إضافة ناقلات موجهة بشكل معاكس. الدرس "تأخير المتجه من نقطة معينة." أي المتجهات متساوية

قبل الانتقال إلى موضوع المقال، دعونا نتذكر المفاهيم الأساسية.

التعريف 1

المتجه- قطعة مستقيمة تتميز بقيمة عددية واتجاه. تتم الإشارة إلى المتجه بحرف لاتيني صغير مع وجود سهم في الأعلى. إذا كانت هناك نقاط حدود محددة، فإن تسمية المتجه تبدو وكأنها حرفين لاتينيين كبيرين (يشيران إلى حدود المتجه) مع وجود سهم في الأعلى أيضًا.

التعريف 2

ناقل صفر- أي نقطة على المستوى، محددة بالصفر مع وجود سهم في الأعلى.

التعريف 3

طول المتجهات- قيمة تساوي أو أكبر من الصفر تحدد طول القطعة التي يتكون منها المتجه.

التعريف 4

المتجهات الخطية- الاستلقاء على خط واحد أو على خطوط متوازية. تسمى المتجهات التي لا تستوفي هذا الشرط غير خطية.

الإدخال: المتجهات أ →و ب →. لإجراء عملية إضافة عليها، من الضروري رسم متجه من نقطة تعسفية أ ب →، يساوي المتجه أ →; من النقطة الناتجة غير محددة – المتجه ب ج →، يساوي المتجه ب →. من خلال ربط النقاط غير المحددة و C، نحصل على قطعة (متجه) أ ج →، والذي سيكون مجموع البيانات الأصلية. خلاف ذلك، يتم استدعاء مخطط إضافة المتجهات الموصوفة حكم المثلث .

هندسيًا، تبدو إضافة المتجهات كما يلي:

بالنسبة للمتجهات غير الخطية:

بالنسبة للمتجهات الخطية (مشتركة الاتجاه أو المعاكسة):

باستخدام المخطط الموضح أعلاه كأساس، نحصل على الفرصة لإجراء عملية إضافة ناقلات بمبلغ أكبر من 2: إضافة كل متجه لاحق بدوره.

التعريف 6

الإدخال: المتجهات أ → , ب → , ج →د → . من النقطة التعسفية A على المستوى، من الضروري رسم قطعة (متجه) مساوية للمتجه أ →; ثم من نهاية المتجه الناتج يتم تسريح متجه يساوي المتجه ب →; ومن ثم، يتم وضع المتجهات اللاحقة باستخدام نفس المبدأ. ستكون نقطة نهاية المتجه المؤجل الأخير هي النقطة B، والقطعة الناتجة (المتجه) أ ب →- مجموع كافة البيانات الأولية. يُطلق على المخطط الموصوف لإضافة عدة نواقل أيضًا اسم قاعدة المضلع .

هندسيا يبدو مثل هذا:

التعريف 7

مخطط عمل منفصل ل طرح المتجهاتلا ل في الأساس اختلاف المتجهات أ →و ب →هو مجموع المتجهات أ →و - ب → .

لتنفيذ عملية ضرب متجه بعدد معين k، يجب مراعاة القواعد التالية:
- إذا كان k > 1، فإن هذا الرقم سيؤدي إلى تمديد المتجه k مرات؛
- إذا 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 ألف مرة؛
- إذا ك< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- إذا كان k = 1، يبقى المتجه كما هو؛
- إذا كان أحد العوامل متجهًا صفرًا أو عددًا يساوي صفرًا، فإن نتيجة الضرب ستكون متجهًا صفرًا.

البيانات الأولية:
1) ناقلات أ →والرقم ك = 2؛
2) ناقلات ب →والعدد ك = - 1 3 .

هندسياً، ستكون نتيجة الضرب وفقاً للقواعد المذكورة أعلاه كما يلي:

العمليات على المتجهات الموصوفة أعلاه لها خصائص، بعضها واضح، والبعض الآخر يمكن تبريره هندسيًا.

