المعيار الهندسي للاعتماد الخطي لثلاثة نواقل. شرط ضروري للاعتماد الخطي على وظائف n. خصائص النواقل المعتمدة خطيا

لاحظ أنه في ما يلي ، دون فقدان العمومية ، سننظر في حالة المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. على المستوى ، يتم النظر في النواقل بطريقة مماثلة. كما هو مذكور أعلاه ، يمكن نقل جميع النتائج المعروفة من مسار الجبر الخطي للمتجهات الجبرية إلى الحالة الخاصة للمتجهات الهندسية. لنفعلها اذا.

دع المتجهات تكون ثابتة.

تعريف.يُطلق على المجموع ، حيث توجد بعض الأرقام ، مجموعة خطية من المتجهات. في هذه الحالة ، ستسمى هذه الأرقام معاملات التركيبة الخطية.

سنكون مهتمين بمسألة إمكانية تساوي تركيبة خطية مع متجه صفري. وفقًا لخصائص وبديهيات الفضاء المتجه ، يصبح من الواضح أنه بالنسبة لأي نظام من النواقل ، هناك مجموعة تافهة (صفر) من المعاملات ، والتي تحمل هذه المساواة:

يطرح السؤال عن وجود نظام معين من المتجهات لمجموعة غير تافهة من المعاملات (من بينها على الأقل معامل واحد غير صفري) ، والتي تنطبق عليها المساواة المذكورة. وفقًا لهذا ، سوف نميز بين الأنظمة المعتمدة بشكل خطي والمستقلة.

تعريف.يُطلق على نظام المتجهات المستقلة خطيًا إذا كانت هناك مجموعة من الأرقام ، من بينها واحد على الأقل غير صفري ، بحيث تكون التركيبة الخطية المقابلة مساوية للمتجه الصفري:

يسمى نظام النواقل المستقل خطيًا إذا كانت المساواة

ممكن فقط في حالة وجود مجموعة تافهة من المعاملات:

دعونا ندرج الخصائص الرئيسية للأنظمة المعتمدة والمستقلة خطيًا التي تم إثباتها في سياق الجبر الخطي.

1. أي نظام من النواقل التي تحتوي على متجه صفري يعتمد خطيًا.

2. يجب أن يكون هناك نظام فرعي تابع خطيًا في نظام المتجهات. ثم النظام بأكمله يعتمد خطيًا أيضًا.

3. إذا كان نظام النواقل مستقلًا خطيًا ، فإن أيًا من أنظمته الفرعية يكون أيضًا مستقلاً خطيًا.

4. إذا كان هناك متجهان في نظام المتجهات ، أحدهما يتم الحصول عليه من الآخر بضربه في رقم معين ، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيًا.

نظرية (معيار الاعتماد الخطي).يعتمد نظام النواقل خطيًا إذا وفقط إذا كان يمكن تمثيل أحد نواقل هذا النظام كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى للنظام.

مع الأخذ في الاعتبار معيار العلاقة الخطية المتداخلة لمتجهين ، يمكن القول أن معيار اعتمادهما الخطي هو العلاقة الخطية المتداخلة بينهما. بالنسبة لثلاثة نواقل في الفضاء ، فإن العبارة التالية صحيحة.

نظرية (معيار الاعتماد الخطي لثلاثة نواقل هندسية).ثلاثة نواقل ، وتعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كانت متحد المستوى.

دليل - إثبات.

بحاجة إلى.دع المتجهات ، وتكون مرتبطة خطيا. دعونا نثبت رضاهم. بعد ذلك ، وفقًا للمعيار العام للاعتماد الخطي للمتجهات الجبرية ، نؤكد أن أحد هذه المتجهات يمكن تمثيله كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى. دعنا ، على سبيل المثال ،

إذا تم تطبيق المتجهات الثلاثة على أصل مشترك ، فإن المتجه سوف يتطابق مع قطري متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و. ولكن هذا يعني أن المتجهات ، وتقع في نفس المستوى ، أي متحد المستوى.

قدرة.دع المتجهات ، وكن متحد المستوى. دعونا نظهر أنهم يعتمدون خطيا. بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون أي زوج من النواقل المشار إليها على علاقة خطية. في هذه الحالة ، وفقًا للنظرية السابقة ، يحتوي نظام المتجهات ، على نظام فرعي تابع خطيًا ، وبالتالي فهو نفسه معتمدًا خطيًا وفقًا للخاصية 2 لأنظمة المتجهات المعتمدة والمستقلة خطيًا. دعونا الآن لا يكون أي زوج من النواقل قيد النظر على علاقة خطية. ننقل المتجهات الثلاثة إلى مستوى واحد ونجلبها إلى أصل مشترك. ارسم من خلال نهاية خطوط المتجه الموازية للمتجهات و. دع الحرف يشير إلى نقطة تقاطع الخط الموازي للمتجه مع الخط الذي يقع عليه المتجه ، ونقطة تقاطع الخط الموازي للمتجه مع الخط الذي يقع عليه المتجه بالحرف. من خلال تعريف مجموع المتجهات ، نحصل على:

.

