خاصية اكتمال مجموعة من الأعداد الحقيقية بديهيات الأعداد الحقيقية. دور بديهية الاستمرارية في بناء التحليل الرياضي

§ 7 . أساس التحليل، 4

اكتمال مجموعة الأعداد الحقيقية

7.1. مقدمة.

تعريف.نعني بالرقم الحقيقي أ فئة التكافؤ أ للتسلسلات الأساسية للأعداد العقلانية.

تعريف.مجموعة من رسيتم تسمية فئات التكافؤ للتسلسلات الأساسية للأعداد العقلانية بمجموعة الأعداد الحقيقية.

1) ليم أ ن = أ Û "0< eÎر$ ص ن("لا ن, n ³ p) Þ |a n - a| جنيه استرليني ه

2) أي تسلسل (a n) متقارب هو أيضًا أساسي

" 0 < eÎر$ ص ن((" م ن"،" لا ن, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | جنيه استرليني ه)

ومن الطبيعي أن نحاول، قياسًا على الفقرة 6، تطبيق إجراء التحليل على مجموعة المتتابعات الأساسية للأعداد الحقيقية. ألن نحصل على مجموعة من فئات التكافؤ من التسلسلات الأساسية للأعداد الحقيقية، التي تحتوي على المجموعة ركمجموعة فرعية خاصة بها؟

اتضح لا.

سننشئ في هذا القسم خاصية رائعة: خاصية اكتمال مجموعة الأعداد الحقيقية، والتي تتمثل في حقيقة أن أي تسلسل أساسي للأعداد الحقيقية يتقارب في ر.

7.2. تقريب الأعداد الحقيقية بالكسور العشرية.

تعريف.يحد التسلسل (q n) إذا كان $ 0< MÎس، أن ("نО ن|ف ن | مليون جنيه استرليني)

النظرية 1. كل تسلسل أساسي للأعداد العقلانية محدود.

دليل. لنفترض أن (q n) عبارة عن تسلسل أساسي من الأعداد النسبية، إذن، بحكم الأساسية، بالنسبة لـ e=1، يوجد مثل هذا pO ن، ماذا:

$ ص ن:((" م ³ ع) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p -fix، ثم " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

بالفعل: |ف ن | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |ف ع | Þ |ف ن | 1 جنيه استرليني + |ف ع |.

بافتراض M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) نحصل على: " nO ن|ف ن | £ م

في البند 6.3. تم تحديد العلاقة الأحادية "أن تكون إيجابية" في المجموعة. دعونا نتفق على كتابة ">0". ثم ³ 0 Û (أ > 0 أو أ = 0).

النظرية 2 . لنفترض أن التسلسل الأساسي (q n) للأعداد النسبية يمثل عددًا حقيقيًا a، إذن:

أ) ($ ص 1 أوه ن، $م س("لا ن, " n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

ب) ($ ص 2 أوه ن، $مليون س("لا ن, " ن ³ ص 2) Þ ف ن ³ م) Þ م £ أ.

دليل.منذ " n³p 1 q n -M £ 0، فإن التسلسل الأساسي q n -M - الفرق بين التسلسل الأساسي (q n) والتسلسل الثابت M لا يمكن أن يكون تسلسلًا إيجابيًا، لأنه إما صفر أو سالب.

ولذلك فإن العدد الحقيقي (a-M) الذي يمثله هذا التسلسل لا يمكن أن يكون موجباً، أي. a-M £ 0، أي. مليون جنيه استرليني.

وبالمثل، ب) يعتبر.

النظرية 3 . يمثل التسلسل الأساسي (q n) للأعداد النسبية عددًا حقيقيًا إذا وفقط إذا كان "0". ر$pО نأن "ني نو n³p عدم المساواة |q n -a| جنيه استرليني:

(ف ن)ÎaÛ " 0< eÎر$ ص ن("لا ن, n³p) Þ |q n -a| جنيه استرليني ه.

دليل.ولن نثبت إلا الضرورة. ومن الواضح أن "eО ر$ ه 1 أوه س(هـ 1 جنيه هـ)

دع التسلسل الأساسي (q n) للأعداد النسبية يمثل الرقم a.

بالشرط فهو أساسي، أي. " 0< eÎس$ ص ن("لا ن،"مى ن, n³p, m³p) Þ |q n -q n | جنيه إسترليني/2.

دعونا نصلح n³p، ثم نحصل على التسلسل الأساسي (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; .. .).

جميع شروط هذا التسلسل لـ m³p تحقق المتراجحة: |q m -q n | £ e/2.

بواسطة النظرية 2، العدد الحقيقي الذي يمثله هذا التسلسل | أ-ف ن | جنيه إسترليني/2.

| أ-ف ن | £ ه ر"n³p.

النظرية 4 . مهما كان العدد الحقيقي a، يوجد دائمًا عدد صحيح M بحيث يتم استيفاء المتراجحة M £

("أ ر$! مي ز(م جنيه أ< M+1))

دليل.

الخطوة 1. إثبات الوجود.

دع التسلسل الأساسي (q n) للأعداد النسبية يمثل عددًا حقيقيًا a: ((q n)Îa). بواسطة النظرية 1، $ LО ض 0، بحيث "ن ن q n ³-L، q n £L: (-L £ q n £L).

حسب النظرية 3 (q n)Îa Û " e>0, eО ر$ ص ن: ((" ن ن، n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

ثم " n³p ½a½=½a- q n + q n ½ £½a- q n½+½ q n½ £ e + L.

½a½ £ e + LÛ -L-e £ a £ L+e.

لأن e هو رقم تعسفي >0، ثم -L £ a £ L. وبعد ذلك فمن الواضح أن -1-L< a < L+1.

ومن ثم، من بين مجموعة منتهية من الأعداد الصحيحة: -L-1، -L، -L+1، ...، -1، 0، +1، ...، L، L+1، نجد أولاًالرقم M+1 الذي يتم استيفاء الشرط فيه< M+1.

إذن فإن الرقم M لا يحقق المتباينة M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

الخطوة 2. إثبات التفرد.4

عادةً ما تجد النظريات الرياضية طريقها للخروج من خلال السماح بمعالجة مجموعة واحدة من الأرقام (البيانات الأولية) إلى مجموعة أخرى من الأرقام التي تشكل هدفًا وسيطًا أو نهائيًا للحساب. ولهذا السبب، تحتل الدوال العددية مكانة خاصة في الرياضيات وتطبيقاتها. إنها (بتعبير أدق، ما يسمى بالوظائف العددية القابلة للتفاضل) تشكل الموضوع الرئيسي لدراسة التحليل الكلاسيكي. لكن أي وصف كامل لخصائص هذه الدوال من وجهة نظر الرياضيات الحديثة، كما قد تكون قد اختبرتم بالفعل في المدرسة وكما سترون قريبًا، مستحيل بدون تعريف دقيق لمجموعة الأعداد الحقيقية التي تقوم عليها هذه الدوال يمثل.

