Fördelningstäthet av summan av två likformigt fördelade storheter. Lagen för fördelningen av summan av två stokastiska variabler. Sammansättning av två distributionslagar. Ansökningar om försäkring

I praktiken blir det ofta nödvändigt att hitta fördelningslagen för summan av stokastiska variabler.

Låt det finnas ett system (X b X 2) två sammanhängande s. i. och deras summa

Låt oss hitta distributionstätheten c. i. U. I enlighet med den allmänna lösningen i föregående stycke finner vi området för planet där x + x 2 (Fig. 9.4.1):

Genom att differentiera detta uttryck med avseende på y får vi en ap. slumpvariabel Y \u003d X + X 2:

Eftersom funktionen φ (x b x 2) = Xj + x 2 är symmetrisk med avseende på dess argument, då

Om med. i. X och X 2 är oberoende, då har formlerna (9.4.2) och (9.4.3) formen:

I fallet när oberoende c. i. x x och X 2, prata om distributionslagarnas sammansättning. Producera sammansättning två distributionslagar - detta innebär att hitta distributionslagen för summan av två oberoende c. c., fördelade enligt dessa lagar. Den symboliska notationen används för att beteckna sammansättningen av distributionslagar

som i huvudsak betecknas med formlerna (9.4.4) eller (9.4.5).

Exempel 1. Arbetet med två tekniska enheter (TD) beaktas. Först fungerar TU efter att dess misslyckande (misslyckande) ingår i driften av TU 2. Drifttid TU TU TU 2 - x x och X 2 - är oberoende och fördelade enligt exponentiella lagar med parametrarna A,1 och X 2 . Därför tiden Y problemfri drift av TU, bestående av TU! och TU 2 kommer att bestämmas av formeln

Det krävs att man hittar en p.r. slumpvariabel Y, dvs sammansättningen av två exponentiella lagar med parametrar och X 2 .

Lösning. Med formeln (9.4.4) får vi (y > 0)

Om det finns en sammansättning av två exponentiella lagar med samma parametrar (?c = X 2 = Y), då erhålls i uttrycket (9.4.8) en osäkerhet av typen 0/0, vilket expanderar vilket vi får:

Genom att jämföra detta uttryck med uttryck (6.4.8), är vi övertygade om att sammansättningen av två identiska exponentiallagar (?c = X 2 = x)är andra ordningens Erlang-lag (9.4.9). När man komponerar två exponentiallagar med olika parametrar x x och A-2 får andra ordningens generaliserade Erlang-lag (9.4.8). ?

Uppgift 1. Lagen för fördelningen av skillnaden mellan två s. i. System med. i. (X och X 2) har ett led r.p./(x x x 2). Hitta en p.r. deras olikheter Y=X - X 2 .

Lösning. För systemet med i. (X b - X 2) etc. kommer att vara / (x b - x 2), dvs vi ersatte mellanskillnaden med summan. Därför har a.r. slumpvariabel U kommer att ha formen (se (9.4.2), (9.4.3)):

Om en Med. i. X x iX 2 oberoende alltså

Exempel 2. Hitta en f.r. skillnaden mellan två oberoende exponentiellt fördelade s. i. med parametrar x x och X 2 .

Lösning. Enligt formeln (9.4.11) får vi

Ris. 9.4.2 Ris. 9.4.3

Figur 9.4.2 visar en sid. g(y). Om vi ​​betraktar skillnaden mellan två oberoende exponentiellt fördelade s. i. med samma parametrar (A-i= X 2 = MEN,), sedan g(y) \u003d / 2 - redan bekant

Laplaces lag (Fig. 9.4.3). ?

Exempel 3. Hitta fördelningslagen för summan av två oberoende c. i. X och X 2, distribueras enligt Poisson-lagen med parametrar yxa och en 2 .

Lösning. Hitta sannolikheten för en händelse (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Därför, s. i. Y= X x + X 2 distribueras enligt Poisson-lagen med parametern a x2) - a x + a 2. ?

Exempel 4. Hitta fördelningslagen för summan av två oberoende c. i. x x och X 2, fördelade enligt binomiallagar med parametrar p x ri p 2, sid respektive.

