سری فوریه. بسط سری فوریه توابع زوج و فرد نابرابری بسل برابری پارسوال نمونه های سری فوریه از راه حل های با پیچیدگی افزایش یافته

سری فوریه نمایشی از یک تابع دلخواه گرفته شده با یک دوره خاص به عنوان یک سری است. به طور کلی به این محلول، تجزیه یک عنصر به صورت متعامد می گویند. بسط توابع در یک سری فوریه به دلیل ویژگی های این تبدیل در هنگام ادغام، تمایز و همچنین جابجایی یک عبارت در آرگومان و پیچیدگی، ابزار نسبتاً قدرتمندی برای حل مسائل مختلف است.

فردی که با ریاضیات عالی و همچنین با کارهای دانشمند فرانسوی فوریه آشنا نیست، به احتمال زیاد متوجه نخواهد شد که این "سریال ها" چیست و برای چیست. در همین حال، این تحول در زندگی ما کاملاً متراکم شده است. این نه تنها توسط ریاضیدانان، بلکه توسط فیزیکدانان، شیمیدانان، پزشکان، ستاره شناسان، زلزله شناسان، اقیانوس شناسان و بسیاری دیگر استفاده می شود. اجازه دهید نگاهی دقیق‌تر به آثار دانشمند بزرگ فرانسوی بیندازیم که پیش از زمان خود به کشفی دست یافت.

انسان و تبدیل فوریه

سری فوریه یکی از روش هاست (همراه با آنالیز و غیره) این فرآیند با هر بار شنیدن هر صدایی اتفاق می افتد. گوش ما به طور خودکار ذرات بنیادی را در یک محیط الاستیک تبدیل می کند، آنها به ردیف هایی (در امتداد طیف) مقادیر متوالی سطح حجم برای تن هایی با ارتفاع های مختلف تجزیه می شوند. در مرحله بعد، مغز این داده ها را به صداهای آشنا برای ما تبدیل می کند. همه اینها علاوه بر میل یا آگاهی ما به خودی خود اتفاق می افتد، اما برای درک این فرآیندها، چندین سال طول می کشد تا ریاضیات عالی را مطالعه کنیم.

اطلاعات بیشتر در مورد تبدیل فوریه

تبدیل فوریه را می توان با روش های تحلیلی، عددی و غیره انجام داد. سری فوریه به روش عددی تجزیه هر گونه فرآیند نوسانی - از جزر و مد اقیانوس و امواج نور گرفته تا چرخه های فعالیت خورشیدی (و سایر اجرام نجومی) اشاره دارد. با استفاده از این تکنیک‌های ریاضی، می‌توان توابع را تجزیه و تحلیل کرد و هر فرآیند نوسانی را به‌عنوان مجموعه‌ای از اجزای سینوسی نشان داد که از حداقل به حداکثر و بالعکس می‌روند. تبدیل فوریه تابعی است که فاز و دامنه سینوسی های مربوط به یک فرکانس خاص را توصیف می کند. این فرآیند را می توان برای حل معادلات بسیار پیچیده که فرآیندهای دینامیکی را که تحت تأثیر انرژی حرارتی، نور یا الکتریکی رخ می دهند، توصیف می کند. همچنین سری فوریه امکان جداسازی اجزای ثابت در سیگنال های نوسانی پیچیده را فراهم می کند که امکان تفسیر صحیح مشاهدات تجربی به دست آمده در پزشکی، شیمی و نجوم را فراهم می کند.

مرجع تاریخ

بنیانگذار این نظریه، ژان باپتیست ژوزف فوریه، ریاضیدان فرانسوی است. این تحول متعاقباً به نام او نامگذاری شد. در ابتدا، دانشمند روش خود را برای مطالعه و توضیح مکانیسم های هدایت گرما - انتشار گرما در جامدات به کار برد. فوریه پیشنهاد کرد که توزیع نامنظم اصلی را می توان به ساده ترین سینوسی ها تجزیه کرد، که هر کدام حداقل و حداکثر دمای خود و همچنین فاز خاص خود را دارند. در این صورت، هر یک از این مولفه ها از حداقل به حداکثر و بالعکس اندازه گیری می شود. تابع ریاضی که قله های بالایی و پایینی منحنی و همچنین فاز هر یک از هارمونیک ها را توصیف می کند، تبدیل فوریه بیان توزیع دما نامیده می شود. نویسنده این نظریه تابع توزیع عمومی را که توصیف ریاضی آن دشوار است، به یک سری بسیار راحت از کسینوس و سینوس تقلیل داد که به طور خلاصه توزیع اصلی را به دست می‌دهند.

اصل تحول و دیدگاه معاصران

معاصران دانشمند - ریاضیدانان برجسته اوایل قرن نوزدهم - این نظریه را نپذیرفتند. اعتراض اصلی، ادعای فوریه بود که یک تابع ناپیوسته که یک خط مستقیم یا یک منحنی ناپیوسته را توصیف می کند، می تواند به عنوان مجموع عبارات سینوسی که پیوسته هستند نشان داده شود. به عنوان مثال، "گام" Heaviside را در نظر بگیرید: مقدار آن در سمت چپ شکاف صفر و یک در سمت راست است. این تابع وابستگی جریان الکتریکی به متغیر زمانی را که مدار بسته است، توصیف می کند. معاصران این نظریه در آن زمان هرگز با چنین وضعیتی مواجه نشده بودند که یک عبارت ناپیوسته با ترکیبی از توابع پیوسته و معمولی، مانند نمایی، سینوسی، خطی یا درجه دوم توصیف شود.

چه چیزی ریاضیدانان فرانسوی را در نظریه فوریه گیج کرد؟

از این گذشته، اگر ریاضیدان در اظهارات خود درست گفته باشد، با جمع بندی بی نهایت سری فوریه مثلثاتی، می توان نمایش دقیقی از عبارت گام به گام را به دست آورد، حتی اگر مراحل مشابه زیادی داشته باشد. در آغاز قرن نوزدهم، چنین اظهاراتی پوچ به نظر می رسید. اما علیرغم همه تردیدها، بسیاری از ریاضیدانان دامنه مطالعه این پدیده را گسترش داده و آن را از محدوده مطالعات هدایت حرارتی خارج کرده اند. با این حال، اکثر دانشمندان همچنان با این سوال عذاب می‌کشند: "آیا مجموع سری سینوسی می‌تواند به مقدار دقیق تابع ناپیوسته همگرا شود؟"

همگرایی سری فوریه: یک مثال

مسئله همگرایی هر زمان که لازم باشد مجموعه های نامتناهی از اعداد را جمع کنیم مطرح می شود. برای درک این پدیده، یک مثال کلاسیک را در نظر بگیرید. اگر اندازه هر مرحله متوالی نصف پله قبلی باشد، آیا می توانید به دیوار برسید؟ فرض کنید دو متر با هدف فاصله دارید، مرحله اول شما را به نیمه راه نزدیک می کند، مرحله بعدی به نقطه سه چهارم نزدیک می شود و بعد از مرحله پنجم تقریباً 97 درصد مسیر را طی خواهید کرد. با این حال، هر چقدر هم که قدم بردارید، به معنای دقیق ریاضی به هدف مورد نظر نخواهید رسید. با استفاده از محاسبات عددی می توان نشان داد که در نهایت می توان به یک فاصله معین دلخواه خود نزدیک شد. این اثبات معادل نشان دادن این است که ارزش کل یک دوم، یک چهارم و غیره به یک میل خواهد کرد.

پرسشی از همگرایی: آمدن ثانوی، یا ابزار لرد کلوین

این سوال دوباره در پایان قرن نوزدهم مطرح شد، زمانی که سعی شد از سری فوریه برای پیش بینی شدت جزر و مد استفاده شود. در این زمان، لرد کلوین دستگاهی را اختراع کرد که یک دستگاه محاسباتی آنالوگ است که به ملوانان ناوگان نظامی و تجاری اجازه می داد تا این پدیده طبیعی را ردیابی کنند. این مکانیسم مجموعه فازها و دامنه‌ها را از جدول ارتفاع جزر و مد و لحظه‌های زمانی متناظر آن‌ها، که به دقت در یک بندر معین در طول سال اندازه‌گیری می‌شوند، تعیین می‌کند. هر پارامتر یک جزء سینوسی از بیان ارتفاع جزر و مد و یکی از اجزای منظم بود. نتایج اندازه‌گیری‌ها در ماشین‌حساب لرد کلوین وارد شد، که منحنی را سنتز کرد که ارتفاع آب را به عنوان تابعی از زمان برای سال آینده پیش‌بینی می‌کرد. خیلی زود منحنی های مشابهی برای تمام بندرهای جهان ترسیم شد.

و اگر فرآیند توسط یک تابع ناپیوسته شکسته شود؟

در آن زمان بدیهی به نظر می رسید که یک پیش بینی کننده موج جزر و مد با تعداد زیادی عناصر شمارش می تواند تعداد زیادی فاز و دامنه را محاسبه کند و در نتیجه پیش بینی های دقیق تری ارائه دهد. با این وجود، معلوم شد که این نظم در مواردی مشاهده نمی شود که عبارت جزر و مدی که باید سنتز شود حاوی یک پرش شدید است، یعنی ناپیوسته بود. در صورتی که داده ها از جدول لحظه های زمانی وارد دستگاه شود، چندین ضریب فوریه را محاسبه می کند. عملکرد اصلی به لطف اجزای سینوسی (با توجه به ضرایب یافت شده) بازیابی می شود. اختلاف بین عبارت اصلی و بازیابی شده را می توان در هر نقطه اندازه گیری کرد. هنگام انجام محاسبات و مقایسه های مکرر، مشاهده می شود که مقدار بزرگترین خطا کاهش نمی یابد. با این حال، آنها در منطقه مربوط به نقطه ناپیوستگی محلی هستند و در هر نقطه دیگر به صفر تمایل دارند. در سال 1899، این نتیجه به طور نظری توسط جاشوا ویلارد گیبس از دانشگاه ییل تأیید شد.

همگرایی سری های فوریه و توسعه ریاضیات به طور کلی

تحلیل فوریه برای عباراتی که شامل تعداد نامتناهی انفجار در یک بازه معین هستند، کاربرد ندارد. به طور کلی، سری فوریه، اگر تابع اصلی نتیجه یک اندازه گیری فیزیکی واقعی باشد، همیشه همگرا هستند. سوالات مربوط به همگرایی این فرآیند برای کلاس های خاصی از توابع منجر به ظهور بخش های جدیدی در ریاضیات شده است، به عنوان مثال، نظریه توابع تعمیم یافته. با نام هایی مانند L. Schwartz، J. Mikusinsky و J. Temple مرتبط است. در چارچوب این نظریه، یک مبنای نظری واضح و دقیق برای عباراتی مانند تابع دلتای دیراک (منطقه ای از یک ناحیه متمرکز در یک محله بی نهایت کوچک از یک نقطه را توصیف می کند) و Heaviside ایجاد شد. گام". به لطف این کار، سری فوریه برای حل معادلات و مسائلی که در آنها مفاهیم شهودی ظاهر می شود، قابل استفاده شد: بار نقطه ای، جرم نقطه ای، دوقطبی های مغناطیسی، و همچنین بار متمرکز روی یک پرتو.

روش فوریه

سری های فوریه، مطابق با اصول تداخل، با تجزیه اشکال پیچیده به شکل های ساده تر شروع می شود. به عنوان مثال، تغییر در جریان گرما با عبور آن از موانع مختلف ساخته شده از مواد عایق حرارتی با شکل نامنظم یا تغییر در سطح زمین - زلزله، تغییر در مدار یک جرم آسمانی - تأثیر سیارات به عنوان یک قاعده، معادلات مشابهی که سیستم های کلاسیک ساده را توصیف می کنند، به طور ابتدایی برای هر موج جداگانه حل می شوند. فوریه نشان داد که راه حل های ساده را نیز می توان برای حل مسائل پیچیده تر جمع کرد. سری فوریه که به زبان ریاضیات بیان می شود، تکنیکی برای نمایش یک عبارت به عنوان مجموع هارمونیک ها - کسینوس و سینوسی است. بنابراین این تحلیل به «تحلیل هارمونیک» نیز معروف است.

