مثال های تبدیل فوریه کسینوس شرایط کافی برای نمایش پذیری یک تابع توسط انتگرال فوریه. گزینه هایی برای وظایف برای حل و فصل و کارهای گرافیکی

I. تبدیل فوریه.

تعریف 1.عملکرد

تماس گرفت تبدیل فوریهکارکرد .

انتگرال در اینجا به معنای ارزش اصلی درک می شود

و اعتقاد بر این است که وجود دارد.

اگر یک تابع کاملاً قابل ادغام در ℝ است، پس از آن زمان برای، تبدیل فوریه (1) برای هر تابعی از این قبیل معنا دارد، و انتگرال (1) به طور مطلق و یکنواخت نسبت به کل خط ℝ همگرا می شود.

تعریف 2. اگر یک تبدیل فوریه تابع است
، سپس انتگرال مرتبط

فهمیده به معنای اصلی، نامیده می شود انتگرال فوریه تابع .

مثال 1تبدیل فوریه یک تابع را پیدا کنید

تابع داده شده کاملاً قابل ادغام است، در واقع،

تعریف 3.به معنای ارزش اصلی انتگرال ها درک می شود

بر این اساس نامگذاری شد کسینوسو توابع تبدیل فوریه سینوسی .

با فرض اینکه , , ، تا حدی رابطه ای را که قبلاً از سری فوریه برای ما آشنا بود به دست می آوریم

همانطور که از روابط (3)، (4) مشاهده می شود،

فرمول‌های (5)، (6) نشان می‌دهند که تبدیل‌های فوریه به طور کامل در کل خط تعریف می‌شوند اگر فقط برای مقادیر غیر منفی آرگومان شناخته شوند.

مثال 2تبدیل کسینوس - و سینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

همانطور که در مثال 1 نشان داده شده است، تابع داده شده کاملاً قابل ادغام در .

بیایید کسینوس - تبدیل فوریه آن را طبق فرمول (3) پیدا کنیم:

به طور مشابه، پیدا کردن تبدیل فوریه - سینوس تابع دشوار نیست f(ایکس) با فرمول (4):

با استفاده از مثال های 1 و 2، به راحتی می توان با جایگزینی مستقیم آن را تأیید کرد f(ایکس) رابطه (5) ارضا می شود.

اگر تابع با ارزش واقعی باشد، فرمول های (5)، (6) در این مورد دلالت دارند

از آنجایی که در این مورد و توابع واقعی بر روی R هستند که از تعاریف آنها مشهود است (3)، (4). با این حال، برابری (7) تحت شرط همچنین مستقیماً از تعریف (1) تبدیل فوریه به دست می آید، اگر در نظر بگیریم که علامت صرف را می توان زیر علامت انتگرال قرار داد. آخرین مشاهده به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که هر تابعی برابری را برآورده می کند

همچنین ذکر این نکته مفید است که if یک تابع واقعی و زوج است، به عنوان مثال، ، سپس

اگر یک تابع واقعی و فرد است، به عنوان مثال، ، سپس

و اگر تابعی کاملاً خیالی است، یعنی. . ، سپس

توجه داشته باشید که اگر یک تابع با ارزش واقعی باشد، انتگرال فوریه را نیز می توان به شکل نوشتاری کرد

جایی که

مثال 3
(با فرض اینکه )

از آنجایی که ما ارزش انتگرال دیریکله را می دانیم

تابع در نظر گرفته شده در مثال کاملاً قابل ادغام نیست و تبدیل فوریه آن دارای ناپیوستگی است. این واقعیت که تبدیل فوریه توابع کاملاً ادغام‌پذیر هیچ ناپیوستگی ندارد با موارد زیر نشان داده می‌شود.

لم 1. اگر تابع قابل ادغام محلی و کاملاً قابل ادغام در ، سپس

آ) تبدیل فوریه آن برای هر مقداری تعریف شده است

ب)

به یاد بیاورید که اگریک تابع با ارزش واقعی یا پیچیده است که بر روی یک مجموعه باز تعریف شده است، سپس تابع تماس گرفت قابل ادغام محلی در، در صورت وجود نقطهمحله ای دارد که تابع در آن قابل ادغام است. به ویژه، اگر، شرط یکپارچگی محلی تابع بدیهی است که معادل این واقعیت است که برای هر بخش

مثال 4تبدیل فوریه تابع را پیدا کنید :

با تمایز آخرین انتگرال با توجه به پارامتر و سپس ادغام با قطعات، متوجه می شویم که

یا

به معنای، ، کجا یک ثابت است که با استفاده از انتگرال اویلر-پواسون، آن را از رابطه پیدا می کنیم

بنابراین، ما آن را پیدا کردیم، و در همان زمان نشان دادیم که، و .

تعریف 4.آنها می گویند که عملکرد ، تعریف شده در یک محله سوراخ شده از نقطه ، شرایط دینی را در نقطه ارضا می کند اگر

الف) هر دو حد یک طرفه در نقطه وجود دارد

ب) هر دو انتگرال

کاملا موافقم

همگرایی مطلق انتگرال به معنای همگرایی مطلق انتگرال حداقل برای مقداری از .

شرایط کافی برای نمایش پذیری یک تابع توسط انتگرال فوریه.

قضیه 1.اگر کاملاً قابل ادغام باشد و به صورت محلی تابع پیوسته تکه ای در نقطه ارضا می کند شرایط دینی، سپس انتگرال فوریه آن در این نقطه و به مقدار همگرا می شود

برابر با نصف مجموع حدود چپ و راست مقادیر تابع در این نقطه است.

نتیجه 1.اگر تابع پیوسته، در هر نقطه وجود دارد مشتقات یک طرفه محدود و کاملاً قابل ادغام در ، سپس به صورت ظاهر می شود با انتگرال فوریه آن

جایی که تبدیل فوریه یک تابع .

نمایش یک تابع توسط انتگرال فوریه را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

اظهار نظر.شرایط تابع فرمول بندی شده در قضیه 1 و نتیجه 1 برای امکان چنین نمایشی کافی است اما ضروری نیست.

مثال 5تابع را به صورت انتگرال فوریه if نمایش دهید

این تابع در ℝ فرد و پیوسته است، به جز نقاط , , .

با توجه به عجیب بودن و واقعی بودن تابع، داریم:

و از مساوات (5) و (10) نتیجه می شود که

در نقاط تداوم تابع داریم:

اما تابع عجیب و غریب است، بنابراین

از آنجایی که انتگرال به معنای ارزش اصلی محاسبه می شود.

عملکرد یکنواخت است، بنابراین

اگر، . برای، برابری

با فرض، از اینجا پیدا می کنیم

اگر آخرین عبارت را برای قرار دهیم، پس

با فرض اینجا، پیدا می کنیم

اگر یک تابع با ارزش واقعی به صورت تکه ای بر روی هر پاره خط واقعی پیوسته باشد، کاملاً قابل انتگرال گیری باشد و مشتقات یک طرفه محدودی در هر نقطه داشته باشد، آنگاه در نقاط پیوستگی تابع به صورت انتگرال فوریه نمایش داده می شود.

و در نقاط ناپیوستگی تابع، سمت چپ برابری (1) باید با

اگر یک تابع کاملاً یکپارچه پیوسته در هر نقطه دارای مشتقات یک طرفه محدود در هر نقطه باشد، در صورتی که این تابع زوج باشد، تساوی

و در مورد زمانی که یک تابع فرد است، برابری

مثال 5'. تابع را به صورت انتگرال فوریه نشان دهید اگر:

از آنجا که یک تابع زوج پیوسته است، پس با استفاده از فرمول های (13.2)، (13.2')، داریم

ما با نماد انتگرال را به معنای ارزش اصلی نشان می دهیم

نتیجه 2.برای هر کارکردی با ارضای شرایط نتیجه 1، همه تحولات وجود دارد , , , و برابری هایی وجود دارد

با در نظر گرفتن این روابط، تبدیل (14) اغلب نامیده می شود تبدیل فوریه معکوسو به جای آن بنویسید و خود برابری ها (15) نامیده می شوند فرمول وارونگی تبدیل فوریه.

مثال 6اجازه دهید و

توجه داشته باشید که اگر ، سپس برای هر عملکردی

حالا یک تابع بگیریم. سپس

اگر تابعی را بگیریم که ادامه فرد تابع تابع باشد ، در کل محور عددی، سپس

با استفاده از قضیه 1، این را دریافت می کنیم

همه انتگرال ها در اینجا به معنای ارزش اصلی درک می شوند،

با جدا کردن قسمت های واقعی و خیالی در دو انتگرال آخر، انتگرال لاپلاس را می یابیم

تعریف . عملکرد

تبدیل فوریه نرمال شده نامیده می شود.

تعریف . اگر تبدیل فوریه نرمال شده تابع است، پس انتگرال مرتبط است

ما انتگرال فوریه نرمال شده تابع را می نامیم.

ما تبدیل فوریه نرمال شده (16) را در نظر خواهیم گرفت.

برای راحتی کار، نماد زیر را معرفی می کنیم:

(آنها ).

در مقایسه با نماد قبلی، این فقط یک عادی سازی مجدد است: از این رو، به ویژه، روابط (15) به ما اجازه می دهد نتیجه بگیریم که

یا به صورت خلاصه تر

تعریف 5.عملگر را تبدیل فوریه نرمال شده و عملگر را تبدیل فوریه نرمال شده معکوس می نامند.

در لمای 1، اشاره شد که تبدیل فوریه هر تابع کاملاً انتگرال‌پذیر روی یک تابع در بی‌نهایت به صفر تمایل دارد. دو عبارت بعدی بیان می‌کنند که، مانند ضرایب فوریه، تبدیل فوریه هر چه سریع‌تر به صفر می‌رسد، هر چه تابعی که از آن گرفته شده است هموارتر باشد (در عبارت اول). یک واقعیت متقابل با این خواهد بود که هر چه سریعتر تابعی که تبدیل فوریه از آن گرفته شده به سمت صفر میل کند، تبدیل فوریه آن هموارتر می شود (گزاره دوم).

بیانیه 1(در مورد ارتباط بین همواری یک تابع و نرخ کاهش تبدیل فوریه آن). اگر یک و تمامی امکانات کاملا قابل ادغام در , سپس:

آ) برای هرچی

ب)

بیانیه 2(در مورد رابطه بین سرعت واپاشی یک تابع و صافی تبدیل فوریه آن). اگر یک تابع قابل ادغام محلی باشد : به گونه ای است که تابع کاملا یکپارچهآ ، سپس:

آ) تبدیل فوریه یک تابع متعلق به کلاس است

ب) یک نابرابری وجود دارد

ما ویژگی های اصلی سخت افزار تبدیل فوریه را ارائه می دهیم.

لم 2.بگذارید یک تبدیل فوریه برای توابع و (به ترتیب تبدیل فوریه معکوس) وجود داشته باشد، سپس، هر اعداد و اعدادی که باشند، یک تبدیل فوریه (به ترتیب، تبدیل فوریه معکوس) و برای تابع وجود دارد. ، و

(به ترتیب ).

این ویژگی خطی بودن تبدیل فوریه (به ترتیب تبدیل فوریه معکوس) نامیده می شود.

نتیجه. .

لم 3.تبدیل فوریه، و همچنین تبدیل معکوس، تبدیل یک به یک بر روی مجموعه ای از توابع پیوسته کاملاً یکپارچه در کل محور است که مشتقات یک طرفه در هر نقطه دارند.

به این معنی که if و هستند دو تابع از نوع مشخص شده و if (به ترتیب، اگر ، سپس در کل محور.

از ادعای لم 1 می توانیم لم زیر را بدست آوریم.

لم 4.اگر دنباله ای از توابع کاملاً یکپارچه شوند و یک تابع کاملاً یکپارچه به گونه ای هستند که

سپس دنباله به طور یکنواخت در کل محور به تابع همگرا می شود.

اجازه دهید اکنون تبدیل فوریه کانولوشن های دو تابع را مطالعه کنیم. برای راحتی، تعریف پیچیدگی را با اضافه کردن یک عامل اضافی اصلاح می کنیم

قضیه 2.پس اجازه دهید توابع محدود، پیوسته و کاملاً قابل ادغام در محور واقعی باشند

آن ها تبدیل فوریه کانولوشن دو تابع برابر است با حاصلضرب تبدیل فوریه این توابع.

بیایید یک جدول خلاصه شماره 1 از خصوصیات تبدیل فوریه نرمال شده را که برای حل مسائل زیر مفید است، تهیه کنیم.

میز 1

عملکرد	تبدیل فوریه نرمال شده

با استفاده از خواص 1-4 و 6 به دست می آوریم

مثال 7تبدیل فوریه نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

مثال 4 نشان داد که

مثل اینکه

با توجه به ویژگی 3 داریم:

به طور مشابه، می توانید جدول شماره 2 را برای تبدیل فوریه معکوس نرمال شده کامپایل کنید:

جدول شماره 2

عملکرد	تبدیل فوریه معکوس نرمال شده

مانند قبل، با استفاده از ویژگی های 1-4 و 6 به آن می رسیم

مثال 8تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

همانطور که در مثال 6 آمده است

وقتی داریم:

نمایش تابع در فرم

استفاده از ویژگی 6 when

گزینه هایی برای وظایف برای حل و فصل و کارهای گرافیکی

1. تبدیل سینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

2. تبدیل سینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

3. تبدیل کسینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

4. تبدیل کسینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

5. تبدیل سینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

6. پیدا کردن کسینوس - تبدیل فوریه یک تابع

7. تبدیل سینوس - فوریه تابع را پیدا کنید

8. تبدیل کسینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

9. تبدیل کسینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

10. تبدیل سینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

11. تبدیل سینوس - فوریه یک تابع را پیدا کنید

12. تبدیل سینوس - تابع را پیدا کنید

13. تبدیل سینوس - تابع را پیدا کنید

14. تبدیل کسینوس - تابع را پیدا کنید

15. تبدیل کسینوس - تابع را پیدا کنید

16. تبدیل فوریه یک تابع را پیدا کنید اگر:

17. تبدیل فوریه یک تابع را بیابید اگر:

18. تبدیل فوریه یک تابع را بیابید اگر:

19. تبدیل فوریه یک تابع را بیابید اگر:

20. تبدیل فوریه یک تابع را پیدا کنید اگر:

21. تبدیل فوریه یک تابع را بیابید اگر:

22. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

24. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

26. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

28. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

30. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

23. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

25. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

27. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

29. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

31. تبدیل فوریه معکوس نرمال شده یک تابع را پیدا کنید

با استفاده از فرمول

32. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

33. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

34. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

35. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

36. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

37. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

38. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

39. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

40. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

41. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

42. یک تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید

43. تابع را به عنوان یک انتگرال فوریه نمایش دهید و آن را به صورت فرد به بازه ای بسط دهید اگر:

44. تابع را به صورت انتگرال فوریه نمایش دهید و آن را به صورت فرد تا بازه if ادامه دهید.

که در حال حاضر بسیار خسته شده اند. و من احساس می کنم لحظه ای فرا رسیده است که زمان آن فرا رسیده است که کنسروهای جدید را از ذخایر استراتژیک تئوری استخراج کنیم. آیا می توان تابع را به روش دیگری به یک سری گسترش داد؟ مثلاً یک پاره خط مستقیم را بر حسب سینوس و کسینوس بیان کنیم؟ باورنکردنی به نظر می رسد، اما چنین عملکردهای به ظاهر دوری به خودی خود کمک می کنند
"تجدید دیدار". علاوه بر درجات آشنا در تئوری و عمل، رویکردهای دیگری برای گسترش یک تابع به یک سری وجود دارد.

در این درس با سری فوریه مثلثاتی آشنا می‌شویم، بحث همگرایی و مجموع آن را بررسی می‌کنیم و البته مثال‌های متعددی را برای بسط توابع به سری فوریه تحلیل می‌کنیم. من صمیمانه می خواستم مقاله را "سری فوریه برای آدمک ها" بنامم، اما این حیله گری خواهد بود، زیرا حل مسائل به دانش سایر بخش های تجزیه و تحلیل ریاضی و تجربه عملی نیاز دارد. بنابراین، مقدمه شبیه آموزش فضانوردان خواهد بود =)

اول، مطالعه مواد صفحه باید به شکل عالی باشد. خواب آلود، استراحت و هوشیار. بدون احساسات شدید در مورد پنجه شکسته یک همستر و افکار وسواسی در مورد سختی های زندگی ماهی های آکواریومی. سری فوریه از نظر درک دشوار نیست، با این حال، کارهای عملی به سادگی نیاز به تمرکز بیشتر دارند - در حالت ایده آل، باید محرک های خارجی را کاملا رها کرد. وضعیت با این واقعیت تشدید می شود که هیچ راه آسانی برای بررسی راه حل و پاسخ وجود ندارد. بنابراین، اگر سلامتی شما کمتر از حد متوسط ​​است، بهتر است کار ساده‌تری انجام دهید. حقیقت.

در مرحله دوم، قبل از پرواز به فضا، لازم است صفحه ابزار فضاپیما را مطالعه کنید. بیایید با مقادیر توابعی که باید روی دستگاه کلیک کنید شروع کنیم:

برای هر ارزش طبیعی:

یک). و در واقع، سینوسی محور x را از طریق هر پی "چشمک می زند":
. در مورد مقادیر منفی آرگومان، البته نتیجه یکسان خواهد بود: .

2). اما همه این را نمی دانستند. کسینوس "pi en" معادل "چراغ چشمک زن" است:

استدلال منفی قضیه را تغییر نمی دهد: .

شاید به اندازه کافی

و ثالثاً، سپاه فضانوردان عزیز، باید بتوانید ... ادغام کردن.
به طور خاص، مطمئنا یک تابع را تحت علامت دیفرانسیل قرار دهید, ادغام توسط قطعاتو با آن رابطه خوبی داشته باشید فرمول نیوتن لایب نیتس. بیایید تمرینات مهم قبل از پرواز را شروع کنیم. من اکیداً توصیه نمی کنم از آن بگذرید، تا بعداً در گرانش صفر صاف نشوید:

مثال 1

انتگرال های معین را محاسبه کنید

جایی که ارزش های طبیعی را می گیرد.

راه حل: ادغام روی متغیر "x" انجام می شود و در این مرحله متغیر گسسته "en" ثابت در نظر گرفته می شود. در تمام انتگرال ها تابع را تحت علامت دیفرانسیل قرار دهید:

یک نسخه کوتاه از راه حل، که برای عکسبرداری خوب است، به این صورت است:

عادت کردن به:

چهار امتیاز باقی مانده به تنهایی هستند. سعی کنید با وظیفه با وجدان برخورد کنید و انتگرال ها را به صورت کوتاه مرتب کنید. نمونه راه حل در پایان درس.

بعد از یک تمرین با کیفیت، لباس فضایی به تن می کنیم
و آماده شدن برای شروع!

بسط یک تابع در یک سری فوریه در بازه

بیایید تابعی را در نظر بگیریم که مشخصحداقل در بازه زمانی (و احتمالاً در فاصله زمانی بزرگتر). اگر این تابع روی قطعه قابل ادغام باشد، می توان آن را به یک مثلثات گسترش داد سری فوریه:
، به اصطلاح کجا هستند ضرایب فوریه.

در این حالت شماره تماس گرفته می شود دوره تجزیه، و شماره است تجزیه نیمه عمر.

بدیهی است که در حالت کلی، سری فوریه از سینوس و کسینوس تشکیل شده است:

در واقع، بیایید آن را با جزئیات بنویسیم:

عبارت صفر سری معمولا به صورت نوشته می شود.

ضرایب فوریه با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

من به خوبی درک می کنم که اصطلاحات جدید هنوز برای مبتدیان مبهم هستند تا این موضوع را مطالعه کنند: دوره تجزیه, نیم چرخه, ضرایب فوریهنترسید، این با هیجان قبل از پیاده روی فضایی قابل مقایسه نیست. بیایید همه چیز را در نزدیکترین مثال مشخص کنیم، قبل از اجرای آن، منطقی است که سوالات عملی فوری بپرسیم:

در کارهای زیر چه کاری باید انجام دهید؟

تابع را به یک سری فوریه بسط دهید. علاوه بر این، اغلب لازم است نمودار یک تابع، نمودار مجموع یک سری، مجموع جزئی ترسیم شود و در مورد فانتزی های استادانه پیچیده، کار دیگری انجام شود.

چگونه یک تابع را به یک سری فوریه گسترش دهیم؟

در اصل، شما باید پیدا کنید ضرایب فوریه، یعنی سه را بنویسید و محاسبه کنید انتگرال های معین.

لطفا فرم کلی سری فوریه و سه فرمول کاری را در دفترچه خود کپی کنید. من بسیار خوشحالم که برخی از بازدیدکنندگان سایت رویای کودکی خود را برای تبدیل شدن به یک فضانورد در مقابل چشمان من دارند =)

مثال 2

تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهید. یک نمودار، یک نمودار از مجموع یک سری و یک جمع جزئی بسازید.

راه حل: بخش اول کار، گسترش تابع به یک سری فوریه است.

شروع استاندارد است، حتما یادداشت کنید که:

در این مشکل، دوره گسترش، نیم دوره.

ما تابع را در یک سری فوریه در بازه گسترش می دهیم:

با استفاده از فرمول های مناسب می یابیم ضرایب فوریه. اکنون باید سه را بنویسیم و محاسبه کنیم انتگرال های معین. برای راحتی، نکات را شماره گذاری می کنم:

1) انتگرال اول ساده ترین است، با این حال، از قبل به یک چشم و یک چشم نیاز دارد:

2) از فرمول دوم استفاده می کنیم:

این انتگرال به خوبی شناخته شده است و او آن را تکه تکه می کند:

وقتی پیدا شد استفاده شده روش قرار دادن یک تابع تحت علامت دیفرانسیل.

در کار مورد بررسی، استفاده فوری راحت تر است فرمول ادغام توسط قطعات در یک انتگرال معین :

چند نکته فنی ابتدا پس از اعمال فرمول کل عبارت باید در پرانتزهای بزرگ محصور شود، زیرا در مقابل انتگرال اصلی یک ثابت وجود دارد. از دستش ندهیم! پرانتزها را می توان در هر مرحله بعدی باز کرد، من این کار را در آخرین پیچ انجام دادم. در اولین "قطعه" ما دقت فوق العاده ای را در جایگزینی نشان می دهیم، همانطور که می بینید، ثابت از کار افتاده است، و محدودیت های یکپارچه سازی در محصول جایگزین شده است. این عمل با براکت مربع مشخص شده است. خوب ، انتگرال "قطعه" دوم فرمول از کار آموزشی برای شما کاملاً شناخته شده است ;-)

و از همه مهمتر - تمرکز نهایی توجه!

3) ما به دنبال سومین ضریب فوریه هستیم:

نسبی از انتگرال قبلی به دست می آید که آن نیز می باشد یکپارچه شده توسط قطعات:

این مثال کمی پیچیده تر است، من مراحل بعدی را مرحله به مرحله توضیح خواهم داد:

(1) کل عبارت در پرانتزهای بزرگ محصور شده است.. من نمی خواستم خسته به نظر بیایم، آنها اغلب ثابت را از دست می دهند.

(2) در این مورد، من بلافاصله آن براکت های بزرگ را گسترش دادم. توجه ویژهما به اولین "قطعه" اختصاص می دهیم: ثابت در حاشیه دود می کند و در جایگزینی محدودیت های ادغام (و) در محصول شرکت نمی کند. با توجه به شلوغی رکورد، دوباره توصیه می شود این عمل را در پرانتز مربع برجسته کنید. با "قطعه" دوم همه چیز ساده تر است: در اینجا کسری پس از باز کردن براکت های بزرگ ظاهر شد و ثابت - در نتیجه ادغام انتگرال آشنا ;-)

(3) در براکت‌های مربع، تبدیل‌ها را انجام می‌دهیم و در انتگرال سمت راست، حدود ادغام را جایگزین می‌کنیم.

(4) فلاشر را از براکت های مربع بیرون می آوریم: , پس از آن براکت های داخلی را باز می کنیم: .

(5) ما 1 و -1 را در پرانتز حذف می کنیم و ساده سازی های نهایی را انجام می دهیم.

در نهایت هر سه ضریب فوریه را یافتیم:

آنها را در فرمول جایگزین کنید :

فراموش نکنید که به دو نیم تقسیم شوید. در مرحله آخر، ثابت ("منهای دو") که به "en" بستگی ندارد، از جمع خارج می شود.

بنابراین، ما بسط تابع را در یک سری فوریه در بازه به دست آورده ایم:

اجازه دهید سوال همگرایی سری فوریه را مطالعه کنیم. من به طور خاص نظریه را توضیح خواهم داد قضیه دیریکله، به معنای واقعی کلمه "روی انگشتان" است، بنابراین اگر به فرمول بندی دقیق نیاز دارید، لطفاً به کتاب درسی حساب دیفرانسیل و انتگرال مراجعه کنید. (مثلاً جلد دوم بوهان؛ یا جلد سوم فیشتنهولتز، اما در آن دشوارتر است).

در قسمت دوم کار، لازم است یک نمودار، یک نمودار مجموع سری و یک نمودار جمع جزئی رسم شود.

نمودار تابع معمول است خط مستقیم در هواپیما، که با یک خط نقطه سیاه ترسیم شده است:

ما با مجموع سریال سروکار داریم. همانطور که می دانید سری های تابعی به توابع همگرا می شوند. در مورد ما، سری فوریه ساخته شده است برای هر مقدار "x"به تابع نشان داده شده با رنگ قرمز همگرا می شود. این تابع تابع است استراحت از نوع 1در نقاط ، اما همچنین در آنها تعریف شده است (نقاط قرمز در نقاشی)

به این ترتیب: . به راحتی می توان فهمید که تفاوت قابل توجهی با عملکرد اصلی دارد، به همین دلیل در نمادگذاری یک tilde به جای علامت تساوی استفاده می شود.

اجازه دهید الگوریتمی را مطالعه کنیم که با آن بتوان مجموع یک سری را ساخت.

در بازه مرکزی، سری فوریه به خود تابع همگرا می شود (قسمت قرمز مرکزی با خط نقطه چین سیاه تابع خطی منطبق است).

حال اجازه دهید کمی در مورد ماهیت بسط مثلثاتی در نظر گرفته شده صحبت کنیم. سری فوریه فقط شامل توابع تناوبی (ثابت، سینوس و کسینوس)، بنابراین مجموع سری همچنین یک تابع تناوبی است.

این در مثال خاص ما به چه معناست؟ و این یعنی مجموع سریال –لزوما دوره ایو قسمت قرمز فاصله باید بی نهایت در سمت چپ و راست تکرار شود.

فکر می کنم الان بالاخره معنای عبارت «دوره تجزیه» مشخص شده است. به عبارت ساده، هر بار که وضعیت دوباره و دوباره تکرار می شود.

در عمل، معمولاً به تصویر کشیدن سه دوره تجزیه کافی است، همانطور که در نقاشی انجام می شود. خوب، و بیشتر "شاخه" از دوره های همسایه - به روشن است که نمودار ادامه دارد.

مورد توجه خاص هستند نقاط ناپیوستگی از نوع 1. در چنین نقاطی، سری فوریه به مقادیر جدا شده همگرا می شود، که دقیقاً در وسط "پرش" ناپیوستگی قرار دارند (نقاط قرمز در نقاشی). ترتیب این نقاط را چگونه می توان پیدا کرد؟ ابتدا، ترتیب "طبقه بالا" را پیدا می کنیم: برای این، مقدار تابع را در سمت راست ترین نقطه دوره انبساط مرکزی محاسبه می کنیم: . برای محاسبه ترتیب "طبقه پایین"، ساده ترین راه این است که سمت چپ ترین مقدار همان دوره را بگیرید: . ترتیب مقدار میانگین، میانگین حسابی مجموع «بالا و پایین» است: . خوب این واقعیت است که هنگام ساخت یک نقاشی، بلافاصله خواهید دید که آیا وسط به درستی یا نادرست محاسبه شده است.

اجازه دهید یک مجموع جزئی از سری بسازیم و در همان زمان معنای اصطلاح "همگرایی" را تکرار کنیم. انگیزه از درس در مورد شناخته شده است مجموع سری اعداد. بیایید ثروت خود را با جزئیات توصیف کنیم:

برای ایجاد یک جمع جزئی، باید صفر + دو عبارت دیگر از سری را یادداشت کنید. به این معنا که،

در نقاشی، نمودار تابع به رنگ سبز نشان داده شده است، و همانطور که می بینید، به طور کاملاً محکم به دور مجموع کل می پیچد. اگر مجموع جزئی از پنج عبارت سری را در نظر بگیریم، نمودار این تابع با دقت بیشتری خطوط قرمز را تقریب می کند، اگر صد جمله وجود داشته باشد، "مار سبز" در واقع به طور کامل با بخش های قرمز ادغام می شود. و غیره. بنابراین، سری فوریه به مجموع آن همگرا می شود.

جالب است بدانید که هر مجموع جزئی است عملکرد پیوسته، اما مجموع کل سریال هنوز ناپیوسته است.

در عمل، ساختن نمودار مجموع جزئی غیر معمول نیست. چگونه انجامش بدهیم؟ در مورد ما، لازم است که تابع را در بخش در نظر بگیریم، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقاط میانی محاسبه کنیم (هر چه نقاط بیشتری را در نظر بگیرید، نمودار دقیق تر خواهد بود). سپس باید این نقاط را روی نقاشی علامت بزنید و نموداری را با دقت روی نقطه رسم کنید و سپس آن را در فواصل مجاور "تکرار" کنید. دیگر چگونه؟ از این گذشته، تقریب نیز یک تابع تناوبی است ... ... نمودار آن به نوعی من را به یاد ریتم یکنواخت قلب در صفحه نمایش یک دستگاه پزشکی می اندازد.

البته، انجام ساخت و ساز خیلی راحت نیست، زیرا باید بسیار مراقب باشید و دقت کمتر از نیم میلی متر را حفظ کنید. با این حال، من از خوانندگانی که با ترسیم مخالف هستند خوشحال خواهم شد - در یک کار "واقعی"، انجام یک نقاشی همیشه ضروری نیست، در 50٪ موارد لازم است که عملکرد را به یک سری فوریه گسترش دهیم و این آی تی.

پس از اتمام نقاشی، کار را تکمیل می کنیم:

پاسخ:

در بسیاری از وظایف، عملکرد آسیب می بیند پارگی از نوع 1درست در دوره تجزیه:

مثال 3

در یک سری فوریه تابع داده شده در بازه را بسط دهید. نموداری از تابع و مجموع کل سری رسم کنید.

تابع پیشنهادی به صورت تکه ای داده می شود (و توجه داشته باشید، فقط در بخش)و تحمل کن پارگی از نوع 1در نقطه . آیا می توان ضرایب فوریه را محاسبه کرد؟ مشکلی نیست هر دو بخش چپ و راست تابع در فواصل خود قابل انتگرال هستند، بنابراین انتگرال های هر یک از سه فرمول باید به صورت مجموع دو انتگرال نشان داده شوند. بیایید ببینیم، برای مثال، چگونه این کار برای یک ضریب صفر انجام می شود:

انتگرال دوم برابر با صفر بود که کار را کاهش داد، اما همیشه اینطور نیست.

دو ضریب فوریه دیگر نیز به همین صورت نوشته شده اند.

چگونه مجموع یک سری را نمایش دهیم؟ در بازه سمت چپ یک پاره خط مستقیم و در فاصله یک پاره خط مستقیم ترسیم می کنیم (بخش محور را با پررنگ برجسته کنید). یعنی در بازه بسط، مجموع سری در همه جا با تابع منطبق است، به جز سه نقطه "بد". در نقطه شکست تابع، سری فوریه به یک مقدار جدا شده همگرا می شود، که دقیقا در وسط "پرش" شکست قرار دارد. دیدن شفاهی آن سخت نیست: حد چپ:، حد راست: و بدیهی است که ترتیب نقطه میانی 0.5 است.

به دلیل تناوب بودن مجموع، تصویر باید در دوره های همسایه "ضرب" شود، به ویژه، همان چیزی را در فواصل و . در این مورد، در نقاط، سری فوریه به مقادیر میانه همگرا می شود.

در واقع هیچ چیز جدیدی در اینجا وجود ندارد.

سعی کنید این مشکل را خودتان حل کنید. نمونه تقریبی طراحی و طراحی زیبا در پایان درس.

بسط یک تابع در یک سری فوریه در یک دوره دلخواه

برای یک دوره بسط دلخواه، که در آن "el" هر عدد مثبتی است، فرمول های سری فوریه و ضرایب فوریه در یک استدلال سینوس و کسینوس کمی پیچیده متفاوت است:

اگر , سپس فرمول های بازه ای را که با آن شروع کرده ایم به دست می آوریم.

الگوریتم و اصول حل مسئله کاملاً حفظ شده است، اما پیچیدگی فنی محاسبات افزایش می یابد:

مثال 4

تابع را به یک سری فوریه بسط دهید و مجموع آن را رسم کنید.

راه حل: در واقع آنالوگ مثال شماره 3 با پارگی از نوع 1در نقطه . در این مشکل، دوره گسترش، نیم دوره. تابع فقط در نیم فاصله تعریف می شود، اما این چیزها را تغییر نمی دهد - مهم است که هر دو بخش تابع قابل ادغام باشند.

بیایید تابع را به یک سری فوریه گسترش دهیم:

از آنجایی که تابع در مبدأ ناپیوسته است، هر ضریب فوریه باید به صورت مجموع دو انتگرال نوشته شود:

1) من اولین انتگرال را تا حد امکان با جزئیات می نویسم:

2) با دقت به سطح ماه نگاه کنید:

انتگرال دوم را در قطعات:

بعد از اینکه ادامه راه حل را با ستاره باز کردیم به چه نکاتی باید دقت کنید؟

اول اینکه ما انتگرال اول را از دست نمی دهیم ، جایی که بلافاصله اجرا می کنیم زیر علامت دیفرانسیل قرار دادن. ثانیا، ثابت بدبخت را قبل از براکت های بزرگ فراموش نکنید و با علائم گیج نشویدهنگام استفاده از فرمول . پس از همه، براکت های بزرگ، راحت تر است که بلافاصله در مرحله بعدی باز شوند.

بقیه مسائل تکنیکی است، فقط تجربه ناکافی در حل انتگرال ها می تواند مشکلاتی ایجاد کند.

بله ، بیهوده نبود که همکاران برجسته ریاضیدان فرانسوی فوریه خشمگین شدند - او چگونه جرات کرد توابع را به مجموعه های مثلثاتی تجزیه کند؟! =) به هر حال، احتمالاً همه به معنای عملی کار مورد نظر علاقه مند هستند. فوریه خودش روی یک مدل ریاضی از رسانش گرما کار کرد و متعاقباً از سری به نام او برای مطالعه بسیاری از فرآیندهای دوره ای استفاده شد که ظاهراً در جهان خارج نامرئی هستند. حالا اتفاقاً خودم را به این فکر انداختم که تصادفی نیست که نمودار مثال دوم را با یک ضربان قلب دوره ای مقایسه کردم. علاقه مندان می توانند با کاربرد عملی آن آشنا شوند تبدیل فوریهاز منابع شخص ثالث ... اگر چه بهتر است این کار را نکنید - به عنوان عشق اول به یاد می ماند =)

3) با توجه به پیوندهای ضعیف مکرر ذکر شده، به ضریب سوم می پردازیم:

یکپارچه سازی توسط قطعات:

ضرایب فوریه پیدا شده را در فرمول جایگزین می کنیم ، فراموش نکنید که ضریب صفر را به نصف تقسیم کنید:

بیایید مجموع سریال را ترسیم کنیم. اجازه دهید به طور خلاصه این روش را تکرار کنیم: در بازه یک خط ایجاد می کنیم و در فاصله - یک خط. با مقدار صفر "x"، نقطه ای را در وسط "پرش" شکاف قرار می دهیم و نمودار را برای دوره های مجاور "تکرار" می کنیم:


در "اتصالات" دوره ها، مجموع نیز برابر با نقاط میانی "پرش" شکاف خواهد بود.

آماده. به شما یادآوری می کنم که خود تابع به صورت مشروط فقط در نیمه بازه تعریف می شود و بدیهی است که با مجموع سری در فواصل منطبق است.

پاسخ:

گاهی اوقات یک تابع داده شده تکه تکه نیز در دوره بسط پیوسته است. ساده ترین مثال: . راه حل (رجوع کنید به Bohan جلد 2)مانند دو مثال قبلی است: با وجود تداوم عملکرددر نقطه، هر ضریب فوریه به صورت مجموع دو انتگرال بیان می شود.

در فاصله جدایی نقاط ناپیوستگی از نوع 1و/یا نقاط "اتصال" نمودار ممکن است بیشتر باشد (دو، سه و به طور کلی هر کدام نهاییمیزان). اگر یک تابع در هر قسمت قابل ادغام باشد، در سری فوریه نیز قابل گسترش است. اما از تجربه عملی، چنین قلع را به خاطر ندارم. با این وجود، کارهای دشوارتر از آنچه در نظر گرفته شده وجود دارد، و در پایان مقاله برای همه پیوندهایی به سری فوریه با پیچیدگی افزایش یافته وجود دارد.

در این میان، بیایید آرام بگیریم، به صندلی هایمان تکیه دهیم و به وسعت بی پایان ستاره ها فکر کنیم:

مثال 5

تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهید و مجموع سری را رسم کنید.

در این وظیفه، تابع مداومدر نیمه بازه تجزیه، که راه حل را ساده می کند. همه چیز بسیار شبیه به مثال شماره 2 است. هیچ فراری از سفینه فضایی وجود ندارد - باید تصمیم بگیرید =) یک نمونه طراحی تقریبی در پایان درس، برنامه زمانبندی پیوست شده است.

بسط سری فوریه توابع زوج و فرد

با توابع زوج و فرد، روند حل مسئله به طور قابل توجهی ساده شده است. و به همین دلیل. اجازه دهید به بسط تابع در یک سری فوریه در یک دوره "دو پی" بازگردیم. و دوره دلخواه "دو آل" .

بیایید فرض کنیم که تابع ما زوج است. اصطلاح کلی سریال همانطور که می بینید شامل کسینوس های زوج و سینوس های فرد است. و اگر تابع زوج را تجزیه کنیم، پس چرا به سینوس های فرد نیاز داریم؟! بیایید ضریب غیر ضروری را تنظیم مجدد کنیم: .

به این ترتیب، یک تابع زوج فقط در کسینوس به یک سری فوریه تبدیل می شود:

از آنجا که انتگرال توابع زوجروی یک بخش از ادغام که با توجه به صفر متقارن است می توان دو برابر کرد، سپس ضرایب فوریه باقی مانده نیز ساده می شوند.

برای طول:

برای یک فاصله دلخواه:

نمونه های کتاب درسی که تقریباً در هر کتاب درسی حساب دیفرانسیل و انتگرال یافت می شود شامل بسط توابع زوج است . علاوه بر این، آنها بارها و بارها در تمرین شخصی من ملاقات کرده اند:

مثال 6

یک تابع داده شده است. ضروری:

1) تابع را به یک سری فوریه با نقطه بسط دهید، جایی که یک عدد مثبت دلخواه است.

2) بسط را روی بازه یادداشت کنید، یک تابع بسازید و مجموع کل سری را نمودار کنید.

راه حل: در پاراگراف اول پیشنهاد شده است که مشکل به صورت کلی حل شود و این بسیار راحت است! نیازی وجود خواهد داشت - فقط ارزش خود را جایگزین کنید.

1) در این مشکل، دوره گسترش، نیم دوره. در جریان اقدامات بعدی، به ویژه در هنگام ادغام، "el" یک ثابت در نظر گرفته می شود

تابع زوج است، به این معنی که به یک سری فوریه فقط در کسینوس گسترش می یابد: .

ضرایب فوریه توسط فرمول ها جستجو می شود . به مزایای مطلق آنها توجه کنید. ابتدا، ادغام در بخش مثبت توسعه انجام می شود، به این معنی که ما با خیال راحت از شر ماژول خلاص می شویم. ، فقط "x" را از دو قطعه در نظر می گیریم. و در مرحله دوم، یکپارچگی به طور قابل توجهی ساده شده است.

دو:

یکپارچه سازی توسط قطعات:

به این ترتیب:
، در حالی که ثابت، که به "en" بستگی ندارد، از جمع خارج می شود.

پاسخ:

2) بسط را روی بازه می نویسیم، برای این مقدار مورد نظر نیم دوره را به فرمول کلی جایگزین می کنیم:

یکی از ابزارهای قدرتمند برای مطالعه مسائل فیزیک ریاضی، روش تبدیل های انتگرالی است. اجازه دهید تابع f(x) در بازه (a، 6)، متناهی یا نامتناهی تعریف شود. تبدیل انتگرالی تابع f (x) تابعی است که در آن K (x, w) یک تابع ثابت برای یک تبدیل مشخص است که هسته تبدیل نامیده می شود (فرض می شود که انتگرال (*) به معنای درست یا نامناسب آن وجود دارد. ). §یک. انتگرال فوریه هر تابع f(x)، که در قطعه [-f, I] شرایط بسط را به یک سری فوریه برآورده می کند، می تواند در این بخش با یک سری مثلثاتی نشان داده شود. تبدیل کسینوس و سینوس دامنه و طیف فاز خواص کاربردی سری در سمت راست معادله (1) را می توان به شکل متفاوتی نوشت. برای این منظور، از فرمول (2) مقادیر ضرایب a» و op را وارد آن می کنیم، زیر علائم انتگرال cos ^ x و sin x کم می کنیم (که ممکن است، زیرا متغیر انتگرال گیری m است). O) و از فرمول کسینوس تفاضل استفاده کنید. خواهیم داشت اگر تابع /(x) در ابتدا در بازه محور عددی بزرگتر از بازه [-1,1] تعریف شده بود (مثلاً در کل محور)، سپس بسط (3) مقادیر را بازتولید می کند. این تابع فقط در بازه [-1، 1] و در کل محور واقعی به عنوان یک تابع تناوبی با دوره 21 ادامه می یابد (شکل 1). بنابراین، اگر تابع f(x) (به طور کلی، غیر تناوبی) روی کل محور واقعی تعریف شده باشد، در فرمول (3) می توان سعی کرد به صورت I + oo به حد عبور کرد. در این مورد، طبیعی است که شرایط زیر برآورده شود: 1. f(x) شرایط انبساط را به یک سری فوریه در هر بخش محدودی از محور xx\ برآورده می‌کند. تابع f(x) کاملاً است. قابل ادغام در کل محور واقعی است. در واقع، بیایید سعی کنیم مشخص کنیم که مجموع سمت راست (3) در حد I + oo به چه میزان خواهد رسید. اجازه دهید فرض کنیم که مجموع سمت راست (3) شکل خواهد گرفت به دلیل همگرایی مطلق انتگرال، این مجموع برای بزرگ I با عبارتی که شبیه مجموع انتگرال تابع انتگرال است تفاوت کمی دارد. متغیر £ برای بازه (0, + oo) تغییر کامپایل شده است.بنابراین طبیعی است که انتظار داشته باشیم که برای , مجموع (5) به انتگرال С برود از طرف دیگر برای ثابت) از فرمول (3) نتیجه می شود. ) که برابری را نیز بدست می آوریم شرط کافی برای اعتبار فرمول (7) با قضیه زیر بیان می شود. قضیه 1. اگر تابع f(x) در کل محور واقعی کاملاً قابل انتگرال باشد و همراه با مشتق آن تعداد محدودی از نقاط ناپیوستگی از نوع اول در هر قطعه [a, 6] داشته باشد، سپس از نوع ام. از تابع /(x)، مقدار انتگرال سمت راست (7) برابر با فرمول (7) فرمول انتگرال فوریه و انتگرال سمت راست آن را انتگرال فوریه می نامند. اگر از فرمول روز کسینوس اختلاف استفاده کنیم، فرمول (7) را می‌توان به صورت نوشتاری کرد. تابع، اما دومی برای مقادیر گسسته n تعریف می شود، در حالی که a(0> HO برای مقادیر پیوسته G(-oo، +oo) تعریف می شود. شکل پیچیده انتگرال فوریه با فرض f(x) برای اینکه در کل محور x کاملاً انتگرال پذیر باشد، انتگرال را در نظر می گیریم، بدیهی است که تابعی از فرد است اما از طرف دیگر، انتگرال یک تابع زوج از متغیر است، بنابراین، فرمول انتگرال فوریه را می توان به صورت زیر نوشت. : اجازه دهید تساوی را در واحد خیالی i ضرب کنیم و به برابری (10) اضافه کنیم. تبدیل فوریه کسینوس و سینوس تبدیل فوریه اجازه دهید تابع باشد خط f(x) به صورت تکه‌ای روی هر بخش محدودی از محور x صاف است و در کل محور کاملاً قابل ادغام است. تعریف. تابعی که به موجب فرمول اویلر از آن خواهیم داشت تبدیل فوریه تابع f(r) (تابع طیفی) نامیده می شود. این تبدیل انتگرالی تابع / (r) در بازه (-oo, + oo) با یک هسته است.با استفاده از فرمول انتگرال فوریه، دریافت می کنیم این تبدیل فوریه معکوس نامیده می شود که انتقال از F را نشان می دهد. (t) تا / (x). گاهی تبدیل فوریه مستقیم به صورت زیر داده می شود: سپس تبدیل فوریه معکوس با فرمول تعیین می شود. تبدیل فوریه تابع f(x) نیز به صورت زیر تعریف می شود: تبدیل فوریه انتگرال فوریه شکل مختلط تبدیل فوریه انتگرال کسینوس و سینوس دامنه تبدیل و طیف فاز خواص کاربرد سپس، به نوبه خود، در این مورد، موقعیت ضریب ^ کاملا دلخواه است: می تواند فرمول (1") یا فرمول (2") را وارد کند. مثال 1. تبدیل فوریه تابع -4 را پیدا کنید. این برابری اجازه می دهد تا با توجه به £ در زیر علامت انتگرال تمایز ایجاد کنیم (انتگرال بدست آمده پس از تمایز به طور یکنواخت همگرا می شود زمانی که ( متعلق به هر قطعه متناهی باشد): ادغام بر اساس قطعات، خواهیم داشت. اصطلاح خارج از انتگرال ناپدید می شود و ما از کجا می گیریم (C ثابت انتگرال است). با تنظیم £ = 0 در (4)، С = F (0) را پیدا می کنیم. به موجب (3) داریم معلوم است که به ویژه، برای) آن را بدست می آوریم اجازه دهید تابع 4 را در نظر بگیریم. برای طیف oyu تابع F(t)، بنابراین (شکل 2) را بدست می آوریم. شرط یکپارچگی مطلق تابع f(x) در کل محور واقعی بسیار سخت است. برای مثال، توابع ابتدایی مانند f(x) = e1 را که تبدیل فوریه (به شکل کلاسیک در اینجا در نظر گرفته شده) برای آنها وجود ندارد، حذف می کند. فقط آن دسته از توابع دارای تبدیل فوریه هستند که به اندازه کافی سریع برای |x| صفر می شوند -+ +oo (مانند مثال های 1 و 2). 2.1. تبدیل فوریه کسینوس و سینوس با استفاده از فرمول کسینوس، تفاوت، فرمول انتگرال فوریه را به شکل زیر بازنویسی می کنیم: فرض کنید f(x) یک تابع زوج باشد. سپس، به طوری که از برابری (5) در مورد f(x) فرد داشته باشیم، به طور مشابه به دست می آوریم اگر f(x) فقط روی (0, -foo) داده شود، فرمول (6) f(x) را گسترش می دهد. به کل محور Ox به صورت زوج و فرمول (7) - فرد. (7) تعریف. تابع تبدیل کسینوس فوریه تابع f(x) نامیده می شود. از (6) نتیجه می شود که برای یک تابع زوج f(x) این بدان معناست که f(x)، به نوبه خود، تبدیل کسینوس برای Fc(t) است. به عبارت دیگر، توابع / و Fc تبدیل های کسینوس متقابل هستند. تعریف. تابع تبدیل فوریه سینوسی تابع f(x) نامیده می شود. از (7) به دست می آوریم که برای یک تابع فرد f(x)، یعنی، f و Fs تبدیل های سینوسی متقابل هستند. مثال 3 (نبض زاویه راست). فرض کنید f(t) یک تابع زوج باشد که به صورت زیر تعریف شده است: (شکل 3). بیایید از نتیجه به دست آمده برای محاسبه انتگرال استفاده کنیم با استفاده از فرمول (9)، شکل 3 0 0 را داریم در نقطه t = 0، تابع f(t) پیوسته و برابر با یک است. بنابراین از (12") 2.2 به دست می آید طیف دامنه و فاز انتگرال فوریه اجازه دهید تابع f(x) تناوبی با دوره 2m به یک سری فوریه بسط داده شود.این برابری را می توان به شکلی که به مفاهیم رسیدیم نوشت. از دامنه و طیف فاز یک تابع تناوبی برای یک تابع غیر تناوبی f(x) داده شده در (-oo, +oo)، تحت شرایط خاص، به نظر می رسد که می توان آن را با انتگرال فوریه نشان داد، که گسترش می یابد. این تابع بر روی همه فرکانس ها (گسترش در طیف فرکانس پیوسته تعریف تابع طیفی یا چگالی طیفی انتگرال فوریه یک عبارت است (تبدیل فوریه مستقیم تابع f طیف دامنه نامیده می شود و تابع Ф ") = -argSfc) - طیف فاز تابع / ("). طیف دامنه A(t) به عنوان اندازه گیری سهم فرکانس t در تابع /(x) عمل می کند. مثال 4. طیف دامنه و فاز تابع 4 را بیابید. از اینجا نمودارهای این توابع در شکل نشان داده شده است. 4. §3. خواص تبدیل فوریه 1. خطی بودن. اگر و G(0 به ترتیب تبدیل های فوریه ای از توابع f(x) و g(x) باشند، برای هر ثابت a و p تبدیل فوریه تابع a f(x) + pg(x) تابع خواهد بود. a با استفاده از خاصیت خطی بودن انتگرال، داریم بنابراین تبدیل فوریه یک عملگر خطی است و با نشان دادن آن می نویسیم. محور، سپس F(t) برای همه محدود می شود. اجازه دهید تابع f(x) کاملاً در کل محور قابل ادغام باشد - تبدیل فوریه تابع f (x). سپس 3 "flts J. اجازه دهید f (x) باشد. تابعی که تلورانس آن تبدیل فوریه است، L تعداد خصوصیات است. تابع fh (x) \u003d f (z-h) جابجایی فوندیوم f(x) نامیده می شود. با استفاده از تعریف تبدیل فوریه. ، آن مشکل را نشان دهید. اجازه دهید یک تابع f(z) تبدیل فوریه داشته باشد F(0> h یک عدد واقعی است. نشان دهید که 3. تبدیل فوریه و افتراق ooeresis. اجازه دهید یک تابع کاملاً انتگرال پذیر f (x) مشتق f داشته باشد. (x)، که همچنین کاملاً در کل محور قابل ادغام است اوه، بنابراین /(n) به عنوان |x| به صفر میل می کند -» +اوو. با فرض اینکه f "(x) یک تابع صاف باشد، می نویسیم Integrating by قطعات، عبارت خارج از انتگرال ناپدید می شود (از آنجا که، و دریافت می کنیم، بنابراین، تمایز تابع / (x) با ضرب فوریه آن مطابقت دارد. تصویر ^ P /] توسط ضریب اگر تابع f (x) مشتقات کاملاً غیرقابل اطلاق یکنواخت تا مرتبه شامل m داشته باشد و همه آنها مانند خود تابع f(x) به سمت صفر گرایش داشته باشند و سپس با قطعات ادغام شوند. به تعداد دفعات لازم، تبدیل فوریه را به دست می آوریم، دقیقاً به این دلیل که عمل تمایز را با عمل ضرب در یک مقدار جایگزین می کند و در نتیجه مشکل ادغام انواع خاصی از معادلات دیفرانسیل را ساده می کند. از آنجایی که تبدیل فوریه یک مطلقاً تابع انتگرال پذیر f^k\x) یک تابع محدود از (ویژگی 2) است، از رابطه (2) تخمین زیر را برای : تبدیل فوریه انتگرال فوریه شکل مجتمع مجتمع تبدیل فوریه تبدیل کسینوس و سینوسی دامنه و طیف فاز خواص کاربردی از این ارزیابی با به شرح زیر است: هر چه تابع f(x) مشتقات کاملاً انتگرال پذیر بیشتری داشته باشد، تبدیل فوریه آن سریعتر به صفر میل می کند. اظهار نظر. این شرایط کاملاً طبیعی است، زیرا تئوری معمول انتگرال های فوریه به فرآیندهایی می پردازد که به یک معنا شروع و پایان دارند، اما به طور نامحدود با شدت تقریباً یکسان ادامه نمی یابند. 4. رابطه بین نرخ فروپاشی تابع f(x) برای |z| -» -f oo و صافی تبدیل آن Fourm. اجازه دهید فرض کنیم که نه تنها /(x)، بلکه محصول آن xf(x) نیز یک تابع کاملاً یکپارچه در کل محور x است. سپس تبدیل فوریه) یک تابع قابل تمایز خواهد بود. در واقع، تمایز رسمی با توجه به پارامتر £ انتگرال منجر به انتگرالی می شود که به طور مطلق و یکنواخت نسبت به پارامتر همگرا است. اگر همراه با تابع f(x)، توابع کاملاً در کل محور Ox قابل ادغام باشند، می توان فرآیند تمایز را ادامه داد. ما دریافتیم که تابع مشتقاتی تا مرتبه m را شامل می شود، و بنابراین، هر چه سریعتر تابع f(x) کاهش یابد، تابع هموارتر می شود. قضیه 2 (درباره مته). تبدیل فوریه توابع /,(x) و f2(x) را در نظر بگیرید. سپس انتگرال دوگانه در سمت راست کاملاً همگرا می شود. بیایید x قرار دهیم. سپس خواهیم داشت یا با تغییر ترتیب ادغام، تابع را کانولوشن توابع می نامند و با نماد نشان داده می شود. توابع f \ حاصل تبدیل فوریه توابع تاشو، Remark. به راحتی می توان ویژگی های کانولوشن زیر را ایجاد کرد: 1) خطی بودن: 2) جابجایی: §4. کاربردهای تبدیل فوریه 1. فرض کنید Р(^) یک عملگر دیفرانسیل خطی از مرتبه m با ضرایب ثابت باشد. y(x) دارای تبدیل فوریه y (O. و تابع f(x) دارای تبدیل /(t) است. با اعمال تبدیل فوریه به معادله (1)، به جای یک معادله جبری دیفرانسیل در محور با توجه به کجا به دست می آوریم به طوری که به طور رسمی در جایی که نماد تبدیل فوریه معکوس را نشان می دهد محدودیت اصلی کاربرد این روش با موارد زیر مرتبط است. واقعیت: حل یک معادله دیفرانسیل معمولی با ضرایب ثابت حاوی توابعی از فرم است< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и