Lösning. Föreställ dig med. i. x x som:

var X 1) - händelseindikator MEN upplevelsen:

Distributionsområde med. i. X,- har formen

Vi kommer att göra en liknande framställning för s. i. X 2: där X] 2) - händelseindikator MEN i y"-e erfarenheten:

Följaktligen,

var är X? 1)+(2) om händelseindikatorn MEN:

Det har vi alltså visat i. Svärfars belopp (u + n 2) händelseindikatorer MEN, hvaraf följer att s. i. ^fördelad enligt binomiallagen med parametrar ( n x + n 2), sid.

Observera att om sannolikheterna R i olika serier av experiment är olika, då som ett resultat av att lägga till två oberoende s. c., fördelat enligt binomiallagar, visar det sig c. c., fördelade inte enligt binomiallagen. ?

Exemplen 3 och 4 är lätta att generalisera till ett godtyckligt antal termer. När man komponerar Poissons lagar med parametrar a b a 2 , ..., ett t Poissons lag erhålls återigen med parametern a (t) \u003d a x + a 2 + ... + och t.

Vid sammansättning av binomiallagar med parametrar (n r); (i 2, R) , (n t, p)återigen får vi den binomala lagen med parametrar ("("), R), var n (t) \u003d u + n 2 + ... + etc.

Vi har bevisat viktiga egenskaper hos Poissons lag och den binomala lagen: "stabilitetsegenskapen". Fördelningslagen heter hållbar, om sammansättningen av två lagar av samma typ resulterar i en lag av samma typ (endast parametrarna i denna lag skiljer sig åt). I underavsnitt 9.7 kommer vi att visa att normallagen har samma stabilitetsegenskap.

Beslutsfattaren kan använda försäkringar för att mildra de negativa ekonomiska konsekvenserna av vissa typer av slumpmässiga händelser.

Men den här diskussionen är väldigt generell, eftersom en beslutsfattare kan betyda både en individ som söker skydd mot skador på egendom, besparingar eller inkomster, och en organisation som söker skydd från samma typ av skada.

Faktum är att en sådan organisation kan vara ett försäkringsbolag som letar efter sätt att skydda sig mot ekonomiska förluster på grund av för många försäkringshändelser som har inträffat hos en enskild kund eller med dess försäkringsbestånd. Detta skydd kallas återförsäkring.

Tänk på en av två modeller (nämligen individuell riskmodell) används i stor utsträckning för att fastställa försäkringsräntor och reserver, såväl som i återförsäkring.

Beteckna med S beloppet för försäkringsbolagets oavsiktliga förluster för någon del av dess risker. I detta fall Sär en stokastisk variabel för vilken vi måste bestämma sannolikhetsfördelningen. Historiskt sett har för distributioner av r.v. S det fanns två uppsättningar av postulat. Den individuella riskmodellen definierar S på följande sätt:

där r.v. betyder skador som orsakas av försäkringsobjektet med numret jag, a n betecknar det totala antalet försäkringsobjekt.

Det antas vanligtvis att de är oberoende slumpvariabler, eftersom matematiska beräkningar i det här fallet är enklare och information om arten av sambandet mellan dem inte krävs. Den andra modellen är den kollektiva riskmodellen.

Den övervägda modellen för individuella risker återspeglar inte förändringar i pengars värde över tid. Detta görs för att förenkla modellen, varför artikelns titel refererar till ett kort tidsintervall.

Vi kommer endast att överväga slutna modeller, dvs. de där antalet försäkringsobjekt n i formel (1.1) är känd och fixerad i början av det betraktade tidsintervallet. Om vi ​​inför antaganden om förekomsten av migration från eller till försäkringssystemet så får vi en öppen modell.

Slumpvariabler som beskriver individuella utbetalningar

Låt oss först påminna om de viktigaste bestämmelserna om livförsäkring.

Vid dödsfallsförsäkring för en period av ett år åtar sig försäkringsgivaren att betala beloppet b, om försäkringstagaren avlider inom ett år från dagen för försäkringsavtalets ingående, och inte betalar något om försäkringstagaren lever detta år.

Sannolikheten för att ett försäkringsfall inträffar under det angivna året betecknas med .

