Fourier-serier. Fourierserieexpansion av jämna och udda funktioner Bessel inequality parseval equality Fourierserieexempel på lösningar med ökad komplexitet

Fourierserier är en representation av en godtyckligt tagen funktion med en specifik period som en serie. I allmänna termer kallas denna lösning för nedbrytning av ett element på ortogonal basis. Expansionen av funktioner i en Fourier-serie är ett ganska kraftfullt verktyg för att lösa olika problem på grund av egenskaperna hos denna transformation vid integrering, differentiering, samt förskjutning av ett uttryck i ett argument och faltning.

En person som inte är bekant med högre matematik, liksom med den franska vetenskapsmannen Fouriers verk, kommer troligen inte att förstå vad dessa "serier" är och vad de är till för. Under tiden har denna förvandling blivit ganska tät i våra liv. Det används inte bara av matematiker, utan också av fysiker, kemister, läkare, astronomer, seismologer, oceanografer och många andra. Låt oss också titta närmare på den store franske vetenskapsmannens verk, som gjorde en upptäckt före sin tid.

Människan och Fouriertransformen

Fourierserier är en av metoderna (tillsammans med analys och andra) Denna process inträffar varje gång en person hör något ljud. Vårt öra omvandlar automatiskt elementarpartiklar i ett elastiskt medium, de sönderdelas i rader (längs spektrumet) av successiva värden på volymnivån för toner av olika höjder. Därefter förvandlar hjärnan dessa data till ljud som är bekanta för oss. Allt detta sker utöver vår önskan eller medvetenhet, av sig själv, men för att förstå dessa processer kommer det att ta flera år att studera högre matematik.

Mer om Fouriertransformen

Fouriertransformen kan utföras med analytiska, numeriska och andra metoder. Fourierserier hänvisar till det numeriska sättet att sönderdela alla oscillerande processer - från havsvatten och ljusvågor till cykler av solaktivitet (och andra astronomiska objekt). Med hjälp av dessa matematiska tekniker är det möjligt att analysera funktioner som representerar alla oscillerande processer som en serie sinusformade komponenter som går från minimum till maximum och vice versa. Fouriertransformen är en funktion som beskriver fasen och amplituden för sinusoider som motsvarar en specifik frekvens. Denna process kan användas för att lösa mycket komplexa ekvationer som beskriver dynamiska processer som sker under inverkan av termisk, ljus eller elektrisk energi. Fourier-serien gör det också möjligt att isolera de konstanta komponenterna i komplexa oscillerande signaler, vilket gjorde det möjligt att korrekt tolka de erhållna experimentella observationerna inom medicin, kemi och astronomi.

Historik referens

Grundaren till denna teori är den franske matematikern Jean Baptiste Joseph Fourier. Denna förvandling fick senare sitt namn efter honom. Inledningsvis använde forskaren sin metod för att studera och förklara mekanismerna för värmeledning - spridningen av värme i fasta ämnen. Fourier föreslog att den ursprungliga oregelbundna fördelningen kan sönderdelas i de enklaste sinusoiderna, som var och en kommer att ha sitt eget temperaturminimum och -maximum, såväl som sin egen fas. I detta fall kommer varje sådan komponent att mätas från minimum till maximum och vice versa. Den matematiska funktion som beskriver kurvans övre och nedre toppar, såväl som fasen för var och en av övertonerna, kallas Fouriertransformen av temperaturfördelningsuttrycket. Författaren till teorin reducerade den allmänna fördelningsfunktionen, som är svår att beskriva matematiskt, till en mycket bekväm serie av cosinus och sinus, som summeras för att ge den ursprungliga fördelningen.

Förvandlingsprincipen och samtida åsikter

Vetenskapsmannens samtida - de ledande matematikerna i början av artonhundratalet - accepterade inte denna teori. Den huvudsakliga invändningen var Fouriers påstående att en diskontinuerlig funktion som beskriver en rät linje eller en diskontinuerlig kurva kan representeras som en summa av sinusformade uttryck som är kontinuerliga. Som ett exempel, betrakta Heavisides "steg": dess värde är noll till vänster om gapet och ett till höger. Denna funktion beskriver den elektriska strömmens beroende av tidsvariabeln när kretsen är sluten. Teorins samtida vid den tiden hade aldrig stött på en sådan situation, då ett diskontinuerligt uttryck skulle beskrivas av en kombination av kontinuerliga, vanliga funktioner, såsom exponentiell, sinusformad, linjär eller kvadratisk.

Vad förvirrade franska matematiker i Fourierteorin?

När allt kommer omkring, om matematikern hade rätt i sina uttalanden, så kan man genom att summera den oändliga trigonometriska Fourierserien få en exakt representation av det stegvisa uttrycket även om det har många liknande steg. I början av artonhundratalet verkade ett sådant uttalande absurt. Men trots alla tvivel har många matematiker utökat omfattningen av studien av detta fenomen och tagit det utanför omfattningen av studier av värmeledningsförmåga. Men de flesta forskare fortsatte att plågas av frågan: "Kan summan av den sinusformade serien konvergera till det exakta värdet av den diskontinuerliga funktionen?"

Fourier Series Convergence: Ett exempel

Frågan om konvergens tas upp närhelst det är nödvändigt att summera oändliga serier av tal. För att förstå detta fenomen, överväg ett klassiskt exempel. Kan du någonsin nå väggen om varje steg är hälften så stort som det föregående? Anta att du är två meter från målet, det första steget tar dig närmare halvvägs, nästa till trekvartsmärket, och efter det femte steget kommer du att täcka nästan 97 procent av vägen. Men oavsett hur många steg du tar kommer du inte att uppnå det avsedda målet i strikt matematisk mening. Med hjälp av numeriska beräkningar kan det visas att det i slutändan är möjligt att närma sig ett godtyckligt litet givet avstånd. Detta bevis är likvärdigt med att visa att det totala värdet av en halv, en fjärdedel, etc. kommer att tendera till ett.

En fråga om konvergens: The Second Coming, eller Lord Kelvin's Appliance

Denna fråga togs upp igen i slutet av artonhundratalet, när Fourier-serier försökte användas för att förutsäga intensiteten av ebb och flod. Vid den här tiden uppfann Lord Kelvin en enhet, som är en analog datorenhet som gjorde det möjligt för sjömän från militär- och handelsflottan att spåra detta naturfenomen. Denna mekanism bestämde uppsättningarna av faser och amplituder från en tabell över tidvattenhöjder och deras motsvarande tidsmoment, noggrant uppmätta i en given hamn under året. Varje parameter var en sinusformad komponent av tidvattenhöjdsuttrycket och var en av de vanliga komponenterna. Resultaten av mätningarna matades in i Lord Kelvins kalkylator, som syntetiserade en kurva som förutspådde vattnets höjd som en funktion av tiden för nästa år. Mycket snart drogs liknande kurvor upp för alla världens hamnar.

Och om processen bryts av en diskontinuerlig funktion?

På den tiden verkade det självklart att en flodvågsprediktor med ett stort antal räkneelement kunde beräkna ett stort antal faser och amplituder och därmed ge mer exakta förutsägelser. Ändå visade det sig att denna regelbundenhet inte observeras i de fall då tidvattenuttrycket som skulle syntetiseras innehöll ett skarpt hopp, det vill säga det var diskontinuerligt. I händelse av att data matas in i enheten från tabellen över tidmoment, beräknar den flera Fourier-koefficienter. Den ursprungliga funktionen återställs tack vare de sinusformade komponenterna (enligt de hittade koefficienterna). Avvikelsen mellan det ursprungliga och det återställda uttrycket kan mätas när som helst. Vid upprepade beräkningar och jämförelser kan man se att värdet på det största felet inte minskar. De är emellertid lokaliserade i det område som motsvarar diskontinuitetspunkten och tenderar till noll vid någon annan punkt. År 1899 bekräftades detta resultat teoretiskt av Joshua Willard Gibbs från Yale University.

Konvergens av Fourierserier och utvecklingen av matematik i allmänhet

Fourieranalys är inte tillämplig på uttryck som innehåller ett oändligt antal skurar i ett visst intervall. I allmänhet konvergerar Fourier-serier, om den ursprungliga funktionen är resultatet av en verklig fysisk mätning, alltid. Frågor om konvergensen av denna process för specifika klasser av funktioner har lett till uppkomsten av nya sektioner i matematik, till exempel teorin om generaliserade funktioner. Det är förknippat med sådana namn som L. Schwartz, J. Mikusinsky och J. Temple. Inom ramen för denna teori skapades en tydlig och exakt teoretisk grund för sådana uttryck som Dirac-deltatfunktionen (den beskriver ett område av ett enda område koncentrerat i en oändligt liten omgivning av en punkt) och Heaviside " steg". Tack vare detta arbete blev Fourier-serien tillämpbar för att lösa ekvationer och problem där intuitiva begrepp förekommer: en punktladdning, en punktmassa, magnetiska dipoler och även en koncentrerad belastning på en stråle.

Fouriermetoden

Fourierserier, i enlighet med interferensprinciperna, börjar med nedbrytningen av komplexa former till enklare. Till exempel förklaras en förändring i värmeflödet av dess passage genom olika hinder gjorda av oregelbundet format värmeisolerande material eller en förändring av jordens yta - en jordbävning, en förändring i en himlakropps omloppsbana - påverkan av planeter. Som regel löses liknande ekvationer som beskriver enkla klassiska system elementärt för varje enskild våg. Fourier visade att enkla lösningar också kan summeras för att ge lösningar på mer komplexa problem. Uttryckt på matematikens språk är Fourierserier en teknik för att representera ett uttryck som summan av övertoner - cosinus och sinusoider. Därför är denna analys också känd som "harmonisk analys".

