Hur beräknar man en bestämd integral med trapetsmetoden? Trapetsform Beräkning av integralen med hjälp av trapetsformeln
Idag kommer vi att bekanta oss med en annan metod för numerisk integration, den trapetsformade metoden. Med dess hjälp kommer vi att beräkna bestämda integraler med en given grad av noggrannhet. I artikeln kommer vi att beskriva essensen av trapetsmetoden, analysera hur formeln härleds, jämföra trapetsmetoden med rektangelmetoden och skriva ner uppskattningen av metodens absoluta fel. Vi kommer att illustrera vart och ett av avsnitten med exempel för en djupare förståelse av materialet.
Antag att vi ungefär behöver beräkna den bestämda integralen ∫ a b f (x) d x , vars integrand y = f (x) är kontinuerlig på segmentet [ a ; b] . För att göra detta delar vi segmentet [ a ; b ] i flera lika långa intervall med längden h med punkterna a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
Låt oss hitta partitionssteget: h = b - a n . Vi definierar noder från likheten x i = a + i h, i = 0, 1, . . . , n .
På elementära intervall, överväg integranden x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . , n .
Med en oändlig ökning av n reducerar vi alla fall till de fyra enklaste alternativen:
Välj segment x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n . Låt oss ersätta funktionen y = f (x) på var och en av graferna med ett rät linjesegment som passerar genom punkterna med koordinaterna x i - 1 ; fxi-1 och xi; f x i. Vi markerar dem i figurerna i blått.
Låt oss ta uttrycket f (x i - 1) + f (x i) 2 h som ett ungefärligt värde på integralen ∫ x i - 1 x if (x) d x . De där. ta ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .
Låt oss se varför den numeriska integrationsmetoden vi studerar kallas trapetsmetoden. För att göra detta måste vi ta reda på vad den skriftliga ungefärliga likheten betyder ur geometrins synvinkel.
För att beräkna arean av en trapets, multiplicera halvsummorna av dess baser med höjden. I det första fallet är arean av en krökt trapets ungefär lika med en trapets med baserna f (x i - 1), f (x i) höjd h . I det fjärde av fallen vi överväger är den givna integralen ∫ x i - 1 x f (x) d x ungefär lika med arean av en trapets med baser - f (xi - 1), - f (x i) och höjd h, som måste tas med tecknet "-". För att beräkna det ungefärliga värdet av den bestämda integralen ∫ x i - 1 x i f (x) d x i det andra och tredje av de övervägda fallen, måste vi hitta skillnaden mellan områdena för de röda och blå områdena, som vi markerade med kläcks i figuren nedan.
Låt oss sammanfatta. Kärnan i den trapetsformade metoden är som följer: vi kan representera den bestämda integralen ∫ a b f (x) d x som summan av integraler av formen ∫ x i - 1 x i f (x) d x på varje elementärt segment och i den efterföljande ungefärliga förändringen ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.
Trapetsformel
Kom ihåg den femte egenskapen för den bestämda integralen: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . För att erhålla formeln för den trapetsformade metoden, istället för integralerna ∫ x i - 1 x i f (x) d x, ersätt deras ungefärliga värden: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Definition 1
Trapetsformel:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Uppskattning av det absoluta felet för trapetsmetoden
Låt oss uppskatta det absoluta felet för den trapetsformade metoden enligt följande:
Definition 2
δn ≤ m a x x ∈ [a; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2
En grafisk illustration av den trapetsformade metoden visas i figuren:
Räkneexempel
Låt oss analysera exempel på att använda trapetsmetoden för ungefärlig beräkning av bestämda integraler. Vi kommer att ägna särskild uppmärksamhet åt två typer av uppgifter:
- beräkning av en bestämd integral med trapetsmetoden för ett givet antal partitioner av segmentet n;
- att hitta ett ungefärligt värde för en viss integral med en specificerad noggrannhet.
För ett givet n måste alla mellanliggande beräkningar utföras med en tillräckligt hög grad av noggrannhet. Noggrannheten i beräkningarna bör vara de högre, desto större n .
Om vi har en given noggrannhet för att beräkna en bestämd integral, måste alla mellanliggande beräkningar utföras två eller flera storleksordningar mer exakt. Till exempel, om noggrannheten är inställd på 0 , 01 , utför vi mellanliggande beräkningar med en noggrannhet på 0 , 0001 eller 0 , 00001 . För stort n måste mellanberäkningar utföras med ännu högre noggrannhet.
Låt oss ta ovanstående regel som ett exempel. För att göra detta jämför vi värdena för en bestämd integral som beräknas med Newton-Leibniz-formeln och erhålls med trapetsmetoden.
Så, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .
Exempel 1
Med den trapetsformade metoden beräknar vi den bestämda integralen ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x för n lika med 10 .
Lösning
Formeln för den trapetsformade metoden är ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
För att tillämpa formeln måste vi beräkna steget h med formeln h = b - a n , bestämma noderna x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , beräkna värdena för integranden f (x) = 7 x 2 + 1 .
Partitionssteget beräknas enligt följande: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . För att beräkna integranden vid noderna x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n vi tar fyra decimaler:
i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692
Låt oss ange resultaten av beräkningarna i tabellen:
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
Ersätt de erhållna värdena med formeln för trapetsmetoden: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 92 , 19 = 6 , 19
Låt oss jämföra våra resultat med resultaten som beräknas med Newton-Leibniz formel. De mottagna värdena sammanfaller upp till hundradelar.
Svar:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117
Exempel 2
Med hjälp av trapetsmetoden beräknar vi värdet på den bestämda integralen ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x med en noggrannhet på 0 , 01 .
Lösning
Enligt problemets tillstånd a = 1 ; b = 2, f (x) = 112 x 4 + 13 x - 160; δn ≤ 0, 01.
