Enhetligt fördelad stokastisk variabel. Enhetlig kontinuerlig distribution i EXCEL. Enhetliga distributionsegenskaper

I praktiken finns det slumpvariabler om vilka det är känt på förhand att de kan anta vilket värde som helst inom strikt definierade gränser, och inom dessa gränser har alla värden på slumpvariabeln samma sannolikhet (har samma sannolikhetstäthet).

Till exempel, om en klocka går sönder, kommer den stoppade minutvisaren att visa med lika stor sannolikhet (sannolikhetstäthet) tiden som förflutit från början av den givna timmen tills klockan går. Den här tiden är en slumpvariabel som tar värden med samma sannolikhetstäthet som inte går utöver de gränser som definieras av varaktigheten på en timme. Även avrundningsfel hör till sådana slumpvariabler. Sådana kvantiteter sägs vara enhetligt fördelade, det vill säga de har en enhetlig fördelning.

Definition. En kontinuerlig stokastisk variabel X har en enhetlig fördelning på intervallet[a, in], om den slumpmässiga variabelns sannolikhetsfördelningstäthet på detta segment är konstant, d.v.s. om differentialfördelningsfunktionen f(x) har följande form:

Denna fördelning kallas ibland lagen om enhetlig densitet. Om en kvantitet som har en enhetlig fördelning på ett visst segment kommer vi att säga att den fördelas enhetligt på detta segment.

Hitta värdet på konstanten c. Eftersom området som begränsas av fördelningskurvan och axeln Åh,är alltså lika med 1

var Med=1/(b-a).

Nu funktionen f(x)kan representeras som

Låt oss konstruera distributionsfunktionen F(x ), som vi finner uttrycket för F (x) på intervallet [ a, b]:

Grafer för funktionerna f (x) och F (x) ser ut så här:

Låt oss hitta numeriska egenskaper.

Med hjälp av formeln för att beräkna den matematiska förväntan av NSW har vi:

Således är den matematiska förväntan av en slumpvariabel likformigt fördelad på intervallet [a, b] sammanfaller med mitten av detta segment.

Hitta variansen för en likformigt fördelad slumpvariabel:

varav det omedelbart följer att standardavvikelsen:

Låt oss nu hitta sannolikheten att värdet av en stokastisk variabel med en enhetlig fördelning faller in i intervallet(a, b), som helt tillhör segmentet [a,b ]:

Onlinetjänst:

Som tidigare nämnts, exempel på sannolikhetsfördelningar kontinuerlig slumpvariabel X är:

• enhetlig sannolikhetsfördelning av en kontinuerlig stokastisk variabel;
• exponentiell sannolikhetsfördelning av en kontinuerlig stokastisk variabel;
• normal distribution sannolikheter för en kontinuerlig stokastisk variabel.

Låt oss ge begreppet enhetliga och exponentiella fördelningslagar, sannolikhetsformler och numeriska egenskaper hos de betraktade funktionerna.

Index	Slumpmässig distributionslag	Den exponentiella fördelningens lag
Definition	Uniform kallas sannolikhetsfördelningen för en kontinuerlig stokastisk variabel X, vars densitet förblir konstant på intervallet och har formen	En exponentiell (exponentiell) kallas sannolikhetsfördelningen för en kontinuerlig stokastisk variabel X, som beskrivs av en densitet som har formen
		där λ är ett konstant positivt värde
distributionsfunktion
Sannolikhet slå intervallet
Förväntat värde
Dispersion
Standardavvikelse

Exempel på att lösa problem i ämnet "Uniforma och exponentiella distributionslagar"

Uppgift 1.

Bussar går strikt enligt tidtabellen. Rörelseintervall 7 min. Ta reda på: (a) sannolikheten att en passagerare som kommer till ett stopp kommer att vänta på nästa buss i mindre än två minuter. b) sannolikheten att en passagerare som närmar sig hållplatsen kommer att vänta på nästa buss i minst tre minuter; c) den matematiska förväntan och standardavvikelsen för den slumpmässiga variabeln X - passagerarens väntetid.

Lösning. 1. Enligt problemets tillstånd, en kontinuerlig slumpmässig variabel X=(passagerarens väntetid) jämnt fördelat mellan ankomsterna av två bussar. Längden på fördelningsintervallet för stokastisk variabel X är lika med b-a=7, där a=0, b=7.