Fourier-serien - den ideala tekniken före "datoråldern"

Före skapandet av datorteknik var Fouriertekniken det bästa vapnet i arsenalen av forskare när de arbetade med vår världs vågnatur. Fourier-serien i en komplex form tillåter att lösa inte bara enkla problem som direkt kan appliceras på lagarna i Newtons mekanik, utan också fundamentala ekvationer. De flesta av upptäckterna av den newtonska vetenskapen under artonhundratalet möjliggjordes endast av Fouriers teknik.

Fourierserie idag

Med utvecklingen av datorer har Fourier-transformationer tagit sig till en kvalitativt ny nivå. Denna teknik är fast förankrad i nästan alla områden av vetenskap och teknik. Ett exempel är en digital ljud- och videosignal. Dess förverkligande blev möjligt endast tack vare teorin som utvecklades av en fransk matematiker i början av artonhundratalet. Sålunda gjorde Fourier-serien i en komplex form det möjligt att göra ett genombrott i studiet av yttre rymden. Dessutom påverkade detta studiet av fysik av halvledarmaterial och plasma, mikrovågsakustik, oceanografi, radar och seismologi.

Trigonometrisk Fourier-serie

Inom matematiken är en Fourierserie ett sätt att representera godtyckliga komplexa funktioner som en summa av enklare. I allmänna fall kan antalet sådana uttryck vara oändligt. Ju mer deras antal tas med i beräkningen, desto mer exakt är det slutliga resultatet. Oftast används de trigonometriska funktionerna för cosinus eller sinus som de enklaste. I det här fallet kallas Fourier-serien trigonometrisk, och lösningen av sådana uttryck kallas expansionen av övertonen. Denna metod spelar en viktig roll i matematik. Först och främst ger den trigonometriska serien ett medel för bilden, såväl som studien av funktioner, det är teorins huvudapparat. Dessutom tillåter det att lösa ett antal problem inom matematisk fysik. Slutligen bidrog denna teori till utvecklingen och väckte liv till ett antal mycket viktiga delar av den matematiska vetenskapen (teorin om integraler, teorin om periodiska funktioner). Dessutom fungerade det som en utgångspunkt för utvecklingen av följande funktioner för en reell variabel, och markerade också början på harmonisk analys.

transkript

1 RYSKA FEDERATIONENS UTBILDNINGS- OCH VETENSKAPSMINISTERIE NOVOSIBIRSK STATE UNIVERSITY FAKULTETET FÖR FYSIK R. K. Belkheeva FOURIER-SERIEN I EXEMPEL OCH UPPGIFTER Handledning Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Fourier-serien i exempel och problem: Lärobok / Novosib. stat un-t. Novosibirsk, s. ISBN Handledningen ger grundläggande information om Fourier-serier, ger exempel för varje ämne som studeras. Ett exempel på tillämpning av Fouriermetoden för att lösa problemet med tvärgående vibrationer hos en sträng analyseras i detalj. Belysande material ges. Det finns uppgifter för oberoende lösning. Det är avsett för studenter och lärare vid fakulteten för fysik vid Novosibirsk State University. Publicerad enligt beslut av metodkommissionen vid NSU:s fysikaliska fakultet. Granskare Dr. fys.-matte. Vetenskaper. V. A. Aleksandrov ISBN c Novosibirsk State University, 211 c Belkheeva R. K., 211

3 1. Fourierserieexpansion av en 2π-periodisk funktion Definition. Fourierserien för funktionen f(x) är funktionsserien a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) där koefficienterna a n, b n beräknas med formlerna: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Formler (2) (3) kallas Euler Fourier-formler . Det faktum att funktionen f(x) motsvarar Fourierserien (1) skrivs som en formel f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) och de säger att den högra sidan av formeln ( 4) är en formell serie Fourierfunktioner f(x). Med andra ord betyder formel (4) endast att koefficienterna a n, b n hittas av formlerna (2), (3). 3

4 Definition. En 2π-periodisk funktion f(x) kallas styckvis jämn om intervallet [, π] innehåller ett ändligt antal punkter = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Fig. 1. Graf över funktionen f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, för udda n, för jämn n, f(x ) sin nxdx = eftersom funktionen f(x) är jämn. Vi skriver den formella Fourierserien för funktionen f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Ta reda på om funktionen f(x) är bitvis jämn. Eftersom det är kontinuerligt, beräknar vi endast gränserna (6) vid ändpunkterna av intervallet x = ±π och vid brytpunkten x = : och f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Gränserna finns och är ändliga, därför är funktionen styckvis jämn. Genom punktvis konvergenssats konvergerar dess Fourierserie till talet f(x) i varje punkt, dvs. f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Figurerna 2 och 3 visar karaktären hos approximationen av delsummorna för Fourierserien S n (x), där S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, till funktionen f(x) i intervallet [, π] . 6

7 Fig. Fig. 2. Graf över funktionen f(x) med överlagrade grafer av delsummor S (x) = a 2 och S 1(x) = a 2 + a 1 cos x 3. Graf över funktionen f (x) med en partiell summagraf överlagd på den S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Genom att ersätta (7) x = får vi: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, varifrån vi hittar summan av talserien: = π2 8. Genom att känna till summan av denna serie är det lätt att hitta följande summa Vi har: S = ( ) S = ()= π S, alltså S = π2 6, det vill säga 1 n = π Summan av denna berömda serie hittades först av Leonhard Euler. Det finns ofta i matematisk analys och dess tillämpningar. EXEMPEL 2. Rita en graf, hitta Fourierserien för funktionen som ges av formeln f(x) = x för x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Fig. 4. Graf över funktionen f(x) Funktionen f(x) är kontinuerligt differentierbar på intervallet (, π). Vid punkterna x = ±π har den ändliga gränser (5): f() =, f(π) = π. Dessutom finns det ändliga gränser (6): f(+ h) f(+) lim = 1 och h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Därför är f(x) styckvis smidig funktion. Eftersom funktionen f(x) är udda, då är a n =. Koefficienterna b n hittas genom integration av delar: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ ett. n Låt oss komponera den formella Fourierserien av funktionen 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Enligt punktvis konvergenssats för en styckvis jämn 2π-periodisk funktion konvergerar Fourierserien för funktionen f(x) till summan: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x om π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Fig. Fig. 6. Graf över funktionen f(x) med grafen för partialsumman S 2 (x) överlagrad. 7. Graf över funktionen f(x) med grafen för partialsumman S 3 (x) 11 överlagd på den

12 Fig. 8. Graf över funktionen f(x) med grafen för partialsumman S 99 (x) överlagrad. Vi använder den erhållna Fourierserien för att hitta summan av två numeriska serier. Vi sätter in (8) x = π/2. Då 2 () +... = π 2, eller = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Vi hittade lätt summan av den välkända Leibniz-serien. Om vi ​​sätter x = π/3 i (8), finner vi () +... = π 2 3, eller (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 EXEMPEL 3. Rita en graf, hitta Fourierserien för funktionen f(x) = sin x, antag att den har en period av 2π, och 1 beräkna summan av talserien 4n 2 1. Lösning. Grafen för funktionen f(x) visas i fig. 9. Uppenbarligen är f(x) = sin x en kontinuerlig jämn funktion med perioden π. Men 2π är också perioden för funktionen f(x). Ris. 9. Graf för funktionen f(x) Låt oss beräkna Fourierkoefficienterna. Alla b n = eftersom funktionen är jämn. Med hjälp av trigonometriska formler beräknar vi a n för n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 om n = 2k, = π n 2 1 om n = 2k

14 Denna beräkning tillåter oss inte att hitta koefficienten a 1 eftersom vid n = 1 går nämnaren till noll. Därför beräknar vi koefficienten a 1 direkt: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Eftersom f(x) är kontinuerligt differentierbar på (,) och (, π) och i punkterna kπ, (k är ett heltal), finns det ändliga gränser (5) och (6), konvergerar Fourierserien för funktionen till det vid varje punkt: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Graf över funktionen f(x) med grafen för delsumman S(x) överlagrad 14

15 Fig. Fig. 11. Graf över funktionen f(x) med grafen för delsumman S 1 (x) överlagd på den. Fig. 12. Graf över funktionen f(x) med grafen för delsumman S 2 (x) överlagd på den. 13. Graf för funktionen f(x) med grafen för delsumman S 99 (x) 15 överlagd på den

16 1 Beräkna summan av talserien. För att göra detta lägger vi 4n 2 1 i (9) x =. Då cosnx = 1 för alla n = 1, 2,... och därför är 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. EXEMPEL 4. Låt oss bevisa att om en styckvis jämn kontinuerlig funktion f(x) uppfyller villkoret f(x π) = f(x) för alla x (d.v.s. är π-periodisk) , då a 2n 1 = b 2n 1 = för alla n 1, och vice versa, om a 2n 1 = b 2n 1 = för alla n 1, då är f(x) π-periodisk. Lösning. Låt funktionen f(x) vara π-periodisk. Låt oss beräkna dess Fourierkoefficienter a 2n 1 och b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) ) cos (2n 1)xdx. I den första integralen gör vi förändringen av variabeln x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Genom att använda det faktum att cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t och f(t π) = f(t), får vi: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Det bevisas på liknande sätt att b 2n 1 =. Omvänt, låt a 2n 1 = b 2n 1 =. Eftersom funktionen f(x) är kontinuerlig har vi då, genom satsen om representabiliteten av en funktion vid en punkt med dess Fourier-serie, då f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), vilket betyder att f(x) är en π-periodisk funktion. EXEMPEL 5. Låt oss bevisa att om en styckvis jämn funktion f(x) uppfyller villkoret f(x) = f(x) för alla x, då a = och a 2n = b 2n = för alla n 1, och vice versa , om a = a 2n = b 2n =, då f(x π) = f(x) för alla x. Lösning. Låt funktionen f(x) uppfylla villkoret f(x π) = f(x). Låt oss beräkna dess Fourierkoefficienter: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. I den första integralen gör vi förändringen av variabeln x = t π. Då f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Genom att använda det faktum att cos n(t π) = (1) n cosnt och f(t π) = f(t), får vi: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = if n jämn, = 2 π f(t) cos nt dt, om n är udda. π Det bevisas på samma sätt att b 2n =. Omvänt, låt a = a 2n = b 2n =, för alla n 1. Eftersom funktionen f(x) är kontinuerlig, uppfyller satsen om representabiliteten av en funktion vid en punkt, dess Fourierserie likheten f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). arton

19 Då = f(x π) = = = f(x). EXEMPEL 6. Låt oss studera hur man utökar funktionen f(x) som är integrerbar på intervallet [, π/2] till intervallet [, π], så att dess Fourierserie har formen: a 2n 1 cos(2n 1) x. (1) Lösning. Låt grafen för funktionen ha den form som visas i fig. 14. Eftersom i serie (1) a = a 2n = b 2n = för alla n, följer det av exempel 5 att funktionen f(x) måste uppfylla likheten f(x π) = f(x) för alla x. Denna observation ger ett sätt att utöka funktionen f(x) till intervallet [, /2] : f(x) = f(x+π), fig. 15. Av det faktum att serie (1) endast innehåller cosinus drar vi slutsatsen att den fortsatta funktionen f (x) måste vara jämn (dvs dess graf måste vara symmetrisk kring Oy-axeln), Fig.