Hitta n , som är lika med antalet delningspunkter för integrationssegmentet, med hjälp av olikheten för att uppskatta det absoluta felet δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . Vi kommer att göra det på följande sätt: vi kommer att hitta värdena n för vilka olikheten m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . Givet n kommer trapetsformeln att ge oss ett ungefärligt värde på en viss integral med en given noggrannhet.
Låt oss först hitta det största värdet på modulen för andraderivatan av funktionen på intervallet [ 1 ; 2].
f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
Den andra derivata funktionen är en kvadratisk parabel f "" (x) = x 2 . Vi vet från dess egenskaper att den är positiv och ökar på segmentet [ 1 ; 2]. I detta avseende, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
I det givna exemplet, processen att hitta m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) visade sig vara ganska enkel. I komplexa fall, för beräkningar, kan du hänvisa till de största och minsta värdena för funktionen. Efter att ha övervägt detta exempel presenterar vi en alternativ metod för att hitta m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
Låt oss ersätta det erhållna värdet i olikheten m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01
4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 . 7735
Antalet elementära intervall i vilka integrationssegmentet är uppdelat n är ett naturligt tal. För beräkningsbeteende, låt oss ta n lika med sex. Ett sådant värde på n kommer att tillåta oss att uppnå den specificerade noggrannheten för trapetsmetoden med ett minimum av beräkningar.
Låt oss beräkna steget: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
Hitta noder x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , vi bestämmer värdena för integranden vid dessa noder:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 9833
Vi skriver beräkningsresultaten i form av en tabell:
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
Vi ersätter de erhållna resultaten i trapetsformeln:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054
För att jämföra, beräknar vi den ursprungliga integralen med hjälp av Newton-Leibniz formel:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
Som du kan se har vi uppnått den erhållna noggrannheten i beräkningarna.
Svar: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054
För komplexa integrander är det inte alltid lätt att hitta talet n från olikheten för att uppskatta det absoluta felet. I det här fallet skulle följande metod vara lämplig.
Låt oss beteckna det ungefärliga värdet av den bestämda integralen, som erhölls med trapetsmetoden för n noder, som I n . Låt oss välja ett godtyckligt tal n . Med hjälp av formeln för trapetsmetoden beräknar vi den initiala integralen för ett enda (n = 10) och dubbelt (n = 20) antal noder och hittar det absoluta värdet av skillnaden mellan de två erhållna ungefärliga värdena I 20 - jag 10.
Om det absoluta värdet av skillnaden mellan de två erhållna ungefärliga värdena är mindre än den erforderliga noggrannheten I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
Om det absoluta värdet av skillnaden mellan de två erhållna ungefärliga värdena är större än den erforderliga noggrannheten, är det nödvändigt att upprepa stegen med två gånger antalet noder (n = 40).
Denna metod kräver mycket beräkningar, så det är klokt att använda datorteknik för att spara tid.
Låt oss lösa problemet med ovanstående algoritm. För att spara tid utelämnar vi mellanberäkningar med trapetsmetoden.
Exempel 3
Det är nödvändigt att beräkna den bestämda integralen ∫ 0 2 x e x d x med hjälp av trapetsmetoden med en noggrannhet på 0, 001.
Lösning
Låt oss ta n lika med 10 och 20 . Enligt trapetsformeln får vi I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.
I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, vilket kräver ytterligare beräkningar.
Låt oss ta n lika med 40: I 40 = 8, 3934656.
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, vilket också kräver ytterligare beräkningar.
Låt oss ta n lika med 80: I 80 = 8 , 3901585 .
I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, vilket kräver ytterligare en fördubbling av antalet noder.
Låt oss ta n lika med 160: I 160 = 8, 3893317.
I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001
Du kan få ett ungefärligt värde på den ursprungliga integralen genom att avrunda I 160 = 8 , 3893317 till tusendelar: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .
Som jämförelse beräknar vi den ursprungliga definitiva integralen med hjälp av Newton-Leibniz formel: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Den erforderliga noggrannheten har uppnåtts.
Svar: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389
Fel
Mellanliggande beräkningar för att bestämma värdet av en bestämd integral utförs för det mesta ungefär. Detta betyder att när n ökar, börjar beräkningsfelet att ackumuleras.
Låt oss jämföra uppskattningarna av de absoluta felen för trapetsmetoden och metoden för medelrektanglar:
δn ≤ m a x x ∈ [a; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .
Metoden med rektanglar för ett givet n med samma mängd beräkningsarbete ger hälften av felet. Detta gör metoden mer att föredra i de fall då funktionens värden är kända i mittsegmenten av elementära segment.
I de fall då de integrerbara funktionerna inte specificeras analytiskt, utan som en uppsättning värden vid noderna, kan vi använda trapetsmetoden.
Om vi jämför noggrannheten för den trapetsformade metoden och metoden för höger och vänster rektanglar, överträffar den första metoden den andra i noggrannheten av resultatet.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Trapetsformad metodär en av de numeriska integrationsmetoderna. Den låter dig beräkna bestämda integraler med en förutbestämd grad av noggrannhet.
Först beskriver vi essensen av trapetsmetoden och härleder trapetsformeln. Därefter skriver vi en uppskattning av metodens absoluta fel och analyserar i detalj lösningen av typiska exempel. Avslutningsvis, låt oss jämföra metoden för trapezoider med metoden för rektanglar.
Sidnavigering.
Kärnan i trapetsmetoden.
Låt oss sätta oss följande uppgift: låt oss behöva ungefär beräkna den bestämda integralen , där integranden y=f(x) är kontinuerlig på intervallet .
