أوجد مجموع المتسلسلة باستخدام التفاضل أو التكامل. متسلسلة القوى نظرية هابيل متسلسلة ماكلورين. أسئلة الاختبار الذاتي

سلسلة القوى نظرية هابيل. الفاصل الزمني ونصف قطر التقارب لسلسلة القوى التقارب الموحد لسلسلة القوى واستمرارية مجموعها تكامل سلسلة القوى تمايز سلسلة القوى سلسلة تايلور شروط تحلل دالة في سلسلة تايلور للوظائف الأولية جدول التوسعات في السلطة سلسلة (سلسلة ماكلورين) من الوظائف الأولية الأساسية.

نظرية هابيل. فترة نصف قطر التقارب لمتسلسلة القوى متسلسلة القوى هي متسلسلة وظيفية من الشكل (o أو النوع (2) حيث المعاملات ثوابت. المتسلسلة (2) بالاستبدال الرسمي x - x<> على x يقلل إلى السلسلة (1). تتقارب متسلسلة القوى (1) دائمًا عند النقطة x = 0، والمتسلسلة (2) عند النقطة x0، ومجموعهما عند هذه النقاط يساوي ω. مثال. الصفوف وضعت الصفوف. دعونا نتعرف على شكل منطقة التقارب لمتسلسلة القوى. النظرية 1 (هابيل). إذا تقاربت سلسلة القوى عند، فإنها تتقارب بشكل مطلق لجميع x، بحيث إذا تباعدت سلسلة القوى عند x = xi، فإنها تتباعد عند أي x حيث دع متسلسلة القوى تتقارب عند. سلسلة الأعداد تتقارب مع نظرية هابيل. الفاصل الزمني ونصف قطر التقارب لسلسلة القوى التقارب الموحد لسلسلة القوى واستمرارية مجموعها تكامل سلسلة القوى تمايز سلسلة القوى سلسلة تايلور شروط تحلل دالة في سلسلة تايلور للوظائف الأولية جدول التوسعات في السلطة سلسلة (سلسلة ماكلورين) من الوظائف الأولية الأساسية. ويترتب على ذلك أن "a" تعني أن هناك رقمًا مثل M لكل n. فكر في السلسلة حيث وقم بتقدير مصطلحها المشترك. لدينا أين = . لكن المتسلسلة مكونة من حدود متوالية هندسية ذات مقام q، حيث تعني أنها تتقارب. بناءً على معيار المقارنة، الصف 2 |с:гп| يتقارب عند أي نقطة x لذلك. وبالتالي، فإن متسلسلة القوى متقاربة تقاربًا مطلقًا FOR فلتكن الآن متسلسلة القوى هي النقاط O)، التي تفصل فترات التباعد عن فترة التقارب. النظرية التالية تحمل. النظرية 2. دع متسلسلة القوى تتقارب عند نقطة x Φ 0. ثم إما أن تتقارب هذه المتسلسلة بشكل مطلق عند كل نقطة على خط الأعداد، أو يكون هناك رقم R > O بحيث تتقارب المتسلسلة بشكل مطلق عند وتتباعد عند Diverge. عضلات المعدة. يتقارب ويتباعد د. 1 التعريف. فترة تقارب متسلسلة القوى هي الفترة (-R, R)، حيث R > 0، بحيث تتقارب السلسلة تمامًا عند كل نقطة x € (-R, R)، وعند النقاط x بحيث |i| > R، السلسلة تتباعد. يُطلق على الرقم R نصف قطر تقارب متسلسلة القوى. تعليق. أما بالنسبة لنهايات فترة التقارب (-R، R)، فمن الممكن حدوث الحالات الثلاث التالية: i) تتقارب متسلسلة القوى عند النقطة x = -R وعند النقطة x = R، 2) تتباعد متسلسلة القوى 3) تتقارب متسلسلة القوى عند أحد طرفي فترة التقارب وتتباعد عند الطرف الآخر. تعليق. متسلسلة القوى حيث hof0 لها نفس نصف قطر التقارب مثل المتسلسلة.لإثبات الصيغة (3) اعتبر متسلسلة مكونة من القيم المطلقة لحدود هذه المتسلسلة.بتطبيق اختبار دالمبيرت على هذه المتسلسلة، نجد أنه يترتب على ذلك أن المتسلسلة (4) تتقارب إذا وتتباعد إذا. تتقارب متسلسلة القوى بشكل مطلق بالنسبة لجميع x بحيث تتباعد عندها. ومن خلال تحديد نصف قطر التقارب نجد أنه يمكن أيضًا إيجاد نصف قطر تقارب متسلسلة القوى باستخدام صيغة إذا كان هناك نهاية منتهية، كما يمكن الحصول على الصيغة (5) بسهولة باستخدام معيار كوشي. إذا كانت متسلسلة القوى متقاربة فقط عند النقطة x = 0، فإننا نقول أن نصف قطر تقاربها هو R = 0 (وهذا ممكن، على سبيل المثال، عندما lim L^D = oo أو إذا تقاربت متسلسلة القوى عند جميع نقاط المحور الحقيقي، فإننا نفترض R = + oo (يحدث هذا، على سبيل المثال، عندما lim n^p = 0 أو يمكن أن تكون منطقة التقارب لسلسلة القوى إما الفاصل الزمني (، أو المقطع [، أو أحد النصفين -الفترات (x0 - R, x0 + D) أو [. إذا كانت R = + oo، فإن منطقة تقارب السلسلة ستكون المحور العددي بأكمله، أي الفاصل الزمني (-oo, +oo).للعثور على منطقة تقارب سلسلة القوى، يجب عليك أولاً حساب نصف قطر تقاربها R (على سبيل المثال، باستخدام إحدى الصيغ المذكورة أعلاه) وبالتالي العثور على فترة تقارب النقطة O)، التي تفصل فترات التباعد عن الفاصل الزمني التقارب.. تنص على النظرية التالية. النظرية 2. دع متسلسلة القوى تتقارب عند النقطة x Ф 0. فإما أن تتقارب هذه المتسلسلة تمامًا عند كل نقطة على خط الأعداد، أو يكون هناك رقم R > O بحيث تتقارب المتسلسلة مطلقا في ويتباعد في | يتباعد. عضلات المعدة. تعريف يتقارب ويتباعد فترة تقارب متسلسلة القوى هي الفترة (-R, R)، حيث R > 0، بحيث تتقارب السلسلة تمامًا عند كل نقطة x € (-R, R)، وعند النقاط x بحيث |i| > R، السلسلة تتباعد. يُطلق على الرقم R نصف قطر تقارب متسلسلة القوى. تعليق. أما بالنسبة لنهايات فترة التقارب (-R، R)، فمن الممكن حدوث الحالات الثلاث التالية: i) تتقارب متسلسلة القوى عند النقطة x = -R وعند النقطة x = R، 2) تتباعد متسلسلة القوى 3) تتقارب متسلسلة القوى عند أحد طرفي فترة التقارب وتتباعد عند الطرف الآخر. تعليق. متسلسلة القوى حيث hof0 لها نفس نصف قطر التقارب مثل المتسلسلة.لإثبات الصيغة (3) اعتبر متسلسلة مكونة من القيم المطلقة لحدود هذه المتسلسلة.