اليوم في الصف سوف ننظر تسلسل صارمو تعريف صارم لحد الوظيفةوتعلم أيضًا كيفية حل المشكلات ذات الصلة ذات الطبيعة النظرية. المقال مخصص في المقام الأول لطلاب السنة الأولى في العلوم الطبيعية والتخصصات الهندسية الذين بدأوا في دراسة نظرية التحليل الرياضي وواجهوا صعوبات في فهم هذا القسم من الرياضيات العليا. بالإضافة إلى ذلك، فإن المواد متاحة تمامًا لطلاب المدارس الثانوية.

على مدار سنوات وجود الموقع، تلقيت عشرات الرسائل تقريبًا بالمحتوى التالي: "أنا لا أفهم التحليل الرياضي جيدًا، فماذا علي أن أفعل؟"، "أنا لا أفهم الرياضيات على الإطلاق، أنا أفكر في ترك دراستي "، وما إلى ذلك. وبالفعل، فإن المتان هو الذي غالبًا ما يضعف مجموعة الطلاب بعد الجلسة الأولى. لماذا هذا هو الحال؟ لأن الموضوع معقد بشكل لا يمكن تصوره؟ مُطْلَقاً! إن نظرية التحليل الرياضي ليست صعبة بقدر ما هي غريبة. وعليك أن تتقبلها وتحبها كما هي =)

لنبدأ من البداية حالة خطيرة. أول وأهم شيء هو أنك لست مضطرًا للتخلي عن دراستك. افهم بشكل صحيح، يمكنك دائمًا الإقلاع عن التدخين؛-) بالطبع، إذا شعرت بالمرض بعد عام أو عامين من التخصص الذي اخترته، فنعم، يجب عليك التفكير في الأمر (ولا تغضب!)حول تغيير النشاط. لكن الأمر يستحق الاستمرار في الوقت الحالي. ويرجى نسيان عبارة "لا أفهم شيئًا" - لا يحدث أنك لا تفهم شيئًا على الإطلاق.

ماذا تفعل إذا كانت النظرية سيئة؟ وهذا، بالمناسبة، لا ينطبق فقط على التحليل الرياضي. إذا كانت النظرية سيئة، فأنت بحاجة أولاً إلى التركيز بجدية على الممارسة. في هذه الحالة، يتم حل مهمتين استراتيجيتين في وقت واحد:

– أولاً، ظهرت حصة كبيرة من المعرفة النظرية من خلال الممارسة. ولهذا السبب يفهم الكثير من الناس النظرية من خلال... – هذا صحيح! لا لا انت لا تفكر في ذلك =)

- وثانيًا، من المرجح أن "تساعدك" المهارات العملية خلال الاختبار، حتى لو... ولكن دعونا لا نتحمس كثيرًا! كل شيء حقيقي ويمكن "رفع" كل شيء في وقت قصير إلى حد ما. التحليل الرياضي هو القسم المفضل لدي في الرياضيات العليا، وبالتالي لا يسعني إلا أن أقدم لك يد المساعدة:

في بداية الفصل الدراسي الأول، عادة ما يتم تغطية حدود التسلسل وحدود الوظائف. لا تفهم ما هي هذه ولا تعرف كيفية حلها؟ ابدأ بالمقال حدود الوظيفةحيث يتم فحص المفهوم نفسه "على الأصابع" وتحليل أبسط الأمثلة. بعد ذلك، قم بدراسة الدروس الأخرى حول هذا الموضوع، بما في ذلك درس حول ضمن تسلسلات، والتي قمت بالفعل بصياغة تعريف صارم لها.

ما هي الرموز التي تعرفها إلى جانب علامات عدم المساواة والمعامل؟

- عصا عمودية طويلة تقرأ هكذا: "كذلك" أو "كذا" أو "كذلك" أو "كذلك"، في حالتنا، من الواضح أننا نتحدث عن رقم - وبالتالي "هكذا"؛

- لجميع "en" أكبر من ;

– علامة المعامل تعني المسافة، أي. يخبرنا هذا الإدخال أن المسافة بين القيم أقل من إبسيلون.

حسنًا، هل الأمر صعب جدًا؟ =)

بعد إتقان هذه الممارسة، أتطلع إلى رؤيتك في الفقرة التالية:

وفي الواقع، دعونا نفكر قليلا - كيفية صياغة تعريف صارم للتسلسل؟ ...أول ما يتبادر إلى ذهنك في العالم درس عملي: "حد التسلسل هو العدد الذي يقترب منه أعضاء التسلسل بشكل لا نهائي."

حسنًا، دعنا نكتبها التبعية :

ليس من الصعب أن نفهم ذلك التبعية يقترب بشكل لا نهائي من الرقم -1، والحدود ذات الأرقام الزوجية - إلى "واحد".

أو ربما هناك حدان؟ ولكن لماذا لا يمكن لأي تسلسل أن يحتوي على عشرة أو عشرين منها؟ يمكنك الذهاب بعيدا بهذه الطريقة. وفي هذا الصدد فمن المنطقي أن نفترض ذلك إذا كان للتسلسل حد، فهو فريد.

ملحوظة : ليس للتسلسل نهاية، ولكن يمكن تمييز تسلسلين منه (انظر أعلاه)، ولكل منهما حده الخاص.

وبالتالي، فإن التعريف المذكور أعلاه لا يمكن الدفاع عنه. نعم ينفع لحالات مثل (والتي لم أستخدمها بالشكل الصحيح في الشرح المبسط للأمثلة العملية)ولكن الآن نحن بحاجة إلى إيجاد تعريف صارم.

المحاولة الثانية: "حد التسلسل هو العدد الذي يقترب منه جميع أعضاء التسلسل، ربما باستثناء أعضاءهم أخيركميات." وهذا أقرب إلى الحقيقة، لكنه لا يزال غير دقيق تماما. لذلك، على سبيل المثال، التسلسل نصف الحدود لا تقترب من الصفر على الإطلاق - فهي ببساطة تساويه =) بالمناسبة، يأخذ "الضوء الوامض" عمومًا قيمتين ثابتتين.

ليس من الصعب توضيح الصياغة، ولكن بعد ذلك يطرح سؤال آخر: كيف نكتب التعريف بالرموز الرياضية؟ لقد ناضل العالم العلمي مع هذه المشكلة لفترة طويلة حتى تم حل الوضع المايسترو الشهير، والتي، في جوهرها، أضفت طابعًا رسميًا على التحليل الرياضي الكلاسيكي بكل صرامة. اقترح كوشي إجراء عملية جراحية المناطق المحيطة ، مما أدى إلى تقدم كبير في النظرية.

النظر في بعض نقطة ولها اِعتِباطِيّ- البيئة المحيطة:

قيمة "إبسيلون" دائما إيجابية، وعلاوة على ذلك، لدينا الحق في اختيار ذلك بأنفسنا. لنفترض أن في هذا الحي هناك العديد من الأعضاء (ليس بالضرورة الكل)بعض التسلسل. كيف نكتب حقيقة أن الفصل العاشر على سبيل المثال موجود في الحي؟ فليكن على الجانب الأيمن منه. ثم المسافة بين النقاط ويجب أن تكون أقل من " إبسيلون " : . أما إذا كان "x العاشر" يقع على يسار النقطة "a" فإن الفرق سيكون سالبا، وبالتالي يجب إضافة الإشارة إليه وحدة: .

تعريف: يسمى الرقم نهاية التسلسل إذا لأيمحيطها (محدد مسبقًا)هناك عدد طبيعي من هذا القبيل الجميعأعضاء التسلسل ذو الأعداد الأعلى سيكونون داخل الحي:

أو باختصار: إذا

بمعنى آخر، بغض النظر عن مدى صغر قيمة "إبسيلون" التي نأخذها، عاجلاً أم آجلاً، فإن "الذيل اللانهائي" للتسلسل سيكون بالكامل في هذا الحي.

على سبيل المثال، "الذيل اللانهائي" للتسلسل سوف يدخل بشكل تعسفي أي حي صغير من النقطة. إذن هذه القيمة هي نهاية التسلسل حسب التعريف. دعني أذكرك أنه يتم استدعاء تسلسل حده صفر متناهي الصغر.

وتجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للتسلسل لم يعد من الممكن أن نقول "ذيل لا نهاية له" سوف يأتي"- الأعضاء ذوو الأرقام الفردية يساويون في الواقع الصفر و"لا تذهبوا إلى أي مكان" =) ولهذا السبب يتم استخدام الفعل "سوف يظهر" في التعريف. وبطبيعة الحال، فإن أعضاء سلسلة كهذه أيضًا "لا يذهبون إلى أي مكان". بالمناسبة، تحقق مما إذا كان الرقم هو الحد الأقصى.

الآن سوف نبين أن التسلسل ليس له نهاية. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، حي النقطة . من الواضح تمامًا أنه لا يوجد مثل هذا الرقم الذي تنتهي بعده جميع الحدود في حي معين - حيث "ستقفز" المصطلحات الفردية دائمًا إلى "ناقص واحد". ولسبب مماثل، ليس هناك حد عند هذه النقطة.

دعونا ندمج المادة مع الممارسة:

مثال 1

أثبت أن نهاية المتتابعة هي صفر. حدد الرقم الذي يتم بعده ضمان تواجد جميع أعضاء التسلسل داخل أي حي صغير بشكل تعسفي للنقطة.

ملحوظة : بالنسبة للعديد من التسلسلات، يعتمد العدد الطبيعي المطلوب على القيمة - ومن هنا جاء التدوين .

حل: يعتبر اِعتِباطِيّ هل هنالك أيالرقم - بحيث يكون جميع الأعضاء ذوي الأرقام الأعلى داخل هذا الحي:

لإثبات وجود العدد المطلوب نعبر عنه من خلال .

