كيفية طرح جذر آخر من جذر واحد. قاعدة إضافة الجذور التربيعية. صيغ الجذر. خواص الجذور التربيعية

صيغ الجذر. خصائص الجذور التربيعية.

انتباه!
هناك المزيد
مادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

في الدرس السابق ، اكتشفنا ما هو الجذر التربيعي. حان الوقت لمعرفة ما هو صيغ للجذور، ماذا يكون خصائص الجذروما الذي يمكن عمله حيال ذلك كله.

الصيغ الجذرية وخصائص الجذر وقواعد الإجراءات ذات الجذور- إنه نفس الشيء في الأساس. من المدهش أن هناك عددًا قليلاً من الصيغ للجذور التربيعية. وهو بالطبع يرضي! بدلاً من ذلك ، يمكنك كتابة الكثير من جميع أنواع الصيغ ، لكن ثلاثة منها فقط تكفي للعمل العملي والثقة مع الجذور. كل شيء آخر يتدفق من هؤلاء الثلاثة. على الرغم من أن الكثيرين ضلوا الطريق في الصيغ الثلاث للجذور ، نعم ...

لنبدأ بالأبسط. ها هي:

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

نظرت مرة أخرى إلى اللوحة ... ودعونا نذهب!

لنبدأ بواحد بسيط:

انتظر دقيقة. هذا ، مما يعني أنه يمكننا كتابته على النحو التالي:

فهمتك؟ هذا هو التالي بالنسبة لك:

لم يتم استخراج جذور الأرقام الناتجة بالضبط؟ لا تقلق ، إليك بعض الأمثلة:

ولكن ماذا لو لم يكن هناك مضاعفان بل أكثر؟ نفس الشيء! تعمل صيغة ضرب الجذر مع أي عدد من العوامل:

الآن مستقل تمامًا:

الإجابات:أتقنه! موافق ، كل شيء سهل للغاية ، الشيء الرئيسي هو معرفة جدول الضرب!

تقسيم الجذر

اكتشفنا عملية ضرب الجذور ، فلننتقل الآن إلى خاصية القسمة.

دعني أذكرك أن الصيغة بشكل عام تبدو كما يلي:

وهذا يعني ذلك جذر حاصل القسمة يساوي حاصل الجذور.

حسنًا ، لنلقِ نظرة على الأمثلة:

هذا كل شيء علم. وإليك مثال:

كل شيء ليس سلسًا كما في المثال الأول ، ولكن كما ترى ، لا يوجد شيء معقد.

ماذا لو كان التعبير مثل هذا:

تحتاج فقط إلى تطبيق الصيغة العكسية:

وإليك مثال:

يمكنك أيضًا مشاهدة هذا التعبير:

كل شيء هو نفسه ، هنا فقط عليك أن تتذكر كيفية ترجمة الكسور (إذا كنت لا تتذكر ، انظر إلى الموضوع وارجع مرة أخرى!). تذكرت؟ الآن قررنا!

أنا متأكد من أنك تعاملت مع كل شيء ، كل شيء ، فلنحاول الآن بناء الجذور بدرجة ما.

الأس

ماذا يحدث إذا كان الجذر التربيعي تربيعًا؟ الأمر بسيط ، تذكر معنى الجذر التربيعي لرقم - هذا رقم يساوي جذره التربيعي.

إذن ، إذا قمنا بتربيع عدد يساوي جذره التربيعي ، فماذا سنحصل؟

حسنا بالطبع، !

لنلقِ نظرة على الأمثلة:

كل شيء بسيط ، أليس كذلك؟ وإذا كان الجذر في درجة مختلفة؟ حسنا!

التزم بنفس المنطق وتذكر الخصائص والإجراءات الممكنة مع الصلاحيات.

اقرأ النظرية حول الموضوع "" وسيصبح كل شيء واضحًا للغاية بالنسبة لك.

على سبيل المثال ، هذا تعبير:

في هذا المثال الدرجة متساوية ، لكن ماذا لو كانت فردية؟ مرة أخرى ، قم بتطبيق خصائص الطاقة وعامل كل شيء:

بهذا ، يبدو كل شيء واضحًا ، ولكن كيف يتم استخراج الجذر من رقم ما؟ هنا ، على سبيل المثال ، هذا هو:

بسيط جدا ، أليس كذلك؟ ماذا لو كانت الدرجة أكبر من اثنين؟ نتبع نفس المنطق باستخدام خصائص الدرجات:

حسنًا ، هل كل شيء واضح؟ ثم حل الأمثلة الخاصة بك:

وإليك الإجابات:

مقدمة تحت علامة الجذر

ما لم نتعلم فعله بالجذور! يبقى فقط التدرب على إدخال الرقم تحت علامة الجذر!

