سری فوریه مثلثاتی. سری مثلثاتی سری فوریه. کاربرد روش تفاضل محدود

در تعدادی از موارد، با بررسی ضرایب سری‌های شکل (C) یا می‌توان دریافت که این سری‌ها همگرا هستند (شاید به جز نقاط منفرد) و برای مجموعشان سری فوریه هستند (مثلاً به شماره قبلی مراجعه کنید. ) اما در همه این موارد طبیعتاً این سؤال مطرح می شود

چگونه می توان مجموع این سری ها را پیدا کرد یا به طور دقیق تر، چگونه آنها را در شکل نهایی از نظر توابع ابتدایی بیان کرد، اگر اصلاً به این شکل بیان می شوند. حتی اویلر (و همچنین لاگرانژ) با موفقیت از توابع تحلیلی یک متغیر مختلط برای جمع‌بندی سری‌های مثلثاتی در شکل نهایی استفاده کرد. ایده پشت روش اویلر به شرح زیر است.

اجازه دهید فرض کنیم که برای مجموعه خاصی از ضرایب، سری (C) و در همه جای بازه به توابع همگرا می شوند، فقط نقاط منفرد را حذف می کنند. اکنون یک سری توان با ضرایب یکسان را در نظر بگیرید که در توان های یک متغیر مختلط مرتب شده اند

در محیط دایره واحد، به عنوان مثال، در، این سری با فرض همگرا می شود، به استثنای نقاط منفرد:

در این مورد، با توجه به ویژگی شناخته شده سری توان، سری (5) مطمئناً در داخل دایره واحد همگرا می شود و تابع خاصی از یک متغیر مختلط را در آنجا تعریف می کند. استفاده از شناخته شده برای ما [نگاه کنید به. § 5 از فصل XII] از بسط توابع ابتدایی یک متغیر مختلط، اغلب می توان تابع را به آنها کاهش داد. سپس برای ما داریم:

و با قضیه آبل به محض همگرا شدن سری (6) مجموع آن حد به دست می آید.

معمولاً این حد به سادگی برابر است که به ما امکان می دهد تابع را در فرم نهایی محاسبه کنیم

اجازه دهید، به عنوان مثال، سریال

عبارات اثبات شده در پاراگراف قبل به این نتیجه می رسد که هر دو سری همگرا هستند (اول، به استثنای نقاط 0 و

به عنوان سری فوریه برای توابعی که تعریف می کنند استفاده می شود.اما این توابع چیست؟ برای پاسخ به این سوال یک سری می سازیم

با شباهت با سری لگاریتمی، مجموع آن به راحتی مشخص می شود:

در نتیجه،

اکنون یک محاسبه آسان نشان می دهد:

بنابراین مدول این عبارت است و آرگومان .

و بنابراین در نهایت

این نتایج برای ما آشناست و حتی یک بار با کمک ملاحظات "پیچیده" به دست آمده است. اما در مورد اول از توابع و و در مورد دوم از تابع تحلیلی شروع کردیم.در اینجا برای اولین بار خود سری به عنوان نقطه شروع عمل کرد. خواننده نمونه های بیشتری از این نوع را در بخش بعدی خواهد یافت.

بار دیگر تاکید می کنیم که باید از قبل از همگرایی و سری (C) مطمئن بود و برای اینکه حق تعیین مجموع آنها را با استفاده از برابری محدود (7) داشت. صرف وجود حدی در سمت راست این برابری، هنوز به ما اجازه نمی دهد که به همگرایی سری های مذکور بپردازیم. برای نشان دادن این موضوع با یک مثال، سریال را در نظر بگیرید

روش های استاندارد، اما با مثالی دیگر به بن بست رسیدند.

سختی آن چیست و کجا می تواند مشکل داشته باشد؟ بیایید طناب صابونی را کنار بگذاریم، با آرامش دلایل را تجزیه و تحلیل کنیم و با روش های عملی حل آشنا شویم.

اولین و مهمترین: در اکثریت قریب به اتفاق موارد، برای مطالعه همگرایی یک سری، استفاده از روشی آشنا ضروری است، اما اصطلاح متداول سری پر از آنچنان حیله‌گرانه است که اصلاً مشخص نیست با آن چه باید کرد. . و به صورت دایره ای دور می زنید: اولین علامت کار نمی کند، دومی کار نمی کند، روش سوم، چهارم، پنجم کار نمی کند، سپس پیش نویس ها کنار گذاشته می شوند و همه چیز از نو شروع می شود. این معمولاً به دلیل کمبود تجربه یا شکاف در بخش‌های دیگر حساب است. به ویژه، اگر در حال اجرا است محدودیت های توالیو به صورت سطحی جدا شده است محدودیت های عملکرد، پس از آن دشوار خواهد بود.

به عبارت دیگر، فرد به دلیل کمبود دانش یا تجربه به سادگی راه حل لازم را نمی بیند.

گاهی اوقات «کسوف» هم مقصر است، وقتی مثلاً معیار لازم برای همگرایی یک سریال به سادگی برآورده نمی شود، اما به دلیل ناآگاهی، بی توجهی یا سهل انگاری، این امر از دید خارج می شود. و مثل اون دوچرخه که استاد ریاضی با کمک دنباله های تکراری وحشی و سری اعداد مشکل بچه ها رو حل کرد =)

در بهترین سنت ها، نمونه های زنده بلافاصله: ردیف ها و بستگان آنها - از هم جدا می شوند، زیرا در تئوری ثابت شده است محدودیت های توالی. به احتمال زیاد در ترم اول برای اثبات 1-2-3 صفحه ای از روح شما کتک زده می شود اما در حال حاضر برای نشان دادن عدم رعایت شرط لازم برای همگرایی سریال کافی است. به حقایق شناخته شده معروف؟ اگر دانش آموز نمی داند که ریشه درجه n یک چیز فوق العاده قدرتمند است، پس مثلاً سریال او را در تنگنا قرار دهید اگر چه راه حل مانند دو و دو است:، i.e. به دلایل واضح، هر دو سری از هم جدا می شوند. یک اظهار نظر متواضعانه "این حدود در تئوری ثابت شده است" (یا حتی عدم وجود آن) برای جبران کاملاً کافی است ، از این گذشته ، محاسبات بسیار سنگین هستند و قطعاً به بخش سری های عددی تعلق ندارند.

