Нэг үндэснээс өөр үндэсийг хэрхэн хасах вэ. Квадрат үндэс нэмэх дүрэм. Үндэс томъёо. Квадрат язгуурын шинж чанарууд

Үндэс томъёо. квадрат язгуурын шинж чанарууд.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Хүчтэй "маш их биш ..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Өмнөх хичээлээр бид квадрат язгуур гэж юу болохыг олж мэдсэн. Юу болохыг олж мэдэх цаг болжээ үндэсийн томъёо, гэж юу вэ үндэс шинж чанаруудмөн энэ бүхний талаар юу хийж болох вэ.

Үндэс томьёо, үндэс шинж чанар, үндэстэй үйлдлийн дүрэм- энэ нь үндсэндээ ижил зүйл юм. Квадрат язгуурын хувьд гайхалтай цөөн тооны томъёо байдаг. Энэ нь мэдээж таалагдах болно! Үүний оронд та олон төрлийн томъёо бичиж болно, гэхдээ үндэстэй практик, итгэлтэй ажиллахад ердөө гурав нь л хангалттай. Бусад бүх зүйл энэ гурваас урсдаг. Хэдийгээр олон хүн язгуурын гурван томъёонд төөрөлддөг ч тийм ээ ...

Хамгийн энгийнээс эхэлцгээе. Тэр энд байна:

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)

функц болон деривативтай танилцах боломжтой.

Би таваг руу дахин харлаа ... Тэгээд явцгаая!

Энгийн нэгээс эхэлье:

Түр хүлээнэ үү. Энэ нь бид үүнийг ингэж бичиж болно гэсэн үг юм:

Авчихсан? Дараахь нь танд зориулагдана:

Үүссэн тоонуудын үндсийг яг гаргаагүй байна уу? Санаа зоволтгүй, энд хэдэн жишээ байна:

Гэхдээ хоёр үржүүлэгч биш, харин илүү олон байвал яах вэ? Үүнтэй адил! Үндэс үржүүлэх томъёо нь хэд хэдэн хүчин зүйлтэй ажилладаг:

Одоо бүрэн бие даасан:

Хариултууд:Сайн хийлээ! Зөвшөөрч байна, бүх зүйл маш хялбар, гол зүйл бол үржүүлэх хүснэгтийг мэдэх явдал юм!

Үндэс хуваагдал

Бид үндсийг үржүүлэхийг олж мэдсэн, одоо хуваах өмч рүү явцгаая.

Томъёо нь ерөнхийдөө дараах байдалтай байгааг сануулъя.

Энэ нь тийм гэсэн үг язгуурын үндэс нь язгуурын язгууртай тэнцүү байна.

За, жишээнүүдийг харцгаая:

Энэ бол бүх шинжлэх ухаан юм. Мөн энд нэг жишээ байна:

Бүх зүйл эхний жишээ шиг жигд биш боловч таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Хэрэв илэрхийлэл дараах байдалтай байвал яах вэ:

Та зүгээр л урвуу томъёог хэрэглэх хэрэгтэй:

Мөн энд нэг жишээ байна:

Та мөн энэ илэрхийлэлийг харж болно:

Бүх зүйл адилхан, зөвхөн энд та бутархайг хэрхэн орчуулахаа санах хэрэгтэй (хэрэв та санахгүй байгаа бол сэдвийг хараад буцаж ирээрэй!). Санаж байна уу? Одоо бид шийднэ!

Та бүх зүйлийг, бүх зүйлийг даван туулж чадсан гэдэгт би итгэлтэй байна, одоо үндсийг нь тодорхой хэмжээгээр бий болгохыг хичээцгээе.

Экспоненциал

Хэрэв квадрат язгуурыг квадрат болговол яах вэ? Энэ нь энгийн, тооны квадрат язгуурын утгыг санаарай - энэ бол квадрат язгуур нь тэнцүү тоо юм.

Тэгэхээр квадрат язгуур нь тэнцүү тоог квадрат болговол юу гарах вэ?

За, мэдээжийн хэрэг!

Жишээнүүдийг харцгаая:

Бүх зүйл энгийн, тийм үү? Хэрэв үндэс нь өөр түвшинд байвал? Зүгээр дээ!

Ижил логикийг баримталж, шинж чанарууд болон боломжит үйлдлүүдийг эрх мэдэлтэйгээр санаарай.

"" сэдвээр онолыг уншаарай, тэгвэл бүх зүйл танд маш тодорхой болно.

Жишээлбэл, энд нэг илэрхийлэл байна:

Энэ жишээнд зэрэг нь тэгш байна, гэхдээ сондгой байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд, хүч чадлын шинж чанаруудыг хэрэглэж, бүх зүйлийг тооцно уу:

Ингэснээр бүх зүйл тодорхой болсон мэт боловч тооноос үндсийг хэрхэн градусаар гаргаж авах вэ? Жишээлбэл, энэ нь:

Маш энгийн, тийм үү? Хэрэв зэрэг нь хоёроос дээш байвал яах вэ? Бид градусын шинж чанарыг ашиглан ижил логикийг баримталдаг.

