Hur man löser extrempunktsekvationer. Hur man hittar extremumet (minsta och högsta poäng) för en funktion. Minskande funktionsdefinition

Funktionen y = f(x) anropas ökande (avtagande) i något intervall om för x 1< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Om en differentierbar funktion y = f(x) på ett segment ökar (minskar), då dess derivata på detta segment f "(x) > 0, (f "(x)< 0).

Punkt xhandla om kallad lokal maxpunkt (minimum) av funktionen f(x) om det finns ett område till punkten puss kram, för alla punkter där olikheten f(x) ≤ f(x o), (f(x) ≥f(x o)) är sann.

Maximi- och minimumpoängen kallas extrema punkter, och funktionens värden vid dessa punkter är dess extrema.

extrema punkter

Nödvändiga förutsättningar för ett extremum. Om punkt xhandla omär en extrempunkt för funktionen f (x), så existerar inte antingen f "(x o) \u003d 0 eller f (x o). Sådana punkter kallas kritisk, där själva funktionen definieras vid den kritiska punkten. Extrema av en funktion bör sökas bland dess kritiska punkter.

Det första tillräckliga villkoret. Låta xhandla om- kritisk punkt. Om f "(x) när du passerar genom en punkt xhandla omändrar plustecknet till minus, sedan vid punkten puss kram funktionen har ett maximum, annars har den ett minimum. Om derivatan inte ändrar tecken när den passerar genom en kritisk punkt, då vid punkten xhandla om det finns inget extremum.

Det andra tillräckliga villkoret. Låt funktionen f(x) ha f" (x) i närheten av punkten xhandla om och andraderivatan f "" (x 0) vid själva punkten puss kram. Om f "(x o) \u003d 0, f "" (x 0)> 0, (f "" (x 0)<0), то точкаpuss kramär en lokal minimipunkt (maximum) för funktionen f(x). Om f "" (x 0) = 0, måste du antingen använda det första tillräckliga villkoret eller involvera högre.

På ett segment kan funktionen y =f(x) nå sitt lägsta eller högsta värde antingen vid kritiska punkter eller i slutet av segmentet.

Exempel 3.22. Hitta extrema för funktionen f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Lösning. Eftersom f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), då de kritiska punkterna för funktionen x 1 \u003d 2 och x 2 \u003d 3. Extrema punkter kan bara vara vid dessa punkter. Så som när man passerar genom punkten x 1 \u003d 2, ändrar derivatan tecken från plus till minus, då har funktionen vid denna punkt ett maximum. När man passerar genom punkten x 2 \u003d 3, derivatan ändrar tecken från minus till plus, därför, vid punkten x 2 \u003d 3, har funktionen ett minimum. Efter att ha beräknat funktionens värden vid punkterna x 1 = 2 och x 2 = 3, finner vi extrema för funktionen: maximalt f (2) = 14 och minimum f (3) = 13.

Uppgifter för att hitta extremumet för en funktion

Exempel 3.23.a

Lösning. x och y. Området på webbplatsen är lika med S =xy. Låta yär längden på sidan som gränsar till väggen. Sedan, av villkoret, måste likheten 2x + y = a hålla. Därför är y = a - 2x och S =x(a - 2x), där 0 ≤x ≤a/2 (längden och bredden på dynan kan inte vara negativ). S " = a - 4x, a - 4x = 0 för x = a/4, varav y = a - 2×a/4 = a/2. Eftersom x = a/4 är den enda kritiska punkten, kontrollera om tecknet ändrar derivatan när vi passerar denna punkt, för x< a/4, S " >0, och för x > a/4, S "< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exempel 3.24.

Lösning.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exempel 3.22. Hitta extrema för funktionen f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Lösning. Eftersom f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), då de kritiska punkterna för funktionen x 1 \u003d 2 och x 2 \u003d 3. Extrema punkter kan bara vara vid dessa punkter. Så som när man passerar genom punkten x 1 \u003d 2, ändrar derivatan tecken från plus till minus, då har funktionen vid denna punkt ett maximum. När man passerar genom punkten x 2 \u003d 3, derivatan ändrar tecken från minus till plus, därför, vid punkten x 2 \u003d 3, har funktionen ett minimum. Efter att ha beräknat funktionens värden vid punkterna x 1 = 2 och x 2 = 3, finner vi extrema för funktionen: maximalt f (2) = 14 och minimum f (3) = 13.