Slumpvariabeln som beskriver försäkringsutbetalningar har en fördelning som kan specificeras antingen av sannolikhetsfunktionen

(2.1)

eller motsvarande distributionsfunktion

(2.2)

Från formel (2.1) och från definitionen av moment får vi

(2.4)

Dessa formler kan också erhållas genom att skriva X som

där är ett konstant värde som betalas vid dödsfall, och är en slumpvariabel som tar värdet 1 vid dödsfall och 0 annars.

Alltså och och medelvärdet och variansen för r.v. är lika och respektive, och medelvärdet och variansen av r.v. är lika med och , vilket sammanfaller med formlerna ovan.

En slumpvariabel med intervall (0,1) används i stor utsträckning i försäkringstekniska modeller.

I läroböcker om sannolikhetsteori kallas det indikator, Bernoulli slumpmässigt värde eller binomial slumpvariabel i den enda testdesignen.

Vi kommer att ringa henne indikator av korthetsskäl, och även för att det indikerar början, eller inte, av händelsen i fråga.

Låt oss gå över till sökandet efter mer generella modeller där värdet av försäkringsersättningen också är en slumpmässig variabel och flera försäkringshändelser kan inträffa under det betraktade tidsintervallet.

Sjukförsäkring, bil- och annan egendomsförsäkring och ansvarsförsäkring ger omedelbart många exempel. Generaliseringsformel (2.5) sätter vi

där är en slumpvariabel som beskriver försäkringsutbetalningar i det betraktade tidsintervallet, r.v. anger det totala betalningsbeloppet i detta intervall och r.v. är en indikator för händelsen att minst ett försäkringsfall har inträffat.

Att vara en indikator på en sådan händelse, r.v. fixar närvaron () eller brist () försäkrade händelser under detta tidsintervall, men inte antalet försäkrade händelser i det.

Sannolikhet kommer att fortsätta att betecknas med .

Låt oss diskutera flera exempel och bestämma fördelningen av slumpvariabler och i någon modell.

Låt oss först överväga dödsfallsförsäkring för ett år, med en extra förmån om dödsfallet är en olycka.

För visshetens skull, låt oss anta att om dödsfallet inträffade som ett resultat av en olycka, så kommer betalningsbeloppet att vara 50 000. Om döden inträffar på grund av andra orsaker kommer betalningsbeloppet att vara 25 000.

Låt oss anta att för en person i en given ålder, hälsotillstånd och yrke är sannolikheten att dö till följd av en olycka under året 0,0005, och sannolikheten att dö av andra orsaker är 0,0020. I formelform ser det ut så här:

Genom att summera alla möjliga värden på får vi

,

Villkorlig fördelning c. i. skick har formen

Låt oss nu överväga en bilkollisionsförsäkring (ersättning som betalas till ägaren av bilen för skador på hans bil) med en ovillkorlig självrisk på 250 och en maximal utbetalning på 2000.

För tydlighetens skull antar vi att sannolikheten för att en försäkrad händelse ska inträffa under den betraktade tidsperioden för en individ är 0,15, och sannolikheten för att mer än en kollision ska inträffa är lika med noll:

, .

Det orealistiska antagandet att inte mer än ett försäkringsfall kan inträffa under en period görs för att förenkla fördelningen av r.v. .

Vi kommer att släppa detta antagande i nästa avsnitt efter att vi har övervägt fördelningen av summan av flera försäkringsskador.

Eftersom är värdet av försäkringsgivarens betalningar, och inte skadan på bilen, kan vi överväga två egenskaper, och.

För det första inkluderar händelsen de kollisioner där skadan är mindre än den ovillkorliga självrisken, som är 250.

För det andra fördelningen av r.v. kommer att ha en "propp" av den probabilistiska massan vid punkten för det maximala beloppet för försäkringsutbetalningar, vilket är lika med 2000.

Antag att den probabilistiska massan koncentrerad vid denna punkt är 0,1. Antag vidare att värdet av försäkringsbetalningar i intervallet från 0 till 2000 kan modelleras genom en kontinuerlig fördelning med en täthetsfunktion proportionell mot (I praktiken är den kontinuerliga kurvan som väljs för att representera premiernas fördelning ett resultat av studier av premierna under föregående period.)

