Geometriskt kriterium för det linjära beroendet av tre vektorer. Nödvändigt villkor för linjärt beroende av n funktioner. Egenskaper för linjärt beroende vektorer

Observera att i det följande, utan förlust av allmänhet, kommer vi att överväga fallet med vektorer i tredimensionellt rymd. På planet utförs övervägandet av vektorer på ett liknande sätt. Som noterats ovan kan alla resultat som är kända från förloppet av linjär algebra för algebraiska vektorer överföras till det speciella fallet med geometriska vektorer. Så låt oss göra det.

Låt vektorer fixas.

Definition. Summan, där är några tal, kallas en linjär kombination av vektorer. I det här fallet kommer dessa tal att kallas koefficienterna för den linjära kombinationen.

Vi kommer att vara intresserade av frågan om möjligheten att en linjär kombination är lika med en nollvektor. I enlighet med egenskaperna och axiomen för vektorrum blir det uppenbart att det för alla system av vektorer finns en trivial (noll) uppsättning koefficienter, för vilken denna likhet gäller:

Frågan uppstår om existensen för ett givet vektorsystem av en icke-trivial uppsättning koefficienter (bland vilka det finns minst en icke-noll koefficient), för vilken den nämnda likheten gäller. I enlighet med detta kommer vi att skilja mellan linjärt beroende och oberoende system.

Definition. Ett system av vektorer kallas linjärt oberoende om det finns en sådan uppsättning siffror, bland vilka det finns minst en icke-noll, så att den motsvarande linjära kombinationen är lika med nollvektorn:

Ett system av vektorer kallas linjärt oberoende om likheten

är endast möjligt i fallet med en trivial uppsättning koefficienter:

Låt oss lista huvudegenskaperna hos linjärt beroende och oberoende system som bevisats under linjär algebra.

1. Varje system av vektorer som innehåller en nollvektor är linjärt beroende.

2. Låt det finnas ett linjärt beroende delsystem i vektorsystemet. Då är hela systemet också linjärt beroende.

3. Om ett system av vektorer är linjärt oberoende, så är vilket som helst av dess delsystem också linjärt oberoende.

4. Om det finns två vektorer i ett vektorsystem, varav den ena erhålls från den andra genom att multiplicera med ett visst tal, så är hela systemet linjärt beroende.

Sats (kriterium för linjärt beroende). Ett system av vektorer är linjärt beroende om och endast om en av vektorerna i detta system kan representeras som en linjär kombination av de andra vektorerna i systemet.

Med hänsyn till kriteriet för kollinearitet för två vektorer, kan det hävdas att kriteriet för deras linjära beroende är deras kollinearitet. För tre vektorer i rymden är följande påstående sant.

Sats (kriterium för linjärt beroende av tre geometriska vektorer). Tre vektorer , och är linjärt beroende om och endast om de är i samma plan.

Bevis.

Behöver. Låt vektorerna , och vara linjärt beroende. Låt oss bevisa deras överensstämmelse. Sedan, enligt det allmänna kriteriet för linjärt beroende av algebraiska vektorer, hävdar vi att en av dessa vektorer kan representeras som en linjär kombination av andra vektorer. Låt t.ex.

Om alla tre vektorerna, och appliceras på ett gemensamt ursprung, kommer vektorn att sammanfalla med diagonalen för parallellogrammet byggt på vektorerna och . Men detta betyder att vektorerna , och ligger i samma plan, dvs. i samma plan.

Lämplighet. Låt vektorerna , och vara i samma plan. Låt oss visa att de är linjärt beroende. Tänk först och främst på fallet när vilket par av de angivna vektorerna är kolinjära. I detta fall, enligt föregående sats, innehåller vektorsystemet , , ett linjärt beroende delsystem och är därför självt linjärt beroende enligt egenskap 2 hos linjärt beroende och oberoende vektorsystem. Låt nu inget par av vektorer som övervägs vara kolinjära. Vi överför alla tre vektorerna till ett plan och för dem till ett gemensamt ursprung. Rita genom slutet av vektorlinjerna parallellt med vektorerna och . Låt bokstaven beteckna skärningspunkten för linjen parallellt med vektorn med linjen på vilken vektorn ligger, och med bokstaven skärningspunkten för linjen parallellt med vektorn med linjen på vilken vektorn ligger. Genom definition av summan av vektorer får vi:

.