20 Fig. 14. Graf över funktionen f(x) 15. Graf över fortsättningen av funktionen f(x) på intervallet [, /2] 2

21 Så, den önskade funktionen har den form som visas i fig. 16. Fig. 16. Graf över fortsättningen av funktionen f(x) på intervallet [, π] Sammanfattningsvis drar vi slutsatsen att funktionen ska fortsätta enligt följande: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), det vill säga intervall [π/2, π], grafen för funktionen f(x) är centralt symmetrisk kring punkten (π/2,), och på intervallet [, π] är dess graf symmetrisk kring Oy-axeln. 21

22 GENERALISERING AV EXEMPEL 3 6 Låt l >. Betrakta två villkor: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Ur geometrisk synvinkel innebär villkor (a) att grafen för funktionen f(x) är symmetrisk kring den vertikala linjen x = l/2, och villkor (b) att grafen f(x) är centralsymmetrisk ca. punkten (l/2;) på axeln abskissan. Då är följande påståenden sanna: 1) om funktionen f(x) är jämn och villkor (a) är uppfyllt, då är b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) om funktionen f(x) är jämn och villkor (b) är uppfyllt, då b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) om funktionen f(x) är udda och villkor (a) är uppfyllt, då a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) om funktionen f(x) är udda och villkor (b) är uppfyllt, då a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. PROBLEM I uppgift 1 7 rita grafer och hitta Fourier-serien för funktionerna, (förutsatt att de har en period av 2π: om< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 om /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Expansion av en funktion given i intervallet [, π] endast i termer av sinus eller endast i termer av cosinus Låt en funktion f ges i intervallet [, π]. Om vi ​​vill utöka det i detta intervall till en Fourier-serie, utökar vi först f in i intervallet [, π] på ett godtyckligt sätt, och sedan använder vi Euler Fourier-formler. Det godtyckliga i fortsättningen av en funktion leder till att vi för samma funktion f: [, π] R kan få olika Fourierserier. Men det är möjligt att använda denna godtycke på ett sådant sätt att man får en expansion endast i sinus eller bara i cosinus: i det första fallet räcker det att fortsätta f på ett udda sätt och i det andra på ett jämnt sätt. Lösningsalgoritm 1. Fortsätt funktionen på ett udda (jämnt) sätt på (,), och fortsätt sedan periodvis med en period på 2π funktionen till hela axeln. 2. Beräkna Fourierkoefficienterna. 3. Komponera Fourierserien för funktionen f(x). 4. Kontrollera villkoren för seriens konvergens. 5. Ange vilken funktion som denna serie ska konvergera till. EXEMPEL 7. Expandera funktionen f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Fig. 17. Graf över den fortsatta funktionen Uppenbarligen är funktionen f (x) styckvis jämn. Låt oss beräkna Fourierkoefficienterna: a n = för alla n eftersom funktionen f (x) är udda. Om n 1, då är b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 om n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n om n = 2k. π n 2 1 För n = 1 i de tidigare beräkningarna försvinner nämnaren, så koefficienten b 1 kan beräknas direkt.

26 I huvudsak: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Komponera Fourierserien för funktionen f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Eftersom funktionen f (x) är styckvis jämn, konvergerar Fourierserien för funktionen f (x) genom punktvis konvergenssatsen till summan cosx om π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Fig. Fig. 18. Graf över funktionen f (x) med grafen för delsumman S 1 (x) överlagd på den. 19. Graf över funktionen f(x) med grafen för partialsumman S 2 (x) överlagrad 27

28 Fig. Fig. 2. Graf över funktionen f (x) med grafen för partialsumman S 3 (x) överlagd på den. 21 visar grafer för funktionen f(x) och dess delsumma S99(x). Ris. 21. Graf över funktionen f (x) med en graf över delsumman S 99 (x) 28 överlagd på den

29 EXEMPEL 8. Låt oss expandera funktionen f(x) = e ax, a >, x [, π], i en Fourierserie endast i cosinus. Lösning. Vi fortsätter funktionen på ett jämnt sätt till (,) (dvs så att likheten f(x) = f(x) gäller för alla x (, π)), och sedan periodiskt med en period på 2π till hela det reella axel. Vi får funktionen f (x), vars graf visas i fig. 22. Funktion f (x) vid punkter 22. Grafen för den fortsatta funktionen f (x) x = kπ, k är ett heltal, har kinks. Låt oss beräkna Fourierkoefficienterna: b n =, eftersom f (x) är jämnt. Integrering av delar får vi 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 π1 cos (e πa ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2 co. a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Därför är a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Eftersom f (x) är kontinuerlig, enligt punktvis konvergenssats, konvergerar dess Fourierserie till f (x). Därför har vi för alla x [, π] f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Figurer visar den gradvisa approximationen av delsummorna för Fourierserien till en given diskontinuerlig funktion. 3

31 Fig. 23. Grafer över funktionerna f (x) och S (x) 24. Grafer över funktionerna f (x) och S 1 (x) 25. Grafer över funktionerna f (x) och S 2 (x) 26. Grafer över funktionerna f (x) och S 3 (x) 31

32 Fig. 27. Grafer över funktionerna f (x) och S 4 (x) 28. Grafer över funktionerna f (x) och S 99 (x) PROBLEM 9. Expandera funktionen f(x) = cos x, x π, i en Fourierserie endast i cosinus. 1. Expandera funktionen f (x) \u003d e ax, a >, x π, i en Fourier-serie endast i termer av sinus. 11. Expandera funktionen f (x) \u003d x 2, x π, i en Fourier-serie endast i sinus. 12. Expandera funktionen f (x) \u003d sin ax, x π, i en Fourier-serie endast i termer av cosinus. 13. Expandera funktionen f (x) \u003d x sin x, x π, i en Fourier-serie endast i sinus. Svar 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Om a inte är ett heltal, då är sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; om a = 2m är ett jämnt tal, då sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; om a = 2m 1 är ett positivt udda tal, då är sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Fourierserier av en funktion med en godtycklig period Låt oss anta att funktionen f(x) är definierad i intervallet [ l, l], l >. Genom att ersätta x = ly, y π får vi funktionen g(y) = f(ly/π) definierad i intervallet π [, π]. Denna funktion g(y) motsvarar den (formella) Fourierserien () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), vars koefficienter hittas av Euler Fourier-formler: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cosny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, vi får en något modifierad trigonometrisk serie för funktionen f(x): där f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Formler (11) (13) sägs definiera expansion i en Fourier-serie av en funktion med en godtycklig period. EXEMPEL 9. Hitta Fourierserien för funktionen som ges i intervallet (l, l) av uttrycket ( A om l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = om n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Komponera Fourierserien för funktionen f (x) : f(x) A + B π (B A Eftersom cosπn = (1) n, då n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l för n = 2k får vi b n = b 2k =, för n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Därav f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Enligt den punktvisa konvergenssatsen, Fourierserien för funktionen f(x) konvergerar till summan A, om l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Fig. 29. Graf över funktionen f (x) med överlagrade grafer för övertonerna S (x) = a 2 och S 1 (x) = b 1 sinx. För tydlighetens skull skiftas grafiken för de tre högre övertonerna S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l och S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx vertikalt upp l 37

38 Fig. Fig. 3. Graf över funktionen f(x) med grafen för delsumman S 99 (x) överlagrad. 31. Fragment av fig. 3 i en annan skala 38

39 PROBLEM Vid problem, utöka de specificerade funktionerna i Fourier-serien i givna intervall. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 om 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n) l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Komplex form av Fourierserien Nedbrytning f(x) = c n e inx, där c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., kallas den komplexa formen av Fourierserien. Funktionen expanderar till en komplex Fourierserie under samma förhållanden som den expanderar till en riktig Fourierserie. fyra