Exempel 3.23. Det är nödvändigt att bygga ett rektangulärt område nära stenmuren så att det är inhägnat med trådnät på tre sidor och gränsar till väggen på den fjärde sidan. För detta finns a linjära meter av nätet. Vid vilket bildförhållande kommer webbplatsen att ha störst yta?

Lösning. Beteckna sidorna av webbplatsen genom x och y. Området på webbplatsen är S = xy. Låta yär längden på sidan som gränsar till väggen. Sedan, av villkoret, måste likheten 2x + y = a hålla. Därför y = a - 2x och S = x(a - 2x), där
0 ≤x ≤a/2 (platsens längd och bredd kan inte vara negativ). S "= a - 4x, a - 4x = 0 för x = a/4, varifrån
y = a - 2a/4 = a/2. Eftersom x = a/4 är den enda kritiska punkten, låt oss kontrollera om tecknet för derivatan ändras när vi passerar genom denna punkt. Vid x< a/4, S " >0, och för x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exempel 3.24. Det krävs att man tillverkar en sluten cylindrisk tank med en kapacitet på V=16p ≈ 50 m 3 . Vilka dimensioner bör tanken ha (radie R och höjd H) för att använda minsta mängd material för tillverkningen?

Lösning. Cylinderns totala yta är S = 2pR(R+H). Vi känner till cylindervolymen V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Följaktligen är S(R) = 2p(R2+16/R). Vi hittar derivatan av denna funktion:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 för R 3 \u003d 8, därför,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Tänk på två tänder av en välkänd sågprofil. Låt oss rikta axeln längs sågens platta sida och axeln - vinkelrät mot den. Låt oss få en graf över någon funktion, som visas i fig. ett.

Det är ganska uppenbart att både vid punkten och vid punkten visar sig funktionens värden vara störst i jämförelse med värdena vid de närliggande punkterna till höger och vänster, och vid punkten - minst i jämförelse med närliggande punkter. Punkterna kallas extremumpunkterna för funktionen (från latinets extremum - "extrem"), punkterna och är maxpunkterna, och punkten är minimipunkten (från latinets maximum och minimum - "störst" och "minst" ”).

Låt oss förfina definitionen av ett extremum.

En funktion i en punkt sägs ha ett maximum om det finns ett intervall som innehåller punkten och som hör till funktionens domän, så att det för alla punkter i detta intervall visar sig vara . Följaktligen har funktionen vid en punkt ett minimum om villkoret är uppfyllt för alla punkter i ett visst intervall.

På fig. Figurerna 2 och 3 visar grafer över funktioner som har ett extremum vid en punkt.

Låt oss vara uppmärksamma på det faktum att extremumpunkten per definition måste ligga inom intervallet för att ställa in funktionen, och inte vid dess slut. Därför, för funktionen som visas i fig. 1, kan det inte antas att den har ett minimum vid punkten.

Om vi ​​i denna definition av maximum (minimum) för en funktion ersätter den strikta ojämlikheten med en icke strikt , då får vi definitionen av ett icke-strikt maximum (icke strikt minimum). Betrakta till exempel profilen av en bergstopp (Fig. 4). Varje punkt i ett plant område - ett segment är en icke strikt maxpunkt.

I differentialkalkyl är studiet av en funktion för extrema mycket effektivt och utförs helt enkelt med en derivata. En av differentialkalkylens huvudsatser, som fastställer ett nödvändigt villkor för extremumet av en differentierbar funktion, är Fermats sats (se Fermats sats). Låt funktionen i en punkt ha ett extremum. Om det finns en derivata vid denna punkt är den lika med noll.

I geometriskt språk betyder Fermats sats att tangenten till funktionens graf vid extrempunkten är horisontell (fig. 5). Det omvända påståendet är naturligtvis inte sant, vilket till exempel visas av grafen i fig. 6.

Teoremet är uppkallat efter den franske matematikern P. Fermat, som var en av de första som löste ett antal extremumproblem. Han hade ännu inte till sitt förfogande begreppet derivat, utan tillämpade en metod i sin forskning, vars essens kommer till uttryck i uttalandet av satsen.