نظرًا لأنه بالنسبة لأي قيمة "en"، يمكن إزالة علامة المعامل:

نستخدم الأفعال "المدرسة" مع أوجه عدم المساواة التي كررتها في الفصل المتباينات الخطيةو مجال الوظيفة. في هذه الحالة، هناك ظرف مهم وهو أن "epsilon" و"en" موجبان:

نظرًا لأننا نتحدث عن الأعداد الطبيعية على اليسار، والجانب الأيمن عمومًا كسري، فيجب تقريبه:

ملحوظة : في بعض الأحيان يتم إضافة وحدة إلى الحق لتكون في الجانب الآمن، ولكن في الواقع هذا مبالغة. نسبيًا، إذا أضعفنا النتيجة عن طريق التقريب إلى الرقم الأدنى، فإن أقرب رقم مناسب ("ثلاثة") سيظل يحقق المتراجحة الأصلية.

والآن ننظر إلى المتباينة ونتذكر ما فكرنا فيه في البداية اِعتِباطِيّ- الحي، أي. "إبسيلون" يمكن أن يكون مساويا ل أي واحدرقم إيجابي.

خاتمة: لأي منطقة صغيرة بشكل تعسفي من نقطة ما، تم العثور على القيمة . وبالتالي، فإن الرقم هو نهاية التسلسل حسب التعريف. Q.E.D.

بالمناسبة، من النتيجة التي تم الحصول عليها النمط الطبيعي مرئي بوضوح: كلما كان الحي أصغر، كلما زاد العدد، وبعد ذلك سيكون جميع أعضاء التسلسل في هذا الحي. ولكن بغض النظر عن مدى صغر حجم "الإبسيلون"، سيكون هناك دائمًا "ذيل لا نهائي" في الداخل والخارج - حتى لو كان كبيرًا، ولكن أخيرعدد من أعضاء.

كيف هي انطباعاتك؟ =) أوافق على أن الأمر غريب بعض الشيء. ولكن بدقة!يرجى إعادة القراءة والتفكير في كل شيء مرة أخرى.

دعونا نلقي نظرة على مثال مماثل ونتعرف على التقنيات التقنية الأخرى:

مثال 2

حل: من خلال تعريف تسلسل فمن الضروري إثبات ذلك (قلها بصوت عالي!!!).

دعونا نفكر اِعتِباطِيّ-حي النقطة والتحقق، هل تتواجدعدد طبيعي - بحيث تكون المتباينة التالية لجميع الأعداد الأكبر:

لإظهار وجود مثل هذا، تحتاج إلى التعبير عن "en" من خلال "epsilon". نحن نبسط التعبير تحت علامة المعامل:

الوحدة تدمر علامة الطرح:

المقام موجب لأي "en"، لذلك يمكن إزالة العصي:

خلط:

الآن نحن بحاجة لاستخراج الجذر التربيعي، ولكن المشكلة هي أنه بالنسبة لبعض "إبسيلون" سيكون الجانب الأيمن سلبيًا. لتجنب هذه المشكلة دعونا تعزيزعدم المساواة حسب المعامل:

لماذا يمكن القيام بذلك؟ إذا اتضح ذلك نسبيًا، فسيتم استيفاء الشرط أيضًا. يمكن للوحدة مجرد زيادةالرقم المطلوب، وهذا سوف يناسبنا أيضًا! بشكل تقريبي، إذا كانت المائة مناسبة، فإن المائتين مناسبة أيضًا! وفقا للتعريف، تحتاج إلى إظهار حقيقة وجود الرقم(على الأقل بعض)، وبعد ذلك سيكون جميع أعضاء التسلسل في الحي. بالمناسبة، هذا هو السبب في أننا لسنا خائفين من التقريب النهائي للجانب الأيمن لأعلى.

استخراج الجذر:

وتقريب النتيجة:

خاتمة: لأن تم اختيار قيمة "epsilon" بشكل عشوائي، ثم تم العثور على القيمة لأي حي صغير بشكل عشوائي من النقطة ، بحيث ينطبق عدم المساواة على جميع الأعداد الأكبر . هكذا، أ-بريوري. Q.E.D.

انا انصح خصوصاًيعد فهم مدى قوة عدم المساواة وإضعافها أسلوبًا نموذجيًا وشائعًا جدًا في التحليل الرياضي. الشيء الوحيد الذي تحتاج إلى مراقبته هو صحة هذا الإجراء أو ذاك. لذلك، على سبيل المثال، عدم المساواة تحت أي ظرف من الظروف هذا ممكن تخفيف، طرح، مثلا، واحد:

مرة أخرى، بشكل مشروط: إذا كان الرقم مناسبا تماما، فقد لا يكون الرقم السابق مناسبا.

المثال التالي لحل مستقل:

مثال 3

باستخدام تعريف تسلسل، أثبت ذلك

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس.

إذا كان التسلسل كبيرة بلا حدود، ثم يتم صياغة تعريف الحد بطريقة مماثلة: تسمى النقطة حد التسلسل إذا كان موجودًا، كبيرة كما تريدرقم، هناك رقم بحيث لجميع الأعداد الأكبر، سيتم استيفاء عدم المساواة. الرقم يسمى محيط نقطة "زائد اللانهاية":

وبعبارة أخرى، أيا كان أهمية عظيمةبغض النظر عن ذلك، فإن "الذيل اللانهائي" للتسلسل سينتقل بالتأكيد إلى جوار النقطة، تاركًا فقط عددًا محدودًا من الحدود على اليسار.

المثال القياسي:

والتدوين المختصر: ، إذا

بالنسبة للحالة، اكتب التعريف بنفسك. الإصدار الصحيح هو في نهاية الدرس.

بمجرد أن تفهم الأمثلة العملية وتكتشف تعريف حد التسلسل، يمكنك الرجوع إلى الأدبيات المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل و/أو دفتر محاضراتك. أوصي بتنزيل المجلد الأول من Bohan (أبسط - لطلاب المراسلة)و فيشتنهولتز (بمزيد من التفصيل والتفصيل). من بين المؤلفين الآخرين، أوصي بـ Piskunov، الذي تستهدف دورته الجامعات التقنية.

حاول أن تدرس بضمير حي النظريات التي تتعلق بحدود التسلسل وأدلتها وعواقبها. في البداية، قد تبدو النظرية "غائمة"، لكنها طبيعية - تحتاج فقط إلى التعود عليها. وسيتذوقها الكثيرون أيضًا!

تعريف صارم للحد من وظيفة

لنبدأ بنفس الشيء - كيفية الصياغة هذا المفهوم؟ التعريف اللفظي لحد الدالة تمت صياغته بشكل أبسط بكثير: "الرقم هو نهاية الدالة إذا كان "x" يميل إلى (كل من اليسار واليمين)، تميل قيم الوظيفة المقابلة إلى » (إطلع على الرسم). يبدو أن كل شيء طبيعي، ولكن الكلمات هي الكلمات، والمعنى هو المعنى، والأيقونة هي أيقونة، وليس هناك ما يكفي من الرموز الرياضية الصارمة. وفي الفقرة الثانية سنتعرف على طريقتين لحل هذه المشكلة.

دع الدالة يتم تعريفها على فترة زمنية معينة، مع احتمال استثناء النقطة. في الأدب التربويمن المقبول عمومًا أن الوظيفة موجودة لامُعرف:

يؤكد هذا الاختيار جوهر الحد من وظيفة: "س" قريبة بلا حدودالنهج، والقيم المقابلة للوظيفة هي قريبة بلا حدودل . وبعبارة أخرى، فإن مفهوم الحد لا يعني "الاقتراب الدقيق" للنقاط، ولكن بالتحديد تقريب لا نهائيلا يهم ما إذا كانت الوظيفة محددة عند هذه النقطة أم لا.

ليس من المستغرب أن يتم صياغة التعريف الأول لنهاية الدالة باستخدام تسلسلين. أولا، ترتبط المفاهيم، وثانيا، عادة ما يتم دراسة حدود الوظائف بعد حدود المتتابعات.

النظر في التسلسل نقاط (ليس على الرسم)، تنتمي إلى الفاصل الزمني و مختلف عن، أيّ يتقاربل . ثم تشكل قيم الدالة المقابلة أيضًا تسلسلًا رقميًا، يقع أعضاؤه على المحور الإحداثي.

نهاية الدالة حسب هاينه لأيتسلسل النقاط (ينتمي إلى ويختلف عن)، التي تتقارب إلى النقطة، يتقارب التسلسل المقابل لقيم الوظيفة.

إدوارد هاينه عالم رياضيات ألماني. ...وليست هناك حاجة للتفكير في أي شيء من هذا القبيل، فهناك مثلي الجنس واحد فقط في أوروبا - جاي-لوساك =)

تم إنشاء التعريف الثاني للحد... نعم نعم أنت على حق. ولكن أولا، دعونا نفهم تصميمه. النظر في حي تعسفي للنقطة (الحي الأسود). وبناء على الفقرة السابقة، فإن الإدخال يعني ذلك بعض القيمةتقع الوظيفة داخل حي "إبسيلون".

الآن نجد الحي الذي يتوافق مع الحي المحدد (ارسم خطوطًا سوداء منقطة عقليًا من اليسار إلى اليمين ثم من الأعلى إلى الأسفل). لاحظ أنه تم تحديد القيمة على طول الجزء الأصغر، في في هذه الحالة- على طول الجزء الأيسر الأقصر. علاوة على ذلك، يمكن حتى تقليل "التوت" - حي النقطة، كما هو الحال في التعريف التالي حقيقة الوجود مهمةهذا الحي. وبالمثل، فإن الترميز يعني أن بعض القيمة تقع ضمن حي "دلتا".

حد وظيفة كوشي: يسمى الرقم نهاية الدالة عند نقطة if لأي محددة مسبقاحيّ (صغيرة كما تريد), موجود- حي النقطة، هذه، ذلك: كقيم فقط (ينتمي إلى)المدرجة في هذا المجال: (السهام الحمراء)- يتم ضمان قيم الوظائف المقابلة على الفور لدخول الحي: (الأسهم الزرقاء).