За, бүх зүйл тодорхой байна уу? Дараа нь жишээнүүдийг өөрөө шийд:

Мөн энд хариултууд байна:

Үндэс тэмдгийн дор оршил

Бид үндэстэй юу хийж сураагүй юм бэ! Зөвхөн язгуур тэмдгийн доор тоог оруулах дасгал хийхэд л үлддэг!

Энэ нь маш амархан!

Бидэнд дугаар байна гэж бодъё

Үүнийг бид юу хийж чадах вэ? Мэдээжийн хэрэг, гурвалсан нь язгуурын язгуур гэдгийг санахын зэрэгцээ гурвалсан хэсгийг үндэс дор нуу!

Бидэнд яагаад хэрэгтэй байна вэ? Тийм ээ, жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ өөрсдийн чадавхийг өргөжүүлэхийн тулд:

Үндэсний энэ өмч танд хэр таалагдаж байна вэ? Амьдралыг илүү хялбар болгодог уу? Миний хувьд энэ нь зөв! Зөвхөн Бид зөвхөн язгуур тэмдгийн дор эерэг тоонуудыг оруулж болно гэдгийг санах ёстой.

Энэ жишээг өөрөө туршаад үзээрэй:
Та удирдаж чадсан уу? Та юу авах ёстойг харцгаая:

Сайн хийлээ! Та язгуур тэмдгийн доор дугаар оруулж чадсан! Үүнтэй адил чухал зүйл рүү шилжье - квадрат язгуур агуулсан тоог хэрхэн харьцуулах талаар бодож үзээрэй!

Үндэс харьцуулалт

Бид яагаад квадрат язгуур агуулсан тоог харьцуулж сурах ёстой вэ?

Маш энгийн. Шалгалтанд тааралдсан том, урт үг хэллэгүүдэд бид үндэслэлгүй хариулт авдаг (энэ нь юу болохыг санаж байна уу? Бид өнөөдөр энэ талаар аль хэдийн ярьсан!)

Бид хүлээн авсан хариултуудыг координатын шугам дээр байрлуулах хэрэгтэй, жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд аль интервал тохиромжтой болохыг тодорхойлох хэрэгтэй. Эндээс л гацаа үүсдэг: шалгалтанд тооцоолуур байдаггүй бөгөөд түүнгүйгээр аль тоо илүү, аль нь бага болохыг хэрхэн төсөөлөх вэ? Ингээд л болоо!

Жишээлбэл, аль нь илүү болохыг тодорхойлох: эсвэл?

Та шууд хэлэхгүй. За ингээд язгуур тэмдгийн доор тоо нэмэх задлан шинжлэлийн шинж чанарыг ашиглая?

Дараа нь урагшаа:

Мэдээжийн хэрэг, язгуурын тэмдгийн доор байгаа тоо их байх тусам үндэс нь өөрөө том байх болно!

Тэдгээр. гэсэн үг бол.

Эндээс бид баттай дүгнэлт хийж байна Хэн ч биднийг өөрөөр итгүүлэхгүй!

Олон тооноос үндэс гаргаж авах

Үүнээс өмнө бид язгуурын тэмдгийн дор хүчин зүйл нэвтрүүлсэн, гэхдээ үүнийг яаж арилгах вэ? Та зүгээр л үүнийг тооцоолж, гаргаж авсан зүйлийг нь гаргаж авах хэрэгтэй!

Энэ нь өөр замаар явж, бусад хүчин зүйлүүдэд задрах боломжтой байсан:

Муу биш, тийм ээ? Эдгээр аргуудын аль нэг нь зөв тул та ямар таатай байхаа шийдээрэй.

Факторинг нь дараах стандарт бус ажлуудыг шийдвэрлэхэд маш хэрэгтэй.

Бид айдаггүй, бид үйлддэг! Бид хүчин зүйл бүрийг тус тусад нь задалдаг.

Тэгээд одоо өөрөө туршаад үзээрэй (тооцоолуургүй! Шалгалтанд орохгүй):

Энэ төгсгөл мөн үү? Бид хагас замд зогсдоггүй!

Энэ бол тийм ч аймшигтай биш, тийм ээ?

Болсон уу? Сайн байна, чиний зөв!

Одоо энэ жишээг үзээрэй:

Үүний нэг жишээ бол хагарахад хэцүү самар тул та түүнд хэрхэн хандахаа шууд олж чадахгүй. Гэхдээ бид мэдээжийн хэрэг шүдэнд байгаа.

За ингээд факторинг эхлүүлье, тийм үү? Та тоог дараах байдлаар хувааж болно гэдгийг нэн даруй тэмдэглэж байна (хуваагдах шинж тэмдгийг санаарай):

Одоо өөрөө оролдоод үз (дахин тооцоолуургүйгээр!):

За, бүтсэн үү? Сайн байна, чиний зөв!

Дүгнэх

1. Сөрөг бус тооны квадрат язгуур (арифметик квадрат язгуур) нь квадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм.
   .
2. Хэрэв бид зүгээр л ямар нэг зүйлийн квадрат язгуурыг авбал бид үргэлж нэг сөрөг бус үр дүнг авдаг.
3. Арифметик язгуур шинж чанарууд:
4. Квадрат язгуурыг харьцуулахдаа язгуурын тэмдгийн доор байгаа тоо их байх тусам үндэс өөрөө том болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Та квадрат язгуурт хэр дуртай вэ? Бүгд ойлгомжтой юу?

Квадрат язгуурын талаар шалгалтанд хэрэгтэй бүх зүйлийг бид танд усгүйгээр тайлбарлахыг хичээсэн.

Чиний ээлж. Энэ сэдэв танд хэцүү байна уу, үгүй ​​юу гэдгийг бидэнд бичээрэй.

Та шинэ зүйл сурсан уу эсвэл бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болсон уу?

Сэтгэгдэл дээр бичээд шалгалтанд нь амжилт хүсье!

Сайн уу муурнууд! Хамгийн сүүлд бид үндэс гэж юу болохыг нарийвчлан шинжилсэн (хэрэв та санахгүй байгаа бол уншихыг зөвлөж байна). Энэ хичээлийн гол дүгнэлт: Үндэс гэдэг бүх нийтийн нэг л тодорхойлолт байдаг бөгөөд үүнийг та мэдэх хэрэгтэй. Үлдсэн нь дэмий хоосон, дэмий цаг хугацаа.

Өнөөдөр бид цаашаа явж байна. Бид үндсийг үржүүлж сурах болно, үржүүлэхтэй холбоотой зарим асуудлыг судалж үзэх болно (хэрэв эдгээр асуудлууд шийдэгдээгүй бол шалгалтанд үхэлд хүргэж болзошгүй), бид зөв дадлага хийх болно. Тиймээс попкорн нөөцөлж, тав тухтай байгаарай - тэгвэл бид эхэлнэ. :)

Та тамхи татаагүй байгаа биз дээ?

Хичээл нэлээд том болсон тул би үүнийг хоёр хэсэгт хуваасан.

1. Эхлээд бид үржүүлэх дүрмийг авч үзэх болно. Малгай нь сануулж байгаа юм шиг санагдаж байна: энэ нь хоёр үндэс байх үед тэдгээрийн хооронд "үржүүлэх" тэмдэг байдаг - бид үүнтэй ямар нэгэн зүйл хийхийг хүсч байна.
2. Дараа нь бид урвуу нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх болно: нэг том үндэс байгаа бөгөөд бид үүнийг хоёр язгуурын бүтээгдэхүүн гэж илүү энгийн байдлаар харуулахыг тэвчээргүй байсан. Энэ нь ямар айдастай байх ёстой вэ гэдэг нь тусдаа асуулт юм. Бид зөвхөн алгоритмд дүн шинжилгээ хийх болно.

2-р хэсэг рүү шууд орохыг тэсэн ядан хүлээж байгаа хүмүүст тавтай морилно уу. Үлдсэнийг нь дарааллаар нь эхэлцгээе.

Үржүүлэх үндсэн дүрэм

Хамгийн энгийн - сонгодог квадрат язгуураас эхэлцгээе. $\sqrt(a)$ ба $\sqrt(b)$ гэж тэмдэглэсэн хүмүүс. Тэдний хувьд бүх зүйл ерөнхийдөө тодорхой байна:

үржүүлэх дүрэм. Нэг квадрат язгуурыг нөгөөгөөр үржүүлэхийн тулд та тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлж, үр дүнг нийтлэг радикалын доор бичих хэрэгтэй.

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Баруун эсвэл зүүн талд байгаа тоонуудад нэмэлт хязгаарлалт тавьдаггүй: хэрэв үржүүлэгч үндэс байгаа бол бүтээгдэхүүн нь бас байдаг.

Жишээ. Тоо бүхий дөрвөн жишээг нэг дор авч үзье.

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар энэ дүрмийн гол утга нь үндэслэлгүй илэрхийллийг хялбарчлах явдал юм. Хэрэв эхний жишээн дээр бид 25 ба 4-ийн үндсийг ямар ч шинэ дүрэмгүйгээр гаргаж авсан бол цагаан тугалга эхэлнэ: $\sqrt(32)$ ба $\sqrt(2)$ нь өөрөө тоологдохгүй, харин Тэдний үржвэр нь яг дөрвөлжин болж хувирсан тул язгуур нь рационал тоотой тэнцүү байна.

Сүүлийн мөрийг тусад нь тэмдэглэхийг хүсч байна. Тэнд радикал илэрхийлэл хоёулаа бутархай байна. Бүтээгдэхүүний ачаар олон хүчин зүйл хүчингүй болж, бүх илэрхийлэл нь хангалттай тоо болж хувирдаг.

Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл үргэлж ийм сайхан байх болно. Заримдаа үндэс дор бүрэн новш байх болно - үүнийг юу хийх, үржүүлсний дараа хэрхэн хувиргах нь тодорхойгүй байна. Хэсэг хугацааны дараа иррационал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг судалж эхлэхэд ерөнхийдөө бүх төрлийн хувьсагч, функцүүд байх болно. Ихэнх тохиолдолд асуудлыг хөрвүүлэгчид та гэрээний нөхцөл, хүчин зүйлийг олох болно гэдэгт найдаж байгаа бөгөөд үүний дараа даалгавар нь ихээхэн хялбарчлах болно.

Үүнээс гадна яг хоёр үндсийг үржүүлэх шаардлагагүй. Та гурвыг нэг дор үржүүлж болно, дөрөв - тийм ээ, бүр арав! Энэ нь дүрмийг өөрчлөхгүй. Үүнийг хар даа:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь жишээн дээр дахин нэг жижиг тайлбар. Таны харж байгаагаар гурав дахь үржүүлэгчид үндэс дор аравтын бутархай байдаг - тооцооллын явцад бид үүнийг ердийн нэгээр сольж, дараа нь бүх зүйл амархан буурдаг. Тиймээс: Би ямар ч иррационал илэрхийлэл дэх аравтын бутархайг арилгахыг зөвлөж байна (өөрөөр хэлбэл дор хаяж нэг радикал дүрс агуулсан). Энэ нь ирээдүйд маш их цаг хугацаа, мэдрэлийг хэмнэх болно.

Гэхдээ энэ нь уянгын хазайлт байсан. Одоо илүү ерөнхий тохиолдлыг авч үзье - язгуур экспонент нь зөвхөн "сонгодог" хоёр биш, дурын тооны $n$ агуулсан байх үед.

Дурын индикаторын тохиолдол

Тиймээс бид квадрат язгуурыг олж мэдсэн. Мөн шоогаар юу хийх вэ? Эсвэл ерөнхийдөө $n$ дурын зэрэгтэй үндэстэй юу? Тийм ээ, бүх зүйл адилхан. Дүрэм ижил хэвээр байна:

$n$ зэрэгтэй хоёр үндэсийг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлэхэд хангалттай бөгөөд үүний дараа үр дүнг нэг радикал дор бичнэ.

Ерөнхийдөө ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Тооцооллын хэмжээ илүү байж болохгүй л бол. Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Жишээ. Бүтээгдэхүүнийг тооцоолох:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь илэрхийлэлд дахин анхаарлаа хандуулаарай. Бид шоо үндсийг үржүүлж, аравтын бутархайн бутархайгаас салж, үр дүнд нь хуваагч дахь 625 ба 25 тоонуудын үржвэрийг олж авдаг.Энэ бол нэлээд том тоо - би хувьдаа энэ нь ямар тэнцүү болохыг шууд тооцоолохгүй. руу.

Тиймээс бид зүгээр л тоологч ба хуваагч дахь яг кубыг сонгоод, дараа нь $n $-р зэргийн язгуурын үндсэн шинж чанаруудын аль нэгийг (эсвэл та хүсвэл тодорхойлолтыг) ашигласан:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\зүүн| a\right|. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Ийм "луйвар" нь шалгалт эсвэл шалгалтанд маш их цаг хэмнэх боломжтой тул дараахь зүйлийг санаарай.

Радикал илэрхийлэл дэх тоог үржүүлэх гэж бүү яар. Нэгдүгээрт, шалгана уу: Хэрэв ямар нэгэн илэрхийллийн яг зэрэг нь "шифрлэгдсэн" байвал яах вэ?

Энэ тайлбарын бүх тодорхой байдлыг харгалзан би ихэнх бэлтгэлгүй оюутнууд тодорхой зэрэглэлийг олж хардаггүй гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Үүний оронд тэд бүх зүйлийг үржүүлж, дараа нь гайхдаг: тэд яагаад ийм харгис хэрцгий тоог авсан бэ? :)

Гэсэн хэдий ч энэ бүхэн бидний одоо судлах зүйлтэй харьцуулахад хүүхдийн тоглоом юм.

Янз бүрийн илтгэгчтэй үндсийг үржүүлэх

За, одоо бид ижил илтгэгчтэй үндсийг үржүүлж болно. Оноо өөр байвал яах вэ? Энгийн $\sqrt(2)$-г $\sqrt(23)$ гэх мэт тэнэглэлээр яаж үржүүлэх вэ гэж хэлээрэй? Бүр үүнийг хийх боломжтой юу?

Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг та чадна. Бүх зүйл энэ томъёоны дагуу хийгддэг:

Үндэс үржүүлэх дүрэм. $\sqrt[n](a)$-г $\sqrt[p](b)$-р үржүүлэхийн тулд дараах хувиргалтыг хийхэд хангалттай.

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэсэн хэдий ч, энэ томъёо нь зөвхөн тохиолдолд л ажиллана радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш юм. Энэ бол маш чухал тэмдэглэл бөгөөд бид хэсэг хугацааны дараа эргэн ирэх болно.

Одоохондоо хэд хэдэн жишээг харцгаая:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Одоо сөрөг бус байх шаардлага хаанаас ирсэн, зөрчвөл юу болохыг олж мэдье. :)

Радикал илэрхийлэл яагаад сөрөг биш байх ёстой вэ?

Мэдээжийн хэрэг, та сургуулийн багш нар шиг болж, ухаалаг харцтай сурах бичгээс иш татаж болно.

Сөрөг бус байдлын шаардлага нь тэгш ба сондгой зэрэглэлийн язгуурын янз бүрийн тодорхойлолттой холбоотой байдаг (тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээ өөр өөр байдаг).

За, илүү тодорхой болсон уу? Би хувьдаа 8-р ангидаа энэ дэмий яриаг уншихдаа "Сөрөг биш байх шаардлага нь *#&^@(*#@^#)~% -тай холбоотой" - товчхондоо би өөртөө ийм зүйлийг ойлгосон. Тэр үед юу ч ойлгоогүй. :)

Тиймээс одоо би бүх зүйлийг ердийн байдлаар тайлбарлах болно.

Эхлээд дээрх үржүүлэх томъёо хаанаас гарсныг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд язгуурын нэг чухал шинж чанарыг танд сануулъя.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Өөрөөр хэлбэл, бид язгуур илэрхийллийг ямар ч байгалийн хүчин чадалтай $k$-д аюулгүйгээр өсгөж чадна - энэ тохиолдолд үндсэн индексийг ижил хүчээр үржүүлэх шаардлагатай болно. Тиймээс бид ямар ч үндсийг энгийн үзүүлэлт болгон хялбархан бууруулж, дараа нь үржүүлдэг. Үржүүлэх томъёо эндээс гардаг:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n))))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэхдээ эдгээр бүх томъёоны хэрэглээг эрс хязгаарласан нэг асуудал бий. Энэ тоог анхаарч үзээрэй:

Сая өгсөн томъёоны дагуу бид ямар ч зэрэг нэмж болно. $k=2$-г нэмж үзье:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\зүүн(-5 \баруун))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Квадрат нь хасахыг (бусад тэгш хэмтэй адил) шатаадаг тул бид хасахыг нарийн арилгасан. Одоо урвуу хувиргалтыг хийцгээе: экспонент болон зэрэгт хоёрыг "багасгах". Эцсийн эцэст аливаа тэгш байдлыг зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш уншиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Баруун сум \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Баруун сум \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэвч дараа нь ямар нэгэн галзуу зүйл тохиолдоно:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Энэ нь байж болохгүй, учир нь $\sqrt(-5) \lt 0$ болон $\sqrt(5) \gt 0$. Энэ нь тэгш ба сөрөг тоонуудын хувьд бидний томъёо ажиллахаа больсон гэсэн үг юм. Үүний дараа бидэнд хоёр сонголт байна:

1. Математик бол "зарим дүрэм байдаг, гэхдээ энэ нь буруу" гэж тэнэг шинжлэх ухаан гэж хэлэхийн тулд хананы эсрэг тэмцэх;
2. Томъёо 100% ажиллах боломжтой нэмэлт хязгаарлалтуудыг нэвтрүүлэх.

Эхний хувилбарт бид "ажиллахгүй" тохиолдлуудыг байнга барьж байх шаардлагатай болно - энэ нь хэцүү, урт бөгөөд ерөнхийдөө fu юм. Тиймээс математикчид хоёр дахь сонголтыг илүүд үзсэн. :)

Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй! Практикт энэ хязгаарлалт нь тооцоололд ямар ч байдлаар нөлөөлдөггүй, учир нь тайлбарласан бүх асуудал нь зөвхөн сондгой зэрэглэлийн үндэстэй холбоотой бөгөөд тэдгээрээс хасах зүйлсийг авч болно.

Тиймээс бид үндэстэй бүх үйлдэлд ерөнхийдөө хамаарах өөр нэг дүрмийг томъёолж байна.

Үндэсийг үржүүлэхийн өмнө радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш эсэхийг шалгаарай.

Жишээ. $\sqrt(-5)$ тоон дээр та үндсэн тэмдгийн доороос хасахыг гаргаж болно - тэгвэл бүх зүйл сайхан болно:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Баруун сум \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2))))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(зохицуулах)\]

Ялгааг мэдэрч байна уу? Хэрэв та язгуур доор хасах тэмдэг үлдээвэл радикал илэрхийлэл нь дөрвөлжин хэлбэртэй байвал энэ нь алга болж, новш эхэлнэ. Хэрэв та эхлээд хасахыг гаргавал нүүрээ хөхрөх хүртэл квадратыг өсгөж / арилгаж болно - тоо сөрөг хэвээр байх болно. :)

Тиймээс үндсийг үржүүлэх хамгийн зөв бөгөөд найдвартай арга бол дараах байдалтай байна.

1. Радикалуудын доор байгаа бүх сул талыг арилгана. Хасах нь зөвхөн сондгой үржвэрийн үндэст байдаг - тэдгээрийг үндэсийн урд байрлуулж, шаардлагатай бол багасгаж болно (жишээлбэл, эдгээр хасах хоёр нь байвал).
2. Өнөөдрийн хичээл дээр дээр дурдсан дүрмийн дагуу үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэнэ. Хэрэв язгуурын индексүүд ижил байвал язгуур илэрхийллийг үржүүлэхэд хангалттай. Хэрэв тэдгээр нь өөр бол бид \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)) муу томьёог ашигладаг. ^(n) ))\].
3. 3. Үр дүн, сайн дүн нь бидэнд таалагдаж байна. :)

За? Бид бэлтгэл хийх үү?

Жишээ 1. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \баруун)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол хамгийн энгийн сонголт юм: үндэсийн үзүүлэлтүүд нь ижил, сондгой, асуудал нь зөвхөн хоёр дахь үржүүлэгчийн хасах хэсэгт л байна. Бид энэ хасах nafig-ийг тэвчиж, дараа нь бүх зүйлийг амархан авч үздэг.

Жишээ 2. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2))))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \баруун))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \баруун))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( тэгшлэх)\]

Энд гаралт нь иррационал тоо болж хувирсан тул олон хүн төөрөлдөх болно. Тиймээ, ийм зүйл тохиолддог: бид үндсийг нь бүрэн арилгаж чадаагүй ч ядаж илэрхийлэлийг ихээхэн хялбаршуулсан.

Жишээ 3. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \баруун))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Үүнд би та бүхний анхаарлыг хандуулахыг хүсч байна. Энд хоёр цэг байна:

1. Үндэс дор тодорхой тоо, зэрэг биш, харин $a$ хувьсагч байна. Эхлээд харахад энэ нь ер бусын боловч бодит байдал дээр математикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ хувьсагчтай ажиллах шаардлагатай болдог.
2. Эцэст нь бид радикал илэрхийлэл дэх язгуур экспонент болон зэрэглэлийг "багасгаж" чадсан. Энэ нь нэлээд олон удаа тохиолддог. Энэ нь хэрэв та үндсэн томъёог ашиглахгүй бол тооцооллыг ихээхэн хялбарчлах боломжтой гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, та үүнийг хийж болно:

\[\begin(a) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^) 4)) \баруун))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үнэн хэрэгтээ бүх өөрчлөлтийг зөвхөн хоёр дахь радикалаар хийсэн. Хэрэв та бүх завсрын алхамуудыг нарийвчлан зураагүй бол эцэст нь тооцооллын хэмжээ мэдэгдэхүйц буурах болно.

Үнэн хэрэгтээ, бид $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ жишээг шийдэхдээ дээрхтэй төстэй даалгавартай тулгарсан. Одоо үүнийг илүү хялбар бичиж болно:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \баруун))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \баруун))^(2))) =\sqrt(75). \төгсгөл(зохицуулах)\]

За, бид үндсийг үржүүлэхийг олж мэдсэн. Одоо урвуу үйлдлийг авч үзье: үндэс дор ажил байгаа үед юу хийх вэ?

Математикийн хувьд аливаа үйлдэл нь өөрийн гэсэн хос эсрэг утгатай байдаг - үндсэндээ энэ нь диалектикийн Гегелийн хуулийн нэг илрэл юм: "эсрэг талуудын нэгдэл ба тэмцэл". Ийм "хос" дахь үйлдлүүдийн нэг нь тоог нэмэгдүүлэх зорилготой, нөгөө нь эсрэгээрээ буурч байна. Жишээлбэл, нэмэхийн эсрэг үйлдэл нь хасах үйлдэл, хуваах нь үржүүлэх үйлдэлтэй тохирч байна. Эрх мэдэлд өргөх нь мөн өөрийн гэсэн диалектик хос эсрэг тэсрэг байдаг. Энэ нь үндэс олборлох тухай юм.

Тооноос ийм, тийм зэргийн үндсийг гаргана гэдэг нь энэ тоогоор төгсөхийн тулд аль тоог харгалзах зэрэгт хүргэх ёстойг тооцоолно гэсэн үг юм. Хоёр зэрэг нь тусдаа нэртэй байдаг: хоёр дахь зэрэг нь "дөрвөлжин", гурав дахь нь "шоо" гэж нэрлэгддэг. Үүний дагуу эдгээр хүчнүүдийн үндсийг квадрат язгуур, куб язгуур гэж нэрлэх нь таатай байна. Шоо үндэстэй үйлдлүүд нь тусдаа хэлэлцэх сэдэв боловч одоо квадрат язгуур нэмэх талаар ярилцъя.

Зарим тохиолдолд эхлээд квадрат үндсийг задлах нь илүү хялбар байдаг тул үр дүнг нь нэмээд эхэлье. Ийм илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй гэж бодъё:

Эцсийн эцэст 16-ийн квадрат язгуур нь 4, 121-ийн язгуур нь 11 гэдгийг тооцоолоход тийм ч хэцүү биш юм.

√16+√121=4+11=15

Гэсэн хэдий ч энэ бол хамгийн энгийн тохиолдол юм - энд бид бүтэн квадратуудын тухай ярьж байна, i.e. бүхэл тоог квадрат болгох замаар олж авсан тоонуудын тухай. Гэхдээ энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Жишээлбэл, 24 тоо нь төгс дөрвөлжин биш (хоёр дахь зэрэглэлд аваачихад 24 гарах бүхэл тоог олох боломжгүй). 54 гэх мэт тоонд мөн адил хамаарна ... Хэрэв бид эдгээр тоонуудын квадрат язгуурыг нэмэх шаардлагатай бол яах вэ?

Энэ тохиолдолд бид хариултыг тоо биш, харин өөр илэрхийлэлд оруулах болно. Энд бидний хийж чадах хамгийн дээд зүйл бол анхны илэрхийлэлийг аль болох хялбарчлах явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд та квадрат язгуураас хүчин зүйлсийг хасах хэрэгтэй болно. Дээрх тоонуудыг жишээ болгон ашиглан үүнийг хэрхэн хийхийг харцгаая.

Эхлэхийн тулд 24-ийг үржүүлье - тэдгээрийн аль нэгийг нь квадрат язгуур болгон авах боломжтой (өөрөөр хэлбэл төгс дөрвөлжин болохын тулд). Ийм тоо байдаг - энэ нь 4:

Одоо 54-тэй ижил зүйлийг хийцгээе. Түүний найрлагад энэ тоо 9 болно.

Тиймээс бид дараахь зүйлийг олж авна.

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Одоо 2*√6+3*√6-аас үндсийг нь гаргаж авъя.

Энд бид хаалтнаас гаргаж болох нийтлэг хүчин зүйл бий:

(2+3)* √6=5*√6

Энэ нь нэмэлтийн үр дүн байх болно - эндээс өөр юу ч гаргаж болохгүй.

Үнэн бол та тооцоолуурын тусламжид хандаж болно, гэхдээ үр дүн нь ойролцоогоор, аравтын бутархайн тоо их байх болно.

√6=2,449489742783178

Үүнийг аажмаар бөөрөнхийлөхөд бид ойролцоогоор 2.5 болно. Хэрэв бид өмнөх жишээний шийдлийг логик дүгнэлтэд хүргэхийг хүсч байвал энэ үр дүнг 5-аар үржүүлж, 12.5 болно. Ийм анхны өгөгдлөөр илүү нарийвчлалтай үр дүнд хүрэх боломжгүй юм.

Үндэс нэмэх, хасах- ахлах сургуульд математикийн (алгебр) курст суралцаж буй хүмүүсийн хамгийн түгээмэл "бүдрэлийн" нэг. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг хэрхэн зөв нэмэх, хасах талаар сурах нь маш чухал бөгөөд учир нь "математик" хичээлийн улсын нэгдсэн шалгалтын хөтөлбөрт язгуурын нийлбэр эсвэл зөрүүний жишээг оруулсан болно.

Ийм жишээнүүдийн шийдлийг эзэмшихийн тулд танд хоёр зүйл хэрэгтэй - дүрмийг ойлгох, мөн дадлага хийх. Нэг эсвэл хоёр арван ердийн жишээг шийдсэний дараа оюутан энэ чадварыг автоматизмд аваачиж, дараа нь шалгалтанд айх зүйлгүй болно. Арифметик үйлдлүүдийг нэмэх замаар эзэмшиж эхлэхийг зөвлөж байна, учир нь тэдгээрийг нэмэх нь хасахаас арай хялбар байдаг.

Үндэс гэж юу вэ

Үүнийг тайлбарлах хамгийн хялбар арга бол квадрат язгуурын жишээ юм. Математикт "дөрвөлжин" гэж маш сайн тогтсон нэр томъёо байдаг. "Квадрат" гэдэг нь тодорхой тоог өөрөө нэг удаа үржүүлэхийг хэлнэ.. Жишээ нь: 2-ын квадрат бол 4, 7-ын квадрат бол 49. 9-ийн квадрат нь 81. Тэгэхээр 4-ийн квадрат язгуур 2, 49-ийн язгуур нь 7, 81-ийн язгуур нь 9 байна.

Дүрмээр бол математикийн энэ сэдвийг заах нь квадрат язгуураас эхэлдэг. Үүнийг нэн даруй тодорхойлохын тулд ахлах сургуулийн сурагч үржүүлэх хүснэгтийг цээжээр мэддэг байх ёстой. Энэ хүснэгтийг сайн мэдэхгүй хүмүүсийн хувьд та зөвлөмжийг ашиглах хэрэгтэй. Ихэвчлэн тооноос язгуур квадратыг гаргаж авах үйл явцыг математикийн олон сургуулийн дэвтрийн нүүрэн дээр хүснэгт хэлбэрээр өгдөг.

Үндэс нь дараахь төрлүүдтэй.

