Paprastųjų trupmenų atėmimas. Kaip išmokti atimti trupmenas su skirtingais vardikliais. Santrauka: bendra skaičiavimo schema

Šiame straipsnyje pradedamas operacijų su algebrinėmis trupmenomis tyrimas: išsamiai apsvarstysime tokias operacijas kaip algebrinių trupmenų pridėjimas ir atėmimas. Išanalizuokime algebrinių trupmenų su tuo pačiu ir skirtingu vardikliu pridėjimo ir atėmimo schemą. Sužinokime, kaip pridėti algebrinę trupmeną su polinomu ir kaip jas atimti. Naudodamiesi konkrečiais pavyzdžiais paaiškinsime kiekvieną žingsnį ieškant problemų sprendimo būdų.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sudėjimo ir atimties operacijos su lygiais vardikliais

Paprastųjų trupmenų pridėjimo schema taip pat taikoma algebrinėms trupmenoms. Žinome, kad pridėdami arba atimdami bendrąsias trupmenas su panašiais vardikliais, turite pridėti arba atimti jų skaitiklius, tačiau vardiklis išlieka toks pat.

Pavyzdžiui: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 ir 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Atitinkamai, algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklė parašyta panašiai:

1 apibrėžimas

Norėdami pridėti arba atimti algebrines trupmenas su panašiais vardikliais, turite atitinkamai pridėti arba atimti pradinių trupmenų skaitiklius ir vardiklį įrašyti nepakeistą.

Ši taisyklė leidžia daryti išvadą, kad algebrinių trupmenų pridėjimo arba atėmimo rezultatas yra nauja algebrinė trupmena (konkrečiu atveju: daugianario, mononario ar skaičiaus).

Pateiksime suformuluotos taisyklės taikymo pavyzdį.

1 pavyzdys

Pateikiamos algebrinės trupmenos: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 ir 3 - x · y x 2 · y - 2 . Būtina juos pridėti.

Sprendimas

Pradinėse trupmenose yra tie patys vardikliai. Pagal taisyklę atliksime duotųjų trupmenų skaitiklių sudėjimą, o vardiklį paliksime nepakeistą.

Sudėjus polinomus, kurie yra pradinių trupmenų skaitikliai, gauname: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Tada reikiama suma bus parašyta taip: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

Praktikoje, kaip ir daugeliu atvejų, sprendimas pateikiamas lygybių grandine, aiškiai parodanti visus sprendimo etapus:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Atsakymas: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Sudėjimo arba atimties rezultatas gali būti redukuojama trupmena, tokiu atveju optimalu ją sumažinti.

2 pavyzdys

Iš algebrinės trupmenos x x 2 - 4 · y 2 reikia atimti trupmeną 2 · y x 2 - 4 · y 2 .

Sprendimas

Pradinių trupmenų vardikliai yra lygūs. Atlikime operacijas su skaitikliais, būtent: iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrojo skaitiklį, tada parašykite rezultatą, palikdami vardiklį nepakeistą:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Matome, kad gauta trupmena yra redukuojama. Sumažinkime jį transformuodami vardiklį naudodami kvadrato skirtumo formulę:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Atsakymas: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Taikant tą patį principą, pridedamos arba atimamos trys ar daugiau algebrinių trupmenų su tais pačiais vardikliais. Pvz.:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Sudėjimo ir atimties operacijos su skirtingais vardikliais

Dar kartą pažvelkime į operacijų su paprastosiomis trupmenomis schemą: norėdami pridėti arba atimti paprastasis trupmenas su skirtingais vardikliais, turite jas suvesti į bendrą vardiklį, o tada pridėti gautas trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Pavyzdžiui, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 arba 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Taip pat pagal analogiją suformuluojame algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklę:

2 apibrėžimas

Norėdami pridėti arba atimti algebrines trupmenas su skirtingais vardikliais, turite:

• suvesti pradines trupmenas į bendrą vardiklį;
• atlikti gautų trupmenų su tais pačiais vardikliais sudėjimą arba atėmimą.

Akivaizdu, kad svarbiausia čia bus įgūdis sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio. Pažiūrėkime atidžiau.