بتطبيق اختبار دالمبيرت على هذه المتسلسلة، نجد أنه يترتب على ذلك أن المتسلسلة (4) سوف تتقارب إذا كانت \، وتتباعد إذا، أي أن متسلسلة القوى تتقارب بشكل مطلق لجميع x بحيث تتباعد من أجل \. من خلال تحديد نصف قطر التقارب، نحصل على أن R = £، أي نظرية هابيل POWER SERIES. الفاصل الزمني ونصف قطر التقارب لسلسلة القوى التقارب الموحد لسلسلة القوى واستمرارية مجموعها تكامل سلسلة القوى تمايز سلسلة القوى سلسلة تايلور شروط تحلل دالة في سلسلة تايلور للوظائف الأولية جدول التوسعات في السلطة سلسلة (سلسلة ماكلورين) من الوظائف الأولية الأساسية. يمكن أيضًا إيجاد نصف قطر تقارب متسلسلة القوى باستخدام الصيغة إذا كان هناك حد منتهٍ، ويمكن الحصول على الصيغة (5) بسهولة باستخدام اختبار كوشي. إذا كانت متسلسلة القوى متقاربة فقط عند النقطة x = 0، فإننا نقول أن نصف قطر تقاربها هو R = 0 (وهذا ممكن، على سبيل المثال، عندما lim b^D = oo أو. إذا تقاربت متسلسلة القوى عند جميع النقاط للمحور الحقيقي، فإننا نفترض أن R = +oo (يحدث هذا، على سبيل المثال، عندما تكون منطقة التقارب لمتسلسلة قوى إما الفاصل الزمني (، أو المقطع ]، أو أحد أنصاف الفترات (x0 - R,x0 + D) أو [. إذا كان R = +oo، فإن منطقة تقارب المتسلسلة ستكون المحور العددي بأكمله، أي الفاصل الزمني (-oo، +oo). للعثور على منطقة تقارب القوة المتسلسلة، يجب عليك أولاً حساب نصف قطر تقاربها R (على سبيل المثال، باستخدام إحدى الصيغ المذكورة أعلاه) وبالتالي العثور على فترة التقارب التي تتقارب فيها المتسلسلة بشكل مطلق، ثم التحقق من تقارب المتسلسلة عند نهايات فترة التقارب - عند النقاط x = xo - R, x = xq + R. مثال 1. أوجد منطقة تقارب سلسلة القوى M 1) للعثور على نصف قطر التقارب R لهذه السلسلة، من المناسب تطبيق الصيغة ( 3).بطريقة ما سيكون لدينا أن المتسلسلة تتقارب تقارباً مطلقاً على الفترة. 2) دعونا ندرس تقارب المتسلسلة (6) عند نهايات فترة التقارب. وبوضع x = -1 نحصل على سلسلة أرقام يكون تباعدها واضحا (لم يتم استيفاء المعيار الضروري للتقارب: . بالنسبة لـ x - 1 نحصل على سلسلة أرقام لا وجود لها مما يعني أن هذه السلسلة تتباعد. لذا، منطقة تقارب المتسلسلة (6) عبارة عن فترة مثال 2. أوجد مساحة تقارب المتسلسلة م 1) نجد نصف قطر التقارب باستخدام الصيغة (3). لدينا المتسلسلة (7) تتقارب بشكل مطلق على الفترة، ومن هنا نحصل على متسلسلة عددية متباعدة (متسلسلة توافقية). عند x = 0 سيكون لدينا سلسلة أرقام متقاربة بشكل مشروط. وبالتالي فإن المتسلسلة (7) تتقارب في المنطقة مثال 3. أوجد فترة تقارب المتسلسلة بما أن =، ثم لإيجاد نصف قطر التقارب نطبق الصيغة وهذا يعني أن هذه المتسلسلة تتقارب لجميع قيم x، أي. منطقة التقارب هي الفترة مثال 4. أوجد فترة التقارب للمتسلسلة، ثم نحصل على المساواة R = 0 تعني أن المتسلسلة (8) تتقارب عند نقطة واحدة فقط. أي أن منطقة التقارب لمتسلسلة قوى معينة تتكون من نقطة واحدة §2. التقارب المنتظم لمتسلسلة القوى واستمرارية مجموعها نظرية 1. تتقارب متسلسلة القوى بشكل مطلق وموحد على أي قطعة موجودة في فترة تقارب المتسلسلة Let. ثم لكل ث استيفاء الشرط، ولأي ن =. سوف نحصل على. ولكن بما أن سلسلة الأرقام تتقارب، وفقًا لمعيار Weierstrass، فإن سلسلة القوى هذه تتقارب بشكل مطلق وموحد على القطعة. النظرية 2. مجموع سلسلة القدرة مستمر عند كل نقطة x من فترة التقارب الخاصة بها (4) يمكن تضمين أي نقطة x من فترة التقارب (-D، R) في مقطع معين تتقارب فيه السلسلة المعطاة بشكل موحد. بما أن حدود المتسلسلة متصلة، فإن مجموعها S(x) سيكون مستمرًا على الفترة [-a, a]، وبالتالي عند النقطة x. من سلسلة القوى). يمكن تكامل سلسلة القوى حدًا تلو الآخر في فترة التقارب الخاصة بها (-R، R )، R > O، ونصف قطر تقارب السلسلة الذي تم الحصول عليه عن طريق التكامل حدًا تلو الآخر هو أيضًا تساوي R. على وجه الخصوص، لأي x من الفاصل الزمني (-R، R) تحمل الصيغة التالية: أي نقطة x من الفاصل الزمني للتقارب (-D، R) يمكن وضعها في مقطع ما [-a، a]، حيث على هذا المقطع ستتقارب هذه المتسلسلة بشكل منتظم، وبما أن حدود المتسلسلة متصلة فيمكن تكاملها حداً بعد حد، على سبيل المثال، في المدى من 0 إلى x. ثم، وفقاً للنظرية 4 من الفصل الثامن عشر، لنفترض نجد نصف قطر التقارب R" من سلسلة POWER SERIES الناتجة عن نظرية هابيل. الفاصل الزمني ونصف قطر التقارب لسلسلة القوى التقارب الموحد لسلسلة القوى واستمرارية مجموعها تكامل سلسلة القوى تمايز سلسلة القوى سلسلة تايلور شروط تحلل دالة في سلسلة تايلور للوظائف الأولية جدول التوسعات في السلطة سلسلة (سلسلة ماكلورين) من الوظائف الأولية الأساسية. في ظل الشرط الإضافي للوجود الحد النهائي R. Ime لذا فإن نصف قطر تقارب متسلسلة القوى لا يتغير أثناء التكامل. تعليق. يظل بيان النظرية صالحًا لـ R = +oo. §4. نظرية تمايز متسلسلات القوى 4 (في التمايز بين متسلسلات القوى على حدة). يمكن اشتقاق متسلسلة القوى حدًا تلو الآخر عند أي نقطة x من فترة تقاربها 4 ليكن R هو نصف قطر تقارب المتسلسلة و R" يكون نصف قطر تقارب المتسلسلة افترض أن هناك (منتهي أو لانهائي) دعونا نوجد نصف القطر B! للمتسلسلة التي لدينا، وبالتالي فإن نصف قطر تقارب المتسلسلة (1) و(2) متساويان، دعونا نشير إلى مجموع المتسلسلة (2) بالمتسلسلة (1) و ( 2) تتقارب بشكل منتظم على أي قطعة [-a, a|، حيث، علاوة على