2. Väntetiden blir mindre än två minuter om det slumpmässiga värdet X faller inom intervallet (5;7). Sannolikheten att falla in i ett givet intervall hittas av formeln: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Väntetiden kommer att vara minst tre minuter (det vill säga från tre till sju minuter) om det slumpmässiga värdet X faller inom intervallet (0; 4). Sannolikheten att falla in i ett givet intervall hittas av formeln: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Matematisk förväntan på en kontinuerlig, likformigt fördelad stokastisk variabel X - passagerarens väntetid, finner vi med formeln: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.

5. Standardavvikelsen för en kontinuerlig, likformigt fördelad slumpvariabel X - passagerarens väntetid, finner vi med formeln: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Uppgift 2.

Exponentialfördelningen ges för x ≥ 0 av densiteten f(x) = 5e – 5x. Obligatoriskt: a) skriv ett uttryck för fördelningsfunktionen; b) hitta sannolikheten för att X, som ett resultat av testet, hamnar i intervallet (1; 4); c) hitta sannolikheten att som ett resultat av testet X ≥ 2; d) beräkna M(X), D(X), σ(X).

Lösning. 1. Eftersom, genom villkor, exponentiell fördelning , då får vi från formeln för sannolikhetsfördelningstätheten för den slumpmässiga variabeln X λ = 5. Då ser fördelningsfunktionen ut så här:

2. Sannolikheten för att X som ett resultat av testet hamnar i intervallet (1; 4) kommer att hittas av formeln:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Sannolikheten att som ett resultat av testet X ≥ 2 kommer att hittas av formeln: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Vi finner för exponentialfördelningen:

• matematisk förväntan enligt formeln M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
• dispersion enligt formeln D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
• standardavvikelse enligt formeln σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Kom ihåg definitionen av sannolikhetstätheten.

Vi introducerar nu konceptet med en enhetlig sannolikhetsfördelning:

Definition 2

En fördelning kallas enhetlig om, på ett intervall som innehåller alla möjliga värden för en slumpvariabel, distributionstätheten är konstant, det vill säga:

Bild 1.

Hitta värdet på konstanten $\ C$ med hjälp av följande fördelningsdensitetsegenskap: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Således har den enhetliga fördelningsdensitetsfunktionen formen:

Figur 2.

Grafen har följande form (Fig. 1):

Figur 3. Densitet av enhetlig sannolikhetsfördelning

Uniform sannolikhetsfördelningsfunktion

Låt oss nu hitta fördelningsfunktionen för en enhetlig fördelning.

För att göra detta använder vi följande formel: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. För $x ≤ a$, enligt formeln, får vi:

1. För $a

1. För $x> 2$, enligt formeln, får vi:

Således har distributionsfunktionen formen:

Figur 4

Grafen har följande form (fig. 2):

Figur 5. Enhetlig sannolikhetsfördelningsfunktion.

Sannolikheten för att en stokastisk variabel faller in i intervallet $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ under en enhetlig sannolikhetsfördelning

För att hitta sannolikheten för att en slumpvariabel faller in i intervallet $(\alpha ,\beta)$ med en enhetlig sannolikhetsfördelning använder vi följande formel:

Förväntat värde:

Standardavvikelse:

Exempel på att lösa problemet för en enhetlig fördelning av sannolikheter

Exempel 1

Intervallet mellan trolleybussarna är 9 minuter.

Kompilera fördelningsfunktionen och distributionstätheten för den slumpmässiga variabeln $X$ som väntar på trolleybusspassagerarna.

Hitta sannolikheten att passageraren väntar på trådbussen på mindre än tre minuter.

Hitta sannolikheten att passageraren väntar på trolleybussen om minst 4 minuter.

Hitta den matematiska förväntan, varians och standardavvikelse

1. Eftersom den kontinuerliga slumpvariabeln $X$ för att vänta på trolleybussen är likformigt fördelad, då är $a=0,\ b=9$.

Således har fördelningsdensiteten, enligt formeln för densitetsfunktionen för den enhetliga sannolikhetsfördelningen, formen:

Bild 6

Enligt formeln för den enhetliga sannolikhetsfördelningsfunktionen har fördelningsfunktionen i vårt fall formen:

Bild 7

1. Denna fråga kan omformuleras enligt följande: hitta sannolikheten att en stokastisk variabel av en enhetlig fördelning faller in i intervallet $\left(6,9\right).$

Vi får:

\}