Sammanfattning av dessa antaganden om den villkorliga fördelningen av r.v. under villkoret kommer vi fram till en fördelning av blandad typ som har en positiv densitet i intervallet från 0 till 2000 och någon "koagel" av den probabilistiska massan vid punkten 2000. Detta illustreras av grafen i fig. 2.2.1.

Distributionsfunktionen för denna villkorliga fördelning ser ut så här:

Fig.2.1. Fördelningsfunktion av r.v. B under villkoret I = 1

Vi beräknar den matematiska förväntan och variansen i det övervägda exemplet med bilförsäkring på två sätt.

Först skriver vi ut fördelningen av r.v. och använd den för att beräkna och . Betecknar genom fördelningsfunktionen hos r.v. , vi har

För x<0

Detta är en blandad distribution. Såsom visas i fig. 2.2 har den både en diskret ("klump" av probabilistisk massa vid punkt 2000) och en kontinuerlig del. En sådan fördelningsfunktion motsvarar en kombination av sannolikhetsfunktionen

Ris. 2.2. Fördelningsfunktion av r.v. X=IB

och densitetsfunktioner

I synnerhet och . Det är därför .

Det finns ett antal formler som relaterar momenten för slumpvariabler med villkorliga matematiska förväntningar. För den matematiska förväntan och för variansen har dessa formler formen

(2.10)

(2.11)

Det förutsätts att uttrycken på vänstersidan av dessa jämlikheter är beräknade direkt från fördelningen av r.v. . Vid beräkning av uttrycken på högersidan, nämligen och , används den villkorliga fördelningen av r.v. vid ett fast värde av r.v. .

Dessa uttryck är därför funktioner av r.v. , och vi kan beräkna deras moment med hjälp av fördelningen av r.v. .

Villkorsfördelningar används i många försäkringstekniska modeller och detta gör att formlerna ovan kan tillämpas direkt. I vår modell. Med tanke på r.v. som och r.v. som vi får

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

och överväga villkorade matematiska förväntningar

(2.16)

(2.17)

Formlerna (2.16) och (2.17) definieras som en funktion av r.v. , som kan skrivas som följande formel:

Sedan kl, då (2.21)

För vi har och (2.22)

Formler (2.21) och (2.22) kan kombineras: (2.23)

Alltså (2,24)

Genom att ersätta (2.21), (2.20) och (2.24) i (2.12) och (2.13) får vi

Låt oss tillämpa de mottagna formlerna för beräkning och i ett exempel på bilförsäkring (fig. 2.2). Eftersom densitetsfunktionen hos r.v. I tillståndet uttrycks av formeln

och P(B=2000|I=1)= 0,1, vi har

Slutligen, förutsatt q= 0,15, från formlerna (2,25) och (2,26) får vi följande likheter:

För att beskriva en annan försäkringssituation kan vi erbjuda andra modeller för r.v. .

Exempel: modell för antalet dödsfall till följd av flygolyckor

Som ett exempel, ta en modell för antalet dödsfall till följd av flygolyckor under en ettårsperiod av ett flygbolags verksamhet.

Vi kan börja med en slumpvariabel som beskriver antalet dödsfall för en flygning och sedan summera dessa slumpvariabler över alla flygningar under ett år.

För en flygning kommer händelsen att indikera början av en flygkrasch. Antalet dödsfall som denna katastrof innebar kommer att representeras av produkten av två slumpvariabler och , var är flygplanets lastfaktor, det vill säga antalet personer ombord vid tidpunkten för kraschen, och är andelen dödsfall bland personer på styrelse.

Antalet döda presenteras på detta sätt, eftersom separat statistik för och är mer tillgänglig än statistik för r.v. . Så även om andelen dödsfall bland personer ombord och antalet personer ombord troligen hänger ihop, kan man som en första approximation anta att r.v. och oberoende.

Summor av oberoende slumpvariabler

I individriskmodellen presenteras försäkringsutbetalningar som görs av ett försäkringsbolag som summan av utbetalningar till många individer.

Kom ihåg två metoder för att bestämma fördelningen av summan av oberoende slumpvariabler. Betrakta först summan av två slumpvariabler, vars urvalsutrymme visas i fig. 3.1.

