طريقة الاستقراء الرياضي. تطبيقه في حل المسائل الجبرية حل المعادلات التفاضلية

يتم نشر نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملة من العمل متاحة في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

مقدمة

هذا الموضوع ذو صلة، حيث يقوم الأشخاص كل يوم بحل المشكلات المختلفة التي يستخدمون فيها طرق حل مختلفة، ولكن هناك مهام لا يمكن الاستغناء عنها بدون طريقة الاستقراء الرياضي، وفي مثل هذه الحالات ستكون المعرفة في هذا المجال مفيدة للغاية.

اخترت هذا الموضوع للبحث لأنه لا يخصص سوى القليل من الوقت لأسلوب الاستقراء الرياضي في المنهج المدرسي؛ فالطالب يتعلم معلومات سطحية لن تساعده إلا في الحصول عليها فكرة عامةحول هذه الطريقة، ولكن لدراسة هذه النظرية بعمق، سيتطلب الأمر تطوير الذات. سيكون من المفيد حقًا التعرف على المزيد حول هذا الموضوع، لأنه يوسع آفاق الشخص ويساعد في حل المشكلات المعقدة.

الهدف من العمل:

التعرف على طريقة الاستقراء الرياضي، وتنظيم المعرفة حول هذا الموضوع وتطبيقها عند حل المشكلات الرياضية وإثبات النظريات، وتبرير وإظهار الأهمية العملية لطريقة الاستقراء الرياضي كعامل ضروري لحل المشكلات.

أهداف الوظيفة:

تحليل الأدبيات وتلخيص المعرفة حول هذا الموضوع.

فهم مبدأ طريقة الاستقراء الرياضي.

استكشاف تطبيق أسلوب الاستقراء الرياضي في حل المشكلات.

صياغة الاستنتاجات والاستنتاجات حول العمل المنجز.

الجزء الرئيسي من الدراسة

تاريخ:

فقط في نهاية القرن التاسع عشر، ظهر معيار متطلبات الدقة المنطقية، والذي ظل مهيمنًا في الأدب الحديث حتى يومنا هذا. العمل التطبيقيعلماء الرياضيات على تطوير النظريات الرياضية الفردية.

الاستقراء هو إجراء معرفي يتم من خلاله استخلاص بيان تعميمه من مقارنة الحقائق الموجودة.

في الرياضيات، يتمثل دور الاستقراء إلى حد كبير في أنه يكمن وراء البديهيات المختارة. بعد أن أظهرت الممارسة طويلة الأمد أن المسار المستقيم دائمًا أقصر من المسار المنحني أو المنكسر، كان من الطبيعي صياغة بديهية: بالنسبة لأي ثلاث نقاط A وB وC، هناك عدم مساواة.

يعود الوعي بطريقة الاستقراء الرياضي كطريقة منفصلة مهمة إلى بليز باسكال وجيرسونيدس، على الرغم من وجود حالات فردية للتطبيق في العصور القديمة عند بروكلس وإقليدس. اسم حديثتم تقديم هذه الطريقة بواسطة دي مورجان في عام 1838.

يمكن مقارنة طريقة الاستقراء الرياضي بالتقدم: فنحن نبدأ من الأدنى، ونتيجة للتفكير المنطقي نصل إلى الأعلى. لقد سعى الإنسان دائمًا لتحقيق التقدم، والقدرة على تطوير أفكاره بشكل منطقي، مما يعني أن الطبيعة نفسها قد خصصته للتفكير بشكل استقرائي.

الاستقراء والاستنباط

ومعلوم أن هناك أقوالاً خاصة وعامة، وهذان المصطلحان يقومان على الانتقال من أحدهما إلى الآخر.

خصم (من اللاتينية خصم - خصم) - انتقال في عملية الإدراك من عامالمعرفة ل خاصو أعزب. في الاستنباط، تكون المعرفة العامة بمثابة نقطة البداية للاستدلال، ويُفترض أن هذه المعرفة العامة "جاهزة"، وموجودة. خصوصية الاستنباط هي أن حقيقة مقدماته تضمن صحة الاستنتاج. لذلك، يتمتع الاستدلال بقوة إقناع هائلة ويستخدم على نطاق واسع ليس فقط لإثبات النظريات في الرياضيات، ولكن أيضًا حيثما تكون هناك حاجة إلى معرفة موثوقة.

الاستقراء (من اللاتينية inductio - التوجيه) هو انتقال في عملية الإدراك من خاصالمعرفة ل عامبمعنى آخر، هو أسلوب بحث ومعرفة مرتبط بتعميم نتائج الملاحظات والتجارب، ومن سمات الاستقراء طبيعته الاحتمالية، أي: إذا كانت المقدمات الأولية صحيحة، فمن المحتمل أن يكون استنتاج الاستقراء صحيحًا فقط، وفي النتيجة النهائية يمكن أن يتبين أنه إما صحيح أو خطأ.

التحريض الكامل وغير الكامل

الاستدلال الاستقرائي هو شكل من أشكال التفكير المجرد الذي يتطور فيه الفكر من المعرفة وإلى حد أقلوالعمومية للمعرفة بدرجة أكبر من العمومية، والاستنتاج الناشئ عن المقدمات هو في الغالب احتمالي بطبيعته.

وأثناء البحث تبينت أن الاستقراء ينقسم إلى نوعين: كامل وغير كامل.

الاستقراء الكامل هو استنتاج يتم من خلاله التوصل إلى استنتاج عام حول فئة من الكائنات بناءً على دراسة جميع كائنات هذه الفئة.

على سبيل المثال، يجب أن نثبت أن كل عدد طبيعي زوجي n ضمن النطاق 6 ≥ n 18 يمكن تمثيله كمجموع رقمين أوليين. للقيام بذلك، خذ كل هذه الأرقام واكتب التوسعات المقابلة:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

توضح عمليات التساوي هذه أن كل رقم من الأعداد التي نهتم بها ممثل بالفعل كمجموع حدين بسيطين.

خذ بعين الاعتبار المثال التالي: التسلسل yn= n 2 +n+17; لنكتب الحدود الأربعة الأولى: y 1 =19; ص 2 =23; ص 3 =29؛ ص 4 =37; ثم يمكننا أن نفترض أن التسلسل بأكمله يتكون من أعداد أولية. لكن الأمر ليس كذلك، فلنأخذ y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17. هذا رقم مركب، مما يعني أن افتراضنا غير صحيح، وبالتالي فإن الاستقراء غير الكامل لا يؤدي إلى استنتاجات موثوقة تمامًا، ولكنه يسمح لنا بصياغة فرضية، الأمر الذي يتطلب لاحقًا إثباتًا رياضيًا أو دحضًا.

طريقة الاستقراء الرياضي

الاستقراء الكامل له تطبيقات محدودة فقط في الرياضيات. إن العديد من البيانات الرياضية المثيرة للاهتمام تغطي عدداً لا حصر له من الحالات الخاصة، ونحن غير قادرين على اختبار كل هذه الحالات. ولكن كيف يمكننا اختبار عدد لا حصر له من الحالات؟ تم اقتراح هذه الطريقة بواسطة B. Pascal وJ. Bernoulli، وهي طريقة للاستقراء الرياضي، والتي تعتمد على مبدأ الاستقراء الرياضي.

إذا كانت الجملة A(n)، اعتمادًا على عدد طبيعي n، صحيحة بالنسبة إلى n=1 ومن حقيقة أنها صحيحة بالنسبة إلى n=k (حيث k هو أي عدد طبيعي)، فإن ذلك يترتب على ذلك أنها صحيحة أيضًا بالنسبة إلى الرقم التالي n=k +1، إذن الافتراض A(n) صحيح لأي عدد طبيعي n.

في عدد من الحالات، قد يكون من الضروري إثبات صحة عبارة معينة ليس لجميع الأعداد الطبيعية، ولكن فقط لـ n>p، حيث p هو عدد طبيعي ثابت. وفي هذه الحالة يتم صياغة مبدأ الاستقراء الرياضي على النحو التالي:

إذا كانت القضية A(n) صحيحة بالنسبة لـ n=p وإذا كانت A(k)  A(k+1) لأي k>p، فإن الفرضية A(n) صحيحة لأي n>p.

الخوارزمية (تتكون من أربع مراحل):

1. قاعدة(نبين أن العبارة التي تم إثباتها صحيحة في بعض الحالات الخاصة البسيطة ( ص = 1));

2. الافتراض(نفترض أن القول قد ثبت للأول ل حالات)؛ 3 .خطوة(وعلى هذا الفرض نثبت القول في الدعوى ص = ل + 1)؛ 4. الإخراج (فيفالقول صحيح لجميع الحالات، أي للجميع ف) .

لاحظ أن طريقة الاستقراء الرياضي لا يمكنها حل جميع المسائل، ولكن فقط المسائل ذات المعلمات بمتغير معين. ويسمى هذا المتغير بالمتغير الاستقراء.

تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي

دعونا نطبق هذه النظرية بأكملها في الممارسة العملية ونكتشف المشاكل التي يتم استخدام هذه الطريقة فيها.

مشاكل لإثبات عدم المساواة.

مثال 1.إثبات متباينة برنولي(1+x)n≥1+n x, x>-1, n € N.

1) بالنسبة لـ n=1 تكون المتراجحة صحيحة، حيث أن 1+x≥1+x

2) لنفترض أن عدم المساواة صحيح لبعض n=k، أي.

(1+س) ك ≥1+ك س.