العدد في الرياضيات، مثل الزمن في الفيزياء، معروف للجميع، لكنه غير مفهوم إلا للمتخصصين. هذه واحدة من التجريدات الرياضية الرئيسية، والتي، على ما يبدو، لا يزال أمامها تطور كبير ويمكن تخصيص قصتها لدورة مكثفة مستقلة. نقصد هنا فقط جمع ما يعرفه القارئ بشكل أساسي عن الأعداد الحقيقية من المدرسة الثانوية، مع تسليط الضوء على الخصائص الأساسية والمستقلة للأعداد في شكل بديهيات. وفي الوقت نفسه، هدفنا هو إعطاء تعريف دقيق للأعداد الحقيقية مناسب للاستخدام الرياضي اللاحق وإيلاء اهتمام خاص لخاصية الاكتمال، أو الاستمرارية، وهي جرثومة العبور إلى الحد - وهي الميزة غير الحسابية الرئيسية عملية التحليل.

§ 1. البديهيات وبعض الخصائص العامة لمجموعة الأعداد الحقيقية

1. تعريف مجموعة الأعداد الحقيقية

التعريف 1. المجموعة E تسمى مجموعة الأعداد الحقيقية (الحقيقية)، وعناصرها تسمى حقيقية (حقيقية)

أرقام إذا تم استيفاء مجموعة الشروط التالية، والتي تسمى بديهيات الأعداد الحقيقية:

(ط) بديهيات الجمع

رسم الخرائط المحددة (عملية الإضافة)

تخصيص كل زوج مرتب من العناصر من E عنصر يسمى مجموع x و y. وفي هذه الحالة يتم استيفاء الشروط التالية:

هناك عنصر محايد 0 (يسمى صفر في حالة الإضافة) مثل أي

لأي عنصر هناك عنصر يسمى عكس ذلك

العملية 4 هي عملية ترابطية، أي لأية عناصر من

العملية 4 هي عملية تبادلية، أي لأي عناصر من E،

إذا تم تعريف العملية على مجموعة ما تلبي البديهيات، فإنهم يقولون إن بنية المجموعة معطاة أو أن هناك مجموعة. إذا كانت العملية تسمى إضافة، فإن المجموعة تسمى إضافة. بالإضافة إلى ذلك، إذا كان من المعروف أن العملية تبادلية، أي أن الشرط قد تحقق، فإن المجموعة تسمى تبادلية أو أبيلية. لذلك، تقول البديهيات أن E هي مجموعة أبيلية مضافة.

(ثانيا) بديهيات الضرب

رسم الخرائط المحددة (عملية الضرب)

تخصيص عنصر لكل زوج مرتب من العناصر من E، يسمى حاصل ضرب x و y، وبطريقة يتم استيفاء الشروط التالية:

1. هناك عنصر محايد في حالة الضرب في واحد) مثل ذلك

2. لأي عنصر هناك عنصر يسمى معكوسه، مثل ذلك

3. العملية ترابطية، أي أي من E

4. العملية تبادلية، أي لأية

لاحظ أنه فيما يتعلق بعملية الضرب، يمكن التحقق من أن المجموعة هي مجموعة (مضاعفه).

(الأول، الثاني) العلاقة بين الجمع والضرب

فالضرب توزيعي بالنسبة إلى الجمع، أي.

لاحظ أنه بسبب الطبيعة التبادلية للضرب، سيتم الحفاظ على المساواة الأخيرة إذا تغير ترتيب العوامل في كلا الجزأين.

إذا كانت هناك عمليتان في بعض المجموعات تلبي جميع البديهيات المذكورة، فإنه يطلق عليه حقل جبري أو مجرد حقل.

(ثالثا) بديهيات النظام

هناك علاقة بين عناصر E، أي بالنسبة للعناصر من E يتم تحديد ما إذا كانت متحققة أم لا. وفي هذه الحالة يجب استيفاء الشروط التالية:

تسمى العلاقة علاقة عدم المساواة.

تسمى المجموعة التي توجد بين بعض عناصرها علاقة ترضي البديهيات 0، 1، 2، كما هو معروف، مرتبة جزئيًا، وإذا تم استيفاء البديهية 3 بالإضافة إلى ذلك، أي أن أي عنصرين من المجموعة قابلان للمقارنة ، ثم تسمى المجموعة مرتبة خطيًا.

وبالتالي، فإن مجموعة الأعداد الحقيقية يتم ترتيبها خطيًا من خلال علاقة عدم المساواة بين عناصرها.

(الأول، الثالث) العلاقة بين الجمع والنظام في ر

إذا كانت x عناصر من R، إذن

(الثاني والثالث) العلاقة بين الضرب والترتيب في ر

إذا كانت عناصر R، ثم

(رابعا) بديهية الاكتمال (الاستمرارية)

إذا كانت X وY عبارة عن مجموعات فرعية غير فارغة من E والتي لها خاصية أي عنصر، إذن يوجد تلك الخاصة لأي عنصر.

وبهذا تنتهي قائمة البديهيات، التي يتيح لنا تحقيقها في أي مجموعة E اعتبار هذه المجموعة بمثابة تطبيق محدد أو، كما يقولون، نموذجًا للأرقام الحقيقية.

لا يفترض هذا التعريف رسميًا أي معلومات أولية حول الأعداد، ومنه، "بما في ذلك الفكر الرياضي"، يجب علينا رسميًا أيضًا الحصول على الخصائص المتبقية للأعداد الحقيقية كنظريات. أود أن أدلي ببعض التعليقات غير الرسمية فيما يتعلق بهذه الشكلية البديهية.

تخيل أنك لم تتقدم من إضافة التفاح أو المكعبات أو غيرها من الكميات المسماة إلى إضافة أرقام طبيعية مجردة؛ وأنك لم تقيس المقاطع ولم تصل إلى أرقام منطقية؛ أنك لا تعرف الاكتشاف العظيم للقدماء وهو أن قطر المربع لا يتناسب مع ضلعه وبالتالي لا يمكن أن يكون طوله عددًا عقلانيًا، أي أن هناك حاجة إلى أرقام غير عقلانية؛ أنك لا تملك مفهوم "المزيد" الذي ينشأ في عملية القياس، وأنك لا توضح النظام لنفسك، على سبيل المثال، من خلال صورة خط الأعداد. إذا لم يكن كل هذا موجودًا مسبقًا، فلن يُنظر إلى مجموعة البديهيات المدرجة على أنها نتيجة محددة للتطور الروحي فحسب، بل قد تبدو غريبة على الأقل، وعلى أي حال، ثمرة خيال تعسفية.