Ett tillräckligt villkor för extremumet av en differentierbar funktion är en förändring av derivatans tecken. Om derivatan vid en punkt byter tecken från minus till plus, d.v.s. dess minskning ersätts av en ökning, då blir punkten minimipunkten. Tvärtom blir punkten maxpoängen om derivatan ändrar tecken från plus till minus, d.v.s. går från stigande till fallande.

Punkten där derivatan av funktionen är lika med noll kallas stationär. Om en differentierbar funktion undersöks för ett extremum, bör alla dess stationära punkter hittas och derivatans tecken bör betraktas till vänster och till höger om dem.

Vi undersöker funktionen för ett extremum.

Låt oss hitta dess derivata: .

Innan du lär dig hur man hittar extrema för en funktion är det nödvändigt att förstå vad ett extremum är. Den mest allmänna definitionen av ett extremum säger att det är det minsta eller största värdet av en funktion som används i matematik på en viss uppsättning av en tallinje eller graf. På den plats där minimum är, visas yttersta gränsen för minimum, och där maximi är, visas yttersta gränsen för maximum. Även i en sådan disciplin som matematisk analys urskiljs lokala extrema för en funktion. Låt oss nu titta på hur man hittar extremum.

Extremer i matematik är bland de viktigaste egenskaperna hos en funktion, de visar dess största och minsta värde. Extrema finns främst vid de kritiska punkterna för de funna funktionerna. Det är värt att notera att det är i extremumpunkten som funktionen radikalt ändrar riktning. Om vi ​​beräknar derivatan av extremumpunkten måste den enligt definitionen vara lika med noll annars kommer den att vara helt frånvarande. För att lära dig hur man hittar extremumet för en funktion måste du alltså utföra två sekventiella uppgifter:

• hitta derivatan för funktionen som behöver bestämmas av uppgiften;
• hitta rötterna till ekvationen.

Sekvensen för att hitta extremumet

1. Skriv ner funktionen f(x) som ges. Hitta dess första ordningens derivata f "(x). Jämställ det resulterande uttrycket med noll.
2. Nu ska du lösa ekvationen som blev. De resulterande lösningarna kommer att vara rötterna till ekvationen, såväl som de kritiska punkterna för den funktion som definieras.
3. Nu bestämmer vi vilka kritiska punkter (maximum eller minimum) som är de hittade rötterna. Nästa steg, efter att vi lärt oss hur man hittar ytterpunkterna för en funktion, är att hitta andraderivatan av den önskade funktionen f "(x). Det kommer att vara nödvändigt att ersätta värdena för de hittade kritiska punkterna in i en specifik olikhet och räkna sedan ut vad som händer.Om detta händer, att andraderivatan visar sig vara större än noll vid den kritiska punkten, så blir det minimipunkten, och annars blir det maxpunkten.
4. Det återstår att beräkna värdet på den initiala funktionen vid de erforderliga maximala och minimipunkterna för funktionen. För att göra detta ersätter vi de erhållna värdena i funktionen och beräknar. Det bör dock noteras att om den kritiska punkten visade sig vara ett maximum, kommer extremumet också att vara maximalt, och om det är ett minimum, kommer det att vara minimum analogt.

Algoritm för att hitta ett extremum

För att sammanfatta den kunskap som erhållits, låt oss göra en kort algoritm för hur man hittar extrema punkter.

1. Vi hittar domänen för den givna funktionen och dess intervall, som bestämmer exakt på vilka intervall funktionen är kontinuerlig.
2. Vi hittar derivatan av funktionen f "(x).
3. Vi beräknar de kritiska punkterna i ekvationen y = f (x).
4. Vi analyserar förändringarna i riktningen för funktionen f (x), såväl som tecknet för derivatan f "(x) där de kritiska punkterna separerar definitionsdomänen för denna funktion.
5. Nu avgör vi om varje punkt på grafen är ett maximum eller ett minimum.
6. Vi hittar funktionens värden på de punkter som är extrema.
7. Vi fixar resultatet av denna studie - extrema och monotoniska intervall. Det är allt. Nu har vi funderat på hur man hittar ett extremum på vilket intervall som helst. Om du behöver hitta ett extremum på ett visst intervall av en funktion, så görs detta på ett liknande sätt, endast gränserna för den forskning som utförs tas med nödvändighet i beaktande.

