Өнөөдөр хичээл дээр бид үзэх болно хатуу дараалалТэгээд функцийн хязгаарын хатуу тодорхойлолт, мөн онолын шинж чанартай холбогдох асуудлыг шийдэж сурна. Энэхүү нийтлэл нь математик анализын онолыг судалж эхэлсэн, дээд математикийн энэ хэсгийг ойлгоход бэрхшээлтэй тулгарсан байгалийн шинжлэх ухаан, инженерийн мэргэжлээр суралцаж буй нэгдүгээр курсын оюутнуудад зориулагдсан болно. Нэмж дурдахад энэ материал нь ахлах сургуулийн сурагчдад нэлээд хүртээмжтэй байдаг.

Сайт бий болсон олон жилийн хугацаанд би "Би математикийн анализыг сайн ойлгохгүй байна, би яах ёстой вэ?", "Би математикийг огт ойлгохгүй байна, би Хичээлээ орхих талаар бодож байна" гэх мэт. Үнэхээр ч эхний хуралдааны дараа оюутнуудын бүлгийг сийрэгжүүлдэг нь матан юм. Яагаад ийм зүйл болсон бэ? Яагаад гэвэл сэдэв нь төсөөлшгүй төвөгтэй юм уу? Огт үгүй! Математик анализын онол нь өвөрмөц тул тийм ч хэцүү биш юм. Тэгээд түүнийг байгаагаар нь хүлээн зөвшөөрч хайрлах хэрэгтэй =)

Эхнээс нь эхэлцгээе хүнд тохиолдол. Эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол та хичээлээ орхих шаардлагагүй юм. Зөв ойлгоорой, та хэзээ ч орхиж болно;-) Мэдээж сонгосон мэргэжлээрээ нэг юмуу хоёр жилийн дараа өвдвөл тиймээ, энэ талаар бодох хэрэгтэй. (мөн бүү уурлаарай!)үйл ажиллагааны өөрчлөлтийн тухай. Гэхдээ одоохондоо үүнийг үргэлжлүүлэх нь зүйтэй юм. "Би юу ч ойлгохгүй байна" гэсэн хэллэгийг мартаарай - та юу ч ойлгохгүй байх тохиолдол гардаггүй.

Хэрэв онол муу бол яах вэ? Дашрамд хэлэхэд энэ нь зөвхөн математикийн шинжилгээнд хамаарахгүй. Хэрэв онол муу бол эхлээд практик дээр НОЦТОЙ анхаарах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд хоёр стратегийн ажлыг нэг дор шийддэг.

– Нэгдүгээрт, онолын мэдлэгийн багагүй хувь нь дадлагаар бий болсон. Тийм ч учраас олон хүмүүс онолыг ойлгодог ... - энэ нь зөв! Үгүй ээ, чи энэ талаар бодохгүй байна =)

- Хоёрдугаарт, практик ур чадвар нь таныг шалгалтанд "татах" магадлалтай, гэхдээ ... гэхдээ тийм ч их баярлах хэрэггүй! Бүх зүйл бодит бөгөөд бүх зүйлийг нэлээд богино хугацаанд "босгох" боломжтой. Математик анализ бол миний дээд математикийн хамгийн дуртай хэсэг тул би танд туслахаас өөр аргагүй юм.

1-р семестрийн эхэнд дарааллын хязгаар болон функцийн хязгаарыг ихэвчлэн хамруулдаг. Эдгээр нь юу болохыг ойлгохгүй байгаа бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэхгүй байна уу? Нийтлэлээс эхэлье Функцийн хязгаарлалт, үүнд үзэл баримтлалыг "хуруугаар" судалж, хамгийн энгийн жишээнүүдийг шинжилдэг. Дараа нь тухайн сэдвийн бусад хичээлүүд, тухайлбал тухай хичээл дээр ажиллана дараалал дотор, Би үнэндээ аль хэдийн хатуу тодорхойлолтыг томъёолсон байна.

Та тэгш бус байдлын тэмдэг, модулиас гадна ямар тэмдгийг мэддэг вэ?

– урт босоо саваа дараах байдалтай байна. "ийм", "тийм", "тийм" эсвэл "тийм", бидний тохиолдолд бид тодорхой тооны тухай ярьж байна - тиймээс "ийм";

–-аас их “en” бүхний хувьд;

– модулийн тэмдэг нь зай гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл Энэ оруулга нь утгуудын хоорондох зай нь эпсилоноос бага байгааг харуулж байна.

За, үхэлд хүргэх хэцүү юу? =)

Бясалгалыг эзэмшсэний дараа дараагийн догол мөрөнд тантай уулзахыг тэсэн ядан хүлээж байна.

Үнэн хэрэгтээ, бага зэрэг бодъё - дарааллын хатуу тодорхойлолтыг хэрхэн томъёолох вэ? ...Дэлхий дээр хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг зүйл практик хичээл: "дарааллын хязгаар нь дарааллын гишүүдийн хязгааргүй ойртох тоо юм."

За, үүнийг бичье дэд дараалал :

Үүнийг ойлгоход хэцүү биш юм дэд дараалал -1 тоо, тэгш тоотой гишүүнд хязгааргүй ойр ойртох - "нэг" рүү.

Эсвэл хоёр хязгаарлалт байгаа болов уу? Гэхдээ яагаад ямар ч дараалалд арав, хорин байж болохгүй гэж? Та энэ замаар хол явж болно. Үүнтэй холбогдуулан ийм гэж үзэх нь логик юм хэрвээ дараалал нь хязгаартай бол энэ нь өвөрмөц юм.

Анхаарна уу : дараалалд хязгаарлалт байхгүй, гэхдээ үүнээс хоёр дэд дарааллыг ялгаж болно (дээрхийг харна уу), тус бүр өөрийн гэсэн хязгаартай.

Тиймээс дээрх тодорхойлолт нь үндэслэлгүй болж хувирав. Тиймээ, энэ нь иймэрхүү тохиолдлуудад ажилладаг (би практик жишээнүүдийн хялбаршуулсан тайлбарт тийм ч зөв ашиглаагүй), гэхдээ одоо бид хатуу тодорхойлолтыг олох хэрэгтэй.

Хоёр дахь оролдлого: "дарааллын хязгаар гэдэг нь дарааллынхаас бусад бүх гишүүдийн ойртох тоо юм. эцсийнтоо хэмжээ." Энэ нь үнэнд илүү ойр, гэхдээ бүрэн үнэн зөв биш хэвээр байна. Жишээлбэл, дараалал Нэр томъёоны тал нь тэг рүү огт ойртдоггүй - тэд зүгээр л тэнцүү байна =) Дашрамд хэлэхэд "анивчдаг гэрэл" нь ерөнхийдөө хоёр тогтмол утгыг авдаг.

Томьёоллыг тодруулахад хэцүү биш боловч дараа нь өөр нэг асуулт гарч ирнэ: тодорхойлолтыг математикийн тэмдэгтээр хэрхэн бичих вэ? Нөхцөл байдлыг шийдвэрлэх хүртэл шинжлэх ухааны ертөнц энэ асуудалтай удаан хугацаанд тэмцсэн алдартай маэстро, энэ нь үндсэндээ сонгодог математикийн шинжилгээг бүх нарийн ширийн байдлаар албан ёсны болгосон. Коши мэс засал хийхийг санал болгов хүрээлэн буй орчин , энэ нь онолыг ихээхэн ахиулсан.

Зарим нэг цэгийг анхаарч үзээрэй дур зоргоороо- хүрээлэн буй орчин:

"Эпсилон" -ын үнэ цэнэ үргэлж эерэг байдаг бөгөөд үүнээс гадна бид өөрсдөө сонгох эрхтэй. Энэ хороололд олон гишүүн бий гэж бодъё (заавал бүгд биш)зарим дараалал. Жишээлбэл, арав дахь гишүүн нь хөрш зэргэлдээ байдаг гэдгийг яаж бичих вэ? Энэ нь баруун талд нь байг. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай нь "epsilon" -аас бага байх ёстой: . Гэсэн хэдий ч хэрэв "х аравны нэг" нь "a" цэгийн зүүн талд байрласан бол ялгаа нь сөрөг байх тул түүнд тэмдэг нэмэх шаардлагатай. модуль: .

Тодорхойлолт: хэрэв тоог дарааллын хязгаар гэнэ ямар ч хувьдтүүний эргэн тойрон (урьдчилан сонгосон)ИЙМ натурал тоо байдаг БҮГДИлүү өндөр тоо бүхий дарааллын гишүүд хөрш дотор байх болно:

Эсвэл товчхондоо: хэрэв

Өөрөөр хэлбэл, “эпсилон”-ын үнэ цэнийг хэчнээн бага авсан ч эрт орой хэзээ нэгэн цагт дэс дарааллын “хязгааргүй сүүл” БҮРЭН энэ хөршид байх болно.

Жишээлбэл, дарааллын "хязгааргүй сүүл" цэгийн дурын жижиг хороололд БҮРЭН орох болно. Тэгэхээр энэ утга нь тодорхойлолтоор дарааллын хязгаар юм. Хязгаар нь тэг байх дарааллыг дууддаг гэдгийг сануулъя хязгааргүй жижиг.

Дарааллын хувьд "эцэс төгсгөлгүй сүүл" гэж хэлэх боломжгүй болсон гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. орж ирнэ“- сондгой тоотой гишүүд нь үнэндээ тэгтэй тэнцэх ба “хаашаа ч явахгүй” =) Тийм учраас тодорхойлолтод “харагдах” үйл үг ашигласан. Мэдээжийн хэрэг, үүнтэй төстэй дарааллын гишүүд "хаашаа ч явахгүй". Дашрамд хэлэхэд энэ тоо нь түүний хязгаар мөн эсэхийг шалгаарай.

Одоо бид дараалалд хязгаарлалт байхгүй гэдгийг харуулах болно. Жишээлбэл, тухайн цэгийн ойр орчмыг авч үзье. Тухайн хороололд БҮХ нэр томьёо дуусдаг тийм тоо байхгүй нь тодорхой байна - сондгой нэр томьёо үргэлж "хасах" руу "үсрэх" болно. Үүнтэй төстэй шалтгааны улмаас цэг дээр ямар ч хязгаарлалт байхгүй.

Материалыг практикт нэгтгэцгээе:

Жишээ 1

Дарааллын хязгаар нь тэг болохыг батал. Цэгийн дурын жижиг хороололд дарааллын бүх гишүүд байх баталгаатай тоог зааж өгнө үү.

Анхаарна уу : Олон дарааллын хувьд шаардлагатай натурал тоо нь утгаас хамаарна - иймээс тэмдэглэгээ.

Шийдэл: авч үзье дур зоргоороо ямар нэгэн юмтоо – ингэснээр илүү өндөр дугаартай БҮХ гишүүд энэ хороололд байх болно:

Шаардлагатай тоо байгаа эсэхийг харуулахын тулд бид үүнийг -ээр илэрхийлнэ.