و پس از مطالعه نمونه های بعدی، تنها از مختصر بودن و شفاف بودن بسیاری از راه حل ها شگفت زده خواهید شد:

مثال 1

بررسی همگرایی یک سری

راه حل: اول از همه اجرا را بررسی کنید معیار لازم برای همگرایی. این یک امر رسمی نیست، بلکه فرصتی عالی برای مقابله با مثال "خونریزی اندک" است.

"بازرسی صحنه" یک سری واگرا را پیشنهاد می کند (مورد یک سری هارمونیک تعمیم یافته)، اما دوباره این سوال پیش می آید که چگونه لگاریتم را در صورت حساب در نظر بگیریم؟

نمونه های تقریبی از وظایف در پایان درس.

زمانی که مجبور به انجام یک استدلال دو طرفه (یا حتی سه طرفه) هستید، غیر معمول نیست:

مثال 6

بررسی همگرایی یک سری

راه حل: ابتدا به دقت با چرندیات صورتگر برخورد کنید. دنباله محدود است: . سپس:

بیایید سریال خود را با سریال مقایسه کنیم. با توجه به نابرابری مضاعف به دست آمده، برای همه "en" درست خواهد بود:

حال بیایید سری را با سری هارمونیک واگرا مقایسه کنیم.

مخرج کسری کمترمخرج کسری، بنابراین خود کسر – بیشترکسرها (چند عبارت اول را بنویسید، اگر واضح نیست). بنابراین، برای هر "en":

بنابراین، در مقایسه، سریال واگرا می شودهمراه با سری هارمونیک

اگر مخرج را کمی تغییر دهیم: ، سپس بخش اول استدلال مشابه خواهد بود: . اما برای اثبات واگرایی سری، فقط آزمون حد مقایسه از قبل قابل اجرا است، زیرا نابرابری نادرست است.

وضعیت سری های همگرا «آینه» است، به عنوان مثال، هم معیار مقایسه را می توان برای یک سری استفاده کرد (نابرابری درست است) و هم برای یک سری، فقط از معیار محدود کننده (نابرابری نادرست است).

ما به سافاری خود در طبیعت ادامه می دهیم، جایی که گله ای از آنتلوپ های زیبا و آبدار در افق خودنمایی می کنند:

مثال 7

بررسی همگرایی یک سری

راه حل: معیار همگرایی لازم برآورده شده است و ما دوباره این سوال کلاسیک را مطرح می کنیم: چه باید کرد؟ در مقابل ما چیزی شبیه به یک سری همگرا وجود دارد، با این حال، هیچ قانون روشنی در اینجا وجود ندارد - چنین تداعی هایی اغلب فریبنده هستند.

اغلب، اما نه این بار. با استفاده از معیار مقایسه حدبیایید سری خود را با سری همگرا مقایسه کنیم. هنگام محاسبه حد، استفاده می کنیم حد فوق العاده ، در حالیکه بی نهایت کوچکمی ایستد:

همگرا می شودهمراه با کنار .

به جای استفاده از تکنیک مصنوعی استاندارد ضرب و تقسیم بر یک "سه"، در ابتدا امکان مقایسه با یک سری همگرا وجود داشت.
اما در اینجا یک اخطار مطلوب است که ثابت-ضریب عبارت کلی بر همگرایی سری تأثیر نمی گذارد. و فقط در این سبک راه حل مثال زیر طراحی شده است:

مثال 8

بررسی همگرایی یک سری

نمونه در پایان درس.

مثال 9

بررسی همگرایی یک سری

راه حل: در مثال های قبلی از boundedness سینوس استفاده کردیم اما در حال حاضر این خاصیت از بازی خارج شده است. مخرج کسری از بالاتر ترتیب رشداز صورت، بنابراین زمانی که آرگومان سینوسی و کل عبارت رایج است بی نهایت کوچک. شرط لازم برای همگرایی، همانطور که فهمیدید، برآورده شدن است که اجازه نمی دهد از کار شانه خالی کنیم.

ما شناسایی انجام خواهیم داد: مطابق با معادل قابل توجه ، ذهنی سینوس را دور بیندازید و سریال بگیرید. خب یه همچین چیزی….

تصمیم گیری:

اجازه دهید سری های مورد مطالعه را با سری های واگرا مقایسه کنیم. ما از معیار مقایسه حدی استفاده می کنیم:

اجازه دهید بی نهایت کوچک را با یک معادل جایگزین کنیم: for .

عدد متناهی غیر از صفر به دست می آید، یعنی سری مورد مطالعه واگرا می شودهمراه با سری هارمونیک

مثال 10

بررسی همگرایی یک سری

این یک مثال برای خودتان است.

برای برنامه ریزی اقدامات بعدی در چنین مثال هایی، رد ذهنی سینوس، آرکسین، مماس، آرکتانژانت کمک زیادی می کند. اما به یاد داشته باشید، این امکان تنها زمانی وجود دارد که بی نهایت کوچکبحث، چندی پیش من با یک سریال تحریک آمیز برخورد کردم:

مثال 11

بررسی همگرایی یک سری
.

راه حل: استفاده از محدودیت مماس قوس در اینجا بی فایده است و معادل سازی نیز جواب نمی دهد. خروجی به طرز شگفت آوری ساده است:


سری مطالعه واگرا می شود، از آنجایی که معیار لازم برای همگرایی سریال رعایت نمی شود.

دلیل دوم"Gag on the job" شامل پیچیدگی مناسب اعضای مشترک است که باعث مشکلات فنی می شود. به طور کلی، اگر سریال‌هایی که در بالا مورد بحث قرار گرفته‌اند به دسته «شما حدس می‌زنید» تعلق دارند، پس این‌ها به دسته «شما تصمیم می‌گیرید» تعلق دارند. در واقع، این پیچیدگی در معنای "معمول" نامیده می شود. همه به درستی چندین فاکتوریل، درجه، ریشه و سایر ساکنان ساوانا را حل نمی کنند. البته فاکتوریل ها بیشترین مشکلات را ایجاد می کنند:

مثال 12

بررسی همگرایی یک سری

چگونه فاکتوریل را به توان برسانیم؟ به آسانی. بر اساس قاعده عملیات با توان، لازم است هر عامل محصول را به یک توان افزایش دهیم:

و البته، توجه و یک بار دیگر توجه، خود علامت d'Alembert به طور سنتی کار می کند:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

من به شما یک تکنیک منطقی برای از بین بردن عدم قطعیت را یادآوری می کنم: زمانی که روشن است ترتیب رشدصورت و مخرج - اصلاً لازم نیست رنج بکشید و پرانتزها را باز کنید.