ذلك، فإن جميع حدود المتسلسلة (2) متصلة وهي مشتقات من الحدود المقابلة للمتسلسلة (1)، لذلك، وفقًا للنظرية 5 من الفصل الثامن عشر ، فإن المساواة تنطبق على الفترة [-a، a). ونظرًا لاعتباطية a، فإن المساواة الأخيرة تنطبق أيضًا على الفترة Sledspie. تعريف سلسلة القوى. سنقول أن الدالة /(x) تتوسع إلى متسلسلة قوى ]G) SpXn على فترة زمنية إذا كانت المتسلسلة المشار إليها متقاربة في هذه الفترة وكان مجموعها يساوي /(x): دعونا نثبت أولاً أن الدالة /(x) لا يمكن أن تحتوي على توسعتين مختلفتين في سلسلة قوى ذات شكل نظرية 5. إذا تم توسيع الدالة f(x) على الفاصل الزمني (-R, R) إلى متسلسلة قوى (1)، فإن هذا التوسع يكون فريدًا، أي أن معاملات السلسلة (1) يتم تحديدها بشكل فريد من مجموعها. دع الدالة في الفترة تتوسع إلى متسلسلة قوى متقاربة، وبتمييز هذه المتسلسلة حدًا n مرات، نجد عندما x = 0 نحصل على من حيث، وبالتالي، يتم تحديد معاملات متسلسلة القوى (1) بالصيغة (2) بشكل فريد. تعليق. إذا تم توسيع الدالة /(x) إلى سلسلة قوى في قوى الفرق x-zq، فسيتم تحديد المعاملات c№ لهذه السلسلة بواسطة الصيغ. دع الدالة / لديها مشتقات من جميع الأوامر، أي. قابل للتمييز بشكل لا نهائي عند النقطة w . دعونا نكوّن متسلسلة قوى رسمية لهذه الدالة عن طريق حساب معاملاتها باستخدام الصيغة (3). §5. تعريف. تسمى سلسلة تايلور للدالة /(x) بالنسبة للنقطة x0 بسلسلة قوى بالشكل (هنا. معاملات هذه السلسلة... تسمى معاملات تايلور للدالة. بالنسبة إلى xo = 0، فإن تسمى متسلسلة تايلور متسلسلة ماكلورين، العبارة التالية تتبع من النظرية 5. النظرية ب، إذا كانت الدالة /(x) تتوسع في الفترة إلى سلسلة قوى، فإن هذه المتسلسلة هي متسلسلة تايلور للدالة /(x). مثال 1. خذ بعين الاعتبار دالة وأوجد مشتقاتها، بالنسبة إلى z O، تحتوي هذه الدالة على مشتقات من جميع الرتب، والتي يتم العثور عليها وفقًا للقواعد المعتادة، وبشكل عام، حيث Pjn (i) كثيرة الحدود من الدرجة 3n بالنسبة إلى ي. دعونا نبين الآن أنه عند النقطة 2 = 0، تحتوي هذه الدالة أيضًا على مشتقات من أي ترتيب، وكلها تساوي الصفر. وبناء على تعريف المشتقة يكون لدينا (عند حساب النهاية طبقنا قاعدة رأس المال). وبطريقة مماثلة، يمكن إثبات أن الدالة المعطاة لها مشتقات من جميع الرتب على محور الأعداد. دعونا نبني متسلسلة تايلور الرسمية للدالة الأصلية بالنسبة للنقطة z0 = التي لدينا. ومن الواضح أن مجموع هذه المتسلسلة يساوي الصفر، في حين أن الدالة f(x) نفسها لا تساوي الصفر. ^ هذا المثال يستحق التذكر عند مناقشة التحليل المعقد (التحليل): تظهر الوظيفة، التي تبدو لائقة تمامًا ظاهريًا، طابعًا متقلبًا على المحور الحقيقي، وهو نتيجة لمشاكل على المحور التخيلي. تتقارب السلسلة التي تم إنشاؤها رسميًا في المثال لوظيفة معينة قابلة للتفاضل بشكل لا نهائي، لكن مجموعها لا يتطابق مع قيم هذه الوظيفة لـ x Φ 0. وفي هذا الصدد، يطرح سؤال طبيعي: ما هي الشروط التي يجب أن تكون عليها الدالة f( x) يفي بالفاصل الزمني (xo - R، xo + R) بحيث يمكن توسيعه إلى سلسلة تايلور متقاربة إليه؟ شروط تحلل الدالة في متسلسلة تايلور للتبسيط، سننظر في متسلسلة قوى بالشكل، أي متسلسلة ماكلورين. النظرية 7. من أجل توسيع الدالة f(x) إلى سلسلة قوى على الفاصل الزمني (-R، R)، من الضروري والكافي أن تحتوي الدالة f(x) في هذا الفاصل الزمني على مشتقات من جميع الطلبات و أنه في معادلة تايلور الخاصة بها فإن المصطلح Rn(x) المتبقي يميل إلى الصفر بالنسبة لجميع الضرورة. دعونا على الفاصل الزمني (الدالة f(x) يتم توسيعها إلى سلسلة قوى، أي أن السلسلة (2) تتقارب ومجموعها يساوي f(x). ثم، من خلال النظرية 4 ونتيجتها الطبيعية، الدالة f(x) لها مشتقات على الفترة (-R , R) /(n^(x) لجميع الرتب. حسب النظرية 5 (الصيغة (2)) فإن معاملات المتسلسلة (2) لها الشكل أي أنه يمكننا كتابة المساواة بسبب تقارب هذه السلسلة على الفاصل الزمني (-R, R ) يميل الباقي 0 إلى الصفر مثل oo لجميع x الاكتفاء: دع الدالة f(r) على الفاصل الزمني (-R, R) لها مشتقات من جميع الطلبات وفي صيغة تايلور الخاصة بها هي الحد المتبقي Rn(x) 0 عند oo لأي x € (-D, R). منذ n -» oo. نظرًا لأنه مكتوب بين قوسين معقوفين ن الجزئيمجموع متسلسلة تايلور، فإن الصيغة (4) تعني أن متسلسلة تايلور للدالة f(x) تتقارب على الفترة (-D, R) ومجموعها هو الدالة f(x). الظروف الكافية لتوسيع الوظيفة إلى سلسلة طاقة مناسبة لـ تطبيق عملي ، موصوفة بالنظرية التالية. النظرية 8. من أجل توسيع الدالة f(x) على الفاصل الزمني (-R, R) إلى سلسلة قوى، يكفي أن تحتوي الدالة f(x) على مشتقات لجميع الطلبات في هذا الفاصل الزمني وأن يكون هناك يوجد ثابت M > O بحيث يكون What. افترض أن الدالة f(x) تحتوي على مشتقات لجميع الأوامر في الفترة (-D, R). ومن ثم يمكننا أن نكتب لها متسلسلة تايلور بشكل رسمي، ولنثبت أنها تتقارب مع الدالة f(x). للقيام بذلك، يكفي إظهار أن الحد المتبقي في صيغة تايلور (1) يميل إلى الصفر مثل n oo للجميع x € (-Δ, R). في الواقع، معتبرا ذلك). تتقارب المتسلسلة العددية بموجب معيار دالمبرت: بموجب معيار التقارب الضروري. من عدم المساواة (3) نحصل على الرغم من أن وظيفة M، من § ب. متسلسلة تايلور للدوال الأولية دعونا نفكر في توسعات متسلسلة للدوال الأولية الأساسية. 