Trigonometrisk Fourier-serie. trigonometrisk serie. Fourier-serier. Tillämpning av Finita Difference Method

I ett antal fall, genom att undersöka koefficienterna för serier av formen (C) eller kan det fastställas att dessa serier konvergerar (kanske med undantag för enskilda punkter) och är Fourierserier för sina summor (se t.ex. föregående nr. ), men i alla dessa fall uppstår naturligtvis frågan

hur man hittar summan av dessa serier eller, mer exakt, hur man uttrycker dem i den slutliga formen i termer av elementära funktioner, om de överhuvudtaget uttrycks i en sådan form. Till och med Euler (och även Lagrange) använde framgångsrikt analytiska funktioner för en komplex variabel för att summera trigonometriska serier i en slutlig form. Tanken bakom Eulermetoden är följande.

Låt oss anta att, för en viss uppsättning koefficienter, serien (C) och konvergerar till funktioner överallt i intervallet, exklusive endast enskilda punkter. Betrakta nu en potensserie med samma koefficienter, ordnade i potenser av en komplex variabel

På omkretsen av enhetscirkeln, dvs vid , konvergerar denna serie genom antagande, exklusive enskilda punkter:

I det här fallet, enligt den välkända egenskapen hos potensserier, konvergerar serie (5) säkert vid dvs. inuti enhetscirkeln och definierar där en viss funktion av en komplex variabel. Använder kända för oss [se. § 5 i kapitel XII] om expansionen av elementära funktioner av en komplex variabel, är det ofta möjligt att reducera funktionen till dem. Då har vi:

och genom Abelsatsen, så snart serien (6) konvergerar, erhålls dess summa som en gräns

Vanligtvis är denna gräns helt enkelt lika med vilket gör att vi kan beräkna funktionen i den slutliga formen

Låt till exempel serien

De påståenden som bevisades i föregående stycke leder till slutsatsen att båda dessa serier konvergerar (den första, exklusive punkterna 0 och

fungera som Fourier-serier för de funktioner de definierar.Men vad är dessa funktioner? För att svara på denna fråga gör vi en serie

Genom likhet med den logaritmiska serien är dess summa lätt att fastställa:

Följaktligen,

Nu ger en enkel uträkning:

så modulen för detta uttryck är , och argumentet är .

och därmed äntligen

Dessa resultat är bekanta för oss och erhölls till och med en gång med hjälp av "komplexa" överväganden; men i det första fallet utgick vi från funktionerna och , och i det andra - från den analytiska funktionen. Här fungerade för första gången själva serierna som utgångspunkt. Läsaren hittar ytterligare exempel av detta slag i nästa avsnitt.

Vi betonar än en gång att man måste vara säker i förväg om konvergensen och raderna (C) och för att ha rätt att bestämma deras summor med hjälp av den begränsande jämlikheten (7). Blotta existensen av en gräns på den högra sidan av denna jämlikhet tillåter oss ännu inte att dra slutsatsen att de nämnda serierna konvergerar. För att visa detta med ett exempel, överväg serien

Standardmetoder, men nådde en återvändsgränd med ett annat exempel.

Vad är svårigheten och var kan det finnas en hake? Låt oss lägga det tvåliga repet åt sidan, analysera lugnt orsakerna och bekanta oss med de praktiska lösningarna.

Först och viktigast: i de allra flesta fall, för att studera konvergensen av en serie, är det nödvändigt att tillämpa någon bekant metod, men den vanliga termen för serien är fylld med så knepigt fyllning att det inte alls är uppenbart vad man ska göra med det . Och du går runt i cirklar: det första tecknet fungerar inte, det andra fungerar inte, den tredje, fjärde, femte metoden fungerar inte, sedan kastas utkasten åt sidan och allt börjar om på nytt. Detta beror vanligtvis på bristande erfarenhet eller luckor i andra delar av kalkylen. I synnerhet om du springer sekvensgränser och ytligt demonterad funktionsbegränsningar, då blir det svårt.

Med andra ord, en person ser helt enkelt inte den nödvändiga lösningen på grund av brist på kunskap eller erfarenhet.

Ibland är "förmörkelse" också skyldig, när till exempel det nödvändiga kriteriet för konvergens av en serie helt enkelt inte är uppfyllt, men på grund av okunnighet, ouppmärksamhet eller försumlighet faller detta utom synhåll. Och det blir som i den där cykeln där professorn i matematik löste ett barnproblem med hjälp av vilda återkommande sekvenser och nummerserier =)

I de bästa traditionerna, omedelbart levande exempel: rader och deras släktingar - divergerar, eftersom det i teorin är bevisat sekvensgränser. Troligtvis kommer du under den första terminen att bli slagen ur själen för ett bevis på 1-2-3 sidor, men för nu räcker det för att visa att det nödvändiga villkoret för seriens konvergens inte är uppfyllt, med hänvisning till till kända fakta. Känd? Om studenten inte vet att roten till den n:e graden är en extremt kraftfull sak, säg serien sätta honom i hjulspår. Även om lösningen är som två och två: , d.v.s. av uppenbara skäl skiljer sig båda serierna åt. En blygsam kommentar "dessa gränser har bevisats i teorin" (eller till och med frånvaron överhuvudtaget) räcker för offset, trots allt är beräkningarna ganska tunga och de hör definitivt inte till sektionen av numeriska serier.

Och efter att ha studerat nästa exempel kommer du bara att bli förvånad över kortheten och insynen i många lösningar:

Exempel 1

Undersök konvergensen av en serie

Lösning: först och främst, kontrollera utförandet nödvändigt kriterium för konvergens. Detta är ingen formalitet, utan en stor chans att ta itu med exemplet "liten blodsutgjutelse".

"Inspektion av scenen" föreslår en divergerande serie (fallet med en generaliserad övertonsserie), men återigen uppstår frågan, hur man tar hänsyn till logaritmen i täljaren?

Ungefärliga exempel på uppgifter i slutet av lektionen.

Det är inte ovanligt när du måste föra ett tvåvägs (eller till och med trevägs) resonemang:

Exempel 6

Undersök konvergensen av en serie

Lösning: först, noggrant ta itu med täljarens floskel. Sekvensen är begränsad: . Sedan:

Låt oss jämföra vår serie med serien . På grund av den dubbla ojämlikheten som just erhållits kommer det för alla "sv" att vara sant:

Låt oss nu jämföra serien med den divergerande övertonsserien.

Bråknämnare mindre bråkets nämnare, alltså själva fraktionen – Mer bråk (skriv ner de första termerna, om de inte är tydliga). Således, för alla "en":

Så, som jämförelse, serien avviker tillsammans med den harmoniska serien.

Om vi ​​ändrar nämnaren lite: , då kommer den första delen av resonemanget att vara liknande: . Men för att bevisa seriens divergens är endast gränstestet för jämförelse redan tillämpligt, eftersom ojämlikheten är falsk.

Situationen med konvergerande serier är "spegel", det vill säga att till exempel både jämförelsekriterier kan användas för en serie (olikheten är sann), och för en serie, endast det begränsande kriteriet (olikheten är falsk).

Vi fortsätter vår safari genom det vilda, där en flock graciösa och saftiga antiloper skymtade vid horisonten:

Exempel 7

Undersök konvergensen av en serie

Lösning: det nödvändiga konvergenskriteriet är uppfyllt, och vi ställer återigen den klassiska frågan: vad ska man göra? Framför oss ligger något som liknar en konvergent serie, men det finns ingen tydlig regel här - sådana associationer är ofta vilseledande.

Ofta, men inte den här gången. Genom att använda Begränsa jämförelsekriteriet Låt oss jämföra vår serie med den konvergenta serien . Vid beräkning av gränsen använder vi underbar gräns , var som oändligt liten står:

konvergerar tillsammans med bredvid .

Istället för att använda den vanliga artificiella metoden för multiplikation och division med en "tre", var det möjligt att initialt jämföra med en konvergent serie.
Men här är en varning önskvärd att konstantmultiplikatorn för den allmänna termen inte påverkar seriens konvergens. Och just i denna stil är lösningen i följande exempel utformad:

Exempel 8

Undersök konvergensen av en serie

Prov i slutet av lektionen.

Exempel 9

Undersök konvergensen av en serie

Lösning: i de tidigare exemplen använde vi sinusets boundedness, men nu är den här egenskapen ur spel. Nämnaren för en bråkdel av en högre tillväxtordningän täljaren, så när sinusargumentet och hela den gemensamma termen oändligt liten. Det nödvändiga villkoret för konvergens, som du förstår, är uppfyllt, vilket inte tillåter oss att smita från jobbet.

Vi kommer att genomföra spaning: i enlighet med anmärkningsvärd likvärdighet , kassera sinus mentalt och få en serie. Nåväl, något sånt....

Ta ett beslut:

Låt oss jämföra serierna som studeras med de divergerande serierna. Vi använder gränsjämförelsekriteriet:

Låt oss ersätta infinitesimalen med den ekvivalenta: för .

Ett annat ändligt tal än noll erhålls, vilket betyder att serien som studeras avviker tillsammans med den harmoniska serien.

Exempel 10

Undersök konvergensen av en serie

Detta är ett gör-det-själv-exempel.

För planering av ytterligare åtgärder i sådana exempel, hjälper den mentala avvisningen av sinus, arcsine, tangent, arctangens mycket. Men kom ihåg, denna möjlighet finns bara när oändligt liten argument, för inte så länge sedan stötte jag på en provocerande serie:

Exempel 11

Undersök konvergensen av en serie
.

Lösning: det är värdelöst att använda bågtangensens begränsning här, och ekvivalensen fungerar inte heller. Utgången är förvånansvärt enkel:


Studieserien avviker, eftersom det nödvändiga kriteriet för seriens konvergens inte är uppfyllt.

Det andra skälet"Gag on the job" består i en anständig sofistikering av den gemensamma medlemmen, vilket orsakar svårigheter av teknisk karaktär. Grovt sett, om serien som diskuteras ovan tillhör kategorin "figurer du gissar", så tillhör dessa kategorin "du bestämmer". Egentligen kallas detta komplexitet i "vanlig" mening. Alla kommer inte att korrekt lösa flera faktorer, grader, rötter och andra invånare på savannen. Naturligtvis orsakar factorial de flesta problemen:

Exempel 12

Undersök konvergensen av en serie

Hur höjer man en factorial till en makt? Lätt. Enligt regeln för operationer med befogenheter är det nödvändigt att höja varje faktor i produkten till en makt:

Och, naturligtvis, uppmärksamhet och återigen uppmärksamhet, d'Alembert-skylten fungerar traditionellt:

Alltså serien som studeras konvergerar.

Jag påminner dig om en rationell teknik för att eliminera osäkerhet: när det är klart tillväxtordning täljare och nämnare - det är inte alls nödvändigt att lida och öppna parenteserna.

Exempel 13

Undersök konvergensen av en serie

Odjuret är mycket sällsynt, men det hittas, och det skulle vara orättvist att kringgå det med en kameralins.

Vad är dubbel utropsteckenfaktoriell? Faktorialen "lindar" produkten av positiva jämna tal:

På samma sätt "vindar" faktorn upp produkten av positiva udda tal:

Analysera vad som är skillnaden mellan

Exempel 14

Undersök konvergensen av en serie

Och i den här uppgiften, försök att inte bli förvirrad med graderna, underbara motsvarigheter och underbara gränser.

Exempel på lösningar och svar i slutet av lektionen.

Men eleven får mata inte bara tigrar - listiga leoparder spårar också upp sitt byte:

Exempel 15

Undersök konvergensen av en serie

Lösning: det nödvändiga konvergenskriteriet, det begränsande kriteriet, d'Alembert- och Cauchykriterierna försvinner nästan omedelbart. Men det värsta av allt är att funktionen med ojämlikheter, som upprepade gånger har räddat oss, är maktlös. Ja, jämförelse med en divergerande serie är omöjlig, eftersom ojämlikheten felaktigt - multiplikatorlogaritmen ökar bara nämnaren, vilket minskar själva bråket i förhållande till fraktionen. Och en annan global fråga: varför är vi initialt säkra på att vår serie är bunden att divergera och måste jämföras med vissa divergerande serier? Passar han överhuvudtaget?

Integrerad funktion? Felaktig integral framkallar en sorgsen stämning. Nu, om vi hade en rad … I så fall, ja. Sluta! Det är så idéer föds. Vi fattar ett beslut i två steg:

1) Först studerar vi seriens konvergens . Vi använder integrerad funktion:

Integrand kontinuerlig på

Alltså en siffra divergerar tillsammans med motsvarande felaktiga integral.

2) Jämför vår serie med den divergerande serien . Vi använder gränsjämförelsekriteriet:

Ett annat ändligt tal än noll erhålls, vilket betyder att serien som studeras avviker tillsammans med sida vid sida .

Och det finns inget ovanligt eller kreativt i ett sådant beslut – det är så det ska avgöras!

Jag föreslår att självständigt utarbeta följande tvåsteg:

Exempel 16

Undersök konvergensen av en serie

En student med viss erfarenhet ser i de flesta fall omedelbart om serien konvergerar eller divergerar, men det händer att ett rovdjur skickligt döljer sig i buskarna:

Exempel 17

Undersök konvergensen av en serie

Lösning: vid första anblicken är det inte alls klart hur den här serien beter sig. Och om vi har dimma framför oss, är det logiskt att börja med en grov kontroll av det nödvändiga villkoret för seriens konvergens. För att eliminera osäkerhet använder vi en osänkbar multiplikations- och divisionsmetod genom adjoint uttryck:

Det nödvändiga tecknet på konvergens fungerade inte, men förde vår Tambov-kamrat fram i ljuset. Som ett resultat av de utförda transformationerna erhölls en ekvivalent serie , som i sin tur liknar en konvergent serie .

Vi skriver en ren lösning:

Jämför denna serie med den konvergenta serien. Vi använder gränsjämförelsekriteriet:

Multiplicera och dividera med det adjointe uttrycket:

Ett annat ändligt tal än noll erhålls, vilket betyder att serien som studeras konvergerar tillsammans med bredvid .

Kanske har några en fråga, var kom vargarna ifrån på vår afrikanska safari? Vet inte. De kom förmodligen med den. Du kommer att få följande troféskinn:

Exempel 18

Undersök konvergensen av en serie

Ett exempel på lösning i slutet av lektionen

Och, slutligen, ytterligare en tanke som besöker många studenter i förtvivlan: istället för om man ska använda ett mer sällsynt kriterium för seriens konvergens? Tecken på Raabe, tecken på Abel, tecken på Gauss, tecken på Dirichlet och andra okända djur. Idén fungerar, men i verkliga exempel implementeras den mycket sällan. Personligen, under alla år av praktik, har jag bara tillgripit 2-3 gånger tecken på Raabe när ingenting verkligen hjälpte från standardarsenalen. Jag återger hela mitt extrema uppdrag:

Exempel 19

Undersök konvergensen av en serie

Lösning: Utan tvekan ett tecken på d'Alembert. Under beräkningarna använder jag aktivt egenskaperna för grader, liksom andra underbara gränsen:

Här är en för dig. D'Alemberts tecken gav inget svar, även om ingenting förebådade ett sådant utfall.

Efter att ha gått igenom manualen hittade jag en föga känd gräns som bevisats i teorin och tillämpade ett starkare radikalt Cauchy-kriterium:

Här är två till dig. Och, viktigast av allt, det är inte alls klart om serien konvergerar eller divergerar (en extremt sällsynt situation för mig). Nödvändigt tecken på jämförelse? Utan mycket hopp - även om jag på ett otänkbart sätt räknar ut täljarens och nämnarens tillväxtordning, garanterar detta fortfarande ingen belöning.

En komplett d'Alembert, men det värsta är att serien måste lösas. Behöver. Det kommer trots allt vara första gången jag ger upp. Och så kom jag ihåg att det verkade finnas några starkare tecken. Före mig var inte längre en varg, inte en leopard och inte en tiger. Det var en enorm elefant som viftade med en stor snabel. Jag var tvungen att plocka upp en granatkastare:

Tecken på Raabe

Tänk på en positiv talserie.
Om det finns en gräns , sedan:
a) På rad avviker. Dessutom kan det resulterande värdet vara noll eller negativt.
b) På rad konvergerar. I synnerhet konvergerar serien för .
c) När Raabes skylt ger inget svar.

Vi sammanställer gränsen och förenklar noggrant fraktionen:


Ja, bilden är milt sagt obehaglig, men jag blev inte längre förvånad. lopitala regler, och den första tanken, som det visade sig senare, visade sig vara korrekt. Men först, i ungefär en timme, vred jag och vände gränsen med "vanliga" metoder, men osäkerheten ville inte elimineras. Och att gå i cirklar är, som erfarenheten antyder, ett typiskt tecken på att fel sätt att lösa har valts.

Jag var tvungen att vända mig till rysk folkvisdom: "Om inget hjälper, läs instruktionerna." Och när jag öppnade 2:a volymen av Fichtenholtz, fann jag till min stora glädje en studie av en identisk serie. Och sedan gick lösningen enligt modellen.

Navier-lösningen lämpar sig endast för beräkning av plåtar som är ledade längs konturen. Mer allmänt är Levys lösning. Det låter dig beräkna en platta med gångjärn på två parallella sidor, med godtyckliga gränsvillkor på var och en av de andra två sidorna.

I den rektangulära plattan som visas i fig. 5.11, (a), gångjärnsförsedda kanter är de som är parallella med axeln y. Gränsförhållandena vid dessa kanter har formen

Ris. 5.11

Det är uppenbart att varje term i den oändliga trigonometriska serien

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; andra partiella derivator av avböjningsfunktionen

(5.45)

på x = 0 och x = aär också noll eftersom de innehåller https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)

Att ersätta (5.46) i (5.18) ger

Multiplicera båda sidor av den resulterande ekvationen med , integrera från 0 till a och komma ihåg det

,

vi får definiera funktionen Ym en sådan linjär differentialekvation med konstanta koefficienter

. (5.48)

Om, för att förkorta notationen, beteckna

ekvation (5.48) tar formen

. (5.50)

Den allmänna lösningen av den inhomogena ekvationen (5.50), som är känd från differentialekvationsförloppet, har formen

Ym(y) = jm (y)+ fm(y), (5.51)

var jm (y) är en speciell lösning av den inhomogena ekvationen (5.50); dess form beror på den högra sidan av ekvationen (5.50), dvs. faktiskt på typen av belastning q (x, y);

fm(y)= Am shamy + Bmchamy+y(cm shamy + Dmchamy), (5.52)

allmän lösning av den homogena ekvationen

Fyra godtyckliga konstanter Am,PÅm ,Cm och Dm måste bestämmas utifrån de fyra villkoren för fixering av plattans kanter parallellt med axeln som appliceras på plattan konstant q (x, y) = q den högra sidan av ekvation (5.50) tar formen

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)

Eftersom den högra sidan av ekvationen (5.55) är konstant, är dess vänstra sida också konstant; så alla derivator jm (y) är noll, och

, (5.56)

, (5.57)

där det anges: .

Tänk på en tallrik klämd längs kanter parallella med axeln X(Fig. 5.11, (c)).

Gränsförhållanden vid kanterna y = ± b/2

. (5.59)

På grund av symmetrin av avböjningen av plattan kring axeln Ox, i den allmänna lösningen (5.52) bör endast termer som innehåller jämna funktioner behållas. Eftersom sh amyär en udda funktion, och сh am y- jämnt och, med axelns antagna position Åh, y sh amy- även i på kap am yär udda, kan den allmänna integralen (5.51) i det aktuella fallet representeras som

. (5.60)

Eftersom i (5.44) beror inte på värdet av argumentet y, kan det andra paret gränsvillkor (5.58), (5.59) skrivas som:

Ym = 0, (5.61)

Y¢ m = = 0. (5.62)

Y¢ m = ambm sh amy + cm sh amå + å cmam kap amy=

ambm sh amy + cm(sh amy+yam kap amy)

Från (5.60) - (5.63) följer det

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)

Multiplicera ekvation (5.64) med , och ekvation (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)

Genom att ersätta (5.66) i ekvation (5.64) kan vi erhålla bm

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)

Med detta funktionsuttryck Ym. , formel (5.44) för att bestämma avböjningsfunktionen tar formen

(5.69)

Serien (5,69) konvergerar snabbt. Till exempel för en fyrkantig platta i dess mitt, dvs x=a/2, y = 0

(5.70)

Behåller (5.70) endast en term i serien, dvs. tar , får vi ett avböjningsvärde överskattat med mindre än 2,47%. Med tanke på det sid 5 = 306.02, find Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> V..Ritzs variationsmetod är baserad på Lagranges variationsprincip formulerad i avsnitt 2.

Låt oss betrakta denna metod som tillämpad på problemet med plattböjning. Föreställ dig den böjda ytan på plattan som en rad

, (5.71)

var fi(x, y) kontinuerliga koordinatfunktioner, som var och en måste uppfylla kinematiska randvillkor; Ciär okända parametrar som bestäms från Lagrange-ekvationen. Denna ekvation

(5.72)

leder till ett system av n algebraiska ekvationer med avseende på parametrar Ci.

I det allmänna fallet består plattans deformationsenergi av böjning U och membran U m delar

, (5.73)

, (5.74)

var Mh.,My. ,Mxy– böjningskrafter; NX., Ny. , Nxy– membrankrafter. Den del av energin som motsvarar tvärkrafterna är liten och kan försummas.

Om en u, v och wär komponenterna i den faktiska förskjutningen, px. , py och pzär komponenterna i ytbelastningsintensiteten, Ri- koncentrerad kraft, D i motsvarande linjära förskjutning, Mj- fokuserat ögonblick qj- rotationsvinkeln som motsvarar den (fig. 5.12), då kan den potentiella energin för externa krafter representeras enligt följande:

Om kanterna på plattan tillåter rörelse, så tvingar kanten vn. , mn. , mnt(Fig. 5.12, (a)) öka potentialen för yttre krafter

Ris. 5.12

Här n och t– normal och tangent till kantelement ds.

I kartesiska koordinater, med hänsyn till kända uttryck för krafter och krökningar

, (5.78)

total potentiell energi E för en rektangulär platta av storlek a ´ b, under inverkan av endast vertikal belastning pz

(5.79)

Som ett exempel, överväga en rektangulär platta med bildförhållandet 2 a´2 b(Fig. 5.13).

Plattan spänns fast längs konturen och belastas med en jämn belastning

pz = q = konst. I detta fall förenklas uttrycket (5.79) för energin E

. (5.80)

Acceptera för w(x, y) rad

som uppfyller konturvillkoren

Ris. 5.13

Behåll endast den första medlemmen i serien

.

Då enligt (5.80)

.

Minimera energin E enligt (5..gif" width="273 height=57" height="57">.

.

Avböjning av mitten av en fyrkantig platta storlek 2 a´2 a

,

vilket är 2,5 % mer än den exakta lösningen 0,0202 qa 4/D. Observera att avböjningen av mitten av plattan som stöds på fyra sidor är 3,22 gånger större.

Detta exempel illustrerar fördelarna med metoden: enkelhet och möjligheten att få ett bra resultat. Plattan kan ha olika konturer, varierande tjocklek. Svårigheter i denna metod, liksom i andra energimetoder, uppstår när man väljer lämpliga koordinatfunktioner.

5.8. Ortogonaliseringsmetod

Ortogonaliseringsmetoden som föreslås av och är baserad på följande egenskap hos ortogonala funktioner ji. , jj

. (5.82)

Ett exempel på ortogonala funktioner på intervallet ( – sid, sid) kan fungera som trigonometriska funktioner cos nx och synd nx för vilka

Om en av funktionerna, till exempel funktionen ji (x) är identiskt lika med noll, då är villkoret (5.82) uppfyllt för en godtycklig funktion jj (x).

För att lösa problemet med plattböjning är ekvationen

kan föreställas så här

, (5.83)

var Fär området som begränsas av plattans kontur; jI jär funktioner specificerade så att de uppfyller de kinematiska och kraftmässiga randvillkoren för problemet.

Låt oss representera den ungefärliga lösningen av plåtböjningsekvationen (5.18) i form av en serie

. (5.84)

Om lösningen (5.84) var exakt, så skulle ekvationen (5.83) gälla identiskt för alla system av koordinatfunktioner jI j. , för i det här fallet D c2c2 wn – q = 0. Vi kräver att ekvationen D c2c2 wn – q var ortogonal mot familjen av funktioner jI j, och vi använder detta krav för att bestämma koefficienterna Cij. . Ersätter (5,84) i (5,83) får vi

. (5.85)

Efter att ha utfört några transformationer får vi följande system av algebraiska ekvationer för bestämning CI j

, (5.86)

och hI j = hji.

Bubnov-Galerkin-metoden kan ges följande tolkning. Fungera D c2c2 wn – q = 0 är i huvudsak en jämviktsekvation och är en projektion av yttre och inre krafter som verkar på ett litet element av plattan i riktning mot den vertikala axeln z. Avböjningsfunktion wnär en rörelse i riktning mot samma axel, och funktionerna jI j kan betraktas som möjliga rörelser. Därför uttrycker ekvation (5.83) ungefär likaheten till noll av alla yttre och inre krafters arbete på möjliga förskjutningar jI j. . Således är Bubnov-Galerkin-metoden väsentligen variationsrik.

Som ett exempel, tänk på en rektangulär platta fastklämd längs konturen och belastad med en jämnt fördelad last. Plattans dimensioner och placeringen av koordinataxlarna är desamma som i fig. 5.6.

Gränsförhållanden

på x = 0, x= a: w = 0, ,

på y = 0, y = b: w = 0, .

Vi väljer ett ungefärligt uttryck för avböjningsfunktionen i form av en serie (5.84) där funktionen jI j

uppfyller gränsvillkoren; Cijär de önskade koefficienterna. Begränsat till en medlem i serien

får vi följande ekvation

Efter integration

Var kan vi beräkna koefficienten FRÅN 11

,

som helt motsvarar koefficienten FRÅN 11. erhållen genom metoden

V. Ritz -.

Som en första approximation är avböjningsfunktionen som följer

.

Maximal avböjning i mitten av en fyrkantig platta a ´ a

.

5.9. Tillämpning av Finita Difference Method

Låt oss överväga tillämpningen av den ändliga skillnadsmetoden för rektangulära plattor med komplexa konturförhållanden. Differensoperatorn är en analog till differentialekvationen för plattans krökta yta (5.18), för ett kvadratiskt rutnät, för D x = D y = D tar formen (3,54)

20 wi, j + 8 (wi, j+ 1 + wi, j– 1 + wi– 1, j + wi+ 1, j) + 2 (wi– 1, j– 1 + wi– 1, j+ 1 +

Ris. 5.14

Med hänsyn till närvaron av tre symmetriaxlar för belastning och deformationer av plattan, kan vi begränsa oss till att överväga dess åttonde och bestämma värdena för avböjningar endast vid noderna 1 ... 10 (Fig. 5.14, (b) ). På fig. 5.14, (b) visar rutnätet och nodnumreringen (D = a/4).

Eftersom kanterna på plattan är klämda, då genom att skriva konturförhållandena (5.25), (5.26) i ändliga skillnader

Genom cosinus och sinus av flera bågar, dvs en serie av formen

eller i komplex form

var ett k,b k eller, respektive, c k kallad koefficienter för T. r.
För första gången T. r. träffas vid L. Euler (L. Euler, 1744). Han fick expansioner

Alla R. 1700-talet I samband med studiet av problemet med en strängs fria vibration uppstod frågan om möjligheten att representera funktionen som karakteriserar strängens initiala position som summan av T. r. Denna fråga orsakade en het debatt som varade i flera decennier, den tidens bästa analytiker - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Tvister relaterade till innehållet i funktionsbegreppet. På den tiden var funktioner vanligtvis förknippade med deras analys. uppdrag, vilket ledde till övervägande av endast analytiska eller bitvis analytiska funktioner. Och här uppstod behovet av en funktion vars graf är ganska godtycklig , för att konstruera en T. r. som representerar denna funktion. Men betydelsen av dessa tvister är större. Faktum är att de diskuterade eller uppstod i samband med frågor relaterade till många fundamentalt viktiga begrepp och idéer inom matematiken. analys i allmänhet - representationen av funktioner av Taylor-serier och analytiska. fortsättning av funktioner, användning av divergerande serier, gränser, oändliga ekvationssystem, funktioner av polynom, etc.
Och i framtiden, som i denna första, teorin om T. r. fungerat som en källa till nya idéer inom matematik. Fourierintegral, nästan periodiska funktioner, allmänna ortogonala serier, abstrakt . Forskning om T. river. fungerade som utgångspunkt för skapandet av mängdlära. T.r. är ett kraftfullt verktyg för att representera och utforska funktioner.
Frågan som ledde till kontroverser bland matematiker på 1700-talet löstes 1807 av J. Fourier, som angav formler för beräkning av koefficienterna för T. r. (1), som måste. representerar på funktionen f(x):

och använde dem för att lösa värmeledningsproblem. Formler (2) kallas Fourierformler, även om de tidigare stött på av A. Clairaut (1754), och L. Euler (1777) kom till dem genom att använda term-för-term integration. T.r. (1), vars koefficienter bestäms av formler (2), kallas. nära Fourierfunktionen f, och talen a k, b k- Fourierkoefficienter.
Typen av erhållna resultat beror på hur representationen av en funktion förstås som en serie, hur integralen i formler (2) förstås. Modern teori om T. river. förvärvad efter uppkomsten av Lebesgue-integralen.
Teorin om T. r. kan villkorligt delas in i två stora avsnitt - teorin Fourier-serier, där det antas att serien (1) är Fourierserien för en viss funktion, och teorin om allmän T. R., där ett sådant antagande inte görs. Nedan är de viktigaste resultaten som erhållits i teorin om allmän T. r. (i detta fall förstås mängder och funktioners mätbarhet enligt Lebesgue).
Den första systematiska forskning T. r., där det inte antogs att dessa serier är Fourierserier, var V. Riemanns avhandling (V. Riemann, 1853). Därför är teorin om allmänna T. r. kallad ibland den riemannska teorin om termodynamik.
Att studera egenskaperna hos godtycklig T. r. (1) med koefficienter som tenderar mot noll B. Riemann betraktade den kontinuerliga funktionen F(x) , som är summan av en enhetligt konvergent serie

erhålls efter tvåfaldig integrering av serier (1). Om serien (1) konvergerar vid någon punkt x till ett tal s, så existerar den andra symmetrin vid denna punkt och är lika med s. F funktioner:

då leder detta till summeringen av serien (1) som genereras av faktorerna kallad genom Riemanns summeringsmetod. Med hjälp av funktionen F formuleras Riemann-lokaliseringsprincipen, enligt vilken beteendet för serien (1) vid punkten x endast beror på beteendet hos funktionen F i en godtyckligt liten omgivning av denna punkt.
Om T.r. konvergerar på en uppsättning positiva mått, då tenderar dess koefficienter till noll (Cantor-Lebesgue). Tendens till nollkoefficienter T. r. följer också av dess konvergens på en uppsättning av den andra kategorin (W. Young, W. Young, 1909).
Ett av de centrala problemen i teorin om allmän termodynamik är problemet med att representera en godtycklig funktion T. r. För att stärka resultaten av N. N. Luzin (1915) om representation av T. R.-funktioner med Abel-Poisson och Riemanns summeringsmetoder, bevisade D. E. Men'shov (1940) följande sats, som hänvisar till det viktigaste fallet när representationen av funktionen f förstås som T. r. till f(x) nästan överallt. För varje mätbar och ändlig funktion f, nästan överallt, finns det en T. R. som konvergerar till den nästan överallt (Men'shovs teorem). Det bör noteras att även om f är integrerbar, så kan man generellt sett inte ta Fourierserien av funktionen f som en sådan serie, eftersom det finns Fourierserier som divergerar överallt.
Ovanstående Men'shov-sats medger följande förfining: om en funktion f är mätbar och ändlig nästan överallt, så finns det sådan att nästan överallt och den term-för-term differentierade Fourier-serien av funktionen j konvergerar till f(x) nästan överallt (N. K. Bari, 1952).
Det är inte känt (1984) om det är möjligt att utelämna finitetsvillkoret för funktionen f nästan överallt i Men'shovs sats. I synnerhet är det inte känt (1984) om T. r. konvergerar nästan överallt
Därför övervägdes problemet med att representera funktioner som kan anta oändliga värden på en uppsättning positiva mått för fallet när det ersätts av det svagare kravet - . Konvergens i mått till funktioner som kan anta oändliga värden definieras enligt följande: partiella summor av T. p. s n(x) konvergerar i mått till funktionen f(x) . om var f n(x) konvergera till / (x) nästan överallt, och sekvensen konvergerar till noll i mått. I den här miljön har problemet med representation av funktioner lösts till slutet: för varje mätbar funktion finns det en T. R. som konvergerar till den i mått (D. E. Men'shov, 1948).
Mycket forskning har ägnats åt problemet med det unika med T. r.: Kan två olika T. divergera till samma funktion? i en annan formulering: om T. r. konvergerar till noll, följer det att alla koefficienter i serien är lika med noll. Här kan man mena konvergens vid alla punkter eller vid alla punkter utanför en viss mängd. Svaret på dessa frågor beror i huvudsak på egenskaperna hos mängden utanför vilken konvergens inte antas.
Följande terminologi har etablerats. Många namn. unika set eller U- sätt om, från konvergensen av T. r. till noll överallt, utom kanske för punkter i uppsättningen E, det följer att alla koefficienter i denna serie är lika med noll. Annars Enaz. M-set.
Som G. Cantor (1872) visade, är såväl som eventuella ändliga U-uppsättningar. Ett godtyckligt är också ett U-set (W. Jung, 1909). Å andra sidan är varje uppsättning positiva mått en M-uppsättning.
Förekomsten av M-uppsättningar av mått fastställdes av D. E. Men'shov (1916), som konstruerade det första exemplet på en perfekt uppsättning med dessa egenskaper. Detta resultat är av grundläggande betydelse i problemet med unikhet. Det följer av förekomsten av M-uppsättningar av måttet noll att, i representationen av funktioner för T. R. som konvergerar nästan överallt, dessa serier alltid definieras tvetydigt.
Perfekta set kan också vara U-set (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Mycket subtila egenskaper hos uppsättningar av måtten noll spelar en väsentlig roll i problemet med unikhet. Den allmänna frågan om klassificeringen av uppsättningar av mått noll på M- och U-set förblir (1984) öppna. Det är inte löst ens för perfekta uppsättningar.
Följande problem är relaterat till unikhetsproblemet. Om T.r. konvergerar till funktionen sedan om denna serie måste vara Fourier-serien för funktionen /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) gav ett positivt svar på denna fråga om f är integrerbar i Riemanns mening och serien konvergerar till f(x) på alla punkter. Från resultat III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) antyder att svaret är positivt även om serien konvergerar överallt förutom för en räknebar uppsättning punkter och dess summa är ändlig.
Om en T. p konvergerar absolut vid någon punkt x 0, så är konvergenspunkterna för denna serie, såväl som punkterna för dess absoluta konvergens, placerade symmetriskt i förhållande till punkten x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Enligt Denjoy - Luzin-satsen från den absoluta konvergensen av T. r. (1) på en uppsättning positiva mått konvergerar serien och följaktligen den absoluta konvergensen av serie (1) för alla X. Denna egenskap innehas också av uppsättningar av den andra kategorin, såväl som av vissa uppsättningar av måtten noll.
Denna undersökning omfattar endast endimensionell T. r. (ett). Det finns separata resultat relaterade till allmän T. p. från flera variabler. Här är det i många fall fortfarande nödvändigt att hitta naturliga problembeskrivningar.

Belyst.: Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; Sigmund A., Trigonometrisk serie, övers. från engelska, vol 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Integral och trigonometrisk serie, M.-L., 1951; Riemann B., Verk, övers. från German, M.-L., 1948, sid. 225-61.
S. A. Teljakovskij.

Matematisk uppslagsverk. - M.: Sovjetiskt uppslagsverk. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Inom naturvetenskap och teknik har man ofta att göra med periodiska fenomen, d.v.s. de som reproduceras efter en viss tid T kallas perioden. Den enklaste av de periodiska funktionerna (förutom en konstant) är ett sinusformigt värde: som i(x+ ), harmonisk svängning, där det finns en "frekvens" relaterad till perioden med förhållandet: . Från sådana enkla periodiska funktioner kan mer komplexa komponeras. Uppenbarligen måste de ingående sinusformade storheterna ha olika frekvenser, eftersom tillägget av sinusformade kvantiteter med samma frekvens resulterar i en sinusformad kvantitet av samma frekvens. Om vi ​​lägger till flera värden i formuläret

Till exempel återger vi här tillägget av tre sinusformade storheter: . Betrakta grafen för denna funktion

Denna graf skiljer sig markant från en sinusvåg. Detta är ännu mer sant för summan av en oändlig serie sammansatt av termer av denna typ. Låt oss ställa frågan: är det möjligt för en given periodisk funktion av perioden T representera som summan av en finit eller åtminstone en oändlig uppsättning av sinusformade storheter? Det visar sig att med avseende på en stor klass av funktioner kan denna fråga besvaras jakande, men detta är bara om vi inkluderar exakt hela den oändliga sekvensen av sådana termer. Geometriskt betyder det att grafen för en periodisk funktion erhålls genom att överlagra en serie sinusoider. Om vi ​​betraktar varje sinusformigt värde som en viss harmonisk svängningsrörelse, så kan vi säga att detta är en komplex svängning som kännetecknas av en funktion eller helt enkelt av dess övertoner (första, andra, etc.). Processen för nedbrytning av en periodisk funktion till övertoner kallas harmonisk analys.

Det är viktigt att notera att sådana expansioner ofta visar sig vara användbara vid studiet av funktioner som endast ges i ett visst ändligt intervall och som inte genereras alls av några oscillerande fenomen.

Definition. En trigonometrisk serie är en serie av formen:

Eller (1).

De reella talen kallas koefficienterna för den trigonometriska serien. Denna serie kan också skrivas så här:

Om en serie av den ovan presenterade typen konvergerar, är dess summa en periodisk funktion med period 2p.

Definition. Fourierkoefficienterna för en trigonometrisk serie kallas: (2)

(3)

(4)

Definition. Nära Fourier för en funktion f(x) kallas en trigonometrisk serie vars koefficienter är Fourierkoefficienterna.

Om Fourier-serien av funktionen f(x) konvergerar till det på alla dess kontinuitetspunkter, då säger vi att funktionen f(x) expanderar i en Fourier-serie.

Sats.(Dirichlets sats) Om en funktion har en period på 2p och är kontinuerlig på ett segment eller har ett ändligt antal diskontinuitetspunkter av det första slaget, kan segmentet delas upp i ett ändligt antal segment så att funktionen är monoton inuti varje av dem konvergerar Fourier-serien för funktionen för alla värden X, och vid kontinuitetspunkterna för funktionen, dess summa S(x)är lika med , och vid diskontinuitetspunkterna är dess summa lika med , d.v.s. det aritmetiska medelvärdet av gränsvärdena till vänster och höger.

I detta fall, Fourier-serien av funktionen f(x) konvergerar enhetligt på alla intervall som hör till funktionens kontinuitetsintervall.

En funktion som uppfyller villkoren för denna sats kallas styckvis jämn på intervallet .

Låt oss överväga exempel på expansion av en funktion i en Fourier-serie.

Exempel 1. Expandera funktionen i en Fourier-serie f(x)=1-x, som har en period 2p och ges på segmentet.

Lösning. Låt oss rita denna funktion

Denna funktion är kontinuerlig på segmentet , det vill säga på ett segment med en periodlängd, därför kan den utökas till en Fourier-serie som konvergerar till det vid varje punkt i detta segment. Med formeln (2) hittar vi koefficienten för denna serie: .

Vi tillämpar integrerings-för-delar-formeln och hittar och använder formlerna (3) respektive (4):

Genom att ersätta koefficienterna i formel (1) får vi eller .

Denna jämlikhet äger rum på alla punkter, förutom punkterna och (limningspunkterna i graferna). Vid var och en av dessa punkter är summan av serien lika med det aritmetiska medelvärdet av dess gränsvärden till höger och vänster, det vill säga.

Låt oss presentera en algoritm för att utöka funktionen i en Fourier-serie.

Det allmänna förfarandet för att lösa det uppställda problemet är som följer.