الإدخال: المتجهات أ → , ب → , ج →وتعسفية أرقام حقيقيةμ و μ.

تتيح خصائص التبادلية والترابطية إضافة المتجهات بأي ترتيب.

تتيح لك خصائص العمليات المدرجة إجراء التحويلات اللازمة للتعبيرات الرقمية المتجهة بطريقة مشابهة لتلك الرقمية المعتادة. دعونا ننظر إلى هذا مع مثال.

مثال 1

مهمة:بسّط التعبير a → - 2 · (b → + 3 · a →)
حل
- باستخدام خاصية التوزيع الثانية نحصل على: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- نستخدم الخاصية الترابطية للضرب، وسيكون التعبير بالشكل التالي: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = أ → - 2 · ب → - 6 أ →
- باستخدام خاصية التبادلية، نقوم بتبديل الحدود: أ → - 2 · ب → - 6 · أ → = أ → - 6 · أ → - 2 · ب →
- ثم باستخدام خاصية التوزيع الأولى نحصل على: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → تدوين قصير سيبدو الحل كما يلي: أ → - 2 · (ب → + 3 · أ →) = أ → - 2 · ب → - 2 · 3 · أ → = 5 · أ → - 2 · ب →
إجابة:أ → - 2 · (ب → + 3 · أ →) = - 5 · أ → - 2 · ب →

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

بعض الكميات الفيزيائية، على سبيل المثال، القوة أو السرعة، تتميز ليس فقط بالقيمة العددية، ولكن أيضًا بالاتجاه. تسمى هذه الكميات بالكميات المتجهة: F⃗ - القوة، الخامس⃗ - السرعة.
دعونا نعطي تعريفًا هندسيًا للمتجه.
المتجه يُطلق عليه الجزء الذي يُشار إليه من خلال نقاط حدوده التي تعتبر البداية وأيها النهاية.
في الرسومات، يتم تصوير المتجه كقطعة بها سهم يشير إلى نهاية المتجه. يُشار إلى المتجه بحرفين لاتينيين كبيرين مع وجود سهم فوقهما. الحرف الأول يشير إلى بداية المتجه، والثاني إلى النهاية.

يمكن أيضًا الإشارة إلى المتجه بحرف لاتيني صغير مع وجود سهم فوقه.

طول المتجه هو طول القطعة التي تمثل هذا المتجه. يتم استخدام الأقواس الرأسية للإشارة إلى طول المتجه.
يسمى المتجه الذي تتطابق نهايته مع البداية صفر المتجه. يتم تمثيل المتجه الصفري بنقطة ويشار إليه بحرفين متطابقين أو صفر مع وجود سهم فوقه. طول المتجه الصفري هو صفر: |0 ⃗|= 0.

دعونا نقدم هذا المفهوم على استطراد ثلاثة أبعاد. تسمى المتجهات غير الصفرية خطية متداخلة إذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. يعتبر المتجه الصفري على خط واحد مع أي متجه.

إذا كانت المتجهات الخطية غير الصفرية لها نفس الاتجاه، فستكون هذه المتجهات متكافئة الاتجاه. وإذا كانت اتجاهاتهما متضادة، فيطلق عليهما اتجاهان معاكسان.
للدلالة على المتجهات ذات الاتجاه المشترك والموجهة بشكل معاكس، هناك رموز خاصة:
- م ⃗ ر⃗ إذا كانت ناقلات م⃗ و ر⃗ إخراج مشترك؛
- م ⃗ ↓ ن⃗ إذا كانت ناقلات م⃗ و ن⃗ الاتجاه المعاكس.
النظر في حركة السيارة. وسرعة كل نقطة من نقاطها هي كمية متجهة ويتم تمثيلها بقطعة موجهة. وبما أن جميع نقاط السيارة تتحرك بنفس السرعة، فإن جميع القطاعات الموجهة التي تمثل سرعات النقاط المختلفة لها نفس الاتجاه وأطوالها متساوية. يعطينا هذا المثال تلميحًا حول كيفية تحديد ما إذا كانت المتجهات متساوية.
يقال أن المتجهين متساويان إذا كانا متساويين في الاتجاه وأطوالهما متساوية. يمكن كتابة مساواة المتجهات باستخدام علامة التساوي: أ ⃗ = ب ⃗, خ ⃗ = عمر الفاروق. ⃗
إذا كانت النقطة ربداية المتجه ر⃗، ثم نعتبر أن المتجه ر⃗ تأخر عن النقطة ر.