Ris. 2.3.1. Händelse

Linjen och området under denna linje representerar en händelse. Därför är fördelningsfunktionen för r.v. S har formen (3.1)

För två diskreta icke-negativa slumpvariabler kan vi använda totalsannolikhetsformeln och skriva (3.1) som

Om en X och Yär oberoende kan den sista summan skrivas om som

(3.3)

Sannolikhetsfunktionen som motsvarar denna fördelningsfunktion kan hittas av formeln

(3.4)

För kontinuerliga icke-negativa slumpvariabler har formlerna som motsvarar formlerna (3.2), (3.3) och (3.4) formen

När antingen en eller båda slumpvariablerna X och Y har en blandad typfördelning (vilket är typiskt för individuella riskmodeller), formlerna är likartade, men mer besvärliga. För slumpvariabler som också kan ta negativa värden, tas summorna och integralerna i formlerna ovan över alla värden på y från till .

I sannolikhetsteorin kallas operationen i formlerna (3.3) och (3.6) faltningen av två fördelningsfunktioner och och betecknas med . Faltningsoperationen kan också definieras för ett par sannolikhets- eller densitetsfunktioner med formlerna (3.4) och (3.7).

För att bestämma fördelningen av summan av fler än två slumpvariabler kan vi använda iterationer av faltningsprocessen. För , där är oberoende slumpvariabler, betecknar fördelningsfunktionen för r.v., och är fördelningsfunktionen för r.v. , vi får

Exempel 3.1 illustrerar denna procedur för tre diskreta slumpvariabler.

Exempel 3.1. Slumpvariabler , och är oberoende och har fördelningar definierade av kolumnerna (1), (2) och (3) i tabellen nedan.

Låt oss skriva ut sannolikhetsfunktionen och fördelningsfunktionen för r.v.

Lösning. Tabellen använder notationen som introducerades före exemplet:

Kolumnerna (1)-(3) innehåller tillgänglig information.

Kolumn (4) erhålls från kolumnerna (1) och (2) med användning av (3.4).

Kolumn (5) erhålls från kolumnerna (3) och (4) med användning av (3.4).

Definitionen av kolumn (5) fullbordar bestämningen av sannolikhetsfunktionen för r.v. . Dess fördelningsfunktion i kolumn (8) är uppsättningen av delsummor för kolumn (5), med början från toppen.

För tydlighetens skull har vi inkluderat kolumn (6), fördelningsfunktionen för kolumn (1), kolumn (7), som kan erhållas direkt från kolumnerna (1) och (6) med (2.3.3) och kolumn (8) bestäms av på liknande sätt för kolumnerna (3) och (7). Kolumn (5) kan bestämmas från kolumn (8) genom successiv subtraktion.

Låt oss gå över till övervägandet av två exempel med kontinuerliga slumpvariabler.

Exempel 3.2. Låt r.v. har en enhetlig fördelning på intervallet (0,2), och låt r.v. är inte beroende av r.v. och har en enhetlig fördelning på intervallet (0,3). Låt oss definiera fördelningsfunktionen för r.v.

Lösning. Eftersom utdelningarna av r.v. och kontinuerligt använder vi formel (3.6):

Sedan

Provutrymme av r.v. och illustreras i fig. 3.2. Det rektangulära området innehåller alla möjliga värden för paret och . Händelsen av intresse för oss, , visas i figuren för fem värden s.

För varje värde skär linjen axeln Y vid punkten s och en linje vid en punkt. Funktionsvärdena för dessa fem fall beskrivs med följande formel:

Ris. 3.2. Konvolution av två enhetliga fördelningar

Exempel 3.3. Låt oss betrakta tre oberoende r.v. . För r.v. har en exponentialfördelning och . Låt oss hitta densitetsfunktionen för r.v. genom att tillämpa faltningsoperationen.

Lösning. Vi har

Genom att använda formeln (3.7) tre gånger får vi

En annan metod för att bestämma fördelningen av summan av oberoende stokastiska variabler är baserad på unikheten hos den momentgenererande funktionen, som för r.v. bestäms av relationen .

Om denna matematiska förväntning är begränsad för alla t från något öppet intervall som innehåller origo, då är den enda genererande funktionen av fördelningsmomenten för r.v. i den meningen att det inte finns någon annan funktion än , som skulle vara den genererande funktionen av fördelningsmomenten för r.v. .