6 تحتوي هذه الدالة على مشتقات من جميع الطلبات على الفاصل الزمني (- أي رقم، وبالتالي، يمكن توسيع الدالة الأسية ex إلى سلسلة تايلور على أي فاصل زمني (-a، a) وبالتالي على محور الثور بأكمله. ، ثم نحصل على السلسلة إذا استبدل x في التوسيع (1) بـ -a*، فلدينا هذه الدالة مشتقات من أي ترتيب، وبالتالي، بواسطة النظرية 8، يتم توسيع الدالة sin x إلى سلسلة تايلور متقاربة معها على الفترة (-oo, +oo). وبما أن هذه المتسلسلة لها الشكل التالي: نصف قطر تقارب المتسلسلة نحصل بالمثل على ذلك - أي رقم حقيقي هذه الدالة تحقق العلاقة والشرط، سنبحث عن متسلسلة قوى مجموعها 5 (x) يحقق العلاقة (4) والشرط 5(0) = 1. نضع من هنا نجد باستبدال العلاقات (5) و (6) في الصيغة (4) سيكون لدينا معادلة المعاملات لنفس قوى x في طرفي المساواة الأيمن والأيسر نحصل عليه من حيث نجد متسلسلة القوى نظرية هابيل الفاصل الزمني ونصف قطر التقارب لمتسلسلة القوى التقارب المنتظم لسلسلة متسلسلة القوى واستمرارية مجموعها تكامل متسلسلة القوى اشتقاق متسلسلة القوى متسلسلة تايلور شروط تحلل دالة في متسلسلة تايلور للدوال الأولية جدول التوسعات في متسلسلة القوى (سلسلة ماكلورين) للدوال الأولية الأساسية. باستبدال قيم المعاملات هذه في العلاقة (5)، نحصل على المتسلسلة، أوجد نصف قطر تقارب المتسلسلة (7) في الحالة التي لا يكون فيها a عددًا طبيعيًا. لدينا إذن، المتسلسلة (7) تتقارب عند. هـ على الفترة: لنثبت أن مجموع 5(g) من السلسلة (7) على الفترة (-1,1) يساوي (1 + g)°. للقيام بذلك، ضع في اعتبارك العلاقة بما أن 5(x) يفي بالعلاقة (ثم بالنسبة لمشتقة الدالة φ(x) نحصل على: for. إنه يتبع هذا. على وجه الخصوص، بالنسبة لـ x = 0 لدينا، وبالتالي، أو تسمى السلسلة الناتجة ذات الحدين، وتسمى معاملاتها معاملات ذات الحدين. تعليق. إذا كان a عددا طبيعيا (o = z)، فإن الدالة (1 + z)a ستكون متعددة الحدود الدرجة التاسعةو Dn(x) = 0 للجميع n > a. دعونا نلاحظ توسعتين أخريين. سيكون لدينا = -1. استبدال w ب -z في المساواة الأخيرة، نحصل على توسيع هذه الدالة في متسلسلة تايلور في قوى w. سوف نقوم بدمج المساواة (9) في o المساواة (11) صالحة في الفاصل الزمني. باستبدال x بـ -z فيها نحصل على متسلسلة، ويمكن إثبات أن المساواة (11) صحيحة أيضًا بالنسبة لـ x = 1: جدول توسعات متسلسلة القوى (متسلسلة ماكلورين) للدوال الأولية الأساسية. باستخدام هذا الجدول، يمكنك الحصول على توسعات سلسلة الطاقة لوظائف أكثر تعقيدًا. دعونا نوضح بالأمثلة كيف يتم ذلك. مثال 1. قم بتوسيع دالة 4 إلى سلسلة قوى بالقرب من النقطة xq = 2، أي في قوى الفرق z -2. دعونا نتحول هذه الوظيفة حتى نتمكن من استخدام السلسلة (10) للدالة التي لدينا. استبدال x في الصيغة (10) بـ ^. نحصل على I I هذا التوسيع صالح عند استيفاء أي من المتباينات المكافئة مثال 2. قم بتوسيع الدالة في قوى x باستخدام الصيغة (10). 4 بتوسيع المقام إلى عوامل، نقدم هذه الدالة الكسرية على أنها الفرق بين كسرين بسيطين. بعد تحويلات بسيطة نحصل على 1 لكل حد على الجانب الأيمن من المساواة (13) نطبق الصيغة (10)، ونتيجة لذلك نحصل على متسلسلة القوى (14) تتقارب لـ \ والمتسلسلة (15) تتقارب لـ 2. كلتا المتسلسلتين (14) و (15) سوف يتقاربان في وقت واحد لـ \. بما أن المتسلسلتين (14) و(15) تتقاربان في الفترة (-1,1)، فيمكن طرحهما حدًا بعد حد. ونتيجة لذلك، نحصل على سلسلة القدرة المرغوبة التي يساوي نصف قطر تقاربها R = 1. وتتقارب هذه السلسلة تمامًا في المثال 3. قم بتوسيع الدالة arcsin x إلى سلسلة Taylor بالقرب من النقطة xo = 0. 4 من المعلوم أنه ينطبق على الدالة (الصيغة (8) مع استبدال x فيها بـ -x2. ونتيجة لذلك نحصل على تكامل طرفي المساواة الأخيرة من صفر إلى x (تكامل حد بطرف قانوني ، بما أن متسلسلة القوى تتقارب بشكل موحد على أي قطعة بنقطتي نهاية عند النقطتين 0 وx، تقع في الفترة (-1،1))، نجد أو وهكذا، نحصل أخيرًا على تلك الملاحظة: يمكن استخدام التوسع في متسلسلة القوى لحساب التكاملات التي لا يمكن التعبير عنها بشكل نهائي من خلال الدوال الأولية، دعونا نعطي عدة أمثلة مثال 4. حساب التكامل (تكامل الجيب)، من المعروف أن المشتق العكسي للدالة ^ لا يتم التعبير عنه بدلالة الدوال الأولية، دعونا نتوسع التكامل في متسلسلة قوى، باستخدام حقيقة أنه من المساواة (16) نجد أن قسمة المتسلسلة (16) على t لـ t φ O أمر قانوني.يتم الحفاظ على المساواة (17) أيضًا إذا افترضنا أنه بالنسبة لـ t = O العلاقة هي - = 1. وهكذا فإن المتسلسلة (17) تتقارب لجميع القيم، وبتكاملها حداً حداً نحصل على أن المتسلسلة الناتجة تتناوب في الإشارة، بحيث يسهل تقدير الخطأ عند استبدال مجموعها بمجموع جزئي. مثال 5. حساب التكامل هنا، المشتق العكسي للتكامل e ليس دالة أولية أيضًا. لحساب التكامل نستبدل في الصيغة التي نحصل عليها ندمج طرفي هذه المساواة في المدى من 0 إلى x: تتقارب هذه المتسلسلة لأي r (نصف قطر تقاربها R = +oo) وتتناوب في الإشارة للتمارين أوجد منطقة تقارب متسلسلة القوى: قم بتوسيع الوظائف التالية إلى متسلسلة ماكلوريا وحدد مناطق تقارب المتسلسلة التي تم الحصول عليها: التعليمات. استخدم الجدول. باستخدام الجدول، فرز وظائف محددةفي متسلسلة تايلور بقوى x - x0 وتشير إلى فترات التقارب للسلسلة الناتجة.