Låt oss dela upp segmentet i n lika långa intervall med längden h med punkter . I det här fallet hittas partitionssteget eftersom noderna bestäms från likheten .
Tänk på integranden på elementära intervaller 
.
Fyra fall är möjliga (figuren visar de enklaste av dem, till vilka allt minskar när n ökar oändligt):
På varje segment låt oss ersätta funktionen y=f(x) med ett linjesegment som går genom punkterna med koordinater och . Vi avbildar dem i figuren med blå linjer:
Som ett ungefärligt värde på integralen tar vi uttrycket 
, det vill säga låt oss ta 
.
Låt oss ta reda på vad den skriftliga ungefärliga likheten betyder i geometrisk mening. Detta kommer att göra det möjligt att förstå varför den övervägda metoden för numerisk integration kallas trapetsmetoden.
Vi vet att arean av en trapets finns som produkten av halva summan av baserna gånger höjden. Därför, i det första fallet, är arean av en kurvlinjär trapets ungefär lika med arean av en trapets med baser 
och höjd h, i det senare fallet är den bestämda integralen ungefär lika med arean av trapetsen med baser 
och höjd h tagen med ett minustecken. I det andra och tredje fallet är det ungefärliga värdet av den bestämda integralen lika med skillnaden mellan områdena för de röda och blå områdena som visas i figuren nedan.
Därmed har vi kommit till kärnan i trapetsmetoden, som består i att representera en bestämd integral som summan av integraler av formen på varje elementärt intervall och i den efterföljande ungefärliga ersättningen .
Trapetsformel.
Som du kan se uppnås den nödvändiga noggrannheten.
Lite om fel.
Teoretiskt sett tenderar det ungefärliga värdet av en bestämd integral, beräknat med trapetsmetoden, till det sanna värdet vid . Man bör dock ta hänsyn till att de flesta mellanliggande beräkningar utförs ungefär, och för stort n börjar beräkningsfelet ackumuleras.
Låt oss ta en titt på uppskattningarna av de absoluta felen i trapetsmetoden och metoden för medelrektanglar 
.
Man kan förvänta sig halva felet för ett givet n när man använder metoden för rektanglar med samma mängd beräkningsarbete, det vill säga att använda denna metod är så att säga att föredra. Detta är sant när värdena för funktionen vid mittpunkterna av de elementära segmenten är kända. Men ibland specificeras integrerbara funktioner inte analytiskt, utan som en uppsättning värden vid noderna. I det här fallet kommer vi inte att kunna tillämpa formeln för mellersta rektanglar, men vi kommer att kunna använda trapetsmetoden.
Metoderna för höger och vänster rektanglar är sämre än metoden för trapezoider i noggrannheten av resultatet för ett givet antal partitioner i integrationssegmentet.
Beräkning av integraler med hjälp av formlerna för rektanglar, trapetser och Simpsons formel. Uppskattning av fel.
Riktlinjer för ämne 4.1:
Beräkning av integraler med formler för rektanglar. Uppskattning av fel:
Lösningen av många tekniska problem reduceras till beräkningen av vissa integraler, vars exakta uttryck är svårt, kräver långa beräkningar och inte alltid är motiverat i praktiken. Här är deras ungefärliga värde ganska tillräckligt. Till exempel måste du beräkna arean som begränsas av en linje vars ekvation är okänd, axeln X och två ordinater. I det här fallet kan du ersätta denna linje med en enklare, för vilken ekvationen är känd. Arean av den sålunda erhållna kurvlinjära trapetsen tas som det ungefärliga värdet av den önskade integralen. Geometriskt är tanken bakom metoden för att beräkna den bestämda integralen med formeln för rektanglar att arean av en kurvlinjär trapetsoid A 1 ABB 1 ersätts med arean av en rektangel med lika stor yta A 1 A 2 B 1 B 2, som enligt medelvärdessatsen är lika med
Var f(c)--- rektangelhöjd A 1 A 2 B 1 B 2, vilket är värdet på integranden vid någon mellanliggande punkt c(a< c
Det är praktiskt taget svårt att hitta ett sådant värde Med, vid vilken (b-a)f(c) skulle vara exakt lika med . För att erhålla ett mer exakt värde delas området med en kurvlinjär trapets upp i n rektanglar vars höjder är lika y0, y1, y2, …,yn-1 och stiftelser.
Om vi sammanfattar områdena av rektanglar som täcker arean av en krökt trapets med en nackdel, är funktionen icke-minskande, istället för formeln används formeln
Om i överskott, alltså
Värden hittas från jämlikheter. Dessa formler kallas rektangelformler och ge ett ungefärligt resultat. Med ökningen n resultatet blir mer exakt.
Exempel 1 . Beräkna från formeln för rektanglar
Vi delar upp integrationsintervallet i 5 delar. Sedan . Med hjälp av en kalkylator eller en tabell hittar vi värdena för integranden (med en noggrannhet på 4 decimaler):
Enligt formeln för rektanglar (med en nackdel)
Å andra sidan, enligt Newton-Leibniz formel
Låt oss hitta det relativa beräkningsfelet med formeln för rektanglar:
Beräkning av integraler med trapetsformler. Uppskattning av fel:
Den geometriska betydelsen av följande metod för ungefärlig beräkning av integraler är att hitta arean för en ungefär lika stor "rätlinjig" trapets.
Låt det vara nödvändigt att beräkna arean A 1 AmBB 1 kurvlinjär trapets, uttryckt med formeln .
Låt oss byta ut bågen AmB ackord AB och istället för området med en krökt trapets A 1 AmBB 1 beräkna arean av trapetsen A 1 ABB 1: , var AA 1 och BB 1 - basen av trapetsen, och A 1 B 1 är dess höjd.