41 EXEMPEL 1. Hitta Fourierserien i den komplexa formen av funktionen som ges av formeln f(x) = e ax i intervallet [, π), där a är ett reellt tal. Lösning. Låt oss beräkna koefficienterna: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Den komplexa Fourierserien av funktionen f har formen f(x) sh aπ π n= (1) n a i einx. Låt oss verifiera att funktionen f(x) är styckvis jämn: i intervallet (, π) är den kontinuerligt differentierbar, och vid punkterna x = ±π finns ändliga gränser (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Därför kan funktionen f(x) representeras av en Fourierserie sh aπ π n= (1) n a i einx, som konvergerar till summan: ( e S(x) = ax om π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 EXEMPEL 11. Hitta Fourierserien i den komplexa och reella formen av funktionen som ges av formeln f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, där a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Kom ihåg att summan av en oändlig geometrisk progression med nämnaren q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Låt oss nu hitta Fourier-serien i verklig form. För att göra detta grupperar vi termerna med siffrorna n och n för n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Eftersom c = 1, då 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Detta är en Fourierserie i den verkliga formen av funktionen f(x). Utan att beräkna en enda integral hittade vi alltså Fourierserien för funktionen. Då vi gjorde det beräknade vi en hård integral beroende på parametern cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (za)(za 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Vi expanderar vart och ett av de enkla bråken enligt den geometriska progressionsformeln: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Detta är möjligt eftersom az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, eller, mer kortfattat, c n = 1 2i a n sgnn. Sålunda återfinns Fourierserien i komplex form. Genom att gruppera termer med talen n och n får vi Fourierserien av funktionen i reell form: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Återigen lyckades vi beräkna följande komplexa integral: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 PROBLEM 24. Använd (15), beräkna integralen cos nxdx 1 2a cosx + a 2 för verkligt a, a > Använd (16), beräkna integralen sin x sin nxdx för verkligt a, a > a cosx + a2 I problem , hitta serien Fourier i komplex form för funktioner. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Lyapunovs jämlikhetssats (Lyapunovs jämlikhet). Låt en funktion f: [, π] R vara sådan att f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Därför tar Lyapunov-likheten för funktionen f(x) formen: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Från den sista likheten för en π finner vi sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Om vi ​​antar a = π 2 får vi sin2 na = 1 för n = 2k 1 och sin 2 na = för n = 2k. Därför k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. EXEMPEL 14. Låt oss skriva Lyapunov-likheten för funktionen f(x) = x cosx, x [, π], och använda den för att hitta summan av talserien (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Lösning. Direkta beräkningar ger = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Eftersom f(x) är en jämn funktion, så har vi för alla n b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 om n = 2k, 2 om n = 2k + 1. Koefficienten a 1 måste beräknas separat, eftersom bråkets nämnare försvinner i den allmänna formeln för n = 1 . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Således har Lyapunov-likheten för funktionen f(x) formen: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π PROBLEM 32. Skriv Lyapunov-likheten för funktionen ( x f(x) = 2 πx om x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Svar + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, där c n är Fourierkoefficienten 2π av f(x), och d n är Fourierkoefficientfunktionerna g(x). 6. Differentiering av Fourierserier Låt f: R R vara en kontinuerligt differentierbar 2π-periodisk funktion. Dess Fourier-serie har formen: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Derivatan f (x) av denna funktion kommer att vara en kontinuerlig och 2π-periodisk funktion, för vilken en formell Fourierserie kan skrivas: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), där a, a n , b n, n = 1 , 2,... Fourierkoefficienter för funktionen f (x). 51

52 Sats (om term-för-term differentiering av Fourierserier). Under de antaganden som gjorts ovan är likheterna a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. EXEMPEL 15. Låt en styckvis jämn funktion f(x) vara kontinuerlig i intervallet [, π]. Låt oss bevisa att när villkoret f(x)dx = är uppfyllt, gäller olikheten 2 dx 2 dx, kallad Steklovs olikhet, och vi verifierar att likheten i den realiseras endast för funktioner av formen f(x) = A cosx. Med andra ord, Steklovs olikhet ger villkor under vilka derivatans litenhet (i medelkvadraten) antyder funktionens litenhet (i medelkvadrat). Lösning. Låt oss utöka funktionen f(x) till intervallet [, ] jämnt. Beteckna den utökade funktionen med samma symbol f(x). Då blir den fortsatta funktionen kontinuerlig och styckvis jämn på intervallet [, π]. Eftersom funktionen f(x) är kontinuerlig är f 2 (x) kontinuerlig på intervallet och 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Eftersom den fortsatta funktionen är jämn, så är b n =, a = efter villkor. Följaktligen tar Lyapunov-likheten formen 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Låt oss se till att f (x) uppfyller slutsatsen av satsen om term-för-term differentiering av Fourierserien, det vill säga att a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Låt derivatan f (x) genomgå brytningar i punkterna x 1, x 2,..., x N i intervallet [, π]. Beteckna x =, x N+1 = π. Låt oss dela upp integrationsintervallet [, π] i N +1 intervall (x, x 1),..., (x N, x N+1), på vilka f(x) är kontinuerligt differentierbar. Genom att använda additivitetsegenskapen för integralen och sedan integrera med delar får vi: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= På samma sätt får vi a n = nb n. Vi har visat att satsen om term-för-term differentiering av Fourierserier för en kontinuerlig styckvis jämn 2π-periodisk funktion vars derivata i intervallet [, π] genomgår diskontinuiteter av det första slaget är sann. Så f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, eftersom a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Eftersom 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Eftersom varje term i serien i (18) är större än eller lika med motsvarande term i serien i (17), då 2 dx 2 dx. Om vi ​​minns att f(x) är en jämn fortsättning på den ursprungliga funktionen, har vi 2 dx 2 dx. Vilket bevisar Steklovs jämställdhet. Låt oss nu undersöka för vilka funktioner jämlikhet har i Steklovs ojämlikhet. Om koefficienten a n för minst en n 2 är lik noll, då är a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 PROBLEM 37. Låt en styckvis jämn funktion f(x) vara kontinuerlig på intervallet [, π]. Bevisa att under villkoret f() = f(π) = olikheten 2 dx 2 dx, även kallad Steklovs olikhet, gäller, och se till att likheten i den endast gäller för funktioner av formen f(x) = B sin x . 38. Låt en funktion f vara kontinuerlig i intervallet [, π] och ha i sig (möjligen med undantag för endast ett ändligt antal punkter) en kvadratintegrerbar derivata f(x). Bevisa att om villkoren f() = f(π) och f(x) dx = är uppfyllda, så gäller olikheten 2 dx 2 dx, kallad Wirtinger-olikheten, och likheten i den äger rum endast för funktioner av formen f(x) = A cosx + B sinx. 56

57 7. Tillämpning av Fourierserier för att lösa partiella differentialekvationer När man studerar ett verkligt föremål (naturfenomen, produktionsprocess, styrsystem etc.) visar sig två faktorer vara signifikanta: nivån på ackumulerad kunskap om föremålet som studeras och matematiska apparatens utvecklingsgrad. I nuvarande skede av vetenskaplig forskning har följande kedja utvecklats: ett fenomen en fysisk modell en matematisk modell. Den fysiska formuleringen (modellen) av problemet är som följer: förutsättningarna för utvecklingen av processen och de viktigaste faktorerna som påverkar den identifieras. Den matematiska formuleringen (modellen) består i att beskriva de faktorer och villkor som väljs i den fysiska formuleringen i form av ett ekvationssystem (algebraisk, differential, integral, etc.). Ett problem sägs vara väl ställt om det i ett visst funktionellt rum finns lösningen av problemet, unikt och kontinuerligt beror på initiala och randvillkor. Den matematiska modellen är inte identisk med det aktuella objektet, men är dess ungefärliga beskrivning. Härledning av ekvationen för fria små tvärgående vibrationer av strängen Vi kommer att följa läroboken. Låt ändarna av snöret fixeras och själva snöret vara spänt. Om strängen tas ur jämvikt (till exempel genom att dra i eller slå på den), kommer strängen att starta 57

58 tveka. Vi kommer att anta att alla punkter på strängen rör sig vinkelrätt mot dess jämviktsposition (tvärvibrationer), och vid varje tidpunkt ligger strängen i samma plan. Låt oss ta ett system av rektangulära koordinater xou i detta plan. Sedan, om vid den initiala tiden t = strängen var belägen längs axeln Ox, kommer u att betyda strängens avvikelse från jämviktspositionen, det vill säga positionen för strängpunkten med abskissan x vid en godtycklig tidpunkt t motsvarar värdet på funktionen u(x, t). För varje fast värde på t representerar grafen för funktionen u(x, t) formen på den vibrerande strängen vid tidpunkten t (fig. 32). Vid ett konstant värde på x ger funktionen u(x, t) rörelselagen för en punkt med abskissan x längs en rät linje parallell med Ou-axeln, derivatan u t är hastigheten för denna rörelse, och den andra derivata 2 u t 2 är accelerationen. Ris. 32. Krafter som appliceras på en oändligt liten del av en sträng Låt oss skriva en ekvation som funktionen u(x, t) måste uppfylla. För att göra detta gör vi några mer förenklade antaganden. Vi kommer att anta att strängen är absolut flexibel.