خذ بعين الاعتبار السلسلة الوظيفية $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x ) +...$، وأعضاؤها دوال لمتغير مستقل واحد x. مجموع الحدود n الأولى من السلسلة $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ هو الجزء الجزئي مجموع هذه السلسلة الوظيفية. المصطلح العام $u_(n) (x)$ هو دالة لـ x محددة في بعض المجالات. لنفكر في المتسلسلة الوظيفية عند النقطة $x=x_(0) $. إذا كانت سلسلة الأرقام المقابلة $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$تتقارب، أي يوجد حد للمجاميع الجزئية لهذه السلسلة$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(حيث $S( س_(0))

التعريف 2

منطقة التقاربمن سلسلة وظيفية $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ هي مجموعة جميع قيم x التي تتقارب فيها السلسلة الوظيفية. منطقة التقارب، التي تتكون من جميع نقاط التقارب، يُشار إليها بالرمز $D(x)$. لاحظ أن $D(x)\subset $R.

تتقارب سلسلة الوظائف في المجال $D(x)$ إذا كانت لأي $x\in D(x)$ تتقارب كسلسلة أرقام، ومجموعها هو بعض الوظائف $S(x)$. هذا هو ما يسمى وظيفة الحدالتسلسلات $\left\(S()_(n) (x)\right\)$: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x)=S(x) $.

كيف تجد منطقة تقارب السلسلة الوظيفية $D(x)$؟ يمكنك استخدام علامة مشابهة لعلامة دالمبيرت. بالنسبة إلى السلسلة $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$، نؤلف $u_(n+1) (x)$ ونأخذ في الاعتبار الحد الأقصى لـ x الثابتة: $ \mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|=\left|l(x) )\صحيح| $. إذن فإن $D(x)$ هو حل للمتباينة $\left|l(x)\right|

مثال 1

أوجد مساحة التقارب للمتسلسلة $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $.

حل. دعونا نشير إلى $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $، $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n +1 ) $. دعونا ننشئ ونحسب النهاية $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right| =\ mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \right| =\ left|x\right|$، ثم يتم تحديد منطقة تقارب المتسلسلة بالمتباينة $\left|x\right|

إذا كان $x=1$، $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $، فسنحصل على سلسلة متباينة $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac (1)(n) \, $;

إذا كان $x=-1$، $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $، فإن السلسلة $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $ يتقارب بشكل مشروط (باستخدام معيار لايبنيز).