يجب أن أحذرك من أجل الوضوح، لقد ارتجلت قليلاً، فلا تبالغ في الاستخدام =)

دخول قصير: إذا

ما هو جوهر التعريف؟ من الناحية المجازية، من خلال تقليل -neighborhood بشكل لا نهائي، فإننا "نرافق" قيم الدالة إلى الحد الأقصى، ولا نترك لها أي بديل للاقتراب من مكان آخر. غير عادي للغاية، ولكن مرة أخرى صارمة! لفهم الفكرة بشكل كامل، أعد قراءة الصياغة مرة أخرى.

! انتباه: إذا كنت بحاجة فقط لصياغة تعريف هاينأو فقط تعريف كوشيمن فضلك لا تنسى بارِزتعليقات أولية: "ضع في اعتبارك دالة تم تعريفها في فترة زمنية معينة، مع احتمال استثناء نقطة ما". لقد ذكرت ذلك مرة واحدة في البداية ولم أكرره في كل مرة.

ووفقا للنظرية المقابلة للتحليل الرياضي، فإن تعريفي هاين وكوشي متساويان، ولكن الخيار الثاني هو الأكثر شهرة (لا يزال!)، والذي يُسمى أيضًا "حد اللغة":

مثال 4

باستخدام تعريف الحد، أثبت ذلك

حل: يتم تعريف الدالة على خط الأعداد بأكمله باستثناء النقطة. وباستخدام التعريف، نثبت وجود النهاية عند نقطة معينة.

ملحوظة : قيمة حي "دلتا" تعتمد على "إبسيلون"، ومن هنا جاءت التسمية

دعونا نفكر اِعتِباطِيّ-المحيط. وتتمثل المهمة في استخدام هذه القيمة للتحقق مما إذا كان هل تتواجد- البيئة المحيطة، هذه، والتي من عدم المساواة يلي ذلك عدم المساواة .

بافتراض ذلك، نقوم بتحويل المتباينة الأخيرة:
(توسيع ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية)

يتم إعطاء صياغة النظريات الرئيسية وخصائص التسلسلات العددية التي لها حد. يحتوي على تعريف التسلسل وحدوده. يتم النظر في العمليات الحسابية مع المتتابعات، والخصائص المتعلقة بالمتباينات، ومعايير التقارب، وخصائص المتتابعات المتناهية الصغر والكبيرة بلا حدود.

محتوى

خصائص الحدود المحدودة للتسلسلات

الخصائص الأساسية

النقطة a هي حد التسلسل إذا وفقط إذا كان هناك خارج أي حي من هذه النقطة عدد محدود من العناصرتسلسل أو مجموعة فارغة.

إذا كان الرقم a ليس نهاية التسلسل، فهناك جوار للنقطة a التي يوجد بعدها عدد لا نهائي من عناصر التسلسل.

نظرية التفرد لحد التسلسل الرقمي. إذا كان للتسلسل حد، فهو فريد.

إذا كانت المتتابعة لها نهاية منتهية، فهي كذلك محدود.

إذا كان كل عنصر من عناصر التسلسل يساوي نفس العدد C : إذن هذا التسلسل له نهاية مساوية للرقم C .

إذا كان التسلسل إضافة أو تجاهل أو تغيير العناصر m الأولىفإن ذلك لن يؤثر على تقاربها.

البراهين على الخصائص الأساسيةيتم تقديمها على الصفحة
الخصائص الأساسية للحدود المحدودة للتسلسلات >>>.

العمليات الحسابية ذات الحدود

يجب أن تكون هناك حدود محدودة لكلا التسلسلين و . وليكن C ثابتًا، أي رقمًا محددًا. ثم
;
;
;
، لو .
في حالة الحاصل، من المفترض أن لجميع n.

اذا ثم.

البراهين على الخصائص الحسابيةيتم تقديمها على الصفحة
الخصائص الحسابية للحدود المحدودة للمتتابعات >>>.

الخصائص المتعلقة بعدم المساواة

إذا كانت عناصر المتوالية، بدءًا من عدد معين، تحقق المتباينة، فإن النهاية a لهذا التسلسل تحقق المتباينة أيضًا.

إذا كانت عناصر التسلسل، بدءًا من رقم معين، تنتمي إلى فترة مغلقة (مقطع)، فإن النهاية a تنتمي أيضًا إلى هذه الفترة: .

إذا و و عناصر التسلسل، بدءًا من رقم معين، تلبي عدم المساواة، إذن .

إذا و، بدءًا من رقم ما، إذن.
على وجه الخصوص، إذا، بدءًا من رقم ما، إذن
اذا ثم ؛
اذا ثم .

إذا و، ثم.

فليكن. اذا كان < b ، إذن هناك عدد طبيعي N بحيث يكون لكل n > نعدم المساواة يحمل.

البراهين على الخصائص المتعلقة بعدم المساواةيتم تقديمها على الصفحة
خصائص حدود التسلسل المرتبطة بالمتباينات >>>.

تسلسلات كبيرة ومتناهية الصغر

تسلسل متناهية الصغر

التسلسل المتناهي الصغر هو التسلسل الذي حده صفر:
.

المجموع والفرقعدد محدود من المتواليات متناهية الصغر هو تسلسل متناهي الصغر.

منتج تسلسل محدودإلى متناهية الصغر هو تسلسل متناهية الصغر.

منتج عدد محدودتسلسل متناهية الصغر هو تسلسل متناهية الصغر.

لكي يكون للتسلسل نهاية a، من الضروري والكافي أن يكون هناك تسلسل متناهٍ في الصغر.

البراهين على خصائص التسلسلات متناهية الصغريتم تقديمها على الصفحة
تسلسلات متناهية الصغر - التعريف والخصائص >>>.

تسلسل كبير بلا حدود

المتتابعة الكبيرة بلا حدود هي المتتابعة التي لها حد كبير بلا حدود. وهذا يعني أنه إذا كان لأي رقم موجب عدد طبيعي N اعتمادًا على ذلك فإن المتباينة تنطبق على جميع الأعداد الطبيعية
.
في هذه الحالة يكتبون
.
او عند .
ويقولون أنه يميل إلى ما لا نهاية.

إذا، بدءًا من رقم ما N، إذن
.
اذا ثم
.

إذا كان التسلسل كبيرًا بلا حدود، فعندئذٍ، بدءًا من رقم ما N، يتم تعريف تسلسل متناهي الصغر. إذا كان التسلسل متناهيًا في الصغر مع عناصر غير صفرية، فإن التسلسل كبير بلا حدود.

إذا كان التسلسل كبيرًا بلا حدود وكان التسلسل محدودًا، إذن
.

لو القيم المطلقةعناصر التسلسل محدودة من الأسفل برقم موجب ()، وهي متناهية الصغر مع عناصر لا تساوي الصفر، إذن
.

بالتفصيل تعريف تسلسل كبير بلا حدود مع الأمثلةويرد على الصفحة
تعريف تسلسل كبير بلا حدود >>>.
البراهين على خصائص تسلسلات كبيرة بلا حدوديتم تقديمها على الصفحة
خصائص تسلسلات كبيرة بلا حدود >>> .

معايير تقارب التسلسل

تسلسلات رتيبة

التسلسل المتزايد بشكل صارم هو التسلسل الذي تحقق فيه جميع العناصر المتباينات التالية:
.

تحدد عدم المساواة المماثلة تسلسلات رتيبة أخرى.

تسلسل تنازلي صارم:
.
التسلسل غير المتناقص:
.
تسلسل غير متزايد:
.

ويترتب على ذلك أن التسلسل المتزايد بشكل صارم لا يتناقص أيضًا. التسلسل المتناقص بشكل صارم هو أيضًا غير متزايد.

التسلسل الرتيب هو تسلسل غير متناقص أو غير متزايد.

التسلسل الرتيب محدود على جانب واحد على الأقل بالقيمة . يحدها تسلسل غير متناقص أدناه: . ويحد من الأعلى تسلسل غير متزايد: .

نظرية ويرستراس. لكي يكون للمتتابعة غير المتناقصة (غير المتزايدة) نهاية منتهية، من الضروري والكافي أن تكون محدودة من الأعلى (من الأسفل). هنا M هو عدد ما.

بما أن أي تسلسل غير متناقص (غير متزايد) يحده من الأسفل (من الأعلى)، فيمكن إعادة صياغة نظرية فايرستراس على النحو التالي:

لكي يكون للمتوالية الرتيبة نهاية منتهية، من الضروري والكافي أن تكون محدودة: .

تسلسل رتيب لا حدود لهلها نهاية لا نهائية، تساوي متتابعة غير متناقصة وغير متزايدة.

إثبات نظرية فايرستراسمعين على الصفحة
نظرية فايرستراس حول نهاية التسلسل الرتيب >>>.

معيار كوشي لتقارب التسلسل

حالة كوشي
الاتساق يرضي حالة كوشي، إذا كان هناك عدد طبيعي بحيث أنه بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n وm تستوفي الشرط، فإن عدم المساواة ينطبق
.

التسلسل الأساسي هو التسلسل الذي يرضي حالة كوشي.

معيار كوشي لتقارب التسلسل. لكي يكون للمتتابعة نهاية منتهية، من الضروري والكافي أن تحقق شرط كوشي.

إثبات معيار التقارب لكوشيمعين على الصفحة
معيار كوشي لتقارب المتتابعة >>>.

العواقب

نظرية بولزانو فايرستراس. من أي تسلسل محدد يمكن استخراج تسلسل فرعي متقارب. ومن أي تسلسل لا حدود له - سلسلة فرعية كبيرة بلا حدود تتقارب إلى أو إلى .

إثبات نظرية بولزانو فايرستراسمعين على الصفحة
نظرية بولزانو-فايرستراس >>> .

تتم مناقشة التعاريف والنظريات وخصائص المتتابعات والحدود الجزئية في الصفحة
التبعات والحدود الجزئية للتسلسلات >>>.