بضرب طرفي المتراجحة في عدد موجب 1+x نحصل على

(1+x) ك+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(ك+1) x + kx 2

مع الأخذ في الاعتبار أن kx 2 ≥0، نصل إلى عدم المساواة

(1+x) ك+1 ≥1+(ك+1) س.

وبالتالي، من الافتراض بأن متباينة برنولي صحيحة بالنسبة لـ n=k، يترتب على ذلك أنها صحيحة بالنسبة لـ n=k+1. استنادًا إلى طريقة الاستقراء الرياضي، يمكن القول بأن متباينة برنولي صالحة لأي n € N.

مثال 2.أثبت أنه لأي عدد طبيعي n>1، .

دعونا نثبت ذلك باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

دعونا نشير إلى الجانب الأيسر من عدم المساواة.

1)، وبالتالي، بالنسبة لـ n=2 فإن عدم المساواة يكون صحيحًا.

2) اسمحوا لبعض ك. دعونا نثبت ذلك بعد ذلك و. لدينا، .

المقارنة ولدينا، أي. .

بالنسبة لأي عدد صحيح موجب k، يكون الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة موجبًا. لهذا السبب. لقد أثبتنا صحة المتراجحة لـ n=k+1، وبالتالي، وبحكم طريقة الاستقراء الرياضي، فإن المتراجحة صحيحة لأي عدد طبيعي n>1.

مشاكل في إثبات الهويات.

مثال 1.أثبت أن لأي عدد طبيعي n المساواة صحيحة:

1 3 +2 3 +3 3 +…+ن 3 =ن 2 (ن+1) 2 /4.

لنفترض أن n=1، ثم X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

نرى أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1.

2) لنفترض أن المساواة صحيحة بالنسبة لـ n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4.

3) لنثبت صحة هذه العبارة بالنسبة لـ n=k+1، أي X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X ك+1 =1 3 +2 3 +…+ك 3 +(ك+1) 3 =ك 2 (ك+1) 2 /4+(ك+1) 3 =(ك 2 (ك+1) 2 +4(ك+1) 3)/4=(ك+1) 2 (ك 2 +4ك+4)/4=(ك+1) 2 (ك+2) 2 /4.

يتضح من البرهان أعلاه أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1، وبالتالي فإن المساواة صحيحة لأي عدد طبيعي n.

مثال 2.أثبت أنه لأي طبيعي n المساواة صحيحة

1) دعونا نتحقق من صحة هذه الهوية بالنسبة لـ n = 1.; - يمين.

2) لتكن الهوية صحيحة أيضًا بالنسبة لـ n = k، أي.

3) لنثبت أن هذه الهوية صحيحة أيضًا بالنسبة لـ n = k + 1، أي؛

لأن إذا كانت المساواة صحيحة بالنسبة لـ n=k وn=k+1، فهي صحيحة لأي عدد طبيعي n.

مسائل الجمع.

مثال 1.أثبت أن 1+3+5+…+(2ن-1)=ن 2.

الحل: 1) لدينا n=1=1 2 . ولذلك، فإن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1، أي. أ(١) صحيح.

2) دعونا نثبت أن A(k) A(k+1).

ليكن k أي عدد طبيعي ولتكن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k، أي 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

دعونا نثبت أن العبارة صحيحة أيضًا بالنسبة للعدد الطبيعي التالي n=k+1، أي. ماذا

1+3+5+…+(2ك+1)=(ك+1) 2 .

في الواقع، 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

إذن، أ(ك) أ(ك+1). استناداً إلى مبدأ الاستقراء الرياضي، نستنتج أن الافتراض A(n) صحيح لأي n N.

مثال 2.اثبات الصيغة n عدد طبيعي

الحل: عندما يكون n=1، يتحول طرفا المساواة إلى واحد، وبالتالي يتحقق الشرط الأول لمبدأ الاستقراء الرياضي.

لنفترض أن الصيغة صحيحة بالنسبة لـ n=k، أي .

دعونا نضيف إلى طرفي هذه المساواة ونحول الجانب الأيمن. ثم نحصل

وبالتالي، من حقيقة أن الصيغة صحيحة لـ n=k، يترتب على ذلك أنها صحيحة أيضًا لـ n=k+1، فإن هذه العبارة صحيحة لأي عدد طبيعي n.

مشاكل قابلية القسمة.

مثال 1.أثبت أن (11n+2 +12 2n+1) يقبل القسمة على 133 بدون باقي.

حل: 1) دع n = 1 إذن

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23×133.

(23×133) قابل للقسمة على 133 بدون باقي، مما يعني أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1؛

2) افترض أن (11 ك+2 +12 2ك+1) يقبل القسمة على 133 بدون باقي.

3) دعونا نثبت ذلك في هذه الحالة

(11 ك+3 +12 2ك+3) يقبل القسمة على 133 بدون باقي. وبالفعل 11 ك+3 +12 2ل+3 =11×11 ك+2+

12 2 ×12 2ك+1 =11× 11 ك+2 +(11+133)× 12 2ك+1 =11(11 ك+2 +12 2ك+1)+133× 12 2ك+1 .

ويقسم المجموع الناتج على 133 بدون باقي، حيث أن حده الأول يقبل القسمة على 133 بدون باقي بالافتراض، وفي العامل الثاني 133.

لذا، A(k)→ A(k+1)، ثم بناءً على طريقة الاستقراء الرياضي، تكون العبارة صحيحة لأي n طبيعي.

مثال 2.أثبت أن 3 3n-1 +2 4n-3 لعدد طبيعي عشوائي n يقبل القسمة على 11.

الحل: 1) افترض أن n=1، إذن X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 يقبل القسمة على 11 بدون باقي. هذا يعني أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1.

2) لنفترض أن ل ن = ك

X k =3 3k-1 +2 4k-3 يقبل القسمة على 11 بدون باقي.

3) لنثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1.

X ك+1 =3 3(ك+1)-1 +2 4(ك+1)-3 =3 3ك+2 +2 4ك+1 =3 3 *3 3ك-1 +2 4 *2 4ك-3 =

27 3 3ك-1 +16* 2 4ك-3 =(16+11)* 3 3ك-1 +16* 2 4ك-3 =16* 3 3ك-1 +

11* 3 3ك-1 +16* 2 4ك-3 =16(3 3ك-1 +2 4ك-3)+11* 3 3ك-1 .

الحد الأول يقبل القسمة على 11 بدون باقي، حيث أن 3 3ك-1 +2 4ك-3 يقبل القسمة على 11 بافتراض أن الثاني يقبل القسمة على 11، لأن أحد عوامله هو الرقم 11. وهذا يعني أن المجموع يقبل القسمة على 11 بدون باقي لأي عدد طبيعي n.

مشاكل من واقع الحياة.

مثال 1.أثبت أن مجموع Sn للزوايا الداخلية لأي مضلع محدب يساوي ( ص- 2)π، حيث ص— عدد أضلاع هذا المضلع: Sn = ( ص- 2) ط (1).

هذا البيان لا معنى له لجميع الطبيعية صولكن فقط ل ص > 3، لأن الحد الأدنى لعدد زوايا المثلث هو 3.

1) متى ص= 3 بياننا يأخذ الشكل: S 3 = π. لكن مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث هو π بالفعل. لذلك متى ص= 3 الصيغة (1) صحيحة.

2) دع هذه الصيغة تكون صحيحة بالنسبة لـ n =ك، وهذا هو س ك = (ك- 2)π، حيث ك > 3. دعونا نثبت أن الصيغة في هذه الحالة تحمل: S ك+ 1 = (ك- 1)ط.

دع أ 1 أ 2 ... أ ك أ ك+ 1 - محدب تعسفي ( ك+ 1) -غون (الشكل 338).

ربط النقطتين A 1 و A ك ، نحصل على محدب ك-غون أ 1 أ 2 ... أ ك — 1 أ ك . ومن الواضح أن مجموع الزوايا ( ك+ 1) -غون أ 1 أ 2 ... أ ك أ ك+ 1 يساوي مجموع الزوايا ك-غون أ 1 أ 2 ... أ ك بالإضافة إلى مجموع زوايا المثلث A 1 A ك أ ك+ 1 . لكن مجموع الزوايا ك-غون أ 1 أ 2 ... أ ك بافتراض يساوي ( ك- 2)π، ومجموع زوايا المثلث A 1 A ك أ ك+ 1 يساوي π. لهذا

س ك+ 1 = س ك + π = ( ك- 2)π + π = ( ك- 1)ط.

وبذلك يكون كلا شرطي مبدأ الاستقراء الرياضي متوافرا، وبالتالي فإن الصيغة (1) صحيحة لأي طبيعي ص > 3.

مثال 2.يوجد درج جميع خطواته متشابهة. يجب الإشارة إلى الحد الأدنى لعدد المواضع التي تضمن القدرة على "الصعود" إلى أي خطوة برقم.

الجميع متفق على أنه يجب أن يكون هناك شرط. يجب أن نكون قادرين على الصعود إلى الخطوة الأولى. بعد ذلك، يجب أن يكونوا قادرين على الصعود من الدرجة الأولى إلى الثانية. ثم إلى الثاني - إلى الثالث، الخ. إلى الخطوة ن. بالطبع، في المجمل، تضمن عبارات "n" أننا سنكون قادرين على الوصول إلى الخطوة n.

دعونا الآن نلقي نظرة على الموضع 2، 3،...، n ومقارنتها مع بعضها البعض. من السهل أن نرى أن جميعها لها نفس البنية: إذا وصلنا إلى الخطوة k، فيمكننا الصعود إلى الخطوة (k+1). ومن ثم تصبح البديهية التالية طبيعية لصحة العبارات اعتمادًا على "n": إذا كانت الجملة A(n)، التي فيها n عدد طبيعي، تحمل n=1 ومن حقيقة أنها تحمل n=k (حيث k هو أي عدد طبيعي)، ويترتب على ذلك أنه ينطبق على n=k+1، ثم الافتراض A(n) ينطبق على أي عدد طبيعي n.

طلب

مشكلات استخدام أسلوب الاستقراء الرياضي عند الالتحاق بالجامعات.

لاحظ أنه عند القبول في التعليم العالي المؤسسات التعليميةهناك أيضًا مشاكل يمكن حلها بهذه الطريقة. دعونا نلقي نظرة عليها باستخدام أمثلة محددة.

مثال 1.اثبات أن أي طبيعي صالمساواة صحيحة

1) متى ن = 1نحصل على المساواة الصحيحة الخطيئة.

2) بعد إجراء الافتراض الاستقراء أنه عندما ن = كالمساواة صحيحة، فكر في المجموع الموجود على الجانب الأيسر من المساواة لـ n =ك+1;

3) باستخدام صيغ التخفيض، نقوم بتحويل التعبير:

ومن ثم، وبموجب طريقة الاستقراء الرياضي، فإن المساواة تكون صحيحة لأي عدد طبيعي n.

مثال 2.أثبت أنه لأي عدد طبيعي n قيمة التعبير 4n +15n-1 هي من مضاعفات 9.

1) مع n=1: 2 2 +15-1=18 - مضاعف 9 (منذ 18:9=2)

2) دع المساواة تصمد ن = ك: 4 ك +15 ك-1 مضاعف 9.

3) دعونا نثبت أن المساواة تنطبق على الرقم التالي ن=ك+1

4 ك+1 +15(ك+1)-1=4 ك+1 +15ك+15-1=4.4 ك +60ك-4-45ك+18=4(4 ك +15ك-1)-9(5ك- 2)

4(4 ك +15 ك-1) - مضاعف 9؛

9(5k-2) - مضاعف 9؛

وبالتالي، فإن التعبير بأكمله 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) هو من مضاعفات 9، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال 3.أثبت ذلك لأي عدد طبيعي صتم استيفاء الشرط: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ ص(ع+1)(ع+2)=.

1) دعونا نتحقق من صحة هذه الصيغة متى ن=1:الجهه اليسرى = 1∙2∙3=6.

الجزء الأيمن = . 6 = 6؛ صحيح عندما ن = 1.

2) لنفترض أن هذه الصيغة صحيحة بالنسبة لـ n =ك:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+ك(ك+1)(ك+2)=.س ك =.

3) دعونا نثبت أن هذه الصيغة صحيحة بالنسبة لـ n =ك+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(ك+1)(ك+2)(ك+3)=.

س ك+1 =.

دليل:

إذن، هذا الشرط صحيح في حالتين، وقد ثبت صحته بالنسبة لـ n =ك+1،ولذلك فهو صحيح بالنسبة لأي عدد طبيعي ص.

خاتمة

لتلخيص ذلك، في عملية البحث، اكتشفت ما هو الاستقراء، والذي يمكن أن يكون كاملاً أو غير كامل، وتعرفت على طريقة الاستقراء الرياضي المبني على مبدأ الاستقراء الرياضي، ونظرت في العديد من المشكلات باستخدام هذه الطريقة.

لقد تعلمت أيضًا الكثير من المعلومات الجديدة التي تختلف عما تم تضمينه في المناهج المدرسية، أثناء دراستي لطريقة الاستقراء الرياضي، استخدمت الأدبيات المختلفة، وموارد الإنترنت، واستشرت أيضًا أحد المعلمين.

خاتمة: من خلال المعرفة المعممة والمنظمة حول الاستقراء الرياضي، أصبحت مقتنعا بالحاجة إلى المعرفة حول هذا الموضوع في الواقع. الجودة الإيجابيةطريقة الاستقراء الرياضي هي تطبيق واسع النطاق في حل المشكلات: في مجال الجبر والهندسة والرياضيات الحقيقية. تزيد هذه المعرفة أيضًا من الاهتمام بالرياضيات كعلم.

أنا واثق من أن المهارات التي اكتسبتها خلال عملي ستساعدني في المستقبل.

​ فهرس

سومينسكي آي. طريقة الاستقراء الرياضي. محاضرات شعبية في الرياضيات العدد 3-م: العلوم 1974.

L. I. Golovina، I. M. Yaglom. الحث في الهندسة. - فيزماتجيز، 1961. - ت 21. - 100 ص. - (محاضرات شعبية في الرياضيات).

Dorofeev G.V.، Potapov M.K.، Rozov N.Kh. دليل الرياضيات للملتحقين بالجامعات (أسئلة مختارة من الرياضيات الابتدائية) - الطبعة الخامسة، المنقحة، 1976 - 638 ص.

أ. شين. الاستنتاج الرياضي. - MCNMO، 2004. - 36 ص.

M. L. Galitsky، A. M. Goldman، L. I. Zvavich مجموعة من المشاكل في الجبر: كتاب مدرسي للصفوف 8-9. مع العمق دراسة الرياضيات الطبعة السابعة - م: Prosveshchenie، 2001. - 271 ص.

Ma-ka-ry-chev Yu.N., Min-dyuk N.G فصول إضافية للكتاب المدرسي للصف التاسع. - م: Pro-sve-shche-nie، 2002.

ويكيبيديا هي موسوعة حرة.

مقدمة

الجزء الرئيسي

1. الحث الكامل وغير الكامل

2. مبدأ الاستقراء الرياضي

3. طريقة الاستقراء الرياضي

4. حل الأمثلة

5. المساواة

6. قسمة الأعداد

7. عدم المساواة

خاتمة

قائمة الأدب المستخدم

مقدمة

أساس أي بحث رياضي هو الأساليب الاستنتاجية والاستقرائية. والطريقة الاستنباطية هي الاستدلال من العام إلى الخاص، أي: من العام إلى الخاص. الاستدلال الذي نقطة بدايته هي النتيجة العامة، ونقطة النهاية هي النتيجة الخاصة. ويستخدم الاستقراء عند الانتقال من نتائج معينة إلى نتائج عامة، أي: هو عكس الطريقة الاستنتاجية.

يمكن مقارنة طريقة الاستقراء الرياضي بالتقدم. نبدأ من الأدنى، ونتيجة للتفكير المنطقي نصل إلى الأعلى. لقد سعى الإنسان دائمًا إلى التقدم، وإلى القدرة على تطوير أفكاره بشكل منطقي، مما يعني أن الطبيعة نفسها قدّرته أن يفكر بشكل استقرائي.

على الرغم من أن نطاق تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي قد زاد، إلا أنه لا يخصص لها سوى القليل من الوقت في المناهج الدراسية. حسنا، قل ماذا مفيدة للشخصسيحضر هذين الدرسين أو الثلاثة، حيث سيسمع خمس كلمات نظرية، ويحل خمس مشاكل بدائية، ونتيجة لذلك، سيحصل على درجة A لأنه لا يعرف شيئًا.

ولكن من المهم جدًا أن تكون قادرًا على التفكير بشكل استقرائي.

الجزء الرئيسي

في معناها الأصلي، تنطبق كلمة "الاستقراء" على الاستدلال الذي يتم من خلاله الحصول على استنتاجات عامة بناءً على عدد من العبارات المحددة. إن أبسط طريقة للاستدلال من هذا النوع هي الاستقراء الكامل. هنا مثال على هذا المنطق.

فليكن من الضروري إثبات أن كل عدد طبيعي زوجي n ضمن 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

توضح هذه المساواة التسعة أن كل عدد من الأعداد التي نهتم بها ممثل بالفعل كمجموع حدين بسيطين.

وبالتالي، فإن الاستقراء الكامل يتكون من إثبات العبارة العامة بشكل منفصل في كل عدد محدود من الحالات المحتملة.

في بعض الأحيان يمكن التنبؤ بالنتيجة العامة بعد النظر ليس كلها، ولكن عدد كبير بما فيه الكفاية من الحالات المحددة (ما يسمى بالتحريض غير الكامل).

ومع ذلك، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الاستقراء غير الكامل تظل مجرد فرضية حتى يتم إثباتها بالاستدلال الرياضي الدقيق، الذي يشمل جميع الحالات الخاصة. بمعنى آخر، لا يعتبر الاستقراء غير المكتمل في الرياضيات طريقة مشروعة للإثبات الدقيق، ولكنه طريقة قوية لاكتشاف حقائق جديدة.

لنفترض، على سبيل المثال، أنك تريد العثور على مجموع أول أرقام فردية متتالية. دعونا نفكر في حالات خاصة:

1+3+5+7+9=25=5 2

وبعد النظر في هذه الحالات الخاصة القليلة، فإن الاستنتاج العام التالي يشير إلى نفسه:

1+3+5+…+(2ن-1)=ن 2

أولئك. مجموع أول n من الأعداد الفردية المتتالية هو n 2

وبطبيعة الحال، فإن الملاحظة التي تم إجراؤها لا يمكن أن تكون بمثابة دليل على صحة الصيغة المعطاة.

الاستقراء الكامل له تطبيقات محدودة فقط في الرياضيات. تغطي العديد من البيانات الرياضية المثيرة للاهتمام عددًا لا حصر له من الحالات الخاصة، لكننا غير قادرين على اختبارها لعدد لا حصر له من الحالات. غالبًا ما يؤدي الحث غير المكتمل إلى نتائج خاطئة.

في كثير من الحالات، يكون المخرج من هذا النوع من الصعوبة هو اللجوء إلى طريقة خاصة للاستدلال، تسمى طريقة الاستقراء الرياضي. وهي كالاتي.

لنفترض أنك بحاجة إلى إثبات صحة عبارة معينة لأي عدد طبيعي n (على سبيل المثال، تحتاج إلى إثبات أن مجموع الأعداد الفردية n الأولى يساوي n 2). التحقق المباشر من هذه العبارة لكل قيمة n أمر مستحيل، لأن مجموعة الأعداد الطبيعية لا نهائية. لإثبات هذه العبارة، تحقق أولاً من صحتها لـ n=1. ثم أثبتوا أنه بالنسبة لأي قيمة طبيعية لـ k، فإن صحة العبارة قيد النظر لـ n=k تعني ضمناً صحتها لـ n=k+1.

ثم يعتبر البيان مثبتا لجميع ن. في الواقع، العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1. لكن هذا ينطبق أيضًا على الرقم التالي n=1+1=2. صحة العبارة لـ n=2 تعني صحتها لـ n=2+

1=3. وهذا يعني صحة العبارة لـ n=4، وما إلى ذلك. ومن الواضح أننا في النهاية سنصل إلى أي عدد طبيعي n. هذا يعني أن العبارة صحيحة بالنسبة لأي n.

تلخيصا لما قيل، نقوم بصياغة ما يلي المبدأ العام.

مبدأ الاستقراء الرياضي.

إذا كان الاقتراح أ(ن) حسب العدد الطبيعين، صحيح لن=1 ومن حقيقة أنه صحيح لن = ك(أينك- أي عدد طبيعي)، فيترتب على ذلك أنه صحيح بالنسبة للعدد الذي يليهن=ك+1، ثم الافتراض أ(ن) صحيح لأي عدد طبيعين.

في عدد من الحالات، قد يكون من الضروري إثبات صحة عبارة معينة ليس لجميع الأعداد الطبيعية، ولكن فقط لـ n>p، حيث p هو عدد طبيعي ثابت. في هذه الحالة، يتم صياغة مبدأ الاستقراء الرياضي على النحو التالي. إذا كان الاقتراح أ(ن) صحيح لن = صوإذا أ(ك) Þ أ(ك+1)لأي احدك>ع،ثم الجملة أ(ن)صحيح لأي شخصن>ص.

يتم إجراء الإثبات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي على النحو التالي. أولا، يتم التحقق من العبارة المراد إثباتها لـ n=1، أي. تم إثبات صحة العبارة أ(١). هذا الجزء من البرهان يسمى الأساس الاستقراءي. ثم يأتي جزء الإثبات المسمى بالخطوة الاستقراءية. في هذا الجزء يتم إثبات صحة العبارة لـ n=k+1 بافتراض صحة العبارة لـ n=k (افتراض الاستقراء)، أي. أثبت أن A(k)ÞA(k+1).

مثال 1

أثبت أن 1+3+5+…+(2ن-1)=ن 2.

الحل: 1) لدينا n=1=1 2 . لذلك،

العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1، أي. أ(١) صحيح.

2) دعونا نثبت أن A(k)ÞA(k+1).

دع k يكون أي عدد طبيعي ولتكن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k، أي

1+3+5+…+(2ك-1)=ك2 .

دعونا نثبت أن العبارة صحيحة أيضًا بالنسبة للعدد الطبيعي التالي n=k+1، أي. ماذا

1+3+5+…+(2ك+1)=(ك+1) 2 .

بالفعل،

1+3+5+…+(2ك-1)+(2ك+1)=ك 2 +2ك+1=(ك+1) 2 .

إذن، أ(ك)Þأ(ك+1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي، نستنتج أن الافتراض A(n) صحيح لأي nÎN.

مثال 2

اثبت ذلك

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1)، حيث x¹1

الحل: 1) بالنسبة لـ n=1 نحصل على

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ولذلك، بالنسبة لـ n=1، تكون الصيغة صحيحة؛ أ(١) صحيح.

2) اجعل k هو أي عدد طبيعي ولتكن الصيغة صحيحة بالنسبة لـ n=k، أي.

1+x+x 2 +x 3 +…+x ك =(x k+1 -1)/(x-1).

دعونا نثبت أن ثم المساواة

1+x+x 2 +x 3 +…+x ك +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

بالفعل

1+x+x 2 +x 3 +…+x ك +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x ك)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

إذن، أ(ك)Þأ(ك+1). واستناداً إلى مبدأ الاستقراء الرياضي، نستنتج أن الصيغة صحيحة بالنسبة لأي عدد طبيعي n.

مثال 3

أثبت أن عدد أقطار الشكل n المحدب يساوي n(n-3)/2.

الحل: 1) بالنسبة لـ n=3 العبارة صحيحة

و3 ذو معنى، لأنه في مثلث

 A 3 =3(3-3)/2=0 قطري؛

أ2 أ(3) صحيح.

2) لنفترض أنه في كل

محدب k-gon لديه-

أ 1 × أ ك = ك(ك-3)/2 قطريين.

و k دعونا نثبت ذلك بعد ذلك بشكل محدب

(ك+1)-رقم الغون

الأقطار أ ك+1 =(ك+1)(ك-2)/2.

دع A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 يكون محدبًا (k+1)-gon. لنرسم قطريًا A 1 A k فيه. لحساب العدد الإجمالي لأقطار هذا (k+1)-gon، تحتاج إلى حساب عدد الأقطار في k-gon A 1 A 2 ...A k ، أضف k-2 إلى الرقم الناتج، أي. عدد أقطار المنحنى (k+1) المنبثق من الرأس A k+1، وبالإضافة إلى ذلك، يجب أن يؤخذ في الاعتبار القطر A 1 A k.

هكذا،

 ك+1 = ك +(ك-2)+1=ك(ك-3)/2+ك-1=(ك+1)(ك-2)/2.

إذن، أ(ك)Þأ(ك+1). ونظرًا لمبدأ الاستقراء الرياضي، فإن العبارة صحيحة بالنسبة لأي n-gon محدب.

مثال 4

أثبت أنه من أجل أي n العبارة التالية صحيحة:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

الحل: 1) دع n = 1 إذن

× 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

هذا يعني أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1.

2) افترض أن ن = ك

X ك =ك 2 =ك(ك+1)(2ك+1)/6.

3) ضع في اعتبارك هذه العبارة لـ n=k+1

X ك+1 =(ك+1)(ك+2)(2ك+3)/6.

X ك+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+ك 2 +(ك+1) 2 =ك(ك+1)(2ك+1)/6+ +(ك+1) 2 =(ك (ك+1)(2ك+1)+6(ك+1) 2)/6=(ك+1)(ك(2ك+1)+

6(ك+1))/6=(ك+1)(2ك 2 +7ك+6)/6=(ك+1)(2(ك+3/2)(ك+

2))/6=(ك+1)(ك+2)(2ك+3)/6.

لقد أثبتنا أن المساواة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1، وبالتالي، وبموجب طريقة الاستقراء الرياضي، فإن العبارة صحيحة لأي عدد طبيعي n.

مثال 5

أثبت أن لأي عدد طبيعي n المساواة صحيحة:

1 3 +2 3 +3 3 +…+ن 3 =ن 2 (ن+1) 2 /4.

الحل: 1) دع n=1.

ثم X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

نرى أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1.

2) لنفترض أن المساواة صحيحة بالنسبة لـ n=k

إذا كانت الجملة A(n)، اعتمادًا على عدد طبيعي n، صحيحة بالنسبة إلى n=1 ومن حقيقة أنها صحيحة بالنسبة إلى n=k (حيث k هو أي عدد طبيعي)، فإن ذلك يترتب على ذلك أنها صحيحة أيضًا بالنسبة إلى الرقم التالي n=k +1، إذن الافتراض A(n) صحيح لأي عدد طبيعي n.

في عدد من الحالات، قد يكون من الضروري إثبات صحة عبارة معينة ليس لجميع الأعداد الطبيعية، ولكن فقط لـ n>p، حيث p هو عدد طبيعي ثابت. في هذه الحالة، يتم صياغة مبدأ الاستقراء الرياضي على النحو التالي.

إذا كان الاقتراح A(n) صحيحًا بالنسبة لـ n=p وإذا كان A(k) ≈ A(k+1) لأي k>p، فإن الاقتراح A(n) يكون صحيحًا لأي n>p.

يتم إجراء الإثبات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي على النحو التالي. أولا، يتم التحقق من العبارة المراد إثباتها لـ n=1، أي. تم إثبات صحة العبارة أ(١). هذا الجزء من البرهان يسمى الأساس الاستقراءي. ثم يأتي جزء الإثبات المسمى بالخطوة الاستقراءية. في هذا الجزء يتم إثبات صحة العبارة لـ n=k+1 بافتراض صحة العبارة لـ n=k (افتراض الاستقراء)، أي. أثبت أن A(k) 1 A(k+1)

أثبت أن 1+3+5+…+(2ن-1)=ن 2.

