چگونه یک انتگرال معین را با استفاده از روش ذوزنقه محاسبه کنیم؟ روش ذوزنقه ای محاسبه انتگرال با استفاده از فرمول ذوزنقه ای
امروز با یکی دیگر از روش های یکپارچه سازی عددی یعنی روش ذوزنقه ای آشنا می شویم. با کمک آن، انتگرال های معین را با درجه ای از دقت محاسبه می کنیم. در مقاله ماهیت روش ذوزنقه ای را شرح می دهیم، نحوه استخراج فرمول را تجزیه و تحلیل می کنیم، روش ذوزنقه را با روش مستطیل مقایسه می کنیم و برآورد خطای مطلق روش را یادداشت می کنیم. ما هر یک از بخش ها را با مثال هایی برای درک عمیق تر مطالب توضیح خواهیم داد.
فرض کنید که باید تقریباً انتگرال معین ∫ a b f (x) d x را محاسبه کنیم که انتگرال آن y = f (x) بر روی قطعه [a ; ب]. برای انجام این کار، بخش [ a ; b ] به چندین بازه مساوی به طول h با نقاط a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
بیایید مرحله پارتیشن را پیدا کنیم: h = b - a n . گره ها را از برابری x i = a + i h , i = 0 , 1 , تعریف می کنیم. . . , n .
در فواصل ابتدایی، انتگرال x i - 1 را در نظر بگیرید. x i , i = 1 , 2 , . . , n .
با افزایش بی نهایت در n، همه موارد را به چهار گزینه ساده کاهش می دهیم:
انتخاب بخش x i - 1 . x i , i = 1 , 2 , . . . , n . بیایید تابع y = f (x) را در هر یک از نمودارها با یک پاره خط مستقیم جایگزین کنیم که از نقاط دارای مختصات x i - 1 می گذرد. f x i - 1 و x i ; f x i . آنها را در شکل ها با رنگ آبی مشخص می کنیم.
بیایید عبارت f (x i - 1) + f (x i) 2 h را به عنوان مقدار تقریبی انتگرال ∫ x i - 1 x در صورت (x) d x در نظر بگیریم. آن ها ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 ساعت را بگیرید.
بیایید ببینیم که چرا روش یکپارچه سازی عددی مورد مطالعه ما، روش ذوزنقه ای نامیده می شود. برای این کار باید بفهمیم تساوی تقریبی نوشته شده از نظر هندسه به چه معناست.
برای محاسبه مساحت ذوزنقه، نصف مجموع پایه های آن را در ارتفاع ضرب کنید. در حالت اول، مساحت یک ذوزنقه منحنی تقریباً برابر با یک ذوزنقه با پایه‌های f (xi-1)، f (xi) ارتفاع h است. در چهارمین موردی که در نظر می گیریم، انتگرال داده شده ∫ x i - 1 x f (x) d x تقریبا برابر است با مساحت یک ذوزنقه با پایه های - f (x i - 1)، - f (x i) و ارتفاع. h که باید با علامت "-" گرفته شود. برای محاسبه مقدار تقریبی انتگرال معین ∫ x i - 1 x i f (x) d x در حالت دوم و سوم از موارد در نظر گرفته شده، باید تفاوت بین مناطق قرمز و آبی را پیدا کنیم که با علامت گذاری کردیم. جوجه ریزی در شکل زیر
بیایید خلاصه کنیم. ماهیت روش ذوزنقه ای به شرح زیر است: ما می توانیم انتگرال معین ∫ a b f (x) d x را به صورت مجموع انتگرال های شکل ∫ x i - 1 x i f (x) d x در هر قطعه ابتدایی و در تغییر تقریبی بعدی نشان دهیم. x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 ساعت.
فرمول ذوزنقه ای
پنجمین خاصیت انتگرال معین را به یاد بیاورید: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . برای به دست آوردن فرمول روش ذوزنقه ای، به جای انتگرال های ∫ x i - 1 x i f (x) d x، مقادیر تقریبی آنها را جایگزین کنید: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
تعریف 1
فرمول ذوزنقه ای:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
برآورد خطای مطلق روش ذوزنقه ای
اجازه دهید خطای مطلق روش ذوزنقه ای را به صورت زیر تخمین بزنیم:
تعریف 2
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2
یک تصویر گرافیکی از روش ذوزنقه ای در شکل نشان داده شده است:
مثال های محاسباتی
اجازه دهید نمونه هایی از استفاده از روش ذوزنقه ای برای محاسبه تقریبی انتگرال های معین را تجزیه و تحلیل کنیم. ما به دو نوع کار توجه ویژه ای خواهیم داشت:
- محاسبه یک انتگرال معین با روش ذوزنقه ای برای تعداد معینی از پارتیشن های بخش n.
- یافتن مقدار تقریبی یک انتگرال خاص با دقت مشخص.
برای یک n معین، تمام محاسبات میانی باید با درجه دقت کافی انجام شوند. دقت محاسبات باید بیشتر باشد، n بزرگتر.
اگر دقت مشخصی برای محاسبه یک انتگرال معین داشته باشیم، آنگاه تمام محاسبات میانی باید دو یا چند مرتبه قدر دقیق‌تر انجام شوند. به عنوان مثال، اگر دقت روی 0. 01 تنظیم شده باشد، محاسبات میانی را با دقت 0. 0001 یا 0. 00001 انجام می دهیم. برای n بزرگ، محاسبات میانی باید با دقت بالاتری انجام شود.
بیایید قانون فوق را به عنوان مثال در نظر بگیریم. برای انجام این کار، مقادیر یک انتگرال معین را که با فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه شده و با روش ذوزنقه به دست آمده است، مقایسه می کنیم.
بنابراین، ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9، 613805.
مثال 1
با استفاده از روش ذوزنقه ای، انتگرال معین ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x را برای n برابر با 10 محاسبه می کنیم.
راه حل
فرمول روش ذوزنقه ای ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) است.
برای اعمال فرمول، باید گام h را با استفاده از فرمول h = b - a n محاسبه کنیم، گره های x i = a + i h , i = 0 , 1 , را تعیین کنیم. . . ، n ، مقادیر انتگرال f (x) = 7 x 2 + 1 را محاسبه کنید.
مرحله پارتیشن به صورت زیر محاسبه می شود: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . برای محاسبه انتگرال در گره های x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . ، n چهار رقم اعشار می گیریم:
i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0، 2692
بیایید نتایج محاسبات را در جدول وارد کنیم:
| من | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
مقادیر به دست آمده را با فرمول روش ذوزنقه ای جایگزین کنید: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 3294 + 2 6, 2 = 0 , 2
بیایید نتایج خود را با نتایج محاسبه شده توسط فرمول نیوتن-لایب نیتس مقایسه کنیم. مقادیر دریافتی تا صدم منطبق است.
پاسخ:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117
مثال 2
با استفاده از روش ذوزنقه مقدار انتگرال معین ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x را با دقت 0 , 01 محاسبه می کنیم.
راه حل
با توجه به شرط مسئله a = 1 ; b = 2، f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0 , 01 .
با استفاده از نابرابری برای تخمین خطای مطلق δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . ما این کار را به روش زیر انجام خواهیم داد: مقادیر n را پیدا می کنیم که برای آنها نابرابری m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . با توجه به n، فرمول ذوزنقه ای مقدار تقریبی یک انتگرال معین را با دقت معین به ما می دهد.
ابتدا، بیایید بزرگترین مقدار مدول دومین مشتق تابع را در بازه [1; 2].
f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
تابع مشتق دوم یک سهمی درجه دوم f "" (x) = x 2 است. ما از خواص آن می دانیم که مثبت است و در بخش افزایش می یابد [1; 2]. در این رابطه m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
در مثال داده شده، فرآیند یافتن m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) نسبتاً ساده بود. در موارد پیچیده، برای محاسبات، می توانید به بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع مراجعه کنید. پس از در نظر گرفتن این مثال، یک روش جایگزین برای یافتن m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
اجازه دهید مقدار به دست آمده را با نامساوی m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01
4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5. 7735
تعداد فواصل ابتدایی که بخش یکپارچه سازی به n تقسیم می شود یک عدد طبیعی است. برای رفتار محاسباتی، n را برابر با شش در نظر می گیریم. چنین مقدار n به ما این امکان را می دهد که با حداقل محاسبات به دقت مشخص شده روش ذوزنقه ای دست یابیم.
بیایید گام را محاسبه کنیم: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6.
گره های x i = a + i h , i = 1 , 0 , را پیدا کنید. . . ، n ، مقادیر انتگرال را در این گره ها تعیین می کنیم:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0، 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 983
نتایج محاسبات را به صورت جدول می نویسیم:
| من | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
ما نتایج به دست آمده را با فرمول ذوزنقه ای جایگزین می کنیم:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054
برای مقایسه، انتگرال اصلی را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه می کنیم:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
همانطور که می بینید، ما به دقت محاسباتی دست یافته ایم.
پاسخ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054
برای انتگرال های پیچیده، یافتن عدد n از نابرابری برای تخمین خطای مطلق همیشه آسان نیست. در این صورت روش زیر مناسب خواهد بود.
اجازه دهید مقدار تقریبی انتگرال معین را که با روش ذوزنقه ای برای n گره به دست آمد، به عنوان I n نشان دهیم. بیایید یک عدد دلخواه n را انتخاب کنیم. با استفاده از فرمول روش ذوزنقه، انتگرال اولیه را برای یک تعداد گره واحد (n = 10) و دو برابر (n = 20) محاسبه می کنیم و قدر مطلق تفاوت بین دو مقدار تقریبی به دست آمده را پیدا می کنیم - I 20 - من 10.
اگر قدر مطلق تفاوت بین دو مقدار تقریبی به دست آمده کمتر از دقت مورد نیاز باشد I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
اگر قدر مطلق اختلاف بین دو مقدار تقریبی به دست آمده بیشتر از دقت لازم باشد، لازم است مراحل را با دو برابر تعداد گره ها (n=40) تکرار کنید.
این روش نیاز به محاسبات زیادی دارد، بنابراین عاقلانه است که از فناوری رایانه برای صرفه جویی در زمان استفاده کنید.
بیایید با استفاده از الگوریتم بالا مشکل را حل کنیم. برای صرفه جویی در زمان، محاسبات میانی را با استفاده از روش ذوزنقه حذف می کنیم.
مثال 3
محاسبه انتگرال معین ∫ 0 2 x e x d x با استفاده از روش ذوزنقه ای با دقت 0 001 ضروری است.
راه حل
بیایید n برابر با 10 و 20 در نظر بگیریم. طبق فرمول ذوزنقه ، I 10 \u003d 8 ، 4595380 ، I 20 \u003d 8 ، 4066906 بدست می آوریم.
I 20 - I 10 = 8، 4066906 - 8، 4595380 = 0، 0528474 > 0، 001، که نیاز به محاسبات بیشتری دارد.
بیایید n را برابر با 40 در نظر بگیریم: I 40 = 8، 3934656.
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001 که به محاسبات بیشتری نیز نیاز دارد.
بیایید n را برابر 80 در نظر بگیریم: I 80 = 8 , 3901585.
I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001، که نیاز به دو برابر شدن مجدد تعداد گره ها دارد.
بیایید n را برابر با 160 در نظر بگیریم: I 160 = 8، 3893317.
I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001
شما می توانید مقدار تقریبی انتگرال اصلی را با گرد کردن I 160 = 8 , 3893317 به هزارم بدست آورید: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .
برای مقایسه، انتگرال قطعی اصلی را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه می‌کنیم: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8، 3890561. دقت لازم به دست آمده است.
پاسخ: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389
خطاها
محاسبات میانی برای تعیین مقدار یک انتگرال معین در اکثر موارد تقریباً انجام می شود. این بدان معنی است که با افزایش n، خطای محاسباتی شروع به جمع شدن می کند.
اجازه دهید تخمین های خطاهای مطلق روش ذوزنقه ای و روش مستطیل های میانگین را با هم مقایسه کنیم:
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .
روش مستطیل برای یک n معین با همان مقدار کار محاسباتی نصف خطا را می دهد. این باعث می شود که روش در مواردی که مقادیر تابع در بخش های میانی بخش های ابتدایی شناخته شده باشد ترجیح داده شود.
در مواردی که توابع انتگرال پذیر نه به صورت تحلیلی، بلکه به عنوان مجموعه ای از مقادیر در گره ها مشخص می شوند، می توانیم از روش ذوزنقه ای استفاده کنیم.
اگر دقت روش ذوزنقه ای و روش مستطیل راست و چپ را با هم مقایسه کنیم، روش اول در دقت نتیجه از روش دوم پیشی می گیرد.
اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید
روش ذوزنقه اییکی از روش های ادغام عددی است. این به شما امکان می دهد انتگرال های معین را با درجه ای از دقت از پیش تعیین شده محاسبه کنید.
ابتدا ماهیت روش ذوزنقه ای را شرح می دهیم و فرمول ذوزنقه را استخراج می کنیم. در مرحله بعد، تخمینی از خطای مطلق روش می نویسیم و حل نمونه های معمولی را با جزئیات تجزیه و تحلیل می کنیم. در خاتمه روش ذوزنقه ها را با روش مستطیل ها مقایسه می کنیم.
پیمایش صفحه.
ماهیت روش ذوزنقه ای.
بیایید کار زیر را برای خود تعیین کنیم: اجازه دهید تقریباً باید انتگرال معین را محاسبه کنیم، جایی که انتگرال y=f(x) در بازه پیوسته است.
بیایید قطعه را به n بازه مساوی به طول h با نقاط تقسیم کنیم. در این حالت، مرحله پارتیشن با تعیین گره ها از برابری پیدا می شود.
انتگرال را در فواصل ابتدایی در نظر بگیرید 
.
چهار مورد ممکن است (شکل ساده ترین آنها را نشان می دهد که با افزایش بی نهایت n همه چیز کاهش می یابد):
در هر بخش بیایید تابع y=f(x) را با یک پاره خطی که از نقاط دارای مختصات و . ما آنها را در شکل با خطوط آبی نشان می دهیم:
به عنوان مقدار تقریبی انتگرال، عبارت را در نظر می گیریم 
یعنی بگیریم 
.
بیایید دریابیم که تساوی تقریبی نوشته شده به معنای هندسی چیست. این امر درک اینکه چرا روش مورد نظر ادغام عددی را روش ذوزنقه ای می نامند، ممکن می سازد.
می دانیم که مساحت ذوزنقه حاصل ضرب نصف مجموع قاعده ها ضربدر ارتفاع است. بنابراین، در حالت اول، مساحت ذوزنقه منحنی تقریباً برابر با مساحت ذوزنقه با پایه است. 
و ارتفاع h، در حالت دوم، انتگرال معین تقریبا برابر با مساحت ذوزنقه با قاعده است. 
و ارتفاع h با علامت منفی گرفته می شود. در حالت دوم و سوم، مقدار تقریبی انتگرال معین برابر است با اختلاف بین مساحت های ناحیه قرمز و آبی نشان داده شده در شکل زیر.
بنابراین، ما به آن رسیده ایم ماهیت روش ذوزنقه ای، که شامل نمایش یک انتگرال معین به عنوان مجموع انتگرال های شکل در هر بازه ابتدایی و در جایگزینی تقریبی بعدی است. .
فرمول ذوزنقه ای.
همانطور که می بینید، دقت لازم به دست آمده است.
کمی در مورد خطاها
از نظر تئوری، مقدار تقریبی یک انتگرال معین، که با روش ذوزنقه محاسبه می شود، به مقدار واقعی در . با این حال، باید این واقعیت را در نظر گرفت که بیشتر محاسبات میانی تقریباً انجام می شوند و برای n بزرگ، خطای محاسباتی شروع به جمع شدن می کند.
بیایید نگاهی به تخمین خطاهای مطلق روش ذوزنقه ای و روش مستطیل های میانگین بیندازیم. 
.
هنگام استفاده از روش مستطیل با همان مقدار کار محاسباتی، می توان نصف خطا را برای یک n معین انتظار داشت، یعنی استفاده از این روش، همانطور که بود، ارجح است. این زمانی درست است که مقادیر تابع در نقاط میانی بخش های ابتدایی مشخص باشد. اما گاهی اوقات توابع قابل ادغام نه به صورت تحلیلی، بلکه به عنوان مجموعه ای از مقادیر در گره ها مشخص می شوند. در این صورت نمی‌توانیم فرمول مستطیل‌های میانی را اعمال کنیم، اما می‌توانیم از روش ذوزنقه‌ای استفاده کنیم.
روش‌های مستطیل راست و چپ در دقت نتیجه برای تعداد معینی از پارتیشن‌های بخش ادغام، نسبت به روش ذوزنقه‌ها پایین‌تر هستند.
محاسبه انتگرال ها با استفاده از فرمول مستطیل ها، ذوزنقه ها و فرمول سیمپسون. برآورد خطاها
رهنمودهای موضوع 4.1:
محاسبه انتگرال ها با فرمول مستطیل ها. تخمین خطا:
حل بسیاری از مشکلات فنی به محاسبه انتگرال های معینی خلاصه می شود که بیان دقیق آنها دشوار است، نیاز به محاسبات طولانی دارد و همیشه در عمل توجیه نمی شود. در اینجا، مقدار تقریبی آنها کاملاً کافی است. به عنوان مثال، شما باید مساحت محدود شده با خطی را که معادله آن مجهول است، یعنی محور محاسبه کنید ایکسو دو دستور. در این صورت می توانید این خط را با خط ساده تری جایگزین کنید که معادله آن مشخص است. مساحت ذوزنقه منحنی که بدین ترتیب به دست می آید به عنوان مقدار تقریبی انتگرال مورد نظر در نظر گرفته می شود. از نظر هندسی، ایده پشت روش محاسبه انتگرال معین با استفاده از فرمول مستطیل ها این است که مساحت یک ذوزنقه منحنی شکل A 1 ABB 1با مساحت یک مستطیل مساحت جایگزین می شود A 1 A 2 B 1 B 2، که با توجه به قضیه مقدار میانگین برابر است با
جایی که f(c)--- ارتفاع مستطیل A 1 A 2 B 1 B 2،که مقدار انتگرال در یک نقطه میانی است ج (الف< c
یافتن چنین ارزشی عملاً دشوار است با، که در آن (b-a)f(c)دقیقا برابر خواهد بود. برای به دست آوردن مقدار دقیق تر، مساحت ذوزنقه منحنی به دو دسته تقسیم می شود. nمستطیل هایی که ارتفاع آنها برابر است y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1و پایه ها
اگر مساحت مستطیل هایی را که مساحت ذوزنقه منحنی را با یک نقطه ضعف می پوشانند، خلاصه کنیم، تابع کاهش نمی یابد، سپس به جای فرمول، از فرمول استفاده می شود.
اگر بیش از حد، پس
ارزش ها از برابری ها پیدا می شوند. این فرمول ها نامیده می شوند فرمول های مستطیلیو یک نتیجه تقریبی ارائه کنید. با افزایش nنتیجه دقیق تر می شود
مثال 1 . از فرمول مستطیل ها حساب کنید
فاصله ادغام را به 5 قسمت تقسیم می کنیم. سپس . با استفاده از یک ماشین حساب یا یک جدول، مقادیر انتگرال (با دقت 4 رقم اعشار) را پیدا می کنیم:
طبق فرمول مستطیل ها (با یک نقطه ضعف)
از طرفی طبق فرمول نیوتن لایب نیتس
بیایید خطای نسبی محاسبه را با استفاده از فرمول مستطیل ها پیدا کنیم:
محاسبه انتگرال ها با فرمول ذوزنقه ای. تخمین خطا:
معنای هندسی روش زیر برای محاسبه تقریبی انتگرال ها این است که مساحت ذوزنقه "مستطبق" تقریباً مساوی را پیدا کنید.
اجازه دهید محاسبه مساحت لازم باشد A 1 AmBB 1ذوزنقه منحنی، که با فرمول بیان می شود.
بیایید قوس را جایگزین کنیم AmBوتر ABو به جای مساحت ذوزنقه منحنی A 1 AmBB 1مساحت ذوزنقه را محاسبه کنید A 1 ABB 1: ، جایی که AA 1و BB 1 - قاعده ذوزنقه، و A 1 V 1 ارتفاع آن است.
مشخص کن f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.ارتفاع ذوزنقه A 1 B 1 \u003d b-a،مربع . بنابراین، یا
این به اصطلاح فرمول ذوزنقه ای کوچک.
مثال 2. عرض رودخانه 26 متراندازه گیری عمق در مقطع رودخانه هر 2 مترنتایج زیر را ارائه کرد.
وظایف آموزشی و آموزشی:
- هدف آموزشی آشنایی دانش آموزان با روش های محاسبه تقریبی انتگرال معین.
- هدف آموزشی موضوع این درس از ارزش عملی و آموزشی بالایی برخوردار است. ایده ادغام عددی را می توان به سادگی بر اساس تعریف یک انتگرال معین به عنوان حد مجموع انتگرال نزدیک کرد. برای مثال، اگر پارتیشن به اندازه کافی کوچک از بخش [ آ; ب] و یک مجموع انتگرال برای آن بسازید، سپس مقدار آن را می توان تقریباً به عنوان مقدار انتگرال مربوطه در نظر گرفت. در عین حال، انجام سریع و صحیح محاسبات با استفاده از فناوری رایانه بسیار مهم است.
دانش و مهارت های پایه. روش های تقریبی برای محاسبه انتگرال معین را با استفاده از فرمول های مستطیل و ذوزنقه درک کنید.
اطمینان از درس
- جزوه. کارت های وظیفه برای کار مستقل.
- TSO مولتی پروژکتور، کامپیوتر، لپ تاپ.
- تجهیزات TCO ارائه ها: "معنای هندسی مشتق"، "روش مستطیل ها"، "روش ذوزنقه ها". (ارائه را می توان از نویسنده به عاریت گرفت).
- ابزارهای محاسباتی: رایانه شخصی، ریز حساب.
- رهنمودها
نوع کلاس. عملی یکپارچه
انگیزه فعالیت شناختی دانش آموزان. اغلب اوقات باید انتگرال های معینی را محاسبه کرد که یافتن ضد مشتق برای آنها غیرممکن است. در این حالت از روش های تقریبی برای محاسبه انتگرال های معین استفاده می شود. گاهی اوقات از روش تقریبی نیز برای "گرفتن" انتگرال استفاده می شود، اگر محاسبه با فرمول نیوتن-لایب نیتس منطقی نباشد. ایده یک محاسبه تقریبی انتگرال این است که منحنی با یک منحنی جدید که به اندازه کافی "نزدیک" به آن است جایگزین شود. بسته به انتخاب یک منحنی جدید، می توان از یک یا آن فرمول ادغام تقریبی استفاده کرد.
دنباله درس.
- فرمول مستطیل.
- فرمول ذوزنقه ای.
- حل تمرینات
طرح درس
- تکرار دانش پایه دانش آموزان.
با دانش آموزان تکرار کنید: فرمول های اساسی ادغام، ماهیت روش های مورد مطالعه ادغام، معنای هندسی یک انتگرال معین.
- انجام کار عملی.
حل بسیاری از مشکلات فنی به محاسبه انتگرال های معینی خلاصه می شود که بیان دقیق آنها دشوار است، نیاز به محاسبات طولانی دارد و همیشه در عمل توجیه نمی شود. در اینجا، مقدار تقریبی آنها کاملاً کافی است.
به عنوان مثال، لازم است مساحت محدود شده با خطی را محاسبه کنیم که معادله آن ناشناخته است. در این صورت می توانید این خط را با خط ساده تری جایگزین کنید که معادله آن مشخص است. مساحت ذوزنقه منحنی که بدین ترتیب به دست می آید به عنوان مقدار تقریبی انتگرال مورد نظر در نظر گرفته می شود.
ساده ترین روش تقریبی روش مستطیل است. از نظر هندسی، ایده ای که در پس روش محاسبه انتگرال معین با استفاده از فرمول مستطیل ها وجود دارد این است که مساحت یک ذوزنقه منحنی شکل آ ب پ تبا مجموع مساحت مستطیل ها جایگزین می شود که یک ضلع آنها .
اگر مساحت مستطیل هایی را که مساحت ذوزنقه منحنی را با نقطه ضعف نشان می دهند خلاصه کنیم [شکل 1]، فرمول را به دست می آوریم:
[تصویر 1]
سپس فرمول را بدست می آوریم: 
اگر به وفور
[شکل 2]،
سپس 
ارزش های y 0، y 1،...، y nاز برابری ها یافت می شود 
,
k = 0، 1...، n.این فرمول ها نامیده می شوند فرمول های مستطیلیو نتایج تقریبی بدهد. با افزایش nنتیجه دقیق تر می شود
بنابراین، برای پیدا کردن مقدار تقریبی انتگرال، شما نیاز دارید:
برای یافتن خطای محاسباتی باید از فرمول های زیر استفاده کنید:
مثال 1 با فرمول مستطیل ها محاسبه کنید. خطاهای مطلق و نسبی محاسبات را بیابید.
بیایید بخش را تقسیم کنیم [ آ، ب] به چندین (مثلاً 6) قسمت مساوی. سپس a = 0، b =
3
,
x k = a + k x
ایکس 0 = 2 + 0
= 2
ایکس 1 = 2 + 1
= 2,5
ایکس 2 = 2 + 2
=3
ایکس 3 = 2 + 3
= 3
ایکس 4 = 2 + 4
= 4
ایکس 5 = 2 + 5
= 4,5
f(ایکس 0) = 2 2 = 4
f
(ایکس
1)
= 2
,5
2
=
6,25
f
(ایکس
2)
=
3 2
=
9
f
(ایکس
3)
=
3,5 2
=
12,25
f
(ایکس
4)
=
4 2
=
16
f
(ایکس
5)
=
4,5 2
=
20,25.
| ایکس | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
| در | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
طبق فرمول (1):
برای محاسبه خطای نسبی محاسبات، باید مقدار دقیق انتگرال را پیدا کرد:
محاسبات طول کشید و ما یک گرد کردن نسبتاً خشن داشتیم. برای محاسبه این انتگرال با تقریبی کوچکتر می توانید از قابلیت های فنی کامپیوتر استفاده کنید.
برای یافتن یک انتگرال معین به روش مستطیل، باید مقادیر انتگرال را وارد کرد. f(x)به یک کاربرگ اکسل در محدوده ایکسبا یک مرحله داده شده ایکس= 0,1.
- تدوین جدول داده ها (ایکسو f(x)). ایکس f(x). بحث و جدل، و در سلول B1 - کلمه عملکرد2 2,1 ). سپس با انتخاب بلوک سلول‌های A2:A3، تمام مقادیر آرگومان را با تکمیل خودکار دریافت می‌کنیم (گوشه سمت راست پایین بلوک را به سلول A32 گسترش می‌دهیم تا مقدار x=5).
- در ادامه مقادیر انتگرال را معرفی می کنیم. در سلول B2 باید معادله آن را بنویسید. برای انجام این کار، مکان نما جدول را در سلول B2 قرار دهید و فرمول را از صفحه کلید وارد کنید =A2^2(برای چیدمان صفحه کلید انگلیسی). کلید را فشار دهید وارد. در سلول B2 ظاهر می شود 4
. اکنون باید تابع را از سلول B2 کپی کنید. تکمیل خودکار این فرمول را در محدوده B2:B32 کپی کنید.
در نتیجه باید یک جدول داده برای یافتن انتگرال به دست آید. - اکنون در سلول B33 مقدار تقریبی انتگرال را می توان یافت. برای این کار در سلول B33 فرمول را وارد کنید = 0,1*, سپس Function Wizard را فراخوانی کنید (با فشار دادن دکمه Insert Function در نوار ابزار (f(x)). در کادر محاوره ای Function Wizard-Step 1 of 2 که ظاهر می شود، در سمت چپ، در قسمت Category، ریاضی را انتخاب کنید. در سمت راست در قسمت Function - تابع Sum. دکمه را فشار می دهیم خوب.کادر محاوره ای Sum ظاهر می شود. محدوده جمع بندی B2:B31 را با ماوس در فیلد کاری وارد کنید. دکمه را فشار می دهیم خوب.در سلول B33، مقدار تقریبی انتگرال مورد نظر با یک نقطه ضعف ظاهر می شود ( 37,955 ) .
مقایسه مقدار تقریبی به دست آمده با مقدار واقعی انتگرال ( 39 ، مشاهده می شود که خطای تقریبی روش مستطیل ها در این حالت برابر است با
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
مثال 2 با استفاده از روش مستطیل ها، با یک مرحله داده شده محاسبه کنید ایکس = 0,05.
مقایسه مقدار تقریبی به دست آمده با مقدار واقعی انتگرال 
، مشاهده می شود که خطای تقریبی روش مستطیل ها در این حالت برابر است با
روش ذوزنقه معمولاً مقدار انتگرال دقیق تری نسبت به روش مستطیل می دهد. ذوزنقه منحنی با مجموع چند ذوزنقه جایگزین می شود و مقدار تقریبی انتگرال معین به عنوان مجموع مساحت ذوزنقه ها به دست می آید.
[تصویر 3]
مثال 3 ذوزنقه ای گام به گام پیدا کنید ایکس = 0,1.
- یک کاربرگ خالی باز کنید.
- تدوین جدول داده ها (ایکسو f(x)).بگذارید ستون اول مقادیر باشد ایکسو دومین شاخص مربوطه f(x).برای این کار در سلول A1 کلمه را وارد کنید بحث و جدل، و در سلول B1 - کلمه عملکرد. در سلول A2، اولین مقدار آرگومان وارد می شود - مرز سمت چپ محدوده ( 0 ). در سلول A3، مقدار دوم آرگومان وارد می شود - مرز سمت چپ محدوده به اضافه مرحله ساخت ( 0,1 ). سپس با انتخاب بلوک سلول‌های A2:A3، تمام مقادیر آرگومان را با تکمیل خودکار دریافت می‌کنیم (گوشه سمت راست پایین بلوک را به سلول A33 گسترش می‌دهیم تا مقدار x=3.1).
- در ادامه مقادیر انتگرال را معرفی می کنیم. در سلول B2 باید معادله آن را بنویسید (در مثال سینوس). برای انجام این کار، مکان نما جدول باید در سلول B2 قرار گیرد. باید یک مقدار سینوسی مطابق با مقدار آرگومان در سلول A2 وجود داشته باشد. برای بدست آوردن مقدار سینوس، از یک تابع خاص استفاده می کنیم: روی دکمه Insert function در نوار ابزار کلیک کنید f(x). در کادر محاوره ای Function Wizard-Step 1 of 2 که ظاهر می شود، در سمت چپ، در قسمت Category، ریاضی را انتخاب کنید. در سمت راست در قسمت Function - یک تابع گناه. دکمه را فشار می دهیم خوب.یک کادر محاوره ای ظاهر می شود گناه. با نگه داشتن نشانگر ماوس روی قسمت خاکستری پنجره، با فشار دادن دکمه سمت چپ، فیلد را به سمت راست حرکت دهید تا ستون داده باز شود ( ولی). با کلیک بر روی سلول A2 مقدار آرگومان سینوسی را مشخص کنید. دکمه را فشار می دهیم خوب. 0 در سلول B2 ظاهر می شود.حالا باید تابع را از سلول B2 کپی کنید. تکمیل خودکار این فرمول را در محدوده B2:B33 کپی کنید. در نتیجه باید یک جدول داده برای یافتن انتگرال به دست آید.
- اکنون در سلول B34 مقدار تقریبی انتگرال را می توان با استفاده از روش ذوزنقه ای یافت. برای این کار در سلول B34 فرمول را وارد کنید \u003d 0.1 * ((B2 + B33) / 2+،سپس Function Wizard را فراخوانی کنید (با فشار دادن دکمه Insert Function در نوار ابزار (f(x)). در کادر محاوره ای Function Wizard-Step 1 of 2 که ظاهر می شود، در سمت چپ، در قسمت Category، ریاضی را انتخاب کنید. در سمت راست در قسمت Function - تابع Sum. دکمه را فشار می دهیم خوب.کادر محاوره ای Sum ظاهر می شود. محدوده جمع بندی B3:B32 را با ماوس در فیلد کاری وارد کنید. دکمه را فشار می دهیم خوبیک بار دیگر خوب.در سلول B34، یک مقدار تقریبی از انتگرال جستجو شده با یک نقطه ضعف ظاهر می شود ( 1,997 ) .
با مقایسه مقدار تقریبی به دست آمده با مقدار واقعی انتگرال، می توان دریافت که خطای تقریبی روش مستطیل ها در این مورد برای عمل کاملاً قابل قبول است.
- حل تمرینات
نحوه محاسبه انتگرال معین
با استفاده از فرمول ذوزنقه و روش سیمپسون؟
روش های عددی بخش نسبتاً بزرگی از ریاضیات عالی است و کتاب های درسی جدی در این مبحث صدها صفحه دارند. در عمل، در آزمون ها، به طور سنتی برخی از کارها برای حل با روش های عددی پیشنهاد می شود و یکی از کارهای رایج، محاسبه تقریبی است. انتگرال های معین. در این مقاله، من دو روش را برای محاسبه تقریبی یک انتگرال معین در نظر خواهم گرفت. روش ذوزنقه ایو روش سیمپسون.
برای تسلط بر این روش ها چه چیزهایی باید بدانید؟ خنده دار به نظر می رسد، اما ممکن است اصلا نتوانید انتگرال بگیرید. و حتی نمی فهمم انتگرال ها چیست. از ابزارهای فنی، شما به یک ریز محاسبه گر نیاز خواهید داشت. بله، بله، منتظر محاسبات معمول مدرسه هستیم. بهتر است ماشین حساب نیمه اتوماتیک من را برای روش ذوزنقه و روش سیمپسون دانلود کنید. این ماشین حساب در اکسل نوشته شده است و به شما امکان می دهد زمان حل و پردازش وظایف را ده برابر کاهش دهید. یک کتابچه راهنمای تصویری برای قوری های اکسل گنجانده شده است! در ضمن اولین ویدیو با صدای من.
ابتدا این سوال را از خود بپرسیم که اصلاً چرا به محاسبات تقریبی نیاز داریم؟ به نظر می رسد که بتوان پاد مشتق تابع را پیدا کرد و از فرمول نیوتن-لایبنیتس برای محاسبه مقدار دقیق یک انتگرال خاص استفاده کرد. به عنوان پاسخ به این سوال، بیایید بلافاصله یک نمونه آزمایشی با یک تصویر را در نظر بگیریم.
یک انتگرال معین را محاسبه کنید
همه چیز خوب خواهد بود، اما در این مثال انتگرال گرفته نشده است - قبل از اینکه شما گرفته نشود، به اصطلاح لگاریتم انتگرال. آیا این انتگرال اصلا وجود دارد؟ بیایید نمودار انتگرال را در نقاشی به تصویر بکشیم: 
همه چیز خوب است. انتگرال بر روی بازه پیوسته است و انتگرال معین از نظر عددی برابر با ناحیه سایه دار است. بله، این فقط یک مشکل است - انتگرال گرفته نشده است. و در چنین مواردی روش های عددی به کمک می آیند. در این مورد، مشکل در دو فرمول رخ می دهد:
1) انتگرال معین را تقریباً محاسبه کنید ، گرد کردن نتیجه به رقم اعشار مشخص. به عنوان مثال، تا دو رقم اعشار، تا سه رقم اعشار و غیره. فرض کنید پاسخ تقریبی 5.347 را می گیرید. در واقع، ممکن است کاملاً صحیح نباشد (در واقع، فرض کنید پاسخ دقیق تر 5.343 باشد). وظیفه ما این است فقط در آنبرای گرد کردن نتیجه به سه رقم اعشار.
2) انتگرال معین را تقریباً محاسبه کنید با دقت خاصی. مثلاً انتگرال معین را تقریباً با دقت 001/0 محاسبه کنید. چه مفهومی داره؟ این بدان معنی است که ما باید چنین مقدار تقریبی را پیدا کنیم که مدول (یک راه یا دیگری)با حقیقت بیش از 0.001 تفاوت دارد.
چندین روش اساسی برای محاسبه تقریبی یک انتگرال معین که در مسائل رخ می دهد وجود دارد:
بخش ادغام به چند قسمت تقسیم می شود و یک شکل پلکانی ساخته می شود که از نظر مساحت به ناحیه مورد نظر نزدیک است: 
بر اساس نقشه ها به شدت قضاوت نکنید، دقت کامل نیست - آنها فقط به درک ماهیت روش ها کمک می کنند.
ایده مشابه است. بخش ادغام به چندین بخش میانی تقسیم می شود و نمودار انتگرال نزدیک می شود خط شکستهخط: 
بنابراین مساحت ما (سایه زنی آبی) با مجموع مساحت ذوزنقه ها (قرمز) تقریبی می شود. از این رو نام روش است. به راحتی می توان فهمید که روش ذوزنقه ای تقریب بسیار بهتری نسبت به روش مستطیل (با همان تعداد قطعه پارتیشن) ارائه می دهد. و البته هر چه قطعات میانی کوچکتری را در نظر بگیریم، دقت بالاتری خواهد داشت. روش ذوزنقه ای هر از چند گاهی در کارهای عملی با آن مواجه می شود و در این مقاله به بررسی چند مثال پرداخته می شود.
روش سیمپسون (روش سهمی). این یک راه کامل تر است - نمودار انتگرال نه با یک خط شکسته، بلکه با سهمی های کوچک نزدیک می شود. چند بخش میانی - این همه سهمی کوچک. اگر همان سه بخش را در نظر بگیریم، روش سیمپسون تقریب دقیق تری نسبت به روش مستطیل یا ذوزنقه ارائه می دهد.
من نکته ای را در ساختن نقاشی نمی بینم، زیرا از نظر بصری تقریب روی نمودار تابع قرار می گیرد (خط شکسته پاراگراف قبلی - و حتی پس از آن تقریباً منطبق بود).
کار محاسبه یک انتگرال معین با استفاده از فرمول سیمپسون محبوب ترین کار در عمل است. و روش سهمی ها مورد توجه قابل توجهی قرار خواهد گرفت.
چگونه یک انتگرال معین را با استفاده از روش ذوزنقه محاسبه کنیم؟
اول، فرمول کلی. شاید برای همه روشن نشود و بلافاصله ... بله، کارلسون با شما است - نمونه های عملی همه چیز را روشن می کند! آرام فقط آرامش
انتگرال معین را در نظر بگیرید که در آن یک تابع پیوسته روی قطعه است. اجازه دهید بخش را به تقسیم کنیم برابربخش ها:
. در این صورت بدیهی است: ( حد پایین ادغام ) و ( حد بالایی ادغام ). نکته ها 
همچنین به نام گره ها.
سپس انتگرال معین را می توان تقریباً محاسبه کرد با فرمول ذوزنقه ای:
، جایی که:
گام;
مقادیر انتگرال در نقاط هستند 
.
مثال 1
با استفاده از فرمول ذوزنقه یک انتگرال تقریبا معین را محاسبه کنید. نتایج را تا سه رقم اعشار گرد کنید.
الف) تقسیم بخش ادغام به 3 قسمت.
ب) تقسیم بخش ادغام به 5 قسمت.
راه حل:
الف) به خصوص برای آدمک ها، پاراگراف اول را به نقاشی گره زدم که به وضوح اصل روش را نشان می داد. اگر مشکل خواهد بود، در طول نظرات به نقاشی نگاه کنید، در اینجا یک قطعه از آن است: 
طبق شرط، بخش ادغام باید به 3 قسمت تقسیم شود، یعنی .
طول هر بخش از پارتیشن را محاسبه کنید: 
. به شما یادآوری می کنم که پارامتر نیز نامیده می شود گام.
چند نقطه (گره پارتیشن) وجود خواهد داشت؟ خواهد بود یکی بیشتراز تعداد بخش ها:
خوب، فرمول کلی ذوزنقه ها به اندازه دلپذیر کاهش می یابد: 
برای محاسبات، می توانید از یک میکرو محاسبه گر معمولی استفاده کنید: 
توجه داشته باشید که، مطابق با شرایط مشکل، تمام محاسبات باید به رقم 3 اعشار گرد شوند.
سرانجام:
از نظر هندسی مجموع مساحت سه ذوزنقه را محاسبه کردیم (تصویر بالا را ببینید).
ب) قطعه یکپارچه را به 5 قسمت مساوی تقسیم می کنیم، یعنی . چرا این مورد نیاز است؟ به طوری که Phobos-Grunt به اقیانوس نیفتد - با افزایش تعداد بخش ها، دقت محاسبات را افزایش می دهیم.
اگر، پس فرمول ذوزنقه ای شکل زیر را به خود می گیرد:
بیایید مرحله پارتیشن بندی را پیدا کنیم: 
، یعنی طول هر قطعه میانی 0.6 است.
هنگام اتمام کار، راحت است که تمام محاسبات را با یک جدول محاسبه ترسیم کنید:
در خط اول می نویسیم "counter"
من فکر می کنم همه می توانند ببینند که خط دوم چگونه تشکیل می شود - ابتدا حد پایین ادغام را می نویسیم، با اضافه کردن متوالی مرحله، مقادیر باقی مانده را دریافت می کنیم.
من فکر می کنم که تقریباً همه متوجه شدند که خط آخر با چه اصل پر می شود. به عنوان مثال، اگر، پس 
. آنچه نامیده می شود، در نظر بگیرید، تنبل نباشید.
در نتیجه: 
خوب، واقعاً یک توضیح وجود دارد، و یک توضیح جدی! اگر برای 3 بخش از پارتیشن مقدار تقریبی بود، برای 5 بخش. بنابراین، با درجه اطمینان بالایی، می توان استدلال کرد که حداقل .
مثال 2
یک انتگرال تقریباً تعریف شده را با استفاده از فرمول ذوزنقه ای با دقت دو رقم اعشار (تا 0.01) محاسبه کنید.
راه حل:تقریباً همان مشکل، اما در فرمول کمی متفاوت. تفاوت اساسی با مثال 1 این است که ما ما نمی دانیم، به چند بخش تقسیم می شود تا بخش ادغام به منظور به دست آوردن دو رقم اعشار صحیح تقسیم شود. به عبارت دیگر، ما ارزش آن را نمی دانیم.
فرمول خاصی وجود دارد که به شما امکان می دهد تعداد بخش های پارتیشن را تعیین کنید تا اطمینان حاصل کنید که دقت لازم به دست می آید، اما در عمل اغلب اعمال آن دشوار است. بنابراین، استفاده از یک رویکرد ساده سودمند است.
ابتدا، بخش ادغام به چندین بخش بزرگ، به عنوان یک قاعده، به 2-3-4-5 تقسیم می شود. اجازه دهید بخش ادغام را به عنوان مثال به همان 5 قسمت تقسیم کنیم. فرمول از قبل آشناست:
و مرحله، البته، نیز شناخته شده است: 
اما سوال دیگری مطرح می شود که نتایج باید به چه رقمی گرد شود؟ این شرط چیزی در مورد اینکه چند رقم اعشار را ترک کنید، نمی گوید. توصیه کلی این است: 2-3 رقم باید به دقت مورد نیاز اضافه شود. در این حالت دقت مورد نیاز 0.01 است. طبق توصیه، پس از کاما، برای وفاداری، پنج کاراکتر را می گذاریم (چهار تا می تواند باشد):
در نتیجه:
، تقریب را با نشان می دهیم.
پس از نتیجه اولیه، تعداد بخش ها دو برابر. در این مورد، لازم است که به 10 بخش تقسیم شود. و هنگامی که تعداد بخش ها افزایش می یابد، فکر روشنی به ذهن خطور می کند که فرو بردن انگشتان در یک ریزماشین حساب قبلاً به نوعی خسته شده است. بنابراین، من یک بار دیگر پیشنهاد می کنم که ماشین حساب نیمه اتوماتیک خود را دانلود و استفاده کنید (لینک در ابتدای درس).
برای فرمول ذوزنقه به شکل زیر است:
در نسخه کاغذی، ورودی را می توان با خیال راحت به خط بعدی منتقل کرد.
بیایید مرحله پارتیشن را محاسبه کنیم: 
نتایج محاسبات در جدول خلاصه شده است: 
هنگام اتمام کار در دفترچه یادداشت، تبدیل یک میز بلند به یک میز دو طبقه مفید است.
در نتیجه:
اکنون اختلاف بین تقریب ها را محاسبه می کنیم:
در اینجا از علامت مدول استفاده می کنیم، زیرا به آن علاقه مندیم تفاوت مطلقو نه اینکه کدام نتیجه بیشتر است، بلکه کدام کمتر است.
در مورد اقدامات بعدی، من شخصاً در عمل با 2 راه حل مواجه شدم:
1) راه اول "مقایسه سر به سر" است. از آنجایی که تخمین خطا حاصل می شود بیشتربیش از دقت لازم: 
، سپس لازم است تعداد بخش های پارتیشن را تا دو برابر کرده و قبلاً محاسبه کنید. با کمک یک ماشین حساب اکسل، نتیجه نهایی را می توان در عرض چند ثانیه به دست آورد:. حالا دوباره خطا را تخمین می زنیم: . امتیاز دریافت کرد کمتربیش از دقت لازم: 
بنابراین، محاسبات تکمیل شده است. باقی مانده است که آخرین (دقیق ترین) نتیجه را به دو رقم اعشار گرد کنید و پاسخ دهید.
2) روش کارآمدتر دیگر مبتنی بر استفاده از به اصطلاح است قوانین رانج، که طبق آن ما در تخمین انتگرال معین، در واقع، بیش از . در مشکل ما: بنابراین، نیاز به محاسبه از بین می رود. با این حال، برای سرعت راه حل در این مورد، باید با دقت پرداخت می کردیم: 
. با این وجود، این نتیجه قابل قبول است، زیرا "حد خطا" ما دقیقا یک صدم است.
چه چیزی را انتخاب کنیم؟ روی کتابچه راهنمای آموزشی خود یا ترجیحات معلم تمرکز کنید.
پاسخ: 
دقیق 0.01 (هنگام استفاده از قانون رانگ).
مثال 3
یک انتگرال تقریبا معین را با استفاده از فرمول ذوزنقه ای با دقت 001/0 محاسبه کنید.
قبل از شما دوباره یک انتگرال گرفته نشده است (کسینوس تقریباً انتگرال). در محلول نمونه، در مرحله اول، تقسیم به 4 بخش انجام شد، یعنی . راه حل کامل و نمونه تقریبی اتمام در پایان درس.
چگونه با استفاده از فرمول سیمپسون انتگرال معین را محاسبه کنیم؟
اگر در این صفحه فقط به دنبال روش سیمپسون بودید، اکیداً توصیه می کنم که ابتدا ابتدای درس را بخوانید و حداقل نمونه اول را مشاهده کنید. به این دلیل که بسیاری از ایده ها و تکنیک ها مشابه روش ذوزنقه خواهد بود.
دوباره با فرمول کلی شروع می کنیم
انتگرال معین را در نظر بگیرید که در آن یک تابع پیوسته روی قطعه است. اجازه دهید بخش را به تقسیم کنیم زوجمیزان برابربخش ها تعداد زوج قطعه با نشان داده می شود.
در عمل، بخش ها می توانند:
دو:
چهار:
هشت:
ده:
بیست:
هیچ گزینه دیگری را به خاطر ندارم.
توجه!عدد به عنوان یک عدد درک می شود. به این معنا که، ممنوع استبه عنوان مثال، به دو کاهش، گرفتن . در حال ضبط فقط مخففکه تعداد بخش ها به طور مساوی. و هیچ کاهشی برای صحبت وجود ندارد.
بنابراین پارتیشن ما به شکل زیر است:
اصطلاحات مشابه روش ذوزنقه ای هستند:
نقطه نامیده می شود گره ها.
فرمول سیمپسونبرای محاسبه تقریبی انتگرال معین به شکل زیر است:
، جایی که:
- طول هر یک از قطعات کوچک یا گام;
مقادیر انتگرال در نقاط هستند.
با جزئیات بیشتر این انباشته شدن، فرمول را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل خواهم کرد:
مجموع اولین و آخرین مقادیر انتگرال است.
مجموع اعضای با است زوجشاخص ضرب در 2;
مجموع اعضای با است فردشاخص در 4 ضرب می شود.
مثال 4
انتگرال تقریبی را با استفاده از فرمول سیمپسون با دقت 0.001 محاسبه کنید. تقسیم با دو بخش شروع می شود 
به هر حال، انتگرال دوباره گرفته نشده است.
راه حل:من بلافاصله توجه را به نوع کار جلب می کنم - محاسبه یک انتگرال مشخص ضروری است با دقت خاصی. این بدان معناست که قبلاً در ابتدای مقاله و همچنین در مورد مثال های عینی پاراگراف قبل توضیح داده شده است. در مورد روش ذوزنقه، فرمولی وجود دارد که به شما امکان می دهد بلافاصله تعداد قطعات مورد نیاز (مقدار "en") را تعیین کنید تا دقت لازم را تضمین کنید. درست است، ما باید مشتق چهارم را پیدا کنیم و مشکل افراطی را حل کنیم. که منظورم را فهمید و مقدار کار را تخمین زد، لبخند زد. با این حال، در اینجا هیچ چیز خنده‌داری وجود ندارد، یافتن مشتق چهارم چنین انتگرالی دیگر یک مگابوتان نیست، بلکه یک روان‌پریشی بالینی خواهد بود. بنابراین، در عمل، تقریباً همیشه از یک روش ساده برای تخمین خطا استفاده می شود.
ما شروع به تصمیم گیری می کنیم. اگر دو بخش پارتیشن داشته باشیم، گره ها خواهند بود یکی بیشتر: . و فرمول سیمپسون شکل بسیار فشرده ای دارد: 
بیایید مرحله پارتیشن را محاسبه کنیم: 
بیایید جدول محاسبه را پر کنیم:
یک بار دیگر در مورد نحوه پر شدن جدول نظر می دهم:
در خط بالایی "شمارنده" شاخص ها را می نویسیم
در خط دوم ابتدا حد پایین ادغام را می نویسیم و سپس به ترتیب مرحله را اضافه می کنیم.
در خط سوم مقادیر انتگرال را وارد می کنیم. به عنوان مثال، اگر، سپس . چند رقم اعشار باقی بماند؟در واقع، شرایط دوباره چیزی در این مورد نمی گوید. اصل همان است که در روش ذوزنقه ای، دقت لازم را بررسی می کنیم: 0.001. و 2-3 رقم اضافی اضافه کنید. یعنی باید 5-6 رقم اعشار را گرد کنید.
در نتیجه:
اولین نتیجه بدست آمده است. اکنون دو برابرتعداد قسمت ها تا چهار قسمت: . فرمول سیمپسون برای این پارتیشن به شکل زیر است:
بیایید مرحله پارتیشن را محاسبه کنیم: 
بیایید جدول محاسبه را پر کنیم: 
به این ترتیب:
بیایید قدر مطلق تفاوت بین تقریب ها را پیدا کنیم:
قانون رانج برای روش سیمپسون خوشمزه است. اگر هنگام استفاده روش مستطیل وسطو روش ذوزنقه‌ای، به ما یک سوم «افراط» داده می‌شود، اکنون - به اندازه یک پانزدهم:
، و دقت دیگر در اینجا آسیب نمی بیند: 
اما به خاطر کامل بودن، من یک راه حل "ساده" را نیز ارائه خواهم کرد، که در آن باید یک قدم اضافی بردارید: زیرا دقت بیش از حد لازم وجود دارد: 
، سپس باید دوباره تعداد سگمنت ها را دو برابر کرد: .
فرمول سیمپسون با جهش در حال رشد است:
بیایید مرحله را محاسبه کنیم: 
بیایید دوباره صفحه گسترده را پر کنیم:
به این ترتیب: 
توجه داشته باشید که در اینجا مطلوب است که محاسبات را با جزئیات بیشتری شرح دهیم، زیرا فرمول سیمپسون کاملاً دست و پا گیر است و اگر بلافاصله ضربه بزنید:
، سپس این مشروب مانند یک هک به نظر می رسد. و با ضبط دقیق تر، معلم این تصور را به دست می آورد که شما با وجدان کلیدهای ریزماشین حساب را برای یک ساعت خوب پاک کرده اید. محاسبات دقیق برای موارد "سخت" در ماشین حساب من وجود دارد.
ما خطا را تخمین می زنیم:
خطا کمتر از دقت لازم است: 
. باقی مانده است که دقیق ترین تقریب را بگیرید، آن را تا سه رقم اعشار گرد کنید و بنویسید:
پاسخ: 
دقت 0.001
مثال 5
یک انتگرال تقریبی را با استفاده از فرمول سیمپسون با دقت 0.0001 محاسبه کنید. تقسیم با دو بخش شروع می شود 
این یک مثال برای خودتان است. یک مثال تقریبی از اتمام کار و پاسخ در پایان درس.
در قسمت پایانی درس، چند مثال رایج دیگر را در نظر خواهیم گرفت.
مثال 6
مقدار تقریبی یک انتگرال معین را محاسبه کنید 
با استفاده از فرمول سیمپسون، بخش ادغام را به 10 قسمت تقسیم می کند. محاسبات با دقت سه رقم اعشار انجام می شود.
- ضریب شکست یک ماده به چه چیزی بستگی دارد؟
- طول موج و سرعت انتشار موج
- نحوه پیدا کردن حداکثر (حداقل و حداکثر امتیاز) یک تابع
- قانون توزیع مجموع دو متغیر تصادفی
- جنگ ذرات و پادذرات تاریخچه کشف پادذرات
- انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش
- نیروی لورنتس، تعریف، فرمول، معنای فیزیکی نیروی لورنتس در si
- جامدات محلول در آب
- معنی کلمه هویت
- بسط سری فوریه توابع زوج و فرد نابرابری بسل برابری پارسوال نمونه های سری فوریه از راه حل های با پیچیدگی افزایش یافته
- برای هر روز تابع را در یک سری فوریه بسط دهید
- حداقل مربعات در اکسل
- شرط لازم برای وابستگی خطی n تابع
- توسعه پیش بینی با استفاده از روش حداقل مربعات
- نحوه اندازه گیری کشش سطحی کشش سطحی چیست
- توزیع پیوسته یکنواخت در EXCEL
- روش ذوزنقه ای محاسبه انتگرال با استفاده از فرمول ذوزنقه ای
- شرایط کافی برای نمایش پذیری یک تابع توسط انتگرال فوریه
- این که emf در چه واحدهایی اندازه گیری می شود
- ذرات در جامدات، مایعات و گازها چگونه قرار می گیرند؟