مراجع:
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 1983.
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.
في.أ. زيوريخ. التحليل الرياضي. الجزء الأول. موسكو، 1997.
في.أ. إيلين ، على سبيل المثال. بوزنياك. أساسيات التحليل الرياضي. الجزء الأول. موسكو، 2005.

أنظر أيضا:

تسلسل رقمي.
كيف ؟

على هذا الدرسسوف نتعلم الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام من حياة أعضاء مجتمع كبير يسمى فكونتاكتي تسلسلات رقمية. لا يتعلق الموضوع قيد النظر بمسار التحليل الرياضي فحسب، بل يتعلق أيضًا بالأساسيات الرياضيات المنفصلة. بالإضافة إلى ذلك، ستكون المواد مطلوبة لإتقان أقسام أخرى من البرج، على وجه الخصوص، أثناء الدراسة سلسلة أرقامو سلسلة وظيفية. يمكنك أن تقول مبتذلاً أن هذا مهم، يمكنك أن تقول بشكل مشجع أنه بسيط، يمكنك أن تقول العديد من العبارات الروتينية، ولكن اليوم هو أول أسبوع كسول على غير العادة في المدرسة، لذلك يكسرني بشدة أن أكتب الفقرة الأولى =) أنا لقد حفظت الملف بالفعل في قلبي واستعدت للنوم، عندما فجأة... أضاء رأسي بفكرة الاعتراف الصادق، التي أضاءت روحي بشكل لا يصدق ودفعتني لمواصلة النقر بأصابعي على لوحة المفاتيح. .

دعونا نأخذ استراحة من ذكريات الصيف وننظر إلى هذا العالم الرائع والإيجابي الجديد شبكة اجتماعية:

مفهوم التسلسل الرقمي

أولاً، دعونا نفكر في الكلمة نفسها: ما هو التسلسل؟ التسلسل هو عندما يتبع شيء شيء ما. على سبيل المثال، سلسلة من الإجراءات، سلسلة من الفصول. أو عندما يقع شخص ما خلف شخص ما. على سبيل المثال، سلسلة من الأشخاص في طابور، سلسلة من الأفيال في الطريق إلى حفرة الري.

دعونا نوضح على الفور السمات المميزة للتسلسل. أولاً، أعضاء التسلسلتقع بدقة في ترتيب معين. لذلك، إذا تم تبديل شخصين في قائمة الانتظار، فسيكون هذا بالفعل آخرالتبعية. ثانيا الجميع عضو التسلسليمكنك تعيين رقم تسلسلي:

إنه نفس الشيء مع الأرقام. يترك لكلالقيمة الطبيعية وفقا لبعض القواعدمتوافق عدد حقيقي. ثم يقولون أنه تم إعطاء تسلسل رقمي.

نعم، في المسائل الرياضية، على عكس مواقف الحياة، يحتوي التسلسل دائمًا على كثيرة بلا حدودأعداد.

حيث:
مُسَمًّى العضو الأولتسلسلات؛
– العضو الثانيتسلسلات؛
– العضو الثالثتسلسلات؛
…
– نأو عضو مشتركتسلسلات؛
…

في الممارسة العملية، عادة ما يتم إعطاء التسلسل صيغة مصطلح مشترك، على سبيل المثال:
- تسلسل الأعداد الزوجية الموجبة:

وبالتالي، فإن السجل يحدد بشكل فريد جميع أعضاء التسلسل - هذه هي القاعدة (الصيغة) التي يتم بموجبها تحديد القيم الطبيعية يتم وضع الأرقام في المراسلات. لذلك، غالبًا ما يُشار إلى التسلسل بإيجاز بمصطلح شائع، وبدلاً من "x" يمكن استخدام أحرف لاتينية أخرى، على سبيل المثال:

تسلسل الأعداد الفردية الإيجابية:

تسلسل مشترك آخر:

كما لاحظ الكثيرون، يلعب المتغير "en" دور نوع من العداد.

في الواقع، لقد تعاملنا مع تسلسل الأرقام في المدرسة الإعدادية. دعنا نتذكر المتوالية العددية. لن أعيد كتابة التعريف، دعنا نتطرق إلى الجوهر مثال محدد. اسمحوا أن يكون الفصل الأول، و - خطوةالمتوالية العددية. ثم:
- الفصل الثاني من هذا التقدم؛
- الفصل الثالث من هذا التقدم؛
- الرابع؛
- الخامس؛
…
ومن الواضح أن الحد n معطى متكررمعادلة

ملحوظة : في الصيغة المتكررة، يتم التعبير عن كل حد لاحق بدلالة الحد السابق أو حتى بدلالة مجموعة كاملة من الحدود السابقة.

الصيغة الناتجة ليست ذات فائدة كبيرة في الممارسة العملية - للوصول إلى، على سبيل المثال، تحتاج إلى مراجعة جميع المصطلحات السابقة. وفي الرياضيات، تم اشتقاق تعبير أكثر ملاءمة للحد النوني من التقدم الحسابي: . في حالتنا هذه:

استبدل الأعداد الطبيعية في الصيغة وتحقق من صحة التسلسل الرقمي الموضح أعلاه.

ويمكن إجراء حسابات مماثلة ل المتوالية الهندسية، حيث يتم تحديد الحد التاسع له بواسطة الصيغة، حيث يقع الحد الأول، و - المقام - صفة مشتركة - حالةالتقدم. في مهام الرياضيات، غالبًا ما يساوي الحد الأول واحدًا.

التقدم يحدد التسلسل ;
التقدم يحدد التسلسل
التقدم يحدد التسلسل ;
التقدم يحدد التسلسل .

أتمنى أن يعلم الجميع أن -1 للقوة الفردية يساوي -1، وللقوة الزوجية - واحد.

يسمى التقدم يتناقص بلا حدود، إذا (الحالتين الأخيرتين).

دعونا نضيف صديقين جديدين إلى قائمتنا، أحدهما طرق للتو على مصفوفة الشاشة:

يُطلق على التسلسل في المصطلحات الرياضية اسم "الوامض":

هكذا، يمكن تكرار أعضاء التسلسل. لذلك، في المثال الذي تم تناوله، يتكون التسلسل من رقمين متناوبين بشكل لا نهائي.

هل يحدث أن يتكون التسلسل من أرقام متطابقة؟ بالتأكيد. على سبيل المثال، يقوم بتعيين عدد لا نهائي من "الثلاثات". بالنسبة للجماليات، هناك حالة لا يزال فيها "en" يظهر رسميًا في الصيغة:

دعونا ندعو صديقًا بسيطًا للرقص:

ماذا يحدث عندما تزيد "en" إلى ما لا نهاية؟ من الواضح أن أعضاء التسلسل سيكونون كذلك قريبة بلا حدودالاقتراب من الصفر. وهذه هي نهاية هذه المتوالية، وهي مكتوبة على النحو التالي:

إذا كانت نهاية المتوالية صفر فإنها تسمى متناهي الصغر.

في نظرية التحليل الرياضي يتم تقديمه تعريف صارم لحد التسلسلمن خلال ما يسمى حي إبسيلون. سيتم تخصيص المقال التالي لهذا التعريف، ولكن الآن دعونا نلقي نظرة على معناه:

دعونا نرسم على خط الأعداد حدود المتتابعة والجوار المتماثل بالنسبة للصفر (الحد):


الآن اضغط على المنطقة الزرقاء بحواف راحة يدك وابدأ في تصغيرها، وسحبها نحو الحد (النقطة الحمراء). الرقم هو الحد الأقصى للتسلسل إذا كان لأي حي تم تحديده مسبقًا (صغيرة كما تريد)سيكون بداخله كثيرة بلا حدودأعضاء التسلسل، وخارجه - فقط أخيرعدد الأعضاء (أو لا أحد على الإطلاق). وهذا يعني أن حي إبسيلون يمكن أن يكون مجهريا، بل وأصغر حجما، ولكن "الذيل اللانهائي" للتسلسل يجب عاجلا أو آجلا تماماأدخل المنطقة.

التسلسل أيضًا متناهٍ في الصغر: مع الفارق في أن أعضائه لا يقفزون ذهابًا وإيابًا، بل يقتربون من النهاية حصريًا من اليمين.

وبطبيعة الحال، يمكن أن تكون النهاية مساوية لأي عدد منتهٍ آخر، مثال أولي:

هنا يميل الكسر إلى الصفر، وبالتالي فإن النهاية تساوي "اثنين".

إذا كان التسلسل هناك حد محدود، ثم يطلق عليه متقاربة(بخاصة، متناهي الصغرفي ). في خلاف ذلك – متشعبفي هذه الحالة، هناك خياران ممكنان: إما أن الحد غير موجود على الإطلاق، أو أنه لا نهائي. وفي الحالة الأخيرة، يتم استدعاء التسلسل كبيرة بلا حدود. دعونا نستعرض أمثلة الفقرة الأولى:

تسلسلات نكون كبيرة بلا حدود، بينما يتحرك أعضاؤها بثقة نحو "زائد اللانهاية":

إن التقدم الحسابي مع الحد الأول والخطوة هو أيضًا كبير بلا حدود:

بالمناسبة، أي تقدم حسابي يتباعد أيضًا، باستثناء الحالة ذات الخطوة الصفرية - متى . نهاية هذا التسلسل موجودة وتتزامن مع الحد الأول.

التسلسلات لها مصير مماثل:

أي متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، كما هو واضح من الاسم، صغيرة بلا حدود:

إذا كان مقام المتتابعة الهندسية هو , فإن التسلسل كبير بلا حدود:

إذا، على سبيل المثال، فإن الحد غير موجود على الإطلاق، لأن الأعضاء يقفزون بلا كلل إما إلى "زائد اللانهاية" أو إلى "ناقص اللانهاية". ويشير الفطرة السليمة ونظريات ماتان إلى أنه إذا كان هناك شيء يسعى إلى مكان ما، فهذا هو المكان العزيز الوحيد.

