Бодит тооны багцын бүрэн байдлын шинж чанар. Бодит тооны аксиомууд. Математик анализыг бий болгоход тасралтгүй байдлын аксиомын үүрэг

§ 7 . Шинжилгээний үндэс, 4

Бодит тооны багцын бүрэн байдал.

7.1. Оршил.

Тодорхойлолт.Бодит а тоо гэж бид рационал тоонуудын үндсэн дарааллын эквивалент а ангиллыг хэлнэ.

Тодорхойлолт.Цөөн хэдэн Ррационал тоонуудын үндсэн дарааллын эквивалент ангиудыг бодит тооны олонлог гэж нэрлэнэ.

1) lim a n = a Û " 0< eÎР$pо Н("nÎ Н, n ³ p) Þ |a n - a| £ e

2) нийлэх аливаа дараалал (a n) нь мөн суурь юм

" 0 < eÎР$pо Н((" mÎ Н, "nÎ Н, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ e)

§6-тай адилтган бодит тоонуудын үндсэн дарааллын олонлогт хүчин зүйлчлэлийн аргыг хэрэглэхийг оролдох нь зүйн хэрэг юм. Бид олонлогийг агуулсан бодит тоонуудын үндсэн дарааллын эквивалент ангиудын багцыг авахгүй юу? Рөөрийн дэд олонлогийн хувьд?

Үгүй нь харагдаж байна.

Энэ хэсэгт бид гайхалтай шинж чанарыг бий болгох болно: бодит тоонуудын бүх үндсэн дараалал нь нийлдэг гэсэн бодит тоонуудын бүрэн байдлын шинж чанар юм. Р.

7.2. Бодит тоог аравтын бутархайгаар ойртуулах.

Тодорхойлолт.$ 0 бол дараалал (q n) хязгаарлагдмал байна< MÎQ, тэр (" nО Н|q n | £ М)

Теорем 1. Рационал тооны үндсэн дараалал бүр нь хязгаарлагдмал байдаг.

Баталгаа. (q n) нь рационал тоонуудын үндсэн дараалал байг, тэгвэл суурь байдлын ачаар e=1 хувьд ийм pО байна. Н, Юу:

$pо Н:((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p -засах, дараа нь " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

Үнэхээр: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |q p | Þ |q n | £ 1 + |q p |.

M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) гэж үзвэл бид: " nО" болно. Н|q n | £ M.ð

6.3-т. "Эерэг байх" нэгдмэл хамаарлыг багц дээр тодорхойлсон. ">0" гэж бичихийг зөвшөөрье. Дараа нь a ³ 0 Û (a > 0 эсвэл a = 0).

Теорем 2 . Рационал тоонуудын үндсэн дараалал (q n) нь бодит а тоог илэрхийлбэл:

a) ($ p 1 О Н, $MO Q("nÎ Н, " n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

б) ($ p 2 О Н, $мО Q("nÎ Н, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Баталгаа." n³p 1 q n -M £ 0 тул үндсэн дараалал q n -M - үндсэн дараалал (q n) ба M тогтмол дарааллын хоорондох ялгаа нь тэг эсвэл сөрөг байх тул эерэг дараалал байж болохгүй.

Тиймээс энэ дарааллаар илэрхийлэгдсэн бодит тоо (a-M) эерэг байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл. a-M £ 0, i.e. a£M.

Үүний нэгэн адил b) гэж үздэг.

Теорем 3 . Рационал тоонуудын үндсэн дараалал (q n) нь зөвхөн "0" тохиолдолд бодит a тоог илэрхийлнэ. Р$pО Нтэр "nÎ Нба n³p тэгш бус байдал |q n -a| £e:

(q n)Îa Û " 0< eÎР$pо Н("nÎ Н, n³p) Þ |q n -a| £ e.

Баталгаа.Бид зөвхөн шаардлагатайг нотлох болно. Энэ нь тодорхой байна " eÎ Р$ e 1 О Q(д 1 £д)

Рационал тоонуудын үндсэн дараалал (q n) нь a тооны төлөөлөл байг.

Нөхцөлөөр бол энэ нь үндсэн, өөрөөр хэлбэл. "0< eÎQ$pо Н("nÎ Н,"Ми Н, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £д/2.

n³p-ийг засъя, дараа нь бид үндсэн дарааллыг (q m -q n) олно: (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; .. .).

m³p-ийн энэ дарааллын бүх гишүүд тэгш бус байдлыг хангана: |q m -q n |£ e/2.

Теорем 2-оор энэ дарааллаар илэрхийлэгдэх бодит тоо | a-q n | £д/2.

| a-q n | £ э О Р"n³p.

Теорем 4 . Бодит а тоо ямар ч байсан, M£a тэгш бус байдлыг хангах бүхэл тоо үргэлж байдаг.

("aÎ Р$! MÎ З(М £ а< M+1))

Баталгаа.

Алхам 1. Оршихуйн баталгаа.

Рационал тоонуудын үндсэн дараалал (q n) нь бодит а тоог илэрхийлье: ((q n)Îa). 1-р теоремоор, $ LO Z 0, ингэснээр "nО Н q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

3-р теоремоор (q n)Îa Û " e>0, eО Р$pо Н: ((" nО Н, n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

Дараа нь " n³p ½a½=½a- q n + q n ½£½a- q n½+½ q n½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

Учир нь e нь дурын тоо >0, тэгвэл –L £ a £ L. Үүний дараа -1-L гэдэг нь ойлгомжтой.< a < L+1.

Дараа нь, төгсгөлтэй бүхэл тоонуудын дунд: -L-1, -L, -L+1, …, -1, 0, +1, …, L, L+1, бид олно. эхлээд a нөхцөл хангагдсан M+1 тоо< M+1.

Тэгвэл M тоо нь M £ a тэгш бус байдлыг хангахгүй< M+1, т.е. такое число M существует.

Алхам 2. Өвөрмөц байдлын баталгаа.4

Дүрмээр бол математикийн онолууд нь нэг багц тоог (анхны өгөгдөл) өөр нэг багц тоо болгон боловсруулах боломжийг олгох замаар гарцаа олдог бөгөөд энэ нь тооцооллын завсрын буюу эцсийн зорилго юм. Ийм учраас тоон функцууд нь математик, түүний хэрэглээнд онцгой байр суурь эзэлдэг. Тэд (илүү нарийвчлалтай, ялгах тоон функцууд гэж нэрлэгддэг) нь сонгодог шинжилгээний судалгааны гол объектыг бүрдүүлдэг. Гэхдээ орчин үеийн математикийн үүднээс эдгээр функцүүдийн шинж чанаруудын бүрэн тайлбарыг та сургуульд байхдаа аль хэдийн мэдэрсэн байж магадгүй бөгөөд удахгүй харах болно, эдгээр функцууд дээр ажилладаг бодит тооны багцыг нарийн тодорхойлохгүйгээр боломжгүй юм. үйлдэл хийх.

Математикийн тоо, физикийн цаг хугацаа шиг хүн бүр мэддэг боловч зөвхөн мэргэжилтнүүдэд ойлгомжгүй байдаг. Энэ бол математикийн гол хийсвэрлэлүүдийн нэг бөгөөд энэ нь мэдэгдэхүйц хувьслын өмнө хэвээр байгаа бөгөөд түүхийг бие даасан эрчимжүүлсэн сургалтанд зориулж болох юм. Энд бид зөвхөн уншигчдын дунд сургуулиас эхлэн бодит тооны талаар мэддэг зүйлийг нэгтгэж, аксиом хэлбэрээр тооны үндсэн ба бие даасан шинж чанарыг онцлон харуулахыг зорьж байна. Үүний зэрэгцээ бидний зорилго бол дараагийн математикийн хэрэглээнд тохирсон бодит тоонуудын үнэн зөв тодорхойлолтыг өгч, тэдгээрийн бүрэн бүтэн байдал буюу тасралтгүй байдлын шинж чанарт онцгой анхаарал хандуулах нь хязгаарт хүрэх үр хөврөл - арифметик бус гол зүйл юм. шинжилгээний үйл ажиллагаа.

§ 1. Бодит тооны олонлогын аксиоматик ба зарим ерөнхий шинж чанарууд

1. Бодит тооны олонлогийн тодорхойлолт

Тодорхойлолт 1. Е олонлогийг бодит (бодит) тооны олонлог, түүний элементүүдийг бодит (бодит) гэж нэрлэдэг.

Бодит тооны аксиоматик гэж нэрлэгддэг дараах нөхцлүүд хангагдсан тохиолдолд тоонууд:

(I) Нэмэх аксиомууд

Газрын зураг тодорхойлогдсон (нэмэлт үйлдэл)

E-ээс эрэмбэлэгдсэн хос элемент бүрт x ба y-ийн нийлбэр гэж нэрлэгддэг зарим элементийг оноох. Энэ тохиолдолд дараахь нөхцлийг хангасан болно.

Төвийг сахисан элемент 0 (нэмэлт тохиолдолд тэг гэж нэрлэдэг) байдаг бөгөөд ямар ч тохиолдолд

Аливаа элементийн хувьд үүний эсрэг гэж нэрлэгддэг элемент байдаг

Үйлдэл 4 нь ассоциатив, өөрөөр хэлбэл ямар ч элементийн хувьд

4-р үйлдэл нь солигддог, өөрөөр хэлбэл E-ийн аль ч элементийн хувьд,

Хэрэв аксиомыг хангасан зарим олонлог дээр үйлдлийг тодорхойлсон бол бүлгийн бүтэц өгөгдсөн эсвэл бүлэг байдаг гэж хэлдэг. Хэрэв үйлдлийг нэмэх гэж нэрлэдэг бол бүлгийг нэмэлт гэж нэрлэдэг. Нэмж дурдахад, үйл ажиллагаа нь шилжих чадвартай, өөрөөр хэлбэл нөхцөл хангагдсан бол бүлгийг коммутатив эсвэл Абелийн гэж нэрлэдэг. Тиймээс аксиомууд нь E нь нэмэлт Абелийн бүлэг гэж хэлдэг.

(II) Үржүүлэх аксиомууд

Газрын зураг тодорхойлогдсон (үржүүлэх үйлдэл)

E-ээс эрэмбэлэгдсэн хос элемент бүрт x ба y-ийн үржвэр гэж нэрлэгддэг зарим элементийг оноож, дараах нөхцөлүүдийг хангана.

1. Нэгээр үржүүлэх тохиолдолд саармаг элемент байдаг) ийм

2. Аливаа элементийн хувьд урвуу гэж нэрлэгддэг элемент байдаг, ийм

3. Үйл ажиллагаа нь ассоциатив, өөрөөр хэлбэл Э

4. Үйлдэл нь солигддог, өөрөөр хэлбэл ямар ч

Үржүүлэх үйл ажиллагааны хувьд олонлог нь (үржүүлэх) бүлэг болохыг баталж болохыг анхаарна уу.

(I, II) Нэмэх ба үржүүлэх хоорондын хамаарал

Үржүүлэх нь нэмэхийн хувьд хуваарилалт юм, i.e.

Үржүүлэх нь солигддог шинж чанартай тул түүний хоёр хэсгийн хүчин зүйлийн дарааллыг өөрчилсөн тохиолдолд сүүлчийн тэгш байдал хадгалагдана гэдгийг анхаарна уу.

Хэрэв зарим олонлог дээр жагсаасан бүх аксиомыг хангасан хоёр үйлдэл байгаа бол үүнийг алгебрийн талбар эсвэл энгийн талбар гэж нэрлэдэг.

(III) Захиалгын аксиомууд

E-ийн элементүүдийн хооронд хамаарал байдаг, өөрөөр хэлбэл E-ийн элементүүдийн хувьд энэ нь биелсэн эсэх нь тодорхойлогддог. Энэ тохиолдолд дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

Энэ харилцааг тэгш бус харилцаа гэж нэрлэдэг.

Мэдэгдэж байгаачлан 0, 1, 2 аксиомуудыг хангасан хамаарал бүхий зарим элементүүдийн хооронд олонлогийг хэсэгчлэн эрэмбэлэгдсэн гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв 3-р аксиом хангагдсан бол өөрөөр хэлбэл олонлогийн дурын хоёр элементийг харьцуулж болно. , дараа нь олонлогийг шугаман эрэмбэлэгдсэн гэж нэрлэдэг.

Ийнхүү бодит тоонуудын олонлог нь түүний элементүүдийн хоорондын тэгш бус харьцаагаар шугаман эрэмблэгдсэн байна.

(I, III) R дахь нэмэх ба дарааллын хоорондын хамаарал

Хэрэв x нь R-ийн элементүүд юм бол

(II, III) R-д үржүүлэх ба дарааллын хоорондын хамаарал

Хэрэв R-ийн элементүүд байвал

(IV) Бүрэн байдлын аксиом (тасралтгүй байдал)

Хэрэв X ба Y нь ямар ч элементийн хувьд ийм шинж чанартай Е-ийн хоосон бус дэд олонлогууд байвал аль ч элементийн хувьд ийм шинж чанартай байдаг.

Энэ нь аксиомуудын жагсаалтыг дуусгаж, ямар ч E багц дээр биелэлт нь энэ багцыг тодорхой хэрэгжилт эсвэл тэдний хэлснээр бодит тоонуудын загвар гэж үзэх боломжийг олгодог.

Энэхүү тодорхойлолт нь албан ёсоор тоонуудын талаархи урьдчилсан мэдээллийг агуулаагүй бөгөөд үүнээс "математик сэтгэлгээг оруулаад" бид жинхэнэ тоонуудын үлдсэн шинж чанарыг теорем болгон авах ёстой. Энэхүү аксиоматик формализмын талаар албан бус цөөн хэдэн тайлбар хэлмээр байна.

Та алим, шоо эсвэл бусад нэрлэсэн хэмжигдэхүүнүүдийг нэмэхээс хийсвэр натурал тоог нэмэх хүртэл ахиц дэвшил гараагүй гэж төсөөлөөд үз дээ; та сегментүүдийг хэмжээгүй, оновчтой тоонд хүрээгүй; дөрвөлжингийн диагональ нь түүний талтай тохиромжгүй тул урт нь рационал тоо байж чадахгүй, өөрөөр хэлбэл иррационал тоо хэрэгтэй гэсэн эртний хүмүүсийн агуу нээлтийг та мэдэхгүй байна; Хэмжилтийн явцад гарч ирдэг "илүү" гэсэн ойлголт байхгүй, жишээлбэл, тоон шугамын дүрслэлээр дарааллыг өөртөө дүрсэлдэггүй. Хэрэв энэ бүхэн урьд өмнө байгаагүй бол жагсаасан аксиомуудын багц нь зөвхөн оюун санааны хөгжлийн тодорхой үр дүн гэж ойлгогдоод зогсохгүй, наад зах нь хачирхалтай, ямар ч тохиолдолд уран зөгнөлийн дур зоргоороо үр дүн мэт санагдах болно.

Аксиомын аливаа хийсвэр системийн тухайд дор хаяж хоёр асуулт шууд гарч ирнэ.

Нэгдүгээрт, эдгээр аксиомууд нийцэж байна уу, өөрөөр хэлбэл жагсаасан бүх нөхцлийг хангасан олонлог бий юу? Энэ бол аксиоматикийн тууштай байдлын тухай асуулт юм.

Хоёрдугаарт, өгөгдсөн аксиомын систем нь математикийн объектыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог эсэх, өөрөөр хэлбэл логикчдын хэлснээр аксиомын систем нь категорих эсэх.

Энд байгаа хоёрдмол утгагүй байдлыг дараах байдлаар ойлгох ёстой. Хэрэв А ба В хүмүүс бие даан өөрсдийн загваруудыг, жишээлбэл, аксиоматикийг хангасан тоон системийн загварыг бүтээсэн бол арифметик үйлдлүүд болон дарааллын харилцааг хадгалсан ч гэсэн олонлогуудын хооронд биектив захидал харилцааг тогтоож болно.

Математикийн үүднээс авч үзвэл, энэ тохиолдолд тэдгээр нь бодит тоонуудын (жишээ нь, - хязгааргүй аравтын бутархай ба - тоон шулуун дээрх цэгүүд) өөр өөр (бүрэн тэнцүү) хэрэгжилт (загвар) юм. Ийм хэрэгжилтийг изоморф гэж нэрлэдэг ба зураглалыг изоморфизм гэж нэрлэдэг. Математикийн үйл ажиллагааны үр дүн нь бие даасан хэрэгжилттэй холбоотой биш, харин өгөгдсөн аксиоматикийн изоморф загваруудын ангиллын загвар бүртэй холбоотой юм.

Бид дээр дурдсан асуултуудын талаар энд ярихгүй бөгөөд зөвхөн мэдээллийн чанартай хариултаар хязгаарлагдах болно.

Аксиоматикийн тууштай байдлын талаархи асуултын эерэг хариулт нь үргэлж нөхцөлтэй байдаг. Тоонуудын хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: бидний хүлээн зөвшөөрсөн олонлогын онолын аксиоматик дээр үндэслэн (I бүлгийн § 4, 2-р хэсгийг үзнэ үү) бид натурал тоонуудын багцыг, дараа нь рационал тоонуудын багцыг байгуулж болно. эцэст нь дээрх бүх шинж чанарыг хангасан бүх бодит тоонуудын E багц.

15. Хэрэв бодит тоонуудын хоосон бус олонлог А ба В нь дурын ба тэгш бус байдлын хувьд a< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Бүрэн байдлын аксиом нь зөвхөн R-д хүчинтэй.

Аливаа тэгш бус рационал тоонуудын хооронд та үргэлж тэгш бус рационал тоог оруулж болно гэдгийг баталж болно.

Дээр өгөгдсөн аксиомуудаас тэг ба нэгийн давтагдашгүй байдал, ялгаа ба хуваалтын оршихуй ба өвөрмөц байдлыг гаргаж болно. Төрөл бүрийн хувиргалтанд өргөн хэрэглэгддэг тэгш бус байдлын шинж чанаруудыг нэмж тэмдэглэе.

1. Хэрэв a< b, с < d , то a+c < b+d.

2. Хэрэв a< b, то –a >–б.

3. Хэрэв a > 0 бол b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (Сүүлийнх нь a > 0, b > 0-ийн хувьд мөн үнэн юм.)

4. 0 бол< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Хэрэв a< b, c >0, дараа нь ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. 0 бол< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Ямар ч эерэг тоо a, b-д na > b (аксиом) байх nО N тоо байна. Архимед, a, b, na урттай сегментүүдийн хувьд).

Тоон олонлогт дараах тэмдэглэгээг ашигладаг.

Н – натурал тоонуудын багц;

З – бүхэл тоонуудын багц;

Q – оновчтой тоонуудын багц;

I – иррационал тоонуудын багц;

Р – бодит тоонуудын багц;

R + – бодит эерэг тоонуудын багц;

R_ – бодит сөрөг тоонуудын багц;

R 0 – бодит сөрөг бус тоонуудын багц;

C нь нийлмэл тоонуудын олонлог (энэ олонлогийн тодорхойлолт ба шинж чанарыг 1.1-р хэсэгт авч үзнэ).

Бодит тооны олонлог дээр хязгаарлагдмал байдлын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Үүнийг цаашдын хэлэлцүүлэгт идэвхтэй ашиглах болно.

Хэрэв ийм бодит тоо байгаа бол бид Хязгаарлагдмал ДЭЭР (ДОО) олонлогийг дуудна (м ) Аливаа элемент тэгш бус байдлыг хангаж байна:

М тоог А олонлогийн ДЭЭД ХЭЭ, m тоог гэнэ – Энэ багцын доод хязгаар.

Дээр ба доор хязгаарлагдсан олонлогийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг.

Цөөн хэдэн Н натурал тоонууд доор хязгаарлагдах боловч дээрээс нь хязгаарлагдахгүй. Бүхэл тоонуудын багц З доор эсвэл дээр хязгаарлагдахгүй.

Хэрэв бид диаметртэй тойрогт дүрсэлсэн дурын гурвалжны талбайн багцыг авч үзвэл Д , дараа нь доороос тэг, дээрээс нь хязгаарлагдана – тойрог агуулсан аливаа олон өнцөгтийн талбай (ялангуяа тойрсон квадратын талбай, тэнцүү Д 2 ).

Дээрх (доор) хязгаарлагдсан аливаа багц нь хязгааргүй олон дээд (доод) нүүртэй байдаг. Тэгвэл бүх дээд хязгаараас хамгийн бага нь, доод хязгаарын хамгийн том нь байна уу?

Бид дугаар руу залгах болно дээр хязгаарлагдсан олонлогийн дээд хэмжээ АÌ Р , Хэрэв:

1. нь багцын дээд хязгааруудын нэг юм А ;

2. олонлогийн дээд хязгаарын хамгийн бага нь юм А . Өөрөөр хэлбэл бодит тоо олонлогийн дээд хэмжээ юм АÌ Р , Хэрэв:

Зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ

Үүнтэй ижил аргаар оруулна уу: – доор хязгаарлагдсан олонлогийн инфимум А болон холбогдох тэмдэглэгээ

Латинаар: supremum - хамгийн өндөр, infimum - хамгийн доод.

Багцын яг нүүр царай нь түүнд хамаарах эсвэл хамаарахгүй байж болно.

ТЕОРЕМ. Дээр (доод) хязгаарлагдсан бодит тоонуудын хоосон бус багц нь дээд (доод) хүрээтэй байна.

Бид энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөх болно. Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь дээд хязгаарыг 100 тоо, доод хязгаарыг 10 гэж үзэж болно. Хэрэв, тэгвэл. Хоёрдахь жишээнд яг хил хязгаар нь энэ багцад хамаарахгүй.

Бодит тоонуудын олонлог дээр алгебрийн болон трансцендентал тооны хоёр салангид дэд олонлогийг ялгаж болно.

АЛГЕБРИЙН ТООО гэдэг нь олон гишүүнтийн үндэс болох тоо юм

хэний коэффициентүүд – бүхэл тоо.

Дээд алгебрийн хувьд олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурын олонлог нь төгсгөлтэй бөгөөд n-тэй тэнцүү болохыг баталсан. (Цогцолбор тоо нь бодит тоонуудын ерөнхий дүгнэлт юм). Алгебрийн тооны багцыг тоолж болно . Энэ нь маягтын тооноос хойш бүх оновчтой тоог агуулдаг

тэгшитгэлийг хангана

Мөн рационал тоонуудын радикал биш алгебрийн тоо байдаг нь батлагдсан. Энэхүү маш чухал үр дүн нь радикалуудын дөрвөөс дээш зэрэгтэй тэгшитгэлийн шийдлийг олох гэсэн үр дүнгүй оролдлогыг зогсоов. Энэ асуудлыг судалсан алгебрчдын олон зуун жилийн эрэл хайгуулыг Францын математикч Э.Галуа 21 настайдаа утгагүй байдлаар таалал төгссөнийг нэгтгэн дүгнэжээ. Түүний шинжлэх ухааны бүтээлүүд ердөө 60 хуудастай ч математикийн хөгжилд оруулсан гайхалтай хувь нэмэр байв.

Энэ шинжлэх ухаанд хүсэл тэмүүлэлтэй, хяналтгүй дуртай залуу тэр үед Францын хамгийн нэр хүндтэй боловсролын байгууллагад орохыг хоёр удаа оролдсон. – Политехникийн сургууль – амжилтгүй. Давуу эрхтэй дээд сургуульд сурч эхэлсэн – захиралтай зөрчилдсөний улмаас хөөгдсөн. Луис Филиппийн эсрэг үг хэлснийхээ дараа улс төрийн хоригдол болсон тэрээр шоронгоос Парисын Шинжлэх Ухааны Академид радикалуудын тэгшитгэлийн шийдлийн судалгаа бүхий гар бичмэлийг шилжүүлжээ. Академи энэ ажлыг үгүйсгэв. Дуэльд учирсан утгагүй үхэл энэ ер бусын хүний ​​амьдралыг дуусгав.

Бодит болон алгебрийн тооны олонлогуудын зөрүү болох олонлогийг ТРАНЦЕНДЕНТ ТООНуудын олонлог гэнэ. . Трансценденталь тоо бүр бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс болж чадахгүй нь ойлгомжтой.

Үүний зэрэгцээ аливаа бие даасан тооноос давж гарах чадварыг нотлох нь асар их бэрхшээл учруулсан.

Зөвхөн 1882 онд Кенигсбергийн их сургуулийн профессор Ф.Линдеман тооны давж гарсныг нотолж чадсан бөгөөд үүнээс тойргийг квадрат болгох асуудлыг шийдэх боломжгүй гэдэг нь тодорхой болсон. Луужин ба захирагч ашиглан өгөгдсөн тойргийн талбай). Алгебр, анализ, геометрийн санаанууд бие биедээ нэвтэрч байгааг бид харж байна.

Бодит тооны аксиоматик танилцуулга нь цорын ганц зүйлээс хол байна. Эдгээр тоонуудыг рационал ба иррационал тооны олонлогийг нэгтгэх эсвэл хязгааргүй аравтын бутархай хэлбэрээр эсвэл рационал тооны олонлогийг таслах замаар оруулж болно.

*1) Энэхүү материалыг номын 7-р бүлгээс авсан болно.

Л.И. Лури ДЭЭД МАТЕМАТИКИЙН ҮНДЭС / Сурах бичиг / М.: "Дашков ба Ко" хэвлэлийн болон худалдааны корпораци, - 2003, - 517 П.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 5

✪ Бодит тооны аксиоматик

✪ Танилцуулга. Бодит тоо | матан #001 | Борис Трушин +

✪ Үүрлэсэн сегментийн зарчим | матан #003 | Борис Трушин!

✪ Тасралтгүй байдлын янз бүрийн зарчим | матан #004 | Борис Трушин!

✪ Тасралтгүй байдлын аксиом. Канторын үүрлэсэн шороог зарчим

Хадмал орчуулга

Тасралтгүй байдлын аксиом

Дараах өгүүлбэр нь бодит тоонуудын тасралтгүй байдлын шинж чанарыг ашиглахад хамгийн хялбар бөгөөд тохиромжтой томъёолол байж магадгүй юм. Бодит тооны онолын аксиоматик бүтцэд энэ мэдэгдэл буюу түүнтэй дүйцэхүйц нь бодит тооны аксиомуудад багтах нь гарцаагүй.

Тасралтгүй байдлын аксиом (бүрэн байдал). A ⊂ R (\ displaystyle A\ дэд олонлог \ mathbb (R) )Тэгээд B ⊂ R (\ displaystyle B \ дэд олонлог \ mathbb (R) )тэгш бус байдал хэвээр байгаа бол ийм бодит тоо байна ξ (\displaystyle \xi)энэ нь хүн бүрт зориулагдсан a ∈ A (\displaystyle a\in A)Тэгээд b ∈ B (\ displaystyle b\ in B)харилцаа байдаг

Геометрийн хувьд, хэрэв бид бодит тоог шулуун дээрх цэгүүд гэж үзвэл энэ мэдэгдэл тодорхой юм шиг санагддаг. Хэрэв хоёр багц бол A (\displaystyle A)Тэгээд B (\displaystyle B)тоон шулуун дээр тэдгээрийн аль нэгнийх нь бүх элементүүд хоёр дахь хэсгийн бүх элементүүдийн зүүн талд байхаар тоо байна. ξ (\displaystyle \xi), хуваахэдгээр хоёр багц, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийн баруун талд хэвтэж байна A (\displaystyle A)(магадгүй нэгээс бусад нь). ξ (\displaystyle \xi)) болон бүх элементийн зүүн талд B (\displaystyle B)(ижил татгалзал).

Энэ өмчийн "илэрхий" хэдий ч оновчтой тоонуудын хувьд энэ нь үргэлж үнэн байдаггүй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Жишээлбэл, хоёр багцыг авч үзье:

Аливаа элементийн хувьд үүнийг харахад хялбар байдаг a ∈ A (\displaystyle a\in A)Тэгээд b ∈ B (\ displaystyle b\ in B)тэгш бус байдал бий а< b {\displaystyle a. Гэсэн хэдий ч оновчтойтоо ξ (\displaystyle \xi), эдгээр хоёр багцыг салгах нь байхгүй. Үнэн хэрэгтээ энэ тоо зөвхөн байж болно 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), гэхдээ энэ нь оновчтой биш юм.

Математик анализыг бий болгоход тасралтгүй байдлын аксиомын үүрэг

Тасралтгүй байдлын аксиомын утга учир нь үүнгүйгээр математик анализын нарийн бүтэцтэй байх боломжгүй юм. Үүнийг харуулахын тулд бид хэд хэдэн үндсэн шинжилгээний мэдэгдлийг танилцуулж байгаа бөгөөд үүний нотолгоо нь бодит тоонуудын тасралтгүй байдал дээр үндэслэсэн болно.

• (Вейерштрассын теорем).Хязгаарлагдмал монотон нэмэгдэж буй дараалал бүр нийлдэг
• (Болзано-Коши теорем).Сегмент дээр үргэлжилсэн функц нь төгсгөлд нь өөр өөр тэмдгийн утгыг авч сегментийн зарим дотоод цэг дээр алга болдог.
• (Тодорхойлолтын "байгалийн" домайн даяар хүч, экспоненциал, логарифм болон бүх тригонометрийн функцүүдийн оршин тогтнох).Жишээлбэл, энэ нь хүн бүрт нотлогдсон a > 0 (\displaystyle a>0)болон бүхэлд нь n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1)байдаг a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн шийдэл x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). Энэ нь бүх оновчтой илэрхийллийн утгыг тодорхойлох боломжийг танд олгоно x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\баруун)^(м))

Эцэст нь, тооны шугамын тасралтгүй байдлын ачаар бид илэрхийллийн утгыг тодорхойлж чадна a x (\displaystyle a^(x))аль хэдийн дур зоргоороо x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). Үүний нэгэн адил тасралтгүй байдлын шинж чанарыг ашиглан тоо байгаа эсэхийг нотолсон болно log a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b))ямар ч хувьд a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Түүхэн урт хугацааны туршид математикчид теоремуудыг геометрийн үндэслэлтэй холбоотой "нарийн газруудад" шинжилгээгээр нотолсон бөгөөд энэ нь илт байсан тул ихэнхдээ алгассан байдаг. Тасралтгүй байдлын хамгийн чухал ойлголтыг тодорхой тодорхойлолтгүйгээр ашигласан. Зөвхөн 19-р зууны сүүлийн гуравны нэгд л Германы математикч Карл Вейерштрасс анализыг арифметичилснээр бодит тооны анхны хатуу онолыг хязгааргүй аравтын бутархай болгон бүтээжээ. Тэрээр хэл дээрх хязгаарлалтын сонгодог тодорхойлолтыг санал болгосон ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta ), түүний өмнө "илэрхий" гэж үзсэн хэд хэдэн мэдэгдлийг баталж, улмаар математик анализын суурийг барьж дуусгасан.

Хожим нь бодит тоог тодорхойлох өөр аргуудыг санал болгосон. Аксиоматик хандлагад бодит тоонуудын тасралтгүй байдлыг тусад нь аксиом болгон тодорхой зааж өгсөн байдаг. Бодит тооны онолын конструктив хандлагад, жишээлбэл, Дедекинд хэсгүүдийг ашиглан бодит тоог бүтээхдээ тасралтгүй байдлын шинж чанарыг (нэг хэлбэрээр эсвэл өөр хэлбэрээр) теоремоор нотолсон байдаг.

Тасралтгүй байдлын шинж чанарын бусад томъёолол ба түүнтэй адилтгах өгүүлбэрүүд

Бодит тоонуудын тасралтгүй байдлын шинж чанарыг илэрхийлсэн хэд хэдэн өөр өөр мэдэгдлүүд байдаг. Эдгээр зарчим бүрийг тасралтгүй байдлын аксиом болгон бодит тооны онолыг бий болгох үндэс болгон ашиглаж болох ба бусад бүх зарчмыг үүнээс гаргаж авч болно. Энэ асуудлыг дараагийн хэсэгт илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Дедекинд дагуу тасралтгүй байдал

Дедекинд "Тасралтгүй байдал ба иррационал тоо" бүтээлдээ бодит тоонуудын тасралтгүй байдлын асуудлыг авч үздэг. Үүнд тэрээр рационал тоог шулуун шугамын цэгүүдтэй харьцуулдаг. Мэдэгдэж байгаагаар шугаман дээрх сегментүүдийн эхлэл ба хэмжих нэгжийг сонгохдоо рационал тоо ба цэгүүдийн хоорондох захидал харилцааг тогтоож болно. Рационал тоо бүрийн хувьд сүүлийнхийг ашиглана a (\displaystyle a)харгалзах сегментийг байгуулж, байгаа эсэхээс хамааран баруун эсвэл зүүн талд байрлуулна a (\displaystyle a)эерэг эсвэл сөрөг тоо, оноо авах p (\displaystyle p), тоотой тохирч байна a (\displaystyle a). Тиймээс оновчтой тоо бүрийн хувьд a (\displaystyle a)нэг бөгөөд зөвхөн нэг цэг таарч байна p (\displaystyle p)шулуун шугам дээр.

Шулуун дээр ямар ч рационал тоотой тохирохгүй хязгааргүй олон цэгүүд байгаа нь харагдаж байна. Жишээлбэл, нэгж сегмент дээр баригдсан дөрвөлжингийн диагоналын уртыг зурах замаар олж авсан цэг. Тиймээс рационал тооны мужид тийм зүйл байхгүй бүрэн байдал, эсвэл тасралтгүй байдал, энэ нь шулуун шугамд байдаг.

Энэ залгамж чанар юунаас бүрддэгийг мэдэхийн тулд Дедекинд дараах тайлбарыг хийжээ. Хэрэв p (\displaystyle p)шугаман дээр тодорхой цэг байгаа бол шугам дээрх бүх цэгүүд хоёр ангилалд хуваагдана: зүүн талд байрлах цэгүүд p (\displaystyle p), мөн баруун талд байрлах цэгүүд p (\displaystyle p). Яг ижил цэг p (\displaystyle p)доод, дээд зэрэглэлийн аль алинд нь дур мэдэн хуваарилж болно. Дедекинд тасралтгүй байдлын мөн чанарыг урвуу зарчмаар хардаг.

Геометрийн хувьд энэ зарчим ойлгомжтой мэт боловч бид үүнийг баталж чадахгүй байна. Энэхүү зарчим нь үндсэндээ бидний залгамж чанар гэж нэрлэгддэг шууд өмчийн мөн чанарыг илэрхийлдэг постулат гэдгийг Дедекинд онцолжээ.

Тооны шугамын тасралтгүй байдлын мөн чанарыг Дедекинд гэдэг утгаараа илүү сайн ойлгохын тулд бодит тооны олонлогийн дурын хэсгийг, өөрөөр хэлбэл бүх бодит тоог хоосон бус хоёр ангид хуваахыг авч үзье. Нэг ангийнх нь хоёрдугаар ангийн бүх тоонуудын зүүн талд байрлах тооны шулуун дээр байрладаг. Эдгээр ангиудыг зохих ёсоор нэрлэсэн доогуурТэгээд дээд ангиудхэсгүүд. Онолын хувьд 4 боломж байдаг:

1. Доод анги нь хамгийн их элементтэй, дээд ангид хамгийн бага нь байдаггүй
2. Доод ангид хамгийн их элемент байдаггүй, харин дээд ангид хамгийн бага байдаг
3. Доод анги нь хамгийн их, дээд анги нь хамгийн бага элементтэй
4. Доод ангид максимум, дээд ангид хамгийн бага элемент байхгүй

Эхний болон хоёр дахь тохиолдолд доод хэсгийн хамгийн их элемент эсвэл дээд талын хамгийн бага элемент нь энэ хэсгийг үүсгэдэг. Гурав дахь тохиолдолд бидэнд байна харайх, дөрөв дэх нь - орон зай. Тиймээс тооны шугамын тасралтгүй байдал нь бодит тоонуудын багцад үсрэлт, цоорхой байхгүй, өөрөөр хэлбэл, хоосон зай байхгүй гэсэн үг юм.

Энэ санал нь мөн Дедекиндийн тасралтгүй байх зарчимтай дүйцэхүйц байна. Түүнээс гадна дээд теоремын мэдэгдэл нь инфимум теоремын мэдэгдлээс шууд дагалддаг ба эсрэгээр (доороос харна уу) гэдгийг харуулж болно.

Хязгаарлагдмал хамрах лемма (Хейн-Борелийн зарчим)

Хязгаарлагдмал хавтас Лемма (Хейн - Борел). Сегментийг хамарсан интервалын аль ч системд энэ сегментийг хамарсан хязгаарлагдмал дэд систем байдаг.

Хязгаарын цэгийн лемма (Болзано-Вейерштрассын зарчим)

Хязгаарлалтын цэгийн лемма (Болзано - Вейерштрасс). Хязгаарлагдмал тооны багц бүр дор хаяж нэг хязгаартай байдаг.. Хоёр дахь бүлэг нь бодит тоонуудын багц нь , эрэмбийн хамаарал нь талбайн үндсэн үйлдлүүдтэй нийцэж байгааг илэрхийлдэг. Тиймээс эхний болон хоёрдугаар бүлгийн аксиомууд нь бодит тоонуудын багц нь эрэмбэлэгдсэн талбарыг төлөөлдөг гэсэн үг юм. Гурав дахь бүлэг аксиомууд нь нэг аксиомоос бүрддэг - тасралтгүй байдлын (эсвэл бүрэн байдлын) аксиом.

Бодит тоонуудын тасралтгүй байдлын янз бүрийн томъёоллын тэнцлийг харуулахын тулд эдгээр мэдэгдлийн аль нэг нь эрэмбэлэгдсэн талбарт тохирч байвал бусад бүхний хүчинтэй байдал үүнээс хамаарна гэдгийг батлах шаардлагатай.

Теорем. Дурын шугаман дараалалтай олонлог байцгаая. Дараах мэдэгдлүүд нь тэнцүү байна:

1. Ямар ч хоосон бус багц болон B ⊂ R (\ displaystyle B \ дэд олонлог (\ mathsf (R))), ямар ч хоёр элементийн хувьд a ∈ A (\displaystyle a\in A)Тэгээд b ∈ B (\ displaystyle b\ in B)тэгш бус байдал бий a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b), ийм элемент байдаг ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R)))энэ нь хүн бүрт зориулагдсан a ∈ A (\displaystyle a\in A)Тэгээд b ∈ B (\ displaystyle b\ in B)харилцаа байдаг a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. Аль ч хэсгийн хувьд R (\ displaystyle (\ mathsf (R)))энэ хэсгийг үүсгэгч элемент байдаг
3. Дээр хязгаарлагдсан ямар ч хоосон бус багц A ⊂ R (\ displaystyle A \ дэд олонлог (\ mathsf (R)))дээд талтай
4. Доороос хязгаарлагдсан ямар ч хоосон бус олонлог A ⊂ R (\ displaystyle A \ дэд олонлог (\ mathsf (R)))инфимумтай

Энэ теоремоос харахад эдгээр дөрвөн өгүүлбэрт зөвхөн байгаа зүйлийг л ашигладаг R (\ displaystyle (\ mathsf (R)))шугаман дарааллын хамаарлыг нэвтрүүлсэн бөгөөд талбайн бүтцийг ашиглаагүй. Тиймээс тус бүр нь өмч хөрөнгийг илэрхийлдэг R (\ displaystyle (\ mathsf (R)))шугаман эрэмбэлэгдсэн олонлог хэлбэрээр. Энэ шинж чанарыг (заавал бодит тоонуудын багц биш дурын шугаман дараалсан олонлогийн) гэж нэрлэдэг. Дедекинд хэлснээр тасралтгүй байдал буюу бүрэн бүтэн байдал.

Бусад өгүүлбэрүүдийн дүйцэхүйц байдлыг нотлоход аль хэдийн талбарын бүтэц байх шаардлагатай.

Теорем. Болъё R (\ displaystyle (\ mathsf (R)))- дур зоргоороо эрэмбэлэгдсэн талбар. Дараах өгүүлбэрүүд нь тэнцүү байна.

Сэтгэгдэл. Теоремоос харахад үүрлэсэн сегментүүдийн зарчим нь өөрөө юм тэнцүү бишДедекиндийн тасралтгүй байх зарчим. Дедекиндийн тасралтгүй байдлын зарчмаас үүрлэсэн сегментүүдийн зарчим гарч ирдэг боловч эсрэгээр нь дараалсан талбарыг нэмэлтээр шаардах шаардлагатай.

Төлөвлөгөө:

Оршил

• 1 Тасралтгүй байдлын аксиом
• 2 Математик анализыг бий болгоход тасралтгүй байдлын аксиомын үүрэг
• 3 Тасралтгүй байдлын шинж чанарын бусад томъёолол ба түүнтэй адилтгах өгүүлбэрүүд
  • 3.1 Дедекинд дагуу тасралтгүй байдал
  • 3.2 Үүрлэсэн сегментүүд дээрх лемма (Коши-Канторын зарчим)
  • 3.3 Хамгийн дээд зарчим
  • 3.4 Хязгаарлагдмал хамрах лемма (Хейн-Борелийн зарчим)
  • 3.5 Хязгаарын цэгийн лемма (Болзано-Вейерштрассын зарчим)
• 4 Бодит тооны олонлогийн тасралтгүй байдлыг илэрхийлсэн өгүүлбэрүүдийн тэнцүү байдал
Тэмдэглэл
Уран зохиол

Оршил

Бодит тоонуудын тасралтгүй байдал- рационал тоонуудын багцад байдаггүй бодит тооны системийн шинж чанар. Заримдаа тасралтгүй байдлын оронд тэд ярьдаг бодит тооны системийн бүрэн байдал. Тасралтгүй байдлын шинж чанарын хэд хэдэн өөр өөр томъёолол байдаг бөгөөд тэдгээрийн хамгийн алдартай нь: Бодит тооны тасралтгүй байдлын Дедекиндийн зарчим, Коши-Канторын үүрлэсэн интервалын зарчим, дээд теорем. Бодит тооны хүлээн зөвшөөрөгдсөн тодорхойлолтоос хамааран тасралтгүй байдлын шинж чанарыг аль нэг томъёололд аксиом гэж үзэх эсвэл теоремоор нотлох боломжтой.

1. Тасралтгүй байдлын аксиом

Дараах өгүүлбэр нь бодит тоонуудын тасралтгүй байдлын шинж чанарыг ашиглахад хамгийн хялбар бөгөөд тохиромжтой томъёолол байж магадгүй юм. Бодит тооны онолын аксиоматик бүтцэд энэ мэдэгдэл буюу түүнтэй дүйцэхүйц нь бодит тооны аксиомын тоонд багтах нь гарцаагүй.

Тасралтгүй байдлын аксиомын геометрийн дүрслэл

Тасралтгүй байдлын аксиом (бүрэн байдал). Ямар ч хоосон бус олонлогууд ба ямар ч хоёр элемент болон тэгш бус байдлын хувьд бүгдэд болон хамаарал нь биелэх ξ тоо байдаг.

Геометрийн хувьд, хэрэв бид бодит тоог шулуун дээрх цэгүүд гэж үзвэл энэ мэдэгдэл тодорхой юм шиг санагддаг. Хэрэв хоёр багц бол АТэгээд Бтоон шулуун дээр тэдгээрийн аль нэгнийх нь бүх элементүүд хоёр дахь хэсгийн бүх элементүүдийн зүүн талд байрладаг бол ξ тоо байна, хуваахэдгээр хоёр багц, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийн баруун талд хэвтэж байна А(Магадгүй ξ өөрөөс бусад) болон бүх элементүүдийн зүүн талд Б(ижил татгалзал).

Энэ өмчийн "илэрхий" хэдий ч оновчтой тоонуудын хувьд энэ нь үргэлж үнэн байдаггүй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Жишээлбэл, хоёр багцыг авч үзье:

Үүнийг ямар ч элемент ба тэгш бус байдлын хувьд харахад хялбар байдаг а < б. Гэсэн хэдий ч оновчтойэнэ хоёр багцыг тусгаарлах ξ тоо байхгүй. Үнэн хэрэгтээ энэ тоо зөвхөн байж болно, гэхдээ энэ нь оновчтой биш юм.

2. Математик анализыг бүтээхэд тасралтгүй байдлын аксиомын үүрэг

Тасралтгүй байдлын аксиомын ач холбогдол нь үүнгүйгээр математик анализын нарийн бүтэцтэй байх боломжгүй юм. Үүнийг харуулахын тулд бид хэд хэдэн үндсэн шинжилгээний мэдэгдлийг танилцуулж байгаа бөгөөд үүний нотолгоо нь бодит тоонуудын тасралтгүй байдал дээр үндэслэсэн болно.

Эцэст нь, тооны шугамын тасралтгүй байдлын ачаар бид илэрхийллийн утгыг тодорхойлж чадна а xаль хэдийн дур зоргоороо. Үүний нэгэн адил, тасралтгүй байдлын шинж чанарыг ашиглан бид тооны бүртгэл байгаа эсэхийг нотолж байна а бямар ч .

Түүхэн урт хугацааны туршид математикчид теоремуудыг геометрийн үндэслэлтэй холбоотой "нарийн газруудад" дүн шинжилгээ хийх замаар нотолсон бөгөөд ихэнхдээ энэ нь тодорхой байсан тул тэдгээрийг бүрмөсөн алгасдаг. Тасралтгүй байдлын хамгийн чухал ойлголтыг тодорхой тодорхойлолтгүйгээр ашигласан. Зөвхөн 19-р зууны сүүлийн гуравны нэгд л Германы математикч Карл Вейерштрасс анализыг арифметичилснээр бодит тооны анхны хатуу онолыг хязгааргүй аравтын бутархай болгон бүтээжээ. Тэрээр хэл дээрх хязгаарлалтын сонгодог тодорхойлолтыг санал болгож, түүний өмнө "илэрхий" гэж тооцогддог байсан хэд хэдэн мэдэгдлийг нотлон харуулж, улмаар математик анализын үндэс суурийг барьж дуусгав.

Хожим нь бодит тоог тодорхойлох өөр аргуудыг санал болгосон. Аксиоматик хандлагад бодит тоонуудын тасралтгүй байдлыг тусад нь аксиом болгон тодорхой зааж өгсөн байдаг. Бодит тооны онолын конструктив хандлагад, жишээлбэл, Дедекинд хэсгүүдийг ашиглан бодит тоог бүтээхдээ тасралтгүй байдлын шинж чанарыг (нэг хэлбэрээр эсвэл өөр хэлбэрээр) теоремоор нотолсон байдаг.

3. Тасралтгүй байдлын шинж чанарын бусад томъёолол ба түүнтэй адилтгах өгүүлбэрүүд

Бодит тоонуудын тасралтгүй байдлын шинж чанарыг илэрхийлсэн хэд хэдэн өөр өөр мэдэгдлүүд байдаг. Эдгээр зарчим бүрийг тасралтгүй байдлын аксиом болгон бодит тооны онолыг бий болгох үндэс болгон ашиглаж болох ба бусад бүх зарчмыг үүнээс гаргаж авч болно. Энэ асуудлыг дараагийн хэсэгт илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

3.1. Дедекинд дагуу тасралтгүй байдал

Дедекинд "Тасралтгүй байдал ба иррационал тоо" бүтээлдээ бодит тоонуудын тасралтгүй байдлын асуудлыг авч үздэг. Үүнд тэрээр рационал тоог шулуун шугамын цэгүүдтэй харьцуулдаг. Мэдэгдэж байгаагаар шугаман дээрх сегментүүдийн эхлэл ба хэмжих нэгжийг сонгохдоо рационал тоо ба цэгүүдийн хоорондох захидал харилцааг тогтоож болно. Рационал тоо бүрийн хувьд сүүлийнхийг ашиглана ахаргалзах сегментийг байгуулж, байгаа эсэхээс хамааран баруун эсвэл зүүн талд байрлуулна аэерэг эсвэл сөрөг тоо, оноо авах х, тоотой тохирч байна а. Тиймээс оновчтой тоо бүрийн хувьд анэг бөгөөд зөвхөн нэг цэг таарч байна хшулуун шугам дээр.

Шулуун дээр ямар ч оновчтой тоонд тохирохгүй хязгааргүй олон цэгүүд байгаа нь харагдаж байна. Жишээлбэл, нэгж сегмент дээр баригдсан дөрвөлжингийн диагоналын уртыг зурах замаар олж авсан цэг. Тиймээс рационал тооны мужид тийм зүйл байхгүй бүрэн байдал, эсвэл тасралтгүй байдал, энэ нь шулуун шугамд байдаг.

Энэ залгамж чанар юунаас бүрддэгийг мэдэхийн тулд Дедекинд дараах тайлбарыг хийжээ. Хэрэв хшугаман дээр тодорхой цэг байгаа бол шугам дээрх бүх цэгүүд хоёр ангилалд хуваагдана: зүүн талд байрлах цэгүүд х, мөн баруун талд байрлах цэгүүд х. Яг ижил цэг хдоод, дээд зэрэглэлийн аль алинд нь дур мэдэн хуваарилж болно. Дедекинд тасралтгүй байдлын мөн чанарыг урвуу зарчмаар хардаг.

Геометрийн хувьд энэ зарчим ойлгомжтой мэт боловч бид үүнийг баталж чадахгүй байна. Үндсэндээ энэ зарчим нь бидний залгамж чанар гэж нэрлэгддэг шууд хамааралтай шинж чанарын мөн чанарыг илэрхийлсэн постулат гэдгийг Дедекинд онцолжээ.

Тооны шугамын тасралтгүй байдлын мөн чанарыг Дедекинд гэдэг утгаараа илүү сайн ойлгохын тулд бодит тооны олонлогийн дурын хэсгийг, өөрөөр хэлбэл бүх бодит тоог хоосон бус хоёр ангид хуваахыг авч үзье. Нэг ангийнх нь хоёрдугаар ангийн бүх тоонуудын зүүн талд байрлах тооны шулуун дээр байрладаг. Эдгээр ангиудыг зохих ёсоор нэрлэсэн доогуурТэгээд дээд ангиудхэсгүүд. Онолын хувьд 4 боломж байдаг:

1. Доод анги нь хамгийн их элементтэй, дээд ангид хамгийн бага нь байдаггүй
2. Доод ангид хамгийн их элемент байдаггүй, харин дээд ангид хамгийн бага байдаг
3. Доод анги нь хамгийн их, дээд анги нь хамгийн бага элементтэй
4. Доод ангид максимум, дээд ангид хамгийн бага элемент байхгүй

Эхний болон хоёр дахь тохиолдолд доод хэсгийн хамгийн их элемент эсвэл дээд талын хамгийн бага элемент нь энэ хэсгийг үүсгэдэг. Гурав дахь тохиолдолд бидэнд байна харайх, дөрөв дэх нь - орон зай. Тиймээс тооны шугамын тасралтгүй байдал нь бодит тоонуудын багцад үсрэлт, цоорхой байхгүй, өөрөөр хэлбэл, хоосон зай байхгүй гэсэн үг юм.

Хэрэв бид бодит тооны багцын хэсгийн тухай ойлголтыг танилцуулбал Дедекиндийн тасралтгүй байдлын зарчмыг дараах байдлаар томъёолж болно.

Дедекиндийн тасралтгүй байдлын зарчим (бүрэн байдал). Бодит тооны багцын хэсэг бүрийн хувьд энэ хэсгийг үүсгэдэг тоо байдаг.

Сэтгэгдэл. Тасралтгүй байдлын аксиомын хоёр олонлогийг тусгаарлах цэг оршин тогтнох тухай томъёолол нь Дедекиндийн тасралтгүй байдлын зарчмын томъёоллыг маш санагдуулдаг. Бодит байдал дээр эдгээр мэдэгдэл нь ижил төстэй бөгөөд үндсэндээ нэг зүйлийн өөр өөр томъёолол юм. Тиймээс эдгээр мэдэгдлийг хоёуланг нь нэрлэдэг Бодит тооны тасралтгүй байдлын Дедекиндийн зарчим.

3.2. Үүрлэсэн сегментүүд дээрх лемма (Коши-Канторын зарчим)

Үүрлэсэн сегментүүд дээрх лемма (Коши - Кантор). Ямар ч үүрлэсэн сегментийн систем

хоосон бус огтлолцолтой, өөрөөр хэлбэл тухайн системийн бүх сегментэд хамаарах дор хаяж нэг тоо байна.

Нэмж дурдахад тухайн системийн сегментүүдийн урт тэг байх хандлагатай байвал өөрөөр хэлбэл

дараа нь энэ системийн сегментүүдийн огтлолцол нэг цэгээс бүрдэнэ.

Энэ өмчийг нэрлэдэг Канторын утгаараа бодит тооны олонлогийн тасралтгүй байдал. Доор бид Архимедийн эрэмбэлэгдсэн талбаруудын хувьд Канторын дагуу тасралтгүй байдал нь Дедекиндийн дагуу үргэлжилсэнтэй тэнцэж байгааг харуулах болно.

3.3. Хамгийн дээд зарчим

Хамгийн дээд зарчим. Дээр хязгаарлагдсан бодит тоонуудын хоосон бус багц бүр дээд цэгтэй байна.

Тооцооллын хичээлд энэ санал нь ихэвчлэн теорем бөгөөд түүний нотолгоо нь үндсэндээ бодит тооны олонлогийн тасралтгүй байдлыг ямар нэгэн хэлбэрээр ашигладаг. Үүний зэрэгцээ, эсрэгээр, дээр дурьдсан хоосон бус олонлогийн дээд хэмжээ байдаг гэж таамаглаж, үүн дээр тулгуурлан Дедекинд дагуу тасралтгүй байдлын зарчмыг нотлох боломжтой. Ийнхүү дээд теорем нь бодит тоонуудын тасралтгүй байдлын шинж чанарын эквивалент томъёоллын нэг юм.

Сэтгэгдэл. Supremum-ийн оронд хүн infimum гэсэн давхар ойлголтыг ашиглаж болно.

Инфимумын зарчим. Доороос хязгаарлагдсан бодит тоонуудын хоосон бус олонлог бүр инфимумтай байдаг.

Энэ санал нь мөн Дедекиндийн тасралтгүй байх зарчимтай дүйцэхүйц байна. Түүнээс гадна дээд теоремын мэдэгдэл нь инфимум теоремын мэдэгдлээс шууд дагалддаг ба эсрэгээр (доороос харна уу) гэдгийг харуулж болно.

3.4. Хязгаарлагдмал хамрах лемма (Хейн-Борелийн зарчим)

Хязгаарлагдмал хавтас Лемма (Хейн - Борел). Сегментийг хамарсан интервалын аль ч системд энэ сегментийг хамарсан хязгаарлагдмал дэд систем байдаг.

3.5. Хязгаарын цэгийн лемма (Болзано-Вейерштрассын зарчим)

Хязгаарлалтын цэгийн лемма (Болзано - Вейерштрасс). Хязгаарлагдмал тооны багц бүр дор хаяж нэг хязгаартай байдаг.

4. Бодит тооны олонлогийн залгамж чанарыг илэрхийлсэн өгүүлбэрүүдийн тэнцүү байдал

Зарим урьдчилсан дүгнэлт хийцгээе. Бодит тооны аксиоматик тодорхойлолтын дагуу бодит тооны олонлог нь гурван бүлгийн аксиомыг хангадаг. Эхний бүлэг нь талбайн аксиомууд юм. Хоёр дахь бүлэг нь бодит тооны олонлог нь шугаман эрэмбэлэгдсэн олонлог бөгөөд эрэмбийн хамаарал нь талбайн үндсэн үйлдлүүдтэй нийцэж байгааг илэрхийлдэг. Тиймээс эхний болон хоёрдугаар бүлгийн аксиомууд нь бодит тоонуудын багц нь эрэмбэлэгдсэн талбарыг төлөөлдөг гэсэн үг юм. Гурав дахь бүлэг аксиомууд нь нэг аксиомоос бүрддэг - тасралтгүй байдлын (эсвэл бүрэн байдлын) аксиом.

Бодит тоонуудын тасралтгүй байдлын янз бүрийн томъёоллын тэнцлийг харуулахын тулд эдгээр мэдэгдлийн аль нэг нь эрэмбэлэгдсэн талбарт тохирч байвал бусад бүхний хүчинтэй байдал үүнээс хамаарна гэдгийг батлах шаардлагатай.

Теорем. Дурын шугаман дараалалтай олонлог байцгаая. Дараах мэдэгдлүүд нь тэнцүү байна:

Энэ теоремоос харахад эдгээр дөрвөн өгүүлбэрт зөвхөн шугаман эрэмбийн хамаарлыг нэвтрүүлсэн баримтыг ашигласан бөгөөд талбайн бүтцийг ашиглаагүй болно. Тиймээс тэдгээр нь тус бүр нь шинж чанарыг шугаман дараалсан олонлог хэлбэрээр илэрхийлдэг. Энэ шинж чанарыг (заавал бодит тоонуудын багц биш дурын шугаман дараалсан олонлогийн) гэж нэрлэдэг. Дедекинд хэлснээр тасралтгүй байдал буюу бүрэн бүтэн байдал.

Бусад өгүүлбэрүүдийн дүйцэхүйц байдлыг нотлоход аль хэдийн талбарын бүтэц байх шаардлагатай.

Теорем. Дурын эрэмблэгдсэн талбар байцгаая. Дараах өгүүлбэрүүд нь тэнцүү байна.

Сэтгэгдэл. Теоремоос харахад үүрлэсэн сегментүүдийн зарчим нь өөрөө юм тэнцүү бишДедекиндийн тасралтгүй байх зарчим. Дедекиндийн тасралтгүй байдлын зарчмаас үүрлэсэн сегментийн зарчим гарч ирдэг, гэхдээ эсрэгээр нь эрэмбэлэгдсэн талбар нь Архимедийн аксиомыг хангасан байх шаардлагатай.

Дээрх теоремуудын нотолгоог доорх лавлах жагсаалтын номноос олж болно.

Тэмдэглэл

1. Зорих, В.А.Математик анализ. I хэсэг. - Эд. 4-р, илч. - М.: "MCNMO", 2002. - P. 43.
2. Жишээлбэл, бодит тооны аксиоматик тодорхойлолтоор Дедекиндийн тасралтгүй байдлын зарчмыг аксиомын тоонд багтаасан бөгөөд Дедекиндийн хэсгүүдийг ашиглан бодит тоог бодитойгоор тодорхойлсон тохиолдолд ижил мэдэгдэл нь аль хэдийн теорем болсон - жишээг үзнэ үү. Фихтэнголц, Г.М.
3. Кудрявцев, Л.Д.Математик анализын курс. - 5 дахь хэвлэл. - М.: “Тоодог”, 2003. - Т. 1. - С. 38.
4. Кудрявцев, Л.Д.Математик анализын курс. - 5 дахь хэвлэл. - М.: “Тоодог”, 2003. - Т. 1. - С. 84.
5. Зорих, В.А.Математик анализ. I хэсэг. - Эд. 4-р, илч. - М.: "MCNMO", 2002. - P. 81.
6. Дедекинд, Р.Тасралтгүй байдал ба иррационал тоо - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4 дэх шинэчилсэн хэвлэл. - Одесса: Матеис, 1923. - 44 х.

Уран зохиол

• Кудрявцев, Л.Д.Математик анализын курс. - 5 дахь хэвлэл. - М.: "Дрофа", 2003. - T. 1. - 704 х. - ISBN 5-7107-4119-1
• Фихтэнголц, Г.М.Математик анализын үндэс. - 7 дахь хэвлэл. - М.: “ФИЗМАТЛИТ”, 2002. - Т. 1. - 416 х. - ISBN 5-9221-0196-X
• Дедекинд, Р.Тасралтгүй байдал ба иррационал тоо - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4 дэх шинэчилсэн хэвлэл. - Одесса: Матеис, 1923. - 44 х. , Тюринг бүрэн байдал , Олонлогийг хуваах , Олонлогийн өөрчлөлт , Олонлогийн зэрэг .