Beteckna f(a)=A1A,f(b)=B1B. trapetshöjd A 1 B 1 \u003d b-a, kvadrat. Därför, eller
Detta sk liten trapetsformel.
Exempel 2. Åns bredd 26 m, djupmått i tvärsnittet av floden varje 2 m gav följande resultat.
Undervisnings- och utbildningsuppgifter:
- didaktiskt syfte. Att introducera eleverna till metoderna för ungefärlig beräkning av en bestämd integral.
- utbildningsmål. Ämnet för denna lektion är av stort praktiskt och pedagogiskt värde. Den enklaste inställningen till idén om numerisk integration är baserad på definitionen av en bestämd integral som gränsen för integralsummor. Till exempel, om vi tar en tillräckligt liten partition av segmentet [ a; b] och konstruera en integral summa för den, så kan dess värde ungefär tas som värdet av motsvarande integral. Samtidigt är det viktigt att snabbt och korrekt utföra beräkningar med hjälp av datorteknik.
Grundläggande kunskaper och färdigheter. Ha förståelse för ungefärliga metoder för att beräkna en bestämd integral med hjälp av formlerna för rektanglar och trapetser.
Säkerställa lektionen
- Handout. Uppgiftskort för självständigt arbete.
- TSO. Multiprojektor, PC, bärbara datorer.
- TCO-utrustning. Presentationer: "Geometrisk betydelse av derivatan", "Metod för rektanglar", "Metod för trapezoider". (Presentationen kan lånas av författaren).
- Datorverktyg: PC, mikroräknare.
- Riktlinjer
Klasstyp. Integrerad praktisk.
Motivation av kognitiv aktivitet hos elever. Mycket ofta måste man beräkna bestämda integraler för vilka det är omöjligt att hitta en antiderivata. I detta fall används ungefärliga metoder för beräkning av bestämda integraler. Ibland används den ungefärliga metoden också för att "ta" integraler, om beräkningen med Newton-Leibniz formel inte är rationell. Tanken med en ungefärlig beräkning av integralen är att kurvan ersätts av en ny kurva som är tillräckligt "nära" den. Beroende på valet av en ny kurva kan en eller annan ungefärlig integrationsformel användas.
Lektionssekvens.
- Rektangelformel.
- Trapetsformel.
- Lösning av övningar.
Lektionsplanering
- Upprepning av grundläggande kunskaper hos elever.
Upprepa med eleverna: de grundläggande formlerna för integration, kärnan i de studerade metoderna för integration, den geometriska betydelsen av en bestämd integral.
- Utför praktiskt arbete.
Lösningen av många tekniska problem reduceras till beräkningen av vissa integraler, vars exakta uttryck är svårt, kräver långa beräkningar och inte alltid är motiverat i praktiken. Här är deras ungefärliga värde ganska tillräckligt.
Låt, till exempel, det är nödvändigt att beräkna området som begränsas av en linje vars ekvation är okänd. I det här fallet kan du ersätta denna linje med en enklare, vars ekvation är känd. Arean av den sålunda erhållna kurvlinjära trapetsen tas som ett ungefärligt värde för den önskade integralen.
Den enklaste ungefärliga metoden är metoden med rektanglar. Geometriskt är tanken bakom sättet att beräkna den bestämda integralen med formeln för rektanglar att arean av en krökt trapetsoid ABCD ersätts av summan av områdena av rektanglar, vars ena sida är , och den andra är .
Om vi sammanfattar områdena av rektanglarna som visar arean av en krökt trapets med en nackdel [Figur 1], så får vi formeln:
[Bild 1]
då får vi formeln: 
Om det finns i överflöd
[Figur 2],
sedan 
Värderingar y 0 , y 1 ,..., y n hittas från jämställdhet 
,
k = 0, 1..., n.Dessa formler kallas rektangelformler och ge ungefärliga resultat. Med ökningen n resultatet blir mer exakt.
Så för att hitta det ungefärliga värdet på integralen behöver du:
För att hitta beräkningsfelet måste du använda formlerna:
Exempel 1 Beräkna med formeln för rektanglar. Hitta de absoluta och relativa felen i beräkningar.
Låt oss dela upp segmentet [ a, b] i flera (till exempel 6) lika delar. Sedan a = 0, b =
3
,
x k = a + k x
X 0 = 2 + 0
= 2
X 1 = 2 + 1
= 2,5
X 2 = 2 + 2
=3
X 3 = 2 + 3
= 3
X 4 = 2 + 4
= 4
X 5 = 2 + 5
= 4,5
f(x 0) = 2 2 = 4
f
(x
1)
= 2
,5
2
=
6,25
f
(x
2)
=
3 2
=
9
f
(x
3)
=
3,5 2
=
12,25
f
(x
4)
=
4 2
=
16
f
(x
5)
=
4,5 2
=
20,25.
| X | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
| på | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
Enligt formel (1):
För att beräkna det relativa felet för beräkningar är det nödvändigt att hitta det exakta värdet på integralen:
Beräkningarna tog lång tid och vi fick en ganska grov avrundning. För att beräkna denna integral med en mindre approximation kan du använda datorns tekniska kapacitet.
För att hitta en bestämd integral med metoden för rektanglar är det nödvändigt att ange värdena för integranden f(x) till ett Excel-kalkylblad i intervallet X med ett givet steg X= 0,1.
- Sammanställa en datatabell (X och f(x)). X f(x). Argument, och i cell B1 - ordet Fungera2 2,1 ). Sedan, efter att ha valt blocket av celler A2:A3, får vi alla värden för argumentet genom automatisk komplettering (vi sträcker oss bortom det nedre högra hörnet av blocket till cell A32, till värdet x=5).