انه سهل للغاية!

لنفترض أن لدينا رقمًا

ماذا يمكننا أن نفعل حيال ذلك؟ حسنًا ، بالطبع ، قم بإخفاء الثلاثي تحت الجذر ، مع تذكر أن الثلاثي هو الجذر التربيعي لـ!

لماذا نحن في حاجة إليها؟ نعم ، فقط لتوسيع قدراتنا عند حل الأمثلة:

كيف تحب خاصية الجذور هذه؟ يجعل الحياة أسهل بكثير؟ بالنسبة لي ، هذا صحيح! فقط يجب أن نتذكر أنه يمكننا فقط إدخال أعداد موجبة تحت علامة الجذر التربيعي.

جرب هذا المثال بنفسك:
هل تستطيع فعلها؟ دعنا نرى ما يجب أن تحصل عليه:

أتقنه! لقد تمكنت من إدخال رقم تحت علامة الجذر! دعنا ننتقل إلى نفس القدر من الأهمية - فكر في كيفية مقارنة الأرقام التي تحتوي على جذر تربيعي!

مقارنة الجذر

لماذا يجب أن نتعلم مقارنة الأرقام التي تحتوي على جذر تربيعي؟

بسيط جدا. في كثير من الأحيان ، في التعبيرات الكبيرة والطويلة التي نواجهها في الامتحان ، نحصل على إجابة غير منطقية (هل تتذكر ما هي؟ لقد تحدثنا بالفعل عن هذا اليوم!)

نحتاج إلى وضع الإجابات المستلمة على خط الإحداثيات ، على سبيل المثال ، لتحديد الفترة المناسبة لحل المعادلة. وهنا تبرز العقبة: لا توجد آلة حاسبة في الامتحان ، وبدونها ، كيف تتخيل أي رقم أكبر وأي رقم أصغر؟ هذا هو!

على سبيل المثال ، حدد أيهما أكبر: أو؟

لن تقول مباشرة بعد الخفافيش. حسنًا ، دعنا نستخدم خاصية التحليل لإضافة رقم تحت علامة الجذر؟

ثم إلى الأمام:

حسنًا ، من الواضح أنه كلما زاد الرقم تحت علامة الجذر ، زاد حجم الجذر نفسه!

هؤلاء. إذا كان يعني.

من هذا نستنتج ذلك بحزم ولن يقنعنا أحد بخلاف ذلك!

استخراج الجذور من الأعداد الكبيرة

قبل ذلك ، قدمنا ​​عاملاً تحت علامة الجذر ، ولكن كيف نخرجه؟ تحتاج فقط إلى تحليلها واستخراج ما يتم استخراجه!

كان من الممكن السير في الاتجاه الآخر والتحلل إلى عوامل أخرى:

ليس سيئا ، أليس كذلك؟ أي من هذه الأساليب صحيحة ، قرر كيف تشعر بالراحة.

التحليل مفيد للغاية عند حل مثل هذه المهام غير القياسية مثل هذه:

نحن لا نخاف ، نحن نتحرك! نقوم بتحليل كل عامل تحت الجذر إلى عوامل منفصلة:

والآن جربها بنفسك (بدون آلة حاسبة! لن تكون في الامتحان):

هل هذه النهاية؟ نحن لا نتوقف في منتصف الطريق!

هذا كل شيء ، ليس كل هذا مخيفًا ، أليس كذلك؟

حدث؟ أحسنت ، أنت على حق!

جرب الآن هذا المثال:

والمثال على ذلك هو جوزة صعبة الاختراق ، لذلك لا يمكنك معرفة كيفية التعامل معها على الفور. لكننا بالطبع في أسناننا.

حسنًا ، لنبدأ في التحليل ، أليس كذلك؟ نلاحظ على الفور أنه يمكنك قسمة رقم على (تذكر علامات القسمة):

والآن ، جربها بنفسك (مرة أخرى ، بدون آلة حاسبة!):

حسنًا ، هل نجحت؟ أحسنت ، أنت على حق!

تلخيص لما سبق

1. الجذر التربيعي (الجذر التربيعي الحسابي) لعدد غير سالب هو رقم غير سالب مربعه يساوي.
   .
2. إذا أخذنا الجذر التربيعي لشيء ما ، فسنحصل دائمًا على نتيجة واحدة غير سالبة.
3. خصائص الجذر الحسابي:
4. عند مقارنة الجذور التربيعية ، يجب أن نتذكر أنه كلما زاد الرقم تحت علامة الجذر ، زاد حجم الجذر نفسه.