بعد قليل من الوحي يصبح من الواضح أن "الضوء الوامض" هو المسؤول عن الرمي الذي لا يمكن السيطرة عليه، والذي، بالمناسبة، يتباعد من تلقاء نفسه.
في الواقع، من السهل بالنسبة للتسلسل اختيار -neighborhood الذي، على سبيل المثال، يربط الرقم -1 فقط. ونتيجة لذلك، سيبقى عدد لا نهائي من أعضاء التسلسل ("الأعضاء الزائدين") خارج هذا الحي. لكن بحكم التعريف، يجب أن يكون "الذيل اللانهائي" للتسلسل من لحظة معينة (العدد الطبيعي). تماماالذهاب إلى أي منطقة قريبة من الحد الخاص بك. الخلاصة: السماء هي الحد.

العامل هو كبيرة بلا حدودتسلسل:

علاوة على ذلك، فهو ينمو بسرعة فائقة، لذا فهو رقم يحتوي على أكثر من 100 رقم (رقم)! لماذا بالضبط 70؟ عليها حاسبتي الهندسية الدقيقة تطلب الرحمة.

مع لقطة التحكم، يصبح كل شيء أكثر تعقيدًا بعض الشيء، وقد وصلنا للتو إلى الجزء العملي من المحاضرة، حيث سنقوم بتحليل الأمثلة القتالية:

لكن الآن عليك أن تكون قادرًا على حل حدود الدوال، على الأقل على مستوى درسين أساسيين: حدود. أمثلة على الحلولو حدود رائعة. لأن العديد من طرق الحل ستكون متشابهة. لكن، أولاً، دعونا نحلل الاختلافات الأساسية بين نهاية المتتابعة ونهاية الدالة:

وفي حد التسلسل يمكن للمتغير "الديناميكي" "en" أن يميل إلى ذلك فقط إلى "زائد اللانهاية"- نحو زيادة الأعداد الطبيعية .
في حدود الدالة، يمكن توجيه "x" في أي مكان - إلى "زائد/ناقص اللانهاية" أو إلى رقم حقيقي عشوائي.

التبعية منفصلة(متقطعة) أي أنها تتكون من أفراد معزولين. واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، خرج الأرنب للنزهة. تتميز حجة الدالة بالاستمرارية، أي أن "X" بسلاسة، دون وقوع حوادث، يميل إلى قيمة أو أخرى. وبناءً على ذلك، ستقترب قيم الدالة أيضًا بشكل مستمر من الحد الأقصى.

بسبب السريةتوجد داخل التسلسلات أشياء مميزة خاصة بها، مثل المضروبات، و"الأضواء الوامضة"، والتقدمات، وما إلى ذلك. والآن سأحاول تحليل الحدود الخاصة بالتسلسلات.

لنبدأ بالتقدم:

مثال 1

أوجد نهاية التسلسل

حل: شيء مشابه لمتتالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، لكن هل هذا هو الحال حقًا؟ من أجل الوضوح، دعونا نكتب المصطلحات القليلة الأولى:

منذ ذلك الحين نحن نتحدث عنه كميةشروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، والذي يتم حسابه بواسطة الصيغة.

نحن نتخذ القرار:

نستخدم الصيغة لمجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي: . في هذه الحالة: - الحد الأول، - مقام التتابع.

مثال 2

اكتب الحدود الأربعة الأولى في المتتابعة وأوجد نهايتها

هذا مثال لك لحله بنفسك. للتخلص من عدم اليقين في البسط، ستحتاج إلى تطبيق صيغة مجموع الحدود الأولى للتقدم الحسابي:
، حيث هو الأول و هو الحد n من التقدم.

وبما أن "en" تميل دائمًا إلى "زائد اللانهاية" ضمن التسلسلات، فليس من المستغرب أن يكون عدم اليقين أحد أكثر الأمور شيوعًا.
ويتم حل العديد من الأمثلة بنفس طريقة حل حدود الوظائف!

أو ربما شيء أكثر تعقيدًا مثل ؟ راجع المثال رقم 3 من المقالة طرق حل الحدود.

من وجهة نظر رسمية، سيكون الفرق في حرف واحد فقط - "x" هنا، و"en" هنا.
التقنية هي نفسها - يجب تقسيم البسط والمقام على "en" إلى أعلى درجة.

كما أن عدم اليقين داخل التسلسلات أمر شائع جدًا. يمكنك التعرف على كيفية حل النهايات من الأمثلة رقم 11-13 من نفس المقالة.

لفهم الحد، راجع المثال رقم 7 من الدرس حدود رائعة(الحد الملحوظ الثاني صالح أيضًا للحالة المنفصلة). سيكون الحل مرة أخرى بمثابة نسخة كربونية مع اختلاف حرف واحد.

الأمثلة الأربعة التالية (الأرقام 3-6) هي أيضًا "ذات وجهين"، ولكنها في الواقع لسبب ما أكثر سمة لحدود التسلسل من حدود الوظائف:

مثال 3

أوجد نهاية التسلسل

حل: أولاً الحل الكامل، ثم التعليقات خطوة بخطوة:

(1) في البسط نستخدم الصيغة مرتين.

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في البسط.

(3) لإزالة عدم اليقين، قم بتقسيم البسط والمقام على ("en" إلى أعلى درجة).

كما ترون، لا شيء معقد.

مثال 4

أوجد نهاية التسلسل

هذا مثال عليك حله بنفسك صيغ الضرب المختصرةللمساعدة.

ضمن ق إرشاديةتستخدم المتتابعات طريقة مشابهة لتقسيم البسط والمقام:

مثال 5

أوجد نهاية التسلسل

حلدعونا نرتبها وفقًا لنفس المخطط:

بالمناسبة، هناك نظرية مماثلة صحيحة بالنسبة للوظائف: منتج دالة محدودة ووظيفة متناهية الصغر هو دالة متناهية الصغر.

مثال 9

أوجد نهاية التسلسل

تعريف حدود التسلسل والدالة، خواص النهايات، النهايات الملحوظة الأولى والثانية، أمثلة.

رقم ثابت أمُسَمًّى حد تسلسلات(x n)، إذا كان هناك رقم N لأي رقم موجب صغير بشكل تعسفي ε > 0 بحيث تكون جميع القيم س ن، والتي n>N تحقق عدم المساواة

اكتبها على النحو التالي: أو x n → a.

عدم المساواة (6.1) يعادل عدم المساواة المزدوجة

أ - ε< x n < a + ε которое означает, что точки س ن، بدءًا من رقم ما n>N، يقع داخل الفترة (a-ε ، a+ε)، أي. تقع في أي حي صغير من النقطة أ.

يتم استدعاء تسلسل له حد متقاربة، خلاف ذلك - متشعب.

مفهوم حد الوظيفة هو تعميم لمفهوم حد التسلسل، حيث يمكن اعتبار حد التسلسل حدًا للدالة x n = f(n) لوسيطة عدد صحيح ن.

دع الدالة f(x) تُعطى ودعها أ - نقطة الحدمجال تعريف هذه الوظيفة D(f)، أي مثل هذه النقطة، أي حي يحتوي على نقاط من المجموعة D(f) بخلاف أ. نقطة أقد تنتمي أو لا تنتمي إلى المجموعة D(f).

التعريف 1.يسمى الرقم الثابت A حد المهامو (خ) في x→ a، إذا كان لأي تسلسل (x n ) لقيم الوسيطة يميل إلى أ، فإن التسلسلات المقابلة (f(x n)) لها نفس الحد A.

ويسمى هذا التعريف تحديد نهاية الدالة حسب هاينه،أو " في لغة التسلسل”.

التعريف 2. يسمى الرقم الثابت A حد المهامو (خ) في x → a، إذا تم إعطاء رقم موجب تعسفي صغير تعسفيًا ε، يمكن للمرء أن يجد مثل هذا δ >0 (اعتمادًا على ε) أنه للجميع س، تقع في حي ε من الرقم أ، أي. ل س، إرضاء عدم المساواة
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

ويسمى هذا التعريف من خلال تحديد نهاية الدالة وفقا لكوشي،أو "في اللغة ε - δ"

التعريفان 1 و 2 متساويان. إذا كانت الدالة f(x) كـ x → a لها حد، يساوي A، وهذا مكتوب في النموذج

في حالة زيادة (أو نقصان) التسلسل (f(x n)) بلا حدود لأي طريقة تقريبية سإلى الحد الخاص بك أ، فسنقول أن الدالة f(x) لها الحد اللانهائي،واكتبها على الشكل:

يسمى المتغير (أي تسلسل أو دالة) الذي حده صفر صغيرة بلا حدود.

يسمى المتغير الذي حده يساوي ما لا نهاية كبيرة بلا حدود.

لإيجاد النهاية عمليًا، يتم استخدام النظريات التالية.

النظرية 1 . إذا كان كل حد موجودا

(6.4)

(6.5)

(6.6)

تعليق. التعبيرات ذات الشكل 0/0، ∞/∞، ∞-∞ 0*∞ غير مؤكدة، على سبيل المثال، النسبة بين كميتين متناهيتين في الصغر أو كبيرتين بشكل لا نهائي، وإيجاد حد من هذا النوع يسمى "الكشف عن عدم اليقين".

النظرية 2.

أولئك. يمكن للمرء أن يذهب إلى الحد بناءً على القوة ذات الأس الثابت، على وجه الخصوص،

النظرية 3.

(6.11)

أين ه» 2.7 - قاعدة اللوغاريتم الطبيعي. تسمى الصيغتان (6.10) و (6.11) بالحد الملحوظ الأول والحد الملحوظ الثاني.

يتم أيضًا استخدام نتائج الصيغة (6.11) عمليًا:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

وخاصة الحد

إذا كان x → a وفي نفس الوقت x > a، فاكتب x →a + 0. إذا، على وجه الخصوص، a = 0، فبدلاً من الرمز 0+0 اكتب +0. وبالمثل، إذا كان x→a وفي نفس الوقت x ويتم استدعاؤهم وفقًا لذلك الحد الصحيحو الحد الأيسر المهامو (خ) عند هذه النقطة أ. لكي يكون هناك حد للدالة f(x) كـ x→ a فمن الضروري والكافي ذلك . يتم استدعاء الدالة f(x). مستمر عند هذه النقطة× 0 إذا كان الحد

(6.15)

يمكن إعادة كتابة الشرط (6.15) على النحو التالي:

أي أن المرور إلى النهاية تحت إشارة الدالة ممكن إذا كانت مستمرة عند نقطة معينة.

إذا تم انتهاك المساواة (6.15)، فإننا نقول ذلك فيس = س س وظيفةو (خ) لقد فجوةخذ بعين الاعتبار الدالة y = 1/x. مجال تعريف هذه الوظيفة هو المجموعة ر، باستثناء x = 0. النقطة x = 0 هي نقطة النهاية للمجموعة D(f)، لأنه في أي حي منها، أي. في أي فترة مفتوحة تحتوي على النقطة 0، توجد نقاط من D(f)، ولكنها في حد ذاتها لا تنتمي إلى هذه المجموعة. لم يتم تعريف القيمة f(x o)= f(0)، لذلك عند النقطة x o = 0 تكون الدالة متقطعة.

يتم استدعاء الدالة f(x). مستمرة على اليمين عند هذه النقطةس س إذا كان الحد

و المستمر على اليسار عند هذه النقطةس س، إذا كان الحد

استمرارية الدالة عند نقطة ما س سيعادل استمرارها عند هذه النقطة إلى اليمين وإلى اليسار.

لكي تكون الدالة متصلة عند نقطة ما س سعلى سبيل المثال، على اليمين، من الضروري أولاً أن يكون هناك حد منتهٍ، وثانيًا، أن يكون هذا الحد مساويًا لـ f(x o). لذلك، إذا لم يتم استيفاء أحد هذين الشرطين على الأقل، فستكون الدالة منقطعة.

1. إذا كانت النهاية موجودة ولا تساوي f(x o) فإنهم يقولون ذلك وظيفةو (خ) عند هذه النقطةس لديه التمزق من النوع الأول،أو خطوة.

2. إذا كانت النهاية +∞ أو -∞ أو غير موجودة فإنهم يقولون ذلك في نقطةس س الدالة لديها انقطاع النوع الثاني.

على سبيل المثال، الدالة y = ctg x as x → +0 لها حد يساوي +∞، مما يعني أنه عند النقطة x=0 لديها انقطاع من النوع الثاني. الدالة y = E(x) (جزء صحيح من س) في النقاط ذات الإحداثيات الكاملة يوجد انقطاعات من النوع الأول، أو قفزات.

تسمى الدالة المستمرة عند كل نقطة في الفترة مستمرالخامس . يتم تمثيل الوظيفة المستمرة بمنحنى متصل.

العديد من المشاكل المرتبطة بالنمو المستمر لبعض الكمية تؤدي إلى الحد الملحوظ الثاني. وتشمل هذه المهام، على سبيل المثال: نمو الودائع وفقا لقانون الفائدة المركبة، ونمو سكان البلاد، واضمحلال المواد المشعة، وانتشار البكتيريا، وما إلى ذلك.

دعونا نفكر مثال يا آي بيرلمان، وإعطاء تفسير للرقم هفي مسألة الفائدة المركبة. رقم ههناك حد . وفي بنوك الادخار، تضاف أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت سنويا. إذا تم الانضمام في كثير من الأحيان، فإن رأس المال ينمو بشكل أسرع، حيث يشارك مبلغ أكبر في تكوين الفائدة. لنأخذ مثالًا نظريًا بحتًا ومبسطًا للغاية. دع 100 منكر تودع في البنك. وحدات على أساس 100% سنويا. إذا تمت إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت فقط بعد عام، فبحلول هذه الفترة 100 دن. وحدات سوف تتحول إلى 200 وحدة نقدية. الآن دعونا نرى ما سيتحول إليه 100 دينيز. وحدات، إذا تم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت كل ستة أشهر. وبعد ستة أشهر 100 دن. وحدات سوف تنمو بمقدار 100 × 1.5 = 150، وبعد ستة أشهر أخرى - بمقدار 150 × 1.5 = 225 (دن. وحدة). إذا تم الانضمام كل ثلث العام، فبعد عام 100 دن. وحدات سيتحول إلى 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (الوحدات). سنزيد شروط إضافة أموال الفائدة إلى 0.1 سنة، إلى 0.01 سنة، إلى 0.001 سنة، وما إلى ذلك. ثم من أصل 100 دن. وحدات وبعد عام يصبح:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (الوحدات)،

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (الوحدات)،

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (الوحدات).

ومع التخفيض غير المحدود في شروط إضافة الفائدة، فإن رأس المال المتراكم لا ينمو إلى أجل غير مسمى، بل يقترب من حد معين يساوي 271 تقريبًا. ولا يمكن لرأس المال المودع بنسبة 100% سنويًا أن يزيد بأكثر من 2.71 مرة، حتى لو كانت الفائدة المستحقة تمت إضافتها إلى رأس المال في كل ثانية لأن الحد

مثال 3.1. باستخدام تعريف نهاية التسلسل الرقمي، أثبت أن التسلسل x n =(n-1)/n له نهاية تساوي 1.

حل.نحن بحاجة إلى إثبات أنه بغض النظر عن ε > 0 الذي نأخذه، فإنه يوجد عدد طبيعي N بحيث يكون لجميع n > N عدم المساواة |x n -1|< ε

خذ أي ε > 0. بما أن x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، إذن لإيجاد N يكفي حل المتراجحة 1/n<ε. Отсюда n>1/ε، وبالتالي يمكن اعتبار N جزءًا صحيحًا من 1/ε N = E(1/ε). وبذلك أثبتنا أن الحد .

مثال 3.2.أوجد نهاية المتتابعة المعطاة بمصطلح مشترك .

حل. دعونا نطبق نهاية نظرية المجموع ونوجد نهاية كل حد. بما أن n → ∞، فإن البسط والمقام لكل حد يميلان إلى ما لا نهاية، ولا يمكننا تطبيق نظرية حد حاصل القسمة بشكل مباشر. لذلك، أولا نقوم بالتحويل س ن، قسمة بسط ومقام الحد الأول على ن 2، والثاني على ن. وبعد ذلك، وبتطبيق نهاية القسمة ونهاية نظرية المجموع نجد:

مثال 3.3. . يجد .

حل.

استخدمنا هنا نظرية نهاية الدرجة: نهاية الدرجة تساوي درجة نهاية القاعدة.

مثال 3.4. يجد ( ).

حل. من المستحيل تطبيق نظرية نهاية الفرق، حيث أن لدينا حالة عدم يقين في الصورة ∞-∞. دعونا نحول صيغة المصطلح العام:

مثال 3.5. تم إعطاء الدالة f(x)=2 1/x. إثبات أنه لا يوجد حد.

حل.دعونا نستخدم التعريف 1 لحد الدالة من خلال التسلسل. لنأخذ التسلسل ( x n ) المتقارب إلى 0، أي. دعونا نوضح أن القيمة f(x n)= تتصرف بشكل مختلف بالنسبة للتسلسلات المختلفة. دع س ن = 1/ن. ومن الواضح، ثم الحد دعونا الآن نختار كما س نتسلسل بمصطلح مشترك x n = -1/n، ويميل أيضًا إلى الصفر. ولذلك ليس هناك حد.

مثال 3.6. إثبات أنه لا يوجد حد.

حل.دع x 1 , x 2 ,..., x n ,... يكون تسلسلاً له
. كيف يتصرف التسلسل (f(x n)) = (sin x n) لمختلف x n → ∞

إذا كان x n = p n، فإن sin x n = sin (p ن) = 0 للجميع نوالحد إذا
س ن =2 p n+ p /2، ثم sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 للجميع نوبالتالي الحد. لذلك فهو غير موجود.

اليوم في الصف سوف ننظر تسلسل صارمو تعريف صارم لحد الوظيفةوتعلم أيضًا كيفية حل المشكلات ذات الصلة ذات الطبيعة النظرية. المقال مخصص في المقام الأول لطلاب السنة الأولى في العلوم الطبيعية والتخصصات الهندسية الذين بدأوا في دراسة نظرية التحليل الرياضي وواجهوا صعوبات في فهم هذا القسم من الرياضيات العليا. بالإضافة إلى ذلك، فإن المواد متاحة تمامًا لطلاب المدارس الثانوية.

على مدار سنوات وجود الموقع، تلقيت عشرات الرسائل تقريبًا بالمحتوى التالي: "أنا لا أفهم التحليل الرياضي جيدًا، فماذا علي أن أفعل؟"، "أنا لا أفهم الرياضيات على الإطلاق، أنا أفكر في ترك دراستي "، وما إلى ذلك. وبالفعل، فإن المتان هو الذي غالبًا ما يضعف مجموعة الطلاب بعد الجلسة الأولى. لماذا هذا هو الحال؟ لأن الموضوع معقد بشكل لا يمكن تصوره؟ مُطْلَقاً! إن نظرية التحليل الرياضي ليست صعبة بقدر ما هي غريبة. وعليك أن تتقبلها وتحبها كما هي =)

لنبدأ بالحالة الأكثر صعوبة. أول وأهم شيء هو أنك لست مضطرًا للتخلي عن دراستك. افهم بشكل صحيح، يمكنك دائمًا الإقلاع عن التدخين؛-) بالطبع، إذا شعرت بالمرض بعد عام أو عامين من التخصص الذي اخترته، فنعم، يجب عليك التفكير في الأمر (ولا تغضب!)حول تغيير النشاط. لكن الأمر يستحق الاستمرار في الوقت الحالي. ويرجى نسيان عبارة "لا أفهم شيئًا" - لا يحدث أنك لا تفهم شيئًا على الإطلاق.