"en"-ийн аль ч утгын хувьд модулийн тэмдгийг арилгаж болно:

Бид ангидаа давтсан тэгш бус байдал бүхий "сургуулийн" үйлдлүүдийг ашигладаг Шугаман тэгш бус байдалТэгээд Функцийн домэйн. Энэ тохиолдолд "epsilon" ба "en" нь эерэг байх нь чухал нөхцөл юм.

Бид зүүн талд натурал тоонуудын тухай ярьж байгаа бөгөөд баруун тал нь ерөнхийдөө бутархай байдаг тул үүнийг дугуйруулах шаардлагатай.

Анхаарна уу : заримдаа аюулгүй талдаа байхын тулд баруун талд нэгж нэмдэг боловч бодит байдал дээр энэ нь хэт их байдаг. Харьцангуй хэлэхэд, хэрэв бид үр дүнг доош нь дугуйруулж сулруулсан бол хамгийн ойрын тохирох тоо ("гурван") анхны тэгш бус байдлыг хангасан хэвээр байх болно.

Одоо бид тэгш бус байдлыг харж, анх бодож байсан зүйлээ санаж байна дур зоргоороо-хөрш, өөрөөр хэлбэл. "epsilon" нь тэнцүү байж болно хэн чэерэг тоо.

Дүгнэлт: цэгийн дурын жижиг - хөршийн хувьд утгыг оллоо . Тиймээс тоо нь тодорхойлолтоор дарааллын хязгаар юм. Q.E.D.

Дашрамд хэлэхэд, олж авсан үр дүнгээс байгалийн хэв маяг нь тодорхой харагдаж байна: хороолол бага байх тусам тоо нь их байх болно, үүний дараа дарааллын БҮХ гишүүд энэ хороололд байх болно. Гэхдээ "эпсилон" хичнээн жижиг байсан ч дотроо үргэлж "хязгааргүй сүүл" байх болно, гадна нь том байсан ч гэсэн эцсийнгишүүдийн тоо.

Таны сэтгэгдэл ямар байна? =) Энэ нь жаахан хачирхалтай гэдгийг би хүлээн зөвшөөрч байна. Гэхдээ хатуу!Дахин уншиж, бүх зүйлийн талаар бодож үзээрэй.

Үүнтэй төстэй жишээг авч үзээд бусад техникийн техниктэй танилцъя.

Жишээ 2

Шийдэл: дарааллын тодорхойлолтоор үүнийг батлах шаардлагатай (чангаар хэлээрэй!!!).

Ингээд авч үзье дур зоргоороо-цэг, шалгалтын хөрш, байдаг уунатурал тоо - бүх том тоонуудын хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ.

Ийм байдаг гэдгийг харуулахын тулд та "en"-ийг "epsilon" -ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Бид модулийн тэмдгийн дор илэрхийллийг хялбаршуулдаг:

Модуль нь хасах тэмдгийг устгадаг:

Хуваагч нь ямар ч "en"-д эерэг байдаг тул савааг арилгаж болно:

Холимог:

Одоо бид олборлох хэрэгтэй Квадрат язгуур, гэхдээ зарим нэг "эпсилон" -ын хувьд баруун тал нь сөрөг байх болно. Энэ бэрхшээлээс зайлсхийхийн тулд хүчирхэгжүүльемодулийн тэгш бус байдал:

Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Хэрэв харьцангуйгаар хэлбэл энэ нь гарч ирвэл нөхцөл байдал бас хангагдана. Модуль боломжтой зүгээр л нэмэгдэнэхүссэн дугаар, энэ нь бидэнд бас тохирох болно! Ойролцоогоор зуу дахь нь тохиромжтой бол хоёр зуу дахь нь бас тохиромжтой! Тодорхойлолтын дагуу та харуулах хэрэгтэй энэ тоо оршин тогтнож байгаа бодит үнэн(наад зах нь зарим нь), дараа нь дарааллын бүх гишүүд -neighborhood-д байх болно. Дашрамд хэлэхэд, ийм учраас бид баруун талыг дээшээ чиглүүлэхээс айдаггүй.

Үндэсийг задлах:

Мөн үр дүнг тойруул:

Дүгнэлт: учир нь "epsilon" утгыг дур мэдэн сонгосон бөгөөд дараа нь тухайн цэгийн дурын жижиг хөршийн хувьд утгыг олсон. , ингэснээр бүх том тооны хувьд тэгш бус байдал байна . Тиймээс, а- приорит. Q.E.D.

би зөвлөж байна ялангуяатэгш бус байдлыг бэхжүүлэх, сулруулахыг ойлгох нь математик шинжилгээний ердийн бөгөөд маш түгээмэл арга юм. Таны хянах ёстой цорын ганц зүйл бол энэ эсвэл бусад үйлдлийн зөв байдал юм. Жишээлбэл, тэгш бус байдал ямар ч тохиолдолд боломжгүй суллах, хасах, нэгийг хэлэх:

Дахин хэлэхэд болзолтойгоор: хэрэв тоо яг таарч байвал өмнөх нь тохирохгүй байж магадгүй юм.

Бие даасан шийдлийн дараах жишээ:

Жишээ 3

Дарааллын тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг батал

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Хэрэв дараалал бол хязгааргүй том, тэгвэл хязгаарын тодорхойлолтыг ижил төстэй байдлаар томъёолсон: цэгийг дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг, хэрэв байгаа бол, хүссэн хэмжээгээрээ томтооны хувьд, бүх том тооны хувьд тэгш бус байдал хангагдах тоо байна. дугаарыг дуудаж байна "нэмэх хязгааргүй" цэгийн ойролцоо:

Өөрөөр хэлбэл, ямар ч байсан их ач холбогдолЮу ч байсан, дарааллын "хязгааргүй сүүл" нь гарцаагүй цэгийн хөрш рүү орж, зүүн талд зөвхөн хязгаарлагдмал тооны нэр томъёо үлдээх болно.

Стандарт жишээ:

Мөн товчилсон тэмдэглэгээ: , хэрэв

Тохиолдлын хувьд тодорхойлолтыг өөрөө бичээрэй. Зөв хувилбар нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Та практик жишээнүүдийг тойрон эргэлдэж, дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг олж мэдсэнийхээ дараа тооцооллын талаархи ном зохиол болон/эсвэл лекцийн дэвтэртээ хандаж болно. Би Bohan-ийн 1-р боть татаж авахыг зөвлөж байна (илүү энгийн - захидал харилцааны оюутнуудад)болон Фихтенхольц (илүү дэлгэрэнгүй, дэлгэрэнгүй). Бусад зохиолчдын дунд би Пискуновыг санал болгож байна, түүний курс нь техникийн их сургуулиудад чиглэгддэг.

Дарааллын хязгаар, тэдгээрийн нотолгоо, үр дагавартай холбоотой теоремуудыг ухамсартайгаар судлахыг хичээ. Эхлээд онол нь "үүлтэй" мэт санагдаж болох ч энэ нь хэвийн зүйл - та зүгээр л дасах хэрэгтэй. Мөн олон хүн үүнийг амтлах болно!

Функцийн хязгаарын нарийн тодорхойлолт

Үүнтэй ижил зүйлээс эхэлье - хэрхэн томъёолох вэ энэ үзэл баримтлал? Функцийн хязгаарын аман тодорхойлолтыг илүү энгийн байдлаар томъёолсон: "х"-тэй бол функцийн хязгаар нь тоо юм. (баруун, зүүн аль аль нь), харгалзах функцийн утга нь » хандлагатай байна (зураг харна уу). Бүх зүйл хэвийн мэт боловч үг нь үг, утга нь утга, дүрс бол дүрс, математикийн хатуу тэмдэглэгээ хангалтгүй юм. Хоёрдахь догол мөрөнд бид энэ асуудлыг шийдэх хоёр арга барилтай танилцах болно.

Тухайн цэгийг эс тооцвол функцийг тодорхой интервалаар тодорхойл. IN боловсролын уран зохиолфункц тэнд байгааг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг Үгүйтодорхойлсон:

Энэ сонголтыг онцолж байна функцийн хязгаарын мөн чанар: "x" хязгааргүй ойрхонхандлага, функцийн харгалзах утгууд нь байна хязгааргүй ойрхон-д. Өөрөөр хэлбэл, хязгаар гэдэг ойлголт нь цэгүүдэд "яг ойртох" гэсэн үг биш, харин тухайлбал хязгааргүй ойр ойртох, тухайн цэг дээр функц тодорхойлогдсон эсэх нь хамаагүй.

Функцийн хязгаарын анхны тодорхойлолтыг хоёр дарааллаар томъёолсон нь гайхмаар зүйл биш юм. Нэгдүгээрт, ойлголтууд хоорондоо холбоотой, хоёрдугаарт, функцүүдийн хязгаарыг ихэвчлэн дарааллын хязгаарын дараа судалдаг.

Дарааллыг анхаарч үзээрэй оноо (зураг дээр биш), интервалд хамаарах ба аас өөр, аль нийлдэг-д. Дараа нь харгалзах функцийн утгууд нь тоон дарааллыг бүрдүүлдэг бөгөөд тэдгээрийн гишүүд нь ордны тэнхлэг дээр байрладаг.

Гейний дагуу функцийн хязгаар ямар ч хувьдцэгүүдийн дараалал (харьяалагдах ба өөр)цэг рүү нийлдэг функцийн утгуудын харгалзах дараалал нь нийлдэг.

Эдуард Хайне бол Германы математикч юм. ...Тэгээд тэгж бодох ч хэрэггүй, Европт ганц гей байдаг - Гей-Луссак =)

Хязгаарын хоёр дахь тодорхойлолтыг бий болгосон ... тиймээ, тийм, таны зөв. Гэхдээ эхлээд түүний дизайныг ойлгоцгооё. Цэгийн дурын хөршийг авч үзье ("хар" хороолол). Өмнөх догол мөрийг үндэслэн оруулга нь үүнийг илэрхийлнэ зарим үнэ цэнэфункц нь "epsilon" хөрш дотор байрладаг.

Одоо бид өгөгдсөн -хөрштэй тохирох хөршийг оллоо (зүүнээс баруун тийш хар тасархай зураасыг оюун ухаанаараа зурж, дараа нь дээрээс доош). Утгыг сонгосон гэдгийг анхаарна уу жижиг сегментийн уртын дагуу, in энэ тохиолдолд– зүүн богино сегментийн уртын дагуу. Түүгээр ч зогсохгүй "бөөрөлзгөнө" - нэг цэгийн хөршийг бүр багасгаж болно, учир нь дараах тодорхойлолтод оршин тогтнох нь маш чухал юмэнэ хороолол. Үүний нэгэн адил тэмдэглэгээ нь "дельта" хэсэгт ямар нэгэн утга байна гэсэн үг юм.

Коши функцийн хязгаар: тоог if цэг дээрх функцийн хязгаар гэнэ ямар ч хувьд урьдчилан сонгосонхөрш (хүссэнээрээ жижиг), байдаг- цэгийн хөрш, ИЙМ, тэр: ЗӨВХӨН утгуудын хувьд (харьяалал)Энэ хэсэгт багтсан: (улаан сум)-Тиймээс нэн даруй харгалзах функцын утгууд нь хөрш рүү орох баталгаатай болно: (цэнхэр сум).

