Cosinus Fourier transform exempel. Tillräckliga villkor för representabilitet av en funktion med en Fourier-integral. Möjlighet till uppgifter för bosättning och grafiska arbeten

I. Fourier transformer.

Definition 1. Fungera

kallad Fouriertransform funktioner.

Integralen förstås här i betydelsen huvudvärdet

och tros existera.

Om är en absolut integrerbar funktion på ℝ, då, sedan för , Fouriertransformen (1) är meningsfull för varje sådan funktion, och integralen (1) konvergerar absolut och enhetligt med avseende på hela linjen ℝ.

Definition 2. Om en är Fouriertransformen av funktionen
, sedan den tillhörande integralen

Förstås i betydelsen av den huvudsakliga betydelsen, kallas Fourierintegral av funktionen .

Exempel 1 Hitta Fouriertransformen av en funktion

Den givna funktionen är absolut integrerbar på, faktiskt,

Definition 3. Förstås i betydelsen integralernas huvudvärde

Namnet därefter cosinus- och sinus Fourier-transformationsfunktioner .

Förutsatt , , , erhåller vi delvis den relation som redan är bekant för oss från Fourier-serien

Som framgår av relationerna (3), (4),

Formler (5), (6) visar att Fourier-transformerna är helt definierade på hela linjen om de bara är kända för icke-negativa värden i argumentet.

Exempel 2 Hitta cosinus - och sinus - Fouriertransformen för en funktion

Som visas i exempel 1 är den givna funktionen absolut integrerbar på .

Låt oss hitta dess cosinus - Fourier-transform enligt formeln (3):

På samma sätt är det inte svårt att hitta sinus-fouriertransformen för funktionen f(x) enligt formel (4):

Med hjälp av exempel 1 och 2 är det lätt att verifiera genom att direkt ersätta det f(x) relation (5) är uppfylld.

Om funktionen är verkligt värderad, innebär formler (5), (6) i detta fall

Eftersom i detta fall och är verkliga funktioner på R, vilket framgår av deras definitioner (3), (4). Dock jämställdhet (7) under villkoret erhålls också direkt från definitionen (1) av Fouriertransformen, om vi tar hänsyn till att konjugationstecknet kan placeras under integraltecknet. Den sista observationen låter oss dra slutsatsen att vilken funktion som helst uppfyller jämställdheten

Det är också användbart att notera att om är en verklig och jämn funktion, dvs. , då

om är en verklig och udda funktion, dvs. , då

Och om är en rent imaginär funktion, d.v.s. . , då

Observera att om är en verkligt värderad funktion, då kan Fourier-integralen också skrivas i formen

Var

Exempel 3
(förutsatt )

eftersom vi känner till värdet av Dirichlet-integralen

Funktionen som betraktas i exemplet är inte absolut integrerbar på och dess Fouriertransform har diskontinuiteter. Det faktum att Fouriertransformen av absolut integrerbara funktioner inte har några diskontinuiteter visas av följande

Lemma 1. Om funktionen lokalt integrerbar och absolut integrerbar på , då

a) dess Fouriertransform definieras för vilket värde som helst

b)

Kom ihåg att omär en verklig eller komplext värderad funktion definierad på en öppen uppsättning, sedan funktionen kallad lokalt integrerad på, om någon punkt har en stadsdel där funktionen är integrerad. I synnerhet, om , villkoret för lokal integrerbarhet av funktionen är uppenbarligen likvärdigt med det faktum att för vilket segment som helst.

Exempel 4 Hitta Fouriertransformen av funktionen :

Genom att differentiera den sista integralen med avseende på parametern och sedan integrera med delar, finner vi det

eller

Betyder att, , där är en konstant, som vi, med hjälp av Euler-Poisson-integralen, finner från relationen

Så, vi hittade det , och visade samtidigt att , och .

Definition 4. De säger att funktionen , definierad i en punkterad omgivning av punkten, uppfyller Dini-villkoren vid den punkt om

a) båda ensidiga gränserna finns vid punkten

b) båda integralerna

håller absolut med.

Absolut konvergens av integralen betyder den absoluta konvergensen av integralen åtminstone för något värde av .

Tillräckliga villkor för representabilitet av en funktion med en Fourier-integral.

Sats 1.Om absolut integrerbar på och lokalt styckvis kontinuerlig funktion tillfredsställer vid punkten Dini-villkor, då konvergerar dess Fourier-integral vid denna punkt, och till värdet

lika med halva summan av de vänstra och högra gränserna för funktionsvärdena vid denna punkt.

Konsekvens 1.Om funktionen kontinuerlig, har vid varje punkt ändliga ensidiga derivator och absolut integrerbara på , då visas det som med sin Fourier-integral

var Fouriertransform av en funktion .

Representationen av en funktion av Fourier-integralen kan skrivas om som:

Kommentar. Villkoren för funktionen formulerade i sats 1 och konsekvens 1 är tillräckliga, men inte nödvändiga för möjligheten till en sådan representation.

Exempel 5 Representera funktionen som en Fourierintegral if

Denna funktion är udda och kontinuerlig på ℝ, förutom punkterna , , .

På grund av funktionens udda och verklighet har vi:

och av jämställdhet (5) och (10) följer att

Vid kontinuitetspunkterna för funktionen har vi:

Men funktionen är udda, så

eftersom integralen beräknas i betydelsen huvudvärdet.

Funktionen är jämn, alltså

om , . För jämställdheten

Förutsatt , härifrån finner vi

Om vi ​​lägger in det sista uttrycket för , då

Om vi ​​antar här, finner vi

Om en verkligt värderad funktion är bitvis kontinuerlig på något segment av den reella linjen, absolut integrerbar på och har ändliga ensidiga derivator vid varje punkt, så representeras den vid kontinuitetspunkterna för funktionen som Fourierintegralen

och vid diskontinuitetspunkterna för funktionen bör den vänstra sidan av jämlikhet (1) ersättas med

Om en kontinuerlig absolut integrerbar funktion på varje punkt har ändliga ensidiga derivator vid varje punkt, då i fallet när denna funktion är jämn, är likheten

och i fallet när är en udda funktion, jämlikheten

Exempel 5'. Representera funktionen som en Fourier-integral om:

Eftersom det är en kontinuerlig jämn funktion har vi med formlerna (13.2), (13.2')

Vi betecknar med symbolen integralen som förstås i betydelsen av huvudvärdet

Konsekvens 2.För vilken funktion som helst uppfyller villkoren i konsekvens 1, det finns alla transformationer , , , och det finns jämlikheter

Med dessa relationer i åtanke kallas transformation (14) ofta invers Fouriertransform och istället skriv , och jämlikheter (15) kallas själva Fouriertransformationsinversionsformel.

Exempel 6 Låt och

Observera att om , sedan för valfri funktion

Låt oss ta en funktion nu. Sedan

Om vi ​​tar en funktion är det en udda fortsättning på funktionen , på hela den numeriska axeln, alltså

Med hjälp av sats 1 får vi det

Alla integraler här förstås i betydelsen principiellt värde,

Genom att separera de verkliga och imaginära delarna i de två sista integralerna hittar vi Laplace-integralen

Definition . Fungera

kommer att kallas den normaliserade Fouriertransformen.

Definition . If är den normaliserade Fouriertransformen av funktionen , då den associerade integralen

Vi kommer att kalla den normaliserade Fourier-integralen av funktionen.

Vi kommer att betrakta den normaliserade Fouriertransformen (16).

För enkelhetens skull introducerar vi följande notation:

(de där. ).

I jämförelse med föregående notation är detta bara en renormalisering: Därför tillåter i synnerhet relationer (15) oss att dra slutsatsen att

eller, i kortare notation,

Definition 5. Operatören kommer att kallas den normaliserade Fouriertransformen, och operatorn kommer att kallas den inversa normaliserade Fouriertransformen.

I Lemma 1 noterade vi att Fouriertransformen av en absolut integrerbar funktion på en funktion tenderar till noll i oändligheten. De följande två påståendena anger att, precis som Fourierkoefficienterna, tenderar Fouriertransformen att nollställas ju snabbare, desto mjukare är funktionen från vilken den är hämtad (i det första uttrycket); ett ömsesidigt faktum med detta kommer att vara att ju snabbare funktionen från vilken Fouriertransformen tas tenderar till noll, desto mjukare är dess Fouriertransform (andra påståendet).

Uttalande 1(om sambandet mellan jämnheten hos en funktion och minskningshastigheten för dess Fouriertransform). Om en och alla funktioner absolut integrerbar på , sedan:

a) för alla

b)

Uttalande 2(om förhållandet mellan sönderfallshastigheten för en funktion och jämnheten hos dess Fouriertransform). Om en lokalt integrerbar funktion : är sådan att funktionen absolut integrerbar en , sedan:

a) Fouriertransform av en funktion tillhör klassen

b) det finns en ojämlikhet

Vi presenterar de viktigaste hårdvaruegenskaperna för Fouriertransformen.

Lemma 2. Låt det finnas en Fouriertransform för funktionerna och (respektive den inversa Fouriertransformen), sedan, oavsett siffror och , finns det en Fouriertransform (respektive den inversa Fouriertransformen) och för funktionen , och

(respektive).

Denna egenskap kallas Fouriertransformens linjäritet (respektive den inversa Fouriertransformen).

Följd. .

Lemma 3. Fouriertransformen, såväl som den inversa transformationen, är en en-till-en-transformation på uppsättningen av kontinuerliga absolut integrerbara funktioner på hela axeln, med ensidiga derivator vid varje punkt.

Det betyder att om och är två funktioner av den angivna typen och if (respektive om ), sedan på hela axeln.

Från påståendet i Lemma 1 kan vi få följande lemma.

Lemma 4. Om sekvensen av absolut integrerbara funktioner och en absolut integrerbar funktion är sådana att

då konvergerar sekvensen likformigt på hela axeln till funktionen .

Låt oss nu studera Fouriertransformen av faltningar av två funktioner. För enkelhetens skull ändrar vi definitionen av faltning genom att lägga till en ytterligare faktor

Sats 2. Låt funktionerna och vara avgränsade, kontinuerliga och absolut integrerbara på den verkliga axeln, alltså

de där. Fouriertransformen av faltningen av två funktioner är lika med produkten av Fouriertransformerna av dessa funktioner.

Låt oss sammanställa en sammanfattningstabell nr 1 över egenskaperna hos den normaliserade Fouriertransformen, användbar för att lösa problemen nedan.

Bord 1

Fungera	Normaliserad Fourier-transform

Med hjälp av egenskaperna 1-4 och 6 får vi

Exempel 7 Hitta den normaliserade Fouriertransformen av en funktion

Exempel 4 visade det

som om

Enligt fastighet 3 har vi:

På samma sätt kan du kompilera tabell nr 2 för den normaliserade inversa Fouriertransformen:

Tabell nummer 2

Fungera	Normaliserad invers Fouriertransform

Som tidigare, med egenskaperna 1-4 och 6 får vi det

Exempel 8 Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

Som följer av exempel 6

När vi har:

Representerar funktionen i formuläret

använd egenskap 6 när

Möjlighet till uppgifter för bosättning och grafiska arbeten

1. Hitta sinus - Fouriertransformen för en funktion

2. Hitta sinus - Fouriertransformen för en funktion

3. Hitta cosinus - Fouriertransform av en funktion

4. Hitta cosinus - Fouriertransform av en funktion

5. Hitta sinus - Fouriertransformen för en funktion

6. Hitta cosinus - Fouriertransform av en funktion

7. Hitta sinus - Fouriertransformen för funktionen

8. Hitta cosinus - Fouriertransform av en funktion

9. Hitta cosinus - Fouriertransform av en funktion

10. Hitta sinus - Fouriertransformen för en funktion

11. Hitta sinus - Fouriertransformen för en funktion

12. Hitta sinus - funktionstransformation

13. Hitta sinus - funktionstransformation

14. Hitta cosinus - funktionstransformation

15. Hitta cosinus - funktionstransformation

16. Hitta Fouriertransformen för en funktion om:

17. Hitta Fouriertransformen för en funktion om:

18. Hitta Fouriertransformen för en funktion om:

19. Hitta Fouriertransformen för en funktion om:

20. Hitta Fouriertransformen för en funktion om:

21. Hitta Fouriertransformen för en funktion om:

22. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

24. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

26. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

28. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

30. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

23. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

25. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

27. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

29. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

31. Hitta den normaliserade inversa Fouriertransformen av en funktion

med hjälp av formeln

32. Representera en funktion som en Fourier-integral

33. Representera en funktion som en Fourier-integral

34. Representera en funktion som en Fourierintegral

35. Representera en funktion som en Fourier-integral

36. Representera en funktion som en Fourier-integral

37. Representera en funktion som en Fourier-integral

38. Representera en funktion som en Fourier-integral

39. Representera en funktion som en Fourier-integral

40. Representera en funktion som en Fourierintegral

41. Representera en funktion som en Fourierintegral

42. Representera en funktion som en Fourierintegral

43. Representera funktionen som en Fourier-integral och utöka den på ett udda sätt till intervallet om:

44. Representera funktionen som en Fourier-integral, fortsätt den på ett udda sätt till intervallet if.

Som redan är ganska trötta. Och jag känner att ögonblicket har kommit då det är dags att utvinna ny burkmat från teorins strategiska reserver. Går det att utöka funktionen till en serie på något annat sätt? Till exempel att uttrycka ett rakt linjesegment i termer av sinus och cosinus? Det verkar otroligt, men sådana till synes avlägsna funktioner lämpar sig för
"återförening". Utöver de välbekanta examina i teori och praktik finns det andra tillvägagångssätt för att utöka en funktion till en serie.

I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med den trigonometriska Fourier-serien, beröra frågan om dess konvergens och summa, och naturligtvis kommer vi att analysera många exempel för att expandera funktioner till en Fourier-serie. Jag ville uppriktigt kalla artikeln "Fourier-serien för dummies", men detta skulle vara listigt, eftersom att lösa problem kräver kunskap om andra delar av matematisk analys och lite praktisk erfarenhet. Därför kommer ingressen att likna utbildningen av astronauter =)

För det första bör studien av sidmaterialet närma sig i utmärkt form. Sömnig, utvilad och nykter. Utan starka känslor om en hamsters trasiga tass och tvångstankar om akvariefiskarnas vedermödor. Fourier-serien är inte svår ur förståelsesynpunkt, men praktiska uppgifter kräver helt enkelt en ökad koncentration av uppmärksamhet - helst bör man helt överge yttre stimuli. Situationen förvärras av att det inte finns något enkelt sätt att kontrollera lösningen och svaret. Således, om din hälsa är under genomsnittet, är det bättre att göra något enklare. Sanning.

För det andra, innan du flyger ut i rymden, är det nödvändigt att studera rymdfarkostens instrumentpanel. Låt oss börja med värdena för de funktioner som ska klickas på maskinen:

För alla naturvärden:

ett) . Och faktiskt, sinusoiden "blinkar" x-axeln genom varje "pi":
. I fallet med negativa värden på argumentet blir resultatet naturligtvis detsamma: .

2). Men alla visste inte detta. Cosinus "pi en" är motsvarigheten till ett "blinkande ljus":

Ett negativt argument ändrar inte fallet: .

Kanske nog.

Och för det tredje, kära kosmonautkår, du måste kunna ... integrera.
I synnerhet, visst föra en funktion under ett differentialtecken, integrera med delar och vara på god fot med Newton-Leibniz formel. Låt oss börja de viktiga övningarna före flygningen. Jag rekommenderar starkt att du inte hoppar över det, så att du senare inte plattar till i noll gravitation:

Exempel 1

Beräkna bestämda integraler

där tar naturvärden.

Lösning: integration utförs över variabeln "x" och i detta skede anses den diskreta variabeln "en" vara en konstant. I alla integraler föra funktionen under differentialens tecken:

En kort version av lösningen, som skulle vara bra att fotografera på, ser ut så här:

Att vänja sig vid:

De fyra återstående poängen är för sig själva. Försök att behandla uppgiften samvetsgrant och ordna integralerna på ett kort sätt. Exempel på lösningar i slutet av lektionen.

Efter en KVALITETSövning tar vi på oss rymddräkter
och gör dig redo att börja!

Expansion av en funktion i en Fourier-serie på intervallet

Låt oss överväga en funktion som definieratåtminstone på intervallet (och, möjligen, på ett större intervall). Om denna funktion är integrerbar på segmentet kan den utökas till en trigonometrisk Fourier-serier:
, var är de sk Fourierkoefficienter.

I det här fallet ringas numret nedbrytningsperiod, och numret är halveringstidens nedbrytning.

Uppenbarligen, i det allmänna fallet, består Fourier-serien av sinus och cosinus:

Låt oss faktiskt skriva det i detalj:

Seriens nollterm brukar skrivas som .

Fourierkoefficienter beräknas med följande formler:

Jag förstår mycket väl att nya termer fortfarande är oklara för nybörjare att studera ämnet: nedbrytningsperiod, halv cykel, Fourierkoefficienter Få inte panik, det är inte jämförbart med spänningen inför en rymdpromenad. Låt oss ta reda på allt i det närmaste exemplet, innan vi utför vilket det är logiskt att ställa pressande praktiska frågor:

Vad behöver du göra i följande uppgifter?

Expandera funktionen till en Fourierserie. Dessutom krävs det ofta att man ritar en graf över en funktion, en graf över summan av en serie, en delsumma, och i fallet med sofistikerade professorsfantasier, gör något annat.

Hur utökar man en funktion till en Fourierserie?

I huvudsak måste du hitta Fourierkoefficienter, det vill säga komponera och beräkna tre bestämda integraler.

Kopiera den allmänna formen för Fourier-serien och de tre arbetsformlerna i din anteckningsbok. Jag är väldigt glad att några av webbplatsbesökarna har en barndomsdröm om att bli en astronaut som går i uppfyllelse mitt framför mina ögon =)

Exempel 2

Expandera funktionen till en Fourier-serie på intervallet. Bygg en graf, en graf över summan av en serie och en delsumma.

Lösning: den första delen av uppgiften är att utöka funktionen till en Fourier-serie.

Början är standard, se till att skriva ner det:

I detta problem, expansionsperioden, halvperiod.

Vi utökar funktionen i en Fourier-serie på intervallet:

Med hjälp av lämpliga formler hittar vi Fourierkoefficienter. Nu måste vi komponera och beräkna tre bestämda integraler. För enkelhetens skull kommer jag att numrera punkterna:

1) Den första integralen är den enklaste, men den kräver redan ett öga och ett öga:

2) Vi använder den andra formeln:

Denna integral är välkänd och han tar det bitvis:

När den hittats använd metod för att få en funktion under ett differentialtecken.

I den aktuella uppgiften är det bekvämare att använda det omedelbart formel för integration av delar i en bestämd integral :

Ett par tekniska anteckningar. Först, efter att ha applicerat formeln hela uttrycket måste omges av stora parenteser, eftersom det finns en konstant framför den ursprungliga integralen. Låt oss inte förlora det! Parenteser kan öppnas vid vilket steg som helst, jag gjorde det vid allra sista svängen. I den första "biten" vi visar extrem noggrannhet i substitution, som du kan se, är konstanten utesluten, och gränserna för integration ersätts i produkten. Denna åtgärd är markerad med hakparenteser. Tja, integralen av den andra "biten" av formeln är välkänd för dig från träningsuppgiften ;-)

Och viktigast av allt - den ultimata koncentrationen av uppmärksamhet!

3) Vi letar efter den tredje Fourierkoefficienten:

En relativ till den tidigare integralen erhålls, vilket också är integrerad av delar:

Denna instans är lite mer komplicerad, jag kommer att kommentera de ytterligare stegen steg för steg:

(1) Hela uttrycket omges av stora parenteser.. Jag ville inte verka som en tråkig, de tappar konstanten för ofta.

(2) I det här fallet utökade jag omedelbart de stora fästena. Särskild uppmärksamhet vi ägnar oss åt den första "biten": konstanten röker vid sidan av och deltar inte i att ersätta gränserna för integration (och) i produkten. Med tanke på röran i posten är det återigen tillrådligt att markera denna åtgärd inom hakparenteser. Med den andra "biten" allt är enklare: här dök bråkdelen upp efter att ha öppnat stora parenteser, och konstanten - som ett resultat av att integrera den välbekanta integralen ;-)

(3) Inom hakparenteser utför vi transformationer, och i rätt integral ersätter vi integrationens gränser.

(4) Vi tar ut "blixten" från hakparenteserna: , varefter vi öppnar de inre parenteserna: .

(5) Vi tar bort 1 och -1 inom parentes och gör sista förenklingar.

Hittade slutligen alla tre Fourier-koefficienter:

Ersätt dem i formeln :

Glöm inte att dela på mitten. I det sista steget tas konstanten ("minus två"), som inte beror på "en", ur summan.

Således har vi erhållit expansionen av funktionen i en Fourier-serie på intervallet:

Låt oss studera frågan om Fourierseriens konvergens. Jag kommer att förklara teorin särskilt Dirichlets sats, bokstavligen "på fingrarna", så om du behöver strikta formuleringar, se en lärobok om kalkyl (till exempel 2:a volymen av Bohan; eller 3:e volymen av Fichtenholtz, men det är svårare i det).

I den andra delen av uppgiften krävs det att man ritar en graf, en seriesummagraf och en delsummagraf.

Grafen för funktionen är den vanliga rak linje på planet, som är ritad med en svart prickad linje:

Vi behandlar summan av serien. Som ni vet konvergerar funktionella serier till funktioner. I vårt fall den konstruerade Fourier-serien för valfritt värde på "x" konvergerar till funktionen som visas i rött. Denna funktion är föremål för raster av 1:a slaget i punkter, men också definierade i dem (röda prickar i ritningen)

På det här sättet: . Det är lätt att se att den skiljer sig markant från den ursprungliga funktionen, varför i notationen en tilde används istället för ett likhetstecken.

Låt oss studera en algoritm med vilken det är bekvämt att konstruera summan av en serie.

På det centrala intervallet konvergerar Fourierserien till själva funktionen (det centrala röda segmentet sammanfaller med den svarta streckade linjen i den linjära funktionen).

Låt oss nu prata lite om arten av den övervägda trigonometriska expansionen. Fourier-serier innehåller endast periodiska funktioner (konstant, sinus och cosinus), alltså summan av serien är också en periodisk funktion.

Vad betyder detta i vårt specifika exempel? Och detta betyder att summan av serien –nödvändigtvis periodisk och det röda segmentet av intervallet måste upprepas oändligt till vänster och höger.

Jag tror att nu har innebörden av frasen "nedbrytningsperiod" äntligen blivit tydlig. Enkelt uttryckt, varje gång upprepar situationen sig igen och igen.

I praktiken räcker det vanligtvis med att avbilda tre nedbrytningsperioder, vilket görs på ritningen. Jo, och fler "stubbar" av angränsande perioder - för att göra det tydligt att diagrammet fortsätter.

Av särskilt intresse är diskontinuitetspunkter av 1:a slaget. Vid sådana punkter konvergerar Fourier-serien till isolerade värden, som ligger exakt i mitten av diskontinuitets-"hoppet" (röda prickar i ritningen). Hur hittar man ordinatan för dessa punkter? Låt oss först hitta ordinatan för "övre våningen": för detta beräknar vi värdet på funktionen vid den högra punkten av den centrala expansionsperioden: . För att beräkna ordinatan för den "nedre våningen" är det enklaste sättet att ta värdet längst till vänster för samma period: . Ordinatan för medelvärdet är det aritmetiska medelvärdet av summan av "topp och botten": . Trevligt är det faktum att när man bygger en ritning så ser man direkt om mitten är korrekt eller felaktigt beräknad.

Låt oss konstruera en delsumma av serien och samtidigt upprepa innebörden av termen "konvergens". Motivet är känt från lektionen om summan av talserien. Låt oss beskriva vår rikedom i detalj:

För att göra en delsumma måste du skriva ner noll + ytterligare två termer i serien. Det är,

På ritningen visas grafen för funktionen i grönt, och som du kan se lindar den den totala summan ganska tätt. Om vi ​​betraktar en delsumma av fem termer i serien, kommer grafen för denna funktion att approximera de röda linjerna ännu mer exakt, om det finns hundra termer, kommer den "gröna ormen" faktiskt helt att smälta samman med de röda segmenten, etc. Sålunda konvergerar Fourierserien till sin summa.

Det är intressant att notera att varje delsumma är kontinuerlig funktion, men den totala summan av serien är fortfarande diskontinuerlig.

I praktiken är det inte ovanligt att man bygger en delsummagraf. Hur man gör det? I vårt fall är det nödvändigt att överväga funktionen på segmentet, beräkna dess värden i ändarna av segmentet och vid mellanliggande punkter (ju fler punkter du tänker på, desto mer exakt blir grafen). Sedan ska du markera dessa punkter på ritningen och försiktigt rita en graf på perioden och sedan "replicera" den i angränsande intervall. Hur annars? När allt kommer omkring är approximation också en periodisk funktion ... ... dess graf påminner mig på något sätt om en jämn hjärtrytm på displayen på en medicinsk apparat.

Naturligtvis är det inte särskilt bekvämt att utföra konstruktionen, eftersom du måste vara extremt försiktig och bibehålla en noggrannhet på inte mindre än en halv millimeter. Däremot kommer jag att glädja läsare som är oense med ritning - i en "riktig" uppgift är det långt ifrån alltid nödvändigt att utföra en ritning, någonstans i 50% av fallen krävs det att funktionen utökas till en Fourier-serie och det är Det.

Efter att ha slutfört ritningen slutför vi uppgiften:

Svar:

I många uppgifter blir funktionen lidande bristning av 1:a slaget direkt på nedbrytningsperioden:

Exempel 3

Expandera i en Fourierserie funktionen som ges på intervallet. Rita en graf över funktionen och den totala summan av serien.

Den föreslagna funktionen ges styckvis (och märk väl bara på segmentet) och uthärda bristning av 1:a slaget vid punkt. Är det möjligt att beräkna Fourierkoefficienterna? Inga problem. Både de vänstra och högra delarna av funktionen är integrerbara på sina intervall, så integralerna i var och en av de tre formlerna ska representeras som summan av två integraler. Låt oss till exempel se hur detta görs för en nollkoefficient:

Den andra integralen visade sig vara lika med noll, vilket minskade arbetet, men så är inte alltid fallet.

Två andra Fourierkoefficienter skrivs på liknande sätt.

Hur visar man summan av en serie? På det vänstra intervallet ritar vi ett rakt linjesegment , och på intervallet - ett rakt linjesegment (markera axelavsnittet i fetstil). Det vill säga på expansionsintervallet sammanfaller summan av serien med funktionen överallt, förutom tre "dåliga" punkter. Vid funktionens diskontinuitetspunkt konvergerar Fourierserien till ett isolerat värde, som ligger exakt i mitten av "hoppet" av diskontinuiteten. Det är inte svårt att se det muntligt: ​​vänster gräns:, höger gräns: och uppenbarligen är ordinatan för mittpunkten 0,5.

På grund av summans periodicitet måste bilden "multipliceras" till angränsande perioder, i synnerhet avbilda samma sak på intervallen och . I detta fall, vid punkterna, konvergerar Fourier-serien till medianvärdena.

Det är faktiskt inget nytt här.

Försök att lösa detta problem på egen hand. Ett ungefärligt prov på fin design och ritning i slutet av lektionen.

Expansion av en funktion i en Fourierserie på en godtycklig period

För en godtycklig expansionsperiod, där "el" är ett positivt tal, skiljer sig formlerna för Fourierserien och Fourierkoefficienterna i ett något komplicerat sinus- och cosinusargument:

Om , då får vi formlerna för intervallet som vi började med.

Algoritmen och principerna för att lösa problemet är helt bevarade, men den tekniska komplexiteten i beräkningarna ökar:

Exempel 4

Expandera funktionen till en Fourierserie och rita summan.

Lösning: i själva verket en analog till exempel nr 3 med bristning av 1:a slaget vid punkt. I detta problem, expansionsperioden, halvperiod. Funktionen definieras endast på halvintervallet , men detta ändrar inte saker - det är viktigt att båda delarna av funktionen är integrerbara.

Låt oss utöka funktionen till en Fourier-serie:

Eftersom funktionen är diskontinuerlig vid origo, bör varje Fourierkoefficient naturligtvis skrivas som summan av två integraler:

1) Jag kommer att skriva den första integralen så detaljerat som möjligt:

2) Titta försiktigt in i månens yta:

Andra integralen ta in delar:

Vad bör du vara uppmärksam på när vi öppnar fortsättningen av lösningen med en asterisk?

För det första tappar vi inte den första integralen , där vi omedelbart verkställer föra under differentialens tecken. För det andra, glöm inte den olyckliga konstanten innan de stora parenteserna och bli inte förvirrad av tecken när du använder formeln . Stora fästen, trots allt är det bekvämare att öppna direkt i nästa steg.

Resten är en fråga om teknik, bara otillräcklig erfarenhet av att lösa integraler kan orsaka svårigheter.

Ja, det var inte förgäves som den franske matematikern Fouriers framstående kollegor var indignerade - hur vågade han bryta ner funktioner i trigonometriska serier?! =) Förresten är nog alla intresserade av den praktiska innebörden av uppgiften i fråga. Fourier arbetade själv med en matematisk modell för värmeledning, och därefter började serien uppkallad efter honom användas för att studera många periodiska processer, som uppenbarligen är osynliga i omvärlden. Nu tog jag förresten mig på att tänka att det inte var någon slump att jag jämförde grafen i det andra exemplet med en periodisk hjärtrytm. Den som är intresserad kan bekanta sig med den praktiska tillämpningen Fourier transformer från tredje parts källor. ... Även om det är bättre att låta bli - det kommer att komma ihåg som First Love =)

3) Med tanke på de upprepade gånger nämnda svaga länkarna, behandlar vi den tredje koefficienten:

Integrering av delar:

Vi ersätter de funna Fourierkoefficienterna i formeln , glöm inte att dela nollkoefficienten på mitten:

Låt oss plotta summan av serien. Låt oss kort upprepa proceduren: på intervallet bygger vi en linje och på intervallet - en linje. Med ett nollvärde på "x" sätter vi en punkt i mitten av "hoppet" av gapet och "replikerar" diagrammet för angränsande perioder:


Vid "korsningarna" av perioderna kommer summan också att vara lika med mittpunkterna för "hoppet" av gapet.

Redo. Jag påminner dig om att själva funktionen är villkorligt definierad endast på halvintervallet och, uppenbarligen, sammanfaller med summan av serien på intervallen

Svar:

Ibland är en styckvis given funktion också kontinuerlig på expansionsperioden. Det enklaste exemplet: . Lösning (Se Bohan volym 2)är samma som i de två föregående exemplen: trots funktionskontinuitet vid punkten uttrycks varje Fourierkoefficient som summan av två integraler.

I uppbrottsintervallet diskontinuitetspunkter av 1:a slaget och/eller "korsningspunkter" i grafen kan vara fler (två, tre och i allmänhet vilka som helst slutlig belopp). Om en funktion är integrerbar på varje del, så är den även expanderbar i en Fourier-serie. Men av praktisk erfarenhet kommer jag inte ihåg en sådan burk. Ändå finns det svårare uppgifter än bara övervägda, och i slutet av artikeln för alla finns länkar till Fourierserier med ökad komplexitet.

Under tiden, låt oss slappna av, luta oss tillbaka i våra stolar och begrunda de ändlösa vidderna av stjärnor:

Exempel 5

Expandera funktionen till en Fourierserie på intervallet och rita summan av serien.

I denna uppgift, funktionen kontinuerlig på nedbrytningshalvintervallet, vilket förenklar lösningen. Allt är väldigt likt exempel nr 2. Det finns ingen flykt från rymdskeppet - du måste bestämma dig =) Ett ungefärligt designprov i slutet av lektionen, schemat bifogas.

Fourierserieutbyggnad av jämna och udda funktioner

Med jämna och udda funktioner är processen för att lösa problemet märkbart förenklad. Och det är varför. Låt oss återgå till expansionen av funktionen i en Fourier-serie på en period av "två pi" och godtycklig period "två ales" .

Låt oss anta att vår funktion är jämn. Seriens allmänna term, som du kan se, innehåller jämna cosinus och udda sinus. Och om vi bryter ner en JÄMN funktion, varför behöver vi då udda sinus?! Låt oss återställa den onödiga koefficienten: .

På det här sättet, en jämn funktion expanderar till en Fourier-serie endast i cosinus:

Eftersom det integraler av jämna funktioneröver ett integrationssegment symmetriskt med avseende på noll kan fördubblas, då förenklas även resten av Fourierkoefficienterna.

För spann:

För ett godtyckligt intervall:

Läroboksexempel som finns i nästan alla kalkylböcker inkluderar expansioner av jämna funktioner . Dessutom har de upprepade gånger träffats i min personliga praktik:

Exempel 6

Givet en funktion. Nödvändig:

1) expandera funktionen till en Fourierserie med period , där är ett godtyckligt positivt tal;

2) skriv ner expansionen på intervallet , bygg en funktion och rita upp den totala summan av serien .

Lösning: i första stycket föreslås det att problemet ska lösas på ett allmänt sätt, och det är väldigt bekvämt! Det kommer att finnas ett behov - ersätt bara ditt värde.

1) I detta problem, expansionsperioden , halvperiod . Under ytterligare åtgärder, särskilt under integration, anses "el" vara en konstant

Funktionen är jämn, vilket innebär att den expanderar till en Fourier-serie endast i cosinus: .

Fourierkoefficienter söks av formlerna . Var uppmärksam på deras absoluta fördelar. Först genomförs integrationen över det positiva segmentet av expansionen, vilket gör att vi säkert blir av med modulen , med tanke på endast "x" från två stycken. Och för det andra är integrationen märkbart förenklad.

Två:

Integrering av delar:

På det här sättet:
, medan konstanten , som inte beror på "en", tas ur summan.

Svar:

2) Vi skriver expansionen på intervallet, för detta ersätter vi det önskade värdet för halvperioden i den allmänna formeln:

Ett av de kraftfulla verktygen för att studera problem inom matematisk fysik är metoden för integraltransformationer. Låt funktionen f(x) definieras på intervallet (a, 6), finit eller oändlig. Integraltransformationen av funktionen f (x) är funktionen där K (x, w) är en funktion fixerad för en given transformation, kallad transformationskärnan (det antas att integralen (*) existerar i dess egentliga eller felaktiga betydelse ). §ett. Fourierintegral Vilken funktion f(x som helst), som på segmentet [-f, I] uppfyller villkoren för expansion till en Fourierserie, kan representeras på detta segment av en trigonometrisk serie. : Fouriertransform Fourierintegral Komplex integralform Fouriertransform Cosinus- och sinustransformer Amplitud och fasspektra Tillämpningsegenskaper Serien på höger sida av ekvation (1) kan skrivas i en annan form. För detta ändamål introducerar vi från formlerna (2) värdena för koefficienterna a» och op, subtraherar under tecknen för integralerna cos ^ x och sin x (vilket är möjligt, eftersom integrationsvariabeln är m) O) och använd formeln för cosinus för skillnaden. Vi kommer att ha Om funktionen /(x) ursprungligen definierades på intervallet för den numeriska axeln större än intervallet [-1,1] (till exempel på hela axeln), så kommer expansion (3) att reproducera värdena ​​för denna funktion endast på intervallet [-1, 1] och fortsätt på hela den reella axeln som en periodisk funktion med en period på 21 (Fig. 1). Därför, om funktionen f(x) (allmänt sett icke-periodisk) är definierad på hela den reella axeln, kan man i formel (3) försöka passera till gränsen som I + oo. I det här fallet är det naturligt att kräva att följande villkor är uppfyllda: 1. f(x) uppfyller villkoren för expansion till en Fourierserie på vilket ändligt segment av xx\-axeln 2 som helst. funktionen f(x) är absolut integrerbar på hela den reella axeln (3) tenderar till noll som I -* + oo. Låt oss verkligen försöka fastställa vad summan på höger sida av (3) kommer att gå till i gränsen som I + oo. Låt oss anta att då summan på höger sida av (3) kommer att ha formen På grund av integralens absoluta konvergens, skiljer sig denna summa för stort I lite från ett uttryck som liknar integralsumman för funktionen av integralen. variabel £ kompilerad för förändringsintervallet (0, + oo) Därför är det naturligt att förvänta sig att för , summan (5) går över till integralen С Å andra sidan, för fast) följer det av formeln (3) ) att vi också erhåller likheten Det tillräckliga villkoret för giltigheten av formel (7) uttrycks av följande teorem. Sats 1. Om funktionen f(x) är absolut integrerbar på hela den reella axeln och tillsammans med sin derivata har ett ändligt antal diskontinuitetspunkter av det första slaget på något segment [a, 6], så av det e slaget av funktion /(x), värdet av integralen på höger sida av (7) är lika med formel (7) kallas Fourier-integralens formel, och integralen på dess högra sida kallas Fourier-integralen. Om vi ​​använder formeln för dagen för differensens cosinus, så kan formel (7) skrivas som Funktionerna a(t), b(t) är analoger till motsvarande Fourierkoefficienter an och bn av en 2n-periodisk funktion, men de senare är definierade för diskreta värden på n, medan a(0> HO definieras för kontinuerliga värden på G(-oo, +oo). Fourierintegralens komplexa form Under antagande av f(x) för att vara absolut integrerbar på hela x-axeln betraktar vi integralen , uppenbarligen en udda funktion av Men sedan Å andra sidan är integralen en jämn funktion av variabeln så att Fourierintegralens formel kan därför skrivas på följande sätt : Låt oss multiplicera likheten med den imaginära enheten i och addera till likheten (10). Detta är den komplexa formen av Fourierintegralen.Här förstås den yttre integrationen över t i betydelsen av Cauchys huvudvärde: § 2 Fouriertransform Cosinus och sinus Fouriertransformer Låt funk Linjen f(x) är bitvis jämn på vilket ändligt segment av x-axeln som helst och absolut integrerbar på hela axeln. Definition. Funktionen varifrån vi, i kraft av Eulerformeln, kommer att ha kallas Fouriertransformen av funktionen f(r) (spektralfunktion). Detta är integraltransformationen av funktionen / (r) på intervallet (-oo, + oo) med en kärna. Med Fourier-integralformeln får vi Detta är den så kallade inversa Fouriertransformen, som ger övergången från F (t) till / (x). Ibland ges den direkta Fouriertransformen enligt följande: Då bestäms den inversa Fouriertransformen av formeln Fouriertransformen för funktionen f(x) definieras också på följande sätt: FOURIERTRANSFORM Fourierintegral Komplex form av integral Fouriertransformen Cosinus och sinus av transformationen Amplitud och fasspektra Tillämpningsegenskaper Då, i sin tur, I detta fall är positionen för faktorn ^ ganska godtycklig: den kan ange antingen formel (1") eller formel (2"). Exempel 1. Hitta Fouriertransformen av funktionen -4 Vi har Denna likhet tillåter differentiering med avseende på £ under integraltecknet (integralen som erhålls efter differentiering konvergerar enhetligt när ( tillhör vilket ändligt segment som helst): Integrering med delar kommer vi att ha Termen utanför integralen försvinner, och vi får varifrån (C är integrationens konstant). Om vi ​​ställer in £ = 0 i (4), finner vi С = F(0). I kraft av (3) vi har Det är känt att i synnerhet, för) vi får det Låt oss betrakta funktionen 4. För spektra oyu för funktionen F(t) får vi Hence (Fig. 2). Villkoret för absolut integrerbarhet för funktionen f(x) på hela den reella axeln är mycket strikt. Det utesluter till exempel sådana elementära funktioner som f(x) = e1, för vilka Fouriertransformen (i den klassiska formen som betraktas här) inte existerar. Endast de funktionerna har en Fouriertransform som tenderar att nollställas tillräckligt snabbt för |x| -+ +oo (som i exempel 1 och 2). 2.1. Cosinus och sinus Fouriertransformationer Med hjälp av cosinusformeln, skillnaden, skriver vi om Fourierintegralformeln i följande form: Låt f(x) vara en jämn funktion. Sedan, så att vi från likhet (5) har I fallet med udda f(x), får vi på samma sätt Om f(x) ges endast på (0, -foo), så förlänger formel (6) f(x) till hela Ox-axeln på ett jämnt sätt, och formel (7) - udda. (7) Definition. Funktionen kallas cosinus Fouriertransformen av funktionen f(x). Av (6) följer att för en jämn funktion f(x) Detta betyder att f(x) i sin tur är en cosinustransform för Fc(t). Med andra ord är funktionerna / och Fc ömsesidiga cosinustransformeringar. Definition. Funktionen kallas sinus-fouriertransformen av funktionen f(x). Från (7) får vi det för en udda funktion f(x), dvs. f och Fs är ömsesidiga sinustransformer. Exempel 3 (rätvinklig puls). Låt f(t) vara en jämn funktion definierad enligt följande: (Fig. 3). Låt oss använda det erhållna resultatet för att beräkna integralen Med hjälp av formel (9) har vi Fig.3 0 0 Vid punkten t = 0 är funktionen f(t) kontinuerlig och lika med ett. Därför får vi från (12") 2.2. Amplitud och fasspektra för Fourierintegralen Låt funktionen f(x) periodisk med period 2m utökas till en Fourierserie. Denna likhet kan skrivas i den form vi kommer till begreppen av amplitud- och fasspektra för en periodisk funktion För en icke-periodisk funktion f(x) given på (-oo, +oo) visar sig det under vissa förhållanden vara möjligt att representera den med Fourier-integralen, som expanderar denna funktion över alla frekvenser (expansion i det kontinuerliga frekvensspektrumet Definition Den spektrala funktionen, eller Fourierintegralens spektrala täthet, är ett uttryck (den direkta Fouriertransformen av funktionen f kallas amplitudspektrum, och funktionen Ф ") \u003d -argSfc) är fasspektrumet för funktionen / ("). Amplitudspektrumet A(t) tjänar som ett mått på bidraget av frekvensen t till funktionen /(x). Exempel 4. Hitta amplituden och fasspektra för funktionen 4 Hitta spektralfunktionen Härifrån visas grafer över dessa funktioner i fig. 4. §3. Fouriertransformegenskaper 1. Linjäritet. Om och G(0 är Fouriertransformerna av funktionerna f(x) respektive g(x), så kommer Fouriertransformationen av funktionen a f(x) + p g(x) att vara funktionen för varje konstant a och p a Med hjälp av linjäritetsegenskapen för integralen har vi alltså Fouriertransformen är en linjär operator. Beteckna den med kommer vi att skriva. Om F(t) är Fouriertransformen av en funktion f(x) absolut integrerbar på hela den reella axel, då är F(t) avgränsad för alla. Låt funktionen f(x) vara absolut integrerbar på hela axeln - Fouriertransformen av funktionen f (x). Sedan 3 "flts J. Låt f (x) vara en funktion vars tolerans är Fouriertransformen, L är antalet egenskaper. Funktionen fh (x) \u003d f (z-h) kallas skiftningen av fundium f(x). Genom att använda definitionen av Fouriertransformen , visa att Problem. Låt en funktion f(z) ha en Fouriertransform F(0> h är ett reellt tal.Visa att 3. Fouriertransform och differentiering ooeresis.Låt en absolut integrerbar funktion f (x) ha en derivata f " (x), som också är absolut integrerbar på hela axeln Åh, så /(n) tenderar att bli noll som |x| -» +oo. Om vi ​​antar att f "(x) är en jämn funktion, skriver vi Integrering med delar, vi har termen utanför integralen försvinner (eftersom, och vi får Således, differentieringen av funktionen / (x) motsvarar multiplikationen av dess Fourier bild ^ P /] med faktorn Om funktionen f (x) har jämna absolut intebara derivator upp till ordningen m inklusive, och alla, liksom funktionen f(x) själv, tenderar till noll, och sedan integreras med delar det antal gånger som krävs, erhåller vi Fouriertransformen är mycket användbar just för att den ersätter differentieringsoperationen med multiplikationsoperationen med ett värde och därigenom förenklar problemet med att integrera vissa typer av differentialekvationer. Eftersom Fouriertransformen av en absolut integrerbar funktion f^k\x) är en begränsad funktion av (egenskap 2), från relation (2) får vi följande uppskattning för: Fouriertransform Fourierintegral Komplex integralform Fouriertransform Cosinus- och sinustransformer Amplitud och fasspektra Tillämpningsegenskaper Från denna utvärdering med följer: ju mer funktionen f(x) har absolut integrerbara derivator, desto snabbare tenderar dess Fouriertransform till noll vid. Kommentar. Tillståndet är ganska naturligt, eftersom den vanliga teorin om Fourier-integraler handlar om processer som i en eller annan mening har en början och slut, men som inte fortsätter i det oändliga med ungefär samma intensitet. 4. Förhållandet mellan avklingningshastigheten för funktionen f(x) för |z| -» -f oo och jämnheten i dess Fourm-förvandling. Låt oss anta att inte bara /(x), utan även dess produkt xf(x) är en absolut integrerbar funktion på hela x-axeln. Då blir Fouriertransformen) en differentierbar funktion. Faktum är att formell differentiering med avseende på parametern £ för integranden leder till en integral som är absolut och enhetligt konvergent med avseende på parametern. . Om funktioner tillsammans med funktionen f(x) är absolut integrerbara på hela Ox-axeln, kan differentieringsprocessen fortsätta. Vi får fram att funktionen har derivator upp till ordningen m inklusive, och alltså, ju snabbare funktionen f(x) minskar, desto jämnare blir funktionen.Sats 2 (om borren). Låta vara Fourier-transformerna av funktionerna /,(x), respektive f2(x). Då konvergerar den dubbla integralen på höger sida absolut. Låt oss sätta x. Då kommer vi att ha eller, ändra ordningen för integration, Funktionen kallas faltning av funktioner och betecknas med symbolen Formel (1) kan nu skrivas enligt följande: Härifrån är det tydligt att Fouriertransformen av faltningen av funktionerna f \ produkten av Fouriertransformerna av vikbara funktioner, Anm. Det är lätt att fastställa följande egenskaper för faltning: 1) linjäritet: 2) kommutativitet: §4. Tillämpningar av Fouriertransformen 1. Låt Р(^) vara en linjär differentialoperator av ordningen m med konstanta koefficienter. y(x) har en Fouriertransform y (O. och funktionen f(x) har en transform /(t) Genom att tillämpa Fouriertransformen på ekvation (1) får vi istället för en differentialalgebraisk ekvation på axeln med avseende på varifrån så att formellt där symbolen betecknar den inversa Fouriertransformen. Den huvudsakliga begränsningen för tillämpligheten av denna metod är kopplad till följande faktum: Lösningen av en vanlig differentialekvation med konstanta koefficienter innehåller funktioner av formen< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и