نظرًا لأن المتجه خطي متواصل مع متجه غير صفري ، يوجد رقم حقيقي مثل هذا

اعتبارات مماثلة تعني وجود عدد حقيقي مثل ذلك

نتيجة لذلك ، سيكون لدينا:

ثم ، من المعيار العام للاعتماد الخطي للمتجهات الجبرية ، نحصل على أن المتجهات تعتمد خطيًا. ■

نظرية (الاعتماد الخطي لأربعة نواقل).أي أربعة نواقل تعتمد خطيا.

دليل - إثبات. بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون أي ثلاثي من النواقل الأربعة المشار إليها متحد المستوى. في هذه الحالة ، يعتمد هذا الثلاثي خطيًا وفقًا للنظرية السابقة. لذلك ، وفقًا لخاصية نظامين معتمدين خطيًا ومستقلين من المتجهات ، فإن الرباعي بأكمله يعتمد خطيًا.

دعنا الآن ، من بين النواقل قيد النظر ، لا يوجد ثلاثة نواقل تكون متحد المستوى. دعونا نحضر جميع المتجهات الأربعة ، ، إلى بداية مشتركة ونرسم المستويات من خلال نهاية المتجه الموازي للمستويات المحددة بواسطة أزواج من المتجهات ، و؛ و. يتم الإشارة إلى نقاط تقاطع المستويات المشار إليها مع الخطوط التي عليها المتجهات ، والكذب بالحروف ، وعلى التوالي. ويترتب على تعريف مجموع المتجهات أن

والتي ، مع الأخذ في الاعتبار المعيار العام للاعتماد الخطي للمتجهات الجبرية ، تقول أن جميع النواقل الأربعة تعتمد خطيًا. ■

ديف.نظام العناصر x 1،…، x m lin. يُطلق على الإنتاج V اعتمادًا خطيًا إذا كانت ∃ λ 1 ، ... ، λ م ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ م | ≠ 0) مثل λ 1 × 1 + ... + م × م =.

ديف.نظام العناصر x 1،…، x m ∈ V يسمى مستقل خطيًا إذا كان من المساواة λ 1 x 1 +… + λ m x m = θ ⟹λ 1 =… = m = 0.

ديف.يُطلق على العنصر x ∈ V مجموعة خطية من العناصر x 1،…، x m ∈ V إذا كانت ∃ λ 1،…، λ m ∈ ℝ بحيث تكون x = λ 1 x 1 +… + m x m.

نظرية (معيار الاعتماد الخطي):نظام النواقل x 1،…، x m ∈ V يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا تم التعبير عن متجه واحد على الأقل من النظام بشكل خطي من حيث المتجهات الأخرى.

وثيقة. بحاجة إلى:لنفترض أن x 1 ، ... ، x m تعتمد خطيًا ⟹ ∃ λ 1 ، ... ، λ م ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ م | ≠ 0) بحيث λ 1 × 1 + ... + م -1 × م -1 + λ م × م =. افترض λ م ≠ 0 إذن

س م \ u003d (-) × 1 + ... + (-) × م -1.

قدرة: دع أحد المتجهات على الأقل يتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات الأخرى: x m = λ 1 x 1 +… + λ m -1 x m -1 (λ 1 ، ... ، λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 + ... + λ م -1 س م -1 + (- 1) س م = 0 λ م = (- 1) ≠ 0 ⟹ × 1 ، ... ، س م - مستقلة خطيًا.

فين. شرط الاعتماد الخطي:

إذا كان النظام يحتوي على عنصر صفري أو نظام فرعي تابع خطيًا ، فإنه يعتمد خطيًا.

λ 1 x 1 +… + m x m = 0 - نظام معتمد خطيًا

1) دع x 1 = θ ، إذن هذه المساواة صالحة لـ λ 1 = 1 و λ 1 = ... = λ م = 0.

2) لنفترض أن λ 1 x 1 +… + m x m = 0 نظام فرعي تابع خطيًا ⟹ | λ 1 | +… + | λ م | ≠ 0. ثم بالنسبة لـ λ 1 = 0 نحصل أيضًا على | λ 1 | +… + | λ م | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +… + m x m = 0 نظام يعتمد خطيًا.