Ойлгомжтой болгох үүднээс би бага зэрэг зохиомж хийсэн тул хэтрүүлэн хэрэглэх хэрэггүй =)

Богино бичлэг: , хэрэв

Тодорхойлолтын мөн чанар юу вэ? Дүрслэлээр хэлбэл - хөршийг хязгааргүй бууруулснаар бид функцийн утгуудыг хязгаарт нь "дагалдаг" бөгөөд тэдэнд өөр газар ойртохоос өөр аргагүй болдог. Маш ер бусын, гэхдээ дахин хатуу! Энэ санааг бүрэн ойлгохын тулд үгийг дахин уншина уу.

! Анхаар: хэрэв та зөвхөн томъёолох шаардлагатай бол Гейний тодорхойлолтэсвэл зүгээр л Кошигийн тодорхойлолттухай бүү мартаарай чухал ач холбогдолтойурьдчилсан тайлбар: "Цэгээс бусад тохиолдолд тодорхой интервал дээр тодорхойлогдсон функцийг авч үзье". Би үүнийг эхэндээ нэг удаа хэлсэн, тэр болгон давтаагүй.

Математик анализын харгалзах теоремын дагуу Хайне, Коши нарын тодорхойлолтууд тэнцүү боловч хоёр дахь хувилбар нь хамгийн алдартай нь юм. (одоо ч гэсэн!), үүнийг мөн "хэлний хязгаар" гэж нэрлэдэг:

Жишээ 4

Хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг батална уу

Шийдэл: функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогддог. Тодорхойлолтыг ашиглан бид өгөгдсөн цэг дээр хязгаар байгааг нотолж байна.

Анхаарна уу : "Дельта" хөршийн үнэ цэнэ нь "эпсилон" -оос хамаардаг тул тэмдэглэгээ

Ингээд авч үзье дур зоргоороо- хүрээлэн буй орчин. Даалгавар бол энэ утгыг ашиглах эсэхийг шалгах явдал юм байдаг уу- хүрээлэн буй орчин, ИЙМ, энэ нь тэгш бус байдлаас үүдэлтэй тэгш бус байдал дагалддаг .

Үүнийг үзвэл бид сүүлчийн тэгш бус байдлыг хувиргана:
(квадрат гурвалжийг өргөтгөсөн)

Хязгаарлалттай тоон дарааллын үндсэн теорем, шинж чанаруудын томъёоллыг өгөв. Дараалал ба түүний хязгаарын тодорхойлолтыг агуулна. Дараалал бүхий арифметик үйлдлүүд, тэгш бус байдалтай холбоотой шинж чанарууд, нийлэх шалгуурууд, хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том дарааллын шинж чанаруудыг авч үздэг.

Агуулга

Дарааллын төгсгөлийн хязгаарын шинж чанарууд

Үндсэн шинж чанарууд

А цэг нь зөвхөн энэ цэгийн аль нэг хөршийн гадна байгаа тохиолдолд дарааллын хязгаар юм хязгаарлагдмал тооны элементүүддараалал эсвэл хоосон багц.

Хэрэв а тоо нь дарааллын хязгаар биш бол а цэгийн хөрш байх бөгөөд үүнээс цааш орших болно. хязгааргүй тооны дарааллын элементүүд.

Тооны дарааллын хязгаарын өвөрмөц байдлын теорем. Хэрэв дараалалд хязгаарлалт байгаа бол энэ нь өвөрмөц юм.

Хэрэв дараалал нь хязгаарлагдмал хязгаартай бол тэр нь хязгаарлагдмал.

Хэрэв дарааллын элемент бүр ижил тоотой тэнцүү байна C : тэгвэл энэ дараалал нь C тоотой тэнцүү хязгаартай байна.

Хэрэв дараалал бол Эхний m элементийг нэмэх, хасах эсвэл өөрчлөх, тэгвэл энэ нь түүний ойртоход нөлөөлөхгүй.

Үндсэн шинж чанаруудын нотолгоохуудсан дээр өгөгдсөн
Дарааллын төгсгөлийн хязгаарын үндсэн шинж чанарууд >>>.

Хязгаартай арифметик үйлдлүүд

ба дарааллын аль алиных нь хязгаарлагдмал хязгаар байг. Мөн C нь тогтмол, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн тоо байг. Дараа нь
;
;
;
, Хэрэв .
Хэмжилтийн хувьд бүх n-ийн хувьд гэж үздэг.

Хэрэв тийм бол.

Арифметик шинж чанарын баталгаахуудсан дээр өгөгдсөн
Дарааллын төгсгөлийн хязгаарын арифметик шинж чанар >>>.

Тэгш бус байдалтай холбоотой шинж чанарууд

Хэрэв тодорхой тооноос эхлэн дарааллын элементүүд тэгш бус байдлыг хангаж байвал энэ дарааллын а хязгаар нь мөн тэгш бус байдлыг хангана.

Хэрэв тодорхой тооноос эхлэн дарааллын элементүүд нь битүү интервалд (сегмент) хамаарах бол a хязгаар мөн энэ интервалд хамаарна: .

Тодорхой тооноос эхлэн дарааллын болон ба элементүүд тэгш бус байдлыг хангаж байвал .

Хэрэв болон, зарим тооноос эхлэн, , тэгвэл .
Тодруулбал, хэрэв, зарим тооноос эхлэн, , дараа нь
хэрэв , тэгвэл ;
хэрэв , тэгвэл .

Хэрэв ба, тэгвэл.

Байг. Хэрвээ < b , тэгвэл бүх n-ийн хувьд натурал N тоо байна > Нтэгш бус байдал бий.

Тэгш бус байдалтай холбоотой шинж чанаруудын нотолгоохуудсан дээр өгөгдсөн
Тэгш бус байдалтай холбоотой дарааллын хязгаарын шинж чанарууд >>>.

Хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг дараалал

Хязгааргүй жижиг дараалал

Хязгаар нь тэг байх дарааллыг хязгааргүй жижиг дараалал гэнэ.
.

Нийлбэр ба ялгаахязгаарлагдмал тооны хязгааргүй жижиг дараалал нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Хязгаарлагдмал дарааллын бүтээгдэхүүн infinitesimal хүртэл нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Хязгаарлагдмал тооны бүтээгдэхүүнхязгааргүй жижиг дараалал бол хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Дараалал нь a хязгаартай байхын тулд , энд хязгааргүй жижиг дараалал байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Хязгааргүй жижиг дарааллын шинж чанарын баталгаахуудсан дээр өгөгдсөн
Хязгааргүй жижиг дараалал - тодорхойлолт ба шинж чанарууд >>>.

Хязгааргүй том дараалал

Хязгааргүй том дараалал гэдэг нь хязгааргүй том хязгаартай дараалал юм. Өөрөөр хэлбэл, аливаа эерэг тооны хувьд N натурал тоо байгаа бол бүх натурал тоонуудын хувьд тэгш бус байдал байх болно.
.
Энэ тохиолдолд тэд бичдэг
.
Эсвэл цагт.
Энэ нь хязгааргүйд хүрдэг гэж тэд хэлдэг.

Хэрэв N тооноос эхэлж байвал
.
Хэрэв тэгвэл
.

Хэрэв дараалал нь хязгааргүй том бол N тооноос эхлэн хязгааргүй жижиг дарааллыг тодорхойлно. Хэрэв тэг биш элементүүдтэй хязгааргүй жижиг дараалал бол дараалал нь хязгааргүй том байна.

Хэрэв дараалал нь хязгааргүй том бөгөөд дараалал нь хязгаарлагдмал бол
.

Хэрэв үнэмлэхүй утгуудДарааллын элементүүд нь доороос эерэг тоогоор () хязгаарлагдмал бөгөөд тэгтэй тэнцүү биш элементүүдтэй хязгааргүй бага байна.
.

Дэлгэрэнгүй жишээ бүхий хязгааргүй том дарааллын тодорхойлолтхуудсан дээр өгөгдсөн
Хязгааргүй том дарааллын тодорхойлолт >>>.
Хязгааргүй том дарааллын шинж чанарын баталгаахуудсан дээр өгөгдсөн
Хязгааргүй том дарааллын шинж чанарууд >>> .

Дарааллын нэгдэх шалгуур

Монотон дараалал

Хатуу өсөн нэмэгдэж буй дараалал нь бүх элементүүд нь дараах тэгш бус байдлыг хангадаг дараалал юм.
.

Үүнтэй төстэй тэгш бус байдал нь бусад монотон дарааллыг тодорхойлдог.

Хатуу буурах дараалал:
.
Буурахгүй дараалал:
.
Өсөхгүй дараалал:
.

Үүнээс үзэхэд хатуу өсөн нэмэгдэж буй дараалал нь бас буурахгүй байна. Хатуу буурч байгаа дараалал нь мөн өсөхгүй байна.

Монотон дараалал нь буурдаггүй эсвэл өсдөггүй дараалал юм.

Монотон дараалал нь дор хаяж нэг талдаа утгаараа хязгаарлагддаг. Буурах бус дараалал нь доор хязгаарлагдана: . Өсөхгүй дараалал нь дээрээс хязгаарлагдана: .

Вейерштрассын теорем. Буурахгүй (өсдөггүй) дараалал нь хязгаарлагдмал хязгаартай байхын тулд дээрээс (доод талаас) хязгаарлагдмал байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Энд M нь хэдэн тоо юм.

Аливаа буурахгүй (өсдөггүй) дараалал нь доороос (дээрээс) хязгаарлагддаг тул Вейерштрассын теоремыг дараах байдлаар өөрчилж болно.

Монотон дараалал нь хязгаарлагдмал хязгаартай байхын тулд түүнийг хязгаарласан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай: .

Монотон хязгааргүй дараалалбуурахгүй, өсөхгүй дараалалтай тэнцүү хязгааргүй хязгаартай.

Вейерштрассын теоремын баталгаахуудсан дээр өгсөн
Монотон дарааллын хязгаарын тухай Вейерштрассын теорем >>>.

Коши дарааллын нэгдлийн шалгуур

Кошигийн байдал
Тогтвортой байдал нь сэтгэл хангалуун байдаг Кошигийн байдал, хэрэв аль нэгнийх нь хувьд нөхцөлийг хангасан бүх натурал n ба m тоонуудын хувьд тэгш бус байдал биелэгдэх натурал тоо байгаа бол
.

Үндсэн дараалал нь хангасан дараалал юм Кошигийн байдал.

Коши дарааллын нэгдлийн шалгуур. Дараалал нь хязгаарлагдмал хязгаартай байхын тулд Кошийн нөхцөлийг хангах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Кошигийн нэгдэх шалгуурын баталгаахуудсан дээр өгсөн
Дарааллын нийлэх Коши шалгуур >>>.