• дөрвөлжин;
• куб (эсвэл гурав дахь зэрэг гэж нэрлэгддэг);
• дөрөв дэх зэрэг;
• тав дахь зэрэг.

Нэмэх дүрэм

Ердийн жишээг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд бүх язгуур тоо биш гэдгийг анхаарах хэрэгтэй өөр хоорондоо давхарлаж болно. Тэдгээрийг нэгтгэхийн тулд тэдгээрийг нэг загварт оруулах ёстой. Хэрэв энэ боломжгүй бол асуудал шийдэгдэхгүй болно. Математикийн сурах бичгүүдэд ч ийм асуудлууд ихэвчлэн сурагчдад урхи болдог.

Радикал илэрхийллүүд нь бие биенээсээ ялгаатай үед даалгавруудад нэмэхийг зөвшөөрдөггүй. Үүнийг жишээгээр тайлбарлаж болно:

• оюутан даалгавартай тулгарна: 4 ба 9-ийн квадрат язгуурыг нэмэх;
• Дүрмийг мэддэггүй туршлагагүй оюутан ихэвчлэн "4-ийн үндэс + 9-ийн үндэс \u003d 13-ын үндэс" гэж бичдэг.
• Энэ арга нь буруу гэдгийг батлахад маш амархан. Үүнийг хийхийн тулд та 13-ын квадрат язгуурыг олж, жишээг зөв шийдсэн эсэхийг шалгах хэрэгтэй;
• бичил тооцоолуур ашиглан энэ нь ойролцоогоор 3.6 гэдгийг тодорхойлж болно. Одоо шийдлийг шалгах л үлдлээ;
• язгуур 4=2, ба 9=3;
• Хоёр ба гурвын нийлбэр нь тав. Тиймээс энэхүү шийдлийн алгоритмыг буруу гэж үзэж болно.

Үндэс нь ижил зэрэгтэй, гэхдээ өөр өөр тоон илэрхийлэлтэй бол хаалтнаас гаргаж авна хоёр радикал илэрхийллийн нийлбэр. Тиймээс энэ дүнгээс аль хэдийн олборлосон байна.

Нэмэх алгоритм

Хамгийн энгийн асуудлыг зөв шийдэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1. Яг юу нэмэх шаардлагатайг тодорхойл.
2. Математикт байдаг дүрмийн дагуу бие биедээ үнэ цэнийг нэмэх боломжтой эсэхийг олж мэдээрэй.
3. Хэрэв тэдгээрийг нэмэх боломжгүй бол та тэдгээрийг нэмж болох байдлаар өөрчлөх хэрэгтэй.
4. Шаардлагатай бүх өөрчлөлтийг хийсний дараа нэмэлтийг хийж, дууссан хариултыг бичих шаардлагатай. Нэмэлтийг жишээний нарийн төвөгтэй байдлаас хамааран оюун ухаанаар эсвэл тооцоолуур ашиглан хийж болно.

Ижил төстэй үндэс гэж юу вэ

Нэмэлт жишээг зөв шийдэхийн тулд юуны өмнө үүнийг хэрхэн хялбарчлах талаар бодох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та ижил төстэй байдал гэж юу болох талаар үндсэн мэдлэгтэй байх хэрэгтэй.

Ижил төстэй зүйлсийг тодорхойлох чадвар нь ижил төрлийн нэмэлт жишээг хурдан шийдэж, хялбаршуулсан хэлбэрт оруулахад тусалдаг. Ердийн нэмэлт жишээг хялбарчлахын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. Ижил төстэйг нь олж, нэг бүлэгт (эсвэл хэд хэдэн бүлэгт) хуваарил.
2. Одоо байгаа жишээг ижил үзүүлэлттэй язгуурууд бие биенээ тодорхой дагаж байхаар дахин бичнэ үү (үүнийг "бүлэглэх" гэж нэрлэдэг).
3. Дараа нь та ижил төстэй (ижил үзүүлэлт, ижил язгуур дүрстэй) бие биенээ дагадаг байдлаар дахин илэрхийллийг бичих хэрэгтэй.

Үүний дараа хялбаршуулсан жишээг ихэвчлэн шийдвэрлэхэд хялбар байдаг.

Аливаа нэмэлтийн жишээг зөв шийдэхийн тулд та нэмэх үндсэн дүрмийг тодорхой ойлгох, мөн үндэс гэж юу болох, энэ нь хэрхэн тохиолддогийг мэдэх хэрэгтэй.

Заримдаа ийм ажлууд нь эхлээд харахад маш төвөгтэй мэт санагддаг, гэхдээ ихэвчлэн ижил төстэй ажлуудыг бүлэглэх замаар амархан шийдэгддэг. Хамгийн гол нь дадлага, дараа нь оюутан "самар шиг даалгавруудыг дарж" эхэлнэ. Үндэс нэмэх нь математикийн хамгийн чухал салбаруудын нэг тул багш нар үүнийг судлахад хангалттай цаг гаргах хэрэгтэй.

Видео

Энэ видео нь квадрат язгууртай тэгшитгэлийг ойлгоход тусална.