مثال 13

بررسی همگرایی یک سری

این جانور بسیار نادر است، اما یافت می‌شود، و دور زدن آن با لنز دوربین غیرمنصفانه است.

فاکتوریل علامت تعجب دوگانه چیست؟ "بادهای" فاکتوریل حاصل ضرب اعداد زوج مثبت:

به طور مشابه، فاکتوریل حاصل ضرب اعداد فرد مثبت را "باد" می کند:

تجزیه و تحلیل کنید که چه تفاوتی بین آنها وجود دارد

مثال 14

بررسی همگرایی یک سری

و در این کار سعی کنید با درجه ها اشتباه نگیرید معادل های شگفت انگیزو محدودیت های شگفت انگیز.

نمونه راه حل و پاسخ در پایان درس.

اما دانش آموز نه تنها ببرها را تغذیه می کند - پلنگ های حیله گر طعمه خود را نیز دنبال می کنند:

مثال 15

بررسی همگرایی یک سری

راه حل: معیار ضروری همگرایی، معیار محدود کننده، معیارهای دالامبر و کوشی تقریباً فوراً ناپدید می شوند. اما بدتر از همه، ویژگی با نابرابری ها، که بارها و بارها ما را نجات داده است، ناتوان است. در واقع، مقایسه با یک سری واگرا غیرممکن است، زیرا نابرابری است نادرست - لگاریتم ضرب کننده فقط مخرج را افزایش می دهد و خود کسر را کاهش می دهد. نسبت به کسر و یک سوال جهانی دیگر: چرا ما در ابتدا مطمئن هستیم که سریال ما آیا مجبور به واگرایی است و باید با برخی از سری های واگرا مقایسه شود؟ آیا او اصلاً مناسب است؟

ویژگی یکپارچه؟ انتگرال نامناسب حال و هوای غم انگیز را برمی انگیزد. حالا اگر ردیف داشتیم … سپس بله. متوقف کردن! اینگونه ایده ها متولد می شوند. ما در دو مرحله تصمیم می گیریم:

1) ابتدا به بررسی همگرایی سری می پردازیم . ما استفاده می کنیم ویژگی جدایی ناپذیر:

یکپارچه سازی مداومبر روی

بنابراین، یک عدد همراه با انتگرال نامناسب مربوطه واگرا می شود.

2) سریال ما را با سری واگرا مقایسه کنید . ما از معیار مقایسه حدی استفاده می کنیم:

عدد متناهی غیر از صفر به دست می آید، یعنی سری مورد مطالعه واگرا می شودهمراه با پهلو به پهلو .

و هیچ چیز غیرعادی یا خلاقانه ای در چنین تصمیمی وجود ندارد - اینگونه باید تصمیم گرفت!

من پیشنهاد می کنم به طور مستقل دو حرکت زیر را ترسیم کنید:

مثال 16

بررسی همگرایی یک سری

دانش آموزی با تجربه در بیشتر موارد بلافاصله می بیند که آیا سریال همگرا یا واگرا می شود، اما این اتفاق می افتد که یک شکارچی هوشمندانه خود را در بوته ها پنهان می کند:

مثال 17

بررسی همگرایی یک سری

راه حل: در نگاه اول اصلا مشخص نیست این سریال چگونه رفتار می کند. و اگر مه پیش روی ماست، منطقی است که با بررسی دقیق شرط لازم برای همگرایی سریال شروع کنیم. برای از بین بردن عدم قطعیت، از یک غرق نشدنی استفاده می کنیم روش ضرب و تقسیم با عبارت الحاقی:

نشانه لازم همگرایی کارساز نبود، اما رفیق تامبوف ما را به روشنی نشاند. در نتیجه تبدیل های انجام شده، یک سری معادل به دست آمد ، که به نوبه خود به شدت شبیه یک سری همگرا است.

ما یک راه حل تمیز می نویسیم:

این سری را با سری همگرا مقایسه کنید. ما از معیار مقایسه حدی استفاده می کنیم:

ضرب و تقسیم بر عبارت الحاقی:

عدد متناهی غیر از صفر به دست می آید، یعنی سری مورد مطالعه همگرا می شودهمراه با کنار .

شاید برخی این سوال را داشته باشند که گرگ ها در سافاری آفریقایی ما از کجا آمده اند؟ نمی دانم. احتمالا آورده اند. پوست تروفی زیر را دریافت خواهید کرد:

مثال 18

بررسی همگرایی یک سری

یک مثال راه حل در پایان درس

و بالاخره یک فکر دیگر که ناامیدانه به سراغ بسیاری از دانش آموزان می رود: به جای اینکه آیا از معیار کمیاب تر برای همگرایی سری استفاده شود یا خیر? علامت رابه، علامت هابیل، نشانه گاوس، نشانه دیریکله و سایر حیوانات ناشناخته. این ایده کار می کند، اما در نمونه های واقعی بسیار به ندرت اجرا می شود. من به شخصه در تمام سالهای تمرین فقط 2-3 بار متوسل شدم نشانه رابهزمانی که هیچ چیز واقعاً از زرادخانه استاندارد کمکی نکرد. من مسیر جستجوی افراطی خود را به طور کامل بازتولید می کنم:

مثال 19

بررسی همگرایی یک سری

راه حل: بدون شک نشانه ای از دالامبر. در طول محاسبات، من به طور فعال از خواص درجه ها و همچنین دومین محدودیت فوق العاده:

در اینجا یکی برای شما است. علامت دالامبر جوابی نداد، اگرچه هیچ چیز چنین نتیجه ای را پیش بینی نمی کرد.

پس از مرور کتابچه راهنمای کاربر، یک محدودیت کمتر شناخته شده را پیدا کردم که در تئوری اثبات شده بود و یک معیار کوشی رادیکال قوی‌تر را اعمال کردم:

در اینجا دو مورد برای شما است. و از همه مهمتر، اصلاً مشخص نیست که سریال همگرا است یا واگرا (وضعیت بسیار نادری برای من). نشانه لازم برای مقایسه؟ بدون امید زیاد - حتی اگر به روشی غیرقابل تصور ترتیب رشد صورت و مخرج را بفهمم، این باز هم پاداشی را تضمین نمی کند.