Denna unikhet kan användas på följande sätt: för summan

Om de är oberoende, så är förväntan på produkten i formel (3.8) lika med ..., alltså

Att hitta ett explicit uttryck för den enda fördelningen som motsvarar momentens genererande funktion (3.9) skulle fullborda upptäckten av fördelningen av r.v. . Om det inte är möjligt att specificera det explicit kan det sökas efter med numeriska metoder.

Exempel 3.4. Betrakta de slumpmässiga variablerna från exempel 3.3. Låt oss definiera densitetsfunktionen för r.v. med användning av genereringsfunktionen för momenten för r.v. .

Lösning. Enligt jämställdhet (3.9) som kan skrivas som använda metoden för nedbrytning till enkla fraktioner. Lösningen är . Men är den genererande funktionen av momenten för den exponentiella fördelningen med parametern , så att densitetsfunktionen för r.v. har formen

Exempel 3.5. I studien av slumpmässiga processer introducerades den omvända gaussiska fördelningen. Den används som en fördelning av r.v. PÅ, försäkringsbeloppet. Densitetsfunktionen och genereringsfunktionen för momenten i den inversa Gaussfördelningen ges av formlerna

Låt oss hitta fördelningen av r.v. , där r.v. är oberoende och har samma omvända Gaussfördelningar.

Lösning. Med hjälp av formel (3.9) får vi följande uttryck för genereringsfunktionen för r.v.-momenten. :

Momentens genererande funktion motsvarar en unik fördelning, och det kan ses att den har en omvänd Gauss-fördelning med parametrar och .

Uppskattningar för summafördelning

Den centrala gränssatsen ger en metod för att hitta numeriska värden för fördelningen av summan av oberoende slumpvariabler. Vanligtvis formuleras denna sats för summan av oberoende och identiskt fördelade stokastiska variabler, där .

För varje n gäller fördelningen av r.v. där = , har matematisk förväntan 0 och varians 1. Som bekant är sekvensen av sådana distributioner (för n= 1, 2, ...) tenderar till standardnormalfördelningen. När n stor, tillämpas denna sats för att approximera fördelningen av r.v. normalfördelning med medelvärde μ och dispersion. Likaså fördelningen av summan n slumpvariabler approximeras av en normalfördelning med medelvärde och varians.

Effektiviteten av en sådan approximation beror inte bara på antalet termer, utan också på hur nära fördelningen av termer är till den normala. Många elementära statistikkurser säger att n måste vara minst 30 för att approximationen ska vara rimlig.

Ett av programmen för att generera normalfördelade slumpvariabler som används i simuleringsmodellering implementerar emellertid en normal slumpvariabel som ett genomsnitt av 12 oberoende slumpvariabler jämnt fördelade över intervallet (0,1).

I många individuella riskmodeller är de slumpvariabler som ingår i summorna inte jämnt fördelade. Detta kommer att illustreras med exempel i nästa avsnitt.

Den centrala gränssatsen sträcker sig också till sekvenser av ojämnt fördelade stokastiska variabler.

För att illustrera några tillämpningar av den individuella riskmodellen kommer vi att använda en normal approximation av fördelningen av summan av oberoende slumpvariabler för att få numeriska lösningar. Om en , då

och vidare, om r.v. oberoende alltså

För den aktuella applikationen behöver vi endast:

• hitta medelvärden och varianser för slumpvariabler som simulerar individuella förluster,
• summera dem för att få genomsnittet och variansen av förluster för försäkringsbolaget som helhet,
• använd den normala uppskattningen.

Nedan illustrerar vi denna sekvens av åtgärder.

Ansökningar om försäkring

Detta avsnitt illustrerar användningen av den normala approximationen med fyra exempel.

Exempel 5.1. Ett livförsäkringsbolag erbjuder ett ettårigt dödsfallsförsäkringsavtal med betalningar på 1 och 2 enheter till personer vars sannolikhet för dödsfall är 0,02 eller 0,01. Tabellen nedan visar antalet personer nk i var och en av de fyra klasser som bildats i enlighet med betalningen b k och sannolikheten för ett försäkringsfall qk:

Försäkringsbolaget vill från denna grupp om 1800 individer ta ut ett belopp motsvarande 95:e percentilen av fördelningen av de totala försäkringsersättningarna för denna grupp. Dessutom vill hon att varje persons andel av det beloppet ska stå i proportion till personens förväntade försäkringsutbetalning.