أساس الفضاء الخطي. إحداثيات المتجهات في الأساس المحدد. إحداثيات مجاميع المتجهات وحاصل ضرب متجه برقم. الشرط الضروري والكافي للاعتماد الخطي لنظام النواقل.

تعريف: يُطلق على النظام المرتب للعناصر e 1 ، ... ، e n لمساحة خطية V أساس هذا الفضاء إذا:

أ) ه 1 ... ه ن مستقل خطيًا

ب) ∀ x ∈ α 1 ... α n بحيث x = α 1 e 1 +… + α n e n

x = α 1 e 1 +… + α n e n - توسيع العنصر x في الأساس e 1 ، ... ، e n

α 1 ... α n ∈ ℝ هي إحداثيات العنصر x في الأساس e 1 ، ... ، e n

النظرية: إذا كان الأساس e 1 ، ... ، e n معطى في الفضاء الخطي V ، ثم ∀ x ∈ V عمود الإحداثيات x في الأساس e 1 ، ... ، e n محدد بشكل فريد (الإحداثيات محددة بشكل فريد)

دليل - إثبات:دع x = α 1 e 1 +… + α n e n و x = β 1 e 1 +… + β n e n

x = ⇔ = Θ ، أي e 1 ، ... ، e n مستقلة خطيًا ، ثم - = 0 ∀ i = 1 ، ... ، n ⇔ = ∀ i = 1 ، ... ، n h.t.d.

النظرية: دع e 1،…، e n هو أساس الفضاء الخطي V؛ x ، y عناصر تعسفية للفضاء V ، λ ∈ ℝ رقم تعسفي. عند إضافة x و y ، تتم إضافة إحداثياتهما ، وعندما يتم ضرب x في λ ، يتم أيضًا ضرب إحداثيات x في λ.

دليل - إثبات:س = (ه 1 ، ... ، ه ن) وص = (ه 1 ، ... ، ه ن)

س + ص = + = (ه 1 ، ... ، ه ن)

λx = λ) = (ه 1 ، ... ، ه ن)

Lemma1: (الشرط الضروري والكافي للاعتماد الخطي لنظام النواقل)

لنفترض أن e 1 ... e n هو أساس الفضاء V. نظام العناصر f 1 ، ... ، f k ∈ V يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كانت أعمدة إحداثيات هذه العناصر في الأساس e 1 ، ... ، e n هي تعتمد خطيا

دليل - إثبات:قم بتوسيع f 1،…، f k في الأساس e 1،…، e n

و م = (ه 1 ، ... ، ه ن) م = 1 ، ... ، ك

λ 1 و 1 + ... + λ ك و ك = (ه 1 ، ... ، ه ن) [λ 1 + ... + λ ن] أي λ 1 و 1 + ... + λ ك و ك = Θ ⇔

⇔ λ 1 + ... + λ n = كما هو مطلوب.

13. أبعاد الفضاء الخطي. نظرية العلاقة بين البعد والأساس.
تعريف: يُطلق على الفضاء الخطي V مساحة ذات أبعاد n إذا كان هناك n عناصر مستقلة خطيًا في V ، ونظام أي عناصر n + 1 من الفضاء V يعتمد خطيًا. في هذه الحالة ، يسمى n أبعاد الفضاء الخطي V ويشار إليه بـ dimV = n.

يسمى الفضاء الخطي الأبعاد اللانهائية إذا كان N ∈ ℕ في الفضاء V يوجد نظام مستقل خطيًا يحتوي على عناصر N.

النظرية: 1) إذا كان V هو فضاء خطي ذو أبعاد n ، فإن أي نظام مرتب لعدد n من العناصر المستقلة خطيًا لهذا الفضاء يشكل أساسًا. 2) إذا كان في الفضاء الخطي V يوجد أساس يتكون من n من العناصر ، فإن أبعاد V تساوي n (dimV = n).

دليل - إثبات: 1) دع dimV = n ⇒ في V ∃ n عناصر مستقلة خطيًا e 1،…، e n. نثبت أن هذه العناصر تشكل أساسًا ، أي أننا نثبت أن ∀ x ∈ V يمكن توسيعها بدلالة e 1 ، ... ، e n. دعنا نضيف x إليهم: e 1،…، e n، x - يحتوي هذا النظام على متجهات n + 1 ، مما يعني أنه يعتمد خطيًا. بما أن e 1 ، ... ، e n مستقل خطيًا ، ثم بواسطة النظرية 2 xمعبرًا عنها خطيًا من خلال e 1 ، ... ، e n أي ∃ ، ... ، بحيث أن x = α 1 e 1 +… + α n e n. إذن ، e 1 ، ... ، e n هو أساس الفضاء V. 2) لنفترض أن e 1 ، ... ، e n هو أساس V ، لذلك هناك n عناصر مستقلة خطيًا في V n. خذ f 1 ، ... ، f n ، f n +1 ∈ V - n + 1 العناصر. دعونا نظهر اعتمادهم الخطي. دعنا نقسمها من حيث:

f m = (e 1،…، e n) = حيث m = 1،…، n دعونا ننشئ مصفوفة من أعمدة الإحداثيات: A = تحتوي المصفوفة على n من الصفوف ⇒ RgA≤n. عدد الأعمدة n + 1> n ≥ RgA ⇒ أعمدة المصفوفة A (أي أعمدة الإحداثيات f 1 ، ... ، f n ، f n +1) تعتمد خطيًا. من Lemma 1 ⇒،…، f n، f n +1 تعتمد خطيًا ⇒ dimV = n.

عاقبة:إذا كان أي أساس يحتوي على عناصر n ، فإن أي أساس آخر لهذه المساحة يحتوي على n من العناصر.

النظرية 2: إذا كان نظام المتجهات x 1 ، ... ، x m -1 ، x m يعتمد خطيًا ، ونظامه الفرعي x 1 ، ... ، x m -1 مستقل خطيًا ، ثم x m - يتم التعبير عنه خطيًا من خلال x 1 ، ... ، x m -1

دليل - إثبات: لان x 1 ، ... ، x m -1 ، x m تعتمد خطيًا ، ثم ∃ ، ... ، ، ،

، ... ، | ، | مثل ذلك . إذا ، ... ، | => x 1،…، x m -1 مستقلة خطيًا ، وهذا لا يمكن أن يكون. إذن م = (-) × 1 + ... + (-) × م -1.

يعطي ما يلي عدة معايير للاعتماد الخطي ، وبالتالي ، الاستقلال الخطي لأنظمة المتجهات.

نظرية. (شرط ضروري وكافٍ للاعتماد الخطي على النواقل.)

يعتمد نظام النواقل إذا وفقط إذا تم التعبير عن أحد نواقل النظام خطيًا من حيث نواقل هذا النظام.

دليل - إثبات. بحاجة إلى. دع النظام يعتمد خطيًا. ثم ، حسب التعريف ، يمثل المتجه الصفري بطريقة غير تافهة ، أي هناك مجموعة غير تافهة من هذا النظام من النواقل تساوي المتجه الصفري:

حيث أن واحدًا على الأقل من معاملات هذه المجموعة الخطية لا يساوي صفرًا. يترك ، .

قسّم كلا الجزأين من المساواة السابقة على هذا المعامل غير الصفري (أي اضرب في:

دلالة: أين.

أولئك. يتم التعبير عن أحد نواقل النظام خطيًا من حيث العوامل الأخرى في هذا النظام ، إلخ.

قدرة. دع أحد نواقل النظام يتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات الأخرى لهذا النظام:

دعنا ننتقل المتجه إلى يمين هذه المساواة:

نظرًا لأن معامل المتجه هو ، إذن لدينا تمثيل غير تافه للصفر بواسطة نظام المتجهات ، مما يعني أن نظام المتجهات هذا يعتمد خطيًا ، إلخ.

لقد تم إثبات النظرية.

عاقبة.

1. يكون نظام المتجهات في الفضاء المتجه مستقلاً خطيًا إذا وفقط إذا لم يتم التعبير عن أي من ناقلات النظام خطيًا من حيث النواقل الأخرى لهذا النظام.

2. يعتمد نظام المتجهات التي تحتوي على متجه صفري أو متجهين متساويين خطيًا.

دليل - إثبات.

1) الضرورة. دع النظام يكون مستقلاً خطيًا. افترض العكس وأن هناك متجه نظام يتم التعبير عنه خطيًا من خلال ناقلات أخرى لهذا النظام. ثم ، من خلال النظرية ، يعتمد النظام خطيًا ، ونصل إلى تناقض.

قدرة. لا تدع أي من نواقل النظام يتم التعبير عنه من حيث الآخرين. لنفترض العكس. دع النظام يعتمد خطيًا ، ولكن يتبع من النظرية أن هناك متجهًا للنظام يتم التعبير عنه خطيًا من خلال ناقلات أخرى لهذا النظام ، ونصل مرة أخرى إلى تناقض.

2 أ) دع النظام يحتوي على متجه صفري. افترض من أجل التحديد أن المتجه:. ثم المساواة

أولئك. يتم التعبير عن أحد نواقل النظام خطيًا من حيث المتجهات الأخرى لهذا النظام. ويترتب على النظرية أن مثل هذا النظام من النواقل يعتمد خطيًا ، وهكذا دواليك.

لاحظ أنه يمكن إثبات هذه الحقيقة مباشرة من خلال نظام نواقل معتمد خطيًا.