فيما يتعلق بأي نظام مجرد من البديهيات، هناك سؤالان على الأقل ينشأان على الفور.

أولاً، هل هذه البديهيات متوافقة، أي هل توجد مجموعة تلبي جميع الشروط المذكورة؟ هذا سؤال حول اتساق البديهيات.

ثانيًا، ما إذا كان نظام معين من البديهيات يحدد بشكل فريد كائنًا رياضيًا، أي، كما يقول المنطقيون، ما إذا كان نظام البديهيات قاطعًا.

ويجب فهم عدم الغموض هنا على النحو التالي. إذا قام الشخصان A وB، بشكل مستقل، ببناء نماذجهما الخاصة، على سبيل المثال، للأنظمة العددية التي تلبي البديهيات، فيمكن إنشاء مراسلات ثنائية بين المجموعات، حتى لو حافظت على العمليات الحسابية وعلاقات الترتيب، أي.

من وجهة نظر رياضية، في هذه الحالة، فهي مجرد تطبيقات (نماذج) مختلفة (متساوية تمامًا) للأعداد الحقيقية (على سبيل المثال، - الكسور العشرية اللانهائية، و - النقاط على خط الأعداد). تسمى هذه التطبيقات بالتماثل، ويسمى رسم الخرائط بالتماثل. وبالتالي فإن نتائج النشاط الرياضي لا تتعلق بالتنفيذ الفردي، بل بكل نموذج من فئة النماذج المتماثلة لبديهيات معينة.

لن نناقش الأسئلة المطروحة أعلاه هنا وسنقتصر على الإجابات الإعلامية عليها فقط.

إن الإجابة الإيجابية على السؤال حول اتساق البديهيات تكون دائمًا مشروطة. فيما يتعلق بالأعداد، يبدو الأمر كما يلي: بناءً على بديهيات نظرية المجموعات التي قبلناها (انظر الفصل الأول، الفقرة 4، الفقرة 2)، يمكننا بناء مجموعة من الأعداد الطبيعية، ثم مجموعة من الأعداد العقلانية، و، وأخيرًا، مجموعة E من جميع الأعداد الحقيقية، والتي تحقق جميع الخصائص المذكورة أعلاه.

15. إذا كانت المجموعتان غير الفارغتين A وB من الأعداد الحقيقية هي من أجل أي وعدم المساواة أ< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

بديهية الاكتمال صالحة فقط في R.

يمكن إثبات أنه بين أي أرقام نسبية غير متساوية، يمكنك دائمًا إدراج رقم نسبي غير متساوٍ.

من البديهيات المذكورة أعلاه، يمكن للمرء أن يستنتج تفرد الصفر والواحد، ووجود وتفرد الفرق والحاصل. دعونا نلاحظ أيضًا خصائص عدم المساواة المستخدمة على نطاق واسع في التحولات المختلفة:

1. إذا أ< b, с < d , то a+c < b+d.

2. إذا أ< b, то –a >-ب .

3. إذا كان أ> 0، ب< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (الأخير ينطبق أيضًا على a > 0، b > 0.)

4. إذا 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. إذا أ< b, c >0، ثم التيار المتردد< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. إذا 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. بالنسبة لأي أرقام موجبة a و b، يوجد رقم nО N مثل na > b (بديهية أرخميدس، لقطاعات الطول أ، ب، غ).

يتم استخدام الرموز التالية للمجموعات الرقمية:

ن – مجموعة من الأعداد الطبيعية

ز – مجموعة من الأعداد الصحيحة

س – تعيين الأرقام المنطقية؛

أنا – مجموعة من الأعداد غير المنطقية

ر – مجموعة من الأعداد الحقيقية

R + - مجموعة من الأعداد الموجبة الحقيقية؛

ص _ – مجموعة من الأعداد السالبة الحقيقية؛

R 0 - مجموعة من الأعداد الحقيقية غير السالبة؛

C هي مجموعة الأعداد المركبة (يتم مناقشة تعريف وخصائص هذه المجموعة في القسم 1.1).

دعونا نقدم مفهوم الحدود على مجموعة الأعداد الحقيقية. وسيتم استخدامه بنشاط في مزيد من المناقشات.

سوف نطلق على المجموعة المحدودة أعلاه (السفلى) إذا كان هناك مثل هذا العدد الحقيقي M (م ) أن أي عنصر يحقق عدم المساواة:

الرقم M يسمى الحد العلوي للمجموعة A، والرقم M – الحد الأدنى لهذه المجموعة.

المجموعة المحدودة من الأعلى والأسفل تسمى محدودة.

مجموعة من ن الأعداد الطبيعية محدودة من الأسفل، ولكنها غير محدودة من الأعلى. مجموعة من الأعداد الصحيحة ز لا تقتصر سواء أدناه أو أعلاه.

إذا نظرنا إلى مجموعة مساحات المثلثات التعسفية المدرج في دائرة قطرها د ، فيقتصر من الأسفل بصفر، ومن الأعلى – مساحة أي مضلع يتضمن دائرة (وبشكل خاص مساحة المربع المحيط به، تساوي د 2 ).

أي مجموعة محدودة من الأعلى (أدناه) لها عدد لا نهائي من الوجوه العلوية (السفلية). إذن، هل هناك أصغر من جميع الحدود العليا وأكبر من جميع الحدود السفلية؟

سوف نتصل بالرقم أعلى مجموعة يحدها أعلاه أÌ ر ، لو:

1. هو أحد الحدود العليا للمجموعة أ ;

2. هو أصغر الحدود العليا للمجموعة أ . وبعبارة أخرى، العدد الحقيقي هو قمة المجموعة أÌ ر ، لو:

التعيين المقبول

أدخل بنفس الطريقة: – الحد الأدنى من مجموعة يحدها أدناه أ والتسميات المقابلة

في اللاتينية: supremum - الأعلى، infimum - الأدنى.

الوجوه الدقيقة للمجموعة قد تنتمي أو لا تنتمي إليها.

نظرية. المجموعة غير الفارغة من الأعداد الحقيقية المحددة بالأعلى (أدناه) لها حد أعلى (أدنى).

سوف نقبل هذه النظرية بدون دليل. على سبيل المثال، إذا كان الحد الأعلى يمكن اعتباره الرقم 100، والحد الأدنى – 10، و. اذا ثم. في المثال الثاني، الحدود الدقيقة لا تنتمي إلى هذه المجموعة.

في مجموعة الأعداد الحقيقية، يمكن التمييز بين مجموعتين فرعيتين منفصلتين من الأعداد الجبرية والأعداد المتسامية.

الأرقام الجبرية هي أرقام تمثل جذور كثيرة الحدود

الذي معاملاته – الأعداد الكلية.