Så vi har övervägt hur man kan hitta ytterpunkterna för en funktion. Med hjälp av enkla beräkningar, samt kunskap om att hitta derivator, kan du hitta vilket extremum som helst och beräkna det, samt grafiskt beteckna det. Att hitta ytterligheter är en av de viktigaste delarna av matematiken, både i skolan och på en högre utbildningsinstitution, därför, om du lär dig hur man bestämmer dem korrekt, kommer inlärningen att bli mycket lättare och mer intressant.

Funktion extremer

Definition 2

En punkt $x_0$ kallas en punkt av maximum för funktionen $f(x)$ om det finns en grannskap till denna punkt så att för alla $x$ från denna grannskap är olikheten $f(x)\le f(x_0 )$ är nöjd.

Definition 3

En punkt $x_0$ kallas en punkt av maximum för funktionen $f(x)$ om det finns en grannskap till denna punkt så att för alla $x$ från detta område är olikheten $f(x)\ge f(x_0 )$ är nöjd.

Begreppet extremum för en funktion är nära besläktat med begreppet en kritisk punkt i en funktion. Låt oss presentera dess definition.

Definition 4

$x_0$ kallas en kritisk punkt för funktionen $f(x)$ om:

1) $x_0$ - intern punkt för definitionsdomänen;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ eller existerar inte.

För begreppet ett extremum kan man formulera satser om tillräckliga och nödvändiga förutsättningar för dess existens.

Sats 2

Tillräckligt extremum tillstånd

Låt punkten $x_0$ vara kritisk för funktionen $y=f(x)$ och ligga i intervallet $(a,b)$. Låt derivatan $f"(x)$ finnas på varje intervall $\left(a,x_0\right)\ och\ (x_0,b)$ och behåll ett konstant tecken. Sedan:

1) Om på intervallet $(a,x_0)$ derivatan $f"\left(x\right)>0$, och på intervallet $(x_0,b)$ derivatan $f"\left(x\ höger)

2) Om derivatan $f"\left(x\right)0$ är på intervallet $(a,x_0)$, så är punkten $x_0$ minimipunkten för denna funktion.

3) Om både på intervallet $(a,x_0)$ och på intervallet $(x_0,b)$ derivatan $f"\left(x\right) >0$ eller derivatan $f"\left(x \höger)

Denna sats illustreras i figur 1.

Figur 1. Tillräckligt villkor för förekomsten av extrema

Exempel på ytterligheter (Fig. 2).

Figur 2. Exempel på extremumpunkter

Regeln för att undersöka en funktion för ett extremum

2) Hitta derivatan $f"(x)$;

7) Dra slutsatser om förekomsten av maxima och minima för varje intervall med hjälp av sats 2.

Funktion stigande och minskande

Låt oss först introducera definitionerna av ökande och minskande funktioner.

Definition 5

En funktion $y=f(x)$ definierad på ett intervall $X$ kallas ökande om för några punkter $x_1,x_2\in X$ för $x_1

Definition 6

En funktion $y=f(x)$ definierad på ett intervall $X$ kallas minskande om för några punkter $x_1,x_2\in X$ för $x_1f(x_2)$.

Undersöka en funktion för att öka och minska

Du kan undersöka funktioner för att öka och minska med hjälp av derivatan.

För att undersöka en funktion för intervall för ökning och minskning måste du göra följande:

1) Hitta domänen för funktionen $f(x)$;

2) Hitta derivatan $f"(x)$;

3) Hitta punkterna där likheten $f"\left(x\right)=0$;

4) Hitta punkter där $f"(x)$ inte finns;

5) Markera på koordinatlinjen alla hittade punkter och domänen för den givna funktionen;

6) Bestäm tecknet för derivatan $f"(x)$ på varje resulterande intervall;

7) Sluta: på intervallen där $f"\left(x\right)0$ ökar funktionen.

Exempel på problem för studier av funktioner för att öka, minska och förekomsten av extremumpunkter

Exempel 1

Undersök funktionen för att öka och minska, och förekomsten av punkter med maxima och minima: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Eftersom de första 6 poängen är desamma kommer vi att dra dem först.

1) Definitionsdomän - alla reella tal;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ finns på alla punkter i definitionsdomänen;

5) Koordinatlinje:

Figur 3

6) Bestäm tecknet för derivatan $f"(x)$ för varje intervall:

\ \}