Eftersom vektorn är kolinjär med en vektor som inte är noll, finns det ett reellt tal så att

Liknande överväganden innebär att det finns ett reellt tal så att

Som ett resultat kommer vi att ha:

Sedan, från det allmänna kriteriet för det linjära beroendet av algebraiska vektorer, får vi att vektorerna , , är linjärt beroende. ■

Sats (linjärt beroende av fyra vektorer). Vilka fyra vektorer som helst är linjärt beroende.

Bevis. Först och främst, överväg fallet när någon trippel av de angivna fyra vektorerna är i samma plan. I detta fall är denna trippel linjärt beroende i enlighet med föregående sats. Därför, i enlighet med egenskapen för 2 linjärt beroende och oberoende system av vektorer, och hela fyrdubbla är linjärt beroende.

Låt nu, bland de vektorer som övervägs, ingen trippel av vektorer vara i samma plan. Låt oss föra alla fyra vektorerna, , , till en gemensam början och rita plan genom slutet av vektorn parallellt med planen som definieras av vektorpar, ; , ; , . Skärningspunkterna för de angivna planen med linjerna på vilka vektorerna , och ligger betecknas med bokstäverna , respektive . Av definitionen av summan av vektorer följer att

vilket, med hänsyn till det allmänna kriteriet för linjärt beroende av algebraiska vektorer, säger att alla fyra vektorer är linjärt beroende. ■

Def. System av element x 1 ,…,x m lin. produktion V kallas linjärt beroende om ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) så att λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .

Def. Ett system av element x 1 ,…,x m ∈ V kallas linjärt oberoende om från likheten λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Def. Ett element x ∈ V kallas en linjär kombination av element x 1 ,…,x m ∈ V om ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ så att x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Sats (kriterium för linjärt beroende): Ett system av vektorer x 1 ,…,x m ∈ V är linjärt beroende om och endast om minst en vektor i systemet är linjärt uttryckt i termer av de andra.

Dok. Behöver: Låt x 1 ,…,x m vara linjärt beroende ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) så att λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + Xm x m = 6. Antag då att λ m ≠ 0

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Lämplighet: Låt åtminstone en av vektorerna uttryckas linjärt i termer av de andra vektorerna: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λm-1 x m-1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1,...,x m - är linjärt oberoende.

Ven. linjärt beroendetillstånd:

Om systemet innehåller ett nollelement eller ett linjärt beroende delsystem, så är det linjärt beroende.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – linjärt beroende system

1) Låt x 1 = θ, då gäller denna likhet för λ 1 =1 och λ 1 =…= λ m =0.

2) Låt λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 vara ett linjärt beroende delsystem ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Sedan för λ 1 =0 får vi också |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 är ett linjärt beroende system.

Grunden för ett linjärt utrymme. Vektorkoordinater i den givna basen. Koordinaterna för summan av vektorer och produkten av en vektor med ett tal. Nödvändigt och tillräckligt villkor för linjärt beroende av ett vektorsystem.

Definition: Ett ordnat system av element e 1, ..., e n i ett linjärt utrymme V kallas en bas för detta utrymme om:

A) e 1 ... e n är linjärt oberoende

B) ∀ x ∈ α 1 … α n så att x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – expansion av elementet x i basen e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ är koordinaterna för elementet x i basen e 1, …, e n

Sats: Om basen e 1, …, e n ges i det linjära utrymmet V, så är ∀ x ∈ V kolumnen med koordinater x i basen e 1, …, e n unikt bestämd (koordinaterna är unikt bestämda)

Bevis: Låt x=α 1 e 1 +…+ α n e n och x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, dvs e 1, …, e n är linjärt oberoende, då - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Sats: låt e 1, …, e n vara grunden för det linjära rummet V; x, y är godtyckliga element i utrymmet V, λ ∈ ℝ är ett godtyckligt tal. När x och y adderas adderas deras koordinater, när x multipliceras med λ multipliceras koordinaterna för x också med λ.

