سری فوریه. برای هر روز تابع را در یک سری فوریه بسط دهید

نزدیک فوریهتوابع f (x) در بازه (-π؛ π) یک سری مثلثاتی از شکل نامیده می شود:
، جایی که

سری فوریه تابع f (x) در بازه (-l; l) یک سری مثلثاتی از شکل نامیده می شود:
، جایی که

وقت ملاقات. ماشین حساب آنلاین برای گسترش تابع f(x) در سری فوریه طراحی شده است.

برای توابع مدول (به عنوان مثال |x|)، استفاده کنید انبساط کسینوس.

قوانین ورود توابع:

برای توابع مدول، از بسط کسینوس استفاده کنید. به عنوان مثال، برای |x| لازم است یک تابع بدون ماژول معرفی شود، یعنی. ایکس .

سری فوریه به صورت تکه ای-پیوسته، تکه ای-یکنواخت و محدود به بازه (- ل;ل) تابع روی کل محور واقعی همگرا می شود.

مجموع سری فوریه S(x):

• یک تابع تناوبی با دوره 2 است ل. تابع u(x) تناوبی با دوره T (یا T دوره ای) نامیده می شود اگر برای تمام x دامنه R، u(x+T)=u(x) باشد.
• در بازه (- ل;ل) با تابع منطبق است f(ایکس) به جز نقاط شکست
• در نقاط ناپیوستگی (از نوع اول، چون تابع محدود است) تابع f(ایکس) و مقادیر متوسط ​​را در انتهای بازه می گیرد:

.
آنها می گویند که تابع به یک سری فوریه در بازه (-) گسترش می یابد ل;ل): .

اگر یک f(ایکس) یک تابع زوج است، پس فقط توابع زوج در بسط آن شرکت می کنند، یعنی b n=0.
اگر یک f(ایکس) یک تابع فرد است، سپس فقط توابع فرد در بسط آن شرکت می کنند، یعنی a n=0

نزدیک فوریه کارکرد f(ایکس) در بازه (0; ل) توسط کسینوس های چند قوس ردیف نامیده می شود:
، جایی که
.
نزدیک فوریه کارکرد f(ایکس) در بازه (0; ل) توسط سینوس های قوس های متعدد ردیف نامیده می شود:
، جایی که .
مجموع سری فوریه بر روی کسینوس های کمان های متعدد یک تابع تناوبی زوج با دوره 2 است. ل، مصادف با f(ایکس) در بازه (0; ل) در نقاط تداوم.
مجموع سری فوریه بر روی سینوس های کمان های متعدد یک تابع تناوبی فرد با دوره 2 است. ل، مصادف با f(ایکس) در بازه (0; ل) در نقاط تداوم.
سری فوریه برای یک تابع معین در یک بازه معین دارای خاصیت منحصر به فرد بودن است، یعنی اگر بسط به روش دیگری غیر از استفاده از فرمول ها به دست آید، مثلاً با انتخاب ضرایب، آنگاه این ضرایب با ضرایب محاسبه شده توسط فرمول ها منطبق می شوند. .

مثال شماره 1. تابع f(x)=1 را بسط دهید:
الف) در یک سری کامل فوریه در بازه(-π ;π);
ب) در یک سری در امتداد سینوس های قوس های متعدد در فاصله(0;π); سری فوریه حاصل را رسم کنید
راه حل:
الف) بسط در سری فوریه در بازه (-π؛ π) به شکل زیر است:
,
و تمام ضرایب b n= 0، زیرا این تابع زوج است. بدین ترتیب،

بدیهی است که اگر بگیریم برابری برآورده می شود
آ 0 =2, آ 1 =آ 2 =آ 3 =…=0
با توجه به خاصیت منحصر به فرد، اینها ضرایب مورد نظر هستند. بنابراین، گسترش مورد نیاز عبارت است از: یا فقط 1=1.
در این حالت، زمانی که سری به طور یکسان با تابع خود منطبق می شود، نمودار سری فوریه با نمودار تابع در کل خط واقعی منطبق می شود.
ب) انبساط روی بازه (0;π) بر حسب سینوس های کمان های متعدد به شکل زیر است:
بدیهی است که انتخاب ضرایب به گونه ای که برابری یکسان باشد غیرممکن است. بیایید از فرمول برای محاسبه ضرایب استفاده کنیم:


بنابراین، برای حتی n (n=2ک) ما داریم b n= 0، برای فرد ( n=2ک-1) -
سرانجام، .
بیایید سری فوریه حاصل را با استفاده از ویژگی های آن رسم کنیم (به بالا مراجعه کنید).
اول از همه، ما یک نمودار از این تابع در یک بازه مشخص می سازیم. علاوه بر این، با استفاده از عجیب بودن مجموع سری، نمودار را به صورت متقارن تا مبدا ادامه می دهیم:

ما به صورت دوره ای در کل محور اعداد ادامه می دهیم:


و در نهایت، در نقاط شکست، مقادیر میانگین (بین حد راست و چپ) را پر می کنیم:

مثال شماره 2. گسترش تابع در فاصله (0;6) در امتداد سینوس های قوس های متعدد.
راه حل: بسط مورد نظر به شکل زیر است:

از آنجایی که هر دو قسمت چپ و راست تساوی فقط دارای توابع sin آرگومان های مختلف هستند، باید بررسی کنید که آیا آرگومان های سینوس ها در قسمت های چپ و راست برابری برای هر مقدار از n (طبیعی!) منطبق هستند یا خیر.
یا، از آنجا n = 18. این بدان معنی است که چنین عبارتی در سمت راست وجود دارد و ضریب آن باید با ضریب سمت چپ منطبق باشد: ب 18 =1;
یا، از آنجا n = 4. به معنای، ب 4 =-5.
بدین ترتیب با استفاده از انتخاب ضرایب می توان به بسط مورد نظر دست یافت.

تابع تعریف شده برای همه مقادیر ایکس تماس گرفت دوره ای, اگر چنین عددی وجود داشته باشد T (T≠ 0)، که برای هر ارزش ایکسبرابری f(x + T) = f(x). عدد تیدر این مورد دوره تابع است.

خواص توابع تناوبی:

1) مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب توابع دوره تناوبی تیتابع تناوبی دوره است تی.

2) اگر تابع f(x)دوره دارد تی، سپس تابع f (تبر)دوره دارد

در واقع، برای هر استدلال ایکس:

(ضرب آرگومان در یک عدد به معنای فشردن یا کشیده شدن نمودار این تابع در امتداد محور است. اوه)

به عنوان مثال، یک تابع یک دوره دارد، دوره یک تابع است

3) اگر f(x)تابع دوره ای تی، پس هر دو انتگرال این تابع با فاصله طولی برابر هستند تی(فرض می شود که این انتگرال ها وجود داشته باشند).

سری فوریه برای تابعی با دوره T= .

سری مثلثاتی مجموعه ای از شکل های زیر است:

یا به طور خلاصه

جایی که , , , , , … , , , … اعداد حقیقی هستند که ضرایب سری نامیده می شوند.

هر جمله از سری مثلثاتی تابع تناوبی از دوره است (زیرا - دارای هر

دوره، و دوره () است، و از این رو). هر ترم ()، با n= 1،2،3… بیانی تحلیلی از یک نوسان هارمونیک ساده است که در آن آ- دامنه،

فاز اولیه. با توجه به موارد فوق، دریافت می کنیم: اگر سری مثلثاتی روی قسمتی از طول دوره همگرا شود، آنگاه روی کل محور عددی همگرا می شود و مجموع آن تابع تناوبی دوره است.

اجازه دهید سری مثلثاتی به طور یکنواخت روی یک پاره (و بنابراین در هر پاره) همگرا شود و مجموع آن برابر است. برای تعیین ضرایب این سری از تساوی های زیر استفاده می کنیم:

ما همچنین از خواص زیر استفاده می کنیم.

1) همانطور که مشخص است، مجموع یک سری متشکل از توابع پیوسته که به طور یکنواخت روی یک قطعه معین همگرا هستند، خود یک تابع پیوسته در این قطعه است. با در نظر گرفتن این موضوع، به دست می آوریم که مجموع یک سری مثلثاتی که به طور یکنواخت روی یک قطعه همگرا می شوند، یک تابع پیوسته در کل محور واقعی است.

2) اگر تمام عبارات سری در یک تابع پیوسته در این قطعه ضرب شوند، همگرایی یکنواخت سری روی یک قطعه نقض نمی شود.

به ویژه، اگر همه اعضای سری در یا در ضرب شوند، همگرایی یکنواخت در یک بخش از یک سری مثلثاتی مشخص نقض نمی شود.

با شرط

در نتیجه ادغام ترم به ترم سری یکنواخت همگرا (4.2) و با در نظر گرفتن برابری های فوق (4.1) (تعامد توابع مثلثاتی)، به دست می آوریم:

بنابراین، ضریب

با ضرب برابری (4.2) در، ادغام این برابری در محدوده تا و با در نظر گرفتن عبارات فوق (4.1)، به دست می‌آییم:

بنابراین، ضریب

به طور مشابه، با ضرب برابری (4.2) در و ادغام آن در محدوده های از تا، با در نظر گرفتن برابری های (4.1)، داریم:

بنابراین، ضریب

بنابراین، عبارات زیر برای ضرایب سری فوریه به دست می آید:

معیارهای کافی برای بسط یک تابع به سری فوریه.به یاد بیاورید که نکته ایکس o شکست عملکرد f(x)اگر حدهای محدودی در سمت راست و چپ تابع وجود داشته باشد، نقطه ناپیوستگی نوع اول نامیده می شود. f(x)در مجاورت نقطه

محدود در سمت راست

حد چپ

قضیه (دیریکله).اگر تابع f(x)دارای یک دوره است و بر روی پاره پیوسته است یا دارای تعداد محدودی از نقاط ناپیوستگی نوع اول است و علاوه بر آن می توان قطعه را به تعداد محدودی تقسیم کرد به طوری که در داخل هر یک از آنها f(x)یکنواخت است، سپس سری فوریه برای تابع f(x)برای همه مقادیر همگرا می شود ایکس. علاوه بر این، در نقاط تداوم تابع f(x)جمع آن است f(x)و در نقاط ناپیوستگی تابع f(x)مجموع آن است، یعنی میانگین حسابی مقادیر حدی در سمت چپ و راست. علاوه بر این، سری فوریه برای تابع f(x)به طور یکنواخت در هر قطعه ای که همراه با انتهای آن به بازه تداوم تابع تعلق دارد همگرا می شود. f(x).

مثال: عملکرد را در سری فوریه گسترش دهید

ارضای شرط.

راه حل.عملکرد f(x)شرایط بسط فوریه را برآورده می کند، بنابراین می توانیم بنویسیم:

مطابق با فرمول (4.3)، می توان مقادیر زیر را از ضرایب سری فوریه بدست آورد:

هنگام محاسبه ضرایب سری فوریه، از فرمول "ادغام بر اساس قطعات" استفاده شد.

و بنابراین

سری فوریه برای توابع زوج و فرد با دوره T = .

ما از ویژگی زیر انتگرال بر روی یک متقارن با توجه به استفاده می کنیم x=0طول:

اگر یک f(x)- تابع فرد،

اگر f(x)یک تابع زوج است.

توجه داشته باشید که حاصل ضرب دو یا دو تابع فرد یک تابع زوج است و حاصل ضرب یک تابع زوج و یک تابع فرد یک تابع فرد است. بگذار حالا f(x)- حتی تابع دوره ای با دوره , که شرایط گسترش به سری فوریه را برآورده می کند. سپس با استفاده از خاصیت انتگرال های فوق، به دست می آوریم:

بنابراین، سری فوریه برای یک تابع زوج فقط شامل توابع زوج - کسینوس است و به صورت زیر نوشته می شود:

و ضرایب bn = 0.

با استدلال مشابه، دریافتیم که اگر f(x) -یک تابع تناوبی فرد که شرایط بسط به یک سری فوریه را برآورده می کند، بنابراین، سری فوریه برای یک تابع فرد فقط شامل توابع فرد - سینوس است و به صورت زیر نوشته می شود:

که در آن an=0در n=0، 1،…

مثال:در یک سری فوریه یک تابع تناوبی را گسترش دهید

از آنجایی که تابع فرد داده شده است f(x)پس شرایط بسط فوریه را برآورده می کند

یا، که همان است،

و سری فوریه برای این تابع f(x)می توان اینگونه نوشت:

سری فوریه برای توابع هر دوره T=2 ل.

اجازه دهید f(x)- عملکرد دوره ای هر دوره T=2 لیتر(l-نیم دوره)، تکه ای-صاف یا تکه ای-یکنواخت در بازه [ -ll]. با فرض اینکه x=at،تابع را دریافت کنید f(at)بحث و جدل تی،که دوره است . بیایید انتخاب کنیم آبه طوری که دوره تابع f(at)برابر بود، یعنی. T = 2 لیتر

راه حل.عملکرد f(x)- عجیب و غریب، ارضای شرایط بسط به یک سری فوریه، بنابراین، بر اساس فرمول (4.12) و (4.13)، ما داریم:

(هنگام محاسبه انتگرال از فرمول "ادغام با قطعات" استفاده شد).

به شرح زیر است:

1) نمودار بکشید f(x)در یک بازه حداقل دو دوره، برای نشان دادن اینکه تابع داده شده تناوبی است.

2) یک نمودار رسم کنید S(x)به همین ترتیب، به طوری که می توان دید در چه نقاطی f(x)¹S(x);

3) ضرایب فوریه را محاسبه کرده و سری فوریه را یادداشت کنید.

وظایف

№1. گسترش در یک سری فوریه

راه حل.توجه کنید که f(x)در فاصله طولی داده شده است T=4. زیرا f(x)دوره ای فرض می شود، سپس این عدد است که دوره آن است، سپس - l = 2.

1) نمودار f(x):

2) نمودار S(x):

فلش های انتهای خطوط نشان می دهد که تابع در انتهای بازه مقدار تعیین شده از عبارت داده شده در بازه را نمی گیرد. هنگام مقایسه نمودارها f(x)و S(x)به وضوح دیده می شود که در نقاط ناپیوستگی f(x)¹S(x).

3) ضرایب فوریه را محاسبه کنید. این را می توان با استفاده از فرمول (3*): ; ; . دقیقا: ؛ بنابراین،

تجزیه f(x)در یک سری فوریه به شکل زیر است:

ملاحظات . 1) هنگام ادغام در [-1;3] این بخش به و ، زیرا در این بخش ها f(x)روی مقادیر مختلف تنظیم کنید

2) هنگام محاسبه ضرایب، از انتگرال استفاده شده است: و، کجا a = ثابت.

№2 . بسط در یک سری فوریه

راه حل.اینجا T=2, l = 1.

سری فوریه به شکل زیر است: ; ، زیرا l = 1.

1) نمودار f(x):

2) نمودار S(x):

№3. در یک سری فوریه از نظر سینوس بسط دهید

راه حل.توجه داشته باشید که فقط توابع فرد در سری فوریه بر حسب سینوس بسط می یابند. زیرا f(x)فقط برای x > 0، xн(0;2)И(2;3)، پس این بدان معنی است که در بازه متقارن (-3;-2)È(-2;0) f(x)باید به گونه ای ادامه یابد که برابری f(-x) = -f(x). بنابراین، طول فاصله ای که در آن f(x)به عنوان یک تابع فرد، برابر با 6 است. از این رو T = 6، l = 3.سری فوریه برای f(x)دارای شکل: ، که در آن، n = 1، 2، 3، (طبق فرمول (5")).

1) نمودار f(x).

برای رسم نمودار f(x)به عنوان یک تابع فرد، ابتدا یک نمودار بر روی آن رسم می کنیم (0;2)È(2;3)و سپس از متقارن بودن نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا استفاده کنید. از این ملاحظات، نمودار را بدست می آوریم f(x)بر روی (-3;-2)È(-2;0). سپس ادامه می دهیم f(x) T=6.

2) نمودار S(x).

برنامه S(x)متفاوت از نمودار f(x)در نقاط شکست تابع f(x). به عنوان مثال، در t. x = 2f (x)تعریف نشده است، اما S(x)دارد در x=2مقداری برابر با نصف مجموع حدود یک طرفه تابع f(x)، دقیقا: ، جایی که ، .

بنابراین، سپس تجزیه f(x)در یک سری فوریه به شکل: .

№4 . در یک سری فوریه در کسینوس بسط دهید.

راه حل. توجه داشته باشید که فقط توابع زوج را می توان در سری فوریه در کسینوس بسط داد. زیرا f(x)تنظیم فقط برای x>0، xн(0;2)И(2;3]،پس این بدان معنی است که در بازه متقارن [-3;-2)È(-2;0) f(x)ما باید به گونه ای ادامه دهیم که برابری برقرار باشد: f(-x) = f(x).بنابراین، طول فاصله ای که در آن f(x)به عنوان یک تابع زوج برابر با 6 است، پس T = 6، l = 3.سری فوریه در این مورد به شکل زیر است:

جایی که ؛ ; n=1،2،...(طبق فرمول (4")).

1) نمودار f(x).

برای رسم نمودار f(x)به عنوان یک تابع زوج، ابتدا یک نمودار رسم می کنیم f(x)بر روی (0;2)È(2;3]و سپس از این واقعیت استفاده کنید که نمودار یک تابع زوج نسبت به محور y متقارن است. از این ملاحظات، نمودار را بدست می آوریم f(x)بر روی [-3;-2)È(-2;0). سپس ادامه می دهیم f(x)در کل خط اعداد به عنوان یک تابع تناوبی با نقطه T=6.

در اینجا نمودار است f(x)بر روی دو دوره کامل تابع ترسیم شده است.

2) نمودار S(x).

برنامه S(x)متفاوت از نمودار f(x)در نقاط شکست تابع f(x). به عنوان مثال، در t. x = 0 f(x)تعریف نشده است، اما S(x)معنی دارد: ، بنابراین نمودار S(x)قطع نمی شود x=0، بر خلاف نمودار f(x).

تجزیه f(x)در یک سری فوریه در کسینوس به شکل: .

№5. گسترش در یک سری فوریه f(x) = |x|، xн(-2;2)..

راه حل.به شرط، f(x)یک تابع زوج روشن است (-2;2) ; آن ها سری فوریه آن فقط دارای کسینوس است، در حالی که T = 4، l = 2، ,

جایی که ؛ ; n = 1، 2،

1) نمودار f(x):

2) نمودار S(x):

3) زیرا |x| = xبرای x > 0.; .

سپس تجزیه f(x)در یک سری فوریه به شکل: . توجه داشته باشید که هنگام ادغام عبارات یا , از فرمول ادغام با قطعات استفاده می شود: , Where u=x; dv = cos(ax)dxیا dv = sin(ax)dx.

№6. تابع را در یک سری فوریه بسط دهید: الف) در بازه (-?،؟); ب) در بازه (0، 2؟)؛ ج) در بازه (0، ?) در یک سری سینوس.

راه حل.الف) نمودار یک تابع با 2؟ - ادامه دوره ای شکل دارد

تابع شرایط قضیه دیریکله را برآورده می کند و بنابراین می توان آن را به یک سری فوریه گسترش داد.

اجازه دهید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم. از آنجایی که تابع زوج است، bn = 0 (n = 0، 1، 2،…) و (n = 0، 1، 2،…).

برای محاسبه این انتگرال از فرمول انتگرال توسط قطعات در یک انتگرال معین استفاده می شود. ما گرفتیم

سری فوریه این تابع به شکل . به موجب آزمون دیریکله، این سری تابع x2 را در بازه (-؟،؟) نشان می دهد.

ب) فاصله (0، 2؟) نسبت به مبدا متقارن نیست و طول آن 2 است. ل= 2؟ ضرایب فوریه را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

بنابراین، سری فوریه دارای فرم است. به موجب قضیه دیریکله، سری به یک تابع مولد در نقاط x?(0,2?) و در نقاط 0 و 2? همگرا می شود. بها دادن. نمودار مجموع سری به نظر می رسد

ج) تابع منبسط شده در یک سری بر حسب سینوس باید فرد باشد. بنابراین، تابع داده شده x2 را در (-π,π) به روشی عجیب بسط می دهیم، یعنی. تابع را در نظر بگیرید برای این تابع f(x) یک = 0 داریم (n = 0، 1، 2،…) و

بسط مورد نظر دارای فرم است.

نمودار مجموع سری به نظر می رسد

توجه داشته باشید که در نقاط x = (-π, π) سری فوریه به صفر همگرا می شود.

№7 در یک سری فوریه تابعی را که به صورت گرافیکی داده شده است بسط دهید:

راه حل . یک عبارت صریح برای f(x) بدست می آوریم. نمودار تابع یک خط مستقیم است، ما از معادله یک خط مستقیم در فرم استفاده می کنیم. همانطور که از نقاشی مشخص است، i.e. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

این تابع شرایط آزمون دیریکله را برآورده می کند، بنابراین به یک سری فوریه تبدیل می شود. اجازه دهید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم ( ل = 1):

; (n = 1، 2،…)؛

سری فوریه برای تابع f(x) دارای شکل است

این تابع f(x) را در -1 نشان می دهد< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. تابع را به یک سری فوریه مثلثاتی در یک قطعه بسط دهید و تابعی را که سری حاصل به آن همگرا می شود نشان دهید.

راه حل.نمودار یک تابع را رسم کنید و آن را به صورت دوره ای با نقطه یا در کل محور ادامه دهید. تابع ادامه دارای یک دوره است.

شرایط را برای شرایط کافی برای همگرایی سری فوریه بررسی کنید (دینی-لیپشیتز، جردن، دیریکله).

تابع به صورت تکه تکه در بخش یکنواخت است: افزایش می یابد و روشن می شود. در نقاط، تابع دارای ناپیوستگی هایی از نوع اول است.

زوج یا فرد بودن یک تابع را دریابید: تابع نه زوج است و نه فرد.

الف) اگر تابع روی تنظیم شده باشد

ب) اگر تابع روی تنظیم شده باشد

سری فوریه تابع را بنویسید: .

با استفاده از معیارهای همگرایی نقطه‌ای تابعی را که این سری به آن همگرا می‌شود مشخص کنید: با توجه به معیار دیریکله، سری فوریه تابع به مجموع همگرا می‌شود:

№9. تابع را به یک سری فوریه بر حسب سینوس های روشن بسط دهید و از این بسط برای یافتن مجموع سری اعداد استفاده کنید.

راه حل.ادامه تابع به صورت زوج (فرد) روی (- پ,0) یا (- ل، 0)، و سپس به صورت دوره ای با دوره 2 پیا 2 لعملکرد را تا کل محور ادامه دهید.

تابع را به صورت فرد بر روی ادامه می دهیم و سپس به صورت دوره ای، با نقطه، آن را در کل محور ادامه می دهیم.

نمودار ادامه دوره ای را رسم کنید. تابعی از فرم را دریافت خواهیم کرد:

شرایط را برای شرایط کافی برای همگرایی سری فوریه بررسی کنید (دینی لیپیتز، جردن، دیریکله).

تابع به صورت تکه ای در بازه ثابت است: برابر است با -1 روشن و 1 روشن. در نقاط، تابع دارای ناپیوستگی هایی از نوع اول است.

محاسبه ضرایب فوریه:

ضرایب فوریه آن با فرمول های زیر محاسبه می شود:

سری فوریه تابع را بنویسید. .

با استفاده از معیارهای همگرایی نقطه ای، تابعی را که این سری به آن همگرا می شود، مشخص کنید.

طبق آزمون دیریکله، سری فوریه تابع به مجموع همگرا می شود:

بنابراین، در

با جایگزینی مقادیر، مجموع سری اعداد داده شده را نشان دهید.

با فرض تجزیه حاصل، در می یابیم:

از آنجا، از آنجا که، .

№10. تساوی پارسوال را برای تابع بنویسید و بر اساس این برابری مجموع سری اعداد را پیدا کنید.

راه حل.تعیین کنید که آیا تابع داده شده یک تابع مربع قابل انتگرال در است.

تابع پیوسته است و بنابراین، در ادغام پذیر است. به همین دلیل، مربع آن در ادغام پذیر است.

ضرایب فوریه را با استفاده از فرمول های زیر محاسبه کنید:

از آنجایی که تابع فرد است، ضرایب فوریه آن با فرمول های زیر محاسبه می شود:

انتگرال را محاسبه کنید.

فرمول پارسوال را بنویسید:

بنابراین، فرمول پارسوال دارای فرم است

پس از انجام، در صورت لزوم، عملیات حسابی در سمت راست و چپ، مجموع سری عددی داده شده را بدست آورید.

با تقسیم هر دو قسمت تساوی حاصل بر 144، در می یابیم: .

№11. انتگرال فوریه یک تابع را پیدا کنید

و نمودار آن را بسازید.

راه حل.تابع را رسم کنید.

برآورده شدن شرایط شرایط کافی برای همگرایی انتگرال فوریه (دینی، دیریکله-جردن یا پیامدهای آنها).

تابع کاملاً در بازه، پیوسته برای و ادغام پذیر است و دارای ناپیوستگی از نوع اول در یک نقطه است. علاوه بر این، تابع for و مشتق محدودی دارد و در صفر مشتقات راست و چپ متناهی وجود دارد. زوج یا فرد بودن تابع را دریابید. تابع نه زوج است و نه فرد. ; .

بنابراین، یا،

رونوشت

1 وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه دانشگاه دولتی نووسیبیرسک دانشکده فیزیک R. K. Belkheeva FOURIER سری در نمونه ها و وظایف آموزش نووسیبیرسک 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Fourier سری در مثال ها و مسائل: کتاب درسی / Novosib. حالت un-t. نووسیبیرسک، اس. ISBN این آموزش اطلاعات اولیه در مورد سری فوریه را ارائه می دهد، نمونه هایی را برای هر موضوع مورد مطالعه ارائه می دهد. نمونه ای از به کارگیری روش فوریه برای حل مسئله ارتعاشات عرضی یک رشته به تفصیل تجزیه و تحلیل شده است. مطالب گویا داده شده است. وظایفی برای راه حل مستقل وجود دارد. این برای دانشجویان و معلمان دانشکده فیزیک دانشگاه دولتی نووسیبیرسک در نظر گرفته شده است. منتشر شده بر اساس تصمیم کمیسیون روش شناسی دانشکده فیزیک NSU. داور دکتر فیزیک-ریاضی. علوم. V. A. Aleksandrov ISBN c دانشگاه دولتی نووسیبیرسک، 211 c Belkheeva R. K.، 211

3 1. بسط سری فوریه یک تابع تناوبی 2π تعریف. سری فوریه تابع f(x) سری تابعی a 2 + (a n cosnx + b n sin nx)، (1) است که در آن ضرایب a n، b n با فرمول محاسبه می شود: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx، n =، 1،...، (2) f(x) sin nxdx، n = 1، 2، .... (3) فرمول های (2) (3) فرمول های اویلر فوریه نامیده می شوند. . این واقعیت که تابع f(x) با سری فوریه (1) مطابقت دارد به صورت فرمول f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) نوشته می شود و می گویند سمت راست فرمول ( 4) یک سری رسمی توابع فوریه f(x) است. به عبارت دیگر، فرمول (4) فقط به این معنی است که ضرایب a n، b n با فرمول های (2)، (3) پیدا می شوند. 3

4 تعریف. یک تابع تناوبی 2π f(x) به صورت تکه ای صاف نامیده می شود اگر بازه [، π] حاوی تعداد محدود نقطه = x باشد.< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 شکل 1. نمودار تابع f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2، برای فرد n، برای n زوج، f(x) sin nxdx = چون تابع f(x) زوج است. سری فوریه رسمی را برای تابع f(x) می نویسیم: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 دریابید که آیا تابع f(x) به صورت تکه ای صاف است یا خیر. از آنجایی که پیوسته است، فقط حدود (6) را در نقاط انتهایی بازه x = ± π و در نقطه شکست x = : و f(π h) f(π) π h π lim = lim h + محاسبه می کنیم. h h + h = 1، f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1، h + h h + h = 1 ، f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h محدودیت ها وجود دارند و متناهی هستند، بنابراین تابع به صورت تکه ای صاف است. با قضیه همگرایی نقطه ای، سری فوریه آن در هر نقطه به عدد f(x) همگرا می شود، یعنی f(x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) شکل 2 و 3 کاراکتر تقریب مجموع جزئی سری فوریه S n (x) را نشان می دهد، که در آن S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx)، k=1، به تابع f(x) در بازه [، π] . 6

7 شکل شکل 2. نمودار تابع f(x) با نمودارهای روی هم از مجموع جزئی S (x) = a 2 و S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 3. نمودار تابع f (x) با یک نمودار جمع جزئی که روی آن قرار گرفته است S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 با جایگزینی در (7) x = بدست می آوریم: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2، از آنجا مجموع سری اعداد را می یابیم: = π2 8. با دانستن مجموع این سری، آن است. آسان برای یافتن مجموع زیر داریم: S = ( ) S = ()= π S، از این رو S = π2 6، یعنی 1 n = π مجموع این سری معروف اولین بار توسط لئونارد اویلر پیدا شد. اغلب در تجزیه و تحلیل ریاضی و کاربردهای آن یافت می شود. مثال 2. یک نمودار رسم کنید، سری فوریه تابعی که با فرمول f(x) = x برای x داده شده است را پیدا کنید.< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 شکل 4. نمودار تابع f(x) تابع f(x) به طور پیوسته در بازه (، π) قابل تمایز است. در نقاط x = ± π، حدهای محدود (5) دارد: f() =، f(π) = π. علاوه بر این، محدودیت های محدودی وجود دارد (6): f(+ h) f(+) lim = 1 و h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h بنابراین، f(x) است عملکرد صاف تکه ای از آنجایی که تابع f(x) فرد است، a n = است. ضرایب b n با ادغام با قطعات پیدا می شوند: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1) )n + یک. n اجازه دهید سری فوریه رسمی تابع 2(1) n+1 f(x) sin nx را بسازیم. n 9 cosnxdx ] =

10 با توجه به قضیه همگرایی نقطه ای برای یک تابع 2π-تناوبی صاف تکه ای، سری فوریه تابع f(x) به مجموع همگرا می شود: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x اگر π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 شکل. شکل 6. نمودار تابع f(x) با نمودار مجموع جزئی S 2 (x) بر روی آن قرار گرفته است. 7. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S 3 (x) 11 روی آن قرار گرفته است.

12 شکل. 8. نمودار تابع f(x) که نمودار حاصل جمع جزئی S 99 (x) روی آن قرار گرفته است، از سری فوریه به دست آمده برای یافتن مجموع دو سری عددی استفاده می کنیم. (8) x = π/2 را وارد می کنیم. سپس 2 () +... = π 2، یا = n= (1) n 2n + 1 = π 4. ما به راحتی مجموع سری معروف لایب نیتس را پیدا کردیم. با قرار دادن x = π/3 در (8)، () +... = π 2 3، یا (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k پیدا می کنیم

13 مثال 3. نموداری رسم کنید، سری فوریه تابع f(x) = sin x را پیدا کنید، با فرض اینکه دوره 2π دارد، و 1 مجموع سری اعداد 4n 2 را محاسبه کنید. 1. راه حل. نمودار تابع f(x) در شکل نشان داده شده است. 9. بدیهی است که f(x) = sin x یک تابع زوج پیوسته با دوره π است. اما 2π همچنین دوره تابع f(x) است. برنج. 9. نمودار تابع f(x) ضرایب فوریه را محاسبه می کنیم. همه b n = چون تابع زوج است. با استفاده از فرمول های مثلثاتی، یک n را برای n 1 محاسبه می کنیم: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 اگر n = 2k ، = π n 2 1 اگر n = 2 هزار

14 این محاسبه به ما اجازه نمی دهد ضریب a 1 را پیدا کنیم زیرا در n = 1 مخرج به صفر می رسد. بنابراین، ما ضریب a 1 را مستقیماً محاسبه می کنیم: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. از آنجایی که f(x) به طور پیوسته در (،) و (، π) قابل تمایز است و در نقاط kπ، (k یک عدد صحیح است)، محدودیت های محدود (5) و (6) وجود دارد، سری فوریه تابع به همگرا می شود. آن را در هر نقطه: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S(x) که روی آن قرار گرفته است 14

15 شکل شکل 11. نمودار تابع f(x) با نمودار جمع جزئی S 1 (x) بر روی آن قرار گرفته است. شکل 12. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S 2 (x) روی آن قرار گرفته است. 13. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S 99 (x) 15 روی آن قرار گرفته است.

16 1 مجموع سری اعداد را محاسبه کنید. برای این کار 4n 2 1 در (9) x = قرار می دهیم. سپس cosnx = 1 برای همه n = 1، 2،... و بنابراین، 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. مثال 4. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر یک تابع پیوسته صاف تکه ای f(x) شرط f(x π) = f(x) را برای همه x برآورده کند (یعنی π- تناوبی است) ، سپس a 2n 1 = b 2n 1 = برای همه n 1، و بالعکس، اگر a 2n 1 = b 2n 1 = برای همه n 1، آنگاه f(x) π-تناوبی است. راه حل. اجازه دهید تابع f(x) π-تناوبی باشد. اجازه دهید ضرایب فوریه آن a 2n 1 و b 2n 1 را محاسبه کنیم: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. در انتگرال اول تغییر متغیر x = t π را انجام می دهیم: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 با استفاده از این واقعیت که cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t و f(t π) = f(t)، به دست می آوریم: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. به طور مشابه ثابت شده است که b 2n 1 =. برعکس، اجازه دهید a 2n 1 = b 2n 1 =. از آنجایی که تابع f(x) پیوسته است، پس با قضیه نمایش پذیری یک تابع در یک نقطه با سری فوریه آن، داریم سپس f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n گناه 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x)، به این معنی که f(x) یک تابع تناوبی π است. مثال 5. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر یک تابع صاف تکه ای f(x) شرط f(x) = f(x) را برای همه x برآورده کند، آنگاه a = و a 2n = b 2n = برای همه n 1، و بالعکس ، اگر a = a 2n = b 2n =، آنگاه f(x π) = f(x) برای همه x. راه حل. اجازه دهید تابع f(x) شرط f(x π) = f(x) را برآورده کند. اجازه دهید ضرایب فوریه آن را محاسبه کنیم: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. در انتگرال اول تغییر متغیر x = t π را انجام می دهیم. سپس f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. با استفاده از این واقعیت که cos n(t π) = (1) n cosnt و f(t π) = f(t) به دست می آوریم: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = اگر n زوج، = 2 π f(t) cos nt dt، اگر n فرد باشد. π به طور مشابه ثابت می شود که b 2n =. برعکس، اجازه دهید a = a 2n = b 2n =، برای همه n 1. از آنجایی که تابع f(x) پیوسته است، پس با قضیه نمایش پذیری یک تابع در یک نقطه، سری فوریه آن برابری f( را برآورده می کند. x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). هجده

19 سپس = f(x π) = = = f(x). مثال 6. اجازه دهید نحوه گسترش تابع f(x) قابل انتگرال در بازه [، π/2] را به بازه [، π] بسط دهیم، به طوری که سری فوریه آن به شکل: a 2n 1 cos (2n 1) باشد. ایکس. (1) راه حل. اجازه دهید نمودار تابع به شکلی باشد که در شکل نشان داده شده است. 14. از آنجایی که در سری (1) a = a 2n = b 2n = برای همه n، از مثال 5 نتیجه می گیرد که تابع f(x) باید برابری f(x π) = f(x) را برای همه x برآورده کند. این مشاهدات راهی برای گسترش تابع f(x) به بازه [، /2] نشان می دهد: f(x) = f(x+π)، شکل. 15. از این واقعیت که سری (1) فقط دارای کسینوس است، نتیجه می گیریم که تابع ادامه یافته f (x) باید زوج باشد (یعنی نمودار آن باید متقارن در مورد محور Oy باشد).

20 شکل 14. نمودار تابع f(x) 15. نمودار ادامه تابع f(x) در بازه [, /2] 2

21 بنابراین، تابع مورد نظر شکل نشان داده شده در شکل را دارد. 16. شکل. 16. نمودار ادامه تابع f(x) در بازه [، π] با جمع بندی، نتیجه می گیریم که تابع را باید به صورت زیر ادامه داد: f(x) = f(x)، f(π x) = f(x)، که بازه [π/2، π] است، نمودار تابع f(x) به طور مرکزی در مورد نقطه (π/2،) متقارن است، و در بازه [، π]، نمودار آن است. متقارن در مورد محور Oy. 21

22 تعمیم مثال ها 3 6 بگذارید l >. دو شرط را در نظر بگیرید: a) f(l x) = f(x); ب) f(l + x) = f(x)، x [، l/2]. از نقطه نظر هندسی، شرط (a) به این معنی است که نمودار تابع f(x) نسبت به خط عمودی x = l/2 متقارن است و شرط (b) که نمودار f(x) به طور مرکزی در مورد آن متقارن است. نقطه (l/2;) روی آبسیسا محور. سپس عبارات زیر درست هستند: 1) اگر تابع f(x) زوج باشد و شرط (a) برقرار باشد، آنگاه b 1 = b 2 = b 3 =... =، a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) اگر تابع f(x) زوج باشد و شرط (b) برقرار باشد، آنگاه b 1 = b 2 = b 3 =... =، a = a 2 = a 4 =... = ; 3) اگر تابع f(x) فرد باشد و شرط (a) برقرار باشد، a = a 1 = a 2 =... =، b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) اگر تابع f(x) فرد باشد و شرط (b) برقرار باشد، a = a 1 = a 2 =... =، b 1 = b 3 = b 5 =... =. مشکلات در مسائل 1 7 نمودارها را رسم کنید و سری فوریه را برای توابع پیدا کنید، (با فرض اینکه دوره 2π داشته باشند: اگر< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 اگر / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. بسط یک تابع داده شده در بازه [، π] فقط بر حسب سینوس یا فقط بر حسب کسینوس اجازه دهید یک تابع f در بازه [، π] داده شود. اگر بخواهیم آن را در این بازه به یک سری فوریه گسترش دهیم، ابتدا f را به صورت دلخواه به بازه [، π] گسترش می دهیم و سپس از فرمول های اویلر فوریه استفاده می کنیم. دلبخواهی در ادامه یک تابع به این واقعیت منجر می شود که برای همان تابع f: [, π] R می توانیم سری های فوریه متفاوتی به دست آوریم. اما می توان از این خودسری به گونه ای استفاده کرد که فقط در سینوس ها یا فقط در کسینوس ها انبساط به دست آورد: در حالت اول، به ادامه f به صورت فرد و در حالت دوم به صورت زوج کافی است. الگوریتم حل 1. تابع را به صورت فرد (زوج) روی (,) ادامه دهید و سپس به صورت دوره ای با دوره 2π تابع را تا کل محور ادامه دهید. 2. ضرایب فوریه را محاسبه کنید. 3. سری فوریه تابع f(x) را بنویسید. 4. شرایط همگرایی سری را بررسی کنید. 5. تابعی که این سری به آن همگرا می شود را مشخص کنید. مثال 7. تابع f(x) = cosx را گسترش دهید،< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 شکل 17. نمودار تابع ادامه یافته بدیهی است که تابع f (x) به صورت تکه ای صاف است. بیایید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم: a n = برای همه n زیرا تابع f (x) فرد است. اگر n 1، آنگاه b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 اگر n = 2 k + 1، (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) (n 1) 2 2n اگر n = 2k. π n 2 1 برای n = 1 در محاسبات قبلی، مخرج ناپدید می شود، بنابراین ضریب b 1 را می توان مستقیماً محاسبه کرد.

26 اساسا: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. سری فوریه تابع f (x) را بنویسید: f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. از آنجایی که تابع f (x) به صورت تکه ای صاف است، پس با قضیه همگرایی نقطه ای، سری فوریه تابع f (x) به مجموع cosx همگرا می شود اگر π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 شکل. شکل 18. نمودار تابع f (x) با نمودار جمع جزئی S 1 (x) روی آن قرار گرفته است. 19. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S 2 (x) روی آن قرار گرفته است 27

28 شکل. شکل 2. نمودار تابع f (x) با نمودار جمع جزئی S 3 (x) روی آن قرار گرفته است. 21 نمودارهای تابع f (x) و جمع جزئی آن S 99 (x) را نشان می دهد. برنج. 21. نمودار تابع f (x) با نموداری از جمع جزئی S 99 (x) 28 که روی آن قرار گرفته است.

29 مثال 8. اجازه دهید تابع f(x) = e ax, a >, x [, π] را در یک سری فوریه فقط در کسینوس بسط دهیم. راه حل. تابع را به صورت زوج به (،) ادامه می دهیم (یعنی، به طوری که تساوی f(x) = f(x) برای همه x (، π) برقرار است)، و سپس به صورت دوره ای با یک دوره 2π به کل واقعی است. محور. تابع f (x) را بدست می آوریم که نمودار آن در شکل نشان داده شده است. 22. تابع f (x) در نقاط 22. نمودار تابع ادامه یافته f (x) x = kπ، k یک عدد صحیح است، دارای پیچ خوردگی است. اجازه دهید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم: b n =، زیرا f (x) زوج است. با ادغام توسط قطعات، 29 بدست می آوریم

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1)، f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 بنابراین، a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 از آنجایی که f (x) پیوسته است، طبق قضیه همگرایی نقطه‌ای، سری فوریه آن به f (x) همگرا می‌شود. از این رو، برای همه x [، π] f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) داریم. شکل ها تقریب تدریجی مجموع جزئی سری فوریه را به یک تابع ناپیوسته معین نشان می دهند. 3

31 شکل. 23. نمودار توابع f (x) و S (x) 24. نمودارهای توابع f (x) و S 1 (x) 25. نمودارهای توابع f (x) و S 2 (x) 26. نمودار توابع f (x) و S 3 (x) 31

32 شکل. 27. نمودارهای توابع f (x) و S 4 (x) 28. نمودارهای توابع f (x) و S 99 (x) مسئله 9. تابع f(x) = cos x، x π را در یک سری فوریه فقط در کسینوس بسط دهید. 1. تابع f (x) \u003d e ax, a >, x π را در سری فوریه فقط بر حسب سینوس بسط دهید. 11. تابع f (x) \u003d x 2, x π را در یک سری فوریه فقط در سینوس بسط دهید. 12. تابع f (x) \u003d sin ax, x π را در سری فوریه فقط بر حسب کسینوس بسط دهید. 13. تابع f (x) \u003d x sin x, x π را در یک سری فوریه فقط در سینوس بسط دهید. پاسخ 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. اگر a یک عدد صحیح نباشد، sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2 اگر a = 2m یک عدد زوج باشد، آنگاه sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; اگر a = 2m 1 یک عدد فرد مثبت باشد، آنگاه sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. سری فوریه یک تابع با دوره دلخواه فرض کنیم تابع f(x) در بازه [l, l]، l > تعریف شده است. با جایگزینی x = ly، y π، تابع g(y) = f(ly/π) تعریف شده در بازه π [، π] را بدست می آوریم. این تابع g(y) مربوط به سری فوریه (رسمی) () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny)، که ضرایب آن با فرمول های فوریه اویلر پیدا می شود: a n = 1 π. g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy، n =، 1، 2،...، 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... πl، یک سری مثلثاتی کمی تغییر یافته برای تابع f(x) بدست می آوریم: جایی که f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx)، (11) l dx، n =، 1، 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) فرمول های (11) (13) گفته می شود که بسط را در یک سری فوریه از یک تابع با دوره دلخواه تعریف می کنند. مثال 9. سری فوریه تابع داده شده در بازه (l, l) را با عبارت (A if l) پیدا کنید.< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l a n = 1 l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = اگر n، l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn سری فوریه تابع f (x) را بسازید: f(x) A + B π (B A چون cosπn = (1) n، پس n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l برای n = 2k، b n = b 2k =، برای n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1) بدست می آوریم.

36 بنابراین f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l طبق قضیه همگرایی نقطه‌ای، سری فوریه تابع f(x) به جمع A همگرا می شود، اگر l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 شکل. 29. نمودار تابع f (x) با نمودارهای روی هم از هارمونیک ها S (x) = a 2 و S 1 (x) = b 1 sinx. برای وضوح، گرافیک سه هارمونیک بالاتر S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx، S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l و S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx به صورت عمودی جابه جا می شوند. تا l 37

38 شکل. شکل 3. نمودار تابع f(x) با نمودار مجموع جزئی S 99 (x) روی آن قرار گرفته است. 31. تکه ای از انجیر. 3 در مقیاس دیگر 38

39 مشکلات در مسائل، توابع مشخص شده در سری فوریه را در فواصل معین گسترش دهید. 14. f(x) = x 1، (1، 1). 15. f(x) = ch2x، (2، 2] f(x) = x (1 x)، (1، 1]. 17. f(x) = cos π x، [ 1، 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 if 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2) πx cos، π 2 (2n 1) 2 l ب) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x شکل پیچیده سری فوریه تجزیه f(x) = c n e inx، که در آن c n = 1 2π f (x)e inx dx، n = ± 1، ± 2،...، شکل مختلط سری فوریه نامیده می شود. تابع به یک سری فوریه پیچیده تحت همان شرایطی که در آن به یک سری فوریه واقعی گسترش می یابد، گسترش می یابد. چهار

41 مثال 1. سری فوریه را به شکل مختلط تابعی که با فرمول f(x) = e ax در بازه [، π) ارائه می‌شود، پیدا کنید، که a یک عدد واقعی است. راه حل. اجازه دهید ضرایب را محاسبه کنیم: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) سری فوریه مختلط تابع f به شکل f(x) sh aπ π n= (1) n a در einx است. اجازه دهید بررسی کنیم که تابع f(x) به صورت تکه ای صاف است: در بازه (، π) به طور پیوسته قابل تمایز است، و در نقاط x = ± π محدودیت های محدود (5)، (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. بنابراین، تابع f(x) را می توان با یک سری فوریه sh aπ π n= (1) n a در einx نشان داد، که به مجموع همگرا می شود: (e S(x) = ax اگر π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 مثال 11. سری فوریه را در شکل مختلط و واقعی تابعی که با فرمول f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 داده شده است، بیابید، جایی که a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 به یاد بیاورید که مجموع یک تصاعد هندسی نامتناهی با مخرج q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 حالا بیایید سری فوریه را به شکل واقعی پیدا کنیم. برای انجام این کار، عبارت ها را با اعداد n و n برای n گروه بندی می کنیم: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx چون c = 1، سپس 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 این یک سری فوریه به شکل واقعی تابع f(x) است. بنابراین، بدون محاسبه یک انتگرال، سری فوریه تابع را پیدا کردیم. با انجام این کار، بسته به پارامتر cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a یک انتگرال سخت را محاسبه کردیم.< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 هر یک از کسرهای ساده را مطابق فرمول پیشرفت هندسی گسترش می دهیم: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n، n= z a 1 z a = az = a n z n. n= این امکان پذیر است زیرا az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >، یا به طور خلاصه، c n = 1 2i a n sgnn. بنابراین، سری فوریه به شکل پیچیده یافت می شود. با گروه بندی عبارات با اعداد n و n، سری فوریه تابع را به صورت واقعی به دست می آوریم: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. دوباره، ما موفق شدیم انتگرال مختلط زیر را محاسبه کنیم: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 مسئله 24. با استفاده از (15)، انتگرال cos nxdx 1 2a cosx + a 2 را برای a واقعی محاسبه کنید، a > با استفاده از (16)، انتگرال sin x sin nxdx را برای a واقعی محاسبه کنید، a > a cosx + a2 در مسائل ، سری فوریه را به صورت مختلط برای توابع پیدا کنید. 26. f(x) = sgn x، π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. قضیه برابری لیاپانوف (برابری لیاپانوف). فرض کنید یک تابع f: [, π] R طوری باشد که f 2 (x) dx باشد< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. بنابراین، برابری لیاپانوف برای تابع f(x) به این شکل است: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. از آخرین برابری برای π، sin 2 na n 2 = a(π a) 2 را با فرض a = π 2 می یابیم، sin2 na = 1 برای n = 2k 1 و sin 2 na = برای n = 2k به دست می آوریم. بنابراین، k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. مثال 14. اجازه دهید برابری لیاپانوف را برای تابع f(x) = x cosx، x [، π] بنویسیم و از آن برای یافتن مجموع سری اعداد (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. راه حل 1 π. محاسبات مستقیم = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 از آنجایی که f(x) یک تابع زوج است، پس برای همه n b n =، a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) داریم. )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 اگر n = 2k، 2 اگر n = 2k + 1. ضریب a 1 باید جداگانه محاسبه شود، زیرا در فرمول کلی برای n = 1 مخرج کسر ناپدید می شود. . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = گناه 2xdx = π 2.

50 بنابراین، تساوی لیاپانوف برای تابع f(x) به شکل زیر است: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π مسئله 32. تساوی لیاپانوف را بنویسید. برای تابع (x f(x) = 2 πx اگر x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 پاسخ ها + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n، که در آن c n ضریب فوریه 2π از f(x) و d n است. توابع ضریب فوریه g(x) است. 6. تمایز سری فوریه فرض کنید f: R R یک تابع متناوب 2π به طور پیوسته قابل تمایز باشد. سری فوریه آن به شکل: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx) است. مشتق f (x) این تابع یک تابع پیوسته و 2π-تناوبی خواهد بود که برای آن می توان یک سری فوریه رسمی نوشت: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx)، که در آن a, a n , b n, n = 1 , 2,... ضرایب فوریه تابع f (x). 51

52 قضیه (در مورد تمایز ترم به ترم سری فوریه). بر اساس مفروضات بالا، تساوی a =، a n = nb n، ​​b n = na n، n 1 درست است. مثال 15. فرض کنید یک تابع تکه ای صاف f(x) در بازه [، π] پیوسته باشد. اجازه دهید ثابت کنیم که وقتی شرط f(x)dx = برآورده می شود، نابرابری 2 dx 2 dx که نامساوی استکلوف نامیده می شود برقرار است، و بررسی می کنیم که تساوی در آن فقط برای توابع به شکل f(x) = A تحقق می یابد. cosx به عبارت دیگر، نابرابری استکلوف شرایطی را به دست می‌دهد که در آن کوچکی مشتق (در مربع میانگین) بر کوچکی تابع (در مربع میانگین) دلالت دارد. راه حل. اجازه دهید تابع f(x) را به بازه [، ] به طور یکنواخت گسترش دهیم. تابع توسعه یافته را با همان نماد f(x) نشان دهید. سپس تابع ادامه پیوسته و تکه تکه در بازه [، π] صاف خواهد بود. از آنجایی که تابع f(x) پیوسته است، پس f 2 (x) در بازه و 2 dx پیوسته است.< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 از آنجایی که تابع ادامه دار زوج است، b n =، a = بر اساس شرط. در نتیجه، برابری لیاپانوف شکل 1 π 2 dx = a 2 π n را به خود می گیرد. (17) اجازه دهید مطمئن شویم که f (x) نتیجه‌گیری قضیه مربوط به تمایز ترم به ترم سری فوریه را برآورده می‌کند، یعنی a =، a n = nb n، ​​b n = na n، n 1. اجازه دهید مشتق f (x) در نقاط x 1، x 2،...، x N در بازه [، π] دچار شکست شود. x =، x N+1 = π را نشان می دهیم. اجازه دهید بازه ادغام [، π] را به N +1 بازه (x، x 1)،...، (x N، x N+1) تقسیم کنیم، که در هر یک از آنها f(x) به طور پیوسته قابل تمایز است. سپس با استفاده از خاصیت افزایشی انتگرال و سپس ادغام با قطعات، به دست می آید: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= به طور مشابه، یک n = nb n دریافت می کنیم. ما نشان دادیم که قضیه تمایز ترم به ترم سری های فوریه برای یک تابع متناوب 2π-تناوبی به صورت تکه ای صاف که مشتق آن در بازه [، π] تحت ناپیوستگی های نوع اول قرار می گیرد، درست است. بنابراین f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx، زیرا a =، a n = nb n =، b n = na n، n = 1، 2، .... 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 از آنجایی که هر جمله از سری در (18) بزرگتر یا مساوی با جمله متناظر سری در (17) است، پس 2 dx 2 dx است. با یادآوری اینکه f(x) ادامه زوج تابع اصلی است، 2 dx 2 dx داریم. که برابری Steklov را ثابت می کند. حال اجازه دهید بررسی کنیم که تساوی برای کدام توابع در نابرابری Steklov وجود دارد. اگر حداقل برای یک n 2، ضریب a n غیر صفر باشد، 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 مشکلات 37. اجازه دهید یک تابع تکه ای صاف f(x) در بازه [، π] پیوسته باشد. ثابت کنید که تحت شرط f() = f(π) = نابرابری 2 dx 2 dx، که نامساوی استکلوف نیز نامیده می شود، برقرار است، و مطمئن شوید که تساوی در آن فقط برای توابعی به شکل f(x) = B sin x صادق است. . 38. فرض کنید یک تابع f در بازه [، π] پیوسته باشد و در آن (به استثنای تعداد محدودی از نقاط) یک مشتق مربع انتگرال پذیر f(x) داشته باشد. ثابت کنید که اگر شرایط f() = f(π) و f(x) dx = برآورده شوند، نابرابری 2 dx 2 dx که نابرابری Wirtinger نامیده می شود برقرار است و تساوی در آن فقط برای توابعی از فرم f(x) = A cosx + B sinx. 56

57 7. کاربرد سری فوریه برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی هنگام مطالعه یک شی واقعی (پدیده های طبیعی، فرآیند تولید، سیستم کنترل و غیره)، دو عامل مهم هستند: سطح دانش انباشته شده در مورد شی مورد مطالعه و درجه توسعه دستگاه ریاضی. در مرحله کنونی تحقیقات علمی، زنجیره زیر توسعه یافته است: یک پدیده، یک مدل فیزیکی، یک مدل ریاضی. فرمول فیزیکی (مدل) مسئله به شرح زیر است: شرایط توسعه فرآیند و عوامل اصلی مؤثر بر آن شناسایی می شود. فرمول (مدل) ریاضی شامل توصیف عوامل و شرایط انتخاب شده در فرمول بندی فیزیکی در قالب یک سیستم معادلات (جبری، دیفرانسیل، انتگرال و غیره) است. اگر در یک فضای عملکردی معین، راه حل مسئله وجود داشته باشد، به یک مسئله به خوبی گفته می شود که به طور منحصر به فرد و پیوسته به شرایط اولیه و مرزی بستگی دارد. مدل ریاضی با شی مورد نظر یکسان نیست، اما توصیف تقریبی آن است. بگذارید انتهای رشته ثابت شود و خود نخ کشیده شود. اگر رشته از حالت تعادل خارج شود (مثلاً با کشیدن یا ضربه زدن به آن)، رشته با شماره 57 شروع می شود.

58 تردید. فرض می کنیم که تمام نقاط ریسمان عمود بر موقعیت تعادل آن (ارتعاشات عرضی) حرکت می کنند و در هر لحظه از زمان رشته در همان صفحه قرار می گیرد. اجازه دهید سیستم مختصات مستطیلی xou را در این صفحه در نظر بگیریم. سپس، اگر در زمان اولیه t = رشته در امتداد محور Ox قرار داشته باشد، u به معنای انحراف رشته از موقعیت تعادل است، یعنی موقعیت نقطه رشته با آبسیسا x در زمان دلخواه t. با مقدار تابع u(x,t) مطابقت دارد. برای هر مقدار ثابت t، نمودار تابع u(x,t) شکل رشته ارتعاشی را در زمان t نشان می دهد (شکل 32). در مقدار ثابت x، تابع u(x,t) قانون حرکت نقطه ای را با ابسیسا x در امتداد یک خط مستقیم موازی با محور Ou می دهد، مشتق u t سرعت این حرکت است و دومی مشتق 2 u t 2 شتاب است. برنج. 32. نیروهای اعمال شده به بخش بی نهایت کوچکی از یک رشته بیایید معادله ای بنویسیم که تابع u(x, t) باید آن را برآورده کند. برای انجام این کار، چند فرض ساده تر را مطرح می کنیم. فرض می کنیم که رشته کاملاً انعطاف پذیر است.

59 coy، یعنی فرض می کنیم که رشته در برابر خم شدن مقاومت نمی کند. این بدان معنی است که تنش های ایجاد شده در رشته همیشه به صورت مماس بر مشخصات آنی آن هدایت می شود. ریسمان الاستیک و تابع قانون هوک فرض می شود. این بدان معنی است که تغییر در بزرگی نیروی کشش متناسب با تغییر طول رشته است. اجازه دهید فرض کنیم که رشته همگن است. این بدان معنی است که چگالی خطی ρ آن ثابت است. ما از نیروهای خارجی غافل هستیم. این بدان معنی است که ما نوسانات آزاد را در نظر می گیریم. ما فقط ارتعاشات کوچک یک رشته را مطالعه خواهیم کرد. اگر زاویه بین محور ابسیسا و مماس به ریسمان را در نقطه ای با آبسیسا x در زمان t با ϕ(x, t) نشان دهیم، آنگاه شرط کوچکی نوسانات این است که مقدار ϕ 2 (x) , t) را می توان در مقایسه با ϕ (x, t) نادیده گرفت، یعنی ϕ 2. از آنجایی که زاویه ϕ کوچک است، پس cos ϕ 1، ϕ sin ϕ tg ϕ u، بنابراین، مقدار (u x x,) 2 می تواند نیز نادیده گرفته شود. بلافاصله از این نتیجه می شود که در فرآیند نوسان می توانیم از تغییر طول هر بخش از رشته چشم پوشی کنیم. در واقع، طول یک تکه ریسمان M 1 M 2 در فاصله محور x، که در آن x 2 = x 1 + x، برابر با l = x 2 x () 2 u dx x است. x اجازه دهید نشان دهیم که تحت فرضیات ما، مقدار نیروی کشش T در طول کل رشته ثابت خواهد بود. برای این کار مقداری از رشته M 1 M 2 (شکل 32) را در زمان t می گیریم و عمل قسمت های دور ریخته شده را جایگزین می کنیم.

60 kov توسط نیروهای کششی T 1 و T 2. از آنجایی که طبق شرایط، تمام نقاط ریسمان به موازات محور Ou حرکت می کنند و هیچ نیروی خارجی وجود ندارد، مجموع برآمدگی نیروهای کششی روی محور Ox است. باید برابر با صفر باشد: T 1 cosφ (x 1, t) + T 2 cosφ (x 2, t) =. از این رو، به دلیل کوچک بودن زاویه‌های ϕ 1 = ϕ (x 1, t) و ϕ 2 = ϕ (x 2, t)، نتیجه می‌گیریم که T 1 = T 2. مقدار کلی T 1 = T 2 را نشان می‌دهیم. توسط T. اکنون مجموع برآمدگی‌های F u نیروهای مشابه را روی محور Ou محاسبه می‌کنیم: F u = T sin φ(x 2, t) T sin φ(x1, t). (2) از آنجایی که برای زوایای کوچک sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t) و tg ϕ(x, t) u(x, t)/x، معادله (2) را می توان به صورت F u T بازنویسی کرد. (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2 (x 1, t) x . از آنجایی که نقطه x 1 خودسرانه انتخاب می شود، پس F u T 2 u x2(x, t) x. پس از اینکه تمام نیروهای وارد بر مقطع M 1 M 2 یافت شد، قانون دوم نیوتن را بر آن اعمال می کنیم که بر اساس آن حاصل ضرب جرم و شتاب برابر با مجموع همه نیروهای فعال است. جرم یک تکه رشته M 1 M 2 برابر m = ρ l ρ x است و شتاب آن برابر با 2 u(x, t) است. معادله t 2 نیوتن به این شکل است: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x، که α 2 = T ρ یک عدد مثبت ثابت است. 6

61 با کاهش x، 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t) بدست می آوریم. (21) در نتیجه، ما یک معادله دیفرانسیل جزئی همگن خطی از مرتبه دوم با ضرایب ثابت به دست آورده ایم. به آن معادله ارتعاش رشته یا معادله موج یک بعدی می گویند. معادله (21) اساساً فرمول بندی مجدد قانون نیوتن است و حرکت یک ریسمان را توصیف می کند. اما در فرمول بندی فیزیکی مسئله، الزاماتی وجود داشت که انتهای رشته ثابت باشد و موقعیت رشته در یک مقطع زمانی مشخص باشد. این شرایط را در معادلات به صورت زیر می نویسیم: الف) فرض می کنیم که انتهای رشته در نقاط x = و x = l ثابت است، یعنی برای همه t روابط u(,t) = فرض می کنیم. , u(l, t ) = ; (22) ب) فرض می کنیم که در زمان t = موقعیت رشته با نمودار تابع f(x) منطبق است، یعنی، فرض می کنیم که برای همه x [، l] برابری u(x، ) = f( x); (23) ج) فرض می کنیم که در زمان t = به نقطه رشته با ابسیسا x سرعت g(x) داده می شود، یعنی فرض می کنیم که u (x,) = g(x). (24) t روابط (22) را شرایط مرزی و روابط (23) و (24) را شرایط اولیه می نامند. مدل ریاضی عرضی کوچک آزاد ۶۱

62 ارتعاش ریسمان این است که حل معادله (21) با شرایط مرزی (22) و شرایط اولیه (23) و (24) حل معادله ارتعاشات عرضی کوچک آزاد ریسمان به روش فوریه ضروری است.< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. با جایگزینی (25) به (21)، دریافت می کنیم: X T = α 2 X T، (26) یا T (t) α2 T(t) = X (x) X(x). (27) گفته می شود که تفکیک متغیرها صورت گرفته است. از آنجایی که x و t به یکدیگر وابسته نیستند، سمت چپ در (27) به x وابسته نیست، اما سمت راست به t وابسته نیست و مقدار کل این نسبت ها 62 است.

63 باید ثابت باشد که آن را با λ نشان می دهیم: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. از این رو ما دو معادله دیفرانسیل معمولی به دست می آوریم: X (x) λx(x) =، (28) T (t) α2 λt(t) =. (29) در این حالت، شرایط مرزی (22) به شکل X()T(t) = و X(l)T(t) = است. از آنجایی که آنها باید برای همه t، t > و سپس X() = X(l) = برآورده شوند. (3) اجازه دهید راه حل های معادله (28) را با شرایط مرزی (3) بیابیم. بیایید سه مورد را در نظر بگیریم. مورد 1: λ >. λ = β 2 را نشان می دهیم. معادله (28) به شکل X (x) β 2 X(x) = است. معادله مشخصه آن k 2 β 2 = دارای ریشه k = ± β است. بنابراین جواب کلی معادله (28) به شکل X(x) = C e βx + De βx است. باید ثابت های C و D را طوری انتخاب کنیم که شرایط مرزی (3) برآورده شوند، یعنی X() = C + D =، X(l) = C e βl + De βl =. از آنجا که β، پس این سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد دارد C = D =. بنابراین X(x) و 63

64 u (x, t). بنابراین، در مورد 1 ما یک راه حل بی اهمیت به دست آورده ایم، که ما آن را بیشتر بررسی نمی کنیم. مورد 2: λ =. سپس معادله (28) شکل X (x) = را به خود می گیرد و حل آن به وضوح با فرمول X(x) = C x+d به دست می آید. با جایگزینی این محلول در شرایط مرزی (3)، X() = D = و X(l) = Cl =، از این رو C = D = به دست می آوریم. بنابراین X(x) و u(x,t)، و ما دوباره یک راه حل بی اهمیت داریم. مورد 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 در ادامه به n فقط مقادیر مثبت نسبت می دهیم n = 1, 2,... زیرا برای n منفی راه حل های هم شکل (nπ) بدست می آید. مقادیر λ n = هستند. به نام مقادیر ویژه، و توابع X n (x) = C n sin πnx توابع ویژه معادله دیفرانسیل (28) با شرایط مرزی (3). حال بیایید معادله (29) را حل کنیم. برای او، معادله مشخصه به شکل k 2 α 2 λ = است. (32) l 2 از آنجایی که در بالا متوجه شدیم که راه حل های غیر بدیهی X(x) معادله (28) فقط برای λ منفی برابر با λ = n2 π 2 وجود دارند، این λ هستند که در زیر در نظر می گیریم. ریشه های معادله (32) k = ± iα λ است و راه حل های معادله (29) به شکل: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt، (33) l l که در آن A n و B n ثابت دلخواه هستند. با جایگزینی فرمول های (31) و (33) به (25)، راه حل های خاصی از معادله (21) را می یابیم که شرایط مرزی (22) را برآورده می کند: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n گناه pnx. l l l با وارد کردن ضریب C n در پرانتز و معرفی نماد C n A n = b n و B n C n = a n، u n (X, T) را به صورت (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt می نویسیم. ) گناه pnx. (34) l l l 65

66 ارتعاشات ریسمان مربوط به محلول های u n (x,t) را ارتعاشات طبیعی ریسمان می گویند. از آنجایی که رابطه (21) و شرایط مرزی (22) خطی و همگن هستند، پس ترکیب خطی راه حل های (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l خواهد بود حل معادله (21) که شرایط مرزی (22) را با انتخاب خاصی از ضرایب a n و b n برآورده می کند، که همگرایی یکنواخت سری را تضمین می کند. اکنون ضرایب a n و b n راه حل (35) را انتخاب می کنیم تا نه تنها شرایط مرزی، بلکه شرایط اولیه (23) و (24) را نیز برآورده کند، که در آن f(x)، g(x) توابع داده شده است ( علاوه بر این، f() = f (l) = g() = g(l) =). فرض می کنیم که توابع f(x) و g(x) شرایط بسط فوریه را برآورده می کنند. با جایگزینی مقدار t = به (35)، u(x,) = a n sin πnx l = f(x) بدست می آوریم. با تمایز سری (35) نسبت به t و جایگزینی t =، u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x) بدست می آوریم و این بسط توابع f(x) و g(x) است. به سری فوریه بنابراین، a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx، b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 با جایگزینی عبارات ضرایب a n و b n به سری (35)، راه حلی برای معادله (21) بدست می آوریم که شرایط مرزی (22) و شرایط اولیه (23) و (24) را برآورده می کند. بنابراین، ما مشکل ارتعاشات عرضی کوچک آزاد یک رشته را حل کرده ایم. اجازه دهید معنای فیزیکی توابع ویژه u n (x, t) مسئله ارتعاشات آزاد یک رشته را که با فرمول (34) تعریف شده است، روشن کنیم. اجازه دهید آن را به گونه ای بازنویسی کنیم که u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n، (t + δ n) sin πnx، (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n فرمول (37) نشان می دهد که تمام نقاط رشته نوسانات هارمونیک را با فرکانس یکسان ω n = πnα و فاز πnα δ n انجام می دهند. دامنه نوسان به l l ابسیسا x نقطه رشته بستگی دارد و برابر α n sin πnx است. با چنین نوسانی، تمام نقاط ریسمان به طور همزمان به حداکثر انحراف l خود در یک جهت یا جهت دیگر می رسند و همزمان از موقعیت تعادل عبور می کنند. به این گونه نوسانات امواج ایستاده می گویند. یک موج ایستاده دارای n + 1 نقطه ثابت خواهد بود که توسط ریشه های معادله sin πnx = در بازه [، l] داده می شود. نقاط ثابت را گره های موج ایستاده می نامند. در وسط بین گره ها - l mi نقاطی هستند که در آن انحرافات به حداکثر می رسد. به چنین نقاطی آنتی گره می گویند. هر رشته می تواند نوسانات خاص خود را از فرکانس های کاملاً تعریف شده داشته باشد ω n = πnα، n = 1، 2، .... به این فرکانس ها فرکانس های طبیعی رشته می گویند. کمترین صدای l که یک سیم می تواند تولید کند توسط خودش 67 تعیین می شود

68 فرکانس طبیعی کم ω 1 = π T و تون اساسی سیم نامیده می شود. تون های باقیمانده مربوط به l ρ فرکانس های ω n، n = 2، 3،...، اورتون یا هارمونیک نامیده می شوند. برای وضوح، نیمرخ‌های معمولی یک رشته را به تصویر می‌کشیم که تون اصلی (شکل 33)، نوای اول (شکل 34) و نوای دوم (شکل 35) را منتشر می‌کند. برنج. شکل 33. نمایه رشته ای که صدای اصلی را ساطع می کند. شکل 34. نمایه رشته ای که اولین تون را منتشر می کند. شکل 35. نمایه رشته ای که یک تون تون دوم را ساطع می کند اگر رشته ارتعاشات آزاد تعیین شده توسط شرایط اولیه را انجام دهد، آنگاه تابع u(x, t) نشان داده می شود، همانطور که از فرمول (35) مشاهده می شود، به صورت مجموع از هارمونیک های فردی بنابراین نوسان دلخواه 68

رشته شصت و نهم برهم نهی امواج ایستاده است. در این حالت، ماهیت صدای سیم (تن، قدرت صدا، تایم) به نسبت بین دامنه هارمونیک های منفرد بستگی دارد.قدرت، زیر و بم و تن صدا یک سیم ارتعاشی ارتعاشات هوا را که توسط انسان درک می شود تحریک می کند. گوش به عنوان صدایی که از یک سیم ساطع می شود. قدرت صدا با انرژی یا دامنه ارتعاش مشخص می شود: هر چه انرژی بیشتر باشد، قدرت صدا بیشتر می شود. زیر و بمی صدا بر اساس فرکانس یا دوره نوسان آن تعیین می شود: هر چه فرکانس بیشتر باشد، صدا بالاتر است. تن صدا با وجود تون ها، توزیع انرژی روی هارمونیک ها، یعنی روش برانگیختن نوسانات تعیین می شود. به طور کلی، دامنه ی تون ها کمتر از دامنه ی فاندامنتال است، و مراحل تون ها می توانند دلخواه باشند. گوش ما به فاز نوسانات حساس نیست. برای مثال، دو منحنی در شکل 1 را مقایسه کنید. 36، وام گرفته شده از . این ضبط صدا با همان لحن اساسی است که از کلارینت (الف) و پیانو (ب) استخراج شده است. هر دو صدا نوسانات سینوسی ساده نیستند. فرکانس اساسی صدا در هر دو حالت یکسان است و همین باعث ایجاد لحن یکسان می شود. اما الگوهای منحنی متفاوت هستند، زیرا رنگ‌های متفاوتی بر لحن بنیادی قرار می‌گیرند. به تعبیری، این نقاشی‌ها نشان می‌دهند که تامبر چیست. 69

معادلات از نوع هذلولی. ارتعاشات یک رشته بی نهایت و نیمه نامتناهی. روش فوریه روش فوریه امواج ایستاده 4 سخنرانی 4.1 معادلات نوع هایپربولیک. نوسانات بینهایت و نیمه نامتناهی

دانشگاه فنی هواپیمایی کشوری مسکو V.M. لیوبیموف، E.A. ژوکوا، V.A. اوخوا، یو.آ. شورینوف

وزارت آموزش و پرورش و علوم روسیه مؤسسه آموزشی بودجه دولتی فدرال آموزش عالی حرفه ای دانشگاه فنی دولتی روسیه MATI به نام K. E. Tsiolkovsky

موضوع دانشگاه فنی دولتی ویتبسک وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس. گروه ریاضیات نظری و کاربردی "ردیف". توسعه یافته توسط Assoc. E.B. دونینا. اصلی

آژانس فدرال آموزش موسسه آموزشی دولتی فدرال آموزش عالی حرفه ای دانشگاه فدرال جنوبی R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodical

موضوع سری فوریه درس عملی سری فوریه در سیستم های متعامد توابع فضای توابع پیوسته تکه ای سری فوریه تعمیم یافته 3 نابرابری بسل و همگرایی فضای سری فوریه

تئوری سری ها نظریه سری ها مهمترین جزء تحلیل ریاضی است و کاربردهای نظری و عملی متعددی دارد. بین سری های عددی و تابعی تمایز قائل شوید.

مطالب سری فوریه 4 مفهوم تابع تناوبی 4 چند جمله ای مثلثاتی 6 3 سیستم های متعامد توابع 4 سری فوریه مثلثاتی 3 5 سری فوریه برای توابع زوج و فرد 6 6 تجزیه

آژانس فدرال آموزش دانشگاه دولتی ژئودزی و کارتوگرافی مسکو (MIIGAiK) دستورالعمل ها و وظایف روش شناختی برای کار مستقل در درس ریاضیات عالی

سخنرانی 4. تجزیه و تحلیل هارمونیک. توابع دوره ای سری فوریه تجزیه و تحلیل هارمونیک در علم و فناوری، اغلب باید با پدیده‌های دوره‌ای سروکار داشت، یعنی پدیده‌هایی که از طریق تکرار تکرار می‌شوند.

موضوع پنجم سخنرانی فوریه سری 6 بسط یک تابع تناوبی در یک سری فوریه بسیاری از فرآیندهایی که در طبیعت و فناوری رخ می دهند دارای خواص تکرار در فواصل معین هستند.

دستورالعمل‌های روش‌شناسی برای وظایف محاسباتی در درس ریاضیات عالی "معادلات دیفرانسیل معمولی سری انتگرال‌های دوگانه" قسمت سوم سری موضوعی محتویات سری‌های عددی همگرایی و واگرایی

6 سری فوریه 6 سیستم توابع متعامد سری فوریه بر حسب سیستم توابع متعامد توابع ϕ () و ψ () که روی پاره [, ] تعریف شده و قابل ادغام هستند، در این پاره متعامد نامیده می شوند.

انتگرال معین. مجموع انتگرال و انتگرال معین اجازه دهید یک تابع y = f () در قطعه [، b] تعریف شده باشد، جایی که< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

سری 5 توانی 5 سری توانی: تعریف، دامنه همگرایی سری تابعی به شکل (a + a) + a () + K + a () + K a) (، (5) اعداد سری توانی نامیده می شوند.

دانشکده ریاضیات کاربردی و علوم اطلاعات دانشگاه دولتی بلاروس بخش ریاضیات عالی کمک آموزشی برای دانشجویان دانشکده ریاضیات کاربردی و انفورماتیک

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مثال. بیایید مجموع یک پیشروی هندسی نامتناهی را پیدا کنیم فرمول جمله مشترک این سری a+aq+...+aq n +... (a) است. a n = ق n. اجازه دهید مجموع جزئی آن را محاسبه کنیم. اگر q =، پس

وظیفه 1.1. راه حل های y = y(x) معادله دیفرانسیل را بیابید که در ناحیه نشان داده شده به طور غیر یکسان صفر هستند و شرایط مرزی داده شده را برآورده می کنند (مسئله استورم-لیویل) راه حل: در نظر بگیرید

تجزیه و تحلیل ریاضی موضوع: انتگرال معین انتگرال های نادرست مدرس پاخوموا E.G. 2017 فصل دوم. انتگرال معین و کاربردهای آن 1. انتگرال معین و خواص آن 1. وظایف،

سخنرانی 8 4 مسئله Sturm-Liouville

توضیح متن: علامت به صورت "معادل" خوانده می شود و به این معنی است که معادلات سمت راست علامت و سمت چپ علامت مجموعه ای از راه حل های یکسان دارند، علامت IR مجموعه اعداد واقعی را نشان می دهد، علامت که در

82 4. بخش 4. سری عملکردی و توانی 4.2. درس 3 4.2. درس 3 4.2.. بسط تیلور یک تابع تعریف 4.2.. اجازه دهید تابع y = f(x) در برخی از همسایگی ها بی نهایت متمایز باشد.

وزارت آموزش و پرورش و علوم روسیه بودجه دولتی فدرال موسسه آموزش عالی حرفه ای "دانشگاه فنی دولتی سامارا" گروه ریاضیات کاربردی

آژانس فدرال حمل و نقل ریلی دانشگاه ایالتی اورال گروه حمل و نقل ریلی "ریاضیات عالی و کاربردی" N. P. Chuev عناصر روش تجزیه و تحلیل هارمونیک

سخنرانی 3 سری تیلور و مکلارین کاربرد سری توانی بسط توابع به سری های توانی تیلور و مکلارین برای کاربردها، مهم است که بتوان یک تابع معین را به یک سری توانی، آن توابع، گسترش داد.

S A Lavrenchenko wwwwrckoru سخنرانی تبدیل فوریه مفهوم تبدیل انتگرال روش تبدیل های انتگرالی یکی از روش های قدرتمند فیزیک ریاضی و راه حل قدرتمندی است.

ادغام پذیری یک تابع (طبق نظر ریمان) و یک انتگرال معین مثال هایی از حل مسئله 1. تابع ثابت f(x) = C قابل انتگرال گیری در روی است، زیرا برای هر پارتیشن و هر انتخاب نقطه ξ i

من البته، وظیفه. ثابت کنید که تابع ریمان، اگر 0، m m R()، اگر، m، m 0، و کسر تقلیل ناپذیر است، 0، اگر غیرمنطقی است، در هر نقطه گویا ناپیوسته و در هر نقطه غیر منطقی پیوسته است. راه حل.

1 2 فهرست مطالب 1 سری فوریه 5 1.1 سری فوریه مثلثاتی .................. 5 1.2 فقط sin & cos ............. ............ 7 1.3 سری فوریه به صورت مختلط............. 11 1.4 f(x) = c k؟......... ......

معادلات فیزیک ریاضی 1. معادلات دیفرانسیل جزئی

سخنرانی 4. معادلات موج 1. استخراج معادله ارتعاشات رشته 2. معادله ارتعاشات طولی میله 3. شرایط اولیه، شرایط مرزی 4. بیان مسئله 1. استخراج معادله ارتعاشات رشته

1. الکترواستاتیک 1 1. الکترواستاتیک درس 6 جداسازی متغیرها در مختصات دکارتی 1.1. (مسئله 1.49) صفحه z = با چگالی σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy) بار می شود، که در آن σ، α، β ثابت هستند.

موضوع ماژول تابع توالی ها و سری ها ویژگی های همگرایی یکنواخت دنباله ها و سری ها سری قدرت سخنرانی تعاریف توالی ها و سری های تابع به صورت یکنواخت

معادلات از نوع سهمی. روش جداسازی متغیرها مسئله مقدار مرزی همگن تابع منبع معادله حرارت ناهمگن 7 سخنرانی 7.1 معادلات از نوع سهمی. روش جداسازی

سخنرانی سری عددی نشانه های همگرایی سری اعدادی نشانه های همگرایی یک عبارت نامتناهی از یک دنباله عددی + + + + که از اعضای یک نامتناهی تشکیل شده است، یک سری عددی نامیده می شود.

35 7 سری فوریه مثلثاتی سری فوریه برای توابع تناوبی با دوره T. فرض کنید f(x) یک تابع تناوبی پیوسته تکه ای با دوره T باشد. سیستم مثلثاتی پایه را در نظر بگیرید.

دانشکده متالورژی گروه ریاضیات عالی

گروه ریاضی و انفورماتیک عناصر ریاضی عالی مجتمع آموزشی و روش شناختی برای دانش آموزان دوره متوسطه حرفه ای که با استفاده از فناوری های راه دور تحصیل می کنند ماژول حساب دیفرانسیل گردآوری شده توسط:

9. ضد مشتق و انتگرال نامعین 9.. اجازه دهید تابع f() در بازه I R داده شود. تابع F () تابع ضد مشتق f() در بازه I نامیده می شود، اگر F () = f() برای هر I و ضد مشتق

تمایز توابع یک متغیر مفهوم مشتق، معنای هندسی و فیزیکی آن مسائلی که منجر به مفهوم مشتق می شود تعریف مماس S به خط y f (x) در نقطه A x ; f(

معادلات از نوع هذلولی. ارتعاشات یک رشته بی نهایت و نیمه نامتناهی. روش d'Alembert رشته بی نهایت. فرمول d'Alembert رشته نیمه نامتناهی 3 سخنرانی 3.1 معادلات نوع هایپربولیک.

عنوان مقدمه. مفاهیم پایه .... 4 1. معادلات انتگرال ولترا ... 5 گزینه تکلیف .... 8 2. حل کننده معادله انتگرال ولترا. 10 گزینه تکلیف .... 11

ROWS. خطوط عددی تعاریف پایه بگذارید یک دنباله نامتناهی از اعداد داده شود به عبارت (مجموع نامتناهی) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= a نامیده می شود. سری اعداد شماره

8. سری توانی 8.. یک سری تابعی به شکل c n (z) n، (8.) n= که در آن c n یک دنباله عددی است، R یک عدد ثابت است، و z R یک سری توان با ضرایب c n نامیده می شود. . با تغییر متغیرها

~ ~ انتگرال نامعین و معین مفهوم انتگرال ضد مشتق و نامعین. تعریف: تابع F با توجه به تابع f یک پاد مشتق نامیده می شود اگر این توابع به صورت زیر مرتبط باشند.

3724 سری انتگرالهای چندگانه و منحنی 1 برنامه کاری بخشهای "مجموعه انتگرالهای چندگانه و منحنی" 11 سری اعداد مفهوم سری اعداد ویژگیهای سری اعداد یک معیار لازم برای همگرایی

بخور آنالیز ریاضی سنگ معدن. سری عددی و عملکردی NOVOSIBIRSK 200 2 وزارت آموزش و پرورش روسیه SEI HPE "NOVOSIBIRSK STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" E.M. تحلیل ریاضی رودوی.

سخنرانی N 7 .قدرت

معادلات درجه دوم

بخش وظایف با پارامترها اظهار نظر وظایف با پارامترها به طور سنتی وظایف پیچیده ای در ساختار USE هستند که متقاضی را نه تنها به تسلط بر همه روش ها و تکنیک های حل مختلف می طلبد.

حساب دیفرانسیل مقدمه ای بر تحلیل ریاضی توالی و حد تابع. افشای عدم قطعیت ها در داخل مشتق تابع قوانین تمایز کاربرد مشتق

سیستم های متعامد توابع سری فوریه از دیدگاه جبر، برابری که در آن توابعی از یک کلاس معین هستند و ضرایبی از R یا C هستند، به سادگی به این معنی است که بردار ترکیبی خطی از بردارهای B است.

1. انتگرال معین 1.1. فرض کنید f یک تابع محدود تعریف شده در قطعه [, b] R باشد. یک پارتیشن از پاره [, b] مجموعه ای از نقاط τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b است. ] طوری که = x< x 1 < < x n 1

Ch سری توان a a a یک سری از شکل a a a a () یک سری توان نامیده می شود، که در آن، a، ثابت هایی هستند که ضرایب سری نامیده می شوند. ) a (a) ()، که در آن

سری فوریه از توابع تناوبی با دوره 2π.

سری فوریه به شما این امکان را می دهد که توابع تناوبی را با تجزیه آنها به اجزاء مطالعه کنید. جریان‌ها و ولتاژهای متناوب، جابجایی‌ها، سرعت و شتاب مکانیسم‌های میل لنگ، و امواج صوتی کاربردهای عملی معمولی توابع دوره‌ای در محاسبات مهندسی هستند.

بسط سری فوریه بر این فرض استوار است که تمام توابع دارای اهمیت عملی در بازه -π ≤ x ≤ π را می توان به صورت سری مثلثاتی همگرا بیان کرد (یک سری همگرا در نظر گرفته می شود اگر دنباله ای از مجموع جزئی تشکیل شده از عبارت های آن همگرا شود) :

نماد استاندارد (= معمول) از طریق مجموع sinx و cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...،

که در آن a o , a 1 , a 2 ,..., b 1 , b 2 , .. ثابت های واقعی هستند، یعنی.

جایی که برای محدوده -π تا π، ضرایب سری فوریه با فرمول‌های زیر محاسبه می‌شوند:

ضرایب a o , a n و b n نامیده می شوند ضرایب فوریه، و اگر بتوان آنها را پیدا کرد، سری (1) فراخوانی می شود نزدیک فوریه،مربوط به تابع f(x). برای سری (1)، عبارت (a 1 cosx+b 1 sinx) اولین یا نامیده می شود سازدهنی اصلی،

روش دیگر برای نوشتن یک سری، استفاده از رابطه acosx+bsinx=csin(x+α) است.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

در جایی که a o یک ثابت است، c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2، c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 دامنه مولفه های مختلف است و برابر با n \ u003d arctg a n /b n.

برای سری (1)، اصطلاح (a 1 cosx + b 1 sinx) یا c 1 sin (x + α 1) اولین یا نامیده می شود. سازدهنی اصلی،(a 2 cos2x+b 2 sin2x) یا c 2 sin(2x+α 2) نامیده می شود هارمونیک دومو غیره

برای نمایش دقیق یک سیگنال پیچیده، معمولاً به تعداد نامتناهی عبارت نیاز است. با این حال، در بسیاری از مسائل عملی، تنها در نظر گرفتن چند عبارت اول کافی است.

سری فوریه توابع غیر تناوبی با دوره 2π.

بسط توابع غیر تناوبی در یک سری فوریه.

اگر تابع f(x) غیر تناوبی باشد، نمی توان آن را در یک سری فوریه برای همه مقادیر x گسترش داد. با این حال، می توان یک سری فوریه تعریف کرد که تابعی را در هر محدوده ای از عرض 2π نشان می دهد.

با توجه به یک تابع غیر تناوبی، می توان با انتخاب مقادیر f(x) در محدوده خاصی و تکرار آنها در خارج از این محدوده در فواصل 2π، یک تابع جدید ایجاد کرد. از آنجایی که تابع جدید تناوبی با دوره 2π است، می توان آن را در یک سری فوریه برای تمام مقادیر x گسترش داد. برای مثال تابع f(x)=x تناوبی نیست. با این حال، اگر لازم باشد آن را به یک سری فوریه در بازه 0 تا 2π بسط دهیم، یک تابع تناوبی با دوره 2π خارج از این بازه ساخته می شود (همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است).

برای توابع غیر تناوبی مانند f(x)=x، مجموع سری فوریه برابر با مقدار f(x) در تمام نقاط محدوده داده شده است، اما برای نقاط برابر با f(x) نیست. خارج از محدوده برای یافتن سری فوریه یک تابع غیر تناوبی در محدوده 2π، از همان فرمول ضرایب فوریه استفاده می شود.

توابع زوج و فرد.

آنها تابع y=f(x) را می گویند زوجاگر f(-x)=f(x) برای تمام مقادیر x. نمودارهای توابع زوج همیشه در مورد محور y متقارن هستند (یعنی آینه ای هستند). دو مثال از توابع زوج: y=x 2 و y=cosx.

آنها می گویند که تابع y=f(x) فرد،اگر f(-x)=-f(x) برای تمام مقادیر x. نمودارهای توابع فرد همیشه نسبت به مبدا متقارن هستند.

بسیاری از توابع نه زوج هستند و نه فرد.

بسط سری فوریه در کسینوس

سری فوریه یک تابع تناوبی زوج f(x) با دوره 2π فقط شامل عبارات کسینوس است (یعنی شامل جمله سینوس نیست) و ممکن است شامل یک جمله ثابت باشد. در نتیجه،

ضرایب سری فوریه کجاست

سری فوریه یک تابع تناوبی فرد f(x) با دوره 2π فقط شامل جمله هایی با سینوس است (یعنی شامل جمله هایی با کسینوس نیست).

در نتیجه،

ضرایب سری فوریه کجاست

سری فوریه در نیم چرخه.

اگر یک تابع برای یک محدوده تعریف شود، مثلاً 0 تا π، و نه فقط 0 تا 2π، می توان آن را به یک سری فقط بر حسب سینوس یا فقط بر حسب کسینوس گسترش داد. سری فوریه حاصل نامیده می شود نزدیک فوریه در نیم چرخه.

اگر می خواهید تجزیه به دست آورید فوریه در نیم چرخه در کسینوستوابع f(x) در محدوده 0 تا π، پس لازم است یک تابع تناوبی زوج بسازیم. روی انجیر در زیر تابع f(x)=x بر روی بازه x=0 تا x=π ساخته شده است. از آنجایی که تابع زوج نسبت به محور f(x) متقارن است، همانطور که در شکل نشان داده شده است، خط AB را رسم می کنیم. زیر اگر فرض کنیم که خارج از بازه در نظر گرفته شده، شکل مثلثی حاصل تناوبی با دوره 2π باشد، نمودار نهایی شکل، نمایش را دارد. در شکل زیر از آنجایی که برای بدست آوردن انبساط فوریه در کسینوس لازم است، مانند قبل، ضرایب فوریه a o و a n را محاسبه می کنیم.

اگر می خواهید توابع f (x) را در محدوده 0 تا π بدست آورید، باید یک تابع دوره ای فرد بنویسید. روی انجیر در زیر تابع f(x)=x بر روی بازه x=0 تا x=π ساخته شده است. از آنجایی که تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است، همانطور که در شکل نشان داده شده است، خط CD را می سازیم. اگر فرض کنیم که خارج از بازه در نظر گرفته شده، سیگنال دندان اره دریافتی دوره ای با دوره 2π باشد، نمودار نهایی شکل نشان داده شده در شکل را دارد. از آنجایی که برای بدست آوردن انبساط فوریه در نیم سیکل بر حسب سینوس لازم است، مانند قبل، ضریب فوریه را محاسبه می کنیم. ب

سری فوریه برای یک بازه دلخواه.

بسط یک تابع تناوبی با دوره L.

تابع تناوبی f(x) با افزایش x با L تکرار می شود، یعنی. f(x+L)=f(x). انتقال از توابع در نظر گرفته شده قبلی با دوره 2π به توابع با دوره L بسیار ساده است، زیرا می توان آن را با استفاده از تغییر متغیر انجام داد.

برای یافتن سری فوریه تابع f(x) در محدوده -L/2≤x≤L/2، یک متغیر جدید u معرفی می کنیم تا تابع f(x) نسبت به u دارای دوره 2π باشد. اگر u=2πx/L، آنگاه x=-L/2 برای u=-π و x=L/2 برای u=π. همچنین اجازه دهید f(x)=f(Lu/2π)=F(u). سری فوریه F(u) دارای فرم است

ضرایب سری فوریه کجاست؟

با این حال، در اغلب موارد، فرمول فوق منجر به وابستگی به x می شود. از آنجایی که u=2πχ/L، پس du=(2π/L)dx، و حدود ادغام از -L/2 تا L/2 به جای -π تا π است. بنابراین، سری فوریه برای وابستگی به x شکل دارد

که در محدوده L/2- تا L/2 ضرایب سری فوریه قرار دارند،

(محدودیت های ادغام را می توان با هر فاصله ای از طول L جایگزین کرد، به عنوان مثال، از 0 تا L)

سری فوریه در نیم چرخه برای توابع داده شده در بازه L≠2π.

برای جانشینی u=πx/L، بازه از x=0 تا x=L مربوط به فاصله u=0 تا u=π است. بنابراین، تابع را می توان به یک سری فقط بر حسب کسینوس یا فقط بر حسب سینوس، یعنی. که در سری فوریه در نیم چرخه.

انبساط در کسینوس در محدوده 0 تا L شکل دارد