59 coy, det vill säga vi kommer att anta att strängen inte motstår böjning; detta innebär att de spänningar som uppstår i strängen alltid riktas tangentiellt till dess momentana profil. Strängen antas vara elastisk och omfattas av Hookes lag; detta betyder att förändringen i storleken på spänningskraften är proportionell mot förändringen i strängens längd. Låt oss anta att strängen är homogen; detta betyder att dess linjära densitet ρ är konstant. Vi försummar yttre krafter. Det betyder att vi överväger fria svängningar. Vi kommer att studera endast små vibrationer av en sträng. Om vi ​​betecknar med ϕ(x, t) vinkeln mellan abskissaxeln och tangenten till strängen i punkten med abskissan x vid tidpunkten t, så är villkoret för oscillationernas småhet att värdet på ϕ 2 (x , t) kan försummas i jämförelse med ϕ (x, t), d.v.s. ϕ 2. Eftersom vinkeln ϕ är liten, då cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, därför kan värdet (u x x,) 2 också försummas. Det följer omedelbart av detta att vi i oscillationsprocessen kan försumma förändringen i längden av någon sektion av strängen. Längden på ett snörestycke M 1 M 2 projicerat in i x-axelns intervall, där x 2 = x 1 + x, är lika med l = x 2 x () 2 u dx x. x Låt oss visa att under våra antaganden kommer värdet på spänningskraften T att vara konstant längs hela strängen. För att göra detta tar vi en del av strängen M 1 M 2 (fig. 32) vid tidpunkten t och ersätter verkan av de kasserade delarna

60 kov av dragkrafterna T 1 och T 2. Eftersom alla punkter på strängen enligt tillståndet rör sig parallellt med Ou-axeln och det inte finns några yttre krafter, är summan av projektionerna av spänningskrafterna på Ox-axeln måste vara lika med noll: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. På grund av hur små vinklarna ϕ 1 = ϕ(x 1, t) och ϕ 2 = ϕ(x 2, t) drar vi slutsatsen att T 1 = T 2. Ange det allmänna värdet av T 1 = T 2 av T. Nu beräknar vi summan av projektioner F u av samma krafter på Ou-axeln: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Eftersom för små vinklar sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t) och tg ϕ(x, t) u(x, t)/x kan ekvation (2) skrivas om som F u T (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Eftersom punkten x 1 väljs godtyckligt, då F u T 2 u x2(x, t) x. Efter att alla krafter som verkar på sektionen M 1 M 2 har hittats, tillämpar vi Newtons andra lag på den, enligt vilken produkten av massa och acceleration är lika med summan av alla verkande krafter. Massan av ett snöre M 1 M 2 är lika med m = ρ l ρ x, och accelerationen är lika med 2 u(x, t). Newtons t 2-ekvation har formen: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, där α 2 = T ρ är ett konstant positivt tal. 6

61 Om vi ​​reducerar med x får vi 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Som ett resultat har vi erhållit en linjär homogen partiell differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter. Det kallas strängvibrationsekvationen eller den endimensionella vågekvationen. Ekvation (21) är i huvudsak en omformulering av Newtons lag och beskriver en strängs rörelse. Men i den fysiska formuleringen av problemet fanns det krav på att strängens ändar är fixerade och att strängens position vid någon tidpunkt är känd. Vi kommer att skriva dessa villkor i ekvationer enligt följande: a) vi kommer att anta att strängens ändar är fixerade vid punkterna x = och x = l, dvs. vi kommer att anta att för alla t relationerna u(, t) = , u(l, t) =; (22) b) vi antar att vid tidpunkten t = strängens position sammanfaller med grafen för funktionen f(x), d.v.s. vi kommer att anta att för alla x [, l] är likheten u(x, ) = f(x); (23) c) vi kommer att anta att vid tidpunkten t = punkten för strängen med abskissan x ges hastighet g(x), d.v.s. vi antar att u (x,) = g(x). (24) t Relationer (22) kallas gränsvillkor och relationer (23) och (24) kallas initiala villkor. Matematisk modell av fri liten tvärgående 61

62 strängvibrationer är att det är nödvändigt att lösa ekvation (21) med randvillkor (22) och initiala villkor (23) och (24) Lösning av ekvationen för fria små tvärgående vibrationer av strängen med Fouriermetoden< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Genom att ersätta (25) i (21) får vi: X T = α 2 X T, (26) eller T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Det sägs att det har skett en separation av variabler. Eftersom x och t inte är beroende av varandra beror den vänstra sidan i (27) inte på x, men den högra sidan är inte beroende av t, och det totala värdet av dessa förhållanden är 62

63 måste vara konstant, vilket vi betecknar med λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Därför får vi två vanliga differentialekvationer: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) I detta fall har gränsvillkoren (22) formen X()T(t) = och X(l)T(t) =. Eftersom de måste vara uppfyllda för alla t, t >, då X() = X(l) =. (3) Låt oss hitta lösningar på ekvation (28) som uppfyller randvillkor (3). Låt oss överväga tre fall. Fall 1: λ >. Beteckna λ = β 2. Ekvation (28) har formen X (x) β 2 X(x) =. Dess karakteristiska ekvation k 2 β 2 = har rötter k = ±β. Därför har den allmänna lösningen av ekvation (28) formen X(x) = C e βx + De βx. Vi måste välja konstanterna C och D så att randvillkoren (3) är uppfyllda, dvs X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Eftersom β har detta ekvationssystem en unik lösning C = D =. Därav X(x) och 63

64 u(x, t). I fall 1 har vi alltså fått en trivial lösning, som vi inte kommer att överväga vidare. Fall 2: λ =. Sedan tar ekvation (28) formen X (x) = och dess lösning ges uppenbarligen av formeln: X(x) = C x+d. Genom att ersätta denna lösning i gränsvillkoren (3) får vi X() = D = och X(l) = Cl =, därav C = D =. Därav X(x) och u(x, t), och vi har återigen en trivial lösning. Fall 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 I det följande kommer vi att tilldela n endast positiva värden n = 1, 2,..., eftersom för negativa n kommer lösningar av samma form (nπ) att erhållas. Värdena λ n = är kallas egenvärden, och funktionerna X n (x) = C n sin πnx egenfunktioner av differentialekvation (28) med randvillkor (3). Låt oss nu lösa ekvation (29). För honom har den karakteristiska ekvationen formen k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Eftersom vi ovan upptäckte att icke-triviala lösningar X(x) av ekvation (28) endast existerar för negativ λ lika med λ = n2 π 2, är det dessa λ som vi kommer att betrakta nedan. Rötterna till ekvation (32) är k = ±iα λ, och lösningarna i ekvation (29) har formen: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l där A n och B n är godtyckliga konstanter. Genom att ersätta formlerna (31) och (33) med (25), hittar vi speciella lösningar av ekvation (21) som uppfyller gränsvillkor (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + An sin πnαt) C n sin pnx. l l l Om du anger faktorn C n inom parentes och introducerar beteckningen C n A n = b n och B n C n = a n, skriver vi u n (X, T) som (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) sin pnx. (34) l l l 65

66 Strängens vibrationer som motsvarar lösningarna u n (x, t) kallas strängens naturliga vibrationer. Eftersom ekvation (21) och randvillkor (22) är linjära och homogena, så kommer en linjär kombination av lösningar (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l att vara en lösning till ekvation (21) som uppfyller randvillkoren (22) med ett speciellt val av koefficienterna a n och b n, vilket säkerställer enhetlig konvergens av serien. Nu väljer vi koefficienterna a n och b n för lösning (35) så att den uppfyller inte bara randvillkoren, utan även initialvillkoren (23) och (24), där f(x), g(x) ges funktioner ( dessutom f() = f (l) = g() = g(l) =). Vi antar att funktionerna f(x) och g(x) uppfyller Fourierexpansionsvillkoren. Genom att ersätta värdet t = i (35), får vi u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Genom att differentiera serier (35) med avseende på t och substituera t =, får vi u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), och detta är expansionen av funktionerna f(x) och g(x) i Fourier-serien. Därför är a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnal (36) 66

67 Genom att ersätta uttrycken för koefficienterna a n och b n i serier (35), får vi en lösning till ekvation (21) som uppfyller randvillkor (22) och initiala villkor (23) och (24). Därmed har vi löst problemet med fria små tvärgående vibrationer av en sträng. Låt oss klargöra den fysiska innebörden av egenfunktionerna u n (x, t) i problemet med fria vibrationer hos en sträng, definierad av formel (34). Låt oss skriva om det som där u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Formel (37) visar att alla punkter på strängen utför harmoniska svängningar med samma frekvens ω n = πnα och fas πnα δ n. Svängningsamplituden beror på l l abskissan x för strängpunkten och är lika med α n sin πnx. Med en sådan svängning når alla punkter i strängen samtidigt sin l maximala avvikelse i en eller annan riktning och passerar samtidigt jämviktspositionen. Sådana svängningar kallas stående vågor. En stående våg kommer att ha n + 1 fixpunkter givna av rötterna i ekvationen sin πnx = i intervallet [, l]. De fasta punkterna kallas för den stående vågens noder. I mitten mellan noderna - l mi är de punkter där avvikelserna når ett maximum; sådana punkter kallas antinoder. Varje sträng kan ha sina egna svängningar med strikt definierade frekvenser ω n = πnα, n = 1, 2,.... Dessa frekvenser kallas strängens naturliga frekvenser. Den lägsta l-tonen som en sträng kan producera bestäms av sig själv 67

68 låg egenfrekvens ω 1 = π T och kallas strängens grundton. De återstående tonerna som motsvarar l ρ frekvenser ω n, n = 2, 3,... kallas övertoner eller övertoner. För tydlighetens skull kommer vi att avbilda de typiska profilerna för en sträng som avger grundtonen (fig. 33), den första övertonen (fig. 34) och den andra övertonen (fig. 35). Ris. Fig. 33. Profil för strängen som avger grundtonen. Fig. 34. Profil av en sträng som avger den första övertonen. Fig. 35. Profil av en sträng som avger en andra överton Om strängen utför fria vibrationer som bestäms av de initiala förhållandena, så representeras funktionen u(x, t), som kan ses från formel (35), som en summa av individuella övertoner. Således godtycklig oscillation 68

Den 69:e strängen är en superposition av stående vågor. I detta fall kommer karaktären av strängens ljud (ton, ljudstyrka, klang) att bero på förhållandet mellan amplituderna hos individuella övertoner.Ljudets styrka, tonhöjd och klangfärg En vibrerande sträng exciterar luftvibrationer som uppfattas av människan öra som ett ljud som avges av en sträng. Ljudets styrka kännetecknas av vibrationernas energi eller amplitud: ju större energi, desto större styrka har ljudet. Tonhöjden för ett ljud bestäms av dess frekvens eller svängningsperiod: ju högre frekvens, desto högre ljud. Ljudets klang bestäms av närvaron av övertoner, fördelningen av energi över övertoner, d.v.s. metoden för excitation av oscillationer. Övertonernas amplituder är generellt sett mindre än grundtonens amplitud och övertonernas faser kan vara godtyckliga. Vårt öra är inte känsligt för svängningsfasen. Jämför till exempel de två kurvorna i fig. 36, lånat från . Detta är en inspelning av ljud med samma grundton, extraherad från klarinetten (a) och pianot (b). Båda ljuden är inte enkla sinusformade svängningar. Grundfrekvensen för ljudet är i båda fallen densamma och detta skapar samma ton. Men kurvmönstren är olika eftersom olika övertoner är överlagrade på grundtonen. På sätt och vis visar dessa teckningar vad klangfärg är. 69