Bevis: x= (e 1, …, e n) och y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Lemma1: (nödvändigt och tillräckligt villkor för det linjära beroendet av ett vektorsystem)

Låt e​1 …e n vara grunden för rymden V. Systemet av element f 1 , …, f k ∈ V är linjärt beroende om och endast om koordinatkolumnerna för dessa element i basen e 1, …, e n är linjärt beroende

Bevis: expandera f 1 , …, f k i basen e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +...+ λ n ] dvs. λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = efter behov.

13. Dimension av ett linjärt utrymme. Sats om förhållandet mellan dimension och grund.
Definition: Ett linjärt utrymme V kallas ett n-dimensionellt utrymme om det finns n linjärt oberoende element i V, och ett system av alla n + 1 element i utrymmet V är linjärt beroende. I detta fall kallas n dimensionen för det linjära utrymmet V och betecknas dimV=n.

Ett linjärt utrymme kallas oändligt dimensionellt om ∀N ∈ ℕ i utrymmet V finns ett linjärt oberoende system som innehåller N element.

Sats: 1) Om V är ett n-dimensionellt linjärt utrymme, så utgör varje ordnat system av n linjärt oberoende element i detta utrymme en bas. 2) Om det i det linjära rummet V finns en bas bestående av n element, så är dimensionen på V lika med n (dimV=n).

Bevis: 1) Låt dimV=n ⇒ i V ∃ n linjärt oberoende element e 1, …,e n . Vi bevisar att dessa element utgör en grund, det vill säga vi bevisar att ∀ x ∈ V kan expanderas i termer av e 1, …,e n . Låt oss lägga till x till dem: e 1, …,e n , x – detta system innehåller n+1 vektorer, vilket betyder att det är linjärt beroende. Eftersom e 1, …,e n är linjärt oberoende, då av sats 2 x linjärt uttryckt genom e 1, …,e n dvs. ∃ ,…, så att x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Så e 1, …,e n är grunden för rymden V. 2) Låt e​1, …,e n vara grunden för V, så det finns n linjärt oberoende element i V ∃ n. Ta godtyckliga f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 element. Låt oss visa deras linjära beroende. Låt oss dela upp dem i termer av:

f m =(e 1, …,e n) = där m = 1,…,n Låt oss skapa en matris med koordinatkolumner: A= Matrisen innehåller n rader ⇒ RgA≤n. Antal kolumner n+1 > n ≥ RgA ⇒ Kolumner i matris A (dvs kolumner med koordinater f 1 ,…,f n ,f n +1) är linjärt beroende. Från Lemma är 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 linjärt beroende ⇒ dimV=n.

Följd: Om någon bas innehåller n element, så innehåller alla andra baser i detta utrymme n element.

Sats 2: Om systemet av vektorer x 1 ,... ,x m -1 , x m är linjärt beroende och dess delsystem x 1 ,... ,x m -1 är linjärt oberoende, så uttrycks x m - linjärt genom x 1 ,... ,x m -1

Bevis: Därför att x 1 ,… ,x m -1 , x m är linjärt beroende, då ∃ , …, , ,

, …, | , | Så att . Om , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 är linjärt oberoende, vilket inte kan vara det. Så m = (-) x 1 +...+ (-) x m -1.

Det följande ger flera kriterier för linjärt beroende och följaktligen linjärt oberoende av vektorsystem.

Sats. (Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för vektorers linjära beroende.)

Ett system av vektorer är beroende om och endast om en av vektorerna i systemet uttrycks linjärt i termer av de andra i detta system.

Bevis. Behöver. Låt systemet vara linjärt beroende. Då representerar den per definition nollvektorn på ett icke-trivialt sätt, dvs. det finns en icke-trivial kombination av detta vektorsystem lika med nollvektorn:

där åtminstone en av koefficienterna för denna linjära kombination inte är lika med noll. Låt , .

Dividera båda delarna av den tidigare likheten med denna koefficient som inte är noll (dvs multiplicera med:

Beteckna: , där .

de där. en av systemets vektorer uttrycks linjärt i termer av de andra i detta system, etc.

Lämplighet. Låt en av systemets vektorer uttryckas linjärt i termer av andra vektorer i detta system:

Låt oss flytta vektorn till höger om denna likhet:

Eftersom vektorns koefficient är , då har vi en icke-trivial representation av noll genom systemet av vektorer , vilket betyder att detta vektorsystem är linjärt beroende, etc.