یک دالامبر کامل، اما بدترین چیز این است که سریال باید حل شود. نیاز داشتن. بالاخره این اولین باری خواهد بود که تسلیم می شوم. و سپس به یاد آوردم که به نظر می رسید نشانه های قوی تری وجود دارد. قبل از من دیگر نه گرگ بود، نه پلنگ و نه ببر. فیل بزرگی بود که خرطوم بزرگی را تکان می داد. مجبور شدم نارنجک انداز را بردارم:

علامت رابه

یک سری اعداد مثبت را در نظر بگیرید.
اگر محدودیتی وجود دارد ، سپس:
الف) در یک ردیف واگرا می شود. علاوه بر این، مقدار حاصل می تواند صفر یا منفی باشد.
ب) در یک ردیف همگرا می شود. به طور خاص، این مجموعه برای .
ج) چه زمانی علامت رابه جواب نمی دهد.

حد را می سازیم و کسر را با دقت ساده می کنیم:


بله، تصویر، به بیان ملایم، ناخوشایند است، اما من دیگر تعجب نکردم. قوانین لوپیتال، و اولین فکر، همانطور که بعداً معلوم شد، درست بود. اما ابتدا، حدود یک ساعت، حد را با استفاده از روش‌های «معمول» پیچیدم و چرخاندم، اما عدم قطعیت نمی‌خواست از بین برود. و راه رفتن در دایره، همانطور که تجربه نشان می دهد، نشانه ای است که راه حل اشتباه انتخاب شده است.

من مجبور شدم به خرد عامیانه روسی روی بیاورم: "اگر هیچ کمکی نکرد، دستورالعمل ها را بخوانید." و هنگامی که جلد دوم فیشتنهولتز را باز کردم، با خوشحالی فراوان مطالعه‌ای از مجموعه‌ای مشابه پیدا کردم. و سپس راه حل مطابق مدل پیش رفت.

راه حل Navier فقط برای محاسبه صفحات لولا شده در امتداد کانتور مناسب است. عمومی تر است راه حل لوی. این به شما امکان می دهد یک صفحه لولا شده در دو طرف موازی را با شرایط مرزی دلخواه در هر یک از دو طرف دیگر محاسبه کنید.

در صفحه مستطیلی که در شکل نشان داده شده است. 5.11، (الف)، لبه های لولایی آنهایی هستند که با محور موازی هستند y. شرایط مرزی در این لبه ها دارای فرم هستند

برنج. 5.11

بدیهی است که هر جمله از سری مثلثاتی بی نهایت

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">؛ مشتقات جزئی دوم تابع انحراف

(5.45)

در ایکس = 0 و ایکس = آهمچنین صفر هستند زیرا حاوی https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)

جایگزینی (5.46) به (5.18) می دهد

دو طرف معادله حاصل را در ضرب کنید و از 0 به ادغام کنید آو به یاد آوردن آن

,

ما باید تابع را تعریف کنیم Ymچنین معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت

. (5.48)

اگر، برای کوتاه کردن نماد، نشان دهید

معادله (5.48) شکل می گیرد

. (5.50)

حل کلی معادله ناهمگن (5.50) همانطور که از سیر معادلات دیفرانسیل مشخص است، شکل دارد.

Ym(y) = jمتر (y)+ fm(y), (5.51)

جایی که jمتر (y) یک راه حل خاص از معادله ناهمگن (5.50) است. شکل آن به سمت راست معادله (5.50) یعنی در واقع به نوع بار بستگی دارد. q (ایکس, y);

fm(y)= ام شآمترy + Bmchآمترy+y(سانتی متر شآمترy + Dmchآمترy), (5.52)

حل کلی معادله همگن

چهار ثابت دلخواه صبح,ATمتر ,سیمترو Dmباید از چهار شرط برای تثبیت لبه های صفحه، به موازات محور، اعمال شده بر روی صفحه تعیین شود. مقدار ثابت q (ایکس, y) = qسمت راست معادله (5.50) شکل می گیرد

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)

از آنجایی که سمت راست معادله (5.55) ثابت است، سمت چپ آن نیز ثابت است. بنابراین تمام مشتقات jمتر (y) صفر هستند و

, (5.56)

, (5.57)

جایی که مشخص شده است: .

یک بشقاب را در نظر بگیرید نیشگون گرفتهدر امتداد لبه های موازی با محور ایکس(شکل 5.11، (ج)).

شرایط مرزی در لبه ها y = ± ب/2

. (5.59)

به دلیل تقارن انحراف صفحه حول محور Oایکس، در راه حل کلی (5.52) فقط عبارت های حاوی توابع زوج باید حفظ شوند. چون ش آمترyیک تابع فرد است و сh آمتر y- یکنواخت و با موقعیت اتخاذ شده از محور اوه, yش آمترy- حتی در درفصل آمتر yفرد است، سپس انتگرال کلی (5.51) در مورد مورد بررسی را می توان به صورت

. (5.60)

از آنجایی که در (5.44) به مقدار آرگومان بستگی ندارد y، جفت دوم شرایط مرزی (5.58)، (5.59) را می توان به صورت زیر نوشت:

Ym = 0, (5.61)

Y¢ متر = = 0. (5.62)

Y¢ متر = آمترbmش آمترy + سانتی مترش آمترy + y سانتی مترآمترفصل آمترy=

آمترbmش آمترy + سانتی متر(ش آمترy+yآمترفصل آمترy)

از (5.60) - (5.63) به شرح زیر است

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)

ضرب معادله (5.64) در و معادله (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)

جایگزینی (5.66) به معادله (5.64) به ما امکان می دهد که به دست آوریم bm

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)

با این عبارت تابع Yمتر. فرمول (5.44) برای تعیین تابع انحراف به شکل است

(5.69)

سری (5.69) به سرعت همگرا می شود. به عنوان مثال، برای یک صفحه مربع در مرکز آن، یعنی در x=آ/2, y = 0

(5.70)

نگه داشتن (5.70) تنها یک ترم از سری، یعنی گرفتن ، یک مقدار انحراف بدست می آوریم که کمتر از 2.47% بیش از حد تخمین زده شده است. با در نظر گرفتن اینکه پ 5 = 306.02, find Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> V.. روش تنوع ریتز بر اساس اصل تغییرات لاگرانژ است که در بخش 2 فرموله شده است.

اجازه دهید این روش را برای مسئله خمش صفحه در نظر بگیریم. سطح منحنی صفحه را به صورت یک ردیف تصور کنید

, (5.71)

جایی که فی(ایکس, y) توابع مختصات پیوسته، که هر کدام باید شرایط مرزی سینماتیکی را برآورده کنند. سیپارامترهای ناشناخته ای هستند که از معادله لاگرانژ تعیین می شوند. این معادله

(5.72)

منجر به سیستمی از nمعادلات جبری با توجه به پارامترها سی.

در حالت کلی، انرژی تغییر شکل صفحه شامل خمش U و غشاء U است مترقطعات

, (5.73)

, (5.74)

جایی که Mh.,مy. ,مxy- نیروهای خمشی؛ نایکس., Ny. , Nxy- نیروهای غشایی بخشی از انرژی مربوط به نیروهای عرضی کوچک است و می توان آن را نادیده گرفت.

اگر یک تو, vو wاجزای جابجایی واقعی هستند، px. , pyو pzمولفه های شدت بار سطحی هستند، آرمن- نیروی متمرکز، D منجابجایی خطی مربوطه، مj- لحظه متمرکز qj- زاویه چرخش مربوط به آن (شکل 5.12)، سپس انرژی پتانسیل نیروهای خارجی را می توان به صورت زیر نشان داد:

اگر لبه های صفحه اجازه حرکت می دهد، آنگاه لبه ها نیرو می گیرند vn. , دقیقه. , mnt(شکل 5.12، (الف)) پتانسیل نیروهای خارجی را افزایش می دهد

برنج. 5.12

اینجا nو تی– المان معمولی و مماس بر لبه ds.

در مختصات دکارتی، با در نظر گرفتن عبارات شناخته شده برای نیروها و انحناها

, (5.78)

کل انرژی پتانسیل E یک صفحه مستطیلی به اندازه آ ´ ب، تحت عمل فقط بار عمودی pz

(5.79)

به عنوان مثال، یک صفحه مستطیل شکل با نسبت ابعاد 2 را در نظر بگیرید آ 2 ب(شکل 5.13).

صفحه در امتداد کانتور بسته شده و با یک بار یکنواخت بارگذاری می شود

pz = q = ثابت. در این مورد، عبارت (5.79) برای انرژی E ساده شده است

. (5.80)

قبول برای w(x، y) ردیف

که شرایط کانتور را برآورده می کند

برنج. 5.13

فقط اولین عضو سری را نگه دارید

.

سپس طبق (5.80)

.

به حداقل رساندن انرژی E با توجه به (5..gif" width="273 height=57" height="57">.

.

انحراف مرکز یک صفحه مربع اندازه 2 آ 2 آ

,

که 2.5 درصد بیشتر از راه حل دقیق 0.0202 است ق 4/D. توجه داشته باشید که انحراف مرکز صفحه ای که از چهار طرف پشتیبانی می شود 3.22 برابر بیشتر است.

این مثال مزایای روش را نشان می دهد: سادگی و امکان به دست آوردن نتیجه خوب. صفحه می تواند خطوط مختلف، ضخامت متغیر داشته باشد. مشکلات در این روش، در واقع، در روش های دیگر انرژی، هنگام انتخاب توابع مختصات مناسب به وجود می آید.

5.8. روش متعامد سازی

روش متعامد ارائه شده توسط و بر اساس ویژگی زیر از توابع متعامد است jمن. , jj

. (5.82)

مثالی از توابع متعامد در بازه ( – پ, پ) می تواند به عنوان توابع مثلثاتی cos عمل کند nxو گناه nxبرای کدام

اگر یکی از توابع، برای مثال تابع jمن (ایکس) به طور یکسان برابر با صفر است، سپس شرط (5.82) برای یک تابع دلخواه برآورده می شود. jj (ایکس).

برای حل مسئله خمش صفحه، معادله است

را می توان اینگونه تصور کرد

, (5.83)

جایی که افناحیه ای است که توسط کانتور صفحه محدود شده است. jijتوابعی هستند که به گونه ای مشخص شده اند که شرایط مرزی سینماتیک و نیرو مسئله را برآورده کنند.

اجازه دهید حل تقریبی معادله خمش صفحه (5.18) را به صورت یک سری نمایش دهیم.

. (5.84)

اگر جواب (5.84) دقیق بود، معادله (5.83) برای هر سیستمی از توابع مختصات یکسان خواهد بود. jij. ، زیرا در این مورد D c2c2 wn – q = 0. ما به این معادله نیاز داریم D c2c2 wn – qمتعامد به خانواده توابع بود jij, و از این شرط برای تعیین ضرایب استفاده می کنیم Cij. . با جایگزینی (5.84) به (5.83) دریافت می کنیم

. (5.85)

پس از انجام برخی تبدیل ها، سیستم معادلات جبری زیر را برای تعیین به دست می آوریم سیij

, (5.86)

و ساعتij = ساعتجی.

روش Bubnov-Galerkin را می توان تفسیر زیر ارائه داد. عملکرد D c2c2 wn – q = 0 در اصل یک معادله تعادل است و پیش بینی نیروهای خارجی و داخلی است که بر عنصر کوچکی از صفحه در جهت محور عمودی وارد می شود. z. تابع انحراف wnحرکتی است در جهت همان محور و توابع jijرا می توان حرکات احتمالی در نظر گرفت. بنابراین، معادله (5.83) تقریبا برابری صفر کار تمام نیروهای خارجی و داخلی بر جابجایی های احتمالی را بیان می کند. jij. . بنابراین، روش Bubnov-Galerkin اساساً متغیر است.

به عنوان مثال، یک صفحه مستطیلی را در نظر بگیرید که در امتداد کانتور بسته شده و با یک بار توزیع یکنواخت بارگذاری شده است. ابعاد صفحه و محل قرارگیری محورهای مختصات مانند شکل 1 است. 5.6.

شرایط مرزی

در ایکس = 0, ایکس= a: w = 0, ,

در y = 0, y = ب: w = 0, .

یک عبارت تقریبی برای تابع انحراف به شکل یک سری (5.84) انتخاب می کنیم که در آن تابع jij

شرایط مرزی را برآورده می کند. Cijضرایب مورد نظر هستند. محدود به یک عضو از سری

معادله زیر را بدست می آوریم

پس از ادغام

ضریب را از کجا محاسبه کنیم از جانب 11

,

که به طور کامل با ضریب مطابقت دارد از جانب 11. به دست آمده با روش

وی. ریتز -.

به عنوان اولین تقریب، تابع انحراف به صورت زیر است

.

حداکثر انحراف در مرکز یک صفحه مربع آ ´ آ

.

5.9. کاربرد روش تفاضل محدود

اجازه دهید کاربرد روش تفاضل محدود را برای صفحات مستطیلی با شرایط خطوط پیچیده در نظر بگیریم. عملگر تفاوت آنالوگ معادله دیفرانسیل سطح منحنی صفحه (5.18)، برای یک شبکه مربع، برای D است. ایکس = D y = D به شکل (3.54) است.

20 wi, j + 8 (wi, j+ 1 + wi, j– 1 + wi– 1, j + wi+ 1, j) + 2 (wi– 1, j– 1 + wi– 1, j+ 1 +

برنج. 5.14

با در نظر گرفتن وجود سه محور تقارن بارگذاری و تغییر شکل صفحه، می توانیم خود را به در نظر گرفتن هشتمین آن محدود کنیم و مقادیر انحرافات را فقط در گره های 1 ... 10 تعیین کنیم (شکل 5.14، (ب) ). روی انجیر 5.14، (ب) شماره شبکه و گره را نشان می دهد (D = a/4).

از آنجایی که لبه های صفحه فشرده شده است، با نوشتن شرایط کانتور (5.25)، (5.26) در اختلافات محدود

توسط کسینوس و سینوس کمان های متعدد، یعنی یک سری از شکل

یا به شکل پیچیده

جایی که یک ک,b kیا به ترتیب c kتماس گرفت ضرایب T.r.
برای اولین بار T.r. ملاقات در L. Euler (L. Euler, 1744). او بسط پیدا کرد

همه آر. قرن 18 در ارتباط با مطالعه مسئله ارتعاش آزاد یک رشته، این سوال مطرح شد که امکان نمایش تابعی که موقعیت اولیه رشته را به عنوان مجموع T.r مشخص می کند، وجود دارد. این سوال باعث بحث داغی شد که برای چندین دهه به طول انجامید، بهترین تحلیلگران آن زمان - D. Bernoulli، J. D "Alembert، J. Lagrange، L. Euler (L. Euler). اختلافات مربوط به محتوای مفهوم کارکرد. در آن زمان، توابع معمولاً با تجزیه و تحلیل آنها مرتبط بودند. انتساب، که منجر به در نظر گرفتن تنها توابع تحلیلی یا تحلیلی تکه‌ای شد. و در اینجا لازم شد تابعی که نمودار آن به اندازه کافی دلخواه باشد تا یک T.r را نشان دهنده این تابع بسازد. اما اهمیت این اختلافات بیشتر است. در واقع، آنها در رابطه با سؤالات مربوط به بسیاری از مفاهیم و ایده های اساسی ریاضیات بحث کردند یا مطرح شدند. تجزیه و تحلیل به طور کلی - نمایش توابع توسط سری تیلور و تحلیلی. ادامه توابع، استفاده از سری های واگرا، حدود، سیستم های معادلات نامتناهی، توابع با چند جمله ای و غیره.
و در آینده، مانند این اولیه، نظریه T. r. به عنوان منبع ایده های جدید در ریاضیات خدمت کرد. انتگرال فوریه، توابع تقریبا تناوبی، سری متعامد کلی، چکیده. تحقیق در مورد رودخانه T. به عنوان نقطه شروعی برای ایجاد نظریه مجموعه ها عمل کرد. تی آر. ابزار قدرتمندی برای نمایش و کاوش ویژگی ها هستند.
سوالی که در قرن هجدهم بین ریاضیدانان مناقشه ایجاد کرد، در سال 1807 توسط J. Fourier حل شد که فرمول هایی را برای محاسبه ضرایب T. r نشان داد. (1) که باید. در تابع f(x):

و آنها را در حل مسائل رسانش گرما به کار برد. فرمول‌های (2) فرمول‌های فوریه نامیده می‌شوند، اگرچه قبلاً توسط A. Clairaut (1754) و L. Euler (1777) با استفاده از ادغام ترم به ترم به آنها رسید. تی آر. (1) که ضرایب آن با فرمول (2) تعیین می شود، نامیده می شود. نزدیک تابع فوریه f و اعداد a k، b k- ضرایب فوریه.
ماهیت نتایج به‌دست‌آمده به این بستگی دارد که چگونه نمایش یک تابع به عنوان یک سری درک شود، چگونه انتگرال در فرمول (2) درک شود. نظریه مدرن رودخانه T. پس از ظهور انتگرال Lebesgue به دست آمد.
نظریه T.r. را می توان به طور مشروط به دو بخش بزرگ تقسیم کرد - نظریه سری فوریه،که در آن فرض می شود که سری (1) سری فوریه یک تابع معین است و نظریه عمومی T. R. که در آن چنین فرضی وجود ندارد. در زیر نتایج اصلی به دست آمده در نظریه عمومی T. r آمده است. (در این مورد، مجموعه ها و قابلیت اندازه گیری توابع بر اساس Lebesgue درک می شود).
اولین سیستماتیک تحقیق T. r. که در آن فرض نمی شد این سری ها سری فوریه هستند، پایان نامه V. Riemann بود (V. Riemann, 1853). بنابراین، نظریه ژنرال T. r. تماس گرفت گاهی اوقات نظریه ترمودینامیک ریمانی.
برای مطالعه خواص T.r دلخواه. (1) با ضرایب متمایل به صفر B. ریمان تابع پیوسته F(x) را در نظر گرفت. , که مجموع یک سری همگرای یکنواخت است

پس از ادغام دو برابری دوره به مدت سری (1) به دست آمد. اگر سری (1) در نقطه ای x به عدد s همگرا شود، در این نقطه متقارن دوم وجود دارد و برابر با s است. توابع F:

سپس این منجر به جمع سری (1) تولید شده توسط عوامل می شود تماس گرفت به روش جمع ریمان با استفاده از تابع F، اصل محلی‌سازی ریمان فرموله می‌شود که بر اساس آن رفتار سری (1) در نقطه x فقط به رفتار تابع F در یک همسایگی کوچک دلخواه از این نقطه بستگی دارد.
اگر تی آر. بر روی مجموعه ای از معیارهای مثبت همگرا می شود، سپس ضرایب آن به صفر میل می کند (کانتور-لبگ). تمایل به صفر ضرایب T. r. همچنین از همگرایی آن در مجموعه ای از دسته دوم (W. Young, W. Young, 1909) ناشی می شود.
یکی از مسائل اصلی نظریه ترمودینامیک عمومی مشکل نمایش یک تابع دلخواه T.r است. با تقویت نتایج N. N. Luzin (1915) در مورد نمایش توابع T. R. توسط روش های قابل جمع آبل پواسون و ریمان، D. E. Men'shov قضیه زیر را اثبات کرد (1940) که به مهمترین مورد در هنگام نمایش تابع f اشاره دارد. به عنوان T.r درک می شود. به f(x) تقریباً در همه جا. برای هر تابع قابل اندازه گیری و متناهی تقریباً در همه جا f، یک T. R وجود دارد که تقریباً در همه جا به آن همگرا می شود (قضیه منشوف). لازم به ذکر است که حتی اگر f قابل انتگرال باشد، به طور کلی، نمی توان سری فوریه تابع f را به عنوان چنین سری در نظر گرفت، زیرا سری های فوریه ای وجود دارد که در همه جا واگرا می شوند.
قضیه Men'shov بالا اصلاح زیر را می پذیرد: اگر یک تابع f تقریباً در همه جا قابل اندازه گیری و محدود باشد، آنگاه چنین وجود دارد که تقریباً در همه جا و سری فوریه متمایز ترم به ترم تابع j تقریباً در همه جا به f(x) همگرا می شود (N. K. Bari, 1952).
مشخص نیست (1984) آیا می توان شرط تناهی را برای تابع f تقریباً در همه جای قضیه منشوف حذف کرد. به طور خاص، مشخص نیست (1984) آیا T. r. تقریباً در همه جا همگرا می شوند
بنابراین، مشکل نشان دادن توابعی که می توانند مقادیر نامتناهی را در مجموعه ای از اندازه گیری های مثبت بگیرند، برای حالتی در نظر گرفته شد که با نیاز ضعیف تر جایگزین شود - . همگرایی در اندازه به توابعی که می توانند مقادیر نامتناهی بگیرند به صورت زیر تعریف می شود: مجموع جزئی T. p. s n(x) از نظر اندازه به تابع f(x) همگرا می شود . اگر کجا f n(x) تقریباً در همه جا به / (x) همگرا می شود، و دنباله از نظر اندازه به صفر همگرا می شود. در این تنظیمات، مشکل نمایش توابع تا انتها حل شده است: برای هر تابع قابل اندازه گیری، یک T. R وجود دارد که به اندازه به آن همگرا می شود (D. E. Men'shov, 1948).
تحقیقات زیادی به مسئله منحصربه‌فرد بودن T. r. اختصاص داده شده است: آیا دو T متفاوت می‌توانند از یک تابع جدا شوند؟ در فرمول متفاوت: اگر T. r. به صفر همگرا می شود، آیا نتیجه می شود که تمام ضرایب سری برابر با صفر هستند؟ در اینجا می توان به معنای همگرایی در همه نقاط یا در همه نقاط خارج از یک مجموعه خاص باشد. پاسخ به این سؤالات اساساً به ویژگی های مجموعه ای بستگی دارد که خارج از آن همگرایی فرض نمی شود.
اصطلاحات زیر ایجاد شده است. بسیاری از نام ها. مجموعه منحصر به فردیا U-تنظیم اگر، از همگرایی T. r. به صفر در همه جا، به جز، شاید، برای نقاط مجموعه E،نتیجه این است که تمام ضرایب این سری برابر با صفر است. وگرنه اناز. مجموعه M.
همانطور که G. Cantor (1872) نشان داد، و همچنین هر متناهی مجموعه های U هستند. یک دلخواه نیز یک مجموعه U است (W. Jung, 1909). از سوی دیگر، هر مجموعه ای از معیارهای مثبت یک مجموعه M است.
وجود M-مجموعه های اندازه گیری توسط D. E. Men'shov (1916)، که اولین نمونه از یک مجموعه کامل را با این ویژگی ها ساخت. این نتیجه در مسئله یکتایی اهمیت اساسی دارد. از وجود M-مجموعه های اندازه گیری صفر نتیجه می گیرد که در نمایش توابع T. R. که تقریباً در همه جا همگرا هستند، این سری ها همیشه به طور مبهم تعریف می شوند.
مجموعه های کامل نیز می توانند ست های U باشند (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). ویژگی های بسیار ظریف مجموعه های اندازه گیری صفر نقش اساسی در مسئله یگانه بودن دارند. سوال کلی در مورد طبقه بندی مجموعه های اندازه گیری صفر در M-و U-sets باز می ماند (1984). حتی برای ست های عالی هم حل نمی شود.
مشکل زیر به مشکل یکتایی مربوط می شود. اگر تی آر. به تابع همگرا می شود پس آیا این سری باید سری فوریه تابع / باشد یا خیر. P. Dubois-Reymond (P. Dubois-Reymond، 1877) به این سؤال پاسخ مثبت داد اگر f به معنای ریمان یکپارچه‌پذیر باشد و سری در همه نقاط به f(x) همگرا شود. از نتایج III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) نشان می‌دهد که پاسخ مثبت است حتی اگر این سری در همه جا به جز مجموعه‌ای از نقاط قابل شمارش همگرا شود و مجموع آن متناهی باشد.
اگر یک T. p به طور مطلق در نقطه ای x 0 همگرا شود، آنگاه نقاط همگرایی این سری، و همچنین نقاط همگرایی مطلق آن، به طور متقارن نسبت به نقطه x 0 قرار دارند. (پ فاتو، ص فاتو، 1906).
مطابق با Denjoy - قضیه لوزیناز همگرایی مطلق T.r. (1) در مجموعه ای از معیارهای مثبت، سری همگرا می شوند و در نتیجه همگرایی مطلق سری (1) برای همه ایکس.این ویژگی همچنین توسط مجموعه‌های دسته دوم و همچنین مجموعه‌های خاصی از اندازه‌گیری صفر وجود دارد.
این نظرسنجی فقط T.r یک بعدی را پوشش می دهد. (یک). نتایج جداگانه ای مربوط به کلی T. p. از چندین متغیر در اینجا در بسیاری از موارد، هنوز لازم است که عبارات مشکل طبیعی را پیدا کنید.

روشن شد: Bari N. K.، سری مثلثاتی، M.، 1961; Sigmund A.، سری مثلثاتی، ترجمه. از انگلیسی، ج 1-2، م.، 1965; Luzin N. N., Series Integral and Trigonometric, M.-L., 1951; ریمان بی.، آثار، ترجمه. از آلمانی، M.-L.، 1948، ص. 225-61.
S. A. Telyakovsky.

دایره المعارف ریاضی. - م.: دایره المعارف شوروی. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

در علم و فناوری، اغلب باید با پدیده های دوره ای سر و کار داشت، یعنی. آنهایی که پس از مدت معینی تکثیر می شوند تیدوره نامیده می شود. ساده ترین توابع تناوبی (به جز یک ثابت) یک مقدار سینوسی است: asin(ایکس+ )، نوسان هارمونیک، که در آن یک "فرکانس" مربوط به دوره با نسبت: . از چنین توابع تناوبی ساده، می توان توابع پیچیده تری را تشکیل داد. بدیهی است که کمیت‌های سینوسی تشکیل‌دهنده باید فرکانس‌های متفاوتی داشته باشند، زیرا افزودن کمیت‌های سینوسی با فرکانس یکسان منجر به کمیت سینوسی با همان فرکانس می‌شود. اگر چندین مقدار فرم را اضافه کنیم

به عنوان مثال، ما در اینجا جمع سه کمیت سینوسی را بازتولید می کنیم: . نمودار این تابع را در نظر بگیرید

این نمودار تفاوت قابل توجهی با موج سینوسی دارد. این حتی برای مجموع یک سری نامتناهی که از اصطلاحات این نوع تشکیل شده است بیشتر صادق است. اجازه دهید این سوال را مطرح کنیم: آیا برای یک تابع دوره ای معین از دوره امکان پذیر است؟ تیبه عنوان مجموع یک مجموعه متناهی یا حداقل نامتناهی از مقادیر سینوسی نمایش داده می شود؟ به نظر می رسد که با توجه به دسته بزرگی از توابع، می توان به این سؤال پاسخ مثبت داد، اما این تنها در صورتی است که دقیقاً کل دنباله نامتناهی چنین عباراتی را لحاظ کنیم. از نظر هندسی، این بدان معناست که نمودار یک تابع تناوبی از روی هم قرار دادن یک سری سینوسی به دست می آید. اگر هر مقدار سینوسی را به عنوان یک حرکت نوسانی هارمونیک مشخص در نظر بگیریم، می‌توان گفت که این یک نوسان پیچیده است که با یک تابع یا به سادگی با هارمونیک آن (اول، دوم و غیره) مشخص می‌شود. فرآیند تجزیه یک تابع تناوبی به هارمونیک نامیده می شود تجزیه و تحلیل هارمونیک

توجه به این نکته مهم است که چنین بسط‌هایی اغلب در مطالعه توابعی مفید هستند که فقط در یک بازه محدود مشخص داده می‌شوند و اصلاً توسط هیچ پدیده نوسانی ایجاد نمی‌شوند.

تعریف.سری مثلثاتی مجموعه ای از شکل های زیر است:

یا (1).

اعداد حقیقی را ضرایب سری مثلثاتی می نامند. این سریال را نیز می توان اینگونه نوشت:

اگر یک سری از نوع ارائه شده در بالا همگرا شود، مجموع آن یک تابع تناوبی با دوره 2p است.

تعریف.ضرایب فوریه یک سری مثلثاتی را می گویند: (2)

(3)

(4)

تعریف.نزدیک فوریه برای یک تابع f(x)سری مثلثاتی نامیده می شود که ضرایب آن ضرایب فوریه است.

اگر سری فوریه تابع f(x)در تمام نقاط تداومش به آن همگرا می شود، سپس می گوییم که تابع f(x)در یک سری فوریه گسترش می یابد.

قضیه.(قضیه دیریکله) اگر تابعی دارای دوره 2p باشد و بر روی یک پاره پیوسته باشد یا دارای تعداد محدودی از نقاط ناپیوستگی نوع اول باشد، می توان آن پاره را به تعداد متناهی قطعه تقسیم کرد به طوری که تابع در داخل هر قطعه یکنواخت باشد. از آنها، سپس سری فوریه برای تابع برای همه مقادیر همگرا می شود ایکسو در نقاط تداوم تابع، مجموع آن S(x)برابر است، و در نقاط ناپیوستگی مجموع آن برابر است، یعنی. میانگین حسابی مقادیر حدی در سمت چپ و راست.

در این مورد، سری فوریه تابع f(x)در هر بازه ای که به بازه تداوم تابع تعلق دارد به طور یکنواخت همگرا می شود.

تابعی که شرایط این قضیه را برآورده کند، به صورت تکه ای صاف بر روی بازه نامیده می شود.

بیایید مثال هایی در مورد بسط یک تابع در یک سری فوریه در نظر بگیریم.

مثال 1. تابع را در یک سری فوریه بسط دهید f(x)=1-x، که دوره دارد 2pو بر روی بخش داده شده است.

راه حل. بیایید این تابع را رسم کنیم

این تابع بر روی قطعه، یعنی در یک قطعه با طول یک دوره، پیوسته است، بنابراین می توان آن را به یک سری فوریه که در هر نقطه از این قطعه به آن همگرا می شود، گسترش داد. با استفاده از فرمول (2) ضریب این سری را بدست می آوریم: .

ما فرمول ادغام با قسمت را اعمال می کنیم و به ترتیب فرمول های (3) و (4) را پیدا می کنیم و از آنها استفاده می کنیم:

با جایگزینی ضرایب به فرمول (1)، به دست می آوریم یا .

این برابری در همه نقاط به جز نقاط و (نقاط چسباندن نمودارها) صورت می گیرد. در هر یک از این نقاط، مجموع سری برابر است با میانگین حسابی مقادیر حدی آن در سمت راست و چپ، یعنی.

اجازه دهید یک الگوریتم برای گسترش تابع ارائه کنیمدر سریال فوریه

روش کلی برای حل مشکل مطرح شده به شرح زیر است.