سری فوریه - تکنیک ایده آل قبل از "عصر کامپیوتر"

قبل از ایجاد فناوری رایانه، تکنیک فوریه بهترین سلاح در زرادخانه دانشمندان هنگام کار با ماهیت موجی جهان ما بود. سری فوریه به شکل پیچیده نه تنها مسائل ساده ای را که می توان مستقیماً در قوانین مکانیک نیوتن اعمال کرد، بلکه معادلات اساسی را نیز حل کرد. بیشتر اکتشافات علم نیوتنی در قرن نوزدهم تنها با تکنیک فوریه امکان پذیر شد.

سری فوریه امروز

با توسعه کامپیوترها، تبدیل فوریه به سطح کیفی جدیدی ارتقا یافته است. این تکنیک تقریباً در تمام زمینه های علم و فناوری جا افتاده است. یک مثال سیگنال دیجیتال صوتی و تصویری است. تحقق آن تنها به لطف نظریه ای که توسط یک ریاضیدان فرانسوی در آغاز قرن نوزدهم ایجاد شد امکان پذیر شد. بنابراین، سری فوریه در شکل پیچیده ای امکان دستیابی به موفقیت در مطالعه فضای بیرونی را فراهم کرد. علاوه بر این، این موضوع بر مطالعه فیزیک مواد نیمه هادی و پلاسما، آکوستیک مایکروویو، اقیانوس شناسی، رادار و زلزله شناسی تأثیر گذاشت.

سری فوریه مثلثاتی

در ریاضیات، سری فوریه راهی برای نمایش توابع پیچیده دلخواه به صورت مجموع توابع ساده تر است. در موارد کلی، تعداد چنین عباراتی می تواند بی نهایت باشد. علاوه بر این، هرچه تعداد آنها در محاسبه بیشتر در نظر گرفته شود، نتیجه نهایی دقیق تر است. اغلب، توابع مثلثاتی کسینوس یا سینوس به عنوان ساده ترین آنها استفاده می شود. در این حالت سری های فوریه مثلثاتی و حل چنین عباراتی را بسط هارمونیک می نامند. این روش نقش مهمی در ریاضیات دارد. اول از همه، سری مثلثاتی وسیله ای برای تصویر و همچنین مطالعه توابع فراهم می کند، این دستگاه اصلی تئوری است. علاوه بر این، امکان حل تعدادی از مسائل فیزیک ریاضی را فراهم می کند. در نهایت، این نظریه به توسعه کمک کرد و تعدادی از بخش های بسیار مهم علوم ریاضی (نظریه انتگرال ها، نظریه توابع تناوبی) را زنده کرد. علاوه بر این، به عنوان نقطه شروعی برای توسعه توابع زیر یک متغیر واقعی عمل کرد و همچنین شروع تجزیه و تحلیل هارمونیک را نشان داد.

رونوشت

1 وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه دانشگاه دولتی نووسیبیرسک دانشکده فیزیک R. K. Belkheeva FOURIER سری در نمونه ها و وظایف آموزش نووسیبیرسک 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Fourier سری در مثال ها و مسائل: کتاب درسی / Novosib. حالت un-t. نووسیبیرسک، اس. ISBN این آموزش اطلاعات اولیه در مورد سری فوریه را ارائه می دهد، نمونه هایی را برای هر موضوع مورد مطالعه ارائه می دهد. نمونه ای از به کارگیری روش فوریه برای حل مسئله ارتعاشات عرضی یک رشته به تفصیل تجزیه و تحلیل شده است. مطالب گویا داده شده است. وظایفی برای راه حل مستقل وجود دارد. این برای دانشجویان و معلمان دانشکده فیزیک دانشگاه دولتی نووسیبیرسک در نظر گرفته شده است. منتشر شده بر اساس تصمیم کمیسیون روش شناسی دانشکده فیزیک NSU. داور دکتر فیزیک-ریاضی. علوم. V. A. Aleksandrov ISBN c دانشگاه دولتی نووسیبیرسک، 211 c Belkheeva R. K.، 211

3 1. بسط سری فوریه یک تابع تناوبی 2π تعریف. سری فوریه تابع f(x) سری تابعی a 2 + (a n cosnx + b n sin nx)، (1) است که در آن ضرایب a n، b n با فرمول محاسبه می شود: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx، n =، 1،...، (2) f(x) sin nxdx، n = 1، 2، .... (3) فرمول های (2) (3) فرمول های اویلر فوریه نامیده می شوند. . این واقعیت که تابع f(x) با سری فوریه (1) مطابقت دارد به صورت فرمول f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) نوشته می شود و می گویند سمت راست فرمول ( 4) یک سری رسمی توابع فوریه f(x) است. به عبارت دیگر، فرمول (4) فقط به این معنی است که ضرایب a n، b n با فرمول های (2)، (3) پیدا می شوند. 3

4 تعریف. یک تابع تناوبی 2π f(x) به صورت تکه ای صاف نامیده می شود اگر بازه [، π] حاوی تعداد محدود نقطه = x باشد.< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 شکل 1. نمودار تابع f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2، برای فرد n، برای n زوج، f(x) sin nxdx = چون تابع f(x) زوج است. سری فوریه رسمی را برای تابع f(x) می نویسیم: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 دریابید که آیا تابع f(x) به صورت تکه ای صاف است یا خیر. از آنجایی که پیوسته است، فقط حدود (6) را در نقاط انتهایی بازه x = ± π و در نقطه شکست x = : و f(π h) f(π) π h π lim = lim h + محاسبه می کنیم. h h + h = 1، f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1، h + h h + h = 1 ، f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h محدودیت ها وجود دارند و متناهی هستند، بنابراین تابع به صورت تکه ای صاف است. با قضیه همگرایی نقطه ای، سری فوریه آن در هر نقطه به عدد f(x) همگرا می شود، یعنی f(x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) شکل 2 و 3 کاراکتر تقریب مجموع جزئی سری فوریه S n (x) را نشان می دهد، که در آن S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx)، k=1، به تابع f(x) در بازه [، π] . 6

7 شکل شکل 2. نمودار تابع f(x) با نمودارهای روی هم از مجموع جزئی S (x) = a 2 و S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 3. نمودار تابع f (x) با یک نمودار جمع جزئی که روی آن قرار گرفته است S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 با جایگزینی در (7) x = بدست می آوریم: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2، از آنجا مجموع سری اعداد را می یابیم: = π2 8. با دانستن مجموع این سری، آن است. آسان برای یافتن مجموع زیر داریم: S = ( ) S = ()= π S، از این رو S = π2 6، یعنی 1 n = π مجموع این سری معروف اولین بار توسط لئونارد اویلر پیدا شد. اغلب در تجزیه و تحلیل ریاضی و کاربردهای آن یافت می شود. مثال 2. یک نمودار رسم کنید، سری فوریه تابعی که با فرمول f(x) = x برای x داده شده است را پیدا کنید.< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 شکل 4. نمودار تابع f(x) تابع f(x) به طور پیوسته در بازه (، π) قابل تمایز است. در نقاط x = ± π، حدهای محدود (5) دارد: f() =، f(π) = π. علاوه بر این، محدودیت های محدودی وجود دارد (6): f(+ h) f(+) lim = 1 و h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h بنابراین، f(x) است عملکرد صاف تکه ای از آنجایی که تابع f(x) فرد است، a n = است. ضرایب b n با ادغام با قطعات پیدا می شوند: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1) )n + یک. n اجازه دهید سری فوریه رسمی تابع 2(1) n+1 f(x) sin nx را بسازیم. n 9 cosnxdx ] =

10 با توجه به قضیه همگرایی نقطه ای برای یک تابع 2π-تناوبی صاف تکه ای، سری فوریه تابع f(x) به مجموع همگرا می شود: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x اگر π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 شکل. شکل 6. نمودار تابع f(x) با نمودار مجموع جزئی S 2 (x) بر روی آن قرار گرفته است. 7. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S 3 (x) 11 روی آن قرار گرفته است.

12 شکل. 8. نمودار تابع f(x) که نمودار حاصل جمع جزئی S 99 (x) روی آن قرار گرفته است، از سری فوریه به دست آمده برای یافتن مجموع دو سری عددی استفاده می کنیم. (8) x = π/2 را وارد می کنیم. سپس 2 () +... = π 2، یا = n= (1) n 2n + 1 = π 4. ما به راحتی مجموع سری معروف لایب نیتس را پیدا کردیم. با قرار دادن x = π/3 در (8)، () +... = π 2 3، یا (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k پیدا می کنیم

13 مثال 3. نموداری رسم کنید، سری فوریه تابع f(x) = sin x را پیدا کنید، با فرض اینکه دوره 2π دارد، و 1 مجموع سری اعداد 4n 2 را محاسبه کنید. 1. راه حل. نمودار تابع f(x) در شکل نشان داده شده است. 9. بدیهی است که f(x) = sin x یک تابع زوج پیوسته با دوره π است. اما 2π همچنین دوره تابع f(x) است. برنج. 9. نمودار تابع f(x) ضرایب فوریه را محاسبه می کنیم. همه b n = چون تابع زوج است. با استفاده از فرمول های مثلثاتی، یک n را برای n 1 محاسبه می کنیم: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 اگر n = 2k ، = π n 2 1 اگر n = 2 هزار

14 این محاسبه به ما اجازه نمی دهد ضریب a 1 را پیدا کنیم زیرا در n = 1 مخرج به صفر می رسد. بنابراین، ما ضریب a 1 را مستقیماً محاسبه می کنیم: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. از آنجایی که f(x) به طور پیوسته در (،) و (، π) قابل تمایز است و در نقاط kπ، (k یک عدد صحیح است)، محدودیت های محدود (5) و (6) وجود دارد، سری فوریه تابع به همگرا می شود. آن را در هر نقطه: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S(x) که روی آن قرار گرفته است 14

15 شکل شکل 11. نمودار تابع f(x) با نمودار جمع جزئی S 1 (x) بر روی آن قرار گرفته است. شکل 12. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S 2 (x) روی آن قرار گرفته است. 13. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S 99 (x) 15 روی آن قرار گرفته است.