ماذا تفعل إذا كانت النظرية سيئة؟ وهذا، بالمناسبة، لا ينطبق فقط على التحليل الرياضي. إذا كانت النظرية سيئة، فأنت بحاجة أولاً إلى التركيز بجدية على الممارسة. في هذه الحالة، يتم حل مهمتين استراتيجيتين في وقت واحد:

– أولاً، ظهرت حصة كبيرة من المعرفة النظرية من خلال الممارسة. ولهذا السبب يفهم الكثير من الناس النظرية من خلال... – هذا صحيح! لا لا انت لا تفكر في ذلك =)

- وثانيًا، من المرجح أن "تساعدك" المهارات العملية خلال الاختبار، حتى لو... ولكن دعونا لا نتحمس كثيرًا! كل شيء حقيقي ويمكن "رفع" كل شيء في وقت قصير إلى حد ما. التحليل الرياضي هو القسم المفضل لدي في الرياضيات العليا، وبالتالي لا يسعني إلا أن أقدم لك يد المساعدة:

في بداية الفصل الدراسي الأول، عادة ما يتم تغطية حدود التسلسل وحدود الوظائف. لا تفهم ما هي هذه ولا تعرف كيفية حلها؟ ابدأ بالمقال حدود الوظيفةحيث يتم فحص المفهوم نفسه "على الأصابع" وتحليل أبسط الأمثلة. بعد ذلك، قم بدراسة الدروس الأخرى حول هذا الموضوع، بما في ذلك درس حول ضمن تسلسلات، والتي قمت بالفعل بصياغة تعريف صارم لها.

ما هي الرموز التي تعرفها إلى جانب علامات عدم المساواة والمعامل؟

- عصا عمودية طويلة تقرأ هكذا: "كذلك" أو "كذا" أو "كذلك" أو "كذلك"، في حالتنا، من الواضح أننا نتحدث عن رقم - وبالتالي "هكذا"؛

- لجميع "en" أكبر من ;

– علامة المعامل تعني المسافة، أي. يخبرنا هذا الإدخال أن المسافة بين القيم أقل من إبسيلون.

حسنًا، هل الأمر صعب جدًا؟ =)

بعد إتقان هذه الممارسة، أتطلع إلى رؤيتك في الفقرة التالية:

وفي الواقع، دعونا نفكر قليلا - كيفية صياغة تعريف صارم للتسلسل؟ ...أول ما يتبادر إلى ذهنك في العالم درس عملي: "حد التسلسل هو العدد الذي يقترب منه أعضاء التسلسل بشكل لا نهائي."

حسنًا، دعنا نكتبها التبعية :

ليس من الصعب أن نفهم ذلك التبعية يقترب بشكل لا نهائي من الرقم -1، والحدود ذات الأرقام الزوجية - إلى "واحد".

أو ربما هناك حدان؟ ولكن لماذا لا يمكن لأي تسلسل أن يحتوي على عشرة أو عشرين منها؟ يمكنك الذهاب بعيدا بهذه الطريقة. وفي هذا الصدد فمن المنطقي أن نفترض ذلك إذا كان للتسلسل حد، فهو فريد.

ملحوظة : ليس للتسلسل نهاية، ولكن يمكن تمييز تسلسلين منه (انظر أعلاه)، ولكل منهما حده الخاص.

وبالتالي، فإن التعريف المذكور أعلاه لا يمكن الدفاع عنه. نعم ينفع لحالات مثل (والتي لم أستخدمها بالشكل الصحيح في الشرح المبسط للأمثلة العملية)ولكن الآن نحن بحاجة إلى إيجاد تعريف صارم.

المحاولة الثانية: "حد التسلسل هو العدد الذي يقترب منه جميع أعضاء التسلسل، ربما باستثناء أعضاءهم أخيركميات." وهذا أقرب إلى الحقيقة، لكنه لا يزال غير دقيق تماما. لذلك، على سبيل المثال، التسلسل نصف الحدود لا تقترب من الصفر على الإطلاق - فهي ببساطة تساويه =) بالمناسبة، يأخذ "الضوء الوامض" عمومًا قيمتين ثابتتين.

ليس من الصعب توضيح الصياغة، ولكن بعد ذلك يطرح سؤال آخر: كيف نكتب التعريف بالرموز الرياضية؟ لقد ناضل العالم العلمي مع هذه المشكلة لفترة طويلة حتى تم حل الوضع المايسترو الشهير، والتي، في جوهرها، أضفت طابعًا رسميًا على التحليل الرياضي الكلاسيكي بكل صرامة. اقترح كوشي إجراء عملية جراحية المناطق المحيطة ، مما أدى إلى تقدم كبير في النظرية.

النظر في بعض نقطة ولها اِعتِباطِيّ- البيئة المحيطة:

قيمة "إبسيلون" دائما إيجابية، وعلاوة على ذلك، لدينا الحق في اختيار ذلك بأنفسنا. لنفترض أن في هذا الحي هناك العديد من الأعضاء (ليس بالضرورة الكل)بعض التسلسل. كيف نكتب حقيقة أن الفصل العاشر على سبيل المثال موجود في الحي؟ فليكن على الجانب الأيمن منه. ثم المسافة بين النقاط ويجب أن تكون أقل من " إبسيلون " : . أما إذا كان "x العاشر" يقع على يسار النقطة "a" فإن الفرق سيكون سالبا، وبالتالي يجب إضافة الإشارة إليه وحدة: .

تعريف: يسمى الرقم نهاية التسلسل إذا لأيمحيطها (محدد مسبقًا)هناك عدد طبيعي من هذا القبيل الجميعأعضاء التسلسل ذو الأعداد الأعلى سيكونون داخل الحي:

أو باختصار: إذا

بمعنى آخر، بغض النظر عن مدى صغر قيمة "إبسيلون" التي نأخذها، عاجلاً أم آجلاً، فإن "الذيل اللانهائي" للتسلسل سيكون بالكامل في هذا الحي.

على سبيل المثال، "الذيل اللانهائي" للتسلسل سوف يدخل بشكل تعسفي أي حي صغير من النقطة. إذن هذه القيمة هي نهاية التسلسل حسب التعريف. دعني أذكرك أنه يتم استدعاء تسلسل حده صفر متناهي الصغر.

وتجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للتسلسل لم يعد من الممكن أن نقول "ذيل لا نهاية له" سوف يأتي"- الأعضاء ذوو الأرقام الفردية يساويون في الواقع الصفر و"لا تذهبوا إلى أي مكان" =) ولهذا السبب يتم استخدام الفعل "سوف يظهر" في التعريف. وبطبيعة الحال، فإن أعضاء سلسلة كهذه أيضًا "لا يذهبون إلى أي مكان". بالمناسبة، تحقق مما إذا كان الرقم هو الحد الأقصى.

الآن سوف نبين أن التسلسل ليس له نهاية. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، حي النقطة . من الواضح تمامًا أنه لا يوجد مثل هذا الرقم الذي تنتهي بعده جميع الحدود في حي معين - حيث "ستقفز" المصطلحات الفردية دائمًا إلى "ناقص واحد". ولسبب مماثل، ليس هناك حد عند هذه النقطة.

دعونا ندمج المادة مع الممارسة:

مثال 1

أثبت أن نهاية المتتابعة هي صفر. حدد الرقم الذي يتم بعده ضمان تواجد جميع أعضاء التسلسل داخل أي حي صغير بشكل تعسفي للنقطة.

ملحوظة : بالنسبة للعديد من التسلسلات، يعتمد العدد الطبيعي المطلوب على القيمة - ومن هنا جاء التدوين .

حل: يعتبر اِعتِباطِيّ هل هنالك أيالرقم - بحيث يكون جميع الأعضاء ذوي الأرقام الأعلى داخل هذا الحي:

لإثبات وجود العدد المطلوب نعبر عنه من خلال .

نظرًا لأنه بالنسبة لأي قيمة "en"، يمكن إزالة علامة المعامل:

نستخدم الأفعال "المدرسة" مع أوجه عدم المساواة التي كررتها في الفصل المتباينات الخطيةو مجال الوظيفة. في هذه الحالة، هناك ظرف مهم وهو أن "epsilon" و"en" موجبان:

نظرًا لأننا نتحدث عن الأعداد الطبيعية على اليسار، والجانب الأيمن عمومًا كسري، فيجب تقريبه:

ملحوظة : في بعض الأحيان يتم إضافة وحدة إلى الحق لتكون في الجانب الآمن، ولكن في الواقع هذا مبالغة. نسبيًا، إذا أضعفنا النتيجة عن طريق التقريب إلى الرقم الأدنى، فإن أقرب رقم مناسب ("ثلاثة") سيظل يحقق المتراجحة الأصلية.

والآن ننظر إلى المتباينة ونتذكر ما فكرنا فيه في البداية اِعتِباطِيّ- الحي، أي. "إبسيلون" يمكن أن يكون مساويا ل أي واحدرقم إيجابي.

خاتمة: لأي منطقة صغيرة بشكل تعسفي من نقطة ما، تم العثور على القيمة . وبالتالي، فإن الرقم هو نهاية التسلسل حسب التعريف. Q.E.D.

بالمناسبة، من النتيجة التي تم الحصول عليها النمط الطبيعي مرئي بوضوح: كلما كان الحي أصغر، كلما زاد العدد، وبعد ذلك سيكون جميع أعضاء التسلسل في هذا الحي. ولكن بغض النظر عن مدى صغر حجم "الإبسيلون"، سيكون هناك دائمًا "ذيل لا نهائي" في الداخل والخارج - حتى لو كان كبيرًا، ولكن أخيرعدد من أعضاء.

كيف هي انطباعاتك؟ =) أوافق على أن الأمر غريب بعض الشيء. ولكن بدقة!يرجى إعادة القراءة والتفكير في كل شيء مرة أخرى.