• 1) لدينا n=1=1 2 . ولذلك، فإن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1، أي. أ(١) صحيح
• 2) دعونا نثبت أن A(k) ≥ A(k+1)

دع k يكون أي عدد طبيعي ولتكن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k، أي

1+3+5+…+(2ك-1)=ك2

دعونا نثبت أن العبارة صحيحة أيضًا بالنسبة للعدد الطبيعي التالي n=k+1، أي. ماذا

• 1+3+5+…+(2ك+1)=(ك+1) 2 بالفعل،
• 1+3+5+…+(2ك-1)+(2ك+1)=ك 2 +2ك+1=(ك+1) 2

لذا، أ(ك) 1 أ(ك+1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي، نستنتج أن الافتراض A(n) صحيح لأي n O N

اثبت ذلك

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1)، حيث x رقم 1

• 1) بالنسبة لـ n=1 نحصل عليها
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ولذلك، بالنسبة لـ n=1، تكون الصيغة صحيحة؛ أ(١) صحيح

• 2) اجعل k هو أي عدد طبيعي ولتكن الصيغة صحيحة بالنسبة لـ n=k،
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x ك =(x k+1 -1)/(x-1)

دعونا نثبت أن ثم المساواة

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x ك +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) بالفعل
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x ك +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x ك)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

لذا، أ(ك) 1 أ(ك+1). واستناداً إلى مبدأ الاستقراء الرياضي، نستنتج أن الصيغة صحيحة بالنسبة لأي عدد طبيعي n

أثبت أن عدد أقطار الشكل n المحدب هو n(n-3)/2

الحل: 1) بالنسبة لـ n=3 العبارة صحيحة، لأنه في المثلث

أ 3 =3(3-3)/2=0 أقطار؛ أ2 أ(3) صحيح

2) افترض أنه في كل k-gon محدب يوجد A 1 x A k =k(k-3)/2 قطري. A k دعونا نثبت أنه في الشكل المحدب A k+1 (k+1)- على عدد الأقطار A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

دع A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 يكون محدبًا (k+1)-gon. لنرسم قطريًا A 1 A k فيه. لحساب العدد الإجمالي لأقطار هذا (k+1)-gon، تحتاج إلى حساب عدد الأقطار في k-gon A 1 A 2 ...A k ، أضف k-2 إلى الرقم الناتج، أي. عدد أقطار المنحنى (k+1) المنبثق من الرأس A k+1، وبالإضافة إلى ذلك يجب أن يؤخذ في الاعتبار القطر A 1 A k

هكذا،

G ك+1 =G ك +(ك-2)+1=ك(ك-3)/2+ك-1=(ك+1)(ك-2)/2

لذا، أ(ك) 1 أ(ك+1). ونظرًا لمبدأ الاستقراء الرياضي، فإن العبارة صحيحة بالنسبة لأي n-gon محدب.

أثبت أنه من أجل أي n العبارة التالية صحيحة:

1 2 +2 2 +3 2 +…+ن 2 =ن(ن+1)(2ن+1)/6

الحل: 1) دع n = 1 إذن

× 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

2) افترض أن ن = ك

X ك =ك 2 =ك(ك+1)(2ك+1)/6

3) ضع في اعتبارك هذه العبارة لـ n=k+1

X ك+1 =(ك+1)(ك+2)(2ك+3)/6

X ك+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+ك 2 +(ك+1) 2 =ك(ك+1)(2ك+1)/6+ +(ك+1) 2

=(ك(ك+1)(2ك+1)+6(ك+1) 2)/6=(ك+1)(ك(2ك+1)+

6(ك+1))/6=(ك+1)(2ك 2 +7ك+6)/6=(ك+1)(2(ك+3/2)(ك+

2))/6=(ك+1)(ك+2)(2ك+3)/6

لقد أثبتنا أن المساواة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1، وبالتالي، وبموجب طريقة الاستقراء الرياضي، تكون العبارة صحيحة لأي عدد طبيعي n

أثبت أن لأي عدد طبيعي n المساواة صحيحة:

1 3 +2 3 +3 3 +…+ن 3 =ن 2 (ن+1) 2 /4

الحل: 1) دع n=1

ثم X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. نرى أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1.

2) لنفترض أن المساواة صحيحة بالنسبة لـ n=k

X ك =ك 2 (ك+1) 2 /4

3) دعونا نثبت صحة هذه العبارة بالنسبة لـ n=k+1، أي.

X ك+1 =(ك+1) 2 (ك+2) 2 /4. X ك+1 =1 3 +2 3 +…+ك 3 +(ك+1) 3 =ك 2 (ك+1) 2 /4+(ك+1) 3 =(ك 2 (ك+1) 2 +4(ك+1) 3)/4=(ك+1) 2 (ك 2 +4ك+4)/4=(ك+1) 2 (ك+2) 2 /4

يتضح من البرهان أعلاه أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1، وبالتالي فإن المساواة صحيحة لأي عدد طبيعي n

اثبت ذلك

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ͑ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ͑ ... ͑ ((ن 3 +1)/(ن 3 -1) )= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), حيث n>2

الحل: 1) بالنسبة لـ n=2 تبدو الهوية كما يلي:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ч 2 ч 3)/2(2 2 +2+1)، أي. انها حقيقة
• 2) افترض أن التعبير صحيح بالنسبة لـ n=k
• (2 3 +1)/(2 3 -1) ч … ч (ك 3 +1)/(ك 3 -1)=3ك(ك+1)/2(ك 2 +ك+1)
• 3) دعونا نثبت صحة التعبير لـ n=k+1
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) ͑ … ͑ ((ك 3 +1)/(ك 3 -1))) ͑ (((ك+1) 3 +

1)/((ك+1) 3 -1))=(3ك(ك+1)/2(ك 2 +ك+1)) ч ((ك+2)((ك+

1) 2 -(ك+1)+1)/ك((ك+1) 2 +(ك+1)+1))=3(ك+1)(ك+2)/2 ч

Ü ((ك+1) 2 +(ك+1)+1)

لقد أثبتنا أن المساواة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1، وبالتالي، وبموجب طريقة الاستقراء الرياضي، تكون العبارة صحيحة لأي n>2

اثبت ذلك

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) لأي عدد طبيعي n

الحل: 1) دع n = 1 إذن

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) لنفترض أن n=k إذن
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2ك-1) 3 -(2ك) 3 =-ك 2 (4ك+3)
• 3) دعونا نثبت صحة هذه العبارة بالنسبة لـ n=k+1
• (1 3 -2 3 +…+(2ك-1) 3 -(2ك) 3)+(2ك+1) 3 -(2ك+2) 3 =-ك 2 (4ك+3)+

+(2ك+1) 3 -(2ك+2) 3 =-(ك+1) 3 (4(ك+1)+3)

كما تم إثبات صحة المساواة لـ n=k+1، وبالتالي فإن العبارة صحيحة لأي عدد طبيعي n.

إثبات صحة الهوية

(1 2 /1 ч 3)+(2 2 /3 ч 5)+…+(ن 2 /(2n-1) ч (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) لأي طبيعي ن

• 1) بالنسبة لـ n=1 فإن الهوية صحيحة 1 2 /1 ч 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) لنفترض أن ل ن = ك
• (1 2 /1 ч 3)+…+(ك 2 /(2ك-1) ه (2ك+1))=ك(ك+1)/2(2ك+1)
• 3) دعونا نثبت أن الهوية صحيحة لـ n=k+1
• (1 2 /1 ч 3)+…+(ك 2 /(2ك-1)(2ك+1))+(ك+1) 2 /(2ك+1)(2ك+3)=(ك(ك+ 1) )/2(2k+1))+((ك+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((ك+1)/(2k+1)) ͑ ((ك/2 ) +((ك+1)/(2ك+3)))=(ك+1)(ك+2) ч (2ك+1)/2(2ك+1)(2ك+3)=(ك+1 ) (ك+2)/2(2(ك+1)+1)

ومن البرهان أعلاه يتضح أن العبارة صحيحة بالنسبة لأي عدد طبيعي n.

أثبت أن (11ن+2 +12 2ن+1) يقبل القسمة على 133 بدون باقي

الحل: 1) دع n = 1 إذن

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

لكن (23 ч 133) قابلة للقسمة على 133 بدون باقي، مما يعني أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1؛ أ(١) صحيح.

• 2) افترض أن (11 ك+2 +12 2ك+1) يقبل القسمة على 133 بدون باقي
• 3) لنثبت أنه في هذه الحالة (11 ك+3 +12 2ك+3) يقبل القسمة على 133 بدون باقي. بالفعل
• 11 ك+3 +12 2ل+3 =11 ч 11 ك+2 +12 2 ч 12 2 ك+1 =11 ч 11 ك+2 +

+(11+133) ч 12 2k+1 =11(11 ك+2 +12 2k+1)+133 ч 12 2k+1

المجموع الناتج يُقسم على 133 بدون باقي، حيث أن حده الأول قابل للقسمة على 133 بدون باقي بالافتراض، وفي العامل الثاني هو 133. لذلك، A(k) 1 A(k+1). وبحكم طريقة الاستقراء الرياضي يتم إثبات القول

أثبت أن أي n 7 n -1 يقبل القسمة على 6 بدون باقي

• 1) لنفترض أن n=1، إذن X 1 =7 1 -1=6 مقسومة على 6 بدون باقي. هذا يعني أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1
• 2) لنفترض أنه عندما يكون n=k 7 k -1 مقسومًا على 6 بدون باقي
• 3) لنثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1

X ك+1 =7 ك+1 -1=7 7 ك -7+6=7(7 ك -1)+6

الحد الأول يقبل القسمة على 6، حيث أن 7 k -1 يقبل القسمة على 6 بالافتراض، والحد الثاني هو 6. وهذا يعني أن 7 n -1 هو مضاعف 6 لأي عدد طبيعي n. وبحكم طريقة الاستقراء الرياضي يتم إثبات القول.

أثبت أن 3 3n-1 +2 4n-3 لعدد طبيعي عشوائي n يقبل القسمة على 11.

1) دع n = 1 إذن

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 مقسومة على 11 بدون باقي.

هذا يعني أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1

• 2) افترض أنه عندما يكون n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 مقسومًا على 11 بدون باقي
• 3) لنثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1

X ك+1 =3 3(ك+1)-1 +2 4(ك+1)-3 =3 3ك+2 +2 4ك+1 =3 3 q 3 3 ك-1 +2 4 q 2 4k-3 =

27 ч 3 3k-1 +16 ч 2 4k-3 =(16+11) ч 3 3k-1 +16 ч 2 4k-3 =16 ч 3 3k-1 +

11 ч 3 3k-1 +16 ч 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ч 3 3k-1

الحد الأول يقبل القسمة على 11 بدون باقي، حيث أن 3 3ك-1 +2 4ك-3 يقبل القسمة على 11 بافتراض أن الثاني يقبل القسمة على 11، لأن أحد عوامله هو الرقم 11. وهذا يعني أن المجموع يقبل القسمة على 11 بدون باقي لأي عدد طبيعي n. وبحكم طريقة الاستقراء الرياضي يتم إثبات القول.

أثبت أن 11 2n -1 لعدد طبيعي اعتباطي n يقبل القسمة على 6 بدون باقي

• 1) لنفترض أن n=1، فإن 11 2 -1=120 يقبل القسمة على 6 بدون باقي. هذا يعني أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1
• 2) افترض أنه عندما يتم تقسيم n=k 1 2k -1 على 6 بدون باقي
• 11 2(ك+1) -1=121 ч 11 2ك -1=120 ч 11 2ك +(11 2ك -1)

كلا الحدين يقبل القسمة على 6 بدون باقي: الأول يحتوي على مضاعف 6، 120، والثاني يقبل القسمة على 6 بدون باقي بالافتراض. وهذا يعني أن المجموع يقبل القسمة على 6 بدون باقي. وبحكم طريقة الاستقراء الرياضي يتم إثبات القول.

أثبت أن 3 3n+3 -26n-27 لعدد طبيعي اعتباطي n يقبل القسمة على 26 2 (676) بدون باقي

دعونا أولا نثبت أن 3 3n+3 -1 يقبل القسمة على 26 بدون باقي

• 1. عندما ن = 0
• 3 3 -1=26 مقسومة على 26
• 2. افترض أنه بالنسبة لـ n=k
• 3 3k+3 -1 يقبل القسمة على 26
• 3. دعونا نثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1
• 3 3k+6 -1=27 ч 3 3k+3 -1=26 ч 3 3л+3 +(3 3k+3 -1) -مقسمة على 26

الآن دعونا نثبت العبارة التي تمت صياغتها في بيان المشكلة

• 1) من الواضح أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) افترض أنه بالنسبة لـ n=k التعبير 3 3k+3 -26k-27 مقسوم على 26 2 بدون باقي
• 3) لنثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=k+1
• 3 3ك+6 -26(ك+1)-27=26(3 3ك+3 -1)+(3 3ك+3 -26ك-27)

كلا الحدين قابل للقسمة على 26 2؛ الأول يقبل القسمة على 26 2 لأننا أثبتنا أن التعبير الذي بين القوسين يقبل القسمة على 26، والثاني يقبل القسمة على الفرضية الاستقراءية. وبحكم طريقة الاستقراء الرياضي يتم إثبات القول

أثبت أنه إذا كانت n>2 وx>0، فإن المتراجحة (1+x) n >1+n ͑ x صحيحة

• 1) بالنسبة لـ n=2 تكون المتراجحة صحيحة
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

إذن أ(2) صحيح

• 2) دعونا نثبت أن A(k) ≈ A(k+1)، إذا k> 2. افترض أن A(k) صحيح، أي أن المتراجحة
• (1+س) ك >1+ك ͑ س. (3)

دعونا نثبت أن A(k+1) صحيحة أيضًا، أي أن المتباينة

(1+x) ك+1 >1+(ك+1) ч

في الواقع، بضرب طرفي المتباينة (3) في العدد الموجب 1+x، نحصل على ذلك

(1+x) ك+1 >(1+ك ͑ x)(1+x)

النظر في الجانب الأيمن من المتباينة الأخيرة؛ لدينا

(1+ك Ƒ x)(1+x)=1+(ك+1) ͑ x+k Ƒ x 2 >1+(k+1) ͑ x

ونتيجة لذلك، نحصل على (1+x) k+1 >1+(k+1) ч

لذا، أ(ك) 1 أ(ك+1). استنادًا إلى مبدأ الاستقراء الرياضي، يمكن القول بأن متباينة برنولي صالحة لأي n > 2

أثبت أن المتراجحة (1+a+a 2) m > 1+m ć a+(m(m+1)/2) ч a 2 لـ a> 0 صحيحة

الحل: 1) عندما م = 1

• (1+أ+أ 2) 1 > 1+أ+(2/2) ه أ 2 كلا الطرفين متساويان
• 2) لنفترض أن م = ك
• (1+أ+أ 2) ك >1+ك Ƒ أ+(ك(ك+1)/2) Б أ 2
• 3) دعونا نثبت أنه بالنسبة لـ m=k+1 فإن المتراجحة صحيحة
• (1+أ+أ 2) ك+1 =(1+أ+أ 2)(1+أ+أ 2) ك >(1+أ+أ 2)(1+ك خيما+

+(ك(ك+1)/2) ч a 2)=1+(k+1) ч a+((k(k+1)/2)+k+1) ч a 2 +

+((ك(ك+1)/2)+ك) ч a 3 +(k(k+1)/2) ч a 4 > 1+(k+1) ч a+

+((ك+1)(ك+2)/2) ه أ 2

لقد أثبتنا أن المتراجحة صحيحة بالنسبة إلى m=k+1، وبالتالي، وبموجب طريقة الاستقراء الرياضي، فإن المتراجحة صالحة لأي عدد طبيعي m

أثبت أنه بالنسبة لـ n>6 فإن المتراجحة 3 n >n ч 2 n+1 صحيحة

دعونا نعيد كتابة المتباينة على الصورة (3/2) n > 2n

• 1. بالنسبة لـ n=7 لدينا 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ч 7 فإن المتراجحة صحيحة
• 2. افترض أنه بالنسبة لـ n=k (3/2) k >2k
• 3) دعونا نثبت عدم المساواة لـ n=k+1
• 3 ك+1 /2 ك+1 =(3 ك /2 ك) ч (3/2)>2ك ч (3/2)=3ك>2(ك+1)

منذ k>7، فإن المتباينة الأخيرة واضحة.

وبحكم طريقة الاستقراء الرياضي، فإن المتراجحة صالحة لأي عدد طبيعي n

أثبت أنه بالنسبة لـ n>2 فإن المتراجحة صحيحة

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/ن 2)<1,7-(1/n)

• 1) بالنسبة لـ n=3 تكون المتراجحة صحيحة
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. افترض أنه بالنسبة لـ n=k
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/ك 2)=1.7-(1/ك)
• 3) دعونا نثبت صحة المتراجحة لـ n=k+1
• (1+(1/2 2)+…+(1/ك2))+(1/(ك+1) 2)

دعونا نثبت أن 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

ق (1/(ك+1) 2)+(1/ك+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ы ك(ك+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

وهذا الأخير واضح، وبالتالي

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(ك+1) 2)<1,7-(1/k+1)

وبحكم طريقة الاستقراء الرياضي، تم إثبات عدم المساواة.

في العديد من فروع الرياضيات، من الضروري إثبات صحة العبارة اعتمادًا على، على سبيل المثال. حقيقة البيان ع (ن)ل " نتشغيل (لأي نعلى ع (ن)يمين).

يمكن إثبات ذلك في كثير من الأحيان بواسطة طريقة الاستقراء الرياضي.

تعتمد هذه الطريقة على مبدأ الاستقراء الرياضي. وعادة ما يتم اختيارها كواحدة من البديهيات الحسابية، وبالتالي يتم قبولها دون دليل. وفقا لمبدأ الاستقراء الرياضي، الجملة ع (ن)يعتبر صحيحا لجميع القيم الطبيعية للمتغير إذا تم استيفاء شرطين:

1. العرض ع (ن)صحيح ل ن= 1.

2. من جملة ذلك ع (ن)صحيح ل ن =ك (ك -العدد الطبيعي التعسفي) ويترتب على ذلك أنه صحيح ل ن =ك+ 1.

طريقة الاستقراء الرياضي تعني طريقة الإثبات التالية

1. التحقق من صحة العبارة ل ن= 1 - قاعدة الحث.

2. افترض أن العبارة صحيحة ن = ك -الفرضية الاستقرائية.

3. لقد أثبتوا أن هذا صحيح أيضًا ن =ك+ 1 تقاطع حثي.

في بعض الأحيان اقتراح ع (ن)تبين أن هذا صحيح ليس لجميع المواد الطبيعية ن، والبدء من بعض ل ن = ن 0. في هذه الحالة حقيقة ع (ن)في ن = ن 0.

مثال 1.يترك . اثبت ذلك

1. قاعدة الحث: في ن= 1 حسب التعريف س 1 = 1 وحسب الصيغة نحصل على نتيجة واحدة. البيان صحيح.

ن = كو .

ن = ك+ 1. دعونا نثبت ذلك .

في الواقع، بحكم الافتراض الاستقرائي

دعونا تحويل هذا التعبير

لقد تم إثبات التحول الاستقرائي.

تعليق.ومن المفيد أن نكتب ما هو معطى (الفرضية الاستقرائية) وما يحتاج إلى إثبات!

مثال 2.يثبت

1. قاعدة الحث. في ن= 1، من الواضح أن العبارة صحيحة.

2. الفرضية الاستقرائية. يترك ن = كو

3. الانتقال الاستقرائي. يترك ن = ك+ 1. دعونا نثبت:

في الواقع، دعونا نقوم بتربيع الجانب الأيمن كمجموع رقمين:

باستخدام الافتراض الاستقرائي وصيغة مجموع التقدم الحسابي: نحصل على

مثال 3.إثبات عدم المساواة

1. أساس الاستقراء في هذه الحالة هو التحقق من صحة القول، أي: فمن الضروري التحقق من عدم المساواة. للقيام بذلك، يكفي تربيع المتباينة: أو 63< 64 – неравенство верно.

2. دع عدم المساواة يكون صحيحا، على سبيل المثال.

3. دعونا نثبت:

نحن نستخدم الافتراض الاستقراء

بمعرفة الشكل الذي يجب أن يبدو عليه الجانب الأيمن من المتباينة التي سيتم إثباتها، دعونا نسلط الضوء على هذا الجزء

يبقى أن نثبت أن العامل الإضافي لا يتجاوز الواحد. حقًا،

مثال 4.أثبت أن أي عدد طبيعي ينتهي بالرقم .

1. أصغر عدد طبيعي تصح منه العبارة يساوي . .

2. دع الرقم ينتهي بـ . هذا يعني أنه يمكن كتابة هذا العدد على الصورة حيث يوجد عدد طبيعي ما. ثم .

3. دع . دعونا نثبت أنه ينتهي بـ . باستخدام التمثيل الذي تم الحصول عليه، نحصل على

الرقم الأخير لديه بالضبط الآحاد.

طلب

1.4. طريقة الاستقراء الرياضي

كما تعلمون، يجب إثبات البيانات الرياضية (النظريات) وإثباتها. وسوف نتعرف الآن على إحدى طرق الإثبات - وهي طريقة الاستقراء الرياضي.

بالمعنى الواسع، الاستقراء هو أسلوب تفكير يسمح للمرء بالانتقال من عبارات معينة إلى عبارات عامة. يسمى الانتقال العكسي من العبارات العامة إلى العبارات المحددة بالاستنتاج.

الاستنتاج يؤدي دائما إلى الاستنتاجات الصحيحة. على سبيل المثال، نحن نعرف النتيجة العامة: جميع الأعداد الصحيحة التي تنتهي بالصفر قابلة للقسمة على 5. ومن هذا، بالطبع، يمكننا أن نستنتج أن أي رقم محدد ينتهي بالصفر، على سبيل المثال 180، يقبل القسمة على 5.

وفي الوقت نفسه، يمكن أن يؤدي الاستقراء إلى استنتاجات غير صحيحة. على سبيل المثال، لاحظنا أن الرقم 60 قابل للقسمة على الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، 6، فلا يحق لنا أن نستنتج أن 60 قابل للقسمة على أي رقم على الإطلاق.

تسمح طريقة الاستقراء الرياضي في كثير من الحالات بإثبات صحة العبارة العامة P(n)، والتي تتضمن صياغتها الرقم الطبيعي n.

يتضمن تطبيق الطريقة 3 مراحل.

1) قاعدة الاستقراء: نتحقق من صحة العبارة P(n) لـ n = 1 (أو لقيمة أخرى معينة لـ n، بدءًا من افتراض صحة P(n)).

2) الافتراض الاستقراء: نفترض أن P(n) صالحة لـ n = k.

3) الخطوة الاستقراءية: باستخدام الافتراض، نثبت أن P(n) صالحة لـ n = k + 1.

ونتيجة لذلك، يمكننا أن نستنتج أن P(n) صالحة لأي n ∈ N. في الواقع، بالنسبة لـ n = 1 فإن العبارة صحيحة (قاعدة الاستقراء). وبالتالي، فإن هذا صحيح أيضًا بالنسبة لـ n = 2، نظرًا لأن الانتقال من n = 1 إلى n = 2 له ما يبرره (الخطوة الاستقراءية). وبتطبيق الخطوة الاستقراءية مراراً وتكراراً، نحصل على صلاحية P(n) لـ n = 3, 4, 5, . . .، أي صحة P(n) لجميع n.

مثال 14. مجموع أول n من الأعداد الطبيعية الفردية هو n2: 1 + 3 + 5 + ...

+ (2ن - 1) = ن2.

سنقوم بالإثبات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

1) القاعدة: مع n=1 يوجد حد واحد فقط على اليسار، نحصل على: 1 = 1.

البيان صحيح.

2) الافتراض: نفترض أن المساواة بالنسبة لبعض k صحيحة: 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) = k2.

حل المسائل المتعلقة باحتمالية الضربات أثناء الطلقات

الصيغة العامة للمشكلة هي كما يلي:

احتمال إصابة الهدف بطلقة واحدة هو $p$. تم إطلاق طلقات $n$. أوجد احتمالية إصابة الهدف بالضبط $k$ مرات (ستكون هناك مرات $k$).

نطبق صيغة برنولي ونحصل على:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k).

هنا $C_n^k$ هو عدد مجموعات $n$ بواسطة $k$.

إذا كانت المشكلة تتضمن عدة أسهم احتمالات مختلفةيمكنك العثور هنا على كيفية تحقيق الهدف والنظرية وأمثلة الحلول والآلة الحاسبة.

فيديو تعليمي ونموذج Excel

شاهد الفيديو الخاص بنا حول حل مشكلات تصوير برنولي وتعلم كيفية استخدام برنامج Excel لحل المشكلات الشائعة.

يمكن تنزيل ملف حساب Excel من الفيديو مجانًا واستخدامه لحل مشكلاتك.

أمثلة على حلول المشكلات المتعلقة بإصابة الهدف في سلسلة من اللقطات

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة النموذجية.

مثال 1.أطلق 7 طلقات. احتمال الإصابة برصاصة واحدة هو 0.705. أوجد احتمال وجود 5 نتائج بالضبط.

لقد حصلنا على أن المشكلة تتضمن اختبارات مستقلة متكررة (طلقات على هدف)، وتم إطلاق إجمالي $n=7$ طلقات، واحتمال الإصابة لكل $p=0.705$، واحتمال الخطأ $q=1 -p=1-0.705=0.295 $.

نحن بحاجة إلى العثور على أنه سيكون هناك بالضبط $k=5$ زيارات. نستبدل كل شيء في الصيغة (1) ونحصل على: $$ P_7(5)=C_(7)^5 \cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2 = 21\cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2= 0.318. $$

مثال 2.احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.4.

تم إطلاق أربع طلقات مستقلة على الهدف. أوجد احتمال إصابة الهدف مرة واحدة على الأقل.

ندرس المشكلة ونكتب المعلمات: $n=4$ (لقطة)، $p=0.4$ (احتمالية الإصابة)، $k \ge 1$ (ستكون هناك إصابة واحدة على الأقل).

نستخدم صيغة احتمالية الحدث المعاكس (لا توجد نتيجة واحدة):

$$ P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)= $$ $$ =1-C_(4)^0 \cdot 0.4^0 \cdot 0 .6 ^4 =1- 0.6^4=1- 0.13=0.87. $$

احتمالية الضرب مرة واحدة على الأقل من أصل أربعة هي 0.87 أو 87%.

مثال 3.احتمال إصابة الهدف بواسطة مطلق النار هو 0.3.

أوجد احتمال إصابة الهدف بـ 6 طلقات من ثلاث إلى ست مرات.

على عكس المشاكل السابقة، هنا تحتاج إلى العثور على احتمال أن يكون عدد الزيارات في فترة زمنية معينة (ولا يساوي بالضبط بعض الأرقام). ولكن يتم استخدام نفس الصيغة.

لنجد احتمال إصابة الهدف من ثلاث إلى ست مرات، أي أنه سيكون هناك إما 3، أو 4، أو 5، أو 6 ضربات.

نحسب هذه الاحتمالات باستخدام الصيغة (1):

$$ P_6(3)=C_(6)^3 \cdot 0.3^3\cdot 0.7^3 = 0.185. $$ $$ P_6(4)=C_(6)^4 \cdot 0.3^4\cdot 0.7^2 = 0.06. $$ $$ P_6(5)=C_(6)^5 \cdot 0.3^5\cdot 0.7^1 = 0.01. $$ $$ P_6(6)=C_(6)^6 \cdot 0.3^6\cdot 0.7^0 = 0.001.

وبما أن الأحداث غير متوافقة، فيمكن إيجاد الاحتمال المطلوب باستخدام صيغة جمع الاحتمالات: $$ P_6(3 \le k \le 6)=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6) )=$$ $$ = 0.185+0.06+0.01+0.001=0.256.$$

مثال 4.احتمال إصابة هدف واحد على الأقل بأربع طلقات هو 0.9984. أوجد احتمال إصابة الهدف بطلقة واحدة.

دعونا نشير إلى احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة. دعونا نقدم الحدث:
$A = $ (من أصل أربع طلقات، ستصيب واحدة على الأقل الهدف)،
وكذلك الحدث المعاكس، والذي يمكن كتابته على النحو التالي:
$\overline(A) = $ (جميع الطلقات الأربع ستخطئ الهدف، وليس ضربة واحدة).

دعونا نكتب صيغة احتمال الحدث $A$.

لنكتب القيم المعروفة: $n=4$، $P(A)=0.9984$. عوض في الصيغة (1) واحصل على:

$$ P(A)=1-P(\overline(A))=1-P_4(0)=1-C_(4)^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^4=1- (1-ع)^4=0.9984.

نحل المعادلة الناتجة:

$$ 1-(1-p)^4=0.9984,\\ (1-p)^4=0.0016,\\ 1-p=0.2,\\ p=0.8. $$

لذا فإن احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.8.

شكرا للقراءة والمشاركة مع الآخرين.

روابط مفيدة

ابحث عن المشاكل الجاهزة في الحل:

الحسابات عبر الإنترنت باستخدام صيغة برنولي

حل المتباينات باستخدام الآلة الحاسبة

تشير المتباينات في الرياضيات إلى جميع المعادلات حيث يتم استبدال "=" بأي من الرموز التالية: \[>\]\[\geq\]\[

* خطي؛

* مربع؛

* كسور؛

* إرشادية؛

* حساب المثاثات؛

* لوغاريتمي.

اعتمادًا على هذا، تسمى عدم المساواة الخطية، والجزئية، وما إلى ذلك.

يجب أن تكون على علم بهذه العلامات:

* المتباينات التي تكون أكبر من (>) أو أقل من (

* تسمى عدم المساواة مع الرموز التي تكون أكبر من أو تساوي \[\geq\] أقل من أو تساوي [\leq\] غير احترافية؛

* الرمز ليس هو نفسه \[\ne\]، ولكن من الضروري حل الحالات باستخدام هذا الرمز طوال الوقت.

ويتم حل هذا التفاوت من خلال تحولات الهوية.

اقرأ أيضًا مقالتنا حل الحل الكامل للمعادلة عبر الإنترنت

لنفترض أن عدم المساواة التالية ينطبق:

نحن نحلها بنفس طريقة حل المعادلة الخطية، لكن علينا الانتباه إلى علامة المتباينة.

أولاً ننقل المصطلحات من المجهول إلى اليسار، ومن المعلوم إلى اليمين، مع عكس الرموز:

ثم نقسم الطرفين على -4 ونعكس علامة المتباينة:

هذا هو الجواب على هذه المعادلة.

أين يمكنني حل مشكلة عدم المساواة عبر الإنترنت؟

يمكنك حل المعادلة على موقعنا الإلكتروني Pocketteacher.ru.

حاسبة عدم المساواة برنولي

في غضون ثوانٍ، سيعمل حل الإنقاذ المجاني عبر الإنترنت على حل معادلة عبر الإنترنت بأي تعقيد. كل ما عليك فعله هو إدخال بياناتك في الإنقاذ. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا.

وإذا كانت لديك أسئلة، يمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي الخاصة بنا: مدرس الجيب. انضم إلى مجموعتنا، سنكون سعداء بمساعدتك.

طريقة الاستقراء الرياضي الكامل

حل المعادلات / المعادلات التفاضلية

© اختبار RU - الآلات الحاسبة على الإنترنت

حل المعادلات التفاضلية

أدخل الفرق.

المعادلة:

باستخدام الآلة الحاسبة، يمكنك حل المعادلات التفاضلية ذات التعقيد المتفاوت.

أمثلة على المعادلات التفاضلية القابلة للحل

يتم استخدام طريقة الإثبات المبنية على بديهية بيانو 4 لإثبات العديد من الخصائص الرياضية والعبارات المختلفة. أساس هذا هو النظرية التالية.

نظرية. إذا كان البيان أ(ن)مع المتغير الطبيعي نصحيح ل ن = 1 ومن حقيقة أنه صحيح ل ن = كويترتب على ذلك أن هذا صحيح بالنسبة للرقم التالي ن = ك،ثم البيان أ(ن) ن.

دليل. دعونا نشير بواسطة ممجموعة هؤلاء وفقط تلك الأعداد الطبيعية التي تم البيان عنها أ(ن)حقيقي. ومن شروط النظرية لدينا: 1) 1 م; 2) كمكم. ومن هنا، وبناء على البديهية 4، نستنتج ذلك م =ن، أي. إفادة أ(ن)صحيح لأي طبيعي ن.

تسمى طريقة الإثبات المبنية على هذه النظرية بطريقة الاستقراء الرياضي،والبديهية هي بديهية الحث. يتكون هذا الإثبات من قسمين:

1) إثبات ذلك البيان أ(ن)صحيح ل ن = أ(1);

2) افترض أن البيان أ(ن)صحيح ل ن = ك، وعلى أساس هذا الافتراض أثبت أن هذا القول أ(ن)صحيح ل ن = ك + 1، أي. أن البيان صحيح ا(ك) ا(ك + 1).

لو أ( 1) أ(ك) أ(ك + 1) - بيان صحيح، ثم يستنتجون أن البيان أ(ن)صحيح لأي عدد طبيعي ن.

لا يمكن أن يبدأ الإثبات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي فقط بتأكيد صحة العبارة ن = 1، ولكن أيضًا من أي عدد طبيعي م. في هذه الحالة البيان أ(ن)سيتم إثباته لجميع الأعداد الطبيعية نانومتر.

المشكلة: لنثبت أن أي عدد طبيعي يساوي 1 + 3 + 5 … + (2 ن- 1) = ن.

حل.المساواة 1 + 3 + 5 … + (2 ن- 1) = نهي صيغة يمكن استخدامها لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية الفردية المتتالية الأولى. على سبيل المثال، 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (المجموع يحتوي على 4 حدود)، 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (المجموع يحتوي على 6 حدود)؛ إذا كان هذا المجموع يحتوي على 20 حدًا من النوع المشار إليه، فهو يساوي 20 = 400، إلخ. وبعد إثبات صحة هذه المساواة، سنكون قادرين على إيجاد مجموع أي عدد من الحدود من النوع المحدد باستخدام الصيغة.

1) دعونا نتحقق من حقيقة هذه المساواة ن = 1. متى ن = 1 الجانب الأيسر من المساواة يتكون من حد واحد يساوي 1، والجانب الأيمن يساوي 1= 1. وبما أن 1 = 1، إذن ن = 1 هذه المساواة صحيحة.

2) لنفترض أن هذه المساواة صحيحة ل ن = ك، أي. أن 1 + 3 + 5 + ... + (2 ك- 1) = ك.وبناء على هذا الافتراض نثبت صحة ذلك ن = ك + 1، أي. 1 + 3 + 5 + … + (2 ك- 1) + (2(ك + 1) - 1) = (ك + 1).

دعونا ننظر إلى الجانب الأيسر من المساواة الأخيرة.

على الافتراض، مجموع الأول كحيث يساوي كوبالتالي 1 + 3 + 5 + ... + (2 ك- 1) + (2(ك + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2ك- 1) + (2ك+ 1)=

= ك+(2ك + 1) = ك+ 2ك + 1. تعبير ك+ 2ك + 1 يساوي تمامًا التعبير ( ك + 1).

ولذلك فإن حقيقة هذه المساواة ل ن = ك +تم إثبات 1.

وبالتالي فإن هذه المساواة صحيحة بالنسبة ن = 1 ومن حقيقتها ل ن = كيجب أن يكون صحيحا ل ن = ك + 1.

وهذا يثبت أن هذه المساواة صحيحة لأي عدد طبيعي.

باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي، يمكنك إثبات حقيقة ليس فقط المساواة، ولكن أيضا عدم المساواة.

مهمة. أثبت ذلك، أين ن.ن.

حل.دعونا نتحقق من حقيقة عدم المساواة في ن = 1. لدينا عدم مساواة حقيقية.

لنفترض أن عدم المساواة صحيح ل ن = ك،أولئك. - عدم المساواة الحقيقية. دعونا نثبت، بناءً على الافتراض، أن هذا صحيح أيضًا ن = ك + 1، أي. (*).

لنحول الطرف الأيسر من المتراجحة (*)، مع مراعاة ما يلي: .

ولكن هذا يعني .

إذن، هذه المتباينة تنطبق على ن = 1، ومن كون عدم المساواة صحيحا بالنسبة للبعض ن = ك، وجدنا أن هذا صحيح أيضًا ن = ك + 1.

وهكذا، باستخدام البديهية 4، أثبتنا أن هذه المتباينة صحيحة لأي عدد طبيعي.

يمكن إثبات العبارات الأخرى باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

مهمة. أثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة لأي عدد طبيعي.

حل. دعونا نتحقق من صحة البيان متى ن = 1:- كلام صحيح.

لنفترض أن هذا البيان صحيح ل ن = ك: . دعونا نبين باستخدام هذا حقيقة العبارة متى ن = ك + 1: .

دعونا نحول التعبير: . دعونا نجد الفرق كو ك+ 1 أعضاء. إذا اتضح أن الفرق الناتج هو مضاعف للرقم 7، وبافتراض أن المطروح قابل للقسمة على 7، فإن الطرح هو أيضًا مضاعف للرقم 7:

المنتج هو مضاعف 7، وبالتالي، و .

وبالتالي فإن هذا البيان صحيح ل ن = 1 ومن حقيقتها ل ن = كيجب أن يكون صحيحا ل ن = ك + 1.

وهذا يثبت أن هذه العبارة صحيحة بالنسبة لأي عدد طبيعي.

مهمة. أثبت ذلك لأي عدد طبيعي ن 2 العبارة (7-1)24 صحيحة.

حل. 1) دعونا نتحقق من صحة العبارة متى ن= 2: - بيان صحيح.