Andelen av personen med numret, vars genomsnittliga betalning är lika med, bör vara . Av kravet på 95:e percentilen följer att . Övervärdet, , är riskpremien, och kallas den relativa riskpremien. Låt oss räkna ut.

Lösning. Värdet bestäms av förhållandet = 0,95, där S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 . Detta sannolikhetsuttalande motsvarar följande:

I enlighet med vad som sades om centralgränssatsen i Sec. 4, uppskattar vi fördelningen av r.v. standard normalfördelning och använd dess 95:e percentil, från vilken vi får:

För de fyra klasser som försäkringstagarna är indelade i får vi följande resultat:

På det här sättet,

Därför är den relativa riskpremien

Exempel 5.2. Kunderna till ett bilförsäkringsbolag är indelade i två klasser:

Den trunkerade exponentialfördelningen definieras av fördelningsfunktionen

Detta är en blandad typfördelning med en densitetsfunktion och en "klump" av probabilistisk massa vid en punkt L. Grafen för denna fördelningsfunktion visas i figur 5.1.

Ris. 5.1. Trunkerad exponentialfördelning

Liksom tidigare bör sannolikheten för att det totala beloppet av försäkringsutbetalningarna överstiger det belopp som inkasseras från försäkringstagarna vara lika med 0,05. Vi kommer att anta att den relativa riskpremien bör vara densamma i var och en av de två klasserna som övervägs. Låt oss räkna ut.

Lösning. Detta exempel är mycket likt det föregående. Den enda skillnaden är att värdena på försäkringsbetalningar nu är slumpvariabler.

Först kommer vi att få uttryck för momenten av den trunkerade exponentialfördelningen. Detta kommer att vara ett förberedande steg för att tillämpa formlerna (2.25) och (2.26):

Genom att använda parametervärdena som anges i villkoret och använda formlerna (2.25) och (2.26) får vi följande resultat:

Så, S, det totala beloppet av försäkringsbetalningar, har ögonblick

Villkoret för definitionen förblir detsamma som i exempel 5.1, nämligen,

Om vi ​​återigen använder normalfördelningsapproximationen får vi

Exempel 5.3. Försäkringsbolagets portfölj inkluderar 16 000 dödsfallsförsäkringsavtal för en period av ett år enligt följande tabell:

Sannolikheten för ett försäkringsfall q för var och en av 16 000 klienter (dessa händelser antas vara ömsesidigt oberoende) är 0,02. Företaget vill sätta sin egen retentionsgrad. För varje försäkringstagare är nivån på eget bibehållande det värde under vilket detta företag (upplåtande företag) gör utbetalningar självständigt, och utbetalningar som överstiger detta värde täcks enligt återförsäkringsavtalet av ett annat företag (återförsäkrare).

Till exempel, om den egna behållningsgraden är 200 000, så reserverar företaget täckning upp till 20 000 för varje försäkringstagare och köper återförsäkring för att täcka skillnaden mellan premien och 20 000 för var och en av de 4 500 försäkringstagare vars försäkringspremier överstiger 20 000. .

Bolaget väljer som beslutskriterium en minimering av sannolikheten för att försäkringsskador som lämnas på eget avdrag, plus det belopp som betalas för återförsäkring, överstiger beloppet 8 250 000. Återförsäkringskostnader 0,025 per täckningsenhet (dvs. 125 % av det förväntade värde av försäkringsutbetalningar per enhet 0,02).

Vi anser att portföljen som är under övervägande är stängd: nya försäkringsavtal som ingås under innevarande år kommer inte att beaktas i den beskrivna beslutsprocessen.

