقدير الثاني (6) بطريقة مماثلة.

النظرية 2. معاملات فورييه ƒ (x) تحقق المتباينة

(8)

دليل - إثبات. نملك

(9)

إدخال تغيير في المتغير في هذه الحالة مع الأخذ في الاعتبار أن ƒ (x) هي وظيفة دورية ، نحصل عليها

بإضافة (9) و (10) نحصل عليها

نقوم بإثبات b k بطريقة مماثلة.

عاقبة. إذا كانت الدالة ƒ (x) متصلة ، فإن معاملات فورييه تميل إلى الصفر: a k → 0، b k → 0، k → ∞.

مساحة وظائف مع منتج عددي.

تسمى الوظيفة ƒ (x) متعددة العناصر متصلة على مقطع إذا كانت متصلة على هذا المقطع ، ربما باستثناء عدد محدود من النقاط حيث يوجد بها انقطاعات من النوع الأول. يمكن إضافة هذه النقاط وضربها بأرقام حقيقية ، ونتيجة لذلك ، يمكن الحصول مرة أخرى على وظائف متعددة الأجزاء متصلة على مقطع ما.

حاصل الضرب القياسي لاثنين من عدة قواعد متصلة على (أ< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

من الواضح ، لأي دوال متعددة التعريف - متصلة ƒ ، φ ، أن الخصائص التالية تحمل:

1) (ƒ ، φ) = (φ ، ƒ) ؛

2) (ƒ ، ƒ) والمساواة (ƒ ، ƒ) = 0 تعني أن ƒ (x) = 0 ، ربما باستثناء عدد محدود من النقاط x ؛

3) (α ƒ + β φ، ψ) = α (ƒ، ψ) + β (φ، ψ) ،

حيث α ، هي أرقام حقيقية عشوائية.

مجموعة جميع الدوال متعددة التعريف المستمرة المحددة في الفترة الزمنية ، والتي يتم تقديم المنتج العددي لها وفقًا للصيغة (11) ، سنشير إلى ، وندعو الفضاء

ملاحظة 1.

في الرياضيات ، المسافة = (أ ، ب) هي مجموعة من الدوال ƒ (س) التي يمكن تكاملها بالمعنى الليبيج مع مربعاتها ، والتي من أجلها يتم تقديم الناتج القياسي بواسطة الصيغة (11). المساحة المعنية هي جزء من. للفضاء العديد من خصائص الفضاء ، لكن ليس كلها.

تشير الخصائص 1) ، 2) ، 3) إلى عدم مساواة بونياكوفسكي الهامة | (ƒ، φ) | ≤ (ƒ، ƒ) ½ (φ، φ) ½ ، والتي تبدو بلغة التكاملات كما يلي:

قيمة

يسمى معيار الوظيفة f.

القاعدة لها الخصائص التالية:

1) || و || ≥ 0 ، في حين أن المساواة يمكن أن تكون فقط للدالة الصفرية f = 0 ، أي الوظيفة تساوي الصفر ، باستثناء ، ربما ، لعدد محدود من النقاط ؛

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ (خ) || || φ ||؛

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||،

حيث α هو رقم حقيقي.

تبدو الخاصية الثانية في لغة التكاملات كما يلي:

ويسمى عدم مساواة مينكوفسكي.

يقال أن سلسلة من الوظائف (f n) تنتمي إلى وظيفة تنتمي بمعنى المربع المتوسط ​​على (أو في القاعدة) ، إذا

لاحظ أنه إذا كان تسلسل الوظائف ƒ n (x) يتقارب بشكل موحد مع الوظيفة ƒ (x) على المقطع ، فعندئذٍ يجب أن يكون الفرق ƒ (x) - n (x) في القيمة المطلقة صغيرًا للجميع x من الجزء.

إذا كانت ƒ n (x) تميل إلى ƒ (x) بمعنى المربع المتوسط ​​على المقطع ، فإن الفرق المشار إليه قد لا يكون صغيراً بالنسبة للكبير n في كل مكان في. في بعض مواضع المقطع ، يمكن أن يكون هذا الاختلاف كبيرًا ، ولكن من المهم فقط أن يكون تكامل مربعه فوق المقطع صغيرًا بالنسبة لـ n الكبير.