Дэд дараалал

Болзано-Вейерштрассын теорем. Аливаа хязгаарлагдмал дарааллаас нийлэх дэд дарааллыг гаргаж болно. Мөн ямар ч хязгааргүй дарааллаас - эсвэл -т нийлэх хязгааргүй том дэд дараалал.

Болзано-Вейерштрассын теоремын баталгаахуудсан дээр өгсөн
Болзано-Вейерштрассын теорем >>> .

Дэд дараалал ба хэсэгчилсэн хязгаарын тодорхойлолт, теорем, шинж чанаруудыг хуудсан дээр авч үзнэ
Дэд дараалал ба дарааллын хэсэгчилсэн хязгаар >>>.

Лавлагаа:
CM. Никольский. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 1983 он.
Л.Д. Кудрявцев. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 2003 он.
В.А. Зорих. Математик анализ. 1-р хэсэг. Москва, 1997 он.
В.А. Ильин, Е.Г. Позняк. Математик анализын үндэс. 1-р хэсэг. Москва, 2005 он.

Мөн үзнэ үү:

Тооны дараалал.
Хэрхэн ?

Асаалттай энэ хичээлВКонтакте хэмээх томоохон нийгэмлэгийн гишүүдийн амьдралаас бид олон сонирхолтой зүйлийг сурах болно тооны дараалал. Хэлэлцэж буй сэдэв нь зөвхөн математикийн шинжилгээний явцтай холбоотой төдийгүй үндсийг нь хөндөж байна. дискрет математик. Нэмж дурдахад уг материал нь цамхагийн бусад хэсгүүдийг эзэмших, ялангуяа судалгааны явцад шаардлагатай болно тооны цувралТэгээд функциональ цуврал. Та энэ чухал гэж улиглан хэлж болно, энэ нь энгийн гэж та урам зоригтой хэлж болно, та өөр олон ердийн хэллэг хэлж болно, гэхдээ өнөөдөр хичээлийн эхний, ер бусын залхуу долоо хоног тул эхний догол мөрийг бичихэд намайг аймшигтай эвдэж байна =) Би Би аль хэдийн зүрхэндээ файлаа хадгалаад унтахаар бэлдэхэд гэнэт... чин сэтгэлээсээ гэм буруугаа хүлээх санаа толгойг минь гэрэлтүүлж, сэтгэлийг минь гайхалтай хөнгөрүүлж, хуруугаараа гар дээр үргэлжлүүлэн дарахад түлхэв. .

Зуны дурсамжаасаа түр завсарлаж, шинэ ертөнцийн энэ гайхалтай, эерэг ертөнцийг харцгаая олон нийтийн сүлжээ:

Тооны дарааллын тухай ойлголт

Эхлээд энэ үгийн талаар бодъё: дараалал гэж юу вэ? Дараалал гэдэг нь ямар нэг зүйлийг дагаж мөрдөхийг хэлнэ. Жишээлбэл, үйл ажиллагааны дараалал, улирлын дараалал. Эсвэл хэн нэгэн хэн нэгний ард байрлах үед. Жишээлбэл, дараалалд орсон хүмүүсийн дараалал, усалгааны нүх рүү явах замд заануудын дараалал.

Дарааллын онцлог шинж чанаруудыг нэн даруй тодруулцгаая. Нэгдүгээрт, дарааллын гишүүдбайрладаг тодорхой дарааллаар хатуу. Хэрэв дараалалд байгаа хоёр хүн солигдвол энэ нь аль хэдийн болно бусаддэд дараалал. Хоёрдугаарт, хүн бүр дарааллын гишүүнТа серийн дугаар өгч болно:

Тоонууд ч мөн адил. Болъё тус бүртбайгалийн үнэ цэнэ зарим дүрмийн дагуунийцтэй бодит тоо. Дараа нь тоон дараалал өгөгдсөн гэж хэлдэг.

Тиймээ, математикийн асуудалд амьдралын нөхцөл байдлаас ялгаатай нь дараалал нь бараг үргэлж байдаг хязгааргүй олонтоо.

Үүнд:
дуудсан анхны гишүүндараалал;
– хоёр дахь гишүүндараалал;
– гурав дахь гишүүндараалал;
…
– nthэсвэл нийтлэг гишүүндараалал;
…

Практикт дарааллыг ихэвчлэн өгдөг нийтлэг нэр томъёо, Жишээлбэл:
- эерэг тэгш тоонуудын дараалал:

Тиймээс бичлэг нь дарааллын бүх гишүүдийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог - энэ бол байгалийн үнэ цэнийн дагуу дүрэм (томьёо) юм. дугааруудыг захидал харилцаанд оруулсан болно. Тиймээс дарааллыг ихэвчлэн нийтлэг нэр томъёогоор товч тэмдэглэдэг бөгөөд "x"-ийн оронд бусад латин үсгийг ашиглаж болно, жишээлбэл:

Эерэг сондгой тооны дараалал:

Өөр нэг нийтлэг дараалал:

Олон хүмүүс анзаарсан байх, "en" хувьсагч нь нэг төрлийн тоолуурын үүрэг гүйцэтгэдэг.

Үнэндээ бид дунд сургуульд байхдаа тооны дарааллыг авч үздэг байсан. Санаж үзье арифметик прогресс. Би тодорхойлолтыг дахин бичихгүй, мөн чанарыг нь хөндье тодорхой жишээ. Эхний нэр томъёо байцгаая, мөн - алхамарифметик прогресс. Дараа нь:
– энэ дэвшлийн хоёр дахь үе;
– энэ дэвшлийн гурав дахь хугацаа;
- дөрөв дэх;
- тав дахь;
…
Мөн n-р гишүүнийг өгсөн нь ойлгомжтой давтагдахтомъёо

Анхаарна уу : давтагдах томъёонд дараагийн нэр томъёо бүрийг өмнөх нэр томъёогоор эсвэл бүр өмнөх нөхцлүүдийн бүхэл бүтэн багцаар илэрхийлдэг.

Үүний үр дүнд гарсан томъёо нь практикт бага ашиг тустай байдаг - авахын тулд та өмнөх бүх нөхцөлийг давах хэрэгтэй. Математикийн хувьд арифметик прогрессийн n-р гишүүний илүү тохиромжтой илэрхийлэлийг гаргаж авсан: . Манай тохиолдолд:

Томьёонд натурал тоог орлуулж, дээр дурдсан тоон дарааллын зөвийг шалгана уу.

Үүнтэй төстэй тооцооллыг хийж болно геометрийн прогресс, n-р гишүүн нь томьёогоор өгөгдсөн, эхний гишүүн нь хаана байна, ба – хуваагчдэвшил. Математикийн даалгаварт эхний гишүүн нь ихэвчлэн нэгтэй тэнцүү байдаг.

прогресс нь дарааллыг тогтооно ;
дэвшил дарааллыг тохируулах;
дэвшил дарааллыг тогтооно ;
дэвшил дарааллыг тогтооно .

-1 сондгой хүч нь -1, тэгш хүч нь нэг гэдгийг бүгд мэддэг байх гэж найдаж байна.

Прогресс гэж нэрлэдэг хязгааргүй буурч байна, хэрэв (сүүлийн хоёр тохиолдол).

Жагсаалтандаа хоёр шинэ найз нэмье, тэдний нэг нь мониторын матрицыг тогшсон байна:

Математик хэл дээрх дарааллыг "анивчдаг" гэж нэрлэдэг.

Тиймээс, дарааллын гишүүдийг давтаж болно. Тиймээс авч үзсэн жишээн дээр дараалал нь хоёр төгсгөлгүй ээлжлэн солигдсон тооноос бүрдэнэ.

Дараалал нь ижил тоонуудаас бүрдэх тохиолдол байдаг уу? Мэдээж. Жишээлбэл, энэ нь хязгааргүй тооны "гурвыг" тогтоодог. Гоо сайхны мэргэжилтнүүдийн хувьд томъёонд "en" албан ёсоор гарч ирэх тохиолдол байдаг.

Энгийн найзаа бүжиглэхэд урьцгаая:

"en" хязгааргүй болтлоо өсөхөд юу болох вэ? Мэдээжийн хэрэг, дарааллын гишүүд байх болно хязгааргүй ойрхонтэг рүү ойртох. Энэ бол дараах байдлаар бичигдсэн энэ дарааллын хязгаар юм.

Хэрэв дарааллын хязгаар тэг бол түүнийг дуудна хязгааргүй жижиг.

Математик анализын онолд өгөгдсөн дарааллын хязгаарын хатуу тодорхойлолтЭпсилон хороолол гэж нэрлэгддэг газраар . Дараагийн өгүүллийг энэ тодорхойлолтод зориулах болно, гэхдээ одоо түүний утгыг харцгаая.

Тоон шугам дээр дарааллын нөхцөл ба тэгтэй (хязгаар) тэгш хэмтэй хөршийг дүрсэлцгээе.


Одоо цэнхэр хэсгийг алганыхаа ирмэгээр чимхэж, багасгаж, хязгаар руу (улаан цэг) татна. Урьдчилан сонгосон - хөрш FOR ANY бол тоо нь дарааллын хязгаар юм (хүссэнээрээ жижиг)дотор нь байх болно хязгааргүй олондарааллын гишүүд ба ГАДААД - зөвхөн эцсийнгишүүдийн тоо (эсвэл огт байхгүй). Өөрөөр хэлбэл, эпсилон хороолол нь бичил харуур, бүр жижиг байж болох ч дарааллын "хязгааргүй сүүл" нь эрт орой хэзээ нэгэн цагт байх ёстой. бүрэнбүс рүү орно.

Дараалал нь бас хязгааргүй жижиг юм: түүний гишүүд нааш цааш харайдаггүй, харин зөвхөн баруун талаас хязгаарт ойртдог.

Мэдээжийн хэрэг, хязгаар нь бусад төгсгөлтэй тоотой тэнцүү байж болно, энгийн жишээ:

Энд бутархай нь тэг болох хандлагатай байгаа бөгөөд үүний дагуу хязгаар нь "хоёр"-той тэнцүү байна.

Хэрэв дараалал бол хязгаартай байдаг, дараа нь үүнийг дууддаг нэгдэх(Тухайлбал, хязгааргүй жижигүед). IN өөрөөр – ялгаатай, энэ тохиолдолд хоёр сонголт боломжтой: хязгаар нь огт байхгүй, эсвэл хязгааргүй. Сүүлчийн тохиолдолд дарааллыг дуудна хязгааргүй том. Эхний догол мөрийн жишээнүүдээр давхицгаая.

Дараалал байна хязгааргүй том, тэдний гишүүд "нэмэх хязгааргүй" рүү итгэлтэйгээр хөдөлж байх үед:

Эхний гишүүн ба алхамтай арифметик прогресс мөн хязгааргүй том байна:

Дашрамд хэлэхэд, тэг алхамтай тохиолдлоос бусад тохиолдолд аливаа арифметик прогресс нь мөн ялгаатай байдаг - хэзээ . Ийм дарааллын хязгаар нь байгаа бөгөөд эхний гишүүнтэй давхцдаг.