منذ ذلك الحين ، المساواة التالية واضحة

هذا تمثيل غير تافه للمتجه الصفري ، مما يعني أن النظام يعتمد خطيًا.

2 ب) دع النظام يحتوي على متجهين متساويين. اسمحوا ل. ثم المساواة

أولئك. يتم التعبير عن المتجه الأول خطيًا من حيث المتجهات الأخرى لنفس النظام. ويترتب على النظرية أن النظام المعطى يعتمد خطيًا ، وهكذا.

على غرار ما سبق ، يمكن أيضًا إثبات هذا التأكيد مباشرةً من تعريف نظام تابع خطيًا.

شرط ضروري وكاف للاعتماد الخطي لاثنين

المتجهات هي العلاقة الخطية المتداخلة الخاصة بهم.

2. منتج عددي- عملية على متجهين ، نتيجتها عبارة عن رقم قياسي (رقم) لا يعتمد على نظام الإحداثيات ويميز أطوال متجهات المضاعف والزاوية بينهما. هذه العملية تتوافق مع الضرب الطولمعطى المتجه x في تنبؤمتجه آخر y إلى المتجه المحدد x. عادة ما يُنظر إلى هذه العملية على أنها تبادلية وخطية في كل عامل.

خصائص المنتج النقطي:

3. يتم استدعاء ثلاثة نواقل (أو أكثر) متحد المستوىإذا تم اختزالهم إلى أصل مشترك ، فإنهم يقعون في نفس المستوى.

الشرط الضروري والكافي للاعتماد الخطي لثلاثة نواقل هو اتساقها ، أي أربعة نواقل تعتمد خطيًا. أساس في الفضاء يسمى أي ثلاثية مرتبة من النواقل غير متحد المستوى. يسمح الأساس في الفضاء للفرد بالربط بشكل فريد مع كل متجه بثلاثية مرتبة من الأرقام - معاملات تمثيل هذا المتجه في مجموعة خطية من نواقل الأساس. على العكس من ذلك ، بمساعدة الأساس ، سوف نربط متجهًا بكل مجموعة ثلاثية مرتبة من الأرقام إذا قمنا بعمل مجموعة خطية. يسمى الأساس المتعامد متعامد ، إذا كانت نواقلها تساوي واحدًا في الطول. بالنسبة للأساس المتعامد في الفضاء ، غالبًا ما يتم استخدام الترميز. النظرية:في الأساس المتعامد ، إحداثيات المتجهات هي الإسقاطات المتعامدة المقابلة لهذا المتجه على اتجاهات متجهات الإحداثيات. ثلاثية النواقل غير متحد المستوى أ ، ب ، جاتصل حقا، إذا تجاوز المراقب من أصلهم المشترك نهايات المتجهات أ ، ب ، جبهذا الترتيب يبدو أنه يسير في اتجاه عقارب الساعة. خلاف ذلك أ ، ب ، ج - ثلاثة أضعاف اليسار. يتم استدعاء جميع النواقل الثلاثية اليمنى (أو اليسرى) نفس المنحى.يتكون نظام الإحداثيات المستطيل على مستوى من محورين إحداثيات متعامدين بشكل متبادل ثورو OY. تتقاطع محاور الإحداثيات عند نقطة ما ا، وهو ما يسمى الأصل ، كل محور له اتجاه إيجابي. في اليد اليمنىنظام الإحداثيات ، يتم اختيار الاتجاه الإيجابي للمحاور بحيث يكون اتجاه المحور OYفوق المحور ثورنظرت إلى اليمين.

أربع زوايا (I ، II ، III ، IV) شكلتها محاور الإحداثيات X"Xو ص"ص، تسمى إحداثيات الزوايا أو الأرباع(انظر الشكل 1).

إذا كان للمتجهات وفيما يتعلق بالأساس المتعامد على المستوى إحداثيات ، وعلى التوالي ، يتم حساب الناتج القياسي لهذه المتجهات بواسطة الصيغة

4. حاصل الضرب المتجه لمتجهين أ وبهي عملية عليها ، محددة فقط في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، والنتيجة هي المتجهكالآتي

الخصائص:

المعنى الهندسي للحاصل الضرب المتقاطع للمتجهات هو مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات. الشرط الضروري والكافي للعلاقة الخطية المتداخلة للمتجه غير الصفري والمتجه هو وجود رقم يرضي المساواة.

إذا تم تحديد متجهين من خلال إحداثياتهما المستطيلة الديكارتية ، أو بشكل أكثر دقة ، يتم تمثيلهما في أساس متناسق

ونظام الإحداثيات صحيح ، ثم منتجهم المتجه له الشكل

لتذكر هذه الصيغة ، من الملائم استخدام المحدد:

5. منتج مختلطالمتجهات - المنتج القياسي للناقل والحاصل الضريبي للمتجهات و:

في بعض الأحيان يطلق عليه منتج عددي ثلاثيالمتجهات ، على ما يبدو بسبب حقيقة أن النتيجة هي عددي (بتعبير أدق ، مقياس كاذب).