16 1 مجموع سری اعداد را محاسبه کنید. برای این کار 4n 2 1 در (9) x = قرار می دهیم. سپس cosnx = 1 برای همه n = 1، 2،... و بنابراین، 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. مثال 4. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر یک تابع پیوسته صاف تکه ای f(x) شرط f(x π) = f(x) را برای همه x برآورده کند (یعنی π- تناوبی است) ، سپس a 2n 1 = b 2n 1 = برای همه n 1، و بالعکس، اگر a 2n 1 = b 2n 1 = برای همه n 1، آنگاه f(x) π-تناوبی است. راه حل. اجازه دهید تابع f(x) π-تناوبی باشد. اجازه دهید ضرایب فوریه آن a 2n 1 و b 2n 1 را محاسبه کنیم: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. در انتگرال اول تغییر متغیر x = t π را انجام می دهیم: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 با استفاده از این واقعیت که cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t و f(t π) = f(t)، به دست می آوریم: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. به طور مشابه ثابت شده است که b 2n 1 =. برعکس، اجازه دهید a 2n 1 = b 2n 1 =. از آنجایی که تابع f(x) پیوسته است، پس با قضیه نمایش پذیری یک تابع در یک نقطه با سری فوریه آن، داریم سپس f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n گناه 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x)، به این معنی که f(x) یک تابع تناوبی π است. مثال 5. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر یک تابع صاف تکه ای f(x) شرط f(x) = f(x) را برای همه x برآورده کند، آنگاه a = و a 2n = b 2n = برای همه n 1، و بالعکس ، اگر a = a 2n = b 2n =، آنگاه f(x π) = f(x) برای همه x. راه حل. اجازه دهید تابع f(x) شرط f(x π) = f(x) را برآورده کند. اجازه دهید ضرایب فوریه آن را محاسبه کنیم: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. در انتگرال اول تغییر متغیر x = t π را انجام می دهیم. سپس f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. با استفاده از این واقعیت که cos n(t π) = (1) n cosnt و f(t π) = f(t) به دست می آوریم: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = اگر n زوج، = 2 π f(t) cos nt dt، اگر n فرد باشد. π به طور مشابه ثابت می شود که b 2n =. برعکس، اجازه دهید a = a 2n = b 2n =، برای همه n 1. از آنجایی که تابع f(x) پیوسته است، پس با قضیه نمایش پذیری یک تابع در یک نقطه، سری فوریه آن برابری f( را برآورده می کند. x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). هجده

19 سپس = f(x π) = = = f(x). مثال 6. اجازه دهید نحوه گسترش تابع f(x) قابل انتگرال در بازه [، π/2] را به بازه [، π] بسط دهیم، به طوری که سری فوریه آن به شکل: a 2n 1 cos (2n 1) باشد. ایکس. (1) راه حل. اجازه دهید نمودار تابع به شکلی باشد که در شکل نشان داده شده است. 14. از آنجایی که در سری (1) a = a 2n = b 2n = برای همه n، از مثال 5 نتیجه می گیرد که تابع f(x) باید برابری f(x π) = f(x) را برای همه x برآورده کند. این مشاهدات راهی برای گسترش تابع f(x) به بازه [، /2] نشان می دهد: f(x) = f(x+π)، شکل. 15. از این واقعیت که سری (1) فقط دارای کسینوس است، نتیجه می گیریم که تابع ادامه یافته f (x) باید زوج باشد (یعنی نمودار آن باید متقارن در مورد محور Oy باشد).

20 شکل 14. نمودار تابع f(x) 15. نمودار ادامه تابع f(x) در بازه [, /2] 2

21 بنابراین، تابع مورد نظر شکل نشان داده شده در شکل را دارد. 16. شکل. 16. نمودار ادامه تابع f(x) در بازه [، π] با جمع بندی، نتیجه می گیریم که تابع را باید به صورت زیر ادامه داد: f(x) = f(x)، f(π x) = f(x)، که بازه [π/2، π] است، نمودار تابع f(x) به طور مرکزی در مورد نقطه (π/2،) متقارن است، و در بازه [، π]، نمودار آن است. متقارن در مورد محور Oy. 21

22 تعمیم مثال ها 3 6 بگذارید l >. دو شرط را در نظر بگیرید: a) f(l x) = f(x); ب) f(l + x) = f(x)، x [، l/2]. از نقطه نظر هندسی، شرط (a) به این معنی است که نمودار تابع f(x) نسبت به خط عمودی x = l/2 متقارن است و شرط (b) که نمودار f(x) به طور مرکزی در مورد آن متقارن است. نقطه (l/2;) روی آبسیسا محور. سپس عبارات زیر درست هستند: 1) اگر تابع f(x) زوج باشد و شرط (a) برقرار باشد، آنگاه b 1 = b 2 = b 3 =... =، a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) اگر تابع f(x) زوج باشد و شرط (b) برقرار باشد، آنگاه b 1 = b 2 = b 3 =... =، a = a 2 = a 4 =... = ; 3) اگر تابع f(x) فرد باشد و شرط (a) برقرار باشد، a = a 1 = a 2 =... =، b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) اگر تابع f(x) فرد باشد و شرط (b) برقرار باشد، a = a 1 = a 2 =... =، b 1 = b 3 = b 5 =... =. مشکلات در مسائل 1 7 نمودارها را رسم کنید و سری فوریه را برای توابع پیدا کنید، (با فرض اینکه دوره 2π داشته باشند: اگر< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 اگر / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. بسط یک تابع داده شده در بازه [، π] فقط بر حسب سینوس یا فقط بر حسب کسینوس اجازه دهید یک تابع f در بازه [، π] داده شود. اگر بخواهیم آن را در این بازه به یک سری فوریه گسترش دهیم، ابتدا f را به صورت دلخواه به بازه [، π] گسترش می دهیم و سپس از فرمول های اویلر فوریه استفاده می کنیم. دلبخواهی در ادامه یک تابع به این واقعیت منجر می شود که برای همان تابع f: [, π] R می توانیم سری های فوریه متفاوتی به دست آوریم. اما می توان از این خودسری به گونه ای استفاده کرد که فقط در سینوس ها یا فقط در کسینوس ها انبساط به دست آورد: در حالت اول، به ادامه f به صورت فرد و در حالت دوم به صورت زوج کافی است. الگوریتم حل 1. تابع را به صورت فرد (زوج) روی (,) ادامه دهید و سپس به صورت دوره ای با دوره 2π تابع را تا کل محور ادامه دهید. 2. ضرایب فوریه را محاسبه کنید. 3. سری فوریه تابع f(x) را بنویسید. 4. شرایط همگرایی سری را بررسی کنید. 5. تابعی که این سری به آن همگرا می شود را مشخص کنید. مثال 7. تابع f(x) = cosx را گسترش دهید،< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 شکل 17. نمودار تابع ادامه یافته بدیهی است که تابع f (x) به صورت تکه ای صاف است. بیایید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم: a n = برای همه n زیرا تابع f (x) فرد است. اگر n 1، آنگاه b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 اگر n = 2 k + 1، (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) (n 1) 2 2n اگر n = 2k. π n 2 1 برای n = 1 در محاسبات قبلی، مخرج ناپدید می شود، بنابراین ضریب b 1 را می توان مستقیماً محاسبه کرد.

26 اساسا: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. سری فوریه تابع f (x) را بنویسید: f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. از آنجایی که تابع f (x) به صورت تکه ای صاف است، پس با قضیه همگرایی نقطه ای، سری فوریه تابع f (x) به مجموع cosx همگرا می شود اگر π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 شکل. شکل 18. نمودار تابع f (x) با نمودار جمع جزئی S 1 (x) روی آن قرار گرفته است. 19. نمودار تابع f(x) با نمودار حاصل جمع جزئی S 2 (x) روی آن قرار گرفته است 27

28 شکل. شکل 2. نمودار تابع f (x) با نمودار جمع جزئی S 3 (x) روی آن قرار گرفته است. 21 نمودارهای تابع f (x) و جمع جزئی آن S 99 (x) را نشان می دهد. برنج. 21. نمودار تابع f (x) با نموداری از جمع جزئی S 99 (x) 28 که روی آن قرار گرفته است.

29 مثال 8. اجازه دهید تابع f(x) = e ax, a >, x [, π] را در یک سری فوریه فقط در کسینوس بسط دهیم. راه حل. تابع را به صورت زوج به (،) ادامه می دهیم (یعنی، به طوری که تساوی f(x) = f(x) برای همه x (، π) برقرار است)، و سپس به صورت دوره ای با یک دوره 2π به کل واقعی است. محور. تابع f (x) را بدست می آوریم که نمودار آن در شکل نشان داده شده است. 22. تابع f (x) در نقاط 22. نمودار تابع ادامه یافته f (x) x = kπ، k یک عدد صحیح است، دارای پیچ خوردگی است. اجازه دهید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم: b n =، زیرا f (x) زوج است. با ادغام توسط قطعات، 29 بدست می آوریم

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1)، f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 بنابراین، a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 از آنجایی که f (x) پیوسته است، طبق قضیه همگرایی نقطه‌ای، سری فوریه آن به f (x) همگرا می‌شود. از این رو، برای همه x [، π] f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) داریم. شکل ها تقریب تدریجی مجموع جزئی سری فوریه را به یک تابع ناپیوسته معین نشان می دهند. 3

31 شکل. 23. نمودار توابع f (x) و S (x) 24. نمودارهای توابع f (x) و S 1 (x) 25. نمودارهای توابع f (x) و S 2 (x) 26. نمودار توابع f (x) و S 3 (x) 31

32 شکل. 27. نمودارهای توابع f (x) و S 4 (x) 28. نمودارهای توابع f (x) و S 99 (x) مسئله 9. تابع f(x) = cos x، x π را در یک سری فوریه فقط در کسینوس بسط دهید. 1. تابع f (x) \u003d e ax, a >, x π را در سری فوریه فقط بر حسب سینوس بسط دهید. 11. تابع f (x) \u003d x 2, x π را در یک سری فوریه فقط در سینوس بسط دهید. 12. تابع f (x) \u003d sin ax, x π را در سری فوریه فقط بر حسب کسینوس بسط دهید. 13. تابع f (x) \u003d x sin x, x π را در یک سری فوریه فقط در سینوس بسط دهید. پاسخ 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. اگر a یک عدد صحیح نباشد، sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2 اگر a = 2m یک عدد زوج باشد، آنگاه sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; اگر a = 2m 1 یک عدد فرد مثبت باشد، آنگاه sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. سری فوریه یک تابع با دوره دلخواه فرض کنیم تابع f(x) در بازه [l, l]، l > تعریف شده است. با جایگزینی x = ly، y π، تابع g(y) = f(ly/π) تعریف شده در بازه π [، π] را بدست می آوریم. این تابع g(y) مربوط به سری فوریه (رسمی) () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny)، که ضرایب آن با فرمول های فوریه اویلر پیدا می شود: a n = 1 π. g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy، n =، 1، 2،...، 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... πl، یک سری مثلثاتی کمی تغییر یافته برای تابع f(x) بدست می آوریم: جایی که f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx)، (11) l dx، n =، 1، 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) فرمول های (11) (13) گفته می شود که بسط را در یک سری فوریه از یک تابع با دوره دلخواه تعریف می کنند. مثال 9. سری فوریه تابع داده شده در بازه (l, l) را با عبارت (A if l) پیدا کنید.< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l a n = 1 l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = اگر n، l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn سری فوریه تابع f (x) را بسازید: f(x) A + B π (B A چون cosπn = (1) n، پس n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l برای n = 2k، b n = b 2k =، برای n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1) بدست می آوریم.

36 بنابراین f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l طبق قضیه همگرایی نقطه‌ای، سری فوریه تابع f(x) به جمع A همگرا می شود، اگر l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 شکل. 29. نمودار تابع f (x) با نمودارهای روی هم از هارمونیک ها S (x) = a 2 و S 1 (x) = b 1 sinx. برای وضوح، گرافیک سه هارمونیک بالاتر S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx، S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l و S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx به صورت عمودی جابه جا می شوند. تا l 37

38 شکل. شکل 3. نمودار تابع f(x) با نمودار مجموع جزئی S 99 (x) روی آن قرار گرفته است. 31. تکه ای از انجیر. 3 در مقیاس دیگر 38

39 مشکلات در مسائل، توابع مشخص شده در سری فوریه را در فواصل معین گسترش دهید. 14. f(x) = x 1، (1، 1). 15. f(x) = ch2x، (2، 2] f(x) = x (1 x)، (1، 1]. 17. f(x) = cos π x، [ 1، 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 if 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2) πx cos، π 2 (2n 1) 2 l ب) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x شکل پیچیده سری فوریه تجزیه f(x) = c n e inx، که در آن c n = 1 2π f (x)e inx dx، n = ± 1، ± 2،...، شکل مختلط سری فوریه نامیده می شود. تابع به یک سری فوریه پیچیده تحت همان شرایطی که در آن به یک سری فوریه واقعی گسترش می یابد، گسترش می یابد. چهار