Дараалал нь ижил төстэй хувь тавилантай:

Нэрнээс нь харахад хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс, хязгааргүй жижиг:

Хэрэв геометр прогрессийн хуваагч нь бол дараалал нь хязгааргүй том байна.

Жишээлбэл, гишүүд "нэмэх хязгааргүй" эсвэл "хасах хязгаар" руу уйгагүй үсрэх тул хязгаар нь огт байхгүй. Эрүүл ухаан, Матаны теоремууд нь хэрэв ямар нэг зүйл хаа нэгтээ тэмүүлж байгаа бол энэ нь цорын ганц нандин газар гэдгийг харуулж байна.

Бага зэрэг илчилсэний дараа "Анивчих гэрэл" нь хяналтгүй шидэхэд буруутай болох нь тодорхой болж, энэ нь өөрөө өөр өөр байдаг.
Үнэн хэрэгтээ, дарааллын хувьд зөвхөн -1 тоог хавчуулдаг хөршийг сонгоход хялбар байдаг. Үүний үр дүнд хязгааргүй тооны дарааллын гишүүд (нэмэх нэг нь) энэ хөршөөс гадуур үлдэх болно. Гэхдээ тодорхойлолтоор бол тодорхой мөчөөс (натурал тоо) дарааллын "хязгааргүй сүүл" байх ёстой бүрэнөөрийн хязгаарын аль ч хэсэгт оч. Дүгнэлт: тэнгэр бол хязгаар юм.

Факториал байна хязгааргүй томдараалал:

Түүгээр ч барахгүй үсрэнгүй өсөж байгаа тул 100-аас дээш оронтой (цифр) тоо юм! Яагаад яг 70 гэж? Үүн дээр миний инженерийн микро тооцоолуур өршөөл гуйж байна.

Хяналтын цохилтоор бүх зүйл арай илүү төвөгтэй бөгөөд бид тулааны жишээнүүдийг шинжлэх лекцийн практик хэсэгт ирлээ.

Гэхдээ одоо та дор хаяж хоёр үндсэн хичээлийн түвшинд функцүүдийн хязгаарыг шийдвэрлэх чадвартай байх хэрэгтэй. Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээТэгээд Гайхамшигтай хязгаарууд. Учир нь олон шийдлийн аргууд ижил төстэй байх болно. Гэхдээ юуны өмнө дарааллын хязгаар ба функцийн хязгаарын үндсэн ялгааг авч үзье.

Дарааллын хязгаарт "динамик" хувьсагч "en" хандлагатай байж болно зөвхөн "нэмэх хязгааргүй"– натурал тоог нэмэгдүүлэх чиглэлд .
Функцийн хязгаарт "x"-ийг хаана ч чиглүүлж болно - "нэмэх/хасах хязгааргүй" эсвэл дурын бодит тоо.

Дараалал салангид(тасралтгүй), өөрөөр хэлбэл, тусдаа тусгаарлагдсан гишүүдээс бүрддэг. Нэг, хоёр, гурав, дөрөв, тав гээд бөжин зугаалахаар гарав. Функцийн аргумент нь тасралтгүйгээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл "X" нь ямар ч асуудалгүй, нэг юмуу өөр утга руу чиглэдэг. Үүний дагуу функцын утгууд нь тэдний хязгаарт байнга ойртох болно.

Учир нь салангид байдалДарааллын дотор хүчин зүйл, "анивчдаг гэрэл", прогресс гэх мэт өөрийн гэсэн тэмдэгт зүйлс байдаг. Одоо би дараалалд хамаарах хязгаарлалтуудыг шинжлэхийг хичээх болно.

Прогрессээс эхэлцгээе:

Жишээ 1

Дарааллын хязгаарыг ол

Шийдэл: хязгааргүй буурдаг геометр прогресстой төстэй зүйл, гэхдээ энэ үнэхээр тийм үү? Тодорхой болгохын тулд эхний хэдэн нэр томъёог бичье:

Түүнээс хойш бид ярьж байна хэмжээтомъёогоор тооцоолсон хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нөхцлүүд.

Бид шийдвэр гаргадаг:

Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог ашиглана: . Энэ тохиолдолд: – эхний гишүүн, – прогрессийн хуваагч.

Жишээ 2

Дарааллын эхний дөрвөн гишүүнийг бичээд хязгаарыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Тоолуур дахь тодорхойгүй байдлыг арилгахын тулд та арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй.
, хаана нь эхний, a нь прогрессийн n-р гишүүн юм.

Дарааллын дотор "en" нь үргэлж "нэмэх хязгааргүй" хандлагатай байдаг тул тодорхойгүй байдал нь хамгийн алдартай зүйлсийн нэг байдаг нь гайхах зүйл биш юм.
Мөн олон жишээг функцийн хязгаартай яг ижил аргаар шийддэг!

Эсвэл илүү төвөгтэй зүйл байж магадгүй ? Өгүүллийн 3-р жишээг үзнэ үү Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд.

Албан ёсны үүднээс авч үзвэл ялгаа нь зөвхөн нэг үсгээр байх болно - энд "x", энд "en".
Техник нь адилхан - тоологч ба хуваагчийг "en" гэж хамгийн дээд хэмжээгээр хуваах ёстой.

Түүнчлэн, дараалал доторх тодорхойгүй байдал нэлээд түгээмэл байдаг. Та мөн зүйлийн 11-13 дугаар жишээнээс хязгаарыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар мэдэж болно.

Хязгаарыг ойлгохын тулд хичээлийн 7-р жишээг үзнэ үү Гайхамшигтай хязгаарууд(хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь салангид тохиолдолд бас хүчинтэй). Шийдэл нь дахин нэг үсгийн зөрүүтэй нүүрстөрөгчийн хуулбар шиг байх болно.

Дараагийн дөрвөн жишээ (№ 3-6) нь бас "хоёр нүүртэй" боловч практик дээр ямар нэг шалтгаанаар функцийн хязгаараас илүү дарааллын хязгаарлалтын шинж чанартай байдаг:

Жишээ 3

Дарааллын хязгаарыг ол

Шийдэл: эхлээд бүрэн шийдэл, дараа нь алхам алхмаар тайлбар:

(1) Тоолуур дээр бид томъёог хоёр удаа ашигладаг.

(2) Бид тоологч хэсэгт ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

(3) Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд тоологч болон хуваагчийг ("en") хамгийн дээд хэмжээгээр хуваана.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Жишээ 4

Дарааллын хязгаарыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. үржүүлэх товчилсон томъёотуслах.

s дотор заалтДараалалд тоологч ба хуваагчийг хуваах ижил төстэй аргыг ашигладаг.

Жишээ 5

Дарааллын хязгаарыг ол

ШийдэлҮүнийг ижил схемийн дагуу зохион байгуулъя:

Үүнтэй төстэй теорем нь функцүүдийн хувьд үнэн юм: хязгаарлагдмал функц ба хязгааргүй жижиг функцийн үржвэр нь хязгааргүй жижиг функц юм.

Жишээ 9

Дарааллын хязгаарыг ол

Дараалал ба функцийн хязгаарын тодорхойлолт, хязгаарын шинж чанар, нэг ба хоёр дахь гайхалтай хязгаар, жишээ.

Тогтмол тоо Адуудсан хязгаар дараалал(x n), хэрэв дурын жижиг эерэг тоо ε > 0 бол бүх утгууд нь N тоо байх болно. x n, үүний хувьд n>N, тэгш бус байдлыг хангана

Үүнийг дараах байдлаар бичнэ үү: эсвэл x n → a.

Тэгш бус байдал (6.1) нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, зарим n>N тооноос эхлэн интервал дотор хэвтэх (a-ε , a+ε), i.e. цэгийн аль ч жижиг ε хөрш рүү унах А.

Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нэгдэх, эс бөгөөс - ялгаатай.

Функцийн хязгаарын тухай ойлголт нь дарааллын хязгаарыг бүхэл аргументийн x n = f(n) функцийн хязгаар гэж үзэж болох тул дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм. n.

f(x) функц өгөгдсөн байг а - хязгаар цэгэнэ функцийн тодорхойлолтын домэйн D(f), i.e. -аас өөр D(f) олонлогийн цэгүүдийг агуулсан аль ч хөрш ийм цэг а. Цэг а D(f) олонлогт хамаарахгүй байж болно.

Тодорхойлолт 1.Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функцууд f(x) цагт x→ a, хэрэв аргументын утгуудын аль нэг дараалалд (x n) хандвал А, харгалзах дараалууд (f(x n)) ижил хязгаар А байна.

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Гейний дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох;эсвэл " дэс дарааллын хэлээр”.

Тодорхойлолт 2. Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функцууд f(x) цагт x→a, хэрэв дурын, дур зоргоороо жижиг эерэг тоо ε өгөгдөх юм бол δ >0 (ε-ээс хамаарч) олдож болно. x, дугаарын ε хороололд хэвтэж байна А, өөрөөр хэлбэл Учир нь x, тэгш бус байдлыг хангаж байна
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох замаар,эсвэл “ε - δ хэлээр"

Тодорхойлолт 1 ба 2 нь тэнцүү байна. Хэрэв x → a гэсэн f(x) функц байвал хязгаар, А-тай тэнцүү бол үүнийг маягтаар бичнэ

(f(x n)) дараалал нь ямар ч ойртох аргын хязгаарлалтгүйгээр нэмэгдэх (эсвэл буурах) тохиолдолд xтаны хязгаарт А, тэгвэл бид f(x) функцтэй гэж хэлэх болно хязгааргүй хязгаар,мөн үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ үү.

Хязгаар нь 0 хувьсагчийг (жишээ нь дараалал эсвэл функц) дуудна хязгааргүй жижиг.

Хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү хувьсагчийг дуудна хязгааргүй том.

Практикт хязгаарыг олохын тулд дараах теоремуудыг ашиглана.

Теорем 1 . Хэрэв бүх хязгаарлалт байгаа бол

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Сэтгэгдэл. 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ хэлбэрийн илэрхийлэл нь тодорхойгүй, тухайлбал, хоёр хязгааргүй бага буюу хязгааргүй их хэмжээний харьцаа тодорхойгүй, ийм төрлийн хязгаарыг олохыг “тодорхойгүй байдлын ил тод байдал” гэж нэрлэдэг.

Теорем 2.

тэдгээр. Тогтмол экспоненттай хүчин чадал дээр үндэслэн хязгаарт хүрч болно, ялангуяа,

Теорем 3.

(6.11)

Хаана д» 2.7 - натурал логарифмын суурь. Томъёо (6.10) ба (6.11) нь эхний гайхалтай хязгаар, хоёр дахь гайхалтай хязгаар гэж нэрлэгддэг.