دعونا نثبت ذلك من أي نقطة عنيمكنك رسم متجه يساوي متجهًا معينًا ر⃗، وواحد فقط في ذلك.

دليل:
1) إذا ر⃗ هو المتجه الصفري إذن س ⃗ = ر ⃗.
2) إذا كان الناقل ر⃗ غير الصفر، نقطة رهي بداية هذا المتجه، والنقطة ت- نهاية.
دعونا نذهب من خلال هذه النقطة عنمستقيم، متوازي ر.ت. على الخط الذي تم إنشاؤه نقوم برسم القطاعات الزراعة العضوية 1 و الزراعة العضوية 2 يساوي الجزء ر.ت.

دعونا نختار من المتجهات الزراعة العضوية 1 و الزراعة العضوية 2 المتجه، وهو متماثل الاتجاه مع المتجه ر⃗. في رسمنا هذا هو المتجه الزراعة العضوية 1 . هذا المتجه سيكون مساوياً للمتجه ر⃗. ويترتب على البناء أن هناك ناقلًا واحدًا فقط من هذا القبيل.

يمكن اعتبار المتجه \(\overrightarrow(AB)\) بمثابة حركة نقطة من الموضع \(A\) (بداية الحركة) إلى الموضع \(B\) (نهاية الحركة). أي أن مسار الحركة في هذه الحالة ليس مهما، فقط البداية والنهاية مهمان!

\(\blacktriangleright\) يكون المتجهان على خط واحد إذا كانا يقعان على نفس الخط أو على خطين متوازيين.
في خلاف ذلكتسمى المتجهات غير خطية.

\(\blacktriangleright\) يطلق على متجهين على خط واحد اسم متجهان مشتركان إذا تطابقت اتجاهاتهما.
إذا كانت اتجاهاتهم متضادة، فيطلق عليهم اتجاه معاكس.

قواعد إضافة المتجهات الخطية:

شارك في الإخراج نهايةأولاً. ثم يكون مجموعهم متجهًا، بدايته تتزامن مع بداية المتجه الأول، ونهايته مع نهاية المتجه الثاني (الشكل 1).

\(\blacktriangleright\) لإضافة اثنين موجهة بشكل معاكسالمتجه، يمكننا تأجيل المتجه الثاني من بدأتأولاً. ثم يكون مجموعهم متجهًا، تتزامن بدايته مع بداية كلا المتجهين، والطول يساوي الفرق في أطوال المتجهات، ويتزامن الاتجاه مع اتجاه المتجه الأطول (الشكل 2).

قواعد إضافة المتجهات غير الخطية \(\overrightarrow (a)\) و \(\overrightarrow(b)\) :

\(\blacktriangleright\) قاعدة المثلث (الشكل 3).

من الضروري وضع المتجه \(\overrightarrow (b)\) جانبًا من نهاية المتجه \(\overrightarrow (a)\). إذن المجموع هو متجه، بدايته تتزامن مع بداية المتجه \(\overrightarrow (a)\) ، والنهاية مع نهاية المتجه \(\overrightarrow (b)\) .

\(\blacktriangleright\) قاعدة متوازي الأضلاع (الشكل 4).

من الضروري وضع المتجه \(\overrightarrow (b)\) جانبًا من بداية المتجه \(\overrightarrow (a)\). ثم المبلغ \(\overrightarrow (a)+\overrightarrow (b)\)- متجه يتطابق مع قطر متوازي الأضلاع المبني على المتجهين \(\overrightarrow (a)\) و\(\overrightarrow (b)\) (تتزامن بدايته مع بداية كلا المتجهين).

\(\blacktriangleright\) لإيجاد الفرق بين متجهين \(\overrightarrow (a)-\overrightarrow(b)\)، فأنت بحاجة إلى العثور على مجموع المتجهين \(\overrightarrow (a)\) و \(-\overrightarrow(b)\) : \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(الشكل 5).

المهمة 1 #2638

مستوى المهمة: أصعب من امتحان الدولة الموحدة

إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية \(ABC\) بزاوية قائمة \(A\)، فإن النقطة \(O\) هي مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث. إحداثيات المتجهات \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). أوجد مجموع إحداثيات المتجه \(\overrightarrow(OC)\) .

لأن إذا كان المثلث \(ABC\) مستطيلاً، فإن مركز الدائرة المحصورة يقع في منتصف الوتر، أي. \(O\) هو منتصف \(BC\) .

لاحظ أن \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\)، لذلك، \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

لأن \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\)، الذي - التي \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

هذا يعني أن مجموع إحداثيات المتجه \(\overrightarrow(OC)\) يساوي \(-1+0=-1\) .

الجواب: -1

المهمة 2 #674

مستوى المهمة: أصعب من امتحان الدولة الموحدة

\(\overrightarrow\) - شكل رباعي على جوانبه المتجهات \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow( دا) \) . أوجد طول المتجه \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\)، ثم
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
طول المتجه الفارغ يساوي \(0\) .

يمكن إذن اعتبار المتجه بمثابة إزاحة \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)- الانتقال من \(A\) إلى \(B\) ثم من \(B\) إلى \(C\) - في النهاية هذا هو الانتقال من \(A\) إلى \(C\) .

وبهذا التفسير يتبين أن \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\)، لأننا في النهاية انتقلنا هنا من النقطة \(A\) إلى النقطة \(A\)، أي أن طول هذه الحركة هو \(0\)، مما يعني أن متجه هذه الحركة نفسها هو \ (\vec(0)\) .

الجواب: 0

المهمة 3 #1805

مستوى المهمة: أصعب من امتحان الدولة الموحدة

نظرا لمتوازي الأضلاع \(ABCD\) . يتقاطع القطران \(AC\) و \(BD\) عند النقطة \(O\) . دعونا، إذن \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Rightarrow\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = - 1\) .

الجواب: -1

المهمة 4 #1806

مستوى المهمة: أصعب من امتحان الدولة الموحدة

نظرا لمتوازي الأضلاع \(ABCD\) . تقع النقطتان \(K\) و \(L\) على الجانبين \(BC\) و \(CD\)، على التوالي، و \(BK:KC = 3:1\) و \(L\) هي منتصف \ (CD\) . يترك \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)، ثم \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)، حيث \(x\) و \(y\) عبارة عن بعض الأرقام. أوجد الرقم الذي يساوي \(x + y\) .

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (أ)\]\(\Rightarrow\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0 ،25\) .

الجواب: -0.25

المهمة 5 #1807

مستوى المهمة: أصعب من امتحان الدولة الموحدة

نظرا لمتوازي الأضلاع \(ABCD\) . تقع النقطتان \(M\) و\(N\) على الجانبين \(AD\) و\(BC\)، على التوالي، مع \(AM:MD = 2:3\) و\(BN:NC = 3: 1\) . يترك \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)، ثم \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3) )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2) )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0.35\) .

الجواب: 0.35

المهمة 6 #1808

مستوى المهمة: أصعب من امتحان الدولة الموحدة

نظرا لمتوازي الأضلاع \(ABCD\) . تقع النقطة \(P\) على القطر \(BD\)، وتقع النقطة \(Q\) على الجانب \(CD\)، و \(BP:PD = 4:1\)، و \( CQ:QD = 1:9\) . يترك \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)، ثم \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)، حيث \(x\) و \(y\) عبارة عن بعض الأرقام. ابحث عن الرقم الذي يساوي \(x\cdot y\) .

\[\begin(gathered) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(مجمع)\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0, 14\) . و\(ABCO\) - متوازي الأضلاع؛ \(AF \parallel BE\) و \(ABOF\) – متوازي الأضلاع \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\) .

الجواب: 2

طلاب المدارس الثانوية الذين يستعدون لإجراء امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات وفي نفس الوقت يعتمدون على الحصول على درجات جيدة، يجب عليهم بالتأكيد تكرار موضوع "قواعد إضافة وطرح العديد من المتجهات". وكما يتبين من سنوات عديدة من الممارسة، يتم تضمين هذه المهام في اختبار الشهادة كل عام. إذا واجه الخريج صعوبات في مسائل من قسم "الهندسة المستوية"، على سبيل المثال، والتي من الضروري فيها تطبيق قواعد جمع وطرح المتجهات، فيجب عليه بالتأكيد تكرار المادة أو إعادة فهمها من أجل اجتياز المادة بنجاح. امتحان الدولة الموحدة.

يقدم مشروع شكولكوفو التعليمي نهجا جديدا للتحضير لاختبار الشهادة. تم تصميم مواردنا بطريقة تمكن الطلاب من تحديد الأقسام الأكثر صعوبة لأنفسهم وسد الفجوات في المعرفة. قام متخصصو شكولكوفو بإعداد وتنظيم كل شيء المواد المطلوبةللتحضير لاجتياز اختبار الشهادة.

للتأكد من أن مهام الاستخدام التي تحتاج فيها إلى تطبيق قواعد إضافة وطرح ناقلين لا تسبب صعوبات، نوصيك أولاً بتحديث ذاكرتك مفاهيم أساسية. سيتمكن الطلاب من العثور على هذه المادة في قسم "المعلومات النظرية".

إذا كنت تتذكر بالفعل قاعدة طرح المتجهات والتعريفات الأساسية حول هذا الموضوع، نقترح عليك تعزيز معرفتك من خلال إكمال التمارين المناسبة، والتي تم اختيارها من قبل الخبراء البوابة التعليمية"شكولكوفو". لكل مشكلة، يقدم الموقع خوارزمية حل ويعطي الإجابة الصحيحة. يقدم موضوع "قواعد إضافة المتجهات" تمارين متنوعة؛ بعد إكمال مهمتين أو ثلاث مهام سهلة نسبيًا، يمكن للطلاب الانتقال تباعًا إلى مهام أكثر تعقيدًا.

يتمتع تلاميذ المدارس بفرصة صقل مهاراتهم في مثل هذه المهام، على سبيل المثال، عبر الإنترنت، أثناء وجودهم في موسكو أو أي مدينة أخرى في روسيا. إذا لزم الأمر، يمكن حفظ المهمة في قسم "المفضلة". بفضل هذا، يمكنك العثور بسرعة على أمثلة مثيرة للاهتمام ومناقشة الخوارزميات للعثور على الإجابة الصحيحة مع معلمك.

المعرفة والمهارات المكتسبة في هذا الدرس ستكون مفيدة للطلاب ليس فقط في دروس الهندسة، ولكن أيضًا في فصول العلوم الأخرى. خلال الدرس، سوف يتعلم الطلاب رسم متجه من نقطة معينة. يمكن أن يكون هذا درسًا عاديًا في الهندسة، أو فصل رياضيات خارج المنهج أو اختياريًا. سيساعد هذا التطور المعلم على توفير وقته في التحضير للدرس حول موضوع "تأخير متجه من نقطة معينة". سيكون كافياً بالنسبة له أن يقوم بتشغيل درس الفيديو في الفصل، ثم تعزيز المادة باختياره الخاص للتمارين.

مدة الدرس 1:44 دقيقة فقط. لكن هذا يكفي لتعليم تلاميذ المدارس كيفية رسم متجه من نقطة معينة.

يبدأ الدرس بعرض توضيحي للمتجه، والذي تكون بدايته عند نقطة معينة. ويقولون أن الناقل مؤجل منه. ثم يقترح المؤلف أن يثبت معه العبارة التي بموجبها يمكن من أي نقطة رسم متجه مساوٍ للمتجه المحدد، علاوة على ذلك، فريد من نوعه. أثناء الإثبات، يدرس المؤلف كل حالة بالتفصيل. أولاً، يأخذ الوضع عندما يكون المتجه المعطى صفرًا، وثانيًا، عندما يكون المتجه غير صفر. أثناء الإثبات، يتم استخدام الرسوم التوضيحية في شكل رسومات وإنشاءات، وتدوين رياضي، والتي تشكل محو الأمية الرياضية لدى تلاميذ المدارس. يتحدث المؤلف ببطء، مما يسمح للطلاب بتدوين الملاحظات بالتوازي أثناء التعليق. يوضح البناء الذي نفذه المؤلف أثناء إثبات العبارة التي تمت صياغتها مسبقًا كيف يمكن بناء متجه مساوٍ للمتجه المحدد من نقطة معينة.

إذا شاهد الطلاب الدرس بعناية وقاموا بتدوين الملاحظات في نفس الوقت، فسوف يتعلمون المادة بسهولة. علاوة على ذلك، يروي المؤلف بالتفصيل، بشكل محسوب وكامل تمامًا. إذا لم تسمع شيئًا ما لسبب ما، يمكنك العودة ومشاهدة الدرس مرة أخرى.

بعد مشاهدة درس الفيديو، يُنصح بالبدء في دمج المادة. يوصى المعلم باختيار المهام حول هذا الموضوع من أجل ممارسة مهارة رسم متجه من نقطة معينة.

يمكن استخدام هذا الدرس ل دراسة ذاتيةالمواضيع من قبل تلاميذ المدارس. ولكن لتعزيزها، تحتاج إلى الاتصال بالمعلم حتى يتمكن من اختيار المهام المناسبة. بعد كل شيء، دون توحيد المواد، من الصعب تحقيق نتيجة إيجابية في التعلم.

المتجه – هذه قطعة مستقيمة موجهة، أي قطعة لها طول معين واتجاه معين. دع هذه النقطة أهي بداية المتجه، والنقطة ب – نهايته، ثم يُشار إلى المتجه بالرمزأو . يسمى المتجه عكس المتجه ويمكن تعيينها .

دعونا صياغة عدد من التعريفات الأساسية.

طولأو وحدة المتجهيسمى طول القطعة ويشار إليها. يسمى المتجه ذو الطول الصفري (جوهره نقطة). صفر وليس له اتجاه. المتجه طول الوحدة يسمىأعزب . متجه الوحدة الذي يتطابق اتجاهه مع اتجاه المتجه ، مُسَمًّى أورث المتجه .

تسمى المتجهات على استطراد ، إذا كانا يقعان على نفس الخط أو على خطين متوازيين، فاكتبهما. يمكن أن يكون للمتجهات الخطية اتجاهات متزامنة أو متعاكسة. يعتبر المتجه الصفري على خط واحد مع أي متجه.

ويقال أن المتجهات متساوية، إذا كانا على خط مستقيم، لهما نفس الاتجاه ولهما نفس الطول.

يتم استدعاء ثلاثة ناقلات في الفضاء متحد المستوى إذا كانا يقعان في نفس المستوى أو على مستويين متوازيين. إذا كان من بين ثلاثة متجهات واحد على الأقل يساوي صفرًا أو اثنان على خط مستقيم، فإن هذه المتجهات تكون متحدة المستوى.

النظر في الفضاء نظام الإحداثيات مستطيلة 0 xyz. دعونا نختار 0 على محاور الإحداثيات س, 0ذ, 0ضناقلات الوحدة (أو المتجهات) والإشارة إليها بواسطةعلى التوالى. دعونا نختار متجهًا عشوائيًا للفضاء ونقوم بمحاذاة أصله مع أصل الإحداثيات. لنقم بإسقاط المتجه على محاور الإحداثيات ونشير إلى الإسقاطات بواسطة فأس, ذ, أ ضعلى التوالى. ثم من السهل إظهار ذلك

. (2.25)

هذه الصيغة أساسية في حساب التفاضل والتكامل المتجه وتسمى توسيع المتجه في ناقلات الوحدة لمحاور الإحداثيات . أعداد فأس, ذ, أ ضوتسمى إحداثيات المتجهات . وبالتالي، فإن إحداثيات المتجه هي إسقاطاته على محاور الإحداثيات. غالبًا ما يتم كتابة المساواة المتجهة (2.25) في النموذج

سوف نستخدم تدوين المتجهات بين الأقواس المتعرجة لتسهيل التمييز بصريًا بين إحداثيات المتجهات وإحداثيات النقاط. باستخدام صيغة طول القطعة، المعروفة من الهندسة المدرسية، يمكنك العثور على تعبير لحساب معامل المتجه:

, (2.26)

أي أن معامل المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته.

دعونا نشير إلى الزوايا بين المتجه ومحاور الإحداثيات α, β, γ على التوالى. جيب التمام تسمى هذه الزوايا بالمتجه خطوط إرشاد ، وبالنسبة لهم العلاقة التالية:يمكن إثبات صحة هذه المساواة باستخدام خاصية إسقاط المتجه على المحور، والتي سيتم مناقشتها في الفقرة 4 أدناه.

دعونا نعطي المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعادمع الإحداثيات الخاصة بك. يتم إجراء العمليات التالية عليها: خطي (الجمع والطرح والضرب بعدد وإسقاط المتجه على محور أو متجه آخر)؛ غير خطية – منتجات مختلفة من المتجهات (العددية، المتجهة، المختلطة).

1. إضافة يتم إنتاج متجهين بالتنسيق، أي إذا

تنطبق هذه الصيغة على عدد محدود من المصطلحات.

هندسياً، يتم إضافة متجهين وفقاً لقاعدتين:

أ) قاعدة مثلث - المتجه الناتج لمجموع متجهين يربط بداية أولهما بنهاية الثاني، على أن تتطابق بداية الثاني مع نهاية المتجه الأول؛ بالنسبة لمجموع المتجهات – المتجه الناتج للمجموع يربط بداية أولهم بنهاية الحد المتجه الأخير، بشرط أن تتزامن بداية الحد اللاحق مع نهاية الحد السابق؛

ب) قاعدة متوازي الاضلاع (لمتجهين) - يتم إنشاء متوازي الأضلاع على أوامر المتجهات كما هو الحال على الجوانب المختزلة إلى نفس الأصل؛ قطر متوازي الأضلاع بدءًا من أصلهما المشترك هو مجموع المتجهات.

2. الطرح يتم تنفيذ متجهين بالتنسيق، على غرار الجمع، أي إذا، الذي - التي

هندسياً، يتم إضافة متجهين وفقاً لقاعدة متوازي الأضلاع التي سبق ذكرها، مع مراعاة أن الفرق بين المتجهات هو القطر الذي يصل طرفي المتجهات، ويكون المتجه الناتج موجهاً من نهاية المطروح إلى نهاية المستقيم. تذكير.

إحدى النتائج المهمة لطرح المتجهات هي حقيقة أنه إذا كانت إحداثيات بداية ونهاية المتجه معروفة، فإن لحساب إحداثيات المتجه، من الضروري طرح إحداثيات بدايته من إحداثيات نهايته . في الواقع، أي ناقلات الفضاءيمكن تمثيله على أنه الفرق بين ناقلين ينبعثان من الأصل:. إحداثيات المتجهاتو تتوافق مع إحداثيات النقاطأو في، منذ الأصلعن(0;0;0). وبالتالي، وفقًا لقاعدة طرح المتجهات، يجب عليك طرح إحداثيات النقطةأمن إحداثيات النقطةفي.

3. ش ضرب المتجه برقم lect التنسيق حسب التنسيق:.

في λ> 0 – ناقلاتشارك في الإخراج ; λ< 0 – ناقلات الاتجاه المعاكس ; | λ|> 1 – طول المتجه يزيد في λ مرة واحدة؛| λ|< 1 – يتناقص طول المتجه بمقدار λ مرة واحدة.

4. دع خطًا مستقيمًا موجهًا (المحور ل), المتجهمحددة بإحداثيات النهاية والبداية. دعونا نشير إلى توقعات النقاط أو ب لكل محور لوفقا لذلك من خلال أ’ و ب’ .

تنبؤ المتجه لكل محور ليسمى طول المتجه، مأخوذة بعلامة "+"، إذا كان المتجهوالمحور لتوجيه مشترك، ومع علامة "-" إذاو لاتجاهين متعاكسين.

إذا كمحور لاتخاذ بعض ناقلات أخرى، ثم نحصل على إسقاط المتجهعلى ناقل ص.

دعونا نلقي نظرة على بعض الخصائص الأساسية للتوقعات:

1) الإسقاط المتجهلكل محور ليساوي منتج معامل المتجهبواسطة جيب تمام الزاوية بين المتجه والمحور، أي;

2.) يكون إسقاط المتجه على المحور موجباً (سلبياً) إذا كان المتجه يشكل زاوية حادة (منفرجة) مع المحور، ويساوي الصفر إذا كانت هذه الزاوية قائمة؛

3) إسقاط مجموع عدة نواقل على نفس المحور يساوي مجموع الإسقاطات على هذا المحور.

دعونا نقوم بصياغة تعريفات ونظريات حول منتجات المتجهات التي تمثل العمليات غير الخطية على المتجهات.

5. المنتج نقطة ناقلات وهو رقم (عددي) يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاويةφ بينهما، أي

. (2.27)

من الواضح أن المربع العددي لأي متجه غير الصفر يساوي مربع طوله، حيث أن الزاوية في هذه الحالة ، لذا فإن جيب تمامها (في 2.27) هو 1.

نظرية 2.2.ضروري و شرط كافالمتعامدة بين متجهين هي تساوي منتجهما القياسي مع الصفر

عاقبة.المنتجات العددية الزوجية لمتجهات الوحدة تساوي الصفر، أي

نظرية 2.3.المنتج النقطي لمتجهين، المعطاة بإحداثياتها، تساوي مجموع منتجات إحداثياتها التي تحمل الاسم نفسه، أي

(2.28)

باستخدام المنتج العددي للمتجهات، يمكنك حساب الزاويةبينهم. إذا تم إعطاء متجهين غير الصفر مع إحداثياتهما، ثم جيب تمام الزاويةφ بينهم:

(2.29)

وهذا يعني حالة عمودية المتجهات غير الصفريةو :

(2.30)

العثور على إسقاط المتجهإلى الاتجاه الذي يحدده المتجه ، يمكن تنفيذها وفقا للصيغة

(2.31)

باستخدام حاصل الضرب القياسي للمتجهات، يتم إيجاد الشغل الذي تبذله قوة ثابتةعلى جزء مستقيم من المسار.

لنفترض أنه تحت تأثير قوة ثابتة تتحرك نقطة مادية بشكل مستقيم من موضعها أإلى موقع ب.ناقل القوة يشكل زاوية φ مع ناقلات النزوح (الشكل 2.14). الفيزياء تقول أن عمل القوة عند التحركيساوي .

مثال 2.9.باستخدام حاصل الضرب القياسي للمتجهات، أوجد زاوية الرأسأمتوازي الاضلاعا ب ت ث, مبني على أساس المتجهات

حل.دعونا نحسب معاملات المتجهات ومنتجها القياسي باستخدام النظرية (2.3):

من هنا، وفقا للصيغة (2.29)، نحصل على جيب تمام الزاوية المطلوبة

مثال 2.10.تكاليف المواد الخام والموارد المادية المستخدمة لإنتاج طن واحد من الجبن المنزلية مبينة في الجدول 2.2 (فرك).

الجدول 2.2

ثم .إجمالي سعر الموارد، وهو المنتج العددي للمتجهات. دعونا نحسبها باستخدام الصيغة (2.28) وفقًا للنظرية 2.3: