Set biasa. Penunjukan, pencatatan dan representasi himpunan numerik. Pengoperasian produk himpunan Cartesian

Konsep himpunan mengacu pada konsep aksiomatik matematika.

Definisi. Himpunan adalah himpunan, kelompok, kumpulan elemen-elemen yang mempunyai beberapa properti atau atribut yang sama untuk semuanya.

Sebutan: A, B.

Definisi. Dua himpunan A dan B adalah sama jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut terdiri dari unsur-unsur yang sama. SEBUAH = B.

Notasi a ∈ A (a ∉ A) berarti a merupakan (bukan) anggota himpunan A.

Definisi. Himpunan yang tidak mengandung unsur disebut kosong dan dilambangkan dengan ∅.

Biasanya, dalam kasus tertentu, elemen-elemen dari semua himpunan yang dipertimbangkan diambil dari satu himpunan U yang cukup lebar, yang disebut set universal.

Kekuatan set dilambangkan sebagai |M| .
Komentar : Untuk himpunan berhingga, kardinalitas himpunan adalah banyaknya elemen.

Definisi. Jika |A| = |B| , maka himpunan tersebut dipanggil sama kuatnya.

Sering digunakan untuk mengilustrasikan operasi himpunan Diagram Euler – Venn. Konstruksi diagramnya terdiri dari menggambar persegi panjang besar yang melambangkan himpunan semesta U, dan di dalamnya terdapat lingkaran yang melambangkan himpunan.

Operasi berikut didefinisikan pada set:

Gabungan A∪B: = (x/x∈A∨x∈B)

Persimpangan A∩B: = (x/x∈A&x∈B)

Selisih A\B: = (x/x∈A&x∈B)

Komplemen A U\A: = (x/x U & x ∉ A)

Tugas 1.1. Diketahui: a)A,B⊆Z, A = (1;3;4;5;9), B = (2;4;5;10). b)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

Larutan.

a) A∩B = (4;5), A∪B = (1;2;3;4;5;9;10), A\B = (1;3;9), B\A = (2 ;10), B = Z \ B ;

b) A∩B = (2;3), A∪B = [-3,10], A\B = [-3,2], B\A = ,B Z\B = (-∞,2]∪ (10,+∞).

1) Diketahui: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Temukan: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

2) Diketahui: a) A, B ⊆ Z, A = (3;6;7;10), B = (2;3;10;12).

b) SEBUAH, B ⊆ R, SEBUAH = .

Temukan: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

3) Diketahui: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) SEBUAH, B ⊆ R, SEBUAH = .

4) Diketahui: a) A, B ⊆ Z, A = (0;4;6;7), B = (-3;3;7).

b)A,B ⊆ R, A = [-15;0], B = [-2;1].

Temukan: A∩B, A∪B, A\B, B\A, A .

5) Diketahui: a) A, B ⊆ Z, A = (0;9), B = (-6;0;3;9).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Carilah: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B.

6) Diketahui: a)A, B ⊆ Z, A = (0;6;9), B = (-6;0;3;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = .

Carilah: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B.

7) Diketahui: a)A, B ⊆ Z, A = (-1;0;2;10), B = (-1;2;9;10).

b)A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15].

Temukan: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

8) Diketahui: a) A,B ⊆ Z, A = (1;2;9;37), B = (-1;1;9;11;15).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7].

Carilah: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B.

9) Diketahui: a) A, B ⊆ Z, A = (-1;0;9;17), B = (-1;1;9;10;25).

b) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7].

Temukan: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

10) Diketahui: a)A,B⊆Z, A = (1;7;9;17), B = (-2;1;9;10;25).

b) SEBUAH,B⊆R, SEBUAH = .

Carilah: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A.

Tugas 1.1. Dengan menggunakan diagram Euler-Venn, buktikan identitasnya:

A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

Larutan.

Mari kita buat diagram Venn.

Ruas kiri persamaan ditunjukkan pada Gambar a), ruas kanan ditunjukkan pada Gambar b). Dari diagram terlihat jelas bahwa ruas kiri dan kanan hubungan ini adalah sama.

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

Menggunakan diagram Euler-Venn untuk membuktikan identitas:

1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

2) A ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A\B)\C = (A\B)\(B\C);

5) (A\B)\C = (A\B) ∪ (A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \ C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B)\C = (A\C) ∪ (B\C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

Masalah 1.3. Pada pembelajaran sastra, guru memutuskan untuk mencari tahu manakah di antara 40 siswa di kelas tersebut yang pernah membaca buku A, B, C. Hasil survei sebagai berikut: buku A dibaca oleh 25 siswa; Buku B dibaca oleh 22 siswa; buku C dibaca oleh 22 siswa; buku A atau B dibaca oleh 33 siswa; buku A atau C dibaca oleh 32 siswa; buku B atau C dibaca oleh 31 siswa; Semua buku dibaca oleh 10 siswa. Tentukan: 1) Berapa banyak siswa yang hanya membaca buku A?

2) Berapa banyak siswa yang hanya membaca buku B?

3) Berapa banyak siswa yang hanya membaca buku C?

4) Berapa banyak siswa yang hanya membaca satu buku?

5) Berapa banyak siswa yang membaca paling sedikit satu buku?

6) Berapa banyak siswa yang belum membaca satu buku pun?

Larutan.

Misalkan U adalah himpunan siswa di kelas tersebut. Kemudian

|kamu| = 40, |SEBUAH| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

Mari kita coba mengilustrasikan masalahnya.

Mari kita bagi himpunan siswa yang telah membaca setidaknya satu buku menjadi tujuh himpunan bagian k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 , dimana

k 1 adalah himpunan siswa yang hanya membaca buku A;

k 3 adalah himpunan siswa yang hanya membaca buku B;

k 7 - himpunan siswa yang hanya membaca buku C;

k 2 adalah himpunan siswa yang membaca buku A dan B dan tidak membaca buku C;

k 4 - himpunan siswa yang membaca buku A dan C dan tidak membaca buku B;

k 6 - himpunan siswa yang membaca buku B dan C dan tidak membaca buku A;

k 5 - himpunan siswa yang membaca buku A, B dan C.

Mari kita hitung kardinalitas masing-masing himpunan bagian ini.

|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;

|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |A ∩ B ∩ C|.

Kemudian |k 1 | = |SEBUAH| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |B| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |C| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.

Mari kita cari |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ B| = | SEBUAH| +| B| - |A ∩ B| = 25 + 22 - 33 = 14,

|A ∩ C| = |SEBUAH| + |C| - |A ∩ C| = 25 + 22 - 32 = 15,

|B ∩ C| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13.

Maka k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∪ C| .

Jelas dari gambar bahwa |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4, maka |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 – banyaknya siswa yang membaca paling sedikit satu buku.

Karena ada 40 siswa di kelas, 3 siswa belum membaca satu buku pun.

Menjawab:

1. 6 siswa hanya membaca buku A.
2. 5 siswa hanya membaca buku B.
3. 4 siswa hanya membaca buku C.
4. 15 siswa masing-masing hanya membaca satu buku.
5. 37 siswa membaca setidaknya satu buku dari A, B, C.
6. 3 siswa belum membaca satu buku pun.

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

1) Selama seminggu, film A, B, C diputar di bioskop. Masing-masing dari 40 anak sekolah menonton ketiga film tersebut atau salah satu dari ketiganya. Film A melihat 13 anak sekolah. Film B melihat 16 anak sekolah. Film C melihat 19 anak sekolah. Berapa banyak anak sekolah yang hanya menonton satu film?

2) 120 orang berpartisipasi dalam konferensi internasional. Dari jumlah tersebut, 60 orang berbicara bahasa Rusia, 48 orang berbicara bahasa Inggris, 32 orang berbicara bahasa Jerman, 21 orang berbicara bahasa Rusia dan Inggris, 19 orang berbicara bahasa Inggris dan Jerman, 15 orang berbicara bahasa Rusia dan Jerman, dan 10 orang berbicara ketiga bahasa tersebut. Berapa banyak peserta konferensi yang tidak menguasai salah satu bahasa tersebut?

3)B kompetisi olahraga tim sekolah yang terdiri dari 20 orang berpartisipasi, yang masing-masing memiliki kategori olahraga dalam satu atau lebih tiga jenis olahraga: atletik, renang dan senam. Diketahui, 12 orang di antaranya memiliki pangkat di bidang atletik, 10 di bidang senam, dan 5 di bidang renang. Tentukan banyaknya anak sekolah dari regu ini yang mempunyai pangkat pada semua cabang olahraga, jika 2 orang mempunyai pangkat pada atletik dan renang, 4 orang pada atletik dan senam, 2 orang pada renang dan senam.

4) Survei terhadap 100 siswa memberikan hasil sebagai berikut tentang jumlah siswa yang belajar bermacam-macam bahasa asing: Spanyol – 28; Jerman – 30; Perancis – 42; Spanyol dan Jerman – 8; Spanyol dan Prancis – 10; Jerman dan Prancis – 5; ketiga bahasa – 3. Berapa banyak siswa yang belajar Jerman jika dan hanya jika mereka belajar bahasa Prancis? 5) Survei terhadap 100 siswa mengungkapkan data berikut tentang jumlah siswa yang mempelajari berbagai bahasa asing: hanya bahasa Jerman - 18; Jerman tetapi bukan Spanyol – 23; Jerman dan Prancis – 8; Jerman – 26; Perancis – 48; Prancis dan Spanyol – 8; tidak ada bahasa – 24. Berapa banyak siswa yang belajar bahasa Jerman dan Orang Spanyol?

6) Laporan survei terhadap 100 siswa melaporkan bahwa jumlah siswa yang belajar bahasa berbeda adalah sebagai berikut: ketiga bahasa - 5; Jerman dan Spanyol – 10; Prancis dan Spanyol – 8; Jerman dan Prancis – 20; Spanyol – 30; Jerman – 23; Perancis - 50. Inspektur yang menyampaikan laporan ini dipecat. Mengapa?

7) 100 orang berpartisipasi dalam konferensi internasional. Dari jumlah tersebut, 42 milik sendiri Perancis, 28 – Inggris, 30 – Jerman, 10 – Prancis dan Inggris, 8 – Inggris dan Jerman, 5 – Prancis dan Jerman, dan 3 orang berbicara ketiga bahasa tersebut. Berapa banyak peserta konferensi yang tidak menguasai salah satu bahasa tersebut?

8) Mahasiswa tahun pertama yang mempelajari ilmu komputer di universitas dapat mengikuti disiplin ilmu tambahan. Tahun ini, 25 orang diantaranya memilih kuliah akuntansi, 27 orang memilih bisnis, dan 12 orang memutuskan kuliah pariwisata. Selain itu, mahasiswa yang mengambil mata kuliah Akuntansi dan Bisnis berjumlah 20 orang, 5 orang mengambil mata kuliah Akuntansi dan Pariwisata, dan 3 orang mengambil mata kuliah Pariwisata dan Bisnis. Diketahui, tidak ada satupun mahasiswa yang berani mengikuti 3 mata kuliah tambahan sekaligus. Berapa banyak siswa yang mengambil setidaknya 1 mata kuliah tambahan?
9) 40 siswa mengikuti Olimpiade Matematika untuk pelamar. Mereka diminta menyelesaikan satu soal aljabar, satu soal geometri, dan satu soal trigonometri. Soal tersebut diselesaikan oleh 20 orang pada bidang aljabar, 18 orang pada bidang geometri, dan 18 orang pada bidang trigonometri. Soal aljabar dan geometri diselesaikan oleh 7 orang, aljabar dan trigonometri - oleh 8 orang, dalam geometri dan trigonometri - oleh 9 orang. Tidak ada satu masalah pun yang diselesaikan oleh 3 orang. Berapa banyak siswa yang hanya menyelesaikan dua soal?

10) Ada 40 siswa di kelas tersebut. Dari jumlah tersebut, 19 orang memiliki nilai C dalam bahasa Rusia, 17 orang dalam matematika, dan 22 orang dalam fisika. 4 siswa mendapat nilai C hanya dalam satu bahasa Rusia, 4 - hanya dalam matematika dan 11 - hanya dalam fisika. 5 siswa mendapat nilai C dalam bahasa Rusia, matematika dan fisika. 7 orang memiliki nilai C pada matematika dan fisika. Berapa banyak siswa yang mendapat nilai C pada dua dari tiga mata pelajaran?

Teori

Ada dua pendekatan utama terhadap konsep himpunan - naif Dan aksiomatis teori himpunan.

Teori himpunan aksiomatik

Saat ini, himpunan didefinisikan sebagai model yang memenuhi aksioma ZFC (aksioma Zermelo-Frenkel dengan aksioma pilihan). Dengan pendekatan ini, dalam beberapa teori matematika, timbul kumpulan objek yang bukan himpunan. Koleksi seperti ini disebut kelas (dari berbagai ordo).

Atur elemen

Benda-benda yang membentuk suatu himpunan disebut elemen himpunan atau poin dari himpunan tersebut. Himpunan paling sering dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin, elemen-elemennya - dengan huruf kecil. Jika a adalah salah satu anggota himpunan A, maka tulislah a ∈ A (a milik A). Jika a bukan anggota himpunan A, tulislah a∉A (a bukan anggota A).

Beberapa jenis set

• Himpunan terurut adalah himpunan yang relasi keteraturannya ditentukan.
• Satu set (khususnya pasangan terurut). Berbeda dengan himpunan sederhana, himpunan ini ditulis di dalam tanda kurung: ( x 1 , x 2 , x 3 , …), dan elemen dapat diulang.

Berdasarkan hierarki:

Himpunan himpunan Subset Superset

Dengan batasan:

Tetapkan Operasi

literatur

• Stoll R.R. Banyak orang. Logika. Teori aksiomatik. - M.: Pendidikan, 1968. - 232 hal.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu "Elemen himpunan" di kamus lain:

mengatur elemen- - [LG Sumenko. Kamus Bahasa Inggris Bahasa Rusia teknologi Informasi. M.: GP TsNIIS, 2003.] elemen himpunan Suatu benda yang sifatnya apa pun yang bersama-sama dengan benda-benda sejenis lainnya merupakan suatu himpunan. Seringkali, alih-alih menggunakan istilah elemen di... ...

Atur elemen- suatu benda yang sifatnya apa pun, yang bersama-sama dengan benda-benda lain yang sejenis, merupakan suatu himpunan. Seringkali, alih-alih menggunakan istilah elemen dalam pengertian ini, mereka menggunakan “titik suatu himpunan”, “anggota suatu himpunan”, dll.... ...

SETS, dalam matematika, kumpulan objek tertentu. Objek-objek ini disebut elemen himpunan. Banyaknya unsur dapat tak terhingga, berhingga, atau bahkan nol (jumlah unsur dalam himpunan kosong dilambangkan dengan 0). Setiap… … Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

elemen- Istilah umum, yang bergantung pada kondisi yang sesuai, dapat dipahami sebagai permukaan, garis, titik. Catatan 1. Suatu elemen dapat berupa permukaan (bagian dari suatu permukaan, bidang simetri beberapa permukaan), garis (profil... Panduan Penerjemah Teknis

Bagian dari sesuatu. Salah satu kemungkinan etimologi kata ini adalah dari nama rangkaian huruf konsonan latin L, M, N (el em en). Unsur (filosofi) Unsur merupakan bagian wajib pada bendera, panji dan panji. Elemen himpunan Dasar... ... Wikipedia

Elemen- primer (untuk pelajaran ini, model) merupakan bagian integral dari keseluruhan yang kompleks. Lihat Elemen Set, Elemen Sistem... Kamus ekonomi dan matematika

Himpunan adalah salah satu objek utama matematika, khususnya teori himpunan. “Yang kami maksud dengan banyak adalah penyatuan objek-objek intuisi atau pemikiran kita yang tertentu dan cukup dapat dibedakan menjadi satu kesatuan” (G. Kantor). Ini tidak sepenuhnya... ... Wikipedia

elemen- Elemen 01/02/14 (tanda karakter atau simbol): Goresan atau spasi individual dalam simbol kode batang atau satu sel poligonal atau lingkaran dalam simbol matriks, membentuk tanda simbol di... ... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis

A; m.[dari lat. unsur unsur, zat asal] 1. Komponen sesuatu; komponen. Uraikan keseluruhan menjadi elemen-elemen. Kebudayaan terdiri dari unsur apa saja? Alam e. produksi. Komponen sesuatu. // Gerakan khas, satu... ... kamus ensiklopedis

Himpunan merupakan salah satu konsep dasar matematika modern yang digunakan hampir di semua cabangnya.

Dalam banyak pertanyaan, perlu mempertimbangkan sekumpulan elemen tertentu sebagai satu kesatuan. Jadi, seorang ahli biologi, yang mempelajari flora dan fauna di suatu daerah, mengklasifikasikan semua individu berdasarkan spesies, spesies berdasarkan genus, dll. Setiap spesies adalah kumpulan makhluk hidup tertentu, yang dianggap sebagai satu kesatuan.

Untuk deskripsi matematis dari kumpulan tersebut, konsep himpunan diperkenalkan. Menurut salah satu pencipta teori himpunan, ahli matematika Jerman Georg Cantor (1845-1918), “himpunan adalah banyak hal yang kita anggap sebagai satu.” Tentu saja, kata-kata ini tidak dapat dianggap sebagai definisi himpunan yang ketat secara matematis, definisi seperti itu tidak ada, karena konsep himpunan adalah konsep awal yang menjadi dasar dibangunnya konsep matematika lainnya. Namun dari perkataan tersebut jelas bahwa kita dapat berbicara tentang himpunan bilangan asli, himpunan segitiga pada bidang.

Himpunan yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga disebut berhingga, dan himpunan lain disebut tak berhingga. Misalnya, himpunan ikan paus di lautan berhingga, tetapi himpunan bilangan rasional tidak terhingga. Himpunan hingga dapat didefinisikan dengan membuat daftar elemen-elemennya (misalnya, himpunan siswa dalam kelas tertentu diberikan oleh daftar siswa di daftar kelas). Jika himpunan terdiri dari unsur-unsur , maka tuliskan: . Himpunan tak hingga tidak dapat ditentukan oleh daftar elemen-elemennya. Mereka biasanya ditentukan dengan menunjukkan properti yang dimiliki semua elemen dari suatu himpunan, tetapi tidak ada elemen yang tidak termasuk dalam himpunan ini. Properti ini disebut karakteristik himpunan yang ditinjau. Jika merupakan singkatan dari kalimat “suatu unsur mempunyai sifat”, maka himpunan semua unsur yang mempunyai sifat tersebut dinotasikan sebagai berikut: . Misalnya, rekam berarti himpunan akar-akar persamaan, yaitu sekelompok . Bisa jadi tidak ada unsur yang mempunyai sifat tersebut (misalnya tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi 2). Dalam hal ini, tidak ada satu pun elemen dalam himpunan. Himpunan yang tidak memuat satu elemen pun disebut kosong. Hal ini ditunjukkan dengan tanda.

Jika suatu elemen termasuk dalam himpunan, tuliskan: , in jika tidak tulis: atau. Himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang sama disebut sama (bertepatan). Misalnya, himpunan segitiga sama sisi dan himpunan segitiga sama sisi adalah sama, karena keduanya adalah segitiga yang sama: jika semua sisi suatu segitiga sama besar, maka semua sudutnya sama besar; sebaliknya, dari persamaan ketiga sudut suatu segitiga, maka persamaan ketiga sisinya juga mengikuti. Jelaslah bahwa dua himpunan berhingga adalah sama, berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemennya, misalnya .

Setiap persegi adalah persegi panjang. Himpunan persegi dikatakan sebagai bagian dari himpunan persegi panjang, atau, seperti yang dikatakan dalam matematika, merupakan bagian dari himpunan persegi panjang. Jika himpunan tersebut merupakan bagian dari himpunan, maka tuliskan: atau. Untuk set apa pun, penyertaannya dan benar.

Dari himpunan-himpunan ini dimungkinkan untuk membuat himpunan baru dengan menggunakan operasi potong, gabungan, dan pengurangan. Perpotongan himpunan adalah bagian persekutuannya, yaitu. kumpulan elemen milik keduanya , dan . Himpunan ini dilambangkan dengan: . Misalnya perpotongan dua bentuk geometris adalah bagian persekutuannya, perpotongan himpunan belah ketupat dengan himpunan persegi panjang - himpunan persegi, dsb.

Gabungan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang termasuk dalam paling sedikit salah satu himpunan tersebut. Dalam berbagai masalah klasifikasi, himpunan direpresentasikan sebagai gabungan himpunan bagian yang saling lepas berpasangan. Misalnya himpunan poligon adalah gabungan himpunan segitiga, segi empat, ..., -gon.

Jika Anda menerapkan operasi gabungan dan perpotongan pada himpunan bagian dari himpunan tertentu, Anda akan mendapatkan kembali himpunan bagian dari himpunan yang sama. Operasi-operasi ini mempunyai banyak sifat yang mirip dengan sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian bilangan. Misalnya, perpotongan dan gabungan himpunan mempunyai sifat komutatifitas dan asosiatif, perpotongan tersebut bersifat distributif terhadap gabungan tersebut, yaitu. untuk himpunan apa pun dan relasinya benar, dll. Namun pada saat yang sama, operasi pada himpunan memiliki sejumlah sifat yang tidak memiliki analogi dalam operasi bilangan. Misalnya, untuk himpunan apa pun persamaannya benar, hukum distribusi kedua benar, dan seterusnya.

Dengan menggunakan properti operasi pada himpunan, Anda dapat mengubah ekspresi yang berisi himpunan, sama seperti Anda dapat menggunakan properti operasi pada bilangan untuk mengubah ekspresi dalam aljabar biasa. Aljabar yang muncul dengan cara ini disebut aljabar Boolean, diambil dari nama ahli matematika dan logika Inggris J. Boole (1815-1864), yang mempelajarinya sehubungan dengan masalah logika matematika. Aljabar Boolean memiliki banyak penerapan, khususnya dalam teori jaringan listrik.

Ciri utama himpunan berhingga adalah jumlah elemennya (misalnya, himpunan titik sudut suatu persegi berisi 4 elemen). Jika himpunan mempunyai jumlah elemen yang sama, misalnya jika , , maka elemen-elemen dari himpunan tersebut dapat digunakan untuk membuat pasangan , dan setiap elemen dari , serta setiap elemen dari , termasuk dalam satu pasangan, dan hanya satu. Mereka mengatakan bahwa dalam kasus ini terjadi korespondensi satu-satu antara elemen-elemen himpunan. Dan sebaliknya, jika korespondensi satu-satu dapat dibuat antara dua himpunan berhingga, maka kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah elemen yang sama.

G. Cantor mengusulkan untuk membandingkan himpunan tak hingga satu sama lain dengan cara yang sama. Himpunan dan dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama jika dapat dibuat korespondensi satu-satu di antara himpunan-himpunan tersebut. Dengan membandingkan himpunan bilangan-bilangan dengan cara ini, Cantor menunjukkan bahwa terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan rasional, meskipun himpunan bilangan asli hanyalah bagian dari himpunan bilangan rasional. angka. Jadi, dalam teori himpunan tak hingga, pernyataan bahwa “bagian lebih kecil dari keseluruhan” kehilangan kekuatannya.

Himpunan yang mempunyai kardinalitas yang sama dengan himpunan bilangan asli disebut dapat dihitung. Jadi, himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Contoh terpenting dari himpunan tak terhitung adalah himpunan semua bilangan real(atau, yang sama saja, sekumpulan titik pada garis lurus). Karena garis lurus adalah kontinu, kekuatan yang tak terhitung tersebut disebut kekuatan kontinum (dari bahasa Latin kontinum - “kontinu”). Kekuatan kontinum memiliki himpunan titik-titik persegi, kubus, bidang dan seluruh ruang.

Selama bertahun-tahun, para ahli matematika telah memecahkan masalah ini: adakah himpunan yang kardinalitasnya berada di antara kardinalitas terhitung dan kontinum? Di tahun 60an abad kita, ahli matematika Amerika P. Cohen dan ahli matematika Ceko P. Wopenka hampir secara bersamaan, secara independen satu sama lain, membuktikan bahwa keberadaan himpunan tersebut dan ketidakhadirannya tidak bertentangan dengan aksioma teori himpunan lainnya (seperti halnya penerimaan aksioma paralel atau penolakan aksioma ini tidak bertentangan dengan aksioma geometri lainnya).

Sekelompok A dan himpunan yang memuatnya A dilambangkan sebagai berikut ( A merupakan salah satu elemen dari himpunan A; atau A milik A, atau A mengandung A). Jika A A, lalu mereka menulis ( A tidak termasuk di dalamnya A, A tidak mengandung AA, B, C

Tetapkan Operasi.

Perangkat universal

Perangkat universal

diagram Venn. Tetapkan identitas aljabar dan pembuktiannya.

Diagram Venn adalah representasi skematis dari semua kemungkinan perpotongan beberapa himpunan, yang menunjukkan hubungan matematis, teori himpunan, atau logis antar himpunan.

Identitas dan buktinya.

Untuk himpunan sembarang A, B, dan C, relasi berikut berlaku:

1. Komutatifitas:

2. Asosiatif

3. Distributifitas suatu kesatuan sehubungan dengan persimpangan

3'. Distribusi persimpangan relatif terhadap kesatuan

4. Hukum aksi dengan himpunan kosong dan universal

5. Hukum idempotensi

6. Hukum De Morgan

7. Hukum penyerapan

,

8. Hukum perekatan

,

9. Hukum Poretsky

,

10. Hukum komplemen ganda

Buktikan identitas berikut .

Mari kita buktikan identitas ini secara analitis (menggunakan persamaan aljabar himpunan)

Konsep bahasa formal

Bahasa formal - bahasa yang dicirikan oleh aturan yang tepat untuk membangun ekspresi dan memahaminya. Itu dibangun sesuai dengan aturan yang jelas, memberikan tampilan yang konsisten, akurat dan kompak dari sifat-sifat dan hubungan bidang subjek yang dipelajari (objek yang dimodelkan).

Bahasa formal menjadi dasar pembuatan perangkat lunak.

FL dibentuk dengan menggunakan himpunan awal huruf a1, a2, ...., a100, dengan bantuan huruf kemuliaan dibentuk. Kata masuk bahasa formal– satu set huruf yang terurut (Kadal – 30 huruf)

Untuk operasi * kata, hukum asosiatif berlaku.

Teori semigrup dan semigelanggang merupakan dasar dari teori ekspresi fisik

Tautologi

Tautologi adalah pernyataan identik benar yang selalu benar.

Tautologi yang paling sederhana adalah ungkapan ( A Atau tidak A), mewakili hukum bagian tengah yang dikecualikan, dimana sebaliknya A ekspresi apa pun yang salah atau benar dapat diganti, misalnya menyala atau tidak menyala, dua kali dua sama atau tidak sama dengan lima. Hukum logika matematika yang diungkapkan melalui operator ekivalensi juga merupakan tautologi: dll.

Konsep bentuk ekspresif atau predikat suatu variabel. Contoh predikat.

Predikat – pernyataan tergantung pada beberapa variabel yang berubah.

Predikat satu tempat – pemetaan di mana setiap nilai variabel diberi nilai tunggal 0 atau 1. contoh:

Konjungsi dua predikat A(x) dan B(x) disebut predikat baru , yang mengambil nilai "benar" untuk nilai tersebut dan hanya nilai x T yang masing-masing predikatnya bernilai "benar", dan mengambil nilai "salah" dalam semua kasus lainnya. Himpunan kebenaran T dari predikat A(x) B(x), x X merupakan perpotongan himpunan kebenaran dari predikat A(x) – T1 dan B(x) – T2, yaitu T= T1 ∩T2. Contoh: A(x): “x adalah bilangan genap”, B(x): “x adalah kelipatan 3”. A(x) B(x) – “x adalah bilangan genap dan x adalah kelipatan 3.” Itu. predikat “x habis dibagi 6”.

Penyangkalan predikat A(x) adalah predikat baru yang mengambil nilai “benar” untuk semua nilai x T yang mana predikat A(x) mengambil nilai “salah”, dan mengambil nilai “salah” jika A(x) ) mengambil nilai “benar” " Himpunan kebenaran predikat x X merupakan komplemen T" terhadap himpunan T pada himpunan X.

Mari kita ambil pernyataan: ``Socrates adalah seorang laki-laki'', ``Plato adalah seorang laki-laki''. Kedua pernyataan ini mengungkapkan kualitas ``menjadi manusia''. Dengan demikian kita dapat mempertimbangkan predikat “menjadi seorang laki-laki” dan mengatakan bahwa predikat tersebut berlaku untuk Socrates dan Plato.

25 ranah definisi dan ranah kebenaran predikat

Himpunan M di mana predikat P(x) terdefinisi disebut daerah asal definisi predikat.

Himpunan semua elemen x Î M yang predikatnya bernilai “benar” disebut himpunan kebenaran dari predikat P(x), yaitu himpunan kebenaran dari predikat P(x) adalah himpunan 1p = ( x|x Î M, P(x) = 1).

P(x): “x 2 + 1> 0, xО R”; daerah asal definisi predikat M = R dan daerah kebenarannya juga R, karena pertidaksamaan tersebut berlaku untuk semua bilangan real. Jadi, untuk predikat tertentu M = I p. Predikat seperti itu disebut benar secara identik.

B(x): “x 2 + 1< 0, xÎ R»; область истинности I p =Æ, т.к. не существует действительных чисел, для которых выполняется неравенство. Такие предикаты называются тождественно ложными.

Pengukur. Predikat ganda. Pengertian persamaan, identitas dan pertidaksamaan.

Pembilang- nama umum untuk operasi logika yang membatasi domain kebenaran suatu predikat dan membuat pernyataan. Paling sering disebutkan:

· Pengukur universal(sebutan: berbunyi: “untuk semua orang...”, “untuk semua orang...” atau “setiap...”, “setiap...”, “untuk setiap...”).

· Pengukur keberadaan(sebutan: , berbunyi: “ada…” atau “akan ditemukan…”).

Mari kita nyatakan predikat “ X habis dibagi 5." Dengan menggunakan bilangan umum, kita dapat menulis pernyataan berikut secara formal (tentu saja salah):

1. bilangan asli apa pun adalah kelipatan 5;

2. setiap bilangan asli adalah kelipatan 5;

3. semua bilangan asli adalah kelipatan 5;

dengan cara berikut:

.

Pernyataan berikut (yang sudah benar) menggunakan pembilang eksistensial:

1. ada bilangan asli yang merupakan kelipatan 5;

2. mencari bilangan asli yang merupakan kelipatan 5;

3. paling sedikit satu bilangan asli habis dibagi 5.

Notasi formal mereka:

.

· Pernyataan berarti rentang nilai variabel termasuk dalam rentang kebenaran predikat.

(“Untuk semua nilai (x), pernyataan tersebut benar.”)

· Pernyataan tersebut berarti domain kebenaran predikatnya tidak kosong.

(“Ada (x) yang pernyataannya benar”).

Operasi pada bilangan

Aturan negasi bilangan- digunakan untuk membangun negasi pernyataan yang mengandung bilangan, dan berbentuk:

Predikat ganda – pemetaan di mana setiap pasangan variabel diberi nilai tunggal, 0 atau 1.

Predikat adalah predikat dua tempat, yang subjeknya dapat berupa himpunan bilangan real apa pun. Pernyataan tersebut benar dan pernyataan tersebut salah. Jika Anda mengganti angka dan bukan salah satu variabel, Anda mendapatkan predikat satu tempat.

Persimpangan grafik

Misalkan G1(V1,E1) dan G’2(V2’,E2’) adalah graf sembarang. Perpotongan G1∩G’2 dari graf G1 dan G’2 merupakan graf dengan himpunan simpul V1∩V’2 dengan himpunan sisi E = E1∩E’2

Properti

· Perpotongan himpunan adalah operasi biner pada Boolean 2 sembarang X;

komutatif:

Atur operasi persimpangan transitif (asosiasi):

· Perangkat universal X adalah elemen netral dari operasi perpotongan himpunan:

· Jadi, Boolean bersama dengan operasi perpotongan himpunan adalah grup Abelian;

· Operasi perpotongan himpunan bersifat idempoten:

· Jika merupakan himpunan kosong, maka

Kerangka dan inti grafik.

Grafik kerangka adalah subgrafnya yaitu pohon.

Koostov – penambahan kerangka ke grafik.

Konsep himpunan. Operasi di set. Perangkat universal.

Sekelompok(N-natural, Z-integer, Q-rational, R-real) – sebuah konsep yang tidak dapat didefinisikan, merupakan kumpulan objek yang dianggap sebagai satu kesatuan. Konsep himpunan dianggap dasar, yaitu tidak dapat direduksi menjadi konsep lain. Benda-benda yang menyusun suatu himpunan disebut elemen-elemennya. Himpunan sederhana tidak mempunyai satu elemen pun. Hubungan dasar antar elemen A dan himpunan yang memuatnya A dilambangkan sebagai berikut ( A merupakan salah satu elemen dari himpunan A; atau A milik A, atau A mengandung A). Jika A bukan merupakan elemen dari himpunan A, lalu mereka menulis ( A tidak termasuk di dalamnya A, A tidak mengandung A). Suatu himpunan dapat ditentukan dengan menentukan semua elemennya, dan dalam hal ini kurung kurawal digunakan. Jadi ( A, B, C) menunjukkan himpunan tiga elemen. Notasi serupa digunakan dalam kasus himpunan tak hingga, dengan elemen tak tertulis diganti dengan elips. Jadi, himpunan bilangan asli dilambangkan (1, 2, 3, ...), dan himpunan bilangan genap (2, 4, 6, ...), dan elipsis pada kasus pertama berarti semua bilangan asli , dan yang kedua - hanya genap

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mengandung satupun anggota, dilambangkan dengan

Metode penugasan: tabel, elemen daftar, grafik, berulang, rumus.

Tetapkan Operasi.

Perpotongan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang dimiliki kedua himpunan.

Untuk perpotongan himpunan, hal berikut ini benar:

X∩Y=Y∩X - hukum komutatif

· (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z - hukum asosiatif

Gabungan himpunan adalah suatu himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang termasuk dalam paling sedikit salah satu himpunan tersebut.

Untuk himpunan gabungan, hal berikut ini benar:

XUY = YUX - hukum komutatif

· (XUY) UZ = XU (YUZ) = XUYUZ - hukum asosiatif,

Perangkat universal

Perangkat universal- satu set yang berisi semua objek yang bisa dibayangkan. Perangkat universal itu unik.

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua unsur yang dapat terdiri dari himpunan lain, yaitu. sepenuhnya mengandung semua elemen himpunan universal. .

Jika, dalam pertimbangan tertentu, hanya himpunan bagian dari himpunan tetap tertentu yang dilibatkan, maka himpunan terbesar ini akan dianggap universal.

Himpunan universal mempunyai sifat menarik yang tidak memiliki analogi dalam aljabar biasa, yaitu, untuk himpunan X apa pun, relasi XU(union)I = I berlaku.

Himpunan universal biasanya dilambangkan secara grafis sebagai himpunan titik-titik dalam persegi panjang, dan himpunan individu sebagai area terpisah dalam persegi panjang tersebut. Representasi himpunan sebagai daerah dalam persegi panjang yang mewakili himpunan universal disebut diagram Euler-Venn.

Sekelompok adalah kumpulan benda-benda yang dianggap sebagai satu kesatuan. Konsep himpunan dianggap dasar, yaitu tidak dapat direduksi menjadi konsep lain. Benda-benda yang menyusun suatu himpunan disebut elemen-elemennya. Hubungan dasar antar elemen A dan himpunan yang memuatnya A dilambangkan sebagai berikut ( A merupakan salah satu elemen dari himpunan A; atau A milik A, atau A mengandung A). Jika A bukan merupakan elemen dari himpunan A, lalu mereka menulis ( A tidak termasuk di dalamnya A, A tidak mengandung A). Suatu himpunan dapat ditentukan dengan menentukan semua elemennya, dan dalam hal ini kurung kurawal digunakan. Jadi ( A, B, C) menunjukkan himpunan tiga elemen. Notasi serupa digunakan dalam kasus himpunan tak hingga, dengan elemen tak tertulis diganti dengan elips. Jadi, himpunan bilangan asli dilambangkan (1, 2, 3, ...), dan himpunan bilangan genap (2, 4, 6, ...), dan elipsis pada kasus pertama berarti semua bilangan asli , dan yang kedua - hanya genap

Dua set A Dan B disebut setara, jika mereka terdiri dari elemen yang sama, mis. A milik B dan, sebaliknya, setiap elemen B milik A. Kemudian mereka menulis A = B. Jadi, suatu himpunan ditentukan secara unik oleh unsur-unsurnya dan tidak bergantung pada urutan penulisan unsur-unsur tersebut. Misalnya, himpunan tiga elemen A, B, C memungkinkan enam jenis rekaman:

{A, B, C} = {A, C, B} = {B, A, C} = {B, C, A} = {C, A, B} = {C, B, A}.

Untuk alasan kemudahan formal, diperkenalkan juga apa yang disebut “himpunan kosong”, yaitu himpunan yang tidak memuat satu elemen pun. Kadang-kadang dilambangkan dengan simbol 0 (kebetulan dengan penunjukan angka nol tidak menimbulkan kebingungan, karena makna simbol selalu jelas).

Jika setiap elemen himpunan A termasuk dalam banyak hal B, Itu A disebut subset B, A B disebut superset A. Mereka menulis ( A termasuk dalam B atau A terkandung di dalamnya B, B mengandung A). Jelasnya, jika dan , maka A = B. Himpunan kosong menurut definisi dianggap sebagai himpunan bagian dari himpunan mana pun.

Jika setiap elemen himpunan A termasuk dalam B, Tapi banyak B mengandung setidaknya satu elemen yang tidak termasuk di dalamnya A, yaitu jika dan , maka A ditelepon subset sendiri B, A B - supersetnya sendiri A. Dalam hal ini mereka menulis. Misalnya notasi dan artinya sama, yaitu himpunan A tidak kosong.

Kami juga mencatat bahwa kami perlu membedakan elemennya A dan atur ( A), mengandung A sebagai satu-satunya elemen. Perbedaan ini ditentukan tidak hanya oleh fakta bahwa elemen dan himpunan memainkan peran yang berbeda (hubungannya tidak simetris), tetapi juga oleh kebutuhan untuk menghindari kontradiksi. Jadi, biarkan saja A = {A, B) mengandung dua elemen. Misalkan himpunan ( A), berisi himpunan sebagai satu-satunya elemennya A. Kemudian A mengandung dua elemen, sedangkan ( A) hanya satu elemen, dan oleh karena itu identifikasi kedua himpunan ini tidak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan rekaman, dan tidak menggunakan rekaman.