كيف تحب الجذر التربيعي؟ واضح؟

حاولنا أن نشرح لك بدون ماء كل ما تحتاج إلى معرفته في الاختبار عن الجذر التربيعي.

إنه دورك. اكتب لنا ما إذا كان هذا الموضوع صعبًا عليك أم لا.

هل تعلمت شيئًا جديدًا أو كان كل شيء واضحًا بالفعل.

اكتب في التعليقات ونتمنى لك التوفيق في الامتحانات!

مرحبا البسيسات! آخر مرة حللنا فيها بالتفصيل الجذور (إذا كنت لا تتذكر ، فإنني أوصي بالقراءة). الاستنتاج الرئيسي لهذا الدرس: لا يوجد سوى تعريف عالمي واحد للجذور ، تحتاج إلى معرفته. الباقي هراء ومضيعة للوقت.

اليوم نذهب أبعد من ذلك. سوف نتعلم مضاعفة الجذور ، وسوف ندرس بعض المشاكل المرتبطة بالضرب (إذا لم يتم حل هذه المشاكل ، فيمكن أن تصبح قاتلة في الامتحان) وسنتدرب بشكل صحيح. لذا قم بتخزين الفشار ، واجعل نفسك مرتاحًا - وسنبدأ. :)

لم تدخن بعد ، أليس كذلك؟

اتضح أن الدرس كبير جدًا ، لذا قسمته إلى قسمين:

1. أولًا ، سنلقي نظرة على قواعد الضرب. يبدو أن الغطاء يلمح: هذا عندما يكون هناك جذران ، هناك علامة "مضاعفة" بينهما - ونريد أن نفعل شيئًا بها.
2. ثم سنقوم بتحليل الوضع العكسي: يوجد جذر كبير واحد ، وقد نفد صبرنا لتقديمه على أنه حاصل ضرب جذرين بطريقة أبسط. مع ما هو الخوف الضروري هو سؤال منفصل. سنقوم فقط بتحليل الخوارزمية.

بالنسبة لأولئك الذين لا يطيقون الانتظار للقفز مباشرة إلى الجزء 2 ، فنحن نرحب بك. لنبدأ بالباقي بالترتيب.

قاعدة الضرب الأساسية

لنبدأ بأبسط الجذور التربيعية التقليدية. تلك التي يتم الإشارة إليها بواسطة $ \ sqrt (a) $ و $ \ sqrt (b) $. بالنسبة لهم ، كل شيء واضح بشكل عام:

قاعدة الضرب. لضرب جذر تربيعي واحد في آخر ، ما عليك سوى ضرب مقاديرها الجذرية ، وكتابة النتيجة تحت الجذر المشترك:

\ [\ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (b) = \ sqrt (a \ cdot b) \]

لا توجد قيود إضافية مفروضة على الأرقام الموجودة على اليمين أو اليسار: إذا كانت جذور المضاعف موجودة ، فإن المنتج موجود أيضًا.

أمثلة. ضع في اعتبارك أربعة أمثلة بأرقام في وقت واحد:

\ [\ start (align) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10 ؛ \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8 ؛ \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18 ؛ \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27 )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3). \\ \ end (محاذاة) \]

كما ترى ، المعنى الرئيسي لهذه القاعدة هو تبسيط التعبيرات غير المنطقية. وإذا كنا في المثال الأول قد استخرجنا الجذور من 25 و 4 بدون أي قواعد جديدة ، فسيبدأ القصدير: $ \ sqrt (32) $ و $ \ sqrt (2) $ لا يحسبان بأنفسهما ، لكن حاصل ضربهم كان مربعًا دقيقًا ، لذا فإن جذره يساوي عددًا نسبيًا.

بشكل منفصل ، أود أن أشير إلى السطر الأخير. هناك ، كلا التعبيرين الجذريين عبارة عن كسور. بفضل المنتج ، يتم إلغاء العديد من العوامل ، ويتحول التعبير الكامل إلى عدد مناسب.

بالطبع ، لن يكون كل شيء دائمًا بهذا الجمال. في بعض الأحيان سيكون هناك حماقة كاملة تحت الجذور - ليس من الواضح ما يجب القيام به وكيفية التحويل بعد الضرب. بعد ذلك بقليل ، عندما تبدأ في دراسة المعادلات غير المنطقية والمتباينات ، سيكون هناك كل أنواع المتغيرات والدوال بشكل عام. وفي كثير من الأحيان ، يعتمد القائمون على تجميع المشكلات على حقيقة أنك ستجد بعض شروط أو عوامل التعاقد ، وبعد ذلك سيتم تبسيط المهمة إلى حد كبير.

بالإضافة إلى ذلك ، ليس من الضروري ضرب جذرين بالضبط. يمكنك ضرب ثلاثة في وقت واحد ، أربعة - نعم حتى عشرة! هذا لن يغير القاعدة. إلق نظرة:

\ [\ start (align) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6 ؛ \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0.001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0.001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10). \\ \ end (محاذاة) \]

ومرة أخرى ملاحظة صغيرة على المثال الثاني. كما ترى ، في المضاعف الثالث ، يوجد كسر عشري تحت الجذر - في عملية الحسابات ، نستبدلها بكسر عادي ، وبعد ذلك يتم تقليل كل شيء بسهولة. لذلك: أوصي بشدة بالتخلص من الكسور العشرية في أي تعبيرات غير منطقية (أي تحتوي على رمز جذري واحد على الأقل). سيوفر لك هذا الكثير من الوقت والأعصاب في المستقبل.

لكنه كان استطرادا غنائيا. الآن دعونا ننظر في حالة أكثر عمومية - عندما يحتوي الأس الجذر على رقم عشوائي $ n $ ، وليس فقط "الكلاسيكي" اثنين.

حالة وجود مؤشر تعسفي

لذا توصلنا إلى الجذور التربيعية. وماذا تفعل بالمكعبات؟ أو بشكل عام مع جذور الدرجة التعسفية $ n $؟ نعم ، كل شيء هو نفسه. تظل القاعدة كما هي:

لضرب جذرين من الدرجة $ n $ ، يكفي ضرب تعابيرهما الجذرية ، وبعد ذلك تكتب النتيجة تحت جذري واحد.

بشكل عام ، لا شيء معقد. ما لم يكن حجم الحسابات يمكن أن يكون أكثر. لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:

أمثلة. احسب المنتجات:

\ [\ start (align) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = 5 ؛ \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0،16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3 )))) = \ sqrt (((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (3))) = \ frac (4) (25). \\ \ end (محاذاة) \]

ومرة أخرى الانتباه إلى التعبير الثاني. نضرب الجذور التكعيبية ، ونتخلص من الكسر العشري ، ونتيجة لذلك نحصل على حاصل ضرب العددين 625 و 25 في المقام. هذا رقم كبير نوعًا ما - شخصياً ، لن أحسب على الفور ما يساوي ل.

لذلك ، اخترنا المكعب الدقيق في البسط والمقام ، ثم استخدمنا إحدى الخصائص الرئيسية (أو التعريف ، إذا كنت ترغب في ذلك) لجذر الدرجة $ n $ th:

\ [\ start (align) & \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a ؛ \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ يسار | أ \ الحق |. \\ \ end (محاذاة) \]

يمكن أن توفر لك هذه "الحيل" الكثير من الوقت في الاختبار أو الاختبار ، لذلك تذكر:

لا تتسرع في ضرب الأرقام في التعبير الجذري. أولاً ، تحقق: ماذا لو كانت الدرجة الدقيقة لأي تعبير "مشفرة" هناك؟

مع كل وضوح هذه الملاحظة ، يجب أن أعترف بأن معظم الطلاب غير المستعدين يشيرون إلى عدم فهمهم للدرجات العلمية الدقيقة. بدلاً من ذلك ، يقومون بضرب كل شيء في المستقبل ، ثم يتساءلون: لماذا حصلوا على مثل هذه الأرقام الوحشية؟ :)

ومع ذلك ، كل هذا هو لعب أطفال مقارنة بما سندرسه الآن.

ضرب الجذور بأسس مختلفة

حسنًا ، يمكننا الآن ضرب الجذور بنفس الأسس. ماذا لو كانت الدرجات مختلفة؟ لنفترض ، كيف يمكنك ضرب $ \ sqrt (2) $ العادي في بعض الفضلات مثل $ \ sqrt (23) $؟ هل من الممكن القيام بذلك؟

نعم بالطبع يمكنك ذالك. كل شيء يتم وفق هذه الصيغة:

قاعدة الضرب الجذر. لمضاعفة $ \ sqrt [n] (a) $ في $ \ sqrt [p] (b) $ ، فقط قم بإجراء التحويل التالي:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

ومع ذلك ، فإن هذه الصيغة تعمل فقط إذا التعبيرات الجذرية غير سلبية. هذه ملاحظة مهمة للغاية سنعود إليها بعد قليل.

الآن ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

\ [\ start (align) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt ((((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot8) = الجذر التربيعي (648) ، \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ الجذر التربيعي (1568) ؛ \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ مربع (5625). \\ \ end (محاذاة) \]

كما ترون ، لا شيء معقد. لنكتشف الآن من أين جاء شرط عدم السلبية ، وماذا سيحدث إذا انتهكناه. :)

لماذا يجب أن تكون التعبيرات الراديكالية غير سلبية؟

بالطبع ، يمكنك أن تصبح مثل معلمي المدارس وأن تقتبس من كتاب مدرسي بمظهر ذكي:

يرتبط شرط عدم السلبية بتعريفات مختلفة لجذور الدرجات الفردية والزوجية (على التوالي ، تختلف مجالات تعريفها أيضًا).

حسنًا ، أصبح الأمر أكثر وضوحًا؟ شخصيًا ، عندما قرأت هذا الهراء في الصف الثامن ، فهمت بنفسي شيئًا كهذا: "شرط عدم السلبية يرتبط بـ * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~٪" - باختصار ، أنا لم أفهم القرف في ذلك الوقت. :)

والآن سأشرح كل شيء بطريقة طبيعية.

أولاً ، دعنا نكتشف من أين تأتي صيغة الضرب أعلاه. للقيام بذلك ، دعني أذكرك بخاصية مهمة واحدة للجذر:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

بعبارة أخرى ، يمكننا رفع التعبير الجذر بأمان إلى أي قوة طبيعية $ k $ - في هذه الحالة ، يجب ضرب فهرس الجذر بنفس القوة. لذلك ، يمكننا بسهولة اختزال أي جذور إلى مؤشر مشترك ، وبعد ذلك نقوم بالضرب. من هنا تأتي صيغة الضرب:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

ولكن هناك مشكلة واحدة تحد بشدة من تطبيق كل هذه الصيغ. ضع في اعتبارك هذا الرقم:

وفقًا للصيغة المعطاة للتو ، يمكننا إضافة أي درجة. لنجرب إضافة $ k = 2 $:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ left (-5 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]

أزلنا الطرح على وجه التحديد لأن المربع يحرق الطرح (مثل أي درجة زوجية أخرى). والآن دعونا نجري التحويل العكسي: "اختزل" الاثنين في الأس والدرجة. بعد كل شيء ، يمكن قراءة أي مساواة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار:

\ [\ start (محاذاة) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ Rightarrow \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ](أ)؛ \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ Rightarrow \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = الجذر التربيعي (5). \\ \ end (محاذاة) \]

ولكن بعد ذلك يحدث شيء مجنون:

\ [\ الجذر التربيعي (-5) = \ الجذر التربيعي (5) \]

لا يمكن أن يكون هذا بسبب $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $ و $ \ sqrt (5) \ gt 0 $. هذا يعني أنه بالنسبة للقوى والأرقام السالبة ، لم تعد الصيغة صالحة. بعد ذلك لدينا خياران:

1. النضال ضد الجدار للقول إن الرياضيات علم غبي ، حيث "توجد بعض القواعد ، لكن هذا غير دقيق" ؛
2. أدخل قيودًا إضافية والتي بموجبها ستعمل الصيغة بنسبة 100٪.

في الخيار الأول ، سيتعين علينا أن نلاحظ باستمرار الحالات "غير العاملة" - وهذا صعب وطويل وعمومًا. لذلك ، فضل علماء الرياضيات الخيار الثاني. :)

لكن لا تقلق! في الممارسة العملية ، لا يؤثر هذا القيد على الحسابات بأي شكل من الأشكال ، لأن جميع المشكلات الموصوفة تتعلق فقط بجذور الدرجة الفردية ، ويمكن إخراج السلبيات منها.

لذلك نصوغ قاعدة أخرى تنطبق بشكل عام على جميع الأفعال ذات الجذور:

قبل ضرب الجذور ، تأكد من أن المقادير الجذرية ليست سالبة.

مثال. في الرقم $ \ sqrt (-5) $ ، يمكنك إخراج الطرح من تحت علامة الجذر - ثم كل شيء سيكون على ما يرام:

\ [\ start (align) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ Rightarrow \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (align) \]

تشعر الفرق؟ إذا تركت ناقصًا تحت الجذر ، فعندئذٍ عندما يكون التعبير الجذري تربيعًا ، سيختفي ، وستبدأ حماقة. وإذا قمت بإخراج علامة ناقص أولاً ، فيمكنك حتى رفع / إزالة مربع حتى تصبح أزرق في وجهك - سيظل الرقم سالبًا. :)

وبالتالي ، فإن الطريقة الأكثر صحة والأكثر موثوقية لمضاعفة الجذور هي كما يلي:

1. إزالة كل السلبيات من تحت الجذور. توجد النواقص فقط في جذور التعددية الفردية - يمكن وضعها أمام الجذر ، وإذا لزم الأمر ، تقليلها (على سبيل المثال ، إذا كان هناك اثنان من هذه العيوب).
2. قم بإجراء الضرب وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه في درس اليوم. إذا كانت مؤشرات الجذور متطابقة ، فاضرب ببساطة تعابير الجذر. وإذا كانت مختلفة ، فإننا نستخدم الصيغة الشريرة \ [\ sqrt [n] (أ) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \].
3. 3. نتمتع بالنتيجة والدرجات الجيدة. :)

نحن سوف؟ يجب علينا ممارسة؟

مثال 1. بسّط التعبير:

\ [\ start (align) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ left (- \ sqrt (\ frac (4) (3 )) \ يمين) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ الجذر التربيعي (64) = - 4 ؛ \ نهاية (محاذاة) \]

هذا هو أبسط خيار: مؤشرات الجذور هي نفسها وغريبة ، المشكلة فقط في المضاعف الثاني ناقص. نحن نتحمل هذا ناقصًا ، وبعد ذلك يتم النظر في كل شيء بسهولة.

مثال 2. بسّط التعبير:

\ [\ start (align) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ left (((2) ^ (5)) \ right)) ^ (3)) \ cdot ((\ left (((2) ^ (2)) \ right)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ end ( محاذاة) \]

هنا ، قد يتم الخلط بين الكثيرين من حقيقة أن الناتج تبين أنه رقم غير منطقي. نعم ، يحدث ذلك: لم نتمكن من التخلص تمامًا من الجذر ، لكننا على الأقل قمنا بتبسيط التعبير بشكل كبير.

مثال 3. بسّط التعبير:

\ [\ start (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ left (((( أ) ^ (4)) \ right)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((أ) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (align) \]

هذا ما أود أن ألفت انتباهكم إليه. هناك نقطتان هنا:

1. تحت الجذر ليس رقمًا أو درجة معينة ، ولكن المتغير $ a $. للوهلة الأولى ، هذا أمر غير معتاد بعض الشيء ، لكن في الواقع ، عند حل المشكلات الرياضية ، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع المتغيرات.
2. في النهاية ، تمكنا من "تقليل" الأس الجذر والدرجة في التعبير الراديكالي. هذا يحدث في كثير من الأحيان. وهذا يعني أنه كان من الممكن تبسيط العمليات الحسابية بشكل ملحوظ إذا لم تستخدم الصيغة الرئيسية.

على سبيل المثال ، يمكنك القيام بذلك:

\ [\ start (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ left (((a) ^ ( 4)) \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ نهاية (محاذاة) \]

في الواقع ، تم إجراء جميع التحولات فقط مع الراديكالي الثاني. وإذا لم ترسم بالتفصيل جميع الخطوات الوسيطة ، فسيقل في النهاية مقدار الحسابات بشكل كبير.

في الواقع ، لقد واجهنا بالفعل مهمة مماثلة أعلاه عند حل المثال $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $. الآن يمكن كتابتها بسهولة أكبر:

\ [\ start (align) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ يسار (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ right)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ left (75 \ right)) ^ (2))) = \ الجذر التربيعي (75). \ نهاية (محاذاة) \]

حسنًا ، لقد توصلنا إلى عملية ضرب الجذور. الآن ضع في اعتبارك العملية العكسية: ماذا تفعل عندما يكون هناك عمل تحت الجذر؟

في الرياضيات ، أي فعل له نقيضه الخاص - في جوهره ، هذا هو أحد مظاهر القانون الهيغلي للديالكتيك: "وحدة وصراع الأضداد". يهدف أحد الإجراءات في مثل هذا "الزوج" إلى زيادة الرقم ، والآخر ، عكسه ، يتناقص. على سبيل المثال ، الإجراء المقابل للجمع هو الطرح ، والقسمة تقابل الضرب. إن الارتقاء إلى قوة له نقيضه الديالكتيكي. يتعلق الأمر باستخراج الجذور.

لاستخراج جذر كذا وكذا درجة من رقم يعني حساب الرقم الذي يجب رفعه إلى القوة المقابلة من أجل الحصول على هذا الرقم. الدرجتان لهما اسمان منفصلان: الدرجة الثانية تسمى "المربع" ، والثالثة - "المكعب". وفقًا لذلك ، من الجيد تسمية جذور هذه القوى بالجذر التربيعي والجذر التكعيبي. الإجراءات ذات الجذور التكعيبية هي موضوع مناقشة منفصلة ، ولكن الآن دعنا نتحدث عن إضافة الجذور التربيعية.

لنبدأ بحقيقة أنه في بعض الحالات يكون من الأسهل استخراج الجذور التربيعية أولاً ، ثم إضافة النتائج. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد قيمة مثل هذا التعبير:

بعد كل شيء ، ليس من الصعب على الإطلاق حساب ما إذا كان الجذر التربيعي لـ 16 هو 4 ، وأن الجذر التربيعي لـ121-11.

√16+√121=4+11=15

ومع ذلك ، هذه أبسط حالة - نحن هنا نتحدث عن المربعات الكاملة ، أي حول الأعداد التي يتم الحصول عليها بتربيع الأعداد الصحيحة. لكن هذا ليس هو الحال دائما. على سبيل المثال ، الرقم 24 ليس مربعًا كاملًا (لا يمكنك العثور على عدد صحيح ، عند رفعه إلى الأس الثاني ، سينتج عنه 24). الأمر نفسه ينطبق على عدد مثل 54 ... ماذا لو احتجنا إلى جمع الجذور التربيعية لهذه الأعداد؟

في هذه الحالة ، سنحصل في الإجابة ليس رقمًا ، بل على تعبير آخر. أقصى ما يمكننا فعله هنا هو تبسيط المقدار الأصلي قدر الإمكان. للقيام بذلك ، سيكون عليك إخراج العوامل من أسفل الجذر التربيعي. لنرى كيف يتم ذلك باستخدام الأرقام المذكورة كمثال:

بادئ ذي بدء ، دعنا نحلل الرقم 24 - بحيث يمكن بسهولة اعتبار أحدهما جذرًا تربيعيًا (أي أنه مربع كامل). يوجد مثل هذا الرقم - هذا 4:

الآن لنفعل الشيء نفسه مع 54. سيكون هذا الرقم في تكوينه 9:

وهكذا نحصل على ما يلي:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

الآن دعنا نستخرج الجذور مما يمكننا استخلاصها منه: 2 * √6 + 3 * √6

يوجد عامل مشترك هنا ، يمكننا إزالته من الأقواس:

(2+3)* √6=5*√6

سيكون هذا نتيجة الإضافة - لا يمكن استخراج أي شيء آخر هنا.

صحيح ، يمكنك اللجوء إلى الآلة الحاسبة - ومع ذلك ، ستكون النتيجة تقريبية وبها عدد كبير من المنازل العشرية:

√6=2,449489742783178

بتقريبه تدريجيًا ، نحصل على 2.5 تقريبًا. إذا كنا لا نزال نرغب في الوصول بحل المثال السابق إلى نهايته المنطقية ، فيمكننا ضرب هذه النتيجة في 5 - ونحصل على 12.5. لا يمكن الحصول على نتيجة أكثر دقة بهذه البيانات الأولية.

جمع وطرح الجذور- واحدة من "العوائق" الأكثر شيوعًا لأولئك الذين يأخذون دورة في الرياضيات (الجبر) في المدرسة الثانوية. ومع ذلك ، فإن تعلم كيفية جمعها وطرحها بشكل صحيح أمر مهم للغاية ، لأن أمثلة لمجموع أو اختلاف الجذور مدرجة في برنامج امتحان الدولة الموحد الأساسي في تخصص "الرياضيات".

من أجل إتقان حل مثل هذه الأمثلة ، تحتاج إلى شيئين - لفهم القواعد ، وكذلك لاكتساب الممارسة. بعد حل واحد أو عشرين مثالًا نموذجيًا ، سيحضر الطالب هذه المهارة إلى الأتمتة ، وبعد ذلك لن يكون لديه ما يخشاه في الامتحان. يوصى بالبدء في إتقان العمليات الحسابية مع الجمع ، لأن إضافتها أسهل قليلاً من طرحها.

ما هو الجذر

أسهل طريقة لتفسير ذلك هي باستخدام مثال الجذر التربيعي. في الرياضيات ، هناك مصطلح راسخ "مربع". تعني كلمة "مربع" ضرب رقم معين بنفسه مرة واحدة.. على سبيل المثال ، إذا تربعت 2 ، فستحصل على 4. إذا كنت تربيع 7 ، فستحصل على 49. مربع 9 هو 81. إذن الجذر التربيعي لـ 4 هو 2 ، و 49 هو 7 ، و 81 يساوي 9.

كقاعدة عامة ، يبدأ تدريس هذا الموضوع في الرياضيات بالجذور التربيعية. من أجل تحديده على الفور ، يجب على طالب المدرسة الثانوية معرفة جدول الضرب عن ظهر قلب. بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون هذا الجدول جيدًا ، عليك استخدام تلميحات. عادة ، يتم إعطاء عملية استخراج الجذر التربيعي من رقم في شكل جدول على أغلفة العديد من دفاتر الرياضيات المدرسية.