(6.11) томъёоны үр дагаврыг практикт мөн ашигладаг.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ялангуяа хязгаар,

Хэрэв x → a ба нэгэн зэрэг x > a байвал x →a + 0 гэж бичнэ. Хэрэв ялангуяа a = 0 бол 0+0 тэмдгийн оронд +0 гэж бичнэ. Үүний нэгэн адил хэрэв x→a ба нэгэн зэрэг x байвал мөн зохих ёсоор дуудагдана зөв хязгаарТэгээд зүүн хязгаар функцууд f(x) цэг дээр А. f(x) функцийн хязгаар x→ a байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай . f(x) функцийг дуудна Үргэлжилсэн цэг дээрХэрэв хязгаар бол x 0

(6.15)

Нөхцөл (6.15)-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

өөрөөр хэлбэл, тухайн цэг дээр тасралтгүй байвал функцийн тэмдгийн дор хязгаарт шилжих боломжтой.

Хэрэв тэгш байдал (6.15) зөрчигдвөл бид үүнийг хэлнэ цагт x = x o функц f(x) Байгаа цоорхой y = 1/x функцийг авч үзье. Энэ функцийн тодорхойлолтын домэйн нь олонлог юм Р, x = 0-ээс бусад. x = 0 цэг нь D(f) олонлогийн хязгаарын цэг бөгөөд учир нь түүний аль ч орчимд, i.e. 0 цэгийг агуулсан аливаа нээлттэй интервалд D(f) цэгүүд байдаг боловч энэ нь өөрөө энэ олонлогт хамаарахгүй. f(x o)= f(0) утга тодорхойлогдоогүй тул x o = 0 цэгт функц тасралттай байна.

f(x) функцийг дуудна цэг дээр баруун талд тасралтгүй x o хэрэв хязгаар

Тэгээд цэг дээр зүүн талд тасралтгүй x o, хэрэв хязгаар

Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал х оЭнэ нь баруун болон зүүн талд байгаа түүний тасралтгүй байдалтай тэнцүү байна.

Функц нь цэг дээр тасралтгүй байхын тулд х о, жишээлбэл, баруун талд, нэгдүгээрт, хязгаарлагдмал хязгаар байх шаардлагатай, хоёрдугаарт, энэ хязгаар нь f(x o) -тэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс, эдгээр хоёр нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй тохиолдолд функц нь тасалдалтай болно.

1. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд f(x o) -тай тэнцүү биш бол тэд ингэж хэлдэг функц f(x) цэг дээр x o байна Эхний төрлийн хагарал,эсвэл харайх.

2. Хэрэв хязгаар нь +∞ эсвэл -∞ эсвэл байхгүй бол тэд үүнийг хэлнэ цэгх о функц нь тасалдалтай байна хоёр дахь төрөл.

Жишээлбэл, y = ctg x функц нь x → +0 гэсэн утгатай +∞-тэй тэнцүү хязгаартай бөгөөд энэ нь x=0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна гэсэн үг юм. y = E(x) функц (бүхэл хэсэг x) бүхэл абсцисс бүхий цэгүүд нь эхний төрлийн тасалдалтай, эсвэл үсрэлттэй байдаг.

Интервалын цэг бүрт тасралтгүй байх функцийг дуудна Үргэлжилсэн V . Тасралтгүй функцийг хатуу муруйгаар илэрхийлнэ.

Тодорхой хэмжээний тасралтгүй өсөлттэй холбоотой олон асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарт хүргэдэг. Ийм ажлуудад жишээлбэл: нийлмэл хүүгийн хуулийн дагуу ордын өсөлт, улсын хүн амын өсөлт, цацраг идэвхт бодисын задрал, бактерийн тархалт гэх мэт.

Ингээд авч үзье Я.И.Перелманы жишээ, тооны тайлбарыг өгч байна днийлмэл хүүгийн асуудалд. Тоо дхязгаар бий . Хадгаламжийн банкинд жил бүр хүүгийн мөнгийг үндсэн хөрөнгөд нэмж оруулдаг. Хэрэв нэгдэх нь илүү олон удаа хийгдвэл сонирхол үүсэхэд илүү их хэмжээний хөрөнгө оролцдог тул хөрөнгө илүү хурдан өсдөг. Цэвэр онолын, маш хялбаршуулсан жишээг авч үзье. 100 үгүйсгэгчийг банкинд хадгалуулъя. нэгж жилийн 100% дээр үндэслэсэн. Хэрэв хүүгийн мөнгийг жилийн дараа л үндсэн капиталд нэмбэл энэ хугацаанд 100 дэн болно. нэгж 200 мөнгөний нэгж болж хувирна. Одоо 100 далайчин юу болж хувирахыг харцгаая. нэгж, хэрэв хүүгийн мөнгийг зургаан сар тутамд үндсэн капиталд нэмбэл. Зургаан сарын дараа 100 ден. нэгж 100 × 1.5 = 150, өөр зургаан сарын дараа - 150 × 1.5 = 225 (нэгж) өсөх болно. Хэрэв элсэлтийг жилийн 1/3 тутамд хийдэг бол жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. нэгж) болж хувирна. Хүүгийн мөнгийг 0.1 жил, 0.01 жил, 0.001 жил гэх мэтээр нэмэх нөхцөлийг нэмэгдүүлнэ. Дараа нь 100 дентээс. нэгж жилийн дараа энэ нь:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. нэгж),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. нэгж),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. нэгж).

Хүү нэмэх нөхцөлийг хязгааргүй бууруулснаар хуримтлагдсан хөрөнгө нь хязгааргүй өсөхгүй, харин ойролцоогоор 271-тэй тэнцэх тодорхой хязгаарт ойртоно. Жилийн 100% хадгалуулсан хөрөнгө нь хуримтлагдсан хүү байсан ч 2.71 дахин өсөх боломжгүй. хязгаар учир нийслэлд секунд тутамд нэмэгддэг байсан

Жишээ 3.1. Тооны дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан x n =(n-1)/n дараалал нь 1-тэй тэнцүү хязгаартай болохыг батал.

Шийдэл.Бид ямар ч ε > 0-ийг авсан бай, учир нь n > N бүхний хувьд |x n -1| тэгш бус байдал байхаар натурал N тоо байдгийг батлах хэрэгтэй.< ε

Дурын ε > 0-ийг ав. x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n тул N-ийг олохын тулд 1/n тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.<ε. Отсюда n>1/ε ба тиймээс N-ийг 1/ε N = E(1/ε)-ийн бүхэл хэсэг гэж авч болно. Бид үүгээрээ хязгаар гэдгийг нотолсон.

Жишээ 3.2.Нийтлэг гишүүнээр өгөгдсөн дарааллын хязгаарыг ол .

Шийдэл. Нийлбэр теоремын хязгаарыг хэрэглэж гишүүн бүрийн хязгаарыг олъё. n → ∞ тул гишүүн бүрийн хүртэгч ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг ба бид хуваах хязгаарын теоремыг шууд хэрэглэх боломжгүй. Тиймээс бид эхлээд хувиргадаг x n, эхний гишүүний тоо болон хуваагчийг хуваах n 2, хоёр дахь нь дээр n. Дараа нь хуваалтын хязгаар ба нийлбэр теоремын хязгаарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

Жишээ 3.3. . олох.

Шийдэл.

Энд бид градусын теоремыг ашигласан: градусын хязгаар нь суурийн хязгаарын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ 3.4. олох ( ).

Шийдэл. Бидэнд ∞-∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байгаа тул ялгааны хязгаарын теоремыг хэрэглэх боломжгүй. Томъёоны ерөнхий нэр томъёог өөрчилье:

Жишээ 3.5. f(x)=2 1/x функц өгөгдсөн. Хязгааргүй гэдгийг батал.

Шийдэл.Функцийн хязгаарын 1-р тодорхойлолтыг дараалалаар ашиглая. 0-д ойртох дарааллыг ( x n ) авч үзье, өөрөөр хэлбэл. f(x n)= утга нь өөр өөр дарааллын хувьд өөр өөрөөр ажилладаг болохыг харуулъя. x n = 1/n гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, дараа нь хязгаар Одоо сонголтоо хийцгээе x n x n = -1/n нийтлэг гишүүнтэй дараалал, мөн тэг рүү тэмүүлдэг. Тиймээс ямар ч хязгаарлалт байхгүй.

Жишээ 3.6. Хязгааргүй гэдгийг батал.

Шийдэл. x 1 , x 2 ,..., x n ,... нь дараалал байг
. (f(x n)) = (sin x n) дараалал өөр x n → ∞-д хэрхэн ажиллах вэ?

Хэрэв x n = p n бол нүгэл x n = нүгэл (х n) = 0 бүх nболон хязгаар Хэрэв
x n =2 p n+ p /2, тэгвэл sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = бүгдэд нь 1 nулмаар хязгаар. Тэгэхээр энэ байхгүй.

Өнөөдөр хичээл дээр бид үзэх болно хатуу дараалалТэгээд функцийн хязгаарын хатуу тодорхойлолт, мөн онолын шинж чанартай холбогдох асуудлыг шийдэж сурна. Энэхүү нийтлэл нь математик анализын онолыг судалж эхэлсэн, дээд математикийн энэ хэсгийг ойлгоход бэрхшээлтэй тулгарсан байгалийн шинжлэх ухаан, инженерийн мэргэжлээр суралцаж буй нэгдүгээр курсын оюутнуудад зориулагдсан болно. Нэмж дурдахад энэ материал нь ахлах сургуулийн сурагчдад нэлээд хүртээмжтэй байдаг.

Сайт бий болсон олон жилийн хугацаанд би "Би математикийн анализыг сайн ойлгохгүй байна, би яах ёстой вэ?", "Би математикийг огт ойлгохгүй байна, би Хичээлээ орхих талаар бодож байна" гэх мэт. Үнэхээр ч эхний хуралдааны дараа оюутнуудын бүлгийг сийрэгжүүлдэг нь матан юм. Яагаад ийм зүйл болсон бэ? Яагаад гэвэл сэдэв нь төсөөлшгүй төвөгтэй юм уу? Огт үгүй! Математик анализын онол нь өвөрмөц тул тийм ч хэцүү биш юм. Тэгээд түүнийг байгаагаар нь хүлээн зөвшөөрч хайрлах хэрэгтэй =)

Хамгийн хэцүү тохиолдлоос эхэлье. Эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол та хичээлээ орхих шаардлагагүй юм. Зөв ойлгоорой, та хэзээ ч орхиж болно;-) Мэдээж сонгосон мэргэжлээрээ нэг юмуу хоёр жилийн дараа өвдвөл тиймээ, энэ талаар бодох хэрэгтэй. (мөн бүү уурлаарай!)үйл ажиллагааны өөрчлөлтийн тухай. Гэхдээ одоохондоо үүнийг үргэлжлүүлэх нь зүйтэй юм. "Би юу ч ойлгохгүй байна" гэсэн хэллэгийг мартаарай - та юу ч ойлгохгүй байх тохиолдол гардаггүй.

Хэрэв онол муу бол яах вэ? Дашрамд хэлэхэд энэ нь зөвхөн математикийн шинжилгээнд хамаарахгүй. Хэрэв онол муу бол эхлээд практик дээр НОЦТОЙ анхаарах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд хоёр стратегийн ажлыг нэг дор шийддэг.

– Нэгдүгээрт, онолын мэдлэгийн багагүй хувь нь дадлагаар бий болсон. Тийм ч учраас олон хүмүүс онолыг ойлгодог ... - энэ нь зөв! Үгүй ээ, чи энэ талаар бодохгүй байна =)

- Хоёрдугаарт, практик ур чадвар нь таныг шалгалтанд "татах" магадлалтай, гэхдээ ... гэхдээ тийм ч их баярлах хэрэггүй! Бүх зүйл бодит бөгөөд бүх зүйлийг нэлээд богино хугацаанд "босгох" боломжтой. Математик анализ бол миний дээд математикийн хамгийн дуртай хэсэг тул би танд туслахаас өөр аргагүй юм.

1-р семестрийн эхэнд дарааллын хязгаар болон функцийн хязгаарыг ихэвчлэн хамруулдаг. Эдгээр нь юу болохыг ойлгохгүй байгаа бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэхгүй байна уу? Нийтлэлээс эхэлье Функцийн хязгаарлалт, үүнд үзэл баримтлалыг "хуруугаар" судалж, хамгийн энгийн жишээнүүдийг шинжилдэг. Дараа нь тухайн сэдвийн бусад хичээлүүд, тухайлбал тухай хичээл дээр ажиллана дараалал дотор, Би үнэндээ аль хэдийн хатуу тодорхойлолтыг томъёолсон байна.

Та тэгш бус байдлын тэмдэг, модулиас гадна ямар тэмдгийг мэддэг вэ?

– урт босоо саваа дараах байдалтай байна. "ийм", "тийм", "тийм" эсвэл "тийм", бидний тохиолдолд бид тодорхой тооны тухай ярьж байна - тиймээс "ийм";

–-аас их “en” бүхний хувьд;

– модулийн тэмдэг нь зай гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл Энэ оруулга нь утгуудын хоорондох зай нь эпсилоноос бага байгааг харуулж байна.

За, үхэлд хүргэх хэцүү юу? =)

Бясалгалыг эзэмшсэний дараа дараагийн догол мөрөнд тантай уулзахыг тэсэн ядан хүлээж байна.

Үнэн хэрэгтээ, бага зэрэг бодъё - дарааллын хатуу тодорхойлолтыг хэрхэн томъёолох вэ? ...Дэлхий дээр хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг зүйл практик хичээл: "дарааллын хязгаар нь дарааллын гишүүдийн хязгааргүй ойртох тоо юм."

За, үүнийг бичье дэд дараалал :

Үүнийг ойлгоход хэцүү биш юм дэд дараалал -1 тоо, тэгш тоотой гишүүнд хязгааргүй ойр ойртох - "нэг" рүү.

Эсвэл хоёр хязгаарлалт байгаа болов уу? Гэхдээ яагаад ямар ч дараалалд арав, хорин байж болохгүй гэж? Та энэ замаар хол явж болно. Үүнтэй холбогдуулан ийм гэж үзэх нь логик юм хэрвээ дараалал нь хязгаартай бол энэ нь өвөрмөц юм.

Анхаарна уу : дараалалд хязгаарлалт байхгүй, гэхдээ үүнээс хоёр дэд дарааллыг ялгаж болно (дээрхийг харна уу), тус бүр өөрийн гэсэн хязгаартай.

Тиймээс дээрх тодорхойлолт нь үндэслэлгүй болж хувирав. Тиймээ, энэ нь иймэрхүү тохиолдлуудад ажилладаг (би практик жишээнүүдийн хялбаршуулсан тайлбарт тийм ч зөв ашиглаагүй), гэхдээ одоо бид хатуу тодорхойлолтыг олох хэрэгтэй.

Хоёр дахь оролдлого: "дарааллын хязгаар гэдэг нь дарааллынхаас бусад бүх гишүүдийн ойртох тоо юм. эцсийнтоо хэмжээ." Энэ нь үнэнд илүү ойр, гэхдээ бүрэн үнэн зөв биш хэвээр байна. Жишээлбэл, дараалал Нэр томъёоны тал нь тэг рүү огт ойртдоггүй - тэд зүгээр л тэнцүү байна =) Дашрамд хэлэхэд "анивчдаг гэрэл" нь ерөнхийдөө хоёр тогтмол утгыг авдаг.

Томьёоллыг тодруулахад хэцүү биш боловч дараа нь өөр нэг асуулт гарч ирнэ: тодорхойлолтыг математикийн тэмдэгтээр хэрхэн бичих вэ? Нөхцөл байдлыг шийдвэрлэх хүртэл шинжлэх ухааны ертөнц энэ асуудалтай удаан хугацаанд тэмцсэн алдартай маэстро, энэ нь үндсэндээ сонгодог математикийн шинжилгээг бүх нарийн ширийн байдлаар албан ёсны болгосон. Коши мэс засал хийхийг санал болгов хүрээлэн буй орчин , энэ нь онолыг ихээхэн ахиулсан.

Зарим нэг цэгийг анхаарч үзээрэй дур зоргоороо- хүрээлэн буй орчин:

"Эпсилон" -ын үнэ цэнэ үргэлж эерэг байдаг бөгөөд үүнээс гадна бид өөрсдөө сонгох эрхтэй. Энэ хороололд олон гишүүн бий гэж бодъё (заавал бүгд биш)зарим дараалал. Жишээлбэл, арав дахь гишүүн нь хөрш зэргэлдээ байдаг гэдгийг яаж бичих вэ? Энэ нь баруун талд нь байг. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай нь "epsilon" -аас бага байх ёстой: . Гэсэн хэдий ч хэрэв "х аравны нэг" нь "a" цэгийн зүүн талд байрласан бол ялгаа нь сөрөг байх тул түүнд тэмдэг нэмэх шаардлагатай. модуль: .

Тодорхойлолт: хэрэв тоог дарааллын хязгаар гэнэ ямар ч хувьдтүүний эргэн тойрон (урьдчилан сонгосон)ИЙМ натурал тоо байдаг БҮГДИлүү өндөр тоо бүхий дарааллын гишүүд хөрш дотор байх болно:

Эсвэл товчхондоо: хэрэв

Өөрөөр хэлбэл, “эпсилон”-ын үнэ цэнийг хэчнээн бага авсан ч эрт орой хэзээ нэгэн цагт дэс дарааллын “хязгааргүй сүүл” БҮРЭН энэ хөршид байх болно.

Жишээлбэл, дарааллын "хязгааргүй сүүл" цэгийн дурын жижиг хороололд БҮРЭН орох болно. Тэгэхээр энэ утга нь тодорхойлолтоор дарааллын хязгаар юм. Хязгаар нь тэг байх дарааллыг дууддаг гэдгийг сануулъя хязгааргүй жижиг.

Дарааллын хувьд "эцэс төгсгөлгүй сүүл" гэж хэлэх боломжгүй болсон гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. орж ирнэ“- сондгой тоотой гишүүд нь үнэндээ тэгтэй тэнцэх ба “хаашаа ч явахгүй” =) Тийм учраас тодорхойлолтод “харагдах” үйл үг ашигласан. Мэдээжийн хэрэг, үүнтэй төстэй дарааллын гишүүд "хаашаа ч явахгүй". Дашрамд хэлэхэд энэ тоо нь түүний хязгаар мөн эсэхийг шалгаарай.

Одоо бид дараалалд хязгаарлалт байхгүй гэдгийг харуулах болно. Жишээлбэл, тухайн цэгийн ойр орчмыг авч үзье. Тухайн хороололд БҮХ нэр томьёо дуусдаг тийм тоо байхгүй нь тодорхой байна - сондгой нэр томьёо үргэлж "хасах" руу "үсрэх" болно. Үүнтэй төстэй шалтгааны улмаас цэг дээр ямар ч хязгаарлалт байхгүй.

Материалыг практикт нэгтгэцгээе:

Жишээ 1

Дарааллын хязгаар нь тэг болохыг батал. Цэгийн дурын жижиг хороололд дарааллын бүх гишүүд байх баталгаатай тоог зааж өгнө үү.

Анхаарна уу : Олон дарааллын хувьд шаардлагатай натурал тоо нь утгаас хамаарна - иймээс тэмдэглэгээ.

Шийдэл: авч үзье дур зоргоороо ямар нэгэн юмтоо – ингэснээр илүү өндөр дугаартай БҮХ гишүүд энэ хороололд байх болно:

Шаардлагатай тоо байгаа эсэхийг харуулахын тулд бид үүнийг -ээр илэрхийлнэ.

"en"-ийн аль ч утгын хувьд модулийн тэмдгийг арилгаж болно:

Бид ангидаа давтсан тэгш бус байдал бүхий "сургуулийн" үйлдлүүдийг ашигладаг Шугаман тэгш бус байдалТэгээд Функцийн домэйн. Энэ тохиолдолд "epsilon" ба "en" нь эерэг байх нь чухал нөхцөл юм.

Бид зүүн талд натурал тоонуудын тухай ярьж байгаа бөгөөд баруун тал нь ерөнхийдөө бутархай байдаг тул үүнийг дугуйруулах шаардлагатай.

Анхаарна уу : заримдаа аюулгүй талдаа байхын тулд баруун талд нэгж нэмдэг боловч бодит байдал дээр энэ нь хэт их байдаг. Харьцангуй хэлэхэд, хэрэв бид үр дүнг доош нь дугуйруулж сулруулсан бол хамгийн ойрын тохирох тоо ("гурван") анхны тэгш бус байдлыг хангасан хэвээр байх болно.

Одоо бид тэгш бус байдлыг харж, анх бодож байсан зүйлээ санаж байна дур зоргоороо-хөрш, өөрөөр хэлбэл. "epsilon" нь тэнцүү байж болно хэн чэерэг тоо.

Дүгнэлт: цэгийн дурын жижиг - хөршийн хувьд утгыг оллоо . Тиймээс тоо нь тодорхойлолтоор дарааллын хязгаар юм. Q.E.D.

Дашрамд хэлэхэд, олж авсан үр дүнгээс байгалийн хэв маяг нь тодорхой харагдаж байна: хороолол бага байх тусам тоо нь их байх болно, үүний дараа дарааллын БҮХ гишүүд энэ хороололд байх болно. Гэхдээ "эпсилон" хичнээн жижиг байсан ч дотроо үргэлж "хязгааргүй сүүл" байх болно, гадна нь том байсан ч гэсэн эцсийнгишүүдийн тоо.

Таны сэтгэгдэл ямар байна? =) Энэ нь жаахан хачирхалтай гэдгийг би хүлээн зөвшөөрч байна. Гэхдээ хатуу!Дахин уншиж, бүх зүйлийн талаар бодож үзээрэй.

Үүнтэй төстэй жишээг авч үзээд бусад техникийн техниктэй танилцъя.

Жишээ 2

Шийдэл: дарааллын тодорхойлолтоор үүнийг батлах шаардлагатай (чангаар хэлээрэй!!!).

Ингээд авч үзье дур зоргоороо-цэг, шалгалтын хөрш, байдаг уунатурал тоо - бүх том тоонуудын хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ.

Ийм байдаг гэдгийг харуулахын тулд та "en"-ийг "epsilon" -ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Бид модулийн тэмдгийн дор илэрхийллийг хялбаршуулдаг:

Модуль нь хасах тэмдгийг устгадаг:

Хуваагч нь ямар ч "en"-д эерэг байдаг тул савааг арилгаж болно:

Холимог:

Одоо бид квадрат язгуурыг гаргаж авах хэрэгтэй, гэхдээ зарим нэг "эпсилон" -ын хувьд баруун тал нь сөрөг байх болно. Энэ бэрхшээлээс зайлсхийхийн тулд хүчирхэгжүүльемодулийн тэгш бус байдал:

Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Хэрэв харьцангуйгаар хэлбэл энэ нь гарч ирвэл нөхцөл байдал бас хангагдана. Модуль боломжтой зүгээр л нэмэгдэнэхүссэн дугаар, энэ нь бидэнд бас тохирох болно! Ойролцоогоор зуу дахь нь тохиромжтой бол хоёр зуу дахь нь бас тохиромжтой! Тодорхойлолтын дагуу та харуулах хэрэгтэй энэ тоо оршин тогтнож байгаа бодит үнэн(наад зах нь зарим нь), дараа нь дарааллын бүх гишүүд -neighborhood-д байх болно. Дашрамд хэлэхэд, ийм учраас бид баруун талыг дээшээ чиглүүлэхээс айдаггүй.

Үндэсийг задлах:

Мөн үр дүнг тойруул:

Дүгнэлт: учир нь "epsilon" утгыг дур мэдэн сонгосон бөгөөд дараа нь тухайн цэгийн дурын жижиг хөршийн хувьд утгыг олсон. , ингэснээр бүх том тооны хувьд тэгш бус байдал байна . Тиймээс, а- приорит. Q.E.D.

би зөвлөж байна ялангуяатэгш бус байдлыг бэхжүүлэх, сулруулахыг ойлгох нь математик шинжилгээний ердийн бөгөөд маш түгээмэл арга юм. Таны хянах ёстой цорын ганц зүйл бол энэ эсвэл бусад үйлдлийн зөв байдал юм. Жишээлбэл, тэгш бус байдал ямар ч тохиолдолд боломжгүй суллах, хасах, нэгийг хэлэх:

Дахин хэлэхэд болзолтойгоор: хэрэв тоо яг таарч байвал өмнөх нь тохирохгүй байж магадгүй юм.

Бие даасан шийдлийн дараах жишээ:

Жишээ 3

Дарааллын тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг батал

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Хэрэв дараалал бол хязгааргүй том, тэгвэл хязгаарын тодорхойлолтыг ижил төстэй байдлаар томъёолсон: цэгийг дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг, хэрэв байгаа бол, хүссэн хэмжээгээрээ томтооны хувьд, бүх том тооны хувьд тэгш бус байдал хангагдах тоо байна. дугаарыг дуудаж байна "нэмэх хязгааргүй" цэгийн ойролцоо:

Өөрөөр хэлбэл, бид хичнээн том утгыг авсан ч дарааллын “хязгааргүй сүүл” нь заавал цэгийн хөрш рүү орж, зүүн талд нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны гишүүн үлдэнэ.

Стандарт жишээ:

Мөн товчилсон тэмдэглэгээ: , хэрэв

Тохиолдлын хувьд тодорхойлолтыг өөрөө бичээрэй. Зөв хувилбар нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Та практик жишээнүүдийг тойрон эргэлдэж, дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг олж мэдсэнийхээ дараа тооцооллын талаархи ном зохиол болон/эсвэл лекцийн дэвтэртээ хандаж болно. Би Bohan-ийн 1-р боть татаж авахыг зөвлөж байна (илүү энгийн - захидал харилцааны оюутнуудад)болон Фихтенхольц (илүү дэлгэрэнгүй, дэлгэрэнгүй). Бусад зохиолчдын дунд би Пискуновыг санал болгож байна, түүний курс нь техникийн их сургуулиудад чиглэгддэг.

Дарааллын хязгаар, тэдгээрийн нотолгоо, үр дагавартай холбоотой теоремуудыг ухамсартайгаар судлахыг хичээ. Эхлээд онол нь "үүлтэй" мэт санагдаж болох ч энэ нь хэвийн зүйл - та зүгээр л дасах хэрэгтэй. Мөн олон хүн үүнийг амтлах болно!

Функцийн хязгаарын нарийн тодорхойлолт

Үүнтэй ижил зүйлээс эхэлье - энэ үзэл баримтлалыг хэрхэн томъёолох вэ? Функцийн хязгаарын аман тодорхойлолтыг илүү энгийн байдлаар томъёолсон: "х"-тэй бол функцийн хязгаар нь тоо юм. (баруун, зүүн аль аль нь), харгалзах функцийн утга нь » хандлагатай байна (зураг харна уу). Бүх зүйл хэвийн мэт боловч үг нь үг, утга нь утга, дүрс бол дүрс, математикийн хатуу тэмдэглэгээ хангалтгүй юм. Хоёрдахь догол мөрөнд бид энэ асуудлыг шийдэх хоёр арга барилтай танилцах болно.

Тухайн цэгийг эс тооцвол функцийг тодорхой интервалаар тодорхойл. Боловсролын уран зохиолд тэнд үүрэг гүйцэтгэдэг гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг Үгүйтодорхойлсон:

Энэ сонголтыг онцолж байна функцийн хязгаарын мөн чанар: "x" хязгааргүй ойрхонхандлага, функцийн харгалзах утгууд нь байна хязгааргүй ойрхон-д. Өөрөөр хэлбэл, хязгаар гэдэг ойлголт нь цэгүүдэд "яг ойртох" гэсэн үг биш, харин тухайлбал хязгааргүй ойр ойртох, тухайн цэг дээр функц тодорхойлогдсон эсэх нь хамаагүй.

Функцийн хязгаарын анхны тодорхойлолтыг хоёр дарааллаар томъёолсон нь гайхмаар зүйл биш юм. Нэгдүгээрт, ойлголтууд хоорондоо холбоотой, хоёрдугаарт, функцүүдийн хязгаарыг ихэвчлэн дарааллын хязгаарын дараа судалдаг.

Дарааллыг анхаарч үзээрэй оноо (зураг дээр биш), интервалд хамаарах ба аас өөр, аль нийлдэг-д. Дараа нь харгалзах функцийн утгууд нь тоон дарааллыг бүрдүүлдэг бөгөөд тэдгээрийн гишүүд нь ордны тэнхлэг дээр байрладаг.

Гейний дагуу функцийн хязгаар ямар ч хувьдцэгүүдийн дараалал (харьяалагдах ба өөр)цэг рүү нийлдэг функцийн утгуудын харгалзах дараалал нь нийлдэг.

Эдуард Хайне бол Германы математикч юм. ...Тэгээд тэгж бодох ч хэрэггүй, Европт ганц гей байдаг - Гей-Луссак =)

Хязгаарын хоёр дахь тодорхойлолтыг бий болгосон ... тиймээ, тийм, таны зөв. Гэхдээ эхлээд түүний дизайныг ойлгоцгооё. Цэгийн дурын хөршийг авч үзье ("хар" хороолол). Өмнөх догол мөрийг үндэслэн оруулга нь үүнийг илэрхийлнэ зарим үнэ цэнэфункц нь "epsilon" хөрш дотор байрладаг.

Одоо бид өгөгдсөн -хөрштэй тохирох хөршийг оллоо (зүүнээс баруун тийш хар тасархай зураасыг оюун ухаанаараа зурж, дараа нь дээрээс доош). Утгыг сонгосон гэдгийг анхаарна уу жижиг сегментийн уртын дагуу, энэ тохиолдолд - зүүн богино сегментийн уртын дагуу. Түүгээр ч зогсохгүй "бөөрөлзгөнө" - нэг цэгийн хөршийг бүр багасгаж болно, учир нь дараах тодорхойлолтод оршин тогтнох нь маш чухал юмэнэ хороолол. Үүний нэгэн адил тэмдэглэгээ нь "дельта" хэсэгт ямар нэгэн утга байна гэсэн үг юм.

Коши функцийн хязгаар: тоог if цэг дээрх функцийн хязгаар гэнэ ямар ч хувьд урьдчилан сонгосонхөрш (хүссэнээрээ жижиг), байдаг- цэгийн хөрш, ИЙМ, тэр: ЗӨВХӨН утгуудын хувьд (харьяалал)Энэ хэсэгт багтсан: (улаан сум)-Тиймээс нэн даруй харгалзах функцын утгууд нь хөрш рүү орох баталгаатай болно: (цэнхэр сум).

Ойлгомжтой болгох үүднээс би бага зэрэг зохиомж хийсэн тул хэтрүүлэн хэрэглэх хэрэггүй =)

Богино бичлэг: , хэрэв

Тодорхойлолтын мөн чанар юу вэ? Дүрслэлээр хэлбэл - хөршийг хязгааргүй бууруулснаар бид функцийн утгуудыг хязгаарт нь "дагалдаг" бөгөөд тэдэнд өөр газар ойртохоос өөр аргагүй болдог. Маш ер бусын, гэхдээ дахин хатуу! Энэ санааг бүрэн ойлгохын тулд үгийг дахин уншина уу.

! Анхаар: хэрэв та зөвхөн томъёолох шаардлагатай бол Гейний тодорхойлолтэсвэл зүгээр л Кошигийн тодорхойлолттухай бүү мартаарай чухал ач холбогдолтойурьдчилсан тайлбар: "Цэгээс бусад тохиолдолд тодорхой интервал дээр тодорхойлогдсон функцийг авч үзье". Би үүнийг эхэндээ нэг удаа хэлсэн, тэр болгон давтаагүй.

Математик анализын харгалзах теоремын дагуу Хайне, Коши нарын тодорхойлолтууд тэнцүү боловч хоёр дахь хувилбар нь хамгийн алдартай нь юм. (одоо ч гэсэн!), үүнийг мөн "хэлний хязгаар" гэж нэрлэдэг:

Жишээ 4

Хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг батална уу

Шийдэл: функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогддог. Тодорхойлолтыг ашиглан бид өгөгдсөн цэг дээр хязгаар байгааг нотолж байна.

Анхаарна уу : "Дельта" хөршийн үнэ цэнэ нь "эпсилон" -оос хамаардаг тул тэмдэглэгээ

Ингээд авч үзье дур зоргоороо- хүрээлэн буй орчин. Даалгавар бол энэ утгыг ашиглах эсэхийг шалгах явдал юм байдаг уу- хүрээлэн буй орчин, ИЙМ, энэ нь тэгш бус байдлаас үүдэлтэй тэгш бус байдал дагалддаг .

Үүнийг үзвэл бид сүүлчийн тэгш бус байдлыг хувиргана:
(квадрат гурвалжийг өргөтгөсөн)