41 مثال 1. سری فوریه را به شکل مختلط تابعی که با فرمول f(x) = e ax در بازه [، π) ارائه می‌شود، پیدا کنید، که a یک عدد واقعی است. راه حل. اجازه دهید ضرایب را محاسبه کنیم: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) سری فوریه مختلط تابع f به شکل f(x) sh aπ π n= (1) n a در einx است. اجازه دهید بررسی کنیم که تابع f(x) به صورت تکه ای صاف است: در بازه (، π) به طور پیوسته قابل تمایز است، و در نقاط x = ± π محدودیت های محدود (5)، (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. بنابراین، تابع f(x) را می توان با یک سری فوریه sh aπ π n= (1) n a در einx نشان داد، که به مجموع همگرا می شود: (e S(x) = ax اگر π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 مثال 11. سری فوریه را در شکل مختلط و واقعی تابعی که با فرمول f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 داده شده است، بیابید، جایی که a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 به یاد بیاورید که مجموع یک تصاعد هندسی نامتناهی با مخرج q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 حالا بیایید سری فوریه را به شکل واقعی پیدا کنیم. برای انجام این کار، عبارت ها را با اعداد n و n برای n گروه بندی می کنیم: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx چون c = 1، سپس 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 این یک سری فوریه به شکل واقعی تابع f(x) است. بنابراین، بدون محاسبه یک انتگرال، سری فوریه تابع را پیدا کردیم. با انجام این کار، بسته به پارامتر cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a یک انتگرال سخت را محاسبه کردیم.< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 هر یک از کسرهای ساده را مطابق فرمول پیشرفت هندسی گسترش می دهیم: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n، n= z a 1 z a = az = a n z n. n= این امکان پذیر است زیرا az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >، یا به طور خلاصه، c n = 1 2i a n sgnn. بنابراین، سری فوریه به شکل پیچیده یافت می شود. با گروه بندی عبارات با اعداد n و n، سری فوریه تابع را به صورت واقعی به دست می آوریم: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. دوباره، ما موفق شدیم انتگرال مختلط زیر را محاسبه کنیم: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 مسئله 24. با استفاده از (15)، انتگرال cos nxdx 1 2a cosx + a 2 را برای a واقعی محاسبه کنید، a > با استفاده از (16)، انتگرال sin x sin nxdx را برای a واقعی محاسبه کنید، a > a cosx + a2 در مسائل ، سری فوریه را به صورت مختلط برای توابع پیدا کنید. 26. f(x) = sgn x، π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. قضیه برابری لیاپانوف (برابری لیاپانوف). فرض کنید یک تابع f: [, π] R طوری باشد که f 2 (x) dx باشد< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. بنابراین، برابری لیاپانوف برای تابع f(x) به این شکل است: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. از آخرین برابری برای π، sin 2 na n 2 = a(π a) 2 را با فرض a = π 2 می یابیم، sin2 na = 1 برای n = 2k 1 و sin 2 na = برای n = 2k به دست می آوریم. بنابراین، k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. مثال 14. اجازه دهید برابری لیاپانوف را برای تابع f(x) = x cosx، x [، π] بنویسیم و از آن برای یافتن مجموع سری اعداد (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. راه حل 1 π. محاسبات مستقیم = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 از آنجایی که f(x) یک تابع زوج است، پس برای همه n b n =، a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) داریم. )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 اگر n = 2k، 2 اگر n = 2k + 1. ضریب a 1 باید جداگانه محاسبه شود، زیرا در فرمول کلی برای n = 1 مخرج کسر ناپدید می شود. . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = گناه 2xdx = π 2.

50 بنابراین، تساوی لیاپانوف برای تابع f(x) به شکل زیر است: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π مسئله 32. تساوی لیاپانوف را بنویسید. برای تابع (x f(x) = 2 πx اگر x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 پاسخ ها + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n، که در آن c n ضریب فوریه 2π از f(x) و d n است. توابع ضریب فوریه g(x) است. 6. تمایز سری فوریه فرض کنید f: R R یک تابع متناوب 2π به طور پیوسته قابل تمایز باشد. سری فوریه آن به شکل: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx) است. مشتق f (x) این تابع یک تابع پیوسته و 2π-تناوبی خواهد بود که برای آن می توان یک سری فوریه رسمی نوشت: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx)، که در آن a, a n , b n, n = 1 , 2,... ضرایب فوریه تابع f (x). 51

52 قضیه (در مورد تمایز ترم به ترم سری فوریه). بر اساس مفروضات بالا، تساوی a =، a n = nb n، ​​b n = na n، n 1 درست است. مثال 15. فرض کنید یک تابع تکه ای صاف f(x) در بازه [، π] پیوسته باشد. اجازه دهید ثابت کنیم که وقتی شرط f(x)dx = برآورده می شود، نابرابری 2 dx 2 dx که نامساوی استکلوف نامیده می شود برقرار است، و بررسی می کنیم که تساوی در آن فقط برای توابع به شکل f(x) = A تحقق می یابد. cosx به عبارت دیگر، نابرابری استکلوف شرایطی را به دست می‌دهد که در آن کوچکی مشتق (در مربع میانگین) بر کوچکی تابع (در مربع میانگین) دلالت دارد. راه حل. اجازه دهید تابع f(x) را به بازه [، ] به طور یکنواخت گسترش دهیم. تابع توسعه یافته را با همان نماد f(x) نشان دهید. سپس تابع ادامه پیوسته و تکه تکه در بازه [، π] صاف خواهد بود. از آنجایی که تابع f(x) پیوسته است، پس f 2 (x) در بازه و 2 dx پیوسته است.< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 از آنجایی که تابع ادامه دار زوج است، b n =، a = بر اساس شرط. در نتیجه، برابری لیاپانوف شکل 1 π 2 dx = a 2 π n را به خود می گیرد. (17) اجازه دهید مطمئن شویم که f (x) نتیجه‌گیری قضیه مربوط به تمایز ترم به ترم سری فوریه را برآورده می‌کند، یعنی a =، a n = nb n، ​​b n = na n، n 1. اجازه دهید مشتق f (x) در نقاط x 1، x 2،...، x N در بازه [، π] دچار شکست شود. x =، x N+1 = π را نشان می دهیم. اجازه دهید بازه ادغام [، π] را به N +1 بازه (x، x 1)،...، (x N، x N+1) تقسیم کنیم، که در هر یک از آنها f(x) به طور پیوسته قابل تمایز است. سپس با استفاده از خاصیت افزایشی انتگرال و سپس ادغام با قطعات، به دست می آید: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= به طور مشابه، یک n = nb n دریافت می کنیم. ما نشان دادیم که قضیه تمایز ترم به ترم سری های فوریه برای یک تابع متناوب 2π-تناوبی به صورت تکه ای صاف که مشتق آن در بازه [، π] تحت ناپیوستگی های نوع اول قرار می گیرد، درست است. بنابراین f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx، زیرا a =، a n = nb n =، b n = na n، n = 1، 2، .... 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 از آنجایی که هر جمله از سری در (18) بزرگتر یا مساوی با جمله متناظر سری در (17) است، پس 2 dx 2 dx است. با یادآوری اینکه f(x) ادامه زوج تابع اصلی است، 2 dx 2 dx داریم. که برابری Steklov را ثابت می کند. حال اجازه دهید بررسی کنیم که تساوی برای کدام توابع در نابرابری Steklov وجود دارد. اگر حداقل برای یک n 2، ضریب a n غیر صفر باشد، 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 مشکلات 37. اجازه دهید یک تابع تکه ای صاف f(x) در بازه [، π] پیوسته باشد. ثابت کنید که تحت شرط f() = f(π) = نابرابری 2 dx 2 dx، که نامساوی استکلوف نیز نامیده می شود، برقرار است، و مطمئن شوید که تساوی در آن فقط برای توابعی به شکل f(x) = B sin x صادق است. . 38. فرض کنید یک تابع f در بازه [، π] پیوسته باشد و در آن (به استثنای تعداد محدودی از نقاط) یک مشتق مربع انتگرال پذیر f(x) داشته باشد. ثابت کنید که اگر شرایط f() = f(π) و f(x) dx = برآورده شوند، نابرابری 2 dx 2 dx که نابرابری Wirtinger نامیده می شود برقرار است و تساوی در آن فقط برای توابعی از فرم f(x) = A cosx + B sinx. 56

57 7. کاربرد سری فوریه برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی هنگام مطالعه یک شی واقعی (پدیده های طبیعی، فرآیند تولید، سیستم کنترل و غیره)، دو عامل مهم هستند: سطح دانش انباشته شده در مورد شی مورد مطالعه و درجه توسعه دستگاه ریاضی. در مرحله کنونی تحقیقات علمی، زنجیره زیر توسعه یافته است: یک پدیده، یک مدل فیزیکی، یک مدل ریاضی. فرمول فیزیکی (مدل) مسئله به شرح زیر است: شرایط توسعه فرآیند و عوامل اصلی مؤثر بر آن شناسایی می شود. فرمول (مدل) ریاضی شامل توصیف عوامل و شرایط انتخاب شده در فرمول بندی فیزیکی در قالب یک سیستم معادلات (جبری، دیفرانسیل، انتگرال و غیره) است. اگر در یک فضای عملکردی معین، راه حل مسئله وجود داشته باشد، به یک مسئله به خوبی گفته می شود که به طور منحصر به فرد و پیوسته به شرایط اولیه و مرزی بستگی دارد. مدل ریاضی با شی مورد نظر یکسان نیست، اما توصیف تقریبی آن است. بگذارید انتهای رشته ثابت شود و خود نخ کشیده شود. اگر رشته از حالت تعادل خارج شود (مثلاً با کشیدن یا ضربه زدن به آن)، رشته با شماره 57 شروع می شود.

58 تردید. فرض می کنیم که تمام نقاط ریسمان عمود بر موقعیت تعادل آن (ارتعاشات عرضی) حرکت می کنند و در هر لحظه از زمان رشته در همان صفحه قرار می گیرد. اجازه دهید سیستم مختصات مستطیلی xou را در این صفحه در نظر بگیریم. سپس، اگر در زمان اولیه t = رشته در امتداد محور Ox قرار داشته باشد، u به معنای انحراف رشته از موقعیت تعادل است، یعنی موقعیت نقطه رشته با آبسیسا x در زمان دلخواه t. با مقدار تابع u(x,t) مطابقت دارد. برای هر مقدار ثابت t، نمودار تابع u(x,t) شکل رشته ارتعاشی را در زمان t نشان می دهد (شکل 32). در مقدار ثابت x، تابع u(x,t) قانون حرکت نقطه ای را با ابسیسا x در امتداد یک خط مستقیم موازی با محور Ou می دهد، مشتق u t سرعت این حرکت است و دومی مشتق 2 u t 2 شتاب است. برنج. 32. نیروهای اعمال شده به بخش بی نهایت کوچکی از یک رشته بیایید معادله ای بنویسیم که تابع u(x, t) باید آن را برآورده کند. برای انجام این کار، چند فرض ساده تر را مطرح می کنیم. فرض می کنیم که رشته کاملاً انعطاف پذیر است.

59 coy، یعنی فرض می کنیم که رشته در برابر خم شدن مقاومت نمی کند. این بدان معنی است که تنش های ایجاد شده در رشته همیشه به صورت مماس بر مشخصات آنی آن هدایت می شود. ریسمان الاستیک و تابع قانون هوک فرض می شود. این بدان معنی است که تغییر در بزرگی نیروی کشش متناسب با تغییر طول رشته است. اجازه دهید فرض کنیم که رشته همگن است. این بدان معنی است که چگالی خطی ρ آن ثابت است. ما از نیروهای خارجی غافل هستیم. این بدان معنی است که ما نوسانات آزاد را در نظر می گیریم. ما فقط ارتعاشات کوچک یک رشته را مطالعه خواهیم کرد. اگر زاویه بین محور ابسیسا و مماس به ریسمان را در نقطه ای با آبسیسا x در زمان t با ϕ(x, t) نشان دهیم، آنگاه شرط کوچکی نوسانات این است که مقدار ϕ 2 (x) , t) را می توان در مقایسه با ϕ (x, t) نادیده گرفت، یعنی ϕ 2. از آنجایی که زاویه ϕ کوچک است، پس cos ϕ 1، ϕ sin ϕ tg ϕ u، بنابراین، مقدار (u x x,) 2 می تواند نیز نادیده گرفته شود. بلافاصله از این نتیجه می شود که در فرآیند نوسان می توانیم از تغییر طول هر بخش از رشته چشم پوشی کنیم. در واقع، طول یک تکه ریسمان M 1 M 2 در فاصله محور x، که در آن x 2 = x 1 + x، برابر با l = x 2 x () 2 u dx x است. x اجازه دهید نشان دهیم که تحت فرضیات ما، مقدار نیروی کشش T در طول کل رشته ثابت خواهد بود. برای این کار مقداری از رشته M 1 M 2 (شکل 32) را در زمان t می گیریم و عمل قسمت های دور ریخته شده را جایگزین می کنیم.

60 kov توسط نیروهای کششی T 1 و T 2. از آنجایی که طبق شرایط، تمام نقاط ریسمان به موازات محور Ou حرکت می کنند و هیچ نیروی خارجی وجود ندارد، مجموع برآمدگی نیروهای کششی روی محور Ox است. باید برابر با صفر باشد: T 1 cosφ (x 1, t) + T 2 cosφ (x 2, t) =. از این رو، به دلیل کوچک بودن زاویه‌های ϕ 1 = ϕ (x 1, t) و ϕ 2 = ϕ (x 2, t)، نتیجه می‌گیریم که T 1 = T 2. مقدار کلی T 1 = T 2 را نشان می‌دهیم. توسط T. اکنون مجموع برآمدگی‌های F u نیروهای مشابه را روی محور Ou محاسبه می‌کنیم: F u = T sin φ(x 2, t) T sin φ(x1, t). (2) از آنجایی که برای زوایای کوچک sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t) و tg ϕ(x, t) u(x, t)/x، معادله (2) را می توان به صورت F u T بازنویسی کرد. (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2 (x 1, t) x . از آنجایی که نقطه x 1 خودسرانه انتخاب می شود، پس F u T 2 u x2(x, t) x. پس از اینکه تمام نیروهای وارد بر مقطع M 1 M 2 یافت شد، قانون دوم نیوتن را بر آن اعمال می کنیم که بر اساس آن حاصل ضرب جرم و شتاب برابر با مجموع همه نیروهای فعال است. جرم یک تکه رشته M 1 M 2 برابر m = ρ l ρ x است و شتاب آن برابر با 2 u(x, t) است. معادله t 2 نیوتن به این شکل است: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x، که α 2 = T ρ یک عدد مثبت ثابت است. 6

61 با کاهش x، 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t) بدست می آوریم. (21) در نتیجه، ما یک معادله دیفرانسیل جزئی همگن خطی از مرتبه دوم با ضرایب ثابت به دست آورده ایم. به آن معادله ارتعاش رشته یا معادله موج یک بعدی می گویند. معادله (21) اساساً فرمول بندی مجدد قانون نیوتن است و حرکت یک ریسمان را توصیف می کند. اما در فرمول بندی فیزیکی مسئله، الزاماتی وجود داشت که انتهای رشته ثابت باشد و موقعیت رشته در یک مقطع زمانی مشخص باشد. این شرایط را در معادلات به صورت زیر می نویسیم: الف) فرض می کنیم که انتهای رشته در نقاط x = و x = l ثابت است، یعنی برای همه t روابط u(,t) = فرض می کنیم. , u(l, t ) = ; (22) ب) فرض می کنیم که در زمان t = موقعیت رشته با نمودار تابع f(x) منطبق است، یعنی، فرض می کنیم که برای همه x [، l] برابری u(x، ) = f( x); (23) ج) فرض می کنیم که در زمان t = به نقطه رشته با ابسیسا x سرعت g(x) داده می شود، یعنی فرض می کنیم که u (x,) = g(x). (24) t روابط (22) را شرایط مرزی و روابط (23) و (24) را شرایط اولیه می نامند. مدل ریاضی عرضی کوچک آزاد ۶۱

62 ارتعاش ریسمان این است که حل معادله (21) با شرایط مرزی (22) و شرایط اولیه (23) و (24) حل معادله ارتعاشات عرضی کوچک آزاد ریسمان به روش فوریه ضروری است.< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. با جایگزینی (25) به (21)، دریافت می کنیم: X T = α 2 X T، (26) یا T (t) α2 T(t) = X (x) X(x). (27) گفته می شود که تفکیک متغیرها صورت گرفته است. از آنجایی که x و t به یکدیگر وابسته نیستند، سمت چپ در (27) به x وابسته نیست، اما سمت راست به t وابسته نیست و مقدار کل این نسبت ها 62 است.

63 باید ثابت باشد که آن را با λ نشان می دهیم: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. از این رو ما دو معادله دیفرانسیل معمولی به دست می آوریم: X (x) λx(x) =، (28) T (t) α2 λt(t) =. (29) در این حالت، شرایط مرزی (22) به شکل X()T(t) = و X(l)T(t) = است. از آنجایی که آنها باید برای همه t، t > و سپس X() = X(l) = برآورده شوند. (3) اجازه دهید راه حل های معادله (28) را با شرایط مرزی (3) بیابیم. بیایید سه مورد را در نظر بگیریم. مورد 1: λ >. λ = β 2 را نشان می دهیم. معادله (28) به شکل X (x) β 2 X(x) = است. معادله مشخصه آن k 2 β 2 = دارای ریشه k = ± β است. بنابراین جواب کلی معادله (28) به شکل X(x) = C e βx + De βx است. باید ثابت های C و D را طوری انتخاب کنیم که شرایط مرزی (3) برآورده شوند، یعنی X() = C + D =، X(l) = C e βl + De βl =. از آنجا که β، پس این سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد دارد C = D =. بنابراین X(x) و 63

64 u (x, t). بنابراین، در مورد 1 ما یک راه حل بی اهمیت به دست آورده ایم، که ما آن را بیشتر بررسی نمی کنیم. مورد 2: λ =. سپس معادله (28) شکل X (x) = را به خود می گیرد و حل آن به وضوح با فرمول X(x) = C x+d به دست می آید. با جایگزینی این محلول در شرایط مرزی (3)، X() = D = و X(l) = Cl =، از این رو C = D = به دست می آوریم. بنابراین X(x) و u(x,t)، و ما دوباره یک راه حل بی اهمیت داریم. مورد 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 در ادامه به n فقط مقادیر مثبت نسبت می دهیم n = 1, 2,... زیرا برای n منفی راه حل های هم شکل (nπ) بدست می آید. مقادیر λ n = هستند. به نام مقادیر ویژه، و توابع X n (x) = C n sin πnx توابع ویژه معادله دیفرانسیل (28) با شرایط مرزی (3). حال بیایید معادله (29) را حل کنیم. برای او، معادله مشخصه به شکل k 2 α 2 λ = است. (32) l 2 از آنجایی که در بالا متوجه شدیم که راه حل های غیر بدیهی X(x) معادله (28) فقط برای λ منفی برابر با λ = n2 π 2 وجود دارند، این λ هستند که در زیر در نظر می گیریم. ریشه های معادله (32) k = ± iα λ است و راه حل های معادله (29) به شکل: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt، (33) l l که در آن A n و B n ثابت دلخواه هستند. با جایگزینی فرمول های (31) و (33) به (25)، راه حل های خاصی از معادله (21) را می یابیم که شرایط مرزی (22) را برآورده می کند: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n گناه pnx. l l l با وارد کردن ضریب C n در پرانتز و معرفی نماد C n A n = b n و B n C n = a n، u n (X, T) را به صورت (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt می نویسیم. ) گناه pnx. (34) l l l 65

66 ارتعاشات ریسمان مربوط به محلول های u n (x,t) را ارتعاشات طبیعی ریسمان می گویند. از آنجایی که رابطه (21) و شرایط مرزی (22) خطی و همگن هستند، پس ترکیب خطی راه حل های (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l خواهد بود حل معادله (21) که شرایط مرزی (22) را با انتخاب خاصی از ضرایب a n و b n برآورده می کند، که همگرایی یکنواخت سری را تضمین می کند. اکنون ضرایب a n و b n راه حل (35) را انتخاب می کنیم تا نه تنها شرایط مرزی، بلکه شرایط اولیه (23) و (24) را نیز برآورده کند، که در آن f(x)، g(x) توابع داده شده است ( علاوه بر این، f() = f (l) = g() = g(l) =). فرض می کنیم که توابع f(x) و g(x) شرایط بسط فوریه را برآورده می کنند. با جایگزینی مقدار t = به (35)، u(x,) = a n sin πnx l = f(x) بدست می آوریم. با تمایز سری (35) نسبت به t و جایگزینی t =، u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x) بدست می آوریم و این بسط توابع f(x) و g(x) است. به سری فوریه بنابراین، a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx، b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 با جایگزینی عبارات ضرایب a n و b n به سری (35)، راه حلی برای معادله (21) بدست می آوریم که شرایط مرزی (22) و شرایط اولیه (23) و (24) را برآورده می کند. بنابراین، ما مشکل ارتعاشات عرضی کوچک آزاد یک رشته را حل کرده ایم. اجازه دهید معنای فیزیکی توابع ویژه u n (x, t) مسئله ارتعاشات آزاد یک رشته را که با فرمول (34) تعریف شده است، روشن کنیم. اجازه دهید آن را به گونه ای بازنویسی کنیم که u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n، (t + δ n) sin πnx، (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n فرمول (37) نشان می دهد که تمام نقاط رشته نوسانات هارمونیک را با فرکانس یکسان ω n = πnα و فاز πnα δ n انجام می دهند. دامنه نوسان به l l ابسیسا x نقطه رشته بستگی دارد و برابر α n sin πnx است. با چنین نوسانی، تمام نقاط ریسمان به طور همزمان به حداکثر انحراف l خود در یک جهت یا جهت دیگر می رسند و همزمان از موقعیت تعادل عبور می کنند. به این گونه نوسانات امواج ایستاده می گویند. یک موج ایستاده دارای n + 1 نقطه ثابت خواهد بود که توسط ریشه های معادله sin πnx = در بازه [، l] داده می شود. نقاط ثابت را گره های موج ایستاده می نامند. در وسط بین گره ها - l mi نقاطی هستند که در آن انحرافات به حداکثر می رسد. به چنین نقاطی آنتی گره می گویند. هر رشته می تواند نوسانات خاص خود را از فرکانس های کاملاً تعریف شده داشته باشد ω n = πnα، n = 1، 2، .... به این فرکانس ها فرکانس های طبیعی رشته می گویند. کمترین صدای l که یک سیم می تواند تولید کند توسط خودش 67 تعیین می شود

68 فرکانس طبیعی کم ω 1 = π T و تون اساسی سیم نامیده می شود. تون های باقیمانده مربوط به l ρ فرکانس های ω n، n = 2، 3،...، اورتون یا هارمونیک نامیده می شوند. برای وضوح، نیمرخ‌های معمولی یک رشته را به تصویر می‌کشیم که تون اصلی (شکل 33)، نوای اول (شکل 34) و نوای دوم (شکل 35) را منتشر می‌کند. برنج. شکل 33. نمایه رشته ای که صدای اصلی را ساطع می کند. شکل 34. نمایه رشته ای که اولین تون را منتشر می کند. شکل 35. نمایه رشته ای که یک تون تون دوم را ساطع می کند اگر رشته ارتعاشات آزاد تعیین شده توسط شرایط اولیه را انجام دهد، آنگاه تابع u(x, t) نشان داده می شود، همانطور که از فرمول (35) مشاهده می شود، به صورت مجموع از هارمونیک های فردی بنابراین نوسان دلخواه 68

رشته شصت و نهم برهم نهی امواج ایستاده است. در این حالت، ماهیت صدای سیم (تن، قدرت صدا، تایم) به نسبت بین دامنه هارمونیک های منفرد بستگی دارد.قدرت، زیر و بم و تن صدا یک سیم ارتعاشی ارتعاشات هوا را که توسط انسان درک می شود تحریک می کند. گوش به عنوان صدایی که از یک سیم ساطع می شود. قدرت صدا با انرژی یا دامنه ارتعاش مشخص می شود: هر چه انرژی بیشتر باشد، قدرت صدا بیشتر می شود. زیر و بمی صدا بر اساس فرکانس یا دوره نوسان آن تعیین می شود: هر چه فرکانس بیشتر باشد، صدا بالاتر است. تن صدا با وجود تون ها، توزیع انرژی روی هارمونیک ها، یعنی روش برانگیختن نوسانات تعیین می شود. به طور کلی، دامنه ی تون ها کمتر از دامنه ی فاندامنتال است، و مراحل تون ها می توانند دلخواه باشند. گوش ما به فاز نوسانات حساس نیست. برای مثال، دو منحنی در شکل 1 را مقایسه کنید. 36، وام گرفته شده از . این ضبط صدا با همان لحن اساسی است که از کلارینت (الف) و پیانو (ب) استخراج شده است. هر دو صدا نوسانات سینوسی ساده نیستند. فرکانس اساسی صدا در هر دو حالت یکسان است و همین باعث ایجاد لحن یکسان می شود. اما الگوهای منحنی متفاوت هستند، زیرا رنگ‌های متفاوتی بر لحن بنیادی قرار می‌گیرند. به تعبیری، این نقاشی‌ها نشان می‌دهند که تامبر چیست. 69

معادلات از نوع هذلولی. ارتعاشات یک رشته بی نهایت و نیمه نامتناهی. روش فوریه روش فوریه امواج ایستاده 4 سخنرانی 4.1 معادلات نوع هایپربولیک. نوسانات بینهایت و نیمه نامتناهی

دانشگاه فنی هواپیمایی کشوری مسکو V.M. لیوبیموف، E.A. ژوکوا، V.A. اوخوا، یو.آ. شورینوف

وزارت آموزش و پرورش و علوم روسیه مؤسسه آموزشی بودجه دولتی فدرال آموزش عالی حرفه ای دانشگاه فنی دولتی روسیه MATI به نام K. E. Tsiolkovsky

موضوع دانشگاه فنی دولتی ویتبسک وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس. گروه ریاضیات نظری و کاربردی "ردیف". توسعه یافته توسط Assoc. E.B. دونینا. اصلی

آژانس فدرال آموزش موسسه آموزشی دولتی فدرال آموزش عالی حرفه ای دانشگاه فدرال جنوبی R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodical

موضوع سری فوریه درس عملی سری فوریه در سیستم های متعامد توابع فضای توابع پیوسته تکه ای سری فوریه تعمیم یافته 3 نابرابری بسل و همگرایی فضای سری فوریه

تئوری سری ها نظریه سری ها مهمترین جزء تحلیل ریاضی است و کاربردهای نظری و عملی متعددی دارد. بین سری های عددی و تابعی تمایز قائل شوید.

مطالب سری فوریه 4 مفهوم تابع تناوبی 4 چند جمله ای مثلثاتی 6 3 سیستم های متعامد توابع 4 سری فوریه مثلثاتی 3 5 سری فوریه برای توابع زوج و فرد 6 6 تجزیه

آژانس فدرال آموزش دانشگاه دولتی ژئودزی و کارتوگرافی مسکو (MIIGAiK) دستورالعمل ها و وظایف روش شناختی برای کار مستقل در درس ریاضیات عالی

سخنرانی 4. تجزیه و تحلیل هارمونیک. توابع دوره ای سری فوریه تجزیه و تحلیل هارمونیک در علم و فناوری، اغلب باید با پدیده‌های دوره‌ای سروکار داشت، یعنی پدیده‌هایی که از طریق تکرار تکرار می‌شوند.

موضوع پنجم سخنرانی فوریه سری 6 بسط یک تابع تناوبی در یک سری فوریه بسیاری از فرآیندهایی که در طبیعت و فناوری رخ می دهند دارای خواص تکرار در فواصل معین هستند.

دستورالعمل‌های روش‌شناسی برای وظایف محاسباتی در درس ریاضیات عالی "معادلات دیفرانسیل معمولی سری انتگرال‌های دوگانه" قسمت سوم سری موضوعی محتویات سری‌های عددی همگرایی و واگرایی

6 سری فوریه 6 سیستم توابع متعامد سری فوریه بر حسب سیستم توابع متعامد توابع ϕ () و ψ () که روی پاره [, ] تعریف شده و قابل ادغام هستند، در این پاره متعامد نامیده می شوند.

انتگرال معین. مجموع انتگرال و انتگرال معین اجازه دهید یک تابع y = f () در قطعه [، b] تعریف شده باشد، جایی که< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

سری 5 توانی 5 سری توانی: تعریف، دامنه همگرایی سری تابعی به شکل (a + a) + a () + K + a () + K a) (، (5) اعداد سری توانی نامیده می شوند.

دانشکده ریاضیات کاربردی و علوم اطلاعات دانشگاه دولتی بلاروس بخش ریاضیات عالی کمک آموزشی برای دانشجویان دانشکده ریاضیات کاربردی و انفورماتیک

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مثال. بیایید مجموع یک پیشروی هندسی نامتناهی را پیدا کنیم فرمول جمله مشترک این سری a+aq+...+aq n +... (a) است. a n = ق n. اجازه دهید مجموع جزئی آن را محاسبه کنیم. اگر q =، پس

وظیفه 1.1. راه حل های y = y(x) معادله دیفرانسیل را بیابید که در ناحیه نشان داده شده به طور غیر یکسان صفر هستند و شرایط مرزی داده شده را برآورده می کنند (مسئله استورم-لیویل) راه حل: در نظر بگیرید

تجزیه و تحلیل ریاضی موضوع: انتگرال معین انتگرال های نادرست مدرس پاخوموا E.G. 2017 فصل دوم. انتگرال معین و کاربردهای آن 1. انتگرال معین و خواص آن 1. وظایف،

سخنرانی 8 4 مسئله Sturm-Liouville

توضیح متن: علامت به صورت "معادل" خوانده می شود و به این معنی است که معادلات سمت راست علامت و سمت چپ علامت مجموعه ای از راه حل های یکسان دارند، علامت IR مجموعه اعداد واقعی را نشان می دهد، علامت که در

82 4. بخش 4. سری عملکردی و توانی 4.2. درس 3 4.2. درس 3 4.2.. بسط تیلور یک تابع تعریف 4.2.. اجازه دهید تابع y = f(x) در برخی از همسایگی ها بی نهایت متمایز باشد.

وزارت آموزش و پرورش و علوم روسیه بودجه دولتی فدرال موسسه آموزش عالی حرفه ای "دانشگاه فنی دولتی سامارا" گروه ریاضیات کاربردی

آژانس فدرال حمل و نقل ریلی دانشگاه ایالتی اورال گروه حمل و نقل ریلی "ریاضیات عالی و کاربردی" N. P. Chuev عناصر روش تجزیه و تحلیل هارمونیک

سخنرانی 3 سری تیلور و مکلارین کاربرد سری توانی بسط توابع به سری های توانی تیلور و مکلارین برای کاربردها، مهم است که بتوان یک تابع معین را به یک سری توانی، آن توابع، گسترش داد.

S A Lavrenchenko wwwwrckoru سخنرانی تبدیل فوریه مفهوم تبدیل انتگرال روش تبدیل های انتگرالی یکی از روش های قدرتمند فیزیک ریاضی و راه حل قدرتمندی است.

ادغام پذیری یک تابع (طبق نظر ریمان) و یک انتگرال معین مثال هایی از حل مسئله 1. تابع ثابت f(x) = C قابل انتگرال گیری در روی است، زیرا برای هر پارتیشن و هر انتخاب نقطه ξ i

من البته، وظیفه. ثابت کنید که تابع ریمان، اگر 0، m m R()، اگر، m، m 0، و کسر تقلیل ناپذیر است، 0، اگر غیرمنطقی است، در هر نقطه گویا ناپیوسته و در هر نقطه غیر منطقی پیوسته است. راه حل.

1 2 فهرست مطالب 1 سری فوریه 5 1.1 سری فوریه مثلثاتی .................. 5 1.2 فقط sin & cos ............. ............ 7 1.3 سری فوریه به صورت مختلط............. 11 1.4 f(x) = c k؟......... ......

معادلات فیزیک ریاضی 1. معادلات دیفرانسیل جزئی

سخنرانی 4. معادلات موج 1. استخراج معادله ارتعاشات رشته 2. معادله ارتعاشات طولی میله 3. شرایط اولیه، شرایط مرزی 4. بیان مسئله 1. استخراج معادله ارتعاشات رشته

1. الکترواستاتیک 1 1. الکترواستاتیک درس 6 جداسازی متغیرها در مختصات دکارتی 1.1. (مسئله 1.49) صفحه z = با چگالی σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy) بار می شود، که در آن σ، α، β ثابت هستند.

موضوع ماژول تابع توالی ها و سری ها ویژگی های همگرایی یکنواخت دنباله ها و سری ها سری قدرت سخنرانی تعاریف توالی ها و سری های تابع به صورت یکنواخت

معادلات از نوع سهمی. روش جداسازی متغیرها مسئله مقدار مرزی همگن تابع منبع معادله حرارت ناهمگن 7 سخنرانی 7.1 معادلات از نوع سهمی. روش جداسازی

سخنرانی سری عددی نشانه های همگرایی سری اعدادی نشانه های همگرایی یک عبارت نامتناهی از یک دنباله عددی + + + + که از اعضای یک نامتناهی تشکیل شده است، یک سری عددی نامیده می شود.

35 7 سری فوریه مثلثاتی سری فوریه برای توابع تناوبی با دوره T. فرض کنید f(x) یک تابع تناوبی پیوسته تکه ای با دوره T باشد. سیستم مثلثاتی پایه را در نظر بگیرید.

دانشکده متالورژی گروه ریاضیات عالی

گروه ریاضی و انفورماتیک عناصر ریاضی عالی مجتمع آموزشی و روش شناختی برای دانش آموزان دوره متوسطه حرفه ای که با استفاده از فناوری های راه دور تحصیل می کنند ماژول حساب دیفرانسیل گردآوری شده توسط:

9. ضد مشتق و انتگرال نامعین 9.. اجازه دهید تابع f() در بازه I R داده شود. تابع F () تابع ضد مشتق f() در بازه I نامیده می شود، اگر F () = f() برای هر I و ضد مشتق

تمایز توابع یک متغیر مفهوم مشتق، معنای هندسی و فیزیکی آن مسائلی که منجر به مفهوم مشتق می شود تعریف مماس S به خط y f (x) در نقطه A x ; f(

معادلات از نوع هذلولی. ارتعاشات یک رشته بی نهایت و نیمه نامتناهی. روش d'Alembert رشته بی نهایت. فرمول d'Alembert رشته نیمه نامتناهی 3 سخنرانی 3.1 معادلات نوع هایپربولیک.

عنوان مقدمه. مفاهیم پایه .... 4 1. معادلات انتگرال ولترا ... 5 گزینه تکلیف .... 8 2. حل کننده معادله انتگرال ولترا. 10 گزینه تکلیف .... 11

ROWS. خطوط عددی تعاریف پایه بگذارید یک دنباله نامتناهی از اعداد داده شود به عبارت (مجموع نامتناهی) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= a نامیده می شود. سری اعداد شماره

8. سری توانی 8.. یک سری تابعی به شکل c n (z) n، (8.) n= که در آن c n یک دنباله عددی است، R یک عدد ثابت است، و z R یک سری توان با ضرایب c n نامیده می شود. . با تغییر متغیرها

~ ~ انتگرال نامعین و معین مفهوم انتگرال ضد مشتق و نامعین. تعریف: تابع F با توجه به تابع f یک پاد مشتق نامیده می شود اگر این توابع به صورت زیر مرتبط باشند.

3724 سری انتگرالهای چندگانه و منحنی 1 برنامه کاری بخشهای "مجموعه انتگرالهای چندگانه و منحنی" 11 سری اعداد مفهوم سری اعداد ویژگیهای سری اعداد یک معیار لازم برای همگرایی

بخور آنالیز ریاضی سنگ معدن. سری عددی و عملکردی NOVOSIBIRSK 200 2 وزارت آموزش و پرورش روسیه SEI HPE "NOVOSIBIRSK STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" E.M. تحلیل ریاضی رودوی.

سخنرانی N 7 .قدرت

معادلات درجه دوم

بخش وظایف با پارامترها اظهار نظر وظایف با پارامترها به طور سنتی وظایف پیچیده ای در ساختار USE هستند که متقاضی را نه تنها به تسلط بر همه روش ها و تکنیک های حل مختلف می طلبد.

حساب دیفرانسیل مقدمه ای بر تحلیل ریاضی توالی و حد تابع. افشای عدم قطعیت ها در داخل مشتق تابع قوانین تمایز کاربرد مشتق

سیستم های متعامد توابع سری فوریه از دیدگاه جبر، برابری که در آن توابعی از یک کلاس معین هستند و ضرایبی از R یا C هستند، به سادگی به این معنی است که بردار ترکیبی خطی از بردارهای B است.

1. انتگرال معین 1.1. فرض کنید f یک تابع محدود تعریف شده در قطعه [, b] R باشد. یک پارتیشن از پاره [, b] مجموعه ای از نقاط τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b است. ] طوری که = x< x 1 < < x n 1

Ch سری توان a a a یک سری از شکل a a a a () یک سری توان نامیده می شود، که در آن، a، ثابت هایی هستند که ضرایب سری نامیده می شوند. ) a (a) ()، که در آن

2. تعیین ضرایب سری با فرمول های فوریه.

فرض کنید یک تابع تناوبی ƒ(x) با دوره 2π به گونه‌ای باشد که با یک سری مثلثاتی نشان داده شود که به یک تابع معین در بازه (-π, π) همگرا می‌شود، یعنی مجموع این سری است:

فرض کنید انتگرال تابع سمت چپ این تساوی برابر با مجموع انتگرال های عبارت های این سری باشد. اگر فرض کنیم سری اعداد متشکل از ضرایب سری مثلثاتی داده شده کاملاً همگرا باشد، یعنی سری عددی مثبت همگرا شود، این درست خواهد بود.

سری (1) بزرگ است و می تواند ترم به ترم در بازه (-π, π) ادغام شود. ما هر دو بخش برابری را ادغام می کنیم (2):

ما هر انتگرال را که در سمت راست رخ می دهد به طور جداگانه محاسبه می کنیم:

,

,

به این ترتیب، ، جایی که

. (4)

برآورد ضرایب فوریه. (بوگروف)

قضیه 1. فرض کنید یک تابع ƒ(x) از دوره 2π دارای مشتق پیوسته ƒ (s) (x) از مرتبه s باشد که نابرابری را در کل محور واقعی برآورده می کند:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

سپس ضرایب فوریه تابع ƒ نابرابری را برآورده می کند

اثبات یکپارچه سازی توسط قطعات و در نظر گرفتن آن

ƒ(-π) = ƒ(π)، داریم

ادغام سمت راست (7) به صورت متوالی، با در نظر گرفتن اینکه مشتقات ƒ ΄، …، ƒ (s-1) پیوسته هستند و در نقاط t = -π و t = π نیز مقادیر یکسانی دارند. به عنوان تخمین (5)، اولین برآورد (6) را به دست می آوریم.

تخمین دوم (6) نیز به روشی مشابه به دست می آید.

قضیه 2. ضرایب فوریه ƒ(x) نابرابری را برآورده می کند.

(8)

اثبات ما داریم

(9)

با معرفی یک تغییر متغیر در این مورد و با در نظر گرفتن اینکه ƒ(x) یک تابع تناوبی است، به دست می آوریم.

با اضافه کردن (9) و (10) به دست می آید

ما اثبات b k را به روشی مشابه انجام می دهیم.

نتیجه. اگر تابع ƒ(x) پیوسته باشد، ضرایب فوریه آن به صفر گرایش دارند: a k → 0، b k → 0، k → ∞.

فضای توابع با محصول اسکالر.

تابع ƒ(x) به صورت تکه تکه بر روی یک قطعه پیوسته نامیده می شود، به جز برای تعداد محدودی از نقاط که دارای ناپیوستگی های نوع اول باشد. چنین نقاطی را می توان در اعداد حقیقی جمع و ضرب کرد و در نتیجه، دوباره توابع تکه ای پیوسته روی یک قطعه به دست آمد.

حاصل ضرب اسکالر دو تکه ای پیوسته روی (الف< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

بدیهی است که برای هر توابع تکه ای پیوسته ƒ , φ , ψ خواص زیر برقرار است:

1) (ƒ، φ) =(φ، ƒ);

2) (ƒ , ƒ) و برابری (ƒ , ƒ) = 0 دلالت بر این دارد که ƒ(x) = 0 در، به استثنای تعداد محدودی از نقاط x.

3) (α ƒ + β φ، ψ) = α (ƒ، ψ) + β (φ، ψ)،

که در آن α، β اعداد حقیقی دلخواه هستند.

مجموعه ای از تمام توابع پیوسته تکه تکه تعریف شده بر روی بازه ای که حاصل ضرب اسکالر طبق فرمول (11) معرفی می شود، نشان خواهیم داد، و فضای تماس بگیرید

تبصره 1.

در ریاضیات، فاصله = (a, b) مجموعه‌ای از توابع ƒ(x) است که به معنای Lebesgue روی همراه با مربع‌هایشان قابل ادغام هستند، که حاصل ضرب اسکالر با فرمول (11) معرفی می‌شود. فضای مورد نظر بخشی از . فضا بسیاری از ویژگی های فضا را دارد، اما نه همه آنها.

ویژگی های 1)، 2)، 3) دلالت بر نابرابری مهم Bunyakovskii | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ که در زبان انتگرال ها به این صورت است:

ارزش

هنجار تابع f نامیده می شود.

هنجار دارای ویژگی های زیر است:

1) || f || ≥ 0، در حالی که تساوی می تواند فقط برای تابع صفر f = 0 باشد، به عنوان مثال، تابع برابر با صفر، به جز، شاید، برای تعداد محدودی از نقاط.

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||،

جایی که α یک عدد واقعی است.

ویژگی دوم در زبان انتگرال ها به صورت زیر است:

و نابرابری مینکوفسکی نامیده می شود.

گفته می شود که دنباله ای از توابع (f n)، متعلق به، همگرا به تابعی است که به معنای مربع میانگین در (یا در غیر این صورت در هنجار) تعلق دارد، اگر

توجه داشته باشید که اگر دنباله توابع ƒ n (x) به طور یکنواخت به تابع ƒ(x) در قطعه همگرا شود، برای n به اندازه کافی بزرگ تفاوت ƒ(x) - ƒ n (x) در مقدار مطلق باید برای همه کوچک باشد. x از بخش .

اگر ƒ n (x) به ƒ(x) در معنای مربع میانگین در قطعه گرایش داشته باشد، آنگاه تفاوت نشان داده شده ممکن است برای n بزرگ در همه جا کوچک نباشد. در برخی از نقاط قطعه، این تفاوت می تواند بزرگ باشد، اما فقط مهم است که انتگرال مربع آن روی قطعه برای n بزرگ کوچک باشد.

مثال. اجازه دهید در یک تابع خطی به صورت تکه ای پیوسته ƒ n (x) (n = 1, 2,…) نشان داده شده در شکل، و

(بوگروف، ص 281، شکل 120)

برای هر n طبیعی

و در نتیجه، این دنباله از توابع، اگرچه به صورت n → ∞ به صفر همگرا می شود، یکنواخت نیست. در همین حال

یعنی دنباله توابع (f n (x)) به معنای مربع میانگین روی .

از عناصر یک سری توابع ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (متعلق به ) یک سری می سازیم

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

مجموع n عضو اول آن

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

تابعی وجود دارد که متعلق به . اگر اتفاق بیفتد که در یک تابع ƒ وجود داشته باشد که

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞)،

سپس می گوییم سری (12) به تابع ƒ به معنای مربع میانگین همگرا می شود و می نویسیم

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

تبصره 2.

می توان فضای = (a, b) توابع با مقدار مختلط را در نظر گرفت ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x)، که در آن ƒ 1 (x) و ƒ 2 (x) توابع پیوسته تکه ای واقعی هستند. . در این فضا، توابع در اعداد مختلط ضرب می شوند و حاصل ضرب اسکالر توابع ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) و φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) به صورت زیر تعریف می شود:

و هنجار ƒ به عنوان مقدار تعریف می شود

سری فوریه- راهی برای نشان دادن یک تابع پیچیده به عنوان مجموع تابع های ساده تر و شناخته شده.
سینوس و کسینوس توابع تناوبی هستند. آنها همچنین یک پایه متعامد را تشکیل می دهند. این ویژگی را می توان با قیاس با محورها توضیح داد X X ایکسو YY Yدر هواپیما مختصات همانطور که می توانیم مختصات یک نقطه را نسبت به محورها توصیف کنیم، می توانیم هر تابعی را با توجه به سینوس ها و کسینوس ها توصیف کنیم. توابع مثلثاتی به خوبی درک می شوند و به راحتی در ریاضیات به کار می روند.

شما می توانید سینوس ها و کسینوس ها را به شکل چنین امواجی نشان دهید:

آبی کسینوس هستند، قرمز سینوس هستند. به این امواج هارمونیک نیز می گویند. کسینوس زوج هستند، سینوس ها فرد هستند. اصطلاح سازدهنی از دوران باستان می آید و با مشاهداتی در مورد رابطه زیر و بم در موسیقی همراه است.

سری فوریه چیست؟

چنین سری که در آن از توابع سینوس و کسینوس به عنوان ساده ترین استفاده می شود، مثلثاتی نامیده می شود. این نام از مخترع آن ژان باپتیست ژوزف فوریه در اواخر قرن هجدهم - آغاز قرن نوزدهم گرفته شده است. او ثابت کرد که هر تابعی را می توان به عنوان ترکیبی از این هارمونیک ها نشان داد. و هر چه بیشتر بگیرید، این نمایش دقیق تر خواهد بود. به عنوان مثال، تصویر زیر: می بینید که با تعداد زیادی هارمونیک، یعنی اعضای سری فوریه، نمودار قرمز به رنگ آبی نزدیک می شود - تابع اصلی.

کاربرد عملی در دنیای مدرن

آیا واقعاً اکنون به این ردیف ها نیاز است؟ در کجا می توان آنها را در عمل به کار برد و آیا کسی غیر از ریاضیدانان نظری از آنها استفاده می کند؟ معلوم می شود که فوریه در سراسر جهان مشهور است زیرا استفاده عملی از سریال او به معنای واقعی کلمه غیرقابل محاسبه است. استفاده از آنها در جاهایی که ارتعاش یا امواج وجود دارد راحت است: آکوستیک، نجوم، مهندسی رادیو و غیره. ساده ترین مثال استفاده از آن مکانیسم دوربین یا دوربین فیلمبرداری است. به طور خلاصه، این دستگاه ها نه تنها تصاویر، بلکه ضرایب سری فوریه را ثبت می کنند. و در همه جا کار می کند - هنگام مشاهده تصاویر در اینترنت، یک فیلم یا گوش دادن به موسیقی. به لطف سری فوریه است که اکنون می توانید این مقاله را از تلفن همراه خود بخوانید. بدون تبدیل فوریه، ما پهنای باند کافی از اتصالات اینترنت برای تماشای یک ویدیوی YouTube را حتی با کیفیت استاندارد نداریم.

در این نمودار، تبدیل فوریه دو بعدی است که برای تجزیه تصویر به هارمونیک، یعنی اجزای اصلی استفاده می شود. در این نمودار مقدار -1 به رنگ سیاه و 1 به رنگ سفید کدگذاری شده است.در سمت راست و پایین نمودار فرکانس افزایش می یابد.

بسط فوریه

احتمالاً از خواندن خسته شده اید، پس بیایید به فرمول ها برویم.
برای چنین تکنیک ریاضی مانند بسط توابع در یک سری فوریه، باید انتگرال گرفت. انتگرال های زیادی به طور کلی سری فوریه به صورت مجموع نامتناهی نوشته می شود:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n گناه ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (آ n​ cos (n x) +ب n​ گناه (n x))
جایی که
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxآ n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxب n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)sin(nx)dx

اگر بتوانیم به نحوی تعداد نامتناهی را بشماریم a n a_n آ n​ و b n b_n ب n​ (به آنها ضرایب بسط فوریه می گویند، A A آفقط ثابت این بسط است)، سپس سری حاصل 100٪ با تابع اصلی منطبق خواهد شد. f(x)f(x) f(x)در بخش از − π -\pi − π قبل از π\pi π . چنین قطعه ای به دلیل ویژگی های یکپارچه سازی سینوس و کسینوس است. بیشتر n n n، که برای آن ضرایب بسط تابع را به یک سری محاسبه می کنیم، این بسط دقیق تر خواهد بود.

مثال

بیایید یک تابع ساده را در نظر بگیریم y=5x y=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0آ 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10ب 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) گناه (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0آ 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin⁡ (2 x) d x = - 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5ب 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(ایکس) گناه(2 ایکس) دایکس= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 ایکسگناه(2 ایکس) دایکس= − 5

و غیره. در مورد چنین تابعی، بلافاصله می توان گفت که همه a n = 0 a_n=0آn​ = 0 ، ضرایب b n b_nبn​ باید محاسبه شود. اگر چهار عبارت اول بسط سری فوریه را برای تابع در نظر بگیریم y=5x y=5xy= 5 ایکس، ما گرفتیم:

$5ایکس\approx 10\cdot \mathrm{گناه}(ایکس)-5\cdot \mathrm{گناه}(2\cdot ایکس)+310\cdot \mathrm{گناه}(3\cdot ایکس)-25\cdot \mathrm{گناه}(4\cdot ایکس)$

نمودار تابع به دست آمده به صورت زیر خواهد بود:

بسط فوریه حاصل به تابع اصلی ما نزدیک می شود. اگر تعداد بیشتری از عبارت‌ها را در مجموعه بگیریم، مثلاً 15، قبلاً موارد زیر را مشاهده خواهیم کرد:

هرچه اصطلاحات بسط در یک سری بیشتر باشد، دقت بالاتری دارد.
اگر مقیاس نمودار را کمی تغییر دهیم، می توانیم به یکی دیگر از ویژگی های تبدیل توجه کنیم: سری فوریه یک تابع تناوبی با نقطه است. 2 π 2\pi2 π .

بنابراین، می توان هر تابعی را که بر روی قطعه پیوسته است نشان داد [ - π ; pi ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . همه اینها به منظور تسهیل تجزیه و تحلیل برخی از پدیده هایی که توسط توابع پیچیده توصیف می شوند ضروری است. همیشه نمی توان مشتق را به صورت تحلیلی (یعنی با فرمول) محاسبه کرد و در مورد مجموعه ای از سینوس ها و کسینوس ها، چنین مشکلی پیش نخواهد آمد. خود بسط به یک سری فوریه نشان می دهد که مشکلات اغلب می توانند به صورت تحلیلی بر روی مدل های ساده شده حل شوند، که یکی از نمونه های آن سری فوریه است.

سری فوریه از توابع تناوبی با دوره 2π.

سری فوریه به شما این امکان را می دهد که توابع تناوبی را با تجزیه آنها به اجزاء مطالعه کنید. جریان‌ها و ولتاژهای متناوب، جابجایی‌ها، سرعت و شتاب مکانیسم‌های میل لنگ، و امواج صوتی کاربردهای عملی معمولی توابع دوره‌ای در محاسبات مهندسی هستند.

بسط سری فوریه بر این فرض استوار است که تمام توابع دارای اهمیت عملی در بازه -π ≤ x ≤ π را می توان به صورت سری مثلثاتی همگرا بیان کرد (یک سری همگرا در نظر گرفته می شود اگر دنباله ای از مجموع جزئی تشکیل شده از عبارت های آن همگرا شود) :

نماد استاندارد (= معمول) از طریق مجموع sinx و cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...،

که در آن a o , a 1 , a 2 ,..., b 1 , b 2 , .. ثابت های واقعی هستند، یعنی.

جایی که برای محدوده -π تا π، ضرایب سری فوریه با فرمول‌های زیر محاسبه می‌شوند:

ضرایب a o , a n و b n نامیده می شوند ضرایب فوریه، و اگر بتوان آنها را پیدا کرد، سری (1) فراخوانی می شود نزدیک فوریه،مربوط به تابع f(x). برای سری (1)، عبارت (a 1 cosx+b 1 sinx) اولین یا نامیده می شود سازدهنی اصلی،

روش دیگر برای نوشتن یک سری، استفاده از رابطه acosx+bsinx=csin(x+α) است.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

در جایی که a o یک ثابت است، c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2، c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 دامنه مولفه های مختلف است و برابر با n \ u003d arctg a n /b n.

برای سری (1)، اصطلاح (a 1 cosx + b 1 sinx) یا c 1 sin (x + α 1) اولین یا نامیده می شود. سازدهنی اصلی،(a 2 cos2x+b 2 sin2x) یا c 2 sin(2x+α 2) نامیده می شود هارمونیک دومو غیره

برای نمایش دقیق یک سیگنال پیچیده، معمولاً به تعداد نامتناهی عبارت نیاز است. با این حال، در بسیاری از مسائل عملی، تنها در نظر گرفتن چند عبارت اول کافی است.

سری فوریه توابع غیر تناوبی با دوره 2π.

بسط توابع غیر تناوبی در یک سری فوریه.

اگر تابع f(x) غیر تناوبی باشد، نمی توان آن را در یک سری فوریه برای همه مقادیر x گسترش داد. با این حال، می توان یک سری فوریه تعریف کرد که تابعی را در هر محدوده ای از عرض 2π نشان می دهد.

با توجه به یک تابع غیر تناوبی، می توان با انتخاب مقادیر f(x) در محدوده خاصی و تکرار آنها در خارج از این محدوده در فواصل 2π، یک تابع جدید ایجاد کرد. از آنجایی که تابع جدید تناوبی با دوره 2π است، می توان آن را در یک سری فوریه برای تمام مقادیر x گسترش داد. برای مثال تابع f(x)=x تناوبی نیست. با این حال، اگر لازم باشد آن را به یک سری فوریه در بازه 0 تا 2π بسط دهیم، یک تابع تناوبی با دوره 2π خارج از این بازه ساخته می شود (همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است).

برای توابع غیر تناوبی مانند f(x)=x، مجموع سری فوریه برابر با مقدار f(x) در تمام نقاط محدوده داده شده است، اما برای نقاط برابر با f(x) نیست. خارج از محدوده برای یافتن سری فوریه یک تابع غیر تناوبی در محدوده 2π، از همان فرمول ضرایب فوریه استفاده می شود.

توابع زوج و فرد.

آنها تابع y=f(x) را می گویند زوجاگر f(-x)=f(x) برای تمام مقادیر x. نمودارهای توابع زوج همیشه در مورد محور y متقارن هستند (یعنی آینه ای هستند). دو مثال از توابع زوج: y=x 2 و y=cosx.

آنها می گویند که تابع y=f(x) فرد،اگر f(-x)=-f(x) برای تمام مقادیر x. نمودارهای توابع فرد همیشه نسبت به مبدا متقارن هستند.

بسیاری از توابع نه زوج هستند و نه فرد.

بسط سری فوریه در کسینوس

سری فوریه یک تابع تناوبی زوج f(x) با دوره 2π فقط شامل عبارات کسینوس است (یعنی شامل جمله سینوس نیست) و ممکن است شامل یک جمله ثابت باشد. در نتیجه،

ضرایب سری فوریه کجاست

سری فوریه یک تابع تناوبی فرد f(x) با دوره 2π فقط شامل جمله هایی با سینوس است (یعنی شامل جمله هایی با کسینوس نیست).

در نتیجه،

ضرایب سری فوریه کجاست

سری فوریه در نیم چرخه.

اگر یک تابع برای یک محدوده تعریف شود، مثلاً 0 تا π، و نه فقط 0 تا 2π، می توان آن را به یک سری فقط بر حسب سینوس یا فقط بر حسب کسینوس گسترش داد. سری فوریه حاصل نامیده می شود نزدیک فوریه در نیم چرخه.

اگر می خواهید تجزیه به دست آورید فوریه در نیم چرخه در کسینوستوابع f(x) در محدوده 0 تا π، پس لازم است یک تابع تناوبی زوج بسازیم. روی انجیر در زیر تابع f(x)=x بر روی بازه x=0 تا x=π ساخته شده است. از آنجایی که تابع زوج نسبت به محور f(x) متقارن است، همانطور که در شکل نشان داده شده است، خط AB را رسم می کنیم. زیر اگر فرض کنیم که خارج از بازه در نظر گرفته شده، شکل مثلثی حاصل تناوبی با دوره 2π باشد، نمودار نهایی شکل، نمایش را دارد. در شکل زیر از آنجایی که برای بدست آوردن انبساط فوریه در کسینوس لازم است، مانند قبل، ضرایب فوریه a o و a n را محاسبه می کنیم.

اگر می خواهید توابع f (x) را در محدوده 0 تا π بدست آورید، باید یک تابع دوره ای فرد بنویسید. روی انجیر در زیر تابع f(x)=x بر روی بازه x=0 تا x=π ساخته شده است. از آنجایی که تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است، همانطور که در شکل نشان داده شده است، خط CD را می سازیم. اگر فرض کنیم که خارج از بازه در نظر گرفته شده، سیگنال دندان اره دریافتی دوره ای با دوره 2π باشد، نمودار نهایی شکل نشان داده شده در شکل را دارد. از آنجایی که برای بدست آوردن انبساط فوریه در نیم سیکل بر حسب سینوس لازم است، مانند قبل، ضریب فوریه را محاسبه می کنیم. ب

سری فوریه برای یک بازه دلخواه.

بسط یک تابع تناوبی با دوره L.

تابع تناوبی f(x) با افزایش x با L تکرار می شود، یعنی. f(x+L)=f(x). انتقال از توابع در نظر گرفته شده قبلی با دوره 2π به توابع با دوره L بسیار ساده است، زیرا می توان آن را با استفاده از تغییر متغیر انجام داد.

برای یافتن سری فوریه تابع f(x) در محدوده -L/2≤x≤L/2، یک متغیر جدید u معرفی می کنیم تا تابع f(x) نسبت به u دارای دوره 2π باشد. اگر u=2πx/L، آنگاه x=-L/2 برای u=-π و x=L/2 برای u=π. همچنین اجازه دهید f(x)=f(Lu/2π)=F(u). سری فوریه F(u) دارای فرم است

ضرایب سری فوریه کجاست؟

با این حال، در اغلب موارد، فرمول فوق منجر به وابستگی به x می شود. از آنجایی که u=2πχ/L، پس du=(2π/L)dx، و حدود ادغام از -L/2 تا L/2 به جای -π تا π است. بنابراین، سری فوریه برای وابستگی به x شکل دارد

که در محدوده L/2- تا L/2 ضرایب سری فوریه قرار دارند،

(محدودیت های ادغام را می توان با هر فاصله ای از طول L جایگزین کرد، به عنوان مثال، از 0 تا L)

سری فوریه در نیم چرخه برای توابع داده شده در بازه L≠2π.

برای جانشینی u=πx/L، بازه از x=0 تا x=L مربوط به فاصله u=0 تا u=π است. بنابراین، تابع را می توان به یک سری فقط بر حسب کسینوس یا فقط بر حسب سینوس، یعنی. که در سری فوریه در نیم چرخه.

انبساط در کسینوس در محدوده 0 تا L شکل دارد