دعونا نلقي نظرة على مثال مماثل ونتعرف على التقنيات التقنية الأخرى:

مثال 2

حل: من خلال تعريف تسلسل فمن الضروري إثبات ذلك (قلها بصوت عالي!!!).

دعونا نفكر اِعتِباطِيّ-حي النقطة والتحقق، هل تتواجدعدد طبيعي - بحيث تكون المتباينة التالية لجميع الأعداد الأكبر:

لإظهار وجود مثل هذا، تحتاج إلى التعبير عن "en" من خلال "epsilon". نحن نبسط التعبير تحت علامة المعامل:

الوحدة تدمر علامة الطرح:

المقام موجب لأي "en"، لذلك يمكن إزالة العصي:

خلط:

نحتاج الآن إلى استخراج الجذر التربيعي، لكن المشكلة هي أن الجانب الأيمن لبعض أنواع "epsilon" سيكون سالبًا. لتجنب هذه المشكلة دعونا تعزيزعدم المساواة حسب المعامل:

لماذا يمكن القيام بذلك؟ إذا اتضح ذلك نسبيًا، فسيتم استيفاء الشرط أيضًا. يمكن للوحدة مجرد زيادةالرقم المطلوب، وهذا سوف يناسبنا أيضًا! بشكل تقريبي، إذا كانت المائة مناسبة، فإن المائتين مناسبة أيضًا! وفقا للتعريف، تحتاج إلى إظهار حقيقة وجود الرقم(على الأقل بعض)، وبعد ذلك سيكون جميع أعضاء التسلسل في الحي. بالمناسبة، هذا هو السبب في أننا لسنا خائفين من التقريب النهائي للجانب الأيمن لأعلى.

استخراج الجذر:

وتقريب النتيجة:

خاتمة: لأن تم اختيار قيمة "epsilon" بشكل عشوائي، ثم تم العثور على القيمة لأي حي صغير بشكل عشوائي من النقطة ، بحيث ينطبق عدم المساواة على جميع الأعداد الأكبر . هكذا، أ-بريوري. Q.E.D.

انا انصح خصوصاًيعد فهم مدى قوة عدم المساواة وإضعافها أسلوبًا نموذجيًا وشائعًا جدًا في التحليل الرياضي. الشيء الوحيد الذي تحتاج إلى مراقبته هو صحة هذا الإجراء أو ذاك. لذلك، على سبيل المثال، عدم المساواة تحت أي ظرف من الظروف هذا ممكن تخفيف، طرح، مثلا، واحد:

مرة أخرى، بشكل مشروط: إذا كان الرقم مناسبا تماما، فقد لا يكون الرقم السابق مناسبا.

المثال التالي لحل مستقل:

مثال 3

باستخدام تعريف تسلسل، أثبت ذلك

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس.

إذا كان التسلسل كبيرة بلا حدود، ثم يتم صياغة تعريف الحد بطريقة مماثلة: تسمى النقطة حد التسلسل إذا كان موجودًا، كبيرة كما تريدرقم، هناك رقم بحيث لجميع الأعداد الأكبر، سيتم استيفاء عدم المساواة. الرقم يسمى محيط نقطة "زائد اللانهاية":

بمعنى آخر، بغض النظر عن حجم القيمة التي نأخذها، فإن "الذيل اللانهائي" للتسلسل سينتقل بالضرورة إلى جوار النقطة، تاركًا فقط عددًا محدودًا من المصطلحات على اليسار.

المثال القياسي:

والتدوين المختصر: ، إذا

بالنسبة للحالة، اكتب التعريف بنفسك. الإصدار الصحيح هو في نهاية الدرس.

بمجرد أن تفهم الأمثلة العملية وتكتشف تعريف حد التسلسل، يمكنك الرجوع إلى الأدبيات المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل و/أو دفتر محاضراتك. أوصي بتنزيل المجلد الأول من Bohan (أبسط - لطلاب المراسلة)و فيشتنهولتز (بمزيد من التفصيل والتفصيل). من بين المؤلفين الآخرين، أوصي بـ Piskunov، الذي تستهدف دورته الجامعات التقنية.

حاول أن تدرس بضمير حي النظريات التي تتعلق بحدود التسلسل وأدلتها وعواقبها. في البداية، قد تبدو النظرية "غائمة"، لكنها طبيعية - تحتاج فقط إلى التعود عليها. وسيتذوقها الكثيرون أيضًا!

تعريف صارم للحد من وظيفة

لنبدأ بنفس الشيء - كيف نصيغ هذا المفهوم؟ التعريف اللفظي لحد الدالة تمت صياغته بشكل أبسط بكثير: "الرقم هو نهاية الدالة إذا كان "x" يميل إلى (كل من اليسار واليمين)، تميل قيم الوظيفة المقابلة إلى » (إطلع على الرسم). يبدو أن كل شيء طبيعي، ولكن الكلمات هي الكلمات، والمعنى هو المعنى، والأيقونة هي أيقونة، وليس هناك ما يكفي من الرموز الرياضية الصارمة. وفي الفقرة الثانية سنتعرف على طريقتين لحل هذه المشكلة.

دع الدالة يتم تعريفها على فترة زمنية معينة، مع احتمال استثناء النقطة. في الأدبيات التربوية، من المقبول عمومًا أن تكون هناك وظيفة لامُعرف:

يؤكد هذا الاختيار جوهر الحد من وظيفة: "س" قريبة بلا حدودالنهج، والقيم المقابلة للوظيفة هي قريبة بلا حدودل . وبعبارة أخرى، فإن مفهوم الحد لا يعني "الاقتراب الدقيق" للنقاط، ولكن بالتحديد تقريب لا نهائيلا يهم ما إذا كانت الوظيفة محددة عند هذه النقطة أم لا.

ليس من المستغرب أن يتم صياغة التعريف الأول لنهاية الدالة باستخدام تسلسلين. أولا، ترتبط المفاهيم، وثانيا، عادة ما يتم دراسة حدود الوظائف بعد حدود المتتابعات.

النظر في التسلسل نقاط (ليس على الرسم)، تنتمي إلى الفاصل الزمني و مختلف عن، أيّ يتقاربل . ثم تشكل قيم الدالة المقابلة أيضًا تسلسلًا رقميًا، يقع أعضاؤه على المحور الإحداثي.

نهاية الدالة حسب هاينه لأيتسلسل النقاط (ينتمي إلى ويختلف عن)، التي تتقارب إلى النقطة، يتقارب التسلسل المقابل لقيم الوظيفة.

إدوارد هاينه عالم رياضيات ألماني. ...وليست هناك حاجة للتفكير في أي شيء من هذا القبيل، فهناك مثلي الجنس واحد فقط في أوروبا - جاي-لوساك =)

تم إنشاء التعريف الثاني للحد... نعم نعم أنت على حق. ولكن أولا، دعونا نفهم تصميمه. النظر في حي تعسفي للنقطة (الحي الأسود). وبناء على الفقرة السابقة، فإن الإدخال يعني ذلك بعض القيمةتقع الوظيفة داخل حي "إبسيلون".

الآن نجد الحي الذي يتوافق مع الحي المحدد (ارسم خطوطًا سوداء منقطة عقليًا من اليسار إلى اليمين ثم من الأعلى إلى الأسفل). لاحظ أنه تم تحديد القيمة على طول الجزء الأصغر، في هذه الحالة - على طول الجزء الأيسر الأقصر. علاوة على ذلك، يمكن حتى تقليل "التوت" - حي النقطة، كما هو الحال في التعريف التالي حقيقة الوجود مهمةهذا الحي. وبالمثل، فإن الترميز يعني أن بعض القيمة تقع ضمن حي "دلتا".

حد وظيفة كوشي: يسمى الرقم نهاية الدالة عند نقطة if لأي محددة مسبقاحيّ (صغيرة كما تريد), موجود- حي النقطة، هذه، ذلك: كقيم فقط (ينتمي إلى)المدرجة في هذا المجال: (السهام الحمراء)- يتم ضمان قيم الوظائف المقابلة على الفور لدخول الحي: (الأسهم الزرقاء).

يجب أن أحذرك من أجل الوضوح، لقد ارتجلت قليلاً، فلا تبالغ في الاستخدام =)

دخول قصير: إذا

ما هو جوهر التعريف؟ من الناحية المجازية، من خلال تقليل -neighborhood بشكل لا نهائي، فإننا "نرافق" قيم الدالة إلى الحد الأقصى، ولا نترك لها أي بديل للاقتراب من مكان آخر. غير عادي للغاية، ولكن مرة أخرى صارمة! لفهم الفكرة بشكل كامل، أعد قراءة الصياغة مرة أخرى.

! انتباه: إذا كنت بحاجة فقط لصياغة تعريف هاينأو فقط تعريف كوشيمن فضلك لا تنسى بارِزتعليقات أولية: "ضع في اعتبارك دالة تم تعريفها في فترة زمنية معينة، مع احتمال استثناء نقطة ما". لقد ذكرت ذلك مرة واحدة في البداية ولم أكرره في كل مرة.

ووفقا للنظرية المقابلة للتحليل الرياضي، فإن تعريفي هاين وكوشي متساويان، ولكن الخيار الثاني هو الأكثر شهرة (لا يزال!)، والذي يُسمى أيضًا "حد اللغة":

مثال 4

باستخدام تعريف الحد، أثبت ذلك

حل: يتم تعريف الدالة على خط الأعداد بأكمله باستثناء النقطة. وباستخدام التعريف، نثبت وجود النهاية عند نقطة معينة.

ملحوظة : قيمة حي "دلتا" تعتمد على "إبسيلون"، ومن هنا جاءت التسمية

دعونا نفكر اِعتِباطِيّ-المحيط. وتتمثل المهمة في استخدام هذه القيمة للتحقق مما إذا كان هل تتواجد- البيئة المحيطة، هذه، والتي من عدم المساواة يلي ذلك عدم المساواة .

بافتراض ذلك، نقوم بتحويل المتباينة الأخيرة:
(توسيع ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية)