Эсрэг чиглэлтэй векторуудыг нэмэх. "Өгөгдсөн цэгээс векторыг хойшлуулах" хичээл. Аль векторууд тэнцүү байна

Өгүүллийн сэдэв рүү шилжихээсээ өмнө үндсэн ойлголтуудыг эргэн санацгаая.

Тодорхойлолт 1

Вектор– тоон утга ба чиглэлээр тодорхойлогддог шулуун шугамын сегмент. Векторыг дээр нь сумтай латин жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. Хэрэв тодорхой хилийн цэгүүд байгаа бол векторын тэмдэглэгээ нь дээр нь сумтай хоёр том латин үсэг (векторын хилийг тэмдэглэсэн) шиг харагдана.

Тодорхойлолт 2

Тэг вектор– хавтгай дээрх ямар ч цэг, дээр нь сумтай тэг гэж тэмдэглэсэн.

Тодорхойлолт 3

Вектор урт– векторыг бүрдүүлж буй сегментийн уртыг тодорхойлдог тэгтэй тэнцүү буюу түүнээс их утга.

Тодорхойлолт 4

Коллинеар векторууд– нэг мөрөнд эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэх. Энэ нөхцлийг хангаагүй векторуудыг коллинеар бус гэж нэрлэдэг.

Оруулга: векторууд a →Тэгээд b →. Тэдгээр дээр нэмэх үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд дурын цэгээс вектор зурах шаардлагатай A B →, вектортой тэнцүү a →; үүссэн цэгээс тодорхойгүй - вектор B C →, вектортой тэнцүү b →. Тодорхойгүй ба C цэгүүдийг холбосноор бид сегмент (вектор) авна. A C →, энэ нь анхны өгөгдлийн нийлбэр байх болно. Үгүй бол тайлбарласан вектор нэмэх схемийг дуудна гурвалжингийн дүрэм.

Геометрийн хувьд вектор нэмэх нь дараах байдалтай байна.

Коллинеар бус векторуудын хувьд:

Коллинеар (хамт чиглэлтэй эсвэл эсрэг) векторуудын хувьд:

Дээр тайлбарласан схемийг үндэс болгон авч үзвэл бид 2-оос их хэмжээтэй вектор нэмэх үйлдлийг хийх боломжтой болно: дараагийн вектор бүрийг ээлжлэн нэмнэ.

Тодорхойлолт 6

Оруулга: векторууд a → , b → , в →, d → . Хавтгай дээрх дурын А цэгээс вектортой тэнцүү сегмент (вектор) зурах шаардлагатай. a →; дараа нь үүссэн векторын төгсгөлөөс вектортой тэнцүү векторыг хасна b →; Дараа нь дараагийн векторуудыг ижил зарчмаар байрлуулна. Сүүлчийн хойшлогдсон векторын төгсгөлийн цэг нь В цэг байх ба үүссэн сегмент (вектор) A B →- бүх анхны өгөгдлийн нийлбэр. Хэд хэдэн вектор нэмэхийн тулд тайлбарласан схемийг мөн нэрлэдэг олон өнцөгт дүрэм .

Геометрийн хувьд энэ нь дараах байдалтай байна.

Тодорхойлолт 7

Тусдаа үйл ажиллагааны схем вектор хасахүгүй, учир нь үндсэндээ вектор ялгаа a →Тэгээд b →векторуудын нийлбэр юм a →Тэгээд - b → .

Векторыг тодорхой k тоогоор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд дараах дүрмийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
- хэрэв k > 1 бол энэ тоо нь векторыг k удаа сунгахад хүргэнэ;
- 0 бол< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1к удаа;
- хэрэв к< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- хэрэв k = 1 бол вектор ижил хэвээр байна;
- хэрэв хүчин зүйлсийн аль нэг нь тэг вектор эсвэл тэгтэй тэнцүү тоо байвал үржүүлгийн үр дүн нь тэг вектор болно.

Анхны өгөгдөл:
1) вектор a →ба тоо k = 2;
2) вектор b →ба тоо k = - 1 3 .

Геометрийн хувьд дээрх дүрмийн дагуу үржүүлгийн үр дүн дараах байдалтай байна.

Дээр дурдсан векторууд дээрх үйлдлүүд нь шинж чанартай байдаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь тодорхой байдаг бол зарим нь геометрийн үндэслэлтэй байдаг.

Оруулга: векторууд a → , b → , в →мөн дур зоргоороо бодит тооλ ба μ.

Коммутатив ба ассоциатив шинж чанарууд нь векторуудыг дурын дарааллаар нэмэх боломжийг олгодог.

Үйлдлүүдийн жагсаасан шинж чанарууд нь вектор-тоон илэрхийллийн шаардлагатай хувиргалтыг ердийн тоонуудтай ижил төстэй байдлаар хийх боломжийг олгодог. Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ 1

Даалгавар: a → - 2 · (b → + 3 · a →) илэрхийллийг хялбарчлах
Шийдэл
- хоёр дахь түгээлтийн шинж чанарыг ашиглан бид дараахийг авна: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- бид үржүүлэхийн ассоциатив шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд илэрхийлэл нь дараах хэлбэрийг авна: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- солих шинж чанарыг ашиглан бид нөхцлүүдийг сольж байна: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- дараа нь бид эхний түгээлтийн шинж чанарыг ашиглан: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → товч тэмдэглэгээг авна. шийдлийн дараах байдлаар харагдах болно: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Хариулт: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Зарим физик хэмжигдэхүүнүүд, жишээлбэл, хүч эсвэл хурд нь зөвхөн тоон утгаараа төдийгүй чиглэлээр тодорхойлогддог. Ийм хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Ф⃗ - хүч чадал, v⃗ - хурд.
Векторын геометрийн тодорхойлолтыг өгье.
Вектор түүний хилийн цэгүүдийн аль нь эхлэл, аль нь төгсгөл болохыг заасан сегмент гэж нэрлэдэг.
Зураг дээр векторыг векторын төгсгөлийг харуулсан сумтай сегмент хэлбэрээр дүрсэлсэн болно. Векторыг дээр нь сумтай хоёр том латин үсгээр тэмдэглэнэ. Эхний үсэг нь векторын эхлэлийг, хоёр дахь нь төгсгөлийг заана.

Векторыг мөн дээр нь сумтай нэг жижиг латин үсгээр тэмдэглэж болно.

Векторын урт нь энэ векторыг илэрхийлэх сегментийн урт юм. Босоо хаалт нь векторын уртыг зааж өгөхөд ашиглагддаг.
Төгсгөл нь эхлэлтэй давхцаж байгаа векторыг нэрлэдэг тэг вектор. Тэг векторыг цэгээр дүрсэлсэн бөгөөд хоёр ижил үсгээр эсвэл дээр нь сумтай тэгээр тэмдэглэнэ. Тэг векторын урт нь тэг байна: |0 ⃗|= 0.

Үзэл баримтлалыг танилцуулъя collinear векторууд. Тэг биш векторууд нэг шулуун дээр эсвэл параллель шулуун дээр оршдог бол тэдгээрийг коллинеар гэж нэрлэдэг. Тэг векторыг аль ч вектортой коллинеар гэж үзнэ.

Хэрэв тэгээс ялгаатай коллинеар векторууд ижил чиглэлтэй бол ийм векторууд кодиректор байх болно. Хэрэв тэдгээрийн чиглэл эсрэг байвал тэдгээрийг эсрэг чиглэлтэй гэж нэрлэдэг.
Хамт чиглэсэн ба эсрэг чиглэлтэй векторуудыг тэмдэглэхийн тулд тусгай тэмдэглэгээ байдаг.
- м ⃗ Р⃗ хэрэв векторууд м⃗ ба Р⃗ хамтран найруулсан;
- м ⃗ ↓ n⃗ хэрэв векторууд м⃗ ба n⃗ эсрэг чиглэлтэй.
Машины хөдөлгөөнийг анхаарч үзээрэй. Түүний цэг бүрийн хурд нь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд чиглэсэн сегментээр илэрхийлэгдэнэ. Машины бүх цэгүүд ижил хурдтай хөдөлдөг тул өөр өөр цэгүүдийн хурдыг дүрсэлсэн бүх чиглэсэн сегментүүд ижил чиглэлтэй бөгөөд урт нь тэнцүү байна. Энэ жишээ нь векторууд тэнцүү эсэхийг хэрхэн тодорхойлох талаар зөвлөгөө өгдөг.
Хоёр вектор нь кодиректортой, урт нь тэнцүү байвал тэнцүү гэнэ. Векторуудын тэгш байдлыг тэнцүү тэмдгээр бичиж болно. а ⃗ = б ⃗, К.Х ⃗ = О.Э. ⃗
Хэрэв цэг бол Рвекторын эхлэл Р⃗, тэгвэл бид вектор гэж үзнэ Р⃗ цэгээс хойшлогдсон Р.

Үүнийг аль ч талаас нь баталцгаая ТУХАЙөгөгдсөн вектортой тэнцүү векторыг зурж болно Р⃗, зөвхөн нэг нь.

Нотолгоо:
1) Хэрэв Р⃗ тэг вектор, тэгвэл ОО ⃗ = Р ⃗.
2) Хэрэв вектор Р⃗ тэг биш, цэг Рнь энэ векторын эхлэл ба цэг юм Т- Төгсгөл.
Гол цэгийг нь авч үзье ТУХАЙшулуун, зэрэгцээ RT. Баригдсан шугам дээр бид сегментүүдийг зурдаг О.А 1 ба О.А 2 нь сегменттэй тэнцүү RT.

Векторуудаас сонголтоо хийцгээе О.А 1 ба О.А 2 вектор, энэ нь вектортой координат байна Р⃗. Бидний зурган дээр энэ нь вектор юм О.А 1 . Энэ вектор нь вектортой тэнцүү байх болно Р⃗. Барилга байгууламжаас харахад ийм вектор зөвхөн нэг л байдаг.

\(\overrightarrow(AB)\) векторыг \(A\) байрлалаас (хөдөлгөөний эхлэл) \(B\) байрлал (хөдөлгөөний төгсгөл) хүртэлх цэгийн хөдөлгөөн гэж үзэж болно. Өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд хөдөлгөөний замнал чухал биш, зөвхөн эхлэл ба төгсгөл нь чухал юм!

\(\blacktrianglerright\) Хоёр вектор нь нэг шулуун дээр эсвэл хоёр зэрэгцээ шулуун дээр оршдог бол тэдгээр векторууд коллинеар байна.
IN өөрөөрвекторуудыг коллинеар бус гэж нэрлэдэг.

\(\blacktrianglerright\) Хоёр коллинеар вектор чиглэл нь давхцаж байвал тэдгээрийг кодиректор гэнэ.
Хэрэв тэдгээрийн чиглэлүүд эсрэгээрээ байвал тэдгээрийг эсрэг чиглэлтэй гэж нэрлэдэг.

Коллинеар вектор нэмэх дүрэм:

хамтран найруулсан Төгсгөлэхлээд. Дараа нь тэдгээрийн нийлбэр нь вектор бөгөөд эхлэл нь эхний векторын эхлэлтэй, төгсгөл нь хоёр дахь векторын төгсгөлтэй давхцдаг (Зураг 1).

\(\blacktrianglerright\) Хоёр нэмэх эсрэг чиглэсэнвектор бол бид хоёр дахь векторыг хойшлуулж болно эхэлсэнэхлээд. Дараа нь тэдгээрийн нийлбэр нь вектор бөгөөд эхлэл нь хоёр векторын эхлэлтэй давхцаж, урт нь векторуудын уртын зөрүүтэй тэнцүү, чиглэл нь урт векторын чиглэлтэй давхцдаг (Зураг 2).

\(\overrightarrow (a)\) ба \(\overrightarrow(b)\) конлинеар бус векторуудыг нэмэх дүрэм:

\(\blacktrianglerright\) Гурвалжингийн дүрэм (Зураг 3).

\(\overrightarrow (b)\) векторын төгсгөлөөс \(\overrightarrow (a)\) векторыг хойш тавих шаардлагатай. Дараа нь нийлбэр нь вектор бөгөөд эхлэл нь \(\overrightarrow (a)\) векторын эхлэлтэй, төгсгөл нь \(\overrightarrow (b)\) векторын төгсгөлтэй давхцдаг.

\(\blacktrianglerright\) Параллелограммын дүрэм (Зураг 4).

\(\overrightarrow (b)\) векторын эхнээс \(\overrightarrow (a)\) векторыг хойш тавих шаардлагатай. Дараа нь хэмжээ \(\overrightarrow (a)+\overrightarrow (b)\)– \(\overrightarrow (a)\) ба \(\overrightarrow (b)\) векторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональтай давхцаж буй вектор (эхлэл нь хоёр векторын эхлэлтэй давхцаж байна).

\(\blacktrianglerright\) Хоёр векторын ялгааг олохын тулд \(\overrightarrow (a)-\overrightarrow(b)\), та \(\overrightarrow (a)\) ба \(-\overrightarrow(b)\) векторуудын нийлбэрийг олох хэрэгтэй: \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(Зураг 5).

Даалгавар 1 №2638

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Тэгш өнцөгтэй \(ABC\) тэгш өнцөгт гурвалжинг \(A\) өгвөл \(O\) цэг нь энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм. Вектор координат \(\баруун сум(AB)=\(1;1\)\), \(\баруун сум(AC)=\(-1;1\)\). \(\overrightarrow(OC)\) векторын координатын нийлбэрийг ол.

Учир нь гурвалжин \(ABC\) нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй, тэгвэл хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гипотенузын дунд байрладаг, өөрөөр хэлбэл. \(O\) нь \(BC\) -ийн дунд юм.

анзаараарай, тэр \(\дээрх сум(BC)=\дээш баруун сум(AC)-\давж баруун сум(AB)\), тиймээс, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

Учир нь \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), Тэр \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

Энэ нь \(\overrightarrow(OC)\) векторын координатын нийлбэр нь \(-1+0=-1\) -тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Хариулт: -1

Даалгавар 2 №674

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

\(ABCD\) – дөрвөлжин тал дээр \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow() векторууд байрладаг. DA) \) . Векторын уртыг ол \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\дээш баруун сум(AB) + \дээш баруун сум(BC) = \дээш баруун сум(AC)\), \(\дээш баруун сум(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), Дараа нь
\(\дээш баруун сум(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
Тэг вектор нь \(0\) -тэй тэнцүү урттай байна.

Тэгвэл векторыг шилжилт хөдөлгөөн гэж ойлгож болно \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)– \(A\)-аас \(B\) руу, дараа нь \(B\)-аас \(C\) руу шилжих – эцэст нь энэ нь \(A\)-аас \(C\) руу шилжиж байна.

Энэ тайлбарыг хийснээр энэ нь тодорхой болно \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\), учир нь эцэст нь бид \(A\) цэгээс \(A\) цэг рүү шилжсэн, өөрөөр хэлбэл, ийм хөдөлгөөний урт нь \(0\) бөгөөд энэ нь ийм хөдөлгөөний вектор өөрөө \ байна гэсэн үг юм. (\vec(0)\) .

Хариулт: 0

Даалгавар 3 №1805

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Параллелограммыг \(ABCD\) өгөв. \(AC\) ба \(BD\) диагональууд \(O\) цэг дээр огтлолцоно. Дараа нь , , байг \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Баруун сум\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Баруун сум\) \(x + y = - 1\) .

Хариулт: -1

Даалгавар 4 №1806

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Параллелограммыг \(ABCD\) өгөв. \(K\) ба \(L\) цэгүүд нь \(BC\) ба \(CD\) тал дээр тус тус байрладаг ба \(BK:KC = 3:1\) ба \(L\) цэгүүд байна. \ (CD\) -ийн дунд цэг. Болъё \(\баруун сум(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Дараа нь \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), энд \(x\) ба \(y\) нь зарим тоо юм. \(x + y\) -тэй тэнцүү тоог ол.

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (a)\]\(\Баруун сум\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Баруун сум\) \(x + y = -0 ,25\).

Хариулт: -0.25

Даалгавар 5 №1807

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Параллелограммыг \(ABCD\) өгөв. \(M\) ба \(N\) цэгүүд нь \(AD\) ба \(BC\) тал дээр байрладаг бөгөөд \(AM:MD = 2:3\) ба \(BN:NC =) байна. 3: 1\). Болъё \(\баруун сум(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Дараа нь \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3) )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2) )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Баруун сум\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Баруун сум\) \(x\cdot y = 0.35\) .

Хариулт: 0.35

Даалгавар 6 №1808

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Параллелограммыг \(ABCD\) өгөв. \(P\) цэг нь \(BD\) диагональ дээр, \(Q\) цэг нь \(CD\) талд, \(BP:PD = 4:1\), \( CQ:QD = 1:9\) . Болъё \(\баруун сум(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Дараа нь \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), энд \(x\) ба \(y\) нь зарим тоо юм. \(x\cdot y\) -тай тэнцүү тоог ол.

\[\begin(цуглуулсан) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(цуглуулсан)\]

\(\Баруун сум\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Баруун сум\) \(x\cdot y = 0, 14\). ба \(ABCO\) – параллелограмм; \(AF \зэрэгцээ BE\) ба \(ABOF\) – параллелограм \(\Баруун сум\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Баруун сум\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Баруун сум\) \(x + y = 2\) .

Хариулт: 2

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд орохоор бэлтгэж, зохих оноо авахаар төлөвлөж буй ахлах ангийн сурагчид "Хэд хэдэн вектор нэмэх, хасах дүрэм" сэдвийг заавал давтах ёстой. Олон жилийн туршлагаас харахад ийм даалгавар жил бүр гэрчилгээжүүлэх шалгалтанд ордог. Хэрэв төгсөгч "Хавтгай геометр" хэсгийн асуудалтай тулгарвал, жишээлбэл, векторыг нэмэх, хасах дүрмийг ашиглах шаардлагатай бол тэр шалгалтыг амжилттай давахын тулд тухайн материалыг давтан эсвэл дахин ойлгох ёстой. Улсын нэгдсэн шалгалт.

Школково боловсролын төсөл нь баталгаажуулалтын шалгалтанд бэлтгэх шинэ аргыг санал болгож байна. Манай нөөцийг оюутнууд өөрсдөө хамгийн хэцүү хэсгийг тодорхойлж, мэдлэгийн цоорхойг нөхөх боломжтойгоор бүтээгдсэн. Школковогийн мэргэжилтнүүд бүгдийг бэлтгэж, системчилсэн шаардлагатай материалбаталгаажуулалтын шалгалтанд тэнцэхэд бэлтгэх.

Хоёр векторыг нэмэх, хасах дүрмийг хэрэгжүүлэх шаардлагатай USE даалгаврууд нь хүндрэл учруулахгүй байхын тулд эхлээд санах ойгоо сэргээхийг зөвлөж байна. үндсэн ойлголтууд. Оюутнууд энэ материалыг "Онолын мэдээлэл" хэсгээс олох боломжтой.

Хэрэв та энэ сэдвээр векторыг хасах дүрэм, үндсэн тодорхойлолтыг аль хэдийн санаж байгаа бол мэргэжилтнүүдийн сонгосон зохих дасгалуудыг хийж, мэдлэгээ нэгтгэхийг санал болгож байна. боловсролын портал"Школково". Асуудал бүрийн хувьд сайт нь шийдлийн алгоритмыг танилцуулж, зөв ​​хариултыг өгдөг. "Вектор нэмэх дүрэм" сэдэв нь янз бүрийн дасгалуудыг танилцуулдаг; Хоёр, гурван харьцангуй хялбар даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа оюутнууд илүү төвөгтэй ажлууд руу дараалан шилжиж болно.

Сургуулийн сурагчид Москва эсвэл Оросын аль ч хотод байхдаа ийм даалгаврууд дээр, жишээлбэл, онлайнаар ур чадвараа дээшлүүлэх боломжтой. Шаардлагатай бол даалгаврыг "Дуртай" хэсэгт хадгалах боломжтой. Үүний ачаар та сонирхсон жишээг хурдан олж, зөв ​​хариултыг олох алгоритмуудыг багштайгаа ярилцах боломжтой.

Энэ хичээлээр олж авсан мэдлэг, ур чадвар нь зөвхөн геометрийн хичээлд төдийгүй бусад шинжлэх ухааны хичээлүүдэд ч хэрэг болно. Хичээлийн явцад оюутнууд өгөгдсөн цэгээс вектор зурж сурах болно. Энэ нь ердийн геометрийн хичээл эсвэл хичээлээс гадуурх эсвэл сонгон судлах математикийн хичээл байж болно. Энэхүү хөгжүүлэлт нь багшид "Өгөгдсөн цэгээс векторыг хойшлуулах" сэдвээр хичээлд бэлтгэх цагаа хэмнэхэд тусална. Ангидаа видео хичээл тоглож, дараа нь өөрийн сонгосон дасгалын тусламжтайгаар материалыг бататгахад хангалттай байх болно.

Хичээлийн үргэлжлэх хугацаа ердөө 1:44 минут. Гэхдээ энэ нь сургуулийн сурагчдад өгөгдсөн цэгээс вектор зурахыг заахад хангалттай юм.

Хичээл нь векторын үзүүлэнгээс эхэлдэг бөгөөд эхлэл нь тодорхой цэг дээр байдаг. Тэд үүнээс векторыг хойшлуулсан гэж хэлдэг. Дараа нь зохиогч түүнтэй хамт өгөгдсөнтэй тэнцэх векторыг аль ч цэгээс зурах боломжтой бөгөөд үүнээс гадна өвөрмөц байдлаар нотлохыг санал болгож байна. Нотлох явцад зохиогч тохиолдол бүрийг нарийвчлан судалдаг. Нэгдүгээрт, өгөгдсөн вектор нь тэг, хоёрдугаарт, вектор нь тэг биш байх нөхцөл байдлыг авдаг. Баталгаажуулахдаа сургуулийн сурагчдын математикийн бичиг үсгийг бүрдүүлдэг зураг, бүтээц, математикийн тэмдэглэгээ хэлбэрээр чимэглэлийг ашигладаг. Зохиогч нь аажуухан ярьснаар оюутнуудад тайлбар хийхдээ зэрэгцээ тэмдэглэл хөтлөх боломжийг олгодог. Өмнө нь томъёолсон мэдэгдлийг нотлох явцад зохиогчийн хийсэн бүтээн байгуулалт нь тодорхой цэгээс өгөгдсөнтэй тэнцүү векторыг хэрхэн барьж болохыг харуулж байна.

Сурагчид хичээлийг анхааралтай ажиглаж, нэгэн зэрэг тэмдэглэл хөтлөх юм бол тэд материалыг амархан сурах болно. Түүгээр ч барахгүй зохиолч дэлгэрэнгүй, хэмжсэн, бүрэн дүүрэн өгүүлдэг. Хэрэв ямар нэг шалтгааны улмаас та ямар нэг зүйл сонсоогүй бол буцаж очоод хичээлээ дахин үзэж болно.

Видео хичээлийг үзсэний дараа материалыг нэгтгэж эхлэхийг зөвлөж байна. Өгөгдсөн цэгээс вектор зурах ур чадварыг дадлагажуулахын тулд багш энэ сэдвээр даалгавруудыг сонгохыг зөвлөж байна.

Энэ хичээлийг ашиглаж болно бие даан суралцахсургуулийн сурагчдын сэдэв. Гэхдээ үүнийг нэгтгэхийн тулд та тохирох даалгаврыг сонгохын тулд багштай холбоо барих хэрэгтэй. Эцсийн эцэст, материалыг нэгтгэхгүйгээр суралцах эерэг үр дүнд хүрэхэд хэцүү байдаг.

Вектор – Энэ нь чиглэсэн шулуун шугамын сегмент, өөрөөр хэлбэл тодорхой урттай, тодорхой чиглэлтэй сегмент юм. Гол нь байя Ань векторын эхлэл ба цэг юм Б – түүний төгсгөл, дараа нь векторыг тэмдгээр тэмдэглэнээсвэл . Векторыг нэрлэдэг эсрэг вектор мөн томилж болно .

Хэд хэдэн үндсэн тодорхойлолтыг томъёолъё.

Уртэсвэл модуль векторсегментийн урт гэж нэрлэгддэг ба тэмдэглэгдсэн байна. Тэг урттай векторыг (түүний мөн чанар нь цэг) гэж нэрлэдэг тэг бөгөөд ямар ч чиглэлгүй. Вектор нэгж урт гэж нэрлэдэгганц бие . Чиглэл нь векторын чиглэлтэй давхцах нэгж вектор , дуудсан векторын өнцөг .

Векторуудыг дууддаг collinear , хэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шулуун дээр хэвтэж байвал бичнэ үү. Коллинеар векторууд нь давхцах эсвэл эсрэг чиглэлтэй байж болно. Тэг векторыг аль ч вектортой коллинеар гэж үзнэ.

Векторуудыг тэнцүү гэж хэлдэг, хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал ижил чиглэлтэй, ижил урттай байна.

Орон зай дахь гурван векторыг нэрлэдэг хавтгай , хэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд эсвэл зэрэгцээ хавтгайд хэвтэж байвал. Гурван векторын дор хаяж нэг нь тэг юм уу хоёр нь коллинеар байвал ийм векторууд нь копланар байна.

Орон зайд тэгш өнцөгт координатын системийг 0 гэж үзье xyz. Координатын тэнхлэгүүд дээр 0-ийг сонгоцгооё x, 0y, 0zнэгж векторууд (эсвэл векторууд) ба тэдгээрийг тэмдэглэнэтус тус. Сансар огторгуйн дурын векторыг сонгож, түүний гарал үүслийг координатын эхтэй зэрэгцүүлье. Векторыг координатын тэнхлэгүүд дээр проекцуудаар проекцуудыг тэмдэглэе а х, а y, a zтус тус. Дараа нь үүнийг харуулах амархан

. (2.25)

Энэ томьёо нь векторын тооцоололд үндсэн бөгөөд үүнийг нэрлэдэг координатын тэнхлэгүүдийн нэгж векторууд дахь векторын тэлэлт . Тоонууд а х, а y, a zгэж нэрлэдэг вектор координат . Тиймээс векторын координатууд нь координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд юм. Вектор тэгш байдал (2.25) нь ихэвчлэн хэлбэрээр бичигддэг

Бид векторын координат ба цэгийн координатыг ялгахад хялбар болгохын тулд буржгар хаалтанд вектор тэмдэглэгээг ашиглана. Сургуулийн геометрээс мэдэгдэж буй сегментийн уртын томъёог ашиглан векторын модулийг тооцоолох илэрхийлэлийг олж болно.:

, (2.26)

өөрөөр хэлбэл векторын модуль нь координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.

Вектор ба координатын тэнхлэгүүдийн хоорондох өнцгийг гэж тэмдэглэе α, β, γ тус тус. Косинусууд Эдгээр өнцгийг вектор гэж нэрлэдэг хөтөчүүд , мөн тэдний хувьд дараах хамаарал байна.Энэ тэгш байдлын үнэн зөвийг тэнхлэгт векторын проекцын шинж чанарыг ашиглан харуулж болох бөгөөд үүнийг доор 4-р зүйлд авч үзэх болно.

Гурван хэмжээст орон зайд векторуудыг өгьекоординатаараа. Тэдгээр дээр дараах үйлдлүүд явагдана: шугаман (нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх, векторыг тэнхлэг эсвэл өөр вектор руу төсөөлөх); шугаман бус - векторуудын янз бүрийн бүтээгдэхүүн (скаляр, вектор, холимог).

1. Нэмэлт хоёр векторыг координатын дагуу үйлдвэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл хэрэв

Энэ томъёо нь дурын хязгаарлагдмал тооны нэр томъёонд тохирно.

Геометрийн хувьд хоёр векторыг хоёр дүрмийн дагуу нэмнэ.

A) дүрэм гурвалжин - хоёр векторын нийлбэрийн үр дүнд бий болсон вектор нь эхний векторын төгсгөлтэй хоёр дахь векторын эхлэлийг давхцаж байвал эхнийх нь эхлэлийг хоёр дахь векторын төгсгөлтэй холбодог; векторуудын нийлбэрийн хувьд - нийлбэрийн үр дүнгийн вектор нь дараагийн гишүүний эхлэл өмнөх нэгийн төгсгөлтэй давхцаж байгаа тохиолдолд эхнийх нь эхлэлийг сүүлчийн вектор гишүүний төгсгөлтэй холбодог;

б) дүрэм параллелограмм (хоёр векторын хувьд) - параллелограммыг вектор-командууд дээр ижил гарал үүслээр багасгасан талуудын адилаар байгуулна; Параллелограммын нийтлэг гарал үүслээс эхэлсэн диагональ нь векторуудын нийлбэр юм.

2. Хасах хоёр векторыг координатаар гүйцэтгэнэ, нэмэхтэй төстэй, өөрөөр хэлбэл хэрэв, Тэр

Геометрийн хувьд аль хэдийн дурдсан параллелограммын дүрмийн дагуу хоёр векторыг нэмж, векторуудын хоорондох ялгаа нь векторуудын төгсгөлийг холбосон диагональ бөгөөд үр дүнд нь вектор нь хасалтын төгсгөлөөс төгсгөл хүртэл чиглэнэ. минуэнд.

Вектор хасах чухал үр дагавар бол векторын эхлэл ба төгсгөлийн координатууд мэдэгдэж байгаа бол векторын координатыг тооцоолохын тулд түүний төгсгөлийн координатаас эхлэлийн координатыг хасах шаардлагатай. . Үнэхээр ямар ч орон зайн векторГарал үүслээс үүссэн хоёр векторын зөрүүгээр төлөөлж болно.. Вектор координатТэгээд цэгүүдийн координаттай давхцаж байнаАТэгээд IN, гарал үүслээс хойшТУХАЙ(0;0;0). Тиймээс векторуудыг хасах дүрмийн дагуу цэгийн координатыг хасах хэрэгтэйАцэгийн координатаасIN.

3. У векторыг λ тоогоор үржүүлэх координатаар:.

At λ> 0 - векторхамтран найруулсан ; λ< 0 - вектор эсрэг чиглэл ; | λ|> 1 - вектор урт -д нэмэгддэг λ нэг удаа;| λ|< 1 – векторын урт нь багасна λ нэг удаа.

4. Чиглэсэн шулуун шугам (тэнхлэг л), вектортөгсгөл ба эхлэлийн координатаар өгөгдсөн. Цэгүүдийн проекцийг тэмдэглэе АТэгээд Б тэнхлэг бүрт лүүний дагуу дамжуулан А’ Тэгээд Б’ .

Төсөл вектор тэнхлэг бүрт лвекторын урт гэж нэрлэдэг, хэрэв вектор бол "+" тэмдгээр авсанба тэнхлэг лхамтран найруулсан, хэрэв “–” тэмдэгтэйТэгээд лэсрэг чиглэлүүд.

Хэрэв тэнхлэгийн хувьд лөөр вектор ав, тэгвэл бид векторын проекцийг авнавектор дээр r.

Төсөөллийн зарим үндсэн шинж чанаруудыг харцгаая.

1) вектор проекцтэнхлэг бүрт лвекторын модулийн үржвэртэй тэнцүү байнавектор ба тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн косинусаар, өөрөөр хэлбэл;

2.) вектор тэнхлэгтэй хурц (мохо) өнцөг үүсгэвэл тэнхлэг дээрх векторын проекц эерэг (сөрөг), хэрэв энэ өнцөг зөв байвал тэгтэй тэнцүү байна;

3) нэг тэнхлэг дээрх хэд хэдэн векторын нийлбэрийн проекц нь энэ тэнхлэг дээрх проекцуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Вектор дээрх шугаман бус үйлдлийг илэрхийлэх векторуудын үржвэрийн тухай тодорхойлолт, теоремуудыг томъёолъё.

5. Цэгтэй бүтээгдэхүүн векторууд бань эдгээр векторуудын урт ба өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо (скаляр) юмφ тэдгээрийн хооронд, өөрөөр хэлбэл

. (2.27)

Ямар ч тэг биш векторын скаляр квадрат нь түүний уртын квадраттай тэнцүү байх нь ойлгомжтой, учир нь энэ тохиолдолд өнцөг нь , тиймээс түүний косинус (2.27-д) 1 байна.

Теорем 2.2.Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлХоёр векторын перпендикуляр байдал нь тэдгээрийн скаляр үржвэрийн тэгтэй тэнцүү байх явдал юм

Үр дагавар.Нэгж нэгж векторуудын хос скаляр үржвэрүүд нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл

Теорем 2.3.Хоёр векторын цэгэн үржвэр, тэдгээрийн координатаар өгөгдсөн нь ижил нэртэй координатын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл

(2.28)

Векторуудын скаляр үржвэрийг ашиглан та өнцгийг тооцоолж болнотэдний хооронд. Тэг биш хоёр векторыг координаттай нь өгвөл, дараа нь өнцгийн косинусφ тэдний хооронд:

(2.29)

Энэ нь тэг биш векторуудын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг илэрхийлдэгМөн:

(2.30)

Векторын проекцийг олохвектороор заасан чиглэлд , томъёоны дагуу хийж болно

(2.31)

Векторуудын скаляр үржвэрийг ашиглан тогтмол хүчний хийсэн ажлыг олнозамын шулуун хэсэг дээр.

Тогтмол хүчний нөлөөн дор байна гэж бодъё Материаллаг цэг нь байрлалаас шулуун шугамаар хөдөлдөг Абайрлалд оруулах Б.Хүчний вектор өнцөг үүсгэдэг φ шилжилтийн вектортой (Зураг 2.14). Физик бол хүчний ажил гэж хэлдэг хөдөлж байх үедтэнцүү .

Жишээ 2.9.Векторуудын скаляр үржвэрийг ашиглан оройн өнцгийг олАпараллелограммA B C D, барьсан векторууд дээр үндэслэсэн

Шийдэл.Теорем (2.3) ашиглан векторуудын модулиуд ба тэдгээрийн скаляр үржвэрийг тооцоолъё:

Эндээс (2.29) томъёоны дагуу бид хүссэн өнцгийн косинусыг олж авна

Жишээ 2.10.Нэг тонн зуслангийн бяслаг үйлдвэрлэхэд ашигласан түүхий эд, материалын нөөцийн зардлыг Хүснэгт 2.2 (руб.) -д үзүүлэв.

Хүснэгт 2.2

Дараа нь .Нөөцийн нийт үнэ, энэ нь векторуудын скаляр үржвэр юм. Теорем 2.3-ын дагуу (2.28) томъёог ашиглан тооцоолъё.