Ekvationer av hyperbolisk typ. Vibrationer av en oändlig och halvoändlig sträng. Fouriermetod Fouriermetod Stående vågor 4 Föreläsning 4.1 Hyperboliska ekvationer. Fluktuationer av oändlig och halvoändlig

MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY OF CIVIL AVIATION V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

RYSSLANDS UTBILDNINGSMINISTERIE OCH VETENSKAP Federal State Budgetary Education Institute of Higher Professional Education MATI Russian State Technological University uppkallad efter K. E. Tsiolkovsky

Utbildningsministeriet i Republiken Vitryssland Vitebsk State Technological University Ämne. "Rows" Institutionen för teoretisk och tillämpad matematik. utvecklad av Assoc. E.B. Dunina. Main

Federal Agency for Education Federal State Educational Institute of Higher Professional Education SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodical

Ämne Fourierserie Praktisk lektion Fourierserier i ortogonala funktionssystem Utrymme av styckevis kontinuerliga funktioner Generaliserad Fourierserie 3 Bessel ojämlikhet och konvergens av Fourierserier Space

SERIETEORI Serieteorin är den viktigaste komponenten i matematisk analys och finner både teoretiska och många praktiska tillämpningar. Skilja mellan numeriska och funktionella serier.

INNEHÅLL Fourierserie 4 Begreppet en periodisk funktion 4 Trigonometriskt polynom 6 3 Ortogonala funktionssystem 4 Trigonometriska Fourierserier 3 5 Fourierserier för jämna och udda funktioner 6 6 Nedbrytning

Federal Agency for Education Moscow State University of Geodesy and Cartography (MIIGAiK) METODOLOGISKA INSTRUKTIONER OCH UPPGIFTER FÖR SJÄLVSTÄNANDE ARBETE på kursen HÖGRE MATEMATIK

Föreläsning 4. Harmonisk analys. Fourierserien Periodiska funktioner. Övertonsanalys Inom vetenskap och teknik har man ofta att göra med periodiska fenomen, det vill säga de som upprepar sig genom

ÄMNE V FOURIERSERIEN FÖRELÄSNING 6 Utbyggnad av en periodisk funktion i en Fourierserie Många processer som förekommer i naturen och teknologin har egenskaperna att upprepas med vissa intervall Sådana processer

METODOLOGISKA INSTRUKTIONER FÖR BERÄKNINGSUPPGIFTER PÅ KURS I HÖGRE MATEMATIK "ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONSSERIEN DUBBLA INTEGRALER" DEL III TEMASERIE Innehåll Serie Numerisk serie Konvergens och divergens

6 Fourierserier 6 Ortogonala funktionssystem Fourierserier i termer av ett ortogonalt system av funktioner Funktionerna ϕ () och ψ (), definierade och integrerbara på segmentet [, ], kallas ortogonala på detta segment om

DEFINITIV INTEGRAL. Integralsummor och bestämd integral Låt en funktion y = f () definierad på segmentet [, b ], där< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Potensserier 5 Potensserier: definition, konvergensdomän Funktionsserier av formen (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) tal kallas potensserier Tal

BELARUSISIA STATE UNIVERSITY FAKULTETET FÖR TILLÄMPAD MATEMATIK OCH INFORMATIONSVETENSKAP Institutionen för högre matematik Läromedel för studenter vid fakulteten för tillämpad matematik och informatik

Låt oss titta på några exempel. Exempel. Låt oss hitta summan av en oändlig geometrisk progression Formeln för den gemensamma termen i denna serie är a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Låt oss beräkna dess delsummor. Om q =, då

Uppgift 1.1. Hitta lösningar y = y(x) för differentialekvationen som är icke-identiskt noll i det angivna området och som uppfyller de givna randvillkoren (Sturm-Liouville-problemet) Lösning: Överväg

Matematisk analys Ämne: Bestämd integral Oegentliga integraler Lektor Pakhomova E.G. 2017 KAPITEL II. Definitiv integral och dess tillämpningar 1. Definitiv integral och dess egenskaper 1. Uppgifter,

Föreläsning 8 4 Sturm-Liouville problem

Förklaringar till texten: tecknet läses som "ekvivalent" och betyder att ekvationerna till höger om tecknet och till vänster om tecknet har samma uppsättning lösningar, tecknet IR betecknar mängden reella tal, tecknet I

82 4. Avsnitt 4. Funktions- och effektserier 4.2. Lektion 3 4.2. Lektion 3 4.2.. Taylorexpansion av en funktion DEFINITION 4.2.. Låt funktionen y = f(x) vara oändligt differentierbar i något område

UTBILDNINGSMINISTERIET OCH VETENSKAP I RYSSLAND FEDERAL STATE BUDGETARISKA UTBILDNINGSINSTITUTET FÖR HÖGRE YRKESUTBILDNING "SAMARA STATE TECHNICAL UNIVERSITY" Institutionen för tillämpad matematik

Federal Agency for Railway Transport Ural State University of Railway Transport Department "Högre och tillämpad matematik" N. P. Chuev Elements of Harmonic Analysis Methodical

Föreläsning 3 Taylor- och Maclaurin-serier Tillämpning av effektserier Utvidgning av funktioner till effektserier Taylor- och Maclaurin-serier För applikationer är det viktigt att kunna expandera en given funktion till en potensserie, dessa funktioner

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Föreläsning Fouriertransform Begreppet integraltransformation Metoden för integraltransformationer är en av de kraftfulla metoderna inom matematisk fysik och är en kraftfull lösning

Integrerbarhet av en funktion (enligt Riemann) och en bestämd integral Exempel på problemlösning 1. Konstantfunktionen f(x) = C är integrerbar på , eftersom för alla partitioner och val av punkter ξ i

Jag naturligtvis uppgift. Bevisa att Riemann-funktionen, om 0, m m R(), om, m, m 0, och bråkdelen är irreducerbar, 0, om irrationell, är diskontinuerlig vid varje rationell punkt och kontinuerlig vid varje irrationell. Lösning.

1 2 Innehållsförteckning 1 Fourierserie 5 1.1 Trigonometrisk Fourierserie .................. 5 1.2 Endast sin & cos ............. ............ 7 1.3 Fourierserier i komplex form............. 11 1.4 f(x) = c k?......... ......

MATEMATISK FYSIKS EKVATIONER 1. Partiella differentialekvationer

Föreläsning 4. Vågekvationer 1. Härledning av ekvationen för strängvibrationer 2. Ekvation av en stavs längsgående vibrationer 3. Initialförhållanden, randvillkor 4. Problembeskrivning 1. Härledning av ekvationen för strängvibrationer

1. Elektrostatik 1 1. Elektrostatik Lektion 6 Separation av variabler i kartesiska koordinater 1.1. (Problem 1.49) Z =-planet är laddat med densiteten σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), där σ, α, β är konstanter.

Modul Ämne Funktionssekvenser och serier Egenskaper för enhetlig konvergens av sekvenser och serier Effektserier Föreläsning Definitioner av funktionssekvenser och serier Enhetligt

Ekvationer av paraboltyp. Metod för separation av variabler Homogent gränsvärdeproblem Källfunktion Inhomogen värmeekvation 7 Föreläsning 7.1 Ekvationer av parabolisk typ. Separationsmetod

Föreläsning Numerisk serie Tecken på konvergens Talserie Tecken på konvergens Ett oändligt uttryck för en numerisk sekvens + + + +, sammansatt av medlemmar av en oändlig, kallas en numerisk serie

35 7 Trigonometrisk Fourierserie Fourierserie för periodiska funktioner med period T. Låt f(x) vara en styckvis kontinuerlig periodisk funktion med period T. Betrakta det grundläggande trigonometriska systemet

Metallurgiska fakulteten Institutionen för högre matematik

Institutionen för matematik och informatik Elements of Higher Mathematics Utbildnings- och metodkomplex för studenter på gymnasieutbildning som studerar med distansteknik Modul Differentialkalkyl Sammanställt av:

9. Antiderivata och obestämd integral 9.. Låt funktionen f() ges på intervallet I R. Funktionen F () kallas antiderivatans funktion f() på intervallet I, om F () = f() för något I, och antiderivatan

DIFFERENTIERING AV FUNKTIONER FÖR EN VARIABEL Begreppet en derivata, dess geometriska och fysiska betydelse Problem som leder till begreppet en derivata Definition av Tangent S till linjen y f (x) i punkt A x ; f(

Ekvationer av hyperbolisk typ. Vibrationer av en oändlig och halvoändlig sträng. d'Alemberts metod Oändlig sträng. d'Alembert formel Semi-oändlig sträng 3 Föreläsning 3.1 Hyperboliska ekvationer.

Titel Introduktion. Grundläggande begrepp.... 4 1. Volterra integralekvationer... 5 läxalternativ.... 8 2. Upplösning av Volterra integralekvationen. 10 läxalternativ.... 11

RADER. Nummerrader. Grundläggande definitioner Låt en oändlig talföljd ges Uttrycket (oändlig summa) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= kallas a nummerserie. Tal

8. Potensserie 8.. En funktionell serie av formen c n (z) n, (8.) n= där c n är en numerisk följd, R är ett fast tal och z R kallas en potensserie med koefficienterna c n . Genom att ändra variablerna

~ ~ Obestämda och bestämda integraler Begreppet antiderivata och obestämda integraler. Definition: En funktion F kallas en antiderivata med avseende på en funktion f om dessa funktioner är relaterade enligt följande

3724 SERIEN AV MULTIPLA OCH KURVILINEÄRA INTEGRALER 1 ARBETSPROGRAM AV AVSNITT "SERIE AV MULTIPLA OCH KURVILINEÄRA INTEGRALER" 11 Nummerserie Konceptet för en nummerserie Egenskaper för nummerserier Ett nödvändigt kriterium för konvergens

ÄTA. MATEMATISK ANALYS. NUMERISK OCH FUNKTIONELL SERIE NOVOSIBIRSK 200 2 RYSSISKA UTBILDNINGSMINISTERIET OCH VETENSKAP SEI HPE "NOVOSIBIRSK STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" E.M. Rudoy MATEMATISK ANALYS.