Teoremet har bevisats.

Följd.

1. Ett system av vektorer i ett vektorrum är linjärt oberoende om och endast om ingen av systemets vektorer är linjärt uttryckta i termer av andra vektorer i detta system.

2. Ett system av vektorer som innehåller en nollvektor eller två lika stora vektorer är linjärt beroende.

Bevis.

1) Nödvändighet. Låt systemet vara linjärt oberoende. Antag motsatsen, och det finns en systemvektor som uttrycks linjärt i termer av andra vektorer i detta system. Sedan, genom satsen, är systemet linjärt beroende, och vi kommer fram till en motsägelse.

Lämplighet. Låt ingen av systemets vektorer uttryckas i termer av andra. Låt oss anta motsatsen. Låt systemet vara linjärt beroende, men då följer det av satsen att det finns en systemvektor som uttrycks linjärt genom andra vektorer i detta system, och vi kommer återigen till en motsägelse.

2a) Låt systemet innehålla en nollvektor. Antag för bestämdhet att vektorn :. Sedan jämställdheten

de där. en av systemets vektorer uttrycks linjärt i termer av de andra vektorerna i detta system. Det följer av satsen att ett sådant system av vektorer är linjärt beroende osv.

Observera att detta faktum kan bevisas direkt från ett linjärt beroende system av vektorer.

Sedan är följande jämlikhet uppenbar

Detta är en icke-trivial representation av nollvektorn, vilket betyder att systemet är linjärt beroende.

2b) Låt systemet ha två lika stora vektorer. Låt för . Sedan jämställdheten

De där. den första vektorn uttrycks linjärt i termer av de andra vektorerna i samma system. Det följer av satsen att det givna systemet är linjärt beroende osv.

I likhet med det föregående kan detta påstående också bevisas direkt från definitionen av ett linjärt beroende system.

Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för det linjära beroendet av två

vektorer är deras kolinearitet.

2. Skalär produkt- en operation på två vektorer, vars resultat är en skalär (tal) som inte är beroende av koordinatsystemet och som karakteriserar längden på multiplikatorvektorerna och vinkeln mellan dem. Denna operation motsvarar multiplikationen längd given vektor x på utsprång en annan vektor y till den givna vektorn x. Denna operation ses vanligtvis som kommutativ och linjär i varje faktor.

Dot produktegenskaper:

3. Tre vektorer (eller fler) kallas i samma plan om de, reducerade till ett gemensamt ursprung, ligger i samma plan.

En nödvändig och tillräcklig förutsättning för det linjära beroendet av tre vektorer är deras samplanaritet, vilka fyra vektorer som helst är linjärt beroende. bas i rymden någon ordnad trippel av icke-samplanära vektorer kallas. En bas i rymden tillåter en att unikt associera med varje vektor en ordnad trippel av tal - koefficienterna för representationen av denna vektor i en linjär kombination av vektorer av basen. Tvärtom kommer vi med hjälp av en bas att associera en vektor med varje ordnad triplett av tal om vi gör en linjär kombination.En ortogonal bas kallas ortonormala , om dess vektorer är lika med en långa. För en ortonormal grund i rymden används ofta notationen. Sats: På ortonormal basis är vektorernas koordinater motsvarande ortogonala projektioner av denna vektor på koordinatvektorernas riktningar. En trippel av icke-samplanära vektorer a, b, c kallad höger, om observatören från deras gemensamma ursprung går förbi ändarna på vektorerna a, b, c i den ordningen verkar gå medurs. Annat a, b, c - vänster trippel. Alla höger (eller vänster) trippel av vektorer kallas lika orienterad. Ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan bildas av två inbördes vinkelräta koordinataxlar OXE och OY. Koordinataxlarna skär varandra i en punkt O, som kallas origo, har varje axel en positiv riktning. PÅ höger hand koordinatsystem väljs axlarnas positiva riktning så att med axelns riktning OY upp, axel OXE tittade till höger.