في الجبر الأعلى ثبت أن مجموعة الجذور المعقدة لكثيرة الحدود محدودة وتساوي n. (الأعداد المركبة هي تعميم للأعداد الحقيقية). مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد . ويشمل جميع الأرقام العقلانية، منذ أرقام النموذج

إرضاء المعادلة

وقد ثبت أيضًا أن هناك أعدادًا جبرية ليست من جذور الأعداد النسبية. هذه النتيجة المهمة للغاية أوقفت المحاولات غير المثمرة لإيجاد حلول للمعادلات ذات الدرجة الأعلى من أربعة في الجذور. تم تلخيص عمليات البحث التي أجراها علماء الجبر على مدى قرون والذين درسوا هذه المشكلة من قبل عالم الرياضيات الفرنسي إي.جالوا، الذي توفي بشكل سخيف عن عمر يناهز 21 عامًا. يبلغ طول أعماله العلمية 60 صفحة فقط، لكنها كانت مساهمة رائعة في تطوير الرياضيات.

حاول الشاب الذي أحب هذا العلم بشغف ودون حسيب ولا رقيب، مرتين الدخول إلى أرقى مؤسسة تعليمية في فرنسا في ذلك الوقت – مدرسة البوليتكنيك – دون جدوى. بدأت الدراسة في مدرسة عليا متميزة – تم طرده بسبب خلاف مع المخرج. بعد أن أصبح سجينًا سياسيًا بعد أن تحدث علنًا ضد لويس فيليب، نقل من السجن إلى أكاديمية باريس للعلوم مخطوطة تحتوي على دراسة لحل المعادلة في الجذور. رفضت الأكاديمية هذا العمل. الموت السخيف في مبارزة أنهى حياة هذا الرجل الاستثنائي.

المجموعة التي تمثل الفرق بين مجموعتي الأعداد الحقيقية والجبرية تسمى مجموعة الأعداد المتعالية . من الواضح أن كل عدد متسامٍ لا يمكن أن يكون جذرًا لكثيرة حدود ذات معاملات صحيحة.

وفي الوقت نفسه، تسبب إثبات تجاوز أي أرقام فردية في صعوبات هائلة.

فقط في عام 1882، تمكن الأستاذ في جامعة كونيجسبيرج، ف. ليندمان، من إثبات تجاوز الرقم، والذي أصبح من الواضح أنه من المستحيل حل مشكلة تربيع الدائرة (إنشاء مربع به الرقم) مساحة دائرة معينة باستخدام البوصلة والمسطرة). نرى أن أفكار الجبر والتحليل والهندسة تتخلل بعضها البعض.

إن الإدخال البديهي للأعداد الحقيقية ليس هو الوحيد. يمكن تقديم هذه الأرقام من خلال الجمع بين مجموعة الأعداد النسبية وغير النسبية، أو ككسور عشرية لا نهائية، أو عن طريق قطع مجموعة الأعداد النسبية.

*1) هذه المادة مأخوذة من الفصل السابع من الكتاب:

إل. أساسيات لوري للرياضيات العليا / كتاب مدرسي / م: شركة النشر والتجارة "داشكوف وشركاه"، - 2003، - 517 ص.

يوتيوب الموسوعي

1 / 5

✪ بديهيات الأعداد الحقيقية

✪ مقدمة. الأعداد الحقيقية | ماتان #001 | بوريس تروشين +

✪ مبدأ المقاطع المتداخلة | ماتان #003 | بوريس تروشين!

✪ مبادئ مختلفة للاستمرارية | ماتان #004 | بوريس تروشين!

✪ بديهية الاستمرارية. مبدأ كانتور للعقل المتداخلة

ترجمات

بديهية الاستمرارية

ربما تكون الجملة التالية هي الصيغة الأبسط والأكثر ملاءمة لتطبيقات خاصية استمرارية الأعداد الحقيقية. وفي البناء البديهي لنظرية العدد الحقيقي، فإن هذه العبارة، أو ما يعادلها، تدخل بالتأكيد في بديهيات العدد الحقيقي.

بديهية الاستمرارية (الاكتمال). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R))و B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R))وتستمر المتباينة، حيث يوجد عدد حقيقي ξ (\displaystyle \xi )هذا للجميع أ ∈ أ (\displaystyle a\in A)و ب ∈ ب (\displaystyle b\in B)هناك علاقة

هندسيًا، إذا تعاملنا مع الأعداد الحقيقية كنقاط على خط مستقيم، فإن هذه العبارة تبدو واضحة. إذا مجموعتين أ (\displaystyle A)و ب (\displaystyle B)تكون على خط الأعداد جميع عناصر إحداها تقع على يسار جميع عناصر الثانية، فيوجد رقم ξ (\displaystyle \xi ), الفاصلهاتين المجموعتين، أي تقعان على يمين جميع العناصر أ (\displaystyle A)(باستثناء ربما جدا ξ (\displaystyle \xi )) وعلى يسار جميع العناصر ب (\displaystyle B)(نفس إخلاء المسؤولية).

وتجدر الإشارة هنا إلى أنه على الرغم من "وضوح" هذه الخاصية، إلا أنها لا تنطبق دائمًا على الأعداد النسبية. على سبيل المثال، النظر في مجموعتين:

فمن السهل أن نرى ذلك لأية عناصر أ ∈ أ (\displaystyle a\in A)و ب ∈ ب (\displaystyle b\in B)عدم المساواة يحمل أ< b {\displaystyle a. لكن عاقِلأعداد ξ (\displaystyle \xi )، والفصل بين هاتين المجموعتين، غير موجود. في الواقع، هذا الرقم لا يمكن إلا أن يكون 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))، لكنه ليس عقلانيا.

دور بديهية الاستمرارية في بناء التحليل الرياضي

إن معنى بديهية الاستمرارية هو أنه بدونها يكون البناء الدقيق للتحليل الرياضي مستحيلاً. وللتوضيح، نقدم العديد من البيانات الأساسية للتحليل، والتي يعتمد إثباتها على استمرارية الأعداد الحقيقية:

• (نظرية فايرستراس).كل تسلسل متزايد بشكل رتيب يتقارب
• (نظرية بولزانو-كوشي).دالة مستمرة على قطعة ما، تأخذ قيم إشارات مختلفة في نهاياتها، تختفي عند نقطة داخلية من القطعة
• (وجود القوة والدوال الأسية واللوغاريتمية وجميع الدوال المثلثية في جميع أنحاء مجال التعريف "الطبيعي").على سبيل المثال، ثبت أن لكل أ > 0 (\displaystyle a>0)والكل ن ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1)موجود ا ن (\displaystyle (\sqrt[(n)](a)))، أي حل المعادلة x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). يتيح لك هذا تحديد قيمة التعبير لكل عقلاني س (\displaystyle x):

ا م / ن = (أ ن) م (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m))

وأخيرًا، بفضل استمرارية خط الأعداد مرة أخرى، يمكننا تحديد قيمة التعبير أ س (\displaystyle a^(x))بالفعل التعسفي x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R)) ). وبالمثل باستخدام خاصية الاستمرارية يتم إثبات وجود العدد السجل أ ⁡ ب (\displaystyle \log _(a)(b))لأي أ , ب > 0 , أ ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

لفترة تاريخية طويلة من الزمن، أثبت علماء الرياضيات النظريات من خلال التحليل، في "أماكن خفية" تشير إلى التبرير الهندسي، وفي كثير من الأحيان، يتخطونها تمامًا، لأنها كانت واضحة. تم استخدام مفهوم الاستمرارية البالغ الأهمية دون أي تعريف واضح. فقط في الثلث الأخير من القرن التاسع عشر، قام عالم الرياضيات الألماني كارل فايرستراس بالتحليل الحسابي، وقام ببناء أول نظرية صارمة للأعداد الحقيقية على أنها كسور عشرية لا نهائية. واقترح تعريفا كلاسيكيا للحد في اللغة ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta )وأثبت عدداً من الأقوال التي كانت تعتبر "بديهية" أمامه، وبذلك أكمل بناء أساس التحليل الرياضي.

وفي وقت لاحق، تم اقتراح طرق أخرى لتحديد العدد الحقيقي. في النهج البديهي، يتم تسليط الضوء بشكل واضح على استمرارية الأعداد الحقيقية كبديهية منفصلة. في المقاربات البناءة لنظرية الأعداد الحقيقية، على سبيل المثال عند بناء الأعداد الحقيقية باستخدام أقسام ديديكيند، يتم إثبات خاصية الاستمرارية (بشكل أو بآخر) كنظرية.

صيغ أخرى لخاصية الاستمرارية والجمل المكافئة لها

هناك عدة عبارات مختلفة تعبر عن خاصية استمرارية الأعداد الحقيقية. ويمكن استخدام كل من هذه المبادئ كأساس لبناء نظرية العدد الحقيقي كمسلمة للاستمرارية، ويمكن استخلاص جميع المبادئ الأخرى منها. تتم مناقشة هذه المشكلة بمزيد من التفصيل في القسم التالي.

الاستمرارية وفقا لديديكيند

يعتبر ديديكيند مسألة استمرارية الأعداد الحقيقية في عمله “الاستمرارية والأعداد غير المنطقية”. وفيه يقارن الأعداد النسبية بالنقاط الواقعة على خط مستقيم. وكما هو معروف، يمكن إنشاء تطابق بين الأعداد النسبية والنقاط على الخط عند اختيار نقطة البداية ووحدة قياس القطع على الخط. باستخدام الأخير، لكل رقم نسبي أ (\displaystyle أ)قم ببناء الجزء المقابل، ووضعه على اليمين أو اليسار، اعتمادًا على ما إذا كان هناك أ (\displaystyle أ)رقم إيجابي أو سلبي، والحصول على نقطة ص (\displaystyle p)، الموافق للرقم أ (\displaystyle أ). وهكذا لكل عدد نسبي أ (\displaystyle أ)مباراة واحدة ونقطة واحدة فقط ص (\displaystyle p)على خط مستقيم.

اتضح أن هناك عددًا لا نهائيًا من النقاط على الخط لا تتوافق مع أي رقم نسبي. على سبيل المثال، نقطة يتم الحصول عليها عن طريق رسم طول قطري مربع تم إنشاؤه على قطعة وحدة. وبالتالي فإن منطقة الأعداد العقلانية لا يوجد بها ذلك اكتمال، أو استمرارية، وهو متأصل في خط مستقيم.

ولمعرفة ماهية هذه الاستمرارية، يقدم ديديكيند الملاحظة التالية. لو ص (\displaystyle p)إذا كانت هناك نقطة معينة على الخط، فإن جميع النقاط الموجودة على الخط تنقسم إلى فئتين: النقاط التي تقع على اليسار ص (\displaystyle p)، والنقاط الموجودة على اليمين ص (\displaystyle p). نفس النقطة ص (\displaystyle p)يمكن تعيينها بشكل تعسفي إما إلى الطبقة الدنيا أو العليا. ويرى ديديكيند جوهر الاستمرارية في المبدأ العكسي:

هندسياً، يبدو هذا المبدأ واضحاً، لكننا غير قادرين على إثباته. ويؤكد ديديكيند أن هذا المبدأ، في جوهره، هو مسلمة، تعبر عن جوهر تلك الخاصية المباشرة المنسوبة، والتي نسميها الاستمرارية.

لفهم جوهر استمرارية خط الأعداد بشكل أفضل بمعنى ديديكيند، فكر في قسم عشوائي من مجموعة الأعداد الحقيقية، أي تقسيم جميع الأعداد الحقيقية إلى فئتين غير فارغتين، بحيث تكون جميع الأرقام من فئة واحدة تقع على خط الأعداد على يسار جميع أرقام الفئة الثانية. تتم تسمية هذه الفئات وفقا لذلك أدنىو الصفوف العلياأقسام. من الناحية النظرية هناك 4 احتمالات:

1. الطبقة الدنيا لديها الحد الأقصى للعنصر، الطبقة العليا ليس لديها الحد الأدنى
2. لا تحتوي الطبقة الدنيا على عنصر أقصى، ولكن الطبقة العليا لديها حد أدنى
3. الطبقة الدنيا لديها الحد الأقصى والطبقة العليا لديها الحد الأدنى من العناصر
4. الطبقة الدنيا ليس لها الحد الأقصى والطبقة العليا ليس لها الحد الأدنى من العناصر

في الحالتين الأولى والثانية، فإن الحد الأقصى لعنصر القاع أو الحد الأدنى لعنصر القمة، على التوالي، ينتج هذا القسم. وفي الحالة الثالثة لدينا خطوة، وفي الرابع - فضاء. وبالتالي، فإن استمرارية خط الأعداد تعني أنه في مجموعة الأعداد الحقيقية لا توجد قفزات أو فجوات، أي أنه لا توجد فراغات بالمعنى المجازي.

وهذا الاقتراح يعادل أيضًا مبدأ الاستمرارية لديديكيند. علاوة على ذلك، يمكن إثبات أن بيان النظرية العليا يتبع مباشرة بيان النظرية الصغرى، والعكس صحيح (انظر أدناه).

ليما التغطية المحدودة (مبدأ هاين-بوريل)

غطاء محدود ليما (هاين - بوريل). في أي نظام من الفواصل الزمنية التي تغطي مقطعًا ما، يوجد نظام فرعي محدود يغطي هذا المقطع.

ليما النقطة الحدية (مبدأ بولزانو-فايرستراس)

نقطة الحد ليما (بولزانو - فايرستراس). تحتوي كل مجموعة أرقام محدودة لا حصر لها على نقطة حد واحدة على الأقل.. المجموعة الثانية تعبر عن حقيقة أن مجموعة الأعداد الحقيقية هي، وعلاقة الترتيب متوافقة مع العمليات الأساسية للمجال. وبالتالي، فإن المجموعتين الأولى والثانية من البديهيات تعني أن مجموعة الأعداد الحقيقية تمثل حقلاً مرتبًا. المجموعة الثالثة من البديهيات تتكون من بديهية واحدة - بديهية الاستمرارية (أو الاكتمال).

لإظهار تكافؤ الصيغ المختلفة لاستمرارية الأعداد الحقيقية، من الضروري إثبات أنه إذا كانت إحدى هذه العبارات تنطبق على حقل مرتب، فإن صحة جميع العبارات الأخرى تتبع من هذا.

نظرية. Letbe مجموعة مرتبة خطيًا بشكل تعسفي. البيانات التالية متكافئة:

1. مهما كانت المجموعات غير الفارغة و B ⊂ R (\displaystyle B\subset (\mathsf (R)))، بحيث لأي عنصرين أ ∈ أ (\displaystyle a\in A)و ب ∈ ب (\displaystyle b\in B)عدم المساواة يحمل أ ⩽ ب (\displaystyle a\leqslant b)، هناك مثل هذا العنصر ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R)))هذا للجميع أ ∈ أ (\displaystyle a\in A)و ب ∈ ب (\displaystyle b\in B)هناك علاقة ا ⩽ ξ ⩽ ب (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. لأي قسم في R (\displaystyle (\mathsf (R)))هناك عنصر ينتج هذا القسم
3. أي مجموعة غير فارغة يحدها أعلاه ا ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R)))لديه التفوق
4. أي مجموعة غير فارغة يحدها من الأسفل ا ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R)))لديه الحد الأدنى

وكما يتبين من هذه النظرية، فإن هذه الجمل الأربع تستخدم فقط ما هو كائن R (\displaystyle (\mathsf (R)))يتم تقديم علاقة ترتيب خطية ولا يتم استخدام بنية الحقل. وهكذا يعبر كل منهما عن خاصية R (\displaystyle (\mathsf (R)))كمجموعة مرتبة خطيا. يتم استدعاء هذه الخاصية (لمجموعة مرتبة خطيًا، وليس بالضرورة مجموعة الأعداد الحقيقية). الاستمرارية، أو الاكتمال، وفقا لديديكيند.

إن إثبات تكافؤ الجمل الأخرى يتطلب بالفعل وجود بنية ميدانية.

نظرية. يترك R (\displaystyle (\mathsf (R)))- حقل أمر تعسفي. الجمل التالية متكافئة:

تعليق. كما يتبين من النظرية، مبدأ الأجزاء المتداخلة نفسها لا يعادلمبدأ ديديكيند للاستمرارية من مبدأ ديديكيند للاستمرارية، يتبع مبدأ الأجزاء المتداخلة، ولكن بالنسبة للعكس من الضروري أن نتطلب بالإضافة إلى ذلك أن يكون الحقل المرتب .

يخطط:

مقدمة

• 1 بديهية الاستمرارية
• 2 دور بديهية الاستمرارية في بناء التحليل الرياضي
• 3 صيغ أخرى لخاصية الاستمرارية والجمل المكافئة لها
  • 3.1 الاستمرارية وفقا لديديكيند
  • 3.2 Lemma على المقاطع المتداخلة (مبدأ كوشي-كانتور)
  • 3.3 المبدأ الأسمى
  • 3.4 ليما التغطية المحدودة (مبدأ هاين-بوريل)
  • 3.5 ليما النقطة الحدية (مبدأ بولزانو-فايرستراس)
• 4 تكافؤ الجمل التي تعبر عن استمرارية مجموعة الأعداد الحقيقية
ملحوظات
الأدب

مقدمة

استمرارية الأعداد الحقيقية- خاصية نظام الأعداد الحقيقية التي لا تمتلكها مجموعة الأعداد العقلانية. في بعض الأحيان بدلاً من الاستمرارية يتحدثون عنها اكتمال نظام الأعداد الحقيقية. هناك عدة صيغ مختلفة لخاصية الاستمرارية، ومن أشهرها: مبدأ ديديكيند لاستمرارية الأعداد الحقيقية, مبدأ الفاصل الزمني المتداخل بين كوشي وكانتور, النظرية العليا. اعتمادًا على التعريف المقبول للرقم الحقيقي، يمكن افتراض خاصية الاستمرارية كبديهية - في صيغة أو بأخرى، أو إثباتها كنظرية.

1. بديهية الاستمرارية

ربما تكون الجملة التالية هي الصيغة الأبسط والأكثر ملاءمة لتطبيقات خاصية استمرارية الأعداد الحقيقية. وفي البناء البديهي لنظرية العدد الحقيقي، فإن هذه العبارة، أو ما يعادلها، تدخل بالتأكيد في عدد بديهيات العدد الحقيقي.

توضيح هندسي لبديهية الاستمرارية

بديهية الاستمرارية (الاكتمال). مهما كانت المجموعات غير الفارغة وتلك التي تنطبق على أي عنصرين وتبقى المتراجحة موجودة، يوجد رقم ξ بحيث يكون للجميع وتصمد العلاقة

هندسيًا، إذا تعاملنا مع الأعداد الحقيقية كنقاط على خط مستقيم، فإن هذه العبارة تبدو واضحة. إذا مجموعتين أو بتكون على خط الأعداد جميع عناصر أحدها تقع على يسار جميع عناصر الثاني، ثم يوجد رقم ξ، الفاصلهاتين المجموعتين، أي تقعان على يمين جميع العناصر أ(ربما باستثناء ξ نفسها) وعلى يسار جميع العناصر ب(نفس إخلاء المسؤولية).

وتجدر الإشارة هنا إلى أنه على الرغم من "وضوح" هذه الخاصية، إلا أنها لا تنطبق دائمًا على الأعداد النسبية. على سبيل المثال، النظر في مجموعتين:

ومن السهل أن نرى ذلك بالنسبة لأية عناصر وعدم المساواة أ < ب. لكن عاقِللا يوجد رقم ξ يفصل بين هاتين المجموعتين. في الواقع، هذا العدد لا يمكن أن يكون إلا، لكنه ليس عددًا عقلانيًا.

2. دور بديهية الاستمرارية في بناء التحليل الرياضي

إن أهمية بديهية الاستمرارية هي أنه بدونها يكون البناء الدقيق للتحليل الرياضي مستحيلاً. وللتوضيح، نقدم العديد من البيانات الأساسية للتحليل، والتي يعتمد إثباتها على استمرارية الأعداد الحقيقية:

وأخيرًا، بفضل استمرارية خط الأعداد مرة أخرى، يمكننا تحديد قيمة التعبير أ سبالفعل ل التعسفي . وبالمثل، باستخدام خاصية الاستمرارية، نثبت وجود سجل الأعداد أ بلأي .

لفترة تاريخية طويلة من الزمن، أثبت علماء الرياضيات النظريات من خلال التحليل، في "أماكن خفية" تشير إلى التبرير الهندسي، وفي كثير من الأحيان - تخطيها تمامًا لأنها كانت واضحة. تم استخدام مفهوم الاستمرارية البالغ الأهمية دون أي تعريف واضح. فقط في الثلث الأخير من القرن التاسع عشر، قام عالم الرياضيات الألماني كارل فايرستراس بالتحليل الحسابي، وقام ببناء أول نظرية صارمة للأعداد الحقيقية على أنها كسور عشرية لا نهائية. واقترح التعريف الكلاسيكي للنهاية في اللغة، وأثبت عددًا من العبارات التي كانت تعتبر "واضحة" قبله، وبذلك أكمل بناء أساس التحليل الرياضي.

وفي وقت لاحق، تم اقتراح طرق أخرى لتحديد العدد الحقيقي. في النهج البديهي، يتم تسليط الضوء بشكل واضح على استمرارية الأعداد الحقيقية كبديهية منفصلة. في الأساليب البناءة لنظرية الأعداد الحقيقية، على سبيل المثال، عند بناء الأعداد الحقيقية باستخدام أقسام ديديكيند، يتم إثبات خاصية الاستمرارية (بشكل أو بآخر) كنظرية.

3. صيغ أخرى لخاصية الاستمرارية والجمل المكافئة

هناك عدة عبارات مختلفة تعبر عن خاصية استمرارية الأعداد الحقيقية. ويمكن استخدام كل من هذه المبادئ كأساس لبناء نظرية العدد الحقيقي كمسلمة للاستمرارية، ويمكن استخلاص جميع المبادئ الأخرى منها. تتم مناقشة هذه المشكلة بمزيد من التفصيل في القسم التالي.

3.1. الاستمرارية وفقا لديديكيند

يتناول ديديكيند مسألة استمرارية الأعداد الحقيقية في عمله "الاستمرارية والأعداد غير العقلانية". وفيه يقارن الأعداد النسبية بالنقاط الواقعة على خط مستقيم. وكما هو معروف، يمكن إنشاء تطابق بين الأعداد النسبية والنقاط على الخط عند اختيار نقطة البداية ووحدة قياس القطع على الخط. باستخدام الأخير، لكل رقم نسبي أقم ببناء الجزء المقابل، ووضعه على اليمين أو اليسار، اعتمادًا على ما إذا كان هناك أرقم إيجابي أو سلبي، والحصول على نقطة ص، الموافق للرقم أ. وهكذا لكل عدد نسبي أمباراة واحدة ونقطة واحدة فقط صعلى خط مستقيم.

اتضح أن هناك عددًا لا نهائيًا من النقاط على الخط لا تتوافق مع أي رقم نسبي. على سبيل المثال، نقطة يتم الحصول عليها عن طريق رسم طول قطري مربع تم إنشاؤه على قطعة وحدة. وبالتالي فإن منطقة الأعداد العقلانية لا يوجد بها ذلك اكتمال، أو استمرارية، وهو متأصل في خط مستقيم.

ولمعرفة ماهية هذه الاستمرارية، يقدم ديديكيند الملاحظة التالية. لو صإذا كانت هناك نقطة معينة على الخط، فإن جميع النقاط الموجودة على الخط تنقسم إلى فئتين: النقاط التي تقع على اليسار ص، والنقاط الموجودة على اليمين ص. نفس النقطة صيمكن تعيينها بشكل تعسفي إما إلى الطبقة الدنيا أو العليا. ويرى ديديكيند جوهر الاستمرارية في المبدأ العكسي:

هندسياً، يبدو هذا المبدأ واضحاً، لكننا غير قادرين على إثباته. ويؤكد ديديكيند أن هذا المبدأ، في جوهره، هو مسلمة تعبر عن جوهر تلك الخاصية المنسوبة إلى المباشر، والتي نسميها الاستمرارية.

لفهم جوهر استمرارية خط الأعداد بشكل أفضل بمعنى ديديكيند، فكر في قسم عشوائي من مجموعة الأعداد الحقيقية، أي تقسيم جميع الأعداد الحقيقية إلى فئتين غير فارغتين، بحيث تكون جميع الأرقام من فئة واحدة تقع على خط الأعداد على يسار جميع أرقام الفئة الثانية. تتم تسمية هذه الفئات وفقا لذلك أدنىو الصفوف العلياأقسام. من الناحية النظرية هناك 4 احتمالات:

1. الطبقة الدنيا لديها الحد الأقصى للعنصر، الطبقة العليا ليس لديها الحد الأدنى
2. لا تحتوي الطبقة الدنيا على عنصر أقصى، ولكن الطبقة العليا لديها حد أدنى
3. الطبقة الدنيا لديها الحد الأقصى والطبقة العليا لديها الحد الأدنى من العناصر
4. الطبقة الدنيا ليس لها الحد الأقصى والطبقة العليا ليس لها الحد الأدنى من العناصر

في الحالتين الأولى والثانية، فإن الحد الأقصى لعنصر القاع أو الحد الأدنى لعنصر القمة، على التوالي، ينتج هذا القسم. وفي الحالة الثالثة لدينا خطوة، وفي الرابع - فضاء. وبالتالي، فإن استمرارية خط الأعداد تعني أنه في مجموعة الأعداد الحقيقية لا توجد قفزات أو فجوات، أي أنه لا توجد فراغات بالمعنى المجازي.

إذا قدمنا ​​مفهوم القسم من مجموعة الأعداد الحقيقية، فيمكن صياغة مبدأ الاستمرارية لديديكيند على النحو التالي.

مبدأ ديديكيند للاستمرارية (الاكتمال). لكل قسم من مجموعة الأعداد الحقيقية يوجد رقم ينتج هذا القسم.

تعليق. إن صياغة بديهية الاستمرارية حول وجود نقطة تفصل بين مجموعتين تذكرنا جدًا بصياغة مبدأ ديديكيند للاستمرارية. في الواقع، هذه العبارات متكافئة، وهي في الأساس صيغ مختلفة لنفس الشيء. ولذلك، يتم استدعاء كل من هذه البيانات مبدأ ديديكيند لاستمرارية الأعداد الحقيقية.

3.2. Lemma على المقاطع المتداخلة (مبدأ كوشي-كانتور)

Lemma على شرائح متداخلة (كوشي - كانتور). أي نظام من القطاعات المتداخلة

يحتوي على تقاطع غير فارغ، أي أن هناك رقمًا واحدًا على الأقل ينتمي إلى جميع أجزاء نظام معين.