وبالتالي، فإن منطقة التقارب $D(x)$ من السلسلة $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $ لها ال النموذج:$- 1\le x

خصائص سلسلة القوى

خذ بعين الاعتبار متسلسلة القوى $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $، والتي يكون فاصل تقاربها $(-R;\, R)$، ثم مجموع تم تعريف سلسلة القوى $ S(x)$ لكل $x\in (-R;R)$ ويمكننا كتابة المساواة $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )أ_(ن) ×^ (ن)$.

الخاصية 1. متسلسلة القوى $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $ تتقارب تمامًا في أي فاصل زمني $\, \, \subset \, (-R;R)$ ، تقع في فترة التقارب، ومجموع سلسلة القوى $S(x)$ هي دالة مستمرة لجميع $x\in $.

الملكية 2. إذا كان المقطع هو $\, \, \subset \, (-R;R)$، فيمكن دمج سلسلة الطاقة من a إلى b، أي. لو

$S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty)a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2 ) +...$، ثم

$\int \limits _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \limits _(n=0)^(\infty )\int \limits _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \limits _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \limits _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \limits _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm د)س +...$.

في هذه الحالة، لا يتغير نصف قطر التقارب:

حيث $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $ هي معاملات السلسلة المتكاملة.

الملكية 3. مجموع متسلسلة القوى هو دالة لها مشتقات من أي ترتيب ضمن فترة التقارب. ستكون مشتقات مجموع متسلسلة القوى هي مجموع المتواليات التي تم الحصول عليها من متسلسلة قوى معينة عن طريق التفريق بين حد تلو الآخر بالعدد المناسب من المرات، وسيكون نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة هو نفس نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة السلسلة الأصلية.

إذا كان $S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\sum \limits _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $,ثم $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\sum \limits _(n) =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... ، إلخ.

أمثلة

السلسلة $\sum \limits _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $ تتقارب فقط عند النقطة $x=0$؛ وتتباعد السلسلة عند جميع النقاط الأخرى. $V:\left\(0\right\).$

السلسلة $\sum\limits _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}

المتسلسلة $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $ تتقارب في المنطقة $V=(-1, \، 1]$.

المتسلسلة $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ تتباعد عند جميع نقاط المحور $V=$$\emptyset$.

عناصر البنية الدلالية

البنية الدلالية للجملة.

(هذا السؤال قيد التشغيل دراسة ذاتية!)

يربط هذا النوع من التحليل التنظيم الدلالي للجملة بتنظيمها الرسمي. طرح هذا الاتجاه مفهوم البنية الدلالية للجملة (في المقام الأول N.Yu. Shvedova).

يحتوي المخطط الهيكلي على دلالاته الخاصة، والتي يتم إنشاؤها بواسطة المعاني الرسمية للمكونات، وقواعد محتواها المعجمي وعلاقة المكونات ببعضها البعض (في مخططات غير مكون واحد).

يتشكل المعنى اللغوي لجملة معينة مبنية وفق نمط أو آخر من خلال العمل المتبادل لدلالات هذا النمط والدلالات المعجمية لتلك الكلمات التي اتخذت مواضع مكوناتها: يكتب الطالب؛ يفرح الطفل بالدلالات العامة لـ MSS ("العلاقة بين الفاعل وسمته الإسناد - فعل أو حالة إجرائية") في الحالة الأولى يكون المعنى "العلاقة بين الفاعل وفعله المحدد"، في الثانية الحالة - "العلاقة بين الموضوع وحالته العاطفية" .

تسمى المتسلسلة الوظيفية التي يكون فيها (معاملات المتسلسلة) و (مركز المتسلسلة) ثوابت متغيرة سلسلة الطاقة.من الواضح أننا إذا تعلمنا حساب منطقة تقارب متسلسلة قوى (مع مركز)، فيمكننا بسهولة إيجاد منطقة تقارب متسلسلة القوى الأصلية، لذلك، من الآن فصاعدا، ما لم ينص على خلاف ذلك، سننظر في متسلسلة القوى النموذج.

نظرية هابيل.إذا تقاربت متسلسلة قوى عند نقطة ما، فإنها تتقارب بشكل مطلق وفي الفترة، وعلى أي قطعة، تتقارب المتسلسلة المحددة بشكل منتظم.

دليل.وبما أن المتسلسلة متقاربة، فإن مصطلحها المشترك يكون محدودًا، أي. هناك ثابت من هذا القبيل

فليكن الآن. ثم سيكون لدينا

بما أن المتوالية الهندسية تتقارب ()، فإن المتسلسلة تتقارب أيضًا من خلال نظرية المقارنة الأولى، وقد تم إثبات الجزء الأول من النظرية.

وبما أنه حسب ما تم إثباته فإن المتسلسلة تتقارب وتتفرع إلى (انظر) المتسلسلة، فبحسب نظرية فايرستراس تتقارب المتسلسلة الأخيرة بشكل منتظم عند إثبات النظرية تماما.

ويترتب على نظرية هابيل أنه يمكننا توسيع الفترة حتى تأتي اللحظة التي تتباعد فيها السلسلة عند نقطة ما (أو لا تأتي مثل هذه اللحظة على الإطلاق، أي). إذن فإن الفترة المشار إليها ستكون منطقة تقارب المتسلسلة، وبالتالي فإن أي متسلسلة قوى لها منطقة تقارب ليست مجموعة اعتباطية، بل فاصل زمني على وجه التحديد. دعونا نعطي تعريفا أكثر دقة لفترة التقارب.

التعريف 2.الرقم يسمى نصف قطر التقاربالمتسلسلة إذا تقاربت هذه المتسلسلة خلال هذه الفترة قطعاًوخارج المقطع يتباعد. في هذه الحالة يتم استدعاء الفاصل الزمني فترة التقاربصف.

لاحظ أنه في سلسلة الطاقة المشار إليها تتقارب فقط عند النقطة وتتقارب عندها على الإطلاق. توضح الأمثلة التالية أن هذه الحالات غير مستبعدة: مثال على سلسلة ذات نصف قطر تقارب محدود غير صفر يمكن أن يكون تقدمًا هندسيًا. لاحظ أيضًا أنه على حدود فترة التقارب، يمكن لمتسلسلة القوى أن تتقارب وتتباعد. على سبيل المثال، تتقارب المتسلسلة بشكل مشروط عند نقطة وتتباعد عند نقطة

من خصائص المتسلسلات الوظيفية المتقاربة بشكل منتظم (النظريات 1-3)، يمكن بسهولة اشتقاق الخصائص التالية لمتسلسلات القوى.

النظرية 4.اسمحوا أن يكون نصف قطر التقارب لسلسلة السلطة. ثم تحمل العبارات التالية:

1. مجموع متسلسلة قوى معينة يكون مستمراً في فترة التقارب؛

2. إذا كان نصف قطر تقارب متسلسلة القوى، فإن سلسلة المشتقات سيكون لها نفس نصف قطر التقارب، ويترتب على ذلك أنه يمكن اشتقاق متسلسلة القوى عدة مرات حسب الرغبة (أي أن مجموعها قابل للاشتقاق بشكل لا نهائي في المعادلة). فترة التقارب)، وتبقى المساواة

3. يمكن دمج سلسلة القدرة على أي قطعة تقع داخل فترة التقارب الخاصة بها، أي.

دليلعلى سبيل المثال، الخاصية الأولى ستكون هكذا. دع نقطة تعسفية من فترة التقارب . لنحيط هذه النقطة بقطعة متماثلة، وبحسب نظرية هابيل، فإن المتسلسلة تتقارب بشكل منتظم على القطعة، وبالتالي فإن مجموعها مستمر على القطعة المشار إليها، وبالتالي فهو مستمر، على وجه الخصوص، عند النقطة، وتم إثبات الخاصية 1. تم إثبات بقية خصائص نظريتنا بالمثل.

الآن دعونا نحسب نصف قطر تقارب متسلسلة القوى من خلال معاملاتها.

النظرية 4 . يجب أن يتم استيفاء واحد على الأقل من الشروط التالية:

أ) هناك حد (محدود أو لانهائي).

ب) هناك حد (محدود أو لا نهائي) (يفترض وجود عدد كهذا).

إذن فالرقم هو نصف قطر تقارب المتسلسلة.

دليلدعونا نفعل ذلك للحالة أ). دعونا نطبق اختبار كوشي على المتسلسلة المعيارية: طبقاً للاختبار المحدد، فإن المتسلسلة تتقارب تقارباً مطلقاً إذا كان العدد، على سبيل المثال، متقارباً. إذا إذا أي. إذا تباعدت السلسلة المشار إليها. وبالتالي فإن نصف قطر التقارب للسلسلة. لقد تم إثبات النظرية.

ملاحظة 1.يمكن نقل النظرية 1-4 عمليا دون تغيير الصيغة إلى متسلسلة القوى بالشكل (مع تعديل طفيف وهو أن مجال التقارب في هذه الحالة هو الفاصل الزمني).

مثال 1.أوجد مساحة التقارب للمتسلسلة ( المهمة 10، تي آر،كوزنتسوف لوس أنجلوس)

حل.دعونا نطبق تشبيهًا لـ أ) نظرية كوشي: نصف قطر التقارب لمتسلسلة معينة. وهذا يعني أن المتسلسلة تتقارب بشكل مطلق في المنطقة

دعونا ندرس تقارب المتسلسلة عند طرفي الفترة. لدينا

يتباعد، لأن

يتباعد، لأن

وبالتالي فإن مساحة التقارب للمتسلسلة الأصلية هي الفترة.

تعريف. سلسلة وظيفية من النموذج

أين … – أرقام حقيقية، تسمى سلسلة الطاقة.

منطقة التقارب المطلق للمتسلسلة هي الفترة ، حيث الرقم ر- نصف قطر التقارب.

دع متسلسلة القوى لها نصف قطر تقارب ص> 0. إذن العبارات التالية صحيحة:

1. مجموع المتسلسلة هو دالة مستمرة لـ سطوال فترة التقارب بأكملها.

2. تتقارب السلسلة بشكل موحد على أي قطعة حيث .

3. يمكن دمج السلسلة مصطلحًا تلو الآخر على أي مقطع يقع داخل الفاصل الزمني.

4. يمكن تمييز السلسلة مصطلحًا تلو الآخر في أي وقت عدة مرات كما تريد.

ملحوظات:

1. عند تكامل أو اشتقاق حد متسلسلة قوى على حدة، يتم الحصول على متسلسلة قوى جديدة، بينما يظل نصف قطر التقارب الخاص بها كما هو.

2. يمكن إيجاد نصف قطر تقارب متسلسلة القوى باستخدام إحدى الصيغ:

, (10)

(11)

بشرط وجود النهايات المحددة، هو معامل السلسلة.

المشكلة 17.31

أوجد مجموع السلسلة .

حل:

الطريقة الأولى. أوجد فترة تقارب المتسلسلة:

, , .

دعونا نبسط الكسر العقلاني , .

ومن ثم يمكن تمثيل المتسلسلة بفارق سلسلتين:

يظل تقارب كل منهما كما هو (راجع هذا بنفسك). ولذلك تحدث المساواة. دعونا نشير إلى مجموع السلسلة بواسطة و، على التوالي، والمبلغ المطلوب بواسطة، .

لنجد مجموع الصف الأول:

بتفاضل المتسلسلة في حدود فترة التقارب نحصل على: ; هو تقدم هندسي مع القاسم .

عندما يتقارب التقدم ،،، والمجموع هو: ; . الآن، بالتكامل مع القطعة الواقعة داخل فترة التقارب، نحصل على:

.

لنجد مجموع الصف الثاني:

لنقم بالتحويل:

دعونا نشير إلى مجموع السلسلة بين قوسين ونفرق في الفاصل الزمني:

- وهذا أيضًا تقدم هندسي.

, , ;

.

إذن مجموع المتسلسلة الأصلية هو:

أو
ل .

الطريقة الثانية. ودون تكرار تفاصيل الطريقة الأولى المتعلقة بفترة التقارب لهذه السلسلة، نقترح خيارا ثانيا لحل المشكلة. دعونا نشير إلى مجموع السلسلة بواسطة: .

اضرب في هذه السلسلة: . دعونا نفرق بين السلسلة الناتجة مرتين:

,

يمثل تقدمًا هندسيًا مع مقام ، ثم . دعونا نتكامل في المقطع:

بالتكامل بالأجزاء نحصل على:

ل .

المشكلة 18.31

أوجد مجموع السلسلة .

حل:

تتقارب هذه السلسلة في الفاصل الزمني (تحقق من ذلك بنفسك). دعونا نعيد كتابتها، ونقدمها كمجموع ثلاث سلاسل:

وهذا ممكن لأن كل سلسلة لها نفس مساحة التقارب - الفاصل الزمني. دعونا نشير إلى مجموع السلاسل الثلاث بواسطة،،، على التوالي، والمجموع المطلوب بواسطة.

كمجموع شروط التقدم الهندسي مع المقام

لنقم بالتحويل:

دعونا نشير بمجموع السلسلة .

بدمج هذه المتسلسلة حدًا تلو الآخر على قطعة داخل فترة التقارب، نحصل على:

للعثور على، تحتاج إلى التمييز بين الكسر:

.

لذلك، .

الآن لنجد:

لنخرجها من بين قوسين:

دعونا نشير إلى مجموع السلسلة بين قوسين. ثم

يوجد في هذه الأقواس سلسلة تم العثور على مجموعها: . نحن نحصل: .

لكن , . ثم مجموع السلسلة الأصلية

لذا، ل .

سلسلة تايلور

تعريف. صف

تسمى متسلسلة طاقة تايلور للدالة.

يمكن توسيع الدالة إلى سلسلة تايلور إذا كانت عند النقطة قيد النظر تحتوي على مشتقات من جميع الطلبات وإذا كان الحد المتبقي عند النقطة يميل إلى الصفر. تُسمى سلسلة تايلور أحيانًا بسلسلة ماكلورين.

نظرية

إذا تم توسيع الدالة إلى سلسلة قوى، فإن هذه السلسلة تكون فريدة بالنسبة لها وهي سلسلة تايلور.

ملحوظة. ومن خلال إيجاد المشتقات المتعاقبة للدالة وقيمها عند النقطة، يمكننا كتابة متسلسلة تايلور. لكن دراسة المدة المتبقية تمثل صعوبات كبيرة. لذلك، غالبًا ما يذهبون في الاتجاه الآخر: فهم يستخدمون التوسعات الجاهزة للوظائف الأولية الأساسية في متسلسلة القوى بالاشتراك مع قواعد الجمع والطرح وضرب المتسلسلات ونظريات تكاملها واشتقاقها، كما هو موضح على سبيل المثال في المشاكل 17.31 و 18.31.

المشكلة 19.31

قم بتوسيع وظيفة في سلسلة تايلور في القوى.

حل:

X 0 = 0. دعونا نستخدم الملاحظة. لأن

ثم يتم تبسيط الدالة إذا طبقنا طريقة المعاملات غير المحددة:

.

مجموع حدود المتوالية الهندسية ذات المقام يساوي: . في حالتنا هذه . - نصف قطر تقارب هذه السلسلة. على المدى

بإضافة الصفوف نحصل على: أو ، أين هي منطقة التقارب العامة. تقع بالكامل في منطقة تقارب المتسلسلة.

لحساب هذا التكامل بدقة 0.001، عليك أن تأخذ حدين من حدوده في السلسلة الناتجة (0.0005<0,001) (см. задачу 9.31).

هكذا،

أسئلة الاختبار الذاتي

سلسلة أرقام

1. إعطاء تعريفات للمتسلسلات المتقاربة والمتباعدة.

2. صياغة المعيار اللازم لتقارب المتسلسلة.

3. صياغة علامات كافية لتقارب المتسلسلات ذات الحدود الموجبة: مقارنة المتسلسلات ذات الحدود الموجبة؛ علامة دالمبرت؛ اختبار كوشي الجذري، اختبار كوشي التكاملي.

4. أعط تعريفاً للمتسلسلة المتقاربة تماماً. اذكر خواص المتسلسلة المتقاربة تقاربا مطلقا.

5. صياغة معيار لايبنيز.

سلسلة وظيفية

6. تحديد منطقة التقارب للمتسلسلة الوظيفية.

7. ما هي المتسلسلة التي تسمى متقاربة بشكل منتظم؟

8. صياغة اختبار Weierstrass.

9. شروط تحلل دالة في متسلسلة تايلور.

10. صياغة نظريات حول تكامل واشتقاق متسلسلات القوى.

11. شرح طريقة الحساب التقريبي للتكاملات المحددة باستخدام المتسلسلة.

1. كودريافتسيف إل.دي. دورة قصيرة في التحليل الرياضي. – م: ناوكا، 1989. – 736 ص.

2. بوغروف ي.س. حساب التفاضل والتكامل / Ya.S. بوغروف، س.م. نيكولسكي. – م: ناوكا، 1984. – 432 ص.

3. شميليف ب. نظرية المتسلسلات في المسائل والتمارين. – م: الثانوية العامة 1983. – 176 ص.

4. بيسكونوف إن إس. حساب التفاضل والتكامل للكليات. ت2. – م.: ناوكا، 1985. – 576 ص.

5. فيختنغولتس ج.م. دورة حساب التفاضل والتكامل. ت2. – م.: فيزماتجيز، 1962. – 808 ص.

6. زابوروجيتس جي. دليل لحل المشاكل في التحليل الرياضي. – م: الثانوية العامة 1966. – 460 ص.

7. كوزنتسوف لوس أنجلوس مجموعة من المهام في الرياضيات العليا (TR). – م: الثانوية العامة 1983. – 174 ص.

8. دانكو بي. الرياضيات العليا في التمارين والمسائل. الجزء 2 /P.E. دانكو، أ.ج. بوبوف، T.Ya. كوزيفنيكوفا. – م: الثانوية العامة 1986. – 415 ص.

9. برونشتاين آي.إن. دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات / I.N. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف. – م: ناوكا، 1986. – 544 ص.

الطبعة التعليمية

بوروديننيكولاي بافلوفيتش

حجر الرحىفارفارا فيكتوروفنا

شوميتوفاليودميلا فيكتوروفنا

شوركينفلاديمير سيرجيفيتش

الرتب

الدليل التربوي والمنهجي

المحرر ت.د. فاسيليفا

المحرر الفني تي.بي. بروكودينا

جامعة ولاية أوريول التقنية

معرف الترخيص رقم 00670 بتاريخ 01/05/2000

وقع للنشر في 26 أغسطس 2004. مقاس 60 × 84 1/16.

طباعة أوفست. الطبعة الأكاديمية. ل. 1.9. الشرط فرن ل. 2.4. التوزيع 500 نسخة.

رقم الطلب____

مطبوعة من التصميم الأصلي النهائي

في قاعدة الطباعة بجامعة أوريل التقنية الحكومية،

302030، أوريل، ش. موسكوفسكايا، 65.