الجذور من الأنواع التالية:

• ميدان؛
• مكعب (أو ما يسمى الدرجة الثالثة) ؛
• الدرجة الرابعة
• الدرجة الخامسة.

قواعد الإضافة

من أجل حل مثال نموذجي بنجاح ، يجب ألا يغيب عن البال أنه ليست كل أرقام الجذر يمكن تكديسها مع بعضها البعض. من أجل التمكن من تجميعها معًا ، يجب إحضارها إلى نمط واحد. إذا لم يكن ذلك ممكنًا ، فلن يكون هناك حل للمشكلة. غالبًا ما توجد مثل هذه المشكلات في كتب الرياضيات المدرسية كنوع من المصيدة للطلاب.

الجمع غير مسموح به في التخصيصات عندما تختلف التعبيرات الجذرية عن بعضها البعض. يمكن توضيح ذلك بمثال توضيحي:

• يواجه الطالب المهمة التالية: إضافة الجذر التربيعي للرقمين 4 و 9 ؛
• عادةً ما يكتب الطالب عديم الخبرة الذي لا يعرف القاعدة: "جذر 4 + جذر 9 \ u003d جذر 13."
• من السهل جدًا إثبات أن طريقة الحل هذه خاطئة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد الجذر التربيعي لـ 13 ومعرفة ما إذا كان المثال قد تم حله بشكل صحيح ؛
• باستخدام آلة حاسبة صغيرة ، يمكنك تحديد ما يقرب من 3.6. الآن يبقى التحقق من الحل ؛
• جذر 4 = 2 و 9 = 3 ؛
• مجموع اثنين وثلاثة يساوي خمسة. وبالتالي ، يمكن اعتبار خوارزمية الحل هذه غير صحيحة.

إذا كانت الجذور لها نفس الدرجة ، ولكن لها تعبيرات عددية مختلفة ، يتم إخراجها من الأقواس ، و مجموع تعبيرين جذريين. وبذلك يتم استخلاصه بالفعل من هذه الكمية.

خوارزمية الجمع

من أجل حل أبسط مشكلة بشكل صحيح ، من الضروري:

1. حدد بالضبط ما يتطلب إضافة.
2. اكتشف ما إذا كان من الممكن إضافة قيم لبعضها البعض ، مسترشدًا بالقواعد الموجودة في الرياضيات.
3. إذا تعذر إضافتها ، فأنت بحاجة إلى تحويلها بطريقة يمكن إضافتها.
4. بعد إجراء جميع التحولات اللازمة ، من الضروري إجراء الإضافة وكتابة الإجابة النهائية. يمكن إجراء الإضافة ذهنيًا أو باستخدام آلة حاسبة ، اعتمادًا على مدى تعقيد المثال.

ما هي الجذور المتشابهة

لحل مثال إضافة بشكل صحيح ، من الضروري أولاً وقبل كل شيء التفكير في كيفية تبسيطه. للقيام بذلك ، يجب أن يكون لديك معرفة أساسية عن التشابه.

تساعد القدرة على تحديد أمثلة مماثلة على حل نفس النوع من أمثلة الإضافة بسرعة ، وإحضارها في شكل مبسط. لتبسيط مثال إضافة نموذجي ، تحتاج إلى:

1. ابحث عن مجموعات متشابهة وخصصها لمجموعة واحدة (أو عدة مجموعات).
2. أعد كتابة المثال الحالي بحيث تتبع الجذور التي لها نفس المؤشر بعضها البعض بوضوح (وهذا ما يسمى "التجميع").
3. بعد ذلك ، يجب أن تكتب التعبير مرة أخرى ، هذه المرة بطريقة تتبع فيها التعبيرات المتشابهة (التي لها نفس المؤشر ونفس الشكل الجذر) بعضها البعض.

بعد ذلك ، عادة ما يكون من السهل حل المثال المبسط.

من أجل حل أي مثال إضافة بشكل صحيح ، تحتاج إلى فهم القواعد الأساسية للإضافة بوضوح ، وكذلك معرفة ماهية الجذر وكيف يحدث.

تبدو مثل هذه المهام أحيانًا معقدة للغاية للوهلة الأولى ، ولكن عادةً ما يتم حلها بسهولة عن طريق تجميع المهام المتشابهة. أهم شيء هو التدريب ، وبعد ذلك سيبدأ الطالب في "النقر فوق مهام مثل المكسرات". تعد إضافة الجذر من أهم فروع الرياضيات ، لذلك يجب على المدرسين تخصيص وقت كافٍ لدراستها.

فيديو

سيساعدك هذا الفيديو في فهم المعادلات ذات الجذور التربيعية.