- Därefter introducerar vi integrandens värden. I cell B2 måste du skriva dess ekvation. För att göra detta, placera tabellmarkören i cell B2 och ange formeln från tangentbordet =A2^2(för engelsk tangentbordslayout). Tryck på knappen Stiga på. I cell B2 visas 4
. Nu måste du kopiera funktionen från cell B2. Autoslutför kopiera denna formel till intervallet B2:B32.
Som ett resultat bör en datatabell erhållas för att hitta integralen. - Nu i cell B33 kan ett ungefärligt värde på integralen hittas. För att göra detta anger du formeln i cell B33 = 0,1*, anropa sedan funktionsguiden (genom att trycka på knappen Infoga funktion i verktygsfältet (f(x)). I dialogrutan Funktionsguide-Steg 1 av 2 som visas, till vänster, i fältet Kategori, välj Math. Till höger i fältet Funktion - Summa-funktionen. Vi trycker på knappen OK. Dialogrutan Summa visas. Ange summeringsintervallet B2:B31 i arbetsfältet med musen. Vi trycker på knappen OK. I cell B33 visas ett ungefärligt värde på den önskade integralen med en nackdel ( 37,955 ) .
Att jämföra det erhållna ungefärliga värdet med det sanna värdet av integralen ( 39 ), kan det ses att approximationsfelet för metoden för rektanglar i detta fall är lika med
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
Exempel 2 Med hjälp av metoden för rektanglar, beräkna med ett givet steg X = 0,05.
Jämför det erhållna ungefärliga värdet med integralens sanna värde 
, kan det ses att approximationsfelet för metoden för rektanglar i detta fall är lika med
Trapetsmetoden ger vanligtvis ett mer exakt integralvärde än rektangelmetoden. Den kurvlinjära trapetsen ersätts med summan av flera trapetser och det ungefärliga värdet av den bestämda integralen återfinns som summan av trapetsernas arealer
[Bild3]
Exempel 3 Trapetsformigt fynd steg för steg X = 0,1.
- Öppna ett tomt kalkylblad.
- Sammanställa en datatabell (X och f(x)). Låt den första kolumnen vara värdena X, och den andra motsvarande indikatorer f(x). För att göra detta anger du ordet i cell A1 Argument, och i cell B1 - ordet Fungera. I cell A2 skrivs det första värdet av argumentet in - intervallets vänstra kant ( 0 ). I cell A3 skrivs det andra värdet av argumentet in - intervallets vänstra kant plus konstruktionssteget ( 0,1 ). Sedan, efter att ha valt blocket av celler A2:A3, får vi alla värden för argumentet genom automatisk komplettering (vi utökar det nedre högra hörnet av blocket till cell A33, till värdet x=3,1).
- Därefter introducerar vi integrandens värden. I cell B2 måste du skriva dess ekvation (i exemplet med en sinus). För att göra detta måste tabellmarkören placeras i cell B2. Det bör finnas ett sinusvärde som motsvarar värdet på argumentet i cell A2. För att få värdet på sinusen använder vi en speciell funktion: klicka på knappen Infoga funktion i verktygsfältet f(x). I dialogrutan Funktionsguide-Steg 1 av 2 som visas, till vänster, i fältet Kategori, välj Math. Till höger i fältet Funktion - en funktion SYND. Vi trycker på knappen OK. En dialogruta visas SYND. Håll muspekaren över det grå fältet i fönstret, med vänster knapp nedtryckt, flytta fältet till höger för att öppna datakolumnen ( MEN). Ange värdet på sinusargumentet genom att klicka på cell A2. Vi trycker på knappen OK. 0 visas i cell B2. Nu måste du kopiera funktionen från cell B2. Autokomplettera kopiera denna formel till intervallet B2:B33. Som ett resultat bör en datatabell erhållas för att hitta integralen.
- Nu i cell B34 kan ett ungefärligt värde för integralen hittas med hjälp av trapetsmetoden. För att göra detta anger du formeln i cell B34 \u003d 0,1 * ((B2 + B33) / 2+, anropa sedan funktionsguiden (genom att trycka på knappen Infoga funktion i verktygsfältet (f(x)). I dialogrutan Funktionsguide-Steg 1 av 2 som visas, till vänster, i fältet Kategori, välj Math. Till höger i fältet Funktion - Summa-funktionen. Vi trycker på knappen OK. Dialogrutan Summa visas. Ange summeringsintervallet B3:B32 i arbetsfältet med musen. Vi trycker på knappen OKännu en gång OK. I cell B34 visas ett ungefärligt värde på den eftersökta integralen med en nackdel ( 1,997 ) .
Genom att jämföra det erhållna ungefärliga värdet med det verkliga värdet av integralen kan man se att approximationsfelet för metoden för rektanglar i detta fall är ganska acceptabelt för praktiken.
- Lösning av övningar.
Hur man beräknar en bestämd integral
använder trapetsformeln och Simpsonmetoden?
Numeriska metoder är en ganska stor del av högre matematik och seriösa läroböcker om detta ämne har hundratals sidor. I praktiken, i test, föreslås traditionellt vissa uppgifter för att lösa med numeriska metoder, och en av de vanligaste uppgifterna är ungefärlig beräkning bestämda integraler. I den här artikeln kommer jag att överväga två metoder för ungefärlig beräkning av en bestämd integral − trapetsformad metod och simpsons metod.
Vad behöver du veta för att behärska dessa metoder? Det låter roligt, men du kanske inte kan ta integraler alls. Och förstår inte ens vad integraler är. Av de tekniska medlen behöver du en mikroräknare. Ja, ja, vi väntar på rutinmässiga skolberäkningar. Ännu bättre, ladda ner min halvautomatiska kalkylator för trapetsmetoden och Simpson-metoden. Kalkylatorn är skriven i Excel och gör att du kan tiodubbla tiden för att lösa och bearbeta uppgifter. En videomanual medföljer för Excel tekannor! Förresten, den första videon med min röst.
Låt oss först ställa oss själva frågan, varför behöver vi överhuvudtaget ungefärliga beräkningar? Det verkar vara möjligt att hitta funktionens antiderivata och använda Newton-Leibniz-formeln för att beräkna det exakta värdet av en viss integral. Som svar på frågan, låt oss omedelbart överväga ett demoexempel med en bild.
Beräkna en bestämd integral
Allt skulle vara bra, men i det här exemplet tas inte integralen - innan du inte tas, den så kallade integral logaritm. Finns denna integral ens? Låt oss avbilda grafen för integranden på ritningen: 
Allt är bra. Integranden är kontinuerlig på intervallet och den bestämda integralen är numeriskt lika med det skuggade området. Ja, det är bara en hake - integralen är inte tagen. Och i sådana fall kommer numeriska metoder till undsättning. I det här fallet uppstår problemet i två formuleringar:
1) Beräkna den bestämda integralen ungefär , avrundar resultatet till en viss decimal. Till exempel upp till två decimaler, upp till tre decimaler osv. Låt oss säga att du får ett ungefärligt svar på 5,347. Faktum är att det kanske inte är helt korrekt (faktiskt, låt oss säga att det mer exakta svaret är 5,343). Vår uppgift är bara i det för att avrunda resultatet till tre decimaler.
2) Beräkna den bestämda integralen ungefär, med en viss precision. Beräkna till exempel den bestämda integralen ungefär med en noggrannhet på 0,001. Vad betyder det? Det betyder att vi måste hitta ett sådant ungefärligt värde att modulo (ett eller annat sätt) skiljer sig inte från sanningen med mer än 0,001.
Det finns flera grundläggande metoder för ungefärlig beräkning av en bestämd integral som förekommer i problem:
Integrationssegmentet är uppdelat i flera delar och en stegad figur konstrueras, som är nära det önskade området i området: 
Döm inte strikt efter ritningarna, noggrannheten är inte perfekt - de hjälper bara till att förstå essensen av metoderna.
Tanken är liknande. Integrationssegmentet är uppdelat i flera mellansegment och grafen över integranden närmar sig avbruten linje linje: 
Så vårt område (blå skuggning) approximeras av summan av trapetsernas area (röd). Därav namnet på metoden. Det är lätt att se att trapetsmetoden ger en mycket bättre approximation än rektangelmetoden (med samma antal partitionssegment). Och naturligtvis, ju fler mindre mellansegment vi överväger, desto högre blir noggrannheten. Trapetsmetoden påträffas då och då i praktiska uppgifter, och i denna artikel kommer flera exempel att analyseras.
Simpsons metod (parabolmetoden). Detta är ett mer perfekt sätt - grafen för integranden närmar sig inte av en streckad linje, utan av små paraboler. Hur många mellansegment - så många små paraboler. Om vi tar samma tre segment kommer Simpson-metoden att ge en ännu mer exakt approximation än rektangelmetoden eller trapetsmetoden.
Jag ser inte poängen med att bygga en ritning, eftersom approximationen visuellt kommer att läggas över grafen för funktionen (den streckade linjen i föregående stycke - och till och med då sammanföll den nästan).
Uppgiften att beräkna en bestämd integral med hjälp av Simpson-formeln är den mest populära uppgiften i praktiken. Och metoden för paraboler kommer att ägnas stor uppmärksamhet.
Hur beräknar man en bestämd integral med trapetsmetoden?
Först den allmänna formeln. Kanske blir det inte klart för alla och inte direkt... Ja, Karlsson är med dig - praktiska exempel kommer att klargöra allt! Lugna. Bara lugn.
Betrakta den bestämda integralen, där är en funktion kontinuerlig på segmentet. Låt oss dela upp segmentet i likvärdig segment:
. I detta fall uppenbarligen: (nedre integrationsgräns) och (övre integrationsgräns). poäng 
även kallad knutar.
Då kan den bestämda integralen beräknas ungefär med trapetsformeln:
, var:
steg;
är värdena för integranden vid punkter 
.
Exempel 1
Beräkna en ungefärligen bestämd integral med hjälp av trapetsformeln. Avrunda resultaten till tre decimaler.
a) Dela upp integrationssegmentet i 3 delar.
b) Dela upp integrationssegmentet i 5 delar.
Lösning:
a) Speciellt för dummies knöt jag det första stycket till ritningen, vilket tydligt visade principen för metoden. Om det blir svårt, titta på ritningen under kommentarerna, här är en del av den: 
Enligt villkor måste integrationssegmentet delas upp i 3 delar, det vill säga .
Beräkna längden på varje segment av partitionen: 
. Parameter, jag påminner dig, kallas också steg.
Hur många poäng (partitionsnoder) kommer det att finnas? Det kommer vara en tillän antalet segment:
Tja, den allmänna formeln för trapezoider reduceras till en trevlig storlek: 
För beräkningar kan du använda en vanlig mikroräknare: 
Anteckna det, i enlighet med problemets tillstånd bör alla beräkningar avrundas till 3:e decimalen.
Till sist:
Ur geometrisk synvinkel beräknade vi summan av ytorna av tre trapetser (se bilden ovan).
b) Vi delar upp integrationssegmentet i 5 lika delar, det vill säga . Varför behövs detta? Så att Phobos-Grunt inte faller i havet - genom att öka antalet segment ökar vi noggrannheten i beräkningarna.
Om , då har trapetsformeln följande form:
Låt oss hitta partitioneringssteget: 
, det vill säga längden på varje mellansegment är 0,6.
När du är klar med uppgiften är det bekvämt att göra alla beräkningar med en beräkningstabell:
På första raden skriver vi "räknare"
Jag tror att alla kan se hur den andra raden bildas - först skriver vi ner den nedre integrationsgränsen, vi får de återstående värdena genom att successivt lägga till steget.
Med vilken princip slutsatsen är fylld, tror jag, nästan alla förstod. Till exempel, om , då 
. Vad som kallas, överväg, var inte lat.
Som ett resultat: 
Tja, det finns verkligen ett klargörande, och ett seriöst sådant! Om det ungefärliga värdet för 3 segment av partitionen var, då för 5 segment . Sålunda kan man med en hög grad av säkerhet hävda att åtminstone .
Exempel 2
Beräkna en ungefär definierad integral med hjälp av trapetsformeln med en noggrannhet på två decimaler (upp till 0,01).
Lösning: Nästan samma problem, men i en lite annan formulering. Den grundläggande skillnaden från exempel 1 är att vi vi vet inte, I HUR MÅNGA segment att dela upp integrationssegmentet för att få två korrekta decimaler. Med andra ord, vi vet inte värdet av .
Det finns en speciell formel som låter dig bestämma antalet partitionssegment för att säkerställa att den erforderliga noggrannheten uppnås, men i praktiken är det ofta svårt att tillämpa. Därför är det fördelaktigt att använda ett förenklat tillvägagångssätt.
Först är integrationssegmentet uppdelat i flera stora segment, som regel i 2-3-4-5. Låt oss till exempel dela upp integrationssegmentet i samma 5 delar. Formeln är redan bekant:
Och steget är förstås också känt: 
Men en annan fråga uppstår, till vilken siffra ska resultaten avrundas? Villkoret säger inget om hur många decimaler som ska lämnas. Den allmänna rekommendationen är: 2-3 siffror måste läggas till för erforderlig noggrannhet. I detta fall är den nödvändiga noggrannheten 0,01. Enligt rekommendationen, efter kommatecken, för trohet, lämnar vi fem tecken (fyra kunde ha varit):
Som ett resultat:
, betecknar vi approximationen med .
Efter det primära resultatet, antalet segment dubbel. I det här fallet är det nödvändigt att dela upp i 10 segment. Och när antalet segment växer, kommer en ljus tanke att tänka på att det redan på något sätt är trött att peta in fingrar i en mikrokalkylator. Därför föreslår jag återigen att ladda ner och använda min halvautomatiska miniräknare (länk i början av lektionen).
För trapetsformeln har följande form:
I pappersversionen kan posten säkert överföras till nästa rad.
Låt oss beräkna partitionssteget: 
Resultaten av beräkningarna sammanfattas i tabellen: 
När man avslutar i en anteckningsbok kan man med fördel förvandla ett långbord till ett tvåvåningsbord.
Som ett resultat:
Nu beräknar vi diskrepansen mellan approximationerna:
Här använder vi modulotecknet, eftersom vi är intresserade av absolut skillnad, och inte vilket resultat som är störst, utan vilket som är mindre.
När det gäller ytterligare åtgärder, stötte jag personligen på två lösningar i praktiken:
1) Det första sättet är en "head-to-head-jämförelse". Sedan den resulterande feluppskattningen Merän den erforderliga noggrannheten: 
, då är det nödvändigt att fördubbla antalet segment av partitionen upp till och redan beräkna . Med hjälp av en Excel-kalkylator kan det färdiga resultatet fås på några sekunder:. Nu uppskattar vi felet igen: . Poäng mottagen mindreän den erforderliga noggrannheten: 
därför är beräkningarna klara. Det återstår att runda av det sista (mest korrekta) resultatet till två decimaler och ge ett svar.
2) En annan, mer effektiv metod bygger på användningen av den sk Runge regler, enligt vilken vi har fel när vi uppskattar den bestämda integralen, faktiskt, med högst . I vårt problem: , därmed försvinner behovet av beräkning. Men för snabbheten på lösningen i det här fallet var vi tvungna att betala med noggrannhet: 
. Detta resultat är dock acceptabelt, eftersom vår "felgräns" är exakt en hundradel.
Vad ska man välja? Fokusera på din utbildningsmanual eller lärarens preferenser.
Svar: 
exakt till 0,01 (när du använder Runges regel).
Exempel 3
Beräkna en ungefärligen bestämd integral med hjälp av trapetsformeln med en noggrannhet på 0,001.
Innan du är återigen en otagen integral (nästan integral cosinus). I provlösningen genomfördes i det första steget en uppdelning i 4 segment, det vill säga . En komplett lösning och ett ungefärligt exempel på efterbehandling i slutet av lektionen.
Hur beräknar man den bestämda integralen med Simpsons formel?
Om du bara letade efter Simpson-metoden på den här sidan, rekommenderar jag starkt att du först läser början av lektionen och tittar på åtminstone det första exemplet. Av den anledningen att många idéer och tekniker kommer att likna trapetsmetoden.
Återigen, låt oss börja med den allmänna formeln
Betrakta den bestämda integralen, där är en funktion kontinuerlig på segmentet. Låt oss dela upp segmentet i även belopp likvärdig segment. Ett jämnt antal segment betecknas med .
I praktiken kan segmenten vara:
två:
fyra:
åtta:
tio:
tjugo:
Jag kommer inte ihåg några andra alternativ.
Uppmärksamhet! Tal förstås som ETT NUMMER. Det är, DET ÄR FÖRBJUDET minska till exempel med två, få . Inspelning endast står för att antalet segment jämnt. Och det finns inga nedskärningar att tala om.
Så vår partition ser ut så här:
Termerna liknar de för den trapetsformade metoden:
Prickar kallas knutar.
Simpson formel för den ungefärliga beräkningen av den bestämda integralen har följande form:
, var:
- längden på vart och ett av de små segmenten eller steg;
är värdena för integranden vid punkterna.
När jag beskriver denna hophopning kommer jag att analysera formeln mer i detalj:
är summan av det första och sista värdet av integranden;
är summan av medlemmar med även index multiplicerat med 2;
är summan av medlemmar med udda index multipliceras med 4.
Exempel 4
Beräkna den ungefärliga integralen med Simpsons formel till närmaste 0,001. Dela start med två segment 
Integralen, förresten, återigen tas inte.
Lösning: Jag uppmärksammar omedelbart typen av uppgift - det är nödvändigt att beräkna en bestämd integral med en viss noggrannhet. Vad detta innebär har redan kommenterats i början av artikeln, liksom om konkreta exempel från föregående stycke. När det gäller trapetsmetoden finns det en formel som omedelbart låter dig bestämma det erforderliga antalet segment (”en”-värdet) för att garantera den erforderliga noggrannheten. Det är sant att vi måste hitta den fjärde derivatan och lösa det extrema problemet. Som förstod vad jag menade och uppskattade arbetsmängden, log han. Det finns dock inget att skratta här, att hitta den fjärde derivatan av en sådan integrand kommer inte längre att vara en megabotan, utan en klinisk psykopat. Därför används i praktiken nästan alltid en förenklad metod för att uppskatta felet.
Vi börjar bestämma oss. Om vi har två partitionssegment, kommer noderna att vara det en till: . Och Simpsons formel har en mycket kompakt form: 
Låt oss beräkna partitionssteget: 
Låt oss fylla i beräkningstabellen:
Än en gång kommenterar jag hur tabellen är fylld:
I den översta raden skriver vi "räknaren" av index
På den andra raden skriver vi först den nedre gränsen för integration och lägger sedan till steget successivt.
På den tredje raden anger vi integrandens värden. Till exempel om , då . Hur många decimaler ska man lämna? Faktum är att villkoret återigen inte säger något om detta. Principen är densamma som i trapetsmetoden, vi tittar på den nödvändiga noggrannheten: 0,001. Och lägg till ytterligare 2-3 siffror. Det vill säga att du måste avrunda uppåt till 5-6 decimaler.
Som ett resultat:
Det första resultatet har erhållits. Nu dubbel antal segment upp till fyra: . Simpsons formel för denna partition har följande form:
Låt oss beräkna partitionssteget: 
Låt oss fylla i beräkningstabellen: 
På det här sättet:
Låt oss hitta det absoluta värdet av skillnaden mellan approximationerna:
Runges regel för Simpsons metod är läcker. Om vid användning mellersta rektangelmetoden och trapetsmetoden får vi en "överseende" på en tredjedel, nu - så mycket som en femtondel:
, och noggrannheten lider inte längre här: 
Men för fullständighetens skull kommer jag också att ge en "enkel" lösning, där du måste ta ytterligare ett steg: eftersom det finns mer än den nödvändiga noggrannheten: 
, då är det nödvändigt att dubbla antalet segment igen: .
Simpsons formel växer med stormsteg:
Låt oss beräkna steget: 
Låt oss fylla i kalkylarket igen:
På det här sättet: 
Observera att det här är önskvärt att beskriva beräkningarna mer i detalj, eftersom Simpsons formel är ganska besvärlig, och om du omedelbart dunkar:
, då kommer denna sprit att se ut som ett hack. Och med en mer detaljerad inspelning kommer läraren att få det positiva intrycket att du samvetsgrant raderat mikrokalkylatorns nycklar i en dryg timme. Detaljerade beräkningar för "hårda" fall finns i min kalkylator.
Vi uppskattar felet:
Felet är mindre än den nödvändiga noggrannheten: 
. Det återstår att ta den mest exakta approximationen, runda den upp till tre decimaler och skriv:
Svar: 
exakt till 0,001
Exempel 5
Beräkna en ungefärlig integral med Simpsons formel till närmaste 0,0001. Dela start med två segment 
Det här är ett gör-det-själv-exempel. Ett grovt exempel på efterarbete och ett svar i slutet av lektionen.
I den sista delen av lektionen kommer vi att överväga ett par vanligare exempel.
Exempel 6
Beräkna det ungefärliga värdet av en bestämd integral 
använder Simpson-formeln och delar upp integrationssegmentet i 10 delar. Beräkningar utförs med en noggrannhet på tre decimaler.
- Vad beror ett ämnes brytningsindex på?
- Våglängd och vågutbredningshastighet
- Hur man hittar extremumet (minsta och högsta poäng) för en funktion
- Lagen för fördelningen av summan av två stokastiska variabler
- Krig mellan partiklar och antipartiklar Historien om upptäckten av antipartiklar
- Kinetisk energi hos en roterande kropp
- Lorentz kraft, definition, formel, fysisk betydelse Lorentz kraft i si
- fasta ämnen lösta i vatten
- Betydelsen av ordet identitet
- Fourierserieexpansion av jämna och udda funktioner Bessel inequality parseval equality Fourierserieexempel på lösningar med ökad komplexitet
- För varje dag Utöka funktionen i en Fourier-serie
- Minsta kvadrater i Excel
- Nödvändigt villkor för linjärt beroende av n funktioner
- Utveckla en prognos med hjälp av minsta kvadratmetoden
- Hur man mäter ytspänning Vad är ytspänning
- Enhetlig kontinuerlig distribution i EXCEL
- Trapetsform Beräkning av integralen med hjälp av trapetsformeln
- Tillräckliga villkor för representabilitet av en funktion med en Fourier-integral
- Vad är emk i vilka enheter mäts det
- Hur är partiklar ordnade i fasta ämnen, vätskor och gaser?