بالإضافة إلى ذلك، إذا كان طول أجزاء نظام معين يميل إلى الصفر، فهذا يعني

فإن تقاطع أجزاء هذا النظام يتكون من نقطة واحدة.

هذه الخاصية تسمى استمرارية مجموعة الأعداد الحقيقية بمعنى كانتور. أدناه سوف نبين أنه بالنسبة للحقول المرتبة لأرخميدس، فإن الاستمرارية وفقًا لكانتور تعادل الاستمرارية وفقًا لديديكيند.

3.3. المبدأ الأسمى

المبدأ الأسمى. كل مجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية المحددة أعلاه لها رقم أعلى.

في دورات حساب التفاضل والتكامل، عادة ما تكون هذه الفرضية عبارة عن نظرية ويستخدم إثباتها بشكل أساسي استمرارية مجموعة الأعداد الحقيقية بشكل ما. وفي الوقت نفسه، يمكن، على العكس من ذلك، افتراض وجود قمة لأي مجموعة غير فارغة يحدها من الأعلى، والاعتماد على ذلك لإثبات، على سبيل المثال، مبدأ الاستمرارية عند ديديكيند. وبالتالي، فإن النظرية العليا هي إحدى الصيغ المكافئة لخاصية استمرارية الأعداد الحقيقية.

تعليق. بدلاً من السيادة، يمكن للمرء استخدام المفهوم المزدوج للأقل.

مبدأ الحد الأدنى. كل مجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية يحدها من الأسفل لها حد لانهائي.

وهذا الاقتراح يعادل أيضًا مبدأ الاستمرارية لديديكيند. علاوة على ذلك، يمكن إثبات أن بيان النظرية العليا يتبع مباشرة بيان النظرية الصغرى، والعكس صحيح (انظر أدناه).

3.4. ليما التغطية المحدودة (مبدأ هاين-بوريل)

غطاء محدود ليما (هاين - بوريل). في أي نظام من الفواصل الزمنية التي تغطي مقطعًا ما، يوجد نظام فرعي محدود يغطي هذا المقطع.

3.5. ليما النقطة الحدية (مبدأ بولزانو-فايرستراس)

نقطة الحد ليما (بولزانو - فايرستراس). تحتوي كل مجموعة أرقام محدودة لا حصر لها على نقطة حد واحدة على الأقل.

4. تكافؤ الجمل التي تعبر عن استمرارية مجموعة الأعداد الحقيقية

دعونا نبدي بعض الملاحظات الأولية. وفقا للتعريف البديهي للرقم الحقيقي، فإن مجموعة الأعداد الحقيقية تلبي ثلاث مجموعات من البديهيات. المجموعة الأولى هي البديهيات الميدانية. تعبر المجموعة الثانية عن حقيقة أن مجموعة الأعداد الحقيقية هي مجموعة مرتبة خطيًا، وأن علاقة الترتيب متوافقة مع العمليات الأساسية للمجال. وبالتالي، فإن المجموعتين الأولى والثانية من البديهيات تعني أن مجموعة الأعداد الحقيقية تمثل حقلاً مرتبًا. المجموعة الثالثة من البديهيات تتكون من بديهية واحدة - بديهية الاستمرارية (أو الاكتمال).

لإظهار تكافؤ الصيغ المختلفة لاستمرارية الأعداد الحقيقية، من الضروري إثبات أنه إذا كانت إحدى هذه العبارات تنطبق على حقل مرتب، فإن صحة جميع العبارات الأخرى تتبع من هذا.

نظرية. Letbe مجموعة مرتبة خطيًا بشكل تعسفي. البيانات التالية متكافئة:

كما يتبين من هذه النظرية، هذه الجمل الأربع تستخدم فقط حقيقة أن علاقة الترتيب الخطي مقدمة، ولا تستخدم بنية المجال. وهكذا فإن كل واحدة منها تعبر عن خاصية كونها مجموعة مرتبة خطيا. يتم استدعاء هذه الخاصية (لمجموعة مرتبة خطيًا، وليس بالضرورة مجموعة الأعداد الحقيقية). الاستمرارية، أو الاكتمال، وفقا لديديكيند.

إن إثبات تكافؤ الجمل الأخرى يتطلب بالفعل وجود بنية ميدانية.

نظرية. اسمحوا أن يكون حقل أمر التعسفي. الجمل التالية متكافئة:

تعليق. كما يتبين من النظرية، مبدأ الأجزاء المتداخلة نفسها لا يعادلمبدأ ديديكيند للاستمرارية من مبدأ ديديكيند للاستمرارية، يتبع مبدأ الأجزاء المتداخلة، ولكن بالنسبة للعكس فمن الضروري أن نشترط بالإضافة إلى ذلك أن الحقل المرتب يلبي بديهية أرخميدس

يمكن العثور على إثبات النظريات المذكورة أعلاه في الكتب من قائمة المراجع أدناه.

ملحوظات

1. زوريش، V. A.التحليل الرياضي. الجزء الأول - إد. الرابع، المراجعة - م: "MCNMO"، 2002. - ص 43.
2. على سبيل المثال، مع التعريف البديهي لعدد حقيقي، يتم تضمين مبدأ الاستمرارية لديديكيند في عدد البديهيات، ومع التعريف البناء لعدد حقيقي باستخدام أقسام ديديكيند، فإن نفس البيان هو بالفعل نظرية - انظر على سبيل المثال فيختنغولتس، ج. م.
3. كودريافتسيف، إل.دي.دورة التحليل الرياضي. - الطبعة الخامسة. - م: "حبارى"، 2003. - ط1. - ص38.
4. كودريافتسيف، إل.دي.دورة التحليل الرياضي. - الطبعة الخامسة. - م: "حبارى"، 2003. - ت 1. - ص 84.
5. زوريش، V. A.التحليل الرياضي. الجزء الأول - إد. الرابع، مراجعة. - م: "MCNMO"، 2002. - ص 81.
6. ديديكيند، R.الاستمرارية والأرقام غير المنطقية - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - الطبعة الرابعة المنقحة. - أوديسا: الرياضيات، 1923. - 44 ص.

الأدب

• كودريافتسيف، إل.دي.دورة التحليل الرياضي. - الطبعة الخامسة. - م: "دروفا"، 2003. - ت 1. - 704 ص. - ردمك 5-7107-4119-1
• فيختنغولتس، ج. م.أساسيات التحليل الرياضي. - الطبعة السابعة. - م: "FIZMATLIT"، 2002. - ت 1. - 416 ص. - ردمك 5-9221-0196-X
• ديديكيند، R.الاستمرارية والأرقام غير المنطقية - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - الطبعة الرابعة المنقحة. - أوديسا: الرياضيات، 1923. - 44 ص. , اكتمال تورينج , تقسيم المجموعة , تباين المجموعة , درجة المجموعة .