FÖRELÄSNING N 7 .Kraft

KVADRATISK EKVATION

AVSNITT AV UPPGIFTER MED PARAMETRAR Kommentar Uppgifter med parametrar är traditionellt komplexa uppgifter i USE-strukturen, vilket kräver att den sökande inte bara behärskar alla metoder och tekniker för att lösa olika

Differentialkalkyl Introduktion till matematisk analys Sekvens- och funktionsgräns. Avslöjande av osäkerheter inom. Funktionsderivata. Differentieringsregler. Tillämpning av derivatan

Fourierserien Ortogonala funktionssystem Ur algebras synvinkel betyder likheten där är funktioner av en given klass och är koefficienter från R eller C helt enkelt att vektorn är en linjär kombination av vektorer B

1. Definitiv integral 1.1. Låt f vara en begränsad funktion definierad på segmentet [, b] R. En partition av segmentet [, b] är en uppsättning punkter τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] så att = x< x 1 < < x n 1

Ch Potensserie a a a En serie av formen a a a a a () kallas en potensserie, där, a, är konstanter, kallade koefficienter för serien. Ibland betraktas en potensserie av en mer allmän form: a a (a) a (a) ) a (a) (), där

2. Bestämning av seriens koefficienter med Fourierformlerna.

Låt en periodisk funktion ƒ(x) med perioden 2π vara sådan att den representeras av en trigonometrisk serie som konvergerar till en given funktion i intervallet (-π, π), dvs. är summan av denna serie:

Antag att integralen för funktionen på den vänstra sidan av denna likhet är lika med summan av integralerna av termerna i denna serie. Detta kommer att vara sant om vi antar att talserien som består av koefficienterna för den givna trigonometriska serien konvergerar absolut, dvs. den positiva talserien konvergerar

Serie (1) är majoriserad och kan integreras term för term i intervallet (-π, π). Vi integrerar båda delarna av jämställdhet (2):

Vi beräknar separat varje integral som förekommer på höger sida:

,

,

På det här sättet, , var

. (4)

Uppskattning av Fourierkoefficienterna. (Bugrov)

Sats 1. Låt en funktion ƒ(x) av period 2π ha en kontinuerlig derivata ƒ (s) (x) av ordningen s som uppfyller olikheten på hela den reella axeln:

│ ƒ (s) (x)│≤ Ms; (5)

då uppfyller Fourierkoefficienterna för funktionen ƒ olikheten

Bevis. Integrering av delar och ta hänsyn till det

ƒ(-π) = ƒ(π), vi har

Integrering av höger sida av (7) sekventiellt, med hänsyn till att derivatorna ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) är kontinuerliga och tar samma värden i punkterna t = -π och t = π, också som uppskattning (5) får vi den första uppskattningen (6).

Den andra uppskattningen (6) erhålls på liknande sätt.

Sats 2. Fourierkoefficienterna ƒ(x) uppfyller olikheten

(8)

Bevis. Vi har

(9)

Genom att införa en förändring av variabel i detta fall och ta hänsyn till att ƒ(x) är en periodisk funktion, får vi

Lägger vi till (9) och (10), får vi

Vi utför bevisningen för b k på liknande sätt.

Följd. Om funktionen ƒ(x) är kontinuerlig, tenderar dess Fourierkoefficienter till noll: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Funktionsutrymme med skalär produkt.

En funktion ƒ(x) kallas styckvis kontinuerlig på ett segment om den är kontinuerlig på detta segment, förutom kanske för ett ändligt antal punkter där den har diskontinuiteter av det första slaget. Sådana punkter kan adderas och multipliceras med reella tal och som ett resultat kan återigen styckvis kontinuerliga funktioner på ett segment erhållas.

Den skalära produkten av två styckevis kontinuerliga på (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Uppenbarligen gäller följande egenskaper för alla styckvis kontinuerliga funktioner ƒ , φ , ψ:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) och likheten (ƒ , ƒ) = 0 innebär att ƒ(x) =0 på , kanske exklusive ett ändligt antal punkter x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

där α, β är godtyckliga reella tal.

Uppsättningen av alla bitvis kontinuerliga funktioner definierade på intervallet , för vilket den skalära produkten introduceras enligt formeln (11), kommer vi att beteckna, och samtalsutrymme

Anmärkning 1.

I matematik är ett mellanslag = (a, b) en uppsättning funktioner ƒ(x) som är integrerbara i Lebesgue-bemärkelse tillsammans med sina kvadrater, för vilka skalärprodukten introduceras med formel (11). Utrymmet i fråga är en del av . Rymden har många av rymdens egenskaper, men inte alla.

Egenskaper 1), 2), 3) innebär den viktiga Bunyakovskii ojämlikheten | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , som i integralers språk ser ut så här:

Värde

kallas normen för funktionen f.

Normen har följande egenskaper:

1) || f || ≥ 0, medan likheten endast kan vara för nollfunktionen f = 0, d.v.s. funktionen lika med noll, utom kanske för ett ändligt antal punkter;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

där α är ett reellt tal.

Den andra egenskapen i integralers språk ser ut så här:

och kallas Minkowski-ojämlikheten.

Det sägs att en sekvens av funktioner ( f n ), tillhör , konvergerar till en funktion tillhör i betydelsen medelkvadrat på (eller annars i normen ), om

Observera att om sekvensen av funktioner ƒ n (x) konvergerar enhetligt till funktionen ƒ(x) på segmentet, så måste skillnaden ƒ(x) - ƒ n (x) i absolut värde vara liten för alla för tillräckligt stor n x från segmentet.

Om ƒ n (x) tenderar till ƒ(x) i medelkvadratbemärkelsen på segmentet , så är den angivna skillnaden kanske inte liten för stort n överallt på . På vissa ställen i segmentet kan denna skillnad vara stor, men det är bara viktigt att integralen av dess kvadrat över segmentet är liten för stort n.

Exempel. Låt på en given kontinuerlig styckvis linjär funktion ƒ n (x) (n = 1, 2,...) visad i figuren, och

(Bugrov, s. 281, fig. 120)

För varje naturligt n

och följaktligen är denna sekvens av funktioner, även om den konvergerar till noll som n → ∞, inte enhetlig. Under tiden

d.v.s. funktionssekvensen (f n (x)) tenderar mot noll i betydelsen av medelkvadraten på .

Från elementen i någon sekvens av funktioner ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,... (tillhör ) konstruerar vi en serie

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Summan av dess första n medlemmar

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

det finns en funktion som hör till . Om det händer att det finns en funktion ƒ sådan att

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

då säger vi att serie (12) konvergerar till funktionen ƒ i medelkvadratbemärkelse och skriver

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Anmärkning 2.

Man kan betrakta rymden = (a, b) för komplext värderade funktioner ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), där ƒ 1 (x) och ƒ 2 (x) är reella styckvis kontinuerliga funktioner . I detta utrymme multipliceras funktioner med komplexa tal och skalärprodukten av funktionerna ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) och φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) definieras enligt följande:

och normen ƒ definieras som värdet

Fourier-serier- ett sätt att representera en komplex funktion som en summa av enklare, välkända.
Sinus och cosinus är periodiska funktioner. De utgör också en ortogonal bas. Denna egenskap kan förklaras i analogi med axlarna X X X och ÅÅ Y på koordinatplanet. På samma sätt som vi kan beskriva koordinaterna för en punkt med avseende på axlarna, kan vi beskriva vilken funktion som helst med avseende på sinus och cosinus. Trigonometriska funktioner är väl förstådda och lätta att tillämpa i matematik.

Du kan representera sinus och cosinus i form av sådana vågor:

Blått är cosinus, rött är sinus. Dessa vågor kallas även övertoner. Cosinus är jämnt, sinus är udda. Termen munspel kommer från antiken och förknippas med observationer om förhållandet mellan tonhöjder i musik.

Vad är en Fourier-serie

En sådan serie, där sinus- och cosinusfunktionerna används som de enklaste, kallas trigonometrisk. Den är uppkallad efter sin uppfinnare Jean Baptiste Joseph Fourier, i slutet av 1700-talet – början av 1800-talet. som bevisade att vilken funktion som helst kan representeras som en kombination av sådana övertoner. Och ju mer du tar, desto mer exakt blir denna representation. Till exempel bilden nedan: du kan se att med ett stort antal övertoner, d.v.s. medlemmar av Fourier-serien, kommer den röda grafen närmare den blå - den ursprungliga funktionen.

Praktisk tillämpning i den moderna världen

Behövs dessa rader verkligen nu? Var kan de tillämpas i praktiken och använder någon annan än teoretiska matematiker dem? Det visar sig att Fourier är känd över hela världen eftersom den praktiska användningen av hans serie är bokstavligen oöverskådlig. Det är bekvämt att använda dem där det finns vibrationer eller vågor: akustik, astronomi, radioteknik, etc. Det enklaste exemplet på dess användning är mekanismen för kameran eller videokameran. Kort sagt, dessa enheter registrerar inte bara bilder, utan koefficienterna för Fourier-serien. Och det fungerar överallt - när du tittar på bilder på internet, en film eller lyssnar på musik. Det är tack vare Fourier-serien som du nu kan läsa den här artikeln från din mobiltelefon. Utan Fourier-transformeringen skulle vi inte ha tillräckligt med bandbredd på internetanslutningar för att bara titta på en YouTube-video, även i standardkvalitet.