المعنى الهندسي:الوحدة النمطية للمنتج المختلط تساوي عدديًا حجم خط الموازي الذي تشكله المتجهات.

عندما يتم تبادل عاملين ، فإن تغييرات المنتج المختلط تشير إلى العكس:

مع التقليب الدوري (الدائري) للعوامل ، لا يتغير المنتج المختلط:

المنتج المختلط خطي في أي عامل.

يكون المنتج المختلط صفرًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات متحد المستوى.

1. شرط التوافق للنواقل: ثلاثة نواقل متحدة المستوى إذا وفقط إذا كان منتجها المختلط صفرًا.

§ ثلاثي النواقل التي تحتوي على زوج من المتجهات الخطية هو متحد المستوى.

§ منتج مختلط من نواقل متحد المستوى. هذا هو معيار التوحيد لثلاثة نواقل.

§ النواقل المتشعبة المستوية تعتمد خطيًا. هذا هو أيضا معيار لاشتراكية.

§ هناك أرقام حقيقية مثل تلك الخاصة بالمستوى ، باستثناء أو. هذه إعادة صياغة للممتلكات السابقة وهي أيضًا معيار للتوحيد.

§ في فضاء ثلاثي الأبعاد ، تشكل 3 نواقل غير متحد المستوى أساسًا. أي ، يمكن تمثيل أي متجه على النحو التالي:. ثم ستكون الإحداثيات في الأساس المحدد.

المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الصحيح (في الأساس المتعامد) يساوي محدد المصفوفة المكونة من المتجهات و:

§6. المعادلة العامة (كاملة) للمستوى

أين و هي ثوابت ، علاوة على ذلك ، ولا تساوي الصفر في نفس الوقت ؛ في شكل متجه:

أين هو متجه نصف قطر النقطة ، يكون المتجه عموديًا على المستوى (المتجه العادي). جيب التمام الاتجاهالمتجه :

إذا كان أحد المعاملات في معادلة المستوى صفرًا ، يتم استدعاء المعادلة غير مكتمل. عندما يمر المستوى من خلال أصل الإحداثيات ، عندما (أو ،) P. موازية للمحور (على التوالي أو). بالنسبة إلى (أو) ، يكون المستوى موازيًا للمستوى (أو على التوالي).

§ معادلة مستوى في مقاطع:

حيث ، ، هي الأجزاء المقطوعة بالمستوى على المحاور و.

§ معادلة مستوى يمر بنقطة عمودي على المتجه الطبيعي :

في شكل متجه:

(منتج مختلط من النواقل) ، وإلا

§ معادلة المستوى الطبيعي (المقيس)

§ الزاوية بين مستويين.إذا تم إعطاء معادلات P. في الشكل (1) ، إذن

إذا كان في شكل متجه ، ثم

§ الطائرات متوازية، إذا

أو (منتج متجه)

§ الطائرات متعامدة، إذا

أو . (منتج عددي)

7. معادلة مستوى يمر عبر ثلاث نقاط معينة , لا تكذب على نفس الخط:

8. المسافة من نقطة إلى مستوى هي أصغر المسافات بين هذه النقطة ونقاط المستوى. من المعروف أن المسافة من نقطة إلى مستوى تساوي طول الخط العمودي الذي تم إسقاطه من هذه النقطة إلى المستوى.

§ نقطة الانحرافمن المستوى المعطى بواسطة المعادلة الطبيعية

إذا كان الأصل وأصلهما يقعان على طرفي نقيض من المستوى ، وإلا. المسافة من نقطة إلى مستوى

§ يتم حساب المسافة من النقطة إلى المستوى المعطى بالمعادلة بواسطة الصيغة:

9. حزمة الطائرة- معادلة أي P. تمر بخط تقاطع مستويين

حيث α و هي أي أرقام لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

من أجل المستويات الثلاثة المحددة بواسطة معادلاتها العامة A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0، A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0، A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 فيما يتعلق PDSC تنتمي إلى حزمة واحدة ، صحيحة أو غير مناسبة ، من الضروري والكافي أن تكون مرتبة المصفوفة مساوية لاثنين أو واحد.
النظرية 2. لنفترض أن مستويين 1 و π 2 يتم إعطاؤهما فيما يتعلق بـ PDSC من خلال معادلاتهما العامة: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ، A 2 x + B 2 y + C 2 z + د 2 = 0. من أجل المستوى π 3 ، المعطى بالنسبة إلى PDSC من خلال معادلته العامة A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 ، للانتماء إلى الحزمة التي شكلتها الطائرات π 1 و π 2 ، ضروري وكافي أن يتم تمثيل الجانب الأيسر من معادلة المستوى π 3 كمجموعة خطية من الأجزاء اليسرى من معادلات المستويين π 1 و π 2.

10.المعادلة البارامترية للمتجه لخط مستقيمفي الفضاء:

أين هو متجه نصف القطر لبعض النقاط الثابتة م 0 الكذب على خط مستقيم هو متجه خطي متجه غير صفري لهذا الخط المستقيم ، وهو متجه نصف القطر لنقطة عشوائية على الخط المستقيم.

المعادلة البارامترية للخط المستقيمفي الفضاء:

م

المعادلة المتعارف عليها للخط المستقيمفي الفضاء:

أين هي إحداثيات نقطة ثابتة م 0 مستلقي على خط مستقيم. - إحداثيات متجه خطي متواصل لهذا الخط.

معادلة المتجه العامة للخط المستقيمفي الفضاء:

بما أن الخط هو تقاطع طائرتين مختلفتين غير متوازيين ، تُعطى على التوالي بواسطة المعادلات العامة:

ثم يمكن إعطاء معادلة الخط المستقيم بواسطة نظام من هذه المعادلات:

ستكون الزاوية بين متجهات الاتجاه مساوية للزاوية بين الخطوط. تم إيجاد الزاوية بين المتجهات باستخدام حاصل الضرب القياسي. cosA = (ab) / IaI * IbI

يمكن إيجاد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى بالصيغة:

حيث (A ؛ B ؛ C ؛) هي إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى
(ل ؛ م ؛ ن ؛) توجيه إحداثيات متجه للخط المستقيم

شروط التوازي بين سطرين:

أ) إذا تم إعطاء الخطوط بواسطة المعادلات (4) بميل ، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازيها هو تساوي المنحدرات:

ك 1 = ك 2 . (8)

ب) بالنسبة للحالة التي يتم فيها إعطاء الخطوط بواسطة المعادلات بشكل عام (6) ، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازيها هو أن تكون المعاملات في الإحداثيات الحالية المقابلة في معادلاتها متناسبة ، أي

شروط عمودية سطرين:

أ) في حالة إعطاء الخطوط بواسطة المعادلات (4) ذات المنحدر ، فإن الشرط الضروري والكافي لعموديتها هو أن منحدراتها مقلوبة في الحجم ومعاكسة في الإشارة ، أي

ب) إذا تم إعطاء معادلات الخطوط المستقيمة بشكل عام (6) ، فإن شرط عموديها (ضروري وكافي) هو تحقيق المساواة

أ 1 أ 2 + ب 1 ب 2 = 0. (12)

يُقال إن الخط متعامد على مستوى إذا كان متعامدًا مع أي خط في ذلك المستوى. إذا كان الخط متعامدًا على كل من المستقيمين المتقاطعين في المستوى ، فإنه يكون متعامدًا على ذلك المستوى. من أجل أن يكون الخط والمستوى متوازيين ، من الضروري والكافي أن يكون المتجه الطبيعي للمستوى ومتجه التوجيه للخط متعامدين. لهذا ، من الضروري أن يكون حاصل الضرب القياسي مساويًا للصفر.

لكي يكون الخط والمستوى متعامدين ، من الضروري والكافي أن يكون المتجه الطبيعي للمستوى ومتجه التوجيه للخط متعامدين. يتم استيفاء هذا الشرط إذا كان الضرب التبادلي لهذه المتجهات يساوي صفرًا.

12. في الفضاء ، المسافة من نقطة إلى خط مستقيم تعطى بواسطة معادلة بارامترية

يمكن إيجادها على أنها الحد الأدنى للمسافة من نقطة معينة إلى نقطة عشوائية على خط مستقيم. معامل في الرياضيات او درجة ريمكن العثور على هذه النقطة من خلال الصيغة

المسافة بين الخطوط المتقاطعةهو طول عمودي مشترك. إنها تساوي المسافة بين المستويات المتوازية التي تمر عبر هذه الخطوط.

شرط ضروري للاعتماد الخطي على وظائف n.

دع الدوال لها مشتقات من الحد (ن -1).

ضع في اعتبارك المحدد: (1)

يُطلق على W (x) عادةً محدد Wronsky للوظائف.

نظرية 1.إذا كانت الوظائف تعتمد خطيًا في الفاصل الزمني (أ ، ب) ، فإن Wronskian W (x) يساوي صفرًا في هذه الفترة.

دليل - إثبات.حسب شرط النظرية ، العلاقة

، (2) حيث لا تساوي جميعها صفرًا. يترك . ثم

(3). يميز هذه الهوية n-1 مرات و ،

استبدال القيم التي تم الحصول عليها بدلاً من القيم التي تم الحصول عليها في محدد فرونسكي ،

نحن نحصل:

في محدد Wronsky ، العمود الأخير عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة n-1 السابقة وبالتالي يساوي صفرًا في جميع نقاط الفاصل الزمني (أ ، ب).

نظرية 2.إذا كانت الدالتان y 1 ، ... ، y n عبارة عن حلول مستقلة خطيًا للمعادلة L [y] = 0 ، وجميع معاملاتها متصلة في الفترة (أ ، ب) ، فإن Wronskian لهذه الحلول يكون غير صفري عند كل فاصل النقطة (أ ، ب).

دليل - إثبات.لنفترض العكس. يوجد X 0 ، حيث W (X 0) = 0. نقوم بتكوين نظام من المعادلات n

من الواضح أن النظام (5) لديه حل غير صفري. دع (6).

لنقم بتكوين مجموعة خطية من الحلول y 1، ...، y n.

Y (x) هو حل للمعادلة L [y] = 0. بالإضافة إلى ذلك. بحكم نظرية التفرد ، يجب أن يكون حل المعادلة L [y] = 0 بشروط أولية صفرية صفرًا فقط ، ᴛ.ᴇ. .

نحصل على المتطابقة ، حيث لا تساوي جميعها صفرًا ، مما يعني أن y 1 ، ... ، y n تعتمدان خطيًا ، وهو ما يتعارض مع حالة النظرية. لذلك ، لا توجد نقطة حيث W (X 0) = 0.

استنادًا إلى النظرية 1 والنظرية 2 ، يمكننا صياغة التأكيد التالي. لكي تكون حلول n للمعادلة L [y] = 0 مستقلة خطيًا في الفترة (أ ، ب) ، من المهم للغاية والكافي ألا يختفي Wronskian الخاص بهم في أي نقطة من هذه الفترة.

الخصائص الواضحة التالية لـ Wronskian تتبع أيضًا النظريات المثبتة.

1. إذا كان Wronskian لـ n من حلول المعادلة L [y] = 0 يساوي صفرًا عند نقطة واحدة x = x 0 من الفترة (أ ، ب) ، حيث تكون جميع المعاملات p i (x) متصلة ، إذن فهي كذلك يساوي صفرًا في جميع نقاط ex من هذه الفترة.
2. إذا كان Wronskian لـ n من حلول المعادلة L [y] = 0 غير صفري عند نقطة واحدة x = x 0 من الفترة (أ ، ب) ، فهو إذن غير صفري في جميع نقاط هذه الفترة.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ ، بالنسبة لخطية n من الحلول المستقلة للمعادلة L [y] = 0 في الفترة (أ ، ب) ، حيث تكون معاملات المعادلة p i (x) متصلة ، من المهم للغاية والكافي أن يختلف Wronskian عن الصفر حتى في نقطة واحدة من هذه الفترة.

شرط ضروري للاعتماد الخطي على وظائف n. - المفهوم والأنواع. تصنيف وميزات الفئة "شرط ضروري للاعتماد الخطي للوظائف n". 2017 ، 2018.

-

معدات مناولة السفن (معدات مناولة البضائع على ظهر السفينة) المحاضرة رقم 6 الموضوع: معدات الشحن (معدات الشحن) 6.1. معدات مناولة السفن (معدات مناولة البضائع على ظهر السفينة). 6.2 رافعات البضائع. 6.3 المنحدر. الحمولة الزائدة هي حركة البضائع من وإلى السيارة. عديدة... .

- اوناش البضائع

الشهادات قسم المهام تنقسم عمليات التفتيش والشهادات والمسؤوليات على النحو التالي: & ....

- هل تعرفه؟ Lo conoces؟

هناك - allá Here - aqui in a cafe - en el cafe في العمل - en el trabajo at sea - en el mar 1. هل تعرف مكان المقهى؟ 2. هل تعلم أين ساشا؟ 3. هل تعلم أين توجد المكتبة؟ 4. هل تعلم أين عليا الآن؟ 5. هل تعرف أين ناتاشا الآن؟ طاب مسائك! أنا... .

- تحديد Zmin و Xmin من حالة عدم التقصير

الشكل 5.9. حول قص أسنان العجلات. دعنا نفكر في كيفية ارتباط معامل قص الرف x بعدد الأسنان التي يمكن قطعها بواسطة الرف الموجود على العجلة. دع السكة مثبتة في الموضع 1 (الشكل 5.9). في هذه الحالة ، سوف يعبر الرأس المستقيم للحامل خط الاشتباك N-N ، بما في ذلك ...