مثال. دع دالة خطية مستمرة متعددة التعريفات ƒ n (x) (n = 1 ، 2 ، ...) الموضحة في الشكل ، و

(بوغروف ، ص 281 ، شكل 120)

لأي نون طبيعي

وبالتالي ، فإن تسلسل الوظائف هذا ، على الرغم من أنه يتقارب إلى الصفر مثل n → ∞ ، غير منتظم. في أثناء

أي أن تسلسل الوظائف (f n (x)) يميل إلى الصفر بمعنى المربع المتوسط.

من عناصر تسلسل بعض الوظائف ƒ 1 ، ƒ 2 ، ƒ 3 ، ... (تنتمي إلى) نقوم ببناء سلسلة

ƒ 1 + ƒ 2 + 3 + ... (12)

مجموع أعضائه n الأوائل

σ ن = ƒ 1 + ƒ 2 + ... + ن

هناك وظيفة تنتمي إلى. إذا حدث أن هناك وظيفة ƒ مثل ذلك

|| ƒ-σ ن || → 0 (ن → ∞) ،

ثم نقول أن السلسلة (12) تتقارب مع الوظيفة ƒ بمعنى المربع المتوسط ​​ونكتب

ƒ = ƒ 1 + 2 + 3 + ...

ملاحظة 2.

يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار المساحة = (أ ، ب) للوظائف ذات القيمة المعقدة ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) ، حيث ƒ 1 (x) و ƒ 2 (x) هي وظائف متصلة متعددة التعريف. . في هذا الفضاء ، يتم ضرب الدوال بأرقام مركبة والمنتج القياسي للوظائف ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) و φ (x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) يعرف على النحو التالي:

ويتم تعريف القاعدة ƒ على أنها القيمة

سلسلة فورييه- طريقة لتمثيل دالة معقدة كمجموع من الدوال الأبسط والمعروفة.
الجيب وجيب التمام هي وظائف دورية. كما أنها تشكل أساسًا متعامدًا. يمكن تفسير هذه الخاصية بالقياس مع المحاور X X Xو YY صعلى مستوى الإحداثيات. بالطريقة نفسها التي يمكننا بها وصف إحداثيات نقطة بالنسبة إلى المحاور ، يمكننا وصف أي دالة فيما يتعلق بالجيب وجيب التمام. الدوال المثلثية مفهومة جيدًا وسهلة التطبيق في الرياضيات.

يمكنك تمثيل الجيب وجيب التمام في شكل مثل هذه الموجات:

الأزرق هو جيب التمام ، والأحمر جيب. تسمى هذه الموجات أيضًا التوافقيات. جيب التمام زوجي ، الجيب غريب. يأتي مصطلح هارمونيكا من العصور القديمة ويرتبط بملاحظات حول علاقة النغمات في الموسيقى.

ما هي سلسلة فورييه

مثل هذه السلسلة ، حيث يتم استخدام وظائف الجيب وجيب التمام كأبسطها ، تسمى المثلثية. سميت على اسم مخترعها جان بابتيست جوزيف فورييه ، في نهاية القرن الثامن عشر - بداية القرن التاسع عشر. الذين أثبتوا أن أي وظيفة يمكن تمثيلها كمزيج من هذه التوافقيات. وكلما أخذت أكثر ، كلما كان هذا التمثيل أكثر دقة. على سبيل المثال ، الصورة أدناه: يمكنك أن ترى أنه مع وجود عدد كبير من التوافقيات ، أي أعضاء سلسلة فورييه ، يقترب الرسم البياني الأحمر من اللون الأزرق - الوظيفة الأصلية.

