متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت. توزیع پیوسته یکنواخت در EXCEL. ویژگی های توزیع یکنواخت

در عمل، متغیرهای تصادفی وجود دارند که از قبل مشخص شده است که می توانند هر مقداری را در محدوده های کاملاً تعریف شده به خود بگیرند و در این مرزها همه مقادیر متغیر تصادفی احتمال یکسانی دارند (چگالی احتمال یکسانی دارند).

برای مثال، اگر ساعتی خراب شود، عقربه دقیقه شمار متوقف شده، زمان سپری شده از ابتدای ساعت معین تا شکست ساعت را با احتمال مساوی (چگالی احتمال) نشان می دهد. این زمان یک متغیر تصادفی است که مقادیری با همان چگالی احتمالی را می گیرد که از مرزهای تعیین شده با مدت زمان یک ساعت فراتر نمی روند. خطای گرد کردن نیز به چنین متغیرهای تصادفی تعلق دارد. به چنین مقادیری گفته می شود که به طور یکنواخت توزیع شده اند، یعنی دارای توزیع یکنواخت هستند.

تعریف. یک متغیر تصادفی پیوسته X دارای توزیع یکنواخت در بازه است[الف، در], اگر در این بخش چگالی توزیع احتمال متغیر تصادفی ثابت باشد، یعنی تابع توزیع دیفرانسیل f(x) دارای فرم زیر است:

این توزیع گاهی اوقات نامیده می شود قانون چگالی یکنواخت. در مورد کمیتی که دارای توزیع یکنواخت بر روی یک قطعه خاص است، خواهیم گفت که به طور یکنواخت روی این قطعه توزیع شده است.

مقدار ثابت c را بیابید. از آنجا که منطقه محدود شده توسط منحنی توزیع و محور اوه،پس برابر 1 است

جایی که با=1/(ب-آ).

حالا تابع f(x)را می توان به عنوان نشان داد

بیایید تابع توزیع را بسازیم F(x ), که برای آن عبارت را پیدا می کنیم F (x) در بازه [ الف، ب]:

نمودارهای توابع f (x) و F (x) به شکل زیر هستند:

بیایید ویژگی های عددی را پیدا کنیم.

با استفاده از فرمول محاسبه انتظارات ریاضی NSW، داریم:

بنابراین، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بازه [الف، ب] با وسط این بخش منطبق است.

واریانس یک متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت را پیدا کنید:

که از آن بلافاصله نتیجه می گیرد که انحراف استاندارد:

اجازه دهید اکنون این احتمال را پیدا کنیم که مقدار یک متغیر تصادفی با توزیع یکنواخت در بازه قرار می گیرد.(الف، ب)، کاملا متعلق به بخش [آ، ب ]:

خدمات آنلاین:

همانطور که قبلا ذکر شد، نمونه هایی از توزیع احتمال متغیر تصادفی پیوسته X عبارتند از:

• توزیع احتمال یکنواخت یک متغیر تصادفی پیوسته.
• توزیع احتمال نمایی یک متغیر تصادفی پیوسته.
• توزیع نرمال احتمالات یک متغیر تصادفی پیوسته

اجازه دهید مفهوم قوانین توزیع یکنواخت و نمایی، فرمول های احتمال و ویژگی های عددی توابع در نظر گرفته شده را ارائه دهیم.

فهرست مطالب	قانون توزیع تصادفی	قانون نمایی توزیع
تعریف	یکنواخت نامیده می شود توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X که چگالی آن در بازه ثابت می ماند و به شکل	نمایی (نمایی) نامیده می شود توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X، که با چگالی دارای شکل توصیف می شود
		که در آن λ یک مقدار مثبت ثابت است
تابع توزیع
احتمال زدن فاصله
ارزش مورد انتظار
پراکندگی
انحراف معیار

نمونه هایی از حل مسائل با موضوع "قوانین توزیع یکنواخت و نمایی"

وظیفه 1.

اتوبوس ها به شدت طبق برنامه حرکت می کنند. فاصله حرکتی 7 دقیقه پیدا کنید: (الف) احتمال اینکه مسافری که به ایستگاه می آید کمتر از دو دقیقه منتظر اتوبوس بعدی باشد. ب) احتمال اینکه مسافری که به ایستگاه نزدیک می شود حداقل سه دقیقه منتظر اتوبوس بعدی باشد. ج) انتظارات ریاضی و انحراف معیار متغیر تصادفی X - زمان انتظار مسافر.

راه حل. 1. با شرط مسئله، یک متغیر تصادفی پیوسته X=(زمان انتظار مسافر) یکنواخت توضیع شده بین ورود دو اتوبوس طول بازه توزیع متغیر تصادفی X برابر با b-a=7 است که a=0، b=7 است.

2. زمان انتظار کمتر از دو دقیقه خواهد بود اگر مقدار تصادفی X در بازه (5;7) قرار گیرد. احتمال افتادن در یک بازه معین با فرمول بدست می آید: P(x1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. زمان انتظار حداقل سه دقیقه (یعنی از سه تا هفت دقیقه) خواهد بود اگر مقدار تصادفی X در بازه (0؛ 4) قرار گیرد. احتمال افتادن در یک بازه معین با فرمول بدست می آید: P(x1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی پیوسته و یکنواخت توزیع شده X - زمان انتظار مسافر، با فرمول پیدا می کنیم: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.

5. انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی پیوسته و یکنواخت توزیع شده X - زمان انتظار مسافر، با فرمول پیدا می کنیم: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

وظیفه 2.

توزیع نمایی برای x ≥ 0 با چگالی f(x) = 5e – 5x داده می شود. مورد نیاز: الف) یک عبارت برای تابع توزیع بنویسید. ب) این احتمال را بیابید که در نتیجه آزمایش، X در بازه (1؛ 4) قرار می گیرد. ج) این احتمال را بیابید که در نتیجه آزمون X ≥ 2; د) محاسبه M(X)، D(X)، σ(X).

راه حل. 1. از آنجا که، به شرط، توزیع نمایی ، سپس از فرمول چگالی توزیع احتمال متغیر تصادفی X λ = 5 را به دست می آوریم. سپس تابع توزیع به شکل زیر خواهد بود:

2. احتمال اینکه در نتیجه آزمایش X در بازه (1؛ 4) قرار گیرد با فرمول پیدا می شود:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. احتمال اینکه در نتیجه آزمایش X ≥ 2 با فرمول پیدا شود: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. برای توزیع نمایی پیدا می کنیم:

• انتظارات ریاضی طبق فرمول M(X) =1/λ = 1/5 = 0.2;
• پراکندگی طبق فرمول D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0.04.
• انحراف استاندارد طبق فرمول σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2.

تعریف چگالی احتمال را به خاطر بیاورید.

اکنون مفهوم توزیع احتمال یکنواخت را معرفی می کنیم:

تعریف 2

توزیع یکنواخت نامیده می شود اگر در بازه ای حاوی تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی، چگالی توزیع ثابت باشد، یعنی:

تصویر 1.

مقدار ثابت $\ C$ را با استفاده از ویژگی چگالی توزیع زیر پیدا کنید: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

بنابراین، تابع چگالی توزیع یکنواخت به شکل زیر است:

شکل 2.

نمودار به شکل زیر است (شکل 1):

شکل 3. چگالی توزیع احتمال یکنواخت

تابع توزیع احتمال یکنواخت

اجازه دهید اکنون تابع توزیع را برای توزیع یکنواخت پیدا کنیم.

برای این کار از فرمول زیر استفاده می کنیم: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. برای $x ≤ a$، طبق فرمول، دریافت می کنیم:

1. برای یک دلار

1. برای $x> 2$، طبق فرمول، دریافت می کنیم:

بنابراین، تابع توزیع به شکل زیر است:

شکل 4

نمودار به شکل زیر است (شکل 2):

شکل 5. تابع توزیع احتمال یکنواخت.

احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ تحت یک توزیع احتمال یکنواخت

برای یافتن احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه $(\alpha ,\beta)$ با توزیع احتمال یکنواخت، از فرمول زیر استفاده می کنیم:

ارزش مورد انتظار:

انحراف معیار:

نمونه هایی از حل مسئله برای توزیع یکنواخت احتمالات

مثال 1

فاصله بین ترولی‌بوس‌ها 9 دقیقه است.

تابع توزیع و چگالی توزیع متغیر تصادفی $X$ را در انتظار مسافران اتوبوس برقی کامپایل کنید.

این احتمال را پیدا کنید که مسافر در کمتر از سه دقیقه منتظر ترولی بوس می ماند.

این احتمال را پیدا کنید که مسافر حداقل در 4 دقیقه منتظر ترولی بوس باشد.

انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار را پیدا کنید

1. از آنجایی که متغیر تصادفی پیوسته $X$ انتظار برای ترولی‌بوس به طور یکنواخت توزیع شده است، پس $a=0،\ b=9$.

بنابراین، چگالی توزیع، طبق فرمول تابع چگالی توزیع احتمال یکنواخت، به شکل زیر است:

شکل 6

با توجه به فرمول تابع توزیع احتمال یکنواخت، در مورد ما، تابع توزیع به شکل زیر است:

شکل 7

1. این سوال را می توان به صورت زیر فرموله کرد: احتمال سقوط یک متغیر تصادفی از یک توزیع یکنواخت را در بازه $\left(6,9\right).$ پیدا کنید.

ما گرفتیم:

\}