Partiell lösning. Låt oss göra alla beräkningar först och välja 10 000 som utbetalningsenhet. Som en illustration, anta att c. i. Sär mängden betalningar kvar på eget avdrag, har följande form:

Till dessa försäkringar lämnas utbetalningar på eget avdrag S, tillkommer beloppet av återförsäkringspremier. Totalt är det totala täckningsbeloppet enligt detta system

Beloppet kvar på eget avdrag är lika med

Det totala återförsäkrade värdet är alltså 35 000-24 000=11 000 och kostnaden för återförsäkring är

Följaktligen, vid den egna behållningsnivån lika med 2, är de försäkringsersättningar som lämnas på eget bibehållande plus kostnaden för återförsäkring . Beslutskriteriet baseras på sannolikheten att denna summa överstiger 825,

Med normalfördelningen får vi att detta värde är ungefär lika med 0,0062.

Genomsnittsvärdena för försäkringsutbetalningar vid förlustavdragsförsäkring, som en av återförsäkringstyperna, kan approximeras med normalfördelningen som fördelningen av totala försäkringsutbetalningar.

Låt de totala försäkringsutbetalningarna X ha en normalfördelning med medelvärde och varians

Exempel 5.4. Låt oss betrakta en försäkringsportfölj, som i ett exempel 5.3. Låt oss ta reda på den matematiska förväntningen på försäkringsbeloppet enligt försäkringsavtalet för överskottet av olönsamhet, om

(a) det finns ingen individuell återförsäkring och den ovillkorliga självrisken är satt till 7 500 000

(b) ett personligt innehåll på 20 000 fastställs på individuella försäkringsavtal och den ovillkorliga självrisken för portföljen är 5 300 000.

Lösning.

(a) I avsaknad av individuell återförsäkring och vid övergången till 10 000 som valuta

att tillämpa formel (5.2) ger

vilket är summan av 43 770 i de ursprungliga enheterna.

(b) I Bilaga 5.3 får vi medelvärdet och variansen av totala premier för en individuell självrisk på 20 000 till 480 respektive 784, med 10 000 som en enhet. Alltså =28.

att tillämpa formel (5.2) ger

vilket är summan av 4140 i de ursprungliga enheterna.

Låt det finnas ett system av två slumpvariabler X och Y, vars gemensamma fördelning är känd. Uppgiften är att hitta fördelningen av en stokastisk variabel. Som exempel på SV Z du kan få vinst från två företag; antalet väljare som röstat på ett visst sätt från två olika distrikt; summan av poängen på de två tärningarna.

1. Fallet med två DSV:er. Vilka värden de diskreta CV:na än tar (i form av en ändlig decimalbråkdel, med olika steg), kan situationen nästan alltid reduceras till följande speciella fall. Kvantiteter X och Y kan bara ta heltalsvärden, dvs. var . Om de från början var decimalbråk, kan de göras till heltal genom att multiplicera med 10 k. Och de saknade värdena mellan toppar och dalar kan tilldelas noll sannolikheter. Låt den gemensamma sannolikhetsfördelningen vara känd. Sedan, om vi numrerar raderna och kolumnerna i matrisen enligt reglerna: , då är sannolikheten för summan:

Elementen i matrisen läggs till längs en av diagonalerna.

2. Fallet med två NSW. Låt fogfördelningstätheten vara känd. Sedan fördelningsdensiteten för summan:

Om en X och Y oberoende, d.v.s. , då

Exempel 1 X, Y– oberoende, jämnt fördelad SW:

Låt oss hitta fördelningsdensiteten för den slumpmässiga variabeln .

Det är uppenbart ,

SW Z kan ta värden i intervallet ( c+d; a+b), men inte för alla x. utanför detta intervall. På koordinatplanet ( x, z) intervallet för möjliga värden för kvantiteten zär ett parallellogram med sidor x=Med; x=a; z=x+d; z=x+b. I formeln för gränserna för integration kommer att vara c och a. Men på grund av det faktum att i ersättaren y=z-x, för vissa värden z funktion. Till exempel om c , sedan kl z=x+c och vilka som helst x kommer att ha: . Därför bör beräkningen av integralen utföras separat för olika områden med förändring av värdet z, i var och en av vilka gränserna för integration kommer att vara olika, men för alla x och z. Vi kommer att göra detta för det speciella fallet när a+d< b+c . Låt oss betrakta tre olika regioner av förändring i kvantiteten z och för var och en av dem finner vi .