التطبيق العملي في العالم الحديث

هل هذه الصفوف مطلوبة حقًا الآن؟ أين يمكن تطبيقها عمليا وهل يستخدمها أي شخص آخر غير علماء الرياضيات النظرية؟ اتضح أن فورييه مشهور في جميع أنحاء العالم لأن الاستخدام العملي لسلسلته لا يُحصى حرفيًا. من الملائم استخدامها في حالة وجود أي اهتزازات أو موجات: الصوتيات ، علم الفلك ، هندسة الراديو ، إلخ. أبسط مثال على استخدامها هو آلية الكاميرا أو كاميرا الفيديو. باختصار ، لا تسجل هذه الأجهزة الصور فحسب ، بل تسجل معاملات سلسلة فورييه. وهي تعمل في كل مكان - عند مشاهدة الصور على الإنترنت أو عند مشاهدة فيلم أو الاستماع إلى الموسيقى. بفضل سلسلة فورييه يمكنك الآن قراءة هذه المقالة من هاتفك المحمول. بدون تحويل فورييه ، لن يكون لدينا عرض نطاق ترددي كافٍ لاتصالات الإنترنت لمجرد مشاهدة مقطع فيديو على YouTube ، حتى بجودة قياسية.

في هذا الرسم البياني ، تحويل فورييه ثنائي الأبعاد ، والذي يستخدم لتحليل الصورة إلى التوافقيات ، أي المكونات الأساسية. في هذا الرسم البياني ، يتم ترميز القيمة -1 باللون الأسود ، و 1 باللون الأبيض ، ويزداد التردد إلى اليمين وأسفل الرسم البياني.

توسعة فورييه

ربما ، لقد سئمت بالفعل من القراءة ، لذلك دعنا ننتقل إلى الصيغ.
لمثل هذه التقنية الرياضية مثل توسيع الوظائف في سلسلة فورييه ، يجب على المرء أن يأخذ التكاملات. الكثير من التكاملات. بشكل عام ، تكتب سلسلة فورييه كمجموع لا نهائي:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f (x) = A + displaystyle sum_ (n = 1) ^ (infty) (a_n \ cos (nx) + b_n \ sin (nx))و (س) =أ +ن = 1∑ ∞ ​ (أ ن​ كوس (ن س) +ب ن​ الخطيئة (ن س))
أين
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) د x A = frac (1) (2 pi) displaystyle int limits _ (- pi) ^ (pi) f (x) dxأ =2 بي1 ​ − π ∫ π ​ و (س) دكس
a n = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = frac (1) (pi) displaystyle int limits _ (- pi) ^ (pi) f (x) cos (nx) dxأ ن​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (nx) dx
ب n = 1 π ∫ - π π و (س) الخطيئة ⁡ (n x) د x b_n = frac (1) (pi) displaystyle int limits _ (- pi) ^ (pi) f (x) الخطيئة (nx) dxب ن​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (nx) dx

إذا تمكنا بطريقة ما من حساب عدد لا حصر له من أ ن أ أ ن​ و ب ن ب ب ن​ (يطلق عليهم معاملات تمدد فورييه ، أ أهو مجرد ثابت لهذا التوسع) ، فإن السلسلة الناتجة ستتطابق بنسبة 100٪ مع الوظيفة الأصلية و (خ) و (خ) و (خ)في الجزء من - π - \ بي − π قبل π \ بي π . يرجع هذا المقطع إلى خصائص التكامل بين الجيب وجيب التمام. الاكثر ن ن، حيث نحسب معاملات تمدد الدالة في سلسلة ، كلما كان هذا التوسع أكثر دقة.

مثال

لنأخذ وظيفة بسيطة ص = 5 س ص = 5 س ص =5 ×
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) د x = 1 2 π ∫ - π π 5 x د x = 0 A = frac (1) (2 pi) displaystyle int limits _ (- pi) ^ (pi) f (x) dx = frac (1) (2 pi) displaystyle int limits _ (- pi) ^ (pi) 5xdx = 0أ =2 بي1 ​ − π ∫ π ​ و (س) د س =2 بي1 ​ − π ∫ π ​ 5xdx =0
أ 1 = 1 π ∫ - π π و (س) cos ⁡ (س) د س = 1 π ∫ - π π 5 س كوس ⁡ (س) د س = 0 a_1 = frac (1) (pi) displaystyle int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \ cos (x) dx = 0أ 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ و (س) كوس (س) د س =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xcos (x) dx =0
ب 1 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = frac (1) (pi) displaystyle int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \ sin (x) dx = 10ب 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xsin (x) dx =1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle int limits _ (- pi) ^ (pi) f (x) cos (2x) dx = frac (1) (pi) displaystyle int limits _ (- pi) ^ (pi ) 5x \ cos (2x) dx = 0أ 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 س كوس (2 س) د س =0
ب 2 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = - 5 b_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \ sin (2x) dx = -5ب 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ F(x) الخطيئة(2 x) دx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xالخطيئة(2 x) دx= − 5

وهلم جرا. في حالة وجود مثل هذه الوظيفة ، يمكننا أن نقول ذلك كله على الفور أ ن = 0 أ_n = 0أن​ = 0 ، المعاملات ب ن ببن​ يجب أن تحسب. إذا أخذنا أول أربعة حدود لتوسيع سلسلة فورييه للدالة ص = 5 س ص = 5 سذ= 5 x، نحن نحصل:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{الخطيئة}(x)-5\cdot \mathrm{الخطيئة}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{الخطيئة}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{الخطيئة}(4\cdot x)$

سيبدو الرسم البياني للدالة الناتجة كما يلي:

يقترب توسع فورييه الناتج من وظيفتنا الأصلية. إذا أخذنا عددًا أكبر من المصطلحات في السلسلة ، على سبيل المثال ، 15 ، فسنرى بالفعل ما يلي:

كلما زادت شروط التوسع في سلسلة ، زادت الدقة.
إذا قمنا بتغيير مقياس الرسم البياني قليلاً ، يمكننا ملاحظة ميزة أخرى للتحول: سلسلة فورييه هي دالة دورية لها فترة 2 π 2 \ بي2 π .

وبالتالي ، من الممكن تمثيل أي دالة متصلة على الفترة [- π ؛ بي] [- \ بي ؛ \ بي][ − π ; π ] . كل هذا ضروري لتسهيل تحليل بعض الظواهر الموصوفة بالوظائف المعقدة. ليس من الممكن دائمًا حساب المشتق تحليليًا (أي بالصيغة) ، وفي حالة مجموعة الجيب وجيب التمام ، لن تظهر مثل هذه المشكلة. يوضح التوسع نفسه إلى سلسلة فورييه أنه يمكن حل المشكلات في كثير من الأحيان بشكل تحليلي على نماذج مبسطة ، ومن الأمثلة على ذلك سلسلة فورييه.

سلسلة فورييه للوظائف الدورية ذات الفترة 2π.

تتيح لك سلسلة فورييه دراسة الوظائف الدورية عن طريق تحليلها إلى مكونات. تعتبر التيارات والفولتية المتناوبة ، وحالات الإزاحة ، وسرعة آليات الكرنك وتسريعها ، والموجات الصوتية تطبيقات عملية نموذجية للوظائف الدورية في الحسابات الهندسية.

يعتمد توسع سلسلة فورييه على افتراض أن جميع الوظائف ذات الأهمية العملية في الفاصل الزمني -π ≤ x ≤ يمكن التعبير عنها على أنها سلسلة مثلثية متقاربة (تعتبر السلسلة متقاربة إذا تقارب تسلسل المبالغ الجزئية المكونة من شروطها) :

التدوين القياسي (= المعتاد) من خلال مجموع sinx و cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ... ،

حيث a o ، a 1 ، a 2 ، ... ، b 1 ، b 2 ، .. هي ثوابت حقيقية ، أي

حيث ، بالنسبة للمدى من-إلى ، يتم حساب معاملات سلسلة فورييه بواسطة الصيغ:

تسمى المعاملات a o و a n و b n معاملات فورييه، وإذا كان من الممكن العثور عليها ، فسيتم استدعاء السلسلة (1) بالقرب من فورييه ،المقابلة للوظيفة f (x). للسلسلة (1) ، المصطلح (a 1 cosx + b 1 sinx) يسمى الأول أو هارمونيكا الرئيسية

هناك طريقة أخرى لكتابة سلسلة وهي استخدام العلاقة acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

حيث a o ثابت ، c 1 \ u003d (a 1 2 + b 1 2) 1/2 ، c n \ u003d (a n 2 + b n 2) 1/2 هي سعة المكونات المختلفة ، وتساوي a n \ u003d arctg a n / b n.

بالنسبة للسلسلة (1) ، يُطلق على المصطلح (a 1 cosx + b 1 sinx) أو c 1 sin (x + α 1) الاسم الأول أو هارمونيكا الرئيسية(a 2 cos2x + b 2 sin2x) أو c 2 sin (2x + α 2) يسمى التوافقي الثانيوهلم جرا.

لتمثيل إشارة معقدة بدقة ، يلزم عادةً عدد لا حصر له من المصطلحات. ومع ذلك ، في العديد من المشاكل العملية ، يكفي النظر في المصطلحات القليلة الأولى فقط.

سلسلة فورييه للوظائف غير الدورية ذات الفترة 2π.

توسيع الوظائف غير الدورية في سلسلة فورييه.

إذا كانت الدالة f (x) غير دورية ، فلا يمكن توسيعها في سلسلة فورييه لجميع قيم x. ومع ذلك ، من الممكن تحديد سلسلة فورييه التي تمثل وظيفة على أي نطاق للعرض 2π.

بالنظر إلى وظيفة غير دورية ، يمكن للمرء أن يؤلف وظيفة جديدة باختيار قيم f (x) ضمن نطاق معين وتكرارها خارج هذا النطاق بفواصل زمنية قدرها 2π. نظرًا لأن الوظيفة الجديدة دورية بفترة 2π ، فيمكن توسيعها في سلسلة فورييه لجميع قيم x. على سبيل المثال ، الوظيفة f (x) = x ليست دورية. ومع ذلك ، إذا كان من الضروري توسيعها إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني من 0 إلى 2π ، فسيتم إنشاء وظيفة دورية بفترة 2π خارج هذه الفترة (كما هو موضح في الشكل أدناه).

بالنسبة للوظائف غير الدورية مثل f (x) = x ، فإن مجموع سلسلة فورييه يساوي قيمة f (x) في جميع النقاط في النطاق المحدد ، لكنه لا يساوي f (x) للنقاط خارج النطاق. لإيجاد سلسلة فورييه لدالة غير دورية في النطاق 2π ، يتم استخدام نفس صيغة معاملات فورييه.

الوظائف الفردية والزوجية.

يقولون الدالة y = f (x) حتىإذا كانت f (-x) = f (x) لجميع قيم x. الرسوم البيانية للوظائف الزوجية دائمًا ما تكون متناظرة حول المحور الصادي (أي أنها معكوسة). مثالان على الدوال الزوجية: y = x 2 و y = cosx.

يقولون أن الدالة y = f (x) الفردية،إذا كانت f (-x) = - f (x) لجميع قيم x. دائمًا ما تكون الرسوم البيانية للدوال الفردية متماثلة حول الأصل.

العديد من الوظائف ليست زوجية ولا فردية.

توسع سلسلة فورييه في جيب التمام.

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية المتساوية f (x) ذات الفترة 2π على مصطلحات جيب التمام فقط (أي لا تحتوي على شروط الجيب) وقد تتضمن مصطلحًا ثابتًا. بالتالي،

أين معاملات سلسلة فورييه ،

سلسلة فورييه للدالة الدورية الفردية f (x) مع الفترة 2π تحتوي فقط على مصطلحات ذات جيب (أي لا تحتوي على مصطلحات مع جيب التمام).

بالتالي،

أين معاملات سلسلة فورييه ،

سلسلة فورييه على نصف دورة.