Fyra vinklar (I, II, III, IV) bildade av koordinataxlarna X"X och Y"Y, kallas koordinatvinklar eller kvadranter(se fig. 1).

om vektorer och med avseende på en ortonormal bas på planet har koordinater respektive, så beräknas skalärprodukten av dessa vektorer med formeln

4. Vektorprodukt av två vektorer a och bär en operation på dem, definierad endast i tredimensionellt utrymme, vars resultat är vektor med följande

egenskaper:

Den geometriska betydelsen av korsprodukten av vektorer är arean av ett parallellogram byggt på vektorer. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för kollineariteten av en vektor som inte är noll och en vektor är förekomsten av ett tal som uppfyller likheten.

Om två vektorer och definieras av deras rektangulära kartesiska koordinater, eller mer exakt, representeras de i en vortonormaliserad basis

och koordinatsystemet är rätt, då har deras vektorprodukt formen

För att komma ihåg denna formel är det bekvämt att använda determinanten:

5. Blandad produkt vektorer - den skalära produkten av en vektor och korsprodukten av vektorer och:

Ibland kallas det trippelskalär produkt vektorer, uppenbarligen beroende på att resultatet är en skalär (mer exakt en pseudoskalär).

Geometrisk känsla: Modulen för den blandade produkten är numeriskt lika med volymen av parallellepipeden som bildas av vektorerna.

När två faktorer byts om, ändrar den blandade produkten tecken till motsatt:

Med en cyklisk (cirkulär) permutation av faktorer förändras inte den blandade produkten:

Den blandade produkten är linjär oavsett faktor.

Den blandade produkten är noll om och endast om vektorerna är koplanära.

1. Komplanaritetsvillkor för vektorer: tre vektorer är i samma plan om och endast om deras blandade produkt är noll.

§ En trippel av vektorer som innehåller ett par kolinjära vektorer är koplanär.

§ Blandprodukt av koplanära vektorer. Detta är ett kriterium för samplanariteten för tre vektorer.

§ Coplanära vektorer är linjärt beroende. Detta är också ett kriterium för samplanaritet.

§ Det finns reella tal som för coplanar , förutom eller . Detta är en omformulering av den tidigare egenskapen och är också ett kriterium för samplanaritet.

§ I ett 3-dimensionellt utrymme utgör 3 icke-samplanära vektorer en bas. Det vill säga, vilken vektor som helst kan representeras som: . Då blir koordinaterna i det givna underlaget.

Den blandade produkten i det högra kartesiska koordinatsystemet (i den ortonormala basen) är lika med determinanten för matrisen som består av vektorerna och:

§6. Allmän ekvation (komplett) för planet

där och är dessutom konstanter och är inte lika med noll samtidigt; i vektorform:

där är radievektorn för punkten , vektorn är vinkelrät mot planet (normalvektor). Riktning cosinus vektor :

Om en av koefficienterna i planekvationen är noll, anropas ekvationen Ofullständig. När planet passerar genom ursprunget för koordinater, när (eller , ) P. är parallell med axeln (respektive eller ). För ( , eller ) är planet parallellt med planet (eller ).

§ Ekvation för ett plan i segment:

där , , är segmenten avskurna av planet på axlarna och .

§ Ekvation för ett plan som passerar genom en punkt vinkelrät mot normalvektorn :

i vektorform:

(blandad produkt av vektorer), annars

§ Normal (normaliserad) planekvation

§ Vinkel mellan två plan. Om P.-ekvationerna ges i formen (1), då

Om i vektorform, då

§ Planen är parallella, om

Eller (vektorprodukt)

§ Planen är vinkelräta, om

Eller . (Skalär produkt)

7. Ekvation för ett plan som passerar genom tre givna punkter , inte ligga på samma linje:

8. Avståndet från en punkt till ett plan är det minsta av avstånden mellan denna punkt och planets punkter. Det är känt att avståndet från en punkt till ett plan är lika med längden av den vinkelräta som tappas från denna punkt till planet.

§ Punktavvikelse från planet som ges av den normaliserade ekvationen

Om och ursprunget ligger på motsatta sidor av planet, annars . Avståndet från en punkt till ett plan är

§ Avståndet från punkten till planet som ges av ekvationen beräknas med formeln:

9. Plan bunt- ekvationen för varje P. som passerar genom skärningslinjen mellan två plan

där α och β är alla tal som inte samtidigt är lika med noll.