Algebrinių trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Norint suvesti algebrines trupmenas į bendrą vardiklį, reikia atlikti identišką duotųjų trupmenų transformaciją, dėl kurios pradinių trupmenų vardikliai tampa vienodi. Čia optimalu naudoti šį algoritmą algebrinėms trupmenoms sumažinti iki bendro vardiklio:

• pirmiausia nustatome bendrąjį algebrinių trupmenų vardiklį;
• tada kiekvienai trupmenai randame papildomus veiksnius, bendrąjį vardiklį padalydami iš pradinių trupmenų vardikų;
• Paskutinis veiksmas – duotųjų algebrinių trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginti iš atitinkamų papildomų koeficientų.

Pateikiamos algebrinės trupmenos: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a ir a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Būtina juos suvesti į bendrą vardiklį.

Sprendimas

Mes veikiame pagal aukščiau pateiktą algoritmą. Nustatykime pradinių trupmenų bendrą vardiklį. Tam tikslui suskaidome duotųjų trupmenų vardiklius: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) ir 4 a 5 - 16 a 3 = 4 a 3 (a - 2) (a + 2). Iš čia galime parašyti bendrą vardiklį: 12 a 3 (a – 2) (a + 2).

Dabar turime rasti papildomų veiksnių. Rastą bendrą vardiklį pagal algoritmą padalinkime į pradinių trupmenų vardiklius:

• pirmajai trupmenai: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a - 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
• antrajai trupmenai: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (3 · a · (a - 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• trečiajai trupmenai: 12 a 3 (a - 2) (a + 2) : (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) = 3 .

Kitas žingsnis yra padauginti pateiktų trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš papildomų rastų faktorių:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 (a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a) 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

Atsakymas: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Taigi, mes sumažinome pradines trupmenas iki bendro vardiklio. Jei reikia, gautą rezultatą galite konvertuoti į algebrinių trupmenų formą, daugindami daugianario ir mononario skaitiklius ir vardiklius.

Paaiškinkime ir šį dalyką: optimalu rastą bendrą vardiklį palikti sandaugos pavidalu, jei reikia mažinti galutinę trupmeną.

Išsamiai išnagrinėjome pradinių algebrinių trupmenų sumažinimo iki bendro vardiklio schemą; dabar galime pradėti analizuoti trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo pavyzdžius.

4 pavyzdys

Pateikiamos algebrinės trupmenos: 1 - 2 x x 2 + x ir 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Būtina atlikti jų pridėjimo veiksmą.

Sprendimas

Pradinės trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia reikia suvesti jas į bendrą vardiklį. Skaičiuojame vardiklius: x 2 + x = x · (x + 1) , ir x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) , nes kvadratinio trinario šaknys x 2 + 3 x + 2šie skaičiai yra: - 1 ir - 2. Mes nustatome bendrą vardiklį: x (x + 1) (x + 2), tada papildomi veiksniai bus: x+2 Ir – x atitinkamai pirmai ir antrai frakcijoms.

Taigi: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) ir 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Dabar sudėkime trupmenas, kurias surinkome, į bendrą vardiklį:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Gautą frakciją galima sumažinti bendru koeficientu x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

Ir galiausiai gautą rezultatą užrašome algebrinės trupmenos pavidalu, vardiklyje pakeičiant sandaugą daugianario:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Trumpai užrašykime sprendimo procesą lygybių grandinės forma:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Atsakymas: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Atkreipkite dėmesį į šią detalę: prieš sudedant ar atimant algebrines trupmenas, jei įmanoma, patartina jas transformuoti, kad būtų supaprastintas.

5 pavyzdys

Būtina atimti trupmenas: 2 1 1 3 · x - 2 21 ir 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Sprendimas

Transformuokime pradines algebrines trupmenas, kad supaprastintume tolesnį sprendimą. Iš skliaustų paimkime vardiklyje esančių kintamųjų skaitinius koeficientus:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 ir 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Ši transformacija aiškiai davė mums naudos: aiškiai matome bendro veiksnio buvimą.

Iš viso atsisakykime skaitinių koeficientų vardikliuose. Norėdami tai padaryti, naudojame pagrindinę algebrinių trupmenų savybę: pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 3 4, o antrosios - iš - 1 2, tada gauname:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 ir 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Atlikime veiksmą, kuris leis mums atsikratyti trupmeninių koeficientų: gautas trupmenas padauginkite iš 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 ir - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Galiausiai atlikime problemos teiginyje reikalaujamą veiksmą – atimtį:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Atsakymas: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Algebrinių trupmenų ir daugianario sudėjimas ir atėmimas

Šis veiksmas taip pat susijęs su algebrinių trupmenų pridėjimu arba atėmimu: pirminį daugianarį reikia pavaizduoti kaip trupmeną, kurios vardiklis yra 1.

6 pavyzdys

Būtina pridėti daugianarį x 2–3 su algebrine trupmena 3 x x + 2.

Sprendimas

Parašykime daugianarį kaip algebrinę trupmeną, kurios vardiklis 1: x 2 - 3 1

Dabar galime atlikti sudėjimą pagal trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisyklę:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Atsakymas: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Trupmenos yra įprasti skaičiai, kurias taip pat galima sudėti ir atimti. Tačiau kadangi jie turi vardiklį, jiems reikalingos sudėtingesnės taisyklės nei sveikiesiems skaičiams.

Panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi trupmenos su vienodais vardikliais. Tada:

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą.

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios dalies skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vėl palikti vardiklį nepakeistą.

Kiekvienoje išraiškoje trupmenų vardikliai yra lygūs. Pagal trupmenų pridėjimo ir atėmimo apibrėžimą gauname:

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo: tiesiog sudedame arba atimame skaitiklius ir viskas.

Tačiau net ir atlikdami tokius paprastus veiksmus žmonės sugeba suklysti. Dažniausiai pamirštama, kad vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, juos pridedant, jie taip pat pradeda didėti, ir tai iš esmės neteisinga.

Atsikratyti blogo įpročio pridėti vardiklius yra gana paprasta. Išbandykite tą patį atimdami. Dėl to vardiklis bus lygus nuliui, o trupmena (staiga!) neteks prasmės.

Todėl atsiminkite kartą ir visiems laikams: sudėjus ir atimant vardiklis nesikeičia!

Daugelis žmonių taip pat daro klaidų pridėdami kelias neigiamas trupmenas. Kyla painiavos su ženklais: kur dėti minusą, o kur pliusą.

Šią problemą taip pat labai lengva išspręsti. Pakanka prisiminti, kad minusas prieš trupmenos ženklą visada gali būti perkeltas į skaitiklį – ir atvirkščiai. Ir, žinoma, nepamirškite dviejų paprastų taisyklių:

1. Plius prie minuso duoda minusą;
2. Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Pažvelkime į visa tai su konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju viskas paprasta, bet antruoju trupmenų skaitiklius pridėkime minusų:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi

Negalite tiesiogiai pridėti trupmenų su skirtingais vardikliais. Bent jau man šis metodas nežinomas. Tačiau pradines trupmenas visada galima perrašyti taip, kad vardikliai taptų vienodi.

Yra daug būdų konvertuoti trupmenas. Trys iš jų aptariami pamokoje „Trupmenų redukavimas į bendrą vardiklį“, todėl čia prie jų neapsiribosime. Pažvelkime į keletą pavyzdžių:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju trupmenas sumažiname iki bendro vardiklio, naudodami „kryžminio“ metodą. Antrajame ieškosime NOC. Atkreipkite dėmesį, kad 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Paskutiniai šių plėtimų veiksniai yra lygūs, o pirmieji yra santykinai pirminiai. Todėl LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Ką daryti, jei trupmena turi sveikąjį skaičių

Galiu jus pamaloninti: skirtingi vardikliai trupmenose nėra didžiausia blogybė. Daug daugiau klaidų pasitaiko, kai pridedamose trupmenose paryškinama visa dalis.

Žinoma, tokioms trupmenoms yra savi sudėjimo ir atimties algoritmai, tačiau jie yra gana sudėtingi ir reikalauja ilgo tyrimo. Geriau naudokite toliau pateiktą paprastą diagramą:

1. Konvertuokite visas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, į netinkamas. Gauname normalius terminus (net su skirtingais vardikliais), kurie apskaičiuojami pagal aukščiau aptartas taisykles;
2. Tiesą sakant, apskaičiuokite gautų trupmenų sumą arba skirtumą. Dėl to mes praktiškai rasime atsakymą;
3. Jei užduotyje reikėjo tik to, atliekame atvirkštinę transformaciją, t.y. Atsikratome netinkamos trupmenos paryškindami visą dalį.

Perėjimo prie netinkamų trupmenų ir visos dalies paryškinimo taisyklės išsamiai aprašytos pamokoje „Kas yra skaitinė trupmena“. Jei neprisimenate, būtinai pakartokite. Pavyzdžiai:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Čia viskas paprasta. Vardikliai kiekvienos išraiškos viduje yra lygūs, todėl belieka visas trupmenas paversti netinkamomis ir suskaičiuoti. Mes turime:

Norėdami supaprastinti skaičiavimus, paskutiniuose pavyzdžiuose praleidau keletą akivaizdžių žingsnių.

Maža pastaba apie du paskutinius pavyzdžius, kur atimamos trupmenos su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi. Minusas prieš antrąją trupmeną reiškia, kad atimama visa trupmena, o ne tik jos dalis.

Dar kartą perskaitykite šį sakinį, pažiūrėkite į pavyzdžius – ir pagalvokite. Čia pradedantieji daro daugybę klaidų. Jie mėgsta tokias problemas pateikti testuose. Taip pat keletą kartų su jais susidursite atliekant šios pamokos testus, kurie netrukus bus paskelbti.

Santrauka: bendra skaičiavimo schema

Baigdamas pateiksiu bendrą algoritmą, kuris padės rasti dviejų ar daugiau trupmenų sumą arba skirtumą:

1. Jei viena ar kelios trupmenos turi sveikąją dalį, konvertuokite šias trupmenas į netinkamas;
2. Suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį bet kokiu jums patogiu būdu (nebent, žinoma, tai padarė problemų autoriai);
3. Sudėkite arba atimkite gautus skaičius pagal trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimo ir atėmimo taisykles;
4. Jei įmanoma, sutrumpinkite rezultatą. Jei trupmena neteisinga, pasirinkite visą dalį.

Atminkite, kad geriau visą dalį paryškinti pačioje užduoties pabaigoje, prieš pat užrašant atsakymą.

Ši pamoka apims algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimą ir atėmimą. Mes jau žinome, kaip pridėti ir atimti bendrąsias trupmenas su skirtingais vardikliais. Norėdami tai padaryti, trupmenas reikia sumažinti iki bendro vardiklio. Pasirodo, algebrinės trupmenos laikosi tų pačių taisyklių. Tuo pačiu mes jau žinome, kaip sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio. Sudėti ir atimti trupmenas su skirtingais vardikliais yra viena iš svarbiausių ir sunkiausių temų 8 klasės kurse. Be to, ši tema atsiras daugelyje algebros kurso temų, kurias studijuosite ateityje. Pamokos metu išnagrinėsime algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles, taip pat analizuosime keletą tipiškų pavyzdžių.

Pažvelkime į paprasčiausią paprastųjų trupmenų pavyzdį.

1 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Prisiminkime trupmenų pridėjimo taisyklę. Norėdami pradėti, trupmenos turi būti sumažintos iki bendro vardiklio. Bendras paprastųjų trupmenų vardiklis yra mažiausias bendras kartotinis(LCM) iš pradinių vardiklių.

Apibrėžimas

Mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš abiejų skaičių ir .

Norėdami rasti LCM, turite įtraukti vardiklius į pirminius veiksnius, tada pasirinkti visus pirminius veiksnius, įtrauktus į abiejų vardiklių išplėtimą.

; . Tada skaičių LCM turi sudaryti du du ir du trejetukai: .

Suradę bendrą vardiklį, kiekvienai trupmenai reikia rasti papildomą koeficientą (iš tikrųjų bendrąjį vardiklį padalinkite iš atitinkamos trupmenos vardiklio).

Tada kiekviena trupmena dauginama iš gauto papildomo koeficiento. Gauname trupmenas su tais pačiais vardikliais, kurias išmokome sudėti ir atimti ankstesnėse pamokose.

Mes gauname: .

Atsakymas:.

Dabar panagrinėkime algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimą. Pirmiausia pažvelkime į trupmenas, kurių vardikliai yra skaičiai.

2 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Sprendimo algoritmas yra visiškai panašus į ankstesnį pavyzdį. Lengva rasti bendrą šių trupmenų vardiklį: ir papildomus kiekvienos iš jų veiksnius.

.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo algoritmas:

1. Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį.

2. Kiekvienai trupmenai raskite papildomų koeficientų (bendrąjį vardiklį padalydami iš duotosios trupmenos vardiklio).

3. Padauginkite skaitiklius iš atitinkamų papildomų koeficientų.

4. Sudėkite arba atimkite trupmenas, naudodamiesi trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklėmis.

Dabar panagrinėkime pavyzdį su trupmenomis, kurių vardiklyje yra raidžių išraiškos.

3 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Kadangi raidžių išraiškos abiejuose vardikliuose yra vienodos, turėtumėte rasti bendrą skaitmenų vardiklį. Galutinis bendras vardiklis atrodys taip: . Taigi šio pavyzdžio sprendimas atrodo taip:.

Atsakymas:.

4 pavyzdys. Atimti trupmenas: .

Sprendimas:

Jei negalite „apgauti“ rinkdamiesi bendrą vardiklį (negalite jo skaičiuoti ar naudoti sutrumpintų daugybos formulių), tuomet kaip bendrą vardiklį turite paimti abiejų trupmenų vardklių sandaugą.

Atsakymas:.

Apskritai, sprendžiant tokius pavyzdžius, sunkiausia užduotis yra rasti bendrą vardiklį.

Pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį.

5 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

Surasdami bendrą vardiklį, pirmiausia turite pabandyti apskaičiuoti pradinių trupmenų vardiklius (kad būtų supaprastintas bendrasis vardiklis).

Šiuo konkrečiu atveju:

Tada nesunku nustatyti bendrą vardiklį: .

Mes nustatome papildomus veiksnius ir išsprendžiame šį pavyzdį:

Atsakymas:.

Dabar nustatykime trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles.

6 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

Atsakymas:.

7 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

.

Atsakymas:.

Dabar panagrinėkime pavyzdį, kuriame pridedamos ne dvi, o trys trupmenos (juk sudėjimo ir atimties taisyklės didesniam trupmenų skaičiui išlieka tos pačios).

8 pavyzdys. Supaprastinti:.

Pastaba! Prieš rašydami galutinį atsakymą, pažiūrėkite, ar galite sutrumpinti gautą trupmeną.

Atimant trupmenas su panašiais vardikliais, pavyzdžiai:

,

,

Tinkamos trupmenos atėmimas iš vieneto.

Jei reikia iš tinkamo vieneto atimti trupmeną, vienetas paverčiamas netinkamosios trupmenos forma, jo vardiklis lygus atimtos trupmenos vardikliui.

Tinkamos trupmenos atėmimo iš vieneto pavyzdys:

Atimamos trupmenos vardiklis = 7 , t.y., vieną pavaizduojame kaip netinkamą trupmeną 7/7 ir atimame ją pagal trupmenų su panašiais vardikliais atėmimo taisyklę.

Tinkamos trupmenos atėmimas iš sveikojo skaičiaus.

Trupmenų atėmimo taisyklės - teisinga iš sveikojo skaičiaus (natūralus numeris):

• Duotas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, paverčiame netinkamomis. Gauname normalius terminus (nesvarbu, ar jie turi skirtingus vardiklius), kuriuos apskaičiuojame pagal aukščiau pateiktas taisykles;
• Toliau apskaičiuojame skirtumą tarp gautų trupmenų. Dėl to atsakymą beveik rasime;
• Atliekame atvirkštinę transformaciją, tai yra, atsikratome netinkamos trupmenos – trupmenoje pasirenkame visą dalį.

Iš sveikojo skaičiaus atimkite tinkamą trupmeną: pavaizduokite natūralųjį skaičių kaip mišrų skaičių. Tie. Paimame natūraliojo skaičiaus vienetą ir paverčiame jį netinkamos trupmenos forma, vardiklis yra toks pat kaip ir atimtosios trupmenos.

Trupmenų atėmimo pavyzdys:

Pavyzdyje vieną pakeitėme netinkama trupmena 7/7 ir vietoj 3 užrašėme mišrų skaičių ir iš trupmeninės dalies atėmėme trupmeną.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.

Arba kitaip tariant, atimant skirtingas trupmenas.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo taisyklė. Norint atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia reikia šias trupmenas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio (LCD) ir tik po to atlikti atimtį kaip ir su trupmenomis su tais pačiais vardikliais.

Kelių trupmenų bendras vardiklis yra LCM (mažiausias bendras kartotinis) natūraliuosius skaičius, kurie yra šių trupmenų vardikliai.

Dėmesio! Jei paskutinėje trupmenoje skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, tada trupmeną reikia sumažinti. Netinkama trupmena geriausiai vaizduojama kaip mišri trupmena. Atimties rezultato palikimas nesumažinant trupmenos, jei įmanoma, yra neišsamus pavyzdžio sprendimas!

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo tvarka.

• rasti visų vardiklių LCM;
• įdėti papildomų koeficientų visoms trupmenoms;
• padauginkite visus skaitiklius iš papildomo koeficiento;
• Gautas sandaugas įrašome į skaitiklį, po visomis trupmenomis pasirašydami bendrąjį vardiklį;
• atimkite trupmenų skaitiklius, bendrąjį vardiklį pažymėdami po skirtumu.

Tuo pačiu būdu trupmenos pridedamos ir atimamos, jei skaitiklyje yra raidžių.

Trupmenų atėmimas, pavyzdžiai:

Mišrių trupmenų atėmimas.

At mišrių trupmenų (skaičių) atėmimas atskirai sveikoji dalis atimama iš sveikosios dalies, o trupmeninė dalis atimama iš trupmeninės dalies.

Pirmasis mišrių trupmenų atėmimo variantas.

Jei trupmeninės dalys tas pats minuendinės trupmeninės dalies vardikliai ir skaitiklis (iš jo atimame) ≥ potraukio trupmeninės dalies skaitiklis (atimame).

Pavyzdžiui:

Antrasis variantas mišrioms trupmenoms atimti.

Kai trupmeninės dalys skirtinga vardikliai. Pirmiausia trupmenines dalis suvedame į bendrą vardiklį, o po to iš visos dalies atimame visą dalį, o iš trupmeninės dalies – trupmeninę.

Pavyzdžiui:

Trečias variantas mišrioms trupmenoms atimti.

Trupmeninė minuend dalis yra mažesnė už trupmeninę pogrupio dalį.

Pavyzdys:

Nes Trupmenų dalys turi skirtingus vardiklius, o tai reiškia, kaip ir antrajame variante, įprastąsias trupmenas pirmiausia sujungiame į bendrą vardiklį.

Mažosios dalies trupmeninės dalies skaitiklis yra mažesnis už pogrupio trupmeninės dalies skaitiklį.3 < 14. Tai reiškia, kad mes paimame vienetą iš visos dalies ir sumažiname šį vienetą iki netinkamos trupmenos formos su tuo pačiu vardikliu ir skaitikliu = 18.

Dešinėje pusėje esančiame skaitiklyje įrašome skaitiklių sumą, tada dešinėje pusėje esančiame skaitiklyje atidarome skliaustus, tai yra viską padauginame ir pateikiame panašius. Vardiklyje skliaustų neatidarome. Įprasta prekę palikti vardikliuose. Mes gauname:

Bendras kelių trupmenų vardiklis yra natūraliųjų skaičių, kurie yra duotųjų trupmenų vardikliai, LCM (mažiausias bendras kartotinis).

Prie nurodytų trupmenų skaitiklių reikia pridėti papildomų koeficientų, lygių LCM ir atitinkamo vardiklio santykiui.

Nurodytų trupmenų skaitikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų, todėl trupmenų skaitikliai gaunami su vienu bendru vardikliu. Veiksmo ženklai („+“ arba „-“) registruojant trupmenas, sumažintas iki bendro vardiklio, išsaugomi prieš kiekvieną trupmeną. Trupmenų, turinčių bendrą vardiklį, veiksmo ženklai išsaugomi prieš kiekvieną sumažintą skaitiklį.

Tik dabar galite pridėti arba atimti skaitiklius ir po rezultatu pasirašyti bendrą vardiklį.

Dėmesio! Jei gautoje trupmenoje skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, tada trupmeną reikia sumažinti. Netinkamą frakciją patartina paversti mišria frakcija. Sudėjimo ar atimties rezultato palikimas neatšaukiant trupmenos, jei įmanoma, yra neišsamus pavyzdžio sprendimas!

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas. Taisyklė. Į pridėti arba atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite juos sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, o tada atlikti sudėjimą arba atimtį, kaip su trupmenomis su tais pačiais vardikliais.

Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo procedūra

1. rasti visų vardiklių LCM;
2. pridėti papildomų faktorių prie kiekvienos frakcijos;
3. padauginkite kiekvieną skaitiklį iš papildomo koeficiento;
4. gautus sandaugus paimkite kaip skaitiklius, po kiekviena trupmena pažymėdami bendrąjį vardiklį;
5. sudėkite arba atimkite trupmenų skaitiklius, po suma arba skirtumu pasirašydami bendrąjį vardiklį.

Taip pat trupmenas galima sudėti ir atimti, jei skaitiklyje yra raidžių.