إذا تم تحديد دالة لنطاق ، لنقل من 0 إلى ، وليس فقط من 0 إلى 2π ، فيمكن توسيعها إلى سلسلة فقط من حيث الجيب أو فقط من حيث جيب التمام. تسمى سلسلة فورييه الناتجة بالقرب من فورييه على نصف دورة.

إذا كنت ترغب في الحصول على التحلل فورييه في نصف دورة في جيب التماموظائف f (x) في النطاق من 0 إلى π ، فمن الضروري تكوين وظيفة دورية متساوية. على التين. فيما يلي الوظيفة f (x) = x المبنية على الفترة من x = 0 إلى x = π. نظرًا لأن الوظيفة الزوجية متناظرة حول محور f (x) ، فإننا نرسم الخط AB ، كما هو موضح في الشكل. أقل. إذا افترضنا أنه خارج الفترة المدروسة ، يكون الشكل المثلثي الناتج دوريًا بفترة 2π ، ثم الرسم البياني النهائي له الشكل المعروض. في التين. أقل. نظرًا لأنه مطلوب للحصول على تمدد فورييه في جيب التمام ، كما كان من قبل ، فإننا نحسب معاملي فورييه a o و a n

إذا كنت ترغب في الحصول على وظائف f (x) في النطاق من 0 إلى π ، فأنت بحاجة إلى تكوين وظيفة دورية فردية. على التين. فيما يلي الوظيفة f (x) = x المبنية على الفترة من x = 0 إلى x = π. نظرًا لأن الوظيفة الفردية متماثلة فيما يتعلق بالأصل ، فإننا نبني الخط CD ، كما هو موضح في الشكل. إذا افترضنا أنه خارج الفاصل الزمني المدروس ، تكون إشارة سن المنشار المستلمة دورية بفترة 2π ، فإن الرسم البياني النهائي له الشكل الموضح في الشكل. نظرًا لأنه مطلوب للحصول على تمدد فورييه في نصف دورة من حيث الجيب ، كما في السابق ، فإننا نحسب معامل فورييه. ب

سلسلة فورييه لفاصل زمني عشوائي.

توسيع دالة دورية مع الفترة L.

تتكرر الوظيفة الدورية f (x) كلما زادت x بمقدار L ، أي و (س + L) = و (س). يعد الانتقال من الوظائف التي تم النظر فيها سابقًا مع الفترة 2π إلى الوظائف ذات الفترة L أمرًا بسيطًا للغاية ، حيث يمكن إجراؤه باستخدام تغيير المتغير.

لإيجاد سلسلة فورييه للدالة f (x) في النطاق -L / 2≤x≤L / 2 ، نقدم متغيرًا جديدًا u بحيث يكون للدالة f (x) فترة 2π بالنسبة إلى u. إذا كانت u = 2πx / L ، فإن x = -L / 2 لـ u =-و x = L / 2 لـ u = π. دع f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). سلسلة فورييه F (ش) لها الشكل

أين معاملات سلسلة فورييه ،

ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، تؤدي الصيغة المذكورة أعلاه إلى الاعتماد على x. بما أن u = 2πх / L ، فإن du = (2π / L) dx ، وحدود التكامل من -L / 2 إلى L / 2 بدلاً من-إلى. لذلك ، فإن سلسلة فورييه للاعتماد على x لها الشكل

حيث في النطاق من -L / 2 إلى L / 2 توجد معاملات سلسلة فورييه ،

(يمكن استبدال حدود التكامل بأي فاصل طول L ، على سبيل المثال ، من 0 إلى L)

سلسلة فورييه على نصف دورة للوظائف المعطاة في الفترة L 2π.

للتعويض u = πx / L ، الفترة من x = 0 إلى x = L تقابل الفترة من u = 0 إلى u = π. لذلك ، يمكن توسيع الوظيفة إلى سلسلة فقط من حيث جيب التمام أو فقط من حيث الجيب ، أي في سلسلة فورييه على نصف دورة.

التمدد في جيب التمام في النطاق من 0 إلى L له الشكل