För att de tre planen definieras av deras allmänna ekvationer A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 med avseende på PDSC tillhörde en stråle, korrekt eller olämplig, är det nödvändigt och tillräckligt att rangordningen för matrisen är lika med antingen två eller en.
Sats 2. Låt två plan π 1 och π 2 ges med avseende på PDSC genom deras allmänna ekvationer: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z +D2 = 0. För att π 3-planet, givet relativt PDSC genom dess allmänna ekvation A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, ska tillhöra strålen som bildas av π 1- och π 2-planen, är nödvändigt och tillräckligt att den vänstra sidan av ekvationen för planet π 3 representerades som en linjär kombination av de vänstra delarna av ekvationerna för planen π 1 och π 2 .

10.Parametrisk vektorekvation för en rät linje i rymden:

var är radievektorn för någon fast punkt M 0 som ligger på en rät linje är en vektor som inte är noll i linje med denna räta linje, är radievektorn för en godtycklig punkt på den räta linjen.

Parametrisk ekvation för en rät linje i rymden:

M

Kanonisk ekvation för en rät linje i rymden:

var är koordinaterna för någon fast punkt M 0 liggande på en rak linje; - koordinater för en vektor i linje med denna linje.

Allmän vektorekvation för en rät linje i rymden:

Eftersom linjen är skärningspunkten mellan två olika icke-parallella plan, givet av de allmänna ekvationerna:

då kan ekvationen för en rät linje ges av ett system av dessa ekvationer:

Vinkeln mellan riktningsvektorerna och kommer att vara lika med vinkeln mellan linjerna. Vinkeln mellan vektorer hittas med hjälp av den skalära produkten. cosA=(ab)/Ial*IbI

Vinkeln mellan en rät linje och ett plan hittas av formeln:

där (A; B; C;) är koordinaterna för planets normalvektor
(l;m;n;) riktande vektorkoordinater för den räta linjen

Villkor för parallellitet mellan två linjer:

a) Om linjerna ges av ekvationer (4) med en lutning, är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för deras parallellitet likheten mellan deras lutningar:

k 1 = k 2 . (8)

b) För det fall då linjerna ges av ekvationer i allmän form (6) är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för deras parallellitet att koefficienterna vid motsvarande aktuella koordinater i deras ekvationer är proportionella, d.v.s.

Villkor för vinkelräthet av två linjer:

a) I det fall när linjerna ges av ekvation (4) med en lutning, är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för deras vinkelräthet att deras lutningar är reciproka i storlek och motsatta i tecken, dvs.

b) Om ekvationerna för räta linjer ges i allmän form (6), så är villkoret för deras vinkelräta (nödvändiga och tillräckliga) att uppfylla likheten

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

En linje sägs vara vinkelrät mot ett plan om den är vinkelrät mot någon linje i det planet. Om en linje är vinkelrät mot var och en av två skärande linjer i ett plan, så är den vinkelrät mot det planet. För att en linje och ett plan ska vara parallella är det nödvändigt och tillräckligt att normalvektorn till planet och linjens riktningsvektor är vinkelräta. För detta är det nödvändigt att deras skalära produkt är lika med noll.

För att en linje och ett plan ska vara vinkelräta är det nödvändigt och tillräckligt att normalvektorn till planet och linjens riktningsvektor är kolinjär. Detta villkor är uppfyllt om korsprodukten av dessa vektorer var lika med noll.

12. I rymden, avståndet från en punkt till en rät linje givet av en parametrisk ekvation

kan hittas som det minsta avståndet från en given punkt till en godtycklig punkt på en rät linje. Koefficient t denna punkt kan hittas av formeln

Avstånd mellan korsande linjerär längden på deras gemensamma vinkelrät. Det är lika med avståndet mellan parallella plan som passerar genom dessa linjer.

Nödvändigt villkor för linjärt beroende av n funktioner.

Låt funktionerna ha derivator av gränsen (n-1).

Tänk på bestämningsfaktorn: (1)

W(x) brukar kallas Wronsky-determinanten för funktioner .

Sats 1. Om funktionerna är linjärt beroende i intervallet (a,b), så är deras Wronskian W(x) identiskt lika med noll i detta intervall.