I detta diagram, den tvådimensionella Fourier-transformen, som används för att sönderdela bilden till övertoner, det vill säga grundläggande komponenter. I detta diagram är värdet -1 kodat i svart, 1 i vitt. Till höger och ner i grafen ökar frekvensen.

Fourierexpansion

Förmodligen är du redan trött på att läsa, så låt oss gå vidare till formlerna.
För en sådan matematisk teknik som expansionen av funktioner i en Fourier-serie måste man ta integraler. Många integraler. I allmänhet skrivs Fourier-serien som en oändlig summa:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x ) +b n​ sin (n x)
var
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)sin(nx)dx

Om vi ​​på något sätt kan räkna ett oändligt antal a n a_n a n​ och b n b_n b n​ (de kallas Fourierexpansionens koefficienter, A A Aär bara en konstant för denna expansion), då kommer den resulterande serien att sammanfalla till 100 % med den ursprungliga funktionen f(x)f(x) f(x) på segmentet från − π -\pi − π innan π\pi π . Ett sådant segment beror på integrationsegenskaperna för sinus och cosinus. Ju mer n n n, för vilka vi beräknar koefficienterna för expansionen av funktionen till en serie, desto mer exakt blir denna expansion.

Exempel

Låt oss ta en enkel funktion y=5x y=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) synd(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xsynd(2 x) dx= − 5

Och så vidare. När det gäller en sådan funktion kan vi omedelbart säga att alla a n = 0 a_n=0an​ = 0 , koefficienter b n b_nbn​ kommer att behöva beräknas. Om vi ​​tar de fyra första termerna i Fourierseriens expansion för funktionen y=5x y=5xy= 5 x, vi får:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{synd}(x)-5\cdot \mathrm{synd}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{synd}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{synd}(4\cdot x)$

Grafen för den resulterande funktionen kommer att se ut så här:

Den resulterande Fourier-expansionen närmar sig vår ursprungliga funktion. Om vi ​​tar ett större antal termer i serien, till exempel 15, kommer vi redan att se följande:

Ju fler expansionstermer i en serie, desto högre noggrannhet.
Om vi ​​ändrar skalan på grafen lite kan vi lägga märke till ett annat särdrag i transformationen: Fourierserien är en periodisk funktion med en period 2 π 2\pi2 π .

Således är det möjligt att representera vilken funktion som helst som är kontinuerlig på segmentet [ − π ; pi ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Allt detta är nödvändigt för att underlätta analysen av några fenomen som beskrivs av komplexa funktioner. Det är inte alltid möjligt att beräkna derivatan analytiskt (dvs med formeln), och i fallet med en uppsättning av sinus och cosinus kommer ett sådant problem inte att uppstå. Själva expansionen till en Fourier-serie visar att problem ofta kan lösas analytiskt på förenklade modeller, ett exempel på det är Fourier-serien.

Fourierserier av periodiska funktioner med period 2π.

Fourier-serien låter dig studera periodiska funktioner genom att bryta ner dem i komponenter. Växelströmmar och spänningar, förskjutningar, hastighet och acceleration av vevmekanismer och akustiska vågor är typiska praktiska tillämpningar av periodiska funktioner i tekniska beräkningar.

Fourierserieexpansionen är baserad på antagandet att alla funktioner av praktisk betydelse i intervallet -π ≤ x ≤ π kan uttryckas som konvergent trigonometrisk serie (en serie anses konvergent om sekvensen av delsummor som består av dess termer konvergerar) :

Standard (=vanlig) notation genom summan av sinx och cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

där a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. är reella konstanter, dvs.

Där, för området från -π till π, beräknas koefficienterna för Fourier-serien med formlerna:

Koefficienterna a o ,a n och b n kallas Fourierkoefficienter, och om de kan hittas, anropas serie (1). nära Fourier, motsvarande funktionen f(x). För serie (1) kallas termen (a 1 cosx+b 1 sinx) den första eller huvudmunspel,

Ett annat sätt att skriva en serie är att använda relationen acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Där a o är en konstant, är c ​​1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 + b n 2) 1/2 amplituderna för de olika komponenterna och är lika med a n \ u003d arctg a n /b n.

För serie (1) kallas termen (a 1 cosx + b 1 sinx) eller c 1 sin (x + α 1) den första eller huvudmunspel,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) eller c 2 sin(2x+α 2) kallas andra övertonen och så vidare.

För att korrekt representera en komplex signal krävs vanligtvis ett oändligt antal termer. I många praktiska problem är det dock tillräckligt att endast beakta de första termerna.

Fourierserier av icke-periodiska funktioner med period 2π.

Expansion av icke-periodiska funktioner i en Fourier-serie.

Om funktionen f(x) är icke-periodisk, kan den inte expanderas i en Fourier-serie för alla värden på x. Det är emellertid möjligt att definiera en Fourier-serie som representerar en funktion över vilket breddområde som helst 2π.

Givet en icke-periodisk funktion kan man komponera en ny funktion genom att välja f(x)-värden inom ett visst intervall och upprepa dem utanför detta intervall med 2π-intervall. Eftersom den nya funktionen är periodisk med en period på 2π, kan den utökas i en Fourier-serie för alla värden på x. Till exempel är funktionen f(x)=x inte periodisk. Men om det är nödvändigt att expandera den till en Fourier-serie på intervallet från 0 till 2π, så konstrueras en periodisk funktion med en period på 2π utanför detta intervall (som visas i figuren nedan).

För icke-periodiska funktioner som f(x)=x är summan av Fourierserien lika med värdet av f(x) i alla punkter i det givna området, men den är inte lika med f(x) för punkter utanför intervallet. För att hitta Fourierserien för en icke-periodisk funktion i området 2π används samma formel för Fourierkoefficienterna.

Jämna och udda funktioner.

De säger funktionen y=f(x) även om f(-x)=f(x) för alla värden på x. Grafer för jämna funktioner är alltid symmetriska kring y-axeln (det vill säga de är speglade). Två exempel på jämna funktioner: y=x 2 och y=cosx.

De säger att funktionen y=f(x) udda, om f(-x)=-f(x) för alla värden på x. Grafer för udda funktioner är alltid symmetriska om ursprunget.

Många funktioner är varken jämna eller udda.

Fourierseriens expansion i cosinus.

Fourierserien för en jämn periodisk funktion f(x) med period 2π innehåller endast cosinustermer (dvs. innehåller inte sinustermer) och kan inkludera en konstant term. Följaktligen,

var är koefficienterna för Fourier-serien,

Fourierserien för en udda periodisk funktion f(x) med period 2π innehåller endast termer med sinus (dvs. innehåller inte termer med cosinus).

Följaktligen,

var är koefficienterna för Fourier-serien,

Fourierserie på halvcykel.

Om en funktion är definierad för ett område, säg 0 till π, och inte bara 0 till 2π, kan den expanderas till en serie endast i termer av sinus eller endast i termer av cosinus. Den resulterande Fourier-serien kallas nära Fourier på en halv cykel.

Om du vill få en nedbrytning Fourier på en halvcykel i cosinus fungerar f(x) i området från 0 till π, då är det nödvändigt att komponera en jämn periodisk funktion. På fig. nedan är funktionen f(x)=x byggd på intervallet från x=0 till x=π. Eftersom den jämna funktionen är symmetrisk kring f(x)-axeln, ritar vi linjen AB, som visas i fig. Nedan. Om vi ​​antar att utanför det betraktade intervallet är den resulterande triangulära formen periodisk med en period på 2π, så har den slutliga grafen formen display. i fig. Nedan. Eftersom det krävs för att erhålla Fourierexpansionen i cosinus, som tidigare, beräknar vi Fourierkoefficienterna a o och a n

Om du vill få funktioner f (x) i intervallet från 0 till π, måste du komponera en udda periodisk funktion. På fig. nedan är funktionen f(x)=x byggd på intervallet från x=0 till x=π. Eftersom den udda funktionen är symmetrisk med avseende på ursprunget, konstruerar vi linjen CD, som visas i fig. Om vi ​​antar att utanför det betraktade intervallet är den mottagna sågtandssignalen periodisk med en period av 2π, så har den slutliga grafen den form som visas i fig. Eftersom det krävs för att erhålla Fourierexpansionen på en halvcykel i termer av sinus, som tidigare, beräknar vi Fourierkoefficienten. b

Fourierserier för ett godtyckligt intervall.

Utvidgning av en periodisk funktion med period L.

Den periodiska funktionen f(x) upprepas när x ökar med L, dvs. f(x+L)=f(x). Övergången från de tidigare betraktade funktionerna med period 2π till funktioner med period L är ganska enkel, eftersom den kan göras med hjälp av en variabeländring.

För att hitta Fourierserien för funktionen f(x) i området -L/2≤x≤L/2 introducerar vi en ny variabel u så att funktionen f(x) har en period på 2π med avseende på u. Om u=2πx/L, då x=-L/2 för u=-π och x=L/2 för u=π. Låt också f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourierserien F(u) har formen

Var är koefficienterna för Fourier-serien,

Oftare leder dock ovanstående formel till beroende av x. Eftersom u=2πх/L, då är du=(2π/L)dx, och integrationsgränserna är från -L/2 till L/2 istället för -π till π. Därför har Fourierserien för beroendet av x formen

där i intervallet från -L/2 till L/2 är koefficienterna för Fourier-serien,

(Integrationsgränser kan ersättas med valfritt intervall med längden L, till exempel från 0 till L)

Fourierserier på en halvcykel för funktioner givna i intervallet L≠2π.

För substitutionen u=πx/L motsvarar intervallet från x=0 till x=L intervallet från u=0 till u=π. Därför kan funktionen utökas till en serie endast i termer av cosinus eller endast i termer av sinus, d.v.s. i Fourierserie på en halv cykel.

Expansionen i cosinus i intervallet från 0 till L har formen