Bevis. Genom satsens tillstånd, relationen

, (2) där inte alla är lika med noll. Låt . Sedan

(3). Differentiera denna identitet n-1 gånger och,

istället för deras erhållna värden ersätts med Vronsky-determinanten,

vi får:

I Wronsky-determinanten är den sista kolumnen en linjär kombination av de föregående n-1 kolumnerna och är därför lika med noll i alla punkter i intervallet (a,b).

Sats 2. Om funktionerna y 1 ,..., y n är linjärt oberoende lösningar av ekvationen L[y] = 0, vars alla koefficienter är kontinuerliga i intervallet (a,b), så skiljer sig Wronskian för dessa lösningar från noll vid varje punktintervall (a,b).

Bevis. Låt oss anta motsatsen. Det finns X 0 , där W(X 0)=0. Vi komponerar ett system av n ekvationer

Uppenbarligen har system (5) en lösning som inte är noll. Låt (6).

Låt oss komponera en linjär kombination av lösningar y 1 ,..., y n .

Y(x) är en lösning på ekvationen L[y] = 0. Dessutom, . I kraft av unikhetssatsen måste lösningen av ekvationen L[y] = 0 med noll initiala villkor endast vara noll, ᴛ.ᴇ. .

Vi får identiteten , där inte alla är lika med noll, vilket betyder att y 1 ,..., y n är linjärt beroende, vilket motsäger satsens villkor. Därför finns det ingen sådan punkt där W(X 0)=0.

Utifrån sats 1 och sats 2 kan vi formulera följande påstående. För att n lösningar av ekvationen L[y] = 0 ska vara linjärt oberoende i intervallet (a,b), är det extremt viktigt och tillräckligt att deras Wronskian inte försvinner vid någon punkt i detta intervall.

Följande uppenbara egenskaper hos Wronskian följer också av de bevisade satserna.

1. Om Wronskian för n lösningar av ekvationen L[y] = 0 är lika med noll i en punkt x = x 0 från intervallet (a,b), där alla koefficienter pi (x) är kontinuerliga, så är det lika med noll vid alla ex-punkter i detta intervall.
2. Om Wronskian för n lösningar av ekvationen L[y] = 0 är icke-noll vid en punkt x = x 0 från intervallet (a,b), så är den icke-noll i alla punkter i detta intervall.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, för linjäriteten av n oberoende lösningar av ekvationen L[y] = 0 i intervallet (a,b), där koefficienterna för ekvationen p i (x) är kontinuerliga, är det extremt viktigt och tillräckligt att deras Wronskian vara annorlunda än noll även i en punkt av detta intervall.

Nödvändigt villkor för linjärt beroende av n funktioner. - koncept och typer. Klassificering och egenskaper för kategorin "Ett nödvändigt villkor för linjärt beroende av n funktioner." 2017, 2018.

-

Fartygshanteringsutrustning (lasthanteringsutrustning ombord) Föreläsning nr 6 Ämne: Lastutrustning (lastutrustning) 6.1. Fartygshanteringsutrustning (Utrustning för lasthantering ombord). 6.2. Lastkranar. 6.3. Ramp. Överbelastning är förflyttning av varor till eller från ett fordon. Många... .

- Lastkranar

Certifikat Arbetsfördelning Kontroll, certifiering och ansvar fördelas enligt följande: &... .

- Känner du honom? Finns det?

Där - allá Här - aqui På ett café - en el café På jobbet - en el trabajo Till sjöss - en el mar 1. Vet du var caféet ligger? 2. Vet du var Sasha är? 3. Vet du var biblioteket finns? 4. Vet du var Olya är nu? 5. Vet du var Natasha är nu? God eftermiddag! Jag....

- Bestämning av Zmin och Xmin från villkoret att inget underskridande

Fig.5.9. Om att skära av tänderna på hjulen. Låt oss överväga hur kuggstångens skjuvfaktor x är relaterad till antalet tänder som kan skäras av kuggstången på hjulet. Låt skenan installeras i position 1 (Fig. 5.9.). I det här fallet kommer det raka huvudet på racket att korsa ingreppslinjen N-N, inklusive ...